ऐसी संख्याएँ हैं जो इतनी अविश्वसनीय, अविश्वसनीय रूप से बड़ी हैं कि पूरे ब्रह्मांड को उन्हें लिखने में भी लग सकता है। लेकिन यहाँ क्या है वास्तव में परेशान करने वाला ... इनमें से कुछ समझ से बाहर बड़ी संख्या दुनिया को समझने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

जब मैं कहता हूं "ब्रह्मांड में सबसे बड़ी संख्या," मेरा मतलब वास्तव में सबसे बड़ा है सार्थकसंख्या, अधिकतम संभव संख्या जो किसी प्रकार से उपयोगी हो। इस शीर्षक के कई दावेदार हैं, लेकिन मैं आपको तुरंत चेतावनी देता हूं: वास्तव में एक जोखिम है कि यह सब समझने की कोशिश करने से आपका दिमाग खराब हो जाएगा। और इसके अलावा, बहुत अधिक गणित के साथ, आपको थोड़ा मज़ा आता है।

गूगोल और गूगोलप्लेक्स

एडवर्ड कास्नेर

हम दो के साथ शुरू कर सकते हैं, संभवतः सबसे बड़ी संख्याएं जिनके बारे में आपने कभी सुना है, और ये वास्तव में दो सबसे बड़ी संख्याएं हैं जिन्होंने आमतौर पर अंग्रेजी भाषा में परिभाषाओं को स्वीकार किया है। (जितनी बड़ी संख्या में आप चाहें उतनी बड़ी संख्या के लिए एक काफी सटीक नामकरण का उपयोग किया जाता है, लेकिन ये दो संख्याएं वर्तमान में शब्दकोशों में नहीं मिलती हैं।) Google, क्योंकि यह विश्व प्रसिद्ध हो गया है (यद्यपि त्रुटियों के साथ, ध्यान दें। वास्तव में यह गूगोल है) Google का रूप 1920 में बच्चों की बड़ी संख्या में रुचि जगाने के लिए पैदा हुआ था।

यह अंत करने के लिए, एडवर्ड कास्नर (चित्रित) अपने दो भतीजों, मिल्टन और एडविन सिरोट को न्यू जर्सी पालिसैड्स दौरे पर ले गए। उन्होंने उन्हें किसी भी विचार के साथ आने के लिए आमंत्रित किया, और फिर नौ वर्षीय मिल्टन ने "गूगोल" का सुझाव दिया। उसे यह शब्द कहाँ से मिला यह अज्ञात है, लेकिन कास्नर ने फैसला किया कि या वह संख्या जिसमें एक सौ शून्य एक के बाद आता है, अब से एक गूगोल कहलाएगी।

लेकिन युवा मिल्टन यहीं नहीं रुके, वह और भी बड़ी संख्या, गूगोलप्लेक्स लेकर आए। मिल्टन के अनुसार, यह एक संख्या है, जिसमें पहले 1 होता है और फिर थकने से पहले जितने शून्य आप लिख सकते हैं। जबकि विचार आकर्षक है, कास्नर ने महसूस किया कि एक और औपचारिक परिभाषा की आवश्यकता थी। जैसा कि उन्होंने अपनी 1940 की पुस्तक मैथमेटिक्स एंड द इमेजिनेशन में समझाया, मिल्टन की परिभाषा ने खतरनाक संभावना को छोड़ दिया है कि कभी-कभार विदूषक अल्बर्ट आइंस्टीन से बेहतर गणितज्ञ बन सकता है, क्योंकि उसके पास अधिक धीरज है।

तो कास्नर ने फैसला किया कि गोगोलप्लेक्स, या 1 होगा, उसके बाद शून्य का गोगोल होगा। अन्यथा, और उस अंकन के समान जिसके साथ हम अन्य संख्याओं के साथ व्यवहार करेंगे, हम कहेंगे कि googolplex है । यह दिखाने के लिए कि यह कितना आकर्षक है, कार्ल सागन ने एक बार टिप्पणी की थी कि गोगोलप्लेक्स के सभी शून्य को लिखना शारीरिक रूप से असंभव था क्योंकि ब्रह्मांड में बस पर्याप्त जगह नहीं थी। यदि देखने योग्य ब्रह्मांड का पूरा आयतन लगभग 1.5 माइक्रोन आकार के महीन धूल कणों से भरा है, तो इन कणों को व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीकों की संख्या लगभग एक गोगोलप्लेक्स के बराबर होगी।

भाषा की दृष्टि से, googol और googolplex शायद दो सबसे बड़ी महत्वपूर्ण संख्याएँ हैं (कम से कम अंग्रेजी में), लेकिन, जैसा कि हम अब स्थापित करेंगे, "महत्व" को परिभाषित करने के लिए असीम रूप से कई तरीके हैं।

असली दुनिया

अगर हम सबसे बड़ी महत्वपूर्ण संख्या के बारे में बात करते हैं, तो एक उचित तर्क है कि इसका वास्तव में मतलब है कि आपको दुनिया में वास्तव में मौजूद मूल्य के साथ सबसे बड़ी संख्या खोजने की जरूरत है। हम वर्तमान मानव आबादी से शुरुआत कर सकते हैं, जो वर्तमान में लगभग 6920 मिलियन है। 2010 में विश्व सकल घरेलू उत्पाद का अनुमान लगभग 61,960 बिलियन डॉलर था, लेकिन दोनों संख्याएं मानव शरीर को बनाने वाली लगभग 100 ट्रिलियन कोशिकाओं की तुलना में छोटी हैं। बेशक, इनमें से कोई भी संख्या ब्रह्मांड में कणों की कुल संख्या के साथ तुलना नहीं कर सकती है, जिसे आमतौर पर लगभग माना जाता है, और यह संख्या इतनी बड़ी है कि हमारी भाषा में इसके लिए एक शब्द नहीं है।

हम माप प्रणालियों के साथ थोड़ा खेल सकते हैं, जिससे संख्याएं बड़ी और बड़ी हो जाती हैं। इस प्रकार, टन में सूर्य का द्रव्यमान पाउंड से कम होगा। ऐसा करने का एक शानदार तरीका प्लैंक इकाइयों का उपयोग करना है, जो कि सबसे छोटे संभव उपाय हैं जिनके लिए भौतिकी के नियम अभी भी लागू हैं। उदाहरण के लिए प्लैंक काल में ब्रह्माण्ड की आयु लगभग . अगर हम बिग बैंग के बाद पहली प्लैंक टाइम यूनिट पर वापस जाएं, तो हम देखेंगे कि ब्रह्मांड का घनत्व तब था। हम अधिक से अधिक प्राप्त कर रहे हैं, लेकिन हम अभी तक एक गूगोल तक नहीं पहुंचे हैं।

