- मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना की जाती है;
- बीजगणितीय योगों के माध्यम से, प्रतिलोम मैट्रिक्स A -1 पाया जाता है;
- एक्सेल में एक समाधान टेम्पलेट बनाया जाता है;
निर्देश। व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि द्वारा समाधान प्राप्त करने के लिए, मैट्रिक्स के आयाम को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। इसके बाद, नए डायलॉग बॉक्स में, मैट्रिक्स A और परिणाम वेक्टर B भरें।
मैट्रिक्स समीकरणों का समाधान भी देखें।समाधान एल्गोरिथ्म
- मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना की जाती है। यदि सारणिक शून्य है, तो समाधान का अंत। सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं।
- जब सारणिक शून्य से भिन्न होता है, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स ए -1 बीजीय योगों के माध्यम से पाया जाता है।
- निर्णय सदिश X =(x 1 , x 2 , ..., x n ) परिणाम सदिश B से व्युत्क्रम मैट्रिक्स को गुणा करके प्राप्त किया जाता है।
बीजगणितीय जोड़।
| ए 1.1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| ए 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| ए 1.3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| ए 2.1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| ए 2.2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| ए 2.3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| ए 3.1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
एक्स टी = (1,0,1)
एक्स 1 = -21 / -21 = 1
एक्स 2 = 0 / -21 = 0
एक्स 3 = -21 / -21 = 1
इंतिहान:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
विषय 2. रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली।
बुनियादी अवधारणाओं।
परिभाषा 1. प्रणाली एमके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात प्रपत्र की एक प्रणाली है:
जहां और संख्याएं हैं।
परिभाषा 2. निकाय का समाधान (I) अज्ञातों का एक ऐसा समुच्चय है, जिसमें इस प्रणाली का प्रत्येक समीकरण एक पहचान में बदल जाता है।
परिभाषा 3. सिस्टम (I) को कहा जाता है संयुक्तअगर इसका कम से कम एक समाधान है और असंगतअगर इसका कोई समाधान नहीं है। संयुक्त प्रणाली को कहा जाता है निश्चितअगर इसका एक अनूठा समाधान है, और ढुलमुलअन्यथा।
परिभाषा 4. समीकरण टाइप करें
बुलाया शून्य, और रूप का एक समीकरण
बुलाया असंगत. जाहिर है, असंगत समीकरण वाले समीकरणों की एक प्रणाली असंगत है।
परिभाषा 5. रैखिक समीकरणों के दो निकाय कहलाते हैं समकक्षयदि एक प्रणाली का प्रत्येक समाधान दूसरे का समाधान है और इसके विपरीत, दूसरी प्रणाली का प्रत्येक समाधान पहले का समाधान है।
रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए मैट्रिक्स संकेतन।
सिस्टम (I) पर विचार करें (§1 देखें)।
निरूपित करें:
अज्ञात के लिए गुणांक मैट्रिक्स
मैट्रिक्स - मुक्त सदस्यों का स्तंभ
मैट्रिक्स - अज्ञात का स्तंभ
.
परिभाषा 1.मैट्रिक्स कहा जाता है प्रणाली का मुख्य मैट्रिक्स(I), और मैट्रिक्स सिस्टम (I) का संवर्धित मैट्रिक्स है।
मैट्रिक्स समानता की परिभाषा के अनुसार, सिस्टम (I) मैट्रिक्स समानता से मेल खाती है:
.
मैट्रिक्स के उत्पाद की परिभाषा से इस समानता का दाहिना पक्ष ( परिभाषा देखें 3 5 अध्याय 1) गुणनखंडित किया जा सकता है:
, अर्थात।
समानता (2) बुलाया सिस्टम का मैट्रिक्स नोटेशन (I).
क्रैमर विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करना।
प्रणाली में चलो (I) (§1 देखें) एम = एन, अर्थात। समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर है, और सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स नॉनडिजेनरेट है, अर्थात। . तब 1 से सिस्टम (I) का एक अनूठा समाधान है
जहां = डेट एमुख्य कहा जाता है प्रणाली निर्धारक(मैं), मैंनिर्धारक से प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है मैं- प्रणाली के मुक्त सदस्यों के कॉलम का -वां कॉलम (I)।
उदाहरण: सिस्टम को क्रैमर विधि द्वारा हल करें:
.
