स्थिर गुणांक (पीसी) के साथ दूसरे क्रम (LNDE-2) के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों को हल करने के मूल सिद्धांत

निरंतर गुणांक $p$ और $q$ के साथ एक दूसरे क्रम CLDE का रूप $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ है, जहां $f\left( x \right)$ एक सतत फलन है।

पीसी के साथ दूसरे एलएनडीई के संबंध में निम्नलिखित दो कथन सत्य हैं।

मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $U$ एक अमानवीय अंतर समीकरण का एक मनमाना विशेष समाधान है। आइए हम यह भी मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $Y$ संबंधित रैखिक सजातीय अंतर समीकरण (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ का एक सामान्य समाधान (OR) है। तब OR का LNDE-2 संकेतित निजी और सामान्य समाधानों के योग के बराबर है, अर्थात $y=U+Y$।

यदि दूसरे क्रम LIDE का दाहिना भाग कार्यों का योग है, अर्थात, $f\बाएं(x\दाएं)=f_(1) \बाएं(x\दाएं)+f_(2) \बाएं(x\दाएं) )+। ..+f_(r) \left(x\right)$, फिर पहले आप PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ पा सकते हैं जो प्रत्येक के अनुरूप है कार्यों के $f_( 1) \बाएं(x\दाएं),f_(2) \बाएं(x\दाएं),...,f_(r) \बाएं(x\दाएं)$, और उसके बाद लिखें एलएनडीई-2 पीडी $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ के रूप में।

पीसी के साथ दूसरे क्रम एलएनडीई का समाधान

जाहिर है, किसी दिए गए LNDE-2 के एक या दूसरे PD $U$ का रूप इसके दाहिने हाथ $f\left(x\right)$ के विशिष्ट रूप पर निर्भर करता है। एलएनडीई-2 के पीडी की खोज के सरलतम मामलों को निम्नलिखित चार नियमों के रूप में तैयार किया गया है।

नियम संख्या 1।

LNDE-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ रूप है, जहां $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, यानी इसे a कहा जाता है डिग्री $n$ का बहुपद। फिर इसका PR $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n) \left(x\right)$ दूसरा है $P_(n) \left(x\right)$ के समान डिग्री का बहुपद, और $r$ संगत LODE-2 के अभिलक्षणिक समीकरण के शून्य मूलों की संख्या है। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक अनिश्चित गुणांक (NC) की विधि द्वारा ज्ञात किए जाते हैं।

नियम संख्या 2।

LNDE-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ का रूप है, जहां $P_(n) \बाएं(x\दाएं)$ डिग्री $n$ का एक बहुपद है। फिर इसका PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n) ) \ left(x\right)$ उसी डिग्री का एक और बहुपद है जो $P_(n) \left(x\right)$ है, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है $\अल्फा $ के बराबर। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक NK विधि द्वारा ज्ञात किए जाते हैं।

नियम संख्या 3.

LNDE-2 के दाहिने हिस्से का रूप है $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, जहां $a$, $b$ और $\beta $ ज्ञात संख्याएं हैं। फिर इसके PD $U$ को $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) के रूप में खोजा जाता है )\right )\cdot x^(r) $, जहां $A$ और $B$ अज्ञात गुणांक हैं, और $r$ $i\cdot के बराबर संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है \ बीटा $। गुणांक $A$ और $B$ NDT विधि द्वारा पाए जाते हैं।

नियम संख्या 4.

LNDE-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ का रूप है, जहां $P_(n) \left(x\right)$ है डिग्री $ n$ का बहुपद, और $P_(m) \left(x\right)$ डिग्री $m$ का बहुपद है। फिर इसके PD $U$ को $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ के रूप में खोजा जाता है, जहां $Q_(s) \left(x\right) $ और $ R_(s) \left(x\right)$ डिग्री $s$ के बहुपद हैं, संख्या $s$ अधिकतम दो संख्याएं $n$ और $m$ है, और $r$ की संख्या है संबंधित LODE-2 के अभिलक्षणिक समीकरण की जड़ें, $\alpha +i\cdot \beta $ के बराबर। बहुपद $Q_(s) \left(x\right)$ और $R_(s) \left(x\right)$ के गुणांक NK विधि द्वारा पाए जाते हैं।

