नगर बजटीय शिक्षण संस्थान
"माध्यमिक विद्यालय नंबर 18"
बश्कोर्तोस्तान गणराज्य के सलावत शहर का शहरी जिला
तार्किक समीकरणों की प्रणाली
सूचना विज्ञान में परीक्षा के कार्यों में
परीक्षा के कार्यों में "तर्क के बीजगणित के मूल सिद्धांत" खंड को सबसे कठिन और खराब हल में से एक माना जाता है। इस विषय पर कार्यों को पूरा करने का औसत प्रतिशत सबसे कम है और 43.2 है।
| पाठ्यक्रम अनुभाग | कार्यों के समूहों द्वारा पूरा करने का औसत प्रतिशत |
| जानकारी को कोड करना और उसकी मात्रा को मापना | |
| सूचना मॉडलिंग | |
| संख्या प्रणाली | |
| तर्क के बीजगणित की मूल बातें | |
| एल्गोरिथम और प्रोग्रामिंग | |
| सूचना और संचार प्रौद्योगिकियों के मूल सिद्धांत |
KIM 2018 की विशिष्टता के आधार पर, इस ब्लॉक में जटिलता के विभिन्न स्तरों के चार कार्य शामिल हैं।
| № कार्य | चेक किए गए सामग्री तत्व | कार्य कठिनाई स्तर |
| ट्रुथ टेबल और लॉजिक सर्किट बनाने की क्षमता | ||
| इंटरनेट पर जानकारी खोजने की क्षमता | ||
| बुनियादी अवधारणाओं और कानूनों का ज्ञान गणितीय तर्क | ||
| तार्किक अभिव्यक्तियों को बनाने और बदलने की क्षमता |
टास्क 23 एक उच्च स्तर की कठिनाई है, इसलिए इसमें पूरा होने का प्रतिशत सबसे कम है। प्रशिक्षित स्नातकों में (81-100 अंक) 49.8% ने इसे पूरा किया, औसत रूप से तैयार (61-80 अंक) 13.7% का सामना करते हैं, शेष छात्रों का समूह इस कार्य को पूरा नहीं करता है।
तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की सफलता तर्क के नियमों के ज्ञान और प्रणाली को हल करने के तरीकों के सटीक अनुप्रयोग पर निर्भर करती है।
मानचित्रण विधि द्वारा तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान पर विचार करें।
(23.154 पॉलाकोव के.यू।) समीकरणों की प्रणाली के कितने अलग-अलग समाधान हैं?
((एक्स1 आप1 ) (एक्स2 आप2 )) (एक्स1 एक्स2 ) (y1 आप2 ) =1
((एक्स2 आप2 ) (एक्स3 आप3 )) (एक्स2 एक्स3 ) (y2 आप3 ) =1
((एक्स7 आप7 ) (एक्स8 आप8 )) (एक्स7 एक्स8 ) (आप7 आप8 ) =1
कहाँ पे एक्स1 , एक्स2 ,…, एक्स8, पर1 , यू2 ,…,यू8 - बूलियन चर? उत्तर के लिए उन सभी चर मानों के विभिन्न सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या दर्शानी होगी।
समाधान. सिस्टम में शामिल सभी समीकरण एक ही प्रकार के होते हैं, और प्रत्येक समीकरण में चार चर शामिल होते हैं। X1 और y1 को जानकर, हम x2 और y2 के सभी संभावित मान प्राप्त कर सकते हैं जो पहले समीकरण को संतुष्ट करते हैं। इसी तरह से तर्क करते हुए, ज्ञात x2 और y2 से हम x3, y3 प्राप्त कर सकते हैं जो दूसरे समीकरण को संतुष्ट करता है। अर्थात्, युग्म (x1, y1) को जानने और युग्म (x2, y2) का मान ज्ञात करने पर, हम युग्म (x3, y3) प्राप्त करेंगे, जो बदले में युग्म (x4, y4) की ओर ले जाएगा। पर।
आइए पहले समीकरण के सभी हल खोजें। यह दो तरह से किया जा सकता है: एक सत्य तालिका बनाना, तर्क के माध्यम से और तर्क के नियमों को लागू करना।
ट्रुथ टेबल:
| एक्स 1 वाई 1 | x2 y2 | (एक्स 1 y1) (एक्स 2 y2) | (एक्स 1 x2) | (वाई 1 y2) | (एक्स 1 x2) (वाई 1 y2) | |||||
एक सत्य तालिका बनाना श्रमसाध्य और समय अक्षम है, इसलिए हम दूसरी विधि का उपयोग करते हैं - तार्किक तर्क। गुणनफल 1 है यदि और केवल यदि प्रत्येक गुणनखंड 1 है।
(एक्स1 आप1 ) (एक्स2 आप2 ))=1
(एक्स1 एक्स2 ) =1
(आप1 आप2 ) =1
पहले समीकरण पर विचार करें। निम्नलिखित 1 के बराबर है, जब 0 0, 0 1, 1 1, फिर (x1 y1)=0 पर (01), (10), फिर युग्म (एक्स2 आप2 ) कोई भी (00), (01), (10), (11), और (x1 y1)=1, यानी (00) और (11) जोड़ी (x2 y2)=1 समान मान लेता है (00) और (11)। हम इस समाधान से उन युग्मों को बाहर करते हैं जिनके लिए दूसरे और तीसरे समीकरण झूठे हैं, अर्थात्, x1=1, x2=0, y1=1, y2=0.
| (एक्स1 , आप1 ) | (एक्स2 , आप2 ) |
जोड़े की कुल संख्या 1+1+1+22= 25
2) (23.160 पॉलाकोव के.यू।) तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली में कितने अलग-अलग समाधान होते हैं
(एक्स 1 (एक्स 2 आप 2 )) (y 1 आप 2 ) = 1
(एक्स 2 (एक्स 3 आप 3 )) (y 2 आप 3 ) = 1
...
