गणितज्ञों में हास्य की एक विशिष्ट भावना होती है और गणना से संबंधित कुछ मुद्दों को लंबे समय से गंभीरता से नहीं लिया गया है। यह हमेशा स्पष्ट नहीं होता है कि वे आपको पूरी गंभीरता से समझाने की कोशिश कर रहे हैं कि शून्य से विभाजित करना असंभव क्यों है, या यह एक और मजाक है। लेकिन प्रश्न अपने आप में इतना स्पष्ट नहीं है, यदि प्रारंभिक गणित में इसका समाधान विशुद्ध रूप से तार्किक रूप से प्राप्त करना संभव है, तो उच्च गणित में अन्य प्रारंभिक स्थितियां भी हो सकती हैं।

शून्य कब दिखाई दिया?

शून्य की संख्या कई रहस्यों से भरी हुई है:

• प्राचीन रोम में, यह संख्या ज्ञात नहीं थी, संदर्भ प्रणाली I से शुरू हुई थी।
• अरबों और भारतीयों ने लंबे समय तक शून्य के पूर्वज कहे जाने के अधिकार के लिए तर्क दिया।
• माया संस्कृति के अध्ययन से पता चला है कि यह प्राचीन सभ्यता शून्य के उपयोग के मामले में सबसे पहले हो सकती है।
• शून्य का कोई संख्यात्मक मान नहीं है, न्यूनतम भी नहीं।
• इसका शाब्दिक अर्थ कुछ भी नहीं है, गिनने के लिए चीजों की अनुपस्थिति।

आदिम व्यवस्था में ऐसी आकृति की कोई विशेष आवश्यकता नहीं थी, किसी वस्तु के अभाव को शब्दों की सहायता से समझाया जा सकता था। लेकिन सभ्यताओं के उदय के साथ, वास्तुकला और इंजीनियरिंग के मामले में मानव की जरूरतें भी बढ़ी हैं।

अधिक जटिल गणना करने और नए कार्यों को प्राप्त करने के लिए, इसमें लिया गया एक संख्या जो किसी चीज की पूर्ण अनुपस्थिति का संकेत देगी.

क्या शून्य से भाग देना संभव है?

इस खाते पर हैं दो परस्पर विरोधी राय:

स्कूल में, प्राथमिक ग्रेड में भी, वे सिखाते हैं कि शून्य से विभाजन किसी भी स्थिति में असंभव है। यह बहुत सरलता से समझाया गया है:

1. कल्पना कीजिए कि आपके पास कीनू के 20 टुकड़े हैं।
2. उन्हें 5 से विभाजित करके, आप 4 स्लाइस पांच दोस्तों को वितरित करेंगे।
3. शून्य से विभाजित करने से काम नहीं चलेगा, क्योंकि किसी के बीच विभाजन की प्रक्रिया नहीं चलेगी।

बेशक, यह एक लाक्षणिक व्याख्या है, जो काफी हद तक सरल है और पूरी तरह से वास्तविकता के अनुरूप नहीं है। लेकिन यह सबसे सुलभ तरीके से किसी चीज को शून्य से विभाजित करने की अर्थहीनता की व्याख्या करता है।

आखिरकार, वास्तव में, इस तरह से विभाजन की अनुपस्थिति के तथ्य को निरूपित करना संभव है। और गणितीय गणनाओं को जटिल क्यों करें और विभाजन की अनुपस्थिति को भी लिखें?

क्या शून्य को किसी संख्या से विभाजित किया जा सकता है?

अनुप्रयुक्त गणित की दृष्टि से कोई भी विभाजन जिसमें शून्य भाग लेता है, अधिक अर्थ नहीं रखता। लेकिन स्कूल की पाठ्यपुस्तकें उनकी राय में स्पष्ट हैं:

• शून्य को विभाजित किया जा सकता है।
• विभाजन के लिए किसी भी संख्या का उपयोग किया जाना चाहिए।
• आप शून्य को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

तीसरा बिंदु थोड़ा भ्रमित कर सकता है, क्योंकि इसके ऊपर के कुछ पैराग्राफों में संकेत दिया गया था कि ऐसा विभाजन काफी संभव है। वास्तव में, यह सब उस अनुशासन पर निर्भर करता है जिसमें आप गणना करते हैं।

इस मामले में, स्कूली बच्चों के लिए यह लिखना वास्तव में बेहतर है कि अभिव्यक्ति निर्धारित नहीं की जा सकती और इसलिए, इसका कोई मतलब नहीं है। लेकिन बीजगणितीय विज्ञान की कुछ शाखाओं में शून्य से शून्य के विभाजन के साथ ऐसी अभिव्यक्ति लिखने की अनुमति है। खासकर जब कंप्यूटर और प्रोग्रामिंग भाषाओं की बात आती है।

किसी भी समानता के समाधान और प्रारंभिक मूल्यों की खोज के दौरान शून्य को एक संख्या से विभाजित करने की आवश्यकता उत्पन्न हो सकती है। लेकिन उस मामले में, उत्तर हमेशा शून्य रहेगा. यहां, गुणन की तरह, आप चाहे किसी भी संख्या को शून्य से भाग दें, आप शून्य से अधिक के साथ समाप्त नहीं होंगे। इसलिए, यदि इस पोषित संख्या को एक विशाल सूत्र में देखा जाता है, तो जल्दी से "अनुमान" करने का प्रयास करें कि क्या सभी गणनाओं को एक बहुत ही सरल समाधान में घटा दिया जाएगा।

यदि अनंत को शून्य से विभाजित किया जाता है

असीम रूप से बड़े और असीम रूप से छोटे मूल्यों का थोड़ा पहले उल्लेख करना आवश्यक था, क्योंकि इससे विभाजन के लिए कुछ कमियां भी खुलती हैं, जिसमें शून्य का उपयोग करना भी शामिल है। यह सच है, और एक छोटा सा रोड़ा है, क्योंकि अनंत मूल्य और मूल्य की पूर्ण अनुपस्थिति अलग-अलग अवधारणाएं हैं.

