अंश कहा जाता है सहीयदि अंश की उच्चतम घात हर की उच्चतम घात से कम है। एक उचित परिमेय भिन्न के समाकल का रूप होता है:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

परिमेय भिन्नों को समाकलित करने का सूत्र हर में बहुपद के मूल पर निर्भर करता है। यदि बहुपद $ ax^2+bx+c $ में है:

1. केवल जटिल जड़ें, फिर उसमें से एक पूर्ण वर्ग का चयन करना आवश्यक है: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \ अपराह्न ^2) $$
2. विभिन्न वास्तविक जड़ें $ x_1 $ और $ x_2 $, फिर आपको अभिन्न का विस्तार करने और अनिश्चित गुणांक $ A $ और $ B $ खोजने की आवश्यकता है: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. एक मल्टीपल रूट $ x_1 $, फिर हम इंटीग्रल का विस्तार करते हैं और इस फॉर्मूले के लिए अनिश्चित गुणांक $ A $ और $ B $ पाते हैं: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

यदि अंश . है गलत, अर्थात अंश में उच्चतम डिग्री हर की उच्चतम डिग्री से अधिक या उसके बराबर है, तो पहले इसे घटाया जाना चाहिए सहीभाजक से बहुपद को हर से बहुपद से भाग देकर मन। इस स्थिति में, एक परिमेय भिन्न को समाकलित करने का सूत्र है:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

समाधान उदाहरण

उदाहरण 1

एक परिमेय भिन्न का समाकल ज्ञात कीजिए: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

समाधान

भिन्न नियमित है और बहुपद के केवल जटिल मूल हैं। इसलिए, हम एक पूर्ण वर्ग का चयन करते हैं: $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ हम पूर्ण वर्ग को संक्षिप्त करते हैं और अंतर चिह्न $ x-5 $ के तहत योग करते हैं: $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ समाकलकों की तालिका का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + सी = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +सी$$ यदि आप अपनी समस्या का समाधान नहीं कर सकते हैं, तो हमें भेजें। हम विस्तृत समाधान देंगे। आप गणना की प्रगति से खुद को परिचित करने और जानकारी इकट्ठा करने में सक्षम होंगे। इससे आपको समय पर शिक्षक से क्रेडिट प्राप्त करने में मदद मिलेगी!

उत्तर

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +सी$$

उदाहरण 2

तर्कसंगत अंशों को एकीकृत करें: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

समाधान

द्विघात समीकरण को हल करें: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ आइए जड़ों को लिखें: $$ x_1 = \frac(-5-7)(2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ प्राप्त जड़ों को ध्यान में रखते हुए, हम अभिन्न को रूपांतरित करते हैं: $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ हम एक परिमेय भिन्न का विस्तार करते हैं: $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ अंशों को समान करें और गुणांक $ A $ और $ B $ खोजें: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ कुल्हाड़ी + 6 ए + बीएक्स - बी = एक्स + 2 $$ $$ \begin(मामलों) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end(मामलों) $$ $$ \begin(cases) A ​​= \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \end(cases) $$ हम पाए गए गुणांक को अभिन्न में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे हल करते हैं: $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +सी$$

उत्तर

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +सी$$

जैसा कि मैंने पहले ही नोट किया है, समाकलन में भिन्न को समाकलित करने का कोई सुविधाजनक सूत्र नहीं है। और इसलिए, एक दुखद प्रवृत्ति है: अंश जितना अधिक "फैंसी" होता है, उतना ही मुश्किल होता है कि इससे अभिन्न का पता लगाया जा सके। इस संबंध में, किसी को विभिन्न तरकीबों का सहारा लेना पड़ता है, जिसकी मैं अब चर्चा करूंगा। तैयार पाठक तुरंत उपयोग कर सकते हैं विषयसूची:

• साधारण भिन्नों के लिए अवकलन के चिह्न के नीचे समाविष्ट करने की विधि

अंश कृत्रिम परिवर्तन विधि

उदाहरण 1

वैसे, माना गया अभिन्न भी परिवर्तनीय विधि के परिवर्तन से हल किया जा सकता है, जो दर्शाता है, लेकिन समाधान बहुत लंबा होगा।

उदाहरण 2

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं। चेक चलाओ।

यह स्वयं का उदाहरण है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यहां परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि अब काम नहीं करेगी।

ध्यान महत्वपूर्ण! उदाहरण संख्या 1, 2 विशिष्ट हैं और सामान्य हैं. विशेष रूप से, इस तरह के इंटीग्रल अक्सर अन्य इंटीग्रल को हल करने के दौरान उत्पन्न होते हैं, विशेष रूप से, जब अपरिमेय कार्यों (जड़ों) को एकीकृत करते हैं।

उपरोक्त विधि भी मामले में काम करती है यदि अंश की उच्चतम शक्ति हर की उच्चतम शक्ति से अधिक है.

उदाहरण 3

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं। चेक चलाओ।

आइए अंश से शुरू करते हैं।

अंश चयन एल्गोरिथ्म कुछ इस तरह है:

1) अंश में मुझे व्यवस्थित करने की आवश्यकता है, लेकिन वहाँ। क्या करें? मैं कोष्ठक में संलग्न करता हूं और इससे गुणा करता हूं: ।

2) अब मैं इन कोष्ठकों को खोलने का प्रयास करता हूँ, क्या होता है? . हम्म ... पहले से ही बेहतर है, लेकिन शुरू में अंश के साथ कोई ड्यूस नहीं है। क्या करें? आपको इससे गुणा करना होगा:

3) कोष्ठकों को फिर से खोलना: . और यहाँ पहली सफलता है! जरूरत निकली! लेकिन समस्या यह है कि एक अतिरिक्त शब्द सामने आया है। क्या करें? अभिव्यक्ति में परिवर्तन न हो, इसके लिए मुझे इसे अपने निर्माण में जोड़ना होगा:
. जीवन आसान हो गया है। क्या अंश में फिर से व्यवस्थित करना संभव है?

4) आप कर सकते हैं। हम कोशिश करेंगे: . दूसरे पद के कोष्ठक का विस्तार करें:
. क्षमा करें, लेकिन मेरे पास वास्तव में पिछले चरण में था, न कि . क्या करें? हमें दूसरे पद को इससे गुणा करना होगा:

5) फिर से, सत्यापन के लिए, मैं दूसरे कार्यकाल में कोष्ठक खोलता हूं:
. अब यह सामान्य है: पैराग्राफ 3 के अंतिम निर्माण से प्राप्त! लेकिन फिर से एक छोटा "लेकिन" है, एक अतिरिक्त शब्द सामने आया है, जिसका अर्थ है कि मुझे अपनी अभिव्यक्ति में जोड़ना होगा:

यदि सब कुछ सही ढंग से किया जाता है, तो सभी कोष्ठक खोलते समय, हमें पूर्णांक का मूल अंश प्राप्त करना चाहिए। हम जाँच:
अच्छा।

इस तरह:

तैयार। पिछले टर्म में, मैंने फंक्शन को डिफरेंशियल के तहत लाने की विधि को लागू किया।

यदि हम उत्तर का अवकलज पाते हैं और व्यंजक को एक सार्व हर में लाते हैं, तो हमें वास्तव में मूल समाकलन मिलता है। एक योग में विस्तार की मानी गई विधि व्यंजक को एक सामान्य हर में लाने के लिए विपरीत क्रिया से अधिक कुछ नहीं है।

ऐसे उदाहरणों में अंश चयन एल्गोरिथम एक मसौदे पर सबसे अच्छा प्रदर्शन किया जाता है। कुछ कौशल के साथ यह मानसिक रूप से भी काम करेगा। मुझे एक रिकॉर्ड समय याद है जब मैंने 11वीं शक्ति के लिए चयन किया था, और अंश के विस्तार ने वर्ड की लगभग दो पंक्तियाँ लीं।

