इस लेख में, विधि को रैखिक समीकरणों (SLAE) के सिस्टम को हल करने के तरीके के रूप में माना जाता है। विधि विश्लेषणात्मक है, अर्थात यह आपको एक सामान्य रूप में एक समाधान एल्गोरिथ्म लिखने की अनुमति देती है, और फिर वहां विशिष्ट उदाहरणों से मूल्यों को प्रतिस्थापित करती है। मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों के विपरीत, गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, आप उन लोगों के साथ भी काम कर सकते हैं जिनके पास असीमित कई समाधान हैं। या उनके पास बिल्कुल नहीं है।

गॉस क्या मतलब है

सबसे पहले आपको हमारे समीकरणों की प्रणाली को इस तरह दिखने में लिखना होगा। सिस्टम लिया जाता है:

गुणांक एक तालिका के रूप में लिखे गए हैं, और दाईं ओर एक अलग कॉलम में - मुक्त सदस्य। सुविधा के लिए मुक्त सदस्यों वाले कॉलम को अलग किया जाता है। इस कॉलम को शामिल करने वाले मैट्रिक्स को विस्तारित कहा जाता है।

इसके अलावा, गुणांक वाले मुख्य मैट्रिक्स को ऊपरी त्रिकोणीय आकार में कम किया जाना चाहिए। यह गॉस विधि द्वारा प्रणाली को हल करने का मुख्य बिंदु है। सीधे शब्दों में कहें, कुछ जोड़तोड़ के बाद, मैट्रिक्स इस तरह दिखना चाहिए, ताकि इसके निचले बाएं हिस्से में केवल शून्य हों:

फिर, यदि आप समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में फिर से नया मैट्रिक्स लिखते हैं, तो आप देखेंगे कि अंतिम पंक्ति में पहले से ही जड़ों में से एक का मान होता है, जिसे बाद में उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, एक और रूट पाया जाता है, और इसी तरह।

यह सबसे सामान्य शब्दों में गॉस विधि द्वारा समाधान का विवरण है। और क्या होगा अगर अचानक सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है? या उनमें से एक अनंत संख्या है? इन और कई अन्य प्रश्नों के उत्तर के लिए गॉस विधि द्वारा समाधान में प्रयुक्त सभी तत्वों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।

मैट्रिक्स, उनके गुण

मैट्रिक्स में कोई छिपा हुआ अर्थ नहीं है। यह बाद के संचालन के लिए डेटा रिकॉर्ड करने का एक सुविधाजनक तरीका है। स्कूली बच्चों को भी इनसे नहीं डरना चाहिए।

मैट्रिक्स हमेशा आयताकार होता है, क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक होता है। यहां तक ​​​​कि गॉस विधि में, जहां सब कुछ एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स के निर्माण के लिए उबलता है, एक आयत प्रविष्टि में दिखाई देती है, केवल उस स्थान पर शून्य के साथ जहां कोई संख्या नहीं है। शून्य को छोड़ा जा सकता है, लेकिन वे निहित हैं।

मैट्रिक्स का एक आकार होता है। इसकी "चौड़ाई" पंक्तियों की संख्या (एम) है, इसकी "लंबाई" स्तंभों की संख्या (एन) है। फिर मैट्रिक्स ए का आकार (कैपिटल लैटिन अक्षरों को आमतौर पर उनके पदनाम के लिए उपयोग किया जाता है) को ए एम × एन के रूप में दर्शाया जाएगा। यदि m=n, तो यह आव्यूह वर्गाकार है, और m=n इसका क्रम है। तदनुसार, आव्यूह A के किसी भी अवयव को उसकी पंक्ति और स्तम्भ की संख्या से निरूपित किया जा सकता है: a xy ; x-पंक्ति संख्या, परिवर्तन, y-स्तंभ संख्या, परिवर्तन।

बी समाधान का मुख्य बिंदु नहीं है। सिद्धांत रूप में, सभी ऑपरेशन सीधे समीकरणों के साथ किए जा सकते हैं, लेकिन अंकन बहुत अधिक बोझिल हो जाएगा, और इसमें भ्रमित होना बहुत आसान होगा।

सिद्ध

मैट्रिक्स में एक निर्धारक भी होता है। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण विशेषता है। इसका अर्थ खोजना अब इसके लायक नहीं है, आप बस यह दिखा सकते हैं कि इसकी गणना कैसे की जाती है, और फिर बताएं कि यह मैट्रिक्स के कौन से गुण निर्धारित करता है। सारणिक खोजने का सबसे आसान तरीका विकर्णों के माध्यम से है। मैट्रिक्स में काल्पनिक विकर्ण खींचे जाते हैं; उनमें से प्रत्येक पर स्थित तत्वों को गुणा किया जाता है, और फिर परिणामी उत्पादों को जोड़ा जाता है: दाईं ओर ढलान के साथ विकर्ण - "प्लस" चिह्न के साथ, बाईं ओर ढलान के साथ - "माइनस" चिह्न के साथ।

यह ध्यान रखना अत्यंत महत्वपूर्ण है कि निर्धारक की गणना केवल एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए की जा सकती है। एक आयताकार मैट्रिक्स के लिए, आप निम्न कार्य कर सकते हैं: पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या में से सबसे छोटा चुनें (इसे k होने दें), और फिर मैट्रिक्स में k कॉलम और k पंक्तियों को यादृच्छिक रूप से चिह्नित करें। चयनित स्तंभों और पंक्तियों के चौराहे पर स्थित तत्व एक नया वर्ग मैट्रिक्स बनाएंगे। यदि ऐसे मैट्रिक्स का सारणिक शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है, तो इसे मूल आयताकार मैट्रिक्स का आधार नाबालिग कहा जाता है।

गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली के समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले, सारणिक की गणना करने में कोई दिक्कत नहीं होती है। यदि यह शून्य हो जाता है, तो हम तुरंत कह सकते हैं कि मैट्रिक्स में या तो अनंत संख्या में समाधान हैं, या कोई भी नहीं हैं। ऐसे दुखद मामले में, आपको आगे जाकर मैट्रिक्स के रैंक के बारे में पता लगाने की जरूरत है।

सिस्टम वर्गीकरण

मैट्रिक्स के रैंक जैसी कोई चीज होती है। यह इसके गैर-शून्य निर्धारक का अधिकतम क्रम है (आधार नाबालिग को याद करते हुए, हम कह सकते हैं कि मैट्रिक्स का रैंक आधार नाबालिग का क्रम है)।

रैंक के साथ चीजें कैसी हैं, इसके अनुसार SLAE को इसमें विभाजित किया जा सकता है:

• संयुक्त। परसंयुक्त प्रणालियों की, मुख्य मैट्रिक्स की रैंक (केवल गुणांक से मिलकर) विस्तारित एक (मुक्त सदस्यों के एक कॉलम के साथ) के रैंक के साथ मेल खाती है। ऐसी प्रणालियों का एक समाधान है, लेकिन जरूरी नहीं कि एक, इसलिए, संयुक्त प्रणालियों को अतिरिक्त रूप से विभाजित किया गया है:
• - निश्चित- एक अनूठा समाधान होना। कुछ प्रणालियों में, मैट्रिक्स की रैंक और अज्ञात की संख्या (या स्तंभों की संख्या, जो एक ही बात है) समान हैं;
• - अनिश्चितकालीन -अनंत समाधान के साथ। ऐसी प्रणालियों के लिए मैट्रिक्स की रैंक अज्ञात की संख्या से कम है।
• असंगत। परऐसी प्रणालियाँ, मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक मेल नहीं खाते हैं। असंगत प्रणालियों का कोई समाधान नहीं है।

गॉस विधि इस मायने में अच्छी है कि यह किसी को या तो सिस्टम की असंगति का एक स्पष्ट प्रमाण प्राप्त करने की अनुमति देती है (बिना बड़े मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना के) या अनंत संख्या में समाधान वाले सिस्टम के लिए एक सामान्य समाधान।

प्राथमिक परिवर्तन

सिस्टम के समाधान के लिए सीधे आगे बढ़ने से पहले, इसे कम बोझिल और गणना के लिए अधिक सुविधाजनक बनाना संभव है। यह प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से प्राप्त किया जाता है - जैसे कि उनका कार्यान्वयन किसी भी तरह से अंतिम उत्तर को नहीं बदलता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त में से कुछ प्राथमिक परिवर्तन केवल मैट्रिसेस के लिए मान्य हैं, जिसका स्रोत ठीक SLAE था। यहां इन परिवर्तनों की एक सूची दी गई है:

1. स्ट्रिंग क्रमपरिवर्तन। यह स्पष्ट है कि यदि हम सिस्टम रिकॉर्ड में समीकरणों के क्रम को बदलते हैं, तो यह किसी भी तरह से समाधान को प्रभावित नहीं करेगा। नतीजतन, इस प्रणाली के मैट्रिक्स में पंक्तियों को इंटरचेंज करना भी संभव है, निश्चित रूप से, मुक्त सदस्यों के कॉलम के बारे में नहीं भूलना।
2. एक स्ट्रिंग के सभी तत्वों को किसी कारक से गुणा करना। बहुत उपयोगी! इसके साथ, आप मैट्रिक्स में बड़ी संख्या को कम कर सकते हैं या शून्य हटा सकते हैं। समाधान का सेट, हमेशा की तरह, नहीं बदलेगा, और आगे के संचालन करने के लिए यह अधिक सुविधाजनक हो जाएगा। मुख्य बात यह है कि गुणांक शून्य के बराबर नहीं है।
3. आनुपातिक गुणांक वाली पंक्तियों को हटाएं। यह आंशिक रूप से पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। यदि मैट्रिक्स में दो या दो से अधिक पंक्तियों में आनुपातिक गुणांक हैं, तो आनुपातिकता गुणांक द्वारा पंक्तियों में से एक को गुणा / विभाजित करते समय, दो (या, फिर से, अधिक) बिल्कुल समान पंक्तियाँ प्राप्त होती हैं, और आप अतिरिक्त को हटा सकते हैं, केवल छोड़कर एक।
4. शून्य रेखा को हटा रहा है। यदि परिवर्तन के दौरान एक स्ट्रिंग कहीं प्राप्त होती है जिसमें मुक्त सदस्य सहित सभी तत्व शून्य होते हैं, तो ऐसी स्ट्रिंग को शून्य कहा जा सकता है और मैट्रिक्स से बाहर फेंक दिया जा सकता है।
5. एक पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के तत्वों को जोड़ना (संबंधित कॉलम में), एक निश्चित गुणांक से गुणा करना। सभी का सबसे अस्पष्ट और सबसे महत्वपूर्ण परिवर्तन। इस पर अधिक विस्तार से रहने लायक है।

एक कारक द्वारा गुणा की गई स्ट्रिंग को जोड़ना

समझने में आसानी के लिए, इस प्रक्रिया को चरणबद्ध तरीके से अलग करना उचित है। मैट्रिक्स से दो पंक्तियाँ ली गई हैं:

ए 11 ए 12 ... ए 1एन | बी 1

ए 21 ए 22 ... ए 2एन | बी 2

मान लीजिए कि आपको पहले को दूसरे में जोड़ना होगा, गुणांक "-2" से गुणा करना होगा।

ए" 21 \u003d ए 21 + -2 × ए 11

ए" 22 \u003d ए 22 + -2 × ए 12

ए" 2एन \u003d ए 2एन + -2 × ए 1एन

फिर मैट्रिक्स में दूसरी पंक्ति को एक नए के साथ बदल दिया जाता है, और पहली पंक्ति अपरिवर्तित रहती है।

ए 11 ए 12 ... ए 1एन | बी 1

ए" 21 ए" 22 ... ए" 2एन | बी 2

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गुणन कारक को इस तरह से चुना जा सकता है कि, दो तारों के जोड़ के परिणामस्वरूप, नई स्ट्रिंग के तत्वों में से एक शून्य के बराबर हो। इसलिए, सिस्टम में एक समीकरण प्राप्त करना संभव है, जहां एक कम अज्ञात होगा। और अगर आपको दो ऐसे समीकरण मिलते हैं, तो ऑपरेशन फिर से किया जा सकता है और एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं जिसमें पहले से ही दो कम अज्ञात होंगे। और अगर हर बार हम सभी पंक्तियों के लिए शून्य एक गुणांक की ओर मुड़ते हैं जो मूल एक से कम है, तो हम चरणों की तरह, मैट्रिक्स के बहुत नीचे तक जा सकते हैं और एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। इसे गाऊसी पद्धति का उपयोग करके प्रणाली को हल करना कहा जाता है।

सामान्य रूप में

एक सिस्टम होने दो। इसमें m समीकरण और n अज्ञात मूल हैं। आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

मुख्य मैट्रिक्स सिस्टम के गुणांक से संकलित है। विस्तारित मैट्रिक्स में मुक्त सदस्यों का एक कॉलम जोड़ा जाता है और सुविधा के लिए एक बार द्वारा अलग किया जाता है।

• मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को गुणांक k = (-a 21 / a 11) से गुणा किया जाता है;
• पहली संशोधित पंक्ति और मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति जोड़ी जाती है;
• दूसरी पंक्ति के बजाय, पिछले पैराग्राफ से जोड़ का परिणाम मैट्रिक्स में डाला जाता है;
• अब नई दूसरी पंक्ति में पहला गुणांक 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0 है।

अब परिवर्तनों की एक ही श्रृंखला की जाती है, केवल पहली और तीसरी पंक्तियाँ शामिल होती हैं। तदनुसार, एल्गोरिथम के प्रत्येक चरण में, तत्व a 21 को 31 द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। फिर सब कुछ एक 41 , ... a m1 के लिए दोहराया जाता है। परिणाम एक मैट्रिक्स है जहां पंक्तियों में पहला तत्व शून्य के बराबर है। अब हमें लाइन नंबर एक को भूलने की जरूरत है और दूसरी लाइन से शुरू होने वाले उसी एल्गोरिदम को निष्पादित करना होगा:

• गुणांक के \u003d (-ए 32 / ए 22);
• दूसरी संशोधित लाइन को "करंट" लाइन में जोड़ा जाता है;
• जोड़ का परिणाम तीसरे, चौथे और इसी तरह की पंक्तियों में प्रतिस्थापित किया जाता है, जबकि पहला और दूसरा अपरिवर्तित रहता है;
• मैट्रिक्स की पंक्तियों में, पहले दो तत्व पहले से ही शून्य के बराबर हैं।

एल्गोरिथ्म को तब तक दोहराया जाना चाहिए जब तक कि गुणांक k = (-a m,m-1 /a mm) प्रकट न हो जाए। इसका मतलब यह है कि पिछली बार एल्गोरिथम को केवल निचले समीकरण के लिए निष्पादित किया गया था। अब मैट्रिक्स एक त्रिभुज जैसा दिखता है, या इसमें एक चरणबद्ध आकार होता है। निचली पंक्ति में समानता a mn × x n = b m है। गुणांक और मुक्त पद ज्ञात हैं, और मूल उनके माध्यम से व्यक्त किया जाता है: x n = b m /a mn। परिणामी रूट को x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 खोजने के लिए शीर्ष पंक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है। और इसी तरह सादृश्य द्वारा: प्रत्येक अगली पंक्ति में एक नई जड़ होती है, और, सिस्टम के "शीर्ष" पर पहुंचकर, आप कई समाधान पा सकते हैं। यह इकलौता होगा।

जब कोई उपाय न हो

यदि मैट्रिक्स पंक्तियों में से एक में मुक्त पद को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो इस पंक्ति से संबंधित समीकरण 0 = बी जैसा दिखता है। इसका कोई समाधान नहीं है। और चूंकि इस तरह के समीकरण को सिस्टम में शामिल किया जाता है, तो पूरे सिस्टम के समाधान का सेट खाली होता है, यानी यह पतित होता है।

जब अनंत संख्या में समाधान हों

यह पता चल सकता है कि कम त्रिकोणीय मैट्रिक्स में एक तत्व के साथ कोई पंक्तियाँ नहीं हैं - समीकरण का गुणांक, और एक - एक मुक्त सदस्य। केवल स्ट्रिंग्स हैं, जो फिर से लिखे जाने पर, दो या दो से अधिक चर वाले समीकरण की तरह दिखाई देंगे। इसका मतलब है कि सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं। इस मामले में, उत्तर एक सामान्य समाधान के रूप में दिया जा सकता है। यह कैसे करना है?

