इस पाठ में, हम सीखेंगे कि वर्ग त्रिपदों को रैखिक गुणनखंडों में कैसे विघटित किया जाता है। इसके लिए विएटा के प्रमेय और उसके प्रतिलोम को याद करना आवश्यक है। यह कौशल हमें वर्ग ट्रिनोमियल्स को रैखिक कारकों में जल्दी और आसानी से विघटित करने में मदद करेगा, और भावों से युक्त अंशों की कमी को भी सरल करेगा।

तो वापस द्विघात समीकरण पर, जहां।

हमारे पास बाईं ओर जो है वह वर्ग त्रिपद कहलाता है।

प्रमेय सत्य है:यदि एक वर्ग त्रिपद के मूल हैं, तो सर्वसमिका सत्य है

अग्रणी गुणांक कहाँ है, समीकरण के मूल हैं।

तो, हमारे पास एक द्विघात समीकरण है - एक वर्ग त्रिपद, जहां द्विघात समीकरण की जड़ों को द्विघात त्रिपद की जड़ें भी कहा जाता है। इसलिए, यदि हमारे पास एक वर्ग ट्रिनोमियल की जड़ें हैं, तो यह ट्रिनोमियल रैखिक कारकों में विघटित हो जाता है।

प्रमाण:

इस तथ्य का प्रमाण वियत प्रमेय का उपयोग करके किया जाता है, जिसे हमने पिछले पाठों में माना था।

आइए याद करें कि विएटा का प्रमेय हमें क्या बताता है:

यदि एक वर्ग त्रिपद के मूल हैं जिसके लिए , तो .

इस प्रमेय का तात्पर्य निम्नलिखित अभिकथन से है कि .

हम देखते हैं कि, विएटा प्रमेय के अनुसार, अर्थात, इन मानों को उपरोक्त सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है

क्यू.ई.डी.

याद कीजिए कि हमने इस प्रमेय को सिद्ध कर दिया था कि यदि एक वर्ग त्रिपद के मूल हैं, तो अपघटन मान्य है।

अब हम द्विघात समीकरण का एक उदाहरण याद करते हैं, जिसके लिए हमने वियत प्रमेय का उपयोग करके मूलों का चयन किया था। इस तथ्य से हम सिद्ध प्रमेय के लिए निम्नलिखित समानता प्राप्त कर सकते हैं:

आइए अब केवल कोष्ठकों का विस्तार करके इस तथ्य की सत्यता की जाँच करें:

हम देखते हैं कि हमने सही ढंग से फ़ैक्टर किया है, और किसी भी ट्रिनोमियल, यदि इसकी जड़ें हैं, तो इस प्रमेय के अनुसार सूत्र के अनुसार रैखिक कारकों में फैक्टर किया जा सकता है

हालांकि, आइए देखें कि क्या किसी समीकरण के लिए ऐसा गुणनखंड संभव है:

आइए उदाहरण के लिए समीकरण लें। सबसे पहले, आइए विवेचक के संकेत की जाँच करें

और हमें याद है कि हमने जो प्रमेय सीखा है उसे पूरा करने के लिए, डी 0 से बड़ा होना चाहिए, इसलिए में इस मामले मेंअध्ययनित प्रमेय द्वारा गुणनखंडन असंभव है।

इसलिए, हम एक नया प्रमेय तैयार करते हैं: यदि एक वर्ग त्रिपद का कोई मूल नहीं है, तो इसे रैखिक कारकों में विघटित नहीं किया जा सकता है।

इसलिए, हमने वियत प्रमेय पर विचार किया है, एक वर्ग ट्रिनोमियल को रैखिक कारकों में विघटित करने की संभावना, और अब हम कई समस्याओं को हल करेंगे।

कार्य 1

इस समूह में, हम वास्तव में सामने आई समस्या के विपरीत हल करेंगे। हमारे पास एक समीकरण था, और हमने इसकी जड़ों को कारकों में विघटित कर पाया। यहां हम इसके विपरीत करेंगे। मान लीजिए कि हमारे पास द्विघात समीकरण की जड़ें हैं