( एक्स 6 ( एक्स 7 आप 7 )) ( आप 6 आप 7 ) = 1
एक्स 7 आप 7 = 1
समाधान। 1) समीकरण एक ही प्रकार के होते हैं, इसलिए तर्क विधि से हमें पहले समीकरण के सभी संभावित जोड़े (x1,y1), (x2,y2) मिलेंगे।
(एक्स1 (एक्स2 आप2 ))=1
(आप1 आप2 ) = 1
दूसरे समीकरण के हल जोड़े (00), (01), (11) हैं।
आइए पहले समीकरण के हल खोजें। यदि x1=0, तो x2 , y2 - कोई भी, यदि x1=1 है, तो x2 , y2 मान (11) लेता है।
आइए जोड़े (x1, y1) और (x2, y2) के बीच संबंध बनाते हैं।
| (एक्स1 , आप1 ) | (एक्स2 , आप2 ) |
आइए प्रत्येक चरण में जोड़े की संख्या की गणना करने के लिए एक तालिका बनाएं।
| 0 |
|||||||
अंतिम समीकरण के समाधान को ध्यान में रखते हुए एक्स 7 आप 7 = 1, हम जोड़ी (10) को खत्म करते हैं। समाधानों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए 1+7+0+34=42
3)(23.180) तार्किक समीकरणों के निकाय के कितने भिन्न हल हैं
(एक्स1 एक्स2 ) (एक्स3 एक्स4 ) = 1
(एक्स3 एक्स4 ) (एक्स5 एक्स6 ) = 1
(एक्स5 एक्स6 ) (एक्स7 एक्स8 ) = 1
(एक्स7 एक्स8 ) (एक्स9 एक्स10 ) = 1
एक्स1 एक्स3 एक्स5 एक्स7 एक्स9 = 1
समाधान। 1) समीकरण एक ही प्रकार के होते हैं, इसलिए तर्क की विधि से हम पहले समीकरण के सभी संभावित जोड़े (x1,x2), (x3,x4) पाएंगे।
(एक्स1 एक्स2 ) (एक्स3 एक्स4 ) = 1
हम समाधान से उन युग्मों को हटा देते हैं जो निम्नलिखित में 0 (1 0) देते हैं, ये जोड़े (01, 00, 11) और (10) हैं।
जोड़े के बीच लिंक लिखें (x1,x2), (x3,x4)
तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई तरीके हैं। यह एक समीकरण में कमी है, एक सत्य तालिका का निर्माण और अपघटन।
एक कार्य:तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:
विचार करना एक समीकरण में कमी की विधि . इस पद्धति में तार्किक समीकरणों का परिवर्तन शामिल है, ताकि उनके दाहिने हाथ सत्य मान (अर्थात, 1) के बराबर हों। ऐसा करने के लिए, तार्किक निषेध के संचालन का उपयोग करें। फिर, यदि समीकरणों में जटिल तार्किक संचालन होते हैं, तो हम उन्हें मूल वाले से बदल देते हैं: "AND", "OR", "NOT"। अगला कदम तार्किक संचालन "AND" का उपयोग करके समीकरणों को सिस्टम के समतुल्य एक में संयोजित करना है। उसके बाद, आपको तर्क के बीजगणित के नियमों के आधार पर परिणामी समीकरण का रूपांतरण करना चाहिए और सिस्टम का एक विशिष्ट समाधान प्राप्त करना चाहिए।
समाधान 1:पहले समीकरण के दोनों पक्षों में व्युत्क्रम लागू करें:
आइए बुनियादी संचालन "OR", "NOT" के माध्यम से निहितार्थ का प्रतिनिधित्व करें:
चूंकि समीकरणों के बाएं पक्ष 1 के बराबर हैं, आप उन्हें "AND" ऑपरेशन का उपयोग करके एक समीकरण में जोड़ सकते हैं जो मूल प्रणाली के बराबर है:
हम मॉर्गन के नियम के अनुसार पहला ब्रैकेट खोलते हैं और परिणाम बदलते हैं:
परिणामी समीकरण का एक हल है: A=0, B=0 और C=1.
अगला तरीका है सत्य तालिकाओं का निर्माण . चूंकि तार्किक मूल्यों में केवल दो मान होते हैं, आप बस सभी विकल्पों के माध्यम से जा सकते हैं और उनमें से उन लोगों को ढूंढ सकते हैं जिनके लिए समीकरणों की दी गई प्रणाली संतुष्ट है। यही है, हम सिस्टम के सभी समीकरणों के लिए एक सामान्य सत्य तालिका बनाते हैं और वांछित मूल्यों के साथ एक रेखा पाते हैं।
समाधान 2:आइए सिस्टम के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
बोल्ड वह रेखा है जिसके लिए समस्या की शर्तें पूरी होती हैं। तो ए = 0, बी = 0 और सी = 1।
मार्ग सड़न . विचार एक चर के मान को ठीक करना है (इसे 0 या 1 के बराबर रखें) और इस तरह समीकरणों को सरल बनाएं। फिर आप दूसरे चर के मान को ठीक कर सकते हैं, और इसी तरह।
समाधान 3:मान लीजिए कि A = 0 है, तो:
पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैं B = 0, और दूसरे से - =1. सिस्टम समाधान: ए = 0, बी = 0 और सी = 1।
कंप्यूटर विज्ञान में यूएसई में, तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधानों की संख्या निर्धारित करना अक्सर आवश्यक होता है, स्वयं समाधान खोजने के बिना, इसके लिए कुछ निश्चित विधियां भी होती हैं। तार्किक समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या ज्ञात करने का मुख्य तरीका हैचर का परिवर्तन. सबसे पहले, तर्क के बीजगणित के नियमों के आधार पर प्रत्येक समीकरण को यथासंभव सरल बनाना आवश्यक है, और फिर समीकरणों के जटिल भागों को नए चर के साथ बदलें और नई प्रणाली के समाधान की संख्या निर्धारित करें। फिर प्रतिस्थापन पर लौटें और इसके लिए समाधानों की संख्या निर्धारित करें।
एक कार्य:समीकरण (A → B ) + (C → D ) = 1 के कितने हल हैं? जहाँ A, B, C, D बूलियन चर हैं।
समाधान:आइए नए चरों का परिचय दें: X = A → B और Y = C → D । नए चरों को ध्यान में रखते हुए, समीकरण को इस रूप में लिखा जाएगा: X + Y = 1।
डिसजंक्शन तीन मामलों में सही है: (0;1), (1;0) और (1;1), जबकि एक्स और वाई एक निहितार्थ हैं, यानी यह तीन मामलों में सच है और एक में गलत है। इसलिए, मामला (0;1) पैरामीटर के तीन संभावित संयोजनों के अनुरूप होगा। केस (1;1) - मूल समीकरण के मापदंडों के नौ संभावित संयोजनों के अनुरूप होगा। अत: इस समीकरण के 3+9=15 संभावित हल हैं।
तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान की संख्या निर्धारित करने का निम्नलिखित तरीका है - बाइनरी ट्री. आइए इस विधि पर एक उदाहरण के साथ विचार करें।
एक कार्य:तार्किक समीकरणों की प्रणाली के कितने अलग-अलग समाधान हैं:
समीकरणों की दी गई प्रणाली समीकरण के बराबर है:
(एक्स 1 → एक्स 2 )*(एक्स 2 → एक्स 3 )*…*(एक्स एम -1 → एक्स एम) = 1.