मैट्रिक्स में सभी चर मूल और मुक्त में विभाजित हैं। मूल - ये वे हैं जो चरणबद्ध मैट्रिक्स में पंक्तियों के "किनारे पर" खड़े होते हैं। बाकी फ्री हैं। सामान्य समाधान में, मूल चर मुक्त चर के रूप में लिखे जाते हैं।

सुविधा के लिए, मैट्रिक्स को पहले समीकरणों की प्रणाली में फिर से लिखा जाता है। फिर उनमें से अंतिम में, जहां केवल एक मूल चर रहता है, वह एक तरफ रहता है, और बाकी सब कुछ दूसरे में स्थानांतरित हो जाता है। यह प्रत्येक समीकरण के लिए एक मूल चर के साथ किया जाता है। फिर, शेष समीकरणों में, जहाँ संभव हो, मूल चर के बजाय, इसके लिए प्राप्त व्यंजक को प्रतिस्थापित किया जाता है। यदि परिणाम फिर से एक अभिव्यक्ति है जिसमें केवल एक मूल चर होता है, तो इसे फिर से वहां से व्यक्त किया जाता है, और इसी तरह, जब तक कि प्रत्येक मूल चर को मुक्त चर के साथ अभिव्यक्ति के रूप में नहीं लिखा जाता है। यह SLAE का सामान्य समाधान है।

आप सिस्टम का मूल समाधान भी पा सकते हैं - मुक्त चर को कोई भी मान दें, और फिर इस विशेष मामले के लिए मूल चर के मूल्यों की गणना करें। असीम रूप से कई विशेष समाधान हैं।

विशिष्ट उदाहरणों के साथ समाधान

यहाँ समीकरणों की प्रणाली है।

सुविधा के लिए, तुरंत इसका मैट्रिक्स बनाना बेहतर है

यह ज्ञात है कि गॉस विधि द्वारा हल करते समय, परिवर्तन के अंत में पहली पंक्ति के अनुरूप समीकरण अपरिवर्तित रहेगा। इसलिए, यह अधिक लाभदायक होगा यदि मैट्रिक्स का ऊपरी बायां तत्व सबसे छोटा है - तो संचालन के बाद शेष पंक्तियों के पहले तत्व शून्य हो जाएंगे। इसका मतलब है कि संकलित मैट्रिक्स में पहली पंक्ति के स्थान पर दूसरा रखना फायदेमंद होगा।

दूसरी पंक्ति: के = (-ए 21 / ए 11) = (-3/1) = -3

ए" 21 \u003d ए 21 + के × ए 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0

ए" 22 \u003d ए 22 + के × ए 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

बी "2 \u003d बी 2 + के × बी 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24

तीसरी पंक्ति: के = (-ए 3 1 /ए 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

बी "3 \u003d बी 3 + के × बी 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57

अब, भ्रमित न होने के लिए, परिवर्तनों के मध्यवर्ती परिणामों के साथ मैट्रिक्स को लिखना आवश्यक है।

यह स्पष्ट है कि इस तरह के मैट्रिक्स को कुछ ऑपरेशनों की मदद से धारणा के लिए और अधिक सुविधाजनक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप प्रत्येक तत्व को "-1" से गुणा करके दूसरी पंक्ति से सभी "माइनस" को हटा सकते हैं।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि तीसरी पंक्ति में सभी तत्व तीन के गुणज हैं। फिर आप इस संख्या से स्ट्रिंग को कम कर सकते हैं, प्रत्येक तत्व को "-1/3" से गुणा कर सकते हैं (ऋणात्मक मानों को हटाने के लिए एक ही समय में ऋणात्मक)।

ज्यादा अच्छा लग रहा है। अब हमें पहली पंक्ति को अकेला छोड़कर दूसरी और तीसरी के साथ काम करने की आवश्यकता है। कार्य दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ना है, इस तरह के गुणांक से गुणा किया जाता है कि तत्व 32 शून्य के बराबर हो जाता है।

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 अंश, और उसके बाद ही, जब उत्तर प्राप्त हो जाते हैं, तो तय करें कि क्या गोल करना है और किसी अन्य प्रकार के अंकन में अनुवाद करना है)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

ए" 33 \u003d ए 33 + के × ए 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

बी "3 \u003d बी 3 + के × बी 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7

मैट्रिक्स को फिर से नए मूल्यों के साथ लिखा गया है।

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी मैट्रिक्स में पहले से ही एक चरणबद्ध रूप है। इसलिए, गॉस विधि द्वारा प्रणाली के और परिवर्तनों की आवश्यकता नहीं है। तीसरी पंक्ति से समग्र गुणांक "-1/7" को हटाने के लिए यहां क्या किया जा सकता है।

अब सब कुछ सुंदर है। बिंदु छोटा है - समीकरणों की प्रणाली के रूप में मैट्रिक्स को फिर से लिखें और जड़ों की गणना करें

एक्स + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

जिस एल्गोरिथम से जड़ें अब मिल जाएंगी, उसे गॉस विधि में रिवर्स मूव कहा जाता है। समीकरण (3) में z का मान है:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

और पहला समीकरण आपको x खोजने की अनुमति देता है:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

हमें इस तरह की प्रणाली को संयुक्त कहने का अधिकार है, और यहां तक ​​​​कि निश्चित, यानी एक अनूठा समाधान होना। प्रतिक्रिया निम्नलिखित रूप में लिखी गई है:

x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9।

अनिश्चित प्रणाली का एक उदाहरण

गॉस विधि द्वारा एक निश्चित प्रणाली को हल करने के प्रकार का विश्लेषण किया गया है, अब मामले पर विचार करना आवश्यक है यदि प्रणाली अनिश्चित है, अर्थात इसके लिए असीम रूप से कई समाधान मिल सकते हैं।

एक्स 1 + एक्स 2 + एक्स 3 + एक्स 4 + एक्स 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

सिस्टम का बहुत ही रूप पहले से ही खतरनाक है, क्योंकि अज्ञात की संख्या n = 5 है, और सिस्टम के मैट्रिक्स का रैंक पहले से ही इस संख्या से बिल्कुल कम है, क्योंकि पंक्तियों की संख्या m = 4 है, अर्थात, वर्ग सारणिक का सबसे बड़ा क्रम 4 है। इसका मतलब है कि अनंत संख्या में समाधान हैं, और इसके सामान्य रूप को देखना आवश्यक है। रैखिक समीकरणों के लिए गॉस विधि ऐसा करना संभव बनाती है।

सबसे पहले, हमेशा की तरह, संवर्धित मैट्रिक्स संकलित किया जाता है।

दूसरी पंक्ति: गुणांक k = (-a 21 / a 11) = -3। तीसरी पंक्ति में, पहला तत्व परिवर्तनों से पहले है, इसलिए आपको कुछ भी छूने की आवश्यकता नहीं है, आपको इसे वैसे ही छोड़ने की आवश्यकता है। चौथी पंक्ति: के = (-ए 4 1 /ए 11) = -5

पहली पंक्ति के तत्वों को उनके प्रत्येक गुणांक से गुणा करना और उन्हें वांछित पंक्तियों में जोड़ना, हम निम्नलिखित रूप का एक मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में ऐसे तत्व होते हैं जो एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। दूसरे और चौथे आम तौर पर समान होते हैं, इसलिए उनमें से एक को तुरंत हटाया जा सकता है, और बाकी को गुणांक "-1" से गुणा किया जाता है और लाइन नंबर 3 प्राप्त होता है। और फिर, दो समान लाइनों में से एक को छोड़ दें।

यह ऐसा मैट्रिक्स निकला। सिस्टम को अभी तक नहीं लिखा गया है, यहां बुनियादी चर निर्धारित करना आवश्यक है - गुणांक पर खड़े एक 11 \u003d 1 और एक 22 \u003d 1, और मुक्त - बाकी सभी।

दूसरे समीकरण में केवल एक मूल चर है - x 2 । इसलिए, इसे वहां से x 3 , x 4 , x 5 चरों के माध्यम से लिखकर व्यक्त किया जा सकता है, जो स्वतंत्र हैं।

हम परिणामी व्यंजक को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

यह एक ऐसा समीकरण निकला जिसमें एकमात्र मूल चर x 1 है। आइए इसके साथ वैसा ही करें जैसा x 2 के साथ करते हैं।

सभी बुनियादी चर, जिनमें से दो हैं, तीन मुक्त के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, अब आप सामान्य रूप में उत्तर लिख सकते हैं।

आप सिस्टम के किसी विशेष समाधान को भी निर्दिष्ट कर सकते हैं। ऐसे मामलों के लिए, एक नियम के रूप में, शून्य को मुक्त चर के लिए मान के रूप में चुना जाता है। तो उत्तर होगा:

16, 23, 0, 0, 0.

