क्या मजबूर दोलन होते हैं। मजबूर कंपन

मुक्त दोलनों के विपरीत, जब सिस्टम केवल एक बार प्राप्त करता है (जब सिस्टम को हटा दिया जाता है), मजबूर दोलनों के मामले में, सिस्टम इस ऊर्जा को बाहरी आवधिक बल के स्रोत से लगातार अवशोषित करता है। यह ऊर्जा काबू पाने में हुए नुकसान की भरपाई करती है, और इसलिए कुल संख्या अपरिवर्तित रहती है।

मजबूर कंपन, मुक्त कंपन के विपरीत, किसी भी आवृत्ति पर हो सकते हैं। दोलन प्रणाली पर अभिनय करने वाले बाहरी बल की आवृत्ति के साथ मेल खाता है। इस प्रकार, मजबूर दोलनों की आवृत्ति स्वयं सिस्टम के गुणों से नहीं, बल्कि बाहरी प्रभाव की आवृत्ति से निर्धारित होती है।

मजबूर कंपन के उदाहरण हैं बच्चों के झूले का कंपन, सिलाई मशीन में सुई का कंपन, ऑटोमोबाइल इंजन सिलेंडर में पिस्टन का कंपन, उबड़-खाबड़ सड़क पर चलती कार के स्प्रिंग्स का कंपन आदि।

गूंज

परिभाषा

गूंज- यह मजबूर दोलनों में तेज वृद्धि की घटना है जब ड्राइविंग बल की आवृत्ति ऑसिलेटरी सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति के करीब पहुंचती है।

अनुनाद इस तथ्य के कारण होता है कि, बाहरी बल, मुक्त कंपन के साथ समय पर कार्य करते हुए, हमेशा दोलन करने वाले शरीर से एक ही दिशा में होता है और सकारात्मक कार्य करता है: दोलन करने वाले शरीर की ऊर्जा बढ़ जाती है और बड़ी हो जाती है। यदि बाहरी बल "समय पर नहीं" कार्य करता है, तो यह बल बारी-बारी से या तो नकारात्मक या सकारात्मक कार्य करता है, और परिणामस्वरूप, सिस्टम की ऊर्जा नगण्य रूप से बदल जाती है।

चित्रा 1 ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता को दर्शाता है। यह देखा जा सकता है कि यह आयाम एक निश्चित आवृत्ति मान पर अधिकतम तक पहुँच जाता है, अर्थात। पर , थरथरानवाला प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति कहाँ है। वक्र 1 और 2 घर्षण बल के परिमाण में भिन्न होते हैं। कम घर्षण (वक्र 1) पर, अनुनाद वक्र में तेज अधिकतम होता है; उच्च घर्षण बल (वक्र 2) पर, ऐसा कोई तेज अधिकतम नहीं होता है।

हम अक्सर रोजमर्रा की जिंदगी में अनुनाद की घटना का सामना करते हैं। यदि कोई भारी ट्रक गली से गुजरते समय कमरे में खिड़कियां कांपती हैं, तो इसका मतलब है कि खिड़कियों की प्राकृतिक आवृत्ति मशीन की आवृत्ति के बराबर है। यदि समुद्री लहरें जहाज की अवधि के साथ प्रतिध्वनित होती हैं, तो पिचिंग विशेष रूप से मजबूत हो जाती है।

प्रतिध्वनि की घटना को पुलों, इमारतों और अन्य संरचनाओं को डिजाइन करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए जो भार के तहत कंपन का अनुभव करते हैं, अन्यथा, कुछ शर्तों के तहत, इन संरचनाओं को नष्ट किया जा सकता है। हालांकि, अनुनाद भी उपयोगी हो सकता है। रेडियो रिसीवर को प्रसारण की एक निश्चित आवृत्ति के साथ-साथ कई अन्य मामलों में ट्यून करते समय अनुनाद की घटना का उपयोग किया जाता है।

समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1

व्यायाम

एक क्षैतिज पेंडुलम के वसंत के अंत में, जिसका भार 1 किलो है, एक चर बल कार्य करता है, जिसकी दोलन आवृत्ति 16 हर्ट्ज है। यदि स्प्रिंग दर 400 N/m है तो अनुनाद मनाया जाएगा।

समाधान

आइए हम सूत्र द्वारा दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति निर्धारित करें:

हर्ट्ज

चूंकि बाहरी बल की आवृत्ति प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर नहीं है, इसलिए अनुनाद घटना नहीं देखी जाएगी।

उत्तर

अनुनाद घटना नहीं देखी जाएगी।

उदाहरण 2

व्यायाम

एक छोटी सी गेंद को कार की छत से 1 मीटर लंबे धागे पर लटकाया जाता है। रेल जोड़ों पर पहियों के प्रभाव में गेंद विशेष रूप से किस गति से कंपन करेगी? रेल की लंबाई 12.5 मी.

समाधान

गेंद रेल जोड़ों से टकराने वाले पहियों की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ मजबूर कंपन करती है:

यदि धागे की लंबाई की तुलना में गेंद के आयाम छोटे हैं, तो प्रणाली पर विचार किया जा सकता है, जिसकी प्राकृतिक आवृत्ति है:

प्रतिध्वनि के मामले में मजबूर अप्रकाशित दोलनों का आयाम अधिकतम होता है, अर्थात। जब । इस प्रकार यह लिखना संभव है:

जबरन कंपन ऐसे कंपन कहलाते हैं जो सिस्टम में बाहरी ड्राइविंग की समय-समय पर बदलती शक्ति की क्रिया के तहत होते हैं, जिसे ड्राइविंग बल कहा जाता है।

प्रेरक शक्ति की प्रकृति (समय पर निर्भरता) भिन्न हो सकती है। यह एक बल हो सकता है जो हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलता है। उदाहरण के लिए, एक ध्वनि तरंग, जिसका स्रोत एक ट्यूनिंग कांटा है, ईयरड्रम या माइक्रोफ़ोन झिल्ली से टकराती है। वायुदाब का एक हार्मोनिक रूप से परिवर्तनशील बल झिल्ली पर कार्य करना शुरू कर देता है।

प्रेरक शक्ति झटके या छोटे आवेगों के रूप में हो सकती है। उदाहरण के लिए, एक वयस्क एक बच्चे को झूले पर घुमाता है, समय-समय पर उन्हें उस समय धक्का देता है जब झूला चरम स्थितियों में से एक पर आता है।

हमारा काम यह पता लगाना है कि समय-समय पर बदलती प्रेरक शक्ति की कार्रवाई पर ऑसिलेटरी सिस्टम कैसे प्रतिक्रिया करता है।

§ 1 हार्मोनिक कानून के अनुसार ड्राइविंग बल बदलता है

एफ कंट = - आरवी एक्सऔर ड्राइविंग बल एफ आउट \u003d एफ 0 पाप wt.

न्यूटन का दूसरा नियम इस प्रकार लिखा गया है:

समीकरण (1) का हल इस रूप में मांगा जाता है कि समीकरण (1) का हल कहां है, यदि उसका दायां पक्ष न हो। यह देखा जा सकता है कि दाहिनी ओर के बिना, समीकरण हमें ज्ञात नम दोलनों के समीकरण में बदल जाता है, जिसका समाधान हम पहले से ही जानते हैं। पर्याप्त रूप से लंबे समय के लिए, मुक्त दोलन जो सिस्टम में उत्पन्न होते हैं जब इसे संतुलन से बाहर निकाल दिया जाता है, व्यावहारिक रूप से समाप्त हो जाएगा, और केवल दूसरा शब्द समीकरण के समाधान में रहेगा। हम इस समाधान को फॉर्म में ढूंढेंगे
आइए शर्तों को अलग-अलग समूहित करें:

यह समानता किसी भी समय t पर बनी रहनी चाहिए, जो तभी संभव है जब ज्या और कोज्या पर गुणांक शून्य के बराबर हों।

तो, शरीर, जिस पर ड्राइविंग बल कार्य करता है, हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलता है, ड्राइविंग बल की आवृत्ति के साथ एक दोलन गति करता है।

आइए हम अधिक विस्तार से मजबूर दोलनों के आयाम के प्रश्न की जाँच करें:

1 स्थिर-राज्य मजबूर दोलनों का आयाम समय के साथ नहीं बदलता है। (मुक्त नम दोलनों के आयाम के साथ तुलना करें)।

2 मजबूर दोलनों का आयाम सीधे ड्राइविंग बल के आयाम के समानुपाती होता है।

3 आयाम प्रणाली में घर्षण पर निर्भर करता है (ए डी पर निर्भर करता है, और नमी कारक डी, बदले में, ड्रैग गुणांक आर पर निर्भर करता है)। सिस्टम में जितना अधिक घर्षण होगा, मजबूर दोलनों का आयाम उतना ही छोटा होगा।

4 मजबूर दोलनों का आयाम ड्राइविंग बल w की आवृत्ति पर निर्भर करता है। कैसे? हम फलन A(w) का अध्ययन करते हैं।

जब w = 0 (एक निरंतर बल दोलन प्रणाली पर कार्य करता है), समय के साथ शरीर का विस्थापन अपरिवर्तित रहता है (यह ध्यान में रखना चाहिए कि यह स्थिर स्थिति को संदर्भित करता है, जब प्राकृतिक दोलन लगभग समाप्त हो गए हैं)।

जब w® , तब, जैसा कि यह देखना आसान है, आयाम A शून्य हो जाता है।

· जाहिर है, ड्राइविंग बल की कुछ आवृत्ति पर, मजबूर दोलनों का आयाम सबसे बड़ा मान (दिए गए d के लिए) पर ले जाएगा। ड्राइविंग बल की आवृत्ति के एक निश्चित मूल्य पर मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि की घटना को यांत्रिक अनुनाद कहा जाता है।

दिलचस्प बात यह है कि इस मामले में थरथरानवाला प्रणाली का गुणवत्ता कारक दर्शाता है कि एक स्थिर बल F 0 की कार्रवाई के तहत कितनी बार गुंजयमान आयाम संतुलन की स्थिति से शरीर के विस्थापन से अधिक है।

