यह लेख एक समतल पर स्थित एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की व्युत्पत्ति का खुलासा करता है। हम एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करते हैं। हम कवर की गई सामग्री से संबंधित कई उदाहरण दिखाएंगे और हल करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण प्राप्त करने से पहले कुछ तथ्यों पर ध्यान देना आवश्यक है। एक अभिगृहीत है जो कहता है कि एक समतल पर दो गैर-संयोग बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना संभव है और केवल एक। दूसरे शब्दों में, समतल के दो दिए गए बिंदु इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा द्वारा निर्धारित होते हैं।

यदि समतल को आयताकार निर्देशांक प्रणाली ऑक्सी द्वारा दिया गया है, तो इसमें दर्शाई गई कोई भी सीधी रेखा समतल पर सीधी रेखा के समीकरण के अनुरूप होगी। सीधी रेखा के निर्देशन सदिश के साथ भी एक संबंध है।ये आंकड़े दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण को तैयार करने के लिए पर्याप्त हैं।

इसी तरह की समस्या को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में स्थित दो बेमेल बिंदुओं M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करना आवश्यक है।

एक विमान पर एक सीधी रेखा के विहित समीकरण में, x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y के रूप में, एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y को एक सीधी रेखा के साथ निर्दिष्ट किया जाता है जो निर्देशांक M के साथ एक बिंदु पर इसके साथ प्रतिच्छेद करता है। 1 (x 1, y 1) गाइड वेक्टर a → = (a x , a y) के साथ।

सीधी रेखा a के विहित समीकरण की रचना करना आवश्यक है, जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) के साथ दो बिंदुओं से होकर गुजरेगा।

सीधी रेखा a में निर्देशांक (x 2 - x 1, y 2 - y 1) के साथ एक निर्देशन वेक्टर M 1 M 2 → है, क्योंकि यह बिंदुओं M 1 और M 2 को प्रतिच्छेद करता है। दिशा वेक्टर एम 1 एम 2 → = (एक्स 2 - एक्स 1, वाई 2 - वाई 1) के निर्देशांक के साथ विहित समीकरण को बदलने के लिए हमने आवश्यक डेटा प्राप्त किया है और उन पर स्थित बिंदुओं एम 1 के निर्देशांक (एक्स 1, वाई 1) और एम 2 (एक्स 2, वाई 2)। हमें x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 या x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 के रूप का समीकरण प्राप्त होता है।

नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

गणनाओं के बाद, हम एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण को एक समतल में लिखते हैं जो निर्देशांक M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) के साथ दो बिंदुओं से होकर गुजरता है। हमें x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) या x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) का समीकरण मिलता है। वाई \u003d वाई 2 + (वाई 2 - वाई 1) ।

आइए कुछ उदाहरणों पर करीब से नज़र डालें।

उदाहरण 1

निर्देशांक M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 के साथ दिए गए 2 बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

फेसला

निर्देशांक x 1 , y 1 और x 2 , y 2 के साथ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने वाली एक सीधी रेखा के लिए विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 का रूप लेता है। समस्या की स्थिति के अनुसार, हमारे पास x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6 है। समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 में संख्यात्मक मानों को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। यहाँ से हम पाते हैं कि विहित समीकरण x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 का रूप लेगा।

उत्तर: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6।

यदि किसी समस्या को एक अलग प्रकार के समीकरण के साथ हल करना आवश्यक है, तो शुरुआत के लिए आप विहित पर जा सकते हैं, क्योंकि इससे किसी अन्य के पास आना आसान है।

उदाहरण 2

O x y निर्देशांक प्रणाली में निर्देशांक M 1 (1, 1) और M 2 (4, 2) वाले बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना करें।

फेसला

सबसे पहले आपको दी गई रेखा के विहित समीकरण को लिखने की जरूरत है जो दिए गए दो बिंदुओं से होकर गुजरती है। हमें x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 के रूप का समीकरण प्राप्त होता है।

हम विहित समीकरण को वांछित रूप में लाते हैं, फिर हम प्राप्त करते हैं:

x - 1 3 = y - 1 1 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

जवाब:एक्स - 3 वाई + 2 = 0।

बीजगणित पाठों में स्कूली पाठ्यपुस्तकों में ऐसे कार्यों के उदाहरणों पर विचार किया गया था। स्कूल के कार्य इस मायने में भिन्न थे कि ढलान गुणांक के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण को y \u003d k x + b के रूप में जाना जाता था। यदि आपको ढलान k और संख्या b का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, जिस पर समीकरण y \u003d k x + b, O x y प्रणाली में एक रेखा को परिभाषित करता है जो बिंदुओं M 1 (x 1, y 1) और M से होकर गुजरती है। 2 (x 2, y 2) , जहां x 1 x 2 । जब x 1 = x 2 , तो ढलान अनंत का मान लेता है, और रेखा M 1 M 2 को x - x 1 = 0 के रूप के सामान्य अपूर्ण समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है .

क्योंकि डॉट्स एम 1और एम 2एक सीधी रेखा पर हैं, तो उनके निर्देशांक समीकरण y 1 = k x 1 + b और y 2 = k x 2 + b को संतुष्ट करते हैं। k और b के सन्दर्भ में समीकरण y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b के निकाय को हल करना आवश्यक है।

ऐसा करने के लिए, हम k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 या k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x पाते हैं। 1 बी \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 ।

k और b के ऐसे मानों के साथ, दिए गए दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण निम्नलिखित रूप लेता है y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 या y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2।

इतनी बड़ी संख्या में सूत्र एक साथ याद करने से काम नहीं चलेगा। ऐसा करने के लिए, समस्याओं को हल करने में दोहराव की संख्या में वृद्धि करना आवश्यक है।

उदाहरण 3

निर्देशांक M 2 (2, 1) और y = k x + b वाले बिंदुओं से गुजरने वाली ढलान वाली एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

फेसला

समस्या को हल करने के लिए, हम एक ढलान के साथ एक सूत्र का उपयोग करते हैं जिसका रूप y \u003d k x + b है। गुणांक k और b को ऐसा मान लेना चाहिए कि यह समीकरण M 1 (- 7 , - 5) और M 2 (2 , 1) निर्देशांक के साथ दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के संगत हो।

अंक एम 1और एम 2एक सीधी रेखा पर स्थित है, तो उनके निर्देशांक समीकरण y = k x + b को सही समानता में उलट देना चाहिए। यहाँ से हम पाते हैं कि - 5 = k · (- 7) + b और 1 = k · 2 + b। आइए समीकरण को सिस्टम में जोड़ते हैं - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b और हल करें।

