3.1. एक सीधी रेखा में समान गति।

3.1.1. एक सीधी रेखा में समान गति- निरंतर मापांक और त्वरण की दिशा के साथ एक सीधी रेखा में गति:

3.1.2. त्वरण ()- एक भौतिक सदिश राशि जो दर्शाती है कि 1 सेकंड में गति कितनी बदल जाएगी।

वेक्टर रूप में:

शरीर की प्रारंभिक गति कहाँ है, समय के क्षण में शरीर की गति है टी.

अक्ष पर प्रक्षेपण में बैल:

अक्ष पर प्रारंभिक गति का प्रक्षेपण कहाँ है बैल, - अक्ष पर शरीर के वेग का प्रक्षेपण बैलउस समय पर टी.

अनुमानों के संकेत वैक्टर और अक्ष की दिशा पर निर्भर करते हैं बैल.

3.1.3. त्वरण बनाम समय के प्रक्षेपण का ग्राफ।

एकसमान परिवर्तनशील गति के साथ, त्वरण स्थिर होता है, इसलिए यह समय अक्ष के समानांतर सीधी रेखाएँ होंगी (चित्र देखें):

3.1.4. एकसमान गति में गति।

वेक्टर रूप में:

अक्ष पर प्रक्षेपण में बैल:

समान रूप से त्वरित गति के लिए:

धीमी गति के लिए:

3.1.5. वेग प्रोजेक्शन प्लॉट बनाम समय।

समय के विरुद्ध गति के प्रक्षेपण का ग्राफ एक सीधी रेखा है।

गति की दिशा: यदि ग्राफ (या उसका हिस्सा) समय अक्ष से ऊपर है, तो शरीर धुरी की सकारात्मक दिशा में चलता है बैल.

त्वरण मान: झुकाव के कोण का स्पर्शरेखा जितना अधिक होगा (जितना अधिक यह ऊपर या नीचे जाता है), त्वरण मॉड्यूल उतना ही अधिक होता है; समय के साथ गति में परिवर्तन कहाँ है

समय अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन: यदि ग्राफ समय अक्ष को पार करता है, तो शरीर प्रतिच्छेदन बिंदु (समान रूप से धीमी गति) से पहले धीमा हो जाता है, और प्रतिच्छेदन बिंदु के बाद यह विपरीत दिशा (समान रूप से त्वरित गति) में गति करना शुरू कर देता है।

3.1.6. कुल्हाड़ियों में ग्राफ के तहत क्षेत्र का ज्यामितीय अर्थ

अक्ष पर होने पर ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल ओएगति में देरी हो रही है, और धुरी पर बैलसमय शरीर द्वारा तय किया गया मार्ग है।

अंजीर पर। 3.5 समान रूप से त्वरित गति का मामला तैयार किया गया है। इस मामले में पथ समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर होगा: (3.9)

3.1.7. पथ की गणना के लिए सूत्र

समान रूप से त्वरित गति	समान रूप से धीमी गति
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

तालिका में प्रस्तुत सभी सूत्र गति की दिशा को बनाए रखते हुए ही काम करते हैं, अर्थात समय पर गति के प्रक्षेपण की निर्भरता के ग्राफ पर समय अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन तक।

यदि चौराहा हुआ है, तो आंदोलन को दो चरणों में तोड़ना आसान है:

पार करने से पहले (ब्रेक लगाना):

पार करने के बाद (त्वरण, विपरीत दिशा में गति)

उपरोक्त सूत्रों में - आंदोलन की शुरुआत से समय अक्ष के साथ चौराहे तक का समय (रोकने का समय), - जिस पथ पर शरीर ने आंदोलन की शुरुआत से समय अक्ष के साथ चौराहे तक यात्रा की है, - समय अक्ष को पार करने के क्षण से वर्तमान क्षण तक बीता हुआ समय टी, - समय के अक्ष को पार करने के क्षण से वर्तमान क्षण तक के समय के दौरान शरीर ने विपरीत दिशा में यात्रा की है टी, - आंदोलन के पूरे समय के लिए विस्थापन वेक्टर का मॉड्यूल, ली- पूरे आंदोलन के दौरान शरीर द्वारा तय किया गया पथ।

3.1.8. -वें सेकंड में आगे बढ़ें।

समय के साथ, शरीर पथ की यात्रा करेगा:

समय के साथ, शरीर पथ की यात्रा करेगा:

फिर, i-वें अंतराल में, शरीर पथ को कवर करेगा:

अंतराल किसी भी समय का हो सकता है। अक्सर साथ

फिर 1 सेकंड में शरीर पथ की यात्रा करता है:

दूसरे सेकंड के लिए:

तीसरे सेकंड के लिए:

यदि हम ध्यान से देखें, तो हम देखेंगे, आदि।

इस प्रकार, हम सूत्र पर पहुँचते हैं:

शब्दों में: समय की क्रमिक अवधियों में शरीर द्वारा कवर किए गए पथ एक दूसरे के साथ विषम संख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में सहसंबंधित होते हैं, और यह उस त्वरण पर निर्भर नहीं करता है जिसके साथ शरीर चलता है। हम इस बात पर जोर देते हैं कि यह संबंध के लिए मान्य है

3.1.9. समान रूप से परिवर्तनशील गति के लिए शरीर समन्वय समीकरण

निर्देशांक समीकरण

प्रारंभिक वेग और त्वरण के अनुमानों के संकेत संबंधित वैक्टर और अक्ष की सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करते हैं बैल.

समस्याओं को हल करने के लिए, अक्ष पर वेग प्रक्षेपण को बदलने के लिए समीकरण को समीकरण में जोड़ना आवश्यक है:

3.2. रेखीय गति के लिए गतिज मात्राओं के रेखांकन

3.3. फ्री फॉल बॉडी

फ्री फॉल का मतलब निम्नलिखित भौतिक मॉडल है:

1) गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में गिरना होता है:

2) कोई वायु प्रतिरोध नहीं है (कार्यों में इसे कभी-कभी "उपेक्षा वायु प्रतिरोध" लिखा जाता है);

3) सभी पिंड, द्रव्यमान की परवाह किए बिना, एक ही त्वरण के साथ गिरते हैं (कभी-कभी वे जोड़ते हैं - "शरीर के आकार की परवाह किए बिना", लेकिन हम केवल एक भौतिक बिंदु की गति पर विचार करते हैं, इसलिए शरीर का आकार अब नहीं लिया जाता है खाते में);

4) मुक्त गिरावट का त्वरण सख्ती से नीचे की ओर निर्देशित होता है और पृथ्वी की सतह पर बराबर होता है (समस्याओं में हम इसे अक्सर गणना की सुविधा के लिए लेते हैं);

3.3.1. अक्ष पर प्रक्षेपण में गति के समीकरण ओए

एक क्षैतिज सीधी रेखा के साथ गति के विपरीत, जब सभी कार्यों से दूर गति की दिशा बदलती है, मुक्त गिरावट में अक्ष पर अनुमानों में लिखे गए समीकरणों का तुरंत उपयोग करना सबसे अच्छा है ओए.

शरीर समन्वय समीकरण:

वेग प्रक्षेपण समीकरण:

एक नियम के रूप में, समस्याओं में धुरी चुनना सुविधाजनक होता है ओएइस अनुसार:

एक्सिस ओएलंबवत ऊपर की ओर निर्देशित;

निर्देशांक की उत्पत्ति पृथ्वी के स्तर या प्रक्षेपवक्र के निम्नतम बिंदु के साथ मेल खाती है।

इस विकल्प के साथ, समीकरण और निम्नलिखित रूप में फिर से लिखे गए हैं:

3.4. एक विमान में आंदोलन ऑक्सी.