लेकिन हमारी स्थितियों में इस छोटे से अंतर की उपेक्षा की जा सकती है, अंत में, अमूर्त मात्राओं का उपयोग करके गणना की जाती है:

• अंश में अनंत चिह्न होना चाहिए।
• हर शून्य की ओर झुकाव वाले मान की प्रतीकात्मक छवि है।
• उत्तर अनंत होगा, जो एक असीम रूप से बड़े फलन का प्रतिनिधित्व करता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि हम अभी भी एक इनफिनिटिमल फ़ंक्शन के प्रतीकात्मक प्रदर्शन के बारे में बात कर रहे हैं, न कि शून्य का उपयोग करने के बारे में। इस चिन्ह के साथ कुछ भी नहीं बदला है, इसे अभी भी इसमें विभाजित नहीं किया जा सकता है, केवल बहुत ही दुर्लभ अपवादों के रूप में।

अधिकांश भाग के लिए, शून्य का उपयोग उन समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जो में हैं विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक विमान. शायद, दशकों या सदियों के बाद, सभी आधुनिक गणनाओं को व्यावहारिक अनुप्रयोग मिलेंगे, और वे विज्ञान में किसी प्रकार की भव्य सफलता प्रदान करेंगे।

इस बीच, अधिकांश गणितीय प्रतिभाएं केवल विश्व मान्यता का सपना देखती हैं। इन नियमों का अपवाद हमारा हमवतन है, पेरेलमैन. लेकिन उन्हें पॉइनक्वेर अनुमान और असाधारण व्यवहार के प्रमाण के साथ वास्तव में युगांतरकारी समस्या के समाधान के लिए जाना जाता है।

विरोधाभास और शून्य से विभाजन की निरर्थकता

अधिकांश भाग के लिए शून्य से विभाजन का कोई मतलब नहीं है:

• विभाजन के रूप में दर्शाया गया है गुणन के विपरीत कार्य.
• हम किसी भी संख्या को शून्य से गुणा कर सकते हैं और उत्तर में शून्य प्राप्त कर सकते हैं।
• इसी तर्क से कोई भी किसी भी संख्या को शून्य से विभाजित कर सकता है।
• ऐसी परिस्थितियों में, यह निष्कर्ष निकालना कठिन नहीं होगा कि किसी भी संख्या को शून्य से गुणा या विभाजित करना किसी अन्य संख्या के बराबर है जिस पर यह संक्रिया की गई थी।
• हम गणितीय क्रिया को छोड़ देते हैं और एक दिलचस्प निष्कर्ष निकालते हैं - कोई भी संख्या किसी भी संख्या के बराबर होती है।

ऐसी घटनाओं को बनाने के अलावा, शून्य से विभाजन का कोई व्यावहारिक मूल्य नहीं है, सामान्य रूप से शब्द से। यदि आप यह क्रिया कर भी लेते हैं तो भी आपको कोई नई जानकारी नहीं मिलेगी।

प्रारंभिक गणित की दृष्टि से शून्य से भाग देने पर पूरी वस्तु को शून्य से विभाजित किया जाता है, अर्थात एक बार भी नहीं। सीधे शब्दों में कहें - कोई विभाजन प्रक्रिया नहीं, इसलिए, इस घटना का परिणाम नहीं हो सकता।

एक गणितज्ञ के साथ एक ही समाज में होने के कारण, आप हमेशा कुछ सामान्य प्रश्न पूछ सकते हैं, उदाहरण के लिए, आप शून्य से विभाजित क्यों नहीं कर सकते हैं और एक दिलचस्प और समझने योग्य उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। या चिड़चिड़ापन, क्योंकि यह शायद पहली बार नहीं है जब किसी व्यक्ति से यह पूछा गया हो। और दस भी नहीं। इसलिए अपने गणितज्ञ मित्रों का ध्यान रखें, उनसे एक स्पष्टीकरण को सैकड़ों बार दोहराने के लिए न कहें।

वीडियो: शून्य से विभाजित करें

इस वीडियो में गणितज्ञ अन्ना लोमाकोवा आपको बताएंगे कि गणित की दृष्टि से किसी संख्या को शून्य से भाग देने पर क्या होता है और ऐसा क्यों नहीं किया जा सकता है:

शून्य से विभाजनगणित में, एक विभाजन जिस पर भाजक शून्य होता है। इस तरह के विभाजन को औपचारिक रूप से 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जहां लाभांश है।

साधारण अंकगणित (वास्तविक संख्याओं के साथ) में, इस अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि:

• 0 पर, ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसे 0 से गुणा करने पर प्राप्त होता है, इसलिए कोई भी संख्या भागफल ⁄ 0 के रूप में नहीं ली जा सकती है;
• पर = 0, शून्य से भाग भी अपरिभाषित है, क्योंकि किसी भी संख्या को, जब 0 से गुणा किया जाता है, तो 0 देता है और इसे भागफल 0 0 के रूप में लिया जा सकता है।