एनके विधि में निम्नलिखित नियम लागू करना शामिल है। बहुपद के अज्ञात गुणांकों को खोजने के लिए, जो अमानवीय अंतर समीकरण LNDE-2 के विशेष समाधान का हिस्सा हैं, यह आवश्यक है:

• LNDE-2 के बाएं भाग में सामान्य रूप में लिखे गए PD $U$ को प्रतिस्थापित करें;
• LNDE-2 के बाईं ओर, समान शक्तियों के साथ सरलीकरण और समूह शब्द निष्पादित करें $x$;
• परिणामी पहचान में, समान घात वाले पदों के गुणांकों को बाएँ और दाएँ पक्षों के $x$ के साथ समान करें;
• अज्ञात गुणांक के लिए रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें।

उदाहरण 1

कार्य: OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ खोजें। पीआर, $x=0$ के लिए $y=6$ और $x=0$ के लिए $y"=1$ की प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है।

संबंधित लोडा-2 लिखें: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$।

विशेषता समीकरण: $k^(2) -3\cdot k-18=0$। विशेषता समीकरण की जड़ें: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$। ये जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं। इस प्रकार, संबंधित LODE-2 के OR का रूप है: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $।

इस LNDE-2 के दाहिने हिस्से का रूप $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ है। घातांक $\alpha =3$ के घातांक के गुणांक पर विचार करना आवश्यक है। यह गुणांक अभिलक्षणिक समीकरण के किसी मूल से मेल नहीं खाता। इसलिए, इस एलएनडीई-2 के पीआर का रूप $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ है।

हम NK पद्धति का उपयोग करके गुणांक $A$, $B$ की तलाश करेंगे।

हम सीआर का पहला व्युत्पन्न पाते हैं:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((")) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हम सीआर का दूसरा व्युत्पन्न पाते हैं:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((")) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\बाएं(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हम दिए गए LNDE-2 $y""-3\cdot y" में $y""$, $y"$ और $y$ के बजाय फ़ंक्शन $U""$, $U"$ और $U$ को प्रतिस्थापित करते हैं। -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ उसी समय, चूंकि घातांक $e^(3\cdot x) $ शामिल है सभी घटकों में एक कारक के रूप में, तो इसे छोड़ा जा सकता है।

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

हम परिणामी समानता के बाईं ओर कार्य करते हैं:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

हम एनसी पद्धति का उपयोग करते हैं। हमें दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

इस प्रणाली का समाधान है: $A=-2$, $B=-1$।

हमारी समस्या के लिए CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ इस तरह दिखता है: $U=\left(-2\cdot x-1\right) ) \cdot e^(3\cdot x) $।

हमारी समस्या के लिए OR $y=Y+U$ इस तरह दिखता है: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ बाएँ(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $।

एक पीडी की खोज करने के लिए जो दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है, हम व्युत्पन्न $y"$ पाते हैं या:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

हम $y$ और $y"$ में प्रारंभिक शर्तों $y=6$ के लिए $x=0$ और $y"=1$ को $x=0$ के लिए प्रतिस्थापित करते हैं:

$6=सी_(1) +सी_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिली:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

हम इसे हल करते हैं। हम $C_(1) $ क्रैमर के सूत्र का उपयोग करते हुए पाते हैं, और $C_(2) $ पहले समीकरण से निर्धारित होता है:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ start(सरणी)(cc) (1) और (1) \\ (-3) और (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\बाएं(-3\दाएं)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

इस प्रकार, इस अंतर समीकरण का पीडी है: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $।

शैक्षिक संस्थान "बेलारूसी राज्य"

कृषि अकादमी"

उच्च गणित विभाग

दिशा-निर्देश

शिक्षा के पत्राचार प्रपत्र (NISPO) के लेखा विभाग के छात्रों द्वारा "दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण" विषय के अध्ययन पर

गोर्की, 2013

रैखिक अंतर समीकरण

स्थिरांक के साथ दूसरा क्रमगुणांकों

रैखिक सजातीय अंतर समीकरण

स्थिर गुणांक के साथ दूसरे क्रम का रैखिक अंतर समीकरण रूप का समीकरण कहलाता है

वे। एक समीकरण जिसमें वांछित कार्य और उसके डेरिवेटिव केवल पहली डिग्री तक होते हैं और उनके उत्पाद शामिल नहीं होते हैं। इस समीकरण में तथा
कुछ संख्याएँ हैं, और फलन
कुछ अंतराल पर दिया गया
.

