चलती औसत के आधार पर यांत्रिक चौरसाई

समय श्रृंखला चौरसाई के तरीके

बहुत बार आर्थिक समय श्रृंखला के स्तरों में उतार-चढ़ाव होता है। इसी समय, समय में एक आर्थिक घटना के विकास की प्रवृत्ति एक दिशा या किसी अन्य में श्रृंखला के मूल्यों के यादृच्छिक विचलन द्वारा छिपी हुई है। रुझानों की बेहतर पहचान करने के लिएअध्ययन के तहत प्रक्रिया का विकास चौरसाई करना (संरेखण)आर्थिक संकेतकों की समय श्रृंखला। विभिन्न चौरसाई विधियों का सारसमय श्रृंखला के वास्तविक स्तरों को परिकलित मूल्यों के साथ बदलने के लिए नीचे आता है, जो कुछ हद तक उतार-चढ़ाव के अधीन हैं। यह प्रवृत्ति की स्पष्ट अभिव्यक्ति में योगदान देता है।

समय श्रृंखला चौरसाई विधियों में विभाजित हैं दो मुख्य समूह:

1) विश्लेषणात्मक संरेखणश्रृंखला के विशिष्ट स्तरों के बीच खींचे गए वक्र का उपयोग करना ताकि यह श्रृंखला में निहित प्रवृत्ति को प्रतिबिंबित करे, और साथ ही इसे मामूली उतार-चढ़ाव से मुक्त करे;

2) यांत्रिक संरेखणसमय श्रृंखला के व्यक्तिगत स्तर पड़ोसी स्तरों के वास्तविक मूल्यों का उपयोग करते हैं।

विश्लेषणात्मक चौरसाई विधियों का सारगणितीय नियम के आधार पर कि किसी के माध्यम से एनविमान पर स्थित बिंदु, बहुपद न्यूनतम आकर्षित करना संभव है (एन - 1)डिग्री ताकि यह सभी निर्दिष्ट बिंदुओं से होकर गुजरे।

यांत्रिक चौरसाई विधियों का सारइस तथ्य में निहित है कि गतिकी की एक श्रृंखला के कई स्तरों को लिया जाता है, जिससे एक चौरसाई अंतराल बनता है। उनके लिए, एक बहुपद का चयन किया जाता है, जिसकी डिग्री चौरसाई अंतराल में शामिल स्तरों की संख्या से कम होनी चाहिए। एक बहुपद का उपयोग करके, चौरसाई अंतराल के बीच में श्रृंखला स्तरों के चिकने मूल्यों को निर्धारित किया जाता है। अगला, चौरसाई अंतराल को एक अवलोकन द्वारा आगे स्थानांतरित किया जाता है, अगले चिकना मूल्य की गणना की जाती है, और इसी तरह।

चलती औसत के आधार पर यांत्रिक चौरसाई

यांत्रिक चौरसाई की सबसे सरल विधि है सरल चलती औसत चौरसाई. विधि को इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह श्रृंखला के कई स्तरों के एक साधारण औसत की गणना पर आधारित है। अवलोकन अवधि के बराबर एक कदम के साथ समय श्रृंखला के साथ साधारण औसत स्लाइड।

समय श्रृंखला के लिए पहला आपचौरसाई अंतराल निर्धारित है एम, इसके अलावा एम< n . यदि छोटे यादृच्छिक उतार-चढ़ाव को सुचारू करना आवश्यक है, तो चौरसाई अंतराल जितना संभव हो उतना बड़ा लिया जाता है; यदि छोटे उतार-चढ़ाव को बनाए रखना आवश्यक हो तो चौरसाई अंतराल कम हो जाता है। चौरसाई अंतराल जितना व्यापक होगा, उतने ही अधिक उतार-चढ़ाव एक दूसरे को रद्द कर देंगे, और विकास की प्रवृत्ति चिकनी होगी। उतार-चढ़ाव जितना मजबूत होगा, चौरसाई अंतराल उतना ही चौड़ा होना चाहिए। उन्हीं शर्तों के तहत, विषम-लंबाई वाले चौरसाई अंतराल का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है। पहले के लिए एमसमय श्रृंखला स्तर, उनके अंकगणितीय माध्य की गणना की जाती है; यह श्रृंखला के स्तर का चिकना मान होगा जो कि चौरसाई अंतराल के बीच में है।

चिकनी मूल्यों की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग किया जाता है:

कहाँ पे एम = 2 पी + 1- विषम लंबाई की समय श्रृंखला का चौरसाई अंतराल। इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप, (एन - एम + 1)

चौरसाई प्रक्रिया को भी लंबाई के एक चौरसाई अंतराल पर लागू किया जा सकता है। मौसमी उतार-चढ़ाव वाली घटनाओं के विश्लेषण और पूर्वानुमान के लिए यह विशेष रूप से सच है। मौसमी प्रक्रियाओं को सुचारू करते समय, चौरसाई अंतराल आवश्यक रूप से मौसमी लहर की लंबाई के बराबर होना चाहिए। अन्यथा, समय श्रृंखला घटकों का विरूपण होगा, विशेष रूप से, घटक वी टी. मामले में जब एक सम-लंबाई वाले चौरसाई अंतराल का उपयोग किया जाता है, अर्थात। एम = 2p, सूत्र लागू किया जाता है:

(4.2).

