इस लेख में, हम दिखाएंगे कि कैसे त्रिकोणमिति में कोण और संख्या के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएं. यहां हम अंकन के बारे में बात करेंगे, अभिलेखों के उदाहरण देंगे, ग्राफिक चित्रण देंगे। अंत में, हम त्रिकोणमिति और ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाओं के बीच एक समानांतर रेखा खींचते हैं।

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साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की परिभाषा

आइए देखें कि स्कूल गणित पाठ्यक्रम में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट की अवधारणा कैसे बनती है। ज्यामिति के पाठों में, एक समकोण त्रिभुज में ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और स्पर्शज्या की परिभाषा दी गई है। और बाद में त्रिकोणमिति का अध्ययन किया जाता है, जो रोटेशन के कोण और संख्या के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट को संदर्भित करता है। हम ये सभी परिभाषाएँ देते हैं, उदाहरण देते हैं और आवश्यक टिप्पणियाँ देते हैं।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण

ज्यामिति के पाठ्यक्रम से, एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाएँ ज्ञात होती हैं। उन्हें एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में दिया जाता है। हम उनके सूत्र प्रस्तुत करते हैं।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्याविपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की कोज्याआसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्श रेखाविपरीत पैर का आसन्न पैर से अनुपात है।

परिभाषा।

समकोण त्रिभुज में न्यून कोण का कोटैंजेंटआसन्न पैर का विपरीत पैर का अनुपात है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट का अंकन भी वहां पेश किया जाता है - क्रमशः पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी।

उदाहरण के लिए, यदि ABC एक समकोण C वाला समकोण त्रिभुज है, तो न्यून कोण A की ज्या विपरीत पैर BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है, अर्थात sin∠A=BC/AB।

ये परिभाषाएँ आपको एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की ज्ञात लंबाई के साथ-साथ साइन, कोसाइन के ज्ञात मानों से एक तीव्र कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देती हैं। स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट और एक भुजा की लंबाई, अन्य भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए। उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में पैर AC 3 है और कर्ण AB 7 है, तो हम न्यून कोण A की कोज्या की गणना परिभाषा के अनुसार कर सकते हैं: cos∠A=AC/AB=3/7 ।

रोटेशन का कोण

त्रिकोणमिति में, वे कोण को अधिक व्यापक रूप से देखना शुरू करते हैं - वे रोटेशन के कोण की अवधारणा का परिचय देते हैं। एक तीव्र कोण के विपरीत, रोटेशन का कोण 0 से 90 डिग्री तक फ्रेम द्वारा सीमित नहीं है, डिग्री में रोटेशन का कोण (और रेडियन में) −∞ से +∞ तक किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

इस प्रकाश में, ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाएं अब एक न्यून कोण नहीं हैं, बल्कि मनमाने परिमाण का कोण हैं - रोटेशन का कोण। वे बिंदु A 1 के x और y निर्देशांक के माध्यम से दिए गए हैं, जिसमें तथाकथित प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) बिंदु O के चारों ओर एक कोण α से घूमने के बाद गुजरता है - एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की शुरुआत और यूनिट सर्कल का केंद्र।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की ज्याα बिंदु A 1 की कोटि है, अर्थात sinα=y ।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की कोज्याα को बिंदु A 1 का भुज कहा जाता है, अर्थात cosα=x ।

परिभाषा।

घूर्णन कोण की स्पर्शरेखाα, बिंदु A 1 की कोटि का उसके भुज, यानी tgα=y/x से अनुपात है।

परिभाषा।

रोटेशन के कोण का कोटैंजेंटα, बिंदु A 1 के भुज का उसके कोटि से अनुपात है, अर्थात ctgα=x/y ।

साइन और कोसाइन को किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया जाता है, क्योंकि हम हमेशा बिंदु के भुज और कोटि को निर्धारित कर सकते हैं, जो कोण α द्वारा प्रारंभिक बिंदु को घुमाकर प्राप्त किया जाता है। और स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट किसी भी कोण के लिए परिभाषित नहीं हैं। स्पर्शरेखा ऐसे कोणों के लिए परिभाषित नहीं है α जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य भुज (0, 1) या (0, -1) के साथ एक बिंदु पर जाता है, और यह कोणों पर होता है 90°+180° k , k∈Z (π /2+π के रेड)। दरअसल, रोटेशन के ऐसे कोणों पर, अभिव्यक्ति tgα=y/x का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से विभाजन होता है। कोटैंजेंट के लिए, यह ऐसे कोणों α के लिए परिभाषित नहीं है, जिस पर प्रारंभिक बिंदु शून्य कोटि (1, 0) या (-1, 0) के साथ एक बिंदु पर जाता है, और यह 180° k, k कोणों के लिए मामला है। Z (π k rad)।

तो, साइन और कोसाइन को किसी भी रोटेशन कोण के लिए परिभाषित किया गया है, स्पर्शरेखा को 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π/2+π k rad) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है, और कोटैंजेंट 180 को छोड़कर सभी कोणों के लिए है। ° · k , k∈Z (π·k rad)।

हमारे लिए पहले से ज्ञात संकेतन पाप, कॉस, टीजी और सीटीजी की परिभाषाओं में प्रकट होते हैं, उनका उपयोग रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट को दर्शाने के लिए भी किया जाता है (कभी-कभी आप नोटेशन टैन और कोट को स्पर्शरेखा के अनुरूप पा सकते हैं और कोटैंजेंट)। तो 30 डिग्री के रोटेशन कोण की साइन को sin30° के रूप में लिखा जा सकता है, रिकॉर्ड tg(−24°17′) और ctgα रोटेशन कोण −24 डिग्री 17 मिनट के स्पर्शरेखा के अनुरूप होते हैं और रोटेशन कोण α के कोटेंजेंट के अनुरूप होते हैं। . याद रखें कि कोण के रेडियन माप को लिखते समय, अंकन "रेड" को अक्सर छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, तीन पाई रेड के घूर्णन कोण के कोज्या को आमतौर पर cos3 दर्शाया जाता है।

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, यह ध्यान देने योग्य है कि रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के बारे में बात करते समय, वाक्यांश "रोटेशन का कोण" या "रोटेशन" शब्द अक्सर छोड़ा जाता है। यही है, "रोटेशन अल्फा के कोण की साइन" वाक्यांश के बजाय, "अल्फा के कोण की साइन" वाक्यांश आमतौर पर प्रयोग किया जाता है, या इससे भी छोटा - "अल्फा की साइन"। वही कोसाइन, और स्पर्शरेखा, और कोटैंजेंट पर लागू होता है।

आइए यह भी कहें कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषाएं 0 से 90 तक के रोटेशन कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के लिए दी गई परिभाषाओं के अनुरूप हैं। डिग्री। हम इसकी पुष्टि करेंगे।

नंबर

परिभाषा।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट t एक संख्या है जो क्रमशः t रेडियन में घूर्णन कोण की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटांगेंट के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, 8 की कोज्या, परिभाषा के अनुसार, 8 रेड के कोण के कोज्या के बराबर एक संख्या है। और 8 रेड में कोण की कोज्या एक के बराबर होती है, इसलिए संख्या 8 की कोज्या 1 के बराबर होती है।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषा के लिए एक और दृष्टिकोण है। यह इस तथ्य में समाहित है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या t को आयताकार समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्रित इकाई वृत्त का एक बिंदु सौंपा गया है, और साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट इस बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से निर्धारित किए जाते हैं। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।

