नौकरी का प्रकार: 14

स्थि‍ति

आधार ABC वाले एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड DABC में, आधार की भुजा बराबर होती है 6\वर्ग(3),और पिरामिड की ऊंचाई 8 है। बिंदु M , N और K क्रमशः किनारों AB , AC और AD पर इस प्रकार अंकित हैं कि AM=AN=\frac(3\sqrt(3))(2)तथा एके=\frac(5)(2).

एक)सिद्ध कीजिए कि समतल MNK और DBC समानांतर हैं।

बी)बिंदु K से समतल DBC तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

समाधान

एक)यदि एक तल में दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ क्रमशः दूसरे तल में दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के समानांतर हों, तो समतल MNK और DBC समानांतर हैं। आइए इसे साबित करें। समतल MNK की रेखाओं MN और KM पर विचार करें और समतल DBC की रेखाओं BC और DB पर विचार करें।

त्रिभुज AOD में : \angle AOD = 90^\circ और पाइथागोरस प्रमेय द्वारा AD=\sqrt(DO^2 +AO^2)।

\bigtriangleup ABC का प्रयोग करके AO ज्ञात कीजिए।

AO=\frac(2)(3)AO_1,जहां AO_1 \bigtriangleup ABC की ऊंचाई है, AO_1 = \frac(a\sqrt(3))(2),जहाँ a \bigtriangleup ABC की भुजा है।

AO_1 = \frac(6\sqrt(3) \cdot \sqrt(3))(2)=9,तब AO=6, AD=\sqrt(8^2 + 6^2)=10.

1. चूंकि \frac(AK)(AD)=\frac(5)(2) : 10=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(3\sqrt(3))(2) : 6\sqrt(3)=\frac(1)(4)और \angle DAB सामान्य है, फिर \bigtriangleup AKM \sim ADB।

यह इस समानता से निकलता है कि \angle AKM = \angle ADB. ये रेखा KM और BD और छेदक AD के संगत कोण हैं। तो केएम \ समानांतर बीडी।

2. चूंकि \frac(AN)(AC)=\frac(3 \sqrt(3))(2 \cdot 6 \sqrt(3))=\frac(1)(4), \frac(AM)(AB)=\frac(1)(4)और \angle CAB उभयनिष्ठ है, तो \bigtriangleup ANM \sim \bigtriangleup ACB.

यह इस समानता से निकलता है कि \angle ANM = \angle ACB. ये कोण रेखाओं MN और BC और छेदक AC के संगत हैं। तो एमएन \ समानांतर ई.पू.

निष्कर्ष: चूँकि समतल MNK की दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ KM और MN क्रमशः DBC की दो प्रतिच्छेदी रेखाओं BD और BC के समानांतर हैं, ये तल समानांतर हैं - MNK \parallel DBC।

बी)आइए बिंदु K से समतल BDC की दूरी ज्ञात करें।

चूँकि MNK प्लेन DBC प्लेन के समानांतर है, पॉइंट K से DBC प्लेन तक की दूरी पॉइंट O_2 से DBC प्लेन की दूरी के बराबर है और यह सेगमेंट O_2 H की लंबाई के बराबर है। आइए इसे साबित करते हैं। .

BC \perp AO_1 और BC \perp DO_1 (त्रिभुज ABC और DBC की ऊंचाई के रूप में), इसलिए BC विमान ADO_1 के लंबवत है, और फिर BC इस विमान की किसी भी रेखा के लंबवत है, उदाहरण के लिए, O_2 H. निर्माण द्वारा O_2H \perp DO_1, तो O_2H, BCD तल की दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं पर लंबवत है, और फिर खंड O_2 H, BCD तल के लंबवत है और O_2 से BCD तल की दूरी के बराबर है।

एक त्रिभुज में O_2HO_1:O_2H=O_(2)O_(1)\sin\angle HO_(1)O_(2).

O_(2)O_(1)=AO_(1)-AO_(2).\, \frac(AO_2)(AO_1)=\frac(1)(4), AO_(2)=\frac(AO_1)(4)=\frac(9)(4).

O_(2)O_(1)=9-\frac(9)(4)=\frac(27)(4).

\sin \angle DO_(1)A= \frac(DO)(DO_(1))= \frac(8)(\sqrt(64+3^2))= \frac(8)(\sqrt(73)).

O_2H=\frac(27)(4) \cdot \frac(8)(\sqrt(73))=\frac(54)(\sqrt(73)).