उदाहरण 4

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं। चेक चलाओ।

यह स्वयं का उदाहरण है।

साधारण भिन्नों के लिए अवकलन के चिह्न के नीचे समाविष्ट करने की विधि

आइए अगले प्रकार के भिन्नों पर चलते हैं।
, , , (गुणांक और शून्य के बराबर नहीं हैं)।

वास्तव में, आर्क्सिन और आर्कटेंजेंट वाले कुछ मामले पहले ही पाठ में फिसल चुके हैं अनिश्चित समाकल में परिवर्तनीय परिवर्तन विधि. इस तरह के उदाहरणों को फ़ंक्शन को अंतर के संकेत के तहत लाकर और फिर तालिका का उपयोग करके एकीकृत करके हल किया जाता है। यहां लंबे और उच्च लघुगणक के साथ कुछ और विशिष्ट उदाहरण दिए गए हैं:

उदाहरण 5

उदाहरण 6

यहाँ यह सलाह दी जाती है कि आप समाकलकों की एक तालिका चुनें और किन सूत्रों का पालन करें और कैसेपरिवर्तन होता है। टिप्पणी, कैसे और क्योंइन उदाहरणों में वर्गों पर प्रकाश डाला गया है। विशेष रूप से, उदाहरण 6 में, हमें पहले हर को निरूपित करने की आवश्यकता है: , फिर अंतर के संकेत के तहत लाओ। और आपको मानक सारणीबद्ध सूत्र का उपयोग करने के लिए यह सब करने की आवश्यकता है .

लेकिन क्या देखना है, उदाहरण संख्या 7,8 को अपने दम पर हल करने का प्रयास करें, खासकर जब से वे काफी कम हैं:

उदाहरण 7

उदाहरण 8

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

यदि आप इन उदाहरणों की भी जाँच कर सकते हैं, तो आपके विभेदीकरण कौशल का सबसे अच्छा सम्मान है।

पूर्ण वर्ग चयन विधि

फॉर्म के इंटीग्रल, (गुणांक और शून्य के बराबर नहीं हैं) हल हो जाते हैं पूर्ण वर्ग चयन विधि, जो पहले ही पाठ में दिखाई दे चुका है ज्यामितीय प्लॉट परिवर्तन.

वास्तव में, ऐसे समाकलन उन चार तालिका समाकलनों में से एक बन जाते हैं जिन पर हमने अभी विचार किया है। और यह परिचित संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:

सूत्र इस दिशा में लागू होते हैं, अर्थात, विधि का विचार हर या में भावों को कृत्रिम रूप से व्यवस्थित करना है, और फिर उन्हें क्रमशः, या में परिवर्तित करना है।

उदाहरण 9

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

यह सबसे सरल उदाहरण है जहाँ पद के साथ - इकाई गुणांक(और कुछ संख्या या ऋण नहीं)।

हम हर को देखते हैं, यहाँ पूरी बात स्पष्ट रूप से मामले में सिमट गई है। आइए हर को परिवर्तित करना शुरू करें:

जाहिर है, आपको 4 जोड़ने की जरूरत है। और ताकि अभिव्यक्ति न बदले - वही चार और घटाएं:

अब आप सूत्र लागू कर सकते हैं:

रूपांतरण समाप्त होने के बाद हमेशारिवर्स मूव करना वांछनीय है: सब कुछ ठीक है, कोई त्रुटि नहीं है।

प्रश्न में उदाहरण का साफ डिजाइन कुछ इस तरह दिखना चाहिए:

तैयार। अंतर चिह्न के तहत एक "मुक्त" जटिल कार्य लाना: सिद्धांत रूप में, उपेक्षित किया जा सकता है

उदाहरण 10

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

यह आत्म-समाधान के लिए एक उदाहरण है, इसका उत्तर पाठ के अंत में है।

उदाहरण 11

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

सामने माइनस हो तो क्या करें? इस मामले में, आपको माइनस को कोष्ठक से बाहर निकालने और शर्तों को उस क्रम में व्यवस्थित करने की आवश्यकता है जिसकी हमें आवश्यकता है:। नियत(इस मामले में "डबल") छुओ मत!

अब हम कोष्ठक में एक जोड़ते हैं। व्यंजक का विश्लेषण करते हुए, हम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि हमें कोष्ठक के पीछे एक की आवश्यकता है - जोड़ें:

यहाँ सूत्र है, लागू करें:

हमेशाहम मसौदे पर एक जाँच करते हैं:
जिसका सत्यापन किया जाना था।

उदाहरण का साफ डिजाइन कुछ इस तरह दिखता है:

हम कार्य को जटिल करते हैं

उदाहरण 12

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

यहां, शब्द के साथ, यह अब एक गुणांक नहीं है, बल्कि "पांच" है।

(1) यदि एक स्थिरांक पर पाया जाता है, तो हम तुरंत उसे कोष्ठक से निकाल देते हैं।

(2) सामान्य तौर पर, इस स्थिरांक को अभिन्न से बाहर निकालना हमेशा बेहतर होता है, ताकि यह रास्ते में न आए।

(3) यह स्पष्ट है कि सब कुछ सूत्र में सिमट जाएगा। शब्द को समझना आवश्यक है, अर्थात्, "दो" प्राप्त करने के लिए

(4) हाँ, . इसलिए, हम व्यंजक में जोड़ते हैं, और उसी भिन्न को घटाते हैं।

(5) अब एक पूर्ण वर्ग चुनें। सामान्य स्थिति में, गणना करना भी आवश्यक है, लेकिन यहाँ हमारे पास एक लंबा लघुगणक सूत्र है , और कार्रवाई करने का कोई मतलब नहीं है, क्यों - यह थोड़ा कम स्पष्ट हो जाएगा।

(6) वास्तव में, हम सूत्र लागू कर सकते हैं , केवल "x" के बजाय हमारे पास है, जो सारणीबद्ध अभिन्न की वैधता को नकारता नहीं है। कड़ाई से बोलते हुए, एक कदम गायब है - एकीकरण से पहले, फ़ंक्शन को अंतर चिह्न के तहत लाया जाना चाहिए था: , लेकिन, जैसा कि मैंने बार-बार नोट किया है, इसे अक्सर उपेक्षित किया जाता है।

(7) मूल के नीचे के उत्तर में, सभी कोष्ठकों को वापस खोलना वांछनीय है:

कठिन? यह अभिन्न कलन में सबसे कठिन नहीं है। हालांकि, विचाराधीन उदाहरण इतने जटिल नहीं हैं क्योंकि उन्हें अच्छी गणना तकनीक की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 13

अनिश्चितकालीन अभिन्न खोजें:

यह स्वयं का उदाहरण है। पाठ के अंत में उत्तर दें।

हर में जड़ों के साथ इंटीग्रल होते हैं, जो एक प्रतिस्थापन की मदद से विचारित प्रकार के इंटीग्रल में कम हो जाते हैं, आप उनके बारे में लेख में पढ़ सकते हैं। जटिल समाकलन, लेकिन यह अत्यधिक तैयार छात्रों के लिए बनाया गया है।

अंश को डिफरेंशियल के चिन्ह के नीचे लाना

यह पाठ का अंतिम भाग है, हालाँकि, इस प्रकार के समाकलन काफी सामान्य हैं! अगर थकान जमा हो गई है, तो शायद कल पढ़ना बेहतर होगा? ;)

हम जिन समाकलनों पर विचार करेंगे, वे पिछले अनुच्छेद के समाकलों के समान हैं, उनका रूप है: या (गुणांक , और शून्य के बराबर नहीं हैं)।

यही है, हमारे पास अंश में एक रैखिक कार्य है। ऐसे इंटीग्रल को कैसे हल करें?