सूत्रों द्वारा (3)
.
हम प्रणाली के निर्धारकों की गणना करते हैं:
,
,
.
निर्धारक प्राप्त करने के लिए, हमने निर्धारक के पहले कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम से बदल दिया है; निर्धारक में दूसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर, हम प्राप्त करते हैं; इसी तरह, निर्धारक में तीसरे कॉलम को मुक्त सदस्यों के कॉलम के साथ बदलकर, हम प्राप्त करते हैं। सिस्टम समाधान:
व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना।
प्रणाली में चलो (I) (§1 देखें) एम = एनऔर सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स nondegenerate है। हम सिस्टम (I) को मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं ( 2 . देखें):
क्योंकि आव्यूह ए nondegenerate है, तो इसका एक उलटा मैट्रिक्स है ( अध्याय 1 का प्रमेय 1 6 देखें) समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें (2) मैट्रिक्स के लिए, फिर
व्युत्क्रम मैट्रिक्स की परिभाषा के अनुसार। समानता से (3) अपने पास
व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके सिस्टम को हल करें
.
निरूपित
उदाहरण (§ 3) में हमने सारणिक की गणना की, इसलिए मैट्रिक्स एएक उलटा मैट्रिक्स है। फिर बल में (4) , अर्थात।
. (5)
मैट्रिक्स खोजें ( देखें 6 अध्याय 1)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
गॉस विधि।
मान लीजिए कि रैखिक समीकरणों का निकाय दिया गया है:
. (मैं)
सिस्टम (I) के सभी समाधान खोजने या यह सुनिश्चित करने के लिए कि सिस्टम असंगत है, यह आवश्यक है।
परिभाषा 1.आइए हम प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन को कहते हैं(I) तीन क्रियाओं में से कोई एक:
1) शून्य समीकरण का विलोपन;
2) समीकरण के दोनों भागों में दूसरे समीकरण के संगत भागों को जोड़ने पर, संख्या l से गुणा किया जाता है;
3) प्रणाली के समीकरणों में शब्दों की अदला-बदली ताकि सभी समीकरणों में समान संख्या वाले अज्ञात समान स्थानों पर कब्जा कर लें, अर्थात। यदि, उदाहरण के लिए, पहले समीकरण में हमने दूसरे और तीसरे शब्दों को बदल दिया है, तो सिस्टम के सभी समीकरणों में भी ऐसा ही किया जाना चाहिए।
गॉस विधि में यह तथ्य शामिल है कि प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से सिस्टम (I) को एक समान प्रणाली में घटाया जाता है, जिसका समाधान सीधे पाया जाता है या इसकी अक्षमता स्थापित होती है।
जैसा कि §2 में वर्णित है, सिस्टम (I) अपने विस्तारित मैट्रिक्स द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, और सिस्टम का कोई भी प्राथमिक परिवर्तन (I) विस्तारित मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तन से मेल खाता है:
.
परिवर्तन 1) मैट्रिक्स में शून्य पंक्ति को हटाने से मेल खाती है, परिवर्तन 2) मैट्रिक्स की संबंधित पंक्ति में जोड़ने के बराबर है, इसकी दूसरी पंक्ति को संख्या l से गुणा किया जाता है, परिवर्तन 3) मैट्रिक्स में स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करने के बराबर है।
यह देखना आसान है कि, इसके विपरीत, मैट्रिक्स का प्रत्येक प्रारंभिक परिवर्तन प्रणाली (I) के प्राथमिक परिवर्तन से मेल खाता है। जो कहा गया है, उसे देखते हुए, सिस्टम (I) के साथ संचालन के बजाय, हम इस प्रणाली के संवर्धित मैट्रिक्स के साथ काम करेंगे।
मैट्रिक्स में, पहले कॉलम में गुणांक होते हैं एक्स 1, दूसरा कॉलम - गुणांकों से एक्स 2आदि। स्तंभों की पुनर्व्यवस्था के मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि इस शर्त का उल्लंघन किया गया है। उदाहरण के लिए, यदि हम पहले और दूसरे कॉलम को स्वैप करते हैं, तो अब पहले कॉलम में गुणांक होंगे एक्स 2, और दूसरे कॉलम में - गुणांक पर एक्स 1.