उत्तर

\frac(54)(\sqrt(73))

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2017 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 14
विषय: एक बिंदु से एक विमान की दूरी

स्थि‍ति

ABCDA_1B_1C_1D_1 एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म है।

a) सिद्ध कीजिए कि समतल BB_1D_1 \perp AD_1C है।

b) AB = 5 और AA_1 = 6 को जानकर, बिंदु B_1 से समतल AD_1C तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान दिखाएं

समाधान

a) चूंकि यह प्रिज्म नियमित है, तो BB_1 \perp ABCD, इसलिए BB_1 \perp AC। चूँकि ABCD एक वर्ग है, तो AC \perp BD । तो एसी \perp BD और AC \perp BB_1। चूँकि रेखाएँ BD और BB_1 प्रतिच्छेद करती हैं, तो, एक रेखा और एक तल के लंबवतता के चिह्न के अनुसार, AC \perp BB_1D_1D । अब विमानों की लंबवतता के आधार पर AD_1C \perp BB_1D_1 ।

b) वर्ग ABCD के विकर्णों AC और BD के प्रतिच्छेदन बिंदु O से निरूपित करें। विमान AD_1C और BB_1D_1 सीधी रेखा OD_1 के अनुदिश प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए कि B_1H समतल में BB_1D_1 रेखा OD_1 पर खींचा गया एक लंब है। फिर B_1H \perp AD_1C । चलो E=OD_1 \cap BB_1 । समरूप त्रिभुजों D_1B_1E और OBE के लिए (संबंधित कोणों की समानता BO \parallel B_1D_1 स्थिति से अनुसरण करती है) हमारे पास है \frac(B_1E)(BE)=\frac(B_1D_1)(BO)=\frac(2)1.

तो B_1E=2BE=2 \cdot 6=12. चूँकि B_1D_1=5\sqrt(2) , तो कर्ण डी_1ई= \sqrt(B_1E^(2)+B_1D_1^(2))= \sqrt(12^(2)+(5\sqrt(2))^(2))= \sqrt(194).इसके बाद, हम त्रिभुज D_1B_1E में क्षेत्र विधि का उपयोग करके B_1H की ऊंचाई को कर्ण D_1E तक कम करने की गणना करते हैं:

S_(D_1B_1E)=\frac1(2)B_1E \cdot B_1D_1=\frac1(2)D_1E \cdot B_1H; 12 \cdot 5\sqrt(2)=\sqrt(194) \cdot B_1H;

B_1H=\frac(60\sqrt(2))(\sqrt(194))=\frac(60)(\sqrt(97))=\frac(60\sqrt(97))(97).

उत्तर

\frac(60\sqrt(97))(97)

स्रोत: "गणित। परीक्षा-2016 की तैयारी। प्रोफ़ाइल स्तर। ईडी। एफ। एफ। लिसेंको, एस। यू। कुलबुखोवा।

नौकरी का प्रकार: 14
विषय: एक बिंदु से एक विमान की दूरी

स्थि‍ति

ABCDA_1B_1C_1D_1 एक आयताकार बॉक्स है। किनारे AB=24, BC=7, BB_(1)=4 ।

a) सिद्ध कीजिए कि बिंदु B और D से समतल ACD_(1) की दूरी समान है।

बी) इस दूरी का पता लगाएं।

समाधान दिखाएं

समाधान

एक)एक त्रिभुजाकार पिरामिड D_1ACD पर विचार करें।

इस पिरामिड में बिंदु D से आधार तल तक की दूरी ACD_1-DH बिंदु D से आधार ACD_1 तक खींचे गए पिरामिड की ऊंचाई के बराबर है।

V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot DH, इस समानता से हमें मिलता है

DH=\frac(3V_(D_1ACD))(S_(ACD_1)).

पिरामिड D_1ABC पर विचार करें। बिंदु B से समतल ACD_1 की दूरी, B के शीर्ष से ACD_1 के तल तक गिराई गई ऊँचाई के बराबर है। आइए इस दूरी को BK निरूपित करें। फिर V_(D_1ABC)=\frac1(3)S_(ACD_1) \cdot BK, इससे हमें मिलता है बीके=\frac(3V_(D_1ABC))(S_(ACD_1)).\:लेकिन V_(D_1ACD) = V_(D_1ABC) , क्योंकि अगर हम पिरामिड ADC और ABC में आधारों पर विचार करें, तो ऊंचाई D_1D कुल है और S_(ADC)=S_(ABC) ( \bigtriangleup ADC=\bigtriangleup ABCदो पैरों पर)। तो बीके = डीएच।

b) पिरामिड D_1ACD का आयतन ज्ञात कीजिए।

ऊंचाई D_1D=4 .

S_(ACD)=\frac1(2)AD \cdot DC=\frac1(2) \cdot24 \cdot 7=84.