दुनिया में किसी भी वास्तविक अनुप्रयोग के साथ सबसे बड़ी संख्या - या, इस मामले में, दुनिया में वास्तविक अनुप्रयोग - शायद, मल्टीवर्स में ब्रह्मांडों की संख्या के नवीनतम अनुमानों में से एक है। यह संख्या इतनी बड़ी है कि मानव मस्तिष्क सचमुच इन सभी विभिन्न ब्रह्मांडों को देखने में असमर्थ होगा, क्योंकि मस्तिष्क केवल मोटे तौर पर विन्यास करने में सक्षम है। वास्तव में, यह संख्या शायद किसी भी व्यावहारिक अर्थ के साथ सबसे बड़ी संख्या है, यदि आप समग्र रूप से मल्टीवर्स के विचार को ध्यान में नहीं रखते हैं। हालांकि, वहां अभी भी बहुत बड़ी संख्या छिपी हुई है। लेकिन उन्हें खोजने के लिए, हमें शुद्ध गणित के दायरे में जाना चाहिए, और अभाज्य संख्याओं से बेहतर कोई जगह नहीं है।

मेर्सन प्राइम्स

कठिनाई का एक हिस्सा "सार्थक" संख्या क्या है की एक अच्छी परिभाषा के साथ आ रहा है। प्राइम और कंपोजिट के संदर्भ में सोचने का एक तरीका है। एक अभाज्य संख्या, जैसा कि आप शायद स्कूली गणित से याद करते हैं, कोई भी प्राकृत संख्या (एक के बराबर नहीं) होती है जो केवल अपने आप से विभाज्य होती है। तो, और अभाज्य संख्याएँ हैं, और और भाज्य संख्याएँ हैं। इसका मतलब यह है कि किसी भी समग्र संख्या को अंततः उसके प्रमुख भाजक द्वारा दर्शाया जा सकता है। एक अर्थ में, संख्या, कहने से अधिक महत्वपूर्ण है, क्योंकि छोटी संख्याओं के गुणन के रूप में इसे व्यक्त करने का कोई तरीका नहीं है।

जाहिर है हम थोड़ा और आगे जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तव में न्यायसंगत है, जिसका अर्थ है कि एक काल्पनिक दुनिया में जहां संख्याओं का हमारा ज्ञान सीमित है, एक गणितज्ञ अभी भी व्यक्त कर सकता है। लेकिन अगली संख्या पहले से ही अभाज्य है, जिसका अर्थ है कि इसे व्यक्त करने का एकमात्र तरीका इसके अस्तित्व के बारे में सीधे जानना है। इसका मतलब यह है कि सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्याएँ एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं, लेकिन, कहते हैं, एक गूगोल - जो अंततः केवल संख्याओं का एक संग्रह है और, एक साथ गुणा किया जाता है - वास्तव में ऐसा नहीं होता है। और चूंकि अभाज्य संख्याएँ अधिकतर यादृच्छिक होती हैं, इसलिए यह अनुमान लगाने का कोई ज्ञात तरीका नहीं है कि एक अविश्वसनीय रूप से बड़ी संख्या वास्तव में अभाज्य होगी। आज तक, नए अभाज्य संख्याओं की खोज करना एक कठिन कार्य है।

प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञों के पास कम से कम 500 ईसा पूर्व के रूप में अभाज्य संख्याओं की अवधारणा थी, और 2000 साल बाद भी लोग केवल यह जानते थे कि लगभग 750 तक कौन सी अभाज्य संख्याएँ थीं। यूक्लिड के विचारकों ने सरलीकरण की संभावना को देखा, लेकिन जब तक पुनर्जागरण गणितज्ञ नहीं कर सके वास्तव में व्यवहार में इसका उपयोग नहीं करते हैं। इन नंबरों को मेर्सन नंबर के रूप में जाना जाता है और इसका नाम 17 वीं शताब्दी के फ्रांसीसी वैज्ञानिक मरीना मेर्सन के नाम पर रखा गया है। यह विचार काफी सरल है: एक Mersenne संख्या किसी भी रूप की संख्या है। इसलिए, उदाहरण के लिए, और यह संख्या अभाज्य है, के लिए भी यही सच है।

Mersenne primes किसी भी अन्य प्रकार के prime की तुलना में बहुत तेज़ और निर्धारित करने में आसान होते हैं, और पिछले छह दशकों से कंप्यूटर उन्हें खोजने में कठिन काम कर रहे हैं। 1952 तक, सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या एक संख्या थी - अंकों के साथ एक संख्या। उसी वर्ष, एक कंप्यूटर पर यह गणना की गई कि संख्या अभाज्य है, और इस संख्या में अंक होते हैं, जो इसे पहले से ही एक गूगोल से बहुत बड़ा बनाता है।

तब से कंप्यूटरों की खोज की जा रही है, और वां मेर्सन संख्या वर्तमान में मानव जाति के लिए ज्ञात सबसे बड़ी अभाज्य संख्या है। 2008 में खोजा गया, यह लगभग लाखों अंकों वाली एक संख्या है। यह सबसे बड़ी ज्ञात संख्या है जिसे किसी भी छोटी संख्या के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और यदि आप और भी बड़ी Mersenne संख्या खोजने में मदद करना चाहते हैं, तो आप (और आपका कंप्यूटर) हमेशा http://www.mersenne पर खोज में शामिल हो सकते हैं। संगठन/.

तिरछी संख्या

स्टेनली स्क्यूसे

आइए अभाज्य संख्याओं पर वापस जाएं। जैसा कि मैंने पहले कहा, वे मौलिक रूप से गलत व्यवहार करते हैं, जिसका अर्थ है कि यह अनुमान लगाने का कोई तरीका नहीं है कि अगली अभाज्य संख्या क्या होगी। भविष्य के अपराधों की भविष्यवाणी करने के लिए किसी तरह से आने के लिए गणितज्ञों को कुछ शानदार मापों की ओर मुड़ने के लिए मजबूर किया गया है, यहां तक ​​​​कि कुछ अस्पष्ट तरीके से भी। इन प्रयासों में सबसे सफल शायद अभाज्य संख्या फलन है, जिसका आविष्कार 18वीं शताब्दी के अंत में महान गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने किया था।

मैं आपको अधिक जटिल गणित छोड़ दूंगा - वैसे भी, हमारे पास अभी भी बहुत कुछ आना बाकी है - लेकिन फ़ंक्शन का सार यह है: किसी भी पूर्णांक के लिए, यह अनुमान लगाना संभव है कि कितने अभाज्य संख्या से कम हैं। उदाहरण के लिए, यदि फ़ंक्शन भविष्यवाणी करता है कि अभाज्य संख्याएँ होनी चाहिए, यदि - अभाज्य संख्याएँ इससे कम हैं, और यदि, तो छोटी संख्याएँ हैं जो अभाज्य हैं।

अभाज्य संख्याओं की व्यवस्था वास्तव में अनियमित है, और अभाज्य संख्याओं की वास्तविक संख्या का केवल एक अनुमान है। वास्तव में, हम जानते हैं कि अभाज्य से कम, अभाज्य से कम और अभाज्य से कम होते हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए एक अच्छा अनुमान है, लेकिन यह हमेशा एक अनुमान है ... और अधिक विशेष रूप से, ऊपर से एक अनुमान।

तक के सभी ज्ञात मामलों में, वह फ़ंक्शन जो अभाज्य संख्याओं की संख्या का पता लगाता है, उससे कम अभाज्य संख्याओं की वास्तविक संख्या को थोड़ा बढ़ा देता है। गणितज्ञों ने एक बार सोचा था कि यह हमेशा मामला होगा, एड इनफिनिटम, और यह निश्चित रूप से कुछ अकल्पनीय रूप से बड़ी संख्याओं पर लागू होता है, लेकिन 1914 में जॉन एडेंसर लिटिलवुड ने साबित कर दिया कि कुछ अज्ञात, अकल्पनीय रूप से बड़ी संख्या के लिए, यह फ़ंक्शन कम प्राइम का उत्पादन करना शुरू कर देगा, और फिर यह कई बार overestimation और underestimation के बीच स्विच करेगा।