असंगत प्रणाली का एक उदाहरण

गॉस विधि द्वारा असंगत समीकरण प्रणालियों का समाधान सबसे तेज़ है। यह समाप्त हो जाता है जैसे ही किसी एक चरण में एक समीकरण प्राप्त होता है जिसका कोई हल नहीं होता है। यानी जड़ों की गणना वाली अवस्था, जो काफी लंबी और सुनसान होती है, गायब हो जाती है। निम्नलिखित प्रणाली पर विचार किया जाता है:

एक्स + वाई - जेड = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

हमेशा की तरह, मैट्रिक्स संकलित है:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

और इसे एक चरणबद्ध रूप में घटाया गया है:

के 1 \u003d -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

पहले परिवर्तन के बाद, तीसरी पंक्ति में फॉर्म का समीकरण होता है

कोई समाधान नहीं होना। इसलिए, सिस्टम असंगत है, और उत्तर खाली सेट है।

विधि के फायदे और नुकसान

यदि आप पेन से SLAE को पेपर पर हल करने के लिए कौन सी विधि चुनते हैं, तो इस लेख में जिस विधि पर विचार किया गया था, वह सबसे आकर्षक लगती है। प्राथमिक परिवर्तनों में, यदि आप मैन्युअल रूप से निर्धारक या कुछ मुश्किल उलटा मैट्रिक्स की तलाश करना चाहते हैं, तो ऐसा होने से भ्रमित होना अधिक कठिन होता है। हालाँकि, यदि आप इस प्रकार के डेटा के साथ काम करने के लिए कार्यक्रमों का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, स्प्रेडशीट, तो यह पता चलता है कि ऐसे कार्यक्रमों में पहले से ही मैट्रिक्स के मुख्य मापदंडों की गणना के लिए एल्गोरिदम शामिल हैं - निर्धारक, नाबालिग, उलटा, और इसी तरह। और यदि आप सुनिश्चित हैं कि मशीन इन मूल्यों की गणना स्वयं करेगी और कोई गलती नहीं करेगी, तो मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करना अधिक समीचीन है, क्योंकि उनका आवेदन निर्धारकों और व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के साथ शुरू और समाप्त होता है।

आवेदन पत्र

चूंकि गाऊसी समाधान एक एल्गोरिथ्म है, और मैट्रिक्स, वास्तव में, एक द्वि-आयामी सरणी है, इसका उपयोग प्रोग्रामिंग में किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लेख खुद को "डमी के लिए" एक गाइड के रूप में स्थान देता है, इसलिए यह कहा जाना चाहिए कि विधि को आगे बढ़ाने का सबसे आसान स्थान स्प्रेडशीट है, उदाहरण के लिए, एक्सेल। फिर से, मैट्रिक्स के रूप में तालिका में दर्ज किया गया कोई भी SLAE एक्सेल द्वारा द्वि-आयामी सरणी के रूप में माना जाएगा। और उनके साथ संचालन के लिए, कई अच्छे आदेश हैं: जोड़ (आप केवल एक ही आकार के मैट्रिस जोड़ सकते हैं!), एक संख्या से गुणा, मैट्रिक्स गुणा (कुछ प्रतिबंधों के साथ भी), उलटा और ट्रांसपोज़्ड मैट्रिस ढूंढना और, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि , निर्धारक की गणना। यदि इस समय लेने वाले कार्य को एकल कमांड द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो मैट्रिक्स के रैंक को निर्धारित करना बहुत तेज़ होता है और इसलिए, इसकी संगतता या असंगति स्थापित करने के लिए।

16वीं-18वीं शताब्दी की शुरुआत से ही गणितज्ञों ने कार्यों का गहन अध्ययन करना शुरू किया, जिसकी बदौलत हमारे जीवन में बहुत कुछ बदल गया है। इस ज्ञान के बिना कंप्यूटर तकनीक का अस्तित्व ही नहीं होगा। जटिल समस्याओं, रैखिक समीकरणों और कार्यों को हल करने के लिए, विभिन्न अवधारणाओं, प्रमेयों और समाधान तकनीकों का निर्माण किया गया है। रैखिक समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने के लिए ऐसी सार्वभौमिक और तर्कसंगत विधियों और तकनीकों में से एक गॉस विधि थी। मैट्रिक्स, उनकी रैंक, निर्धारक - जटिल संचालन का उपयोग किए बिना सब कुछ की गणना की जा सकती है।

SLAU क्या है?

गणित में, SLAE की अवधारणा है - रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली। वह क्या प्रतिनिधित्व करती है? यह आवश्यक n अज्ञात के साथ m समीकरणों का एक सेट है, जिसे आमतौर पर x, y, z, या x 1, x 2 ... x n, या अन्य प्रतीकों के रूप में दर्शाया जाता है। गाऊसी पद्धति से इस प्रणाली को हल करने का अर्थ है सभी अज्ञात अज्ञातों को खोजना। यदि किसी निकाय में समान संख्या में अज्ञात और समीकरण हैं, तो इसे n-वें क्रम प्रणाली कहा जाता है।

SLAE को हल करने के सबसे लोकप्रिय तरीके

माध्यमिक शिक्षा के शिक्षण संस्थानों में, ऐसी प्रणालियों को हल करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन किया जा रहा है। अक्सर, ये दो अज्ञात से मिलकर सरल समीकरण होते हैं, इसलिए इनका उत्तर खोजने के लिए किसी भी मौजूदा विधि में अधिक समय नहीं लगेगा। यह एक प्रतिस्थापन विधि की तरह हो सकता है, जब एक अन्य समीकरण एक समीकरण से प्राप्त किया जाता है और मूल एक में प्रतिस्थापित किया जाता है। या टर्म बाय टर्म घटाव और जोड़। लेकिन गॉस विधि को सबसे आसान और सबसे सार्वभौमिक माना जाता है। यह किसी भी अज्ञात संख्या के साथ समीकरणों को हल करना संभव बनाता है। इस तकनीक को तर्कसंगत क्यों माना जाता है? सब कुछ सरल है। मैट्रिक्स विधि अच्छी है क्योंकि इसे अज्ञात के रूप में अनावश्यक वर्णों को फिर से लिखने के लिए कई बार आवश्यकता नहीं होती है, यह गुणांक पर अंकगणितीय संचालन करने के लिए पर्याप्त है - और आपको एक विश्वसनीय परिणाम मिलेगा।

व्यवहार में SLAE का उपयोग कहाँ किया जाता है?

SLAE का समाधान कार्यों के ग्राफ़ पर रेखाओं के प्रतिच्छेदन के बिंदु हैं। हमारे हाई-टेक कंप्यूटर युग में, जो लोग गेम और अन्य कार्यक्रमों के विकास में निकटता से शामिल हैं, उन्हें यह जानने की जरूरत है कि ऐसी प्रणालियों को कैसे हल किया जाए, वे क्या प्रतिनिधित्व करते हैं और परिणामी परिणाम की शुद्धता की जांच कैसे करें। अक्सर, प्रोग्रामर विशेष रैखिक बीजगणित कैलकुलेटर विकसित करते हैं, इसमें रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली शामिल होती है। गॉस विधि आपको सभी मौजूदा समाधानों की गणना करने की अनुमति देती है। अन्य सरलीकृत सूत्रों और तकनीकों का भी उपयोग किया जाता है।

SLAE संगतता मानदंड

ऐसी व्यवस्था तभी हल हो सकती है जब यह संगत हो। स्पष्टता के लिए, हम SLAE को Ax=b रूप में प्रस्तुत करते हैं। इसका एक हल है यदि rang(A) बराबर rang(A,b) है। इस मामले में, (ए, बी) एक विस्तारित रूप मैट्रिक्स है जिसे मैट्रिक्स ए से मुक्त शर्तों के साथ फिर से लिखकर प्राप्त किया जा सकता है। यह पता चला है कि गाऊसी पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों को हल करना काफी आसान है।

शायद कुछ अंकन पूरी तरह से स्पष्ट नहीं हैं, इसलिए हर चीज पर एक उदाहरण के साथ विचार करना आवश्यक है। मान लें कि एक प्रणाली है: x+y=1; 2x-3y=6. इसमें केवल दो समीकरण होते हैं जिनमें 2 अज्ञात होते हैं। सिस्टम का समाधान तभी होगा जब उसके मैट्रिक्स की रैंक संवर्धित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर हो। एक रैंक क्या है? यह प्रणाली की स्वतंत्र रेखाओं की संख्या है। हमारे मामले में, मैट्रिक्स की रैंक 2 है। मैट्रिक्स ए में अज्ञात के पास स्थित गुणांक शामिल होंगे, और "=" चिह्न के पीछे गुणांक भी विस्तारित मैट्रिक्स में फिट होंगे।

SLAE को मैट्रिक्स रूप में क्यों दर्शाया जा सकता है

सिद्ध क्रोनकर-कैपेली प्रमेय के अनुसार संगतता मानदंड के आधार पर, रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में दर्शाया जा सकता है। गॉसियन कैस्केड विधि का उपयोग करके, आप मैट्रिक्स को हल कर सकते हैं और पूरे सिस्टम के लिए एकमात्र विश्वसनीय उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। यदि एक साधारण मैट्रिक्स की रैंक उसके विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक के बराबर है, लेकिन अज्ञात की संख्या से कम है, तो सिस्टम के पास अनंत संख्या में उत्तर हैं।