V=\frac1(3)S_(ACD) \cdot D_1D=\frac1(3) \cdot84 \cdot4=112.

ACD_1 का फेस एरिया बराबर होता है \frac1(2)एसी \cdot D_1P.

एडी_1= \sqrt(AD^(2)+DD_1^(2))= \sqrt(7^(2)+4^(2))= \sqrt(65), \:AC= \sqrt(AB^(2)+BC^(2))= \sqrt(24^(2)+7^(2))= 25

यह जानते हुए कि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण के लिए समानुपाती है और कर्ण का खंड पैर और समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊंचाई के बीच संलग्न है, त्रिभुज ADC में हमारे पास है एडी^(2)=एसी \cdot एपी, \: AP=\frac(AD^(2))(AC)=\frac(7^(2))(25)=\frac(49)(25).

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा एक समकोण त्रिभुज AD_1P में D_1P^(2)= AD_1^(2)-AP^(2)= 65-\बाएं (\frac(49)(25) \right)^(2)= \frac(38\:224)(25^(2)), D_1P=\frac(4\sqrt(2\:389))(25)।

S_(ACD_1)=\frac1(2) \cdot25 \cdot\frac(4\sqrt(2\:389))(25)=2\sqrt(2\:389).

DH=\frac(3V)(S_(ACD_1))=\frac(3 \cdot112)(2\sqrt(2\:389))=\frac(168)(\sqrt(2\:389)).

कार्तीय निर्देशांक प्रणाली के किसी भी तल को समीकरण `Ax + By + Cz + D = 0` द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जहां कम से कम एक संख्या `A`, `B`, `C` शून्य नहीं है। मान लीजिए कि बिंदु `M (x_0;y_0;z_0)` दिया गया है, इससे समतल की दूरी `Ax + By + Cz + D = 0` ज्ञात कीजिए।

माना बिंदु से गुजरने वाली रेखा `M` `alpha` तल के लंबवत, इसे बिंदु `K` . पर प्रतिच्छेद करता है निर्देशांक के साथ `(x; y; z)`। वेक्टर `vec (एमके)` `अल्फा` विमान के लंबवत, जैसा कि वेक्टर है `vecn` (ए;बी;सी)`, यानी वैक्टर `vec(MK)` तथा `vecn` समरेख, `vec(MK)=λvecn`।

चूँकि `(x-x_0;y-y_0;z-z-0)` और `vecn(A,B,C)`, फिर `x-x_0=lambdaA`, `y-y_0=lambdaB`, `z-z_0=lambdaC`।

डॉट `के` 'अल्फा' विमान में स्थित है (चित्र 6), इसके निर्देशांक तल के समीकरण को संतुष्ट करते हैं। `x=x_0+lambdaA`, `y=y_0+lambdaB`, `z=z_0+lambdaC` को समीकरण `Ax+By+Cz+D=0` में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

`A(x_0+lambdaA)+(B(y_0+lambdaB)+C(z_0+lambdaC)+D=0`,

जहां से `lambda=-(Ax_0+By_0+Cz_0+D)/(A^2+B^2+C^2)`।

वेक्टर की लंबाई पाएं `vec(MK)`, जो बिंदु से दूरी के बराबर है `M(x_0;y_0;z_0)` विमान के लिए `Ax + By + Cz + D` |vec(MK)|=|lambdavecn|=|lambda|*sqrt(A^2+B^2+C^2)`।

तो, दूरी `h` बिंदु से `M(x_0;y_0;z_0)` विमान के लिए `Ax + By + Cz + D = 0` है

`h=(|Ax_0+By_0+Cz_0+D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))`।

बिंदु से दूरी खोजने की ज्यामितीय विधि के साथ `ए` विमान `अल्फा`, लंबवत का आधार खोजें `ए ए ^"`, बिंदु `ए` से `अल्फा` विमान तक कम किया गया। यदि बिंदु `ए ^ "` समस्या में निर्दिष्ट `अल्फा` विमान के खंड के बाहर है, फिर एक रेखा `सी` बिंदु के माध्यम से खींची जाती है `ए`, विमान के समानांतर `अल्फा`, और एक अधिक सुविधाजनक बिंदु `सी उस पर `चुना जाता है, जिसका ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन `C^"` . है `अल्फा` विमान के दिए गए खंड के अंतर्गत आता है। खंड की लंबाई `C C^"`बिंदु `ए` से वांछित दूरी के बराबर होगा`अल्फा` विमान तक.