चलो दिखावा करते हैं कि एक्स 1 सत्य है, तो पहले समीकरण से हम पाते हैं कि एक्स 2 यह भी सत्य है, दूसरे से - एक्स 3 =1, और इसी तरह तक एक्स एम= 1. इसका अर्थ है कि m इकाइयों का समुच्चय (1; 1;…; 1) निकाय का हल है। चलो अब एक्स 1 =0, तो पहले समीकरण से हमारे पास है एक्स 2 =0 या एक्स 2 =1.
कब एक्स 2 सत्य है, हम पाते हैं कि शेष चर भी सत्य हैं, अर्थात समुच्चय (0; 1; ...; 1) प्रणाली का समाधान है। पर एक्स 2 =0 हमें वह मिलता है एक्स 3 =0 या एक्स 3 =, और इसी तरह। अंतिम चर को जारी रखते हुए, हम पाते हैं कि समीकरण के समाधान चर के निम्नलिखित सेट हैं (एम + 1 समाधान, प्रत्येक समाधान में चर के एम मान हैं):
(1; 1; 1; …; 1)
(0; 1; 1; …; 1)
(0; 0; 0; …; 0)
बाइनरी ट्री का निर्माण करके इस दृष्टिकोण को अच्छी तरह से चित्रित किया गया है। संभावित समाधानों की संख्या निर्मित वृक्ष की विभिन्न शाखाओं की संख्या है। यह देखना आसान है कि यह m + 1 के बराबर है।
|
लकड़ी |
निर्णयों की संख्या |
|
|
एक्स 1 |
|
|
|
x2 |
||
|
एक्स 3 |
||
|
… |
तर्क करने में कठिनाई के मामले में नियाह और निर्माण देसमाधान की दहाड़, आप समाधान के लिए खोज सकते हैंका उपयोग करते हुए सत्य सारणी, एक या दो समीकरणों के लिए।
हम फॉर्म में समीकरणों की प्रणाली को फिर से लिखते हैं:
और आइए एक समीकरण के लिए अलग से एक सत्य तालिका बनाएं:
|
एक्स 1 |
x2 |
(एक्स 1 → एक्स 2) |
आइए दो समीकरणों के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:
|
एक्स 1 |
x2 |
एक्स 3 |
एक्स 1 → एक्स 2 |
एक्स 2 → एक्स 3 |
(एक्स 1 → एक्स 2) * (एक्स 2 → एक्स 3) |
पाठ विषय: तार्किक समीकरण हल करना
शैक्षिक - तार्किक समीकरणों को हल करने के तरीकों का अध्ययन, तार्किक समीकरणों को हल करने के लिए कौशल और क्षमताओं का निर्माण और सत्य तालिका के अनुसार तार्किक अभिव्यक्ति का निर्माण;शैक्षिक - छात्रों की संज्ञानात्मक रुचि के विकास के लिए स्थितियां बनाएं, स्मृति, ध्यान, तार्किक सोच के विकास को बढ़ावा दें;
शिक्षात्मक : दूसरों की राय सुनने की क्षमता की शिक्षा में योगदान,अंतिम परिणाम प्राप्त करने के लिए इच्छाशक्ति और दृढ़ता की शिक्षा।
पाठ प्रकार: संयुक्त पाठ
उपकरण: कंप्यूटर, मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, प्रस्तुति 6.
कक्षाओं के दौरान
बुनियादी ज्ञान की पुनरावृत्ति और अद्यतन करना। होमवर्क की जाँच (10 मिनट)
पिछले पाठों में, हम तर्क के बीजगणित के मूल नियमों से परिचित हुए, तार्किक व्यंजकों को सरल बनाने के लिए इन नियमों का उपयोग करना सीखा।
आइए तार्किक अभिव्यक्तियों को सरल बनाने पर होमवर्क देखें:
1. निम्नलिखित में से कौन सा शब्द तार्किक स्थिति को संतुष्ट करता है:
(पहला व्यंजन → दूसरा व्यंजन)٨ (अंतिम अक्षर स्वर → अंतिम अक्षर स्वर)? यदि ऐसे कई शब्द हैं, तो उनमें से सबसे छोटे को इंगित करें।
1) अन्ना 2) मारिया 3) ओलेग 4) स्टेपैन
आइए हम संकेतन का परिचय दें:
A व्यंजन का पहला अक्षर है
B एक व्यंजन का दूसरा अक्षर है
S अंतिम स्वर है
डी - अंतिम स्वर
आइए एक अभिव्यक्ति करें:
आइए एक टेबल बनाएं:
2. इंगित करें कि कौन सा तार्किक व्यंजक व्यंजक के तुल्य है
आइए मूल अभिव्यक्ति और प्रस्तावित विकल्पों के लेखन को सरल बनाएं:
3. व्यंजक F की सत्य तालिका का एक अंश दिया गया है:
F से कौन-सा व्यंजक मेल खाता है?