मैट्रिक्स परिवर्तन

मैट्रिसेस को हल करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, यह जानना आवश्यक है कि उनके तत्वों पर क्या क्रियाएं की जा सकती हैं। कई प्राथमिक परिवर्तन हैं:

• सिस्टम को एक मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखकर और इसके समाधान को अंजाम देकर, श्रृंखला के सभी तत्वों को एक ही गुणांक से गुणा करना संभव है।
• एक मैट्रिक्स को विहित रूप में बदलने के लिए, दो समानांतर पंक्तियों की अदला-बदली की जा सकती है। विहित रूप का तात्पर्य है कि मुख्य विकर्ण के साथ स्थित मैट्रिक्स के सभी तत्व एक हो जाते हैं, और शेष शून्य हो जाते हैं।
• मैट्रिक्स की समानांतर पंक्तियों के संगत तत्वों को एक दूसरे में जोड़ा जा सकता है।

जॉर्डन-गॉस विधि

गॉस विधि द्वारा रैखिक सजातीय और अमानवीय समीकरणों को हल करने वाली प्रणालियों का सार धीरे-धीरे अज्ञात को समाप्त करना है। मान लीजिए कि हमारे पास दो समीकरणों की एक प्रणाली है जिसमें दो अज्ञात हैं। उन्हें खोजने के लिए, आपको संगतता के लिए सिस्टम की जांच करने की आवश्यकता है। गाऊसी समीकरण को बहुत ही सरलता से हल किया जाता है। प्रत्येक अज्ञात के निकट स्थित गुणांकों को मैट्रिक्स रूप में लिखना आवश्यक है। सिस्टम को हल करने के लिए, आपको संवर्धित मैट्रिक्स को लिखना होगा। यदि किसी एक समीकरण में कम संख्या में अज्ञात हैं, तो लापता तत्व के स्थान पर "0" अवश्य रखा जाना चाहिए। सभी ज्ञात परिवर्तन विधियों को मैट्रिक्स पर लागू किया जाता है: गुणा, एक संख्या से विभाजन, पंक्तियों के संबंधित तत्वों को एक दूसरे से जोड़ना, और अन्य। यह पता चला है कि प्रत्येक पंक्ति में एक चर को "1" मान के साथ छोड़ना आवश्यक है, बाकी को शून्य तक कम किया जाना चाहिए। अधिक सटीक समझ के लिए, उदाहरणों के साथ गॉस पद्धति पर विचार करना आवश्यक है।

2x2 प्रणाली को हल करने का एक सरल उदाहरण

आरंभ करने के लिए, आइए बीजीय समीकरणों की एक सरल प्रणाली लें, जिसमें 2 अज्ञात होंगे।

आइए इसे एक संवर्धित मैट्रिक्स में फिर से लिखें।

रैखिक समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए, केवल दो संक्रियाओं की आवश्यकता होती है। हमें मैट्रिक्स को विहित रूप में लाने की आवश्यकता है ताकि मुख्य विकर्ण के साथ इकाइयाँ हों। इसलिए, मैट्रिक्स फॉर्म से सिस्टम में वापस अनुवाद करने पर, हमें समीकरण मिलते हैं: 1x+0y=b1 और 0x+1y=b2, जहां b1 और b2 हल करने की प्रक्रिया में प्राप्त उत्तर हैं।

1. संवर्धित मैट्रिक्स को हल करने में पहला कदम इस प्रकार होगा: पहली पंक्ति को -7 से गुणा किया जाना चाहिए और दूसरे समीकरण में एक अज्ञात से छुटकारा पाने के लिए संबंधित तत्वों को क्रमशः दूसरी पंक्ति में जोड़ा जाना चाहिए।
2. चूंकि गॉस विधि द्वारा समीकरणों के समाधान का तात्पर्य मैट्रिक्स को विहित रूप में लाना है, इसलिए पहले समीकरण के साथ समान संचालन करना और दूसरे चर को हटाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम पहली पंक्ति से दूसरी पंक्ति घटाते हैं और आवश्यक उत्तर प्राप्त करते हैं - SLAE का समाधान। या, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, हम दूसरी पंक्ति को -1 के कारक से गुणा करते हैं और दूसरी पंक्ति के तत्वों को पहली पंक्ति में जोड़ते हैं। यह बिल्कुल वैसा है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारी प्रणाली जॉर्डन-गॉस विधि द्वारा हल की जाती है। हम इसे आवश्यक रूप में फिर से लिखते हैं: x=-5, y=7.

SLAE 3x3 . को हल करने का एक उदाहरण

मान लीजिए कि हमारे पास रैखिक समीकरणों की एक अधिक जटिल प्रणाली है। गॉस विधि सबसे भ्रामक प्रणाली के लिए भी उत्तर की गणना करना संभव बनाती है। इसलिए, गणना पद्धति में गहराई से जाने के लिए, हम तीन अज्ञात के साथ एक अधिक जटिल उदाहरण पर आगे बढ़ सकते हैं।

पिछले उदाहरण की तरह, हम सिस्टम को एक विस्तारित मैट्रिक्स के रूप में फिर से लिखते हैं और इसे विहित रूप में लाना शुरू करते हैं।

इस प्रणाली को हल करने के लिए, आपको पिछले उदाहरण की तुलना में बहुत अधिक क्रियाएं करने की आवश्यकता होगी।

1. पहले आपको पहले कॉलम में एक एकल तत्व और बाकी शून्य बनाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, पहले समीकरण को -1 से गुणा करें और इसमें दूसरा समीकरण जोड़ें। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि हम पहली पंक्ति को उसके मूल रूप में फिर से लिखते हैं, और दूसरी - पहले से ही संशोधित रूप में।
2. इसके बाद, हम तीसरे समीकरण से उसी पहले अज्ञात को हटा देते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पहली पंक्ति के तत्वों को -2 से गुणा करते हैं और उन्हें तीसरी पंक्ति में जोड़ते हैं। अब पहली और दूसरी पंक्तियों को उनके मूल रूप में फिर से लिखा गया है, और तीसरी - पहले से ही परिवर्तनों के साथ। जैसा कि आप परिणाम से देख सकते हैं, हमें मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण की शुरुआत में पहला मिला और बाकी शून्य हैं। कुछ और क्रियाएं, और गॉस विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली को मज़बूती से हल किया जाएगा।
3. अब आपको पंक्तियों के अन्य तत्वों पर संचालन करने की आवश्यकता है। तीसरे और चौथे चरण को एक में जोड़ा जा सकता है। विकर्ण पर नकारात्मक लोगों से छुटकारा पाने के लिए हमें दूसरी और तीसरी पंक्तियों को -1 से विभाजित करने की आवश्यकता है। हम तीसरी पंक्ति को आवश्यक रूप में पहले ही ला चुके हैं।
4. इसके बाद, हम दूसरी पंक्ति को विहित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम तीसरी पंक्ति के तत्वों को -3 से गुणा करते हैं और उन्हें मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति में जोड़ते हैं। परिणाम से यह देखा जा सकता है कि दूसरी पंक्ति भी हमारे द्वारा आवश्यक रूप में कम हो जाती है। यह कुछ और ऑपरेशन करने और अज्ञात के गुणांक को पहली पंक्ति से हटाने के लिए बनी हुई है।
5. पंक्ति के दूसरे तत्व से 0 बनाने के लिए, आपको तीसरी पंक्ति को -3 से गुणा करना होगा और इसे पहली पंक्ति में जोड़ना होगा।
6. अगला निर्णायक कदम दूसरी पंक्ति के आवश्यक तत्वों को पहली पंक्ति में जोड़ना है। तो हमें मैट्रिक्स का विहित रूप मिलता है, और, तदनुसार, उत्तर।

जैसा कि आप देख सकते हैं, गॉस विधि द्वारा समीकरणों का समाधान काफी सरल है।

समीकरणों की 4x4 प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण

गॉस विधि द्वारा कंप्यूटर प्रोग्रामों का उपयोग करके समीकरणों की कुछ और जटिल प्रणालियों को हल किया जा सकता है। अज्ञात के लिए मौजूदा खाली कोशिकाओं में गुणांक चलाना आवश्यक है, और कार्यक्रम प्रत्येक क्रिया का विस्तार से वर्णन करते हुए आवश्यक परिणाम की गणना चरण दर चरण करेगा।

ऐसे उदाहरण को हल करने के लिए चरण-दर-चरण निर्देश नीचे वर्णित हैं।

पहले चरण में, अज्ञात के लिए मुक्त गुणांक और संख्याएं खाली कक्षों में दर्ज की जाती हैं। इस प्रकार, हमें वही संवर्धित मैट्रिक्स मिलता है जिसे हम हाथ से लिखते हैं।

