सीधे शब्दों में कहें, ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें हर में एक चर के साथ कम से कम एक होता है।

उदाहरण के लिए:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

उदाहरण नहींभिन्नात्मक परिमेय समीकरण:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाता है?

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों के बारे में याद रखने वाली मुख्य बात यह है कि आपको उनमें लिखने की आवश्यकता है। और जड़ों को खोजने के बाद, उन्हें स्वीकार्यता के लिए जांचना सुनिश्चित करें। अन्यथा, बाहरी जड़ें दिखाई दे सकती हैं, और पूरे समाधान को गलत माना जाएगा।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

ODZ लिखें और "हल करें"।

समीकरण में प्रत्येक पद को एक सामान्य हर से गुणा करें और परिणामी भिन्नों को कम करें। भाजक गायब हो जाएंगे।

कोष्ठक खोले बिना समीकरण लिखिए।

परिणामी समीकरण को हल करें।

ओडीजेड के साथ मिली जड़ों की जांच करें।

चरण 7 में परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले मूलों के उत्तर में लिखिए।

एल्गोरिथ्म को याद न करें, 3-5 हल किए गए समीकरण - और यह अपने आप याद हो जाएगा।

उदाहरण . भिन्नात्मक परिमेय समीकरण हल करें \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

समाधान:

उत्तर: \(3\).

उदाहरण . भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए \(=0\)

समाधान:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ओडीजेड: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(डी=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		हम ODZ लिखते हैं और "हल" करते हैं। सूत्र में \(x^2+7x+10\) का विस्तार करें: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\)। सौभाग्य से \(x_1\) और \(x_2\) हम पहले ही पा चुके हैं।
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		जाहिर है, भिन्नों का सामान्य हर: \((x+2)(x+5)\)। हम इससे पूरे समीकरण को गुणा करते हैं।
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		हम भिन्नों को कम करते हैं
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		कोष्ठक खोलना
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		हम समान शर्तें देते हैं
\(2x^2+9x-5=0\)		समीकरण के मूल ज्ञात करना
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		जड़ों में से एक ओडीजेड के तहत फिट नहीं होता है, इसलिए प्रतिक्रिया में हम केवल दूसरी जड़ लिखते हैं।

उत्तर: \(\frac(1)(2)\).

आपकी निजता हमारे लिए महत्वपूर्ण है। इस कारण से, हमने एक गोपनीयता नीति विकसित की है जो बताती है कि हम आपकी जानकारी का उपयोग और भंडारण कैसे करते हैं। कृपया हमारी गोपनीयता नीति पढ़ें और यदि आपके कोई प्रश्न हैं तो हमें बताएं।

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व्यक्तिगत जानकारी उस डेटा को संदर्भित करती है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।

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निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं कि हम किस प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी एकत्र कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

हम कौन सी व्यक्तिगत जानकारी एकत्र करते हैं:

• जब आप साइट पर आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।

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पाठ मकसद:

ट्यूटोरियल:

• भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की अवधारणा का गठन;
• भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करना;
• भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म पर विचार करें, जिसमें यह शर्त भी शामिल है कि भिन्न शून्य के बराबर है;
• एल्गोरिथम के अनुसार भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल सिखाना;
• परीक्षण कार्य आयोजित करके विषय को आत्मसात करने के स्तर की जाँच करना।

विकसित होना:

• तार्किक रूप से सोचने के लिए अर्जित ज्ञान के साथ सही ढंग से काम करने की क्षमता का विकास;
• बौद्धिक कौशल और मानसिक संचालन का विकास - विश्लेषण, संश्लेषण, तुलना और सामान्यीकरण;
• पहल का विकास, निर्णय लेने की क्षमता, वहाँ रुकने की नहीं;
• महत्वपूर्ण सोच का विकास;
• अनुसंधान कौशल का विकास।

पोषण:

• विषय में संज्ञानात्मक रुचि की शिक्षा;
• शैक्षिक समस्याओं को हल करने में स्वतंत्रता की शिक्षा;
• अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति और दृढ़ता की शिक्षा।

पाठ प्रकार: पाठ - नई सामग्री की व्याख्या।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

हैलो दोस्तों! ब्लैकबोर्ड पर समीकरण लिखे हुए हैं, उन्हें ध्यान से देखें। क्या आप इन सभी समीकरणों को हल कर सकते हैं? कौन से नहीं हैं और क्यों?

वे समीकरण जिनमें बाएँ और दाएँ पक्ष भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक होते हैं, भिन्नात्मक परिमेय समीकरण कहलाते हैं। आपको क्या लगता है कि आज हम पाठ में क्या अध्ययन करेंगे? पाठ का विषय तैयार करें। इसलिए, हम नोटबुक खोलते हैं और पाठ का विषय "भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों का समाधान" लिखते हैं।

2. ज्ञान की प्राप्ति। ललाट सर्वेक्षण, कक्षा के साथ मौखिक कार्य।

और अब हम मुख्य सैद्धांतिक सामग्री को दोहराएंगे जो हमें एक नए विषय का अध्ययन करने की आवश्यकता है। कृपया निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:

1. एक समीकरण क्या है? ( एक चर या चर के साथ समानता.)
2. समीकरण #1 किसे कहते हैं? ( रैखिक।) रैखिक समीकरणों को हल करने की विधि। ( अज्ञात के साथ सब कुछ समीकरण के बाईं ओर, सभी संख्याओं को दाईं ओर ले जाएं। समान शर्तें लाओ। अज्ञात गुणक का पता लगाएं).
3. समीकरण 3 किसे कहते हैं? ( वर्ग।) द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ। ( विएटा प्रमेय और उसके परिणामों का उपयोग करते हुए, सूत्रों द्वारा पूर्ण वर्ग का चयन.)
4. अनुपात क्या है? ( दो संबंधों की समानता।) अनुपात की मुख्य संपत्ति। ( यदि अनुपात सत्य है, तो इसके चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है.)
5. समीकरणों को हल करने के लिए किन गुणों का उपयोग किया जाता है? ( 1. यदि समीकरण में हम पद का चिन्ह बदलकर एक भाग से दूसरे भाग में स्थानान्तरित करते हैं, तो हमें दिए गए के बराबर समीकरण प्राप्त होता है। 2. यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो एक समीकरण प्राप्त होगा जो दिए गए के बराबर है.)
6. एक अंश शून्य के बराबर कब होता है? ( एक अंश शून्य होता है जब अंश शून्य होता है और हर गैर-शून्य होता है.)