उलटा समस्या यह है: एक द्विघात समीकरण लिखें ताकि इसकी जड़ें हों।

इस समस्या को हल करने के 2 तरीके हैं।

चूँकि समीकरण के मूल हैं, तब एक द्विघात समीकरण है जिसके मूलों को संख्याएँ दी गई हैं। अब कोष्ठक खोलते हैं और जाँचते हैं:

यह पहला तरीका था जब हमने दिए गए जड़ों के साथ एक द्विघात समीकरण बनाया, जिसमें कोई अन्य जड़ें नहीं हैं, क्योंकि किसी भी द्विघात समीकरण में अधिकतम दो जड़ें होती हैं।

इस विधि में व्युत्क्रम वियत प्रमेय का उपयोग शामिल है।

यदि समीकरण के मूल हैं, तो वे इस शर्त को पूरा करते हैं कि .

कम द्विघात समीकरण के लिए , , यानी इस मामले में , और .

इस प्रकार, हमने एक द्विघात समीकरण बनाया है जिसमें दिए गए मूल हैं।

कार्य #2

आपको अंश को कम करने की आवश्यकता है।

हमारे पास अंश में एक त्रिपद और हर में एक त्रिपद है, और त्रिपदों को गुणनखंडित किया जा सकता है या नहीं भी किया जा सकता है। यदि अंश और हर दोनों को गुणनखंडित किया जाता है, तो उनमें समान गुणनखंड हो सकते हैं जिन्हें कम किया जा सकता है।

सबसे पहले, अंश को गुणनखंड करना आवश्यक है।

सबसे पहले, आपको यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या इस समीकरण को गुणनखंडित किया जा सकता है, विभेदक का पता लगाएं। चूँकि, तब चिन्ह गुणनफल पर निर्भर करता है (0 से कम होना चाहिए), इस उदाहरण में, अर्थात्, दिए गए समीकरण के मूल हैं।

हल करने के लिए, हम Vieta प्रमेय का उपयोग करते हैं:

इस मामले में, चूंकि हम जड़ों के साथ काम कर रहे हैं, इसलिए केवल जड़ों को उठाना काफी मुश्किल होगा। लेकिन हम देखते हैं कि गुणांक संतुलित हैं, अर्थात यदि हम यह मान लेते हैं, और इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, तो निम्न प्रणाली प्राप्त होती है: अर्थात 5-5 = 0। इस प्रकार, हमने इस द्विघात समीकरण की जड़ों में से एक को चुना है।

हम समीकरणों के निकाय में जो पहले से ज्ञात है उसे प्रतिस्थापित करके हम दूसरे मूल की तलाश करेंगे, उदाहरण के लिए, अर्थात्। .

इस प्रकार, हमने द्विघात समीकरण की दोनों जड़ों को पाया है और उनके मूल्यों को मूल समीकरण में बदलने के लिए इसे बदल सकते हैं:

मूल समस्या को याद करें, हमें भिन्न को कम करने की आवश्यकता थी।

आइए अंश के स्थान पर प्रतिस्थापित करके समस्या को हल करने का प्रयास करें।

यह नहीं भूलना आवश्यक है कि इस मामले में भाजक 0 के बराबर नहीं हो सकता है, अर्थात।

यदि ये शर्तें पूरी होती हैं, तो हमने मूल भिन्न को रूप में घटा दिया है।

कार्य #3 (पैरामीटर के साथ कार्य)

पैरामीटर के किन मूल्यों पर द्विघात समीकरण की जड़ों का योग है

यदि इस समीकरण के मूल मौजूद हैं, तो , सवाल यह है कि कब .