हम देखते हैं कि गुंजयमान आवृत्ति और गुंजयमान आयाम दोनों अवमंदन कारक d पर निर्भर करते हैं। जैसे-जैसे d घटकर शून्य हो जाता है, गुंजयमान आवृत्ति बढ़ जाती है और सिस्टम के प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति w 0 हो जाती है। इस मामले में, गुंजयमान आयाम बढ़ता है और, d = 0 पर, अनंत में बदल जाता है। बेशक, व्यवहार में, दोलनों का आयाम अनंत नहीं हो सकता, क्योंकि प्रतिरोध बल हमेशा वास्तविक दोलन प्रणालियों में कार्य करते हैं। यदि सिस्टम में कम भिगोना है, तो लगभग हम मान सकते हैं कि अनुनाद प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति पर होता है:

जहां विचाराधीन मामले में संतुलन की स्थिति से शरीर के ड्राइविंग बल और विस्थापन के बीच चरण बदलाव है।

यह देखना आसान है कि बल और विस्थापन के बीच चरण परिवर्तन प्रणाली में घर्षण और बाहरी ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर निर्भर करता है। यह निर्भरता चित्र में दिखाई गई है। यह देखा गया है कि< тангенс принимает отрицательные значения, а при >- सकारात्मक।

कोण पर निर्भरता जानने के बाद, ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर निर्भरता प्राप्त की जा सकती है।

बाहरी बल की आवृत्तियों पर जो अपने आप से काफी कम हैं, विस्थापन चरण में प्रेरक बल से थोड़ा पीछे है। जैसे-जैसे बाहरी बल की आवृत्ति बढ़ती है, इस चरण की देरी बढ़ जाती है। अनुनाद (यदि छोटा हो) पर, चरण बदलाव के बराबर हो जाता है। >> पर, एंटीफेज में विस्थापन और बल में उतार-चढ़ाव होता है। ऐसी निर्भरता पहली नज़र में अजीब लग सकती है। इस तथ्य को समझने के लिए, आइए हम मजबूर दोलनों की प्रक्रिया में ऊर्जा परिवर्तनों की ओर मुड़ें।

§ 2 ऊर्जा परिवर्तन

जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, दोलन आयाम दोलन प्रणाली की कुल ऊर्जा से निर्धारित होता है। पहले, यह दिखाया गया था कि मजबूर दोलनों का आयाम समय के साथ अपरिवर्तित रहता है। इसका मतलब यह है कि दोलन प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा समय के साथ नहीं बदलती है। क्यों? आखिरकार, सिस्टम बंद नहीं हुआ है! दो बल - एक बाहरी समय-समय पर बदलने वाली शक्ति और एक प्रतिरोध बल - कार्य करते हैं जो सिस्टम की कुल ऊर्जा को बदलना चाहिए।

आइए जानने की कोशिश करते हैं कि मामला क्या है। बाहरी ड्राइविंग बल की शक्ति निम्नानुसार पाई जा सकती है:

हम देखते हैं कि बाहरी बल की शक्ति, ऊर्जा के साथ दोलन प्रणाली को खिलाती है, दोलन आयाम के समानुपाती होती है।

प्रतिरोध बल के कार्य के कारण, दोलन प्रणाली की ऊर्जा कम होनी चाहिए, आंतरिक ऊर्जा में बदल जाती है। प्रतिरोध बल शक्ति:

जाहिर है, ड्रैग फोर्स की शक्ति आयाम के वर्ग के समानुपाती होती है। आइए ग्राफ पर दोनों निर्भरताओं को प्लॉट करें।

दोलनों के स्थिर रहने के लिए (समय के साथ आयाम नहीं बदलता है), अवधि के दौरान बाहरी बल के कार्य को प्रतिरोध बल के कार्य के कारण सिस्टम के ऊर्जा नुकसान की भरपाई करनी चाहिए। पावर ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन का बिंदु इस मोड से मेल खाता है। कल्पना कीजिए कि किसी कारण से मजबूर दोलनों का आयाम कम हो गया है। यह इस तथ्य की ओर ले जाएगा कि बाहरी बल की तात्कालिक शक्ति नुकसान की शक्ति से अधिक होगी। इससे थरथरानवाला प्रणाली की ऊर्जा में वृद्धि होगी, और दोलन आयाम अपने पिछले मूल्य को बहाल कर देगा।

इसी तरह, यह देखा जा सकता है कि दोलन आयाम में एक यादृच्छिक वृद्धि के साथ, हानि शक्ति बाहरी बल की शक्ति से अधिक हो जाएगी, जिससे सिस्टम की ऊर्जा में कमी आएगी, और परिणामस्वरूप, आयाम में कमी आएगी। .

आइए प्रतिध्वनि पर विस्थापन और प्रेरक शक्ति के बीच चरण परिवर्तन के प्रश्न पर लौटते हैं। हम पहले ही दिखा चुके हैं कि विस्थापन पिछड़ गया है, जिसका अर्थ है कि बल विस्थापन से आगे है। दूसरी ओर, हार्मोनिक दोलनों की प्रक्रिया में वेग प्रक्षेपण हमेशा समन्वय की ओर जाता है। इसका मतलब है कि अनुनाद पर, बाहरी प्रेरक शक्ति और गति एक ही चरण में दोलन करती है। इसलिए वे किसी भी समय सह-निर्देशित हैं! इस स्थिति में बाह्य बल द्वारा किया गया कार्य सदैव धनात्मक होता है। सब ऊर्जा के साथ ऑसिलेटरी सिस्टम को फिर से भरने के लिए जाता है।

§ 3 गैर-साइनसॉइडल आवधिक क्रिया

एक थरथरानवाला के जबरन दोलन किसी भी आवधिक बाहरी प्रभाव के तहत संभव हैं, न कि केवल एक साइनसोइडल के तहत। इस मामले में, स्थिर-राज्य दोलन, आम तौर पर बोलते हुए, साइनसोइडल नहीं होंगे, लेकिन वे बाहरी प्रभाव की अवधि के बराबर अवधि के साथ एक आवधिक आंदोलन का प्रतिनिधित्व करेंगे।

एक बाहरी प्रभाव हो सकता है, उदाहरण के लिए, लगातार धक्का (याद रखें कि कैसे एक वयस्क झूले पर बैठा बच्चा "झूलता है")। यदि बाहरी झटके की अवधि प्राकृतिक दोलनों की अवधि के साथ मेल खाती है, तो सिस्टम में प्रतिध्वनि हो सकती है। इस मामले में, दोलन लगभग साइनसोइडल होंगे। प्रत्येक धक्का पर सिस्टम को दी गई ऊर्जा घर्षण के कारण खोए हुए सिस्टम की कुल ऊर्जा की भरपाई करती है। यह स्पष्ट है कि इस मामले में, विकल्प संभव हैं: यदि धक्का के दौरान प्रदान की गई ऊर्जा अवधि के लिए घर्षण नुकसान के बराबर या उससे अधिक है, तो दोलन या तो स्थिर-अवस्था होंगे, या उनका आयाम बढ़ जाएगा। यह चरण आरेख में स्पष्ट रूप से देखा जाता है।

यह स्पष्ट है कि प्रतिध्वनि उस स्थिति में भी संभव है जब झटके की पुनरावृत्ति अवधि प्राकृतिक दोलनों की अवधि का गुणक हो। बाहरी प्रभाव की साइनसोइडल प्रकृति के साथ यह असंभव है।

दूसरी ओर, भले ही झटके की आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती हो, प्रतिध्वनि नहीं देखी जा सकती है। यदि प्रति अवधि केवल घर्षण हानि प्रणाली द्वारा पुश के दौरान प्राप्त ऊर्जा से अधिक हो जाती है, तो सिस्टम की कुल ऊर्जा कम हो जाएगी और दोलन कम हो जाएंगे।

4 पैरामीट्रिक अनुनाद

एक ऑसिलेटरी सिस्टम पर एक बाहरी प्रभाव को ऑसिलेटरी सिस्टम के मापदंडों में एक आवधिक परिवर्तन के लिए कम किया जा सकता है। इस तरह से उत्तेजित दोलनों को पैरामीट्रिक कहा जाता है, और तंत्र को ही कहा जाता है पैरामीट्रिक अनुनाद .

सबसे पहले, आइए इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करें: क्या सिस्टम में पहले से मौजूद छोटे दोलनों को समय-समय पर एक निश्चित तरीके से इसके कुछ मापदंडों को बदलकर स्विंग करना संभव है।

एक उदाहरण के रूप में, एक व्यक्ति को झूले पर झूलने पर विचार करें। "आवश्यक" क्षणों में अपने पैरों को मोड़कर और सीधा करके, वह वास्तव में पेंडुलम की लंबाई को बदल देता है। चरम स्थितियों में, व्यक्ति स्क्वैट्स करता है, जिससे ऑसिलेटरी सिस्टम के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को थोड़ा कम किया जाता है; मध्य स्थिति में, व्यक्ति सीधा हो जाता है, सिस्टम के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को ऊपर उठाता है।

यह समझने के लिए कि एक व्यक्ति एक ही समय में क्यों झूलता है, एक व्यक्ति के झूले पर एक अत्यंत सरलीकृत मॉडल पर विचार करें - एक साधारण छोटा पेंडुलम, यानी एक हल्के और लंबे धागे पर एक छोटा वजन। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के उत्थान और पतन का अनुकरण करने के लिए, हम धागे के ऊपरी सिरे को एक छोटे से छेद से गुजारेंगे और हम धागे को उन क्षणों में खींचेंगे जब पेंडुलम संतुलन की स्थिति से गुजरता है, और धागे को उसी मात्रा से कम करता है जब पेंडुलम चरम स्थिति से गुजरता है।

अवधि के लिए थ्रेड तनाव बल का कार्य (इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि भार प्रति अवधि दो बार उठाया और कम किया जाता है और वह डी मैं << मैं):

कृपया ध्यान दें कि कोष्ठक में ऑसिलेटरी सिस्टम की तीन गुना ऊर्जा के अलावा और कुछ नहीं है। वैसे, यह मान सकारात्मक है, इसलिए, तनाव बल (हमारा काम) का कार्य सकारात्मक है, यह प्रणाली की कुल ऊर्जा में वृद्धि की ओर जाता है, और इसलिए पेंडुलम के झूलने के लिए।

दिलचस्प बात यह है कि एक अवधि में ऊर्जा में सापेक्ष परिवर्तन इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि पेंडुलम कमजोर या जोरदार स्विंग करता है या नहीं। यह बहुत महत्वपूर्ण है, और यहाँ क्यों है। यदि पेंडुलम ऊर्जा के साथ "पंप नहीं" किया जाता है, तो प्रत्येक अवधि के लिए यह घर्षण बल के कारण अपनी ऊर्जा का एक निश्चित हिस्सा खो देगा, और दोलन कम हो जाएंगे। और दोलनों की सीमा को बढ़ाने के लिए, यह आवश्यक है कि अर्जित ऊर्जा घर्षण को दूर करने के लिए खोई हुई ऊर्जा से अधिक हो। और यह स्थिति, यह पता चला है, वही है - दोनों एक छोटे आयाम पर और एक बड़े पर।

उदाहरण के लिए, यदि एक अवधि में मुक्त दोलनों की ऊर्जा 6% कम हो जाती है, तो 1 मीटर लंबे पेंडुलम के दोलनों को नम न करने के लिए, मध्य स्थिति में इसकी लंबाई को 1 सेमी कम करने और बढ़ाने के लिए पर्याप्त है चरम स्थिति में उसी राशि से।

स्विंग पर वापस जाएं: एक बार जब आप स्विंग करना शुरू कर देते हैं, तो गहरे और गहरे स्क्वाट करने की कोई आवश्यकता नहीं होती है - हर समय उसी तरह स्क्वाट करें और आप ऊंची और ऊंची उड़ान भरेंगे!