यदि एक
अंतराल पर
, तो समीकरण (1) रूप लेता है

, (2)

और बुलाया रैखिक सजातीय . अन्यथा, समीकरण (1) कहा जाता है रैखिक अमानवीय .

जटिल कार्य पर विचार करें

, (3)

कहाँ पे
तथा
वास्तविक कार्य हैं। यदि फलन (3) समीकरण (2) का एक जटिल हल है, तो वास्तविक भाग
, और काल्पनिक भाग
समाधान
अलग-अलग लिए गए समान समांगी समीकरण के समाधान हैं। इस प्रकार, समीकरण (2) का कोई भी जटिल समाधान इस समीकरण के दो वास्तविक समाधान उत्पन्न करता है।

एक समांगी रैखिक समीकरण के समाधान में निम्नलिखित गुण होते हैं:

यदि एक समीकरण (2) का हल है, तो फलन
, कहाँ पे से- एक मनमाना स्थिरांक, समीकरण (2) का हल भी होगा;

यदि एक तथा समीकरण (2) के हल हैं, तो फलन
समीकरण (2) का हल भी होगा;

यदि एक तथा समीकरण (2) के हल हैं, तो उनका रैखिक संयोजन
समीकरण (2) का हल भी होगा, जहाँ तथा
मनमानी स्थिरांक हैं।

कार्यों
तथा
बुलाया रैखिक रूप से आश्रित अंतराल पर
अगर ऐसी संख्याएं हैं तथा
, जो एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, कि इस अंतराल पर समानता

यदि समानता (4) तभी धारण करती है जब
तथा
, फिर कार्य
तथा
बुलाया रैखिक रूप से स्वतंत्र अंतराल पर
.

उदाहरण 1 . कार्यों
तथा
रैखिक रूप से निर्भर हैं, क्योंकि
पूरी संख्या रेखा के साथ। इस उदाहरण में
.

उदाहरण 2 . कार्यों
तथा
समानता के बाद से, किसी भी अंतराल पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
तभी संभव है जब और
, तथा
.

एक रैखिक सजातीय के एक सामान्य समाधान का निर्माण

समीकरण

समीकरण (2) का एक सामान्य हल खोजने के लिए, आपको इसके दो रैखिक रूप से स्वतंत्र हल खोजने होंगे तथा . इन समाधानों का रैखिक संयोजन
, कहाँ पे तथा
स्वेच्छ अचर हैं, और एक रैखिक समांगी समीकरण का सामान्य हल देंगे।

समीकरण (2) के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान के रूप में मांगा जाएगा

, (5)

कहाँ पे - कुछ संख्या। फिर
,
. आइए हम इन व्यंजकों को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करें:

या
.

इसलिये
, फिर
. तो समारोह
समीकरण का हल होगा (2) यदि समीकरण को संतुष्ट करेगा

. (6)

समीकरण (6) कहा जाता है विशेषता समीकरण समीकरण (2) के लिए। यह समीकरण एक बीजीय द्विघात समीकरण है।

होने देना तथा इस समीकरण की जड़ें हैं। वे या तो वास्तविक और भिन्न, या जटिल, या वास्तविक और समान हो सकते हैं। आइए इन मामलों पर विचार करें।

चलो जड़ें तथा अभिलक्षणिक समीकरण वास्तविक और विशिष्ट होते हैं। तब समीकरण (2) के हल फलन होंगे
तथा
. समानता के बाद से ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं
केवल तभी किया जा सकता है जब
, तथा
. इसलिए, समीकरण (2) के व्यापक हल का रूप है:

,

कहाँ पे तथा
मनमानी स्थिरांक हैं।

उदाहरण 3
.

