कांटोर जॉर्ज ( जॉर्ज फर्डिनेंड लुडविग फिलिप कैंटोर; 1845, सेंट पीटर्सबर्ग - 1918, हाले, जर्मनी), जर्मन गणितज्ञ और विचारक।

1856 से वह जर्मनी में रहे। उन्होंने बर्लिन के व्यायामशाला से स्नातक किया, ज्यूरिख, गोटिंगेन और बर्लिन के विश्वविद्यालयों में गणित का अध्ययन किया। 1867-1913 में हाले में विश्वविद्यालय में काम किया: सहायक, 1872 से - असाधारण, और 1879 से - साधारण प्रोफेसर। 1897 में एक गंभीर बीमारी के कारण कांतोर की वैज्ञानिक गतिविधि बाधित हो गई थी।

कांटोर सेट थ्योरी और ट्रांसफिनिट नंबर्स के थ्योरी के निर्माता हैं। 1874 में, उन्होंने गैर-समतुल्य के अस्तित्व की स्थापना की, अर्थात्, विभिन्न कार्डिनैलिटी वाले अनंत सेट, 1878 में उन्होंने सेटों की कार्डिनैलिटी की सामान्य अवधारणा पेश की (उनके द्वारा प्रस्तावित और गणित में स्वीकार किए गए सेटों की कार्डिनैलिटी के पदनाम में) हिब्रू वर्णमाला के अक्षर, शायद, उसका हिब्रू - उसके पिता के बाद - मूल)। अपने मुख्य काम ऑन इनफिनिट लीनियर पॉइंट फॉर्मेशन्स (1879-84) में, कैंटर ने व्यवस्थित रूप से सेट के सिद्धांत की व्याख्या की और एक आदर्श सेट (तथाकथित कैंटर सेट) का एक उदाहरण बनाकर इसे पूरा किया।

20वीं सदी की शुरुआत में सभी गणित सेट सिद्धांत के आधार पर बनाया गया था और कई नए वैज्ञानिक विषयों का उदय हुआ - टोपोलॉजी, अमूर्त बीजगणित, वास्तविक चर के कार्यों का सिद्धांत, कार्यात्मक विश्लेषण, और अन्य।

सेट थ्योरी ने गणित की नींव के अध्ययन में एक नया पृष्ठ भी खोला - कांतोर के काम ने पहली बार गणित के विषय के बारे में आधुनिक सामान्य विचारों को स्पष्ट रूप से तैयार करना संभव बनाया, गणितीय सिद्धांतों की संरचना, स्वयंसिद्ध की भूमिका और अवधारणा वस्तुओं की प्रणालियों के समरूपता का, उन्हें जोड़ने वाले संबंधों के साथ दिया गया। गणित की तार्किक नींव के अध्ययन के लिए एक महत्वपूर्ण प्रोत्साहन सेट सिद्धांत में खोजे गए विरोधाभासों द्वारा दिया गया था, विशेष रूप से, कैंटर द्वारा खोजे गए सभी सेटों के सेट की कार्डिनैलिटी की समस्या से (जो अनिवार्य रूप से इससे बड़ा हो जाएगा) अपने आप)। कांतोर ने वास्तविक संख्याओं का सिद्धांत भी विकसित किया, जो (के. वीयरस्ट्रैस और आर. डेडेकिंड के सिद्धांतों के साथ) गणितीय विश्लेषण के निर्माण का आधार बनता है।

गणित के दर्शन में, कांतोर ने अनंत की समस्या का विश्लेषण किया। दो प्रकार के गणितीय अनंत - अनुचित (संभावित) और उचित (वास्तविक, पूर्ण रूप से समझा जाता है) को भेदते हुए, - कांटोर ने अपने पूर्ववर्तियों के विपरीत, वास्तव में अनंत की अवधारणा के साथ गणित में संचालन की वैधता पर जोर दिया। प्लेटोनिज्म के समर्थक, कांटोर ने गणितीय रूप से देखा कि वास्तव में सामान्य रूप से अनंत के रूपों में से एक अनंत है, जो पूर्ण दिव्य अस्तित्व में उच्चतम पूर्णता प्राप्त करता है।

गणित में अस्तित्व की समस्या में, कांतोर ने अंतर-विषयक, या आसन्न (यानी, आंतरिक तार्किक स्थिरता), और ट्रांससबजेक्टिव, या क्षणिक (यानी, बाहरी दुनिया की प्रक्रियाओं के लिए पत्राचार), गणितीय वस्तुओं की वास्तविकता के बीच अंतर किया। एल क्रोनकर के विपरीत, जिन्होंने निर्माण या गणना से संबंधित नहीं नई गणितीय वस्तुओं को पेश करने के सभी तरीकों को खारिज कर दिया, कांतोर ने तार्किक रूप से सुसंगत अमूर्त गणितीय प्रणालियों के निर्माण की अनुमति दी। 20वीं शताब्दी में गणित के विकास से इस दृष्टिकोण की उपयोगिता की पुष्टि हुई।

कांतोर को उनके जीवन के रचनात्मक काल के अंत में ही पहचान मिली। 1890 में उन्हें जर्मन मैथमैटिकल सोसाइटी का पहला अध्यक्ष चुना गया।

रूसी अनुवाद में, कांटोर के कई लेख गणित में नए विचार, नंबर 6, सेंट पीटर्सबर्ग, 1914 के संग्रह में शामिल किए गए थे।

उन्हें मानव विचार के इतिहास में महत्वपूर्ण मील के पत्थर में से एक माना जाता है। समुच्चय सिद्धान्त, जिसे उन्होंने बनाया, आधुनिक गणित की आधारशिला है।

जॉर्ज फर्डिनेंड लुडविग फिलिप कांटोरोउनका जन्म 3 मार्च, 1845 को सेंट पीटर्सबर्ग में हुआ था, जहां उनके पिता, एक धनी डेनिश व्यवसायी, उनके जन्म से कुछ समय पहले ही प्रवास कर गए थे। फेफड़ों की बीमारी के कारण, उनके पिता को 1856 में फिर से प्रवास करना पड़ा, इस बार फ्रैंकफर्ट। यह वहाँ था कि जॉर्ज ने कई निजी स्कूलों में अध्ययन किया। 15 साल की उम्र में उन्हें विस्बाडेन के एक स्कूल में भर्ती कराया गया था।

कैंटर ने जल्दी ही एक उग्र दिखाया गणित में रुचि. 1862 में उन्होंने बर्लिन विश्वविद्यालय में दर्शनशास्त्र और भौतिकी के साथ-साथ गणित का अध्ययन शुरू किया।

वहाँ उनके शिक्षक थे लियोपोल्ड क्रोनकर (1823-1891), अर्न्स्ट कुमेर(1810-1893) और कार्ल वीयरस्ट्रास(1815-1897)। उत्तरार्द्ध का उन पर सबसे अधिक प्रभाव था, और क्रोनकर, जिन्होंने उन्हें संख्या सिद्धांत की मूल बातें सिखाईं, बाद में कैंटर के विचारों के सबसे कठोर आलोचक बन गए। 1867 में, कांटोर ने डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की, और दो साल बाद - हाले विश्वविद्यालय में एक पद, देश में एक काफी महत्वपूर्ण शैक्षिक केंद्र, जो, हालांकि, जर्मनी में सबसे प्रतिष्ठित में से एक नहीं था। उन्होंने एक सहायक प्रोफेसर के रूप में शुरुआत की, जिसका अर्थ था कि उनका वेतन उनकी कक्षाओं में छात्रों की संख्या पर निर्भर करता था। यह 1879 तक नहीं था कि उन्हें पूर्ण प्रोफेसरशिप मिली।

29 साल की उम्र में, कांटोर ने वैली गुटमैन से शादी की और अपना पहला प्रकाशित किया सेट थ्योरी पर कामअगस्त क्रेल द्वारा स्थापित जर्नल ऑफ़ प्योर एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स में। इस काम में, उन्होंने एक आश्चर्यजनक तथ्य साबित किया: इस तथ्य के बावजूद कि परिमेय संख्याओं का समूह रेखा पर घना है, यह गणनीय है, अर्थात इसमें तत्वों की संख्या प्राकृतिक संख्याओं की संख्या से अधिक नहीं है। उन्होंने यह भी सिद्ध किया (1891 में प्रमाण को अंतिम रूप देते हुए) कि वास्तविक संख्याएँ इस संबंध में विशेष हैं, क्योंकि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय और प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के बीच कोई एक-से-एक पत्राचार स्थापित नहीं किया जा सकता है। यह "अनंत" नामक किले पर धावा बोलने का पहला प्रयास था।

वर्ष 1877 भी कैंटर के लिए बहुत महत्वपूर्ण हो गया: यह तब था जब उन्होंने यह साबित कर दिया कि, लोकप्रिय धारणा के विपरीत, एक रेखा और एक विमान के बीच स्थापित करना संभव है। प्रत्येक से अलग पत्राचार. जैसा कि 1874 में, कांटोर ने भी इस लेख को क्रेल्स जर्नल को प्रस्तुत किया था।

जर्नल के संपादकों में से एक क्रोनकर ने लेख को लगातार खारिज कर दिया, जो अगले वर्ष तक प्रकाशन में देरी करने में कामयाब रहे। क्रोनकर अनंत के कट्टर विरोधी थे और इसे केवल बार-बार दोहराई जाने वाली प्रक्रियाओं के शॉर्टहैंड रिकॉर्ड के रूप में मान्यता देते थे। दूसरी ओर, कैंटर ने सच्ची अनंत से भरी दुनिया का अध्ययन किया, और हर बार उन्होंने एक तेजी से जटिल संरचना की अनंतता पर विचार किया, उदाहरण के लिए, अनंत संख्या, जिस पर उन्होंने अपने परिपक्व वर्षों में लगातार काम किया।

सब कुछ इंगित करता है कि कांटोर एक बीमारी से पीड़ित था जिसे अब मैनिक-डिप्रेसिव सिंड्रोम कहा जाता है - एक अंतर्जात रोग जिसमें उत्साह के चरणों को अवसाद द्वारा बदल दिया जाता है।

अपने जीवन के अंतिम 20 वर्षों के लिए, कांटोर का समय-समय पर मनोरोग क्लीनिकों में इलाज किया गया, जहाँ उन्होंने अपनी मर्जी से आवेदन किया। इसने उन्हें अपना काम जारी रखने और उपचारों के बीच अपने सिद्धांतों को प्रकाशित करने से नहीं रोका। आखिरी बार उन्हें 1917 में अस्पताल में भर्ती कराया गया था - उनकी इच्छा के विरुद्ध एकमात्र समय। कांतोर ने चिट्ठियों में ठंड, अकेलेपन और खराब खान-पान की शिकायत की थी. इस तथ्य के बावजूद कि उस समय तक उनके सिद्धांत पहले ही व्यापक हो चुके थे वैज्ञानिक समुदाय की मान्यता 6 जनवरी, 1918 को, वह अकेले और वास्तव में निराशाजनक परिस्थितियों में मर गया।

कैंटर का सेट थ्योरी। कांतोर ने वास्तव में अनंत सेटों के साथ संचालन के लिए एक निश्चित तकनीक विकसित की और अनंत सेटों के लिए मात्रा की अवधारणा के एक निश्चित एनालॉग का निर्माण किया। इस तकनीक का आधार दो सेटों के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार की अवधारणा है। वे कहते हैं कि दो सेट के तत्वों को एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है यदि पहले सेट के प्रत्येक तत्व को दूसरे सेट के एक तत्व के साथ जोड़ा जा सकता है, अलग-अलग, और साथ ही, प्रत्येक तत्व दूसरा सेट पहले के कुछ तत्व के अनुरूप होगा। ऐसे सेटों को समतुल्य कहा जाता है, कि उनके पास एक ही कार्डिनैलिटी, या एक ही कार्डिनल नंबर है। यदि यह सिद्ध किया जा सकता है कि समुच्चय A के तत्वों को समुच्चय B के उपसमुच्चय B1 के तत्वों के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है, और समुच्चय B के तत्वों को एक-से-एक में नहीं रखा जा सकता है। -ए के तत्वों के साथ एक पत्राचार, फिर वे कहते हैं कि सेट बी की कार्डिनैलिटी सेट ए की कार्डिनैलिटी से अधिक है। ये परिभाषाएं सीमित सेट पर भी लागू होती हैं। इस मामले में, शक्ति परिमित संख्याओं के अनुरूप है। लेकिन अनंत समुच्चयों में इस अर्थ में विरोधाभासी गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, एक अनंत समुच्चय अपने भाग के तुल्य हो जाता है। जिस तरह से यह तथाकथित में होता है। गैलीलियो का विरोधाभास:

1, 2, 3, 4, ..., एन, ...