*** फिर से अच्छाई!

जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, दोलनों के पैरामीट्रिक बिल्डअप के लिए, शर्त DE > A घर्षण प्रति अवधि को पूरा करना आवश्यक है।

अवधि के लिए घर्षण बल का कार्य ज्ञात कीजिए

यह देखा जा सकता है कि इसके निर्माण के लिए पेंडुलम के उठाने का सापेक्ष मूल्य प्रणाली के गुणवत्ता कारक द्वारा निर्धारित किया जाता है।

5 प्रतिध्वनि का महत्व

जबरन कंपन और प्रतिध्वनि का व्यापक रूप से इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से ध्वनिकी, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग और रेडियो इंजीनियरिंग में। अनुनाद, सबसे पहले, का उपयोग तब किया जाता है, जब विभिन्न आवृत्तियों के दोलनों के एक बड़े सेट से, वे एक निश्चित आवृत्ति के दोलनों का चयन करना चाहते हैं। रेजोनेंस का प्रयोग अति दुर्बल आवर्त आवर्ती मात्राओं के अध्ययन में भी किया जाता है।

हालांकि, कुछ मामलों में, प्रतिध्वनि एक अवांछनीय घटना है, क्योंकि इससे बड़े विरूपण और संरचनाओं का विनाश हो सकता है।

§ समस्या समाधान के 6 उदाहरण

टास्क 1 एक बाहरी साइनसोइडल बल की कार्रवाई के तहत एक स्प्रिंग पेंडुलम के जबरन दोलन।

द्रव्यमान का भार m = 10 g एक स्प्रिंग से कठोरता k = 10 N/m के साथ निलंबित किया गया था और सिस्टम को एक चिपचिपा माध्यम में ड्रैग गुणांक r = 0.1 kg/s के साथ रखा गया था। सिस्टम की प्राकृतिक और गुंजयमान आवृत्तियों की तुलना करें। एक आयाम F 0 = 20 mN के साथ एक साइनसॉइडल बल की क्रिया के तहत प्रतिध्वनि पर पेंडुलम दोलनों के आयाम का निर्धारण करें।

समाधान:

1 दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति घर्षण की अनुपस्थिति में मुक्त दोलनों की आवृत्ति है। प्राकृतिक चक्रीय आवृत्ति है, दोलन आवृत्ति।

2 गुंजयमान आवृत्ति बाहरी ड्राइविंग बल की आवृत्ति है जिस पर मजबूर कंपन का आयाम तेजी से बढ़ता है। गुंजयमान चक्रीय आवृत्ति है, जहां क्षीणन गुणांक के बराबर है।

इस प्रकार, गुंजयमान आवृत्ति है। यह देखना आसान है कि गुंजयमान आवृत्ति अपने से कम है! यह भी देखा जा सकता है कि सिस्टम (r) में घर्षण जितना कम होगा, गुंजयमान आवृत्ति उतनी ही करीब होगी।

3 गुंजयमान आयाम है

टास्क 2 एक ऑसिलेटरी सिस्टम का गुंजयमान आयाम और गुणवत्ता कारक

द्रव्यमान का भार m = 100 ग्राम एक वसंत से कठोरता k = 10 N/m के साथ निलंबित किया गया था और सिस्टम को एक चिपचिपा माध्यम में एक ड्रैग गुणांक के साथ रखा गया था

आर = 0.02 किग्रा / एस। एक आयाम एफ 0 = 10 एमएन के साथ साइनसॉइडल बल की कार्रवाई के तहत अनुनाद पर दोलन प्रणाली के गुणवत्ता कारक और पेंडुलम दोलनों के आयाम का निर्धारण करें। एक स्थिर बल F 0 = 20 mN की क्रिया के तहत गुंजयमान आयाम का स्थिर विस्थापन के अनुपात का पता लगाएं और इस अनुपात की गुणवत्ता कारक से तुलना करें।

समाधान:

1 ऑसिलेटरी सिस्टम का गुणवत्ता कारक है, जहां लॉगरिदमिक डंपिंग डिक्रीमेंट है।

लघुगणकीय अवमंदन कमी है।

हम दोलन प्रणाली का गुणवत्ता कारक पाते हैं।

2 गुंजयमान आयाम है

3 एक स्थिर बल F 0 = 10 mN की क्रिया के तहत स्थैतिक विस्थापन है।

4 एक स्थिर बल F 0 की क्रिया के तहत गुंजयमान आयाम का स्थिर विस्थापन के अनुपात के बराबर है

यह देखना आसान है कि यह अनुपात ऑसिलेटरी सिस्टम के गुणवत्ता कारक के साथ मेल खाता है

टास्क 3 बीम के अनुनाद कंपन

इलेक्ट्रिक मोटर के वजन के प्रभाव में, ब्रैकट टैंक, जिस पर इसे स्थापित किया गया है, झुक गया। मोटर के आर्मेचर के कितने चक्करों पर प्रतिध्वनि का खतरा हो सकता है?

समाधान:

1 इंजन का शरीर और बीम जिस पर इसे स्थापित किया गया है, मोटर के घूर्णन आर्मेचर की ओर से आवधिक झटके का अनुभव करता है और इसलिए, झटके की आवृत्ति के साथ मजबूर दोलन करता है।

अनुनाद तब देखा जाएगा जब झटके की पुनरावृत्ति आवृत्ति मोटर के साथ बीम के दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती है। बीम-मोटर प्रणाली की प्राकृतिक दोलन आवृत्ति का पता लगाना आवश्यक है।

2 ऑसिलेटिंग सिस्टम बीम का एक एनालॉग - मोटर एक ऊर्ध्वाधर स्प्रिंग पेंडुलम हो सकता है, जिसका द्रव्यमान मोटर के द्रव्यमान के बराबर होता है। स्प्रिंग लोलक के दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति है । लेकिन स्प्रिंग की कठोरता और मोटर का द्रव्यमान ज्ञात नहीं है! हो कैसे?

3 स्प्रिंग लोलक की संतुलन स्थिति में, भार के गुरुत्वाकर्षण बल को स्प्रिंग की लोच के बल द्वारा संतुलित किया जाता है

4 हम इंजन के आर्मेचर का घूर्णन पाते हैं, अर्थात्। झटका आवृत्ति

समस्या 4 आवधिक झटके की कार्रवाई के तहत एक वसंत पेंडुलम के मजबूर दोलन।

द्रव्यमान का एक भार m = 0.5 किग्रा एक सर्पिल स्प्रिंग से कठोरता k = 20 N/m के साथ निलंबित है। ऑसिलेटरी सिस्टम का लॉगरिदमिक डंपिंग डिक्रीमेंट है। वे वजन पर छोटे झटके के साथ स्विंग करना चाहते हैं, एक समय के लिए F = 100 mN बल के साथ वजन पर अभिनय करते हुए = 0.01 s। केटलबेल का आयाम सबसे बड़ा होने के लिए प्रभावों की पुनरावृत्ति की आवृत्ति क्या होनी चाहिए? किस समय और किस दिशा में केटलबेल को धक्का देना चाहिए? इस प्रकार केटलबेल को किस आयाम तक घुमाना संभव होगा?

समाधान:

1 जबरन कंपन किसी भी आवधिक क्रिया के साथ हो सकता है। इस मामले में, बाहरी क्रिया की पुनरावृत्ति दर के साथ स्थिर दोलन होगा। यदि बाहरी झटके की अवधि प्राकृतिक दोलनों की आवृत्ति के साथ मेल खाती है, तो सिस्टम में प्रतिध्वनि होती है - दोलनों का आयाम सबसे बड़ा हो जाता है। हमारे मामले में, प्रतिध्वनि की शुरुआत के लिए, झटके की पुनरावृत्ति की अवधि को वसंत पेंडुलम के दोलन की अवधि के साथ मेल खाना चाहिए।

लॉगरिदमिक अवमंदन छोटा है, इसलिए, सिस्टम में थोड़ा घर्षण होता है, और एक चिपचिपा माध्यम में पेंडुलम के दोलन की अवधि व्यावहारिक रूप से वैक्यूम में पेंडुलम के दोलन की अवधि के साथ मेल खाती है:

2 जाहिर है, झटके की दिशा केटलबेल की गति के साथ मेल खाना चाहिए। इस मामले में, ऊर्जा के साथ सिस्टम को फिर से भरने वाले बाहरी बल का कार्य सकारात्मक होगा। और कंपन झूम उठेगा। प्रभाव के दौरान सिस्टम द्वारा प्राप्त ऊर्जा

सबसे बड़ा होगा जब भार संतुलन की स्थिति से गुजरता है, क्योंकि इस स्थिति में पेंडुलम की गति अधिकतम होती है।

इसलिए, संतुलन की स्थिति से गुजरने पर लोड की गति की दिशा में झटके की कार्रवाई के तहत सिस्टम सबसे तेज़ी से स्विंग करेगा।

3 दोलन आयाम बढ़ना बंद हो जाता है जब प्रभाव के दौरान सिस्टम को दी गई ऊर्जा अवधि के दौरान घर्षण के कारण ऊर्जा हानि के बराबर होगी:।

हम दोलन प्रणाली के गुणवत्ता कारक के माध्यम से अवधि के लिए ऊर्जा हानि पाते हैं

जहाँ E दोलन प्रणाली की कुल ऊर्जा है, जिसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है।

हम नुकसान की ऊर्जा के बजाय प्रभाव के दौरान सिस्टम द्वारा प्राप्त ऊर्जा को प्रतिस्थापित करते हैं:

दोलन के दौरान अधिकतम गति है। इसे ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

§7 स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

परीक्षण "मजबूर कंपन"

1 किस कंपन को मजबूर कहा जाता है?