इस प्रक्रिया के परिणामस्वरूप, (एन-एम)श्रृंखला के सुचारू स्तर।

फिर भी प्रथम और अंतिम पीश्रृंखला मान सुचारू नहीं हैं. समय श्रृंखला स्तरों के खोए हुए चिकने मूल्यों को पहले और अंतिम चौरसाई अंतराल के लिए मिले औसत निरपेक्ष लाभ का उपयोग करके पाया जाता है। खोई हुई टिप्पणियों को पुनर्प्राप्त करने के लिएसमय श्रृंखला की शुरुआत में, पहले चौरसाई अंतराल के लिए मिली औसत पूर्ण वृद्धि का मूल्य पहले चिकना मूल्य से घटाया जाता है। यह के लिए श्रृंखला के स्तर के सुचारू मूल्य को दर्शाता है हाँ वाई 1. समय श्रृंखला के अंत में खोई हुई टिप्पणियों को पुनर्स्थापित करने के लिए, अंतिम चौरसाई अंतराल के लिए मिली औसत पूर्ण वृद्धि का मूल्य अंतिम सुचारू मूल्य में जोड़ा जाता है। यह के लिए श्रृंखला के स्तर के सुचारू मूल्य को दर्शाता है वाईएन - पी + 1. फिर एल्गोरिथ्म को तब तक दोहराया जाता है जब तक कि एक चिकना मूल्य प्राप्त नहीं हो जाता। Y n.

सरल चलती औसत पद्धति का एक और नुकसानयह है कि इसका उपयोग केवल एक रैखिक प्रवृत्ति वाली श्रृंखला के लिए किया जा सकता है। यदि प्रक्रिया को एक गैर-रेखीय विकास की विशेषता है और प्रवृत्ति के मोड़ को बनाए रखना आवश्यक है, तो एक साधारण चलती औसत का उपयोग अनुचित है, क्योंकि। इससे महत्वपूर्ण विकृतियां हो सकती हैं। ऐसे मामलों में, भारित चलती औसत पद्धति का उपयोग किया जाता है।

भारित चलती औसत विधिसरल चलती औसत पद्धति से अलग है जिसमें चौरसाई अंतराल में शामिल स्तरों को अलग-अलग भारों के साथ अभिव्यक्त किया जाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि चौरसाई अंतराल के भीतर मूल श्रृंखला का सन्निकटन पहली डिग्री के बहुपद का उपयोग करके किया जाता है, जैसा कि सरल चलती औसत विधि में होता है, लेकिन डिग्री का, दूसरे से शुरू होता है। भारित अंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग किया जाता है।

समय श्रृंखला के गहन विश्लेषण के लिए गणितीय आँकड़ों के अधिक जटिल तरीकों के उपयोग की आवश्यकता होती है। यदि समय श्रृंखला में एक महत्वपूर्ण यादृच्छिक त्रुटि (शोर) होती है, तो दो सरल विधियों में से एक का उपयोग किया जाता है - अंतराल को बड़ा करके और समूह औसत की गणना करके चौरसाई या समतल करना। यह विधि आपको श्रृंखला की दृश्यता बढ़ाने की अनुमति देती है, यदि अधिकांश "शोर" घटक अंतराल के अंदर हैं। हालांकि, अगर "शोर" आवधिकता के अनुरूप नहीं है, तो संकेतक स्तरों का वितरण मोटा हो जाता है, जो समय के साथ घटना में परिवर्तन के विस्तृत विश्लेषण की संभावना को सीमित करता है।

यदि चलती औसत का उपयोग किया जाता है तो अधिक सटीक विशेषताएं प्राप्त की जाती हैं - औसत श्रृंखला के संकेतकों को चौरसाई करने के लिए व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली विधि। यह एक निश्चित समय अंतराल में श्रृंखला के प्रारंभिक मूल्यों से औसत मूल्यों में संक्रमण पर आधारित है। इस मामले में, प्रत्येक बाद के संकेतक की गणना के दौरान समय अंतराल, जैसा कि यह था, समय श्रृंखला के साथ स्लाइड करता है।

चलती औसत का उपयोग तब उपयोगी होता है जब समय श्रृंखला के रुझान अनिश्चित होते हैं, या जब चक्रीय आउटलेयर (आउटलेयर या हस्तक्षेप) बहुत अधिक प्रभावित होते हैं।

स्मूथिंग इंटरवल जितना बड़ा होगा, मूविंग एवरेज चार्ट उतना ही स्मूथ दिखेगा। चौरसाई अंतराल के मूल्य का चयन करते समय, गतिशील श्रृंखला के मूल्य और परावर्तित गतिकी के सार्थक अर्थ से आगे बढ़ना आवश्यक है। बड़ी संख्या में प्रारंभिक बिंदुओं के साथ एक बड़ी समय श्रृंखला बड़े चौरसाई समय अंतराल (5, 7, 10, आदि) के उपयोग की अनुमति देती है। यदि गैर-मौसमी श्रृंखला को सुचारू करने के लिए चलती औसत प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है, तो अक्सर चौरसाई अंतराल को 3 या 5 के बराबर लिया जाता है। https://tvoipolet.ru/iz-moskvi-v-nyu-jork/ - a मास्को से न्यूयॉर्क के लिए उड़ान के लिए एयरलाइन चुनने का शानदार अवसर

आइए उच्च पैदावार (30 किग्रा / हेक्टेयर से अधिक) वाले खेतों की चलती औसत संख्या की गणना का एक उदाहरण दें (तालिका 10.3)।

तालिका 10.3 अंतरालों को मोटा करके और चलती औसत द्वारा समय श्रृंखला को चौरसाई करना

लेखा वर्ष	उच्च पैदावार वाले खेतों की संख्या	तीन साल के लिए राशि	तीन साल से अधिक चल रहा है	चलती औसत
			90,0	89,7
1984				88,7
				87,3
			87,3	87,0
				86,7
				83,0
			83,0	82,3
				82,3
				82,6
			82,7	82,7

औसत गणना उदाहरण चल रहा है:

1982 (84 + 94 + 92) / 3 = 90.0;

1983 (94 + 92 + 83) / 3 = 89.7;