भिन्नात्मक परिमेय फलन के अनिश्चित समाकल को खोजने की समस्या को सरल भिन्नों के समाकलन तक सीमित कर दिया गया है। इसलिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप पहले अंशों के सरल अंशों में अपघटन के सिद्धांत पर अनुभाग से परिचित हों।

उदाहरण।

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

समाधान।

चूँकि समाकलन के अंश की घात हर की घात के बराबर होती है, इसलिए पहले हम बहुपद को बहुपद को स्तंभ से विभाजित करके पूर्णांक भाग का चयन करते हैं:

इसीलिए, .

प्राप्त उचित परिमेय भिन्न के सरल भिन्नों में अपघटन का रूप है . फलस्वरूप,

परिणामी समाकलन तीसरे प्रकार के सरलतम भिन्न का समाकलन है। थोड़ा आगे देखने पर पता चलता है कि इसे डिफरेंशियल साइन के नीचे लाकर लिया जा सकता है।

इसलिये , फिर . इसीलिए

फलस्वरूप,

आइए अब चार प्रकारों में से प्रत्येक के सरलतम भिन्नों को समाकलित करने की विधियों का वर्णन करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

पहले प्रकार के सरलतम अंशों का एकीकरण

इस समस्या को हल करने के लिए प्रत्यक्ष एकीकरण की विधि आदर्श है:

उदाहरण।

किसी फलन के प्रतिअवकलजों का समुच्चय ज्ञात कीजिए

समाधान।

आइए एंटीडेरिवेटिव के गुणों, एंटीडेरिवेटिव्स की तालिका और एकीकरण नियम का उपयोग करके अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं।

पृष्ठ के सबसे ऊपर

दूसरे प्रकार के सरलतम अंशों का एकीकरण

इस समस्या को हल करने के लिए प्रत्यक्ष एकीकरण की विधि भी उपयुक्त है:

उदाहरण।

समाधान।

पृष्ठ के सबसे ऊपर

तीसरे प्रकार के सरलतम अंशों का एकीकरण

सबसे पहले, हम अनिश्चितकालीन अभिन्न प्रस्तुत करते हैं राशि के रूप में:

हम पहले समाकलन को अवकलन के चिह्न के नीचे समाविष्ट करने की विधि द्वारा लेते हैं:

इसीलिए,

हम परिणामी अभिन्न के हर को बदलते हैं:

फलस्वरूप,

तीसरे प्रकार के सरलतम अंशों को एकीकृत करने का सूत्र रूप लेता है:

उदाहरण।

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं .

समाधान।

हम परिणामी सूत्र का उपयोग करते हैं:

अगर हमारे पास यह फॉर्मूला नहीं होता, तो हम क्या करते:

पृष्ठ के सबसे ऊपर

चौथे प्रकार के सरलतम अंशों का एकीकरण

पहला कदम इसे अंतर चिह्न के तहत जोड़ना है:

दूसरा चरण फॉर्म का एक अभिन्न पता लगाना है . इस प्रकार के समाकलन आवर्तक सूत्रों का उपयोग करते हुए पाए जाते हैं। (पुनरावर्ती सूत्रों का उपयोग करके एकीकरण अनुभाग देखें)। हमारे मामले के लिए, निम्नलिखित पुनरावर्ती सूत्र उपयुक्त है:

उदाहरण।

अनिश्चितकालीन अभिन्न का पता लगाएं

समाधान।

इस प्रकार के समाकलन के लिए हम प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करते हैं। आइए एक नया चर पेश करें (तर्कहीन कार्यों को एकीकृत करने पर अनुभाग देखें):

प्रतिस्थापन के बाद हमारे पास है:

हम चौथे प्रकार के भिन्न का समाकल ज्ञात करने आए हैं। हमारे मामले में, हमारे पास गुणांक हैं एम = 0, पी = 0, क्यू = 1, एन = 1तथा एन = 3. हम पुनरावर्ती सूत्र लागू करते हैं:

रिवर्स प्रतिस्थापन के बाद, हमें परिणाम मिलता है:

त्रिकोणमितीय कार्यों का एकीकरण

1. फॉर्म के इंटीग्रल त्रिकोणमितीय कार्यों के उत्पाद को सूत्रों के अनुसार योग में परिवर्तित करके गणना की जाती है: उदाहरण के लिए, 2. फॉर्म के इंटीग्रल , कहाँ पे एमया एन- एक विषम धनात्मक संख्या की गणना अंतर के चिह्न के नीचे जोड़कर की जाती है। उदाहरण के लिए, 3. फॉर्म के इंटीग्रल , कहाँ पे एमतथा एन- सम धनात्मक संख्याओं की गणना कटौती सूत्रों का उपयोग करके की जाती है: उदाहरण के लिए, 4. इंटीग्रल जहां चर को बदलकर गणना की जाती है: या उदाहरण के लिए, 5. एक सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करके फॉर्म के इंटीग्रल को तर्कसंगत अंशों के इंटीग्रल में घटा दिया जाता है (क्योंकि = [अंश और हर को ]= से विभाजित करने के बाद; उदाहरण के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सार्वभौमिक प्रतिस्थापन के उपयोग से अक्सर बोझिल गणनाएं होती हैं।

5. सरलतम अपरिमेयताओं का एकीकरण

सबसे सरल प्रकार की तर्कहीनता को एकीकृत करने के तरीकों पर विचार करें। एक। इस प्रकार के कार्यों को उसी तरह एकीकृत किया जाता है जैसे तीसरे प्रकार के सबसे सरल तर्कसंगत अंश: हर में, वर्ग ट्रिनोमियल से एक पूर्ण वर्ग निकाला जाता है और एक नया चर पेश किया जाता है। उदाहरण। 2. (अभिन्न के संकेत के तहत - तर्कों का तर्कसंगत कार्य)। प्रतिस्थापन का उपयोग करके इस तरह के इंटीग्रल की गणना की जाती है। विशेष रूप से, फॉर्म के इंटीग्रल में हम निरूपित करते हैं। यदि इंटीग्रैंड में विभिन्न डिग्री की जड़ें हैं: , फिर निरूपित करें , जहां एनसंख्याओं का सबसे छोटा उभयनिष्ठ गुणज है मी, के. उदाहरण 1 उदाहरण 2 एक अनुचित परिमेय भिन्न है, पूर्णांक भाग का चयन करें: – – – 3. फॉर्म के इंटीग्रल त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करके गणना की जाती है:

44

45 निश्चित अभिन्न

समाकलन परिभाषित करेंजोड़े के एक सेट पर परिभाषित एक योगात्मक मोनोटोन सामान्यीकृत कार्यात्मक है, जिसका पहला घटक एक एकीकृत कार्य या कार्यात्मक है, और दूसरा इस फ़ंक्शन (कार्यात्मक) के सेट में एक क्षेत्र है।

परिभाषा

इसे पर परिभाषित किया जाए। आइए इसे कई मनमाने बिंदुओं के साथ भागों में तोड़ दें। फिर हम कहते हैं कि खंड का विभाजन हो गया है अगला, हम एक मनमाना बिंदु चुनते हैं , ,

किसी खंड पर फ़ंक्शन का निश्चित समाकलन समाकलन राशि की सीमा है क्योंकि विभाजन रैंक शून्य हो जाता है, यदि यह विभाजन और बिंदुओं की पसंद की परवाह किए बिना मौजूद है, अर्थात

यदि यह सीमा मौजूद है, तो फ़ंक्शन को रीमैन इंटीग्रेबल ऑन कहा जाता है।

नोटेशन

· - निचली सीमा।

· - ऊपरी सीमा।

· - एकीकृत कार्य।

· - एक आंशिक खंड की लंबाई।

संबंधित विभाजन पर फ़ंक्शन का अभिन्न योग है।

· - आंशिक खंड की अधिकतम लंबाई।

गुण

यदि कोई फ़ंक्शन रीमैन-इंटीग्रेबल ऑन है, तो यह उस पर बाउंड है।

ज्यामितीय अर्थ

एक आकृति के क्षेत्र के रूप में निश्चित अभिन्न

निश्चित समाकलन संख्यात्मक रूप से x-अक्ष, सीधी रेखाओं और फ़ंक्शन ग्राफ़ द्वारा परिबद्ध आकृति के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