हमने एक सीधी रेखा में त्वरण के साथ एक पिंड की गति पर विचार किया है। हालांकि, वर्दी की आवाजाही यहीं तक सीमित नहीं है। उदाहरण के लिए, क्षितिज के कोण पर फेंका गया पिंड। ऐसे कार्यों में, दो कुल्हाड़ियों के साथ एक साथ आंदोलन को ध्यान में रखना आवश्यक है:

या वेक्टर रूप में:

और दोनों अक्षों पर गति के प्रक्षेपण को बदलना:

3.5. व्युत्पन्न और अभिन्न की अवधारणा का अनुप्रयोग

हम यहां व्युत्पन्न और समाकलन की विस्तृत परिभाषा नहीं देंगे। समस्याओं को हल करने के लिए, हमें केवल सूत्रों के एक छोटे से सेट की आवश्यकता होती है।

व्युत्पन्न:

कहाँ पे ए, बीऔर वह स्थिरांक है।

अभिन्न:

अब देखते हैं कि भौतिक राशियों पर व्युत्पन्न और समाकलन की अवधारणा कैसे लागू होती है। गणित में, व्युत्पन्न को """ द्वारा दर्शाया जाता है, भौतिकी में, समय व्युत्पन्न को एक फ़ंक्शन पर "∙" द्वारा दर्शाया जाता है।

रफ़्तार:

अर्थात्, गति त्रिज्या वेक्टर का व्युत्पन्न है।

वेग प्रक्षेपण के लिए:

त्वरण:

यानी त्वरण गति का व्युत्पन्न है।

त्वरण प्रक्षेपण के लिए:

इस प्रकार, यदि गति का नियम ज्ञात हो, तो हम शरीर की गति और त्वरण दोनों को आसानी से पा सकते हैं।

अब हम समाकलन की अवधारणा का उपयोग करते हैं।

रफ़्तार:

अर्थात्, गति को त्वरण के समय समाकलन के रूप में पाया जा सकता है।

त्रिज्या वेक्टर:

अर्थात्, वेग फलन का समाकल लेकर त्रिज्या सदिश ज्ञात किया जा सकता है।

इस प्रकार, यदि फलन ज्ञात है, तो हम शरीर की गति और गति के नियम दोनों को आसानी से पा सकते हैं।

सूत्रों में स्थिरांक प्रारंभिक स्थितियों से निर्धारित होते हैं - मान और समय के क्षण

3.6. वेग त्रिभुज और विस्थापन त्रिभुज

3.6.1. गति त्रिकोण

सदिश रूप में, निरंतर त्वरण पर, वेग परिवर्तन के नियम का रूप (3.5) है:

इस सूत्र का अर्थ है कि सदिश सदिशों के सदिश योग के बराबर होता है और सदिश योग को हमेशा चित्र में दर्शाया जा सकता है (चित्र देखें)।

प्रत्येक कार्य में, परिस्थितियों के आधार पर, वेग त्रिभुज का अपना रूप होगा। इस तरह का प्रतिनिधित्व हल करने में ज्यामितीय विचारों का उपयोग करना संभव बनाता है, जो अक्सर समस्या के समाधान को सरल बनाता है।

3.6.2. आंदोलन त्रिभुज

सदिश रूप में, स्थिर त्वरण पर गति के नियम का रूप है:

समस्या को हल करते समय, आप सबसे सुविधाजनक तरीके से संदर्भ प्रणाली का चयन कर सकते हैं, इसलिए, व्यापकता खोए बिना, हम संदर्भ प्रणाली का चयन कर सकते हैं ताकि, समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति उस बिंदु पर रखी जाए जहां शरीर है प्रारंभिक क्षण में स्थित है। फिर

अर्थात् सदिश, सदिशों के सदिश योग के बराबर होता है और आइए आकृति में ड्रा करें (चित्र देखें)।

पिछले मामले की तरह, स्थितियों के आधार पर, विस्थापन त्रिभुज का अपना रूप होगा। इस तरह का प्रतिनिधित्व हल करने में ज्यामितीय विचारों का उपयोग करना संभव बनाता है, जो अक्सर समस्या के समाधान को सरल बनाता है।

चार्ट

अनुसूची के अनुसार आंदोलन के प्रकार का निर्धारण

1. समान रूप से त्वरित गति समय पर त्वरण मॉड्यूल की निर्भरता के एक ग्राफ से मेल खाती है, जिसे पत्र द्वारा चित्र में दर्शाया गया है

1) ए

2) बी

3) पर

4) जी

2. आंकड़े विभिन्न प्रकार के आंदोलन के लिए समय पर त्वरण मॉड्यूल की निर्भरता के ग्राफ दिखाते हैं। कौन सा ग्राफ एकसमान गति से मेल खाता है?

1 4

3.
धुरी के साथ गतिमान पिंड ओहसीधे और समान रूप से त्वरित, कुछ समय के लिए इसकी गति को 2 गुना कम कर दिया। त्वरण बनाम समय के प्रक्षेपण का कौन सा ग्राफ इस तरह के आंदोलन से मेल खाता है?

1 4

4. पैराशूटिस्ट स्थिर गति से लंबवत नीचे की ओर गति करता है। कौन सा ग्राफ - 1, 2, 3 या 4 - अपने निर्देशांक की निर्भरता को सही ढंग से दर्शाता है यूआंदोलन के समय से टीपृथ्वी की सतह के सापेक्ष? वायु प्रतिरोध पर ध्यान न दें।

1) 3 4) 4

5. समय पर वेग के प्रक्षेपण की निर्भरता का कौन सा ग्राफ (चित्र।) एक निश्चित गति (अक्ष) के साथ लंबवत ऊपर की ओर फेंके गए शरीर की गति के अनुरूप है यूलंबवत ऊपर की ओर निर्देशित)?

13 4) 4

6.
एक पिंड को पृथ्वी की सतह से कुछ प्रारंभिक वेग के साथ लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। समय पर पृथ्वी की सतह से ऊपर पिंड की ऊंचाई की निर्भरता का कौन सा ग्राफ (चित्र।) इस गति के अनुरूप है?

12

अनुसूची के अनुसार आंदोलन की विशेषताओं का निर्धारण और तुलना

7. यह ग्राफ रेक्टिलिनियर गति के लिए समय पर पिंड की गति के प्रक्षेपण की निर्भरता को दर्शाता है। शरीर के त्वरण का प्रक्षेपण निर्धारित करें।

1) - 10 मी/से2

2) - 8 मी/से2

3) 8 मी/से2

4) 10 मी/से2

8. यह आंकड़ा समय पर पिंडों की गति की गति पर निर्भरता का एक ग्राफ दिखाता है। शरीर का त्वरण क्या है?

1) 1 मी/से2

2) 2 मी/से2

3) 3 मी/से2

4) 18 मी/से2

9. वेग प्रक्षेपण बनाम समय की साजिश के अनुसारन ही सबमिट किया गयाआकृति में, एक सीधी रेखा में त्वरण मापांक निर्धारित करेंशरीर में गतिमानसमय का क्षण टी= 2 एस।

1) 2 मी/से2

2) 3 मी/से2

3) 10 मी/से2

4) 27 मी/से2

10. एक्स = 0, और बिंदु B पर बिंदु एक्स = 30 किमी. A से B के रास्ते में बस की गति क्या है?

1) 40 किमी/घंटा

2) 50 किमी/घंटा

3) 60 किमी/घंटा

4) 75 किमी/घंटा

11. यह चित्र बिंदु A से बिंदु B और पीछे जाने के लिए बस की समय सारिणी को दर्शाता है। बिंदु A बिंदु पर है एक्स = 0, और बिंदु B पर बिंदु एक्स = 30 किमी. B से A के रास्ते में बस की गति क्या है?

1) 40 किमी/घंटा

2) 50 किमी/घंटा

3) 60 किमी/घंटा

4) 75 किमी/घंटा

12. कार एक सीधी सड़क पर चल रही है। ग्राफ समय पर कार की गति की निर्भरता को दर्शाता है। त्वरण मापांक समय अंतराल में अधिकतम होता है

1) 0 s से 10 s

2) 10 एस से 20 एस . तक

3) 20s से 30s

फ़ॉन्ट-परिवार: "टाइम्स न्यू रोमन> 4) 30 से 40 के दशक तक

13. चार पिंड एक अक्ष के साथ चलते हैं बैल.यह आंकड़ा वेगों के अनुमानों के रेखांकन दिखाता हैx समय से टीइन निकायों के लिए। कौन सा पिंड सबसे कम मॉड्यूलो त्वरण के साथ आगे बढ़ रहा है?