प्रतिस्थापन पर, हम पाते हैं कि

5 = के - 7 + बी 1 = के 2 + बी ⇔ बी = - 5 + 7 के 2 के + बी = 1 बी = - 5 + 7 के 2 के - 5 + 7 के = 1 बी = - 5 + 7 k k = 2 3 b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 b = - 1 3 k = 2 3

अब k = 2 3 और b = - 1 3 के मानों को समीकरण y = k x + b में प्रतिस्थापित किया जाता है। हम पाते हैं कि दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाला वांछित समीकरण एक समीकरण होगा जिसका रूप y = 2 3 x - 1 3 होगा।

हल करने का यह तरीका बड़ी मात्रा में समय के व्यय को पूर्व निर्धारित करता है। एक तरीका है जिसमें कार्य को दो चरणों में शाब्दिक रूप से हल किया जाता है।

हम एम 2 (2, 1) और एम 1 (- 7, - 5) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के विहित समीकरण को x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) के रूप में लिखते हैं ) 1 - (- 5) x + 7 9 = y + 5 6।

अब चलो ढलान समीकरण पर चलते हैं। हम पाते हैं कि: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3।

उत्तर: y = 2 3 x - 1 3।

यदि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y z है जिसमें निर्देशांक M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) के साथ दो गैर-संयोग बिंदु दिए गए हैं, तो सीधी रेखा M उनके बीच से गुजरती है 1 M 2 , इस रेखा का समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है।

हमारे पास x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z के रूप के विहित समीकरण हैं और x = x 1 + a x y = y 1 + a y z = z 1 + के रूप के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। a z O x y z निर्देशांक प्रणाली में एक निर्देश सदिश a → = (a x, a y, a z) के साथ निर्देशांक (x 1, y 1, z 1) वाले बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा सेट करने में सक्षम हैं।

सीधे एम 1 एम 2 M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) के रूप का एक दिशा सदिश है, जहां रेखा बिंदु M 1 (x 1 , y 1 , z) से होकर गुजरती है। 1) और एम 2 (x 2, y 2, z 2), इसलिए विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z के रूप में हो सकता है 2 - z 1 या x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, बदले में, पैरामीट्रिक x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) z = z 1 + (z 2 - z 1) या x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) ।

एक आकृति पर विचार करें जो अंतरिक्ष में दिए गए 2 बिंदुओं और एक सीधी रेखा के समीकरण को दर्शाती है।

उदाहरण 4

दिए गए दो बिंदुओं से निर्देशांक M 1 (2, - 3, 0) और M 2 (1, - 3, -5 ) .

फेसला

हमें विहित समीकरण खोजने की जरूरत है। चूँकि हम त्रिविमीय समष्टि के बारे में बात कर रहे हैं, इसका अर्थ है कि जब एक सीधी रेखा दिए गए बिंदुओं से गुजरती है, तो वांछित विहित समीकरण x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = का रूप लेगा। जेड - जेड 1 जेड 2 - जेड 1।

शर्त के अनुसार, हमारे पास x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 है। यह इस प्रकार है कि आवश्यक समीकरण निम्नानुसार लिखे जा सकते हैं:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

उत्तर: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5।

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यह लेख एक समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण के विषय को जारी रखता है: इस प्रकार के समीकरण को एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के रूप में देखें। आइए एक प्रमेय को परिभाषित करें और उसका प्रमाण दें; आइए जानें कि एक सीधी रेखा का अधूरा सामान्य समीकरण क्या है और एक सामान्य समीकरण से एक सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण कैसे करें। हम पूरे सिद्धांत को दृष्टांतों और व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के साथ समेकित करेंगे।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

मान लीजिए कि समतल पर एक आयताकार निर्देशांक तंत्र O x y दिया गया है।

प्रमेय 1

पहली डिग्री का कोई भी समीकरण, जिसका रूप A x + B y + C \u003d 0 है, जहाँ A, B, C कुछ वास्तविक संख्याएँ हैं (A और B एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं) एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली। बदले में, विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में कोई भी रेखा एक समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है जिसमें ए, बी, सी के एक निश्चित सेट के लिए ए एक्स + बी वाई + सी = 0 होता है।

प्रमाण

इस प्रमेय में दो बिंदु हैं, हम उनमें से प्रत्येक को सिद्ध करेंगे।

1. आइए हम सिद्ध करें कि समीकरण A x + B y + C = 0 समतल पर एक रेखा को परिभाषित करता है।

मान लीजिए कोई बिंदु M 0 (x 0 , y 0) है जिसके निर्देशांक समीकरण A x + B y + C = 0 के संगत हैं। अत: A x 0 + B y 0 + C = 0। समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाएँ A x + B y + C \u003d 0 समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष A x 0 + B y 0 + C \u003d 0, हमें एक नया समीकरण मिलता है जो A जैसा दिखता है (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0। यह A x + B y + C = 0 के बराबर है।

परिणामी समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 वैक्टर n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x) की लंबवतता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है। 0, वाई - वाई 0)। इस प्रकार, बिंदुओं का सेट M (x, y) एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में वेक्टर n → = (A, B) की दिशा के लंबवत एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है। हम मान सकते हैं कि ऐसा नहीं है, लेकिन तब सदिश n → = (A, B) और M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) लंबवत नहीं होंगे, और समानता A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 सत्य नहीं होगा।

इसलिए, समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) \u003d 0 विमान पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक निश्चित रेखा को परिभाषित करता है, और इसलिए समतुल्य समीकरण A x + B y + C \u003d 0 एक ही पंक्ति को परिभाषित करता है। इस प्रकार हमने प्रमेय के पहले भाग को सिद्ध कर दिया है।

1. आइए हम सिद्ध करें कि समतल पर एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में कोई भी सीधी रेखा पहली डिग्री A x + B y + C = 0 के समीकरण द्वारा दी जा सकती है।

आइए समतल पर एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा a सेट करें; बिंदु M 0 (x 0 , y 0) जिसके माध्यम से यह रेखा गुजरती है, साथ ही इस रेखा का सामान्य सदिश n → = (A , B) ।

मान लीजिए कि कुछ बिंदु M (x , y) भी है - रेखा का एक अस्थायी बिंदु। इस स्थिति में, सदिश n → = (A , B) और M 0 M → = (x - x 0 , y - 0) एक दूसरे के लंबवत हैं, और उनका अदिश गुणन शून्य है:

एन →, एम 0 एम → = ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0

आइए समीकरण A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 को फिर से लिखें, C: C = - A x 0 - B y 0 को परिभाषित करें और अंत में समीकरण A x + B y + C = 0 प्राप्त करें।

तो, हमने प्रमेय के दूसरे भाग को सिद्ध कर दिया है, और हमने संपूर्ण प्रमेय को समग्र रूप से सिद्ध कर दिया है।

परिभाषा 1

एक समीकरण जो दिखता हैए एक्स + बी वाई + सी = 0 - यह एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरणएक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान परओ एक्स वाई।

सिद्ध प्रमेय के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक निश्चित आयताकार निर्देशांक प्रणाली में एक समतल पर दी गई एक सीधी रेखा और उसका सामान्य समीकरण अटूट रूप से जुड़ा हुआ है। दूसरे शब्दों में, मूल रेखा अपने सामान्य समीकरण से मेल खाती है; एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दी गई सीधी रेखा से मेल खाता है।

यह प्रमेय के प्रमाण से यह भी निकलता है कि चर x और y के लिए गुणांक A और B, सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, जो कि सीधी रेखा A x + B y + के सामान्य समीकरण द्वारा दिया गया है। सी = 0।

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए कि समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 दिया गया है, जो किसी दिए गए आयताकार निर्देशांक प्रणाली में एक सीधी रेखा के संगत है। इस रेखा का सामान्य सदिश सदिश है n → = (2 , 3) ​​। चित्र में दी गई सीधी रेखा खींचिए।

निम्नलिखित पर भी तर्क दिया जा सकता है: जिस सीधी रेखा को हम चित्र में देखते हैं वह सामान्य समीकरण 2 x + 3 y - 2 = 0 द्वारा निर्धारित की जाती है, क्योंकि किसी दी गई सीधी रेखा के सभी बिंदुओं के निर्देशांक इस समीकरण के अनुरूप होते हैं।

हम सामान्य सीधी रेखा समीकरण के दोनों पक्षों को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करके समीकरण λ · A x + λ · B y + · C = 0 प्राप्त कर सकते हैं। परिणामी समीकरण मूल सामान्य समीकरण के बराबर है, इसलिए, यह समतल में समान रेखा का वर्णन करेगा।

परिभाषा 2

एक सीधी रेखा का पूर्ण सामान्य समीकरण- रेखा A x + B y + C \u003d 0 का ऐसा सामान्य समीकरण, जिसमें संख्याएँ A, B, C गैर-शून्य हैं। अन्यथा, समीकरण है अधूरा.

आइए हम सरल रेखा के अपूर्ण सामान्य समीकरण के सभी रूपों का विश्लेषण करें।

1. जब A \u003d 0, B 0, C ≠ 0, सामान्य समीकरण B y + C \u003d 0 हो जाता है। ऐसा अधूरा सामान्य समीकरण आयताकार समन्वय प्रणाली O x y में एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है जो O x अक्ष के समानांतर है, क्योंकि x के किसी भी वास्तविक मान के लिए, चर y मान पर ले जाएगा - सी बी। दूसरे शब्दों में, रेखा A x + B y + C \u003d 0 का सामान्य समीकरण, जब A \u003d 0, B ≠ 0, उन बिंदुओं (x, y) के स्थान को परिभाषित करता है जिनके निर्देशांक समान संख्या के बराबर होते हैं - सी बी।
2. यदि ए \u003d 0, बी 0, सी \u003d 0, सामान्य समीकरण y \u003d 0 हो जाता है। ऐसा अधूरा समीकरण x-अक्ष O x को परिभाषित करता है।
3. जब A 0, B \u003d 0, C ≠ 0, हमें एक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C \u003d 0 मिलता है, जो y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।
4. चलो A 0, B \u003d 0, C \u003d 0, फिर अधूरा सामान्य समीकरण x \u003d 0 का रूप लेगा, और यह समन्वय रेखा O y का समीकरण है।
5. अंत में, जब A 0, B ≠ 0, C \u003d 0, अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + B y \u003d 0 का रूप लेता है। और यह समीकरण एक सीधी रेखा का वर्णन करता है जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है। वास्तव में, संख्याओं का युग्म (0 , 0) समानता A x + B y = 0 से मेल खाता है, क्योंकि A · 0 + B · 0 = 0।

आइए हम एक सीधी रेखा के अधूरे सामान्य समीकरण के उपरोक्त सभी प्रकारों का आलेखीय रूप से वर्णन करें।

उदाहरण 1

यह ज्ञात है कि दी गई सीधी रेखा y-अक्ष के समानांतर है और बिंदु 2 7 , - 11 से होकर गुजरती है। किसी दी गई सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है।

फेसला

Y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा A x + C \u003d 0 के रूप के समीकरण द्वारा दी गई है, जिसमें A 0 है। शर्त उस बिंदु के निर्देशांक भी निर्दिष्ट करती है जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है, और इस बिंदु के निर्देशांक अपूर्ण सामान्य समीकरण A x + C = 0 की शर्तों के अनुरूप होते हैं, अर्थात। समानता सही है:

ए 2 7 + सी = 0

ए को कुछ गैर-शून्य मान देकर सी को निर्धारित करना संभव है, उदाहरण के लिए, ए = 7। इस मामले में, हमें मिलता है: 7 2 7 + सी \u003d 0 सी \u003d - 2। हम गुणांक A और C दोनों को जानते हैं, उन्हें समीकरण A x + C = 0 में प्रतिस्थापित करें और रेखा का वांछित समीकरण प्राप्त करें: 7 x - 2 = 0

जवाब: 7 एक्स - 2 = 0

उदाहरण 2

ड्राइंग एक सीधी रेखा दिखाती है, इसके समीकरण को लिखना आवश्यक है।

फेसला

दी गई ड्राइंग हमें समस्या को हल करने के लिए प्रारंभिक डेटा आसानी से लेने की अनुमति देती है। हम चित्र में देखते हैं कि दी गई रेखा O x अक्ष के समानांतर है और बिंदु (0, 3) से होकर गुजरती है।

