मीटर

तिमाहियों

1. सुव्यवस्था। एकतथा बीएक नियम है जो आपको उनके बीच तीन संबंधों में से एक और केवल एक को विशिष्ट रूप से पहचानने की अनुमति देता है: "< », « >' या '='। इस नियम को कहा जाता है आदेश देने का नियमऔर निम्नानुसार तैयार किया गया है: दो गैर-ऋणात्मक संख्याएं और दो पूर्णांकों के समान संबंध से संबंधित हैं और; दो गैर-सकारात्मक संख्याएं एकतथा बीदो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के समान संबंध से संबंधित हैं और; अगर अचानक एकगैर-नकारात्मक, और बी- नकारात्मक, फिर एक > बी. src="/Pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" बॉर्डर="0">

   

   भिन्नों का योग

2. जोड़ संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए एकतथा बीएक तथाकथित है योग नियम सी. हालाँकि, संख्या ही सीबुलाया जोड़नंबर एकतथा बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या ज्ञात करने की प्रक्रिया कहलाती है योग. योग नियम के निम्नलिखित रूप हैं: .
3. गुणन संचालन।किसी भी परिमेय संख्या के लिए एकतथा बीएक तथाकथित है गुणन नियम, जो उन्हें कुछ परिमेय संख्या के साथ पत्राचार में रखता है सी. हालाँकि, संख्या ही सीबुलाया कामनंबर एकतथा बीऔर निरूपित किया जाता है, और ऐसी संख्या को खोजने की प्रक्रिया को भी कहा जाता है गुणा. गुणन नियम इस प्रकार है: .
4. आदेश संबंध की ट्रांजिटिविटी।परिमेय संख्याओं के किसी भी त्रिक के लिए एक , बीतथा सीयदि एककम बीतथा बीकम सी, फिर एककम सी, क्या हो अगर एकबराबरी बीतथा बीबराबरी सी, फिर एकबराबरी सी. 6435">जोड़ की क्रमपरिवर्तनीयता। तर्कसंगत पदों के स्थानों को बदलने से योग नहीं बदलता है।
5. जोड़ की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को जोड़ा जाता है वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
6. शून्य की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 0 होती है जो योग करने पर अन्य सभी परिमेय संख्याओं को सुरक्षित रखती है।
7. विपरीत संख्याओं की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या की एक विपरीत परिमेय संख्या होती है, जिसका योग करने पर 0 प्राप्त होता है।
8. गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता।तर्कसंगत कारकों के स्थानों को बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।
9. गुणन की साहचर्यता।जिस क्रम में तीन परिमेय संख्याओं को गुणा किया जाता है, वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
10. एक इकाई की उपस्थिति।एक परिमेय संख्या 1 है जो गुणा करने पर हर दूसरी परिमेय संख्या को सुरक्षित रखती है।
11. पारस्परिक की उपस्थिति।किसी भी परिमेय संख्या में एक व्युत्क्रम परिमेय संख्या होती है, जिसे गुणा करने पर 1 प्राप्त होता है।
12. जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण।गुणन संचालन वितरण कानून के माध्यम से जोड़ संचालन के अनुरूप है:
13. जोड़ के संचालन के साथ आदेश संबंध का संबंध।एक ही परिमेय संख्या को एक परिमेय असमानता के बाएँ और दाएँ पक्षों में जोड़ा जा सकता है। /चित्र/विकी/फ़ाइलें/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" सीमा = "0">
14. आर्किमिडीज का स्वयंसिद्ध।परिमेय संख्या जो भी हो एक, आप इतनी इकाइयाँ ले सकते हैं कि उनका योग अधिक हो जाएगा एक. src="/Pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" बॉर्डर="0">

अतिरिक्त गुण

परिमेय संख्याओं में निहित अन्य सभी गुणों को मूल गुणों के रूप में अलग नहीं किया जाता है, क्योंकि, सामान्यतया, वे अब सीधे पूर्णांकों के गुणों पर आधारित नहीं होते हैं, बल्कि दिए गए मूल गुणों के आधार पर या सीधे परिभाषा द्वारा सिद्ध किए जा सकते हैं। कुछ गणितीय वस्तु। ऐसी बहुत सारी अतिरिक्त संपत्तियां हैं। उनमें से कुछ का ही उल्लेख करना यहाँ उचित प्रतीत होता है।

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गणनीयता सेट करें

परिमेय संख्याओं की संख्या

परिमेय संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाने के लिए, आपको उनके समुच्चय की कार्डिनैलिटी ज्ञात करनी होगी। यह सिद्ध करना आसान है कि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। ऐसा करने के लिए, यह एक एल्गोरिदम देने के लिए पर्याप्त है जो तर्कसंगत संख्याओं की गणना करता है, जो कि तर्कसंगत और प्राकृतिक संख्याओं के सेट के बीच एक विभाजन स्थापित करता है।

इन एल्गोरिदम में से सबसे सरल इस प्रकार है। प्रत्येक पर साधारण भिन्नों की एक अनंत तालिका संकलित की गई है मैंप्रत्येक में -वीं पंक्ति जेजिसका वां स्तंभ एक भिन्न है। निश्चितता के लिए, यह माना जाता है कि इस तालिका की पंक्तियों और स्तंभों को एक से गिना जाता है। तालिका कोशिकाओं को निरूपित किया जाता है, जहाँ मैं- तालिका की पंक्ति संख्या जिसमें सेल स्थित है, और जे- कॉलम नंबर।