और विस्तारित मैट्रिक्स को विहित रूप में लाने के लिए सभी आवश्यक अंकगणितीय संचालन किए जाते हैं। यह समझा जाना चाहिए कि समीकरणों की प्रणाली का उत्तर हमेशा पूर्णांक नहीं होता है। कभी-कभी समाधान भिन्नात्मक संख्याओं से हो सकता है।

समाधान की शुद्धता की जाँच

जॉर्डन-गॉस विधि परिणाम की शुद्धता की जाँच के लिए प्रदान करती है। यह पता लगाने के लिए कि क्या गुणांकों की सही गणना की गई है, आपको परिणाम को समीकरणों की मूल प्रणाली में बदलने की आवश्यकता है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाईं ओर से मेल खाना चाहिए, जो बराबर चिह्न के पीछे है। यदि उत्तर मेल नहीं खाते हैं, तो आपको सिस्टम की पुनर्गणना करने की आवश्यकता है या आपको ज्ञात SLAE को हल करने की एक अन्य विधि को लागू करने का प्रयास करने की आवश्यकता है, जैसे प्रतिस्थापन या शब्द-दर-अवधि घटाव और जोड़। आखिरकार, गणित एक ऐसा विज्ञान है जिसमें हल करने के विभिन्न तरीकों की एक बड़ी संख्या है। लेकिन याद रखें: परिणाम हमेशा एक जैसा होना चाहिए, चाहे आपने किसी भी समाधान पद्धति का उपयोग किया हो।

गॉस विधि: SLAE को हल करने में सबसे आम त्रुटियां

समीकरणों की रैखिक प्रणालियों के समाधान के दौरान, त्रुटियाँ सबसे अधिक बार होती हैं, जैसे कि गुणांकों का मैट्रिक्स रूप में गलत स्थानांतरण। ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनमें कुछ अज्ञात समीकरणों में से एक में गायब हैं, फिर, डेटा को विस्तारित मैट्रिक्स में स्थानांतरित करना, वे खो सकते हैं। नतीजतन, इस प्रणाली को हल करते समय, परिणाम वास्तविक के अनुरूप नहीं हो सकता है।

मुख्य गलतियों में से एक अंतिम परिणाम को गलत तरीके से लिखना हो सकता है। यह स्पष्ट रूप से समझा जाना चाहिए कि पहला गुणांक सिस्टम से पहले अज्ञात के अनुरूप होगा, दूसरा - दूसरे से, और इसी तरह।

गॉस विधि रैखिक समीकरणों के समाधान का विस्तार से वर्णन करती है। उसके लिए धन्यवाद, आवश्यक संचालन करना और सही परिणाम प्राप्त करना आसान है। इसके अलावा, यह किसी भी जटिलता के समीकरणों का विश्वसनीय उत्तर खोजने के लिए एक सार्वभौमिक उपकरण है। शायद इसीलिए SLAE को हल करने में इसका उपयोग अक्सर किया जाता है।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए, जिसे हल किया जाना चाहिए (अज्ञात i के ऐसे मान खोजें जो सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को एक समानता में बदल दें)।

हम जानते हैं कि रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली यह कर सकती है:

1) कोई समाधान नहीं है (be .) असंगत).
2) असीम रूप से कई समाधान हैं।
3) एक अनूठा समाधान है।

जैसा कि हमें याद है, क्रैमर का नियम और मैट्रिक्स विधि उन मामलों में अनुपयुक्त हैं जहां सिस्टम के पास असीम रूप से कई समाधान हैं या असंगत हैं। गॉस विधि – रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली के समाधान खोजने के लिए सबसे शक्तिशाली और बहुमुखी उपकरण, कौन सा प्रत्येक स्थिति मेंहमें उत्तर की ओर ले चलो! तीनों मामलों में विधि का एल्गोरिथ्म एक ही तरह से काम करता है। यदि क्रैमर और मैट्रिक्स विधियों के लिए निर्धारकों के ज्ञान की आवश्यकता होती है, तो गॉस पद्धति के अनुप्रयोग के लिए केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के ज्ञान की आवश्यकता होती है, जो इसे प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए भी सुलभ बनाता है।

विस्तारित मैट्रिक्स परिवर्तन ( यह सिस्टम का मैट्रिक्स है - एक मैट्रिक्स जो केवल अज्ञात के गुणांक से बना है, साथ ही मुक्त शर्तों का एक कॉलम)गॉस विधि में रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणाली:

1) साथ ट्रोकीमैट्रिक्स कर सकते हैं को पुनर्व्यवस्थितस्थान।

2) यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (एक विशेष मामले के रूप में, समान) पंक्तियाँ हैं (या हैं), तो यह इस प्रकार है मिटानामैट्रिक्स से, एक को छोड़कर ये सभी पंक्तियाँ।

3) यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में एक शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो यह भी इस प्रकार है मिटाना.

4) मैट्रिक्स की पंक्ति कर सकते हैं गुणा (विभाजित)शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या के लिए।

5) मैट्रिक्स की पंक्ति में, आप कर सकते हैं एक संख्या से गुणा एक और स्ट्रिंग जोड़ें, शून्य से भिन्न।

गॉस विधि में, प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं।

गॉस विधि में दो चरण होते हैं:

1. "प्रत्यक्ष चाल" - प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स को "त्रिकोणीय" चरणबद्ध रूप में लाएं: मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित विस्तारित मैट्रिक्स के तत्व शून्य के बराबर हैं (ऊपर-नीचे की चाल) ) उदाहरण के लिए, इस प्रकार के लिए:

ऐसा करने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें:

1) आइए हम रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली के पहले समीकरण पर विचार करें और x 1 पर गुणांक K के बराबर है। दूसरा, तीसरा, आदि। हम समीकरणों को इस प्रकार रूपांतरित करते हैं: हम प्रत्येक समीकरण (अज्ञात के लिए गुणांक, मुक्त पदों सहित) को अज्ञात x 1 के गुणांक से विभाजित करते हैं, जो प्रत्येक समीकरण में होता है, और K से गुणा करते हैं। उसके बाद, दूसरे समीकरण से पहले को घटाएं ( अज्ञात और मुक्त शर्तों के लिए गुणांक)। हम दूसरे समीकरण में x 1 पर गुणांक 0 प्राप्त करते हैं। तीसरे रूपांतरित समीकरण से हम पहले समीकरण को घटाते हैं, इसलिए जब तक कि पहले को छोड़कर, अज्ञात x 1 वाले सभी समीकरणों में गुणांक 0 नहीं होगा।

2) अगले समीकरण पर जाएं। मान लें कि यह दूसरा समीकरण है और x 2 पर गुणांक M के बराबर है। सभी "अधीनस्थ" समीकरणों के साथ, हम ऊपर वर्णित अनुसार आगे बढ़ते हैं। इस प्रकार, सभी समीकरणों में "अंडर" अज्ञात x 2 शून्य होगा।

3) हम अगले समीकरण और इसी तरह आगे बढ़ते हैं जब तक कि एक अंतिम अज्ञात और रूपांतरित मुक्त शब्द नहीं रहता।

1. गॉस विधि का "रिवर्स मूव" रैखिक बीजीय समीकरणों ("नीचे-ऊपर" चाल) की एक प्रणाली का समाधान प्राप्त करना है। अंतिम "निचले" समीकरण से हमें एक पहला समाधान मिलता है - अज्ञात x n। ऐसा करने के लिए, हम प्राथमिक समीकरण A * x n \u003d B को हल करते हैं। ऊपर के उदाहरण में, x 3 \u003d 4. हम पाए गए मान को "ऊपरी" अगले समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और इसे अगले अज्ञात के संबंध में हल करते हैं। उदाहरण के लिए, x 2 - 4 \u003d 1, अर्थात्। x 2 \u003d 5. और इसी तरह जब तक हम सभी अज्ञात नहीं पाते।

उदाहरण।

जैसा कि कुछ लेखक सलाह देते हैं, हम गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं:

हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते हैं और प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके इसे एक चरण रूप में लाते हैं:

हम ऊपरी बाएँ "चरण" को देखते हैं। वहां हमारी एक इकाई होनी चाहिए। समस्या यह है कि पहले कॉलम में कोई भी नहीं है, इसलिए पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके कुछ भी हल नहीं किया जा सकता है। ऐसे मामलों में, इकाई को प्राथमिक परिवर्तन का उपयोग करके व्यवस्थित किया जाना चाहिए। यह आमतौर पर कई तरीकों से किया जा सकता है। आइए इसे इस तरह करें:
1 कदम . पहली पंक्ति में हम दूसरी पंक्ति जोड़ते हैं, जिसे -1 से गुणा किया जाता है। यही है, हमने मानसिक रूप से दूसरी पंक्ति को -1 से गुणा किया और पहली और दूसरी पंक्तियों को जोड़ने का प्रदर्शन किया, जबकि दूसरी पंक्ति नहीं बदली।