एक नियमित षट्कोणीय प्रिज्म में `A...F_1`, जिसके सभी किनारे `1` के बराबर हैं, बिंदु `B` से समतल `AF F_1` की दूरी ज्ञात करें।

माना 'O' प्रिज्म के निचले आधार का केंद्र है (चित्र 7)। लाइन `BO` लाइन `AF` के समानांतर है और इसलिए, बिंदु `B` से विमान `AF F_1` की दूरी `OH` बिंदु `O` से `AF F_1` की दूरी के बराबर है। त्रिभुज `AOF` में हमारे पास `AO=OF=AF=1` है। इस त्रिभुज की ऊंचाई `OH` है `(sqrt3)/2`। इसलिए, आवश्यक दूरी बराबर है `(sqrt3)/2`।

चलिए एक और रास्ता दिखाते हैं (सहायक मात्रा विधि)एक बिंदु से एक विमान की दूरी का पता लगाना। यह ज्ञात है कि पिरामिड का आयतन `V` , इसका आधार क्षेत्रफल `S`और ऊंचाई लंबाई `एच`सूत्र `h=(3V)/S` से जुड़ा हुआ है। लेकिन पिरामिड की ऊंचाई की लंबाई इसके शीर्ष से आधार तल तक की दूरी के अलावा और कुछ नहीं है। इसलिए, एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी की गणना करने के लिए, इस बिंदु पर एक शीर्ष के साथ कुछ पिरामिड के आधार की मात्रा और क्षेत्र को खोजने के लिए पर्याप्त है और किसी दिए गए विमान में स्थित आधार के साथ।

एक नियमित प्रिज्म `A...D_1` दिया जाता है, जिसमें `AB=a`, `A A_1=2a` दिया जाता है। आधार `A_1B_1C_1D_1` के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से विमान `BDC_1` तक की दूरी ज्ञात करें।

चतुष्फलक पर विचार करें `O_1DBC_1` (चित्र 8)। वांछित दूरी `h` इस टेट्राहेड्रोन की ऊंचाई की लंबाई है, जो बिंदु से कम है `O_1` फेस प्लेन `BDC_1` . इसे ज्ञात करने के लिए `V` . का आयतन जानना ही काफी हैचतुष्फलक `O_1DBC_1` और क्षेत्र त्रिभुज `DBC_1`. आइए उनकी गणना करें। ध्यान दें कि पंक्ति `O_1C_1` विमान के लंबवत `O_1DB`, चूँकि यह `BD` . के लंबवत हैऔर `बी बी_1` . अत: चतुष्फलक का आयतन `O_1DBC_1` बराबरी

के बीच की दूरी का निर्धारण: 1 - बिंदु और विमान; 2 - सीधा और सपाट; 3 - विमान; 4 - क्रॉसिंग लाइनों को संयुक्त रूप से माना जाता है, क्योंकि इन सभी समस्याओं के लिए समाधान एल्गोरिदम अनिवार्य रूप से समान है और इसमें ज्यामितीय निर्माण होते हैं जिन्हें दिए गए बिंदु ए और विमान α के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए किया जाना चाहिए। यदि कोई अंतर है, तो यह केवल इस तथ्य में निहित है कि 2 और 3 के मामलों में, समस्या को हल करने से पहले, किसी को लाइन एम (केस 2) या विमान β (केस 3) पर एक मनमाना बिंदु ए को चिह्नित करना चाहिए। तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी, हम प्रारंभिक रूप से इन विमानों के बीच की दूरी के बाद के निर्धारण के साथ समानांतर विमानों α और β में संलग्न करते हैं।

आइए समस्या समाधान के प्रत्येक विख्यात मामलों पर विचार करें।

1. एक बिंदु और एक तल के बीच की दूरी का निर्धारण।

एक बिंदु से एक समतल की दूरी का निर्धारण बिंदु से तल पर गिराए गए लंबवत खंड की लंबाई से होता है।

इसलिए, इस समस्या के समाधान में निम्नलिखित ग्राफिकल ऑपरेशनों का क्रमिक निष्पादन शामिल है:

1) बिंदु A से हम समतल α (चित्र 269) के लंबवत को कम करते हैं;

2) समतल M = a α के साथ इस लंब के प्रतिच्छेदन का बिंदु M ज्ञात कीजिए;

3) खंड की लंबाई निर्धारित करें।

यदि विमान α सामान्य स्थिति में है, तो इस विमान पर लंबवत छोड़ने के लिए, पहले इस विमान के क्षैतिज और ललाट के अनुमानों की दिशा निर्धारित करना आवश्यक है। विमान के साथ इस लंबवत के मिलन बिंदु को खोजने के लिए अतिरिक्त ज्यामितीय निर्माण की भी आवश्यकता होती है।