परिणामी तालिका को निम्नलिखित औपचारिक एल्गोरिथम के अनुसार "साँप" द्वारा प्रबंधित किया जाता है।

इन नियमों को ऊपर से नीचे तक खोजा जाता है और पहले मैच के द्वारा अगली स्थिति का चयन किया जाता है।

इस तरह के बाईपास की प्रक्रिया में, प्रत्येक नई परिमेय संख्या को अगली प्राकृतिक संख्या को सौंपा जाता है। यही है, अंश 1 / 1 को संख्या 1, अंश 2 / 1 - संख्या 2, आदि सौंपा गया है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि केवल इरेड्यूसबल अंश ही गिने जाते हैं। इरेड्यूसिबिलिटी का औपचारिक संकेत अंश के अंश और हर के सबसे बड़े सामान्य भाजक की एकता की समानता है।

इस एल्गोरिथम का अनुसरण करते हुए, कोई भी सभी सकारात्मक परिमेय संख्याओं की गणना कर सकता है। इसका अर्थ है कि धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। धनात्मक और ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच केवल एक परिमेय संख्या को इसके विपरीत बताकर, एक आक्षेप स्थापित करना आसान है। उस। ऋणात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी गणनीय होता है। उनका संघ भी गणनीय समुच्चयों के गुण से गणनीय है। परिमेय संख्याओं का समुच्चय परिमित संख्या के साथ गणनीय समुच्चय के मिलन के रूप में भी गणनीय होता है।

परिमेय संख्याओं के समुच्चय की गणनीयता के बारे में कथन कुछ अचरज का कारण बन सकता है, क्योंकि पहली नज़र में यह आभास होता है कि यह प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से बहुत बड़ा है। वास्तव में, यह मामला नहीं है, और सभी परिमेय संख्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्त प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

परिमेय संख्याओं की अपर्याप्तता

ऐसे त्रिभुज का कर्ण किसी परिमेय संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जाता है

फॉर्म 1 की परिमेय संख्याएं / एनअत्याधिक एनमनमाने ढंग से छोटी मात्रा को मापा जा सकता है। यह तथ्य एक भ्रामक धारणा बनाता है कि परिमेय संख्याएँ किसी भी ज्यामितीय दूरियों को सामान्य रूप से माप सकती हैं। यह दिखाना आसान है कि यह सच नहीं है।

पाइथागोरस प्रमेय से यह ज्ञात होता है कि एक समकोण त्रिभुज के कर्ण को उसके पैरों के वर्गों के योग के वर्गमूल के रूप में व्यक्त किया जाता है। उस। एक इकाई पैर वाले समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई बराबर होती है, अर्थात एक संख्या जिसका वर्ग 2 है।

यदि हम यह मान लें कि संख्या किसी परिमेय संख्या द्वारा निरूपित की जाती है, तो ऐसा पूर्णांक होता है एमऔर ऐसी प्राकृतिक संख्या एन, जो, इसके अलावा, भिन्न अपरिवर्तनीय है, अर्थात, संख्याएं एमतथा एनकोप्राइम हैं।

हम अपने जीवन में हर समय भिन्नों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, जब हम दोस्तों के साथ केक खाते हैं। केक को 8 बराबर भागों या 8 . में विभाजित किया जा सकता है शेयरों. शेयर करनाकिसी वस्तु का एक समान भाग है। चार दोस्तों ने केक का एक टुकड़ा खाया। आठ में से चुने गए चार टुकड़ों को गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है: सामान्य अंश\(\frac(4)(8)\), अंश "चार-आठवें" या "चार विभाजित आठ" पढ़ता है। उभयनिष्ठ भिन्न को भी कहते हैं साधारण अंश.

भिन्नात्मक बार विभाजन की जगह लेता है:
\(4 \div 8 = \frac(4)(8)\)
हमने अंशों को अंशों में लिखा। शाब्दिक रूप में यह इस प्रकार होगा:
\(\bf m \div n = \frac(m)(n)\)

4 – मीटरया विभाज्य, भिन्नात्मक बार के ऊपर होता है और दिखाता है कि कुल में से कितने हिस्से या हिस्से लिए गए थे।
8 – भाजकया भाजक, भिन्नात्मक बार के नीचे स्थित होता है और भागों या शेयरों की कुल संख्या दिखाता है।

अगर हम बारीकी से देखें, तो हम देखेंगे कि दोस्तों ने केक का आधा या दो में से एक हिस्सा खा लिया। हम एक साधारण भिन्न \(\frac(1)(2)\) के रूप में लिखते हैं, यह "एक सेकंड" पढ़ता है।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें:
एक चौक है। वर्ग को 5 बराबर भागों में बांटा गया है। दो भागों को चित्रित किया। छायांकित भागों के लिए भिन्न लिखें? छायांकित भागों के लिए भिन्न लिखिए?

