व्युत्पन्न का ग्राफ चरम बिंदुओं को खोजने के लिए दिया गया है। व्युत्पन्न का ग्राफ पढ़ना

बी8. उपयोग

1. यह चित्र फलन y=f(x) का एक ग्राफ और इस ग्राफ की एक स्पर्शरेखा को दिखाता है, जो भुज x0 के साथ एक बिंदु पर खींचा गया है। बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। उत्तर: 2

उत्तर: -5

अंतराल पर (-9; 4)।

उत्तर: 2

बिंदु x0 . पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए उत्तर: 0.5

5. रेखा y = 3x + 8 और फलन y = x3+x2-5x-4 के ग्राफ के बीच संपर्क बिंदु ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में इस बिंदु के भुज को इंगित करें। उत्तर: -2

तर्क के पूर्णांक मानों की संख्या निर्धारित करें जिसके लिए फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न ऋणात्मक है। उत्तर - 4

उत्तर: 2

उन बिन्दुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन f(x) के ग्राफ की स्पर्श रेखा रेखा y=5–x के समांतर या संपाती होती है। उत्तर: 3

अंतराल (-8; 3)।

प्रत्यक्ष y = -20। उत्तर: 2

10.

उत्तर: -0.5

उत्तर 1

12. यह आंकड़ा फलन y=f(x) का ग्राफ और भुज x0 के साथ बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा को दर्शाता है।

बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। उत्तर: 0.5

13. यह आंकड़ा फलन y=f(x) का ग्राफ और भुज x0 के साथ बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा को दर्शाता है।

बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। उत्तर: -0.25

14.

उन बिन्दुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन f(x) के ग्राफ की स्पर्श रेखा रेखा y = x+7 के समांतर या संपाती होती है। उत्तर - 4

बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए। उत्तर: -2

16.

अंतराल (-14; 9)।

अंतराल [-12;7] पर फलन f(x) के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए। उत्तर: 3

अंतराल पर (-10; 8)।

अंतराल [-9;7] पर फलन f(x) के चरम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए। जवाब: 4

18. रेखा y = 5x-7, फलन y = 6x2 + bx-1 के ग्राफ को 0 से कम भुज वाले बिंदु पर स्पर्श करती है। b ज्ञात कीजिए। जवाब: 17

जवाब:-0,25

जवाब: 6

21. फंक्शन y=x2+6x-7, लाइन y=5x+11 के समानांतर के ग्राफ के स्पर्शरेखा को खोजें। अपने उत्तर में, संपर्क बिंदु के भुज को इंगित करें। जवाब: -0,5

22.

जवाब: 4

23. एफ "(x) अंतराल पर (-16; 4)।

खंड पर [-11; 0] फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें। जवाब: 1

बी8 कार्यों के रेखांकन, कार्यों के व्युत्पन्न। समारोह अनुसंधान . उपयोग

1. यह चित्र फलन y=f(x) का एक ग्राफ और इस ग्राफ की एक स्पर्शरेखा को दिखाता है, जो भुज x0 के साथ एक बिंदु पर खींचा गया है। बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

2. यह आंकड़ा अंतराल (-6; 5) पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है।

खंड के किस बिंदु पर [-5; -1] f(x) सबसे छोटा मान लेता है?

3. यह आंकड़ा फ़ंक्शन y = f(x), परिभाषित के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है

अंतराल पर (-9; 4)।

उन बिन्दुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन f(x) के ग्राफ की स्पर्श रेखा रेखा के समांतर है

y = 2x-17 या समान।

4. यह आंकड़ा फलन y = f(x) का ग्राफ और भुज x0 के साथ बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा को दर्शाता है।

बिंदु x0 . पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए

5. रेखा y = 3x + 8 और फलन y = x3+x2-5x-4 के ग्राफ के बीच संपर्क बिंदु ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में इस बिंदु के भुज को इंगित करें।

6. यह आंकड़ा अंतराल (-7; 5) पर परिभाषित फ़ंक्शन y = f(x) का एक ग्राफ दिखाता है।

तर्क के पूर्णांक मानों की संख्या निर्धारित करें जिसके लिए फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न ऋणात्मक है।

7. आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f "(x) का एक ग्राफ दिखाता है, जिसे अंतराल (-8; 8) पर परिभाषित किया गया है।

खंड [-4] से संबंधित फलन f(x) के चरम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए। 6].

8. आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f "(x) का एक ग्राफ दिखाता है, जिसे अंतराल (-8; 4) पर परिभाषित किया गया है।

उन बिन्दुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन f(x) के ग्राफ की स्पर्श रेखा रेखा y=5–x के समांतर या संपाती होती है।

9. चित्र y = f(x) पर परिभाषित फलन के अवकलज का ग्राफ दिखाता है

अंतराल (-8; 3)।

उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें जहां किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लिए स्पर्शरेखा समानांतर है

प्रत्यक्ष y = -20।

10. यह आंकड़ा फलन y=f(x) का ग्राफ और भुज x0 के साथ बिंदु पर इसके स्पर्शरेखा को दर्शाता है।

बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

11 . यह आंकड़ा अंतराल (-9; 9) पर परिभाषित फ़ंक्शन f (x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है।

खंड [-6;8] पर फ़ंक्शन $f(x)$ के न्यूनतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें। 1

बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

14. यह आंकड़ा अंतराल (-6; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन f (x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है।

उन बिन्दुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जहाँ फलन f(x) के ग्राफ की स्पर्श रेखा रेखा y = x+7 के समांतर या संपाती होती है।

15 . यह आंकड़ा फलन y = f(x) का ग्राफ और भुज x0 के साथ बिंदु पर इसकी स्पर्शरेखा को दर्शाता है।

बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

16. चित्र f(x) पर परिभाषित फलन f(x) के अवकलज का ग्राफ दिखाता है

अंतराल (-14; 9)।

अंतराल [-12;7] पर फलन f(x) के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

17 . यह आंकड़ा परिभाषित फ़ंक्शन f(x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है

अंतराल पर (-10; 8)।

अंतराल [-9;7] पर फलन f(x) के चरम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

18. रेखा y = 5x-7, फलन y = 6x2 + bx-1 के ग्राफ को 0 से कम भुज वाले बिंदु पर स्पर्श करती है। b ज्ञात कीजिए।

19 . यह चित्र फलन f(x) के अवकलज का ग्राफ और भुज x0 वाले बिंदु पर उसकी स्पर्शरेखा को दर्शाता है।

बिंदु x0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

20 . अंतराल (-1;12) में बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए, जहां ग्राफ पर दिखाए गए फलन y = f(x) का अवकलज 0 के बराबर है।

21. फंक्शन y=x2+6x-7, लाइन y=5x+11 के समानांतर के ग्राफ के स्पर्शरेखा को खोजें। अपने उत्तर में, संपर्क बिंदु के भुज को इंगित करें।

22. यह आंकड़ा फंक्शन y=f(x) का ग्राफ दिखाता है। अंतराल (-2;11) में पूर्णांक बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए, जहां फलन f(x) का अवकलज धनात्मक है।

23. यह आंकड़ा फ़ंक्शन y= . का ग्राफ दिखाता हैएफ "(x) अंतराल पर (-16; 4)।

खंड पर [-11; 0] फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें।

यह चित्र अंतराल [-5; 6]. ग्राफ़ f (x) के उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें से प्रत्येक में फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा संपाती होती है या x-अक्ष के समानांतर होती है

चित्र एक अवकलनीय फलन y = f(x) के अवकलज का ग्राफ दिखाता है।

फ़ंक्शन के ग्राफ़ में उन बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो खंड [–7; 7], जिसमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा समीकरण y = -3x द्वारा दी गई सीधी रेखा के समानांतर होती है।

भौतिक बिंदु M बिंदु A से चलना शुरू करता है और 12 सेकंड के लिए एक सीधी रेखा में चलता है। ग्राफ दिखाता है कि समय के साथ बिंदु A से बिंदु M तक की दूरी कैसे बदल गई। भुज सेकंड में समय t दिखाता है, कोटि मीटर में दूरी s दिखाता है। निर्धारित करें कि आंदोलन के दौरान कितनी बार बिंदु M की गति शून्य हो गई (आंदोलन की शुरुआत और अंत को अनदेखा करें)।

यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ के वर्गों और एब्सिसा x \u003d 0 के साथ बिंदु पर स्पर्शरेखा को दर्शाता है। यह ज्ञात है कि यह स्पर्शरेखा के बिंदुओं से गुजरने वाली सीधी रेखा के समानांतर है एब्सिसस x \u003d -2 और x \u003d 3 के साथ ग्राफ। इसका उपयोग करके, व्युत्पन्न f "(o) का मान ज्ञात करें।