1) 3 4) 4

14. आंकड़ा पथ निर्भरता ग्राफ दिखाता हैएससमय-समय पर साइकिल चालकटी. उस समय अंतराल का निर्धारण करें जब साइकिल चालक 2.5 मीटर/सेकेंड की गति से आगे बढ़ रहा था।

1) 5 s से 7 s

2) 3 एस से 5 एस

3) 1s से 3s

4) 0 से 1 s

15. यह चित्र अक्ष के अनुदिश गतिमान पिंड के निर्देशांकों की निर्भरता का ग्राफ दिखाता हैहेएक्स, समय से। गति की तुलना करेंवी1 , वी2 औरवी3 कभी-कभी शरीर t1, t2, t3

1) वी1 > वी2 = वी3

2) वी1 > वी2 > वी3

3) वी1 < वी2 < वी3

4) वी 1 = वी 2 > वी 3

16. आंकड़ा गति के प्रक्षेपण की निर्भरता का एक ग्राफ दिखाता हैसमय के साथ शरीर का विकास।

5 से 10 s के समय अंतराल में पिंड के त्वरण का प्रक्षेपण एक ग्राफ द्वारा दर्शाया गया है

13 4) 4

17. एक भौतिक बिंदु त्वरण के साथ एक सीधी रेखा में चलता है, जिसकी समय निर्भरता आकृति में दिखाई गई है। बिंदु की प्रारंभिक गति 0 है। ग्राफ पर कौन सा बिंदु भौतिक बिंदु की अधिकतम गति से मेल खाता है:

1) 2

2) 3

3) 4

4) 5

अनुसूची के अनुसार गतिज निर्भरता का संकलन (समय पर गतिज मात्राओं की निर्भरता के कार्य)

18. अंजीर पर। शरीर के निर्देशांक बनाम समय का एक ग्राफ दिखाता है। इस पिंड की गति के गतिज नियम का निर्धारण करें

1) एक्स( टी) = 2 + 2 टी

2) एक्स( टी) = – 2 – 2 टी

3) एक्स( टी) = 2 – 2 टी

4) एक्स ( टी ) = – 2 + 2 टी

19. किसी पिंड की गति बनाम समय के ग्राफ से, इस शरीर की गति बनाम समय का कार्य निर्धारित करें

1) वीएक्स= – 30 + 10 टी

2) वीएक्स = 30 + 10 टी

3) वी एक्स = 30 – 10 टी

4) वीएक्स = – 30 + 10 टी

अनुसूची के अनुसार विस्थापन और पथ का निर्धारण

20. एक पिंड बनाम समय की गति के ग्राफ से 3 सेकंड में एक गतिमान पिंड द्वारा एक सीधी रेखा में तय किया गया पथ निर्धारित करें।

1) 2 मी

2) 4 मी

3) 18 वर्ग मीटर

4) 36 वर्ग मीटर

21. एक पत्थर को लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। ऊर्ध्वाधर दिशा पर इसके वेग का प्रक्षेपण चित्र में दिए गए ग्राफ के अनुसार समय के साथ बदलता है। पहले 3 सेकंड में पत्थर द्वारा तय की गई दूरी कितनी है?

1) 30 मी

2) 45 वर्ग मीटर

3) 60 वर्ग मीटर

4) 90 मी

22. एक पत्थर को लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। चित्र h.21 में दिए गए ग्राफ के अनुसार समय के साथ ऊर्ध्वाधर दिशा पर इसके वेग का प्रक्षेपण बदलता है। पूरी उड़ान के दौरान पत्थर द्वारा तय की गई दूरी कितनी है?

1) 30 मी

2) 45 मी

3) 60 वर्ग मीटर

4) 90 वर्ग मीटर

23. एक पत्थर को लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। चित्र h.21 में दिए गए ग्राफ के अनुसार समय के साथ ऊर्ध्वाधर दिशा पर इसके वेग का प्रक्षेपण बदलता है। पहले 3 s में पत्थर का विस्थापन क्या है?

1) 0 मी

2) 30 मी

3) 45 वर्ग मीटर

4) 60 मी

24. एक पत्थर को लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाता है। चित्र h.21 में दिए गए ग्राफ के अनुसार समय के साथ ऊर्ध्वाधर दिशा पर इसके वेग का प्रक्षेपण बदलता है। पूरी उड़ान के दौरान पत्थर का विस्थापन कितना होता है?

1) 0 एम

2) 30 मी

3) 60 वर्ग मीटर

4) 90 मी

25. यह आंकड़ा समय पर ऑक्स अक्ष के साथ गतिमान पिंड के वेग के प्रक्षेपण की निर्भरता का एक ग्राफ दिखाता है। t = 10 s समय तक पिंड द्वारा तय किया गया पथ क्या है?

1) 1m

2) 6 मी

3) 7 मी

4) 13 वर्ग मीटर

26. स्थिति: रिश्तेदार; जेड-इंडेक्स:24">ट्रॉली पेपर टेप के साथ आराम से चलना शुरू कर देती है। गाड़ी पर एक ड्रॉपर होता है, जो नियमित अंतराल पर टेप पर पेंट के धब्बे छोड़ता है।

गति बनाम समय का एक ग्राफ चुनें जो गाड़ी की गति का सही वर्णन करता हो।

1 4

समीकरण

27. आपातकालीन ब्रेकिंग के दौरान ट्रॉलीबस की गति समीकरण द्वारा दी गई है: x = 30 + 15t - 2.5t2, मी ट्रॉलीबस का प्रारंभिक निर्देशांक क्या है?

1) 2.5 मी

2) 5 मी

3) 15 मी

4) 30 वर्ग मीटर

28. टेकऑफ़ रन के दौरान विमान की गति समीकरण द्वारा दी गई है: एक्स = 100 + 0.85t2, मी विमान का त्वरण क्या है?

1) 0 मी/से2

2) 0.85 मीटर/एस2

3) 1.7 मी/से2

4) 100 मी/से2

29. यात्री कार की गति समीकरण द्वारा दी गई है: एक्स = 150 + 30t + 0.7t2, मी. कार की आरंभिक गति क्या है?

1) 0.7 मी/से

2) 1.4 मी/से

3) 30 मी/से

4) 150 मी/से

30. समय पर गतिमान पिंड की गति के प्रक्षेपण के लिए समीकरण:वीएक्स= 2 +3t(एमएस)। पिंड के विस्थापन के प्रक्षेपण के लिए संबंधित समीकरण क्या है?

1) एसएक्स = 2 टी + 3 टी2 2) एसएक्स = 4 टी + 3 टी2 3) एसएक्स = टी + 6 टी2 4) एसएक्स = 2 टी + 1,5 टी 2

31. किसी पिंड के लिए समय पर निर्देशांक की निर्भरता समीकरण द्वारा वर्णित है एक्स = 8t - t2. शरीर का वेग किस समय शून्य होता है?

1) 8 एस

2) 4 एस

3) 3 s

4) 0 s

तालिकाएं

32. एक्ससमय के साथ शरीर की एकसमान गति टी:

टी, साथ
एक्स , एम

समय 0 s से mo . तक शरीर किस गति से गति करता हैसमय 4 एस?

1) 0.5 मीटर/सेक

2) 1.5 मी/से

3) 2 एमएस

4) 3 मी/से

33. तालिका निर्देशांक की निर्भरता को दर्शाती है एक्ससमय के साथ शरीर की हलचल टी:

टी, साथ
एक्स, एम

1s से 3s के समय अंतराल में पिंड की औसत चाल ज्ञात कीजिए।

1) 0 मी/से

2) 0.33 एम / एस

3) 0.5 मीटर/सेक

4) 1 मी/से

टी, साथ	0	1	2	3	4	5
एक्स1 एम
x2, एम
x3, एम
x4,एम

किस पिंड का वेग स्थिर हो सकता है और शून्य से भिन्न हो सकता है?

1) 1

35. चार शरीर ऑक्स अक्ष के साथ चले गए। तालिका समय पर उनके निर्देशांक की निर्भरता को दर्शाती है।

टी, साथ	0	1	2	3	4	5
एक्स1 एम
x2, एम
x3, एम
x4,एम

किस पिंड में निरंतर त्वरण हो सकता है और शून्य से भिन्न हो सकता है?

