सबसे पहले, यह पता लगाने के लिए कि क्या शून्य को ऋणात्मक संख्या से विभाजित किया जा सकता है, किसी को यह याद रखना चाहिए कि ऋणात्मक संख्याओं का विभाजन आम तौर पर कैसे किया जाता है। भाग की गणितीय संक्रिया गुणन का व्युत्क्रम है।

इसे इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है: यदि ए और बी तर्कसंगत संख्याएं हैं, तो ए को बी से विभाजित करने का मतलब एक संख्या सी ढूंढना है, जिसे बी से गुणा करने पर संख्या ए प्राप्त होगी। विभाजन की यह परिभाषा धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याओं के लिए सत्य है, जब तक कि भाजक अशून्य हों। इस मामले में, शर्त का कड़ाई से पालन किया जाता है कि शून्य से विभाजित करना असंभव है।

इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्या 32 को संख्या -8 से विभाजित करने के लिए, आपको एक संख्या ढूंढनी चाहिए, जिसे संख्या -8 से गुणा करने पर संख्या 32 प्राप्त होगी। यह संख्या -4 होगी, क्योंकि

(-4) x (-8) = 32. चिह्नों को एक साथ जोड़ा जाता है, और एक ऋण से एक ऋण का परिणाम एक प्लस होगा।

इस प्रकार:

परिमेय संख्याओं के विभाजन के अन्य उदाहरण:

21: 7 = 3, चूँकि 7 x 3 = 21,

(−9) : (−3) = 3 चूँकि 3 (−3) = −9.

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियम

भागफल का मापांक ज्ञात करने के लिए विभाज्य संख्या के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करना आवश्यक है। ऑपरेशन के दोनों तत्वों के संकेत को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है।

दो संख्याओं को एक ही चिह्न से विभाजित करने के लिए, आपको लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करना होगा, और परिणाम के सामने प्लस चिह्न लगाना होगा।

दो संख्याओं को अलग-अलग चिह्नों से विभाजित करने के लिए, आपको लाभांश मापांक को भाजक मापांक से विभाजित करना होगा, लेकिन परिणाम के सामने एक ऋण चिह्न लगाना होगा, और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा तत्व, भाजक या लाभांश, नकारात्मक था।

गुणा और भाग के परिणामों के बीच संकेतित नियम और संबंध, जो सकारात्मक संख्याओं के लिए जाने जाते हैं, संख्या शून्य को छोड़कर सभी तर्कसंगत संख्याओं के लिए भी मान्य हैं।

शून्य के लिए एक महत्वपूर्ण नियम है: किसी भी गैर-शून्य संख्या से विभाजित शून्य का भागफल भी शून्य होता है।

0: b = 0, b ≠ 0. इसके अलावा, b सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकता है।

इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि शून्य को एक ऋणात्मक संख्या से विभाजित किया जा सकता है, और परिणाम हमेशा शून्य ही होगा।

अब निपटते हैं गुणन और भाग.

मान लीजिए हमें +3 को -4 से गुणा करना है। इसे कैसे करना है?

आइए ऐसे ही एक मामले पर विचार करें. तीन लोग कर्ज में डूब गए, और प्रत्येक पर 4 डॉलर का कर्ज है। कुल कर्ज कितना है? इसे खोजने के लिए, आपको सभी तीन ऋणों को जोड़ना होगा: $4 + $4 + $4 = $12। हमने निर्णय लिया है कि तीन संख्याओं 4 का योग 3 × 4 के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि इस मामले में हम कर्ज के बारे में बात कर रहे हैं, इसलिए 4 के सामने "-" चिन्ह है। हम जानते हैं कि कुल ऋण $12 है, इसलिए अब हमारी समस्या 3x(-4)=-12 है।

हमें वही परिणाम मिलेगा यदि समस्या की स्थिति के अनुसार, चार लोगों में से प्रत्येक पर 3 डॉलर का कर्ज है। दूसरे शब्दों में, (+4)x(-3)=-12. और चूँकि गुणनखंडों का क्रम मायने नहीं रखता, हमें (-4)x(+3)=-12 और (+4)x(-3)=-12 मिलता है।

आइए परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करें। एक धनात्मक और एक ऋणात्मक संख्या को गुणा करने पर परिणाम हमेशा एक ऋणात्मक संख्या ही होगा। उत्तर का संख्यात्मक मान वही होगा जो सकारात्मक संख्याओं के मामले में होता है। गुणनफल (+4)x(+3)=+12. "-" चिह्न की उपस्थिति केवल चिह्न को प्रभावित करती है, लेकिन संख्यात्मक मान को प्रभावित नहीं करती है।

आप दो ऋणात्मक संख्याओं को कैसे गुणा करते हैं?