आइए तर्कों के निर्दिष्ट मूल्यों के लिए इन अभिव्यक्तियों के मूल्यों को निर्धारित करें:
पाठ के विषय से परिचित होना, नई सामग्री की प्रस्तुति (30 मिनट)
हम तर्क की मूल बातें और हमारे आज के पाठ "तार्किक समीकरणों को हल करना" के विषय का अध्ययन करना जारी रखते हैं। इस विषय का अध्ययन करने के बाद, आप तार्किक समीकरणों को हल करने के मूल तरीके सीखेंगे, तर्क बीजगणित की भाषा का उपयोग करके इन समीकरणों को हल करने के लिए कौशल प्राप्त करेंगे और सत्य तालिका पर तार्किक अभिव्यक्ति लिखने की क्षमता प्राप्त करेंगे।
1. तार्किक समीकरण हल करें
(¬K एम) → (¬L एम एन) = 0
अपना उत्तर चार वर्णों की एक स्ट्रिंग के रूप में लिखें: चर K, L, M, और N (उस क्रम में) के मान। इसलिए, उदाहरण के लिए, लाइन 1101 K=1, L=1, M=0, N=1 से मेल खाती है।
समाधान:
आइए अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें(¬K एम) → (¬L एम एन)
जब दोनों पद असत्य हों तो व्यंजक असत्य होता है। दूसरा पद 0 के बराबर है यदि M=0, N=0, L=1. पहले पद में, K = 0, क्योंकि M = 0, और 
.
उत्तर: 0100
2. समीकरण के कितने हल हैं (अपने उत्तर में केवल संख्या बताएं)?
हल: व्यंजक को रूपांतरित करें
(ए+बी)*(सी+डी)=1
ए+बी=1 और सी+डी=1
विधि 2: एक सत्य तालिका संकलित करना
3 रास्ता: एसडीएनएफ का निर्माण - एक समारोह के लिए एक आदर्श विघटनकारी सामान्य रूप - पूर्ण नियमित प्राथमिक संयोजनों का एक संयोजन।आइए मूल अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें, संयोजनों के संयोजन को प्राप्त करने के लिए कोष्ठक का विस्तार करें:
(ए+बी)*(सी+डी)=ए*सी+बी*सी+ए*डी+बी*डी=
आइए संयोजनों को पूरा करने के लिए संयोजनों को पूरक करें (सभी तर्कों का उत्पाद), कोष्ठक खोलें:
समान संयोजनों पर विचार करें:
नतीजतन, हमें एक एसडीएनएफ मिलता है जिसमें 9 संयोजन होते हैं। इसलिए, इस फ़ंक्शन के लिए सत्य तालिका में चर मानों के 2 4 =16 सेटों में से 9 पंक्तियों पर 1 का मान है।
3. समीकरण के कितने हल हैं (अपने उत्तर में केवल संख्या बताएं)?
आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं:
,
3 रास्ता: एसडीएनएफ . का निर्माण
समान संयोजनों पर विचार करें:
नतीजतन, हमें एक एसडीएनएफ मिलता है जिसमें 5 संयोजन होते हैं। इसलिए, इस फ़ंक्शन के लिए सत्य तालिका में चर मानों के 2 4 =16 सेट की 5 पंक्तियों पर 1 का मान है।
सत्य तालिका के अनुसार तार्किक अभिव्यक्ति का निर्माण:
1 वाली सत्य तालिका की प्रत्येक पंक्ति के लिए, हम तर्कों के उत्पाद की रचना करते हैं, और 0 के बराबर चर को उत्पाद में शामिल किया जाता है, और 1 के बराबर चर - बिना किसी निषेध के। वांछित अभिव्यक्ति एफ प्राप्त उत्पादों के योग से बना होगा। फिर, यदि संभव हो तो, इस अभिव्यक्ति को सरल बनाया जाना चाहिए।
उदाहरण: किसी व्यंजक की सत्य तालिका दी गई है। एक तार्किक अभिव्यक्ति बनाएँ।
समाधान:3. गृहकार्य (5 मिनट)
प्रश्न हल करें:
समीकरण के कितने हल हैं (केवल संख्या का उत्तर दें)?
दी गई सत्य सारणी के अनुसार एक तार्किक व्यंजक बनाइए और
इसे सरल करें।
तार्किक समीकरणों के सिस्टम को हल करने के तरीके
किर्गिज़ोवा ई.वी., नेमकोवा ए.ई.