वर्दी आंदोलन- यह एक स्थिर गति से गति है, अर्थात, जब गति नहीं बदलती है (v \u003d const) और कोई त्वरण या मंदी नहीं है (a \u003d 0)।

आयताकार गति- यह एक सीधी रेखा में गति है, अर्थात रेक्टिलिनियर मूवमेंट का प्रक्षेपवक्र एक सीधी रेखा है।

यूनिफ़ॉर्म रेक्टिलिनियर मोशनएक गति है जिसमें शरीर समान समय के अंतराल के लिए समान गति करता है। उदाहरण के लिए, यदि हम कुछ समय अंतराल को एक सेकंड के खंडों में विभाजित करते हैं, तो शरीर एक समान गति के साथ समय के इन खंडों में से प्रत्येक के लिए समान दूरी तय करेगा।

एकसमान रेखीय गति की गति समय पर निर्भर नहीं करती है और प्रक्षेपवक्र के प्रत्येक बिंदु पर उसी तरह निर्देशित होती है जैसे शरीर की गति। अर्थात् विस्थापन सदिश वेग सदिश की दिशा में संपाती होता है। इस मामले में, किसी भी अवधि के लिए औसत गति तात्कालिक गति के बराबर होती है:

एकसमान सीधी गति की गतिएक भौतिक सदिश राशि है जो इस अंतराल t के मान के लिए किसी भी अवधि के लिए शरीर के विस्थापन के अनुपात के बराबर है:

इस प्रकार, एकसमान रेखीय गति की गति दर्शाती है कि एक भौतिक बिंदु समय की प्रति इकाई क्या गति करता है।

चलतीएकसमान रेखीय गति के साथ सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

तय की गई दूरीसरल रेखीय गति में विस्थापन मापांक के बराबर होता है। यदि OX अक्ष की धनात्मक दिशा गति की दिशा से मेल खाती है, तो OX अक्ष पर वेग का प्रक्षेपण वेग के बराबर होता है और धनात्मक होता है:

वी एक्स = वी, यानी वी > 0

OX अक्ष पर विस्थापन का प्रक्षेपण बराबर है:

एस \u003d वीटी \u003d एक्स - एक्स 0

जहाँ x 0 पिंड का प्रारंभिक निर्देशांक है, x पिंड का अंतिम निर्देशांक है (या किसी भी समय पिंड का निर्देशांक)

गति समीकरण, अर्थात्, समय x = x(t) पर शरीर समन्वय की निर्भरता, रूप लेती है:

यदि OX अक्ष की धनात्मक दिशा पिंड की गति की दिशा के विपरीत है, तो OX अक्ष पर पिंड के वेग का प्रक्षेपण ऋणात्मक है, वेग शून्य से कम है (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

समय पर गति, निर्देशांक और पथ की निर्भरता

समय पर शरीर के वेग के प्रक्षेपण की निर्भरता को अंजीर में दिखाया गया है। 1.11 चूंकि गति स्थिर है (v = const), गति ग्राफ समय अक्ष ओटी के समानांतर एक सीधी रेखा है।

चावल। 1.11 एकसमान रेखीय गति के लिए समय पर पिंड के वेग के प्रक्षेपण की निर्भरता।

समन्वय अक्ष पर गति का प्रक्षेपण संख्यात्मक रूप से OABS आयत (चित्र। 1.12) के क्षेत्र के बराबर है, क्योंकि आंदोलन वेक्टर का परिमाण वेग वेक्टर के उत्पाद के बराबर है और उस समय के दौरान आंदोलन था बनाया।

चावल। 1.12. एकसमान सीधा गति के लिए समय पर शरीर की गति के प्रक्षेपण की निर्भरता।

विस्थापन बनाम समय का प्लॉट अंजीर में दिखाया गया है। 1.13. यह ग्राफ से देखा जा सकता है कि वेग प्रक्षेपण के बराबर है

वी = एस 1 / टी 1 = टीजी α

जहां α समय अक्ष पर ग्राफ के झुकाव का कोण है।

जितना बड़ा कोण α, उतनी ही तेजी से शरीर चलता है, यानी उसकी गति जितनी अधिक होती है (शरीर उतनी ही कम समय में यात्रा करता है)। समय पर निर्देशांक की निर्भरता के ग्राफ के स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा गति के बराबर होती है:

चावल। 1.13. एकसमान सीधा गति के लिए समय पर शरीर की गति के प्रक्षेपण की निर्भरता।

समय पर निर्देशांक की निर्भरता को अंजीर में दिखाया गया है। 1.14. चित्र से यह देखा जा सकता है कि

टीजी α 1 > टीजी α 2

इसलिए, शरीर 1 की गति शरीर 2 (v 1> v 2) की गति से अधिक है।

टीजी α 3 = वी 3< 0

यदि पिंड विरामावस्था में है, तो निर्देशांक का आलेख समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है, अर्थात्

चावल। 1.14. शरीर की निर्भरता एकसमान रेखीय गति के लिए समय पर समन्वय करती है।

कोणीय और रैखिक मूल्यों के बीच संबंध

एक घूर्णन पिंड के अलग-अलग बिंदुओं में अलग-अलग रैखिक वेग होते हैं। प्रत्येक बिंदु की गति, संबंधित वृत्त पर स्पर्शरेखा के रूप में निर्देशित होने के कारण, लगातार अपनी दिशा बदलती रहती है। गति का परिमाण पिंड के घूर्णन की गति और घूर्णन के अक्ष से विचाराधीन बिंदु की दूरी R द्वारा निर्धारित किया जाता है। शरीर को थोड़े समय में एक कोण से घूमने दें (चित्र 2.4)। अक्ष से R दूरी पर स्थित एक बिंदु के बराबर पथ की यात्रा करता है

परिभाषा के अनुसार एक बिंदु की रैखिक गति।

स्पर्शरेखा त्वरण

समान संबंध (2.6) का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

इस प्रकार, घूर्णन के अक्ष से बिंदु की दूरी के साथ सामान्य और स्पर्शरेखा त्वरण दोनों रैखिक रूप से बढ़ते हैं।

बुनियादी अवधारणाओं।

आवधिक दोलनएक प्रक्रिया जिसमें एक प्रणाली (उदाहरण के लिए, यांत्रिक) एक निश्चित अवधि के बाद उसी स्थिति में लौट आती है, कहलाती है। समय की इस अवधि को दोलन काल कहा जाता है।

बहाल बल- वह बल जिसके तहत दोलन प्रक्रिया होती है। यह बल आराम की स्थिति से विचलित शरीर या भौतिक बिंदु को उसकी मूल स्थिति में वापस कर देता है।

एक दोलनशील पिंड पर प्रभाव की प्रकृति के आधार पर, मुक्त (या प्राकृतिक) कंपन और मजबूर कंपन को प्रतिष्ठित किया जाता है।

मुक्त कंपनयह तब होता है जब दोलन करने वाले पिंड पर केवल प्रत्यानयन बल कार्य करता है। इस घटना में कि कोई ऊर्जा अपव्यय नहीं होता है, मुक्त दोलनों को बिना ढके रखा जाता है। हालांकि, वास्तविक दोलन प्रक्रियाओं को कम किया जाता है, क्योंकि एक दोलनशील पिंड गति के प्रतिरोध की ताकतों (मुख्य रूप से घर्षण बल) से प्रभावित होता है।

मजबूर कंपनबाहरी समय-समय पर बदलती शक्ति की कार्रवाई के तहत किया जाता है, जिसे प्रेरक शक्ति कहा जाता है। कई मामलों में, सिस्टम दोलन करते हैं जिन्हें हार्मोनिक माना जा सकता है।

हार्मोनिक कंपनऐसी दोलन गति कहलाती है जिसमें शरीर का संतुलन स्थिति से विस्थापन साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार किया जाता है:

भौतिक अर्थ को स्पष्ट करने के लिए, एक वृत्त पर विचार करें और OK त्रिज्या को कोणीय वेग ω वामावर्त (7.1) तीर से घुमाएँ। यदि समय के प्रारंभिक क्षण में OK क्षैतिज तल में स्थित है, तो समय t के बाद यह एक कोण से खिसक जाएगा। यदि प्रारंभिक कोण शून्येतर है और के बराबर है φ 0 , तो रोटेशन का कोण बराबर होगा XO अक्ष पर प्रक्षेपण 1 के बराबर है। जैसे ही ओके रेडियस घूमता है, प्रोजेक्शन वैल्यू बदल जाती है, और पॉइंट पॉइंट के सापेक्ष दोलन करेगा - ऊपर, नीचे, आदि। इस मामले में, x का अधिकतम मान A के बराबर है और इसे दोलन आयाम कहा जाता है; - वृत्ताकार या चक्रीय आवृत्ति; - दोलन चरण; - प्रारंभिक चरण। वृत्त के अनुदिश बिंदु K के एक चक्कर के लिए, इसका प्रक्षेपण एक पूर्ण दोलन करेगा और प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाएगा।