समस्या का समाधान सरल है यदि विमान α प्रक्षेपण विमानों के सापेक्ष एक विशेष स्थिति में है। इस मामले में, लंबवत के प्रक्षेपण और विमान के साथ इसके मिलने के बिंदु की खोज दोनों को बिना किसी अतिरिक्त सहायक निर्माण के किया जाता है।

उदाहरण 1. बिंदु A से सामने की ओर प्रक्षेपित समतल α (चित्र 270) तक की दूरी निर्धारित करें।

समाधान। ए के माध्यम से "हम लंबवत एल" एच 0α का एक क्षैतिज प्रक्षेपण खींचते हैं, और ए के माध्यम से - इसके ललाट प्रक्षेपण l" ⊥ f 0α। हम बिंदु M" = l" f 0α को चिह्नित करते हैं। AM के बाद से || 2 , फिर [А" "] == | AM| = घ.

विचार किए गए उदाहरण से, यह देखा जा सकता है कि जब विमान एक प्रक्षेपित स्थिति में होता है तो समस्या कैसे हल हो जाती है। इसलिए, यदि प्रारंभिक डेटा में एक सामान्य विमान निर्दिष्ट किया गया है, तो समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, विमान को किसी भी प्रक्षेपण विमान के लंबवत स्थिति में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

उदाहरण 2. द्वारा दिए गए बिंदु K से समतल तक की दूरी ज्ञात कीजिए (चित्र 271)।

1. हम विमान को प्रक्षेपित स्थिति में स्थानांतरित करते हैं *। ऐसा करने के लिए, हम सिस्टम xπ 2 / 1 से x 1 π 3 / π 1 से गुजरते हैं: नए अक्ष x 1 की दिशा को त्रिभुज के क्षैतिज तल के क्षैतिज प्रक्षेपण के लंबवत चुना जाता है।

2. हम ΔАВС को एक नए विमान π 3 पर प्रक्षेपित करते हैं (ΔАВС विमान को 3 पर प्रक्षेपित किया जाता है, [С" 1 В" 1 ] में)।

3. हम बिंदु K (K "→ K" 1) को एक ही तल पर प्रक्षेपित करते हैं।

4. बिंदु K "1 के माध्यम से हम (K" 1 M "1) खंड [C" 1 B "1] खींचते हैं। वांछित दूरी d \u003d | K "1 M" 1 |।

समस्या का समाधान सरल हो जाता है यदि विमान को निशान द्वारा दिया जाता है, क्योंकि समतल रेखाओं के अनुमानों को करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण 3. बिन्दु K से समतल α तक की दूरी, रेखाचित्रों द्वारा दी गई है (चित्र 272) निर्धारित करें।

* त्रिभुज के तल को प्रक्षेपित करने की स्थिति में स्थानांतरित करने का सबसे तर्कसंगत तरीका प्रक्षेपण विमानों को बदलने की विधि है, क्योंकि इस मामले में यह केवल एक सहायक प्रक्षेपण बनाने के लिए पर्याप्त है।

समाधान। हम विमान 1 को विमान 3 से बदलते हैं, इसके लिए हम एक नया अक्ष x 1 ⊥ f 0α खींचते हैं। एच 0α पर हम एक मनमाना बिंदु 1 "चिह्नित करते हैं और विमान π 3 (1" 1) पर इसके नए क्षैतिज प्रक्षेपण का निर्धारण करते हैं। अंक X α 1 (X α 1 \u003d h 0α 1 x 1) और 1 "1 के माध्यम से हम h 0α 1 खींचते हैं। हम बिंदु K → K" 1 के एक नए क्षैतिज प्रक्षेपण को परिभाषित करते हैं। बिंदु K "1 से हम लंब को h 0α 1 तक कम करते हैं और इसके चौराहे के बिंदु को h 0α 1 - M" 1 से चिह्नित करते हैं। खंड K "1 M" 1 की लंबाई वांछित दूरी को इंगित करेगी।

2. एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच की दूरी ज्ञात करना।

रेखा और तल के बीच की दूरी रेखा पर एक मनमाना बिंदु से समतल पर गिराए गए लंबवत के खंड की लंबाई से निर्धारित होती है (चित्र 248 देखें)।

इसलिए, सीधी रेखा m और समतल α के बीच की दूरी निर्धारित करने की समस्या का समाधान बिंदु और समतल के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए अनुच्छेद 1 में दिए गए उदाहरणों से भिन्न नहीं है (चित्र 270 ... 272 ​​देखें) . रेखा m से संबंधित कोई भी बिंदु एक बिंदु के रूप में लिया जा सकता है।