यह आंकड़ा एक ग्राफ y = f'(x) दिखाता है - खंड (−11; 2) पर परिभाषित फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न। उस बिंदु का भुज ज्ञात कीजिए जिस पर फलन y = f(x) के ग्राफ की स्पर्श रेखा x-अक्ष के समांतर है या इसके साथ संपाती है।

सामग्री बिंदु कानून के अनुसार सीधा चलता है x(t)=(1/3)t^3-3t^2-5t+3, कहा पे x मीटर में संदर्भ बिंदु से दूरी है, t सेकंड में मापा गया समय है आंदोलन की शुरुआत से। किस समय (सेकंड में) उसकी गति 2 मीटर/सेकेंड के बराबर थी?

भौतिक बिंदु प्रारंभिक से अंतिम स्थिति तक एक सीधी रेखा के साथ चलता है। यह आंकड़ा इसके आंदोलन का एक ग्राफ दिखाता है। एब्सिस्सा अक्ष पर सेकंड में समय प्लॉट किया जाता है, बिंदु की प्रारंभिक स्थिति से दूरी (मीटर में) कोऑर्डिनेट अक्ष पर प्लॉट किया जाता है। बिंदु की औसत गति ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर मीटर प्रति सेकेंड में दें।

फ़ंक्शन y \u003d f (x) अंतराल पर परिभाषित किया गया है [-4; 4]. आंकड़ा इसके व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ में बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें, स्पर्शरेखा जिसमें ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ 45 ° का कोण बनता है।

फ़ंक्शन y \u003d f (x) को खंड [-2] पर परिभाषित किया गया है; 4]. आंकड़ा इसके व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ़ के बिंदु का भुज ज्ञात करें, जिसमें यह खंड [-2] पर सबसे छोटा मान लेता है; -0.001]।

यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ और इस ग्राफ के स्पर्शरेखा को बिंदु x0 पर दिखाता है। स्पर्शरेखा समीकरण y = -2x + 15 द्वारा दी गई है। फ़ंक्शन y = -(1/4)f(x) + 5 के बिंदु x0 पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात करें।

अवकलनीय फलन y = f(x): x1,..,x7 के ग्राफ पर सात बिंदु अंकित हैं। सभी चिह्नित बिंदु खोजें जहां फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न शून्य से अधिक है। अपने उत्तर में इन बिंदुओं की संख्या दर्ज करें।

यह आंकड़ा अंतराल (-10; 2) पर परिभाषित फ़ंक्शन f (x) के व्युत्पन्न का एक ग्राफ y \u003d f "(x) दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या का पता लगाएं, जिन पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा है f (x) रेखा y \u003d -2x-11 के समानांतर है या इससे मेल खाता है।

आंकड़ा y \u003d f "(x) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न। x-अक्ष पर नौ बिंदु चिह्नित हैं: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x6, x7 , एक्स 8, एक्स 9।
इनमें से कितने बिंदु घटते फलन f(x) के अंतराल से संबंधित हैं?

यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ और इस ग्राफ के स्पर्शरेखा को बिंदु x0 पर दिखाता है। स्पर्शरेखा समीकरण y = 1.5x + 3.5 द्वारा दी गई है। फ़ंक्शन y \u003d 2f (x) - 1 के बिंदु x0 पर व्युत्पन्न का मान ज्ञात कीजिए।

यह चित्र फलन f (x) के किसी एक अवकलज का ग्राफ y=F(x) दिखाता है। ग्राफ पर भुज x1, x2, ..., x6 के साथ छह बिंदु अंकित हैं। इनमें से कितने बिंदुओं पर फलन y=f(x) ऋणात्मक मान लेता है?

यह आंकड़ा मार्ग के साथ कार का शेड्यूल दिखाता है। समय को भुज अक्ष (घंटों में) पर, कोर्डिनेट अक्ष पर - तय की गई दूरी (किलोमीटर में) पर प्लॉट किया जाता है। इस मार्ग पर कार की औसत चाल ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर km/h . में दें

भौतिक बिंदु कानून के अनुसार सीधा चलता है x(t)=(-1/6)t^3+7t^2+6t+1, कहा पे x संदर्भ बिंदु (मीटर में) से दूरी है, t समय है गति (सेकंड में)। समय t=6 s . पर इसकी गति (मीटर प्रति सेकंड में) ज्ञात कीजिए

यह आंकड़ा कुछ फ़ंक्शन y \u003d f (x) के एंटीडेरिवेटिव y \u003d F (x) का ग्राफ दिखाता है, जिसे अंतराल (-6; 7) पर परिभाषित किया गया है। आकृति का प्रयोग करते हुए दिए गए अंतराल में फलन f(x) के शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।

यह चित्र अंतराल (-7; 5) पर परिभाषित किसी फलन f(x) के प्रतिअवकलजों में से एक का ग्राफ y = F(x) दिखाता है। आकृति का उपयोग करके, खंड [- 5; पर समीकरण f(x) = 0 के समाधान की संख्या निर्धारित करें; 2].