ए) बाहरी समय-समय पर बदलती ताकतों की कार्रवाई के तहत होने वाले दोलन;

बी) बाहरी धक्का के बाद सिस्टम में होने वाले दोलन;

2 निम्नलिखित में से कौन सा दोलन मजबूर है?

ए) संतुलन की स्थिति से अपने एकल विचलन के बाद वसंत से निलंबित भार का दोलन;

बी) रिसीवर के संचालन के दौरान लाउडस्पीकर विसारक का कंपन;

सी) संतुलन की स्थिति में भार पर एकल प्रभाव के बाद वसंत से निलंबित भार का दोलन;

डी) इसके संचालन के दौरान इलेक्ट्रिक मोटर के शरीर का कंपन;

ई) संगीत सुनने वाले व्यक्ति की टाम्पैनिक झिल्ली का कंपन।

3 एक प्राकृतिक आवृत्ति के साथ एक दोलन प्रणाली बाहरी ड्राइविंग बल से प्रभावित होती है जो कानून के अनुसार बदलती है। दोलन प्रणाली में अवमंदन गुणांक है। किस नियम के अनुसार शरीर का समन्वय समय के साथ बदलता है?

सी) मजबूर दोलनों का आयाम अपरिवर्तित रहेगा, क्योंकि घर्षण के कारण सिस्टम के ऊर्जा नुकसान की भरपाई बाहरी ड्राइविंग बल के काम के कारण ऊर्जा लाभ से होगी।

5 सिस्टम साइनसॉइडल बल की कार्रवाई के तहत मजबूर दोलन करता है। उल्लिखित करना सबवे कारक जिन पर इन दोलनों का आयाम निर्भर करता है।

ए) बाहरी ड्राइविंग बल के आयाम से;

बी) बाहरी बल की कार्रवाई की शुरुआत के समय ऊर्जा की एक थरथरानवाला प्रणाली की उपस्थिति;

सी) थरथरानवाला प्रणाली के पैरामीटर ही;

डी) दोलन प्रणाली में घर्षण;

ई) जिस समय बाहरी बल कार्य करना शुरू करता है, उस समय प्रणाली में प्राकृतिक दोलनों का अस्तित्व;

ई) दोलनों की स्थापना का समय;

जी) बाहरी ड्राइविंग बल की आवृत्तियाँ।

6 द्रव्यमान m का एक दंड क्षैतिज तल के साथ-साथ अवधि T और आयाम A के साथ मजबूर हार्मोनिक दोलन करता है। घर्षण गुणांक μ। आवर्त T के बराबर समय में बाह्य प्रेरक शक्ति द्वारा कौन-सा कार्य किया जाता है?

ए) 4μmgA; बी) 2μmgA; सी) माइक्रोग्राम; डी) 0;

ई) इसका उत्तर देना संभव नहीं है, क्योंकि बाहरी प्रेरक शक्ति का परिमाण ज्ञात नहीं है।

7 सही कथन करें

अनुनाद घटना है...

ए) ऑसिलेटरी सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ बाहरी बल की आवृत्ति का संयोग;

बी) मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि।

अनुनाद स्थिति के तहत मनाया जाता है

ए) ऑसिलेटरी सिस्टम में घर्षण में कमी;

बी) बाहरी ड्राइविंग बल के आयाम में वृद्धि;

सी) दोलन प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ बाहरी बल की आवृत्ति का संयोग;

डी) जब बाहरी बल की आवृत्ति गुंजयमान आवृत्ति के साथ मेल खाती है।

8 अनुनाद की घटना को देखा जा सकता है ...

ए) किसी भी दोलन प्रणाली में;

बी) एक प्रणाली में जो मुक्त दोलन करता है;

सी) एक स्व-दोलन प्रणाली में;

डी) एक प्रणाली में जो मजबूर दोलन करता है।

9 यह आंकड़ा ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर मजबूर दोलनों के आयाम की निर्भरता का एक ग्राफ दिखाता है। अनुनाद आवृत्ति पर होता है...

10 विभिन्न चिपचिपा मीडिया में तीन समान पेंडुलम मजबूर दोलन करते हैं। चित्र इन लोलकों के लिए अनुनाद वक्रों को दर्शाता है। दोलन प्रक्रिया के दौरान कौन सा पेंडुलम चिपचिपे माध्यम से सबसे अधिक प्रतिरोध का अनुभव करता है?

ए) 1; बी) 2; तीन बजे;

डी) उत्तर देना संभव नहीं है, क्योंकि मजबूर दोलनों का आयाम, बाहरी बल की आवृत्ति के अलावा, इसके आयाम पर भी निर्भर करता है। स्थिति बाहरी ड्राइविंग बल के आयाम के बारे में कुछ नहीं कहती है।

11 ऑसिलेटरी सिस्टम के प्राकृतिक स्पंदनों की अवधि T 0 के बराबर होती है। झटके की पुनरावृत्ति की अवधि क्या हो सकती है ताकि दोलनों का आयाम तेजी से बढ़े, यानी सिस्टम में एक प्रतिध्वनि होती है?

ए) टी 0; बी) टी 0, 2 टी 0, 3 टी 0,…;

सी) आप किसी भी आवृत्ति के धक्का के साथ स्विंग स्विंग कर सकते हैं।

12 तेरा छोटा भाई एक झूले पर बैठा है, तू उसे छोटे-छोटे धक्का देकर हिलाता है। प्रक्रिया को सबसे अधिक कुशलता से आगे बढ़ाने के लिए झटकों की अवधि क्या होनी चाहिए? झूले टी 0 के प्राकृतिक दोलनों की अवधि।

डी) आप किसी भी आवृत्ति के धक्का के साथ स्विंग स्विंग कर सकते हैं।

13 तेरा छोटा भाई एक झूले पर बैठा है, तू उसे छोटे-छोटे धक्का देकर हिलाता है। प्रक्रिया को सबसे कुशलता से करने के लिए स्विंग की किस स्थिति में धक्का दिया जाना चाहिए और किस दिशा में धक्का दिया जाना चाहिए?

ए) संतुलन की स्थिति की दिशा में स्विंग की चरम ऊपरी स्थिति में धक्का दें;

बी) संतुलन की स्थिति से दिशा में स्विंग की चरम ऊपरी स्थिति में धक्का दें;

बी) झूले की गति की दिशा में संतुलन की स्थिति में धक्का;

डी) आप किसी भी स्थिति में धक्का दे सकते हैं, लेकिन हमेशा स्विंग की दिशा में।

14 ऐसा लगता है कि पुल पर एक गुलेल से अपने स्वयं के कंपन के साथ समय पर गोली मारकर और बहुत सारे शॉट बनाकर, इसे दृढ़ता से हिलाया जा सकता है, लेकिन इसके सफल होने की संभावना नहीं है। क्यों?

ए) पुल का द्रव्यमान (इसकी जड़ता) गुलेल से "बुलेट" के द्रव्यमान की तुलना में बड़ा है, पुल इस तरह के प्रहार के प्रभाव में नहीं चल पाएगा;

बी) गुलेल से "बुलेट" का प्रभाव बल इतना छोटा है कि पुल ऐसे प्रभावों के प्रभाव में आगे नहीं बढ़ पाएगा;

सी) एक झटके में पुल को दी गई ऊर्जा अवधि के दौरान घर्षण के कारण ऊर्जा हानि से काफी कम है।

15 तुम एक बाल्टी पानी ले जा रहे हो। बाल्टी में पानी बहता है और छींटे मारता है। ऐसा होने से रोकने के लिए क्या किया जा सकता है?

ए) उस हाथ को लहराते हुए जिसमें चलने के समय बाल्टी स्थित है;

बी) कदम की लंबाई अपरिवर्तित छोड़कर, आंदोलन की गति बदलें;

ग) समय-समय पर रुकें और पानी के कंपन के शांत होने की प्रतीक्षा करें;

डी) सुनिश्चित करें कि आंदोलन के दौरान बाल्टी के साथ हाथ सख्ती से लंबवत स्थित है।

कार्य

1 सिस्टम 1000 हर्ट्ज की आवृत्ति के साथ नम दोलन करता है। आवृत्ति निर्धारित करें v0प्राकृतिक कंपन, यदि गुंजयमान आवृत्ति

2 निर्धारित करें कि कितना D वीगुंजयमान आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति से भिन्न होती है v0एक अवमंदन गुणांक d = 400s -1 द्वारा अभिलक्षित एक दोलन प्रणाली का = 1000 हर्ट्ज़।

3 100 ग्राम का एक द्रव्यमान, कठोरता 10 N/m के वसंत पर निलंबित, एक चिपचिपा माध्यम में एक ड्रैग गुणांक r = 0.02 किग्रा/सेकेंड के साथ मजबूर दोलन करता है। भिगोना कारक, गुंजयमान आवृत्ति और आयाम निर्धारित करें। ड्राइविंग बल का आयाम मान 10 mN है।

4 w 1 = 400 s -1 और w 2 = 600 s -1 आवृत्तियों पर मजबूर हार्मोनिक दोलनों के आयाम एक दूसरे के बराबर हैं। गुंजयमान आवृत्ति निर्धारित करें।

5 ट्रक एक तरफ से गंदगी वाली सड़क पर अनाज के गोदाम में घुसते हैं, गोदाम को उसी गति से उतारकर छोड़ देते हैं, लेकिन दूसरी तरफ। गोदाम के किस तरफ सड़क में दूसरे से ज्यादा गड्ढे हैं? कैसे निर्धारित करें कि गोदाम के किस तरफ से प्रवेश द्वार और कौन से निकास सड़क की स्थिति से निर्धारित होते हैं? आपने जवाब का औचित्य साबित करें