1984 (92 + 83 + 91) / 3 = 88.7;

1985 (83 + 91 + 88) / 3 = 87.3।

इसका शेड्यूल तैयार किया जा रहा है। एब्सिस्सा अक्ष पर वर्षों का संकेत दिया जाता है, और उच्च पैदावार वाले खेतों की संख्या कोऑर्डिनेट अक्ष पर इंगित किया जाता है। खेतों की संख्या के निर्देशांक ग्राफ पर दर्शाए गए हैं और प्राप्त बिंदु एक टूटी हुई रेखा से जुड़े हुए हैं। फिर वर्षों में चलती औसत के निर्देशांक चार्ट पर इंगित किए जाते हैं और बिंदु एक चिकनी बोल्ड लाइन से जुड़े होते हैं।

एक अधिक जटिल और कुशल विधि विभिन्न सन्निकटन कार्यों का उपयोग करते हुए समय श्रृंखला की चौरसाई (समतल) है। वे आपको सामान्य प्रवृत्ति का एक सहज स्तर और गतिशीलता की मुख्य धुरी बनाने की अनुमति देते हैं।

गणित कार्यों के साथ चौरसाई का सबसे प्रभावी तरीका सरल घातीय चौरसाई है। यह विधि सूत्र के अनुसार श्रृंखला के सभी पिछले अवलोकनों को ध्यान में रखती है:

एस टी = α∙X टी + (1 - α ) ∙S टी - 1 ,

जहाँ S t समय t पर प्रत्येक नई चौरसाई है; एस टी -1 - पिछली बार टी -1 पर चिकना मूल्य; X t समय t पर श्रृंखला का वास्तविक मान है; α - चौरसाई पैरामीटर।

यदि α = 1, तो पिछली टिप्पणियों को पूरी तरह से अनदेखा कर दिया जाता है; जब α = 0, वर्तमान प्रेक्षणों की उपेक्षा की जाती है; 0 और 1 के बीच α का मान मध्यवर्ती परिणाम देता है। इस पैरामीटर के मूल्यों को बदलकर, आप सबसे स्वीकार्य संरेखण विकल्प चुन सकते हैं। α के इष्टतम मूल्य का चुनाव मूल और समतल वक्रों की प्राप्त ग्राफिक छवियों का विश्लेषण करके या गणना किए गए बिंदुओं की चुकता त्रुटियों (त्रुटियों) के योग को ध्यान में रखकर किया जाता है। इस पद्धति का व्यावहारिक उपयोग एमएस एक्सेल प्रोग्राम में कंप्यूटर का उपयोग करके किया जाना चाहिए। डेटा डायनामिक्स के पैटर्न की गणितीय अभिव्यक्ति घातीय चौरसाई फ़ंक्शन का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती है।

16.02.15 विक्टर गैवरिलोव

38133 0

एक समय श्रृंखला मूल्यों का एक क्रम है जो समय के साथ बदलता है। मैं इस लेख में ऐसे अनुक्रमों के साथ काम करने के कुछ सरल लेकिन प्रभावी तरीकों के बारे में बात करने की कोशिश करूंगा। ऐसे डेटा के बहुत सारे उदाहरण हैं - मुद्रा उद्धरण, बिक्री की मात्रा, ग्राहक अनुरोध, विभिन्न अनुप्रयुक्त विज्ञानों में डेटा (समाजशास्त्र, मौसम विज्ञान, भूविज्ञान, भौतिकी में अवलोकन) और बहुत कुछ।

श्रृंखला डेटा विवरण का एक सामान्य और महत्वपूर्ण रूप है, क्योंकि वे हमें उस मूल्य के पूरे इतिहास का निरीक्षण करने की अनुमति देते हैं जिसमें हम रुचि रखते हैं। यह हमें मात्रा के "विशिष्ट" व्यवहार और ऐसे व्यवहार से विचलन का न्याय करने का अवसर देता है।

मुझे एक डेटा सेट चुनने के कार्य का सामना करना पड़ा, जिस पर समय श्रृंखला की विशेषताओं को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करना संभव होगा। मैंने अंतरराष्ट्रीय यात्री यातायात आंकड़ों का उपयोग करने का फैसला किया क्योंकि यह डेटा सेट काफी वर्णनात्मक है और कुछ हद तक एक मानक बन गया है (http://robjhyndman.com/tsdldata/data/airpass.dat, स्रोत टाइम सीरीज़ डेटा लाइब्रेरी, आर जे हाइंडमैन)। श्रृंखला 1949 से 1960 तक प्रति माह (हजारों में) अंतरराष्ट्रीय एयरलाइन यात्रियों की संख्या का वर्णन करती है।

चूंकि मेरे पास हमेशा हाथ होता है, जिसमें पंक्तियों के साथ काम करने के लिए एक दिलचस्प उपकरण "" होता है, मैं इसका उपयोग करूंगा। फ़ाइल में डेटा आयात करने से पहले, आपको एक तिथि के साथ एक कॉलम जोड़ने की जरूरत है ताकि मान समय के लिए बाध्य हों, और प्रत्येक अवलोकन के लिए श्रृंखला के नाम के साथ एक कॉलम। नीचे आप देख सकते हैं कि मेरी स्रोत फ़ाइल कैसी दिखती है, जिसे मैंने सीधे समय श्रृंखला विश्लेषण उपकरण से आयात विज़ार्ड का उपयोग करके प्रोग्नोज़ प्लेटफ़ॉर्म में आयात किया।

पहली चीज जो हम आमतौर पर एक समय श्रृंखला के साथ करते हैं, वह है इसे एक चार्ट पर प्लॉट करना। Prognoz Platform आपको एक श्रृंखला को केवल एक कार्यपुस्तिका में खींचकर और छोड़ कर एक ग्राफ़ बनाने की अनुमति देता है।