शिकार दौड़ के शुरुआती बिंदु के लिए था, और यहीं स्टेनली स्क्यूज़ दिखाई दिए (फोटो देखें)। 1933 में, उन्होंने साबित किया कि ऊपरी सीमा, जब कोई फ़ंक्शन जो पहली बार अभाज्य संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाता है, एक छोटा मान देता है, वह संख्या है। यह वास्तव में समझना मुश्किल है, यहां तक ​​​​कि सबसे अमूर्त अर्थ में, यह संख्या वास्तव में क्या है, और इस दृष्टिकोण से यह एक गंभीर गणितीय प्रमाण में अब तक की सबसे बड़ी संख्या थी। तब से, गणितज्ञ ऊपरी सीमा को अपेक्षाकृत कम संख्या में कम करने में सक्षम रहे हैं, लेकिन मूल संख्या को तिरछी संख्या के रूप में जाना जाता है।

तो, कितनी बड़ी संख्या है जो शक्तिशाली गूगोलप्लेक्स को भी बौना बना देती है? द पेंगुइन डिक्शनरी ऑफ क्यूरियस एंड इंटरेस्टिंग नंबर्स में, डेविड वेल्स ने एक तरीके का वर्णन किया है जिसमें गणितज्ञ हार्डी स्क्यूज़ संख्या के आकार को समझने में सक्षम थे:

"हार्डी ने सोचा कि यह 'गणित में किसी विशेष उद्देश्य की पूर्ति के लिए अब तक की सबसे बड़ी संख्या है' और सुझाव दिया कि यदि शतरंज को ब्रह्मांड के सभी कणों के साथ टुकड़ों के रूप में खेला जाता है, तो एक चाल में दो कणों की अदला-बदली होगी, और खेल बंद हो जाएगा जब उसी स्थिति को तीसरी बार दोहराया गया था, फिर सभी संभावित खेलों की संख्या स्क्यूज़ की संख्या के बराबर होगी।

आगे बढ़ने से पहले एक आखिरी बात: हमने दो तिरछी संख्याओं में से छोटी संख्या के बारे में बात की। एक और Skewes संख्या है, जिसे गणितज्ञ ने 1955 में खोजा था। पहली संख्या इस आधार पर ली गई है कि तथाकथित रीमैन परिकल्पना सत्य है - गणित में एक विशेष रूप से कठिन परिकल्पना जो अप्रमाणित रहती है, जब यह अभाज्य संख्याओं की बात आती है तो बहुत उपयोगी होती है। हालाँकि, यदि रीमैन परिकल्पना गलत है, तो Skewes ने पाया कि कूदने का प्रारंभ बिंदु बढ़कर .

परिमाण की समस्या

इससे पहले कि हम ऐसी संख्या पर पहुँचें जिससे स्क्यूज़ की संख्या भी छोटी दिखे, हमें पैमाने के बारे में थोड़ी बात करने की ज़रूरत है क्योंकि अन्यथा हमारे पास यह अनुमान लगाने का कोई तरीका नहीं है कि हम कहाँ जा रहे हैं। आइए पहले एक संख्या लें - यह एक छोटी संख्या है, इतनी छोटी कि लोग वास्तव में इसका अर्थ समझ सकें। बहुत कम संख्याएँ हैं जो इस विवरण में फिट बैठती हैं, क्योंकि छह से बड़ी संख्याएँ अलग-अलग संख्याएँ नहीं रह जाती हैं और "कई", "कई", आदि बन जाती हैं।

अब आइए लेते हैं, यानी। . यद्यपि हम वास्तव में सहज ज्ञान युक्त नहीं हो सकते हैं, जैसा कि हमने संख्या के लिए किया था, यह पता लगा सकते हैं कि यह क्या है, यह बहुत आसान है। अब तक सब कुछ ठीक चल रहा है। लेकिन क्या होगा अगर हम जाते हैं? यह बराबर है , या । हम इस मूल्य की कल्पना करने में सक्षम होने से बहुत दूर हैं, किसी भी अन्य बहुत बड़े मूल्य की तरह - हम एक लाख के आसपास कहीं अलग-अलग हिस्सों को समझने की क्षमता खो रहे हैं। (जाहिर है, वास्तव में किसी भी चीज़ की एक लाख तक गिनती करने में बहुत लंबा समय लगेगा, लेकिन बात यह है कि हम अभी भी उस संख्या को समझने में सक्षम हैं।)

हालाँकि, हालाँकि हम कल्पना नहीं कर सकते हैं, हम कम से कम सामान्य शब्दों में समझ सकते हैं कि 7600 बिलियन क्या है, शायद इसकी तुलना यूएस जीडीपी जैसी किसी चीज़ से की जाए। हम अंतर्ज्ञान से प्रतिनिधित्व तक केवल समझ में चले गए हैं, लेकिन कम से कम अभी भी हमारी समझ में कुछ अंतर है कि संख्या क्या है। यह बदलने वाला है क्योंकि हम एक और सीढ़ी को ऊपर ले जाते हैं।

ऐसा करने के लिए, हमें डोनाल्ड नुथ द्वारा पेश किए गए संकेतन पर स्विच करने की आवश्यकता है, जिसे तीर संकेतन के रूप में जाना जाता है। इन नोटेशन को इस प्रकार लिखा जा सकता है। जब हम उस पर जाएंगे, तो हमें जो नंबर मिलेगा वह होगा। यह उस स्थान के बराबर है जहां कुल त्रिक है। अब हम पहले से ही उल्लिखित अन्य सभी संख्याओं को काफी हद तक और सही मायने में पार कर चुके हैं। आखिरकार, उनमें से सबसे बड़े में भी सूचकांक श्रृंखला में केवल तीन या चार सदस्य थे। उदाहरण के लिए, यहां तक ​​कि सुपर स्क्यूज़ संख्या "केवल" है - इस तथ्य के बावजूद कि आधार और घातांक दोनों की तुलना में बहुत बड़े हैं, यह अभी भी अरबों सदस्यों के साथ संख्या टॉवर के आकार की तुलना में बिल्कुल कुछ भी नहीं है।

जाहिर है, इतनी बड़ी संख्या को समझने का कोई तरीका नहीं है... और फिर भी, जिस प्रक्रिया से वे बनते हैं, उसे अभी भी समझा जा सकता है। हम शक्तियों के टावर द्वारा दी गई वास्तविक संख्या को नहीं समझ सके, जो कि एक अरब ट्रिपल है, लेकिन हम मूल रूप से कई सदस्यों के साथ ऐसे टावर की कल्पना कर सकते हैं, और वास्तव में एक सभ्य सुपरकंप्यूटर स्मृति में ऐसे टावरों को स्टोर करने में सक्षम होगा, भले ही यह उनके वास्तविक मूल्यों की गणना नहीं कर सकते।