सीधी रेखा, जो भुज के समांतर होती है, अपूर्ण सामान्य समीकरण B y + = 0 से निर्धारित होती है। B और C के मान ज्ञात कीजिए। बिंदु (0, 3) के निर्देशांक, चूंकि दी गई सीधी रेखा इससे होकर गुजरती है, सीधी रेखा B y + С = 0 के समीकरण को संतुष्ट करेगी, तो समानता मान्य है: В · 3 + С = 0। आइए B को शून्य के अलावा किसी अन्य मान पर सेट करें। मान लें कि B \u003d 1, इस मामले में, समानता B · 3 + C \u003d 0 से हम C: C \u003d - 3 पा सकते हैं। बी और सी के ज्ञात मूल्यों का उपयोग करके, हम सीधी रेखा के लिए आवश्यक समीकरण प्राप्त करते हैं: y - 3 = 0।

जवाब:वाई - 3 = 0।

समतल के किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण

दी गई रेखा को बिंदु M 0 (x 0, y 0) से गुजरने दें, तो इसके निर्देशांक रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप होते हैं, अर्थात। समानता सत्य है: A x 0 + B y 0 + C = 0। इस समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को सीधी रेखा के सामान्य पूर्ण समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों से घटाएँ। हम प्राप्त करते हैं: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \u003d 0, यह समीकरण मूल सामान्य के बराबर है, बिंदु M 0 (x 0, y 0) से होकर गुजरता है और एक है सामान्य वेक्टर n → \u003d (ए, बी) ।

हमने जो परिणाम प्राप्त किया है, उससे सीधी रेखा के सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और इस सीधी रेखा के एक निश्चित बिंदु के निर्देशांक के साथ एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना संभव हो जाता है।

उदाहरण 3

एक बिंदु M 0 (- 3, 4) दिया गया है जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है, और इस रेखा का सामान्य वेक्टर एन → = (1 , - 2)। दी गई सीधी रेखा के समीकरण को लिखना आवश्यक है।

फेसला

प्रारंभिक शर्तें हमें समीकरण संकलित करने के लिए आवश्यक डेटा प्राप्त करने की अनुमति देती हैं: ए \u003d 1, बी \u003d - 2, x 0 \u003d - 3, y 0 \u003d 4. फिर:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 1 (एक्स - (- 3)) - 2 वाई (वाई - 4) = 0 एक्स - 2 वाई + 22 = 0

समस्या को अलग तरीके से हल किया जा सकता था। एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण का रूप A x + B y + C = 0 होता है। दिया गया सामान्य वेक्टर आपको गुणांक ए और बी के मान प्राप्त करने की अनुमति देता है, फिर:

ए एक्स + बी वाई + सी = 0 1 एक्स - 2 वाई + सी = 0 ⇔ एक्स - 2 वाई + सी = 0

अब समस्या की स्थिति, जिससे होकर रेखा गुजरती है, द्वारा दिए गए बिंदु M 0 (- 3, 4) का उपयोग करके C का मान ज्ञात करते हैं। इस बिंदु के निर्देशांक समीकरण x - 2 · y + C = 0 के अनुरूप हैं, अर्थात। - 3 - 2 4 + सी \u003d 0। इसलिए सी = 11. आवश्यक सीधी रेखा समीकरण का रूप लेता है: x - 2 · y + 11 = 0 ।

जवाब:एक्स - 2 वाई + 11 = 0।

उदाहरण 4

एक रेखा 2 3 x - y - 1 2 = 0 और एक बिंदु M 0 इस रेखा पर स्थित है। इस बिंदु का केवल भुज ही ज्ञात होता है, और यह - 3 के बराबर होता है। दिए गए बिंदु की कोटि निर्धारित करना आवश्यक है।

फेसला

आइए बिंदु M 0 के निर्देशांकों का पदनाम x 0 और y 0 के रूप में सेट करें। प्रारंभिक डेटा इंगित करता है कि x 0 \u003d - 3। चूंकि बिंदु किसी दी गई रेखा से संबंधित है, इसलिए इसके निर्देशांक इस रेखा के सामान्य समीकरण के अनुरूप होते हैं। तब निम्नलिखित समानता सत्य होगी:

2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0

y 0: 2 3 (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2 परिभाषित करें

जवाब: - 5 2

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से एक सीधी रेखा के अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण और इसके विपरीत

जैसा कि हम जानते हैं, समतल में एक ही सीधी रेखा के समीकरण कई प्रकार के होते हैं। समीकरण के प्रकार का चुनाव समस्या की स्थितियों पर निर्भर करता है; इसके समाधान के लिए जो अधिक सुविधाजनक है उसे चुनना संभव है। यहीं पर एक प्रकार के समीकरण को दूसरे प्रकार के समीकरण में बदलने का कौशल बहुत काम आता है।

सबसे पहले, फॉर्म A x + B y + C = 0 के सामान्य समीकरण से विहित समीकरण x - x 1 a x = y - y 1 a y में संक्रमण पर विचार करें।

यदि A 0 है, तो हम पद B y को सामान्य समीकरण के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। बाईं ओर, हम A को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं। परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं: A x + C A = - B y।

इस समानता को अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: x + C A - B = y A ।

यदि बी 0, हम सामान्य समीकरण के बाईं ओर केवल ए एक्स छोड़ते हैं, हम दूसरों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है: ए एक्स \u003d - बी वाई - सी। हम बाहर निकालते हैं - B कोष्ठक से बाहर, फिर: A x \u003d - B y + C B।

आइए समानता को अनुपात के रूप में फिर से लिखें: x - B = y + C B A ।

बेशक, परिणामी सूत्रों को याद रखने की कोई आवश्यकता नहीं है। सामान्य समीकरण से विहित में संक्रमण के दौरान क्रियाओं के एल्गोरिथ्म को जानना पर्याप्त है।

उदाहरण 5

रेखा 3 y - 4 = 0 का सामान्य समीकरण दिया गया है। इसे एक विहित समीकरण में बदलने की जरूरत है।

फेसला

हम मूल समीकरण को 3 y - 4 = 0 के रूप में लिखते हैं। अगला, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं: शब्द 0 x बाईं ओर रहता है; और दाईं ओर हम निकालते हैं - कोष्ठक में से 3; हम पाते हैं: 0 x = - 3 y - 4 3।

आइए परिणामी समानता को अनुपात के रूप में लिखें: x - 3 = y - 4 3 0 । इस प्रकार, हमने विहित रूप का एक समीकरण प्राप्त किया है।

उत्तर: x - 3 = y - 4 3 0.