दुर्भाग्य से, इस विषय पर जीवन से एक उपयुक्त उदाहरण प्रस्तुत करना बहुत कठिन है। $3 या $4 के कर्ज़ की कल्पना करना आसान है, लेकिन -4 या -3 लोगों के कर्ज़ में डूबने की कल्पना करना पूरी तरह से असंभव है।

शायद हम दूसरे रास्ते से जायेंगे. गुणन में, किसी एक कारक का चिह्न बदलने से गुणनफल का चिह्न बदल जाता है। यदि हम दोनों कारकों के चिन्ह बदलते हैं, तो हमें चिन्हों को दो बार बदलना होगा उत्पाद चिन्ह, पहले सकारात्मक से नकारात्मक, और फिर इसके विपरीत, नकारात्मक से सकारात्मक, अर्थात, उत्पाद का अपना मूल चिन्ह होगा।

इसलिए, यह काफी तार्किक है, हालांकि थोड़ा अजीब है, कि (-3)x(-4)=+12.

संकेत स्थितिगुणा करने पर यह इस प्रकार बदलता है:

• धनात्मक संख्या x धनात्मक संख्या = धनात्मक संख्या;
• ऋणात्मक संख्या x धनात्मक संख्या = ऋणात्मक संख्या;
• धनात्मक संख्या x ऋणात्मक संख्या = ऋणात्मक संख्या;
• ऋणात्मक संख्या x ऋणात्मक संख्या = धनात्मक संख्या।

दूसरे शब्दों में, दो संख्याओं को एक ही चिन्ह से गुणा करने पर हमें एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है. विभिन्न चिन्हों वाली दो संख्याओं को गुणा करने पर हमें एक ऋणात्मक संख्या प्राप्त होती है.

गुणन के विपरीत क्रिया के लिए भी यही नियम सत्य है - के लिए।

आप इसे चलाकर आसानी से सत्यापित कर सकते हैं व्युत्क्रम गुणन संक्रियाएँ. यदि उपरोक्त प्रत्येक उदाहरण में आप भागफल को भाजक से गुणा करते हैं, तो आपको लाभांश मिलता है, और सुनिश्चित करें कि इसका चिह्न समान हो, जैसे (-3)x(-4)=(+12)।

चूँकि सर्दियाँ आ रही हैं, यह सोचने का समय है कि अपने लोहे के घोड़े को किसमें बदला जाए, ताकि बर्फ पर फिसले नहीं और सर्दियों की सड़कों पर आत्मविश्वास महसूस करें। उदाहरण के लिए, आप साइट पर योकोहामा टायर ले सकते हैं: mvo.ru या कुछ अन्य, मुख्य बात यह है कि यह उच्च गुणवत्ता का होगा, आप साइट Mvo.ru पर अधिक जानकारी और कीमतें पा सकते हैं।

इस लेख का फोकस है ऋणात्मक संख्याओं का विभाजन. सबसे पहले, किसी ऋणात्मक संख्या को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने का नियम दिया गया है, उसका औचित्य दिया गया है, और फिर समाधानों के विस्तृत विवरण के साथ ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण दिए गए हैं।

पेज नेविगेशन.

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का नियम

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का नियम बताने से पहले, आइए विभाजन क्रिया के अर्थ को याद करें। अपने सार में विभाजन एक ज्ञात उत्पाद और एक ज्ञात अन्य कारक द्वारा एक अज्ञात कारक को खोजने का प्रतिनिधित्व करता है। अर्थात्, संख्या c, a का भागफल है जिसे b से विभाजित किया जाता है जब c b=a , और इसके विपरीत, यदि c b=a , तो a:b=c ।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने का नियमनिम्नलिखित: एक ऋणात्मक संख्या को दूसरे से विभाजित करने का भागफल अंश को हर के मापांक से विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है।

आइए अक्षरों का उपयोग करके ध्वनियुक्त नियम लिखें। यदि a और b ऋणात्मक संख्याएँ हैं, तो समानता a:b=|a|:|b| .