ऐतिहासिक रूप से, मान 0 निर्दिष्ट करने की गणितीय असंभवता के पहले संदर्भों में से एक जॉर्ज बर्कले की इनफिनिटिमल कैलकुलस की आलोचना में है।

तर्क त्रुटियां

चूँकि किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करने पर हमें हमेशा शून्य प्राप्त होता है, जब व्यंजक के दोनों भागों को x 0 = × 0 से विभाजित किया जाता है, जो कि सत्य है और 0 से, हमें व्यंजक = प्राप्त होता है, जो कि है मनमाने ढंग से दिए गए चर के मामले में गलत है। चूंकि शून्य को निहित रूप से दिया जा सकता है, लेकिन एक जटिल गणितीय अभिव्यक्ति के रूप में, उदाहरण के लिए, बीजीय परिवर्तनों द्वारा एक दूसरे को कम किए गए दो मूल्यों के बीच अंतर के रूप में, ऐसा विभाजन एक स्पष्ट गलती हो सकती है। स्पष्ट रूप से अलग-अलग मात्राओं की पहचान दिखाने के लिए सबूत प्रक्रिया में इस तरह के विभाजन का अगोचर परिचय, जिससे कोई बेतुका बयान साबित होता है, गणितीय परिष्कार की किस्मों में से एक है।

कंप्यूटर विज्ञान में

प्रोग्रामिंग में, प्रोग्रामिंग भाषा, डेटा प्रकार और लाभांश के मूल्य के आधार पर, शून्य से विभाजित करने का प्रयास अलग-अलग परिणाम दे सकता है। पूर्णांक और वास्तविक अंकगणित में शून्य से विभाजन के परिणाम मौलिक रूप से भिन्न हैं:

• कोशिश करना पूर्णांकशून्य से विभाजन हमेशा एक महत्वपूर्ण त्रुटि है जो प्रोग्राम को निष्पादित करना जारी रखना असंभव बनाता है। यह या तो एक अपवाद को फेंकने की ओर ले जाता है (जिसे प्रोग्राम खुद को संभाल सकता है, जिससे आपातकालीन रोक से बचा जा सकता है), या प्रोग्राम को एक घातक त्रुटि संदेश और संभवतः कॉल स्टैक की सामग्री के साथ तुरंत बंद कर देता है। कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में, जैसे कि गो, एक शून्य स्थिरांक द्वारा एक पूर्णांक विभाजन को एक सिंटैक्स त्रुटि माना जाता है और यह प्रोग्राम को संकलित करने का कारण बनेगा।
• पर वास्तविकविभिन्न भाषाओं में अंकगणितीय परिणाम भिन्न हो सकते हैं:

• एक अपवाद फेंकना या प्रोग्राम को रोकना, जैसा कि पूर्णांक विभाजन के साथ होता है;
• ऑपरेशन के परिणामस्वरूप एक विशेष गैर-संख्यात्मक मान प्राप्त करना। इस मामले में, गणना बाधित नहीं होती है, और उनके परिणाम को बाद में कार्यक्रम द्वारा या उपयोगकर्ता द्वारा एक सार्थक मूल्य के रूप में या गलत गणना के प्रमाण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। सिद्धांत का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जिसके अनुसार, फॉर्म ⁄ 0 को विभाजित करते समय, जहां 0 एक फ्लोटिंग पॉइंट नंबर होता है, परिणाम सकारात्मक या नकारात्मक (लाभांश के संकेत के आधार पर) अनंत के बराबर होता है - या, और कब = 0, परिणाम एक विशेष मूल्य NaN है (संक्षिप्त रूप से अंग्रेजी से एक संख्या नहीं - "संख्या नहीं")। यह दृष्टिकोण आईईईई 754 मानक में अपनाया गया है, जो कई आधुनिक प्रोग्रामिंग भाषाओं द्वारा समर्थित है।

कंप्यूटर प्रोग्राम में शून्य से यादृच्छिक विभाजन कभी-कभी प्रोग्राम द्वारा नियंत्रित उपकरणों में महंगा या खतरनाक विफलताओं का कारण बन सकता है। उदाहरण के लिए, 21 सितंबर, 1997 को, यूएसएस यॉर्कटाउन (सीजी-48) यूएस नेवी क्रूजर के कम्प्यूटरीकृत नियंत्रण प्रणाली में शून्य से एक डिवीजन ने सिस्टम के सभी इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों को बंद कर दिया, जिससे जहाज के बिजली संयंत्र ने काम करना बंद कर दिया।

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

फलन = 1 । जब दाईं ओर से शून्य की ओर जाता है, तो अनंत की ओर जाता है; जब बाईं ओर से शून्य की ओर जाता है, तो शून्य से अनंत तक जाता है

यदि आप किसी पारंपरिक कैलकुलेटर पर किसी संख्या को शून्य से विभाजित करते हैं, तो यह आपको अक्षर E या शब्द त्रुटि, यानी "त्रुटि" देगा।

इसी तरह के मामले में कंप्यूटर कैलकुलेटर (विंडोज एक्सपी में) लिखता है: "शून्य से विभाजन निषिद्ध है।"

सब कुछ स्कूल से ज्ञात नियम के अनुरूप है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

आइए देखें क्यों।

भाग एक गणितीय संक्रिया है जो गुणन का विलोम है। विभाजन को गुणा के माध्यम से परिभाषित किया गया है।