आइए हम दिखाते हैं कि वास्तविक संख्याओं और वृत्त के बिंदुओं के बीच पत्राचार कैसे स्थापित होता है:

• संख्या 0 को प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) सौंपा गया है;
• एक धनात्मक संख्या t इकाई वृत्त पर एक बिंदु के साथ जुड़ा हुआ है, जो हमें तब मिलेगा जब हम वृत्त के चारों ओर प्रारंभिक बिंदु से वामावर्त दिशा में घूमते हैं और लंबाई t के पथ से गुजरते हैं;
• एक ऋणात्मक संख्या t इकाई वृत्त पर एक बिंदु के साथ जुड़ा हुआ है, जो हमें तब मिलेगा जब हम वृत्त के चारों ओर प्रारंभिक बिंदु से दक्षिणावर्त दिशा में घूमते हैं और लंबाई के पथ से गुजरते हैं |t| .

आइए अब हम संख्या t की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषाओं पर चलते हैं। आइए मान लें कि संख्या टी सर्कल ए 1 (एक्स, वाई) के एक बिंदु से मेल खाती है (उदाहरण के लिए, संख्या &pi/2; बिंदु ए 1 (0, 1) से मेल खाती है)।

परिभाषा।

एक संख्या की ज्या t संख्या t के संगत इकाई वृत्त बिंदु की कोटि है, जो कि sint=y है।

परिभाषा।

एक संख्या की कोज्या t को संख्या t के संगत इकाई वृत्त के उस बिंदु का भुज कहा जाता है, जो कि लागत = x है।

परिभाषा।

एक संख्या की स्पर्शरेखा t, संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु के भुज से कोटि का अनुपात है, अर्थात tgt=y/x। एक अन्य समकक्ष सूत्रीकरण में, संख्या t की स्पर्शरेखा इस संख्या की ज्या का कोज्या से अनुपात है, जो कि tgt=sint/cost है।

परिभाषा।

किसी संख्या का स्पर्शज्या t संख्या t के संगत इकाई वृत्त के बिंदु की कोटि से भुज का अनुपात है, अर्थात ctgt=x/y. एक अन्य सूत्रीकरण इस प्रकार है: संख्या t की स्पर्शरेखा संख्या t की कोज्या का संख्या t की ज्या से अनुपात है: ctgt=cost/sint.

यहां हम ध्यान दें कि अभी दी गई परिभाषाएं इस उपधारा की शुरुआत में दी गई परिभाषा से मेल खाती हैं। वास्तव में, संख्या t के संगत इकाई वृत्त का बिंदु t रेडियन के कोण के माध्यम से प्रारंभिक बिंदु को घुमाकर प्राप्त बिंदु के साथ मेल खाता है।

इस बिंदु को स्पष्ट करना भी उचित है। मान लें कि हमारे पास sin3 प्रविष्टि है। कैसे समझें कि संख्या 3 की ज्या या 3 रेडियन के घूर्णन कोण की ज्या प्रश्न में है? यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है, अन्यथा इससे कोई फर्क नहीं पड़ता।

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

पिछले पैराग्राफ में दी गई परिभाषाओं के अनुसार, प्रत्येक रोटेशन कोण α sinα के एक अच्छी तरह से परिभाषित मान के साथ-साथ cosα के मान से मेल खाता है। इसके अलावा, 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) के अलावा सभी घूर्णन कोण tgα , और 180° k , k∈Z (π k rad ) के अलावा अन्य मानों के अनुरूप हैं। ctgα के मान हैं। इसलिए sinα, cosα, tgα और ctgα कोण α के कार्य हैं। दूसरे शब्दों में, ये कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी तरह, हम एक संख्यात्मक तर्क के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के कार्यों के बारे में बात कर सकते हैं। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या t sint के सुपरिभाषित मान के साथ-साथ लागत से मेल खाती है। इसके अलावा, π/2+π·k , k∈Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ tgt के मानों से मेल खाती हैं, और ·k , k∈Z की संख्या ctgt के मानों से मेल खाती है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट के कार्यों को कहा जाता है बुनियादी त्रिकोणमितीय कार्य.

संदर्भ से यह आमतौर पर स्पष्ट है कि हम कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ काम कर रहे हैं। अन्यथा, हम स्वतंत्र चर को कोण के माप (कोण तर्क) और संख्यात्मक तर्क दोनों के रूप में मान सकते हैं।

हालांकि, स्कूल मुख्य रूप से संख्यात्मक कार्यों का अध्ययन करता है, यानी ऐसे कार्य जिनके तर्क, साथ ही साथ संबंधित फ़ंक्शन मान संख्याएं हैं। इसलिए, यदि हम कार्यों के बारे में बात कर रहे हैं, तो त्रिकोणमितीय कार्यों को संख्यात्मक तर्कों के कार्यों के रूप में विचार करना उचित है।

ज्यामिति और त्रिकोणमिति से परिभाषाओं का कनेक्शन

यदि हम रोटेशन के कोण α को 0 से 90 डिग्री तक मानते हैं, तो रोटेशन के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषा के त्रिकोणमिति के संदर्भ में डेटा पूरी तरह से साइन, कोसाइन की परिभाषाओं के अनुरूप है। , समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की स्पर्श रेखा और कोटेंजेंट, जो ज्यामिति पाठ्यक्रम में दिए गए हैं। आइए इसकी पुष्टि करते हैं।

आइए आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली ऑक्सी में एक इकाई सर्कल बनाएं। प्रारंभिक बिंदु A(1, 0) पर ध्यान दें। आइए इसे 0 से 90 डिग्री के कोण α से घुमाते हैं, हमें बिंदु A 1 (x, y) मिलता है। आइए बिंदु A 1 से ऑक्‍स अक्ष पर लंब A 1 H को छोड़ दें।

यह देखना आसान है कि एक समकोण त्रिभुज में कोण A 1 OH घूर्णन कोण α के बराबर होता है, इस कोण से सटे पैर OH की लंबाई बिंदु A 1 के भुज के बराबर होती है, अर्थात |OH |=x, कोण के विपरीत पैर A 1 H की लंबाई बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, अर्थात |A 1 H|=y, और कर्ण OA 1 की लंबाई एक के बराबर है , क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है। फिर, ज्यामिति से परिभाषा के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज A 1 OH में एक न्यून कोण α की ज्या कर्ण के विपरीत पैर के अनुपात के बराबर होती है, अर्थात sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= वाई/1 = वाई। और त्रिकोणमिति से परिभाषा के अनुसार, रोटेशन के कोण की ज्या α बिंदु A 1 की कोटि के बराबर है, जो कि sinα=y है। इससे पता चलता है कि एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या की परिभाषा 0 से 90 डिग्री के लिए α के रोटेशन के कोण की ज्या की परिभाषा के बराबर है।