न्यूटन-लीबनिज प्रमेय

[संपादन करना]

("न्यूटन-लीबनिज़ फॉर्मूला" से पुनर्निर्देशित)

न्यूटन - लाइबनिज सूत्रया विश्लेषण के मौलिक प्रमेयदो संक्रियाओं के बीच संबंध देता है: एक निश्चित समाकलन लेना और एक प्रतिअवकलन की गणना करना।

सबूत

बता दें कि खंड पर एक अभिन्न कार्य दिया जाता है। आइए इसे नोट करके शुरू करें

अर्थात्, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि अंतराल पर एक निश्चित समाकलन में कौन सा अक्षर (या) चिन्ह के नीचे है।

एक मनमाना मान सेट करें और एक नया फ़ंक्शन परिभाषित करें . यह के सभी मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है, क्योंकि हम जानते हैं कि यदि पर का एक अभिन्न अंग है, तो वहां पर पर का भी एक अभिन्न अंग है। याद रखें कि हम परिभाषा के अनुसार विचार करते हैं

(1)

नोटिस जो

आइए हम दिखाते हैं कि यह खंड पर निरंतर है। वास्तव में, चलो; फिर

और अगर, तो

इस प्रकार, इस पर ध्यान दिए बिना कि इसमें असंतुलन है या नहीं, निरंतर है; यह महत्वपूर्ण है कि यह पर एकीकृत है।

आंकड़ा एक ग्राफ दिखाता है। चर आकृति का क्षेत्रफल है। इसकी वृद्धि आकृति के क्षेत्रफल के बराबर है , जो, की सीमा के कारण, स्पष्ट रूप से शून्य हो जाता है, भले ही वह निरंतरता या असंततता का बिंदु हो, उदाहरण के लिए, एक बिंदु।

अब फ़ंक्शन को न केवल अभिन्न होने दें, बल्कि बिंदु पर निरंतर रहें। आइए हम साबित करें कि इस बिंदु पर व्युत्पन्न के बराबर है

(2)

दरअसल, दिए गए बिंदु के लिए

(1) , (3)

हम डालते हैं, और चूंकि स्थिरांक ,TO . के सापेक्ष है . इसके अलावा, बिंदु पर निरंतरता के कारण, कोई भी इस तरह निर्दिष्ट कर सकता है कि के लिए।

जो साबित करता है कि इस असमानता का बायां हिस्सा o(1) के लिए है।

(3) at की सीमा तक जाना बिंदु पर के व्युत्पन्न के अस्तित्व और समानता (2) की वैधता को दर्शाता है। यहां हम क्रमशः दाएं और बाएं डेरिवेटिव के बारे में बात कर रहे हैं।

यदि कोई फलन सतत चालू है, तो ऊपर जो सिद्ध हुआ है, उसके आधार पर संगत फलन

(4)

के बराबर व्युत्पन्न है। इसलिए, फ़ंक्शन on के लिए प्रतिअवकलन है।

इस निष्कर्ष को कभी-कभी वेरिएबल अपर लिमिट इंटीग्रल थ्योरम या बैरो थ्योरम कहा जाता है।

हमने सिद्ध किया है कि एक अंतराल पर एक मनमाना सतत फलन का इस अंतराल पर एक प्रतिअवकलज होता है, जिसे समानता (4) द्वारा परिभाषित किया जाता है। यह एक अंतराल पर निरंतर किसी भी फलन के लिए एक प्रतिअवकलन के अस्तित्व को सिद्ध करता है।

आइए अब एक फ़ंक्शन का एक मनमाना प्रतिपक्षी बनें। हम जानते हैं कि, कुछ स्थिर कहाँ है। इस समानता को मानते हुए और इसे ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

इस तरह, । परंतु

अभिन्न अनुचित

[संपादन करना]

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समाकलन परिभाषित करेंबुलाया अनुचितयदि निम्न में से कम से कम एक शर्त सत्य है:

· सीमा a या b (या दोनों सीमाएं) अनंत है;

· फ़ंक्शन f(x) में खंड के अंदर एक या अधिक विराम बिंदु होते हैं।

[संपादित करें] पहली तरह के अनुचित समाकलन

. फिर:

1. अगर और अभिन्न कहा जाता है . इस मामले में अभिसरण कहलाता है।

, या बस भिन्न।

आज्ञा देना परिभाषित और निरंतर से सेट पर और . फिर:

1. अगर , फिर संकेतन और अभिन्न कहा जाता है पहली तरह का अनुचित रीमैन इंटीग्रल. इस मामले में अभिसरण कहलाता है।

2. यदि कोई परिमित नहीं है (या) तब समाकलन को से भिन्न कहा जाता है , या बस भिन्न।

यदि फ़ंक्शन परिभाषित है और संपूर्ण वास्तविक रेखा पर निरंतर है, तो इस फ़ंक्शन का एक अनुचित अभिन्न एकीकरण की दो अनंत सीमाओं के साथ हो सकता है, जो सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

, जहां c एक मनमाना संख्या है।

[संपादन करना] पहली तरह के अनुचित अभिन्न का ज्यामितीय अर्थ

अनुचित अभिन्न एक असीम रूप से लंबे घुमावदार ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र को व्यक्त करता है।

[संपादन करना] उदाहरण

[संपादित करें] दूसरे प्रकार के अनुचित समाकलन

इसे परिभाषित होने दें, बिंदु x=a और . पर एक अनंत असंततता भुगतें . फिर:

1. अगर , फिर संकेतन और अभिन्न कहा जाता है

को भिन्न कहा जाता है , या बस भिन्न।

इसे परिभाषित होने दें, x=b और . पर एक अनंत असंततता भुगतें . फिर:

1. अगर , फिर संकेतन और अभिन्न कहा जाता है दूसरी तरह का अनुचित रीमैन इंटीग्रल. इस मामले में, अभिन्न को अभिसरण कहा जाता है।

2. यदि या , तो पदनाम संरक्षित है, और को भिन्न कहा जाता है , या बस भिन्न।

यदि फ़ंक्शन खंड के आंतरिक बिंदु पर एक असंततता से ग्रस्त है, तो दूसरी तरह का अनुचित अभिन्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:

[संपादन करना] दूसरे प्रकार के अनुचित समाकलों का ज्यामितीय अर्थ

अनुचित अभिन्न एक असीम रूप से उच्च वक्रता वाले ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र को व्यक्त करता है

[संपादन करना] उदाहरण

[संपादित करें] विशेष मामला

मान लें कि फ़ंक्शन को संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर परिभाषित किया गया है और बिंदुओं पर एक असंततता है।

तब हम अनुचित समाकलन प्राप्त कर सकते हैं

[संपादित करें] कौची मानदंड

1. आज्ञा देना से सेट पर परिभाषित किया जा सकता है और .

फिर अभिसरण

2. चलो परिभाषित किया गया है और .