हम सिस्टम (I) को गॉस विधि से हल करेंगे।
1. मैट्रिक्स में सभी शून्य पंक्तियों को काट दें, यदि कोई हो (यानी, सिस्टम (I) में सभी शून्य समीकरणों को पार करें)।
2. जांचें कि क्या मैट्रिक्स की पंक्तियों में कोई पंक्ति है जिसमें अंतिम को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर हैं (चलिए ऐसी पंक्ति को असंगत कहते हैं)। जाहिर है, ऐसी रेखा प्रणाली (I) में एक असंगत समीकरण से मेल खाती है, इसलिए, सिस्टम (I) का कोई समाधान नहीं है, और यह वह जगह है जहां प्रक्रिया समाप्त होती है।
3. मान लीजिए कि मैट्रिक्स में असंगत पंक्तियाँ नहीं हैं (सिस्टम (I) में असंगत समीकरण नहीं हैं)। यदि एक एक 11 = 0, तो हम पहली पंक्ति में कुछ तत्व (अंतिम एक को छोड़कर) पाते हैं जो शून्य से भिन्न होता है और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करता है ताकि पहली पंक्ति में पहले स्थान पर कोई शून्य न हो। अब हम यह मान लेते हैं कि (अर्थात, हम निकाय (I) के समीकरणों में संगत पदों की अदला-बदली करते हैं)।
4. पहली पंक्ति को गुणा करें और परिणाम को दूसरी पंक्ति में जोड़ें, फिर पहली पंक्ति को गुणा करें और परिणाम को तीसरी पंक्ति में जोड़ें, आदि। जाहिर है, यह प्रक्रिया अज्ञात को खत्म करने के बराबर है एक्स 1सिस्टम (I) के सभी समीकरणों से, 1 को छोड़कर। नए मैट्रिक्स में, हमें तत्व के तहत पहले कॉलम में शून्य मिलता है एक 11:
.
5. मैट्रिक्स में सभी शून्य पंक्तियों को काट दें, यदि कोई हो, तो जांचें कि क्या कोई असंगत पंक्ति है (यदि यह मौजूद है, तो सिस्टम असंगत है और समाधान वहीं समाप्त होता है)। आइए देखें कि क्या ए 22 / = 0, यदि हाँ, तो हम दूसरी पंक्ति में एक ऐसा तत्व पाते हैं जो शून्य से भिन्न है और स्तंभों को इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित करता है। इसके बाद, हम दूसरी पंक्ति के तत्वों को गुणा करते हैं 
और तीसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों के साथ जोड़ें, फिर - दूसरी पंक्ति के तत्वों को चालू करें और चौथी पंक्ति के संबंधित तत्वों के साथ जोड़ें, आदि, जब तक कि हमें शून्य न मिल जाए एक 22 /
.
निष्पादित क्रियाएं अज्ञात के उन्मूलन के बराबर हैं एक्स 2 1 और 2 को छोड़कर, सिस्टम (I) के सभी समीकरणों से। चूंकि पंक्तियों की संख्या सीमित है, इसलिए, चरणों की एक सीमित संख्या के बाद, हम पाएंगे कि या तो सिस्टम असंगत है, या हम एक चरण मैट्रिक्स में आ जाएंगे ( परिभाषा 2 देखें 7 अध्याय 1) :
,
आइए हम मैट्रिक्स के अनुरूप समीकरणों की प्रणाली को लिखें। यह प्रणाली प्रणाली के बराबर है (I)
.