वर्ग ट्रिनोमियल्स का गुणनखंड स्कूल असाइनमेंट में से एक है जिसका सामना हर किसी को जल्दी या बाद में करना पड़ता है। यह कैसे करना है? एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड का सूत्र क्या है? आइए उदाहरणों के साथ इसे चरण दर चरण समझते हैं।

सामान्य सूत्र

वर्ग त्रिपदों का गुणन एक द्विघात समीकरण को हल करके किया जाता है। यह एक सरल कार्य है जिसे कई विधियों द्वारा हल किया जा सकता है - विवेचक को ढूंढकर, विएटा प्रमेय का उपयोग करके, इसे हल करने का एक चित्रमय तरीका भी है। हाई स्कूल में पहले दो तरीकों का अध्ययन किया जाता है।

सामान्य सूत्र इस तरह दिखता है:एलएक्स 2 + केएक्स + एन = एल (एक्स-एक्स 1) (एक्स-एक्स 2) (1)

कार्य निष्पादन एल्गोरिदम

वर्ग त्रिपदों को गुणनखंडित करने के लिए, आपको विट के प्रमेय को जानने की जरूरत है, हाथ में हल करने के लिए एक कार्यक्रम है, ग्राफिक रूप से समाधान खोजने में सक्षम होना चाहिए या विभेदक सूत्र के माध्यम से दूसरी डिग्री के समीकरण की जड़ों की तलाश करना चाहिए। यदि एक वर्ग ट्रिनोमियल दिया गया है और इसे फैक्टर किया जाना चाहिए, तो क्रियाओं का एल्गोरिथम इस प्रकार है:

1) समीकरण प्राप्त करने के लिए मूल व्यंजक को शून्य से बराबर करें।

2) समान शब्द दें (यदि आवश्यक हो)।

3) किसी ज्ञात विधि से मूल ज्ञात कीजिए। चित्रमय विधि का सबसे अच्छा उपयोग किया जाता है यदि यह पहले से ज्ञात हो कि मूल पूर्णांक और छोटी संख्याएँ हैं। यह याद रखना चाहिए कि जड़ों की संख्या समीकरण की अधिकतम डिग्री के बराबर होती है, अर्थात द्विघात समीकरण के दो मूल होते हैं।

4) स्थानापन्न मूल्य एक्सअभिव्यक्ति में (1)।

5) वर्ग त्रिपदों का गुणनखंडन लिखिए।

उदाहरण

अभ्यास आपको अंततः यह समझने की अनुमति देता है कि यह कार्य कैसे किया जाता है। उदाहरण एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड को दर्शाते हैं:

आपको अभिव्यक्ति का विस्तार करने की आवश्यकता है:

आइए हमारे एल्गोरिथ्म का उपयोग करें:

1) एक्स 2 -17x+32=0

2) समान शब्द कम हो जाते हैं

3) विएटा सूत्र के अनुसार, इस उदाहरण के लिए जड़ों को खोजना मुश्किल है, इसलिए विवेचक के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करना बेहतर है:

डी=289-128=161=(12.69) 2

4) अपघटन के लिए मुख्य सूत्र में पाए गए जड़ों को प्रतिस्थापित करें:

(एक्स-2.155) * (एक्स-14.845)

5) तो उत्तर होगा:

x 2 -17x + 32 \u003d (x-2.155) (x-14.845)

आइए देखें कि क्या विवेचक द्वारा पाए गए समाधान विएटा फ़ार्मुलों के अनुरूप हैं:

14,845 . 2,155=32

इन जड़ों के लिए विएटा प्रमेय लागू किया जाता है, वे सही पाए गए, जिसका अर्थ है कि हमने जो गुणनखंड प्राप्त किया है वह भी सही है।

इसी तरह, हम 12x 2 + 7x-6 का विस्तार करते हैं।

x 1 \u003d -7 + (337) 1/2

x 2 \u003d -7- (337) 1/2

पिछले मामले में, समाधान गैर-पूर्णांक थे, लेकिन वास्तविक संख्याएं, जो आपके सामने एक कैलकुलेटर के साथ खोजना आसान है। अब एक अधिक जटिल उदाहरण पर विचार करें जिसमें मूल जटिल हैं: x 2 + 4x + 9 का गुणनखंड करें। वियत सूत्र के अनुसार, जड़ें नहीं मिल सकतीं, और विवेचक नकारात्मक है। जड़ें जटिल तल पर होंगी।