अवधि टीएक पूर्ण दोलन का समय है। समय टी के बाद, दोलनों को चिह्नित करने वाली सभी भौतिक मात्राओं के मूल्यों को दोहराया जाता है। एक आवर्त में, एक दोलन बिंदु संख्यात्मक रूप से चार आयामों के बराबर पथ की यात्रा करता है।

कोणीय गतिइस शर्त से निर्धारित किया जाता है कि अवधि T के लिए त्रिज्या OK एक चक्कर लगाएगी, अर्थात। 2π रेडियन के कोण से घूमेगा:

दोलन आवृत्ति- एक सेकंड में एक बिंदु के दोलनों की संख्या, अर्थात्। दोलन आवृत्ति को दोलन अवधि के पारस्परिक के रूप में परिभाषित किया गया है:

स्प्रिंग पेंडुलम लोचदार बल।

एक स्प्रिंग पेंडुलम में एक स्प्रिंग और एक क्षैतिज छड़ पर रखी एक विशाल गेंद होती है जिसके साथ वह स्लाइड कर सकती है। एक छेद वाली गेंद को स्प्रिंग पर चढ़ाने दें, जो गाइड अक्ष (रॉड) के साथ स्लाइड करती है। अंजीर पर। 7.2a आराम की स्थिति में गेंद की स्थिति को दर्शाता है; अंजीर में। 7.2, बी - अधिकतम संपीड़न और अंजीर में। 7.2, - गेंद की मनमानी स्थिति।

संपीडन बल के बराबर प्रत्यानयन बल की क्रिया के तहत गेंद दोलन करेगी। संपीड़न बल F \u003d -kx, जहां k वसंत कठोरता का गुणांक है। ऋण चिह्न दर्शाता है कि बल F की दिशा और विस्थापन x विपरीत हैं। एक संपीड़ित वसंत की संभावित ऊर्जा

गतिज।

गेंद की गति का समीकरण व्युत्पन्न करने के लिए x और t को जोड़ना आवश्यक है। निष्कर्ष ऊर्जा के संरक्षण के नियम पर आधारित है। कुल यांत्रिक ऊर्जा प्रणाली की गतिज और स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है। इस मामले में:

. स्थिति बी): .

चूँकि विचाराधीन गति में यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण का नियम पूरा होता है, हम लिख सकते हैं:

. आइए यहां से गति को परिभाषित करें:

लेकिन बदले में, और इसलिए . अलग चर . इस अभिव्यक्ति को एकीकृत करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: ,

एकीकरण की निरंतरता कहां है। यह बाद से इस प्रकार है कि

इस प्रकार, एक लोचदार बल की क्रिया के तहत, शरीर हार्मोनिक दोलन करता है। लोचदार से भिन्न प्रकृति के बल, लेकिन जिनमें F = -kx की स्थिति संतुष्ट होती है, अर्ध-लोचदार कहलाते हैं। इन बलों के प्रभाव में, पिंड भी हार्मोनिक दोलन करते हैं। जिसमें:

पक्षपात:
रफ़्तार:
त्वरण:

गणितीय पेंडुलम।

एक गणितीय पेंडुलम एक भारहीन भारहीन धागे पर निलंबित एक भौतिक बिंदु है, जो गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत एक ऊर्ध्वाधर विमान में दोलन करता है।

इस तरह के एक पेंडुलम को द्रव्यमान m की एक भारी गेंद माना जा सकता है, जिसे एक पतले धागे पर लटकाया जाता है, जिसकी लंबाई l गेंद के आकार से बहुत बड़ी होती है। यदि इसे ऊर्ध्वाधर रेखा से कोण α (चित्र 7.3.) द्वारा विक्षेपित किया जाता है, तो बल F के प्रभाव में - भार P के घटकों में से एक, यह दोलन करेगा। धागे के साथ निर्देशित अन्य घटक को ध्यान में नहीं रखा जाता है, क्योंकि स्ट्रिंग में तनाव से संतुलित। छोटे विस्थापन कोणों पर, x-निर्देशांक को क्षैतिज दिशा में गिना जा सकता है। चित्र 7.3 से यह देखा जा सकता है कि धागे के लंबवत भार घटक बराबर है

दाईं ओर ऋण चिह्न का अर्थ है कि बल F कोण α को कम करने की दिशा में निर्देशित है। कोण की लघुता को ध्यान में रखते हुए α

गणितीय और भौतिक लोलक की गति के नियम को व्युत्पन्न करने के लिए, हम घूर्णी गति की गतिकी के लिए मूल समीकरण का उपयोग करते हैं

बिंदु O: के सापेक्ष बल का क्षण और जड़ता का क्षण: एम = एफएल. निष्क्रियता के पल जेइस मामले में कोणीय त्वरण:

इन मूल्यों को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है:

उनका निर्णय ,

जैसा कि आप देख सकते हैं, गणितीय लोलक के दोलन की अवधि उसकी लंबाई और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण पर निर्भर करती है और दोलनों के आयाम पर निर्भर नहीं करती है।

नम कंपन।

सभी वास्तविक ऑसिलेटरी सिस्टम अपव्यय होते हैं। ऐसी प्रणाली के यांत्रिक दोलनों की ऊर्जा धीरे-धीरे घर्षण बलों के खिलाफ काम पर खर्च की जाती है, इसलिए मुक्त दोलन हमेशा नम हो जाते हैं - उनका आयाम धीरे-धीरे कम हो जाता है। कई मामलों में, जब कोई शुष्क घर्षण नहीं होता है, तो पहले सन्निकटन में यह माना जा सकता है कि गति की कम गति पर, यांत्रिक कंपनों को कम करने वाले बल गति के समानुपाती होते हैं। इन बलों, उनकी उत्पत्ति की परवाह किए बिना, प्रतिरोध बल कहलाते हैं।

आइए इस समीकरण को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखें:

और निरूपित करें:

जहां आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है जिसके साथ मध्यम प्रतिरोध की अनुपस्थिति में प्रणाली के मुक्त दोलन होंगे, अर्थात। r = 0 पर। इस आवृत्ति को सिस्टम की प्राकृतिक दोलन आवृत्ति कहा जाता है; β - भिगोना कारक। फिर

हम इस रूप में समीकरण (7.19) के समाधान की तलाश करेंगे जहां यू टी का कुछ कार्य है।

हम समय टी के संबंध में इस अभिव्यक्ति को दो बार अलग करते हैं और, पहले और दूसरे डेरिवेटिव के मूल्यों को समीकरण (7.19) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

इस समीकरण का हल अनिवार्य रूप से U पर गुणांक के चिह्न पर निर्भर करता है। उस स्थिति पर विचार करें जब यह गुणांक धनात्मक हो। हम संकेतन का परिचय देते हैं फिर वास्तविक के साथ, इस समीकरण का हल, जैसा कि हम जानते हैं, फलन है

इस प्रकार, माध्यम के कम प्रतिरोध के मामले में, समीकरण (7.19) का समाधान कार्य होगा

इस फ़ंक्शन का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 7.8. बिंदीदार रेखाएं उन सीमाओं को दर्शाती हैं जिनके भीतर दोलन बिंदु का विस्थापन स्थित है। मात्रा को अपव्यय प्रणाली की प्राकृतिक चक्रीय दोलन आवृत्ति कहा जाता है। नम दोलन गैर-आवधिक दोलन हैं, क्योंकि वे कभी नहीं दोहराते हैं, उदाहरण के लिए, विस्थापन, वेग और त्वरण के अधिकतम मान। मान को आमतौर पर नम दोलनों की अवधि कहा जाता है, अधिक सही ढंग से, नम दोलनों की सशर्त अवधि,

अवधि T के बराबर समय अंतराल के बाद एक दूसरे का अनुसरण करने वाले विस्थापन आयामों के अनुपात का प्राकृतिक लघुगणक लघुगणक अवमंदन कमी कहलाता है।

आइए हम उस समय अंतराल को से निरूपित करें जिसके दौरान दोलन आयाम ई के एक कारक से कम हो जाता है। फिर