समाधान . इस अंतर के लिए विशेषता समीकरण होगा
. इस द्विघात समीकरण को हल करने पर, हम इसके मूल ज्ञात करते हैं
तथा
. कार्यों
तथा
अवकल समीकरण के हल हैं। इस समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है
.

जटिल संख्या रूप की अभिव्यक्ति कहा जाता है
, कहाँ पे तथा वास्तविक संख्याएं हैं, और
काल्पनिक इकाई कहलाती है। यदि एक
, फिर संख्या
विशुद्ध रूप से काल्पनिक कहा जाता है। यदि
, फिर संख्या
एक वास्तविक संख्या के साथ पहचाना जाता है .

संख्या सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहलाता है, और - काल्पनिक भाग। यदि दो सम्मिश्र संख्याएँ केवल काल्पनिक भाग के चिन्ह में एक दूसरे से भिन्न होती हैं, तो वे संयुग्म कहलाती हैं:
,
.

उदाहरण 4 . द्विघात समीकरण हल करें
.

समाधान . समीकरण विभेदक
. फिर। वैसे ही,
. इस प्रकार, इस द्विघात समीकरण के संयुग्मी सम्मिश्र मूल हैं।

मान लीजिए कि अभिलक्षणिक समीकरण के मूल जटिल हैं, अर्थात्।
,
, कहाँ पे
. समीकरण (2) के हल इस प्रकार लिखे जा सकते हैं:
,
या
,
. यूलर के सूत्रों के अनुसार

,
.

फिर ,। जैसा कि ज्ञात है, यदि एक जटिल कार्य एक रैखिक सजातीय समीकरण का समाधान है, तो इस समीकरण के समाधान इस फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग हैं। अत: समीकरण (2) के हल फलन होंगे
तथा
. समानता के बाद से

केवल तभी किया जा सकता है जब
तथा
, तो ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए, समीकरण (2) के सामान्य समाधान का रूप है

कहाँ पे तथा
मनमानी स्थिरांक हैं।

उदाहरण 5 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . समीकरण
दिए गए अंतर के लिए विशेषता है। हम इसे हल करते हैं और जटिल जड़ें प्राप्त करते हैं
,
. कार्यों
तथा
अवकल समीकरण के रैखिकतः स्वतंत्र हल हैं। इस समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है।

मान लीजिए कि अभिलक्षणिक समीकरण के मूल वास्तविक और समान हैं, अर्थात्।
. तब समीकरण (2) के हल फलन हैं
तथा
. ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि व्यंजक समान रूप से शून्य के बराबर तभी हो सकता है जब
तथा
. इसलिए, समीकरण (2) के सामान्य समाधान का रूप है
.

उदाहरण 6 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . विशेषता समीकरण
समान जड़ें हैं
. इस मामले में, अंतर समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान कार्य हैं
तथा
. सामान्य समाधान का रूप है
.

स्थिर गुणांक वाले अमानवीय दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण

और विशेष दाहिनी ओर

रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान (1) सामान्य समाधान के योग के बराबर है
संगत समांगी समीकरण और कोई विशेष हल
अमानवीय समीकरण:
.

कुछ मामलों में, एक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान काफी सरलता से दायीं तरफ के रूप में पाया जा सकता है
समीकरण (1)। आइए मामलों पर विचार करें जब यह संभव हो।

वे। अमानवीय समीकरण का दाहिना भाग घात का एक बहुपद है एम. यदि एक
अभिलक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है, तो घात के बहुपद के रूप में अमानवीय समीकरण का एक विशेष हल खोजा जाना चाहिए एम, अर्थात।

कठिनाइयाँ
एक विशेष समाधान खोजने की प्रक्रिया में निर्धारित होते हैं।

यदि
अभिलक्षणिक समीकरण का मूल है, तो अमानवीय समीकरण का एक विशेष हल के रूप में मांगा जाना चाहिए

उदाहरण 7 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . इस समीकरण के लिए संगत सजातीय समीकरण है
. इसकी विशेषता समीकरण
जड़ें हैं
तथा
. सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है
.