3. नई सामग्री की व्याख्या।

नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 2 को हल करें।

उत्तर: 10.

अनुपात के मूल गुण का उपयोग करके आप किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (पाँच नंबर)।

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 4 को हल करें।

उत्तर: 1,5.

आप समीकरण के दोनों पक्षों को हर से गुणा करके किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (संख्या 6)।

एक्स 2 -7x+12 = 0

डी = 1> 0, एक्स 1 = 3, एक्स 2 = 4।

उत्तर: 3;4.

अब समीकरण #7 को किसी एक तरीके से हल करने का प्रयास करें।

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
एक्स (एक्स -5) (एक्स 2 -3x-10) = 0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
एक्स 1 \u003d 0 एक्स 2 \u003d 5 डी \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
उत्तर: 0;5;-2.			उत्तर: 5;-2.

बताएं कि ऐसा क्यों हुआ? एक मामले में तीन और दूसरे में दो जड़ें क्यों हैं? इस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल क्या हैं?

अब तक, छात्र एक बाहरी जड़ की अवधारणा से नहीं मिले हैं, उनके लिए यह समझना वास्तव में बहुत मुश्किल है कि ऐसा क्यों हुआ। यदि कक्षा में कोई भी इस स्थिति की स्पष्ट व्याख्या नहीं कर सकता है, तो शिक्षक प्रमुख प्रश्न पूछता है।

• समीकरण संख्या 2 और 4 समीकरण संख्या 5,6,7 से किस प्रकार भिन्न हैं? ( संख्या के हर में समीकरण संख्या 2 और 4 में, संख्या 5-7 - एक चर के साथ व्यंजक.)
• समीकरण की जड़ क्या है? ( चर का वह मान जिस पर समीकरण सच्ची समानता बन जाता है.)
• कैसे पता करें कि कोई संख्या समीकरण का मूल है या नहीं? ( चेक करें.)

एक परीक्षण करते समय, कुछ छात्र ध्यान देते हैं कि उन्हें शून्य से भाग देना है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि संख्या 0 और 5 इस समीकरण की जड़ें नहीं हैं। प्रश्न उठता है: क्या इस त्रुटि को समाप्त करने वाले भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने का कोई तरीका है? हाँ, यह विधि इस शर्त पर आधारित है कि भिन्न शून्य के बराबर है।

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2।

यदि x=5, तो x(x-5)=0, तो 5 एक बाह्य मूल है।

यदि x=-2, तो x(x-5)≠0.

उत्तर: -2.

आइए इस तरह से भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करने का प्रयास करें। बच्चे स्वयं एल्गोरिथम तैयार करते हैं।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

1. सब कुछ बाईं ओर ले जाएं।
2. भिन्नों को एक सामान्य हर में लाएँ।
3. एक प्रणाली बनाएं: अंश शून्य होता है जब अंश शून्य होता है और हर शून्य नहीं होता है।
4. प्रश्न हल करें।
5. बाहरी जड़ों को बाहर करने के लिए असमानता की जाँच करें।
6. उत्तर लिखिए।

चर्चा: यदि अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग किया जाता है और समीकरण के दोनों पक्षों को एक सामान्य हर से गुणा किया जाता है, तो समाधान को औपचारिक कैसे बनाया जाए। (समाधान को पूरक करें: इसकी जड़ों से उन लोगों को बाहर करें जो आम भाजक को शून्य में बदल देते हैं)।

4. नई सामग्री की प्राथमिक समझ।

जोड़े में काम। छात्र समीकरण के प्रकार के आधार पर समीकरण को स्वयं हल करने का तरीका चुनते हैं। पाठ्यपुस्तक "बीजगणित 8" से कार्य, यू.एन. मकारिचेव, 2007: नंबर 600 (बी, सी, आई); नंबर 601 (ए, ई, जी)। शिक्षक कार्य के प्रदर्शन को नियंत्रित करता है, उत्पन्न होने वाले प्रश्नों का उत्तर देता है, और खराब प्रदर्शन करने वाले छात्रों को सहायता प्रदान करता है। स्व-परीक्षण: बोर्ड पर उत्तर लिखे जाते हैं।

बी) 2 एक बाहरी जड़ है। उत्तर: 3.

c) 2 एक बाहरी जड़ है। उत्तर: 1.5.

ए) उत्तर: -12.5।

छ) उत्तर: 1; 1.5।

5. गृहकार्य का विवरण।

1. पाठ्यपुस्तक से आइटम 25 पढ़ें, उदाहरण 1-3 का विश्लेषण करें।
2. भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम सीखें।
3. नोटबुक नंबर 600 (ए, डी, ई) में हल करें; नंबर 601 (जी, एच)।
4. #696(a) (वैकल्पिक) को हल करने का प्रयास करें।

6. अध्ययन किए गए विषय पर नियंत्रण कार्य की पूर्ति।

चादरों पर काम किया जाता है।

नौकरी का उदाहरण:

ए) कौन से समीकरण भिन्नात्मक परिमेय हैं?

बी) एक अंश शून्य होता है जब अंश _______________ होता है और हर _______________ होता है।

Q) क्या संख्या -3 समीकरण #6 का मूल है?

डी) समीकरण संख्या 7 को हल करें।

कार्य मूल्यांकन मानदंड:

• "5" दिया जाता है यदि छात्र ने 90% से अधिक कार्य सही ढंग से पूरा किया है।
• "4" - 75% -89%
• "3" - 50% -74%
• "2" उस छात्र को दिया जाता है जिसने 50% से कम कार्य पूरा किया है।
• ग्रेड 2 को जर्नल में नहीं डाला गया है, 3 वैकल्पिक है।

7. प्रतिबिंब।

स्वतंत्र कार्य के साथ पत्रक पर रखें:

• 1 - यदि पाठ आपके लिए दिलचस्प और समझने योग्य था;
• 2 - दिलचस्प, लेकिन स्पष्ट नहीं;
• 3 - दिलचस्प नहीं, लेकिन समझने योग्य;
• 4 - दिलचस्प नहीं, स्पष्ट नहीं।

8. पाठ को सारांशित करना।

इसलिए, आज पाठ में हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों से परिचित हुए, इन समीकरणों को विभिन्न तरीकों से हल करना सीखा, शैक्षिक स्वतंत्र कार्य की मदद से अपने ज्ञान का परीक्षण किया। आप अगले पाठ में स्वतंत्र कार्य के परिणामों के बारे में जानेंगे, घर पर आपके पास प्राप्त ज्ञान को समेकित करने का अवसर होगा।

आपकी राय में भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने का कौन सा तरीका आसान, अधिक सुलभ, अधिक तर्कसंगत है? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने की विधि के बावजूद, क्या नहीं भूलना चाहिए? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की "चालाक" क्या है?