इस पाठ में, हर कोई "ऑसिलेटरी मोशन के दौरान ऊर्जा का परिवर्तन" विषय का अध्ययन करने में सक्षम होगा। नम कंपन। मजबूर कंपन। इस पाठ में, हम इस बात पर विचार करेंगे कि दोलन गति के दौरान किस प्रकार का ऊर्जा परिवर्तन होता है। ऐसा करने के लिए, हम एक क्षैतिज स्प्रिंग लोलक प्रणाली के साथ एक महत्वपूर्ण प्रयोग करेंगे। हम भीगे हुए दोलनों और मजबूर दोलनों से संबंधित मुद्दों पर भी चर्चा करेंगे।

पाठ "ऑसिलेटरी मोशन के दौरान ऊर्जा का रूपांतरण" विषय के लिए समर्पित है। इसके अलावा, हम नम और मजबूर दोलनों से संबंधित मुद्दे पर विचार करेंगे।

आइए इस प्रश्न को अगले महत्वपूर्ण प्रयोग से जानते हैं। एक पिंड वसंत से जुड़ा होता है, जो क्षैतिज रूप से दोलन कर सकता है। ऐसी प्रणाली को क्षैतिज स्प्रिंग लोलक कहा जाता है। इस मामले में, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव को नजरअंदाज किया जा सकता है।

चावल। 1. क्षैतिज वसंत पेंडुलम

हम यह मानेंगे कि घर्षण बलों के निकाय में कोई प्रतिरोध बल नहीं होते हैं। जब यह प्रणाली संतुलन में होती है और कोई दोलन नहीं होता है, तो शरीर का वेग 0 होता है और वसंत का कोई विरूपण नहीं होता है। इस मामले में, इस पेंडुलम में कोई ऊर्जा नहीं है। लेकिन जैसे ही शरीर को संतुलन बिंदु के सापेक्ष दाईं या बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है, ऐसे में हम इस दोलन प्रणाली में ऊर्जा के संचार का कार्य करेंगे। इस मामले में क्या होता है? निम्नलिखित होता है: वसंत विकृत हो जाता है, इसकी लंबाई बदल जाती है। हम वसंत को संभावित ऊर्जा देते हैं। यदि आप अब भार छोड़ते हैं, इसे पकड़ें नहीं, तो यह संतुलन की स्थिति की ओर बढ़ना शुरू कर देगा, वसंत सीधा होना शुरू हो जाएगा और वसंत की विकृति कम हो जाएगी। शरीर की गति में वृद्धि होगी, और ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, वसंत की स्थितिज ऊर्जा शरीर की गति की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाएगी।

चावल। 2. स्प्रिंग लोलक के दोलन के चरण

विकृतिवसंत का x निम्नानुसार निर्धारित किया जाता है: ∆x = x 0 - x। विरूपण पर विचार करने के बाद, हम कह सकते हैं कि सभी संभावित ऊर्जा वसंत ऋतु में जमा हो जाती है:।

दोलनों के दौरान, स्थितिज ऊर्जा को बार की गतिज ऊर्जा में लगातार परिवर्तित किया जाता है:।

उदाहरण के लिए, जब दंड संतुलन बिंदु x 0 से गुजरता है, तो स्प्रिंग का विरूपण 0 होता है, अर्थात। ∆x=0, इसलिए, वसंत की संभावित ऊर्जा 0 है और वसंत की सभी संभावित ऊर्जा बार की गतिज ऊर्जा में बदल गई है: ई पी (बिंदु बी पर) \u003d ई के (बिंदु ए पर). या .

इस गति के परिणामस्वरूप, स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। तब जड़ता की तथाकथित घटना सामने आती है। एक पिंड जिसका एक निश्चित द्रव्यमान होता है, जड़त्व से, संतुलन के बिंदु से गुजरता है। शरीर की गति कम होने लगती है, और विकृति, वसंत का बढ़ाव बढ़ जाता है। यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि शरीर की गतिज ऊर्जा कम हो जाती है, और वसंत की स्थितिज ऊर्जा फिर से बढ़ने लगती है। हम गतिज ऊर्जा के संभावित में परिवर्तन के बारे में बात कर सकते हैं।

जब शरीर अंत में रुक जाता है, तो शरीर की गति 0 के बराबर हो जाएगी, और वसंत का विरूपण अधिकतम हो जाएगा, इस मामले में हम कह सकते हैं कि शरीर की सभी गतिज ऊर्जा वसंत की संभावित ऊर्जा में बदल गई है। . भविष्य में, सब कुछ शुरुआत से दोहराया जाता है। यदि एक शर्त पूरी हो जाती है, तो ऐसी प्रक्रिया लगातार होती रहेगी। यह स्थिति क्या है? यह स्थिति घर्षण की अनुपस्थिति है। लेकिन घर्षण बल, प्रतिरोध बल किसी भी प्रणाली में मौजूद होता है। इसलिए, पेंडुलम के प्रत्येक बाद के आंदोलन के साथ, ऊर्जा की हानि होती है। घर्षण बल पर काबू पाने के लिए काम किया जा रहा है। कूलम्ब के नियम के लिए घर्षण बल - अमोन्टन: एफ टीपी \u003d μ।एन.

दोलनों की बात करें तो, हमें हमेशा यह याद रखना चाहिए कि घर्षण बल इस तथ्य की ओर ले जाता है कि किसी दिए गए दोलन प्रणाली में संग्रहीत सभी ऊर्जा धीरे-धीरे आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। नतीजतन, दोलन बंद हो जाते हैं, और एक बार दोलन रुक जाते हैं, तो ऐसे दोलनों को नम कहा जाता है।

नम कंपन - कंपन, जिसका आयाम इस तथ्य के कारण कम हो जाता है कि ऑसिलेटरी सिस्टम की ऊर्जा प्रतिरोध और घर्षण बलों पर काबू पाने में खर्च होती है।

चावल। 3. भीगे हुए दोलनों का ग्राफ

अगले प्रकार के दोलन, जिन पर हम विचार करेंगे, तथाकथित। मजबूर कंपन। मजबूर कंपन ऐसे कंपन कहलाते हैं जो किसी दिए गए ऑसिलेटरी सिस्टम पर एक आवधिक, बाहरी बल की कार्रवाई के तहत होते हैं।

यदि पेंडुलम दोलन करता है, तो इन दोलनों को न रुकने के लिए, हर बार एक बाहरी बल को पेंडुलम पर कार्य करना चाहिए। उदाहरण के लिए, हम अपने हाथ से पेंडुलम पर कार्य करते हैं, इसे स्थानांतरित करते हैं, इसे धक्का देते हैं। कुछ बल के साथ कार्य करना और ऊर्जा के नुकसान की भरपाई करना अनिवार्य है। तो, मजबूर कंपन वे कंपन हैं जो बाहरी ड्राइविंग बल की कार्रवाई के तहत होते हैं। इस तरह के दोलनों की आवृत्ति बाहरी अभिनय बल की आवृत्ति के साथ मेल खाती है। जब एक बाहरी बल पेंडुलम पर कार्य करना शुरू करता है, तो निम्न होता है: सबसे पहले, दोलनों का एक छोटा आयाम होगा, लेकिन धीरे-धीरे यह आयाम बढ़ेगा। और जब आयाम एक स्थिर मान प्राप्त कर लेता है, तो दोलन आवृत्ति भी एक स्थिर मान प्राप्त कर लेती है, वे कहते हैं कि ऐसे दोलन स्थापित हो गए हैं। जबरन दोलन स्थापित किए गए हैं।

स्थापित मजबूर कंपनबाहरी ड्राइविंग बल के काम के कारण ऊर्जा के नुकसान की भरपाई करें।

गूंज

एक बहुत ही महत्वपूर्ण घटना है जो प्रकृति और प्रौद्योगिकी में अक्सर देखी जाती है। इस घटना को अनुनाद कहा जाता है। "रेजोनेंस" एक लैटिन शब्द है और इसका रूसी में "प्रतिक्रिया" के रूप में अनुवाद किया गया है। गूंज (अक्षांश से।रेसोनो - "मैं जवाब देता हूं") - सिस्टम के मजबूर दोलनों के आयाम में वृद्धि की घटना, जो तब होती है जब बल की बाहरी क्रिया की आवृत्ति पेंडुलम या इस दोलन प्रणाली के प्राकृतिक दोलन की आवृत्ति तक पहुंच जाती है। .

यदि कोई पेंडुलम है जिसकी अपनी लंबाई, द्रव्यमान या वसंत की कठोरता है, तो इस पेंडुलम के अपने दोलन होते हैं, जो आवृत्ति की विशेषता होती है। यदि इस पेंडुलम पर एक बाहरी प्रेरक बल कार्य करना शुरू कर देता है और इस बल की आवृत्ति पेंडुलम की प्राकृतिक आवृत्ति (इसके साथ मेल खाती है) के करीब पहुंचने लगती है, तो दोलन आयाम में तेज वृद्धि होती है। यह प्रतिध्वनि की घटना है।

इस तरह की घटना के परिणामस्वरूप, दोलन इतने बड़े हो सकते हैं कि शरीर, दोलन प्रणाली ही ढह जाएगी। एक ज्ञात मामला है जब इस तरह की घटना के परिणामस्वरूप पुल पर चलने वाले सैनिकों की एक पंक्ति बस पुल गिर गई। एक और मामला, जब वायु द्रव्यमान की गति के परिणामस्वरूप, हवा के पर्याप्त शक्तिशाली झोंके, संयुक्त राज्य अमेरिका में एक पुल ढह गया। यह भी प्रतिध्वनि की एक घटना है। पुल के दोलन, अपने स्वयं के कंपन, हवा के झोंकों की आवृत्ति, बाहरी ड्राइविंग बल के साथ मेल खाते हैं। इससे आयाम इतना बढ़ गया कि पुल ढह गया।