चित्र एक अवकलनीय फलन y=f(x) का ग्राफ दिखाता है। x-अक्ष पर नौ बिंदु अंकित हैं: x1, x2, ... x9। उन सभी चिह्नित बिंदुओं को खोजें जहां f(x) का अवकलज ऋणात्मक है। अपने उत्तर में इन बिंदुओं की संख्या दर्ज करें।

भौतिक बिंदु कानून के अनुसार सीधा चलता है x(t)=12t^3−3t^2+2t, जहां x मीटर में संदर्भ बिंदु से दूरी है, t आंदोलन की शुरुआत से मापा गया सेकंड में समय है। समय t=6 s पर इसकी गति (मीटर प्रति सेकंड में) ज्ञात कीजिए।

यह आंकड़ा फ़ंक्शन y=f(x) के ग्राफ और बिंदु x0 पर खींचे गए इस ग्राफ के स्पर्शरेखा को दिखाता है। स्पर्शरेखा समीकरण चित्र में दिखाया गया है। फ़ंक्शन y=4*f(x)-3 के बिंदु x0 पर अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

समस्या B9 में, एक फलन या अवकलज का एक आलेख दिया गया है, जिससे निम्नलिखित में से किसी एक मात्रा का निर्धारण करना आवश्यक है:

किसी बिंदु x 0 पर अवकलज का मान,
उच्च या निम्न अंक (चरम बिंदु),
बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल (एकरसता के अंतराल)।

इस समस्या में प्रस्तुत कार्य और व्युत्पन्न हमेशा निरंतर होते हैं, जो समाधान को बहुत सरल करते हैं। इस तथ्य के बावजूद कि कार्य गणितीय विश्लेषण के अनुभाग से संबंधित है, यह सबसे कमजोर छात्रों की शक्ति के भीतर भी है, क्योंकि यहां किसी गहन सैद्धांतिक ज्ञान की आवश्यकता नहीं है।

व्युत्पन्न, चरम बिंदुओं और एकरसता अंतराल के मूल्य को खोजने के लिए, सरल और सार्वभौमिक एल्गोरिदम हैं - उन सभी पर नीचे चर्चा की जाएगी।

मूर्खतापूर्ण गलतियाँ न करने के लिए समस्या B9 की स्थिति को ध्यान से पढ़ें: कभी-कभी काफी मात्रा में ग्रंथ सामने आते हैं, लेकिन कुछ महत्वपूर्ण शर्तें हैं जो समाधान के पाठ्यक्रम को प्रभावित करती हैं।

व्युत्पन्न के मूल्य की गणना। दो बिंदु विधि

यदि समस्या को किसी बिंदु x 0 पर इस ग्राफ के स्पर्शरेखा f(x) फ़ंक्शन का ग्राफ दिया जाता है, और इस बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य को खोजने की आवश्यकता होती है, तो निम्न एल्गोरिदम लागू होता है:

स्पर्शरेखा ग्राफ पर दो "पर्याप्त" बिंदु खोजें: उनके निर्देशांक पूर्णांक होने चाहिए। आइए इन बिंदुओं को A (x 1 ; y 1) और B (x 2 ; y 2) के रूप में निरूपित करें। निर्देशांक को सही ढंग से लिखें - यह समाधान का मुख्य बिंदु है, और यहां कोई भी गलती गलत उत्तर की ओर ले जाती है।
निर्देशांकों को जानने के बाद, तर्क Δx = x 2 - x 1 की वृद्धि और y = y 2 - y 1 तर्क की वृद्धि की गणना करना आसान है।
अंत में, हम अवकलज D = y/Δx का मान पाते हैं। दूसरे शब्दों में, आपको तर्क वृद्धि से फ़ंक्शन वृद्धि को विभाजित करने की आवश्यकता है - और यह उत्तर होगा।