3. विमानों के बीच की दूरी का निर्धारण।

तलों के बीच की दूरी एक तल से दूसरे तल पर लिए गए बिंदु से गिराए गए लंब के खंड के मान से निर्धारित होती है।

यह इस परिभाषा से निम्नानुसार है कि विमानों α और β के बीच की दूरी को खोजने की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम लाइन एम और विमान α के बीच की दूरी को निर्धारित करने की समस्या को हल करने के लिए समान एल्गोरिदम से भिन्न होता है, जिसमें लाइन एम होना चाहिए विमान α से संबंधित हैं, यानी, विमानों α और β के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए निम्नानुसार है:

1) समतल α में एक रेखा m लें;

2) लाइन एम पर एक मनमाना बिंदु ए का चयन करें;

3) बिंदु ए से, लंबवत एल को विमान β पर कम करें;

4) बिंदु एम निर्धारित करें - विमान β के साथ लंबवत एल का मिलन बिंदु;

5) खंड का मूल्य निर्धारित करें।

व्यवहार में, एक अलग समाधान एल्गोरिथ्म का उपयोग करने की सलाह दी जाती है, जो केवल उसमें दिए गए एक से भिन्न होगा, पहले चरण के साथ आगे बढ़ने से पहले, विमानों को प्रोजेक्टिंग स्थिति में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

एल्गोरिथ्म में इस अतिरिक्त ऑपरेशन को शामिल करने से बिना किसी अपवाद के अन्य सभी बिंदुओं के कार्यान्वयन को सरल बनाया जाता है, जो अंततः एक सरल समाधान की ओर जाता है।

उदाहरण 1. समतल α और β के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए (चित्र 273)।

समाधान। हम सिस्टम से गुजरते हैं xπ 2 /π 1 से x 1 π 1 /π 3 । नए विमान π 3 के संबंध में, विमान α और β एक प्रक्षेपित स्थिति पर कब्जा कर लेते हैं, इसलिए नए ललाट निशान f 0α 1 और f 0β 1 के बीच की दूरी आवश्यक है।

इंजीनियरिंग अभ्यास में, किसी दिए गए के समानांतर और उससे एक निश्चित दूरी पर एक विमान के निर्माण की समस्या को हल करना अक्सर आवश्यक होता है। नीचे दिया गया उदाहरण 2 ऐसी समस्या का समाधान दिखाता है।

उदाहरण 2. यदि यह ज्ञात है कि उनके बीच की दूरी d के बराबर है, तो दिए गए विमान α (m || n) के समानांतर, समतल β के प्रक्षेपणों का निर्माण करना आवश्यक है (चित्र 274)।

1. समतल α में हम एक मनमाना क्षैतिज h (1, 3) और एक ललाट f (1,2) खींचते हैं।

2. बिंदु 1 से हम लंबवत l को समतल α(l" h", l" f") पर पुनर्स्थापित करते हैं।

3. लंब l पर एक मनमाना बिंदु A अंकित करें।

4. खंड की लंबाई निर्धारित करें - (स्थिति आरेख पर सीधी रेखा l की मीट्रिक रूप से अविरल दिशा को इंगित करती है)।

5. बिंदु 1" खंड = d से एक सीधी रेखा (1 "A 0) पर एक तरफ सेट करें।

6. हम बिंदु बी 0 के अनुरूप अनुमानों एल "और एल" अंक बी "और बी" पर चिह्नित करते हैं।

7. बिंदु B (h 1 f 1) से होकर एक समतल β खींचिए। ताकि β || α, स्थिति का पालन करना आवश्यक है h 1 || एच और एफ 1 || एफ।

4. तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी का निर्धारण।

तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी को समानांतर विमानों के बीच संलग्न लंबवत की लंबाई से निर्धारित किया जाता है जिससे तिरछी रेखाएँ संबंधित होती हैं।

परस्पर समांतर तलों α और β को प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं m और f के माध्यम से खींचने के लिए, बिंदु A (A m), और बिंदु B (B ∈ f) के माध्यम से रेखा k के समानांतर रेखा p खींचना पर्याप्त है। लाइन एम। प्रतिच्छेदी रेखाएँ m और p, f और k परस्पर समांतर तलों α और β को परिभाषित करते हैं (देखिए आकृति 248, e)। समतल α और β के बीच की दूरी तिरछी रेखाओं m और f के बीच की वांछित दूरी के बराबर है।