यह अधिक से अधिक सारगर्भित होता जा रहा है, लेकिन यह केवल बदतर होता जा रहा है। आप सोच सकते हैं कि शक्तियों का एक टॉवर जिसकी घातांक लंबाई है (इसके अलावा, इस पोस्ट के पिछले संस्करण में मैंने बिल्कुल वही गलती की थी), लेकिन यह सिर्फ . दूसरे शब्दों में, कल्पना करें कि आप त्रिगुणों के एक शक्ति टॉवर के सटीक मूल्य की गणना करने में सक्षम थे, जिसमें तत्व होते हैं, और फिर आपने यह मान लिया और एक नया टॉवर बनाया जिसमें जितने हैं ... जो देता है।

प्रत्येक क्रमागत संख्या के साथ इस प्रक्रिया को दोहराएं ( टिप्पणीदाईं ओर से शुरू) जब तक आप इसे एक बार नहीं करते हैं, और फिर अंत में आपको . यह एक ऐसी संख्या है जो केवल अविश्वसनीय रूप से बड़ी है, लेकिन कम से कम इसे प्राप्त करने के लिए कदम स्पष्ट प्रतीत होते हैं यदि सब कुछ बहुत धीरे-धीरे किया जाता है। हम अब संख्याओं को नहीं समझ सकते हैं या उस प्रक्रिया की कल्पना नहीं कर सकते हैं जिसके द्वारा उन्हें प्राप्त किया जाता है, लेकिन कम से कम हम मूल एल्गोरिथम को केवल पर्याप्त रूप से लंबे समय में समझ सकते हैं।

आइए अब मन को वास्तव में इसे उड़ाने के लिए तैयार करें।

ग्राहम (ग्राहम) की संख्या

रोनाल्ड ग्राहम

इस तरह आपको ग्राहम का नंबर मिलता है, जो कि गिनीज बुक ऑफ वर्ल्ड रिकॉर्ड्स में किसी गणितीय प्रमाण में अब तक की सबसे बड़ी संख्या के रूप में दर्ज है। यह कल्पना करना बिल्कुल असंभव है कि यह कितना बड़ा है, और यह ठीक-ठीक समझाना उतना ही कठिन है कि यह वास्तव में क्या है। मूल रूप से, हाइपरक्यूब के साथ काम करते समय ग्राहम की संख्या चलन में आती है, जो तीन से अधिक आयामों के साथ सैद्धांतिक ज्यामितीय आकार हैं। गणितज्ञ रोनाल्ड ग्राहम (फोटो देखें) यह पता लगाना चाहते थे कि हाइपरक्यूब के कुछ गुणों को स्थिर रखने वाले आयामों की सबसे छोटी संख्या क्या है। (इस अस्पष्ट व्याख्या के लिए खेद है, लेकिन मुझे यकीन है कि इसे और अधिक सटीक बनाने के लिए हम सभी को कम से कम दो गणित डिग्री की आवश्यकता है।)

किसी भी मामले में, ग्राहम संख्या इस न्यूनतम संख्या के आयामों का ऊपरी अनुमान है। तो यह ऊपरी सीमा कितनी बड़ी है? आइए इतनी बड़ी संख्या पर वापस आते हैं कि हम इसे अस्पष्ट रूप से प्राप्त करने के लिए एल्गोरिदम को समझ सकते हैं। अब, केवल एक और स्तर तक कूदने के बजाय, हम उस संख्या की गणना करेंगे जिसमें पहले और अंतिम त्रिगुणों के बीच तीर हैं। अब हम इस बात की थोड़ी सी भी समझ से परे हैं कि यह संख्या क्या है या इसकी गणना करने के लिए क्या करने की आवश्यकता है।

अब इस प्रक्रिया को कई बार दोहराएं ( टिप्पणीप्रत्येक अगले चरण में, हम पिछले चरण में प्राप्त संख्या के बराबर तीरों की संख्या लिखते हैं)।

यह, देवियों और सज्जनों, ग्राहम की संख्या है, जो मानव समझ के बिंदु से ऊपर परिमाण के क्रम के बारे में है। यह एक ऐसी संख्या है जो किसी भी संख्या से बहुत अधिक है जिसकी आप कल्पना कर सकते हैं - यह किसी भी अनंत से कहीं अधिक है जिसकी आप कभी भी कल्पना कर सकते हैं - यह केवल सबसे अमूर्त विवरण की भी अवहेलना करता है।

लेकिन यहाँ अजीब बात है। चूंकि ग्राहम की संख्या मूल रूप से केवल एक साथ तीन गुना गुणा है, हम वास्तव में इसकी गणना किए बिना इसके कुछ गुणों को जानते हैं। हम ग्राहम की संख्या को किसी भी ऐसे अंकन में प्रदर्शित नहीं कर सकते जिससे हम परिचित हैं, भले ही हमने इसे लिखने के लिए संपूर्ण ब्रह्मांड का उपयोग किया हो, लेकिन मैं अभी आपको ग्राहम की संख्या के अंतिम बारह अंक दे सकता हूं: . और इतना ही नहीं: हम ग्राहम की संख्या के कम से कम अंतिम अंक जानते हैं।

बेशक, यह याद रखने योग्य है कि ग्राहम की मूल समस्या में यह संख्या केवल ऊपरी सीमा है। यह संभव है कि वांछित संपत्ति को पूरा करने के लिए आवश्यक मापों की वास्तविक संख्या बहुत, बहुत कम हो। वास्तव में, 1980 के दशक से, इस क्षेत्र के अधिकांश विशेषज्ञों द्वारा यह माना गया है कि वास्तव में केवल छह आयाम हैं - एक संख्या इतनी छोटी है कि हम इसे सहज स्तर पर समझ सकते हैं। तब से निचली सीमा को बढ़ा दिया गया है, लेकिन अभी भी इस बात की बहुत अच्छी संभावना है कि ग्राहम की समस्या का समाधान ग्राहम जितनी बड़ी संख्या में नहीं है।

अनन्त तक

तो ग्राहम की संख्या से बड़ी संख्याएँ हैं? बेशक, शुरुआत के लिए ग्राहम संख्या है। जहां तक ​​महत्वपूर्ण संख्या का सवाल है... ठीक है, गणित के कुछ बेहद कठिन क्षेत्र हैं (विशेष रूप से, कॉम्बिनेटरिक्स के रूप में जाना जाने वाला क्षेत्र) और कंप्यूटर विज्ञान, जिसमें ग्राहम की संख्या से भी बड़ी संख्याएं हैं। लेकिन हम लगभग उस सीमा तक पहुँच चुके हैं जिसकी मैं उम्मीद कर सकता हूँ जो कभी भी उचित रूप से समझा सकता है। उन लोगों के लिए जो आगे जाने के लिए पर्याप्त लापरवाह हैं, आपके जोखिम पर अतिरिक्त पढ़ने की पेशकश की जाती है।

खैर, अब एक अद्भुत उद्धरण जिसका श्रेय डगलस रे को दिया जाता है ( टिप्पणीईमानदार होने के लिए, यह बहुत मज़ेदार लगता है:

"मैं देखता हूं कि अस्पष्ट संख्याओं के गुच्छे अंधेरे में, प्रकाश के उस छोटे से स्थान के पीछे, जो मन की मोमबत्ती देता है। वे एक दूसरे से फुसफुसाते हैं; कौन क्या जानता है के बारे में बात कर रहे हैं। शायद वे हमें अपने छोटे भाइयों को हमारे दिमाग से पकड़ने के लिए बहुत पसंद नहीं करते हैं। या हो सकता है कि वे हमारी समझ से परे, जीवन का एक स्पष्ट संख्यात्मक तरीका जीते हैं।''

जब एक अनंत के भीतर अचानक दूसरा प्रकट हो जाता है तो दार्शनिक समस्याएं स्वयं को महसूस करती हैं। उदाहरण के लिए, सभी संख्याओं में से केवल सम संख्याओं को चुनने पर, हमें फिर से एक अनंत क्रम 2, 4, 6, ... प्राप्त होता है, ताकि अनंत से भ्रमित न हों, गणितज्ञों ने समुच्चय और शक्तियों के बारे में बात करना शुरू किया: प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय, हालांकि अनंत, समुच्चय सम की शक्ति के बराबर है। यह एक साधारण नियम के अस्तित्व का अनुसरण करता है जो इन दो सेटों के बीच संबंध स्थापित करता है: यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह नियम एक-से-एक है, यह सुनिश्चित करने के लिए किसी भी संख्या को 2 से विभाजित करना या किसी भी प्राकृतिक संख्या को 2 से गुणा करना पर्याप्त है।

एक समान नियम - केवल थोड़ा अधिक जटिल - एक-से-एक प्राकृतिक संख्याओं को सभी साधारण अंशों से जोड़ता है। दूसरे शब्दों में, साधारण भिन्नों को भी पुन: क्रमांकित किया जा सकता है। इसका अर्थ यह है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में परिमेय संख्याओं के समुच्चय के समान शक्ति होती है, अर्थात ये दोनों अनंत एक दूसरे के "बराबर" हैं। तो, शायद अनंत एक है और इस अर्थ में सभी अनंत सेट हमेशा एक दूसरे के लिए "बराबर" होते हैं? लेकिन नहीं: सबसे पहले, अपरिमेय संख्याओं को फिर से संख्याबद्ध करना असंभव है - और यह सेट प्राकृतिक संख्याओं के सेट से "बड़ा" हो जाता है - और दूसरी बात, किसी भी सेट के लिए कोई "बड़ा" बना सकता है।

बहिष्कृत जर्मन गणितज्ञ

इन दोनों कथनों को जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कैंटोर (, 1845-1918) ने सिद्ध किया। चूँकि अनंत भिन्न हैं, तो उनके लिए आप अपने स्वयं के नाम भी दर्ज कर सकते हैं - इसलिए बोलने के लिए, पारभासी संख्याएँ। कैंटर ने प्राकृतिक श्रृंखला की शक्ति को हिब्रू वर्णमाला के अक्षर एलेफ द्वारा सूचकांक शून्य के साथ दर्शाया: o, और सातत्य की शक्ति के लिए यह एक सीधी रेखा या संपूर्ण सीधी रेखा का एक निरंतर खंड है - उसने उसी अक्षर का उपयोग किया , लेकिन एक सूचकांक इकाई के साथ: l, जिससे यह पता चलता है कि o और א l के बीच कोई अन्य पारभासी संख्या नहीं हो सकती है।

तथ्य यह है कि सातत्य को बिंदुओं का एक सेट माना जा सकता है, कैंटर से कुछ समय पहले ही ज्ञात हो गया था, लेकिन वह एक सीधी रेखा के सभी बिंदुओं को "नंबर" करने में सक्षम होने के कारण इसे फिर से साबित करने में सक्षम था - अधिक सटीक रूप से, एक इकाई खंड। इस मामले में केवल "संख्याओं" की भूमिका में प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं, बल्कि संख्याओं के अनंत क्रम हैं। यहां तक ​​​​कि केवल शून्य और एक ही पर्याप्त हैं (यह मानते हुए कि प्रत्येक "संख्या" बाइनरी सिस्टम में लिखा गया है): फॉर्म के अंशों का सेट 0.100010100111 ... पूरी तरह से सभी परिमेय संख्याओं के सेट को 0 से 1 तक अपरिमेय संख्याओं के साथ जोड़ता है। हालांकि, कैंटर के सिद्धांत से, इसके बाद कुछ और हुआ: उनके "एलेफ्स" ने उन अंकों की संख्या की अनुमति दी, जिनके लिए सीधी रेखा बहुत छोटी है (इसलिए नाम ट्रांसफ़िनिट - यानी "अनंत से परे")।

कांतोर के विचारों ने उन्हें बहुत बड़ा दुर्भाग्य दिया। उनके कई सहयोगियों ने "एलेफ़्स" के सिद्धांत में पाया कि न केवल बहुत सारे गणितीय विरोधाभास और गैरबराबरी - यह आधी परेशानी होगी। कांतोर के तर्क में उनकी गहरी धार्मिकता और "निरपेक्ष" को समझने की इच्छा दिखाई दे रही थी। जैसे ही उन्होंने अपने सिद्धांत को विकसित किया, हाले शहर में विश्वविद्यालय के अधिकारियों के साथ उनके संबंध अधिक से अधिक टूट गए, और यहां तक ​​​​कि उन गणितज्ञों ने भी जिन्होंने पहली बार उत्साहपूर्वक प्रतिक्रिया व्यक्त की, उन्होंने इसे छोड़ दिया। 19वीं शताब्दी के अंत में गणितीय विचार का केंद्र फ्रांस था, लेकिन दो प्रमुख फ्रांसीसी गणितज्ञ चार्ल्स हर्मिट (चार्ल्स हर्मिट, 1822-1901) और पॉल एमिल एपेल (, 1855-1930) ने कैंटर के कार्यों का फ्रेंच में अनुवाद करने के खिलाफ भी बात की। यह उम्मीद की जा सकती है कि नए विचारों को फ्रांसीसी गणित के पितामह द्वारा समर्थित किया जाएगा, एक ऐसा व्यक्ति जिसने 20वीं शताब्दी में इसके भविष्य के विकास का अनुमान लगाया था, हेनरी पोंकारे (, 1854-1912) ... लेकिन नहीं - और वह भी "वास्तविक अनंत" के बारे में बात करने से इनकार कर दिया।

सदी के अंत तक, कैंटर खुद पर अवसाद के मुकाबलों से तेजी से हमला कर रहा था। धीरे-धीरे यह स्पष्ट हो जाता है कि हम एक गंभीर बीमारी के बारे में बात कर रहे हैं - उन्मत्त-अवसादग्रस्तता मनोविकृति। एमिल बोरेल (एमिल बोरेल, 1871-1956), सेट थ्योरी के युवा प्रशंसकों में से एक, धीरे-धीरे इसके प्रति अस्वीकृति महसूस करने लगे, जो केवल अन्य गणितज्ञों की बीमारियों के बारे में अफवाहों से तेज हो गया था। उसके कई वर्षों बाद, उन्होंने अपने मित्र पॉल वालेरी (पॉल वालेरी, 1871-1945) को लिखा कि उन्हें "अधिक काम के कारण, जो उस पर गिर गया और उसे गंभीर बीमारी का डर बना दिया, इस घटना में सेट सिद्धांत में अपनी पढ़ाई छोड़नी पड़ी। कि उसने अपना काम जारी रखा।