फिर अभिसरण

[संपादित करें] पूर्ण अभिसरण

अभिन्न बुलाया बिल्कुल अभिसरण, यदि अभिसरण करता है।
यदि एक अभिन्न पूर्ण रूप से अभिसरण करता है, तो यह अभिसरण करता है।

[संपादित करें] सशर्त अभिसरण

अभिन्न कहा जाता है सशर्त रूप से अभिसरणयदि अभिसरण और विचलन करता है।

48 12. अनुचित समाकलन।

निश्चित समाकलों पर विचार करते समय, हमने यह मान लिया कि एकीकरण का क्षेत्र परिबद्ध है (अधिक विशेष रूप से, यह खंड है [ एक ,बी ]); एक निश्चित समाकल के अस्तित्व के लिए, पर समाकलन की सीमा [ एक ,बी ]. हम निश्चित समाकलन कहेंगे जिसके लिए ये दोनों शर्तें संतुष्ट हैं (एकीकरण डोमेन और एकीकृत दोनों की सीमा) अपना; इंटीग्रल जिसके लिए इन आवश्यकताओं का उल्लंघन किया जाता है (यानी, या तो इंटीग्रैंड, या इंटीग्रेशन का डोमेन, या दोनों, असीम है) गैर-खुद. इस भाग में हम अनुचित समाकलों का अध्ययन करेंगे।

• 12.1. असीमित अंतराल पर अनुचित समाकलन (पहली तरह के अनुचित समाकलन)।
• 12.1.1. एक अनंत अंतराल पर एक अनुचित अभिन्न की परिभाषा। उदाहरण।
• 12.1.2. अनुचित समाकलन के लिए न्यूटन-लीबनिज सूत्र।
• 12.1.3. गैर-नकारात्मक कार्यों के लिए तुलना मानदंड।
• 12.1.3.1. तुलना का संकेत।
• 12.1.3.2. सीमित रूप में तुलना का संकेत।
• 12.1.4. अनंत अंतराल पर अनुचित समाकलों का पूर्ण अभिसरण।
• 12.1.5. हाबिल और डिरिचलेट के लिए अभिसरण मानदंड।
• 12.2 असंबद्ध कार्यों का अनुचित समाकलन (दूसरी तरह का अनुचित समाकलन)।
• 12.2.1. एक असीमित फ़ंक्शन के अनुचित अभिन्न की परिभाषा।
• 12.2.1.1. एकीकरण के अंतराल के बाएं छोर पर विलक्षणता।
• 12.2.1.2. न्यूटन-लीबनिज सूत्र का अनुप्रयोग।
• 12.2.1.3. एकीकरण के अंतराल के दाहिने छोर पर विलक्षणता।
• 12.2.1.4. एकीकरण अंतराल के एक आंतरिक बिंदु पर विलक्षणता।
• 12.2.1.5. एकीकरण के अंतराल पर कई विलक्षणताएं।
• 12.2.2. गैर-नकारात्मक कार्यों के लिए तुलना मानदंड।
• 12.2.2.1. तुलना का संकेत।
• 12.2.2.2. सीमित रूप में तुलना का संकेत।
• 12.2.3. असंतत कार्यों के अनुचित इंटीग्रल का पूर्ण और सशर्त अभिसरण।
• 12.2.4. हाबिल और डिरिचलेट के लिए अभिसरण मानदंड।

12.1. असीमित अंतराल पर अनुचित समाकलन

(पहली तरह के अनुचित अभिन्न)।

12.1.1. एक अनंत अंतराल पर एक अनुचित अभिन्न की परिभाषा. चलो समारोह एफ (एक्स ) को अर्ध-रेखा पर परिभाषित किया गया है और किसी भी अंतराल पर एकीकृत किया जा सकता है [ से, इन मामलों में से प्रत्येक में संबंधित सीमाओं के अस्तित्व और परिमितता का अर्थ है। अब उदाहरणों के समाधान अधिक सरल दिखते हैं: .

12.1.3. गैर-नकारात्मक कार्यों के लिए तुलना मानदंड. इस खंड में, हम यह मानेंगे कि परिभाषा के पूरे क्षेत्र में सभी समाकलन गैर-ऋणात्मक हैं। अब तक, हमने इसकी गणना करके अभिन्न के अभिसरण को निर्धारित किया है: यदि संबंधित आकांक्षा (या) के साथ प्रतिपक्षी की एक सीमित सीमा है, तो अभिन्न अभिसरण होता है, अन्यथा यह अलग हो जाता है। हालांकि, व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय, सबसे पहले अभिसरण के तथ्य को स्थापित करना महत्वपूर्ण है, और उसके बाद ही अभिन्न की गणना करें (इसके अलावा, एंटीडेरिवेटिव अक्सर प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है)। हम कई प्रमेय तैयार करते हैं और साबित करते हैं जो हमें गैर-ऋणात्मक कार्यों के अनुचित अभिन्न के अभिसरण और विचलन को उनकी गणना के बिना स्थापित करने की अनुमति देते हैं।
12.1.3.1. तुलना चिह्न. कार्यों को करने दें एफ (एक्स ) तथा जी (एक्स ) पूर्णांक

इस विषय में प्रस्तुत सामग्री "परिमेय भिन्नों। प्राथमिक (सरल) अंशों में तर्कसंगत अंशों का अपघटन" विषय में प्रस्तुत जानकारी पर आधारित है। मैं आपको इस सामग्री को पढ़ने के लिए आगे बढ़ने से पहले कम से कम इस विषय पर ध्यान देने की सलाह देता हूं। इसके अतिरिक्त, हमें अनिश्चित समाकलों की तालिका की आवश्यकता होगी।

मैं आपको कुछ शर्तों की याद दिलाता हूं। प्रासंगिक विषय में उनकी चर्चा की गई थी, इसलिए यहां मैं खुद को एक संक्षिप्त सूत्रीकरण तक सीमित रखूंगा।

दो बहुपदों $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ के अनुपात को परिमेय फलन या परिमेय भिन्न कहते हैं। परिमेय भिन्न कहलाता है सहीअगर $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется गलत.

प्राथमिक (सरलतम) परिमेय भिन्न चार प्रकार के परिमेय भिन्न होते हैं:

1. $\frac(ए)(एक्स-ए)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

नोट (पाठ की बेहतर समझ के लिए वांछनीय): दिखाएँ\छिपाएँ

$p^2-4q शर्त क्यों आवश्यक है?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

उदाहरण के लिए, व्यंजक $x^2+5x+10$ के लिए हमें मिलता है: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$। चूंकि $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

वैसे, इस जाँच के लिए यह आवश्यक नहीं है कि $x^2$ के सामने गुणांक 1 के बराबर हो। उदाहरण के लिए, $5x^2+7x-3=0$ के लिए हमें यह मिलता है: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$। चूंकि $D > 0$, व्यंजक $5x^2+7x-3$ गुणनखंडनीय है।

तर्कसंगत अंशों (नियमित और अनुचित) के उदाहरण, साथ ही प्राथमिक अंशों में तर्कसंगत अंश के अपघटन के उदाहरण मिल सकते हैं। यहां हम केवल उनके एकीकरण के प्रश्नों में रुचि रखते हैं। आइए प्राथमिक अंशों के एकीकरण से शुरू करें। इसलिए, उपरोक्त चार प्रकार के प्राथमिक भिन्नों में से प्रत्येक को नीचे दिए गए सूत्रों का उपयोग करके एकीकृत करना आसान है। मैं आपको याद दिला दूं कि (2) और (4) प्रकार के भिन्नों को एकीकृत करते समय $n=2,3,4,\ldots$ मान लिया जाता है। सूत्र (3) और (4) के लिए $p^2-4q . शर्त की आवश्यकता होती है< 0$.