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को पैरामीट्रिक में बदलने के लिए, सबसे पहले, विहित रूप में संक्रमण किया जाता है, और फिर सीधी रेखा के विहित समीकरण से पैरामीट्रिक समीकरणों में संक्रमण किया जाता है।

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण 2 x - 5 y - 1 = 0 द्वारा दी गई है। इस रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखिए।

फेसला

आइए सामान्य समीकरण से विहित समीकरण में परिवर्तन करें:

2 x - 5 y - 1 = 0 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

अब आइए परिणामी विहित समीकरण के दोनों भागों को के बराबर लें, फिर:

x 5 = y + 1 5 2 = x = 5 y = - 1 5 + 2 , आर

जवाब:x = 5 y = - 1 5 + 2 , R

सामान्य समीकरण को ढलान y = k x + b के साथ एक सीधी रेखा समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है, लेकिन केवल तभी जब B 0 हो। बाईं ओर संक्रमण के लिए, हम शब्द B y छोड़ देते हैं, बाकी को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। हम पाते हैं: B y = - A x - C । आइए परिणामी समानता के दोनों भागों को B से विभाजित करें, जो शून्य से भिन्न है: y = - A B x - C B।

उदाहरण 7

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है: 2 x + 7 y = 0। आपको उस समीकरण को एक ढलान समीकरण में बदलने की जरूरत है।

फेसला

आइए एल्गोरिथम के अनुसार आवश्यक क्रियाएं करें:

2 x + 7 y = 0 7 y - 2 x y = - 2 7 x

जवाब:वाई = - 2 7 एक्स।

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण से, यह केवल x a + y b \u003d 1 के रूप के खंडों में एक समीकरण प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। ऐसा संक्रमण करने के लिए, हम संख्या C को समानता के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, परिणामी समानता के दोनों भागों को - से विभाजित करते हैं और अंत में, चर x और y के गुणांक को हर में स्थानांतरित करते हैं:

ए एक्स + बी वाई + सी = 0 ⇔ ए एक्स + बी वाई = - सी ए - सी एक्स + बी - सी वाई = 1 ⇔ एक्स - सी ए + वाई - सी बी = 1

उदाहरण 8

सरल रेखा x - 7 y + 1 2 = 0 के सामान्य समीकरण को खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण में बदलना आवश्यक है।

फेसला

आइए 1 2 को दाईं ओर ले जाएं: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2।

समीकरण के दोनों पक्षों को -1/2 से विभाजित करें: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1।

जवाब:एक्स - 1 2 + वाई 1 14 = 1।

सामान्य तौर पर, रिवर्स ट्रांज़िशन भी आसान होता है: अन्य प्रकार के समीकरणों से सामान्य तक।

खंडों में एक सीधी रेखा के समीकरण और ढलान वाले समीकरण को समीकरण के बाईं ओर सभी शब्दों को एकत्रित करके आसानी से सामान्य में परिवर्तित किया जा सकता है:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

निम्नलिखित योजना के अनुसार विहित समीकरण को सामान्य में बदल दिया जाता है:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 A x + B y + C = 0

पैरामीट्रिक से गुजरने के लिए, पहले विहित में संक्रमण किया जाता है, और फिर सामान्य में:

x = x 1 + a x y = y 1 + a y x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

उदाहरण 9

सरल रेखा x = - 1 + 2 · y = 4 के पैरामीट्रिक समीकरण दिए गए हैं। इस रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है।

फेसला

आइए पैरामीट्रिक समीकरणों से विहित में संक्रमण करें:

x = - 1 + 2 y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 = x + 1 2 = y - 4 0 x + 1 2 = y - 4 0

आइए विहित से सामान्य की ओर बढ़ते हैं:

x + 1 2 = y - 4 0 0 (x + 1) = 2 (y - 4) y - 4 = 0

जवाब:वाई - 4 = 0

उदाहरण 10

खंड x 3 + y 1 2 = 1 में एक सीधी रेखा का समीकरण दिया गया है। समीकरण के सामान्य रूप में संक्रमण करना आवश्यक है।

फेसला:

आइए समीकरण को आवश्यक रूप में फिर से लिखें:

x 3 + y 1 2 = 1 1 3 x + 2 y - 1 = 0

जवाब: 1 3 x + 2 y - 1 = 0।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण बनाना

ऊपर, हमने कहा कि सामान्य समीकरण को सामान्य वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक और उस बिंदु के निर्देशांक के साथ लिखा जा सकता है जहां से रेखा गुजरती है। ऐसी सीधी रेखा को समीकरण A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 द्वारा परिभाषित किया जाता है। उसी स्थान पर हमने इसी उदाहरण का विश्लेषण किया।

अब आइए अधिक जटिल उदाहरणों को देखें, जिसमें सबसे पहले, सामान्य वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है।

उदाहरण 11

रेखा 2 x - 3 y + 3 3 = 0 के समानांतर एक रेखा दी गई है। वह बिंदु M0 (4 , 1) भी ज्ञात है जिससे होकर दी गई रेखा गुजरती है। दी गई सीधी रेखा के समीकरण को लिखना आवश्यक है।

फेसला

प्रारंभिक स्थितियां हमें बताती हैं कि रेखाएं समानांतर हैं, फिर, उस रेखा के सामान्य वेक्टर के रूप में जिसका समीकरण लिखा जाना चाहिए, हम रेखा n → = (2, - 3) : 2 x - 3 y का निर्देशन सदिश लेते हैं। + 3 3 = 0. अब हम एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना के लिए सभी आवश्यक डेटा जानते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 2 (एक्स - 4) - 3 (वाई - 1) = 0 ⇔ 2 एक्स - 3 वाई - 5 = 0

जवाब: 2 एक्स - 3 वाई - 5 = 0।

उदाहरण 12

दी गई रेखा मूल बिंदु से होकर रेखा x - 2 3 = y + 4 5 पर लंबवत जाती है। किसी दी गई सीधी रेखा का सामान्य समीकरण लिखना आवश्यक है।

फेसला

दी गई रेखा का प्रसामान्य सदिश रेखा x - 2 3 = y + 4 5 का दिशा देने वाला सदिश होगा।

तब n → = (3 , 5) । सीधी रेखा मूल बिन्दु से होकर गुजरती है, अर्थात्। बिंदु 0 (0, 0) के माध्यम से। आइए किसी दी गई सीधी रेखा के सामान्य समीकरण की रचना करें:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) = 0 ⇔ 3 (एक्स - 0) + 5 (वाई - 0) = 0 ⇔ 3 एक्स + 5 वाई = 0

जवाब: 3 एक्स + 5 वाई = 0।

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यूक्लिडियन ज्यामिति में एक सीधी रेखा के गुण।