इसलिये
अभिलक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है, तो हम एक फलन के रूप में अमानवीय समीकरण का एक विशेष हल खोजेंगे
. इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न खोजें
,
और उन्हें इस समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

या । गुणांकों की बराबरी करें और मुक्त सदस्य:
इस प्रणाली को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं
,
. तब अमानवीय समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप होता है
, और इस अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान संबंधित सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान और अमानवीय के विशेष समाधान का योग होगा:
.

माना अमानवीय समीकरण का रूप है

यदि एक
अभिलक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है, तो अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान रूप में मांगा जाना चाहिए। यदि
अभिलक्षणिक बहुलता समीकरण का मूल है क (क=1 या क= 2), तो इस मामले में अमानवीय समीकरण के विशेष समाधान का रूप होगा।

उदाहरण 8 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान . संगत सजातीय समीकरण के लिए अभिलक्षणिक समीकरण का रूप है
. इसकी जड़ें
,
. इस मामले में, संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान इस प्रकार लिखा जाता है:
.

चूँकि संख्या 3 अभिलक्षणिक समीकरण का मूल नहीं है, अत: अमानवीय समीकरण का एक विशेष हल के रूप में खोजा जाना चाहिए।
. आइए पहले और दूसरे ऑर्डर के डेरिवेटिव खोजें :,

अवकल समीकरण में रखें:
+ +,
+,.

गुणांकों की बराबरी करें और मुक्त सदस्य:

यहाँ से
,
. तब इस समीकरण के एक विशेष हल का रूप होता है
, और सामान्य समाधान

.

स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की लैग्रेंज विधि

मनमाना स्थिरांक की भिन्नता की विधि को स्थिर गुणांक वाले किसी भी अमानवीय रैखिक समीकरण पर लागू किया जा सकता है, भले ही दाईं ओर का रूप कुछ भी हो। यह विधि हमेशा एक अमानवीय समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजना संभव बनाती है यदि संबंधित समरूप समीकरण का सामान्य समाधान ज्ञात हो।

होने देना
तथा
समीकरण (2) के रैखिकतः स्वतंत्र हल हैं। तब इस समीकरण का सामान्य हल है
, कहाँ पे तथा
मनमानी स्थिरांक हैं। स्वेच्छ अचरों की भिन्नता की विधि का सार यह है कि समीकरण (1) का सामान्य हल इस रूप में खोजा जाता है

कहाँ पे
तथा
- नई अज्ञात विशेषताएं मिलनी हैं। चूँकि दो अज्ञात फलन हैं, उन्हें खोजने के लिए इन फलनों वाले दो समीकरणों की आवश्यकता होती है। ये दो समीकरण सिस्टम बनाते हैं

जो के संबंध में समीकरणों की एक रैखिक बीजगणितीय प्रणाली है
तथा
. इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं
तथा
. प्राप्त समानता के दोनों भागों को एकीकृत करने पर, हम पाते हैं

तथा
.

इन व्यंजकों को (9) में प्रतिस्थापित करने पर, हम अमानवीय रैखिक समीकरण (1) का सामान्य हल प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 9 . अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए
.

समाधान। दिए गए अवकल समीकरण के संगत समांगी समीकरण के लिए अभिलक्षणिक समीकरण है
. इसकी जड़ें जटिल हैं
,
. इसलिये
तथा
, फिर
,
, और सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है तब इस अमानवीय समीकरण का सामान्य हल इस रूप में खोजा जाएगा जहां
तथा
- अज्ञात कार्य।

इन अज्ञात कार्यों को खोजने के लिए समीकरणों की प्रणाली का रूप है

इस प्रणाली को हल करते हुए, हम पाते हैं
,
. फिर

,
. आइए हम प्राप्त अभिव्यक्तियों को सामान्य समाधान सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

लैग्रेंज विधि द्वारा प्राप्त इस अवकल समीकरण का यह सामान्य हल है।

ज्ञान के आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न

किस अवकल समीकरण को अचर गुणांकों वाला द्वितीय कोटि का रैखिक अवकल समीकरण कहा जाता है?