एक संख्या विभाजित करें एक(लाभांश, उदाहरण के लिए 8) एक संख्या से बी(भाजक, उदाहरण के लिए, संख्या 2) - का अर्थ है ऐसी संख्या ज्ञात करना एक्स(भागफल), जब एक भाजक से गुणा किया जाता है बीयह विभाज्य हो जाता है एक(4 2 = 8), अर्थात्। एकसे भाग बीसमीकरण x · b = a को हल करने का मतलब है।

समीकरण a: b = x समीकरण x · b = a के बराबर है।

हम भाग को गुणा से बदलते हैं: 8: 2 = x के बजाय हम x 2 = 8 लिखते हैं।

8: 2 = 4 4 2 = 8 . के बराबर है

18: 3 = 6, 6 3 = 18 . के बराबर है

20: 2 = 10 10 2 = 20 . के बराबर है

भाग का परिणाम हमेशा गुणन द्वारा जांचा जा सकता है। भाजक को भागफल से गुणा करने का परिणाम लाभांश होना चाहिए।

इसी तरह, आइए शून्य से विभाजित करने का प्रयास करें।

उदाहरण के लिए, 6: 0 = ... हमें एक ऐसी संख्या ज्ञात करनी है, जिसे 0 से गुणा करने पर 6 प्राप्त हो, लेकिन हम जानते हैं कि शून्य से गुणा करने पर हमेशा शून्य प्राप्त होता है। ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसे शून्य से गुणा करने पर शून्य के अलावा कुछ और मिले।

जब वे कहते हैं कि शून्य से विभाजित करना असंभव या निषिद्ध है, तो इसका मतलब है कि इस तरह के विभाजन के परिणाम के अनुरूप कोई संख्या नहीं है (शून्य से विभाजित करना संभव है, लेकिन विभाजित नहीं करना :))।

वे स्कूल में क्यों कहते हैं कि आप शून्य से भाग नहीं कर सकते?

इसलिए, में परिभाषा a को b से विभाजित करने पर तुरंत इस बात पर बल दिया जाता है कि b 0.

यदि ऊपर लिखी गई हर चीज आपके लिए बहुत जटिल लगती है, तो यह पूरी तरह से आपकी उंगलियों पर है: 8 को 2 से विभाजित करने का मतलब यह पता लगाना है कि 8 प्राप्त करने के लिए आपको कितने दो लेने होंगे (उत्तर: 4)। 18 को 3 से भाग देने का मतलब यह पता लगाना है कि 18 प्राप्त करने के लिए आपको कितने त्रिक लेने होंगे (उत्तर: 6)।

6 को शून्य से भाग देने का अर्थ है कि 6 प्राप्त करने के लिए आपको कितने शून्य लेने की आवश्यकता है।

यदि आप एंड्रॉइड कैलकुलेटर पर संख्या को शून्य से विभाजित करने का प्रयास करते हैं तो एक दिलचस्प परिणाम प्राप्त होता है। स्क्रीन ∞ (अनंत) (या - यदि आप एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित करते हैं) प्रदर्शित करेंगे। यह परिणाम गलत है, क्योंकि कोई संख्या नहीं है। जाहिरा तौर पर, प्रोग्रामर ने पूरी तरह से अलग-अलग ऑपरेशनों को भ्रमित कर दिया है - संख्याओं को विभाजित करना और एक संख्यात्मक अनुक्रम n / x की सीमा का पता लगाना, जहां x → 0। शून्य को शून्य से विभाजित करते समय, NaN (संख्या नहीं - संख्या नहीं) लिखा जाएगा।

"आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!" - ज्यादातर छात्र बिना सवाल पूछे इस नियम को दिल से याद कर लेते हैं। सभी बच्चे जानते हैं कि "नहीं" क्या है और यदि आप इसके उत्तर में पूछें तो क्या होगा: "क्यों?" लेकिन वास्तव में यह जानना बहुत ही रोचक और महत्वपूर्ण है कि यह असंभव क्यों है।

बात यह है कि अंकगणित की चार क्रियाएं - जोड़, घटाव, गुणा और भाग - वास्तव में असमान हैं। गणितज्ञ उनमें से केवल दो को पूर्ण रूप से पहचानते हैं - जोड़ और गुणा। ये संचालन और उनके गुण संख्या की अवधारणा की परिभाषा में शामिल हैं। अन्य सभी क्रियाएं इन दोनों से किसी न किसी रूप में निर्मित होती हैं।

उदाहरण के लिए, घटाव पर विचार करें। मतलब क्या है 5 - 3 ? छात्र इसका सरलता से उत्तर देगा: आपको पाँच आइटम लेने होंगे, उनमें से तीन को निकालना (निकालना) होगा और देखना होगा कि कितने शेष हैं। लेकिन गणितज्ञ इस समस्या को बिल्कुल अलग तरीके से देखते हैं। कोई घटाव नहीं है, केवल जोड़ है। इसलिए, प्रवेश 5 - 3 एक संख्या का अर्थ है, जब किसी संख्या में जोड़ा जाता है 3 नंबर देंगे 5 . वह है 5 - 3 समीकरण के लिए सिर्फ एक आशुलिपि है: एक्स + 3 = 5. इस समीकरण में कोई घटाव नहीं है।

शून्य से विभाजन

केवल एक कार्य है - एक उपयुक्त संख्या खोजना।

गुणा और भाग के साथ भी यही सच है। रिकॉर्डिंग 8: 4 आठ वस्तुओं के चार बराबर ढेर में विभाजन के परिणाम के रूप में समझा जा सकता है। लेकिन यह वास्तव में समीकरण का एक छोटा रूप है 4 एक्स = 8.