प्रश्न को एक अन्य प्रतिष्ठित गणितज्ञ - जैक्स हैडामार्ड (, 1865-1963) ने बंद कर दिया, जिन्होंने निष्कर्ष निकाला कि पूरी साजिश "गणित की सीमाओं" से परे चली गई और "मनोविज्ञान से, हमारे दिमाग के गुणों से" संबंधित होना शुरू हो गया। यह निर्णय कई लोगों को अजीब लगा, लेकिन, लॉरेन ग्राहम और जीन-मिशेल कांतोर के अनुसार, इसने फ्रांसीसी गणित को सबसे आगे ले जाने का नेतृत्व किया। अनंत समुच्चयों के आकार की तुलना करने और उनके अनंत उपसमुच्चय को क्रमबद्ध करने में एक गंभीर गणितीय सामग्री को देखते हुए, रूसी गणितज्ञ एक ऐसे स्कूल का निर्माण करने में सक्षम थे जो लंबे समय तक पहले बना रहा और अब तक पूरी तरह से अपना महत्व नहीं खोया है।

भगवान संख्या

सेट थ्योरी के निर्माता ने अपने जीवन के पहले ग्यारह साल सेंट पीटर्सबर्ग में बिताए। हालाँकि, इस शहर की जलवायु उनके पिता के लिए बहुत हानिकारक साबित हुई, और 1856 में पूरा परिवार फ्रैंकफर्ट एम मेन की अधिक अनुकूल जलवायु में चला गया। प्राकृतिक और तकनीकी विज्ञान का अध्ययन यूरोप के विभिन्न शहरों में युवा कांतोर द्वारा किया गया था - डार्मस्टेड से ज्यूरिख तक - और माता-पिता के साथ काफी अपेक्षित संघर्ष के साथ था, जो अपने बच्चे में एक इंजीनियर को देखकर अधिक खुश थे, बजाय इसके कि स्पष्ट दार्शनिक झुकाव वाला गणितज्ञ। हालांकि, जॉर्ज ने धीरे-धीरे उनके प्रतिरोध पर काबू पा लिया और जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, उन्होंने खुद को हाले विश्वविद्यालय में पाया।

उन्होंने अपने दार्शनिक विचारों को "उदारवादी अरिस्टोटेलियन यथार्थवाद" सूत्र के साथ परिभाषित किया, लेकिन वे पाइथागोरस अनुनय के प्लेटोनिज़्म को स्पष्ट रूप से समझते हैं। वास्तविक अनंत, अनंत संख्याओं द्वारा व्यक्त किया गया, उसके लिए परिमित और अनंत के बीच एक मध्यवर्ती स्थिति रखता है - यानी परमात्मा। यह महसूस करते हुए कि प्रश्न का ऐसा सूत्रीकरण गणितज्ञों की तुलना में दार्शनिकों के अधिक निकट हो सकता है, उन्होंने गणितज्ञों के बजाय दार्शनिकों के बजाय अपने मुख्य कार्य "गणितीय-दार्शनिक अनुभव को अनंत के सिद्धांत" में संबोधित किया:

[मेरा मतलब था] दो तरह के पाठक - एक तरफ, दार्शनिक जिन्होंने आधुनिक समय तक गणित के विकास का अनुसरण किया, और दूसरी तरफ, गणितज्ञ जो प्राचीन और आधुनिक दर्शन के सबसे महत्वपूर्ण तथ्यों से परिचित हैं।.

और उन्हें ऐसे पाठक मिले - अपनी मातृभूमि में। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि वे, सबसे पहले, पाइथागोरस प्लेटोनिस्ट और ईसाई फकीर भी थे। शायद उनमें से सबसे प्रसिद्ध - (1882-1937) - समझ में आया कि हम किस अर्थ में किसी संख्या के बारे में बात कर सकते हैं जो किसी भी प्राकृतिक संख्या से बड़ी है:

उसी अर्थ में, हम कह सकते हैं कि ईश्वर की शक्ति वास्तविक-अनंत है, क्योंकि, निश्चित होना (क्योंकि ईश्वर में कोई परिवर्तन नहीं है), साथ ही यह किसी भी सीमित शक्ति से अधिक है।.

यह रूपक स्वयं फ्लोरेंसकी की दृष्टि में कोई रूपक नहीं था, जिसके लिए धर्मशास्त्र और गणित के बीच कोई विशेष सीमा भी नहीं थी। और इसके अलावा, 20वीं शताब्दी की शुरुआत में फ्लोरेंसकी ने जिस धार्मिक और दार्शनिक दिशा का विकास किया, उसने कहा कि "ईश्वर का नाम स्वयं ईश्वर है।" लेकिन नाम अपने आप में संख्याओं सहित असंख्य नामों का था।

विदाई, लुसिटानिया!

1900 में, फ्लोरेंस्की ने मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी में भौतिकी और गणित के संकाय में प्रवेश किया, लेकिन चार साल बाद एक चर्च और धार्मिक कैरियर के लिए गणित छोड़ दिया। हालाँकि, पहले से ही सोवियत काल में, उन्होंने दर्शन और धर्मशास्त्र का अध्ययन करना भी बंद कर दिया, पूरी तरह से विशेष रूप से व्यावहारिक इंजीनियरिंग मुद्दों में खुद को विसर्जित कर दिया। उन्होंने बहुत सारी इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग की, GOELRO योजना के विकास में भाग लिया, पर्माफ्रॉस्ट के गुणों का अध्ययन किया। यह सब उन्हें नई सरकार के दमन से नहीं बचा सका और 1937 में कई गिरफ्तारियों के बाद उन्हें गोली मार दी गई।

फ्लोरेंसकी के लिए गणित छोड़ने का मतलब गणितीय समुदाय को छोड़ना नहीं था। उनके सबसे करीबी लोगों में निकोलाई निकोलाइविच लुज़िन (1883-1950) और दिमित्री फेडोरोविच एगोरोव (1869-1931) थे। यह कहना पर्याप्त नहीं है कि वे दोनों महान गणितज्ञ हैं: 1923 में, एगोरोव को पहले मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी के गणित और यांत्रिकी संस्थान के अध्यक्ष और नियुक्त निदेशक के रूप में चुना गया था, यह उनमें है कि आधुनिक इतिहासकारों में एक प्रमुख व्यक्ति दिखाई देता है कार्यों के सिद्धांत का निर्माण और विकास। लुज़िन की उत्कृष्ट सफलताओं में न केवल वास्तविक गणितीय परिणाम हैं, बल्कि अद्वितीय शैक्षणिक ऊर्जा भी है: लगभग सभी प्रमुख रूसी गणितज्ञ उनके छात्र या उनके छात्रों के छात्र रहे हैं। , जो पहले से ही 20 के दशक में विकसित हो चुका था, उसे "लुसिटानिया" कहा जाता था। यह वे थे, जिन्हें पहले से ही 30 के दशक में, ऐसी खोज करनी थी जिसने आज ऐसे लोकप्रिय विषयों के लिए रास्ता खोल दिया जैसे कि भग्न और अराजकता।