दो भागों को चित्रित किया गया है, और कुल पांच भाग हैं, इसलिए अंश \(\frac(2)(5)\) जैसा दिखेगा, अंश "दो-पांचवां" पढ़ा जाता है।
तीन भागों को चित्रित नहीं किया गया था, कुल पांच भाग हैं, इसलिए हम अंश को इस तरह लिखते हैं \(\frac(3)(5)\), अंश "तीन-पांचवां" पढ़ा जाता है।

वर्ग को छोटे-छोटे वर्गों में बाँटिए और भरे हुए और बिना छायांकित भागों के लिए भिन्न लिखिए।

छायांकित 6 भाग, और केवल 25 भाग। हमें भिन्न \(\frac(6)(25)\) मिलता है, अंश "छः पच्चीस" पढ़ा जाता है।
19 भागों को नहीं, बल्कि केवल 25 भागों को छायांकित किया। हमें अंश \(\frac(19)(25)\ मिलता है, अंश "उन्नीस पच्चीसवां" पढ़ा जाता है।

छायांकित 4 भाग, और केवल 25 भाग। हमें भिन्न \(\frac(4)(25)\) मिलता है, अंश "चार पच्चीसवां" पढ़ा जाता है।
21 भागों को नहीं, बल्कि केवल 25 भागों को छायांकित किया। हमें भिन्न \(\frac(21)(25)\) मिलता है, अंश "इक्कीस पच्चीसवां" पढ़ा जाता है।

किसी भी प्राकृत संख्या को भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है. उदाहरण के लिए:

\(5 = \frac(5)(1)\)
\(\bf एम = \frac(एम)(1)\)

कोई भी संख्या एक से विभाज्य होती है, इसलिए इस संख्या को भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है।

"साधारण भिन्न" विषय पर प्रश्न:
एक शेयर क्या है?
उत्तर: शेयर करनाकिसी वस्तु का एक समान भाग है।

भाजक क्या दर्शाता है?
उत्तर: हर दिखाता है कि कितने हिस्से या शेयर विभाजित हैं।

अंश क्या दर्शाता है?
उत्तर: अंश से पता चलता है कि कितने हिस्से या शेयर लिए गए थे।

सड़क 100 मीटर थी। मीशा 31मी चली। व्यंजक को भिन्न के रूप में लिखिए, मीशा कितने समय तक चली?
उत्तर:\(\frac(31)(100)\)

एक सामान्य अंश क्या है?
उत्तर: एक सामान्य भिन्न अंश और हर का अनुपात होता है, जहां अंश हर से कम होता है। उदाहरण, सार्व भिन्न \(\frac(1)(4), \frac(3)(7), \frac(5)(13), \frac(9)(11)…\)

किसी प्राकृत संख्या को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?
उत्तर: किसी भी संख्या को भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, \(5 = \frac(5)(1)\)

कार्य 1:
2kg 700g खरबूजा खरीदा। मीशा के \(\frac(2)(9)\) खरबूजे काट दिए गए। कटे हुए टुकड़े का द्रव्यमान क्या है? कितने ग्राम खरबूजा बचा है?

समाधान:
किलोग्राम को ग्राम में बदलें।
2kg = 2000g
2000 ग्राम + 700 ग्राम = 2700 ग्राम कुल तरबूज वजन।

मीशा के \(\frac(2)(9)\) खरबूजे काट दिए गए। भाजक 9 है, जिसका अर्थ है कि खरबूजे को 9 भागों में विभाजित किया गया था।
2700:9 = 300 ग्राम एक टुकड़े का वजन।
अंश संख्या 2 है, इसलिए मीशा को दो टुकड़े देने होंगे।
300 + 300 = 600 ग्राम या 300 2 = 600 ग्राम मीशा ने कितने खरबूजे खाए।

यह पता लगाने के लिए कि खरबूजे का कितना द्रव्यमान बचा है, आपको खरबूजे के कुल द्रव्यमान से खाए गए द्रव्यमान को घटाना होगा।
2700 - 600 = 2100 ग्राम खरबूजे बचे हैं।

अंश- गणित में किसी संख्या के निरूपण का एक रूप। स्लैश डिवीजन ऑपरेशन को इंगित करता है। मीटरभिन्नों को लाभांश कहा जाता है, और भाजक- विभक्त। उदाहरण के लिए, एक भिन्न में अंश 5 है और हर 7 है।

सहीएक भिन्न को तब कहा जाता है जब अंश का मापांक हर के मापांक से अधिक हो। यदि भिन्न सही है, तो इसके मान का मापांक हमेशा 1 से कम होता है। अन्य सभी भिन्न हैं गलत.

अंश कहलाता है मिला हुआ, यदि इसे एक पूर्णांक और भिन्न के रूप में लिखा जाता है। यह इस संख्या और भिन्न के योग के समान है:

भिन्न का मूल गुण

यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा, उदाहरण के लिए,

भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना

दो भिन्नों को एक समान हर में लाने के लिए, आपको चाहिए:

1. पहली भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा करें
2. दूसरे भिन्न के अंश को पहले के हर से गुणा करें
3. दोनों भिन्नों के हरों को उनके गुणनफल से बदलें

भिन्न के साथ क्रिया

योग।दो भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको चाहिए

1. दोनों भिन्नों के नए अंश जोड़ें, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें

उदाहरण:

घटाव।एक अंश को दूसरे से घटाने के लिए,

1. भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ
2. पहले भिन्न के अंश से दूसरी भिन्न के अंश को घटाएं, और हर को अपरिवर्तित छोड़ दें

उदाहरण:

गुणन।एक भिन्न को दूसरे से गुणा करने के लिए, उनके अंश और हर को गुणा करें:

विभाजन।एक भिन्न को दूसरे भिन्न से विभाजित करने के लिए, पहले भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा करें, और पहली भिन्न के हर को दूसरे के अंश से गुणा करें:

भिन्न का अंश और हर। अंशों के प्रकार। आइए भिन्नों के साथ जारी रखें। सबसे पहले, एक छोटी सी चेतावनी - हम, भिन्नों और उनके साथ संबंधित उदाहरणों पर विचार करते हुए, अभी के लिए हम केवल इसके संख्यात्मक प्रतिनिधित्व के साथ काम करेंगे। आंशिक शाब्दिक भाव भी हैं (संख्याओं के साथ और बिना)।हालाँकि, सभी "सिद्धांत" और नियम उन पर भी लागू होते हैं, लेकिन हम भविष्य में ऐसे भावों के बारे में अलग से बात करेंगे। मैं चरण दर चरण भिन्नों के विषय पर जाने और अध्ययन (याद रखने) की सलाह देता हूं।

सबसे महत्वपूर्ण बात यह समझना, याद रखना और महसूस करना है कि एक अंश एक संख्या है !!!