अब ऊपर बाईं ओर "माइनस वन" है, जो हमें पूरी तरह से सूट करता है। जो कोई भी +1 प्राप्त करना चाहता है वह एक अतिरिक्त क्रिया कर सकता है: पहली पंक्ति को -1 से गुणा करें (इसका चिन्ह बदलें)।

2 कदम . पहली पंक्ति को 5 से गुणा करके दूसरी पंक्ति में जोड़ा गया। पहली पंक्ति को 3 से गुणा करके तीसरी पंक्ति में जोड़ा गया।

3 कदम . पहली पंक्ति को -1 से गुणा किया गया था, सिद्धांत रूप में, यह सुंदरता के लिए है। तीसरी पंक्ति का चिन्ह भी बदल दिया गया और दूसरे स्थान पर चला गया, इस प्रकार, दूसरे "कदम पर, हमारे पास वांछित इकाई थी।

4 कदम . तीसरी पंक्ति में, दूसरी पंक्ति को 2 से गुणा करके जोड़ें।

5 कदम . तीसरी पंक्ति को 3 से विभाजित किया गया है।

एक संकेत जो गणना में त्रुटि को इंगित करता है (कम अक्सर एक टाइपो) एक "खराब" निचला रेखा है। यानी, अगर हमें नीचे (0 0 11 | 23) जैसा कुछ मिला, और, तदनुसार, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, तो उच्च संभावना के साथ हम कह सकते हैं कि प्राथमिक के दौरान एक गलती की गई थी परिवर्तन।

हम एक रिवर्स चाल करते हैं, उदाहरणों के डिजाइन में, सिस्टम को अक्सर फिर से नहीं लिखा जाता है, और समीकरण "दिए गए मैट्रिक्स से सीधे लिए जाते हैं"। रिवर्स मूव, मैं आपको याद दिलाता हूं, "नीचे से ऊपर तक" काम करता है। इस उदाहरण में, उपहार निकला:

एक्स 3 = 1
एक्स 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, इसलिए x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1

जवाब:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

आइए प्रस्तावित एल्गोरिदम का उपयोग करके उसी प्रणाली को हल करें। हम पाते हैं

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

दूसरे समीकरण को 5 से और तीसरे को 3 से भाग दें।

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

दूसरे और तीसरे समीकरण को 4 से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे समीकरण से घटाएं, हमारे पास है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

तीसरे समीकरण को 0.64 से विभाजित करें:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

तीसरे समीकरण को 0.4 . से गुणा करें

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

तीसरे समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाएं, हमें "चरणबद्ध" संवर्धित मैट्रिक्स मिलता है:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

इस प्रकार, गणना की प्रक्रिया में जमा हुई त्रुटि के बाद से, हमें x 3 \u003d 0.96, या लगभग 1 मिलता है।

x 2 \u003d 3 और x 1 \u003d -1।

इस तरह से हल करने से आप गणना में कभी भी भ्रमित नहीं होंगे और गणना त्रुटियों के बावजूद आपको परिणाम मिलेगा।

रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने की यह विधि आसानी से प्रोग्राम करने योग्य है और अज्ञात के लिए गुणांक की विशिष्ट विशेषताओं को ध्यान में नहीं रखती है, क्योंकि व्यवहार में (आर्थिक और तकनीकी गणना में) किसी को गैर-पूर्णांक गुणांक से निपटना पड़ता है।

आप शुभकामनाएँ! कक्षा में मिलेंगे! ट्यूटर दिमित्री एस्ट्राखानोव।

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।

रैखिक समीकरणों के दो निकाय समतुल्य कहलाते हैं यदि उनके सभी हलों का समुच्चय समान हो।

समीकरणों की प्रणाली के प्राथमिक परिवर्तन हैं:

1. तुच्छ समीकरणों की प्रणाली से हटाना, अर्थात्। जिनके लिए सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं;
2. किसी भी समीकरण को गैर-शून्य संख्या से गुणा करना;
3. किसी भी j-वें समीकरण के किसी भी i -th समीकरण का जोड़, किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है।

चर x i को मुक्त कहा जाता है यदि इस चर की अनुमति नहीं है, और समीकरणों की पूरी प्रणाली की अनुमति है।

प्रमेय। प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली को एक समकक्ष में बदल देते हैं।

गॉस पद्धति का अर्थ समीकरणों की मूल प्रणाली को बदलना और एक समान अनुमत या समकक्ष असंगत प्रणाली प्राप्त करना है।

तो, गॉस विधि में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1. पहले समीकरण पर विचार करें। हम पहला गैर-शून्य गुणांक चुनते हैं और इससे पूरे समीकरण को विभाजित करते हैं। हम एक समीकरण प्राप्त करते हैं जिसमें कुछ चर x 1 के गुणांक के साथ प्रवेश करता है;
2. आइए हम इस समीकरण को अन्य सभी से घटाएं, इसे संख्याओं से गुणा करें ताकि शेष समीकरणों में चर x i के गुणांक शून्य पर सेट हो जाएं। हमें एक प्रणाली मिलती है जो चर x i के संबंध में हल हो जाती है और मूल के बराबर होती है;
3. यदि तुच्छ समीकरण उत्पन्न होते हैं (शायद ही कभी, लेकिन ऐसा होता है; उदाहरण के लिए, 0 = 0), तो हम उन्हें सिस्टम से हटा देते हैं। नतीजतन, समीकरण एक कम हो जाते हैं;
4. हम पिछले चरणों को n बार से अधिक नहीं दोहराते हैं, जहां n सिस्टम में समीकरणों की संख्या है। हर बार हम "प्रसंस्करण" के लिए एक नया चर चुनते हैं। यदि परस्पर विरोधी समीकरण उत्पन्न होते हैं (उदाहरण के लिए, 0 = 8), तो सिस्टम असंगत है।

नतीजतन, कुछ चरणों के बाद हम या तो एक अनुमत प्रणाली (संभवतः मुक्त चर के साथ) या एक असंगत एक प्राप्त करते हैं। अनुमत सिस्टम दो मामलों में आते हैं:

1. चरों की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर होती है। तो प्रणाली परिभाषित है;
2. चरों की संख्या समीकरणों की संख्या से अधिक होती है। हम दाईं ओर सभी मुक्त चर एकत्र करते हैं - हमें अनुमत चर के लिए सूत्र मिलते हैं। ये सूत्र उत्तर में लिखे गए हैं।

बस इतना ही! रैखिक समीकरणों की प्रणाली हल हो गई है! यह काफी सरल एल्गोरिथम है, और इसमें महारत हासिल करने के लिए, आपको गणित के किसी ट्यूटर से संपर्क करने की आवश्यकता नहीं है। एक उदाहरण पर विचार करें:

काम। समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

चरणों का विवरण:

1. हम पहले समीकरण को दूसरे और तीसरे से घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. हम दूसरे समीकरण को (−1) से गुणा करते हैं, और तीसरे समीकरण को (−3) से विभाजित करते हैं - हमें दो समीकरण मिलते हैं जिसमें चर x 2 1 के गुणांक के साथ प्रवेश करता है;
3. हम दूसरे समीकरण को पहले में जोड़ते हैं, और तीसरे से घटाते हैं। आइए अनुमत चर x 2 प्राप्त करें;
4. अंत में, हम तीसरे समीकरण को पहले से घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 3 मिलता है;
5. हमें एक अधिकृत प्रणाली मिली है, हम उत्तर लिखते हैं।

रैखिक समीकरणों की एक संयुक्त प्रणाली का सामान्य समाधान एक नई प्रणाली है, जो मूल के बराबर है, जिसमें सभी अनुमत चर को मुक्त के रूप में व्यक्त किया जाता है।

एक सामान्य समाधान की आवश्यकता कब हो सकती है? यदि आपको k से कम कदम उठाने हैं (k कुल कितने समीकरण हैं)। हालांकि, प्रक्रिया के किसी चरण पर समाप्त होने के कारण l< k , может быть две:

1. एल-वें चरण के बाद, हमें एक प्रणाली मिलती है जिसमें संख्या (एल + 1) के साथ समीकरण नहीं होता है। वास्तव में, यह अच्छा है, क्योंकि। हल की गई प्रणाली वैसे भी प्राप्त होती है - कुछ कदम पहले भी।
2. एल-वें चरण के बाद, एक समीकरण प्राप्त होता है जिसमें चर के सभी गुणांक शून्य के बराबर होते हैं, और मुक्त गुणांक शून्य से भिन्न होता है। यह एक असंगत समीकरण है, और इसलिए, प्रणाली असंगत है।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि गॉस विधि द्वारा असंगत समीकरण का प्रकट होना असंगति का पर्याप्त कारण है। उसी समय, हम ध्यान दें कि l -वें चरण के परिणामस्वरूप, तुच्छ समीकरण नहीं रह सकते हैं - वे सभी सीधे प्रक्रिया में हटा दिए जाते हैं।