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि एक न्यून कोण α के कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषाएं रोटेशन के कोण के कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की परिभाषाओं के अनुरूप हैं।

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गणित की शाखाओं में से एक जिसके साथ स्कूली बच्चे सबसे बड़ी कठिनाइयों का सामना करते हैं, वह है त्रिकोणमिति। कोई आश्चर्य नहीं: ज्ञान के इस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए, आपको स्थानिक सोच की आवश्यकता है, सूत्रों का उपयोग करके साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंगेंट खोजने की क्षमता, अभिव्यक्तियों को सरल बनाना और गणना में संख्या pi का उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए। इसके अलावा, आपको प्रमेयों को सिद्ध करते समय त्रिकोणमिति को लागू करने में सक्षम होना चाहिए, और इसके लिए या तो एक विकसित गणितीय स्मृति या जटिल तार्किक श्रृंखलाओं को निकालने की क्षमता की आवश्यकता होती है।

त्रिकोणमिति की उत्पत्ति

इस विज्ञान से परिचित होना कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा से शुरू होना चाहिए, लेकिन पहले आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि त्रिकोणमिति सामान्य रूप से क्या करती है।

ऐतिहासिक रूप से, गणितीय विज्ञान के इस खंड में समकोण त्रिभुज अध्ययन का मुख्य उद्देश्य रहा है। 90 डिग्री के कोण की उपस्थिति से विभिन्न ऑपरेशन करना संभव हो जाता है जो किसी को दो पक्षों और एक कोण या दो कोणों और एक तरफ का उपयोग करके विचाराधीन आकृति के सभी मापदंडों के मूल्यों को निर्धारित करने की अनुमति देता है। अतीत में, लोगों ने इस पैटर्न पर ध्यान दिया और इसे इमारतों, नेविगेशन, खगोल विज्ञान और यहां तक ​​कि कला के निर्माण में सक्रिय रूप से उपयोग करना शुरू कर दिया।

प्रथम चरण

प्रारंभ में, लोग विशेष रूप से समकोण त्रिभुजों के उदाहरण पर कोणों और भुजाओं के संबंध के बारे में बात करते थे। फिर विशेष सूत्रों की खोज की गई जिससे गणित के इस खंड के दैनिक जीवन में उपयोग की सीमाओं का विस्तार करना संभव हो गया।

स्कूल में त्रिकोणमिति का अध्ययन आज समकोण त्रिभुजों से शुरू होता है, जिसके बाद छात्रों द्वारा अर्जित ज्ञान का उपयोग भौतिकी और अमूर्त त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में किया जाता है, जिसके साथ हाई स्कूल में काम शुरू होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति

बाद में, जब विज्ञान विकास के अगले स्तर पर पहुंच गया, तो गोलाकार ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंजेंट वाले सूत्रों का उपयोग किया जाने लगा, जहां अन्य नियम लागू होते हैं, और त्रिभुज में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से अधिक होता है। इस खंड का अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन इसके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है, कम से कम क्योंकि पृथ्वी की सतह और किसी अन्य ग्रह की सतह उत्तल है, जिसका अर्थ है कि किसी भी सतह का अंकन "चाप के आकार का" होगा। त्रि-आयामी अंतरिक्ष।

ग्लोब और धागा लें। धागे को ग्लोब पर किन्हीं दो बिंदुओं से इस प्रकार संलग्न करें कि यह तना हुआ हो। ध्यान दें - इसने एक चाप का आकार प्राप्त कर लिया है। यह इस तरह के रूपों के साथ है कि गोलाकार ज्यामिति, जिसका उपयोग भूगणित, खगोल विज्ञान और अन्य सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में किया जाता है, सौदों।

सही त्रिकोण

त्रिकोणमिति का उपयोग करने के तरीकों के बारे में थोड़ा जानने के बाद, आइए मूल त्रिकोणमिति पर लौटते हैं ताकि आगे यह समझ सकें कि साइन, कोसाइन, टेंगेंट क्या हैं, उनकी मदद से कौन सी गणना की जा सकती है और किन सूत्रों का उपयोग करना है।

पहला कदम एक समकोण त्रिभुज से संबंधित अवधारणाओं को समझना है। सबसे पहले, कर्ण 90 डिग्री के कोण के विपरीत पक्ष है। वह सबसे लंबी है। हमें याद है कि पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, इसका संख्यात्मक मान अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के मूल के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, यदि दो भुजाएँ क्रमशः 3 और 4 सेंटीमीटर हैं, तो कर्ण की लंबाई 5 सेंटीमीटर होगी। वैसे, प्राचीन मिस्रवासियों को इस बारे में लगभग साढ़े चार हजार साल पहले पता था।

शेष दो भुजाएँ जो एक समकोण बनाती हैं, टाँगें कहलाती हैं। इसके अलावा, हमें यह याद रखना चाहिए कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में त्रिभुज में कोणों का योग 180 डिग्री होता है।

परिभाषा

अंत में, ज्यामितीय आधार की एक ठोस समझ के साथ, हम एक कोण के साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा की ओर मुड़ सकते हैं।

कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर (यानी, वांछित कोण के विपरीत पक्ष) का अनुपात है। कोण की कोज्या कर्ण से आसन्न पैर का अनुपात है।

याद रखें कि न तो ज्या और न ही कोज्या एक से बड़ा हो सकता है! क्यों? क्योंकि कर्ण डिफ़ॉल्ट रूप से सबसे लंबा होता है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि पैर कितना लंबा है, यह कर्ण से छोटा होगा, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात हमेशा एक से कम होगा। इस प्रकार, यदि आपको समस्या के उत्तर में 1 से अधिक मान वाली साइन या कोसाइन मिलती है, तो गणना या तर्क में त्रुटि की तलाश करें। यह उत्तर स्पष्ट रूप से गलत है।

अंत में, किसी कोण की स्पर्शरेखा विपरीत भुजा का आसन्न भुजा से अनुपात है। वही परिणाम कोज्या द्वारा ज्या का विभाजन देगा। देखो: सूत्र के अनुसार, हम पक्ष की लंबाई को कर्ण से विभाजित करते हैं, जिसके बाद हम दूसरी भुजा की लंबाई से विभाजित करते हैं और कर्ण से गुणा करते हैं। इस प्रकार, हमें स्पर्शरेखा की परिभाषा के समान अनुपात मिलता है।

कोटैंजेंट, क्रमशः, कोने से सटी भुजा का विपरीत दिशा में अनुपात है। हम इकाई को स्पर्शरेखा से विभाजित करने पर समान परिणाम प्राप्त करते हैं।

इसलिए, हमने साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषाओं पर विचार किया है, और हम सूत्रों से निपट सकते हैं।

सबसे सरल सूत्र

त्रिकोणमिति में, कोई सूत्र के बिना नहीं कर सकता - उनके बिना साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट कैसे खोजें? और समस्याओं को हल करते समय ठीक यही आवश्यक है।

त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करते समय आपको जो पहला सूत्र जानने की जरूरत है, वह कहता है कि एक कोण के साइन और कोसाइन के वर्गों का योग एक के बराबर होता है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है, लेकिन यह समय बचाता है यदि आप कोण का मान जानना चाहते हैं, भुजा का नहीं।