डी = -20

इसके आधार पर, हमें वे जड़ें मिलती हैं जिनमें हम रुचि रखते हैं -4 + 2i * 5 1/2 और -4-2i * 5 1/2 क्योंकि (-20) 1/2 = 2i*5 1/2।

हम जड़ों को सामान्य सूत्र में प्रतिस्थापित करके वांछित विस्तार प्राप्त करते हैं।

एक अन्य उदाहरण: आपको व्यंजक 23x 2 -14x + 7 का गुणनखंड करना होगा।

हमारे पास समीकरण है 23x 2 -14x+7 =0

डी = -448

तो जड़ें हैं 14+21,166i और 14-21,166i। उत्तर होगा:

23x 2 -14x+7 =23(x- 14-21,166i )*(एक्स- 14+21.166आई ).

आइए एक उदाहरण देते हैं जिसे विवेचक की सहायता के बिना हल किया जा सकता है।

मान लें कि द्विघात समीकरण x 2 -32x + 255 को विघटित करना आवश्यक है। जाहिर है, इसे विवेचक द्वारा भी हल किया जा सकता है, लेकिन इस मामले में जड़ों को खोजना तेज है।

एक्स 1 =15

x2=17

माध्यम x 2 -32x + 255 =(x-15)(x-17)।

ऑनलाइन कैलकुलेटर।
द्विपद के वर्ग का चयन और वर्ग त्रिपद का गुणनखंड।

यह गणित कार्यक्रम द्विपद के वर्ग को वर्ग त्रिपद से निकालता है, अर्थात। रूप का परिवर्तन करता है:
\(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q \) and वर्ग त्रिपद का गुणनखंड करता है: \(ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) \)

वे। संख्याओं \(p, q \) और \(n, m \) को खोजने में समस्याएं कम हो जाती हैं

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान प्रक्रिया को भी प्रदर्शित करता है।

गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए माता-पिता के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण करते समय, परीक्षण और परीक्षा की तैयारी में हाई स्कूल के छात्रों के लिए यह कार्यक्रम उपयोगी हो सकता है। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह आप अपने छोटे भाइयों या बहनों के प्रशिक्षण और/या प्रशिक्षण का संचालन स्वयं कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

यदि आप वर्ग त्रिपद में प्रवेश करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप उनसे परिचित हों।

वर्ग बहुपद में प्रवेश करने के नियम

कोई भी लैटिन अक्षर एक चर के रूप में कार्य कर सकता है।
उदाहरण के लिए: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।

संख्याओं को पूर्णांक या भिन्न के रूप में दर्ज किया जा सकता है।
इसके अलावा, भिन्नात्मक संख्याओं को न केवल दशमलव के रूप में, बल्कि एक साधारण भिन्न के रूप में भी दर्ज किया जा सकता है।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में, भिन्नात्मक भाग को एक बिंदु या अल्पविराम द्वारा पूर्णांक से अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप इस तरह दशमलव दर्ज कर सकते हैं: 2.5x - 3.5x^2

साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
केवल एक पूर्ण संख्या भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।

एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से हर से अलग किया जाता है: /
पूर्णांक भाग को एम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट: 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
परिणाम: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2 \)

व्यंजक दर्ज करते समय आप कोष्ठक का उपयोग कर सकते हैं. इस मामले में, हल करते समय, प्रस्तुत अभिव्यक्ति को पहले सरल बनाया जाता है।
उदाहरण के लिए: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

विस्तृत समाधान उदाहरण

द्विपद के वर्ग का चयन।$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\बाएं(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ जवाब:$$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ गुणनखंडन।$$ ax^2+bx+c \rightarrow a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\बाएं(x^2+x-2 \right) = $$
$$ 2 \बाएं(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \ दाएँ) = $$ $$ 2 \ बाएँ (x -1 \ दाएँ) \ बाएँ (x +2 \ दाएँ) $$ जवाब:$$2x^2+2x-4 = 2 \ बाएँ (x -1 \ दाएँ) \ बाएँ (x +2 \ दाएँ) $$

निर्णय करना

यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं हुईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
आपके पास एडब्लॉक सक्षम हो सकता है।
इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

आपके ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट अक्षम है।
समाधान के प्रकट होने के लिए जावास्क्रिप्ट सक्षम होना चाहिए।
अपने ब्राउज़र में जावास्क्रिप्ट को कैसे सक्षम करें, इस पर निर्देश यहां दिए गए हैं।

क्योंकि बहुत सारे लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड...