आप सभी का धन्यवाद, सबक खत्म हो गया है।

"भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का समाधान"

पाठ मकसद:

ट्यूटोरियल:

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की अवधारणा का गठन; भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करना; भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म पर विचार करें, जिसमें यह शर्त भी शामिल है कि भिन्न शून्य के बराबर है; एल्गोरिथम के अनुसार भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल सिखाना; परीक्षण कार्य आयोजित करके विषय को आत्मसात करने के स्तर की जाँच करना।

विकसित होना:

तार्किक रूप से सोचने के लिए अर्जित ज्ञान के साथ सही ढंग से काम करने की क्षमता का विकास; बौद्धिक कौशल और मानसिक संचालन का विकास - विश्लेषण, संश्लेषण, तुलना और सामान्यीकरण; पहल का विकास, निर्णय लेने की क्षमता, वहाँ रुकने की नहीं; महत्वपूर्ण सोच का विकास; अनुसंधान कौशल का विकास।

पोषण:

विषय में संज्ञानात्मक रुचि की शिक्षा; शैक्षिक समस्याओं को हल करने में स्वतंत्रता की शिक्षा; अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति और दृढ़ता की शिक्षा।

पाठ प्रकार: पाठ - नई सामग्री की व्याख्या।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण।

हैलो दोस्तों! ब्लैकबोर्ड पर समीकरण लिखे हुए हैं, उन्हें ध्यान से देखें। क्या आप इन सभी समीकरणों को हल कर सकते हैं? कौन से नहीं हैं और क्यों?

वे समीकरण जिनमें बाएँ और दाएँ पक्ष भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक होते हैं, भिन्नात्मक परिमेय समीकरण कहलाते हैं। आपको क्या लगता है कि आज हम पाठ में क्या अध्ययन करेंगे? पाठ का विषय तैयार करें। इसलिए, हम नोटबुक खोलते हैं और पाठ का विषय "भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों का समाधान" लिखते हैं।

2. ज्ञान की प्राप्ति। ललाट सर्वेक्षण, कक्षा के साथ मौखिक कार्य।

और अब हम मुख्य सैद्धांतिक सामग्री को दोहराएंगे जो हमें एक नए विषय का अध्ययन करने की आवश्यकता है। कृपया निम्नलिखित प्रश्नों का उत्तर दें:

1. समीकरण क्या है? ( एक चर या चर के साथ समानता.)

2. समीकरण #1 को क्या कहते हैं? ( रैखिक।) रैखिक समीकरणों को हल करने की विधि। ( अज्ञात के साथ सब कुछ समीकरण के बाईं ओर, सभी संख्याओं को दाईं ओर ले जाएं। समान शर्तें लाओ। अज्ञात गुणक का पता लगाएं).

3. समीकरण #3 क्या कहलाता है? ( वर्ग।) द्विघात समीकरणों को हल करने की विधियाँ। ( विएटा प्रमेय और उसके परिणामों का उपयोग करते हुए, सूत्रों द्वारा पूर्ण वर्ग का चयन.)

4. अनुपात क्या है? ( दो संबंधों की समानता।) अनुपात की मुख्य संपत्ति। ( यदि अनुपात सत्य है, तो इसके चरम पदों का गुणनफल मध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है.)

5. समीकरणों को हल करने में किन गुणों का उपयोग किया जाता है? ( 1. यदि समीकरण में हम पद का चिन्ह बदलकर एक भाग से दूसरे भाग में स्थानान्तरित करते हैं, तो हमें दिए गए के बराबर समीकरण प्राप्त होता है। 2. यदि समीकरण के दोनों भागों को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो एक समीकरण प्राप्त होगा जो दिए गए के बराबर है.)

6. एक भिन्न शून्य के बराबर कब होती है? ( एक अंश शून्य होता है जब अंश शून्य होता है और हर गैर-शून्य होता है.)

3. नई सामग्री की व्याख्या।

नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 2 को हल करें।

उत्तर: 10.

अनुपात के मूल गुण का उपयोग करके आप किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (पाँच नंबर)।

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

नोटबुक में और बोर्ड पर समीकरण संख्या 4 को हल करें।

उत्तर: 1,5.

आप समीकरण के दोनों पक्षों को हर से गुणा करके किस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने का प्रयास कर सकते हैं? (संख्या 6)।

डी=1>0, x1=3, x2=4.

उत्तर: 3;4.

अब समीकरण #7 को किसी एक तरीके से हल करने का प्रयास करें।

(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 डी=49
उत्तर: 0;5;-2.			उत्तर: 5;-2.

बताएं कि ऐसा क्यों हुआ? एक मामले में तीन और दूसरे में दो जड़ें क्यों हैं? इस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल क्या हैं?

अब तक, छात्र एक बाहरी जड़ की अवधारणा से नहीं मिले हैं, उनके लिए यह समझना वास्तव में बहुत मुश्किल है कि ऐसा क्यों हुआ। यदि कक्षा में कोई भी इस स्थिति की स्पष्ट व्याख्या नहीं कर सकता है, तो शिक्षक प्रमुख प्रश्न पूछता है।

समीकरण संख्या 2 और 4 समीकरण संख्या 5,6,7 से किस प्रकार भिन्न हैं? ( संख्या के हर में समीकरण संख्या 2 और 4 में, संख्या 5-7 - एक चर के साथ व्यंजक।) समीकरण की जड़ क्या है? ( चर का वह मान जिस पर समीकरण सच्ची समानता बन जाता है।) कैसे पता करें कि संख्या समीकरण की जड़ है या नहीं? ( चेक करें.)

एक परीक्षण करते समय, कुछ छात्र ध्यान देते हैं कि उन्हें शून्य से भाग देना है। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि संख्या 0 और 5 इस समीकरण की जड़ें नहीं हैं। प्रश्न उठता है: क्या इस त्रुटि को समाप्त करने वाले भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने का कोई तरीका है? हाँ, यह विधि इस शर्त पर आधारित है कि भिन्न शून्य के बराबर है।

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

यदि x=5, तो x(x-5)=0, तो 5 एक बाह्य मूल है।

यदि x=-2, तो x(x-5)≠0.