कई छात्र दूसरे सूत्र को याद नहीं कर सकते हैं, जो स्कूल की समस्याओं को हल करते समय भी बहुत लोकप्रिय है: एक का योग और एक कोण के स्पर्शरेखा का वर्ग कोण के कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है। करीब से देखें: आखिरकार, यह वही कथन है जो पहले सूत्र में था, केवल पहचान के दोनों पक्षों को कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित किया गया था। यह पता चला है कि एक साधारण गणितीय ऑपरेशन त्रिकोणमितीय सूत्र को पूरी तरह से पहचानने योग्य नहीं बनाता है। याद रखें: साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट क्या हैं, रूपांतरण नियम और कुछ बुनियादी सूत्र जानने के बाद, आप किसी भी समय स्वतंत्र रूप से कागज के एक शीट पर आवश्यक अधिक जटिल सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

द्विकोण सूत्र और तर्कों का योग

दो और सूत्र जिन्हें आपको सीखने की आवश्यकता है, वे कोणों के योग और अंतर के लिए साइन और कोसाइन के मूल्यों से संबंधित हैं। उन्हें नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। कृपया ध्यान दें कि पहले मामले में, साइन और कोसाइन को दोनों बार गुणा किया जाता है, और दूसरे में, साइन और कोसाइन का जोड़ीदार उत्पाद जोड़ा जाता है।

दोहरे कोण तर्कों से जुड़े सूत्र भी हैं। वे पूरी तरह से पिछले वाले से व्युत्पन्न हैं - एक अभ्यास के रूप में, अल्फा के कोण को बीटा के कोण के बराबर लेते हुए, उन्हें स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें।

अंत में, ध्यान दें कि डबल कोण सूत्रों को साइन, कोसाइन, टेंगेंट अल्फा की डिग्री को कम करने के लिए परिवर्तित किया जा सकता है।

प्रमेयों

मूल त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय हैं साइन प्रमेय और कोसाइन प्रमेय। इन प्रमेयों की सहायता से, आप आसानी से समझ सकते हैं कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कैसे खोजें, और इसलिए आकृति का क्षेत्र, और प्रत्येक पक्ष का आकार, आदि।

साइन प्रमेय में कहा गया है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई को विपरीत कोण के मान से विभाजित करने पर हमें वही संख्या प्राप्त होती है। इसके अलावा, यह संख्या परिबद्ध वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर होगी, अर्थात वह वृत्त जिसमें दिए गए त्रिभुज के सभी बिंदु हों।

कोसाइन प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय को सामान्य करता है, इसे किसी भी त्रिभुज पर प्रक्षेपित करता है। यह पता चला है कि दोनों पक्षों के वर्गों के योग से, उनके उत्पाद को उनके आसन्न कोण के दोहरे कोसाइन से गुणा करके - परिणामी मूल्य तीसरे पक्ष के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला बन जाता है।

असावधानी के कारण गलतियाँ

साइन, कोसाइन और टेंगेंट क्या हैं, यह जानते हुए भी, अनुपस्थिति या सरल गणनाओं में त्रुटि के कारण गलती करना आसान है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए, आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय से परिचित हों।

सबसे पहले, आपको अंतिम परिणाम प्राप्त होने तक सामान्य अंशों को दशमलव में नहीं बदलना चाहिए - जब तक कि स्थिति अन्यथा न बताए, आप उत्तर को एक साधारण अंश के रूप में छोड़ सकते हैं। इस तरह के परिवर्तन को गलती नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि कार्य के प्रत्येक चरण में नई जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जो लेखक के विचार के अनुसार कम होनी चाहिए। इस मामले में, आप अनावश्यक गणितीय कार्यों पर समय बर्बाद करेंगे। यह तीन या दो की जड़ जैसे मूल्यों के लिए विशेष रूप से सच है, क्योंकि वे हर कदम पर कार्यों में होते हैं। वही "बदसूरत" संख्याओं को गोल करने पर लागू होता है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि कोसाइन प्रमेय किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय पर नहीं! यदि आप गलती से उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए पक्षों के उत्पाद को दो बार घटाना भूल जाते हैं, तो आपको न केवल पूरी तरह से गलत परिणाम मिलेगा, बल्कि विषय की पूरी गलतफहमी भी प्रदर्शित होगी। यह एक लापरवाह गलती से भी बदतर है।

तीसरा, साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट के लिए 30 और 60 डिग्री के कोणों के मानों को भ्रमित न करें। इन मानों को याद रखें, क्योंकि 30 डिग्री की ज्या 60 की कोज्या के बराबर होती है, और इसके विपरीत। उन्हें मिलाना आसान है, जिसके परिणामस्वरूप आपको अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम मिलेगा।

आवेदन पत्र

कई छात्र त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करने की जल्दी में नहीं हैं, क्योंकि वे इसके लागू अर्थ को नहीं समझते हैं। एक इंजीनियर या खगोलशास्त्री के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या है? ये अवधारणाएं हैं जिनके लिए आप दूर के सितारों की दूरी की गणना कर सकते हैं, उल्कापिंड के गिरने की भविष्यवाणी कर सकते हैं, दूसरे ग्रह पर एक शोध जांच भेज सकते हैं। उनके बिना, एक इमारत बनाना, एक कार डिजाइन करना, सतह पर भार या किसी वस्तु के प्रक्षेपवक्र की गणना करना असंभव है। और ये सिर्फ सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं! आखिरकार, संगीत से लेकर चिकित्सा तक, किसी न किसी रूप में त्रिकोणमिति का उपयोग हर जगह किया जाता है।

आखिरकार

तो आप ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा हैं। आप उनका उपयोग गणना में कर सकते हैं और स्कूल की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं।

त्रिकोणमिति का पूरा सार इस तथ्य पर उबलता है कि अज्ञात मापदंडों की गणना त्रिभुज के ज्ञात मापदंडों से की जानी चाहिए। कुल छह पैरामीटर हैं: तीन पक्षों की लंबाई और तीन कोणों का परिमाण। कार्यों में पूरा अंतर इस तथ्य में निहित है कि विभिन्न इनपुट डेटा दिए गए हैं।

पैरों की ज्ञात लंबाई या कर्ण के आधार पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा कैसे खोजें, अब आप जानते हैं। चूँकि इन पदों का अर्थ एक अनुपात से अधिक कुछ नहीं है, और एक अनुपात एक भिन्न है, त्रिकोणमितीय समस्या का मुख्य लक्ष्य एक साधारण समीकरण या समीकरणों की एक प्रणाली की जड़ों को खोजना है। और यहां आपको साधारण स्कूली गणित से मदद मिलेगी।

त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिकोणमितीय कार्यों और ज्यामिति में उनके उपयोग का अध्ययन करती है। त्रिकोणमिति का विकास प्राचीन ग्रीस के दिनों में शुरू हुआ था। मध्य युग के दौरान, मध्य पूर्व और भारत के वैज्ञानिकों ने इस विज्ञान के विकास में महत्वपूर्ण योगदान दिया।

यह लेख त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाओं और परिभाषाओं के लिए समर्पित है। यह मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं पर चर्चा करता है: साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट। ज्यामिति के संदर्भ में उनका अर्थ समझाया और सचित्र किया गया है।

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प्रारंभ में, त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषाएं, जिनका तर्क एक कोण है, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किया गया था।

त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाएं

एक कोण की ज्या (sin α) इस कोण के विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है।

कोण की कोज्या (cos α) कर्ण से सटे पैर का अनुपात है।

कोण की स्पर्शरेखा (t g α) आसन्न पैर के विपरीत पैर का अनुपात है।

कोण का कोटैंजेंट (c t g α) आसन्न पैर का विपरीत भाग का अनुपात है।

ये परिभाषाएँ समकोण त्रिभुज के न्यून कोण के लिए दी गई हैं!