अगर तुम समाधान में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:

थोड़ा सिद्धांत।

एक वर्ग त्रिपद से एक वर्ग द्विपद का निष्कर्षण

यदि वर्ग त्रिपद ax 2 + bx + c को a (x + p) 2 + q के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ p और q वास्तविक संख्याएँ हैं, तो वे कहते हैं कि वर्ग ट्रिनोमियल, द्विपद का वर्ग हाइलाइट किया गया है.

आइए त्रिपद 2x 2 +12x+14 से द्विपद का वर्ग निकालें।

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

ऐसा करने के लिए, हम 2 * 3 * x के गुणनफल के रूप में 6x का प्रतिनिधित्व करते हैं, और फिर 3 2 को जोड़ते और घटाते हैं। हम पाते हैं:
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$ $$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

उस। हम वर्ग त्रिपद से द्विपद का वर्ग चुना गया, और दिखाया कि:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड

यदि वर्ग त्रिपद ax 2 +bx+c को a(x+n)(x+m) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां n और m वास्तविक संख्याएं हैं, तो संक्रिया को निष्पादित कहा जाता है एक वर्ग त्रिपद के गुणनखंड.

आइए एक उदाहरण का उपयोग यह दिखाने के लिए करें कि यह परिवर्तन कैसे किया जाता है।

आइए वर्ग त्रिपद 2x 2 +4x-6 का गुणनखंड करें।

आइए हम गुणांक को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं, अर्थात। 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

आइए व्यंजक को कोष्ठकों में रूपांतरित करें।
ऐसा करने के लिए, हम 2x को 3x-1x के अंतर के रूप में और -3 को -1*3 के रूप में दर्शाते हैं। हम पाते हैं:
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

उस। हम वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन करें, और दिखाया कि:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

ध्यान दें कि एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन तभी संभव है जब इस त्रिपद के संगत द्विघात समीकरण के मूल हों।
वे। हमारे मामले में, त्रिपद 2x 2 +4x-6 का गुणनखंड करना संभव है यदि द्विघात समीकरण 2x 2 +4x-6 =0 के मूल हैं। फैक्टरिंग की प्रक्रिया में, हमने पाया कि समीकरण 2x 2 +4x-6 \u003d 0 के दो मूल 1 और -3 हैं, क्योंकि इन मानों के साथ, समीकरण 2(x-1)(x+3)=0 एक वास्तविक समानता में बदल जाता है।

किताबें (पाठ्यपुस्तकें) एकीकृत राज्य परीक्षा और ओजीई परीक्षणों के सार ऑनलाइन खेल, पहेली कार्यों का रेखांकन रूसी भाषा का वर्तनी शब्दकोश यूथ स्लैंग का शब्दकोश रूसी स्कूलों की सूची रूस में माध्यमिक विद्यालयों की सूची रूसी विश्वविद्यालयों की सूची रूसी विश्वविद्यालयों की सूची कार्यों की सूची

एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडसमस्या C3 या पैरामीटर C5 के साथ समस्या से असमानताओं को हल करते समय उपयोगी हो सकता है। साथ ही, यदि आप Vieta के प्रमेय को जानते हैं, तो कई B13 शब्द समस्याएँ बहुत तेज़ी से हल हो जाएँगी।