2, 4, 6, 8, ..., 2एन, ...

इन विरोधाभासों को लंबे समय से जाना जाता है, और यह वे हैं, विशेष रूप से, जिन्होंने वास्तव में अनंत सेटों के विचार में बाधा के रूप में कार्य किया है। बोलजानो ने पैराडाक्सेस ऑफ द इनफिनिट में समझाया कि वास्तव में अनंत की विशिष्टता बस यहां प्रभावित करती है। डेडेकाइंड ने वास्तव में अनंत सेटों की इस संपत्ति को विशेषता माना।

कैंटर कार्डिनल नंबरों का अंकगणित विकसित करता है। दो कार्डिनल संख्याओं का योग उनके अनुरूप सेटों के मिलन की कार्डिनैलिटी है, उत्पाद तथाकथित की कार्डिनैलिटी है। दो दिए गए समुच्चयों के समुच्चय-उत्पाद इत्यादि। सबसे महत्वपूर्ण है दिए गए सेट से सेट-डिग्री में संक्रमण, यानी परिभाषा के अनुसार, मूल सेट के सभी सबसेट के सेट में। कैंटर अपने सिद्धांत के लिए एक मौलिक प्रमेय साबित करता है: एक सेट-डिग्री की कार्डिनैलिटी मूल सेट की कार्डिनैलिटी से अधिक होती है। यदि मूल समुच्चय की घात a के पदों में लिखी जाती है, तो, कार्डिनल संख्याओं के अंकगणित के अनुसार, समुच्चय-डिग्री की घात 2a होगी, और इसलिए, हमारे पास 2a >a है।

तो, कुछ अनंत सेट से गुजरना, उदा। कार्डिनैलिटी α (कैंटोर का अंकन) के साथ सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट से इस सेट के सभी सबसेट के सेट तक, इस नए सेट के सभी सबसेट के सेट तक, हमें लगातार बढ़ती कार्डिनैलिटी के सेट की एक श्रृंखला मिलेगी। क्या इस वृद्धि की कोई सीमा है? इस प्रश्न का उत्तर कुछ अतिरिक्त अवधारणाओं का परिचय देकर ही दिया जा सकता है।

सामान्यतया, बिना किसी अतिरिक्त संरचना के अनंत सेटों के साथ काम करना असंभव है। इसलिए, कैंटर ने आदेशित सेटों को ध्यान में रखा, अर्थात। सेट, किन्हीं दो तत्वों के लिए जिनके संबंध "से बड़ा"> (या "से कम"<). Это отношение должно быть транзитивным: из a < b и b < с следует: а < с. Собственно, наиболее продуктивным для теории множеств является еще более узкий класс множеств: вполне упорядоченные множества. Так называются упорядоченные множества, у которых каждое подмножество имеет наименьший элемент. Вполне упорядоченные множества легко сравнивать между собой: они отображаются одно на часть другого с сохранением порядка. Символы вполне упорядоченных множеств, или ординальные (порядковые) числа, также образуют вполне упорядоченное множество, и для них также можно определить арифметические действия: сложение (вычитание), умножение, возведение в степень. Ординальные числа играют для бесконечных множеств роль порядковых чисел, кардинальные – роль количественных. Множество (бесконечное) определенной мощности можно вполне упорядочить бесконечным числом способов, каждому из которых будет соответствовать свое ординальное число. Тем самым каждому кардиналу (Кантор ввел для обозначения кардиналов «алефы» – первую букву еврейского алфавита с индексами) ℵα будет соответствовать бесконечно много ординалов:

0 1 2 ... 0, ω0 + 1 ... ω1... ω2 ... ωn ... 0 ... (ऑर्डिनल्स)

0 1 2 ... ℵ0 ... ℵ1 ... ℵ2 n ...ℵ 0 ... ("ताऊ" -कार्डिनल्स)

सेट थ्योरी के प्रमेयों के अनुसार, क्रमिक संख्याओं के पैमाने के किसी भी "खंड", जो कि पूरी तरह से आदेशित सेट के रूप में, इस खंड में निहित सभी की तुलना में एक बड़ा क्रमसूचक होगा। इसका तात्पर्य यह है कि सभी को समुच्चय मानना ​​असंभव है, क्योंकि अन्यथा का क्रमसूचक β होगा, जो कि Ω में सभी अध्यादेशों से बड़ा है, लेकिन चूंकि बाद वाले में सभी क्रमांक शामिल हैं, अर्थात। और β, तो यह होगा: β > β (बुराली-फोर्टी विरोधाभास, 1897)। कंटोर ने निरंतरता की अवधारणा (1880 के दशक से) को पेश करके इस विरोधाभास को दूर करने की कोशिश की। प्रत्येक बहुलता (विलेहाइट) एक बहुलता (मेन्गे) नहीं है। एक बहुलता को सुसंगत, या बहुलता कहा जाता है यदि इसे पूर्ण संपूर्ण माना जा सकता है। यदि बहुलता के सभी तत्वों के "संयुक्त अस्तित्व" की धारणा एक विरोधाभास की ओर ले जाती है, तो बहुलता असंगत हो जाती है, और वास्तव में, इसे सेट सिद्धांत में नहीं माना जा सकता है। इस तरह के असंगत सेट, विशेष रूप से, , सभी क्रमिक संख्याओं का सेट, और τ ("ताऊ"), सभी कार्डिनल्स ("एलेफ़्स") का सेट हैं। इस प्रकार, हम एक प्रक्रिया के रूप में फिर से अनंत की ओर लौटते हैं। जैसा कि 20वीं सदी के गणितज्ञ लिखते हैं, पी। वोपेनका: "सेट्स का सिद्धांत, जिनके प्रयासों को संभावित अनंत के वास्तविककरण पर निर्देशित किया गया था, क्षमता को खत्म करने में असमर्थ साबित हुआ, लेकिन केवल इसे एक उच्च क्षेत्र में ले जाने में कामयाब रहा" (वैकल्पिक सेट सिद्धांत में वोपेनका पी। गणित . - "विदेशी विज्ञान में नया। गणित ”, 1983, नंबर 31, पृष्ठ 124।) हालांकि, इसने खुद कांतोर को शर्मिंदा नहीं किया। उनका मानना ​​​​था कि "एलेफ्स" का पैमाना स्वयं ईश्वर की अनंत तक बढ़ जाता है, और इसलिए यह तथ्य कि बाद वाला गणितीय रूप से अवर्णनीय निकला, उनके लिए स्वयं स्पष्ट था: "मैं वास्तविक अनंत के किसी भी" जीनस सुप्रीमम "से कभी आगे नहीं बढ़ा . इसके विपरीत, मैंने वास्तविक अनंत के लिए "जीनस सुप्रीम" के पूर्ण गैर-अस्तित्व को सख्ती से साबित कर दिया है। जो सब कुछ अनंत और अनंत से परे है वह "जीनस" नहीं है; यह एकमात्र, अत्यधिक व्यक्तिगत एकता है जिसमें सब कुछ शामिल है, जिसमें "पूर्ण" शामिल है, जो मानव समझ के लिए समझ से बाहर है। यह "एक्टस पुरीसिमस" है, जिसे कई लोगों द्वारा भगवान कहा जाता है" (मेशकोव्स्की एच। ज़्वेई अनवरोफेंटलिच ब्रीफ जॉर्ज कैंटर्स। - "डेर मैथेमेटिलकुंटेमचट", 1971, नंबर 4, एस। 30-34)।

बी. एच. कटासोनोव

न्यू फिलोसोफिकल इनसाइक्लोपीडिया। चार खंडों में। / दर्शनशास्त्र संस्थान आरएएस। वैज्ञानिक एड. सलाह: वी.एस. स्टेपिन, ए.ए. हुसेनोव, जी.यू. सेमिनिन। एम., थॉट, 2010, खंड I, A - D, p. 249-250।

जॉर्ज कैंटर (फोटो लेख में बाद में दिया गया है) एक जर्मन गणितज्ञ है जिसने सेट सिद्धांत बनाया और अनंत संख्याओं की अवधारणा पेश की, असीम रूप से बड़ी, लेकिन एक दूसरे से अलग। उन्होंने क्रमसूचक और कार्डिनल संख्याओं को भी परिभाषित किया और उनका अंकगणित बनाया।

जॉर्ज कांटोर: एक लघु जीवनी

03/03/1845 को सेंट पीटर्सबर्ग में पैदा हुए। उनके पिता प्रोटेस्टेंट धर्म के एक डेन, जॉर्ज-वाल्डेमर कांतोर थे, जो स्टॉक एक्सचेंज सहित व्यापार में लगे हुए थे। उनकी मां मारिया बेम एक कैथोलिक थीं और प्रमुख संगीतकारों के परिवार से आती थीं। जब 1856 में जॉर्ज के पिता बीमार पड़ गए, तो परिवार पहले वेसबाडेन और फिर फ्रैंकफर्ट चले गए, जहां वे एक हल्के जलवायु की तलाश में थे। लड़के की गणितीय प्रतिभा उसके 15 वें जन्मदिन से पहले ही दिखाई दी, जब वह डार्मस्टाट और विसबाडेन के निजी स्कूलों और व्यायामशालाओं में पढ़ रहा था। अंत में, जॉर्ज कैंटर ने अपने पिता को गणितज्ञ बनने के अपने दृढ़ इरादे के बारे में आश्वस्त किया, इंजीनियर नहीं।

ज्यूरिख विश्वविद्यालय में एक संक्षिप्त अध्ययन के बाद, 1863 में कांटोर भौतिकी, दर्शन और गणित का अध्ययन करने के लिए बर्लिन विश्वविद्यालय में स्थानांतरित हो गए। वहाँ उसे सिखाया गया था:

• कार्ल थियोडोर वीयरस्ट्रैस, जिनकी विश्लेषण में विशेषज्ञता शायद जॉर्ज का सबसे बड़ा प्रभाव था;
• अर्न्स्ट एडुआर्ड कुमर, जिन्होंने उच्च अंकगणित पढ़ाया;
• लियोपोल्ड क्रोनकर, संख्या सिद्धांतकार जिन्होंने बाद में कैंटर का विरोध किया।

1866 में गॉटिंगेन विश्वविद्यालय में एक सेमेस्टर खर्च करने के बाद, अगले वर्ष जॉर्ज ने एक डॉक्टरेट शोध प्रबंध लिखा, जिसका शीर्षक था "गणित में प्रश्न पूछने की कला समस्याओं को हल करने की तुलना में अधिक मूल्यवान है", एक समस्या के बारे में जिसे कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने अपने डिस्क्विशन्स एरिथमेटिका में अनसुलझा छोड़ दिया। (1801)। बर्लिन स्कूल फॉर गर्ल्स में संक्षेप में पढ़ाने के बाद, कांटोर ने हाले विश्वविद्यालय में काम करना शुरू किया, जहां वे अपने जीवन के अंत तक बने रहे, पहले एक शिक्षक के रूप में, 1872 से एक सहायक प्रोफेसर के रूप में, और 1879 से एक प्रोफेसर के रूप में।

शोध करना

1869 से 1873 तक 10 पत्रों की एक श्रृंखला की शुरुआत में, जॉर्ज कैंटर ने संख्या सिद्धांत पर विचार किया। काम ने विषय के प्रति उनके जुनून, गॉस के उनके अध्ययन और क्रोनकर के प्रभाव को दर्शाया। हाले में कैंटर के सहयोगी हेनरिक एडुआर्ड हेइन के सुझाव पर, जिन्होंने उनकी गणितीय प्रतिभा को पहचाना, उन्होंने त्रिकोणमितीय श्रृंखला के सिद्धांत की ओर रुख किया, जिसमें उन्होंने वास्तविक संख्याओं की अवधारणा का विस्तार किया।

1854 में जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन द्वारा एक जटिल चर के कार्य पर काम के आधार पर, 1870 में कांटोर ने दिखाया कि इस तरह के फ़ंक्शन को केवल एक ही तरीके से दर्शाया जा सकता है - त्रिकोणमितीय श्रृंखला द्वारा। संख्याओं (अंकों) के एक समूह पर विचार जो इस तरह के प्रतिनिधित्व का खंडन नहीं करेगा, ने उन्हें पहले 1872 में परिमेय संख्याओं (पूर्णांकों के अंश) के संदर्भ में एक परिभाषा के लिए प्रेरित किया और फिर अपने जीवन के काम पर काम की शुरुआत के लिए, सेट किया। सिद्धांत और अवधारणा अनंत संख्या।

समुच्चय सिद्धान्त

जॉर्ज कैंटर, जिसका सेट सिद्धांत ब्राउनश्वेग के तकनीकी संस्थान के गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड के साथ पत्राचार में उत्पन्न हुआ, बचपन से ही उनके साथ दोस्त थे। वे इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि समुच्चय, चाहे परिमित हो या अनंत, तत्वों का संग्रह है (जैसे संख्याएं, (0, ±1, ±2 ...)) जिनके पास अपनी व्यक्तित्व को बनाए रखते हुए एक निश्चित संपत्ति होती है। लेकिन जब जॉर्ज कैंटर ने उनकी विशेषताओं का अध्ययन करने के लिए एक-से-एक पत्राचार (उदाहरण के लिए, (ए, बी, सी) से (1, 2, 3)) का उपयोग किया, तो उन्होंने जल्दी से महसूस किया कि वे अपनी सदस्यता की डिग्री में भिन्न हैं, भले ही वे अनंत समुच्चय हों, अर्थात् समुच्चय, जिसके एक भाग या उपसमुच्चय में उतनी ही वस्तुएँ शामिल हों जितनी वह स्वयं। उनकी विधि ने जल्द ही आश्चर्यजनक परिणाम दिए।

1873 में, जॉर्ज कैंटर (गणितज्ञ) ने दिखाया कि परिमेय संख्याएँ, हालांकि अनंत हैं, गणनीय हैं क्योंकि उन्हें प्राकृतिक संख्याओं (यानी 1, 2, 3, आदि) के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। उन्होंने दिखाया कि अपरिमेय और परिमेय संख्याओं से मिलकर बनी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अनंत और बेशुमार है। अधिक विरोधाभासी रूप से, कैंटर ने साबित किया कि सभी बीजीय संख्याओं के सेट में सभी पूर्णांकों के सेट के रूप में कई तत्व होते हैं, और यह कि गैर-बीजीय पारलौकिक संख्याएं, जो अपरिमेय संख्याओं का एक उपसमुच्चय हैं, बेशुमार हैं और इसलिए पूर्णांकों की तुलना में अधिक हैं। , और अनंत के रूप में माना जाना चाहिए।

विरोधियों और समर्थकों

लेकिन कांटोर का पेपर, जिसमें उन्होंने पहली बार इन परिणामों को सामने रखा था, क्रेल पत्रिका में प्रकाशित नहीं हुआ था, क्योंकि समीक्षकों में से एक क्रोनकर स्पष्ट रूप से इसके खिलाफ थे। लेकिन डेडेकाइंड के हस्तक्षेप के बाद, इसे 1874 में सभी वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं की विशेषता गुणों पर शीर्षक के तहत प्रकाशित किया गया था।

विज्ञान और व्यक्तिगत जीवन

उसी वर्ष, अपनी पत्नी वल्ली गुटमैन के साथ अपने हनीमून के दौरान, कांतोर डेडेकिंड से मिले, जिन्होंने उनके नए सिद्धांत के पक्ष में बात की। जॉर्ज का वेतन छोटा था, लेकिन अपने पिता के पैसे से, जिनकी मृत्यु 1863 में हुई, उन्होंने अपनी पत्नी और पांच बच्चों के लिए एक घर बनाया। उनके कई पत्र स्वीडन में नई पत्रिका एक्टा मैथमैटिका में प्रकाशित हुए थे, जिसे गेस्टा मिट्टाग-लेफ़लर द्वारा संपादित और स्थापित किया गया था, जो जर्मन गणितज्ञ की प्रतिभा को पहचानने वाले पहले व्यक्ति थे।

तत्वमीमांसा के साथ संबंध

कैंटर का सिद्धांत अनंत के गणित (जैसे श्रृंखला 1, 2, 3, आदि, और अधिक जटिल सेट) से संबंधित अध्ययन का एक बिल्कुल नया विषय बन गया, जो एक-से-एक पत्राचार पर बहुत अधिक निर्भर था। निरंतरता और अनंत से संबंधित प्रश्न प्रस्तुत करने के लिए कैंटर द्वारा नए तरीकों के विकास ने उनके शोध को एक अस्पष्ट चरित्र दिया।

जब उन्होंने तर्क दिया कि अनंत संख्याएं वास्तव में मौजूद हैं, तो उन्होंने वास्तविक और संभावित अनंत के साथ-साथ उनके माता-पिता द्वारा दी गई प्रारंभिक धार्मिक शिक्षा के बारे में प्राचीन और मध्ययुगीन दर्शन की ओर रुख किया। 1883 में, अपनी पुस्तक फ़ाउंडेशन ऑफ़ जनरल सेट थ्योरी में, कैंटर ने अपनी अवधारणा को प्लेटो के तत्वमीमांसा के साथ जोड़ा।

क्रोनकर, जिन्होंने दावा किया कि केवल पूर्णांक "अस्तित्व में हैं" ("भगवान ने पूर्णांक बनाया, बाकी मनुष्य का काम है"), कई वर्षों तक उनके तर्क को खारिज कर दिया और बर्लिन विश्वविद्यालय में उनकी नियुक्ति को रोक दिया।

अनंत संख्या

1895-97 में। जॉर्ज कैंटर ने अपने सबसे प्रसिद्ध काम में अनंत क्रमिक और कार्डिनल संख्याओं सहित निरंतरता और अनंतता की अपनी धारणा को पूरी तरह से तैयार किया, जिसे कॉन्ट्रिब्यूशन टू द इस्टैब्लिशमेंट ऑफ द थ्योरी ऑफ ट्रांसफिनिट नंबर्स (1915) के रूप में प्रकाशित किया गया था। इस निबंध में उनकी अवधारणा शामिल है, जिसके लिए उनका नेतृत्व यह प्रदर्शित करके किया गया था कि एक अनंत सेट को इसके एक सबसेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है।

कम से कम ट्रांसफ़िनिट कार्डिनल नंबर से, उनका मतलब किसी भी सेट की कार्डिनैलिटी से था जिसे प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। कैंटर ने इसे एलेफ-नल कहा। बड़े ट्रांसफ़िनिट सेटों को निरूपित किया जाता है, आदि। उन्होंने ट्रांसफ़िनिट नंबरों के अंकगणित को और विकसित किया, जो कि परिमित अंकगणित के अनुरूप था। इस प्रकार, उन्होंने अनंत की अवधारणा को समृद्ध किया।

उन्होंने जिस विरोध का सामना किया, और उनके विचारों को पूरी तरह से स्वीकार करने में लगने वाले समय को प्राचीन प्रश्न के पुनर्मूल्यांकन की कठिनाई से समझाया गया है कि संख्या क्या है। कैंटर ने दिखाया कि एक रेखा पर बिंदुओं के सेट में एलेफ-शून्य की तुलना में उच्च कार्डिनैलिटी होती है। इसने सातत्य परिकल्पना की प्रसिद्ध समस्या को जन्म दिया - एलेफ-शून्य और रेखा पर बिंदुओं की शक्ति के बीच कोई कार्डिनल संख्या नहीं है। 20वीं शताब्दी के पूर्वार्ध में इस समस्या ने बहुत रुचि जगाई और कर्ट गोडेल और पॉल कोहेन सहित कई गणितज्ञों ने इसका अध्ययन किया।

डिप्रेशन

1884 से जॉर्ज कांतोर की जीवनी उनकी मानसिक बीमारी से प्रभावित थी, लेकिन उन्होंने सक्रिय रूप से काम करना जारी रखा। 1897 में उन्होंने ज्यूरिख में पहली अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस आयोजित करने में मदद की। आंशिक रूप से क्योंकि क्रोनकर द्वारा उनका विरोध किया गया था, उन्होंने अक्सर युवा नौसिखिए गणितज्ञों के साथ सहानुभूति व्यक्त की और उन्हें नए विचारों से खतरा महसूस करने वाले शिक्षकों के उत्पीड़न से बचाने के लिए एक रास्ता खोजने की कोशिश की।

इकबालिया बयान

सदी के अंत में, उनके काम को पूरी तरह से कार्य सिद्धांत, विश्लेषण और टोपोलॉजी के आधार के रूप में मान्यता दी गई थी। इसके अलावा, कैंटर जॉर्ज की पुस्तकों ने गणित की तार्किक नींव के अंतर्ज्ञानवादी और औपचारिक स्कूलों के आगे विकास के लिए एक प्रोत्साहन के रूप में कार्य किया। इसने शिक्षण प्रणाली को महत्वपूर्ण रूप से बदल दिया और अक्सर "नए गणित" से जुड़ा होता है।