किसी भी बिंदु से होकर जाने वाली अपरिमित रूप से अनेक रेखाएँ होती हैं।

किन्हीं दो गैर-संयोग बिंदुओं के माध्यम से, केवल एक सीधी रेखा होती है।

समतल में दो गैर-संयोग रेखाएं या तो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, या हैं

समानांतर (पिछले एक से अनुसरण करता है)।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, दो पंक्तियों की सापेक्ष स्थिति के लिए तीन विकल्प हैं:

• रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं;

• सीधी रेखाएँ समानांतर हैं;

• सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

सीधा रेखा- पहले क्रम का बीजगणितीय वक्र: कार्तीय समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा

पहली डिग्री (रैखिक समीकरण) के समीकरण द्वारा विमान पर दिया जाता है।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

परिभाषा. समतल में किसी भी रेखा को प्रथम कोटि के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है

आह + वू + सी = 0,

और स्थिर ए, बीएक ही समय में शून्य के बराबर नहीं। इस प्रथम कोटि के समीकरण को कहा जाता है आम

सीधी रेखा समीकरण।स्थिरांक के मूल्यों के आधार पर ए, बीऔर साथ मेंनिम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

. सी = 0, ए 0, बी ≠ 0- रेखा मूल से होकर गुजरती है

. ए = 0, बी ≠0, सी ≠0 (द्वारा + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा ओह

. बी = 0, ए 0, सी ≠ 0 ( कुल्हाड़ी + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा कहां

. बी = सी = 0, ए 0- रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है कहां

. ए = सी = 0, बी 0- रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है ओह

एक सीधी रेखा के समीकरण को किसी दिए गए के आधार पर विभिन्न रूपों में दर्शाया जा सकता है

आरंभिक स्थितियां।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा. एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों के साथ एक वेक्टर (ए, बी)

समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लंबवत

आह + वू + सी = 0।

उदाहरण. एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ए(1, 2)वेक्टर के लंबवत (3, -1).

फेसला. आइए A \u003d 3 और B \u003d -1 पर सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें: 3x - y + C \u003d 0. गुणांक C खोजने के लिए

हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांकों को परिणामी व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं। हमें प्राप्त होता है: 3 - 2 + C = 0, इसलिए

सी = -1। कुल: वांछित समीकरण: 3x - y - 1 \u003d 0।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं एम 1 (एक्स 1 , वाई 1 , जेड 1)और एम 2 (एक्स 2, वाई 2, जेड 2),तब सीधी रेखा समीकरण,

इन बिंदुओं से गुजरते हुए:

यदि हर में से कोई भी शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए। पर

समतल, ऊपर लिखी गई एक सीधी रेखा का समीकरण सरल है:

अगर एक्स 1 एक्स 2और एक्स = एक्स 1, अगर एक्स 1 = एक्स 2 .

अंश = केबुलाया ढलान कारक सीधा.

उदाहरण. बिंदुओं A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला. उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक बिंदु और एक ढलान द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण आह + वू + सी = 0फॉर्म में लाओ:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहलाता है

ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

एक बिंदु पर एक सीधी रेखा का समीकरण और एक निर्देशन वेक्टर।

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप कार्य में प्रवेश कर सकते हैं

एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा और एक सीधी रेखा का एक दिशा वेक्टर।

परिभाषा. प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1, α 2), जिनके घटक शर्त को पूरा करते हैं

Aα 1 + Bα 2 = 0बुलाया सीधी रेखा का दिशा वेक्टर।

आह + वू + सी = 0।

उदाहरण. दिशा सदिश (1, -1) और बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला. हम फॉर्म में वांछित सीधी रेखा के समीकरण की तलाश करेंगे: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0।परिभाषा के अनुसार,

गुणांक को शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी।

तब एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है: कुल्हाड़ी + आय + सी = 0,या एक्स + वाई + सी / ए = 0।

पर एक्स = 1, वाई = 2हम पाते हैं सी/ए = -3, अर्थात। वांछित समीकरण:

एक्स + वाई - 3 = 0

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सरल रेखा के सामान्य समीकरण में Ah + Wu + C = 0 C≠0, तो -C से भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं:

या कहाँ

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक a प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है

सीधे धुरी के साथ ओह,ए बी- अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय ओ.यू.

उदाहरण. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है एक्स - वाई + 1 = 0।इस सीधी रेखा का समीकरण खण्डों में ज्ञात कीजिए।

सी \u003d 1, , ए \u003d -1, बी \u003d 1.

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

यदि समीकरण के दोनों पक्ष आह + वू + सी = 0संख्या से विभाजित करें , इससे कहते है

सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± चुना जाना चाहिए ताकि μ * सी< 0.

आर- मूल से रेखा तक गिराए गए लंबवत की लंबाई,

ए φ - इस लंब द्वारा अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनने वाला कोण ओह।

उदाहरण. एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को देखते हुए 12x - 5y - 65 = 0. विभिन्न प्रकार के समीकरण लिखने के लिए आवश्यक

यह सीधी रेखा।

खंडों में इस सीधी रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

एक सीधी रेखा का समीकरण:

cos = 12/13; पाप = -5/13; पी = 5।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएं,

कुल्हाड़ियों के समानांतर या मूल से गुजर रहा है।

समतल पर रेखाओं के बीच का कोण।

परिभाषा. यदि दो पंक्तियाँ दी गई हों वाई \u003d के 1 एक्स + बी 1, वाई \u003d के 2 एक्स + बी 2, तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण

के रूप में परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समानांतर हैं यदि कश्मीर 1 = कश्मीर 2. दो रेखाएँ लंबवत हैं

अगर के 1 \u003d -1 / के 2 .

प्रमेय.