लेसोसिबिर्स्क शैक्षणिक संस्थान -
साइबेरियाई संघीय विश्वविद्यालय, रूस की शाखा
लगातार सोचने की क्षमता, निर्णायक रूप से बहस करने, परिकल्पना बनाने, नकारात्मक निष्कर्षों का खंडन करने की क्षमता अपने आप नहीं आती है, यह कौशल तर्क के विज्ञान द्वारा विकसित किया गया है। तर्कशास्त्र एक ऐसा विज्ञान है जो कुछ कथनों के सत्य या असत्य को अन्य कथनों के सत्य या असत्य के आधार पर स्थापित करने के तरीकों का अध्ययन करता है।
तार्किक समस्याओं को हल किए बिना इस विज्ञान की मूल बातों में महारत हासिल करना असंभव है। एक नई स्थिति में अपने ज्ञान को लागू करने के लिए कौशल के गठन की जाँच पास करके की जाती है। विशेष रूप से, यह तार्किक समस्याओं को हल करने की क्षमता है। परीक्षा में कार्य B15 बढ़ी हुई जटिलता के कार्य हैं, क्योंकि उनमें तार्किक समीकरणों की प्रणाली होती है। तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई तरीके हैं। यह एक समीकरण में कमी, एक सत्य तालिका का निर्माण, अपघटन, समीकरणों का अनुक्रमिक समाधान आदि है।
एक कार्य:तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें:
विचार करना एक समीकरण में कमी की विधि . इस पद्धति में तार्किक समीकरणों का परिवर्तन शामिल है, ताकि उनके दाहिने हाथ सत्य मान (अर्थात, 1) के बराबर हों। ऐसा करने के लिए, तार्किक निषेध के संचालन का उपयोग करें। फिर, यदि समीकरणों में जटिल तार्किक संचालन होते हैं, तो हम उन्हें मूल वाले से बदल देते हैं: "AND", "OR", "NOT"। अगला कदम तार्किक संचालन "AND" का उपयोग करके समीकरणों को सिस्टम के समतुल्य एक में संयोजित करना है। उसके बाद, आपको तर्क के बीजगणित के नियमों के आधार पर परिणामी समीकरण का रूपांतरण करना चाहिए और सिस्टम का एक विशिष्ट समाधान प्राप्त करना चाहिए।
समाधान 1:पहले समीकरण के दोनों पक्षों में व्युत्क्रम लागू करें:
आइए बुनियादी संचालन "OR", "NOT" के माध्यम से निहितार्थ का प्रतिनिधित्व करें:
चूंकि समीकरणों के बाएं पक्ष 1 के बराबर हैं, आप उन्हें "AND" ऑपरेशन का उपयोग करके एक समीकरण में जोड़ सकते हैं जो मूल प्रणाली के बराबर है:
हम मॉर्गन के नियम के अनुसार पहला ब्रैकेट खोलते हैं और परिणाम बदलते हैं:
परिणामी समीकरण का एक हल है:ए = 0 , B=0 और C=1 ।
अगला तरीका है सत्य तालिकाओं का निर्माण . चूंकि तार्किक मूल्यों में केवल दो मान होते हैं, आप बस सभी विकल्पों के माध्यम से जा सकते हैं और उनमें से उन लोगों को ढूंढ सकते हैं जिनके लिए समीकरणों की दी गई प्रणाली संतुष्ट है। यही है, हम सिस्टम के सभी समीकरणों के लिए एक सामान्य सत्य तालिका बनाते हैं और वांछित मूल्यों के साथ एक रेखा पाते हैं।
समाधान 2:आइए सिस्टम के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
बोल्ड वह रेखा है जिसके लिए समस्या की शर्तें पूरी होती हैं। तो ए = 0, बी = 0 और सी = 1।
मार्ग सड़न . विचार एक चर के मान को ठीक करना है (इसे 0 या 1 के बराबर रखें) और इस तरह समीकरणों को सरल बनाएं। फिर आप दूसरे चर के मान को ठीक कर सकते हैं, और इसी तरह।
समाधान 3:होने देना ए = 0, फिर:
पहले समीकरण से हम प्राप्त करते हैंबी =0, और दूसरे से - =1. सिस्टम समाधान: ए = 0, बी = 0 और सी = 1।
आप विधि का भी उपयोग कर सकते हैं समीकरणों का अनुक्रमिक हल , प्रत्येक चरण में विचाराधीन समुच्चय में एक चर जोड़ना। ऐसा करने के लिए, समीकरणों को इस तरह बदलना आवश्यक है कि चर वर्णानुक्रम में दर्ज किए जाएं। अगला, हम एक निर्णय वृक्ष का निर्माण करते हैं, क्रमिक रूप से इसमें चर जोड़ते हैं।
सिस्टम का पहला समीकरण केवल ए और बी पर निर्भर करता है, और दूसरा समीकरण ए और सी पर निर्भर करता है। वेरिएबल ए 2 मान 0 और 1 ले सकता है:
यह पहले समीकरण से इस प्रकार है कि 
, तो कब ए = 0 हमें बी = 0 मिलता है, और ए = 1 के लिए हमें बी = 1 मिलता है। तो, पहले समीकरण के चर A और B के संबंध में दो हल हैं।
हम दूसरा समीकरण बनाते हैं, जिससे हम प्रत्येक विकल्प के लिए C का मान निर्धारित करते हैं। ए = 1 के लिए, निहितार्थ गलत नहीं हो सकता, यानी पेड़ की दूसरी शाखा का कोई समाधान नहीं है। परए = 0
हमें एक ही उपाय मिलता हैसी = 1
:
इस प्रकार, हमें सिस्टम का समाधान मिला: ए = 0, बी = 0 और सी = 1।
कंप्यूटर विज्ञान में यूएसई में, तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधानों की संख्या निर्धारित करना अक्सर आवश्यक होता है, स्वयं समाधान खोजने के बिना, इसके लिए कुछ निश्चित विधियां भी होती हैं। तार्किक समीकरणों की प्रणाली के समाधानों की संख्या ज्ञात करने का मुख्य तरीका है चर का परिवर्तन. सबसे पहले, तर्क के बीजगणित के नियमों के आधार पर प्रत्येक समीकरण को यथासंभव सरल बनाना आवश्यक है, और फिर समीकरणों के जटिल भागों को नए चर के साथ बदलें और नई प्रणाली के समाधान की संख्या निर्धारित करें। फिर प्रतिस्थापन पर लौटें और इसके लिए समाधानों की संख्या निर्धारित करें।
एक कार्य:समीकरण कितने हल करता है (ए → बी) + (सी → डी ) = 1? जहाँ A, B, C, D बूलियन चर हैं।
समाधान:आइए नए चर पेश करें:एक्स = ए → बी और वाई = सी → डी . नए चरों को ध्यान में रखते हुए, समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:एक्स + वाई = 1।
वियोजन तीन मामलों में सही है: (0;1), (1;0) और (1;1), जबकिएक्स और वाई एक निहितार्थ है, यानी यह तीन मामलों में सच है और एक में गलत है। इसलिए, मामला (0;1) पैरामीटर के तीन संभावित संयोजनों के अनुरूप होगा। केस (1;1) - मूल समीकरण के मापदंडों के नौ संभावित संयोजनों के अनुरूप होगा। अत: इस समीकरण के 3+9=15 संभावित हल हैं।
तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान की संख्या निर्धारित करने का निम्नलिखित तरीका है - बाइनरी ट्री. आइए इस विधि पर एक उदाहरण के साथ विचार करें।
एक कार्य:तार्किक समीकरणों की प्रणाली के कितने अलग-अलग समाधान हैं:
समीकरणों की दी गई प्रणाली समीकरण के बराबर है:
( एक्स 1 → एक्स 2 )*( एक्स 2 → एक्स 3 )*…*( एक्स एम -1 → एक्स एम) = 1.