1911 में, कांतोर उन लोगों में शामिल थे जिन्हें स्कॉटलैंड में सेंट एंड्रयूज विश्वविद्यालय की 500वीं वर्षगांठ के उत्सव में आमंत्रित किया गया था। वह वहाँ किससे मिलने की आशा में गया था, हाल ही में प्रकाशित अपनी कृति प्रिन्सिपिया मैथेमेटिका में उसने एक जर्मन गणितज्ञ का बार-बार जिक्र किया, लेकिन ऐसा नहीं हुआ। विश्वविद्यालय ने कांतोर को मानद उपाधि से सम्मानित किया, लेकिन बीमारी के कारण, वह व्यक्तिगत रूप से पुरस्कार स्वीकार करने में असमर्थ थे।

1913 में कांतोर सेवानिवृत्त हुए, गरीबी में रहे और प्रथम विश्व युद्ध के दौरान भूखे रह गए। 1915 में उनके 70वें जन्मदिन के उपलक्ष्य में होने वाले समारोहों को युद्ध के कारण रद्द कर दिया गया था, लेकिन उनके घर पर एक छोटा सा समारोह हुआ। 01/06/1918 को हाले में एक मनोरोग अस्पताल में उनकी मृत्यु हो गई, जहाँ उन्होंने अपने जीवन के अंतिम वर्ष बिताए।

जॉर्ज कांटोर: जीवनी। परिवार

9 अगस्त, 1874 को जर्मन गणितज्ञ ने वैली गुटमैन से शादी की। दंपति के 4 बेटे और 2 बेटियां थीं। आखिरी बच्चे का जन्म 1886 में कांतोर द्वारा खरीदे गए एक नए घर में हुआ था। उनके पिता की विरासत ने उन्हें अपने परिवार का समर्थन करने में मदद की। 1899 में उनके सबसे छोटे बेटे की मृत्यु से कांटोर के स्वास्थ्य की स्थिति पर बहुत प्रभाव पड़ा - तब से अवसाद ने उनका पीछा नहीं छोड़ा।

मैं शिक्षा से सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी हूं, लेकिन मेरी गणितीय पृष्ठभूमि अच्छी है। मजिस्ट्रेटी में विषयों में से एक दर्शनशास्त्र था, एक विषय चुनना और उस पर एक पेपर जमा करना आवश्यक था। चूंकि अधिकांश विकल्प एक से अधिक बार आपत्तिजनक थे, इसलिए मैंने कुछ अधिक विदेशी चुनने का फैसला किया। मैं नवीनता का ढोंग नहीं करता, मैं इस विषय पर सभी / लगभग सभी उपलब्ध साहित्य को संचित करने में कामयाब रहा। दार्शनिक और गणितज्ञ मुझ पर पत्थर फेंक सकते हैं, मैं केवल रचनात्मक आलोचना के लिए आभारी रहूंगा।

पी.एस. बहुत "शुष्क भाषा", लेकिन विश्वविद्यालय के कार्यक्रम के बाद काफी पठनीय। अधिकांश भाग के लिए, विरोधाभासों की परिभाषा विकिपीडिया (सरलीकृत शब्दों और तैयार किए गए टीएक्स मार्कअप) से ली गई थी।

परिचय

सेट थ्योरी और उसमें निहित विरोधाभास दोनों ही बहुत पहले नहीं, सौ साल पहले ही प्रकट हुए थे। हालांकि, इस अवधि के दौरान एक लंबा सफर तय किया गया है, सेट का सिद्धांत, एक तरफ या कोई अन्य, वास्तव में गणित के अधिकांश वर्गों का आधार बन गया। कैंटर की अनंतता से जुड़े इसके विरोधाभासों को आधी सदी में शाब्दिक रूप से समझाया गया था।

आपको एक परिभाषा के साथ शुरुआत करनी चाहिए।

एक भीड़ क्या है? प्रश्न काफी सरल है, इसका उत्तर काफी सहज है। एक सेट एक वस्तु द्वारा दर्शाए गए तत्वों का एक समूह है। कैंटर ने अपने काम में बीट्रेज ज़ुर बेग्रुंडुंग डेर ट्रांसफ़िनिटेन मेन्गेनलेहर एक परिभाषा देता है: "सेट" से हमारा मतलब है कि हमारे चिंतन या हमारी सोच के कुछ निश्चित रूप से परिभाषित वस्तुओं के एक निश्चित पूरे एम में संयोजन (जिसे "तत्व" कहा जाएगा) एम सेट करें)। जैसा कि आप देख सकते हैं, सार नहीं बदला है, अंतर केवल उस हिस्से में है जो निर्धारक के विश्वदृष्टि पर निर्भर करता है। तर्क और गणित दोनों में सेट सिद्धांत का इतिहास अत्यधिक विवादास्पद है। दरअसल, 19वीं सदी में कांतोर ने इसकी नींव रखी, फिर रसेल और अन्य लोगों ने काम जारी रखा।

विरोधाभास (तर्क और सेट सिद्धांत) - (ग्रीक - अप्रत्याशित) - औपचारिक तार्किक विरोधाभास जो तर्क की तार्किक शुद्धता को बनाए रखते हुए सार्थक सेट सिद्धांत और औपचारिक तर्क में उत्पन्न होते हैं। विरोधाभास तब उत्पन्न होते हैं जब दो परस्पर अनन्य (विरोधाभासी) प्रस्ताव समान रूप से सिद्ध होते हैं। विरोधाभास वैज्ञानिक सिद्धांत के भीतर और सामान्य तर्क दोनों में प्रकट हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, रसेल के सभी सामान्य सेटों के सेट के बारे में विरोधाभास रसेल द्वारा दिया गया है: "गाँव का नाई उन सभी को और अपने गाँव के केवल उन निवासियों को शेव करता है जो खुद को शेव नहीं करते हैं। चाहिए। उसने खुद को शेव किया?")। चूंकि औपचारिक-तार्किक विरोधाभास तर्क को सत्य की खोज और सिद्ध करने के साधन के रूप में नष्ट कर देता है (एक सिद्धांत जिसमें एक विरोधाभास प्रकट होता है, कोई भी वाक्य, दोनों सही और गलत, सिद्ध होता है), ऐसे विरोधाभासों के स्रोतों की पहचान करने में समस्या उत्पन्न होती है और उन्हें खत्म करने के तरीके खोजे जा रहे हैं। विरोधाभासों के विशिष्ट समाधानों की दार्शनिक समझ की समस्या औपचारिक तर्क और गणित की तार्किक नींव की महत्वपूर्ण पद्धति संबंधी समस्याओं में से एक है।

इस काम का उद्देश्य प्राचीन एंटिनोमीज़ के वारिस के रूप में सेट थ्योरी के विरोधाभासों का अध्ययन करना है और एक नए स्तर के अमूर्त - अनंत में संक्रमण के काफी तार्किक परिणाम हैं। कार्य मुख्य विरोधाभासों, उनकी दार्शनिक व्याख्या पर विचार करना है।

सेट थ्योरी के मूल विरोधाभास

नाई सिर्फ उन लोगों को शेव करता है जो खुद को शेव नहीं करते हैं। क्या वह खुद को शेव करता है?

आइए इतिहास में एक संक्षिप्त भ्रमण के साथ जारी रखें।

कुछ तार्किक विरोधाभास प्राचीन काल से ज्ञात हैं, लेकिन इस तथ्य के कारण कि गणितीय सिद्धांत केवल अंकगणित और ज्यामिति तक सीमित था, उन्हें सेट सिद्धांत के साथ सहसंबंधित करना असंभव था। 19वीं शताब्दी में, स्थिति मौलिक रूप से बदल गई: कांतोर अपने कार्यों में अमूर्तता के एक नए स्तर पर पहुंच गए। उन्होंने अनंत की अवधारणा की शुरुआत की, जिससे गणित की एक नई शाखा का निर्माण हुआ और इस तरह "एक सेट की शक्ति" की अवधारणा का उपयोग करके विभिन्न अनंत की तुलना की जा सके। हालांकि, ऐसा करते हुए उन्होंने कई विरोधाभास पैदा किए। पहला तथाकथित है बुराली-फोर्टी विरोधाभास. गणितीय साहित्य में, विभिन्न शब्दावली और प्रसिद्ध प्रमेयों के एक कल्पित सेट के आधार पर विभिन्न सूत्रीकरण होते हैं। यहाँ औपचारिक परिभाषाओं में से एक है।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि x क्रमांकों का एक मनमाना समुच्चय है, तो योग-समुच्चय प्रत्येक तत्व से बड़ा या उसके बराबर क्रमसूचक है। एक्स. मान लीजिए कि अब यह सभी क्रमिक संख्याओं का समुच्चय है। फिर में किसी भी संख्या से अधिक या उसके बराबर एक क्रमिक संख्या है। लेकिन तब और एक क्रमिक संख्या है, इसके अलावा, यह पहले से ही सख्ती से अधिक है, और इसलिए किसी भी संख्या के बराबर नहीं है। लेकिन यह उस शर्त का खंडन करता है जो सभी क्रमिक संख्याओं का समुच्चय है।

विरोधाभास का सार यह है कि जब सभी क्रमसूचक संख्याओं का समुच्चय बनता है, तो एक नया क्रमसूचक प्रकार बनता है, जो अभी तक "सभी" पारभासी क्रमसूचक संख्याओं में से नहीं था जो सभी क्रमिक संख्याओं के समुच्चय के गठन से पहले मौजूद थे। इस विरोधाभास की खोज खुद कैंटर ने की थी, जिसे स्वतंत्र रूप से इतालवी गणितज्ञ बुराली-फोर्टी द्वारा खोजा और प्रकाशित किया गया था, बाद की त्रुटियों को रसेल द्वारा ठीक किया गया था, जिसके बाद फॉर्मूलेशन ने अपना अंतिम रूप प्राप्त कर लिया।

इस तरह के विरोधाभासों से बचने के सभी प्रयासों में और कुछ हद तक उन्हें समझाने की कोशिश में, पहले से ही उल्लेखित रसेल का विचार सबसे अधिक ध्यान देने योग्य है। उन्होंने गणित और तर्क अभेद्य वाक्यों को बाहर करने का प्रस्ताव रखा जिसमें एक सेट के एक तत्व की परिभाषा बाद वाले पर निर्भर करती है, जो विरोधाभास का कारण बनती है। नियम इस तरह लगता है: "कोई भी सेट सी में तत्व एम नहीं हो सकता है, केवल सेट सी के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, साथ ही तत्व एन, इस सेट को उनकी परिभाषा में मानते हुए"। समुच्चय की परिभाषा पर ऐसा प्रतिबंध हमें विरोधाभासों से बचने की अनुमति देता है, लेकिन साथ ही गणित में इसके अनुप्रयोग के दायरे को महत्वपूर्ण रूप से सीमित करता है। इसके अलावा, यह उनकी प्रकृति और उनकी उपस्थिति के कारणों की व्याख्या करने के लिए पर्याप्त नहीं है, जो औपचारिक तर्क की विशेषताओं में विचार और भाषा के द्विभाजन में निहित है। कुछ हद तक, इस प्रतिबंध के साथ एक समानता का पता लगाया जा सकता है जिसे बाद की अवधि में संज्ञानात्मक मनोवैज्ञानिकों और भाषाविदों ने "बुनियादी स्तर वर्गीकरण" कहना शुरू किया: परिभाषा को सबसे आसानी से समझने और अध्ययन की अवधारणा के लिए कम कर दिया गया है।