आइए एक दृष्टांत दें।

समकोण C वाले त्रिभुज ABC में, कोण A की ज्या भुजा BC और कर्ण AB के अनुपात के बराबर है।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की परिभाषाएं त्रिभुज के किनारों की ज्ञात लंबाई से इन कार्यों के मूल्यों की गणना करना संभव बनाती हैं।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन मानों की सीमा: -1 से 1 तक। दूसरे शब्दों में, साइन और कोसाइन -1 से 1 तक मान लेते हैं। स्पर्शरेखा और कोसाइन मानों की सीमा संपूर्ण संख्या रेखा है, अर्थात ये फ़ंक्शन कोई भी मूल्य ले सकते हैं।

ऊपर दी गई परिभाषाएँ न्यून कोणों को संदर्भित करती हैं। त्रिकोणमिति में, रोटेशन के कोण की अवधारणा पेश की जाती है, जिसका मान, एक तीव्र कोण के विपरीत, 0 से 90 डिग्री तक फ्रेम द्वारा सीमित नहीं है। डिग्री या रेडियन में रोटेशन का कोण किसी भी वास्तविक संख्या द्वारा व्यक्त किया जाता है - से + .

इस संदर्भ में, कोई मनमाने परिमाण के कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को परिभाषित कर सकता है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्रित एक इकाई वृत्त की कल्पना करें।

निर्देशांक (1 , 0) के साथ प्रारंभिक बिंदु A इकाई वृत्त के केंद्र के चारों ओर कुछ कोण α से घूमता है और बिंदु A 1 पर जाता है। परिभाषा बिंदु ए 1 (एक्स, वाई) के निर्देशांक के माध्यम से दी गई है।

घूर्णन कोण की ज्या (पाप)

घूर्णन कोण α की ज्या बिंदु A 1 (x, y) की कोटि है। sinα = y

रोटेशन के कोण के कोसाइन (cos)

रोटेशन के कोण का कोज्या α बिंदु A 1 (x, y) का भुज है। cos α = x

घूर्णन कोण की स्पर्शरेखा (tg)

घूर्णन कोण α की स्पर्शरेखा बिंदु A 1 (x, y) की कोटि का इसके भुज से अनुपात है। टी जी α = वाई एक्स

घूर्णन कोण का कोटैंजेंट (सीटीजी)

घूर्णन कोण α का कोटैंजेंट बिंदु A 1 (x, y) के भुज और उसकी कोटि का अनुपात है। सी टी जी α = एक्स वाई

साइन और कोसाइन रोटेशन के किसी भी कोण के लिए परिभाषित हैं। यह तर्कसंगत है, क्योंकि घूर्णन के बाद बिंदु का भुज और कोटि किसी भी कोण पर निर्धारित किया जा सकता है। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के साथ स्थिति अलग है। स्पर्शरेखा तब परिभाषित नहीं होती जब घूर्णन के बाद का बिंदु शून्य भुज (0 , 1) और (0 , - 1) वाले बिंदु पर जाता है। ऐसे मामलों में, स्पर्शरेखा t g α = y x के लिए व्यंजक का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य से भाग होता है। स्थिति स्पर्शरेखा के साथ समान है। अंतर यह है कि कोटैंजेंट को उन मामलों में परिभाषित नहीं किया जाता है जहां बिंदु की कोटि गायब हो जाती है।

याद रखना महत्वपूर्ण है!

साइन और कोसाइन किसी भी कोण α के लिए परिभाषित हैं।

α = 90° + 180° k, k Z (α = π 2 + k, k ∈ Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए स्पर्शरेखा परिभाषित की जाती है।

कोटैंजेंट α = 180° k, k Z (α = k, k Z) को छोड़कर सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है।

व्यावहारिक उदाहरणों को हल करते समय, "घूर्णन कोण की ज्या α" न कहें। शब्द "घूर्णन कोण" को केवल छोड़ दिया जाता है, जिसका अर्थ है कि संदर्भ से यह पहले से ही स्पष्ट है कि दांव पर क्या है।

नंबर

किसी संख्या की साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा के बारे में क्या, न कि रोटेशन के कोण के बारे में क्या?

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट टीएक संख्या कहलाती है, जो क्रमशः ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट के बराबर होती है टीरेडियन

उदाहरण के लिए, 10π की ज्या 10π rad के घूर्णन कोण की ज्या के बराबर होती है।

किसी संख्या की ज्या, कोज्या, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट की परिभाषा के लिए एक और दृष्टिकोण है। आइए इसे और अधिक विस्तार से विचार करें।

कोई वास्तविक संख्या टीयूनिट सर्कल पर एक बिंदु आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के मूल में केंद्र के साथ पत्राचार में रखा जाता है। इस बिंदु के निर्देशांक के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट परिभाषित किए गए हैं।

वृत्त पर प्रारंभिक बिंदु निर्देशांक (1 , 0) के साथ बिंदु A है।

सकारात्मक संख्या टी

ऋणात्मक संख्या टीयदि यह वृत्त के चारों ओर वामावर्त गति करता है और पथ t से गुजरता है तो प्रारंभिक बिंदु उस बिंदु से मेल खाता है जिस पर प्रारंभिक बिंदु गति करेगा।

अब जब वृत्त पर संख्या और बिंदु के बीच संबंध स्थापित हो गया है, तो हम साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट की परिभाषा पर आगे बढ़ते हैं।

संख्या t . की ज्या (पाप)

एक संख्या की ज्या टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त के बिंदु की कोटि टी। पाप टी = वाई

t . की कोज्या (cos)

एक संख्या की कोज्या टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त के बिंदु का भुज टी। कॉस टी = एक्स

t . की स्पर्शरेखा (tg)

एक संख्या की स्पर्शरेखा टी- संख्या के अनुरूप इकाई वृत्त के बिंदु के भुज के निर्देशांक का अनुपात टी। टी जी टी = वाई एक्स = पाप टी क्योंकि टी

बाद की परिभाषाएँ संगत हैं और इस खंड की शुरुआत में दी गई परिभाषा का खंडन नहीं करती हैं। किसी संख्या के संगत वृत्त पर बिंदु टी, उस बिंदु के साथ मेल खाता है जिस पर कोण से मुड़ने के बाद प्रारंभिक बिंदु गुजरता है टीरेडियन