अंतिम समीकरण से हम व्यक्त करते हैं; हम पिछले समीकरण में स्थानापन्न करते हैं, पाते हैं, आदि, जब तक हम प्राप्त नहीं करते।
टिप्पणी 1.इस प्रकार, गॉस विधि द्वारा प्रणाली (I) को हल करते समय, हम निम्नलिखित मामलों में से एक पर पहुंचते हैं।
1. प्रणाली (I) असंगत है।
2. सिस्टम (I) का एक अनूठा समाधान है यदि मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या अज्ञात () की संख्या के बराबर है।
3. सिस्टम (I) में अनंत समाधान हैं यदि मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या अज्ञात () की संख्या से कम है।
इसलिए निम्नलिखित प्रमेय धारण करता है।
प्रमेय।रैखिक समीकरणों की प्रणाली या तो असंगत है, या इसका एक अनूठा समाधान है, या समाधान का एक अनंत सेट है।
उदाहरण। गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को हल करें या इसकी असंगति साबित करें:
बी) 
;
a) आइए दिए गए सिस्टम को फॉर्म में फिर से लिखें:
.
हमने गणनाओं को सरल बनाने के लिए मूल प्रणाली के पहले और दूसरे समीकरणों की अदला-बदली की (अंशों के बजाय, हम इस तरह के क्रमपरिवर्तन का उपयोग करके केवल पूर्णांकों के साथ काम करेंगे)।
हम एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाते हैं:
.
कोई शून्य रेखाएं नहीं हैं; कोई असंगत रेखाएं नहीं; हम 1 अज्ञात को सिस्टम के सभी समीकरणों से बाहर करते हैं, 1 को छोड़कर। ऐसा करने के लिए, हम मैट्रिक्स की पहली पंक्ति के तत्वों को "-2" से गुणा करते हैं और उन्हें दूसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों में जोड़ते हैं, जो 1 समीकरण को "-2" से गुणा करने और इसे जोड़ने के बराबर है। दूसरा समीकरण। फिर हम पहली पंक्ति के तत्वों को "-3" से गुणा करते हैं और उन्हें तीसरी पंक्ति के संबंधित तत्वों में जोड़ते हैं, अर्थात। दिए गए सिस्टम के दूसरे समीकरण को "-3" से गुणा करें और इसे तीसरे समीकरण में जोड़ें। पाना
.
मैट्रिक्स समीकरणों की एक प्रणाली से मेल खाती है)। - (अध्याय 1 की परिभाषा 3 7 देखें)।
n अज्ञात के साथ m रैखिक समीकरणों का निकायफॉर्म की एक प्रणाली कहा जाता है
कहाँ पे ऐजोऔर बी मैं (मैं=1,…,एम; बी=1,…,एन) कुछ ज्ञात संख्याएँ हैं, और एक्स 1 ,…,एक्स एन- अनजान। गुणांकों के अंकन में ऐजोपहला सूचकांक मैंसमीकरण की संख्या को दर्शाता है, और दूसरा जेअज्ञात की संख्या है जिस पर यह गुणांक खड़ा है।
अज्ञात के गुणांक को मैट्रिक्स के रूप में लिखा जाएगा 
, जिसे हम कहेंगे सिस्टम मैट्रिक्स.
समीकरणों के दाईं ओर की संख्याएँ बी 1 ,…,बी एमबुलाया मुक्त सदस्य।
सकल एननंबर सी 1 ,…,सी एनबुलाया फेसलाइस प्रणाली का, यदि सिस्टम का प्रत्येक समीकरण इसमें संख्याओं को प्रतिस्थापित करने के बाद एक समानता बन जाता है सी 1 ,…,सी एनसंबंधित अज्ञात के बजाय एक्स 1 ,…,एक्स एन.
हमारा काम सिस्टम का समाधान खोजना होगा। इस मामले में, तीन स्थितियां उत्पन्न हो सकती हैं:
रैखिक समीकरणों का वह निकाय जिसका कम से कम एक हल हो, कहलाता है संयुक्त. अन्यथा, अर्थात्। यदि सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, तो इसे कहा जाता है असंगत.
सिस्टम के समाधान खोजने के तरीकों पर विचार करें।
रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि
मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखना संभव बनाता है। मान लीजिए कि तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:
सिस्टम के मैट्रिक्स पर विचार करें 
और अज्ञात और मुक्त सदस्यों के मैट्रिक्स कॉलम 
आइए उत्पाद खोजें
वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हम इस प्रणाली के समीकरणों के बाईं ओर प्राप्त करते हैं। फिर, मैट्रिक्स समानता की परिभाषा का उपयोग करते हुए, इस प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है
या छोटा ए∙एक्स = बी.