बहुत बार विज्ञान के भाग्य का निर्धारण कुछ हद तक समस्याओं को हल करने में सफलता से और अधिक हद तक उनके सही चुनाव से होता है। कौन जानता है कि गणितज्ञ खुद को क्या तर्क देता है, उनमें से एक के समाधान को लेने के लिए खुद को आश्वस्त करता है, न कि दूसरों के समाधान को लेने के लिए। ईगोरोव और लुज़िन के मामले में, लॉरेन ग्राहम और जीन-मिशेल कांतोर के अनुसार, उनके धार्मिक विचार और नामकरण के खेल के पीछे दूर के गणितीय दृष्टिकोण को देखने की क्षमता मौलिक महत्व के थे। कैंटोर के दार्शनिक विचार, जिसने पश्चिमी यूरोप के देशों में उनके गणित को अपनाने के लिए इतना कठिन बना दिया और सबसे बढ़कर, तर्कवादी फ्रांस में, रूस में ठीक विपरीत भूमिका निभाई, जहां विपरीत, रहस्यमय, दार्शनिक परंपरा मौजूद थी।

बेशक, इस कथन को साबित करना काफी मुश्किल है, और इसे एक सुंदर और अपने तरीके से उत्पादक माना जाना चाहिए, लेकिन फिर भी एक परिकल्पना है। हमारे गणितज्ञों और हमारे दार्शनिकों द्वारा इसकी पहले ही आलोचना की जा चुकी है - शायद काफी न्यायसंगत -। लेकिन एक परिकल्पना के रूप में भी, पश्चिमी शोधकर्ताओं द्वारा प्रस्तावित तस्वीर बहुत आकर्षक है: रूसी कविता और सामान्य रूप से कला के "रजत युग" के बाद दर्शन का "पुनर्जागरण" होता है, इसे "स्वर्ण युग" द्वारा प्रतिस्थापित किया जा रहा है। अंक शास्त्र। फिर, निश्चित रूप से, सब कुछ गुजरता है, सभी सुंदरता, अगर यह नहीं मरता है, तो कम से कम अपंग है: 31 वें में, येगोरोव को गोली मार दी जाती है, इसके तुरंत बाद लुज़िन के खिलाफ एक मामला खोला जाता है, केवल एक चमत्कार से वह कालकोठरी से बच जाता है, लेकिन दमन की धारा अपने शिष्यों को नहीं बख्शती... और फिर भी सौन्दर्य की स्मृति अतीत में बनी रहती है, और उसके चिंतन से आत्मविश्वास पैदा होता है - यह आकस्मिक नहीं था।

साथी समाचार

अंकों के लंबे समूह भी होते हैं, जो संख्याओं के अंत में होने के कारण अपने उत्पाद में भी संरक्षित रहते हैं। अंकों के ऐसे समूहों की संख्या, जैसा कि हम दिखाएंगे, असीम रूप से बड़ी है।

हम अंकों के दो-अंकीय समूहों को जानते हैं जिनके पास यह गुण है: ये 25 और 76 हैं। तीन-अंकीय समूहों को खोजने के लिए, आपको संख्या 25 या 76 को इस तरह के अंक के साथ उपसर्ग करना होगा ताकि परिणामी तीन-अंकीय अंकों के समूह में भी आवश्यक गुण होते हैं।

76 नंबर को कौन सा नंबर दिया जाना चाहिए? आइए इसे k से निरूपित करें। फिर वांछित तीन अंकों की संख्या प्रदर्शित की जाएगी:

100k + 76।

अंकों के इस समूह में समाप्त होने वाली संख्याओं के लिए सामान्य व्यंजक है:

1000a + 100k + 76, 1000b + 100k + 76 आदि।

इस तरह की दो संख्याओं को गुणा करें; हम पाते हैं:

1000000ab + 100000ak + 100000bk + 76000a + 76000b + 10000k 2 + 15200k + 5776।

अंतिम दो को छोड़कर सभी पदों के अंत में कम से कम तीन शून्य हैं। इसलिए, अंतर होने पर उत्पाद 1006+76 में समाप्त होता है

15200k + 5776 - (100k + 76) = 15100k + 5700 = 15000k + 5000 + 100 (k + 7)

1000 से विभाज्य है। यह स्पष्ट रूप से केवल k = 3 के लिए होगा।

तो, संख्याओं के वांछित समूह का रूप 376 है। इसलिए, संख्या 376 की कोई भी घात 376 में समाप्त होती है। उदाहरण के लिए:

376 2 = 141376.

यदि हम अब समान गुण वाले अंकों का चार अंकों का समूह खोजना चाहते हैं, तो हमें 376 के सामने एक और अंक जोड़ना होगा। यदि हम इस आकृति को l से निरूपित करते हैं, तो हम समस्या पर पहुँचते हैं: जिसके लिए l गुणनफल

(10000a + 1000l + 376) (10000b + 1000l + 376)

1000l + 376 में समाप्त होता है? यदि हम इस कार्य में कोष्ठक खोलते हैं और 4 शून्य या अधिक पर समाप्त होने वाले सभी पदों को छोड़ देते हैं, तो पद शेष रह जाते हैं

752000l + 141376।

उत्पाद 1000l + 376 में समाप्त होता है यदि अंतर

752000l + 141376 - (1000l + 376) = 751000l + 141000 = (750000l + 140000) + 1000 (l + 1)

10000 से विभाज्य है। यह स्पष्ट रूप से केवल l = 9 के लिए होगा।

संख्याओं का वांछित चार अंकों का समूह 9376 है।

परिणामी चार अंकों के समूह को एक और अंक के साथ पूरक किया जा सकता है, जिसके लिए आपको ठीक उसी तरह से तर्क करने की आवश्यकता है जैसे ऊपर दिया गया है। हमें 09376 मिलता है। एक और कदम उठाते हुए, हम संख्याओं का समूह 109376, फिर 7109376, और इसी तरह पाते हैं।

बाईं ओर संख्याओं का यह असाइनमेंट असीमित बार किया जा सकता है। नतीजतन, हमें एक "संख्या" मिलती है जिसमें अंकों की अनंत संख्या होती है:

7109376.

इस तरह के "संख्याओं" को सामान्य नियमों के अनुसार जोड़ा और गुणा किया जा सकता है: आखिरकार, उन्हें दाएं से बाएं लिखा जाता है, और जोड़ और गुणा ("कॉलम") भी दाएं से बाएं किया जाता है, ताकि योग और उत्पाद में ऐसी दो संख्याओं में से आप एक के बाद एक अंक की गणना कर सकते हैं - जितना आपको अंक पसंद हों।

दिलचस्प बात यह है कि ऊपर लिखी गई अनंत "संख्या" समीकरण को संतुष्ट करती है, असंभव जैसा लगता है

एक्स 2 \u003d एक्स।

वास्तव में, इस "संख्या" का वर्ग (अर्थात, इसका उत्पाद अपने आप में) 76 में समाप्त होता है, क्योंकि प्रत्येक कारक के अंत में 76 होते हैं; इसी कारण से लिखित "संख्या" का वर्ग 376 में समाप्त होता है; 9376 में समाप्त होता है, आदि। दूसरे शब्दों में, "संख्या" x 2 के अंकों की एक-एक करके गणना करके, जहाँ x = ... 7109376, हमें वही अंक मिलेंगे जो संख्या x में हैं, इसलिए x 2 = एक्स।