इसलिए, अवमंदन गुणांक एक भौतिक मात्रा है जो समय अंतराल के व्युत्क्रमानुपाती होती है, जिसके दौरान आयाम ई के एक कारक से कम हो जाता है। मान τ को विश्राम समय कहा जाता है।

मान लीजिए कि एन दोलनों की संख्या है जिसके बाद आयाम ई के एक कारक से कम हो जाता है। तब

नतीजतन, लॉगरिदमिक डंपिंग कमी एक भौतिक मात्रा है जो दोलनों की संख्या के लिए पारस्परिक है, जिसके बाद ई के कारक से आयाम घट जाता है

मजबूर कंपन।

मजबूर दोलनों के मामले में, सिस्टम एक बाहरी (मजबूर) बल की कार्रवाई के तहत दोलन करता है, और इस बल के काम के कारण, सिस्टम के ऊर्जा नुकसान की समय-समय पर भरपाई की जाती है। मजबूर दोलनों की आवृत्ति (बाध्यकारी आवृत्ति) बाहरी बल के परिवर्तन की आवृत्ति पर निर्भर करती है।

इस बल को समय के साथ कानून के अनुसार बदलने दें, ड्राइविंग बल का आयाम कहां है। प्रत्यानयन बल और प्रतिरोध बल तब न्यूटन के द्वितीय नियम को निम्न रूप में लिखा जा सकता है।

यूनिफ़ॉर्म रेक्टिलिनियर मोशनयह असमान गति का एक विशेष मामला है।

असमान आंदोलन- यह एक ऐसी गति है जिसमें एक पिंड (भौतिक बिंदु) समय के समान अंतराल में असमान गति करता है। उदाहरण के लिए, एक सिटी बस असमान रूप से चलती है, क्योंकि इसकी गति में मुख्य रूप से त्वरण और मंदी होती है।

समान-परिवर्तनीय गति- यह एक ऐसी गति है जिसमें किसी पिंड की गति (भौतिक बिंदु) किसी भी समान समय अंतराल के लिए उसी तरह बदलती रहती है।

एकसमान गति में किसी पिंड का त्वरणपरिमाण और दिशा में स्थिर रहता है (a = const)।

समान गति को समान रूप से त्वरित या समान रूप से धीमा किया जा सकता है।

समान रूप से त्वरित गति- यह एक सकारात्मक त्वरण के साथ एक पिंड (भौतिक बिंदु) की गति है, अर्थात इस तरह की गति के साथ, शरीर निरंतर त्वरण के साथ गति करता है। समान रूप से त्वरित गति के मामले में, शरीर के वेग का मापांक समय के साथ बढ़ता है, त्वरण की दिशा गति के वेग की दिशा के साथ मेल खाती है।

समान रूप से धीमी गति- यह नकारात्मक त्वरण के साथ एक पिंड (भौतिक बिंदु) की गति है, अर्थात इस तरह की गति के साथ, शरीर समान रूप से धीमा हो जाता है। समान रूप से धीमी गति के साथ, वेग और त्वरण वैक्टर विपरीत होते हैं, और वेग का मापांक समय के साथ घटता जाता है।

यांत्रिकी में, किसी भी सीधी गति को त्वरित किया जाता है, इसलिए धीमी गति केवल समन्वय प्रणाली के चयनित अक्ष पर त्वरण वेक्टर के प्रक्षेपण के संकेत से ही त्वरित गति से भिन्न होती है।

परिवर्तनशील गति की औसत गतिशरीर की गति को उस समय से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है जिसके दौरान यह आंदोलन किया गया था। औसत चाल का मात्रक m/s होता है।

वी सीपी = एस / टी

- यह एक निश्चित समय पर या प्रक्षेपवक्र के किसी दिए गए बिंदु पर शरीर की गति (भौतिक बिंदु) है, यानी वह सीमा जिसके लिए औसत गति समय अंतराल में अनंत कमी के साथ होती है t:

तात्कालिक वेग वेक्टरसमय के संबंध में एकसमान गति को विस्थापन वेक्टर के पहले व्युत्पन्न के रूप में पाया जा सकता है:

वेग वेक्टर प्रक्षेपणओएक्स अक्ष पर:

वी एक्स = एक्स'

यह समय के संबंध में निर्देशांक का व्युत्पन्न है (अन्य समन्वय अक्षों पर वेग वेक्टर के अनुमान इसी तरह प्राप्त होते हैं)।

- यह एक ऐसा मान है जो शरीर की गति में परिवर्तन की दर को निर्धारित करता है, अर्थात, समय अंतराल में अनंत कमी के साथ गति में परिवर्तन की सीमा t:

एकसमान गति का त्वरण वेक्टरसमय के संबंध में वेग वेक्टर के पहले व्युत्पन्न के रूप में या समय के संबंध में विस्थापन वेक्टर के दूसरे व्युत्पन्न के रूप में पाया जा सकता है:

यदि शरीर शरीर के प्रक्षेपवक्र के साथ दिशा में मेल खाने वाले एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के ओएक्स अक्ष के साथ सीधा चलता है, तो इस अक्ष पर वेग वेक्टर का प्रक्षेपण सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

वी एक्स = वी 0x ± एक एक्स टी

त्वरण वेक्टर के प्रक्षेपण के सामने "-" (ऋण) चिन्ह समान रूप से धीमी गति को दर्शाता है। अन्य निर्देशांक अक्षों पर वेग वेक्टर के अनुमानों के समीकरण इसी तरह लिखे गए हैं।

चूँकि त्वरण समान रूप से परिवर्तनशील गति के साथ स्थिर (a \u003d const) है, त्वरण ग्राफ 0t अक्ष (समय अक्ष, चित्र 1.15) के समानांतर एक सीधी रेखा है।

चावल। 1.15. समय पर शरीर के त्वरण की निर्भरता।

गति बनाम समयएक रैखिक फलन है, जिसका आलेख एक सीधी रेखा है (चित्र 1.16)।

चावल। 1.16. समय पर शरीर की गति पर निर्भरता।

गति बनाम समय का ग्राफ(चित्र 1.16) दर्शाता है कि

इस मामले में, विस्थापन संख्यात्मक रूप से 0abc (चित्र। 1.16) के क्षेत्र के बराबर है।

एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों की लंबाई के गुणा के योग का आधा होता है। समलम्ब चतुर्भुज 0abc के आधार संख्यात्मक रूप से बराबर हैं:

0ए = वी 0बीसी = वी

समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई t है। इस प्रकार, समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्र, और इसलिए OX अक्ष पर विस्थापन का प्रक्षेपण, के बराबर है:

समान रूप से धीमी गति के मामले में, त्वरण का प्रक्षेपण ऋणात्मक होता है, और विस्थापन के प्रक्षेपण के सूत्र में, "-" (ऋण) चिह्न त्वरण के सामने रखा जाता है।

विभिन्न त्वरणों पर समय पर शरीर की गति की निर्भरता का ग्राफ अंजीर में दिखाया गया है। 1.17. समय पर विस्थापन की निर्भरता का ग्राफ v0 = 0 पर अंजीर में दिखाया गया है। 1.18.