उत्तर: -2.

आइए इस तरह से भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म तैयार करने का प्रयास करें। बच्चे स्वयं एल्गोरिथम तैयार करते हैं।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम:

1. सब कुछ बाईं ओर ले जाएं।

2. भिन्नों को एक उभयनिष्ठ हर में लाएँ।

3. एक प्रणाली बनाएं: अंश शून्य के बराबर होता है, जब अंश शून्य के बराबर होता है, और हर शून्य के बराबर नहीं होता है।

4. समीकरण को हल करें।

5. बाहरी जड़ों को बाहर करने के लिए असमानता की जाँच करें।

6. उत्तर लिखिए।

चर्चा: यदि अनुपात की मूल संपत्ति का उपयोग किया जाता है और समीकरण के दोनों पक्षों को एक सामान्य हर से गुणा किया जाता है, तो समाधान को औपचारिक कैसे बनाया जाए। (समाधान को पूरक करें: इसकी जड़ों से उन लोगों को बाहर करें जो आम भाजक को शून्य में बदल देते हैं)।

4. नई सामग्री की प्राथमिक समझ।

जोड़े में काम। छात्र समीकरण के प्रकार के आधार पर समीकरण को स्वयं हल करने का तरीका चुनते हैं। पाठ्यपुस्तक "बीजगणित 8", 2007 से कार्य: संख्या 000 (बी, सी, आई); संख्या 000 (ए, ई, जी)। शिक्षक कार्य के प्रदर्शन को नियंत्रित करता है, उत्पन्न होने वाले प्रश्नों का उत्तर देता है, और खराब प्रदर्शन करने वाले छात्रों को सहायता प्रदान करता है। स्व-परीक्षण: बोर्ड पर उत्तर लिखे जाते हैं।

बी) 2 एक बाहरी जड़ है। उत्तर: 3.

c) 2 एक बाहरी जड़ है। उत्तर: 1.5.

ए) उत्तर: -12.5।

छ) उत्तर: 1; 1.5।

5. गृहकार्य का विवरण।

2. भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम सीखें।

3. नोटबुक नंबर 000 (ए, डी, ई) में हल करें; संख्या 000 (जी, एच)।

4. संख्या 000(ए) (वैकल्पिक) को हल करने का प्रयास करें।

6. अध्ययन किए गए विषय पर नियंत्रण कार्य की पूर्ति।

चादरों पर काम किया जाता है।

नौकरी का उदाहरण:

ए) कौन से समीकरण भिन्नात्मक परिमेय हैं?

बी) एक अंश शून्य होता है जब अंश _______________ होता है और हर _______________ होता है।

Q) क्या संख्या -3 समीकरण #6 का मूल है?

डी) समीकरण संख्या 7 को हल करें।

कार्य मूल्यांकन मानदंड:

"5" दिया जाता है यदि छात्र ने 90% से अधिक कार्य सही ढंग से पूरा किया है। "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" उस छात्र को दिया जाता है जिसने 50% से कम कार्य पूरा किया है। ग्रेड 2 को जर्नल में नहीं डाला गया है, 3 वैकल्पिक है।

7. प्रतिबिंब।

स्वतंत्र कार्य के साथ पत्रक पर रखें:

1 - यदि पाठ आपके लिए दिलचस्प और समझने योग्य था; 2 - दिलचस्प, लेकिन स्पष्ट नहीं; 3 - दिलचस्प नहीं, लेकिन समझने योग्य; 4 - दिलचस्प नहीं, स्पष्ट नहीं।

8. पाठ को सारांशित करना।

इसलिए, आज पाठ में हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों से परिचित हुए, इन समीकरणों को विभिन्न तरीकों से हल करना सीखा, शैक्षिक स्वतंत्र कार्य की मदद से अपने ज्ञान का परीक्षण किया। आप अगले पाठ में स्वतंत्र कार्य के परिणामों के बारे में जानेंगे, घर पर आपके पास प्राप्त ज्ञान को समेकित करने का अवसर होगा।

आपकी राय में भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने का कौन सा तरीका आसान, अधिक सुलभ, अधिक तर्कसंगत है? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने की विधि के बावजूद, क्या नहीं भूलना चाहिए? भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की "चालाक" क्या है?

आप सभी का धन्यवाद, सबक खत्म हो गया है।

हम बात करना जारी रखते हैं समीकरणों का हल. इस लेख में, हम पर ध्यान दिया जाएगा तर्कसंगत समीकरणऔर एक चर के साथ तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के सिद्धांत। सबसे पहले, आइए जानें कि किस प्रकार के समीकरणों को परिमेय कहा जाता है, पूर्णांक परिमेय और भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों की परिभाषा दें, और उदाहरण दें। इसके अलावा, हम तर्कसंगत समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम प्राप्त करेंगे, और निश्चित रूप से, सभी आवश्यक स्पष्टीकरणों के साथ विशिष्ट उदाहरणों के समाधान पर विचार करेंगे।

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स्पष्ट परिभाषाओं के आधार पर, हम परिमेय समीकरणों के कई उदाहरण देते हैं। उदाहरण के लिए, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , सभी परिमेय समीकरण हैं।

दिखाए गए उदाहरणों से, यह देखा जा सकता है कि तर्कसंगत समीकरण, साथ ही अन्य प्रकार के समीकरण, या तो एक चर के साथ, या दो, तीन, आदि के साथ हो सकते हैं। चर। निम्नलिखित अनुच्छेदों में हम एक चर में परिमेय समीकरणों को हल करने के बारे में बात करेंगे। दो चर वाले समीकरणों को हल करनाऔर उनकी बड़ी संख्या विशेष ध्यान देने योग्य है।

परिमेय समीकरणों को अज्ञात चरों की संख्या से विभाजित करने के अलावा, उन्हें पूर्णांक और भिन्न में भी विभाजित किया जाता है। आइए हम संबंधित परिभाषाएं दें।

परिभाषा।

परिमेय समीकरण कहलाता है पूरे, यदि इसके बाएँ और दाएँ दोनों भाग पूर्णांक परिमेय व्यंजक हैं।

परिभाषा।

यदि परिमेय समीकरण का कम से कम एक भाग भिन्नात्मक व्यंजक है, तो ऐसे समीकरण को कहा जाता है आंशिक रूप से तर्कसंगत(या भिन्नात्मक परिमेय)।