चार्ट पर समय श्रृंखला

श्रृंखला के नाम के अंत में प्रतीक 'एम' का अर्थ है कि श्रृंखला में मासिक गतिशीलता है (अवलोकन के बीच अंतराल एक महीने है)।

पहले से ही ग्राफ से, हम देख सकते हैं कि श्रृंखला दो विशेषताओं को प्रदर्शित करती है:

• रुझान- हमारे चार्ट पर, यह देखे गए मूल्यों में दीर्घकालिक वृद्धि है। यह देखा जा सकता है कि प्रवृत्ति लगभग रैखिक है।
• मौसम- ग्राफ पर, ये मूल्य में आवधिक उतार-चढ़ाव हैं। समय श्रृंखला के विषय पर अगले लेख में, हम सीखेंगे कि अवधि की गणना कैसे की जाती है।

हमारी श्रृंखला काफी "साफ" है, हालांकि, अक्सर ऐसी श्रृंखलाएं होती हैं, जो ऊपर वर्णित दो विशेषताओं के अलावा, एक और बात प्रदर्शित करती हैं - "शोर" की उपस्थिति, अर्थात। किसी न किसी रूप में यादृच्छिक परिवर्तन। ऐसी श्रृंखला का एक उदाहरण नीचे दिए गए चार्ट में देखा जा सकता है। यह एक यादृच्छिक चर के साथ मिश्रित एक साइनसॉइडल संकेत है।

श्रृंखला का विश्लेषण करते समय, हम उनकी संरचना की पहचान करने और सभी मुख्य घटकों - प्रवृत्ति, मौसमी, शोर और अन्य विशेषताओं के मूल्यांकन के साथ-साथ भविष्य की अवधि में परिमाण में परिवर्तन का पूर्वानुमान लगाने की क्षमता में रुचि रखते हैं।

श्रृंखला के साथ काम करते समय, शोर की उपस्थिति अक्सर श्रृंखला की संरचना का विश्लेषण करना मुश्किल बना देती है। इसके प्रभाव को बाहर करने और श्रृंखला की संरचना को बेहतर ढंग से देखने के लिए, आप श्रृंखला को चौरसाई करने के तरीकों का उपयोग कर सकते हैं।

श्रृंखला को चौरसाई करने की सबसे सरल विधि चलती औसत है। विचार यह है कि एक श्रृंखला अनुक्रम में किसी भी विषम संख्या के अंक के लिए, केंद्रीय बिंदु को शेष बिंदुओं के अंकगणितीय माध्य से बदलें:

कहाँ पे एक्स मैं- मूल पंक्ति मैं- चिकनी पंक्ति।

नीचे आप इस एल्गोरिथम को हमारी दो श्रृंखलाओं में लागू करने का परिणाम देख सकते हैं। डिफ़ॉल्ट रूप से, प्रोग्नोज़ प्लेटफ़ॉर्म 5 बिंदुओं के विंडो आकार के साथ एंटी-अलियासिंग का उपयोग करने का सुझाव देता है ( कउपरोक्त हमारे सूत्र में 2 के बराबर होगा)। कृपया ध्यान दें कि चिकना संकेत अब शोर से प्रभावित नहीं होता है, लेकिन शोर के साथ, निश्चित रूप से, श्रृंखला की गतिशीलता के बारे में कुछ उपयोगी जानकारी भी गायब हो जाती है। यह भी देखा जा सकता है कि चिकनी श्रृंखला में पहले (और अंतिम भी) का अभाव है कअंक। यह इस तथ्य के कारण है कि खिड़की के केंद्रीय बिंदु (हमारे मामले में, तीसरे बिंदु के लिए) के लिए चौरसाई किया जाता है, जिसके बाद खिड़की को एक बिंदु से स्थानांतरित कर दिया जाता है, और गणना दोहराई जाती है। दूसरी, यादृच्छिक श्रृंखला के लिए, मैंने श्रृंखला की संरचना को बेहतर ढंग से प्रकट करने के लिए 30 के बराबर खिड़की के साथ चौरसाई का उपयोग किया, क्योंकि श्रृंखला "उच्च आवृत्ति" है, बहुत सारे बिंदु हैं।

चलती औसत विधि के कुछ नुकसान हैं:

• चलती औसत गणना में अक्षम है। प्रत्येक बिंदु के लिए, औसत को नए तरीके से पुनर्गणना किया जाना चाहिए। हम पिछले बिंदु के लिए गणना किए गए परिणाम का पुन: उपयोग नहीं कर सकते हैं।
• चलती औसत को श्रृंखला के पहले और अंतिम बिंदुओं तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। यह एक समस्या पैदा कर सकता है अगर हम इन बिंदुओं में रुचि रखते हैं।
• चलती औसत को श्रृंखला के बाहर परिभाषित नहीं किया जाता है और इसके परिणामस्वरूप, पूर्वानुमान के लिए उपयोग नहीं किया जा सकता है।

एक्स्पोनेंशियल स्मूदिंग

एक अधिक उन्नत चौरसाई विधि जिसका उपयोग भविष्यवाणी के लिए भी किया जा सकता है, वह है एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग, जिसे कभी-कभी इसके रचनाकारों के नाम के बाद होल्ट-विंटर्स विधि भी कहा जाता है।

इस पद्धति के कई रूप हैं:

• श्रृंखला के लिए एकल चौरसाई जिसमें कोई प्रवृत्ति और मौसमी नहीं है;
• श्रृंखला के लिए डबल स्मूथिंग जिसमें एक प्रवृत्ति है लेकिन कोई मौसमी नहीं है;
• श्रृंखला के लिए ट्रिपल स्मूथिंग जिसमें प्रवृत्ति और मौसमी दोनों हैं।