यह प्रमेय, निश्चित रूप से, 8 वीं कक्षा के दृष्टिकोण से माना जा सकता है, जिसमें इसे पहली बार पास किया गया है। लेकिन हमारा काम परीक्षा के लिए अच्छी तैयारी करना और परीक्षा कार्यों को यथासंभव कुशलता से हल करना सीखना है। इसलिए, इस पाठ में, दृष्टिकोण स्कूल एक से थोड़ा अलग है।

वीटा के प्रमेय के अनुसार समीकरण की जड़ों का सूत्रजानिए (या कम से कम देखा है) बहुत से:

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

जहां `a, b` तथा `c` वर्ग त्रिपद के गुणांक हैं `ax^2+bx+c`।

यह जानने के लिए कि प्रमेय का आसानी से उपयोग कैसे किया जाता है, आइए समझते हैं कि यह कहाँ से आता है (इस तरह से याद रखना वास्तव में आसान होगा)।

आइए हम समीकरण लें `ax^2+ bx+ c = 0`। अधिक सुविधा के लिए, हम इसे `a` से विभाजित करते हैं और `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0` प्राप्त करते हैं। ऐसा समीकरण कम द्विघात समीकरण कहलाता है।

महत्वपूर्ण सबक बिंदु: कोई भी वर्ग बहुपद जिसमें जड़ें हों, को कोष्ठक में विघटित किया जा सकता है।मान लीजिए कि हमारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, कहा पे `k` तथा ` l` - कुछ स्थिरांक।

आइए देखें कि कोष्ठक कैसे खुलते हैं:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

इस प्रकार, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`।

यह शास्त्रीय व्याख्या से थोड़ा अलग है विएटा के प्रमेय- इसमें हम समीकरण की जड़ों की तलाश कर रहे हैं। मैं इसके लिए शर्तों की तलाश करने का प्रस्ताव करता हूं ब्रैकेट विस्तार- इसलिए आपको सूत्र से ऋण के बारे में याद रखने की आवश्यकता नहीं है (अर्थात् `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`)। यह दो ऐसी संख्याओं को चुनने के लिए पर्याप्त है, जिनका योग औसत गुणांक के बराबर है, और उत्पाद मुक्त अवधि के बराबर है।

यदि हमें समीकरण के समाधान की आवश्यकता है, तो यह स्पष्ट है: जड़ें `x=-k` या `x=-l` (चूंकि इन मामलों में कोष्ठकों में से एक को शून्य पर सेट किया जाएगा, जिसका अर्थ है कि संपूर्ण व्यंजक शून्य के बराबर होगा)।

उदाहरण के लिए, मैं एल्गोरिदम दिखाऊंगा, एक वर्ग बहुपद को कोष्ठक में कैसे विघटित करें।

उदाहरण एक। एक वर्ग ट्रिनोमियल फैक्टरिंग के लिए एल्गोरिदम

हमारे पास जो पथ है वह वर्ग त्रिपद है `x^2+5x+4`।

इसे घटाया जाता है ('x^2' का गुणांक एक के बराबर होता है)। उसकी जड़ें हैं। (सुनिश्चित करने के लिए, आप विवेचक का अनुमान लगा सकते हैं और सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह शून्य से अधिक है।)

आगे के कदम (उन्हें सभी प्रशिक्षण कार्यों को पूरा करके सीखने की जरूरत है):

1. निम्नलिखित नोटेशन करें: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ डॉट्स के बजाय खाली जगह छोड़ दें, हम वहां उचित संख्याएं और संकेत जोड़ देंगे।
2. सभी देखें संभावित विकल्प, आप संख्या `4` को दो संख्याओं के गुणनफल में कैसे विघटित कर सकते हैं। हमें समीकरण की जड़ों के लिए "उम्मीदवारों" के जोड़े मिलते हैं: `2, 2` और `1, 4`।
3. अनुमान लगाएं कि आप किस जोड़ी से औसत गुणांक प्राप्त कर सकते हैं। जाहिर है यह `1, 4` है।
4. $$x^2+5x+4=(x \quad 4)(x \quad 1)$$ लिखें।
5. अगला कदम सम्मिलित संख्याओं के सामने चिह्न लगाना है।