समानता a:b=a b −1 से शुरू करके साबित करना आसान है वास्तविक संख्याओं के गुणन के गुणऔर पारस्परिक संख्याओं की परिभाषाएँ। दरअसल, इस आधार पर फॉर्म की समानताओं की एक श्रृंखला लिखी जा सकती है (a b −1) b=a (b −1 b)=a 1=a, जो, लेख की शुरुआत में उल्लिखित विभाजन की भावना के आधार पर, यह साबित करता है कि a · b - 1, a को b से विभाजित करने का भागफल है।

और यह नियम आपको ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने से लेकर गुणन तक जाने की अनुमति देता है।

उदाहरणों को हल करते समय ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के लिए सुविचारित नियमों के अनुप्रयोग पर विचार करना बाकी है।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण

आइए विश्लेषण करें ऋणात्मक संख्याओं के विभाजन के उदाहरण. आइए सरल मामलों से शुरू करें, जिन पर हम विभाजन नियम के अनुप्रयोग पर काम करेंगे।

उदाहरण।

ऋणात्मक संख्या −18 को ऋणात्मक संख्या −3 से विभाजित करें, फिर भागफल (−5):(−2) की गणना करें।

समाधान।

ऋणात्मक संख्याओं के विभाजन के नियम के अनुसार, −18 को −3 से विभाजित करने का भागफल इन संख्याओं के मापांक को विभाजित करने के भागफल के बराबर होता है। चूँकि |−18|=18 और |−3|=3 , तो (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , यह केवल प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन करने के लिए ही रहता है, हमारे पास 18:3=6 है।

हम समस्या के दूसरे भाग को भी इसी तरह हल करते हैं। चूँकि |−5|=5 और |−2|=2 , तो (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . यह भागफल एक साधारण भिन्न 5/2 से मेल खाता है, जिसे मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जा सकता है।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करने के लिए एक अलग नियम का उपयोग करके समान परिणाम प्राप्त किए जाते हैं। वास्तव में, संख्या −3 व्युत्क्रम संख्या है , अब हम ऋणात्मक संख्याओं का गुणन करते हैं: . वैसे ही, ।

उत्तर:

(−18):(−3)=6 और .

भिन्नात्मक परिमेय संख्याओं को विभाजित करते समय साधारण भिन्नों के साथ काम करना सबसे सुविधाजनक होता है। लेकिन, यदि सुविधाजनक हो, तो आप दशमलव भिन्नों को विभाजित और अंतिम कर सकते हैं।

उदाहरण।

संख्या -0.004 को -0.25 से विभाजित करें।

समाधान।

लाभांश और भाजक के मॉड्यूल क्रमशः 0.004 और 0.25 हैं, फिर, नकारात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियम के अनुसार, हमारे पास है (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

• या दशमलव भिन्नों का एक कॉलम द्वारा विभाजन करें,
• या दशमलव से साधारण भिन्न तक जाएँ, और फिर संगत साधारण भिन्न को विभाजित करें।

आइए दोनों दृष्टिकोणों पर एक नज़र डालें।

किसी कॉलम में 0.004 को 0.25 से विभाजित करने के लिए, पहले 0.4 को 25 से विभाजित करते समय अल्पविराम 2 अंकों को दाईं ओर ले जाएँ। अब हम एक कॉलम द्वारा विभाजन करते हैं:

तो 0.004:0.25=0.016।

और अब आइए दिखाते हैं कि यदि हम दशमलव भिन्नों को सामान्य अंशों में बदलने का निर्णय लें तो समाधान कैसा दिखेगा। क्योंकि और तब , और निष्पादित करें

यह आलेख एक विस्तृत सिंहावलोकन प्रदान करता है संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करना. सबसे पहले संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने का नियम दिया गया है। नीचे धनात्मक संख्याओं को ऋणात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को धनात्मक से विभाजित करने के उदाहरण दिए गए हैं।

पेज नेविगेशन.

संख्याओं को विभिन्न चिन्हों से विभाजित करने का नियम

पूर्णांकों का विभाजन लेख में पूर्णांकों को विभिन्न चिन्हों से विभाजित करने का नियम प्राप्त हुआ। निर्दिष्ट आलेख के सभी तर्कों को दोहराकर इसे तर्कसंगत संख्याओं और वास्तविक संख्याओं दोनों तक बढ़ाया जा सकता है।

इसलिए, संख्याओं को विभिन्न चिन्हों से विभाजित करने का नियमनिम्नलिखित सूत्रीकरण है: किसी धनात्मक संख्या को ऋणात्मक से या ऋणात्मक संख्या को धनात्मक से विभाजित करने के लिए, लाभांश को भाजक के मापांक से विभाजित करना आवश्यक है, और परिणामी संख्या के सामने ऋण चिह्न लगाना आवश्यक है।

हम इस विभाजन नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखते हैं। यदि संख्या ए और बी के अलग-अलग चिह्न हैं, तो सूत्र मान्य है a:b=−|a|:|b| .