घातीय चौरसाई विधि वर्तमान चरण से जानकारी का उपयोग करके पिछले चरण में गणना किए गए मानों को अद्यतन करके चिकनी श्रृंखला के मूल्यों की गणना करती है। पिछले और वर्तमान चरणों की जानकारी अलग-अलग भारों के साथ ली जाती है जिन्हें नियंत्रित किया जा सकता है।

एकल चौरसाई के सबसे सरल संस्करण में, अनुपात है:

पैरामीटर α वर्तमान चरण पर अनसुना मान और पिछले चरण से सुचारू मान के बीच के अनुपात को परिभाषित करता है। पर α =1 हम मूल श्रृंखला के केवल अंक लेंगे, अर्थात। कोई चिकनाई नहीं होगी। पर α =0 श्रृंखला, हम पिछले चरणों से केवल चिकने मान लेंगे, अर्थात। श्रृंखला स्थिर हो जाएगी।

यह समझने के लिए कि चौरसाई को घातांक क्यों कहा जाता है, हमें संबंध को पुनरावर्ती रूप से विस्तारित करने की आवश्यकता है:

यह संबंध से देखा जा सकता है कि श्रृंखला के सभी पिछले मूल्य वर्तमान सुचारू मूल्य में योगदान करते हैं, हालांकि, पैरामीटर की डिग्री की वृद्धि के कारण उनका योगदान तेजी से कम हो जाता है α .

हालाँकि, यदि डेटा में कोई प्रवृत्ति है, तो एक साधारण चौरसाई इसे "पीछे" कर देगी (या आपको मान लेना होगा α 1 के करीब, लेकिन फिर चौरसाई अपर्याप्त होगी)। आपको डबल एक्सपोनेंशियल स्मूथिंग का उपयोग करने की आवश्यकता है।

डबल स्मूथिंग पहले से ही दो समीकरणों का उपयोग करता है - एक समीकरण वर्तमान और पिछले स्मूद मूल्यों के बीच अंतर के रूप में प्रवृत्ति का मूल्यांकन करता है, फिर सरल स्मूथिंग के साथ प्रवृत्ति को सुचारू करता है। दूसरा समीकरण साधारण मामले की तरह स्मूथिंग करता है, लेकिन दूसरा टर्म पिछले स्मूथेड वैल्यू और ट्रेंड के योग का उपयोग करता है।

ट्रिपल स्मूथिंग में एक अन्य घटक, मौसमी शामिल है, और एक अन्य समीकरण का उपयोग करता है। इसी समय, मौसमी घटक के दो प्रकार प्रतिष्ठित हैं - योगात्मक और गुणक। पहले मामले में, मौसमी घटक का आयाम स्थिर है और समय के साथ श्रृंखला के आधार आयाम पर निर्भर नहीं करता है। दूसरे मामले में, श्रृंखला के आधार आयाम में परिवर्तन के साथ-साथ आयाम बदलता है। यह सिर्फ हमारा मामला है, जैसा कि ग्राफ से देखा जा सकता है। जैसे-जैसे श्रृंखला बढ़ती है, मौसमी उतार-चढ़ाव का आयाम बढ़ता जाता है।

चूंकि हमारी पहली श्रृंखला में प्रवृत्ति और मौसमी दोनों हैं, इसलिए मैंने इसके लिए ट्रिपल स्मूथिंग मापदंडों को समायोजित करने का निर्णय लिया। प्रोग्नोज़ प्लेटफ़ॉर्म में, यह करना काफी आसान है, क्योंकि जब पैरामीटर मान को अपडेट किया जाता है, तो प्लेटफ़ॉर्म तुरंत चिकनी श्रृंखला के ग्राफ़ को फिर से तैयार करता है, और नेत्रहीन आप तुरंत देख सकते हैं कि यह हमारी मूल श्रृंखला का कितना अच्छा वर्णन करता है। मैं निम्नलिखित मूल्यों पर बस गया:

मैंने अवधि की गणना कैसे की, हम समय श्रृंखला पर अगले लेख में देखेंगे।

आमतौर पर, 0.2 और 0.4 के बीच के मानों को पहले सन्निकटन के रूप में माना जा सकता है। प्रोग्नोज़ प्लेटफ़ॉर्म एक अतिरिक्त पैरामीटर वाले मॉडल का भी उपयोग करता है ɸ , जो इस प्रवृत्ति को कम कर देता है ताकि यह भविष्य में स्थिर हो जाए। के लिए ɸ मैंने मान 1 लिया, जो सामान्य मॉडल से मेल खाता है।

मैंने पिछले 2 वर्षों से इस पद्धति से श्रृंखला के मूल्यों का पूर्वानुमान भी लगाया। नीचे दिए गए चित्र में, मैंने इसके माध्यम से एक रेखा खींचकर पूर्वानुमान के प्रारंभ बिंदु को चिह्नित किया है। जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल श्रृंखला और चिकना एक काफी अच्छी तरह से मेल खाता है, जिसमें पूर्वानुमान अवधि भी शामिल है - इस तरह की एक सरल विधि के लिए बुरा नहीं है!