यह वह जगह है जहां यह स्पष्ट हो जाता है कि शून्य से विभाजित करना असंभव (या असंभव) क्यों है। रिकॉर्डिंग 5: 0 के लिए एक संक्षिप्त नाम है 0 एक्स = 5. अर्थात्, यह कार्य एक संख्या ज्ञात करना है, जिसे गुणा करने पर 0 दे देंगे 5 . लेकिन हम जानते हैं कि जब से गुणा किया जाता है 0 हमेशा निकलता है 0 . यह शून्य की एक अंतर्निहित संपत्ति है, कड़ाई से बोलते हुए, इसकी परिभाषा का हिस्सा है।

एक संख्या जिसे से गुणा करने पर 0 शून्य के अलावा कुछ और देगा, बस अस्तित्व में नहीं है। यानी हमारी समस्या का कोई समाधान नहीं है। (हां, ऐसा होता है, हर समस्या का समाधान नहीं होता।) 5: 0 किसी विशिष्ट संख्या के अनुरूप नहीं है, और यह बस किसी भी चीज़ के लिए खड़ा नहीं है और इसलिए इसका कोई मतलब नहीं है। इस प्रविष्टि की निरर्थकता को संक्षेप में यह कहकर व्यक्त किया जाता है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

इस बिंदु पर सबसे चौकस पाठक निश्चित रूप से पूछेंगे: क्या शून्य को शून्य से विभाजित करना संभव है?

दरअसल, समीकरण के बाद से 0 एक्स = 0सफलतापूर्वक हल किया गया। उदाहरण के लिए, आप ले सकते हैं एक्स = 0, और फिर हम प्राप्त करते हैं 0 0 = 0. यह पता चला है 0: 0=0 ? लेकिन चलो जल्दी मत करो। आइए लेने की कोशिश करें एक्स = 1. प्राप्त 0 1 = 0. सही ढंग से? माध्यम, 0: 0 = 1 ? लेकिन आप कोई भी नंबर ले सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 आदि।

लेकिन अगर कोई संख्या उपयुक्त है, तो हमारे पास उनमें से किसी एक को चुनने का कोई कारण नहीं है। यानी हम यह नहीं बता सकते कि कौन सी संख्या प्रविष्टि से मेल खाती है 0: 0 . और अगर ऐसा है तो हम यह मानने को मजबूर हैं कि इस रिकॉर्ड का भी कोई मतलब नहीं है. यह पता चला है कि शून्य को भी शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है। (गणितीय विश्लेषण में, ऐसे मामले होते हैं, जब समस्या की अतिरिक्त स्थितियों के कारण, कोई व्यक्ति समीकरण को हल करने के लिए संभावित विकल्पों में से किसी एक को वरीयता दे सकता है। 0 एक्स = 0; ऐसे मामलों में, गणितज्ञ "अनिश्चितता के प्रकटीकरण" की बात करते हैं, लेकिन अंकगणित में ऐसे मामले नहीं होते हैं।)

यह डिवीजन ऑपरेशन की विशेषता है। अधिक सटीक रूप से, गुणन संक्रिया और इससे जुड़ी संख्या शून्य है।

ठीक है, सबसे सूक्ष्म, इस बिंदु तक पढ़ने के बाद, पूछ सकता है: ऐसा क्यों है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, लेकिन आप शून्य घटा सकते हैं? एक मायने में, असली गणित यहीं से शुरू होता है। इसका उत्तर केवल संख्यात्मक सेटों की औपचारिक गणितीय परिभाषाओं और उन पर संचालन से परिचित होने के द्वारा ही दिया जा सकता है। यह इतना कठिन नहीं है, लेकिन किसी कारण से स्कूल में इसका अध्ययन नहीं किया जाता है। लेकिन विश्वविद्यालय में गणित पर व्याख्यान में, आपको इसे पहले स्थान पर पढ़ाया जाएगा।

विभाजन फलन उस श्रेणी के लिए परिभाषित नहीं है जहां भाजक शून्य है। आप विभाजित कर सकते हैं, लेकिन परिणाम परिभाषित नहीं है

आप शून्य से नहीं हटा सकते। हाई स्कूल के गणित 2 वर्ग।

अगर मेरी याददाश्त सही ढंग से मेरी सेवा करती है, तो शून्य को अनंत मूल्य के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए अनंत होगा। और स्कूल "शून्य - कुछ भी नहीं" सिर्फ एक सरलीकरण है, स्कूली गणित में उनमें से बहुत सारे हैं। लेकिन उनके बिना किसी भी तरह, सब कुछ नियत समय में।

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शून्य से विभाजन

निजी से शून्य से विभाजनशून्य के अलावा कोई संख्या नहीं है।

यहाँ तर्क इस प्रकार है: क्योंकि इस मामले में कोई भी संख्या भागफल की परिभाषा को संतुष्ट नहीं कर सकती है।

आइए लिखते हैं, उदाहरण के लिए,

आप परीक्षण के लिए जो भी संख्या लेते हैं (जैसे, 2, 3, 7), वह अच्छा नहीं है क्योंकि:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

0 से भाग देने पर क्या होता है?