एक बार फिर, हम ध्यान दें: बिंदु ए और बी को स्पर्शरेखा पर सटीक रूप से खोजा जाना चाहिए, न कि फ़ंक्शन f (x) के ग्राफ़ पर, जैसा कि अक्सर होता है। स्पर्शरेखा में आवश्यक रूप से कम से कम दो ऐसे बिंदु होंगे, अन्यथा समस्या गलत तरीके से तैयार की गई है।

अंक A (−3; 2) और B (−1; 6) पर विचार करें और वेतन वृद्धि ज्ञात करें:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

आइए अवकलज का मान ज्ञात करें: D = y/Δx = 4/2 = 2।

काम। यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ दिखाता है और बिंदु पर स्पर्शरेखा x 0 के साथ स्पर्श करता है। बिंदु x 0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

अंक ए (0; 3) और बी (3; 0) पर विचार करें, वेतन वृद्धि खोजें:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; y \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3।

अब हम अवकलज का मान ज्ञात करते हैं: D = y/Δx = −3/3 = −1।

काम। यह आंकड़ा फ़ंक्शन y \u003d f (x) का ग्राफ दिखाता है और बिंदु पर स्पर्शरेखा x 0 के साथ स्पर्श करता है। बिंदु x 0 पर फलन f(x) के अवकलज का मान ज्ञात कीजिए।

अंक ए (0; 2) और बी (5; 2) पर विचार करें और वेतन वृद्धि खोजें:
x \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; y = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

यह व्युत्पन्न का मान ज्ञात करना बाकी है: D = y/Δx = 0/5 = 0।

पिछले उदाहरण से, हम नियम बना सकते हैं: यदि स्पर्शरेखा OX अक्ष के समानांतर है, तो संपर्क के बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। इस मामले में, आपको कुछ भी गणना करने की आवश्यकता नहीं है - बस ग्राफ़ को देखें।

उच्च और निम्न अंक की गणना

कभी-कभी समस्या B9 में किसी फ़ंक्शन के ग्राफ के बजाय, एक व्युत्पन्न ग्राफ दिया जाता है और फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम बिंदु को खोजने की आवश्यकता होती है। इस परिदृश्य में, दो-बिंदु विधि बेकार है, लेकिन एक और भी सरल एल्गोरिथम है। सबसे पहले, आइए शब्दावली को परिभाषित करें:

बिंदु x 0 को फलन f(x) का अधिकतम बिंदु कहा जाता है यदि निम्नलिखित असमानता इस बिंदु के कुछ पड़ोस में होती है: f(x 0) f(x)।
बिंदु x 0 को फलन f(x) का न्यूनतम बिंदु कहा जाता है यदि निम्न असमानता इस बिंदु के कुछ पड़ोस में होती है: f(x 0) f(x)।

व्युत्पन्न के ग्राफ पर अधिकतम और न्यूनतम अंक खोजने के लिए, निम्नलिखित चरणों का पालन करना पर्याप्त है:

सभी अनावश्यक जानकारी को हटाते हुए, व्युत्पन्न का ग्राफ फिर से बनाएं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, अतिरिक्त डेटा केवल समाधान में हस्तक्षेप करता है। इसलिए, हम निर्देशांक अक्ष पर व्युत्पन्न के शून्य को चिह्नित करते हैं - और यही वह है।
शून्य के बीच के अंतराल पर अवकलज के चिह्न ज्ञात कीजिए। यदि किसी बिंदु x 0 के लिए यह ज्ञात है कि f'(x 0) 0, तो केवल दो विकल्प संभव हैं: f'(x 0) 0 या f'(x 0) 0. व्युत्पन्न का चिन्ह है मूल ड्राइंग से निर्धारित करना आसान है: यदि व्युत्पन्न ग्राफ OX अक्ष के ऊपर स्थित है, तो f'(x) 0. इसके विपरीत, यदि व्युत्पन्न ग्राफ OX अक्ष के नीचे है, तो f'(x) 0.
हम फिर से व्युत्पन्न के शून्य और संकेतों की जांच करते हैं। जहां साइन माइनस से प्लस में बदलता है, वहां एक न्यूनतम बिंदु होता है। इसके विपरीत, यदि व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदलता है, तो यह अधिकतम बिंदु है। गिनती हमेशा बाएं से दाएं की जाती है।

यह योजना केवल निरंतर कार्यों के लिए काम करती है - समस्या B9 में कोई अन्य नहीं है।