   कैसे समझें और हमेशा याद रखें कि कोष्ठक में संख्याओं के सामने कौन से चिन्ह होने चाहिए? उन्हें (कोष्ठक) विस्तारित करने का प्रयास करें। पहली शक्ति के लिए `x` से पहले का गुणांक `(± 4 ± 1)` होगा (हम अभी तक संकेतों को नहीं जानते हैं - हमें चुनने की जरूरत है), और यह `5` के बराबर होना चाहिए। जाहिर है, यहां दो प्लस होंगे $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$।

   इस ऑपरेशन को कई बार करें (नमस्ते, प्रशिक्षण कार्य!) और इससे अधिक समस्याएं कभी नहीं होंगी।

यदि आपको समीकरण `x^2+5x+4` को हल करना है, तो अब इसका समाधान मुश्किल नहीं है। इसकी जड़ें `-4, -1` हैं।

दूसरा उदाहरण। विभिन्न संकेतों के गुणांक के साथ एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंडन

आइए हमें समीकरण को हल करने की आवश्यकता है `x^2-x-2=0`। ऑफहैंड, विवेचक सकारात्मक है।

हम एल्गोरिथ्म का पालन करते हैं।

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 2: `2 · 1` का केवल एक पूर्णांक गुणनखंड है।
3. हम बिंदु को छोड़ देते हैं - चुनने के लिए कुछ भी नहीं है।
4. $$x^2-x-2=(x \quad 2) (x \quad 1)।$$
5. हमारी संख्याओं का गुणनफल ऋणात्मक है (`-2` एक मुक्त पद है), जिसका अर्थ है कि उनमें से एक ऋणात्मक और दूसरा धनात्मक होगा।
   चूँकि उनका योग `-1` (`x` का गुणांक) के बराबर है, तो `2` ऋणात्मक होगा (सहज व्याख्या - दो दो संख्याओं में से बड़ा है, यह नकारात्मक दिशा में अधिक "खींचेगा")। हमें $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1) मिलता है।$$

तीसरा उदाहरण। एक वर्ग त्रिपद का गुणनखंड

समीकरण `x^2+5x -84 = 0`।

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. 84 का पूर्णांक कारकों में अपघटन: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`।
3. चूँकि हमें संख्याओं का अंतर (या योग) 5 होने की आवश्यकता है, युग्म `7, 12` करेगा।
4. $$x+ 5x-84=(x\quad 12) (x \quad 7)।$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7)।$$

आशा, इस वर्ग ट्रिनोमियल का कोष्ठक में अपघटनसमझा जा सकता है।

यदि आपको समीकरण के हल की आवश्यकता है, तो यह यहाँ है: `12, -7`।

प्रशिक्षण के लिए कार्य

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं जिन्हें करना आसान है Vieta के प्रमेय का उपयोग करके हल किया जाता है।(गणित, 2002 से लिए गए उदाहरण।)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

लेख लिखे जाने के कुछ साल बाद, विएटा प्रमेय का उपयोग करके एक द्विघात बहुपद के विस्तार के लिए 150 कार्यों का एक संग्रह दिखाई दिया।

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बहुपदों के गुणनखंडन के 8 उदाहरण दिए गए हैं। इनमें द्विघात और द्विघात समीकरणों को हल करने वाले उदाहरण, आवर्तक बहुपद वाले उदाहरण और तृतीय और चतुर्थ डिग्री बहुपदों के पूर्णांक मूल खोजने वाले उदाहरण शामिल हैं।

1. द्विघात समीकरण के हल के उदाहरण

उदाहरण 1.1

एक्स 4 + x 3 - 6 x 2.

फेसला

एक्स निकालें 2 कोष्ठक के लिए:
.
2 + एक्स - 6 = 0:
.
समीकरण जड़ें:
, .

.

जवाब

उदाहरण 1.2

तृतीय-डिग्री बहुपद का गुणनखंडन:
एक्स 3 + 6 x 2 + 9 x.