हमने 76* में समाप्त होने वाले अंकों के समूहों पर विचार किया है। यदि 5 पर समाप्त होने वाले अंकों के समूहों के लिए समान तर्क किया जाता है, तो हमें अंकों के निम्नलिखित समूह मिलते हैं:

5, 25, 625, 0625, 90625, 890625, 2890 625 आदि।

* (ध्यान दें कि अंक 76 के दो अंकों के समूह को ऊपर दिए गए तर्कों के समान तर्कों का उपयोग करके पाया जा सकता है: यह तय करने के लिए पर्याप्त है कि अंकों के परिणामी दो अंकों के समूह के लिए अंक 6 के लिए कौन सा अंक पहले से असाइन किया जाना चाहिए। संपत्ति विचाराधीन है। इसलिए, "नंबर" ... 7109376 एक के बाद एक, छह को सामने की संख्या बताकर प्राप्त किया जा सकता है।)

नतीजतन, हम एक और अनंत "संख्या" लिख सकते हैं

2890625,

समीकरण x 2 = x को भी संतुष्ट करता है। यह दिखाया जा सकता है कि यह अनंत "संख्या" "बराबर" है

5 2 2 2...

अनंत "संख्याओं" की भाषा में प्राप्त दिलचस्प परिणाम निम्नानुसार तैयार किया गया है: समीकरण x 2 \u003d x में (सामान्य x \u003d 0 और x \u003d 1 को छोड़कर) दो "अनंत" समाधान हैं:

एक्स = ...7109376 और एक्स = ...2890625,

और अन्य समाधान (दशमलव संकेतन में) में कोई * नहीं है।

* (अनंत "संख्याओं" को न केवल दशमलव में, बल्कि अन्य संख्या प्रणालियों में भी माना जा सकता है। ऐसी संख्याएँ जिन्हें आधार p संख्या प्रणाली में माना जाता है, p-adic संख्याएँ कहलाती हैं। इन नंबरों के बारे में ई.बी. डाइनकिन और वी.ए. उसपेन्स्की (गोस्टेखिज़दत, 1952) की पुस्तक "गणितीय वार्तालाप" में पढ़ा जा सकता है।)

दो चीजें वास्तव में अंतहीन हैं:
ब्रह्मांड और मानव मूर्खता।
हालाँकि, ब्रह्मांड के बारे में मेरे पास है
कुछ संदेह हैं।
अल्बर्ट आइंस्टीन

हमने हाल ही में इस मुद्दे को उठाया है, लेकिन यह इतना महत्वपूर्ण है कि इस पर अधिक विस्तार से ध्यान देने योग्य है।

यदि एक ही वस्तु के बारे में कभी-कभी वही शब्द बोले जाते हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है कि इन वस्तुओं में समान गुण हैं।

एक लंबा और समझ से बाहर का वाक्य था, इसलिए मैं एक उदाहरण के साथ समझाऊंगा:
आप कह सकते हैं "फोन पर कॉल करें", या आप "घंटी बजाओ" कह सकते हैं - बहुत अलग क्रियाएं, लेकिन एक क्रिया। इससे यह निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता है कि फोन के साथ अन्य सभी क्रियाएं (एसएमएस प्राप्त करना, 200 नंबरों के लिए मेमोरी, और इसी तरह) घंटी की विशेषता है। यह इतना स्पष्ट है कि यह पैराग्राफ बेतुका लगता है।

लेकिन फिर इतने सारे लोग अनंत शब्द के साथ इतनी आसानी से काम क्यों करते हैं, जैसे कि यह एक संख्या हो? हां, आप कुछ क्रियाओं को अनंत पर लागू कर सकते हैं जो संख्याओं के साथ सफलतापूर्वक काम करती हैं ( आवश्यक आरक्षण करना):
2 + ∞ = ∞,
∞ - 5 = ∞,
2 * ∞ = ∞,
∞ / 5 = ∞,
∞ + ∞ = (इसके अलावा, वास्तविक संख्याओं की श्रृंखला को अक्सर कुछ और तत्वों +∞ और -∞ के साथ बढ़ाया जाता है कड़ाई से निर्धारितउनसे कैसे निपटें)।

इसका मतलब है कि इस तरह के "अनंत" के साथ सब कुछ नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, - = ? (यहां हमें अनिश्चितता है, क्योंकि हम इन दो "अनंत" की प्रकृति को जाने बिना उत्तर नहीं दे सकते हैं)। किसी भी मामले में, तुरंत यह कहना भोला है कि अंतर शून्य होगा।

और यदि आप इस तथ्य के बारे में बात करना शुरू करते हैं कि कुछ मान शून्य या अनंत तक जाता है, तो अक्सर बात सही तर्क तक नहीं पहुंच पाती है। वैसे, छह महीने पहले हमने अनंत की अवधारणा के दैनिक उपयोग के बारे में बात की थी। हम तब "साबित" करने में कामयाब रहे कि त्रिभुज के पैरों का योग हमेशा कर्ण के बराबर होता है। यह एक बहुत ही सरल लेकिन उपयोगी उदाहरण नहीं था। बहुत अधिक प्राचीन और प्रसिद्ध निर्माण हैं जो इतने सरल दिखते हैं कि यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि उनके साथ कोई समस्या कैसे संभव है।

आइए ज़ेनो के क्लासिक एपोरिया को याद करें:
यदि यह ज्ञात हो कि अकिलीज़ कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है, और उससे 1 किलोमीटर की दूरी पर है, तो अकिलीज़ इस किलोमीटर पर जितना समय व्यतीत करेगा, कछुआ 100 मीटर रेंगेगा। तदनुसार, जब अकिलीज़ एक और 100 मीटर दौड़ता है, तो कछुआ 10 मीटर और इसी तरह रेंगता है। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, और अकिलीज़ कभी भी कछुए को पकड़ने में सक्षम नहीं होगा, हालांकि वह तेजी से आगे बढ़ता है।

आकांक्षा, सीमा, अनंत और अन्य सहज रूप से स्पष्ट, बल्कि जटिल अवधारणाओं के बारे में तर्क को समझने के लिए ऐसी समस्याओं के बारे में समझदार बातें कहने की क्षमता आवश्यक है। इसके बिना, बातचीत आम तौर पर "जो तेज आवाज है" में बदल जाती है, हालांकि गणितीय विज्ञान की बात किसी भी कीमत पर राजी नहीं होने वाली है। काश, हाल के दशकों में, कम और कम लोग सही को वैज्ञानिक से अलग करते हैं, इसलिए अक्सर सत्य तक पहुंचने की तुलना में समझाने के लिए चिल्लाना अधिक महत्वपूर्ण माना जाता है।

तो, आप अकिलीज़ और कछुआ के साथ समस्या का समाधान कैसे कर सकते हैं? कृपया यह न लिखें कि जैसे ही अकिलीज़ दूसरा किलोमीटर दौड़ेगा, कछुआ बहुत पीछे छूट जाएगा। यह सभी के लिए स्पष्ट है, लेकिन यह बिल्कुल भी मदद नहीं करता है। यहां आपको मूल समाधान में समस्या को महसूस करने की जरूरत है, न कि उसी स्थिति पर अपने विचार के साथ आने की।

आपका दिन शुभ हो!