चलो दिखावा करते हैं किएक्स 1 सत्य है, तो पहले समीकरण से हम पाते हैं किएक्स 2 यह भी सत्य है, दूसरे से -एक्स 3 =1, और इसी तरह तक एक्स एम= 1. अत: से समुच्चय (1; 1;…; 1)एम इकाई प्रणाली का समाधान है। चलो अबएक्स 1 =0, तो पहले समीकरण से हमारे पास हैएक्स 2 =0 या एक्स 2 =1.
कब एक्स 2 सत्य है, हम पाते हैं कि शेष चर भी सत्य हैं, अर्थात समुच्चय (0; 1; ...; 1) प्रणाली का समाधान है। परएक्स 2 =0 हमें वह मिलता है एक्स 3 =0 या एक्स 3 =, और इसी तरह। अंतिम चर को जारी रखते हुए, हम पाते हैं कि समीकरण के समाधान चर के निम्नलिखित सेट हैं (एम +1 समाधान, प्रत्येक समाधान मेंएम परिवर्तनीय मान):
(1; 1; 1; …; 1)
(0; 1; 1; …; 1)
(0; 0; 0; …; 0)
बाइनरी ट्री का निर्माण करके इस दृष्टिकोण को अच्छी तरह से चित्रित किया गया है। संभावित समाधानों की संख्या निर्मित वृक्ष की विभिन्न शाखाओं की संख्या है। यह देखना आसान है कि यह हैएम +1।
|
चर |
लकड़ी |
निर्णयों की संख्या |
|
एक्स 1 |
|
|
|
x2 |
||
|
एक्स 3 |
||
तर्क करने और निर्णय वृक्ष बनाने में कठिनाइयों के मामले में, आप इसका उपयोग करके समाधान ढूंढ सकते हैं सत्य सारणी, एक या दो समीकरणों के लिए।
हम फॉर्म में समीकरणों की प्रणाली को फिर से लिखते हैं:
और आइए एक समीकरण के लिए अलग से एक सत्य तालिका बनाएं:
|
एक्स 1 |
x2 |
(एक्स 1 → एक्स 2) |
आइए दो समीकरणों के लिए एक सत्य तालिका बनाएं:
|
एक्स 1 |
x2 |
एक्स 3 |
एक्स 1 → एक्स 2 |
एक्स 2 → एक्स 3 |
(एक्स 1 → एक्स 2) * (एक्स 2 → एक्स 3) |
इसके बाद, आप देख सकते हैं कि निम्नलिखित तीन स्थितियों में एक समीकरण सत्य है: (0; 0), (0; 1), (1; 1)। दो समीकरणों का निकाय चार स्थितियों (0; 0; 0), (0; 0; 1), (0; 1; 1), (1; 1; 1) में सत्य है। इस मामले में, यह तुरंत स्पष्ट हो जाता है कि एक समाधान है जिसमें केवल शून्य और अधिक शामिल हैं एमसमाधान जिसमें एक इकाई जोड़ी जाती है, अंतिम स्थिति से शुरू होकर सभी संभावित स्थानों को भरने तक। यह माना जा सकता है कि सामान्य समाधान का एक ही रूप होगा, लेकिन समाधान बनने के लिए इस तरह के दृष्टिकोण के लिए, यह प्रमाण आवश्यक है कि धारणा सत्य है।
उपरोक्त सभी को सारांशित करते हुए, मैं इस तथ्य की ओर ध्यान आकर्षित करना चाहूंगा कि सभी मानी जाने वाली विधियां सार्वभौमिक नहीं हैं। तार्किक समीकरणों की प्रत्येक प्रणाली को हल करते समय, इसकी विशेषताओं को ध्यान में रखा जाना चाहिए, जिसके आधार पर समाधान विधि का चयन किया जाना चाहिए।
साहित्य:
1. तार्किक कार्य / ओ.बी. बोगोमोलोव - दूसरा संस्करण। - एम .: बिनोम। ज्ञान प्रयोगशाला, 2006. - 271 पी.: बीमार।
2. पॉलाकोव के.यू. कंप्यूटर विज्ञान के शिक्षकों के लिए तार्किक समीकरणों की प्रणाली / शैक्षिक और पद्धतिगत समाचार पत्र: सूचना विज्ञान संख्या 14, 2011
तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के तरीके
आप तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, प्रत्येक समीकरण को सरल बनाने के बाद, एक सत्य तालिका (यदि चर की संख्या बहुत बड़ी नहीं है) या निर्णय वृक्ष का उपयोग करके।
1. चरों के परिवर्तन की विधि।
नए चरों का परिचय अज्ञात की संख्या को कम करके समीकरणों की प्रणाली को सरल बनाना संभव बनाता है।नए चर एक दूसरे से स्वतंत्र होने चाहिए. सरलीकृत प्रणाली को हल करने के बाद, मूल चर पर फिर से लौटना आवश्यक है।
एक विशिष्ट उदाहरण पर इस पद्धति के अनुप्रयोग पर विचार करें।
उदाहरण।
((X1 X2) ∧ (X3 ≡ X4)) ∨ (¬(X1 ≡ X2) (X3 ≡ X4)) = 0