सामान्य अंशफॉर्म की एक संख्या है:

"शीर्ष पर" (इस मामले में एम) स्थित संख्या को अंश कहा जाता है, नीचे स्थित संख्या (संख्या n) को हर कहा जाता है। जिन लोगों ने अभी-अभी इस विषय को छुआ है, वे अक्सर भ्रमित हो जाते हैं - नाम क्या है।

यहाँ आपके लिए एक तरकीब है, कैसे हमेशा याद रखना है - अंश कहाँ है, और हर कहाँ है। यह तकनीक मौखिक-आलंकारिक संघ से जुड़ी है। बादल के पानी के एक जार की कल्पना करो। यह ज्ञात है कि जैसे ही पानी जमता है, साफ पानी ऊपर रहता है, और मैला (गंदगी) जम जाता है, याद रखें:

CHISSS ऊपर पिघला हुआ पानी (शीर्ष पर CHISSS डालने वाला)

कीचड़ ZZZNNN वें पानी नीचे (ZZZNN Amenator नीचे)

इसलिए, जैसे ही यह याद रखना आवश्यक हो जाता है कि अंश कहाँ है और भाजक कहाँ है, तो उन्होंने तुरंत बसे हुए पानी के एक जार की कल्पना की, जिसमें ऊपर साफ पानी और नीचे गंदा पानी है। याद रखने के लिए और भी तरकीबें हैं, अगर वे आपकी मदद करती हैं, तो अच्छा है।

साधारण अंशों के उदाहरण:

संख्याओं के बीच क्षैतिज रेखा का क्या अर्थ है? यह एक विभाजन चिन्ह से ज्यादा कुछ नहीं है। यह पता चला है कि विभाजन की क्रिया के साथ एक अंश को एक उदाहरण के रूप में माना जा सकता है। यह क्रिया बस इस रूप में दर्ज की जाती है। अर्थात्, शीर्ष संख्या (अंश) को नीचे की संख्या (भाजक) से विभाजित किया जाता है:

इसके अलावा, रिकॉर्डिंग का एक और रूप है - एक अंश इस तरह लिखा जा सकता है (एक स्लैश के माध्यम से):

1/9, 5/8, 45/64, 25/9, 15/13, 45/64 इत्यादि...

हम उपरोक्त भिन्नों को इस प्रकार लिख सकते हैं:

जैसा कि आप जानते हैं, विभाजन का परिणाम संख्या है।

स्पष्ट - इस संख्या का अंश !!!

जैसा कि आप पहले ही देख चुके हैं, एक साधारण भिन्न में, अंश हर से छोटा हो सकता है, हर से बड़ा हो सकता है, और इसके बराबर भी हो सकता है। ऐसे कई महत्वपूर्ण बिंदु हैं जो बिना किसी सैद्धांतिक तामझाम के सहज रूप से समझ में आते हैं। उदाहरण के लिए:

1. भिन्न 1 और 3 को 0.5 और 0.01 के रूप में लिखा जा सकता है। चलिए थोड़ा आगे चलते हैं - ये दशमलव भिन्न हैं, हम इनके बारे में थोड़ा नीचे बात करेंगे।

2. भिन्न 4 और 6 के परिणामस्वरूप एक पूर्णांक 45:9=5, 11:1 = 11 प्राप्त होता है।

3. भिन्न 5 परिणामस्वरूप इकाई 155:155 = 1 देता है।

क्या निष्कर्ष स्वयं सुझाते हैं? निम्नलिखित:

1. अंश को हर से विभाजित करने पर एक परिमित संख्या प्राप्त हो सकती है। यह काम नहीं कर सकता है, कॉलम 7 से 13 या 17 को 11 से विभाजित करें - बिल्कुल नहीं! आप अनिश्चित काल के लिए विभाजित कर सकते हैं, लेकिन हम इसके बारे में भी थोड़ा कम बात करेंगे।

2. भिन्न का परिणाम पूर्णांक हो सकता है। इसलिए, हम किसी भी पूर्णांक को भिन्न के रूप में, या बल्कि भिन्नों की एक अनंत श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं, देखिए, ये सभी भिन्न 2 के बराबर हैं:

अभी तक! हम किसी भी पूर्ण संख्या को हमेशा भिन्न के रूप में लिख सकते हैं - यह संख्या स्वयं अंश में होती है, हर में एक:

3. हम हमेशा किसी भी हर के साथ एक इकाई को भिन्न के रूप में निरूपित कर सकते हैं:

*संकेतित अंक गणना और रूपांतरण में भिन्नों के साथ काम करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

अंशों के प्रकार।

और अब साधारण अंशों के सैद्धांतिक विभाजन के बारे में। वे में विभाजित हैं सही या गलत.