आदि, लेकिन आपको उत्पाद 2,3,7 प्राप्त करने की आवश्यकता है।

हम कह सकते हैं कि शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या को शून्य से विभाजित करने की समस्या का कोई हल नहीं है। हालाँकि, शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या को मनमाने ढंग से शून्य के करीब एक संख्या से विभाजित किया जा सकता है, और भाजक शून्य के जितना करीब होगा, भागफल उतना ही बड़ा होगा। अतः यदि हम 7 को से भाग दें

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

तब हमें निजी 70, 700, 7000, 70,000, आदि मिलते हैं, जो अनिश्चित काल तक बढ़ते हैं।

इसलिए, अक्सर यह कहा जाता है कि 7 को 0 से विभाजित करने का भागफल "असीम रूप से बड़ा" या "अनंत के बराबर" होता है, और वे लिखते हैं

\[7:0 = \infin\]

इस व्यंजक का अर्थ यह है कि यदि भाजक शून्य के करीब पहुंचता है, और लाभांश 7 के बराबर रहता है (या 7 के करीब पहुंचता है), तो भागफल अनिश्चित काल के लिए बढ़ जाता है।

हमारे बच्चे किस तरह के सवाल नहीं पूछते!.. लेकिन सवाल "आप शून्य से विभाजित क्यों नहीं कर सकते?" मत पूंछो। क्यों? क्योंकि स्कूल में भी शिक्षक ने कहा था कि यह असंभव है।आप नहीं कर सकते, तो आप नहीं कर सकते! बहुत बाद में, पहले से ही संस्थानों में, हमने सीखा कि विभाजित करना अभी भी संभव है, और परिणाम होगा - अनंतता।लेकिन, स्वीकार करें, हमारे दिमाग ने इस तथ्य को एक तरह की धारणा, परंपरा के रूप में स्वीकार किया, क्योंकि हम बचपन से याद करते हैं - यह असंभव है। और, वास्तव में, सब समान क्यों?

शुरू करने के लिए, आइए जानें कि अनंत कहां से आता है, जिसकी अवधारणा विश्वविद्यालय के पहले वर्षों में हमने कुछ हद तक अविश्वास के साथ व्यवहार किया। सब कुछ आश्चर्यजनक रूप से सरल है: यदि किसी संख्या को छोटे और छोटे से विभाजित किया जाता है, तो अधिक से अधिक मूल्य प्राप्त होगा। भाजक जितना छोटा होगा, भागफल उतना ही बड़ा होगा। इस प्रकार अनंत प्रकट होता है।

लेकिन भौतिकविदों और गणितज्ञों को अनंत पसंद नहीं है, क्योंकि यह पारंपरिक रूप से स्वीकार किया जाता है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।यह पता चला है कि धारणा शून्य से विभाजित करने की असंभवता है।

आइए गणित की मूल बातों की ओर मुड़ें। अंकगणित में चार ऑपरेशन होते हैं - जोड़, घटाव, गुणा और भाग। लेकिन वे बराबर नहीं हैं। गणितज्ञ उनमें से केवल दो को ही मूल क्रिया मानते हैं: जोड़ और गुणा, शेष विपरीत क्रियाएं हैं, मुख्य के परिणाम।

"घटाव" की अवधारणा पर विचार करें। उदाहरण "5 - 3 \u003d ..." को हल करने के लिए, पांच में से तीन वस्तुओं को हटा दिया जाना चाहिए, शेष संख्या हमारे उदाहरण का उत्तर होगी। लेकिन, यह देखते हुए कि जोड़ को मुख्य क्रिया माना जाता है, आइए इसे जोड़ के रूप में लिखकर हमारे उदाहरण को थोड़ा बदल दें: "x + 3 = 5"। अर्थात्, पाँच बनाने के लिए किस संख्या में तीन को जोड़ा जाना चाहिए?

विभाजन के साथ भी यही सच है। व्यंजक "8: 4 = ..." व्यंजक "4 x = 8" से आता है। आठ बनाने के लिए चार को कितनी बार लेना होगा?

और यहाँ यह है, जवाब! यदि 5: 0, 0 x = 5 लिखने का एक प्रकार है, तो यह पता चलता है कि आपको एक संख्या खोजने की आवश्यकता है, जिसे 0 से गुणा करने पर, 5 मिलेगा। से अधिक कुछ पाने के लिए आपको कितनी बार शून्य लेने की आवश्यकता है कुछ नहीं ?! लेकिन 0 से गुणा करने पर हमेशा 0 प्राप्त होता है, यह तथ्य शून्य की परिभाषा में ही निहित है! ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसे 0 से गुणा करने पर शून्य के अलावा कुछ और मिले। यह पता चला है कि समस्या का कोई समाधान नहीं है, और अभिव्यक्ति 5: 0 का कोई मतलब नहीं है। निरर्थक कार्यों की संख्या को कम करने के लिए, यह स्वीकार किया गया कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

सबसे सावधानीपूर्वक पाठक निश्चित रूप से पूछेंगे: लेकिन शून्य को शून्य से विभाजित करने के बारे में क्या?

आइए इसका पता लगाते हैं। यह पता चला है कि समीकरण 0 x = 0 का एक हल है? या अनंत संख्या में समाधान? "X" एक, दो और एक मिलियन के बराबर हो सकता है। तो, x=0 के साथ, यह 0 0 = 0 निकलता है, फिर 0: 0=0? और अगर x=1, 0 1 =0, तो 0: 0 = 1?! या 0: 0 = 1000000?!