\begin(समीकरण) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(समीकरण) \begin(समीकरण) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(समीकरण) \begin(समीकरण) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(समीकरण)

$\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ के लिए प्रतिस्थापन $t=x+\frac(p)(2)$ बनाया गया है, जिसके बाद परिणामी अभिन्न है दो में विभाजित। पहले वाले की गणना डिफरेंशियल साइन के नीचे डालकर की जाएगी, और दूसरा $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$ जैसा दिखेगा। यह समाकल पुनरावर्तन संबंध का उपयोग करके लिया जाता है

\begin(समीकरण) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)आई_एन, \; n\इन एन \end(समीकरण)

इस तरह के एक अभिन्न की गणना का विश्लेषण उदाहरण संख्या 7 (तीसरा भाग देखें) में किया गया है।

तर्कसंगत कार्यों (तर्कसंगत अंश) से इंटीग्रल की गणना के लिए योजना:

1. यदि समाकलन प्राथमिक है, तो सूत्र (1)-(4) लागू करें।
2. यदि समाकलन प्राथमिक नहीं है, तो इसे प्राथमिक भिन्नों के योग के रूप में निरूपित करें, और फिर सूत्रों (1)-(4) का उपयोग करके एकीकृत करें।

परिमेय अंशों को एकीकृत करने के लिए उपरोक्त एल्गोरिथ्म का एक निर्विवाद लाभ है - यह सार्वभौमिक है। वे। इस एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, कोई एकीकृत कर सकता है कोईतर्कसंगत अंश। इसीलिए अनिश्चित समाकल (यूलर, चेबीशेव प्रतिस्थापन, सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन) में चर के लगभग सभी प्रतिस्थापन इस तरह से किए जाते हैं कि इस प्रतिस्थापन के बाद हमें अंतराल के तहत एक परिमेय अंश मिलता है। और उस पर एल्गोरिथम लागू करें। हम एक छोटा नोट बनाने के बाद, उदाहरणों का उपयोग करके इस एल्गोरिथ्म के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग का विश्लेषण करेंगे।

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

सिद्धांत रूप में, यह अभिन्न सूत्र के यांत्रिक अनुप्रयोग के बिना प्राप्त करना आसान है। यदि हम अभिन्न चिह्न से निरंतर $7$ निकालते हैं और उस $dx=d(x+9)$ को ध्यान में रखते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

विस्तृत जानकारी के लिए मैं इस विषय को देखने की सलाह देता हूं। यह विस्तार से बताता है कि इस तरह के इंटीग्रल को कैसे हल किया जाता है। वैसे, सूत्र उन्हीं परिवर्तनों से सिद्ध होता है जो इस पैराग्राफ में "मैन्युअल रूप से" हल करते समय लागू किए गए थे।

2) फिर से, दो तरीके हैं: तैयार फॉर्मूला लागू करना या इसके बिना करना। यदि आप सूत्र लागू करते हैं, तो आपको यह ध्यान रखना चाहिए कि $x$ (संख्या 4) के सामने के गुणांक को हटाना होगा। ऐसा करने के लिए, हम उनमें से चार को कोष्ठक में निकालते हैं:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\बाएं(x+\frac(19)(4)\right)^8)। $$

अब सूत्र लागू करने का समय आ गया है:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\बाएं(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\बाएं(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+सी. $$

आप सूत्र का उपयोग किए बिना कर सकते हैं। और यहां तक ​​कि लगातार $4$ को कोष्ठक से बाहर रखे बिना। यदि हम उस $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$ को ध्यान में रखते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

"प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण (अंतर चिह्न के तहत परिचय)" विषय में इस तरह के इंटीग्रल खोजने पर विस्तृत स्पष्टीकरण दिया गया है।

3) हमें भिन्न $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$ को एकीकृत करने की आवश्यकता है। इस अंश की संरचना $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ है, जहां $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$। हालांकि, यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह वास्तव में तीसरे प्रकार का प्राथमिक अंश है, आपको $p^2-4q स्थिति की जांच करने की आवश्यकता है< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

आइए उसी उदाहरण को हल करें, लेकिन तैयार किए गए सूत्र का उपयोग किए बिना। आइए अंश में हर के व्युत्पन्न को अलग करने का प्रयास करें। इसका क्या मतलब है? हम जानते हैं कि $(x^2+10x+34)"=2x+10$। यह अभिव्यक्ति $2x+10$ है जिसे हमें अंश में अलग करना है। अब तक, अंश में केवल $4x+7$ होता है , लेकिन यह लंबे समय के लिए नहीं है। अंश में निम्नलिखित परिवर्तन लागू करें:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

अब अंश में अपेक्षित व्यंजक $2x+10$ प्रकट हुआ है। और हमारे अभिन्न को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

आइए इंटीग्रैंड को दो में तोड़ दें। खैर, और, तदनुसार, अभिन्न स्वयं भी "विभाजित" है:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34)। $$

आइए पहले पहले इंटीग्रल के बारे में बात करते हैं, यानी। लगभग $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$। चूँकि $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, तब हर का अंतर समाकलन के अंश में स्थित होता है। संक्षेप में, इसके बजाय अभिव्यक्ति $( 2x+10)dx$ का हम $d(x^2+10x+34)$ लिखते हैं।

अब दूसरे समाकलन के बारे में कुछ शब्द कहते हैं। आइए हर में पूर्ण वर्ग को अलग करें: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$। इसके अलावा, हम खाते में $dx=d(x+5)$ लेते हैं। अब हमारे द्वारा पहले प्राप्त किए गए समाकलों के योग को थोड़े भिन्न रूप में फिर से लिखा जा सकता है:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9)। $$

यदि हम पहले समाकलन में $u=x^2+10x+34$ परिवर्तन करते हैं, तो यह $\int\frac(du)(u)$ का रूप लेगा और इसे केवल से दूसरे सूत्र को लागू करके लिया जाता है। दूसरे समाकलन के लिए, प्रतिस्थापन $u=x+5$ इसके लिए संभव है, जिसके बाद यह $\int\frac(du)(u^2+9)$ रूप लेता है। यह सबसे शुद्ध पानी है, अनिश्चित समाकलों की तालिका से ग्यारहवाँ सूत्र। तो, इंटीग्रल के योग पर लौटने पर, हमारे पास होगा:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

हमें वही उत्तर मिला जो सूत्र को लागू करते समय मिला, जो वास्तव में आश्चर्य की बात नहीं है। सामान्य तौर पर, सूत्र उन्हीं विधियों से सिद्ध होता है जिनका उपयोग हम इस समाकल को ज्ञात करने के लिए करते थे। मेरा मानना ​​​​है कि एक चौकस पाठक का यहाँ एक प्रश्न हो सकता है, इसलिए मैं इसे तैयार करूँगा:

प्रश्न 1

यदि हम अनिश्चित समाकलों की तालिका से दूसरे सूत्र को समाकलित $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$ पर लागू करते हैं, तो हमें निम्नलिखित प्राप्त होते हैं:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

समाधान से मॉड्यूल गायब क्यों था?

प्रश्न का उत्तर #1

सवाल पूरी तरह जायज है। मापांक अनुपस्थित था क्योंकि अभिव्यक्ति $x^2+10x+34$ किसी भी $x\in R$ के लिए शून्य से अधिक है। यह कई तरह से दिखाना काफी आसान है। उदाहरण के लिए, चूंकि $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ और $(x+5)^2 0$, फिर $(x+5)^2+9 > 0$ . एक पूर्ण वर्ग के चयन को शामिल किए बिना, एक अलग तरीके से न्याय करना संभव है। चूँकि $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ किसी भी $x\in R$ के लिए (यदि यह तार्किक श्रृंखला आश्चर्यजनक है, तो मैं आपको वर्ग असमानताओं को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि को देखने की सलाह देता हूं)। किसी भी स्थिति में, चूंकि $x^2+10x+34 > 0$, फिर $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, यानी। आप मॉड्यूल के बजाय सामान्य ब्रैकेट का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण संख्या 1 के सभी बिंदु हल हो गए हैं, यह केवल उत्तर लिखने के लिए रह गया है।

उत्तर:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+सी$।

उदाहरण #2

अभिन्न $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$ खोजें।

पहली नज़र में, एकीकृत $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ तीसरे प्रकार के प्राथमिक अंश के समान है, अर्थात। से $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$। ऐसा लगता है कि केवल अंतर $x^2$ के सामने गुणांक $3$ है, लेकिन गुणांक (कोष्ठक से बाहर) को हटाने में अधिक समय नहीं लगेगा। हालाँकि, यह समानता स्पष्ट है। अंश के लिए $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ शर्त $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