फेसला

हम कोष्ठक से x निकालते हैं:
.
हम द्विघात समीकरण x . को हल करते हैं 2 + 6 x + 9 = 0:
इसके भेदक है।
चूँकि विवेचक शून्य के बराबर है, समीकरण के मूल गुणज हैं: ;
.

यहाँ से हम बहुपद का अपघटन कारकों में प्राप्त करते हैं:
.

जवाब

उदाहरण 1.3

पांचवीं डिग्री बहुपद का गुणन:
एक्स 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

फेसला

एक्स निकालें 3 कोष्ठक के लिए:
.
हम द्विघात समीकरण x . को हल करते हैं 2 - 2 x + 10 = 0.
इसके भेदक है।
चूंकि विवेचक शून्य से कम है, इसलिए समीकरण के मूल जटिल हैं: ;
, .

बहुपद के गुणनखंड का रूप है:
.

यदि हम वास्तविक गुणांकों के साथ गुणनखंड करने में रुचि रखते हैं, तो:
.

जवाब

फ़ार्मुलों का उपयोग करके बहुपदों को फ़ैक्टर करने के उदाहरण

द्विघात बहुपद वाले उदाहरण

उदाहरण 2.1

द्विघात बहुपद का गुणनखंडन कीजिए:
एक्स 4 + x 2 - 20.

फेसला

सूत्र लागू करें:
ए 2 + 2 एबी + बी 2 = (ए + बी) 2;
ए 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी).

;
.

जवाब

उदाहरण 2.2

एक बहुपद का गुणनखंड करना जो द्विघात को कम करता है:
एक्स 8 + x 4 + 1.

फेसला

सूत्र लागू करें:
ए 2 + 2 एबी + बी 2 = (ए + बी) 2;
ए 2 - बी 2 = (ए - बी) (ए + बी):

;

;
.

जवाब

उदाहरण 2.3 पुनरावर्ती बहुपद के साथ

पुनरावर्ती बहुपद का गुणनखंडन करना:
.

फेसला

पुनरावर्ती बहुपद में एक विषम डिग्री होती है। अत: इसका मूल x = - 1 . हम बहुपद को x से भाग देते हैं - (-1) = एक्स + 1. परिणामस्वरूप, हमें मिलता है:
.
हम एक प्रतिस्थापन करते हैं:
, ;
;


;
.

जवाब

पूर्णांक मूलों वाले बहुपद गुणनखंडों के उदाहरण

उदाहरण 3.1

बहुपद का गुणनखंडन करना:
.

फेसला

मान लीजिए समीकरण

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

तो, हमें तीन जड़ें मिली हैं:
एक्स 1 = 1 , एक्स 2 = 2 , एक्स 3 = 3 .
चूंकि मूल बहुपद तीसरी डिग्री का है, इसलिए इसकी तीन से अधिक जड़ें नहीं हैं। चूँकि हमें तीन मूल मिले हैं, वे सरल हैं। फिर
.

जवाब

उदाहरण 3.2

बहुपद का गुणनखंडन करना:
.

फेसला

मान लीजिए समीकरण

कम से कम एक पूर्णांक जड़ है। तब यह संख्या का भाजक है 2 (बिना x सदस्य)। यही है, पूरी जड़ संख्याओं में से एक हो सकती है:
-2, -1, 1, 2 .
इन मानों को एक-एक करके बदलें:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
यदि हम यह मान लें कि इस समीकरण का एक पूर्णांक मूल है, तो यह संख्या का भाजक है 2 (बिना x सदस्य)। यही है, पूरी जड़ संख्याओं में से एक हो सकती है:
1, 2, -1, -2 .
स्थानापन्न x = -1 :
.

तो हमें एक और मूल x . मिला है 2 = -1 . पिछले मामले की तरह, बहुपद को से विभाजित करना संभव होगा, लेकिन हम शर्तों को समूहित करेंगे:
.

समीकरण x . के बाद से 2 + 2 = 0 कोई वास्तविक जड़ नहीं है, तो बहुपद के गुणनखंड का रूप है।