यहाँ मैट्रिसेस एऔर बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअनजान। उसे खोजने की जरूरत है, क्योंकि। इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। इस समीकरण को कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.
मान लीजिए मैट्रिक्स सारणिक शून्य से भिन्न है | ए| 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण निम्नानुसार हल किया जाता है। बाईं ओर समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स द्वारा गुणा करें एक-1, मैट्रिक्स का व्युत्क्रम ए: . जहां तक कि ए -1 ए = ईऔर इ∙एक्स = एक्स, तो हम रूप में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त करते हैं एक्स = ए -1 बी .
ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के समान है. हालाँकि, सिस्टम का मैट्रिक्स नोटेशन उस स्थिति में भी संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर नहीं होती है, तो मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं है और इसलिए सिस्टम का समाधान फॉर्म में खोजना असंभव है एक्स = ए -1 बी.
उदाहरण।समीकरणों की प्रणालियों को हल करें।
क्रैमर का नियम
तीन अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें:
सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम के निर्धारक, यानी। अज्ञात पर गुणांक से बना,
बुलाया प्रणाली निर्धारक.
हम तीन और सारणिकों की रचना इस प्रकार करते हैं: हम निर्धारक D में क्रमिक रूप से 1, 2 और 3 स्तंभों को मुक्त पदों के एक स्तंभ से प्रतिस्थापित करते हैं
तब हम निम्नलिखित परिणाम को सिद्ध कर सकते हैं।
प्रमेय (क्रैमर का नियम)।यदि प्रणाली का निर्धारक 0 है, तो विचाराधीन प्रणाली का एक और केवल एक ही समाधान है, और
प्रमाण. तो, तीन अज्ञात के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें। सिस्टम के पहले समीकरण को बीजीय पूरक द्वारा गुणा करें ए 11तत्व एक 11, दूसरा समीकरण - पर ए21और तीसरा - पर ए 31:
आइए इन समीकरणों को जोड़ें:
इस समीकरण के प्रत्येक कोष्ठक और दाईं ओर पर विचार करें। पहले कॉलम के तत्वों के संदर्भ में निर्धारक के विस्तार पर प्रमेय द्वारा
इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि और .
अंत में, यह देखना आसान है कि 
इस प्रकार, हम समानता प्राप्त करते हैं:।
इसलिये, ।
समानताएं और समान रूप से व्युत्पन्न होती हैं, जहां से प्रमेय का अभिकथन इस प्रकार है।
इस प्रकार, हम देखते हैं कि यदि निकाय का सारणिक 0 है, तो निकाय का एक अद्वितीय हल है और इसके विपरीत। यदि निकाय का सारणिक शून्य के बराबर है, तो निकाय के पास या तो समाधानों का अनंत समुच्चय है या कोई समाधान नहीं है, अर्थात। असंगत
उदाहरण।समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें
गॉस विधि
पहले मानी गई विधियों का उपयोग केवल उन प्रणालियों को हल करने के लिए किया जा सकता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल खाती है, और सिस्टम का निर्धारक शून्य से भिन्न होना चाहिए। गाऊसी विधि अधिक सार्वभौमिक है और किसी भी संख्या में समीकरण वाले सिस्टम के लिए उपयुक्त है। इसमें सिस्टम के समीकरणों से अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन शामिल हैं।
तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली पर फिर से विचार करें:
.
हम पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, और दूसरे और तीसरे से हम शब्दों को शामिल नहीं करते हैं एक्स 1. ऐसा करने के लिए, हम दूसरे समीकरण को से विभाजित करते हैं ए 21 और गुणा करें - ए 11 और फिर 1 समीकरण के साथ जोड़ें। इसी तरह, हम तीसरे समीकरण को . में विभाजित करते हैं ए 31 और गुणा करें - ए 11 और फिर इसे पहले वाले में जोड़ें। परिणामस्वरूप, मूल प्रणाली का रूप ले लेगा:
अब, अंतिम समीकरण से, हम उस पद को समाप्त करते हैं जिसमें x2. ऐसा करने के लिए, तीसरे समीकरण को से विभाजित करें, गुणा करें और इसे दूसरे में जोड़ें। तब हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली होगी:
इसलिए अंतिम समीकरण से इसे खोजना आसान है एक्स 3, फिर दूसरे समीकरण से x2और अंत में 1 से - एक्स 1.