यह स्पष्ट है कि पूर्णांक समीकरणों में एक चर द्वारा विभाजन नहीं होता है; इसके विपरीत, भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों में आवश्यक रूप से एक चर (या हर में एक चर) द्वारा विभाजन होता है। तो 3 x+2=0 और (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5संपूर्ण परिमेय समीकरण हैं, उनके दोनों भाग पूर्णांक व्यंजक हैं। A और x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों के उदाहरण हैं।

इस अनुच्छेद को समाप्त करते हुए, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि इस क्षण तक ज्ञात रैखिक समीकरण और द्विघात समीकरण संपूर्ण तर्कसंगत समीकरण हैं।

संपूर्ण समीकरणों को हल करना

संपूर्ण समीकरणों को हल करने के मुख्य तरीकों में से एक उनके समकक्ष समीकरणों में कमी है बीजीय समीकरण. यह हमेशा समीकरण के निम्नलिखित समकक्ष परिवर्तनों को निष्पादित करके किया जा सकता है:

• सबसे पहले, मूल पूर्णांक समीकरण के दाईं ओर से व्यंजक को दाईं ओर शून्य प्राप्त करने के लिए विपरीत चिह्न के साथ बाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है;
• उसके बाद, समीकरण के बाईं ओर, परिणामी मानक रूप।

परिणाम एक बीजीय समीकरण है जो मूल संपूर्ण समीकरण के बराबर है। तो सरलतम मामलों में, संपूर्ण समीकरणों का समाधान रैखिक या द्विघात समीकरणों के समाधान के लिए कम हो जाता है, और सामान्य स्थिति में - डिग्री n के बीजीय समीकरण के समाधान के लिए। स्पष्टता के लिए, आइए उदाहरण के समाधान का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

पूरे समीकरण की जड़ें खोजें 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

समाधान।

आइए हम इस पूरे समीकरण के हल को एक समतुल्य बीजीय समीकरण के हल तक कम करें। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, परिणामस्वरूप हम समीकरण पर पहुंचते हैं 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. और, दूसरी बात, हम बाईं ओर बने व्यंजक को मानक रूप के बहुपद में आवश्यक कार्य करके रूपांतरित करते हैं: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. इस प्रकार, मूल पूर्णांक समीकरण के हल को द्विघात समीकरण x 2 −5·x−6=0 के हल में घटा दिया जाता है।

इसके विभेदक की गणना करें डी=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, यह धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं, जिन्हें हम द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र द्वारा पाते हैं:

पूरी तरह से सुनिश्चित होने के लिए, आइए करते हैं समीकरण की मिली जड़ों की जाँच करना. सबसे पहले, हम रूट 6 की जांच करते हैं, इसे मूल पूर्णांक समीकरण में चर x के बजाय प्रतिस्थापित करते हैं: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, जो समान है, 63=63 । यह एक मान्य संख्यात्मक समीकरण है, इसलिए x=6 वास्तव में समीकरण का मूल है। अब हम मूल −1 की जांच करते हैं, हमारे पास 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, कहाँ से, 0=0 । x=−1 के लिए, मूल समीकरण भी एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल गया, इसलिए, x=−1 भी समीकरण का मूल है।

उत्तर:

6 , −1 .

यहां यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि शब्द "एक संपूर्ण समीकरण की शक्ति" एक बीजीय समीकरण के रूप में एक संपूर्ण समीकरण के प्रतिनिधित्व से जुड़ा है। हम इसी परिभाषा देते हैं:

परिभाषा।

पूरे समीकरण की डिग्रीबीजगणितीय समीकरण की घात को इसके समतुल्य कहते हैं।

इस परिभाषा के अनुसार, पिछले उदाहरण के पूरे समीकरण में दूसरी डिग्री है।

इस पर कोई एक के लिए नहीं बल्कि पूरे तर्कसंगत समीकरणों के हल के साथ समाप्त कर सकता है। जैसा कि ज्ञात है, दूसरे से अधिक डिग्री के बीजीय समीकरणों का समाधान महत्वपूर्ण कठिनाइयों से जुड़ा है, और चौथे से अधिक डिग्री के समीकरणों के लिए, जड़ों के लिए कोई सामान्य सूत्र नहीं हैं। इसलिए, तीसरे, चौथे और उच्च डिग्री के पूरे समीकरणों को हल करने के लिए, अक्सर अन्य समाधान विधियों का सहारा लेना पड़ता है।

ऐसे मामलों में, कभी-कभी के आधार पर संपूर्ण तर्कसंगत समीकरणों को हल करने का दृष्टिकोण गुणनखंडन विधि. उसी समय, निम्नलिखित एल्गोरिथ्म का पालन किया जाता है:

• सबसे पहले वे समीकरण के दाईं ओर शून्य रखना चाहते हैं, इसके लिए वे पूरे समीकरण के दाईं ओर से व्यंजक को बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं;
• फिर, बाईं ओर परिणामी अभिव्यक्ति कई कारकों के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत की जाती है, जो आपको कई सरल समीकरणों के सेट पर जाने की अनुमति देती है।

गुणनखंडन के माध्यम से पूरे समीकरण को हल करने के लिए उपरोक्त एल्गोरिथम के लिए एक उदाहरण का उपयोग करते हुए एक विस्तृत स्पष्टीकरण की आवश्यकता होती है।

उदाहरण।

पूरे समीकरण को हल करें (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) ।

समाधान।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, हम समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर अभिव्यक्ति को स्थानांतरित करते हैं, संकेत को बदलना नहीं भूलते हैं, हम प्राप्त करते हैं (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 । यहां यह बिल्कुल स्पष्ट है कि परिणामी समीकरण के बाईं ओर को मानक रूप के बहुपद में बदलना उचित नहीं है, क्योंकि इससे फॉर्म की चौथी डिग्री का बीजीय समीकरण मिलेगा x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0जिसका समाधान कठिन है।

दूसरी ओर, यह स्पष्ट है कि x 2 −10·x+13 परिणामी समीकरण के बाईं ओर पाया जा सकता है, जिससे इसे एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है। हमारे पास है (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. परिणामी समीकरण मूल संपूर्ण समीकरण के बराबर है, और बदले में, इसे दो द्विघात समीकरणों x 2 −10·x+13=0 और x 2 −2·x−1=0 के एक सेट से बदला जा सकता है। विवेचक के माध्यम से ज्ञात मूल सूत्रों का उपयोग करके उनकी जड़ें खोजना मुश्किल नहीं है, जड़ें समान हैं। वे मूल समीकरण के वांछित मूल हैं।