((X3 X4) ∧ (X5 ≡ X6)) ∨ (¬(X3 ≡ X4) ∧ (X5 ≡ X6)) = 0
((X5 ≡ X6) ∧ (X7 ≡ X8)) ∨ (¬(X5 ≡ X6) (X7 ≡ X8)) = 0
((X7 ≡ X8) ∧ (X9 ≡ X10)) ∨ (¬(X7 ≡ X8) (X9 ≡ X10)) = 0
समाधान:
आइए नए चर पेश करें: А=(X1 X2); बी = (एक्स 3 एक्स 4); =(X5 ≡ X6); डी = (एक्स 7 ≡ एक्स 8); ई = (एक्स 9 ≡ एक्स 10)।
(ध्यान दें! उनके प्रत्येक चर x1, x2, ..., x10 को केवल एक नए चर A, B, C, D, E में शामिल किया जाना चाहिए, अर्थात नए चर एक दूसरे से स्वतंत्र हैं)।
तब समीकरणों की प्रणाली इस तरह दिखेगी:
(ए ∧ बी) ∨ (¬ए ∧ ¬बी) = 0
(बी ∧ सी) ∨ (¬बी ∧ ¬सी) = 0
(सी ∧ डी) ∨ (¬सी ∧ ¬डी) = 0
(डी ∧ ई) ∨ (¬डी ∧ ¬ई) = 0
आइए परिणामी प्रणाली का निर्णय वृक्ष बनाएं:
समीकरण ए = 0 पर विचार करें, यानी। (X1≡ एक्स 2) = 0। इसकी 2 जड़ें हैं:
X1 X2 |
||
उसी तालिका से यह देखा जा सकता है कि समीकरण A \u003d 1 की भी 2 जड़ें हैं। आइए निर्णय वृक्ष पर जड़ों की संख्या की व्यवस्था करें:
एक शाखा के लिए समाधानों की संख्या ज्ञात करने के लिए, आपको प्रत्येक स्तर पर समाधानों की संख्या को गुणा करना होगा। बाईं शाखा में 2 . है⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2=32 समाधान; दाहिनी शाखा के भी 32 उपाय हैं। वे। पूरे सिस्टम में 32+32=64 समाधान हैं।
उत्तर : 64.
2. तर्क करने की विधि।
तार्किक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की जटिलता पूर्ण निर्णय वृक्ष की विशालता में निहित है। तर्क विधि आपको पूरे पेड़ को पूरी तरह से बनाने की अनुमति नहीं देती है, लेकिन साथ ही यह भी समझती है कि इसकी कितनी शाखाएं होंगी। आइए इस पद्धति पर विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण 1 बूलियन चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो निम्नलिखित सभी शर्तों को पूरा करते हैं?
(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) /\ (x4→x5) = 1
(y1→y2) /\ (y2→y3) /\ (y3→y4) /\ (y4→y5) = 1
x1\/y1 =1
उत्तर के लिए चर x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5 के मानों के सभी अलग-अलग सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है, जिसके तहत समानता की दी गई प्रणाली संतुष्ट है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या दर्शानी होगी।
समाधान :
पहले और दूसरे समीकरणों में स्वतंत्र चर होते हैं जो तीसरी स्थिति से संबंधित होते हैं। आइए पहले और दूसरे समीकरणों के लिए एक निर्णय वृक्ष का निर्माण करें।
पहले और दूसरे समीकरणों से सिस्टम के निर्णय वृक्ष का प्रतिनिधित्व करने के लिए, पहले पेड़ की प्रत्येक शाखा को चर के लिए एक पेड़ के साथ जारी रखना आवश्यक हैपर . इस तरह से बने पेड़ में 36 शाखाएं होंगी। इनमें से कुछ शाखाएं प्रणाली के तीसरे समीकरण को संतुष्ट नहीं करती हैं। पहले पेड़ पर नोट करें पेड़ की शाखाओं की संख्या"पर" , जो तीसरे समीकरण को संतुष्ट करता है:
आइए स्पष्ट करें: x1=0 पर तीसरी शर्त की पूर्ति के लिए y1=1 होना चाहिए, यानी पेड़ की सभी शाखाएं"एक्स" , जहां x1=0 पेड़ से केवल एक शाखा के साथ जारी रखा जा सकता है"पर" . और केवल पेड़ की एक शाखा के लिए"एक्स" (दाएं) पेड़ की सभी शाखाओं को फिट करें"पर"। इस प्रकार, पूरे सिस्टम के पूरे पेड़ में 11 शाखाएं होती हैं। प्रत्येक शाखा समीकरणों की मूल प्रणाली के एक समाधान का प्रतिनिधित्व करती है। तो पूरे सिस्टम में 11 समाधान हैं।
उत्तर: 11.
उदाहरण 2 समीकरणों के निकाय के कितने भिन्न हल हैं
(X1 X2) ∨ (X1 ∧ X10) ∨ (¬X1 ¬X10) = 1
(X2 X3) ∨ (X2 ∧ X10) ∨ (¬X2 ¬X10) = 1.