जिस भिन्न का अंश हर से कम हो उसे उचित भिन्न कहते हैं। उदाहरण:

एक भिन्न जिसका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, अनुचित भिन्न कहलाता है। उदाहरण:

मिश्रित अंश(मिश्रित संख्या)।

मिश्रित भिन्न वह भिन्न होती है जिसे पूर्ण संख्या और उचित भिन्न के रूप में लिखा जाता है और इसे इस संख्या और इसके भिन्नात्मक भाग के योग के रूप में समझा जाता है। उदाहरण:

मिश्रित भिन्न को हमेशा एक अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है और इसके विपरीत। चलिए आगे बढ़ते हैं!

दशमलव।

हम उन पर पहले ही बात कर चुके हैं, ये उदाहरण हैं (1) और (3), अब और अधिक विस्तार से। यहां दशमलव के उदाहरण दिए गए हैं: 0.3 0.89 0.001 5.345।

एक भिन्न जिसका हर 10 की घात है, जैसे 10, 100, 1000, इत्यादि, दशमलव कहलाता है। पहले तीन संकेतित भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में लिखना कठिन नहीं है:

चौथा एक मिश्रित अंश (मिश्रित संख्या) है:

एक दशमलव में निम्नलिखित संकेतन होता है - withपूर्णांक भाग शुरू होता है, फिर पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों का विभाजक एक बिंदु या अल्पविराम होता है और फिर भिन्नात्मक भाग, भिन्नात्मक भाग के अंकों की संख्या को भिन्नात्मक भाग के आयाम द्वारा कड़ाई से निर्धारित किया जाता है: यदि ये दसवें हैं, भिन्नात्मक भाग को एक अंक के रूप में लिखा जाता है; अगर हजारवां - तीन; दस-हज़ारवां - चार, आदि।

ये भिन्न परिमित और अनंत हैं।

अंतिम दशमलव उदाहरण: 0.234; 0.87; 34.00005; 5.765.

उदाहरण अंतहीन हैं। उदाहरण के लिए, संख्या पाई एक अनंत दशमलव अंश है, फिर भी - 0.33333333333333…... 0.16666666666…। और दूसरे। साथ ही संख्या 3, 5, 7, आदि से मूल निकालने का परिणाम भी प्राप्त होता है। एक अनंत अंश होगा।

भिन्नात्मक भाग चक्रीय हो सकता है (इसमें एक चक्र होता है), ऊपर दिए गए दो उदाहरण बिल्कुल समान हैं, अधिक उदाहरण:

0.123123123123…… चक्र 123

0.781781781718…… चक्र 781

0.0250102501…. चक्र 02501

इन्हें 0, (123) 0, (781) 0, (02501) के रूप में लिखा जा सकता है।

संख्या पाई एक चक्रीय अंश नहीं है, उदाहरण के लिए, तीन की जड़।

नीचे दिए गए उदाहरणों में, "टर्न ओवर" जैसे शब्द भिन्न लगेंगे - इसका मतलब है कि अंश और हर आपस में जुड़े हुए हैं। वास्तव में, ऐसे अंश का एक नाम होता है - पारस्परिक अंश। पारस्परिक भिन्नों के उदाहरण:

छोटा सारांश! भिन्न हैं:

साधारण (सही और गलत)।

दशमलव (परिमित और अनंत)।

मिश्रित (मिश्रित संख्या)।

बस इतना ही!

निष्ठा से, सिकंदर।

हम एक भिन्न की अवधारणा का समग्र रूप से अध्ययन करके इस विषय पर अपना विचार शुरू करेंगे, जो हमें एक साधारण भिन्न के अर्थ की अधिक संपूर्ण समझ प्रदान करेगा। आइए मुख्य शब्द और उनकी परिभाषा दें, ज्यामितीय व्याख्या में विषय का अध्ययन करें, अर्थात। समन्वय रेखा पर, और भिन्नों के साथ बुनियादी क्रियाओं की एक सूची भी परिभाषित करें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

पूरे के शेयर

एक ऐसी वस्तु की कल्पना करें जिसमें कई, पूरी तरह से समान भाग हों। उदाहरण के लिए, यह एक नारंगी हो सकता है, जिसमें कई समान स्लाइस होते हैं।

परिभाषा 1

एक पूरे का हिस्सा या शेयरप्रत्येक समान भाग है जो संपूर्ण वस्तु को बनाता है।

जाहिर है, शेयर अलग हो सकते हैं। इस कथन को स्पष्ट रूप से समझाने के लिए, दो सेबों की कल्पना कीजिए, जिनमें से एक को दो बराबर भागों में और दूसरे को चार भागों में काटा जाता है। यह स्पष्ट है कि विभिन्न सेबों के लिए परिणामी शेयरों का आकार अलग-अलग होगा।

शेयरों के अपने नाम होते हैं, जो पूरे विषय को बनाने वाले शेयरों की संख्या पर निर्भर करते हैं। यदि किसी वस्तु के दो भाग हैं, तो उनमें से प्रत्येक को इस मद के एक दूसरे भाग के रूप में परिभाषित किया जाएगा; जब किसी वस्तु में तीन भाग होते हैं, तो उनमें से प्रत्येक एक तिहाई होता है, और इसी तरह।

परिभाषा 2

आधा- विषय का एक दूसरा भाग।

तीसरा- विषय का एक तिहाई।

चौथाई- विषय का एक चौथाई।

रिकॉर्ड को छोटा करने के लिए, शेयरों के लिए निम्नलिखित संकेतन पेश किया गया: आधा - 1 2 या 1/2 ; तीसरा - 1 3 या 1/3 ; एक चौथाई हिस्सा 1 4 या 1/4 वगैरह। क्षैतिज पट्टी वाली प्रविष्टियाँ अधिक बार उपयोग की जाती हैं।