यह पता चला है कि हम अभिव्यक्ति "0: 0" का समाधान नहीं ढूंढ सकते हैं, जिसका अर्थ है कि इस अभिव्यक्ति का कोई समाधान भी नहीं है। तो आप शून्य को शून्य से भी विभाजित नहीं कर सकते।

आप प्राथमिक विद्यालय से ज्ञात एक तथ्य के बारे में सोचकर ऐसे दिलचस्प निष्कर्ष पर आ सकते हैं: आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

दिलचस्पी लेने वाला? क्या आपने अंत तक पढ़ा? तो, आप जैसे लोगों के कारण ही अगला जीवन किस्सा सामने आया।

आप शून्य से विभाजित क्यों नहीं कर सकते? आप गुणा कर सकते हैं, और यह भी शून्य हो जाता है।

- क्यों नहीं? यह संभव है, केवल ऐसे विभाजन का परिणाम अनंत है

शून्य क्यों नहीं?

- अच्छा, देखो: 2 * 0 - यह दो है शून्य बार लेना, यह शून्य होगा। और 2/0 "एक ड्यूस में कितनी बार शून्य फिट बैठता है", अनंत है।

- यदि 2/0=x, तो 2=x*0 का अर्थ 2=0 है। और अगर 2=0, तो 2/0=0!

- ठीक है, इस तरह की बकवास में शामिल न होने के लिए, गणितज्ञों ने एक अनकहा समझौता अपनाया है: आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!

हम में से प्रत्येक ने स्कूल से कम से कम दो अडिग नियम सीखे: "ज़ी और शि - I अक्षर से लिखें" और " शून्य से विभाजित नहीं कर सकते". और अगर पहले नियम को रूसी भाषा की ख़ासियत से समझाया जा सकता है, तो दूसरा पूरी तरह से तार्किक सवाल उठाता है: "क्यों?"

आप शून्य से विभाजित क्यों नहीं कर सकते?

यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि वे स्कूल में इस बारे में बात क्यों नहीं करते हैं, लेकिन अंकगणित के संदर्भ में, उत्तर बहुत सरल है।

चलो एक नंबर लेते हैं 10 और इसे विभाजित करें 2 . इसका मतलब है कि हमने लिया है 10 किसी भी वस्तु और उन्हें . के अनुसार व्यवस्थित किया 2 समान समूह, अर्थात् 10: 2 = 5 (पर 5 समूह में आइटम)। वही उदाहरण समीकरण का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है एक्स * 2 = 10(तथा एक्सयहाँ के बराबर होगा 5 ).

अब, एक सेकंड के लिए, कल्पना कीजिए कि आप शून्य से भाग कर सकते हैं, और कोशिश करें 10 से भाग 0 .

आपको निम्नलिखित मिलेगा: 10:0=एक्स, फलस्वरूप एक्स * 0 = 10. लेकिन हमारी गणना सही नहीं हो सकती, क्योंकि किसी भी संख्या को से गुणा करने पर 0 हमेशा निकलता है 0 . गणित में ऐसी कोई संख्या नहीं है, जिसे गुणा करने पर 0 के अलावा कुछ और देंगे 0 . इसलिए, समीकरण 10:0=एक्सतथा एक्स * 0 = 10समाधान नहीं है। इसे देखते हुए वे कहते हैं कि आप शून्य से भाग नहीं कर सकते।

आप शून्य से कब विभाजित कर सकते हैं?

एक प्रकार है जिसमें शून्य से विभाजन अभी भी कुछ समझ में आता है। यदि हम शून्य को स्वयं विभाजित करते हैं, तो हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है 0: 0 = x, जिसका मतलब है एक्स * 0 = 0.

चलो दिखावा करते हैं कि एक्स = 0, तो समीकरण कोई प्रश्न नहीं उठाता है, सब कुछ पूरी तरह से अभिसरण करता है 0: 0 = 0 , जिसका मतलब है 0 * 0 = 0 .

पर क्या अगर एक्स≠ 0 ? चलो दिखावा करते हैं कि एक्स = 9? फिर 9 * 0 = 0 तथा 0: 0 = 9 ? क्या हो अगर एक्स = 45, फिर 0: 0 = 45 .

हम वास्तव में साझा कर सकते हैं 0 पर 0 . लेकिन इस समीकरण के अनंत हल होंगे, क्योंकि 0:0 = कुछ भी.

क्यों 0:0 = NaN

क्या आपने कभी साझा करने की कोशिश की है 0 पर 0 स्मार्टफोन पर? चूंकि शून्य से विभाजित शून्य बिल्कुल कोई संख्या देता है, प्रोग्रामर को इस स्थिति से बाहर निकलने का रास्ता तलाशना पड़ा, क्योंकि कैलकुलेटर आपके अनुरोधों को अनदेखा नहीं कर सकता है। और उन्होंने एक तरह का रास्ता निकाला: जब आप शून्य को शून्य से विभाजित करते हैं, तो आपको मिलता है NaN (संख्या नहीं).

क्यों एक्स: 0 =∞ एक एक्स: -0 = — ∞

यदि आप अपने स्मार्टफोन पर किसी भी संख्या को शून्य से विभाजित करने का प्रयास करते हैं, तो उत्तर अनंत के बराबर होगा। बात यह है कि गणित में 0 कभी-कभी इसे "कुछ नहीं" के रूप में नहीं, बल्कि "एक असीम मात्रा" के रूप में देखा जाता है। इसलिए, यदि किसी संख्या को एक अपरिमित मान से विभाजित किया जाता है, तो एक अपरिमित रूप से बड़ा मान प्राप्त होगा (∞) .

तो क्या शून्य से भाग देना संभव है?