सीधे आह + वू + सी = 0और ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 \u003d 0समानांतर होते हैं जब गुणांक आनुपातिक होते हैं

ए 1 \u003d ए, बी 1 \u003d बी. अगर भी 1 \u003d, तो रेखाएँ मेल खाती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक

इन रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण दी गई रेखा पर लंबवत होता है।

परिभाषा. एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा एम 1 (एक्स 1, वाई 1)और रेखा के लंबवत वाई = केएक्स + बी

समीकरण द्वारा दर्शाया गया:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी।

प्रमेय. यदि एक बिंदु दिया जाता है एम (एक्स 0, वाई 0),फिर रेखा की दूरी आह + वू + सी = 0के रूप में परिभाषित किया गया है:

प्रमाण. बात करने दो एम 1 (एक्स 1, वाई 1)- बिंदु से गिराए गए लंब का आधार एमकिसी प्रदत्त के लिए

सीधे। फिर बिंदुओं के बीच की दूरी एमऔर एम 1:

(1)

COORDINATES एक्स 1और 1समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

निकाय का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से लंबवत रूप से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है

दी गई पंक्ति। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

यूक्लिडियन ज्यामिति में एक सीधी रेखा के गुण।

किसी भी बिंदु से होकर जाने वाली अपरिमित रूप से अनेक रेखाएँ होती हैं।

किन्हीं दो गैर-संयोग बिंदुओं के माध्यम से, केवल एक सीधी रेखा होती है।

समतल में दो गैर-संयोग रेखाएं या तो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, या हैं

समानांतर (पिछले एक से अनुसरण करता है)।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, दो पंक्तियों की सापेक्ष स्थिति के लिए तीन विकल्प हैं:

• रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं;

• सीधी रेखाएँ समानांतर हैं;

• सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

सीधा रेखा- पहले क्रम का बीजगणितीय वक्र: कार्तीय समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा

पहली डिग्री (रैखिक समीकरण) के समीकरण द्वारा विमान पर दिया जाता है।

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

परिभाषा. समतल में किसी भी रेखा को प्रथम कोटि के समीकरण द्वारा दिया जा सकता है

आह + वू + सी = 0,

और स्थिर ए, बीएक ही समय में शून्य के बराबर नहीं। इस प्रथम कोटि के समीकरण को कहा जाता है आम

सीधी रेखा समीकरण।स्थिरांक के मूल्यों के आधार पर ए, बीऔर साथ मेंनिम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

. सी = 0, ए 0, बी ≠ 0- रेखा मूल से होकर गुजरती है

. ए = 0, बी ≠0, सी ≠0 (द्वारा + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा ओह

. बी = 0, ए 0, सी ≠ 0 ( कुल्हाड़ी + सी = 0)- अक्ष के समानांतर सीधी रेखा कहां

. बी = सी = 0, ए 0- रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है कहां

. ए = सी = 0, बी 0- रेखा अक्ष के साथ मेल खाती है ओह

एक सीधी रेखा के समीकरण को किसी दिए गए के आधार पर विभिन्न रूपों में दर्शाया जा सकता है

आरंभिक स्थितियां।

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

परिभाषा. एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों के साथ एक वेक्टर (ए, बी)

समीकरण द्वारा दी गई रेखा के लंबवत

आह + वू + सी = 0।

उदाहरण. एक बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए ए(1, 2)वेक्टर के लंबवत (3, -1).

फेसला. आइए A \u003d 3 और B \u003d -1 पर सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें: 3x - y + C \u003d 0. गुणांक C खोजने के लिए

हम दिए गए बिंदु A के निर्देशांकों को परिणामी व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं। हमें प्राप्त होता है: 3 - 2 + C = 0, इसलिए

सी = -1। कुल: वांछित समीकरण: 3x - y - 1 \u003d 0।

दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

मान लीजिए अंतरिक्ष में दो बिंदु दिए गए हैं एम 1 (एक्स 1 , वाई 1 , जेड 1)और एम 2 (एक्स 2, वाई 2, जेड 2),तब सीधी रेखा समीकरण,

इन बिंदुओं से गुजरते हुए:

यदि हर में से कोई भी शून्य के बराबर है, तो संबंधित अंश को शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए। पर

समतल, ऊपर लिखी गई एक सीधी रेखा का समीकरण सरल है:

अगर एक्स 1 एक्स 2और एक्स = एक्स 1, अगर एक्स 1 = एक्स 2 .

अंश = केबुलाया ढलान कारक सीधा.

उदाहरण. बिंदुओं A(1, 2) और B(3, 4) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला. उपरोक्त सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एक बिंदु और एक ढलान द्वारा एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण आह + वू + सी = 0फॉर्म में लाओ:

और नामित करें , तो परिणामी समीकरण कहलाता है

ढलान k के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।

एक बिंदु पर एक सीधी रेखा का समीकरण और एक निर्देशन वेक्टर।

सामान्य वेक्टर के माध्यम से एक सीधी रेखा के समीकरण पर विचार करने वाले बिंदु के अनुरूप, आप कार्य में प्रवेश कर सकते हैं

एक बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा और एक सीधी रेखा का एक दिशा वेक्टर।

परिभाषा. प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर (α 1, α 2), जिनके घटक शर्त को पूरा करते हैं

Aα 1 + Bα 2 = 0बुलाया सीधी रेखा का दिशा वेक्टर।

आह + वू + सी = 0।

उदाहरण. दिशा सदिश (1, -1) और बिंदु A(1, 2) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

फेसला. हम फॉर्म में वांछित सीधी रेखा के समीकरण की तलाश करेंगे: कुल्हाड़ी + बाय + सी = 0।परिभाषा के अनुसार,

गुणांक को शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1 * ए + (-1) * बी = 0, यानी। ए = बी।

तब एक सीधी रेखा के समीकरण का रूप होता है: कुल्हाड़ी + आय + सी = 0,या एक्स + वाई + सी / ए = 0।

पर एक्स = 1, वाई = 2हम पाते हैं सी/ए = -3, अर्थात। वांछित समीकरण:

एक्स + वाई - 3 = 0

खंडों में एक सीधी रेखा का समीकरण।

यदि सरल रेखा के सामान्य समीकरण में Ah + Wu + C = 0 C≠0, तो -C से भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं:

या कहाँ

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक a प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है

सीधे धुरी के साथ ओह,ए बी- अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय ओ.यू.

उदाहरण. एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण दिया गया है एक्स - वाई + 1 = 0।इस सीधी रेखा का समीकरण खण्डों में ज्ञात कीजिए।

सी \u003d 1, , ए \u003d -1, बी \u003d 1.

एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण।

यदि समीकरण के दोनों पक्ष आह + वू + सी = 0संख्या से विभाजित करें , इससे कहते है

सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 -एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± चुना जाना चाहिए ताकि μ * सी< 0.