$x^2$ के सामने हमारा गुणांक एक के बराबर नहीं है, इसलिए स्थिति की जाँच करें $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, इसलिए व्यंजक $3x^2-5x-2$ को गुणनखंडित किया जा सकता है। और इसका मतलब है कि अंश $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ तीसरे प्रकार का प्राथमिक अंश नहीं है, और अभिन्न $\int\frac(7x+12)( 3x^2- 5x-2)dx$ फॉर्मूला की अनुमति नहीं है।

ठीक है, यदि दिया गया परिमेय अंश प्राथमिक नहीं है, तो इसे प्राथमिक अंशों के योग के रूप में दर्शाया जाना चाहिए, और फिर एकीकृत किया जाना चाहिए। संक्षेप में, निशान लाभ उठाते हैं। एक परिमेय अंश को प्राथमिक अंश में कैसे विघटित किया जाए, इसके बारे में विस्तार से लिखा गया है। आइए भाजक के गुणनखंड द्वारा प्रारंभ करें:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(गठबंधन)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

हम निम्न रूप में उप-आंतरिक भिन्न का प्रतिनिधित्व करते हैं:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

अब आइए भिन्न $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ को प्राथमिक अंश में विस्तारित करें:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\दाएं)। $$

गुणांक $A$ और $B$ खोजने के लिए दो मानक तरीके हैं: अनिश्चित गुणांक की विधि और आंशिक मानों के प्रतिस्थापन की विधि। आइए $x=2$ और फिर $x=-\frac(1)(3)$ को प्रतिस्थापित करके आंशिक मूल्य प्रतिस्थापन विधि लागू करें:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; बी=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

चूंकि गुणांक पाए गए हैं, यह केवल समाप्त विस्तार को लिखने के लिए बनी हुई है:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

सिद्धांत रूप में, आप इस प्रविष्टि को छोड़ सकते हैं, लेकिन मुझे अधिक सटीक संस्करण पसंद है:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

मूल समाकल पर लौटते हुए, हम परिणामी विस्तार को इसमें प्रतिस्थापित करते हैं। फिर हम समाकल को दो भागों में विभाजित करते हैं, और प्रत्येक पर सूत्र लागू करते हैं। मैं अभिन्न चिह्न के बाहर स्थिरांक को तुरंत निकालना पसंद करता हूं:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx = - \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+सी. $$

उत्तर: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$।

उदाहरण #3

अभिन्न $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$ खोजें।

हमें भिन्न $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$ को एकीकृत करने की आवश्यकता है। अंश दूसरी डिग्री का बहुपद है, और हर तीसरी डिग्री का बहुपद है। चूँकि अंश में बहुपद की घात हर में बहुपद की घात से कम होती है, अर्थात्। $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9)। $$

हमें दिए गए समाकल को तीन भागों में तोड़ना है, और प्रत्येक पर सूत्र लागू करना है। मैं अभिन्न चिह्न के बाहर स्थिरांक को तुरंत निकालना पसंद करता हूं:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+सी. $$

उत्तर: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+सी$।

इस विषय के उदाहरणों के विश्लेषण की निरंतरता दूसरे भाग में स्थित है।

भिन्नात्मक परिमेय फलन के अनिश्चित समाकल को खोजने के लिए सरलतम अंशों के एकीकरण के साथ आगे बढ़ने से पहले, "एक अंश का सरलतम में अपघटन" खंड की स्मृति को ताज़ा करने की सिफारिश की जाती है।

उदाहरण 1

अनिश्चित समाकल 2 x 3 + 3 x 3 + x d x ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम बहुपद के स्तंभ को बहुपद से विभाजित करके पूर्णांक भाग का चयन करते हैं, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि पूर्णांक के अंश की डिग्री हर की डिग्री के बराबर है:

तो 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x। हमें एक उचित परिमेय भिन्न प्राप्त हुआ - 2 x + 3 x 3 + x, जिसे अब हम साधारण भिन्नों में विस्तारित करते हैं - 2 x + 3 x 3 + x \u003d 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1। फलस्वरूप,

2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 लॉग एक्स - 3 एक्स + 2 एक्स 2 + 1 डी एक्स

हमने तीसरे प्रकार के सबसे सरल भिन्न का समाकलन प्राप्त किया है। इसे आप डिफरेंशियल के साइन के तहत लाकर ले सकते हैं।

चूँकि d x 2 + 1 = 2 x d x , तो 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1। इसीलिए
3 एक्स + 2 एक्स 2 + 1 डी एक्स = ∫ 3 एक्स एक्स 2 + 1 डी एक्स + ∫ 2 एक्स 2 + 1 = 3 2 ∫ डी एक्स 2 + 1 एक्स 2 + 1 + 2 ∫ डी एक्स एक्स 2 + 1 = 3 2 एलएन एक्स 2 + 1 + 2 ए आर सी टी जी एक्स + सी 1

फलस्वरूप,
2 एक्स 3 + 3 एक्स 3 + एक्स डी एक्स = 2 एक्स + 3 एलएन एक्स - ∫ 3 एक्स + 2 एक्स 2 + 1 डी एक्स = 2 एक्स + 3 एलएन एक्स - 3 2 एलएन एक्स 2 + 1 - 2 ए आर सी टैन एक्स + सी , जहां सी \u003d - सी 1

आइए हम चार प्रकारों में से प्रत्येक के सरलतम भिन्नों को समाकलित करने की विधियों का वर्णन करें।

पहले प्रकार A x - a . के सरलतम भिन्नों का एकीकरण

हम इस समस्या को हल करने के लिए प्रत्यक्ष एकीकरण विधि का उपयोग करते हैं:

ए एक्स - ए डी एक्स = ए ∫ डी एक्स एक्स - ए = ए एलएन एक्स - ए + सी

उदाहरण 2

फलन y = 3 2 x - 1 के प्रतिअवकलजों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।

समाधान

समाकलन नियम, प्रतिअवकलज के गुणधर्म और प्रतिअवकलजों की तालिका का उपयोग करते हुए, हम अनिश्चित समाकल ∫ 3 d x 2 x - 1: f k x + b d x = 1 k F k x + b + C पाते हैं।

3 डी एक्स 2 एक्स - 1 = 3 ∫ डी एक्स 2 एक्स - 1 2 = 3 2 ∫ डी एक्स एक्स - 1 2 = 3 2 एलएन एक्स - 1 2 + सी

उत्तर: 3 डी एक्स 2 एक्स - 1 = 3 2 एलएन एक्स - 1 2 + सी

दूसरे प्रकार A x - a n . के साधारण भिन्नों का एकीकरण

यहां हम प्रत्यक्ष एकीकरण की विधि भी लागू करते हैं: ए एक्स - ए एन डी एक्स = ए ∫ एक्स - ए - एन डी एक्स = ए - एन + 1 एक्स - ए - एन + 1 + सी = ए 1 - एन एक्स - ए एन - 1 + सी

उदाहरण 3

अनिश्चित समाकल d x 2 x - 3 7 ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

डी एक्स 2 एक्स - 3 7 = ∫ डी एक्स 2 एक्स - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ एक्स - 3 2 - 7 डी एक्स = = 1 2 7 1 - 7 + 1 एक्स - 3 2 - 7 + 1 + सी = 1 2 7 - 6 x - 3 2 6 + C = = 1 2 - 6 2 6 x - 3 2 6 + C = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

उत्तर:डी एक्स 2 एक्स - 3 7 = - 1 12 1 2 एक्स - 3 6 + सी

तीसरे प्रकार एम एक्स + एन एक्स 2 + पी एक्स + क्यू, डी = पी 2 - 4 क्यू के साधारण अंशों का एकीकरण< 0