उत्तर, जैसा कि अक्सर होता है, अस्पष्ट है। स्कूल में, अपने आप को नाक पर काटना सबसे अच्छा है कि शून्य से विभाजित नहीं कर सकतेयह आपको अनावश्यक जटिलताओं से बचाएगा। लेकिन अगर आप विश्वविद्यालय में गणित के संकाय में प्रवेश करते हैं, तो भी आपको शून्य से भाग देना होगा।

एक व्यापक स्कूल की पहली कक्षा में सभी लोगों को शून्य से भाग देने का गणितीय नियम सिखाया गया था। "आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते," उन्होंने हम सभी को सिखाया और पीठ में एक थप्पड़ के दर्द के तहत, शून्य से विभाजित करने और आम तौर पर इस विषय पर चर्चा करने से मना किया। हालाँकि कुछ प्राथमिक विद्यालय के शिक्षकों ने अभी भी यह समझाने की कोशिश की कि सरल उदाहरणों का उपयोग करके शून्य से विभाजित करना असंभव क्यों है, ये उदाहरण इतने अतार्किक थे कि इस नियम को याद रखना और बहुत सारे प्रश्न नहीं पूछना आसान था। लेकिन ये सभी उदाहरण इस कारण से अतार्किक थे कि शिक्षक हमें पहली कक्षा में तार्किक रूप से यह नहीं समझा सकते थे, क्योंकि पहली कक्षा में हमें यह भी नहीं पता था कि एक समीकरण क्या है, और तार्किक रूप से इस गणितीय नियम को केवल इसके साथ समझाया जा सकता है समीकरणों की मदद

सभी जानते हैं कि किसी भी संख्या को शून्य से विभाजित करने पर एक शून्य निकलेगा। बिल्कुल खालीपन क्यों, हम बाद में विचार करेंगे।

सामान्य तौर पर, गणित में, संख्याओं वाली केवल दो प्रक्रियाओं को स्वतंत्र माना जाता है। यह जोड़ और गुणा है। शेष प्रक्रियाओं को इन दो प्रक्रियाओं का व्युत्पन्न माना जाता है। आइए इसे एक उदाहरण के साथ देखें।

मुझे बताओ, यह कितना होगा, उदाहरण के लिए, 11-10? हम सभी तुरंत उत्तर देंगे कि यह 1 होगा। और हमें ऐसा उत्तर कैसे मिला? कोई कहेगा कि यह पहले से ही स्पष्ट है कि यह 1 होगा, कोई कहेगा कि उसने 11 सेबों में से 10 लिया और गणना की कि एक सेब निकला। तर्क की दृष्टि से तो सब कुछ सही है, लेकिन गणित के नियमों के अनुसार इस समस्या का समाधान अलग तरह से किया जाता है। यह याद रखना चाहिए कि जोड़ और गुणा को मुख्य प्रक्रिया माना जाता है, इसलिए आपको निम्नलिखित समीकरण बनाने की आवश्यकता है: x + 10 \u003d 11, और उसके बाद ही x \u003d 11-10, x \u003d 1. ध्यान दें कि जोड़ पहले आता है, और उसके बाद ही, समीकरण के आधार पर, हम घटा सकते हैं। ऐसा प्रतीत होता है, इतनी सारी प्रक्रियाएँ क्यों? आखिरकार, जवाब इतना स्पष्ट है। लेकिन केवल ऐसी प्रक्रियाएं शून्य से विभाजित करने की असंभवता की व्याख्या कर सकती हैं।

उदाहरण के लिए, हम निम्नलिखित गणितीय कार्य कर रहे हैं: हम 20 को शून्य से विभाजित करना चाहते हैं। तो 20:00 = एक्स। यह पता लगाने के लिए कि यह कितना होगा, आपको यह याद रखना होगा कि विभाजन प्रक्रिया गुणा से होती है। दूसरे शब्दों में, विभाजन गुणन की व्युत्पन्न प्रक्रिया है। इसलिए, आपको गुणा से एक समीकरण बनाने की आवश्यकता है। तो, 0*x=20. यहाँ मृत अंत है। जिस भी संख्या को हम शून्य से गुणा करते हैं, वह अभी भी 0 होगी, लेकिन 20 नहीं। यह वह जगह है जहाँ नियम इस प्रकार है: आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते। शून्य को किसी भी संख्या से विभाजित किया जा सकता है, लेकिन किसी संख्या को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

यह एक और सवाल उठाता है: क्या शून्य को शून्य से विभाजित करना संभव है? तो 0:0=x का अर्थ है 0*x=0. इस समीकरण को हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, x=4, जिसका अर्थ है 0*4=0 लें। यह पता चला है कि यदि आप शून्य को शून्य से विभाजित करते हैं, तो आपको 4 मिलता है, लेकिन यहां भी, सब कुछ इतना आसान नहीं है। यदि हम, उदाहरण के लिए, x=12 या x=13 लें, तो वही उत्तर आएगा (0*12=0)। सामान्य तौर पर, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं, 0 फिर भी निकलेगा। इसलिए, यदि 0: 0, तो अनंत निकलेगा। यहाँ कुछ सरल गणित है। दुर्भाग्य से, शून्य को शून्य से विभाजित करने की प्रक्रिया भी व्यर्थ है।

सामान्य तौर पर, गणित में शून्य की संख्या सबसे दिलचस्प है। उदाहरण के लिए, हर कोई जानता है कि कोई भी संख्या शून्य की घात एक देती है। बेशक, हम वास्तविक जीवन में इस तरह के एक उदाहरण से नहीं मिलते हैं, लेकिन जीवन स्थितियों में अक्सर शून्य से विभाजन होता है। तो याद रखें कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।