मान लें कि सभी सेटों का सेट मौजूद है। इस मामले में, यह सच है, यानी कोई भी सेट टी वी का सबसेट है। लेकिन इससे यह पता चलता है कि किसी भी सेट की शक्ति वी की शक्ति से अधिक नहीं होती है। लेकिन सभी के सेट के स्वयंसिद्ध के आधार पर सबसेट, वी के लिए, साथ ही किसी भी सेट के लिए, सभी सबसेट का एक सेट है, और कैंटर के प्रमेय द्वारा, जो पिछले कथन का खंडन करता है। इसलिए, वी मौजूद नहीं हो सकता है, जो "बेवकूफ" परिकल्पना के साथ संघर्ष करता है कि कोई भी वाक्य रचनात्मक रूप से सही तार्किक स्थिति एक सेट को परिभाषित करती है, यानी किसी भी सूत्र ए के लिए जिसमें वाई स्वतंत्र रूप से शामिल नहीं है। पॉटर द्वारा स्वयंसिद्ध ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के आधार पर इस तरह के विरोधाभासों की अनुपस्थिति का एक उल्लेखनीय प्रमाण दिया गया है।

तार्किक दृष्टिकोण से, उपरोक्त दोनों विरोधाभास "झूठे" या "नाई" के समान हैं: व्यक्त निर्णय न केवल उसके संबंध में किसी उद्देश्य के लिए, बल्कि स्वयं के लिए भी निर्देशित है। हालांकि, किसी को न केवल तार्किक पक्ष पर ध्यान देना चाहिए, बल्कि अनंत की अवधारणा पर भी ध्यान देना चाहिए, जो यहां मौजूद है। साहित्य पोंकारे के काम को संदर्भित करता है, जिसमें वह लिखता है: "वास्तविक अनंत के अस्तित्व में विश्वास ... इन गैर-विधेय परिभाषाओं को आवश्यक बनाता है""।
सामान्य तौर पर, मुख्य बिंदु हैं:

• इन विरोधाभासों में, विधेय और विषय के "क्षेत्रों" को स्पष्ट रूप से अलग करने के लिए नियम का उल्लंघन किया जाता है; भ्रम की डिग्री एक अवधारणा के दूसरे के लिए प्रतिस्थापन के करीब है;
• आमतौर पर तर्क में यह माना जाता है कि इस मामले में विषय और विधेय के तर्क की प्रक्रिया में उनके दायरे और सामग्री को बनाए रखा जाता है
  एक श्रेणी से दूसरी श्रेणी में संक्रमण, जिसके परिणामस्वरूप एक बेमेल हो;
• "सभी" शब्द की उपस्थिति तत्वों की एक सीमित संख्या के लिए समझ में आता है, लेकिन उनमें से एक अनंत संख्या के मामले में, एक होना संभव है
  खुद को परिभाषित करने के लिए एक सेट की परिभाषा की आवश्यकता होगी;
• बुनियादी तार्किक कानूनों का उल्लंघन किया जाता है:
  • पहचान के कानून का उल्लंघन किया जाता है जब विषय और विधेय की गैर-पहचान का पता चलता है;
  • विरोधाभास का नियम - जब दो परस्पर विरोधी निर्णय एक ही अधिकार से प्राप्त होते हैं;
  • बहिष्कृत तीसरे का कानून - जब इस तीसरे को पहचाना जाना है, और बाहर नहीं किया जाना है, क्योंकि न तो पहले और न ही दूसरे को दूसरे के बिना पहचाना जा सकता है, क्योंकि वे समान रूप से मान्य हैं।

तीसरे विरोधाभास में रसेल का नाम है।. एक परिभाषा नीचे दी गई है।
मान लीजिए K उन सभी समुच्चयों का समुच्चय है जो स्वयं को उनके तत्व के रूप में शामिल नहीं करते हैं। क्या K स्वयं को एक तत्व के रूप में समाहित करता है? यदि हाँ, तो, K की परिभाषा के अनुसार, यह K का एक तत्व नहीं होना चाहिए - एक विरोधाभास। यदि नहीं - तो, ​​K की परिभाषा के अनुसार, यह K का एक तत्व होना चाहिए - फिर से एक विरोधाभास। यह कथन तार्किक रूप से कैंटर के विरोधाभास से लिया गया है, जो उनके संबंध को दर्शाता है। हालाँकि, दार्शनिक सार अधिक स्पष्ट रूप से प्रकट होता है, क्योंकि अवधारणाओं का "आत्म-आंदोलन" हमारी आंखों के ठीक सामने होता है।

ट्रिस्ट्राम शैंडी का विरोधाभास:
स्टर्न के द लाइफ एंड ओपिनियन्स ऑफ ट्रिस्ट्राम शैंडी, जेंटलमैन में, नायक को पता चलता है कि उसे अपने जीवन के पहले दिन की घटनाओं का वर्णन करने में पूरे एक वर्ष का समय लगा, और दूसरे दिन का वर्णन करने के लिए एक और वर्ष। इस संबंध में, नायक शिकायत करता है कि उसकी जीवनी की सामग्री उसे संसाधित करने की तुलना में तेज़ी से जमा होगी, और वह इसे कभी भी पूरा नहीं कर पाएगा। "अब मैं मानता हूं," रसेल ने इसका विरोध किया, "कि अगर वह हमेशा के लिए जीवित रहे और उनका काम उनके लिए बोझ नहीं बन गया, भले ही उनका जीवन शुरुआत में ही घटनापूर्ण रहा, तो उनकी जीवनी का एक हिस्सा नहीं होगा अलिखित नहीं रहता।
वास्तव में, शैंडी nवें वर्ष के लिए nवें दिन की घटनाओं का वर्णन कर सकते थे और इस प्रकार, उनकी आत्मकथा में, हर दिन को कैद किया जाएगा।

दूसरे शब्दों में, यदि जीवन अनिश्चित काल तक चलता है, तो उसके पास उतने ही वर्ष होंगे जितने दिन।

रसेल इस उपन्यास और ज़ेनो के बीच अपने कछुए के साथ एक सादृश्य बनाते हैं। उनकी राय में, समाधान इस तथ्य में निहित है कि संपूर्ण अनंत पर अपने हिस्से के बराबर है। वे। केवल "सामान्य ज्ञान का स्वयंसिद्ध" एक विरोधाभास की ओर ले जाता है। हालाँकि, समस्या का समाधान शुद्ध गणित के दायरे में है। जाहिर है, दो सेट हैं - साल और दिन, जिन तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है - एक आक्षेप। फिर, नायक के अनंत जीवन की स्थिति के तहत, समान शक्ति के दो अनंत सेट होते हैं, जो कि अगर हम शक्ति को एक सेट में तत्वों की संख्या की अवधारणा के सामान्यीकरण के रूप में मानते हैं, तो विरोधाभास को हल करता है।

Banach-Tarski का विरोधाभास (प्रमेय) या गेंद को दोगुना करना विरोधाभास- सेट थ्योरी में एक प्रमेय जिसमें कहा गया है कि एक त्रि-आयामी गेंद समान रूप से इसकी दो प्रतियों से बनी होती है।
यूक्लिडियन अंतरिक्ष के दो उपसमुच्चय समान रूप से रचित कहलाते हैं यदि एक को सीमित भागों में विभाजित किया जा सकता है, उन्हें स्थानांतरित किया जा सकता है, और उनमें से दूसरा बनाया जा सकता है।
अधिक सटीक रूप से, दो सेट ए और बी समान रूप से बनाये जाते हैं यदि उन्हें अलग-अलग उपसमुच्चय के परिमित संघ के रूप में दर्शाया जा सकता है जैसे कि प्रत्येक के लिए सबसेट सर्वांगसम है।

अगर हम पसंद प्रमेय का उपयोग करते हैं, तो परिभाषा इस तरह लगती है:
पसंद के स्वयंसिद्ध का तात्पर्य है कि एक इकाई क्षेत्र की सतह का एक सीमित संख्या में भागों में एक विभाजन होता है, जो त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के परिवर्तन से इन घटकों के आकार को नहीं बदलता है, दो में इकट्ठा किया जा सकता है इकाई त्रिज्या के गोले।

जाहिर है, इन भागों को मापने योग्य होने की आवश्यकता को देखते हुए, यह कथन संभव नहीं है। प्रसिद्ध भौतिक विज्ञानी रिचर्ड फेनमैन ने अपनी जीवनी में बताया कि कैसे एक समय में वह संतरे को सीमित भागों में विभाजित करने और इसे फिर से बनाने के विवाद को जीतने में कामयाब रहे।

कुछ बिंदुओं पर, इस विरोधाभास का उपयोग पसंद के स्वयंसिद्ध का खंडन करने के लिए किया जाता है, लेकिन समस्या यह है कि जिसे हम प्राथमिक ज्यामिति मानते हैं वह आवश्यक नहीं है। जिन अवधारणाओं को हम सहज समझते हैं, उन्हें पारलौकिक कार्यों के गुणों के स्तर तक बढ़ाया जाना चाहिए।

उन लोगों के विश्वास को और कमजोर करने के लिए जो मानते हैं कि पसंद का स्वयंसिद्ध गलत है, किसी को मजुर्किविज़ और सिएरपिंस्की के प्रमेय का उल्लेख करना चाहिए, जिसमें कहा गया है कि यूक्लिडियन विमान का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय ई है जिसमें दो अलग-अलग उपसमुच्चय हैं, जिनमें से प्रत्येक जिसे भागों की एक सीमित संख्या में विभाजित किया जा सकता है, ताकि उन्हें आइसोमेट्री द्वारा सेट ई के कवरिंग में अनुवादित किया जा सके।
सबूत के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध के उपयोग की आवश्यकता नहीं होती है।
निश्चितता के स्वयंसिद्ध पर आधारित आगे के निर्माण बानाच-टार्स्की विरोधाभास को एक संकल्प देते हैं, लेकिन इस तरह के हित के नहीं हैं।