कौन-सा रैखिक अवकल समीकरण समघात कहलाता है और कौन-सा गैर-समघात समीकरण कहलाता है?

एक रैखिक सजातीय समीकरण के गुण क्या हैं?

रेखीय अवकल समीकरण के लिए कौन-सा समीकरण अभिलक्षणिक कहलाता है और इसे कैसे प्राप्त किया जाता है?

अभिलक्षणिक समीकरण के विभिन्न मूलों के मामले में अचर गुणांकों वाले रैखिक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल किस रूप में लिखा जाता है?

अभिलक्षणिक समीकरण के समान मूलों के मामले में अचर गुणांकों वाले रैखिक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल किस रूप में लिखा जाता है?

अभिलक्षणिक समीकरण के सम्मिश्र मूलों के मामले में अचर गुणांकों वाले रैखिक समांगी अवकल समीकरण का सामान्य हल किस रूप में लिखा जाता है?

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य हल कैसे लिखा जाता है?

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान किस रूप में मांगा जाता है यदि विशेषता समीकरण की जड़ें अलग हैं और शून्य के बराबर नहीं हैं, और समीकरण का दाहिना पक्ष डिग्री का बहुपद है एम?

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान किस रूप में मांगा जाता है यदि विशेषता समीकरण की जड़ों में एक शून्य है, और समीकरण का दाहिना पक्ष डिग्री का बहुपद है एम?

लैग्रेंज विधि का सार क्या है?

यह लेख निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों को हल करने के प्रश्न को प्रकट करता है। दी गई समस्याओं के उदाहरणों के साथ सिद्धांत पर विचार किया जाएगा। अतुलनीय शब्दों को समझने के लिए, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की मूल परिभाषाओं और अवधारणाओं के विषय को संदर्भित करना आवश्यक है।

y "" + p y " + q y \u003d f (x) के निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण (एलडीई) पर विचार करें, जहां पी और क्यू मनमानी संख्याएं हैं, और मौजूदा फ़ंक्शन f (x) है एकीकरण अंतराल x पर निरंतर।

आइए हम LIDE के लिए सामान्य समाधान प्रमेय के सूत्रीकरण पर आगे बढ़ें।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

एलडीएनयू के लिए सामान्य समाधान प्रमेय

प्रमेय 1

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + के रूप के एक अमानवीय अंतर समीकरण के अंतराल x पर स्थित सामान्य समाधान। . . + f 0 (x) y = f (x) x अंतराल f 0 (x) , f 1 (x) , पर निरंतर एकीकरण गुणांक के साथ। . . , f n - 1 (x) और एक सतत फलन f (x) सामान्य समाधान y 0 के योग के बराबर है, जो LODE से संबंधित है, और कुछ विशेष समाधान y ~, जहां मूल अमानवीय समीकरण y = y 0 है + वाई ~।

इससे पता चलता है कि ऐसे दूसरे क्रम के समीकरण के हल का रूप y = y 0 + y ~ होता है। y 0 खोजने के लिए एल्गोरिथ्म पर लेख में निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरणों पर विचार किया गया है। उसके बाद, किसी को y ~ की परिभाषा के लिए आगे बढ़ना चाहिए।

LIDE के लिए किसी विशेष समाधान का चुनाव समीकरण के दाईं ओर स्थित उपलब्ध फ़ंक्शन f (x) के प्रकार पर निर्भर करता है। ऐसा करने के लिए, निरंतर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणों के समाधानों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।

जब f (x) को nवीं डिग्री f (x) = P n (x) का बहुपद माना जाता है, तो यह इस प्रकार है कि LIDE का एक विशेष समाधान y ~ = Q n (x) के रूप के सूत्र द्वारा पाया जाता है। ) x , जहाँ Q n ( x) घात n का बहुपद है, r अभिलक्षणिक समीकरण के शून्य मूलों की संख्या है। y ~ का मान एक विशेष हल y ~ "" + p y ~ "+ q y ~ = f (x) है, तो उपलब्ध गुणांक, जो बहुपद द्वारा परिभाषित होते हैं
Q n (x), हम समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) से अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करते हुए पाते हैं।

उदाहरण 1

कौची प्रमेय y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 का उपयोग करके परिकलित करें।

समाधान

दूसरे शब्दों में, स्थिर गुणांक y "" - 2 y " = x 2 + 1 के साथ दूसरे क्रम के एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के एक विशेष समाधान को पारित करना आवश्यक है, जो दी गई शर्तों को पूरा करेगा y (0) = 2 , y" (0) = 1 4 .