चावल। 1.17. त्वरण के विभिन्न मूल्यों के लिए समय पर शरीर की गति की निर्भरता।

चावल। 1.18. समय पर शरीर के विस्थापन की निर्भरता।

एक निश्चित समय पर शरीर की गति t 1 ग्राफ के स्पर्शरेखा और समय अक्ष v \u003d tg α के बीच झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है, और गति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

यदि पिंड की गति का समय अज्ञात है, तो आप दो समीकरणों की प्रणाली को हल करके दूसरे विस्थापन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

यह हमें विस्थापन प्रक्षेपण के लिए एक सूत्र प्राप्त करने में मदद करेगा:

चूंकि किसी भी समय शरीर का समन्वय प्रारंभिक समन्वय और विस्थापन प्रक्षेपण के योग से निर्धारित होता है, यह इस तरह दिखेगा:

x(t) निर्देशांक का ग्राफ भी एक परवलय है (जैसा कि विस्थापन ग्राफ है), लेकिन परवलय का शीर्ष आमतौर पर मूल बिंदु से मेल नहीं खाता है। एक x . के लिए< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

हम यह दिखाएंगे कि आप वेग बनाम समय के ग्राफ का उपयोग करके पिंड द्वारा तय किया गया पथ कैसे ज्ञात कर सकते हैं।

आइए सबसे सरल मामले से शुरू करें - एकसमान गति। चित्र 6.1 v(t) - गति बनाम समय का एक प्लॉट दिखाता है। यह समय के आधार के समानांतर एक सीधी रेखा का एक खंड है, क्योंकि एकसमान गति के साथ गति स्थिर होती है।

इस ग्राफ के नीचे संलग्न आकृति एक आयत है (यह आकृति में छायांकित है)। इसका क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से गति v और गति t के समय के गुणनफल के बराबर है। दूसरी ओर, उत्पाद vt शरीर द्वारा तय किए गए पथ l के बराबर है। तो, एकसमान गति के साथ

पथ संख्यात्मक रूप से वेग बनाम समय के ग्राफ के नीचे संलग्न आकृति के क्षेत्रफल के बराबर है।

आइए अब हम दिखाते हैं कि असमान गति में भी यह उल्लेखनीय गुण होता है।

उदाहरण के लिए, गति बनाम समय का ग्राफ चित्र 6.2 में दिखाए गए वक्र जैसा दिखता है।

आइए हम मानसिक रूप से आंदोलन के पूरे समय को ऐसे छोटे अंतराल में विभाजित करें कि उनमें से प्रत्येक के दौरान शरीर की गति को लगभग एक समान माना जा सके (यह विभाजन चित्र 6.2 में धराशायी रेखाओं द्वारा दिखाया गया है)।

फिर ऐसे प्रत्येक अंतराल के लिए तय किया गया पथ संख्यात्मक रूप से ग्राफ के संगत गांठ के नीचे के आंकड़े के क्षेत्रफल के बराबर होता है। इसलिए, पूरा पथ पूरे ग्राफ के नीचे संलग्न आंकड़ों के क्षेत्रफल के बराबर है। (जिस तकनीक का हमने उपयोग किया है, वह अभिन्न कलन का आधार है, जिसकी मूल बातें आप "कैलकुलस की शुरुआत" पाठ्यक्रम में सीखेंगे।)

2. रेक्टिलिनर में पथ और विस्थापन समान रूप से त्वरित गति

आइए, अब हम ऊपर वर्णित विधि को एकसमान रूप से त्वरित गति को सीधा करने के लिए पथ खोजने के लिए लागू करते हैं।

शरीर की प्रारंभिक गति शून्य है

आइए एक्स-अक्ष को शरीर के त्वरण की ओर निर्देशित करें। फिर एक एक्स = ए, वी एक्स = वी। इसलिये,

चित्र 6.3 v(t) का एक प्लॉट दिखाता है।

1. आकृति 6.3 का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि बिना प्रारंभिक गति के एक समान रूप से त्वरित गति में पथ l को त्वरण मापांक a और गति के समय t के रूप में सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है।

एल = at2/2। (2)

मुख्य निष्कर्ष:

एक प्रारंभिक गति के बिना एक समान रूप से त्वरित गति में, शरीर द्वारा यात्रा किया गया पथ गति के समय के वर्ग के समानुपाती होता है।

यह समान रूप से त्वरित गति वर्दी से काफी भिन्न होती है।

चित्र 6.4 दो निकायों के लिए पथ बनाम समय ग्राफ़ दिखाता है, जिनमें से एक समान रूप से चलता है, और दूसरा बिना प्रारंभिक वेग के समान रूप से त्वरित होता है।

2. चित्र 6.4 को देखिए और प्रश्नों के उत्तर दीजिए।
a) समान रूप से गतिमान पिंड के लिए ग्राफ किस रंग का होता है?
बी) इस शरीर का त्वरण क्या है?
ग) उस समय पिंडों के वेग क्या हैं जब उन्होंने एक ही पथ की यात्रा की है?
d) किस समय पिंडों के वेग समान होते हैं?

3. शुरू में, कार ने पहले 4 सेकंड में 20 मीटर की दूरी तय की। कार की गति को सीधा और समान रूप से त्वरित मानें। कार के त्वरण की गणना किए बिना, निर्धारित करें कि कार कितनी दूर यात्रा करेगी:
ए) 8 एस में? बी) 16 एस में? सी) 2 एस में?

आइए अब समय पर विस्थापन प्रक्षेपण s x की निर्भरता ज्ञात करें। इस मामले में, एक्स-अक्ष पर त्वरण प्रक्षेपण सकारात्मक है, इसलिए s x = l, a x = a। इस प्रकार, सूत्र (2) से यह निम्नानुसार है:

एस एक्स \u003d एक एक्स टी 2 / 2। (3)

सूत्र (2) और (3) बहुत समान हैं, जो कभी-कभी साधारण समस्याओं को हल करते समय त्रुटियों की ओर ले जाते हैं। मुद्दा यह है कि विस्थापन प्रक्षेपण मूल्य नकारात्मक हो सकता है। तो यह होगा यदि x-अक्ष को विस्थापन के विपरीत निर्देशित किया जाता है: तो s x< 0. А путь отрицательным быть не может!

4. चित्र 6.5 किसी पिंड के लिए यात्रा समय और विस्थापन प्रक्षेपण के रेखांकन दिखाता है। विस्थापन प्रक्षेपण ग्राफ किस रंग का होता है?

पिंड का प्रारंभिक वेग शून्य नहीं है

याद रखें कि इस मामले में, समय पर वेग प्रक्षेपण की निर्भरता सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

वी एक्स = वी 0x + ए एक्स टी, (4)

जहाँ v 0x x अक्ष पर प्रारंभिक वेग का प्रक्षेपण है।

हम आगे के मामले पर विचार करेंगे जब v 0x> 0, a x> 0. इस मामले में, हम फिर से इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि पथ संख्यात्मक रूप से वेग बनाम समय के ग्राफ के तहत आकृति के क्षेत्र के बराबर है। (शुरुआती वेग और त्वरण के प्रक्षेपण के संकेतों के अन्य संयोजनों पर विचार करें: परिणाम समान सामान्य सूत्र (5) होगा।

चित्र 6.6 v 0x> 0, a x> 0 के लिए v x (t) का एक प्लॉट दिखाता है।

5. आकृति 6.6 का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि प्रारंभिक गति के साथ एक समान रूप से त्वरित गति के साथ, विस्थापन प्रक्षेपण

एस एक्स \u003d वी 0x + ए एक्स टी 2 / 2। (5)

यह सूत्र आपको समय पर शरीर के x-निर्देशांक की निर्भरता का पता लगाने की अनुमति देता है। स्मरण करो (देखें सूत्र (6), 2) कि पिंड का निर्देशांक x संबंध द्वारा उसके विस्थापन s x के प्रक्षेपण से संबंधित है

एस एक्स \u003d एक्स - एक्स 0,

जहाँ x 0 पिण्ड का प्रारंभिक निर्देशांक है। इसलिये,

एक्स = एक्स 0 + एस एक्स, (6)

सूत्र (5), (6) से हम प्राप्त करते हैं:

एक्स = एक्स 0 + वी 0x टी + ए एक्स टी 2 / 2। (7)

6. x अक्ष के अनुदिश गतिमान किसी पिंड के लिए समय पर निर्देशांक की निर्भरता को सूत्र x = 6 - 5t + t 2 द्वारा SI इकाइयों में व्यक्त किया जाता है।
ए) शरीर का प्रारंभिक समन्वय क्या है?
बी) एक्स-अक्ष पर प्रारंभिक वेग का प्रक्षेपण क्या है?
ग) x-अक्ष पर त्वरण का प्रक्षेपण क्या है?
d) x निर्देशांक बनाम समय का आलेख खींचिए।
ई) वेग बनाम समय के प्रक्षेपण का एक ग्राफ बनाएं।
ई) शरीर की गति शून्य के बराबर कब होती है?
छ) क्या शरीर प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाएगा? यदि हां, तो किस समय (समयों) पर?
ज) क्या शरीर मूल से होकर गुजरेगा? यदि हां, तो किस समय (समयों) पर?
i) विस्थापन प्रक्षेपण बनाम समय का आलेख खींचिए।
j) पथ बनाम समय का आलेख खींचिए।