• रिचर्ड का विरोधाभास: "इस पुस्तक में नामित नहीं की गई सबसे छोटी संख्या" नाम देना आवश्यक है। विरोधाभास यह है कि एक ओर, यह किया जा सकता है, क्योंकि इस पुस्तक में नामित सबसे छोटी संख्या है। इसके आधार पर छोटे से छोटे का नाम भी लिया जा सकता है। लेकिन यहां एक समस्या उत्पन्न होती है: सातत्य बेशुमार है, किन्हीं दो संख्याओं के बीच आप अनंत संख्या में मध्यवर्ती संख्याएँ सम्मिलित कर सकते हैं। दूसरी ओर, यदि हम इस संख्या को नाम दे सकें, तो यह स्वतः ही उस वर्ग से, जिसका उल्लेख पुस्तक में नहीं है, उस वर्ग में चला जाएगा, जिसका उल्लेख किया गया है।
• द ग्रीलिंग-निल्सन विरोधाभास: शब्द या संकेत एक संपत्ति को दर्शा सकते हैं और साथ ही साथ हैं या नहीं। सबसे तुच्छ सूत्रीकरण इस तरह लगता है: शब्द "विषमलैंगिक" (जिसका अर्थ है "स्वयं पर लागू नहीं") विषमशास्त्रीय है? .. यह एक द्वंद्वात्मक विरोधाभास की उपस्थिति के कारण रसेल के विरोधाभास के समान है: रूप और सामग्री का द्वैत उल्लंघन किया जाता है। उन शब्दों के मामले में जिनमें उच्च स्तर की अमूर्तता होती है, यह तय करना असंभव है कि ये शब्द विषमलैंगिक हैं या नहीं।
• स्कोलेम का विरोधाभास: गोडेल की पूर्णता प्रमेय और लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं कि स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत तब भी सही रहता है, जब इसकी व्याख्या के लिए केवल सेटों का एक गणनीय सेट माना जाता है (उपलब्ध)। एक ही समय में
  स्वयंसिद्ध सिद्धांत में पहले से उल्लिखित कैंटर प्रमेय शामिल है, जो हमें बेशुमार अनंत सेटों की ओर ले जाता है।

विरोधाभासों का समाधान

सेट थ्योरी के निर्माण ने गणित के तीसरे संकट को जन्म दिया, जिसे अभी तक सभी के लिए संतोषजनक ढंग से हल नहीं किया गया है।
ऐतिहासिक रूप से, पहला दृष्टिकोण सेट-सैद्धांतिक था। यह वास्तविक अनंत के उपयोग पर आधारित था, जब यह माना जाता था कि कोई भी अनंत क्रम अनंत में पूरा होता है। विचार यह था कि सेट थ्योरी में अक्सर सेट पर काम करना पड़ता था जो दूसरे, बड़े सेट के हिस्से हो सकते थे। इस मामले में सफल कार्रवाइयां केवल एक मामले में संभव थीं: दिए गए सेट (परिमित और अनंत) पूरे हो गए हैं। एक निश्चित सफलता स्पष्ट थी: ज़र्मेलो-फ्रेंकेल का स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत, निकोलस बॉर्बकी द्वारा गणित का एक पूरा स्कूल, जो आधी सदी से भी अधिक समय से अस्तित्व में है और अभी भी बहुत आलोचना का कारण बनता है।

तर्कवाद सभी ज्ञात गणित को अंकगणित की शर्तों तक कम करने का प्रयास था, और फिर अंकगणित की शर्तों को गणितीय तर्क की अवधारणाओं तक कम करने का प्रयास था। फ्रीज ने इसे बारीकी से लिया, लेकिन काम पर काम खत्म करने के बाद, रसेल द्वारा सिद्धांत में विरोधाभासों को इंगित करने के बाद, उन्हें अपनी असंगतता को इंगित करने के लिए मजबूर होना पड़ा। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, वही रसेल ने "टाइप थ्योरी" की मदद से अपरिवर्तनीय परिभाषाओं के उपयोग को खत्म करने की कोशिश की। हालांकि, सेट और अनंत की उनकी अवधारणा, साथ ही साथ कम करने की स्वयंसिद्धता, अतार्किक निकली। मुख्य समस्या यह थी कि औपचारिक और गणितीय तर्क के बीच गुणात्मक अंतर को ध्यान में नहीं रखा गया था, साथ ही साथ एक सहज प्रकृति सहित, अनावश्यक अवधारणाओं की उपस्थिति को भी ध्यान में नहीं रखा गया था।
नतीजतन, तर्कवाद का सिद्धांत अनंत से जुड़े विरोधाभासों के द्वंद्वात्मक विरोधाभासों को समाप्त नहीं कर सका। केवल सिद्धांत और तरीके थे जिन्होंने कम से कम गैर-भविष्यवाणी परिभाषाओं से छुटकारा पाना संभव बना दिया। अपने स्वयं के तर्क में, रसेल कैंटर का उत्तराधिकारी था।

XIX के अंत में - XX सदी की शुरुआत। गणित पर औपचारिक दृष्टिकोण का प्रसार स्वयंसिद्ध पद्धति के विकास और गणित की पुष्टि के कार्यक्रम से जुड़ा था, जिसे डी। हिल्बर्ट ने आगे रखा था। इस तथ्य के महत्व का संकेत इस तथ्य से मिलता है कि उन्होंने गणितीय समुदाय के सामने जो तेईस समस्याएं प्रस्तुत कीं, उनमें से पहली अनंत की समस्या थी। शास्त्रीय गणित की निरंतरता को साबित करने के लिए औपचारिकता आवश्यक थी, "इसमें से सभी तत्वमीमांसा को छोड़कर।" हिल्बर्ट द्वारा उपयोग किए गए साधनों और विधियों को देखते हुए, उनका लक्ष्य मौलिक रूप से असंभव निकला, लेकिन उनके कार्यक्रम का गणित की नींव के बाद के पूरे विकास पर बहुत प्रभाव पड़ा। हिल्बर्ट ने इस समस्या पर लंबे समय तक काम किया, पहली बार ज्यामिति के स्वयंसिद्धों का निर्माण किया। चूंकि समस्या का समाधान काफी सफल रहा, इसलिए उन्होंने प्राकृतिक संख्याओं के सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्ध पद्धति को लागू करने का फैसला किया। इस संबंध में उन्होंने जो लिखा है वह यहां दिया गया है: "मैं एक महत्वपूर्ण लक्ष्य का पीछा करता हूं: यह मैं हूं जो गणित की नींव के सवालों से निपटना चाहता हूं, जैसे कि हर गणितीय कथन को सख्ती से व्युत्पन्न सूत्र में बदलना।" उसी समय, इसे एक निश्चित सीमित संख्या में संचालन को कम करके अनंत से छुटकारा पाने की योजना बनाई गई थी। ऐसा करने के लिए, उन्होंने अनंत मात्राओं की पूरी असंगति दिखाने के लिए, अपने परमाणुवाद के साथ भौतिकी की ओर रुख किया। वास्तव में, हिल्बर्ट ने सिद्धांत और वस्तुनिष्ठ वास्तविकता के बीच संबंध का प्रश्न उठाया।

परिमित विधियों का कमोबेश संपूर्ण विचार हिल्बर्ट के छात्र जे. हर्ब्रान ने दिया है। परिमित तर्क से, वह ऐसे तर्क को समझता है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है: तार्किक विरोधाभास "- केवल एक सीमित और निश्चित संख्या में वस्तुओं और कार्यों पर हमेशा विचार किया जाता है;

फ़ंक्शंस की एक सटीक परिभाषा होती है, और यह परिभाषा हमें उनके मूल्य की गणना करने की अनुमति देती है;

यह कभी भी दावा नहीं करता है कि "यह वस्तु मौजूद है" जब तक कि इसे बनाने का कोई तरीका ज्ञात न हो;

किसी भी अनंत संग्रह की सभी वस्तुओं X के समुच्चय पर कभी विचार नहीं किया जाता है;

यदि यह ज्ञात है कि इन सभी एक्स के लिए कोई तर्क या प्रमेय सत्य है, तो इसका मतलब है कि यह सामान्य तर्क प्रत्येक विशिष्ट एक्स के लिए दोहराया जा सकता है, और इस सामान्य तर्क को केवल ऐसे विशिष्ट तर्क के लिए एक मॉडल के रूप में माना जाना चाहिए।

हालांकि, इस क्षेत्र में अंतिम प्रकाशन के समय, गोडेल ने पहले ही अपने परिणाम प्राप्त कर लिए थे, संक्षेप में उन्होंने फिर से खोज की और अनुभूति की प्रक्रिया में द्वंद्वात्मकता की उपस्थिति को मंजूरी दी। संक्षेप में, गणित के आगे के विकास ने हिल्बर्ट के कार्यक्रम की विफलता को प्रदर्शित किया।

गोडेल ने वास्तव में क्या साबित किया? तीन मुख्य परिणाम हैं:

1. गोडेल ने किसी भी प्रणाली की संगति के गणितीय प्रमाण की असंभवता को दिखाया, जो कि सभी अंकगणित को शामिल करने के लिए पर्याप्त है, एक ऐसा प्रमाण जो सिस्टम में पाए गए लोगों की तुलना में अनुमान के किसी अन्य नियम का उपयोग नहीं करेगा। ऐसा प्रमाण, जो अधिक शक्तिशाली अनुमान नियम का उपयोग करता है, उपयोगी हो सकता है। लेकिन अगर अनुमान के ये नियम अंकगणितीय कलन के तार्किक साधनों से अधिक मजबूत हैं, तो प्रमाण में प्रयुक्त मान्यताओं की संगति में कोई विश्वास नहीं होगा। किसी भी मामले में, यदि उपयोग की जाने वाली विधियां वित्तीयवादी नहीं हैं, तो हिल्बर्ट का कार्यक्रम अव्यावहारिक हो जाएगा। गोडेल अंकगणित की संगति का एक अंतिम प्रमाण खोजने के लिए गणना की असंगति को दर्शाता है।
2. गोडेल ने स्वयंसिद्ध विधि की संभावनाओं की मूलभूत सीमाओं की ओर इशारा किया: प्रिंसिपिया मैथमैटिका प्रणाली, किसी भी अन्य प्रणाली की तरह, जिसके साथ अंकगणित बनाया गया है, अनिवार्य रूप से अपूर्ण है, अर्थात अंकगणितीय स्वयंसिद्धों की किसी भी सुसंगत प्रणाली के लिए सही अंकगणितीय वाक्य हैं जो हैं इस प्रणाली के स्वयंसिद्धों से व्युत्पन्न नहीं।
3. गोडेल के प्रमेय से पता चलता है कि एक अंकगणितीय प्रणाली का कोई भी विस्तार इसे पूर्ण नहीं बना सकता है, और अगर हम इसे स्वयंसिद्धों के अनंत सेट से भर देते हैं, तो नई प्रणाली में हमेशा सत्य होगा, लेकिन इस प्रणाली के माध्यम से घटाया नहीं जा सकता है, पदों। प्राकृतिक संख्याओं के अंकगणित के लिए स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण सही अंकगणितीय प्रस्तावों के पूरे क्षेत्र को कवर नहीं कर सकता है, और गणितीय प्रमाण की प्रक्रिया से हमारा मतलब स्वयंसिद्ध पद्धति के उपयोग तक सीमित नहीं है। गोडेल के प्रमेय के बाद, यह उम्मीद करना व्यर्थ हो गया कि एक ठोस गणितीय प्रमाण की अवधारणा एक बार और सभी चित्रित रूपों के लिए दी जा सकती है।