आर- मूल से रेखा तक गिराए गए लंबवत की लंबाई,

ए φ - इस लंब द्वारा अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनने वाला कोण ओह।

उदाहरण. एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को देखते हुए 12x - 5y - 65 = 0. विभिन्न प्रकार के समीकरण लिखने के लिए आवश्यक

यह सीधी रेखा।

खंडों में इस सीधी रेखा का समीकरण:

ढलान के साथ इस रेखा का समीकरण: (5 से विभाजित करें)

एक सीधी रेखा का समीकरण:

cos = 12/13; पाप = -5/13; पी = 5।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधी रेखा को खंडों में समीकरण द्वारा प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएं,

कुल्हाड़ियों के समानांतर या मूल से गुजर रहा है।

समतल पर रेखाओं के बीच का कोण।

परिभाषा. यदि दो पंक्तियाँ दी गई हों वाई \u003d के 1 एक्स + बी 1, वाई \u003d के 2 एक्स + बी 2, तो इन रेखाओं के बीच का न्यून कोण

के रूप में परिभाषित किया जाएगा

दो रेखाएँ समानांतर हैं यदि कश्मीर 1 = कश्मीर 2. दो रेखाएँ लंबवत हैं

अगर के 1 \u003d -1 / के 2 .

प्रमेय.

सीधे आह + वू + सी = 0और ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 \u003d 0समानांतर होते हैं जब गुणांक आनुपातिक होते हैं

ए 1 \u003d ए, बी 1 \u003d बी. अगर भी 1 \u003d, तो रेखाएँ मेल खाती हैं। दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक

इन रेखाओं के समीकरणों के निकाय के हल के रूप में पाए जाते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण दी गई रेखा पर लंबवत होता है।

परिभाषा. एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा एम 1 (एक्स 1, वाई 1)और रेखा के लंबवत वाई = केएक्स + बी

समीकरण द्वारा दर्शाया गया:

एक बिंदु से एक रेखा की दूरी।

प्रमेय. यदि एक बिंदु दिया जाता है एम (एक्स 0, वाई 0),फिर रेखा की दूरी आह + वू + सी = 0के रूप में परिभाषित किया गया है:

प्रमाण. बात करने दो एम 1 (एक्स 1, वाई 1)- बिंदु से गिराए गए लंब का आधार एमकिसी प्रदत्त के लिए

सीधे। फिर बिंदुओं के बीच की दूरी एमऔर एम 1:

(1)

COORDINATES एक्स 1और 1समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

निकाय का दूसरा समीकरण किसी दिए गए बिंदु M 0 से लंबवत रूप से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है

दी गई पंक्ति। यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को फॉर्म में बदलते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + एक्स 0 + बाय 0 + सी = 0,

फिर, हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

इन व्यंजकों को समीकरण (1) में रखने पर, हम पाते हैं:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से एक दिशा वेक्टर तक जाने वाली सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

मान लीजिए कि एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर दिया गया है। एक मनमाना बिंदु एक रेखा पर स्थित है मैंकेवल तभी जब सदिश और संरेखी हों, अर्थात्, वे शर्त को पूरा करते हैं:

.

उपरोक्त समीकरण रेखा के विहित समीकरण हैं।

नंबर एम , एनऔर पीनिर्देशांक अक्षों पर दिशा वेक्टर के प्रक्षेपण हैं। चूँकि सदिश अशून्य है, तो सभी संख्याएँ एम , एनऔर पीएक ही समय में शून्य नहीं हो सकता। लेकिन उनमें से एक या दो शून्य हो सकते हैं। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अंकन की अनुमति है:

,

जिसका अर्थ है कि कुल्हाड़ियों पर वेक्टर के अनुमान ओएऔर आउंसशून्य के बराबर हैं। इसलिए, विहित समीकरणों द्वारा दी गई सदिश और सीधी रेखा दोनों अक्षों के लंबवत हैं ओएऔर आउंस, यानी विमान योज़ .

उदाहरण 1समतल के लंबवत अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के समीकरणों की रचना करें और अक्ष के साथ इस विमान के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरते हुए आउंस .

फेसला। अक्ष के साथ दिए गए समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए आउंस. चूंकि अक्ष पर कोई बिंदु आउंस, निर्देशांक है, तो, विमान के दिए गए समीकरण में मानते हुए एक्स = वाई = 0, हमें 4 . प्राप्त होता है जेड- 8 = 0 या जेड= 2। इसलिए, दिए गए समतल का अक्ष के साथ प्रतिच्छेद बिंदु आउंसनिर्देशांक हैं (0; 0; 2)। चूंकि वांछित रेखा तल के लंबवत है, यह अपने सामान्य वेक्टर के समानांतर है। इसलिए, सामान्य वेक्टर सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के रूप में काम कर सकता है विमान दिया।

अब हम बिंदु से गुजरने वाली सरल रेखा के वांछित समीकरण लिखते हैं ए= (0; 0; 2) सदिश की दिशा में :

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण

एक सीधी रेखा को उस पर पड़े दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जा सकता है और इस मामले में, सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर वेक्टर हो सकता है। तब रेखा के विहित समीकरण रूप लेते हैं

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उपरोक्त समीकरण दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

उदाहरण 2बिंदुओं से होकर जाने वाली अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।

फेसला। हम सैद्धांतिक संदर्भ में ऊपर दिए गए रूप में सीधी रेखा के वांछित समीकरण लिखते हैं:

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चूँकि , तब वांछित रेखा अक्ष के लंबवत होती है ओए .

समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में सीधी

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को दो गैर-समानांतर विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और, यानी, दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के एक सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

निकाय के समीकरणों को अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण भी कहा जाता है।

उदाहरण 3सामान्य समीकरणों द्वारा दिए गए स्थान में एक सीधी रेखा के विहित समीकरणों की रचना करें

फेसला। एक सीधी रेखा के विहित समीकरण लिखने के लिए या, क्या समान है, दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण को लिखने के लिए, आपको सीधी रेखा पर किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक खोजने होंगे। वे किन्हीं दो समन्वय विमानों के साथ एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हो सकते हैं, उदाहरण के लिए योज़और xOz .

समतल के साथ एक रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु योज़एब्सिस्सा है एक्स= 0। इसलिए, समीकरणों की इस प्रणाली में मानते हुए एक्स= 0 , हमें दो चरों वाला एक सिस्टम मिलता है:

उसका निर्णय आप = 2 , जेड= 6 साथ में एक्स= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है ए(0; 2; 6) वांछित रेखा का। समीकरणों की दी गई प्रणाली में मान लें आप= 0, हमें सिस्टम मिलता है

उसका निर्णय एक्स = -2 , जेड= 0 साथ में आप= 0 एक बिंदु को परिभाषित करता है बी(-2; 0; 0) एक समतल वाली रेखा का प्रतिच्छेदन xOz .

अब हम बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण लिखते हैं ए(0; 2; 6) और बी (-2; 0; 0) :

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या हर को -2 से विभाजित करने के बाद:

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