काम। यह आंकड़ा खंड [−5; 5]। इस खंड पर फलन f(x) का न्यूनतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

आइए अनावश्यक जानकारी से छुटकारा पाएं - हम केवल सीमाओं को छोड़ देंगे [−5; 5] और व्युत्पन्न x = −3 और x = 2.5 के शून्यक। संकेतों पर भी ध्यान दें:

जाहिर है, बिंदु x = −3 पर, व्युत्पन्न का चिह्न ऋण से प्लस में बदल जाता है। यह न्यूनतम बिंदु है।

काम। चित्र खंड [−3;] पर परिभाषित फलन f(x) के अवकलज का ग्राफ दिखाता है 7]। इस खंड पर फलन f(x) का अधिकतम बिंदु ज्ञात कीजिए।

आइए केवल सीमाओं [−3; को छोड़कर, ग्राफ़ को फिर से बनाएं; 7] और व्युत्पन्न x = −1.7 और x = 5 के शून्यक। परिणामी ग्राफ पर अवकलज के चिह्नों पर ध्यान दें। हमारे पास है:

जाहिर है, बिंदु x = 5 पर, व्युत्पन्न का संकेत प्लस से माइनस में बदल जाता है - यह अधिकतम बिंदु है।

काम। यह आंकड़ा खंड [−6; 4]. फ़ंक्शन f(x) के उन अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो अंतराल [−4] से संबंधित हैं; 3]।

यह समस्या की स्थितियों का अनुसरण करता है कि यह खंड [−4; 3]। इसलिए, हम एक नया ग्राफ बनाते हैं, जिस पर हम केवल सीमाएं [−4; 3] और इसके अंदर व्युत्पन्न के शून्य। अर्थात्, बिंदु x = −3.5 और x = 2। हम प्राप्त करते हैं:

इस ग्राफ पर, केवल एक अधिकतम बिंदु x = 2 है। यह इसमें है कि व्युत्पन्न का चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है।

गैर-पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदुओं के बारे में एक छोटा नोट। उदाहरण के लिए, पिछली समस्या में, बिंदु x = −3.5 पर विचार किया गया था, लेकिन उसी सफलता के साथ हम x = −3.4 ले सकते हैं। यदि समस्या को सही ढंग से तैयार किया गया है, तो ऐसे परिवर्तन उत्तर को प्रभावित नहीं करना चाहिए, क्योंकि "निवास के एक निश्चित स्थान के बिना" बिंदु सीधे समस्या को हल करने में शामिल नहीं हैं। बेशक, पूर्णांक बिंदुओं के साथ ऐसी चाल काम नहीं करेगी।

किसी फलन के बढ़ने और घटने का अंतराल ज्ञात करना

ऐसी समस्या में, अधिकतम और न्यूनतम के बिंदुओं की तरह, उन क्षेत्रों को खोजने का प्रस्ताव है जिनमें व्युत्पन्न के ग्राफ से फ़ंक्शन स्वयं बढ़ता या घटता है। सबसे पहले, आइए परिभाषित करें कि आरोही और अवरोही क्या हैं:

एक फलन f(x) को एक खंड पर बढ़ता हुआ कहा जाता है यदि इस खंड से किन्हीं दो बिंदुओं x 1 और x 2 के लिए कथन सत्य है: x 1 x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2)। दूसरे शब्दों में, तर्क का मान जितना बड़ा होगा, फ़ंक्शन का मान उतना ही बड़ा होगा।
एक फलन f(x) को खंड पर घटते हुए कहा जाता है यदि इस खंड से किन्हीं दो बिंदुओं x 1 और x 2 के लिए कथन सत्य है: x 1 x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2)। वे। तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है।

हम बढ़ने और घटने के लिए पर्याप्त शर्तें तैयार करते हैं:

एक सतत फलन f(x) के लिए खंड पर वृद्धि करने के लिए, यह पर्याप्त है कि खंड के अंदर इसका व्युत्पन्न सकारात्मक हो, अर्थात। एफ'(एक्स) 0.
एक सतत फलन f(x) खंड पर घटने के लिए, यह पर्याप्त है कि खंड के अंदर इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक हो, अर्थात। एफ '(एक्स) 0।

हम बिना सबूत के इन दावों को स्वीकार करते हैं। इस प्रकार, हमें वृद्धि और कमी के अंतराल खोजने के लिए एक योजना मिलती है, जो कई मायनों में चरम बिंदुओं की गणना के लिए एल्गोरिथ्म के समान है:

सभी अनावश्यक जानकारी निकालें। व्युत्पन्न के मूल ग्राफ पर, हम मुख्य रूप से फ़ंक्शन के शून्य में रुचि रखते हैं, इसलिए हम केवल उन्हें छोड़ देते हैं।
व्युत्पत्ति के चिह्नों को शून्य के बीच के अंतराल पर चिह्नित करें। जहाँ f'(x) 0, फलन बढ़ता है, और जहाँ f'(x) 0, यह घटता है। यदि समस्या में चर x पर प्रतिबंध हैं, तो हम उन्हें नए चार्ट पर अतिरिक्त रूप से चिह्नित करते हैं।
अब जब हम फ़ंक्शन के व्यवहार और बाधा को जानते हैं, तो समस्या में आवश्यक मान की गणना करना बाकी है।

काम। चित्र खंड [−3;] पर परिभाषित फलन f(x) के अवकलज का ग्राफ दिखाता है 7.5]। घटते फलन f(x) के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में इन अंतरालों में शामिल पूर्णांकों का योग लिखिए।

हमेशा की तरह, हम ग्राफ को फिर से खींचते हैं और सीमाओं को चिह्नित करते हैं [−3; 7.5], साथ ही व्युत्पन्न x = -1.5 और x = 5.3 के शून्य। फिर हम व्युत्पन्न के संकेतों को चिह्नित करते हैं। हमारे पास है:

चूंकि व्युत्पन्न अंतराल (- 1.5) पर ऋणात्मक है, यह घटते फलन का अंतराल है। यह उन सभी पूर्णांकों का योग है जो इस अंतराल के अंदर हैं:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

काम। चित्र खंड [−10;] पर परिभाषित फलन f(x) के अवकलज का ग्राफ दिखाता है 4]. बढ़ते फलन f(x) के अंतराल ज्ञात कीजिए। अपने उत्तर में उनमें से सबसे बड़े की लंबाई लिखिए।

आइए अनावश्यक जानकारी से छुटकारा पाएं। हम केवल सीमाएं छोड़ते हैं [−10; 4] और व्युत्पन्न के शून्य, जो इस बार चार निकले: x = −8, x = −6, x = −3 और x = 2. व्युत्पन्न के संकेतों पर ध्यान दें और निम्नलिखित चित्र प्राप्त करें:

हम बढ़ते फलन के अंतरालों में रुचि रखते हैं, अर्थात्। जहां f'(x) 0. ग्राफ पर ऐसे दो अंतराल हैं: (−8; −6) और (−3; 2)। आइए उनकी लंबाई की गणना करें:
एल 1 = -6 - (−8) = 2;
एल 2 = 2 - (-33) = 5।

चूँकि सबसे बड़े अंतराल की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है, इसलिए हम प्रत्युत्तर में मान l 2 = 5 लिखते हैं।

रेखा y=3x+2 फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा है y=-12x^2+bx-10। b खोजें, यह देखते हुए कि स्पर्श बिंदु का भुज शून्य से कम है।

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फेसला

चलो x_0 फ़ंक्शन के ग्राफ पर बिंदु का भुज हो y=-12x^2+bx-10 जिसके माध्यम से इस ग्राफ के स्पर्शरेखा गुजरती है।

बिंदु x_0 पर व्युत्पन्न का मान स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर है, अर्थात y"(x_0)=-24x_0+b=3. दूसरी ओर, स्पर्शरेखा बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ और दोनों के अंतर्गत आता है स्पर्शरेखा, यानी -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है \begin(मामलों) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(मामलों)

इस प्रणाली को हल करने पर, हमें x_0^2=1 मिलता है, जिसका अर्थ है या तो x_0=-1 या x_0=1। भुज की स्थिति के अनुसार, स्पर्श बिंदु शून्य से कम हैं, इसलिए x_0=-1, फिर b=3+24x_0=-21.