संरचनाओं और तंत्रों को डिजाइन करते समय वे इस घटना को ध्यान में रखने की कोशिश करते हैं। उदाहरण के लिए, जब कोई ट्रेन चल रही हो, तो निम्नलिखित हो सकता है। यदि कोई वैगन चल रहा है और यह वैगन अपने आंदोलन की ताल पर हिलना शुरू कर देता है, तो दोलनों का आयाम इतना बढ़ सकता है कि वैगन पटरी से उतर सकता है। एक दुर्घटना होगी। इस घटना को चिह्नित करने के लिए, वक्रों का उपयोग किया जाता है, जिन्हें गुंजयमान कहा जाता है।

चावल। 4. अनुनाद वक्र। वक्र शिखर - अधिकतम आयाम

बेशक, प्रतिध्वनि न केवल लड़ी जाती है, बल्कि इसका उपयोग भी किया जाता है। यह ज्यादातर ध्वनिकी में प्रयोग किया जाता है। जहां एक सभागार, एक थिएटर हॉल, एक कॉन्सर्ट हॉल है, हमें प्रतिध्वनि की घटना को ध्यान में रखना चाहिए।

अतिरिक्त साहित्य की सूची:

क्या आप प्रतिध्वनि से परिचित हैं? // क्वांटम। - 2003. - नंबर 1. - पी। 32-33 भौतिकी: यांत्रिकी। ग्रेड 10: प्रो। भौतिकी के गहन अध्ययन के लिए / एम.एम. बालाशोव, ए.आई. गोमोनोवा, ए.बी. डोलिट्स्की और अन्य; ईडी। जी.वाई.ए. मयाकिशेव। - एम .: बस्टर्ड, 2002। भौतिकी की प्राथमिक पाठ्यपुस्तक। ईडी। जी.एस. लैंड्सबर्ग, टी। 3. - एम।, 1974

आइए हम फिर से चित्र 53 की ओर मुड़ें। गेंद को बिंदु O (संतुलन की स्थिति) से बिंदु B तक ले जाकर, हम स्प्रिंग को खींचते हैं। साथ ही हम इसकी लोच के बल को दूर करने के लिए कुछ कार्य करते हैं, जिससे स्प्रिंग स्थितिज ऊर्जा प्राप्त कर लेता है। यदि हम अब गेंद को छोड़ते हैं, तो जैसे-जैसे यह बिंदु O के पास पहुँचती है, स्प्रिंग का विरूपण और लोलक की स्थितिज ऊर्जा कम होती जाएगी, जबकि गति और गतिज ऊर्जा में वृद्धि होगी।

आइए मान लें कि लोलक की गति के दौरान घर्षण बलों को दूर करने के लिए ऊर्जा हानि नगण्य है। फिर, ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुसार, किसी भी समय पेंडुलम की कुल यांत्रिक ऊर्जा (यानी, ई पी + ई के) को उसी समय और संभावित ऊर्जा के बराबर माना जा सकता है जिसे हमने शुरू में वसंत को प्रदान किया था, खींचकर यह खंड ओबी की लंबाई से अधिक है। इस मामले में, लोलक OB के बराबर एक स्थिर आयाम के साथ मनमाने ढंग से लंबे समय तक दोलन कर सकता है।

यदि आंदोलन के दौरान कोई ऊर्जा हानि नहीं होती तो यह स्थिति होती।

लेकिन वास्तव में हमेशा ऊर्जा का नुकसान होता है। यांत्रिक ऊर्जा खर्च की जाती है, उदाहरण के लिए, आंतरिक ऊर्जा में गुजरते समय, वायु प्रतिरोध की ताकतों को दूर करने के लिए काम करने के लिए। दोलनों का आयाम धीरे-धीरे कम हो जाता है, और थोड़ी देर बाद दोलन बंद हो जाते हैं। ऐसे दोलनों को अवमंदित कहा जाता है (चित्र 66)।

चावल। 66. पानी और हवा में होने वाले मुक्त दोलनों के आयाम की समय निर्भरता के रेखांकन

आंदोलन के प्रतिरोध का बल जितना अधिक होता है, उतनी ही तेजी से दोलन बंद हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, पानी में, हवा की तुलना में दोलनों का तेजी से क्षय होता है (चित्र 66, ए, बी)।

अब तक, हमने मुक्त दोलनों पर विचार किया है, अर्थात, प्रारंभिक ऊर्जा आरक्षित के कारण होने वाले दोलन।

मुक्त दोलनों को हमेशा नम किया जाता है, क्योंकि शुरू में थरथरानवाला प्रणाली को प्रदान की गई ऊर्जा की पूरी आपूर्ति अंततः घर्षण और माध्यम के प्रतिरोध की ताकतों को दूर करने के लिए काम करती है (यानी, यांत्रिक ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है)। इसलिए, मुक्त कंपन का व्यावहारिक रूप से कोई उपयोग नहीं है।

दोलनों को बिना ढके रहने के लिए, दोलनों की प्रत्येक अवधि के लिए ऊर्जा हानियों को फिर से भरना आवश्यक है। यह समय-समय पर बदलते बल के साथ एक दोलनशील पिंड पर कार्य करके किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हर बार स्विंग को उनके दोलनों की ताल पर धकेलते हुए, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि दोलन फीके न पड़ें।

बाहरी समय-समय पर बदलते बल की कार्रवाई के तहत किसी पिंड द्वारा किए गए दोलनों को मजबूर कंपन कहा जाता है।

बाह्य आवधिक परिवर्तनशील बल जो इन दोलनों का कारण बनते हैं, कहलाते हैं सम्मोहक बल.

यदि समय-समय पर बदलती प्रेरक शक्ति आराम से झूले पर कार्य करना शुरू कर देती है, तो कुछ समय के लिए झूले के मजबूर दोलनों का आयाम बढ़ जाएगा, अर्थात, प्रत्येक बाद के दोलन का आयाम पिछले एक से अधिक होगा। आयाम में वृद्धि तब रुक जाएगी जब घर्षण बल को दूर करने के लिए झूले द्वारा खोई गई ऊर्जा उनके द्वारा बाहर से प्राप्त ऊर्जा के बराबर हो जाएगी (प्रेरक बल के कार्य के कारण)।

ज्यादातर मामलों में, मजबूर दोलनों की निरंतर आवृत्ति तुरंत स्थापित नहीं की जाती है, लेकिन उनके शुरू होने के कुछ समय बाद।

जब मजबूर दोलनों का आयाम और आवृत्ति बदलना बंद हो जाती है, तो दोलनों को स्थिर कहा जाता है।

स्थिर मजबूर दोलनों की आवृत्ति ड्राइविंग बल की आवृत्ति के बराबर होती है.

जबरन दोलन उन निकायों द्वारा भी किए जा सकते हैं जो ऑसिलेटरी सिस्टम नहीं हैं, उदाहरण के लिए, एक सिलाई मशीन सुई, एक आंतरिक दहन इंजन में पिस्टन, और कई अन्य। ऐसे निकायों के दोलन भी प्रेरक शक्ति की आवृत्ति के साथ होते हैं।

जबरन दोलन अप्रकाशित हैं। वे तब तक होते हैं जब तक ड्राइविंग बल प्रभावी होता है।

प्रशन

यदि हम यह मान लें कि कोई ऊर्जा हानि नहीं हुई है, तो किसी भी समय दोलन करने वाले लोलक की कुल यांत्रिक ऊर्जा के बारे में क्या कहा जा सकता है? यह किस कानून के अनुसार कहा जा सकता है?
वास्तविक परिस्थितियों में होने वाले मुक्त दोलनों का आयाम समय के साथ कैसे बदलता है? इस बदलाव का कारण क्या है?
लोलक का झूलना कहाँ तेजी से रुकेगा - हवा में या पानी में? क्यों? (प्रारंभिक ऊर्जा आपूर्ति दोनों मामलों में समान है।)
क्या मुक्त दोलनों को अविरल किया जा सकता है? क्यों? दोलनों को अनडम्प्ड करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है?
स्थिर-राज्य मजबूर दोलनों की आवृत्ति और ड्राइविंग बल की आवृत्ति के बारे में क्या कहा जा सकता है?
क्या पिंड जो दोलन प्रणाली नहीं हैं वे जबरन दोलन कर सकते हैं? उदाहरण दो।
मजबूर दोलन कितने समय तक चलते हैं?

व्यायाम 25

घर्षण बलों की उपस्थिति के कारण किसी भी दोलन प्रणाली में यांत्रिक ऊर्जा का नुकसान अपरिहार्य है, इसलिए, बाहर से "पंपिंग" ऊर्जा के बिना, दोलनों को कम कर दिया जाएगा। अप्रकाशित दोलनों की दोलन प्रणाली बनाने के कई मौलिक रूप से भिन्न तरीके हैं। आइए करीब से देखें बाहरी आवधिक बल की कार्रवाई के तहत अप्रकाशित दोलन. इस तरह के दोलनों को मजबूर कहा जाता है। आइए एक हार्मोनिक लोलक की गति का अध्ययन जारी रखें (चित्र 6.9)।

पहले से मानी जाने वाली लोचदार ताकतों और चिपचिपा घर्षण के अलावा, गेंद पर बाहरी द्वारा कार्य किया जाता है सम्मोहकआवर्त बल जो हार्मोनिक नियम के अनुसार बदलता रहता है

आवृत्ति, जो लोलक की प्राकृतिक आवृत्ति से भिन्न हो सकती है ω हे. इस मामले में इस बल की प्रकृति हमारे लिए महत्वपूर्ण नहीं है। इस तरह के बल को विभिन्न तरीकों से बनाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, गेंद को विद्युत आवेश लगाकर और इसे बाहरी वैकल्पिक विद्युत क्षेत्र में रखकर। विचाराधीन मामले में गेंद की गति के समीकरण का रूप है

हम इसे गेंद के द्रव्यमान से विभाजित करते हैं और सिस्टम के मापदंडों के लिए पिछले अंकन का उपयोग करते हैं। नतीजतन, हमें मिलता है मजबूर कंपन समीकरण:

कहाँ पे एफ हे = एफ हे /एमगेंद के द्रव्यमान के लिए बाहरी ड्राइविंग बल के आयाम मान का अनुपात है। समीकरण (3) का सामान्य हल काफी बोझिल है और निश्चित रूप से प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करता है। समीकरण (3) द्वारा वर्णित गेंद की गति की प्रकृति समझ में आती है: ड्राइविंग बल की कार्रवाई के तहत, दोलन उत्पन्न होते हैं, जिसका आयाम बढ़ जाएगा। यह संक्रमणकालीन शासन बल्कि जटिल है और प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करता है। एक निश्चित अवधि के बाद, थरथरानवाला शासन स्थापित हो जाएगा, उनका आयाम बदलना बंद हो जाएगा। बिल्कुल स्थिर अवस्था दोलन, कई मामलों में प्राथमिक हित का है। हम प्रणाली के एक स्थिर स्थिति में संक्रमण पर विचार नहीं करेंगे, लेकिन इस शासन की विशेषताओं के विवरण और अध्ययन पर ध्यान केंद्रित करेंगे। समस्या के इस तरह के बयान के साथ, प्रारंभिक शर्तों को निर्धारित करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि हमारे लिए ब्याज की स्थिर-राज्य शासन प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर नहीं करता है, इसकी विशेषताओं को पूरी तरह से समीकरण द्वारा ही निर्धारित किया जाता है। एक निरंतर बाहरी बल और चिपचिपा घर्षण बल की कार्रवाई के तहत एक शरीर की गति का अध्ययन करते समय हमें इसी तरह की स्थिति का सामना करना पड़ा

कुछ समय बाद, शरीर निरंतर स्थिर गति से चलता है वी = एफ हे /β , जो प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर नहीं करता है और गति के समीकरण द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होता है। प्रारंभिक स्थितियां स्थिर गति के लिए संक्रमणकालीन शासन को निर्धारित करती हैं। सामान्य ज्ञान के आधार पर, यह मान लेना उचित है कि स्थिर-अवस्था दोलन मोड में, गेंद बाहरी ड्राइविंग बल की आवृत्ति के साथ दोलन करेगी। इसलिए, ड्राइविंग बल की आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक फ़ंक्शन में समीकरण (3) का समाधान मांगा जाना चाहिए। सबसे पहले, हम प्रतिरोध बल की उपेक्षा करते हुए समीकरण (3) को हल करते हैं

आइए इसका समाधान एक हार्मोनिक फ़ंक्शन के रूप में खोजने का प्रयास करें

ऐसा करने के लिए, हम गति के नियम के व्युत्पन्न के रूप में, समय पर शरीर की गति और त्वरण की निर्भरता की गणना करते हैं

और उनके मानों को समीकरण (4) में प्रतिस्थापित करें

अब आप काट सकते हैं कोसिटा. इसलिए, यह अभिव्यक्ति किसी भी समय एक वास्तविक पहचान में बदल जाती है, बशर्ते कि शर्त

इस प्रकार, समीकरण (4) के रूप में (5) के समाधान के बारे में हमारी धारणा उचित थी: स्थिर अवस्था दोलन मोड को फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया गया है

ध्यान दें कि गुणांक एप्राप्त व्यंजक (6) के अनुसार, यह धनात्मक (के लिए .) दोनों हो सकता है ω < ω हे) और नकारात्मक (के लिए ω > ω हे) संकेत परिवर्तन दोलन चरण में परिवर्तन से मेल खाता है π (इस तरह के परिवर्तन का कारण थोड़ी देर बाद स्पष्ट किया जाएगा), इसलिए, दोलनों का आयाम इस गुणांक का मापांक है |ए|. स्थिर दोलनों का आयाम, जैसा कि अपेक्षित था, प्रेरक बल के परिमाण के समानुपाती होता है। इसके अलावा, यह आयाम ड्राइविंग बल की आवृत्ति पर एक जटिल तरीके से निर्भर करता है। इस निर्भरता का एक योजनाबद्ध आरेख अंजीर में दिखाया गया है। 6.10

चावल। 6.10 अनुनाद वक्र

सूत्र (6) से निम्नानुसार है और ग्राफ पर स्पष्ट रूप से देखा जाता है, जैसे-जैसे ड्राइविंग बल की आवृत्ति सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति के करीब पहुंचती है, आयाम तेजी से बढ़ता है। आयाम में इस तरह की वृद्धि का कारण स्पष्ट है: ड्राइविंग बल "समय में" गेंद को धक्का देता है, आवृत्तियों के पूर्ण संयोग के साथ, स्थिर स्थिति अनुपस्थित है - आयाम अनंत तक बढ़ जाता है। बेशक, व्यवहार में, ऐसी अनंत वृद्धि का निरीक्षण करना असंभव है: पहले तो, इससे ऑसिलेटरी सिस्टम का ही विनाश हो सकता है, दूसरे, बड़े दोलन आयामों पर, माध्यम के प्रतिरोध बलों की उपेक्षा नहीं की जा सकती है। मजबूर दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि के रूप में ड्राइविंग बल की आवृत्ति प्रणाली के दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति के करीब पहुंचती है, अनुनाद घटना कहलाती है। आइए अब हम प्रतिरोध बल को ध्यान में रखते हुए, मजबूर दोलनों के समीकरण के समाधान की खोज के लिए आगे बढ़ें

स्वाभाविक रूप से, इस मामले में भी, ड्राइविंग बल की आवृत्ति के साथ एक हार्मोनिक फ़ंक्शन के रूप में समाधान मांगा जाना चाहिए। यह देखना आसान है कि इस मामले में फॉर्म (5) में समाधान की खोज से सफलता नहीं मिलेगी। दरअसल, समीकरण (8) में, समीकरण (4) के विपरीत, कण वेग होता है, जिसे साइन फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जाता है। इसलिए, समीकरण (8) में समय भाग कम नहीं होगा। इसलिए, समीकरण (8) के हल को एक हार्मोनिक फ़ंक्शन के सामान्य रूप में दर्शाया जाना चाहिए

जिसमें दो पैरामीटर ए हेतथा φ समीकरण (8) का उपयोग करके पाया जाना चाहिए। पैरामीटर ए हेमजबूर दोलनों का आयाम है, φ - बदलते समन्वय और परिवर्तनशील ड्राइविंग बल के बीच चरण परिवर्तन। योग के कोज्या के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करके, फ़ंक्शन (9) को समतुल्य रूप में दर्शाया जा सकता है

जिसमें दो पैरामीटर भी शामिल हैं बी = ए हे कोसφतथा सी = -ए हे पापनिर्धारित किए जाने हेतु। फ़ंक्शन (10) का उपयोग करके, हम समय पर कण के वेग और त्वरण की निर्भरता के लिए स्पष्ट व्यंजक लिखते हैं

और समीकरण (8) में स्थानापन्न करें:

आइए इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखें

समानता (13) को किसी भी समय धारण करने के लिए, यह आवश्यक है कि कोसाइन और साइन पर गुणांक शून्य के बराबर हों। इस शर्त के आधार पर, हम फ़ंक्शन के मापदंडों (10) को निर्धारित करने के लिए दो रैखिक समीकरण प्राप्त करते हैं:

समीकरणों की इस प्रणाली के हल का रूप है

सूत्र (10) के आधार पर, हम मजबूर दोलनों की विशेषताओं को निर्धारित करते हैं: आयाम

चरण बदलाव

कम भिगोने पर, ड्राइविंग बल की आवृत्ति के करीब आने पर यह निर्भरता तेज हो जाती है ω प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति के लिए ω हे. इस प्रकार, इस मामले में, अनुनाद भी हो सकता है; इसलिए, निर्मित निर्भरता को अक्सर अनुनाद वक्र कहा जाता है। कमजोर क्षीणन के लिए लेखांकन से पता चलता है कि आयाम अनंत तक नहीं बढ़ता है, इसका अधिकतम मूल्य क्षीणन गुणांक पर निर्भर करता है - जैसे-जैसे बाद बढ़ता है, अधिकतम आयाम तेजी से घटता है। ड्राइविंग बल (16) की आवृत्ति पर दोलन आयाम की परिणामी निर्भरता में बहुत अधिक स्वतंत्र पैरामीटर होते हैं ( एफ हे , ω हे , γ ) अनुनाद वक्रों के एक पूरे परिवार का निर्माण करने के लिए। जैसा कि कई मामलों में, "आयाम रहित" चरों को पारित करके इस निर्भरता को काफी सरल बनाया जा सकता है। आइए हम सूत्र (16) को निम्न रूप में रूपांतरित करें

और निरूपित करें

- सापेक्ष आवृत्ति (सिस्टम दोलनों की प्राकृतिक आवृत्ति के लिए ड्राइविंग बल की आवृत्ति का अनुपात);

- सापेक्ष आयाम (विचलन के परिमाण के दोलनों के आयाम का अनुपात ए हे = एफ/ω हे 2 शून्य आवृत्ति पर);

एक आयाम रहित पैरामीटर है जो क्षीणन की मात्रा निर्धारित करता है। इन नोटेशन का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन (16) बहुत सरल है

चूंकि इसमें केवल एक पैरामीटर है - δ . फ़ंक्शन (16 बी) द्वारा वर्णित अनुनाद वक्रों के एक-पैरामीटर परिवार का निर्माण किया जा सकता है, विशेष रूप से कंप्यूटर की सहायता से आसानी से। इस तरह के निर्माण का परिणाम अंजीर में दिखाया गया है। 629.