तिरछी रेखाओं के बीच की दूरी निर्धारित करने के लिए एक और तरीका प्रस्तावित किया जा सकता है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि ऑर्थोगोनल अनुमानों को बदलने की कुछ विधि की मदद से, तिरछी रेखाओं में से एक को प्रोजेक्टिंग स्थिति में स्थानांतरित किया जाता है। इस मामले में, रेखा का एक प्रक्षेपण एक बिंदु में पतित हो जाता है। तिरछी रेखाओं (बिंदु A" 2 और खंड C" 2 D" 2) के नए अनुमानों के बीच की दूरी आवश्यक है।

अंजीर पर। 275 दिए गए खंडों [AB] और [CD] में प्रतिच्छेदी रेखाओं a और b के बीच की दूरी निर्धारित करने की समस्या का समाधान दिखाता है। समाधान निम्नलिखित क्रम में किया जाता है:

1. प्रतिच्छेदी रेखाओं में से एक को स्थानांतरित करें (ए) विमान π 3 के समानांतर स्थिति में; ऐसा करने के लिए, वे प्रक्षेपण विमानों की प्रणाली xπ 2 / 1 से एक नए x 1 π 1 / 3 की ओर बढ़ते हैं, x 1 अक्ष सीधी रेखा a के क्षैतिज प्रक्षेपण के समानांतर है। निर्धारित करें a" 1 [A" 1 B" 1 ] और b" 1 ।

2. समतल 1 को समतल 4 से प्रतिस्थापित करके, एक सीधी रेखा का अनुवाद किया जाता है

और स्थिति में "2, विमान π 4 के लंबवत (नया अक्ष x 2 एक" 1 के लंबवत खींचा गया है)।

3. सीधी रेखा b "2 - [C" 2 D "2] का एक नया क्षैतिज प्रक्षेपण बनाएं।

4. बिंदु A "2 से सीधी रेखा C" 2 D "2 (खंड (A" 2 M "2]) की दूरी (वांछित है।

यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि प्रतिच्छेदन रेखाओं में से एक को प्रक्षेपित करने की स्थिति में स्थानांतरित करना समानांतरवाद के विमानों के स्थानांतरण से अधिक कुछ नहीं है, जिसमें रेखाएँ a और b संलग्न की जा सकती हैं, साथ ही प्रोजेक्टिंग स्थिति में भी।

वास्तव में, रेखा a को समतल π 4 के लंबवत स्थिति में स्थानांतरित करके, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि रेखा a वाला कोई भी तल समतल π 4 के लंबवत है, जिसमें समतल α भी शामिल है जो रेखाओं a और m (a m) द्वारा परिभाषित है। एम || बी)। यदि अब हम a और प्रतिच्छेद करने वाली रेखा b के समांतर एक रेखा n खींचते हैं, तो हमें समतल β प्राप्त होता है, जो समांतरता का दूसरा तल है, जिसमें प्रतिच्छेद करने वाली रेखाएँ a और b हैं। चूंकि β || α, फिर β 4 ।

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• जब आप साइट पर आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

• हमारे द्वारा एकत्र की जाने वाली व्यक्तिगत जानकारी हमें आपसे संपर्क करने और आपको अद्वितीय ऑफ़र, प्रचार और अन्य घटनाओं और आने वाली घटनाओं के बारे में सूचित करने की अनुमति देती है।
• समय-समय पर, हम आपको महत्वपूर्ण नोटिस और संचार भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
• हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि ऑडिट करना, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना ताकि हम प्रदान की जाने वाली सेवाओं में सुधार कर सकें और आपको हमारी सेवाओं के बारे में सिफारिशें प्रदान कर सकें।
• यदि आप एक पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रोत्साहन में प्रवेश करते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।

तीसरे पक्ष के लिए प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को नहीं बताते हैं।

अपवाद:

• इस घटना में कि यह आवश्यक है - कानून के अनुसार, न्यायिक आदेश, कानूनी कार्यवाही में, और / या रूसी संघ के क्षेत्र में राज्य निकायों के सार्वजनिक अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर - आपकी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक हित उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उपयुक्त है।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम अपने द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी को संबंधित तृतीय पक्ष उत्तराधिकारी को स्थानांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को नुकसान, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता बनाए रखना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा प्रथाओं के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।

पीछे आगे

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लक्ष्य:

• छात्रों के ज्ञान और कौशल का सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण;
• विश्लेषण, तुलना, निष्कर्ष निकालने के कौशल का विकास।

उपकरण:

• मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर;
• एक कंप्यूटर;
• कार्य पत्रक

अध्ययन प्रक्रिया

I. संगठनात्मक क्षण

द्वितीय. ज्ञान को अद्यतन करने का चरण(स्लाइड 2)