एक हिस्से की अवधारणा स्वाभाविक रूप से वस्तुओं से परिमाण तक फैलती है। तो, आप लंबाई की इकाइयों में से एक के रूप में, छोटी वस्तुओं को मापने के लिए एक मीटर (एक तिहाई या एक सौवां) के अंशों का उपयोग कर सकते हैं। अन्य मात्राओं के शेयरों को इसी तरह लागू किया जा सकता है।

सामान्य भिन्न, परिभाषा और उदाहरण

शेयरों की संख्या का वर्णन करने के लिए साधारण अंशों का उपयोग किया जाता है। एक साधारण उदाहरण पर विचार करें जो हमें एक साधारण भिन्न की परिभाषा के करीब लाएगा।

एक नारंगी की कल्पना करें, जिसमें 12 स्लाइस हों। तब प्रत्येक शेयर होगा - एक बारहवां या 1 / 12। दो शेयर - 2/12; तीन शेयर - 3 / 12, आदि। सभी 12 भाग या एक पूर्णांक इस प्रकार दिखाई देंगे: 12/12 । उदाहरण में प्रयुक्त प्रत्येक प्रविष्टि एक उभयनिष्ठ भिन्न का उदाहरण है।

परिभाषा 3

सामान्य अंशप्रपत्र का एक रिकॉर्ड है m n या m/n , जहाँ m और n कोई प्राकृत संख्याएँ हैं।

इस परिभाषा के अनुसार, साधारण भिन्नों के उदाहरण प्रविष्टियाँ हो सकते हैं: 4/9, 1134, 91754। और ये प्रविष्टियाँ: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 साधारण भिन्न नहीं हैं।

मीटर और विभाजक

परिभाषा 4

मीटरसामान्य अंश m n या m/n एक प्राकृत संख्या m है।

भाजकसामान्य अंश m n या m/n एक प्राकृत संख्या n है।

वे। अंश एक साधारण अंश (या स्लैश के बाईं ओर) की पट्टी के ऊपर की संख्या है, और हर बार के नीचे (स्लैश के दाईं ओर) की संख्या है।

अंश और हर का क्या अर्थ है? एक साधारण भिन्न का हर इंगित करता है कि एक आइटम में कितने शेयर होते हैं, और अंश हमें इस बारे में जानकारी देता है कि ऐसे कितने शेयरों पर विचार किया जाता है। उदाहरण के लिए, सामान्य अंश 7 54 हमें इंगित करता है कि एक निश्चित वस्तु में 54 शेयर होते हैं, और विचार के लिए हमने 7 ऐसे शेयर लिए।

भाजक के साथ भिन्न के रूप में प्राकृत संख्या 1

साधारण भिन्न का हर एक के बराबर हो सकता है। इस मामले में, यह कहना संभव है कि विचाराधीन वस्तु (मूल्य) अविभाज्य है, कुछ संपूर्ण है। इस तरह के अंश में अंश इंगित करेगा कि ऐसी कितनी वस्तुएं ली गई हैं, अर्थात। एम 1 के रूप के एक साधारण अंश में प्राकृतिक संख्या एम का अर्थ होता है। यह कथन समानता m 1 = m के औचित्य के रूप में कार्य करता है।

आइए अंतिम समानता को इस तरह लिखें: m = m 1 । यह हमें किसी भी प्राकृत संख्या को साधारण भिन्न के रूप में उपयोग करने का अवसर देगा। उदाहरण के लिए, संख्या 74, 74 1 के रूप का एक साधारण अंश है।

परिभाषा 5

कोई भी प्राकृत संख्या m को साधारण भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ हर एक है: m 1 ।

बदले में, एम 1 के रूप के किसी भी साधारण अंश को प्राकृतिक संख्या एम द्वारा दर्शाया जा सकता है।

भाग चिन्ह के रूप में भिन्न बार

किसी दिए गए ऑब्जेक्ट का n शेयरों के रूप में उपरोक्त प्रतिनिधित्व n बराबर भागों में विभाजन से ज्यादा कुछ नहीं है। जब किसी वस्तु को n भागों में विभाजित किया जाता है, तो हमारे पास इसे n लोगों के बीच समान रूप से विभाजित करने का अवसर होता है - सभी को अपना हिस्सा मिलता है।

मामले में जब हमारे पास शुरू में m समान वस्तुएं होती हैं (प्रत्येक को n भागों में विभाजित किया जाता है), तो इन m वस्तुओं को n लोगों के बीच समान रूप से विभाजित किया जा सकता है, उनमें से प्रत्येक को m वस्तुओं में से प्रत्येक से एक हिस्सा दिया जा सकता है। इस मामले में, प्रत्येक व्यक्ति के पास m शेयर 1 n होंगे, और m शेयर 1 n एक साधारण अंश m n देगा। इसलिए, सामान्य अंश m n का उपयोग n लोगों के बीच m वस्तुओं के विभाजन को दर्शाने के लिए किया जा सकता है।

परिणामी कथन साधारण भिन्नों और विभाजन के बीच संबंध स्थापित करता है। और इस संबंध को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है : विभाजन के संकेत के रूप में भिन्न की रेखा का अर्थ संभव है, अर्थात। एम / एन = एम: एन।

एक साधारण भिन्न की सहायता से हम दो प्राकृत संख्याओं को विभाजित करने का परिणाम लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, 7 सेब को 10 लोगों से विभाजित करने पर 7 10 लिखा जाएगा: प्रत्येक व्यक्ति को सात दसवां हिस्सा मिलेगा।