प्रोग्नोज़ प्लेटफ़ॉर्म आपको पैरामीटर मानों के स्थान में एक व्यवस्थित खोज का उपयोग करके स्वचालित रूप से इष्टतम पैरामीटर मानों का चयन करने और मूल से चिकनी श्रृंखला के वर्ग विचलन के योग को कम करने की अनुमति देता है।

वर्णित विधियां काफी सरल हैं, लागू करने में आसान हैं, और संरचना विश्लेषण और समय श्रृंखला पूर्वानुमान के लिए एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु है।

अगले लेख में समय श्रृंखला के बारे में और पढ़ें।

बहुत बार, डायनामिक्स श्रृंखला के स्तरों में उतार-चढ़ाव होता है, जबकि समय में घटना के विकास की प्रवृत्ति एक दिशा या किसी अन्य में स्तरों के यादृच्छिक विचलन से छिपी होती है। अध्ययन के तहत प्रक्रिया के विकास की प्रवृत्ति को और अधिक स्पष्ट रूप से पहचानने के लिए, प्रवृत्ति मॉडल के आधार पर पूर्वानुमान विधियों के आगे आवेदन के लिए, समरेखण(संरेखण) समय श्रृंखला।

समय श्रृंखला चौरसाई विधियों को दो मुख्य समूहों में विभाजित किया गया है:

1. श्रृंखला के विशिष्ट स्तरों के बीच खींचे गए वक्र का उपयोग करके विश्लेषणात्मक संरेखण ताकि यह श्रृंखला में निहित प्रवृत्ति को प्रतिबिंबित करे, और साथ ही इसे मामूली उतार-चढ़ाव से मुक्त करे;

2. पड़ोसी स्तरों के वास्तविक मूल्यों का उपयोग करके समय श्रृंखला के व्यक्तिगत स्तरों का यांत्रिक संरेखण।

यांत्रिक चौरसाई विधियों का सार इस प्रकार है। समय श्रृंखला के कई स्तरों को बनाया जाता है चौरसाई अंतराल। उनके लिए, एक बहुपद का चयन किया जाता है, जिसकी डिग्री चौरसाई अंतराल में शामिल स्तरों की संख्या से कम होनी चाहिए; चौरसाई अंतराल के बीच में स्तरों के बहुपद, नए, संरेखित मूल्यों का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। इसके बाद, चौरसाई अंतराल को श्रृंखला के एक स्तर को दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है, अगले चिकना मूल्य की गणना की जाती है, और इसी तरह।

यांत्रिक चौरसाई की सबसे सरल विधि है सरल चलती औसत विधि।

2.4.1.सरल चलती औसत विधि।

समय श्रृंखला के लिए पहला: चौरसाई अंतराल निर्धारित किया जाता है। यदि छोटे यादृच्छिक उतार-चढ़ाव को सुचारू करना आवश्यक है, तो चौरसाई अंतराल जितना संभव हो उतना बड़ा लिया जाता है; यदि छोटे उतार-चढ़ाव को बनाए रखना आवश्यक हो तो चौरसाई अंतराल कम हो जाता है।

श्रृंखला के पहले स्तरों के लिए, उनके अंकगणितीय माध्य की गणना की जाती है। यह श्रृंखला के स्तर का चिकना मान होगा जो कि चौरसाई अंतराल के बीच में है। फिर चौरसाई अंतराल को एक स्तर पर दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है, अंकगणितीय माध्य की गणना दोहराई जाती है, और इसी तरह। श्रृंखला के सुचारू स्तरों की गणना के लिए निम्न सूत्र का उपयोग किया जाता है:

जहां (विषम के लिए); सम संख्याओं के लिए, सूत्र अधिक जटिल हो जाता है।

इस तरह की प्रक्रिया के परिणामस्वरूप, श्रृंखला के स्तरों के सुचारू मूल्य प्राप्त होते हैं; इस मामले में, श्रृंखला का पहला और अंतिम स्तर खो जाता है (चिकना नहीं)। विधि का एक और नुकसान यह है कि यह केवल एक रैखिक प्रवृत्ति वाली श्रृंखला पर लागू होता है।

2.4.2.भारित चलती औसत विधि।

भारित चलती औसत विधि पिछली चौरसाई पद्धति से भिन्न होती है जिसमें चौरसाई अंतराल में शामिल स्तरों को अलग-अलग भार के साथ जोड़ा जाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि चौरसाई अंतराल के भीतर श्रृंखला का सन्निकटन पहली डिग्री के बहुपद का उपयोग करके नहीं किया जाता है, जैसा कि पिछले मामले में है, लेकिन दूसरे से शुरू होने वाली डिग्री का।

भारित अंकगणितीय माध्य सूत्र का उपयोग किया जाता है:

,

जहां वजन कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है। इन भारों की गणना अनुमानित बहुपद और विभिन्न चौरसाई अंतरालों के विभिन्न अंशों के लिए की जाती है।

1. दूसरे और तीसरे क्रम के बहुपदों के लिए, चौरसाई अंतराल के लिए भार के संख्यात्मक अनुक्रम का रूप है: , और at का रूप है: ;

2. चौथी और पाँचवीं डिग्री के बहुपदों के लिए और एक चौरसाई अंतराल के साथ, वजन का क्रम इस प्रकार है:।

कम से कम वर्ग विधि के आधार पर प्राप्त चौरसाई अंतराल पर भार का वितरण, चित्र 1 देखें।

2.4.3.घातीय चौरसाई विधि।

घातीय चौरसाई विधि विधियों के एक ही समूह से संबंधित है।

इसकी ख़ासियत इस तथ्य में निहित है कि चिकने स्तर को खोजने की प्रक्रिया में, केवल श्रृंखला के पिछले स्तरों के मूल्यों का उपयोग किया जाता है, एक निश्चित वजन के साथ लिया जाता है, और अवलोकन का वजन कम हो जाता है क्योंकि यह दूर जाता है समय बिंदु जिसके लिए श्रृंखला के स्तर का सुचारू मूल्य निर्धारित किया जाता है।

अगर मूल समय श्रृंखला के लिए

संबंधित चिकने मूल्यों को द्वारा दर्शाया गया है , फिर सूत्र के अनुसार घातीय चौरसाई किया जाता है:

कहाँ पे चौरसाई पैरामीटर ; मात्रा कहलाती है छूट कारक।

श्रृंखला के सभी स्तरों के लिए दिए गए पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करते हुए, पहले से शुरू होकर और समय के क्षण के साथ समाप्त होने पर, यह प्राप्त किया जा सकता है कि घातीय औसत, यानी, इस विधि द्वारा चिकनी श्रृंखला के स्तर का मान है, पिछले सभी स्तरों का भारित औसत।

समय श्रृंखला चौरसाई

समय श्रृंखला चौरसाई,वे। वास्तविक स्तरों को उन परिकलित मानों से बदलना जिनमें मूल डेटा की तुलना में कम अस्थिरता है, रुझानों की पहचान करने का एक सरल तरीका है। संबंधित परिवर्तन को फ़िल्टरिंग कहा जाता है।

समय श्रृंखला चौरसाई निम्नलिखित मामलों में की जाती है:

· समय श्रृंखला के चित्रमय प्रतिनिधित्व में, प्रवृत्ति स्पष्ट रूप से दिखाई नहीं दे रही है। इसलिए, श्रृंखला को सुचारू किया जाता है, चिकने मूल्यों को ग्राफ पर प्लॉट किया जाता है, और, एक नियम के रूप में, प्रवृत्ति अधिक स्पष्ट रूप से दिखाई देती है;

विश्लेषण और पूर्वानुमान के तरीकों को लागू किया जाता है, पूर्व शर्त के रूप में समय श्रृंखला को सुचारू करने की आवश्यकता होती है;

विषम टिप्पणियों को समाप्त करते समय;

· आर्थिक संकेतकों के प्रत्यक्ष पूर्वानुमान और प्रवृत्ति में बदलाव की भविष्यवाणी के साथ - "टर्निंग पॉइंट"।

मौजूदा चौरसाई विधियों को दो समूहों में विभाजित किया गया है:

1) विश्लेषणात्मक तरीके। चौरसाई के लिए, एक वक्र का उपयोग किया जाता है जो श्रृंखला के वास्तविक मूल्यों के सापेक्ष खींचा जाता है ताकि यह श्रृंखला में निहित प्रवृत्ति को प्रतिबिंबित करे, और साथ ही इसे छोटे तुच्छ उतार-चढ़ाव से मुक्त करे। ऐसे वक्रों को विकास वक्र भी कहा जाता है, इनका उपयोग मुख्य रूप से आर्थिक संकेतकों के पूर्वानुमान के लिए किया जाता है;

2) यांत्रिक चौरसाई के तरीके। श्रृंखला के प्रत्येक व्यक्तिगत स्तर को उसके आस-पास के स्तरों के वास्तविक मूल्यों का उपयोग करके चिकना किया जाता है। समय श्रृंखला को सुचारू करने के लिए, सरल और भारित चलती औसत, घातीय चौरसाई के तरीकों का अक्सर उपयोग किया जाता है।

सरल चलती औसत विधिनिम्नलिखित चरण शामिल हैं:

1. चौरसाई अंतराल में शामिल प्रेक्षणों की संख्या निर्धारित की जाती है। इस मामले में, नियम का उपयोग किया जाता है: यदि छोटे, अराजक उतार-चढ़ाव को सुचारू करना आवश्यक है, तो चौरसाई अंतराल जितना संभव हो उतना बड़ा लिया जाता है और, इसके विपरीत, चौरसाई अंतराल कम हो जाता है जब छोटी तरंगों को संरक्षित करना और प्राप्त करना आवश्यक होता है समय-समय पर होने वाले उतार-चढ़ाव से छुटकारा, उदाहरण के लिए, स्तर के स्वत: सहसंबंधों के कारण।

2. चौरसाई अंतराल बनाने वाले अवलोकनों के औसत मूल्य की गणना की जाती है, जो कि चौरसाई अंतराल के केंद्र में स्थित स्तर का चौरसाई मूल्य भी है, बशर्ते कि एम एक विषम संख्या है, सूत्र के अनुसार

जहाँ m चौरसाई अंतराल में शामिल प्रेक्षणों की संख्या है; p चिकने के विपरीत पक्षों पर स्थित प्रेक्षणों की संख्या है।

विषम m के लिए, पैरामीटर p के मान की गणना निम्नानुसार की जाती है:

पहला सुचारू प्रेक्षण t होगा, जहाँ t = p+1 है।

3. चौरसाई अंतराल को एक पद से दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है, और सूत्र (1) का उपयोग करके (t + 1) -वें अवलोकन के लिए चिकना मान पाया जाता है। फिर शिफ्ट फिर से की जाती है, और इसी तरह।

प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि समय श्रृंखला का अंतिम अवलोकन चौरसाई अंतराल में प्रवेश नहीं कर लेता।

सरल चलती औसत विधि का उपयोग किया जा सकता है यदि श्रृंखला का चित्रमय प्रतिनिधित्व एक सीधी रेखा जैसा दिखता है।

इस मामले में, अध्ययन के तहत प्रक्रिया के विकास की गतिशीलता विकृत नहीं है। हालाँकि, जब श्रृंखला को समतल करने की प्रवृत्ति झुकती है और, इसके अलावा, छोटी तरंगों को रखना वांछनीय है, श्रृंखला को सुचारू करने के लिए सरल चलती औसत विधि का उपयोग करना उचित नहीं है, क्योंकि इस मामले में:

उत्तल और अवतल दोनों रेखाएँ संरेखित हैं;

पंक्ति के साथ लहर की एक पारी है;

· लहर का संकेत बदल जाता है, अर्थात। चिकने बिंदुओं को जोड़ने वाले वक्र पर, उत्तल खंड के बजाय, एक अवतल बनता है और इसके विपरीत। उत्तरार्द्ध तब होता है जब चौरसाई अंतराल तरंग दैर्ध्य का डेढ़ गुना होता है।