सेट थ्योरी को समझाने के प्रयासों की इस श्रृंखला में नवीनतम अंतर्ज्ञानवाद था।

वह अपने विकास में कई चरणों से गुजरा - अर्ध-अंतर्ज्ञानवाद, अंतर्ज्ञानवाद उचित, अति-अंतर्ज्ञानवाद। विभिन्न चरणों में, गणितज्ञ विभिन्न समस्याओं को लेकर चिंतित थे, लेकिन गणित की मुख्य समस्याओं में से एक अनंत की समस्या है। अनंतता और निरंतरता की गणितीय अवधारणाएं अपनी स्थापना के बाद से दार्शनिक विश्लेषण का विषय रही हैं (परमाणुवादियों के विचार, एलिया के ज़ेनो के अपोरिया, पुरातनता में असीम तरीके, आधुनिक समय में इनफिनिटिमल कैलकुलस, आदि)। सबसे बड़ा विवाद विभिन्न प्रकार के अनंत (संभावित, वास्तविक) के गणितीय वस्तुओं के रूप में उपयोग और उनकी व्याख्या के कारण हुआ था। ये सभी समस्याएं, हमारी राय में, एक गहरी समस्या - वैज्ञानिक ज्ञान में विषय की भूमिका से उत्पन्न हुई थीं। तथ्य यह है कि गणित में संकट की स्थिति वस्तु की दुनिया (अनंत) और विषय की दुनिया की तुलना की महामारी संबंधी अनिश्चितता से उत्पन्न होती है। एक विषय के रूप में गणितज्ञ के पास अनुभूति के साधनों को चुनने की संभावना होती है - या तो संभावित या वास्तविक अनंत। एक बनने के रूप में संभावित अनंत का उपयोग उसे निर्माण करने का अवसर देता है, निर्माण के अनंत सेट का निर्माण करने के लिए जो सीमित लोगों के शीर्ष पर बनाया जा सकता है, बिना सीमित कदम के, निर्माण पूरा किए बिना, यह केवल संभव है। वास्तविक अनंत का उपयोग उसे अनंत के साथ काम करने का अवसर देता है जैसा कि पहले से ही साकार है, इसके निर्माण में पूरा हुआ, जैसा कि वास्तव में उसी समय दिया गया था।

अर्ध-अंतर्ज्ञानवाद के चरण में, अनंत की समस्या अभी तक स्वतंत्र नहीं थी, लेकिन गणितीय वस्तुओं के निर्माण की समस्या और इसे सही ठहराने के तरीकों में बुनी गई थी। ए पोंकारे के अर्ध-अंतर्ज्ञानवाद और कार्यों के सिद्धांत के पेरिस स्कूल के प्रतिनिधियों बेयर, लेबेस्ग्यू और बोरेल को स्वतंत्र पसंद के स्वयंसिद्ध की स्वीकृति के खिलाफ निर्देशित किया गया था, जिसकी मदद से ज़र्मेलो के प्रमेय को सिद्ध किया गया है, जिसमें कहा गया है कि कोई भी सेट को पूरी तरह से ऑर्डर किया जा सकता है, लेकिन वांछित सेट के किसी भी सबसेट के तत्वों को निर्धारित करने के लिए सैद्धांतिक तरीके का संकेत दिए बिना। गणितीय वस्तु के निर्माण का कोई तरीका नहीं है, और स्वयं कोई गणितीय वस्तु नहीं है। गणितज्ञों का मानना ​​​​था कि अध्ययन की वस्तुओं के अनुक्रम के निर्माण के लिए एक सैद्धांतिक पद्धति की उपस्थिति या अनुपस्थिति इस स्वयंसिद्ध की पुष्टि या खंडन के आधार के रूप में काम कर सकती है। रूसी संस्करण में, गणित की दार्शनिक नींव में अर्ध-अंतर्ज्ञानवादी अवधारणा को इस तरह से विकसित किया गया था जैसे कि एन.एन. द्वारा विकसित प्रभाववाद। लुज़िन। प्रभाववाद अनंत के कैंटर के सिद्धांत के मुख्य सार तत्वों का विरोध है - वास्तविकता, पसंद, ट्रांसफ़िनिट इंडक्शन, आदि।

प्रभाववाद के लिए, संभावित व्यवहार्यता का अमूर्त वास्तविक अनंत के अमूर्त की तुलना में महामारी विज्ञान की दृष्टि से अधिक मूल्यवान है। इसके लिए धन्यवाद, कार्यों के विकास की प्रभावी अवधारणा के आधार पर ट्रांसफ़िनिट ऑर्डिनल्स (अनंत क्रमसूचक संख्या) की अवधारणा को पेश करना संभव हो जाता है। निरंतर (निरंतर) प्रदर्शित करने के लिए प्रभाववाद की महामारी विज्ञान सेटिंग असतत साधनों (अंकगणित) और एनएन लुज़िन द्वारा बनाए गए सेट (कार्यों) के वर्णनात्मक सिद्धांत पर आधारित थी। डचमैन एल.ई. या. ब्रौवर, जी. वेइल, ए. हेइटिंग का अंतर्ज्ञानवाद अध्ययन के पारंपरिक उद्देश्य के रूप में विभिन्न प्रकार के स्वतंत्र रूप से उभरते अनुक्रमों को देखता है। इस स्तर पर, गणितीय समस्याओं को उचित रूप से हल करना, जिसमें सभी गणित के नए आधार पर पुनर्गठन शामिल है, अंतर्ज्ञानवादियों ने एक ज्ञानी विषय के रूप में गणितज्ञ की भूमिका के दार्शनिक प्रश्न को उठाया। उसकी स्थिति क्या है, जहाँ वह अनुभूति के साधनों को चुनने में अधिक स्वतंत्र और सक्रिय है? वास्तविक अनंत की अवधारणा की आलोचना करने वाले पहले (और अर्ध-अंतर्ज्ञानवाद के चरण में), कैंटोर के सेट के सिद्धांत, इसमें एक रचनात्मक समस्या के समाधान के लिए वैज्ञानिक खोज की प्रक्रिया को प्रभावित करने के लिए विषय की क्षमता का उल्लंघन था। . संभावित अनंत का उपयोग करने के मामले में, विषय खुद को धोखा नहीं देता है, क्योंकि उसके लिए संभावित अनंत का विचार वास्तविक अनंत के विचार की तुलना में सहज रूप से बहुत स्पष्ट है। एक अंतर्ज्ञानवादी के लिए, एक वस्तु को अस्तित्व में माना जाता है यदि वह सीधे गणितज्ञ को दी जाती है या यदि इसे बनाने की विधि ज्ञात है। किसी भी मामले में, विषय अपने सेट के कई तत्वों के निर्माण को पूरा करने की प्रक्रिया शुरू कर सकता है। अंतर्ज्ञानवादियों के लिए असंरचित वस्तु मौजूद नहीं है। साथ ही, वास्तविक अनंत के साथ काम करने वाला विषय इस अवसर से वंचित हो जाएगा और अपनाई गई स्थिति की दोहरी भेद्यता महसूस करेगा:

1) इस अनंत रचना को अंजाम देना कभी भी संभव नहीं है;
2) वह वास्तविक अनंत के साथ एक सीमित वस्तु के साथ काम करने का फैसला करता है, और इस मामले में अनंत की अवधारणा की अपनी विशिष्टता खो देता है। अंतर्ज्ञानवाद जानबूझकर एक गणितज्ञ की संभावनाओं को इस तथ्य से सीमित करता है कि वह विशेष रूप से गणितीय वस्तुओं का निर्माण कर सकता है, हालांकि अमूर्त अवधारणाओं की मदद से प्राप्त किया जाता है, प्रभावी, आश्वस्त, सिद्ध, कार्यात्मक रूप से रचनात्मक रूप से व्यावहारिक रूप से रचनात्मक होते हैं और स्वयं को निर्माण के रूप में सहज रूप से स्पष्ट होते हैं, निर्माण, जिसकी विश्वसनीयता व्यवहार में है, इसमें कोई संदेह नहीं है। अंतर्ज्ञानवाद, संभावित अनंत और रचनात्मक अनुसंधान विधियों की अवधारणा पर निर्भर करता है, बनने के गणित से संबंधित है, सेट सिद्धांत अस्तित्व के गणित को संदर्भित करता है।

अंतर्ज्ञानवादी ब्रौवर के लिए, गणितीय अनुभववाद के प्रतिनिधि के रूप में, तर्क गौण है; वह इसकी और बहिष्कृत मध्य के कानून की आलोचना करता है।

अपने आंशिक रूप से रहस्यमय कार्यों में, वह अनंत के अस्तित्व से इनकार नहीं करता है, लेकिन इसके वास्तविककरण की अनुमति नहीं देता है, केवल संभावितता। उनके लिए मुख्य बात व्यावहारिक रूप से प्रयुक्त तार्किक साधनों और गणितीय तर्क की व्याख्या और औचित्य है। अंतर्ज्ञानवादियों द्वारा अपनाया गया प्रतिबंध गणित में अनंत की अवधारणा के उपयोग की अनिश्चितता को दूर करता है और गणित की नींव में संकट को दूर करने की इच्छा व्यक्त करता है।

अल्ट्रा-अंतर्ज्ञानवाद (ए.एन. कोलमोगोरोव, ए.ए. मार्कोव और अन्य) अंतर्ज्ञानवाद के विकास में अंतिम चरण है, जिस पर इसके मुख्य विचारों को आधुनिकीकरण, महत्वपूर्ण रूप से पूरक और रूपांतरित किया जाता है, इसके सार को बदले बिना, लेकिन कमियों पर काबू पाने और सकारात्मक पहलुओं को मजबूत करने के लिए निर्देशित किया जाता है। मानदंड गणितीय कठोरता। अंतर्ज्ञानवादी दृष्टिकोण की कमजोरी गणितीय विधियों की शुद्धता और प्रभावशीलता के औचित्य के एकमात्र स्रोत के रूप में अंतर्ज्ञान की भूमिका की एक संकीर्ण समझ थी। गणित में सत्य की कसौटी के रूप में "सहज स्पष्टता" लेते हुए, अंतर्ज्ञानवादियों ने ज्ञान के विषय के रूप में गणितज्ञ की संभावनाओं को विधिपूर्वक खराब कर दिया, उसकी गतिविधि को केवल अंतर्ज्ञान पर आधारित मानसिक संचालन तक सीमित कर दिया और गणितीय ज्ञान की प्रक्रिया में अभ्यास को शामिल नहीं किया। गणित की पुष्टि का अति-अंतर्ज्ञानवादी कार्यक्रम एक रूसी प्राथमिकता है। इसलिए, घरेलू गणितज्ञों ने अंतर्ज्ञानवाद की सीमाओं को पार करते हुए, भौतिकवादी द्वंद्वात्मकता की प्रभावी पद्धति को अपनाया, मानव अभ्यास को गणितीय अवधारणाओं और गणितीय तरीकों (अनुमान, निर्माण) दोनों के गठन के स्रोत के रूप में मान्यता दी। अल्ट्राइंटुइटिशनिस्टों ने गणितीय वस्तुओं के अस्तित्व की समस्या को हल किया, अंतर्ज्ञान की अपरिभाषित व्यक्तिपरक अवधारणा पर नहीं, बल्कि गणितीय अभ्यास और गणितीय वस्तु के निर्माण के लिए एक विशिष्ट तंत्र पर - एक गणना योग्य, पुनरावर्ती फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त एक एल्गोरिथ्म।