समान और असमान उभयनिष्ठ भिन्न

तार्किक क्रिया साधारण भिन्नों की तुलना करना है, क्योंकि यह स्पष्ट है कि, उदाहरण के लिए, एक सेब का 1 8 7 8 से भिन्न है।

साधारण भिन्नों की तुलना करने का परिणाम हो सकता है: बराबर या असमान।

परिभाषा 6

समान सामान्य भिन्नसाधारण भिन्न हैं a b और c d , जिनके लिए समानता सत्य है: a d = b c ।

असमान सामान्य भिन्न- साधारण भिन्न a b और c d , जिसके लिए समानता: a · d = b · c सत्य नहीं है।

समान भिन्नों का एक उदाहरण: 1 3 और 4 12 - चूँकि समानता 1 12 \u003d 3 4 सत्य है।

उस स्थिति में जब यह पता चलता है कि भिन्न समान नहीं हैं, आमतौर पर यह पता लगाना भी आवश्यक है कि दिए गए भिन्नों में से कौन सा कम है और कौन सा बड़ा है। इन प्रश्नों का उत्तर देने के लिए, साधारण भिन्नों को एक सामान्य हर में लाकर और फिर अंशों की तुलना करके तुलना की जाती है।

भिन्नात्मक संख्या

प्रत्येक अंश एक भिन्नात्मक संख्या का एक रिकॉर्ड है, जो वास्तव में सिर्फ एक "शेल" है, सिमेंटिक लोड का एक दृश्य। लेकिन फिर भी, सुविधा के लिए, हम एक अंश और एक भिन्नात्मक संख्या की अवधारणाओं को जोड़ते हैं, बस बोलते हुए - एक अंश।

सभी भिन्नात्मक संख्याएं, किसी भी अन्य संख्या की तरह, समन्वय किरण पर अपना विशिष्ट स्थान रखती हैं: समन्वय किरण पर भिन्नों और बिंदुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है।

समन्वय किरण पर एक बिंदु खोजने के लिए, अंश m n को दर्शाता है, निर्देशांक की उत्पत्ति से सकारात्मक दिशा में m खंडों को स्थगित करना आवश्यक है, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई 1 n एक इकाई खंड का एक अंश होगा। एक खंड को n समान भागों में विभाजित करके खंड प्राप्त किए जा सकते हैं।

एक उदाहरण के रूप में, आइए निर्देशांक किरण पर बिंदु M को निरूपित करें, जो भिन्न 14 10 से मेल खाती है। खंड की लंबाई, जिसके सिरे बिंदु O है और निकटतम बिंदु, जो एक छोटे स्ट्रोक से चिह्नित है, इकाई खंड के 1 10 अंशों के बराबर है। भिन्न 14 10 के संगत बिंदु मूल बिंदु से ऐसे 14 खंडों की दूरी पर स्थित है।

यदि भिन्न समान हैं, अर्थात्। वे एक ही भिन्नात्मक संख्या के अनुरूप होते हैं, फिर ये भिन्न निर्देशांक किरण पर एक ही बिंदु के निर्देशांक के रूप में कार्य करते हैं। उदाहरण के लिए, निर्देशांक समान भिन्नों के रूप में 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 समन्वय किरण पर एक ही बिंदु के अनुरूप होते हैं, जो इकाई खंड के एक तिहाई की दूरी पर स्थित होता है, जो कि सकारात्मक दिशा में मूल।

वही सिद्धांत यहां पूर्णांक के साथ काम करता है: दाईं ओर निर्देशित क्षैतिज समन्वय किरण पर, जिस बिंदु से बड़ा अंश मेल खाता है, वह उस बिंदु के दाईं ओर स्थित होगा जिससे छोटा अंश मेल खाता है। और इसके विपरीत: वह बिंदु, जिसका निर्देशांक छोटा अंश है, उस बिंदु के बाईं ओर स्थित होगा, जो बड़े निर्देशांक से मेल खाता है।

उचित और अनुचित भिन्न, परिभाषाएं, उदाहरण

भिन्नों का उचित और अनुचित में विभाजन एक ही भिन्न के अंश और हर की तुलना पर आधारित होता है।

परिभाषा 7

उचित अंशएक साधारण भिन्न है जिसमें अंश हर से छोटा होता है। अर्थात्, यदि असमानता m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

अनुचित अंशएक भिन्न है जिसका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर है। अर्थात्, यदि अपरिभाषित असमानता सत्य है, तो साधारण भिन्न m n अनुचित है।

यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं: - उचित भिन्न:

उदाहरण 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

अनुचित अंश:

उदाहरण 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

किसी भिन्न की इकाई से तुलना के आधार पर उचित और अनुचित भिन्नों की परिभाषा देना भी संभव है।

परिभाषा 8

उचित अंशएक सामान्य भिन्न है जो एक से कम है।

अनुचित अंशएक के बराबर या उससे बड़ा एक सामान्य अंश है।

उदाहरण के लिए, भिन्न 8 12 सही है, क्योंकि 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 , और 14 14 = 1 ।

आइए इस बात पर थोड़ा गहराई से विचार करें कि जिन भिन्नों का अंश हर से बड़ा या उसके बराबर होता है, उन्हें "गलत" क्यों कहा जाता है।

अनुचित भिन्न 8 8 पर विचार करें: यह हमें बताता है कि 8 भागों से मिलकर बनी वस्तु के 8 भाग लिए गए हैं। इस प्रकार, उपलब्ध आठ शेयरों से, हम एक संपूर्ण वस्तु की रचना कर सकते हैं, अर्थात। दिया गया अंश 8 8 अनिवार्य रूप से संपूर्ण वस्तु का प्रतिनिधित्व करता है: 8 8 \u003d 1. वे भिन्न जिनमें अंश और हर बराबर होते हैं, प्राकृतिक संख्या 1 को पूरी तरह से बदल देते हैं।