इस प्रकार, यदि प्रक्रिया का विकास गैर-रैखिक है, तो सरल चलती औसत पद्धति के अनुप्रयोग से अध्ययन के तहत प्रक्रिया के महत्वपूर्ण विकृतियां हो सकती हैं।

ऐसे मामलों में, अन्य चौरसाई विधियों का उपयोग करना अधिक विश्वसनीय होता है, जैसे भारित चलती औसत विधि।

भारित चलती औसत विधिपिछले एक से अलग है कि अंतराल के भीतर चौरसाई एक सीधी रेखा के साथ नहीं, बल्कि एक उच्च क्रम के वक्र के साथ की जाती है। यह इस तथ्य के कारण है कि चौरसाई अंतराल में शामिल श्रृंखला के सदस्यों का योग कम से कम वर्ग विधि का उपयोग करके गणना किए गए कुछ वजन के साथ किया जाता है।

यदि दूसरे और तीसरे क्रम के बहुपद (बहुपद) का उपयोग करके चौरसाई किया जाता है, तो निम्नलिखित भार लिए जाते हैं

(-3; 12; 17; 12; - 3) m=5 के लिए;

(-2; 3; 6; 7; 3; - 2) m=7 के लिए।

स्केल विशेषताएं:

1) केंद्रीय सदस्य के संबंध में सममित हैं;

2) भार का योग, सामान्य कारक को ध्यान में रखते हुए, एक के बराबर होता है।

विधि का नुकसान: श्रृंखला के पहले और अंतिम p प्रेक्षणों को सुचारू नहीं किया जाता है।

आर्थिक प्रक्रियाओं की गतिशीलता के संकेतकों की गणना

आर्थिक प्रक्रियाओं की गतिशीलता के संकेतकों की गणना प्रारंभिक डेटा विश्लेषण का अंतिम चरण है।

आर्थिक संकेतकों में परिवर्तन की गतिशीलता को चिह्नित करने के लिए, अक्सर ऑटोसहसंबंध की अवधारणा का उपयोग किया जाता है, जो न केवल अवलोकन के विभिन्न बिंदुओं से संबंधित एक ही श्रृंखला के स्तरों की अन्योन्याश्रयता की विशेषता है, बल्कि प्रक्रिया के विकास की स्थिरता की डिग्री भी है। समय में, इष्टतम पूर्वानुमान अवधि का मूल्य, आदि।

समय की इकाइयों द्वारा स्थानांतरित समय श्रृंखला के स्तरों के बीच सांख्यिकीय संबंधों की मजबूती की डिग्री, सहसंबंध गुणांक आर (एफ) के मूल्य से निर्धारित होती है। चूंकि r(φ) एक ही समय श्रृंखला के स्तरों के बीच संबंध की निकटता को मापता है, इसे आमतौर पर ऑटोसहसंबंध गुणांक कहा जाता है। इस मामले में, f - अस्थायी विस्थापन की लंबाई - को आमतौर पर अंतराल कहा जाता है।

ऑटोसहसंबंध गुणांक की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

अध्ययन के तहत श्रृंखला की एक बड़ी लंबाई के साथ, स्वत: सहसंबंध गुणांक की गणना को सरल बनाया जा सकता है। इसके लिए, विचलन औसत सहसंबद्ध श्रृंखला से नहीं, बल्कि पूरी श्रृंखला के कुल औसत से पाए जाते हैं। इस मामले में

स्वत: सहसंबंध गुणांक का क्रम समय अंतराल द्वारा निर्धारित किया जाता है: पहला क्रम (φ = 1 पर), दूसरा क्रम (φ = 2 पर), आदि।

पहले, दूसरे और बाद के आदेशों के स्तरों के स्वतःसहसंबंध गुणांकों के अनुक्रम को स्वसहसंबंध फलन कहा जाता है। जिसका मान -1 से +1 तक भिन्न हो सकता है, लेकिन स्थिरता से यह निम्नानुसार है कि r(f) = - r(f)। एक स्वतःसहसंबंध फलन के ग्राफ को सहसंबंध कहते हैं।

ऑटोसहसंबंध फ़ंक्शन और सहसंबंध का विश्लेषण उस अंतराल को निर्धारित करना संभव बनाता है जिस पर ऑटोसहसंबंध उच्चतम है, अर्थात। स्वसहसंबंध फलन और सहसंबंध के विश्लेषण का उपयोग करके, कोई श्रृंखला की संरचना को प्रकट कर सकता है।

यदि पहले क्रम का स्वत: सहसंबंध गुणांक उच्चतम निकला, तो अध्ययन के तहत श्रृंखला में केवल एक प्रवृत्ति होती है। यदि क्रम का स्वत: सहसंबंध गुणांक उच्चतम निकला, तो श्रृंखला में समय बिंदुओं की आवधिकता के साथ चक्रीय दोलन होते हैं। यदि कोई भी स्वत: सहसंबंध गुणांक महत्वपूर्ण नहीं है, तो इस श्रृंखला की संरचना के बारे में दो धारणाओं में से एक की जा सकती है: या तो श्रृंखला में एक प्रवृत्ति और मौसमी उतार-चढ़ाव नहीं होता है, या श्रृंखला में एक मजबूत गैर-रैखिक प्रवृत्ति होती है, जिसके लिए अतिरिक्त की आवश्यकता होती है पहचान के लिए विश्लेषण। इसलिए, समय श्रृंखला में प्रवृत्ति घटक एफ (टी) और मौसमी घटक एस (टी) की उपस्थिति या अनुपस्थिति की पहचान करने के लिए स्तर स्वत: सहसंबंध गुणांक और स्वत: सहसंबंध फ़ंक्शन का उपयोग करने की सलाह दी जाती है।