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान उस सामान्य समाधान का योग होता है जो समीकरण y 0 या अमानवीय समीकरण y ~ के एक विशेष समाधान से मेल खाता है, यानी y = y 0 + y ~।

सबसे पहले, आइए एलएनडीई के लिए एक सामान्य समाधान खोजें, और फिर एक विशेष समाधान खोजें।

आइए y 0 खोजने के लिए आगे बढ़ते हैं। विशेषता समीकरण लिखने से जड़ों को खोजने में मदद मिलेगी। हमें वह मिलता है

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

हमने पाया कि जड़ें अलग और वास्तविक हैं। इसलिए हम लिखते हैं

वाई 0 \u003d सी 1 ई 0 एक्स + सी 2 ई 2 एक्स \u003d सी 1 + सी 2 ई 2 एक्स।

आइए y ~ ज्ञात करें। यह देखा जा सकता है कि दिए गए समीकरण का दाहिना पक्ष दूसरी डिग्री का बहुपद है, तो जड़ों में से एक शून्य के बराबर है। यहाँ से हम पाते हैं कि y ~ के लिए एक विशेष हल होगा

वाई ~ = क्यू 2 (एक्स) एक्स \u003d (ए एक्स 2 + बी एक्स + सी) एक्स \u003d ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स, जहां ए, बी, सी के मान अपरिभाषित गुणांक लें।

आइए उन्हें y ~ "" - 2 y ~ "= x 2 + 1 के रूप की समानता से खोजें।

तब हमें वह मिलता है:

वाई ~ "" - 2 वाई ~ "= एक्स 2 + 1 (ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स) "" - 2 (ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स) "= एक्स 2 + 1 3 ए एक्स 2 + 2 बी एक्स + सी " - 6 ए एक्स 2 - 4 बी एक्स - 2 सी = एक्स 2 + 1 6 ए एक्स + 2 बी - 6 ए एक्स 2 - 4 बी एक्स - 2 सी = एक्स 2 + 1 - 6 ए एक्स 2 + एक्स (6 ए - 4 बी) + 2 बी - 2 सी = एक्स 2 + 1

गुणांकों को समान घातांक x से समीकरण करते हुए, हमें रैखिक व्यंजकों की एक प्रणाली मिलती है - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1। किसी भी तरह से हल करते समय, हम गुणांक ढूंढते हैं और लिखते हैं: ए \u003d - 1 6, बी \u003d - 1 4, सी \u003d - 3 4 और y ~ \u003d ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x ।

इस प्रविष्टि को स्थिर गुणांक वाले मूल रैखिक अमानवीय द्वितीय-क्रम अंतर समीकरण का सामान्य समाधान कहा जाता है।

एक विशेष समाधान खोजने के लिए जो y (0) = 2, y "(0) = 1 4 शर्तों को पूरा करता है, मानों को निर्धारित करना आवश्यक है सी 1तथा सी2, फॉर्म की समानता के आधार पर y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x।

हमें वह मिलता है:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

हम फॉर्म सी 1 + सी 2 = 2 2 सी 2 - 3 4 = 1 4 के समीकरणों की परिणामी प्रणाली के साथ काम करते हैं, जहां सी 1 = 3 2, सी 2 = 1 2।

कॉची प्रमेय को लागू करने पर, हमारे पास वह है

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

उत्तर: 3 2 + 1 2 ई 2 एक्स - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x।