ध्वनिबद्ध नियम से यह स्पष्ट है कि संख्याओं को विभिन्न चिन्हों से विभाजित करने पर जो परिणाम प्राप्त होता है वह ऋणात्मक संख्या होती है। दरअसल, चूंकि लाभांश का मापांक और भाजक का मापांक संख्या से अधिक सकारात्मक हैं, तो उनका भागफल एक सकारात्मक संख्या है, और ऋण चिह्न इस संख्या को नकारात्मक बना देता है।

ध्यान दें कि माना गया नियम विभिन्न चिह्नों वाली संख्याओं के विभाजन को सकारात्मक संख्याओं के विभाजन तक कम कर देता है।

आप विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को विभाजित करने के नियम का एक और सूत्रीकरण दे सकते हैं: संख्या a को संख्या b से विभाजित करने के लिए, आपको संख्या a को संख्या b -1 से गुणा करना होगा, जो संख्या b का व्युत्क्रम है। वह है, a:b=a b −1 .

इस नियम का उपयोग तब किया जा सकता है जब पूर्णांकों के सेट से आगे जाना संभव हो (क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक का व्युत्क्रम नहीं होता है)। दूसरे शब्दों में, यह परिमेय संख्याओं के समुच्चय के साथ-साथ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर भी लागू होता है।

यह स्पष्ट है कि विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को विभाजित करने का यह नियम आपको विभाजन से गुणा तक जाने की अनुमति देता है।

ऋणात्मक संख्याओं को विभाजित करते समय इसी नियम का उपयोग किया जाता है।

यह विचार करना बाकी है कि संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने का यह नियम उदाहरणों को हल करने में कैसे लागू किया जाता है।

विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरण

आइए कई विशेषताओं के समाधान पर विचार करें विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरणपिछले पैराग्राफ से नियमों को लागू करने के सिद्धांत को समझने के लिए।

उदाहरण।

ऋणात्मक संख्या −35 को धनात्मक संख्या 7 से विभाजित करें।

समाधान।

संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने का नियम सबसे पहले लाभांश और भाजक के मापांक ज्ञात करने का निर्देश देता है। -35 का मापांक 35 है और 7 का मापांक 7 है। अब हमें लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करने की आवश्यकता है, अर्थात हमें 35 को 7 से विभाजित करने की आवश्यकता है। यह याद रखने पर कि प्राकृत संख्याओं का विभाजन कैसे किया जाता है, हमें 35:7=5 प्राप्त होता है। संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने के नियम का अंतिम चरण शेष है - परिणामी संख्या के सामने ऋण लगाएं, हमारे पास -5 है।

यहाँ संपूर्ण समाधान है: .

संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करने के नियम के भिन्न-भिन्न सूत्रीकरण से आगे बढ़ा जा सकता है। इस मामले में, हम पहले वह संख्या ज्ञात करते हैं जो भाजक 7 का व्युत्क्रम है। यह संख्या सामान्य भिन्न 1/7 है. इस प्रकार, । यह विभिन्न चिह्नों के साथ संख्याओं का गुणन करना बाकी है: . जाहिर है, हम एक ही नतीजे पर पहुंचे।

उत्तर:

(−35):7=−5 .

उदाहरण।

भागफल 8:(−60) की गणना करें।

समाधान।

विभिन्न चिह्नों से संख्याओं को विभाजित करने के नियम के अनुसार, हमारे पास है 8:(−60)=−(|8|:|−60|)=−(8:60) . परिणामी अभिव्यक्ति एक नकारात्मक साधारण भिन्न से मेल खाती है (विभाजन चिह्न को भिन्न पट्टी के रूप में देखें), आप भिन्न को 4 से कम कर सकते हैं, हमें मिलता है .

हम संपूर्ण समाधान संक्षेप में लिखते हैं: .

उत्तर:

.

भिन्नात्मक परिमेय संख्याओं को विभिन्न चिह्नों से विभाजित करते समय, उनके लाभांश और भाजक को आमतौर पर साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि किसी भिन्न अंकन (उदाहरण के लिए, दशमलव में) में संख्याओं के साथ विभाजन करना हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है।

उदाहरण।

समाधान।

लाभांश का मापांक है, और भाजक का मापांक 0,(23) है। लाभांश के मापांक को भाजक के मापांक से विभाजित करने के लिए, आइए सामान्य भिन्नों की ओर बढ़ते हैं।

आइए एक मिश्रित संख्या का एक साधारण भिन्न में अनुवाद करें: , और