चावल। 6.11

ध्यान दें कि माप की "सामान्य" इकाइयों में संक्रमण समन्वय अक्षों के पैमाने में प्राथमिक परिवर्तन द्वारा किया जा सकता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ड्राइविंग बल की आवृत्ति, जिस पर मजबूर दोलनों का आयाम अधिकतम होता है, भी भिगोना गुणांक पर निर्भर करता है, बाद की वृद्धि के साथ थोड़ा कम होता है। अंत में, हम इस बात पर जोर देते हैं कि अवमंदन गुणांक में वृद्धि से अनुनाद वक्र की चौड़ाई में उल्लेखनीय वृद्धि होती है। बिंदु के दोलनों और प्रेरक शक्ति के बीच परिणामी चरण बदलाव भी दोलनों की आवृत्ति और उनके क्षीणन गुणांक पर निर्भर करता है। मजबूर दोलनों की प्रक्रिया में ऊर्जा के परिवर्तन पर विचार करते समय हम इस चरण बदलाव की भूमिका से और अधिक विस्तार से परिचित होंगे।

मुक्त अप्रकाशित दोलनों की आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती है, नम दोलनों की आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति से थोड़ी कम होती है, और मजबूर दोलनों की आवृत्ति ड्राइविंग बल की आवृत्ति के साथ मेल खाती है, न कि प्राकृतिक आवृत्ति के साथ।

मजबूर विद्युत चुम्बकीय दोलन

मज़बूरऐसे दोलन कहलाते हैं जो बाह्य आवर्त प्रभाव के प्रभाव में दोलन प्रणाली में होते हैं।

चित्र 6.12. मजबूर विद्युत दोलनों के साथ सर्किट

इलेक्ट्रिक ऑसिलेटरी सर्किट में होने वाली प्रक्रियाओं पर विचार करें ( अंजीर.6.12) एक बाहरी स्रोत से जुड़ा है, जिसका ईएमएफ हार्मोनिक कानून के अनुसार बदलता रहता है

कहाँ पे  एमबाहरी ईएमएफ का आयाम है,

 ईएमएफ की चक्रीय आवृत्ति है।

द्वारा निरूपित करें यू सीसंधारित्र भर में वोल्टेज, और मैं - सर्किट में वर्तमान ताकत। इस सर्किट में, चर EMF के अलावा  (टी) अभी भी स्व-प्रेरण का EMF है  लीप्रारंभ करनेवाला में।

स्व-प्रेरण का ईएमएफ सर्किट में वर्तमान ताकत के परिवर्तन की दर के सीधे आनुपातिक है

आउटपुट के लिए मजबूर दोलनों का अंतर समीकरणऐसे परिपथ में उत्पन्न होने पर, हम दूसरे Kirchhoff नियम का उपयोग करते हैं

प्रतिरोध वोल्टेज आरओम के नियम द्वारा खोजें

विद्युत प्रवाह की ताकत कंडक्टर के क्रॉस सेक्शन के माध्यम से प्रति यूनिट समय में बहने वाले चार्ज के बराबर होती है

फलस्वरूप

वोल्टेज यू सीसंधारित्र पर संधारित्र प्लेटों पर आवेश के सीधे आनुपातिक होता है

समय के संबंध में चार्ज के दूसरे व्युत्पन्न के माध्यम से स्व-प्रेरण के ईएमएफ का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

किरचॉफ के दूसरे नियम में वोल्टेज और ईएमएफ को प्रतिस्थापित करना

इस व्यंजक के दोनों पक्षों को विभाजित करके लीऔर व्युत्पन्न के क्रम में कमी की डिग्री के अनुसार शर्तों को वितरित करते हुए, हम एक दूसरे क्रम के अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं

आइए हम निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें और प्राप्त करें

क्षीणन गुणांक है,

सर्किट के प्राकृतिक दोलनों की चक्रीय आवृत्ति है।

. (1)

समीकरण (1) is विजातीयदूसरे क्रम का रैखिक अंतर समीकरण। इस प्रकार के समीकरण बाहरी आवधिक क्रिया (बाहरी ईएमएफ या बाहरी बल) के प्रभाव में ऑसिलेटरी सिस्टम (विद्युत, यांत्रिक) के एक विस्तृत वर्ग के व्यवहार का वर्णन करते हैं।

समीकरण का सामान्य समाधान (1) सामान्य समाधान का योग है क्यू 1 सजातीयअंतर समीकरण (2)

(2)

और कोई विशेष समाधान क्यू 2 विजातीयसमीकरण (1)

सामान्य समाधान का प्रकार सजातीयसमीकरण (2) क्षीणन गुणांक के मान पर निर्भर करता है  . हम कमजोर भिगोना के मामले में रुचि रखते हैं  <<  0 . При этом общее решение уравнения (2) имеет вид

कहाँ पे बीतथा  0 प्रारंभिक स्थितियों द्वारा दिए गए स्थिरांक हैं।

समाधान (3) परिपथ में अवमंद दोलनों का वर्णन करता है। (3) में शामिल मान:

नम दोलनों की चक्रीय आवृत्ति है;

नम दोलनों का आयाम है;

नम दोलनों का चरण है।

हम आवृत्ति के बराबर आवृत्ति के साथ होने वाले हार्मोनिक दोलन के रूप में समीकरण (1) के एक विशेष समाधान की तलाश कर रहे हैं  बाहरी आवधिक प्रभाव - ईएमएफ, और चरण दर चरण पिछड़ रहा है  उसकी तरफ से

कहाँ पे
मजबूर दोलनों का आयाम है, जो आवृत्ति पर निर्भर करता है।

हम (4) को (1) में प्रतिस्थापित करते हैं और पहचान प्राप्त करते हैं

दोलनों के चरणों की तुलना करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय कमी सूत्रों का उपयोग करते हैं

तब हमारे समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखा जाएगा

आइए हम फॉर्म में प्राप्त पहचान के बाईं ओर के उतार-चढ़ाव का प्रतिनिधित्व करते हैं वेक्टर आरेख (चावल.6.13)..

समाई में उतार-चढ़ाव के अनुरूप तीसरा शब्द से, जिसका एक चरण है (  टी –  ) और आयाम
, दाईं ओर निर्देशित एक क्षैतिज वेक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं।

चित्र 6.13. वेक्टर आरेख

बाईं ओर का पहला पद, अधिष्ठापन पर दोलनों के अनुरूप ली, वेक्टर आरेख पर बाईं ओर क्षैतिज रूप से निर्देशित एक वेक्टर द्वारा दर्शाया जाएगा (इसका आयाम
).

प्रतिरोध में दोलनों के अनुरूप दूसरा पद आर, लंबवत ऊपर की ओर निर्देशित एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं (इसका आयाम
), क्योंकि इसका चरण पहले पद के चरण से /2 पीछे है।

चूँकि समान चिन्ह के बाईं ओर तीन कंपनों का योग एक हार्मोनिक कंपन देता है
, तो आरेख पर वेक्टर योग (आयत विकर्ण) एक आयाम के साथ एक दोलन को दर्शाता है और चरण  टी, जो चालू है  तीसरे कार्यकाल के दोलनों के चरण से आगे।

एक समकोण त्रिभुज से, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, आप आयाम ज्ञात कर सकते हैं ए( )

(5)

तथा टीजी विपरीत पैर के आसन्न पैर के अनुपात के रूप में।

. (6)

नतीजतन, समाधान (4), खाते (5) और (6) को ध्यान में रखते हुए, रूप लेता है

. (7)

अवकल समीकरण का सामान्य हल(1) योग है क्यू 1 और क्यू 2

. (8)

सूत्र (8) से पता चलता है कि जब एक आवधिक बाहरी ईएमएफ को सर्किट पर लागू किया जाता है, तो इसमें दो आवृत्तियों के दोलन उत्पन्न होते हैं, अर्थात। बाहरी ईएमएफ की आवृत्ति के साथ बिना ढके दोलन  और एक आवृत्ति के साथ दोलनों को भिगोना
. भीगे हुए दोलनों का आयाम
समय के साथ नगण्य हो जाता है, और केवल मजबूर दोलन ही सर्किट में रहते हैं, जिसका आयाम समय पर निर्भर नहीं करता है। नतीजतन, स्थिर मजबूर दोलनों को फ़ंक्शन (4) द्वारा वर्णित किया गया है। यही है, सर्किट में मजबूर हार्मोनिक दोलन होते हैं, जिसकी आवृत्ति बाहरी प्रभाव की आवृत्ति के बराबर होती है, और एक आयाम
, इस आवृत्ति के आधार पर ( चावल। 3एक) कानून के अनुसार (5)। इस मामले में, मजबूर दोलन का चरण पीछे रह जाता है  मजबूरी से।

अवकलन अभिव्यक्ति (4) समय के संबंध में, हम सर्किट में वर्तमान ताकत पाते हैं

कहाँ पे
वर्तमान ताकत का आयाम है।

हम इस अभिव्यक्ति को वर्तमान ताकत के रूप में लिखते हैं

, (9)

कहाँ पे
–वर्तमान और बाहरी ईएमएफ के बीच चरण बदलाव.

(6) और के अनुसार चावल। 2

. (10)

इस सूत्र से यह निम्नानुसार है कि वर्तमान और बाहरी ईएमएफ के बीच चरण बदलाव एक स्थिर प्रतिरोध पर निर्भर करता है आर, ड्राइविंग ईएमएफ की आवृत्ति के बीच के अनुपात से  और सर्किट की प्राकृतिक आवृत्ति  0 .

यदि एक  <  0 , फिर वर्तमान और बाहरी EMF के बीच चरण परिवर्तन  < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол  .

यदि एक  >  0 , फिर  > 0. वर्तमान उतार-चढ़ाव एक कोण से चरण में ईएमएफ के उतार-चढ़ाव से पिछड़ जाते हैं  .

यदि एक  =  0 (गुंजयमान आवृत्ति), फिर  \u003d 0, यानी वर्तमान ताकत और EMF एक ही चरण में दोलन करते हैं।

गूंज- यह दोलनों के आयाम में तेज वृद्धि की घटना है जब बाहरी, ड्राइविंग बल की आवृत्ति ऑसिलेटरी सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाती है।

अनुनाद पर  =  0 और दोलन अवधि

यह देखते हुए कि क्षीणन गुणांक

हम अनुनाद पर गुणवत्ता कारक के लिए व्यंजक प्राप्त करते हैं टी = टी 0

वहीं दूसरी ओर

अनुनाद पर अधिष्ठापन और समाई पर वोल्टेज आयाम सर्किट के गुणवत्ता कारक के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

, (15)

. (16)

(15) और (16) से यह देखा जा सकता है कि  =  0, संधारित्र में वोल्टेज का आयाम और अधिष्ठापन in क्यूबाहरी ईएमएफ के आयाम का गुणा। यह एक धारावाहिक की एक संपत्ति है आरएलसीएक निश्चित आवृत्ति के रेडियो सिग्नल को अलग करने के लिए लूप का उपयोग किया जाता है
रेडियो रिसीवर के पुनर्गठन के दौरान रेडियो फ्रीक्वेंसी के स्पेक्ट्रम से।

अभ्यास पर आरएलसीसर्किट अन्य सर्किट, माप उपकरणों या प्रवर्धक उपकरणों से जुड़े होते हैं, जो अतिरिक्त क्षीणन को पेश करते हैं आरएलसीसर्किट। इसलिए, लोड किए गए गुणवत्ता कारक का वास्तविक मूल्य आरएलसीसर्किट सूत्र द्वारा अनुमानित गुणवत्ता कारक से कम निकला