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

कोण α का प्रत्येक मान इस कोण के साइन और कोसाइन के एक निश्चित मान से मेल खाता है। जैसे α = 90 ° + 180 ° · k के अलावा अन्य सभी कोण α, k Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) स्पर्शरेखा के एक निश्चित मान से मेल खाते हैं। कोटैंजेंट, जैसा कि ऊपर बताया गया है, α = 180 ° k, k Z (α = π k, k ∈ Z) को छोड़कर, सभी α के लिए परिभाषित किया गया है।

हम कह सकते हैं कि sin α , cos α , t g α , c t g α कोण अल्फा के कार्य हैं, या कोणीय तर्क के कार्य हैं।

इसी तरह, एक संख्यात्मक तर्क के कार्यों के रूप में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की बात कर सकते हैं। हर वास्तविक संख्या टीकिसी संख्या की ज्या या कोज्या के विशिष्ट मान से मेल खाती है टी. 2 + · k , k Z के अलावा अन्य सभी संख्याएँ स्पर्शरेखा के मान से मेल खाती हैं। कोटैंजेंट को π · k , k Z को छोड़कर सभी संख्याओं के लिए समान रूप से परिभाषित किया गया है।

त्रिकोणमिति के मूल कार्य

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट मूल त्रिकोणमितीय कार्य हैं।

यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है कि हम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन (कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क) के किस तर्क के साथ काम कर रहे हैं।

आइए परिभाषाओं और कोण अल्फा की शुरुआत में डेटा पर लौटें, जो 0 से 90 डिग्री की सीमा में है। साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट की त्रिकोणमितीय परिभाषाएं एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात द्वारा दी गई ज्यामितीय परिभाषाओं से पूर्णतः सहमत हैं। आइए इसे दिखाते हैं।

एक आयताकार कार्तीय निर्देशांक प्रणाली पर केन्द्रित एक इकाई वृत्त लें। आइए प्रारंभिक बिंदु A (1, 0) को 90 डिग्री तक के कोण से घुमाएं और परिणामी बिंदु A 1 (x, y) से x-अक्ष पर लंबवत खींचें। परिणामी समकोण त्रिभुज में कोण A 1 O H घूर्णन कोण α के बराबर होता है, पैर O H की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) के भुज के बराबर होती है। कोने के विपरीत पैर की लंबाई बिंदु A 1 (x, y) की कोटि के बराबर है, और कर्ण की लंबाई एक के बराबर है, क्योंकि यह इकाई वृत्त की त्रिज्या है।

ज्यामिति से परिभाषा के अनुसार, कोण α की ज्या विपरीत पैर के कर्ण के अनुपात के बराबर होती है।

पाप α \u003d ए 1 एच ओ ए 1 \u003d y 1 \u003d y

इसका मतलब यह है कि पहलू अनुपात के माध्यम से एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की ज्या की परिभाषा रोटेशन के कोण की साइन की परिभाषा के बराबर है α, जिसमें अल्फा 0 से 90 डिग्री की सीमा में स्थित है।

इसी तरह, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए परिभाषाओं का पत्राचार दिखाया जा सकता है।

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शिक्षकों का मानना ​​है कि प्रत्येक छात्र को गणना करने में सक्षम होना चाहिए, त्रिकोणमितीय सूत्रों को जानना चाहिए, लेकिन हर शिक्षक यह नहीं बताता कि साइन और कोसाइन क्या हैं। इनका क्या अर्थ है, इनका उपयोग कहाँ किया जाता है? हम त्रिभुजों के बारे में क्यों बात कर रहे हैं, लेकिन पाठ्यपुस्तक में एक वृत्त खींचा गया है? आइए सभी तथ्यों को एक साथ जोड़ने का प्रयास करें।

स्कूल के विषय

त्रिकोणमिति का अध्ययन आमतौर पर हाई स्कूल की 7वीं या 8वीं कक्षा में शुरू होता है। इस समय, छात्रों को समझाया जाता है कि साइन और कोसाइन क्या हैं, इन कार्यों का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं को हल करने की पेशकश की जाती है। बाद में, अधिक जटिल सूत्र और भाव प्रकट होते हैं जिन्हें बीजगणितीय तरीके से परिवर्तित करने की आवश्यकता होती है (दोहरे और आधे कोण के सूत्र, शक्ति कार्य), एक त्रिकोणमितीय सर्कल के साथ काम किया जाता है।

हालांकि, शिक्षक हमेशा इस्तेमाल की गई अवधारणाओं के अर्थ और सूत्रों की प्रयोज्यता को स्पष्ट रूप से समझाने में सक्षम नहीं होते हैं। इसलिए, छात्र अक्सर इस विषय में बिंदु नहीं देखता है, और याद की गई जानकारी को जल्दी से भुला दिया जाता है। हालांकि, यह एक बार हाई स्कूल के छात्र को समझाने लायक है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन और ऑसिलेटरी मूवमेंट के बीच संबंध, और तार्किक संबंध कई वर्षों तक याद रखा जाएगा, और विषय की बेकारता के बारे में चुटकुले अतीत की बात बन जाएंगे .

प्रयोग

जिज्ञासा के लिए, आइए भौतिकी की विभिन्न शाखाओं को देखें। एक प्रक्षेप्य की सीमा निर्धारित करना चाहते हैं? या आप किसी वस्तु और एक निश्चित सतह के बीच घर्षण बल की गणना कर रहे हैं? पेंडुलम को घुमाते हुए, कांच से गुजरने वाली किरणों को देखना, प्रेरण की गणना करना? त्रिकोणमितीय अवधारणाएं लगभग किसी भी सूत्र में दिखाई देती हैं। तो साइन और कोसाइन क्या हैं?

परिभाषाएं

कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है, कोसाइन आसन्न पैर का उसी कर्ण से अनुपात है। यहां कुछ भी जटिल नहीं है। शायद छात्र आमतौर पर उन मूल्यों से भ्रमित होते हैं जो वे त्रिकोणमितीय तालिका में देखते हैं, क्योंकि वर्गमूल वहां दिखाई देते हैं। हाँ, उनसे दशमलव भिन्न प्राप्त करना बहुत सुविधाजनक नहीं है, लेकिन किसने कहा कि गणित में सभी संख्याएँ सम होनी चाहिए?