उत्तर:

यह संपूर्ण परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए भी उपयोगी है। एक नया चर शुरू करने की विधि. कुछ मामलों में, यह किसी को उन समीकरणों को पारित करने की अनुमति देता है जिनकी डिग्री मूल पूर्णांक समीकरण की डिग्री से कम है।

उदाहरण।

एक परिमेय समीकरण के वास्तविक मूल ज्ञात कीजिए (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

समाधान।

इस पूर्णांक परिमेय समीकरण को एक बीजीय समीकरण में कम करना, इसे हल्के ढंग से रखना, बहुत अच्छा विचार नहीं है, क्योंकि इस मामले में हमें चौथे-डिग्री समीकरण को हल करने की आवश्यकता होगी जिसमें तर्कसंगत जड़ें नहीं हैं। इसलिए, आपको दूसरे समाधान की तलाश करनी होगी।

यहां यह देखना आसान है कि आप एक नया चर y पेश कर सकते हैं और इसके साथ व्यंजक x 2 +3 x को बदल सकते हैं। ऐसा प्रतिस्थापन हमें संपूर्ण समीकरण (y+1) 2 +10=−2 (y−4) की ओर ले जाता है, जो व्यंजक −2 (y−4) को बाईं ओर स्थानांतरित करने और बाद में बने व्यंजक के रूपांतरण के बाद बनता है। वहाँ, समीकरण y 2 +4 y+3=0 को घटाता है। इस समीकरण y=−1 और y=−3 की जड़ों को खोजना आसान है, उदाहरण के लिए, वे विएटा के प्रमेय के व्युत्क्रम के आधार पर पाए जा सकते हैं।

अब चलिए एक नए चर को पेश करने की विधि के दूसरे भाग पर चलते हैं, यानी रिवर्स प्रतिस्थापन करना। रिवर्स प्रतिस्थापन करने के बाद, हमें दो समीकरण x 2 +3 x=−1 और x 2 +3 x=−3 प्राप्त होते हैं, जिन्हें x 2 +3 x+1=0 और x 2 +3 x+3 के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। = 0। द्विघात समीकरण के मूल सूत्र के अनुसार हम पहले समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं। और दूसरे द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है, क्योंकि इसका विभेदक ऋणात्मक है (D=3 2 −4 3=9−12=−3 )।

उत्तर:

सामान्य तौर पर, जब हम उच्च डिग्री के पूर्णांक समीकरणों के साथ काम कर रहे होते हैं, तो हमें उन्हें हल करने के लिए एक गैर-मानक विधि या एक कृत्रिम तकनीक की तलाश के लिए हमेशा तैयार रहना चाहिए।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों का हल

सबसे पहले, यह समझना उपयोगी होगा कि फॉर्म के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को कैसे हल किया जाए, जहां p(x) और q(x) परिमेय पूर्णांक व्यंजक हैं। और फिर हम दिखाएंगे कि संकेतित रूप के समीकरणों के समाधान के लिए शेष भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों के समाधान को कैसे कम किया जाए।

समीकरण को हल करने के तरीकों में से एक निम्नलिखित कथन पर आधारित है: संख्यात्मक अंश u / v, जहां v एक गैर-शून्य संख्या है (अन्यथा हम सामना करेंगे, जो परिभाषित नहीं है), शून्य है यदि और केवल यदि इसका अंश शून्य है, तो है, यदि और केवल यदि u=0 । इस कथन के आधार पर, समीकरण का हल दो शर्तों p(x)=0 और q(x)≠0 की पूर्ति तक कम हो जाता है।

यह निष्कर्ष निम्नलिखित के अनुरूप है: भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म. फॉर्म के भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए

• संपूर्ण परिमेय समीकरण को हल करें p(x)=0 ;
• और जांचें कि क्या प्रत्येक पाए गए रूट के लिए शर्त q(x)≠0 संतुष्ट है, जबकि
• यदि सत्य है, तो यह मूल मूल समीकरण का मूल है;
• यदि नहीं, तो यह मूल बाह्य है, अर्थात यह मूल समीकरण का मूल नहीं है।

आइए एक भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण को हल करते समय आवाज उठाई गई एल्गोरिदम का उपयोग करने के एक उदाहरण का विश्लेषण करें।

उदाहरण।

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

यह रूप का एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण है, जहाँ p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 ।

इस प्रकार के भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथम के अनुसार, हमें सबसे पहले समीकरण 3·x−2=0 को हल करना होगा। यह एक रैखिक समीकरण है जिसका मूल x=2/3 है।

इस रूट की जांच करना बाकी है, यानी यह जांचना कि क्या यह 5·x 2 −2≠0 की शर्त को पूरा करता है। हम व्यंजक 5 x 2 −2 में x के स्थान पर संख्या 2/3 को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है। शर्त पूरी हो जाती है, इसलिए x=2/3 मूल समीकरण का मूल है।

उत्तर:

2/3 .

एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण का हल कुछ भिन्न स्थिति से प्राप्त किया जा सकता है। यह समीकरण मूल समीकरण के चर x पर संपूर्ण समीकरण p(x)=0 के तुल्य है। यानी आप इसे फॉलो कर सकते हैं भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म :

• समीकरण को हल करें p(x)=0 ;
• ODZ चर x खोजें;
• स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र से संबंधित जड़ों को लें - वे मूल भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरण की वांछित जड़ें हैं।

उदाहरण के लिए, आइए इस एल्गोरिथम का उपयोग करके एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करें।

उदाहरण।

प्रश्न हल करें।

समाधान।

सबसे पहले, हम द्विघात समीकरण x 2 −2·x−11=0 को हल करते हैं। इसकी जड़ों की गणना एक दूसरे गुणांक के लिए मूल सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है, हमारे पास है डी 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, तथा ।

दूसरे, हम मूल समीकरण के लिए चर x का ODZ ज्ञात करते हैं। इसमें वे सभी संख्याएँ शामिल हैं जिनके लिए x 2 +3 x≠0 , जो वही x (x+3)≠0 है, जहाँ से x≠0 , x≠−3 है।

यह जांचना बाकी है कि क्या पहले चरण में पाई गई जड़ें ODZ में शामिल हैं। बिल्कुल हाँ। इसलिए, मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के दो मूल हैं।

उत्तर:

ध्यान दें कि यदि ODZ आसानी से मिल जाता है तो यह दृष्टिकोण पहले वाले की तुलना में अधिक लाभदायक है, और यह विशेष रूप से फायदेमंद है यदि समीकरण p(x)=0 की जड़ें तर्कहीन हैं, उदाहरण के लिए, या तर्कसंगत, लेकिन एक बड़े के साथ अंश और/या हर, उदाहरण के लिए, 127/1101 और -31/59। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे मामलों में, स्थिति q(x)≠0 की जाँच के लिए महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल प्रयासों की आवश्यकता होगी, और ODZ से बाहरी जड़ों को बाहर करना आसान है।

अन्य मामलों में, समीकरण को हल करते समय, विशेष रूप से जब समीकरण p(x)=0 की जड़ें पूर्णांक होती हैं, तो उपरोक्त एल्गोरिदम में से पहले का उपयोग करना अधिक फायदेमंद होता है। यही है, यह सलाह दी जाती है कि पूरे समीकरण p(x)=0 की जड़ों को तुरंत खोजें, और फिर जांच करें कि क्या शर्त q(x)≠0 उनके लिए संतुष्ट है, और ODZ नहीं खोजें, और फिर समीकरण को हल करें p(x)=0 इस ODZ पर। यह इस तथ्य के कारण है कि ऐसे मामलों में ओडीजेड खोजने की तुलना में आमतौर पर जांच करना आसान होता है।

निर्धारित बारीकियों को स्पष्ट करने के लिए दो उदाहरणों के समाधान पर विचार करें।

उदाहरण।

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

पहले हम पूरे समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, भिन्न के अंश का उपयोग करके संकलित किया गया। इस समीकरण का बायाँ भाग एक गुणनफल है, और दायाँ पक्ष शून्य है, इसलिए, गुणनखंडन द्वारा समीकरणों को हल करने की विधि के अनुसार, यह समीकरण चार समीकरणों के समुच्चय 2 x−1=0 , x−6= के बराबर है। 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 । इनमें से तीन समीकरण रैखिक हैं और एक द्विघात है, हम उन्हें हल कर सकते हैं। पहले समीकरण से हम x=1/2, दूसरे से - x=6, तीसरे से - x=7, x=−2, चौथे से - x=−1 पाते हैं।

जड़ों के मिलने से, उन्हें यह देखने के लिए जांचना काफी आसान है कि क्या मूल समीकरण के बाईं ओर स्थित अंश का हर गायब नहीं होता है, और ODZ को निर्धारित करना इतना आसान नहीं है, क्योंकि इसे हल करना होगा पांचवीं डिग्री का बीजीय समीकरण। इसलिए, हम जड़ों की जाँच के पक्ष में ODZ खोजने से इनकार करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें व्यंजक में चर x के स्थान पर बदले में प्रतिस्थापित करते हैं x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, प्रतिस्थापन के बाद प्राप्त करें, और उनकी तुलना शून्य से करें: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 ।

इस प्रकार, 1/2, 6 और -2 मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के वांछित मूल हैं, और 7 और -1 बाह्य मूल हैं।

उत्तर:

1/2 , 6 , −2 .

उदाहरण।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

पहले हम समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं (5x2 −7x−1)(x−2)=0. यह समीकरण दो समीकरणों के समूह के बराबर है: वर्ग 5·x 2 −7·x−1=0 और रैखिक x−2=0 । द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र के अनुसार, हमें दो मूल मिलते हैं, और दूसरे समीकरण से हमें x=2 प्राप्त होता है।

यह जाँचना कि क्या हर x के पाए गए मानों पर गायब नहीं होता है, बल्कि अप्रिय है। और मूल समीकरण में चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा निर्धारित करना काफी सरल है। इसलिए, हम ODZ के माध्यम से कार्य करेंगे।

हमारे मामले में, मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के चर x का ODZ सभी संख्याओं से बना होता है, सिवाय उन संख्याओं के जिनके लिए शर्त x 2 +5·x−14=0 संतुष्ट होती है। इस द्विघात समीकरण की जड़ें x=−7 और x=2 हैं, जिससे हम ODZ के बारे में निष्कर्ष निकालते हैं: यह सभी x से बना है जैसे कि ।

यह जांचना बाकी है कि क्या पाए गए मूल और x=2 स्वीकार्य मानों के क्षेत्र से संबंधित हैं। जड़ें - संबंधित हैं, इसलिए, वे मूल समीकरण की जड़ें हैं, और x=2 संबंधित नहीं है, इसलिए, यह एक बाहरी मूल है।

उत्तर:

उन मामलों पर अलग से ध्यान देना भी उपयोगी होगा जहां एक संख्या अंश के रूप में भिन्नात्मक परिमेय समीकरण में होती है, अर्थात, जब p (x) को किसी संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। जिसमें

• यदि यह संख्या शून्य से भिन्न है, तो समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि भिन्न शून्य है यदि और केवल यदि इसका अंश शून्य है;
• यदि यह संख्या शून्य है, तो समीकरण का मूल ODZ से कोई भी संख्या है।

उदाहरण।

समाधान।

चूँकि समीकरण के बाईं ओर भिन्न के अंश में एक गैर-शून्य संख्या होती है, इसलिए किसी भी x के लिए इस भिन्न का मान शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। इसलिए, इस समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

उत्तर:

कोई जड़ नहीं।

उदाहरण।

प्रश्न हल करें।

समाधान।

इस भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के बाईं ओर भिन्न का अंश शून्य है, इसलिए किसी भी x के लिए इस भिन्न का मान शून्य है जिसके लिए यह समझ में आता है। दूसरे शब्दों में, इस समीकरण का हल इस चर के डीपीवी से x का कोई भी मान है।

यह स्वीकार्य मूल्यों की इस सीमा को निर्धारित करने के लिए बनी हुई है। इसमें ऐसे सभी मान x शामिल हैं जिनके लिए x 4 +5 x 3 0। समीकरण x 4 +5 x 3 \u003d 0 के समाधान 0 और −5 हैं, क्योंकि यह समीकरण समीकरण x 3 (x + 5) \u003d 0 के बराबर है, और यह, बदले में, संयोजन के बराबर है दो समीकरणों का x 3 \u003d 0 और x +5=0 , जहां से ये जड़ें दिखाई देती हैं। इसलिए, स्वीकार्य मानों की वांछित श्रेणी x=0 और x=−5 को छोड़कर कोई भी x है।