गाऊसी पद्धति का उपयोग करते समय, यदि आवश्यक हो तो समीकरणों को आपस में बदला जा सकता है।
अक्सर, समीकरणों की एक नई प्रणाली लिखने के बजाय, वे सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखने के लिए खुद को सीमित कर लेते हैं:
और फिर प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे त्रिकोणीय या विकर्ण रूप में लाएं।
सेवा प्राथमिक परिवर्तनमैट्रिक्स में निम्नलिखित परिवर्तन शामिल हैं:
- पंक्तियों या स्तंभों का क्रमपरिवर्तन;
- एक स्ट्रिंग को एक गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
- एक पंक्ति में अन्य पंक्तियों को जोड़ना।
उदाहरण:गॉस विधि का उपयोग करके समीकरणों के सिस्टम को हल करें।
इस प्रकार, सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं।
विचार करना रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली(धीमा) के बारे में एनअनजान एक्स 1 , एक्स 2 , ..., एक्स एन :
इस प्रणाली को "मुड़ा हुआ" रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
एस एन मैं = 1 ए आईजेयू एक्स जे = बी मैं , मैं = 1,2, ..., एन.
मैट्रिक्स गुणन के नियम के अनुसार, रैखिक समीकरणों की मानी गई प्रणाली को लिखा जा सकता है मैट्रिक्स फॉर्म कुल्हाड़ी = बी, कहाँ पे
,
,.
आव्यूह ए, जिनके स्तंभ संगत अज्ञात के लिए गुणांक हैं, और पंक्तियाँ संगत समीकरण में अज्ञात के लिए गुणांक कहलाती हैं सिस्टम मैट्रिक्स. कॉलम मैट्रिक्स बी, जिनके तत्व प्रणाली के समीकरणों के सही हिस्से हैं, उन्हें सही भाग का मैट्रिक्स कहा जाता है या बस सिस्टम का दाहिना भाग. कॉलम मैट्रिक्स एक्स , जिनके तत्व अज्ञात अज्ञात हैं, कहलाते हैं सिस्टम समाधान.
रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के रूप में लिखा गया है कुल्हाड़ी = बी, एक मैट्रिक्स समीकरण.
यदि सिस्टम का मैट्रिक्स गैर पतित, तो इसका उलटा मैट्रिक्स होता है, और फिर सिस्टम का समाधान होता है कुल्हाड़ी = बीसूत्र द्वारा दिया गया है:
एक्स = ए -1 बी.
उदाहरणसिस्टम को हल करें 
मैट्रिक्स विधि।
फेसलासिस्टम के गुणांक मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजें
पहली पंक्ति में विस्तार करके निर्धारक की गणना करें:
जहां तक कि Δ ≠ 0 , तब ए -1 मौजूद।
उलटा मैट्रिक्स सही ढंग से पाया जाता है।
आइए इस प्रणाली का समाधान खोजें 
इसलिये, एक्स 1 = 1, एक्स 2 = 2, x 3 = 3 .