उन भिन्नों पर भी विचार करें जिनमें अंश हर से अधिक है: 11 5 और 36 3। यह स्पष्ट है कि भिन्न 115 इंगित करता है कि हम इसमें से दो पूर्ण वस्तुएँ बना सकते हैं और अभी भी इसका पाँचवाँ भाग होगा। वे। भिन्न 115 2 वस्तु है और दूसरा 1 5 उसमें से। बदले में, 36 3 एक भिन्न है, जिसका अनिवार्य रूप से 12 संपूर्ण वस्तुओं का अर्थ है।

ये उदाहरण यह निष्कर्ष निकालना संभव बनाते हैं कि अनुचित अंशों को प्राकृतिक संख्याओं से बदला जा सकता है (यदि अंश शेष के बिना हर द्वारा विभाज्य है: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) या एक प्राकृतिक संख्या का योग और ए उचित भिन्न (यदि अंश शेष के बिना हर द्वारा विभाज्य नहीं है: 11 5 = 2 + 1 5)। शायद यही कारण है कि ऐसे अंशों को "अनुचित" कहा जाता है।

यहां भी, हम सबसे महत्वपूर्ण संख्या कौशल में से एक का सामना करते हैं।

परिभाषा 9

एक अनुचित अंश से पूर्णांक भाग निकालनाएक प्राकृतिक संख्या और एक उचित अंश के योग के रूप में लिखा गया एक अनुचित अंश है।

यह भी ध्यान दें कि अनुचित भिन्नों और मिश्रित संख्याओं के बीच घनिष्ठ संबंध है।

सकारात्मक और नकारात्मक अंश

ऊपर हमने कहा कि प्रत्येक साधारण भिन्न एक धनात्मक भिन्न संख्या से मेल खाती है। वे। साधारण भिन्न धनात्मक भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 5 17 , 6 98 , 64 79 धनात्मक हैं, और जब किसी भिन्न की "सकारात्मकता" पर जोर देना आवश्यक हो, तो इसे प्लस चिह्न का उपयोग करके लिखा जाता है: + 5 17, + 6 98, + 64 79।

यदि हम किसी साधारण भिन्न को ऋणात्मक चिह्न प्रदान करते हैं, तो परिणामी अभिलेख ऋणात्मक भिन्नात्मक संख्या का अभिलेख होगा, और इस मामले में हम ऋणात्मक भिन्नों के बारे में बात कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, - 8 17 , - 78 14 आदि।

धनात्मक और ऋणात्मक भिन्न m n और - m n विपरीत संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, भिन्न 7 8 और - 7 8 विपरीत हैं।

सकारात्मक अंश, सामान्य रूप से किसी भी सकारात्मक संख्या की तरह, एक जोड़, ऊपर की ओर परिवर्तन का मतलब है। बदले में, नकारात्मक अंश खपत के अनुरूप हैं, कमी की दिशा में बदलाव।

यदि हम निर्देशांक रेखा पर विचार करें, तो हम देखेंगे कि ऋणात्मक भिन्न संदर्भ बिंदु के बाईं ओर स्थित हैं। जिन बिंदुओं से भिन्न भिन्न होते हैं, जो विपरीत (m n और - m n) होते हैं, O निर्देशांक के मूल से समान दूरी पर स्थित होते हैं, लेकिन इसके विपरीत दिशा में।

यहां हम अलग से 0 n के रूप में लिखे गए भिन्नों के बारे में भी बात करते हैं। ऐसा भिन्न शून्य के बराबर होता है, अर्थात्। 0 एन = 0।

उपरोक्त सभी को सारांशित करते हुए, हम परिमेय संख्याओं की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा पर आ गए हैं।

परिभाषा 10

परिमेय संख्या 0 n के रूप में धनात्मक भिन्नों, ऋणात्मक भिन्नों और भिन्नों का समुच्चय है।

भिन्न के साथ क्रिया

आइए भिन्नों के साथ बुनियादी संक्रियाओं को सूचीबद्ध करें। सामान्य तौर पर, उनका सार प्राकृतिक संख्याओं के साथ संबंधित संचालन के समान होता है

1. भिन्नों की तुलना - हमने ऊपर इस क्रिया की चर्चा की है।
2. भिन्नों का जोड़ - साधारण भिन्नों को जोड़ने का परिणाम एक साधारण भिन्न होता है (किसी विशेष मामले में, एक प्राकृतिक संख्या में घटाया जाता है)।
3. भिन्नों का घटाव एक क्रिया है, जोड़ के विपरीत, जब एक अज्ञात भिन्न को एक ज्ञात भिन्न और भिन्नों के दिए गए योग से निर्धारित किया जाता है।
4. भिन्नों का गुणन - इस क्रिया को भिन्न से भिन्न ज्ञात करने के रूप में वर्णित किया जा सकता है। दो साधारण भिन्नों को गुणा करने का परिणाम एक साधारण भिन्न होता है (किसी विशेष मामले में, एक प्राकृतिक संख्या के बराबर)।
5. भिन्नों का विभाजन गुणन का व्युत्क्रम होता है, जब हम उस भिन्न का निर्धारण करते हैं जिससे दो भिन्नों का ज्ञात गुणनफल प्राप्त करने के लिए दिए गए अंश को गुणा करना आवश्यक होता है।

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