3. पथ और गति के बीच संबंध

समस्याओं को हल करते समय, पथ, त्वरण और गति (प्रारंभिक v 0, अंतिम v या दोनों) के बीच संबंध अक्सर उपयोग किया जाता है। आइए इन संबंधों को प्राप्त करें। आइए प्रारंभिक गति के बिना आंदोलन से शुरू करें। सूत्र (1) से हम गति के समय के लिए प्राप्त करते हैं:

हम इस व्यंजक को पथ के लिए सूत्र (2) में प्रतिस्थापित करते हैं:

एल \u003d 2/2 \u003d ए / 2 (वी / ए) 2 \u003d वी 2/2 ए। (नौ)

मुख्य निष्कर्ष:

एक प्रारंभिक गति के बिना एक समान रूप से त्वरित गति में, शरीर द्वारा यात्रा की गई पथ अंतिम वेग के वर्ग के समानुपाती होता है।

7. एक स्टॉप से ​​शुरू होकर, कार ने 40 मीटर के पथ पर 10 मीटर/सेकेंड की गति पकड़ी। कार की गति को सीधा और समान रूप से त्वरित मानें। कार के त्वरण की गणना किए बिना, निर्धारित करें कि गति की शुरुआत से कार कितनी दूरी तय करती है जब इसकी गति बराबर थी: a) 20 m/s? बी) 40 मीटर/सेकेंड? ग) 5 मीटर/सेक?

संबंध (9) यह याद करके भी प्राप्त किया जा सकता है कि पथ संख्यात्मक रूप से समय पर गति की निर्भरता के ग्राफ के तहत संलग्न आकृति के क्षेत्र के बराबर है (चित्र। 6.7)।

यह विचार आपको निम्नलिखित कार्य से आसानी से निपटने में मदद करेगा।

8. चित्र 6.8 का उपयोग करते हुए, साबित करें कि निरंतर त्वरण के साथ ब्रेक लगाने पर, शरीर पथ l t \u003d v 0 2 / 2a को पूरी तरह से रोक देता है, जहां v 0 शरीर की प्रारंभिक गति है, a त्वरण मॉड्यूल है।

किसी वाहन (कार, ट्रेन) के ब्रेक लगाने की स्थिति में, पूर्ण विराम तक जाने वाले मार्ग को ब्रेकिंग दूरी कहा जाता है। कृपया ध्यान दें: प्रारंभिक गति v 0 पर ब्रेकिंग दूरी और एक ही त्वरण के साथ गति से गति v 0 तक त्वरण के दौरान तय की गई दूरी एक मॉड्यूलो समान होती है।

9. शुष्क फुटपाथ पर आपातकालीन ब्रेक लगाने के दौरान, कार का त्वरण मॉड्यूलो 5 m/s 2 होता है। प्रारंभिक गति से कार की रुकने की दूरी कितनी है: a) 60 किमी/घंटा (शहर में अधिकतम अनुमत गति); बी) 120 किमी/घंटा? बर्फ के दौरान संकेतित गति से रुकने की दूरी ज्ञात कीजिए, जब त्वरण मापांक 2 m/s 2 हो। रुकने की दूरी की तुलना कक्षा की लंबाई से करें।

10. आकृति 6.9 और एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल को उसकी ऊँचाई और आधारों के योग के आधे योग के रूप में व्यक्त करने वाले सूत्र का उपयोग करके, सिद्ध कीजिए कि एक समान रूप से त्वरित गति के साथ:
a) l \u003d (v 2 - v 0 2) / 2a, यदि शरीर की गति बढ़ जाती है;
बी) एल \u003d (वी 0 2 - वी 2) / 2 ए, अगर शरीर की गति कम हो जाती है।

11. सिद्ध कीजिए कि विस्थापन के अनुमान, प्रारंभिक और अंतिम गति और त्वरण संबंध से संबंधित हैं

एस एक्स \u003d (वी एक्स 2 - वी 0x 2) / 2ax (10)

12. 200 मीटर के पथ पर एक कार 10 मीटर/सेकेंड से 30 मीटर/सेकेंड की गति से तेज हो गई।
क) कार कितनी तेजी से आगे बढ़ रही थी?
ख) कार को निर्दिष्ट दूरी तय करने में कितना समय लगा?
ग) कार की औसत गति क्या है?

अतिरिक्त प्रश्न और कार्य

13. चलती ट्रेन से आखिरी कार को हटा दिया जाता है, जिसके बाद ट्रेन समान रूप से चलती है, और कार पूरी तरह से रुकने तक निरंतर त्वरण के साथ चलती है।
क) एक ट्रेन और एक कार के लिए गति बनाम समय के एक आरेखण रेखांकन पर ड्रा करें।
ख) कार द्वारा स्टॉप तक तय की गई दूरी ट्रेन द्वारा समान समय में तय की गई दूरी से कितनी गुना कम है?

14. स्टेशन से प्रस्थान करते हुए, ट्रेन ने कुछ समय के लिए समान रूप से यात्रा की, फिर 1 मिनट के लिए - समान रूप से 60 किमी / घंटा की गति से, फिर समान रूप से अगले स्टेशन पर एक स्टॉप के लिए त्वरित गति से। त्वरण और मंदी के दौरान त्वरण मॉड्यूल अलग थे। ट्रेन ने 2 मिनट में स्टेशनों के बीच यात्रा की।
क) समय पर ट्रेन की गति के प्रक्षेपण की निर्भरता का एक योजनाबद्ध आरेख बनाएं।
ख) इस ग्राफ का उपयोग करके स्टेशनों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
ग) यदि रेलगाड़ी पथ के पहले खंड पर तेज हो जाती है और दूसरे खंड पर धीमी हो जाती है, तो वह कितनी दूरी तय करेगी? इसकी अधिकतम गति क्या होगी?

15. पिंड x-अक्ष के अनुदिश एकसमान रूप से गति करता है। प्रारंभिक क्षण में, यह निर्देशांक के मूल में था, और इसके वेग का प्रक्षेपण 8 m/s के बराबर था। 2 सेकंड के बाद, शरीर का निर्देशांक 12 मीटर के बराबर हो गया।
ए) शरीर के त्वरण का प्रक्षेपण क्या है?
बी) प्लॉट वी एक्स (टी)।
c) SI इकाइयों में निर्भरता x(t) को व्यक्त करने वाला एक सूत्र लिखिए।
d) क्या शरीर की गति शून्य होगी? यदि हां, तो किस समय पर ?
ई) क्या शरीर दूसरी बार समन्वय 12 मीटर के साथ बिंदु पर जाएगा? यदि हां, तो किस समय पर ?
च) क्या शरीर प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाएगा? यदि हां, तो किस समय और कितनी दूरी तय की जाएगी?

16. धक्का के बाद, गेंद झुके हुए तल पर लुढ़कती है, जिसके बाद वह प्रारंभिक बिंदु पर लौट आती है। प्रारंभिक बिंदु से कुछ दूरी पर, गेंद धक्का के बाद समय अंतराल t 1 और t 2 पर दो बार गई। झुकाव वाले विमान के साथ ऊपर और नीचे गेंद एक ही त्वरण मापांक के साथ चली गई।
ए) झुकाव वाले विमान के साथ एक्स-अक्ष को ऊपर की ओर निर्देशित करें, गेंद की प्रारंभिक स्थिति में मूल चुनें और एक्स (टी) निर्भरता को व्यक्त करने वाला एक सूत्र लिखें, जिसमें गेंद के प्रारंभिक वेग का मॉड्यूलस v0 और मॉड्यूलस शामिल है गेंद का त्वरण a.
बी) इस सूत्र का उपयोग करते हुए और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गेंद टी 1 और टी 2 के शुरुआती बिंदु से दूरी बी पर थी, दो अज्ञात v 0 और a के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली बनाएं।
ग) समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के बाद, v 0 और a से b, t 1 और t 2 व्यक्त करें।
d) गेंद द्वारा तय किए गए संपूर्ण पथ l को b, t 1 और t 2 के रूप में व्यक्त करें।
ई) संख्यात्मक मान v 0 , a और l को b = 30 सेमी, t 1 = 1s, t 2 = 2 s पर खोजें।
एफ) प्लॉट वी एक्स (टी), एस एक्स (टी), एल (टी) निर्भरता।
छ) sx(t) के आलेख का उपयोग उस क्षण को निर्धारित करने के लिए करें जब गेंद के विस्थापन का मापांक अधिकतम था।