जवाब

स्थिति

यह आंकड़ा फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ दिखाता है (जो तीन सीधी रेखा खंडों से बनी एक टूटी हुई रेखा है)। आकृति का उपयोग करते हुए, F(9)-F(5) की गणना करें, जहां F(x) f(x) के प्रतिअवकलजों में से एक है।

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फेसला

न्यूटन-लीबनिज सूत्र के अनुसार, अंतर F(9)-F(5), जहां F(x) फलन f(x) के प्रतिअवकलजों में से एक है, वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है। फलन y=f(x), सीधी रेखाओं y=0 , x=9 और x=5 के ग्राफ द्वारा। ग्राफ के अनुसार, हम यह निर्धारित करते हैं कि निर्दिष्ट वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज एक समलम्ब है जिसका आधार 4 और 3 के बराबर है और ऊंचाई 3 है।

इसका क्षेत्रफल के बराबर है \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

जवाब

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

स्थिति

यह आंकड़ा y \u003d f "(x) का एक ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न, अंतराल पर परिभाषित (-4; 10)। घटते फ़ंक्शन f (x) के अंतराल का पता लगाएं। अपने उत्तर में , उनमें से सबसे बड़े की लंबाई को इंगित करें।

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फेसला

जैसा कि आप जानते हैं, फलन f (x) उन अंतरालों पर घटता है, जिनके प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न f "(x) शून्य से कम होता है। यह देखते हुए कि उनमें से सबसे बड़े की लंबाई ज्ञात करना आवश्यक है, ऐसे तीन अंतराल आकृति से स्वाभाविक रूप से अलग हैं: (-4; -2);(0;3);(5;9)।

उनमें से सबसे बड़े की लंबाई - (5; 9) 4 के बराबर है।

जवाब

स्थिति

यह आंकड़ा y \u003d f "(x) का ग्राफ दिखाता है - फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न, अंतराल (-8; 7) पर परिभाषित। फ़ंक्शन f (x) के अधिकतम बिंदुओं की संख्या ज्ञात करें अंतराल के लिए [-6; -2]।

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फेसला

ग्राफ से पता चलता है कि फ़ंक्शन f (x) का व्युत्पन्न f "(x) अंतराल से ठीक एक बिंदु (-5 और -4 के बीच) पर प्लस से माइनस (ऐसे बिंदुओं पर अधिकतम होगा) में संकेत बदलता है [ -6; -2 इसलिए, अंतराल पर ठीक एक अधिकतम बिंदु है [-6;-2]।

जवाब

स्थिति

यह आंकड़ा अंतराल (-2; 8) पर परिभाषित फ़ंक्शन y=f(x) का एक ग्राफ दिखाता है। उन बिंदुओं की संख्या निर्धारित करें जहां फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न 0 के बराबर है।

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फेसला

यदि किसी बिंदु पर अवकलज शून्य के बराबर है, तो इस बिंदु पर खींचे गए फलन के ग्राफ की स्पर्श रेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है। इसलिए, हम ऐसे बिंदु पाते हैं, जिन पर फ़ंक्शन ग्राफ़ की स्पर्शरेखा ऑक्स-अक्ष के समानांतर होती है। इस चार्ट पर, ऐसे बिंदु चरम बिंदु (अधिकतम या न्यूनतम अंक) हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, 5 चरम बिंदु हैं।

जवाब

स्थिति

रेखा y=-3x+4 फ़ंक्शन के ग्राफ के स्पर्शरेखा के समानांतर है y=-x^2+5x-7. संपर्क बिंदु का भुज ज्ञात कीजिए।

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फेसला

फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए रेखा की ढलान y=-x^2+5x-7 एक मनमाना बिंदु पर x_0 है y"(x_0)। लेकिन y"=-2x+5, इसलिए y"(x_0)=- 2x_0+5. स्थिति में निर्दिष्ट रेखा y=-3x+4 का कोणीय गुणांक -3 है। समानांतर रेखाओं में समान ढलान होते हैं। इसलिए, हम ऐसा मान x_0 पाते हैं कि =-2x_0 +5=-3।

हमें मिलता है: x_0 = 4।

जवाब

स्थिति

यह चित्र x-अक्ष पर फलन y=f(x) और चिह्नित बिंदुओं -6, -1, 1, 4 का एक ग्राफ दिखाता है। इनमें से किस बिंदु पर अवकलज का मान सबसे छोटा है? कृपया इस बिंदु को अपने उत्तर में इंगित करें।

छात्र के लिए पोर्टल। आत्म प्रशिक्षण

व्युत्पन्न के मूल्य की गणना। दो बिंदु विधि

उच्च और निम्न अंक की गणना

किसी फलन के बढ़ने और घटने का अंतराल ज्ञात करना

फेसला

जवाब

स्थिति

फेसला

जवाब

स्थिति

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स्थिति

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जवाब

स्थिति

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