वास्तव में, आप त्रिकोणमिति समस्या पुस्तकों में एक अजीब संकेत पा सकते हैं: यहां अधिकांश उत्तर सम हैं और सबसे खराब स्थिति में दो या तीन की जड़ है। निष्कर्ष सरल है: यदि आपको अपने उत्तर में "बहु-कहानी" अंश मिला है, तो गणना या तर्क में त्रुटियों के समाधान की दोबारा जांच करें। और सबसे अधिक संभावना है कि आप उन्हें ढूंढ लेंगे।

क्या याद रखना

किसी भी विज्ञान की तरह, त्रिकोणमिति में ऐसे डेटा होते हैं जिन्हें सीखा जाना चाहिए।

सबसे पहले, आपको साइन के लिए संख्यात्मक मान, एक समकोण त्रिभुज 0 और 90 के कोसाइन, साथ ही साथ 30, 45 और 60 डिग्री याद रखना चाहिए। ये संकेतक दस में से नौ स्कूल कार्यों में पाए जाते हैं। पाठ्यपुस्तक में इन मूल्यों को देखने से आपका बहुत समय बर्बाद होगा, और नियंत्रण या परीक्षा को देखने के लिए कहीं नहीं होगा।

यह याद रखना चाहिए कि दोनों कार्यों का मूल्य एक से अधिक नहीं हो सकता। यदि गणना में कहीं भी आपको 0-1 की सीमा के बाहर कोई मान मिलता है, तो रुकें और समस्या को फिर से हल करें।

ज्या और कोज्या के वर्गों का योग एक के बराबर होता है। यदि आपको पहले से ही कोई एक मान मिल गया है, तो शेष को खोजने के लिए इस सूत्र का उपयोग करें।

प्रमेयों

मूल त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय हैं: साइन और कोसाइन।

पहला कहता है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा का सम्मुख कोण की ज्या से अनुपात समान है। दूसरा यह है कि किसी भी भुजा का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों को जोड़कर और उनके उत्पाद को दो बार घटाकर, उनके बीच स्थित कोण के कोसाइन से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है।

इस प्रकार, यदि हम 90 डिग्री के कोण मान को कोज्या प्रमेय में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त होता है। अब, यदि आपको किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है जो एक समकोण त्रिभुज नहीं है, तो आप अब चिंता नहीं कर सकते - माना गया दो प्रमेय समस्या के समाधान को बहुत सरल करेगा।

लक्ष्य और उद्देश्य

जब आप एक साधारण तथ्य को महसूस करते हैं तो त्रिकोणमिति का अध्ययन बहुत सरल हो जाएगा: आपके द्वारा किए जाने वाले सभी कार्य एक लक्ष्य को प्राप्त करने के उद्देश्य से होते हैं। एक त्रिभुज के किसी भी पैरामीटर को पाया जा सकता है यदि आप इसके बारे में बहुत कम जानकारी जानते हैं - यह एक कोण का मान और दो भुजाओं की लंबाई या, उदाहरण के लिए, तीन भुजाएँ हो सकती हैं।

किसी भी कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा को निर्धारित करने के लिए, ये डेटा पर्याप्त हैं, उनकी मदद से आप आसानी से आकृति के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। लगभग हमेशा, उत्तर के रूप में उल्लिखित मूल्यों में से एक की आवश्यकता होती है, और आप उन्हें समान सूत्रों का उपयोग करके पा सकते हैं।

त्रिकोणमिति के अध्ययन में विसंगतियां

जिन अस्पष्ट प्रश्नों से छात्र बचना पसंद करते हैं उनमें से एक त्रिकोणमिति में विभिन्न अवधारणाओं के बीच संबंध की खोज करना है। ऐसा प्रतीत होता है कि त्रिभुजों का उपयोग कोणों की ज्या और कोज्याओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, लेकिन किसी कारण से प्रतीक अक्सर एक वृत्त के साथ आकृति में पाए जाते हैं। इसके अलावा, एक पूरी तरह से समझ में न आने वाला तरंग जैसा ग्राफ होता है जिसे साइनसॉइड कहा जाता है, जिसका किसी वृत्त या त्रिकोण से कोई बाहरी समानता नहीं है।

इसके अलावा, कोणों को या तो डिग्री या रेडियन में मापा जाता है, और संख्या पाई, जिसे केवल 3.14 (इकाइयों के बिना) के रूप में लिखा जाता है, किसी कारण से 180 डिग्री के अनुरूप सूत्रों में दिखाई देता है। यह सब कैसे जुड़ा है?

इकाइयों

पीआई बिल्कुल 3.14 क्यों है? क्या आपको याद है कि यह मूल्य क्या है? यह त्रिज्या की संख्या है जो आधे वृत्त पर चाप में फिट होती है। यदि वृत्त का व्यास 2 सेंटीमीटर है, तो परिधि 3.14 * 2, या 6.28 होगी।

दूसरा बिंदु: आपने "रेडियन" और "त्रिज्या" शब्दों के बीच समानता देखी होगी। तथ्य यह है कि एक रेडियन संख्यात्मक रूप से सर्कल के केंद्र से एक चाप तक एक त्रिज्या की लंबाई के साथ रखे कोण के मूल्य के बराबर है।

अब हम प्राप्त ज्ञान को जोड़ते हैं और समझते हैं कि त्रिकोणमिति में निर्देशांक अक्ष के शीर्ष पर "पाई इन हाफ" और बाईं ओर "पाई" क्यों लिखा जाता है। यह रेडियन में मापा जाने वाला कोणीय मान है, क्योंकि अर्धवृत्त 180 डिग्री या 3.14 रेडियन है। और जहां डिग्री हैं, वहां साइन और कोसाइन हैं। त्रिकोण को वांछित बिंदु से खींचना आसान है, खंडों को केंद्र और समन्वय अक्ष पर स्थगित करना।

आइए भविष्य में देखें

त्रिकोणमिति, स्कूल में अध्ययन किया जाता है, एक रेक्टिलिनियर कोऑर्डिनेट सिस्टम से संबंधित है, जहां, यह कितना भी अजीब क्यों न लगे, एक लाइन एक लाइन है।

लेकिन अंतरिक्ष के साथ काम करने के अधिक जटिल तरीके हैं: यहां त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक होगा, और हमारे विचार में सीधी रेखा एक वास्तविक चाप की तरह दिखेगी।

चलो शब्दों से कर्मों की ओर बढ़ते हैं! एक सेब लें। चाकू से तीन कट बनाएं ताकि ऊपर से देखने पर आपको एक त्रिकोण मिले। सेब के परिणामी टुकड़े को बाहर निकालें और "पसलियों" को देखें जहां छिलका समाप्त होता है। वे बिल्कुल सीधे नहीं हैं। आपके हाथों में फल को सशर्त रूप से गोल कहा जा सकता है, और अब कल्पना करें कि सूत्र कितने जटिल होंगे, जिसकी सहायता से आप कटे हुए टुकड़े का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। लेकिन कुछ विशेषज्ञ रोजाना ऐसी समस्याओं का समाधान करते हैं।

वास्तविक जीवन में त्रिकोणमितीय कार्य

क्या आपने देखा है कि हमारे ग्रह की सतह पर बिंदु A से बिंदु B तक हवाई जहाज के लिए सबसे छोटा मार्ग एक स्पष्ट चाप आकार का होता है? कारण सरल है: पृथ्वी गोलाकार है, जिसका अर्थ है कि आप त्रिभुजों का उपयोग करके अधिक गणना नहीं कर सकते - यहां आपको अधिक जटिल सूत्रों का उपयोग करना होगा।

आप अंतरिक्ष से संबंधित किसी भी मामले में एक न्यून कोण की ज्या / कोज्या के बिना नहीं कर सकते। दिलचस्प बात यह है कि कई कारक यहां अभिसरण करते हैं: वृत्तों, दीर्घवृत्तों और अधिक जटिल आकृतियों के विभिन्न प्रक्षेप पथों में ग्रहों की गति की गणना करते समय त्रिकोणमितीय कार्यों की आवश्यकता होती है; रॉकेट, उपग्रह, शटल, अनुसंधान वाहनों को अनडॉक करने की प्रक्रिया; दूर के तारों का अवलोकन करना और आकाशगंगाओं का अध्ययन करना कि मनुष्य निकट भविष्य में नहीं पहुंच पाएगा।