………………
(X9 X10) ∨ (X9 ∧ X10) ∨ (¬X9 ¬X10) = 1
(X1 X10) = 0
जहाँ x1, x2,…, x10 बूलियन चर हैं? उत्तर के लिए उन सभी चर मानों के विभिन्न सेटों को सूचीबद्ध करने की आवश्यकता नहीं है जिनके लिए यह समानता है। उत्तर के रूप में, आपको ऐसे सेटों की संख्या दर्शानी होगी।
समाधान : आइए सिस्टम को सरल बनाएं। आइए पहले समीकरण के भाग की एक सत्य तालिका बनाएं:
X1 X10 | X1 X10 | (X1 ∧ X10) (¬X1 ¬X10) |
||
अंतिम कॉलम पर ध्यान दें, यह कार्रवाई के परिणाम से मेल खाता है X1 X10.
X1 X10 |
सरलीकरण के बाद, हम प्राप्त करते हैं:
(X1 X2) ∨ (X1 ≡ X10)=1
(X2 X3) ∨ (X2 X10)=1
(X3 X4) ∨ (X3 ≡ X10)=1
……
(X9 X10) ∨ (X9 ≡ X10)=1
(X1 X10) = 0
अंतिम समीकरण पर विचार करें:(X1 X10) = 0, अर्थात्। x1 x10 के समान नहीं होना चाहिए। पहले समीकरण के 1 के बराबर होने के लिए, समानता होनी चाहिए(X1 X2) = 1, यानी। x1 x2 से मेल खाना चाहिए।
आइए पहले समीकरण के लिए एक निर्णय वृक्ष बनाएं:
दूसरे समीकरण पर विचार करें: x10=1 के लिए और x2=0 के लिए ब्रैकेट1 के बराबर होना चाहिए (अर्थात x2 x3 के समान है); x10=0 पर और x2=1 ब्रैकेट पर(X2 X10)=0 , इसलिए कोष्ठक (X2 ≡ X3) 1 के बराबर होना चाहिए (अर्थात x2 x3 के समान है):
इस तरह तर्क देते हुए, हम सभी समीकरणों के लिए एक निर्णय वृक्ष का निर्माण करते हैं:
इस प्रकार, समीकरणों के निकाय के केवल 2 हल हैं।
उत्तर : 2.
उदाहरण 3
बूलियन चर x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, y4, z1, z2, z3, z4 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो निम्नलिखित सभी शर्तों को पूरा करते हैं?
(x1→x2) /\ (x2→x3) /\ (x3→x4) = 1
(¬x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ z1) \/ (x1 /\ y1 /\ ¬z1) = 1
(¬x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ z2) \/ (x2 /\ y2 /\ ¬z2) = 1
(¬x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ z3) \/ (x3 /\ y3 /\ ¬z3) = 1
(¬x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ z4) \/ (x4 /\ y4 /\ ¬z4) = 1
समाधान:
आइए पहले समीकरण का निर्णय वृक्ष बनाएं:
दूसरे समीकरण पर विचार करें:
- जब x1=0 : दूसरा और तीसरा कोष्ठक 0 होगा; पहला ब्रैकेट 1 के बराबर होने के लिए y1=1 , z1=1 (यानी इस मामले में -1 समाधान) होना चाहिए।
- X1=1 . के साथ : पहला कोष्ठक 0 होगा; दूसराया तीसरा कोष्ठक 1 के बराबर होना चाहिए; दूसरा ब्रैकेट 1 के बराबर होगा जब y1=0 और z1=1; तीसरा ब्रैकेट y1=1 और z1=0 (यानी इस मामले में - 2 समाधान) के लिए 1 के बराबर होगा।
इसी तरह बाकी समीकरणों के लिए। पेड़ के प्रत्येक नोड के लिए प्राप्त समाधानों की संख्या पर ध्यान दें:
प्रत्येक शाखा के लिए समाधानों की संख्या का पता लगाने के लिए, हम प्रत्येक शाखा के लिए प्राप्त संख्याओं को अलग से (बाएं से दाएं) गुणा करते हैं।
1 शाखा: 1 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1 समाधान
2 शाखा: 1 1 ⋅ 1 ⋅ 2 = 2 समाधान
तीसरी शाखा: 1 1 ⋅ 2 ⋅ 2 = 4 समाधान
4 शाखा: 1 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 समाधान
5 शाखा: 2 2 ⋅ 2 ⋅ 2=16 समाधान
आइए प्राप्त संख्याओं को जोड़ें: कुल 31 समाधान।
उत्तर: 31.
3. जड़ों की संख्या में नियमित वृद्धि
कुछ प्रणालियों में, अगले समीकरण के मूलों की संख्या पिछले समीकरण के मूलों की संख्या पर निर्भर करती है।
उदाहरण 1 बूलियन वेरिएबल्स x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10 के मानों के कितने अलग-अलग सेट हैं जो निम्नलिखित सभी शर्तों को पूरा करते हैं?
(x1 ≡ x2) ∧ ((x1 ∧ ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)) = 0
(x2 x3) ∧ ((x2 ¬x4) ∨ (¬x2 ∧ x4)) = 0
(x8 ≡ x9) ∧ ((x8 ¬x10) ∨ (¬x8 ∧ x10)) = 0
सरल पहला समीकरण:(x1 ¬x3) ∨ (¬x1 ∧ x3)=x1 ⊕ x3=¬(x1 x3)। तब सिस्टम फॉर्म लेगा:
(x1 ≡ x2) (x1 ≡ x3) = 0
(x2 ≡ x3) (x2 ≡ x4)= 0
(x8 ≡ x9) (x8 ≡ x10) = 0
आदि।
प्रत्येक निम्नलिखित समीकरण में पिछले एक की तुलना में 2 अधिक जड़ें हैं।
4 समीकरण के 12 मूल हैं;
समीकरण 5 के 14 मूल हैं
8 समीकरण के 20 मूल हैं।
उत्तर: 20 जड़ें।
कभी-कभी जड़ों की संख्या फाइबोनैचि संख्याओं के नियम के अनुसार बढ़ती है।
तार्किक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए एक रचनात्मक दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।