हम दोहराते हैं कि कैसे एक बिंदु से एक विमान की दूरी निर्धारित की जाती है

III. भाषण(स्लाइड्स 3-15)

पाठ में, हम एक बिंदु से एक तल तक की दूरी ज्ञात करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करेंगे।

पहली विधि: चरण-दर-चरण कम्प्यूटेशनल

बिंदु M से समतल α की दूरी:
रेखा a पर स्थित एक मनमाना बिंदु P से समतल α की दूरी के बराबर है, जो बिंदु M से होकर गुजरता है और समतल α के समानांतर है;
- विमान α की दूरी के बराबर है जो विमान β पर स्थित एक मनमाना बिंदु P से है, जो बिंदु M से होकर गुजरता है और विमान α के समानांतर है।

हम निम्नलिखित कार्यों को हल करेंगे:

№1. घन A ... D 1 में बिंदु C 1 से समतल AB 1 C तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

यह खंड ओ 1 एन की लंबाई के मूल्य की गणना करने के लिए बनी हुई है।

№2. एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म ए ... एफ 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, बिंदु ए से विमान डीईए 1 की दूरी पाएं।

अगली विधि: मात्रा विधि.

यदि पिरामिड ABCM का आयतन V है, तो बिंदु M से ABC वाले समतल α की दूरी की गणना सूत्र (M; α) = (M; ABC) = द्वारा की जाती है।
समस्याओं को हल करते समय, हम दो अलग-अलग तरीकों से व्यक्त की गई एक आकृति के आयतन की समानता का उपयोग करते हैं।

आइए निम्नलिखित समस्या को हल करें:

№3. पिरामिड DABC का किनारा AD आधार ABC के तल के लंबवत है। ए से एबी, एसी और एडी के किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाले विमान की दूरी ज्ञात करें, यदि।

समस्याओं का समाधान करते समय समन्वय विधिबिंदु M से समतल α की दूरी की गणना सूत्र ρ(M; α) = . द्वारा की जा सकती है , जहाँ M(x 0; y 0; z 0), और तल समीकरण ax + by + cz + d = 0 द्वारा दिया गया है

आइए निम्नलिखित समस्या को हल करें:

№4. इकाई घन A…D 1 में बिंदु A 1 से समतल BDC 1 तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

हम बिंदु A पर मूल के साथ एक समन्वय प्रणाली पेश करते हैं, y अक्ष किनारे AB के साथ, x अक्ष - किनारे AD के साथ, z अक्ष - किनारे AA 1 के साथ गुजरेगा। फिर अंक बी (0; 1; 0) डी (1; 0; 0;) सी 1 (1; 1; 1) के निर्देशांक
आइए हम बिंदुओं B, D, C 1 से गुजरने वाले समतल का समीकरण बनाते हैं।

तब - dx - dy + dz + d = 0 x + y - z - 1 = 0। इसलिए, =

इस प्रकार की समस्याओं को हल करने में निम्नलिखित विधि का प्रयोग किया जा सकता है - संदर्भ कार्यों की विधि।

इस पद्धति के अनुप्रयोग में प्रसिद्ध संदर्भ समस्याओं का अनुप्रयोग शामिल है, जिन्हें प्रमेय के रूप में तैयार किया जाता है।

आइए निम्नलिखित समस्या को हल करें:

№5. एक इकाई घन A ... D 1 में बिंदु D 1 से समतल AB 1 C तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

आवेदन पर विचार करें वेक्टर विधि।

№6. इकाई घन …D 1 में बिंदु А 1 से समतल ВDC 1 तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

इसलिए, हमने विभिन्न तरीकों पर विचार किया है जिनका उपयोग इस प्रकार की समस्या को हल करने में किया जा सकता है। एक या दूसरी विधि का चुनाव विशिष्ट कार्य और आपकी प्राथमिकताओं पर निर्भर करता है।

चतुर्थ। समूह के काम

समस्या को विभिन्न तरीकों से हल करने का प्रयास करें।

№1. घन का किनारा …D 1 बराबर है। शीर्ष C से समतल BDC 1 तक की दूरी ज्ञात कीजिए।

№2. एक नियमित चतुष्फलक ABCD में एक किनारे के साथ, बिंदु A से समतल BDC तक की दूरी ज्ञात कीजिए

№3. एक नियमित त्रिकोणीय प्रिज्म ABCA 1 B 1 C 1 में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, A से समतल BCA 1 की दूरी ज्ञात कीजिए।

№4. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड SABCD में, जिसके सभी किनारे 1 के बराबर हैं, A से समतल SCD की दूरी ज्ञात कीजिए।

वी। पाठ का परिणाम, गृहकार्य, प्रतिबिंब