सामान्य तौर पर, त्रिकोणमिति का मालिक होने वाले व्यक्ति की गतिविधि का क्षेत्र बहुत व्यापक है और जाहिर है, केवल समय के साथ विस्तार होगा।

निष्कर्ष

आज हमने सीखा या, किसी भी मामले में, दोहराया कि साइन और कोसाइन क्या हैं। ये ऐसी अवधारणाएँ हैं जिनसे आपको डरने की ज़रूरत नहीं है - आप बस चाहते हैं, और आप उनका अर्थ समझेंगे। याद रखें कि त्रिकोणमिति एक लक्ष्य नहीं है, बल्कि केवल एक उपकरण है जिसका उपयोग वास्तविक मानवीय जरूरतों को पूरा करने के लिए किया जा सकता है: घर बनाना, यातायात सुरक्षा सुनिश्चित करना, यहां तक ​​कि ब्रह्मांड के विस्तार में महारत हासिल करना।

वास्तव में, विज्ञान स्वयं उबाऊ लग सकता है, लेकिन जैसे ही आप इसमें अपने स्वयं के लक्ष्यों को प्राप्त करने का एक तरीका खोजते हैं, आत्म-साक्षात्कार, सीखने की प्रक्रिया दिलचस्प हो जाएगी, और आपकी व्यक्तिगत प्रेरणा बढ़ जाएगी।

होमवर्क के लिए, उस क्षेत्र में त्रिकोणमितीय कार्यों को लागू करने के तरीके खोजने का प्रयास करें जो आपकी व्यक्तिगत रुचि रखते हैं। सपने देखें, अपनी कल्पना को चालू करें, और फिर यह निश्चित रूप से पता चलेगा कि भविष्य में नया ज्ञान आपके लिए उपयोगी होगा। और इसके अलावा, गणित सोच के सामान्य विकास के लिए उपयोगी है।

जहां एक समकोण त्रिभुज को हल करने के कार्यों पर विचार किया गया था, मैंने साइन और कोसाइन की परिभाषाओं को याद रखने के लिए एक तकनीक पेश करने का वादा किया था। इसका इस्तेमाल करने से आपको हमेशा जल्दी याद रहेगा कि कौन सा पैर कर्ण (आसन्न या विपरीत) का है। मैंने इसे अनिश्चित काल के लिए बंद नहीं करने का फैसला किया, आवश्यक सामग्री नीचे है, कृपया इसे पढ़ें

तथ्य यह है कि मैंने बार-बार देखा है कि कैसे 10-11 कक्षा के छात्रों को इन परिभाषाओं को याद रखने में कठिनाई होती है। वे अच्छी तरह से याद करते हैं कि पैर कर्ण को संदर्भित करता है, लेकिन कौन सा- भूल जाओ और अस्पष्ट। एक गलती की कीमत, जैसा कि आप परीक्षा में जानते हैं, एक खोया हुआ अंक है।

जो जानकारी मैं सीधे गणित के सामने पेश करूंगा उसका कोई लेना-देना नहीं है। यह आलंकारिक सोच से जुड़ा है, और मौखिक-तार्किक संबंध के तरीकों के साथ। यह सही है, मैं खुद, एक बार और सभी के लिए याद किया जाता हैपरिभाषा डेटा। यदि आप अभी भी उन्हें भूल जाते हैं, तो प्रस्तुत तकनीकों की मदद से याद रखना हमेशा आसान होता है।

मैं आपको समकोण त्रिभुज में ज्या और कोज्या की परिभाषाएँ याद दिलाता हूँ:

कोज्याएक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है:

साइनससमकोण त्रिभुज में न्यून कोण विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है:

तो, आप में कोसाइन शब्द किन संघों को उद्घाटित करता है?

शायद सबका अपनालिंक याद रखें:

इस प्रकार, आपकी स्मृति में तुरंत एक अभिव्यक्ति होगी -

«… कर्ण से ADJACENT पैर का अनुपात».

कोसाइन की परिभाषा के साथ समस्या हल हो गई है।

यदि आपको समकोण त्रिभुज में ज्या की परिभाषा याद रखने की आवश्यकता है, तो कोसाइन की परिभाषा को याद करते हुए, आप आसानी से यह स्थापित कर सकते हैं कि समकोण त्रिभुज में न्यून कोण की ज्या विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात है। आखिरकार, केवल दो पैर हैं, यदि आसन्न पैर कोसाइन द्वारा "कब्जा" किया जाता है, तो साइन के लिए केवल विपरीत पक्ष रहता है।

स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बारे में क्या? वही भ्रम। छात्र जानते हैं कि यह पैरों का अनुपात है, लेकिन समस्या यह याद रखने की है कि कौन किसको संदर्भित करता है - या तो आसन्न के विपरीत, या इसके विपरीत।

परिभाषाएँ:

स्पर्शरेखाएक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है:

कोटैंजेंटसमकोण त्रिभुज में न्यून कोण आसन्न टांग का विपरीत कोण से अनुपात है:

कैसे याद करें? दो तरीके हैं। एक मौखिक-तार्किक संबंध का भी उपयोग करता है, दूसरा - एक गणितीय।

गणितीय विधि

ऐसी परिभाषा है - एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा किसी कोण की ज्या का उसके कोज्या से अनुपात है:

* सूत्र को याद रखते हुए, आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं कि एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न एक से अनुपात है।

वैसे ही।एक न्यून कोण का कोटैंजेंट किसी कोण की कोज्या और उसकी ज्या का अनुपात होता है:

इसलिए! इन सूत्रों को याद करते हुए, आप हमेशा यह निर्धारित कर सकते हैं कि:

- एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण की स्पर्शरेखा विपरीत पैर का आसन्न कोण से अनुपात है

- समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण का कोटेंगेंट आसन्न पैर का विपरीत भाग का अनुपात होता है।

मौखिक-तार्किक विधि

स्पर्शरेखा के बारे में लिंक याद रखें:

यही है, यदि आपको स्पर्शरेखा की परिभाषा याद रखने की आवश्यकता है, तो इस तार्किक संबंध का उपयोग करके, आप आसानी से याद कर सकते हैं कि यह क्या है

"... विपरीत पैर का आसन्न से अनुपात"

यदि कोटैंजेंट की बात आती है, तो स्पर्शरेखा की परिभाषा को याद करते हुए, आप आसानी से कोटैंजेंट की परिभाषा को आवाज दे सकते हैं -

"... आसन्न पैर का विपरीत अनुपात"

साइट पर स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट को याद करने की एक दिलचस्प तकनीक है " गणितीय अग्रानुक्रम " , देखना।

विधि सार्वभौमिक

आप सिर्फ पीस सकते हैं।लेकिन जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, मौखिक-तार्किक कनेक्शन के लिए धन्यवाद, एक व्यक्ति लंबे समय तक जानकारी को याद रखता है, न कि केवल गणितीय।

मुझे आशा है कि सामग्री आपके लिए उपयोगी थी।

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।