इंतिहान: 
7. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली की संगतता पर क्रोनकर-कैपेली प्रमेय।
रैखिक समीकरणों की प्रणालीकी तरह लगता है:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m।
यहाँ a i j और b i (i = ; j = ) दिए गए हैं, और x j अज्ञात वास्तविक संख्याएँ हैं। मैट्रिक्स के उत्पाद की अवधारणा का उपयोग करके, हम सिस्टम (5.1) को इस रूप में फिर से लिख सकते हैं:
जहाँ A = (a i j) सिस्टम के अज्ञात के गुणांकों (5.1) से मिलकर बना मैट्रिक्स है, जिसे कहा जाता है सिस्टम मैट्रिक्स, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T-स्तंभ सदिश क्रमशः अज्ञात x j और मुक्त पदों b i से बना है।
आदेश दिया संग्रह एनवास्तविक संख्याएँ (c 1, c 2,..., c n) कहलाती हैं सिस्टम समाधान(5.1) यदि संगत चरों के स्थान पर इन संख्याओं के प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप x 1 , x 2 ,..., x n प्रणाली का प्रत्येक समीकरण एक अंकगणितीय पहचान में बदल जाता है; दूसरे शब्दों में, यदि कोई सदिश C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T मौजूद है तो AC B।
प्रणाली (5.1) कहलाती है संयुक्त,या व्याख्या करने योग्यअगर इसका कम से कम एक समाधान है। सिस्टम कहा जाता है असंगत,या अघुलनशीलअगर इसका कोई समाधान नहीं है।
,
मैट्रिक्स A को दायीं ओर मुक्त पदों का एक कॉलम निर्दिष्ट करके बनाया गया है, कहलाता है विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली
प्रणाली की अनुकूलता का प्रश्न (5.1) निम्नलिखित प्रमेय द्वारा हल किया गया है।
क्रोनकर-कैपेली प्रमेय . रैखिक समीकरणों की प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि आव्यूह A और A की रैंक मेल खाती है, अर्थात। आर (ए) = आर (ए) = आर।
सिस्टम के समाधान के सेट एम (5.1) के लिए, तीन संभावनाएं हैं:
1) एम = (इस मामले में सिस्टम असंगत है);
2) एम में एक तत्व होता है, यानी। सिस्टम का एक अनूठा समाधान है (इस मामले में सिस्टम को कहा जाता है निश्चित);
3) M में एक से अधिक तत्व होते हैं (तब प्रणाली को कहा जाता है ढुलमुल) तीसरे मामले में, सिस्टम (5.1) में अनंत समाधान हैं।
सिस्टम का एक अनूठा समाधान केवल तभी होता है जब r(A) = n। इस मामले में, समीकरणों की संख्या अज्ञात (mn) की संख्या से कम नहीं है; यदि m>n, तो m-n समीकरण शेष के परिणाम हैं। अगर 0 रैखिक समीकरणों की एक मनमानी प्रणाली को हल करने के लिए, किसी को उन प्रणालियों को हल करने में सक्षम होना चाहिए जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है, तथाकथित क्रैमर टाइप सिस्टम: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 , a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 , (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n। सिस्टम (5.3) को निम्न में से किसी एक तरीके से हल किया जाता है: 1) गॉस विधि द्वारा, या अज्ञात को समाप्त करने की विधि द्वारा; 2) क्रैमर के सूत्रों के अनुसार; 3) मैट्रिक्स विधि द्वारा। उदाहरण 2.12. समीकरणों की प्रणाली की जांच करें और अगर यह संगत है तो इसे हल करें: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1 x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. फेसला।हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं:
आइए हम सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के रैंक की गणना करें। जाहिर है, उदाहरण के लिए, ऊपरी बाएं कोने में दूसरा क्रम नाबालिग = 7 0; इसमें शामिल तीसरे क्रम के नाबालिग शून्य के बराबर हैं: इसलिए, सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स की रैंक 2 है, अर्थात। r(A) = 2. विस्तारित मैट्रिक्स A के रैंक की गणना करने के लिए, सीमावर्ती नाबालिग . पर विचार करें इसलिए, विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक r(A) = 3 है। चूंकि r(A) r(A), सिस्टम असंगत है। (कभी-कभी इस विधि को मैट्रिक्स विधि या व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि भी कहा जाता है) को SLAE लिखने के मैट्रिक्स रूप जैसी अवधारणा से पूर्व परिचित होने की आवश्यकता होती है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि रैखिक बीजीय समीकरणों की उन प्रणालियों को हल करने के लिए अभिप्रेत है जिनके लिए सिस्टम मैट्रिक्स निर्धारक गैर-शून्य है। स्वाभाविक रूप से, इसका तात्पर्य है कि प्रणाली का मैट्रिक्स वर्ग है (निर्धारक की अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद है)। व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि का सार तीन बिंदुओं में व्यक्त किया जा सकता है: किसी भी SLAE को मैट्रिक्स रूप में $A\cdot X=B$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहां $A$ सिस्टम का मैट्रिक्स है, $B$ मुक्त शर्तों का मैट्रिक्स है, $X$ अज्ञात का मैट्रिक्स है। मान लीजिए मैट्रिक्स $A^(-1)$ मौजूद है। समानता के दोनों पक्षों को गुणा करें $A\cdot X=B$ बाईं ओर मैट्रिक्स $A^(-1)$ से: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ चूँकि $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ पहचान मैट्रिक्स है), तो ऊपर लिखी गई समानता बन जाती है: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ चूंकि $E\cdot X=X$, तब: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ उदाहरण 1 SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ को व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके हल करें। $$ ए = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसी) -5 और 7 \\ 9 और 8 \ अंत (सरणी) \ दाएं); \; बी = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सी) 29 \\ -11 \ अंत (सरणी) \ दाएं); \; एक्स = \ बाएं (\ प्रारंभ (सरणी) (सी) x_1 \\ x_2 \ अंत (सरणी) \ दाएं)। $$ आइए सिस्टम के मैट्रिक्स में उलटा मैट्रिक्स खोजें, यानी। $A^(-1)$ की गणना करें। उदाहरण #2 $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$ अब सभी तीन मैट्रिक्स ($X$, $A^(-1)$, $B$) को समीकरण $X=A^(-1)\cdot B$ में बदलें। फिर हम मैट्रिक्स गुणन करते हैं $$ \ बाएँ (\ शुरू (सरणी) (सी) x_1 \\ x_2 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) = - \ frac (1) (103) \ cdot \ बाएँ (\ start (सरणी) (सीसी) 8 और -7\\ -9 और -5\end(सरणी)\दाएं)\cdot \बाएं(\शुरू(सरणी) (सी) 29\\ -11 \end(सरणी)\दाएं)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(सरणी)\दाएं)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \ start (सरणी) (सी) -3 \\ 2 \ अंत (सरणी) \ दाएं)। $$ तो हमें $\बाएं(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array )\ सही) $। इस समानता से हमारे पास है: $x_1=-3$, $x_2=2$। जवाब: $x_1=-3$, $x_2=2$। उदाहरण #2 SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6 को हल करें। \end(aligned)\right .$ व्युत्क्रम मैट्रिक्स विधि द्वारा। आइए हम सिस्टम $A$ के मैट्रिक्स, मुक्त शर्तों के मैट्रिक्स $B$ और अज्ञात $X$ के मैट्रिक्स को लिखें। $$ ए = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 1 और 7 और 3 \\ -4 और 9 और 4 \\ 0 और 3 और 2 \ अंत (सरणी) \ दाएं); \; बी = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सी) -1 \\ 0 \\ 6 \ अंत (सरणी) \ दाएं); \; एक्स=\बाएं(\शुरू(सरणी) (सी) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(सरणी)\दाएं)। $$ अब सिस्टम मैट्रिक्स के व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने का समय आ गया है, अर्थात। $A^(-1)$ खोजें। उदाहरण #3 में व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए समर्पित पृष्ठ पर, व्युत्क्रम मैट्रिक्स पहले ही मिल चुका है। आइए तैयार परिणाम का उपयोग करें और $A^(-1)$ लिखें: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 और 37\अंत (सरणी)\दाएं)। $$ अब हम सभी तीन मैट्रिक्स ($X$, $A^(-1)$, $B$) को समानता $X=A^(-1)\cdot B$ में प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके बाद हम दाईं ओर मैट्रिक्स गुणन करते हैं इस समानता का पक्ष। $$ \ बाएँ (\ शुरू (सरणी) (सी) x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) = \ frac (1) (26) \ cdot \ बाएँ (\ start (सरणी) (ccc) 6 और -5 और 1 \\ 8 और 2 और -16 \\ -12 और -3 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) \ cdot \ बाएँ (\ शुरू (सरणी) (सी) -1 \\ 0 \ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(सरणी)\दाएं)=\frac(1)(26)\cdot \बाएं(\शुरू(सरणी) (सी) 0\\-104\\234\अंत (सरणी)\दाएं)=\बाएं( \शुरू (सरणी) (सी) 0\\-4\\9\अंत (सरणी)\दाएं) $$ तो हमें $\बाएं(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 मिला \ अंत (सरणी) \ दाएं) $। इस समानता से हमारे पास है: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$।
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