अल्ट्रा-अंतर्ज्ञानवाद अंतर्ज्ञानवाद के फायदों को बढ़ाता है, जिसमें किसी भी दिशा के गणितज्ञों द्वारा उपयोग की जाने वाली रचनात्मक समस्याओं को हल करने के तरीकों को व्यवस्थित करने और सामान्य बनाने की संभावना शामिल है। इसलिए, अंतिम चरण का अंतर्ज्ञानवाद (परमज्ञानवाद) गणित में रचनावाद के करीब है। ज्ञानमीमांसा के पहलू में, अतिसूक्ष्मवाद के मुख्य विचार और सिद्धांत इस प्रकार हैं: तर्क के शास्त्रीय स्वयंसिद्धों की आलोचना; सार के निर्माण और रचनात्मक रूप से समझने के तरीके के रूप में पहचान की अमूर्तता (वस्तुओं के असमान गुणों से मानसिक अमूर्तता और वस्तुओं के सामान्य गुणों के एक साथ अलगाव) की भूमिका का उपयोग और महत्वपूर्ण मजबूती (ए.ए. मार्कोव के स्पष्ट निर्देशों पर) अवधारणाएं, गणितीय निर्णय; सुसंगत सिद्धांतों की संगति का प्रमाण। औपचारिक पहलू में, पहचान की अमूर्तता के आवेदन को समानता के तीन गुणों (स्वयंसिद्ध) द्वारा उचित ठहराया जाता है - रिफ्लेक्सिविटी, ट्रांज़िटिविटी और समरूपता।

अनंत की समस्या पर गणित में मुख्य विरोधाभास को हल करने के लिए, जिसने इसकी नींव के संकट को जन्म दिया, ए.एन. के कार्यों में अति-अंतर्ज्ञानवाद के स्तर पर। कोलमोगोरोव ने शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी तर्क, शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी गणित के बीच संबंधों की समस्या को हल करके संकट से बाहर निकलने के तरीके सुझाए। ब्रौवर के अंतर्ज्ञानवाद ने आम तौर पर तर्क से इनकार किया, लेकिन चूंकि कोई गणितज्ञ तर्क के बिना नहीं कर सकता, तार्किक तर्क का अभ्यास अभी भी अंतर्ज्ञानवाद में संरक्षित था, शास्त्रीय तर्क के कुछ सिद्धांतों की अनुमति दी गई थी, जिसका आधार स्वयंसिद्ध था। एस.के. क्लेन, आर। वेस्ले ने यहां तक ​​​​ध्यान दिया कि अंतर्ज्ञानवादी गणित को एक प्रकार के कलन के रूप में वर्णित किया जा सकता है, और कलन गणितीय ज्ञान को तर्क, औपचारिकता और उसके रूप - एल्गोरिथम के आधार पर व्यवस्थित करने का एक तरीका है। निर्णयों की सहज स्पष्टता के लिए अंतर्ज्ञानवादी आवश्यकताओं के ढांचे के भीतर तर्क और गणित के बीच संबंधों का एक नया संस्करण, विशेष रूप से वे जिनमें निषेध शामिल थे, ए.एन. कोलमोगोरोव ने निम्नानुसार प्रस्तावित किया: उन्होंने अंतर्ज्ञानवादी तर्क प्रस्तुत किया, जो अंतर्ज्ञानवादी गणित से निकटता से संबंधित है, प्रस्तावों और विधेय के एक स्वयंसिद्ध निहितार्थ न्यूनतम कलन के रूप में। इस प्रकार, वैज्ञानिक ने गणितीय ज्ञान का एक नया मॉडल प्रस्तुत किया, केवल अंतर्ज्ञान को अनुभूति के साधन और तर्कवाद की सीमाओं के रूप में पहचानने में अंतर्ज्ञानवाद की सीमाओं को पार करते हुए, जो गणित में तर्क की संभावनाओं को पूर्ण करता है। इस स्थिति ने गणितीय रूप में सहज और तार्किक के संश्लेषण को लचीली तर्कसंगतता और इसकी रचनात्मक प्रभावशीलता के आधार के रूप में प्रदर्शित करना संभव बना दिया।

जाँच - परिणाम। इस प्रकार, गणितीय ज्ञान का ज्ञानमीमांसा पहलू हमें 19 वीं -20 वीं शताब्दी के मोड़ पर गणित की नींव के संकट के चरण में क्रांतिकारी परिवर्तनों का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है। अनुभूति की प्रक्रिया, इसमें विषय की प्रकृति और भूमिका को समझने में नए पदों से। ज्ञान के पारंपरिक सिद्धांत का ज्ञानमीमांसा विषय, गणित में सेट-सैद्धांतिक दृष्टिकोण के वर्चस्व की अवधि के अनुरूप, एक अमूर्त, अधूरा, "आंशिक" विषय है, जो विषय-वस्तु संबंधों में दर्शाया गया है, जो अमूर्तता, तर्क द्वारा फाड़ा गया है। वास्तविकता से औपचारिकता, तर्कसंगत रूप से, सैद्धांतिक रूप से अपनी वस्तु को जानना और एक दर्पण के रूप में समझा, वास्तविकता को सटीक रूप से प्रतिबिंबित और कॉपी करना। वास्तव में, विषय को वास्तविक प्रक्रिया और वस्तु के साथ बातचीत के परिणाम के रूप में अनुभूति से बाहर रखा गया था। गणित में दार्शनिक प्रवृत्तियों के संघर्ष के क्षेत्र में अंतर्ज्ञानवाद के प्रवेश ने गणितज्ञ की ज्ञान के विषय के रूप में एक नई समझ पैदा की - एक ऐसा व्यक्ति जो जानता है, जिसका दार्शनिक अमूर्त निर्माण किया जाना चाहिए, जैसा कि वह था। गणितज्ञ एक अनुभवजन्य विषय के रूप में दिखाई दिया, जिसे पहले से ही एक अभिन्न वास्तविक व्यक्ति के रूप में समझा जाता है, जिसमें उन सभी गुणों को शामिल किया गया है जो महामारी विज्ञान के विषय में शामिल थे - अनुभवजन्य संक्षिप्तता, परिवर्तनशीलता, ऐतिहासिकता; यह वास्तविक अनुभूति में एक अभिनय और संज्ञानात्मक, एक रचनात्मक, सहज, आविष्कारशील विषय है। अंतर्ज्ञानवादी गणित का दर्शन आधार बन गया है, आधुनिक ज्ञानमीमांसा प्रतिमान की नींव है, जो लचीली तर्कसंगतता की अवधारणा पर निर्मित है, जिसमें एक व्यक्ति अनुभूति का एक अभिन्न (समग्र) विषय है, जिसमें नए संज्ञानात्मक गुण, तरीके, प्रक्रियाएं हैं; वह अपने अमूर्त-महामारी विज्ञान और तार्किक-पद्धतिगत प्रकृति और रूप को संश्लेषित करता है, और साथ ही साथ एक अस्तित्व-मानवशास्त्रीय और "ऐतिहासिक-आध्यात्मिक" समझ प्राप्त करता है।

एक महत्वपूर्ण बिंदु अनुभूति में अंतर्ज्ञान भी है और, विशेष रूप से, गणितीय अवधारणाओं के निर्माण में। फिर से, दर्शन के साथ संघर्ष है, बहिष्कृत मध्य के कानून को बाहर करने का प्रयास है, गणित में कोई अर्थ नहीं है और दर्शन से इसमें आ रहा है। हालांकि, अंतर्ज्ञान पर अत्यधिक जोर देने और स्पष्ट गणितीय औचित्य की कमी ने गणित को एक ठोस आधार पर स्थानांतरित करने की अनुमति नहीं दी।

हालाँकि, 1930 के दशक में एक एल्गोरिथ्म की एक कठोर अवधारणा के उद्भव के बाद, अंतर्ज्ञानवाद से बैटन को गणितीय रचनावाद ने ले लिया, जिसके प्रतिनिधियों ने संगणना के आधुनिक सिद्धांत में महत्वपूर्ण योगदान दिया। इसके अलावा, 1970 और 1980 के दशक में, अंतर्ज्ञानवादियों के कुछ विचारों (यहां तक ​​​​कि जो पहले बेतुका लग रहा था) और टॉपोस के गणितीय सिद्धांत के बीच महत्वपूर्ण संबंध खोजे गए थे। कुछ टोपोई में पाया गया गणित बहुत कुछ वैसा ही है जैसा कि अंतर्ज्ञानवादी बनाने की कोशिश कर रहे थे।

नतीजतन, कोई एक बयान दे सकता है: उपरोक्त अधिकांश विरोधाभास केवल स्व-स्वामित्व वाले सेट के सिद्धांत में मौजूद नहीं हैं। क्या ऐसा दृष्टिकोण निश्चित है, यह बहस का विषय है, इस क्षेत्र में आगे के काम से पता चलेगा।

निष्कर्ष

द्वंद्वात्मक-भौतिकवादी विश्लेषण से पता चलता है कि विरोधाभास भाषा और सोच के द्विभाजन का परिणाम है, गहरी द्वंद्वात्मक अभिव्यक्ति की अभिव्यक्ति (गोडेल के प्रमेय ने अनुभूति की प्रक्रिया में द्वंद्वात्मकता को प्रकट करना संभव बना दिया) और किसी वस्तु और विषय की अवधारणाओं से जुड़ी महामारी संबंधी कठिनाइयाँ औपचारिक तर्क में क्षेत्र, तर्क और सेट सिद्धांत में एक सेट (वर्ग), अमूर्त सिद्धांत के उपयोग के साथ, जो विज्ञान में अमूर्त वस्तुओं को परिभाषित करने के तरीकों के साथ नई (अमूर्त) वस्तुओं (अनंत) को पेश करने की अनुमति देता है। इसलिए, ए सभी विरोधाभासों को खत्म करने का सार्वभौमिक तरीका नहीं दिया जा सकता है।

क्या गणित का तीसरा संकट समाप्त हो गया है (क्योंकि यह विरोधाभासों के साथ एक कारण संबंध में था; अब विरोधाभास एक अभिन्न अंग हैं) - राय यहां भिन्न हैं, हालांकि औपचारिक रूप से ज्ञात विरोधाभासों को 1907 तक समाप्त कर दिया गया था। हालाँकि, अब गणित में ऐसी अन्य परिस्थितियाँ हैं जिन्हें या तो संकट माना जा सकता है या संकट का पूर्वाभास किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, पथ अभिन्न के लिए एक कठोर औचित्य का अभाव)।

विरोधाभासों के लिए, प्रसिद्ध झूठे विरोधाभास ने गणित में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाई, साथ ही तथाकथित भोले (पूर्ववर्ती स्वयंसिद्ध) सेट सिद्धांत में विरोधाभासों की एक पूरी श्रृंखला ने नींव के संकट का कारण बना (इन विरोधाभासों में से एक खेला) एच। फ्रीज के जीवन में एक घातक भूमिका)। लेकिन, शायद, आधुनिक गणित में सबसे कम आंका जाने वाली घटनाओं में से एक, जिसे विरोधाभासी और संकट दोनों कहा जा सकता है, 1963 में हिल्बर्ट की पहली समस्या का पॉल कोहेन का समाधान है। अधिक सटीक रूप से, निर्णय का तथ्य नहीं, बल्कि इस निर्णय की प्रकृति।

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