इस प्रकार, एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के अपरिमित रूप से कई हल होते हैं, जो शून्य और ऋण पांच को छोड़कर कोई भी संख्या होती है।

उत्तर:

अंत में, मनमानी भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने के बारे में बात करने का समय आ गया है। उन्हें r(x)=s(x) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां r(x) और s(x) परिमेय व्यंजक हैं, और उनमें से कम से कम एक भिन्नात्मक है। आगे देखते हुए, हम कहते हैं कि उनका समाधान पहले से परिचित रूप के समीकरणों को हल करने के लिए कम हो गया है।

यह ज्ञात है कि समीकरण के एक भाग से दूसरे में विपरीत चिन्ह के साथ एक पद का स्थानांतरण एक समतुल्य समीकरण की ओर जाता है, इसलिए समीकरण r(x)=s(x) समीकरण r(x)−s के बराबर है (एक्स) = 0।

हम यह भी जानते हैं कि कोई भी समान रूप से इस व्यंजक के बराबर हो सकता है। इस प्रकार, हम हमेशा समीकरण r(x)−s(x)=0 के बाईं ओर परिमेय व्यंजक को रूप के समान रूप से समान परिमेय भिन्न में बदल सकते हैं।

इसलिए हम मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण r(x)=s(x) से समीकरण पर जाते हैं, और इसका समाधान, जैसा कि हमने ऊपर पाया, समीकरण p(x)=0 को हल करने के लिए कम करता है।

लेकिन यहां इस तथ्य को ध्यान में रखना आवश्यक है कि r(x)−s(x)=0 को , और फिर p(x)=0 के साथ बदलने पर, चर x के स्वीकार्य मानों की सीमा का विस्तार हो सकता है .

इसलिए, मूल समीकरण r(x)=s(x) और समीकरण p(x)=0 , जो हम आए थे, समतुल्य नहीं हो सकते हैं, और समीकरण p(x)=0 को हल करके, हम मूल प्राप्त कर सकते हैं वह मूल समीकरण r(x)=s(x) के बाह्य मूल होंगे। उत्तर में बाहरी जड़ों की पहचान करना और शामिल नहीं करना संभव है, या तो जांच करके, या यह जांच कर कि वे मूल समीकरण के ODZ से संबंधित हैं।

हम इस जानकारी को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं: भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म r(x)=s(x). भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने के लिए r(x)=s(x) , एक अवश्य

• विपरीत चिह्न वाले व्यंजक को दाईं ओर से घुमाकर दाईं ओर शून्य प्राप्त करें।
• समीकरण के बाईं ओर भिन्नों और बहुपदों के साथ क्रियाएँ करें, जिससे यह रूप के परिमेय अंश में परिवर्तित हो जाए।
• समीकरण p(x)=0 को हल करें।
• बाहरी जड़ों को पहचानें और बाहर करें, जो उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करके या मूल समीकरण के ODZ से संबंधित होने की जाँच करके किया जाता है।

अधिक स्पष्टता के लिए, हम भिन्नात्मक परिमेय समीकरणों को हल करने की पूरी श्रृंखला दिखाएंगे:
.

आइए सूचना के दिए गए ब्लॉक को स्पष्ट करने के लिए समाधान के विस्तृत विवरण के साथ कई उदाहरणों के समाधान देखें।

उदाहरण।

भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करें।

समाधान।

हम अभी-अभी प्राप्त समाधान एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करेंगे। और पहले हम समीकरण के दाईं ओर से बाईं ओर की शर्तों को स्थानांतरित करते हैं, परिणामस्वरूप, हम समीकरण को पास करते हैं।

दूसरे चरण में, हमें परिणामी समीकरण के बाईं ओर भिन्नात्मक परिमेय व्यंजक को भिन्न के रूप में बदलने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिमेय भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं और परिणामी व्यंजक को सरल बनाते हैं: . तो हम समीकरण पर आते हैं।

अगले चरण में, हमें समीकरण −2·x−1=0 को हल करना होगा। x=−1/2 ज्ञात कीजिए।

यह जांचना बाकी है कि पाया गया नंबर -1/2 मूल समीकरण का एक बाहरी मूल है या नहीं। ऐसा करने के लिए, आप मूल समीकरण के ODZ चर x की जांच कर सकते हैं या ढूंढ सकते हैं। आइए दोनों दृष्टिकोणों को प्रदर्शित करें।

चलो एक चेक से शुरू करते हैं। हम मूल समीकरण में चर x के स्थान पर −1/2 को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है, जो समान है, −1=−1। प्रतिस्थापन सही संख्यात्मक समानता देता है, इसलिए, x=−1/2 मूल समीकरण का मूल है।

अब हम दिखाएंगे कि ODZ के माध्यम से एल्गोरिथम का अंतिम चरण कैसे किया जाता है। मूल समीकरण के स्वीकार्य मानों की सीमा -1 और 0 को छोड़कर सभी संख्याओं का समूह है (जब x=−1 और x=0, भिन्नों के हर गायब हो जाते हैं)। पिछले चरण में पाया गया मूल x=−1/2 ODZ से संबंधित है, इसलिए, x=−1/2 मूल समीकरण का मूल है।

उत्तर:

−1/2 .

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें।

उदाहरण।

समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।

समाधान।

हमें एक भिन्नात्मक परिमेय समीकरण को हल करने की आवश्यकता है, आइए एल्गोरिथम के सभी चरणों को देखें।

सबसे पहले, हम शब्द को दाईं ओर से बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है।

दूसरे, हम बाईं ओर बने व्यंजक को रूपांतरित करते हैं: . परिणामस्वरूप, हम समीकरण x=0 पर पहुंचते हैं।

इसकी जड़ स्पष्ट है - यह शून्य है।

चौथे चरण में, यह पता लगाना बाकी है कि मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के लिए पाया गया मूल बाहरी नहीं है। जब इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो व्यंजक प्राप्त होता है। जाहिर है, इसका कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। जहाँ से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 0 एक बाह्य मूल है। इसलिए, मूल समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं।

7, जो समीकरण की ओर जाता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बाईं ओर के हर में व्यंजक दाईं ओर से बराबर होना चाहिए, अर्थात। अब हम त्रिक के दोनों भागों में से घटाते हैं: . सादृश्य से, कहाँ से, और आगे।

जाँच से पता चलता है कि दोनों पाए गए मूल मूल भिन्नात्मक परिमेय समीकरण के मूल हैं।

उत्तर:

ग्रंथ सूची।

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