चरणों का विवरण:

1. पहले समीकरण को दूसरे से 4 गुना घटाएं। और पहले समीकरण को तीसरे में भी जोड़ें - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. हम तीसरे समीकरण को 2 से गुणा करके दूसरे से घटाते हैं - हमें विरोधाभासी समीकरण 0 = -5 मिलता है।

इसलिए, सिस्टम असंगत है, क्योंकि एक असंगत समीकरण पाया गया है।

काम। संगतता की जांच करें और सिस्टम का सामान्य समाधान खोजें:

चरणों का विवरण:

1. हम पहले समीकरण को दूसरे (दो से गुणा करने के बाद) और तीसरे से घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 1 मिलता है;
2. दूसरे समीकरण को तीसरे से घटाएं। चूँकि इन समीकरणों के सभी गुणांक समान हैं, इसलिए तीसरा समीकरण तुच्छ हो जाता है। उसी समय, हम दूसरे समीकरण को (−1) से गुणा करते हैं;
3. हम पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाते हैं - हमें अनुमत चर x 2 मिलता है। समीकरणों की पूरी प्रणाली भी अब हल हो गई है;
4. चूँकि चर x 3 और x 4 स्वतंत्र हैं, हम उन्हें अनुमत चरों को व्यक्त करने के लिए दाईं ओर ले जाते हैं। यही उत्तर है।

इसलिए, सिस्टम संयुक्त और अनिश्चित है, क्योंकि दो अनुमत चर (x 1 और x 2) और दो मुक्त (x 3 और x 4) हैं।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के सबसे सरल तरीकों में से एक निर्धारकों की गणना के आधार पर एक विधि है ( क्रैमर का नियम) इसका लाभ यह है कि यह आपको समाधान को तुरंत रिकॉर्ड करने की अनुमति देता है, यह उन मामलों में विशेष रूप से सुविधाजनक है जहां सिस्टम गुणांक संख्याएं नहीं हैं, लेकिन कुछ पैरामीटर हैं। इसका नुकसान बड़ी संख्या में समीकरणों के मामले में गणना की बोझिलता है, इसके अलावा, क्रैमर का नियम उन प्रणालियों पर सीधे लागू नहीं होता है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के साथ मेल नहीं खाती है। ऐसे मामलों में, यह आमतौर पर प्रयोग किया जाता है गॉस विधि.

रैखिक समीकरणों के निकाय जिनके हल समान होते हैं, कहलाते हैं समकक्ष. जाहिर है, एक रैखिक प्रणाली के समाधान का सेट नहीं बदलेगा यदि कोई समीकरण आपस में बदल दिया जाता है, या यदि समीकरणों में से एक को किसी गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाता है, या यदि एक समीकरण को दूसरे में जोड़ा जाता है।

गॉस विधि (अज्ञात के क्रमिक उन्मूलन की विधि) इस तथ्य में निहित है कि, प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, सिस्टम को एक समान चरणबद्ध प्रणाली में घटा दिया जाता है। पहले समीकरण की सहायता से, एक्ससिस्टम के सभी बाद के समीकरणों में से 1। फिर, दूसरे समीकरण का उपयोग करते हुए, हम समाप्त करते हैं एक्सतीसरे और बाद के सभी समीकरणों में से 2। इस प्रक्रिया, कहा जाता है प्रत्यक्ष गॉस विधि, तब तक जारी रहता है जब तक कि अंतिम समीकरण के बाईं ओर केवल एक अज्ञात रहता है एक्स एन. उसके बाद, इसे बनाया जाता है गाऊसी रिवर्स- अंतिम समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं एक्स एन; उसके बाद, इस मान का उपयोग करते हुए, अंतिम समीकरण से हम गणना करते हैं एक्स एन-1 आदि अंतिम हम पाते हैं एक्सप्रथम समीकरण से 1.

समीकरणों के साथ नहीं, बल्कि उनके गुणांकों के मैट्रिक्स के साथ परिवर्तन करके गॉसियन परिवर्तनों को अंजाम देना सुविधाजनक है। मैट्रिक्स पर विचार करें:

बुलाया विस्तारित मैट्रिक्स प्रणाली,क्योंकि सिस्टम के मुख्य मैट्रिक्स के अलावा, इसमें मुक्त सदस्यों का एक कॉलम शामिल है। गॉस विधि प्रणाली के विस्तारित मैट्रिक्स के प्राथमिक पंक्ति परिवर्तन (!)

उदाहरण 5.1.गॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें:

फेसला. आइए सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखें और, पहली पंक्ति का उपयोग करके, उसके बाद हम शेष तत्वों को शून्य पर सेट करेंगे:

हमें पहले कॉलम की दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में शून्य मिलता है:

अब हमें दूसरी पंक्ति के नीचे दूसरे कॉलम में सभी तत्वों को शून्य के बराबर करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आप दूसरी पंक्ति को -4/7 से गुणा कर सकते हैं और तीसरी पंक्ति में जोड़ सकते हैं। हालांकि, भिन्नों से निपटने के लिए, हम दूसरे कॉलम की दूसरी पंक्ति में एक इकाई बनाएंगे और केवल

अब, एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए, आपको तीसरे कॉलम की चौथी पंक्ति के तत्व को शून्य करना होगा, इसके लिए आप तीसरी पंक्ति को 8/54 से गुणा कर सकते हैं और इसे चौथे में जोड़ सकते हैं। हालांकि, भिन्नों से निपटने के लिए, हम तीसरी और चौथी पंक्तियों और तीसरे और चौथे कॉलम को स्वैप करेंगे, और उसके बाद ही हम निर्दिष्ट तत्व को रीसेट करेंगे। ध्यान दें कि जब स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो संबंधित चरों की अदला-बदली की जाती है, और इसे याद रखना चाहिए; कॉलम के साथ अन्य प्राथमिक परिवर्तन (एक संख्या से जोड़ और गुणा) नहीं किया जा सकता है!

अंतिम सरलीकृत मैट्रिक्स मूल के बराबर समीकरणों की एक प्रणाली से मेल खाती है:

यहाँ से, गॉस विधि के रिवर्स कोर्स का उपयोग करते हुए, हम चौथे समीकरण से पाते हैं एक्स 3 = -1; तीसरे से एक्स 4 = -2, दूसरे से एक्स 2 = 2 और पहले समीकरण से एक्स 1 = 1. मैट्रिक्स रूप में, उत्तर को इस प्रकार लिखा जाता है

हमने मामले पर विचार किया है जब सिस्टम निश्चित है, अर्थात। जब एक ही उपाय हो। आइए देखें कि क्या होता है यदि सिस्टम असंगत या अनिश्चित है।

उदाहरण 5.2।गाऊसी पद्धति का उपयोग करके सिस्टम का अन्वेषण करें:

फेसला. हम सिस्टम के संवर्धित मैट्रिक्स को लिखते और बदलते हैं

हम समीकरणों की एक सरलीकृत प्रणाली लिखते हैं:

यहाँ, पिछले समीकरण में, यह निकला कि 0=4, अर्थात्। अंतर्विरोध। इसलिए, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है, अर्थात। वह है असंगत. à

उदाहरण 5.3।गाऊसी पद्धति का उपयोग करके सिस्टम का अन्वेषण और समाधान करें:

फेसला. हम सिस्टम के विस्तारित मैट्रिक्स को लिखते और बदलते हैं:

परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, अंतिम पंक्ति में केवल शून्य प्राप्त हुए। इसका मतलब है कि समीकरणों की संख्या में एक की कमी आई है:

इस प्रकार, सरलीकरण के बाद, दो समीकरण बने रहते हैं, और चार अज्ञात, अर्थात्। दो अज्ञात "अतिरिक्त"। चलो "अनावश्यक", या, जैसा कि वे कहते हैं, मुक्त चर, मर्जी एक्स 3 और एक्स 4. फिर

यह मानते हुए एक्स 3 = 2एऔर एक्स 4 = बी, हम पाते हैं एक्स 2 = 1–एऔर एक्स 1 = 2बी–ए; या मैट्रिक्स रूप में

इस प्रकार लिखा हुआ हल कहलाता है आम, चूंकि, पैरामीटर देकर एऔर बीविभिन्न मूल्यों, सिस्टम के सभी संभावित समाधानों का वर्णन करना संभव है। ए