पहले चरण के रूप में, हम अनिश्चित समाकल ∫ M x + N x 2 + p x + q को योग के रूप में निरूपित करते हैं:

∫ एम एक्स + एन एक्स 2 + पी एक्स + क्यू डी एक्स = ∫ एम एक्स एक्स 2 + पी एक्स + क्यू डी एक्स + एन ∫ डी एक्स एक्स 2 + पी एक्स + क्यू

पहला इंटीग्रल लेने के लिए, हम डिफरेंशियल साइन के तहत सबमिशन की विधि का उपयोग करते हैं:

∫ एम एक्स 2 + पी एक्स + क्यू डी एक्स = डी एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = 2 एक्स + पी डी एक्स = 2 एक्स डी एक्स + पी डी एक्स ⇒ 2 एक्स डी एक्स = डी एक्स 2 + पी एक्स + क्यू - पी डी एक्स ⇒ एम एक्स डी एक्स = एम 2 डी एक्स 2 + पी एक्स + क्यू - पी एम 2 डी एक्स = = ∫ एम 2 डी एक्स 2 + पी एक्स + क्यू - पी एम 2 डी एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = = एम 2 ∫ डी एक्स 2 + पी एक्स + क्यू एक्स 2 + पी एक्स + क्यू - पी एम 2 ∫ डी एक्स एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = = एम 2 लॉग एक्स 2 + पी एक्स + क्यू - पी एम 2 ∫ डी एक्स 2 + पी एक्स + क्यू

इसीलिए,
∫ एम एक्स + एन एक्स 2 + पी एक्स + क्यू डी एक्स = ∫ एम एक्स एक्स 2 + पी एक्स + क्यू डी एक्स + एन ∫ डी एक्स एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = = एम 2 एलएन एक्स 2 + पी एक्स + क्यू - पी एम 2 ∫ डी एक्स एक्स 2 + पी एक्स + क्यू + एन ∫ डी एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = = एम 2 एलएन एक्स 2 + पी एक्स + क्यू + 2 एन - पी एम 2 ∫ डी एक्स 2 + पी एक्स + क्यू

हमने समाकलन d x x 2 + p x + q प्राप्त किया है। आइए इसके हर को रूपांतरित करें:

डी एक्स एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = ∫ डी एक्स 2 + पी एक्स + पी 2 2 - पी 2 2 + क्यू = = ∫ डी एक्स एक्स + पी 2 2 - पी 2 4 + क्यू = ∫ डी एक्स + पी 2 2 - पी 2 4 + क्यू = = डी एक्स एक्स + पी 2 2 + 4 क्यू - पी 2 4 = 2 4 क्यू - पी 2 ए आर सी टी जी 2 एक्स + पी 2 4 क्यू - पी 2 + सी 1

फलस्वरूप,

∫ एम एक्स + एन एक्स 2 + पी एक्स + क्यू डी एक्स = एम 2 एलएन एक्स 2 + पी एक्स + क्यू + 2 एन - पी एम 2 ∫ डी एक्स एक्स 2 + पी एक्स + क्यू = = एम 2 एलएन एक्स 2 + पी एक्स + क्यू + 2 एन - पी एम 2 2 4 क्यू - पी 2 ए आर सी टी जी 2 एक्स + पी 2 4 क्यू - पी 2 + सी 1

तीसरे प्रकार के सरलतम अंशों को एकीकृत करने का सूत्र रूप लेता है:
∫ एम एक्स + एन एक्स 2 + पी एक्स + क्यू डी एक्स = एम 2 एलएन एक्स 2 + पी एक्स + क्यू + 2 एन - पी एम 4 क्यू - पी 2 ए आर सी टी जी 2 एक्स + पी 2 4 क्यू - पी 2 + सी

उदाहरण 4

अनिश्चित समाकल ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

आइए सूत्र लागू करें:

2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 एलएन एक्स 2 + 2 एक्स + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 ए आर सी टी जी 2 एक्स + 2 2 4 10 - 2 2 + सी = 1 3 एलएन एक्स 2 + 2 एक्स + 10 - 1 9 ए आर सी टी जी एक्स + 1 3 + सी

दूसरा समाधान इस तरह दिखता है:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ घ (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 घ x 2 + 2 x + 10 = \u003d आर ए एन डी ई एन टी ए एन डी ए एन टी = 1 3 एलएन एक्स 2 + 2 एक्स + 10 - 1 3 डी (एक्स) एक्स + 1 2 + 9 = = 1 3 एलएन एक्स 2 + 2 एक्स + 10 - 1 9 ए आर सी टी जी एक्स + 1 3 + सी

उत्तर: 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

चौथे प्रकार M x + N (x 2 + p x + q) n , D = p 2 - 4 q के सरलतम अंशों का एकीकरण< 0

सबसे पहले, हम अंतर के संकेत के तहत योग करते हैं:

एम एक्स + एन एक्स 2 + पी एक्स + क्यू डी एक्स = डी (एक्स 2 + पी एक्स + क्यू) = (2 एक्स + पी) डी एक्स = = एम 2 ∫ डी (एक्स 2 + पी एक्स + क्यू) (एक्स 2 + पी एक्स + क्यू ) एन + एन - पी एम 2 ∫ डी एक्स (एक्स 2 + पी एक्स + क्यू) एन = = एम 2 (- एन + 1) 1 (एक्स 2 + पी एक्स + क्यू) एन -1 + एन - पी एम 2 ∫ डी एक्स ( एक्स 2 + पी एक्स + क्यू) एन

फिर हम आवर्तक सूत्रों का उपयोग करके J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n के रूप का अभिन्न अंग पाते हैं। आवर्तक सूत्रों के बारे में जानकारी "पुनरावर्ती सूत्रों का उपयोग करके एकीकरण" विषय में पाई जा सकती है।

हमारी समस्या को हल करने के लिए, फॉर्म का एक आवर्तक सूत्र J n \u003d 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 क्यू - पी 2 · जे एन - 1।

उदाहरण 5

अनिश्चित समाकल d x x 5 x 2 - 1 ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

डी एक्स एक्स 5 एक्स 2 - 1 = ∫ एक्स - 5 (एक्स 2 - 1) - 1 2 डी एक्स

हम इस प्रकार के समाकलन के लिए प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करेंगे। आइए एक नया चर x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x पेश करें

हम पाते हैं:

डी एक्स एक्स 5 एक्स 2 - 1 = ∫ एक्स - 5 (एक्स 2 - 1) - 1 2 डी एक्स = ∫ (जेड 2 + 1) - 5 2 जेड - 1 जेड (जेड 2 + 1) - 1 2 डी जेड = डी जेड (जेड 2 + 1) 3

हम चौथे प्रकार के भिन्न का समाकल ज्ञात करने आए हैं। हमारे मामले में, हमारे पास गुणांक हैं एम = 0, पी = 0, क्यू = 1, एन = 1और एन = 3। हम पुनरावर्ती सूत्र लागू करते हैं:

जे 3 \u003d डी जेड (जेड 2 + 1) 3 \u003d 2 जेड + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) जेड 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 1 - 0 डी जेड (जेड 2 + 1) 2 = = जेड 4 (जेड 2 + 1) 2 + 3 4 2 जेड (2 - 1) (4 1 - 0) (जेड 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) + C

रिवर्स प्रतिस्थापन z = x 2 - 1 के बाद हमें परिणाम मिलता है:
डी एक्स एक्स 5 एक्स 2 - 1 = एक्स 2 - 1 4 एक्स 4 + 3 8 एक्स 2 - 1 एक्स 2 + 3 8 ए आर सी टी जी एक्स 2 - 1 + सी

उत्तर:डी एक्स एक्स 5 एक्स 2 - 1 = एक्स 2 - 1 4 एक्स 4 + 3 8 एक्स 2 - 1 एक्स 2 + 3 8 ए आर सी टी जी एक्स 2 - 1 + सी

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