जब फलन f (x) को घात n और एक घातांक f (x) = P n (x) e a x वाले बहुपद के गुणनफल के रूप में दर्शाया जाता है, तो यहाँ से हम प्राप्त करते हैं कि द्वितीय कोटि LIDE का एक विशेष हल होगा y ~ = e a x Q n ( x) · x के रूप का एक समीकरण, जहां Q n (x) nवीं डिग्री का एक बहुपद है, और r α के बराबर अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों की संख्या है।

Q n (x) से संबंधित गुणांक समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) द्वारा पाए जाते हैं।

उदाहरण 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x के रूप के अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

समाधान

सामान्य समीकरण y = y 0 + y ~। संकेतित समीकरण LOD y "" - 2 y " = 0 से मेल खाता है। पिछले उदाहरण से पता चलता है कि इसकी जड़ें हैं के1 = 0और k 2 = 2 और y 0 = C 1 + C 2 e 2 x अभिलक्षणिक समीकरण के अनुसार।

यह देखा जा सकता है कि समीकरण का दाहिना पक्ष x 2 + 1 · e x है। यहाँ से, LNDE y ~ = e a x Q n (x) x के माध्यम से पाया जाता है, जहाँ Q n (x) , जो दूसरी डिग्री का एक बहुपद है, जहाँ α = 1 और r = 0, क्योंकि अभिलक्षणिक समीकरण करता है 1 के बराबर जड़ नहीं है। इसलिए हम पाते हैं कि

वाई ~ = ई ए एक्स क्यू एन (एक्स) एक्स γ = ई एक्स ए एक्स 2 + बी एक्स + सी एक्स 0 = ई एक्स ए एक्स 2 + बी एक्स + सी।

ए, बी, सी अज्ञात गुणांक हैं, जिन्हें समानता y ~ "" - 2 y ~ "= (x 2 + 1) · e x द्वारा पाया जा सकता है।

मिला क्या

वाई ~ "= ई एक्स ए एक्स 2 + बी एक्स + सी" = ई एक्स ए एक्स 2 + बी एक्स + सी + ई एक्स 2 ए एक्स + बी == ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 2 ए + बी + बी + सी वाई ~ " "= ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 2 ए + बी + बी + सी" = ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 2 ए + बी + बी + सी + ई एक्स 2 ए एक्स + 2 ए + बी = = ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 4 ए + बी + 2 ए + 2 बी + सी

y ~ "" - 2 y ~ "= (x 2 + 1) e x e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + बी + सी = एक्स 2 + 1 ई एक्स ⇔ ई एक्स - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = (एक्स 2 + 1) ई एक्स ⇔ - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = एक्स 2 + 1 ⇔ - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = 1 एक्स 2 + 0 एक्स + 1

हम समान गुणांकों के लिए संकेतकों को समान करते हैं और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। यहाँ से हम A, B, C पाते हैं:

ए = 1 - बी = 0 2 ए - सी = 1 ⇔ ए = - 1 बी = 0 सी = - 3

उत्तर:यह देखा जा सकता है कि y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 LIDE का एक विशेष हल है, और y = y 0 + y = सी 1 ई 2 एक्स - ई एक्स · एक्स 2 + 3

जब फलन f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x के रूप में लिखा जाता है, और ए 1तथा पहले मेंसंख्याएँ हैं, तो y ~ = A cos β x + B sin β x x के रूप का एक समीकरण, जहाँ A और B को अनिश्चित गुणांक माना जाता है, और r विशेषता समीकरण से संबंधित जटिल संयुग्मी जड़ों की संख्या के बराबर है ± मैं β। इस मामले में, गुणांक की खोज समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) द्वारा की जाती है।

उदाहरण 3

y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) के रूप के अवकल समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

समाधान

अभिलक्षणिक समीकरण लिखने से पहले, हम y 0 पाते हैं। फिर

के 2 + 4 \u003d 0 के 2 \u003d - 4 के 1 \u003d 2 आई, के 2 \u003d - 2 मैं

हमारे पास जटिल संयुग्म जड़ों की एक जोड़ी है। आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें:

वाई 0 \u003d ई 0 (सी 1 कॉस (2 एक्स) + सी 2 पाप (2 एक्स)) \u003d सी 1 कॉस 2 एक्स + सी 2 पाप (2 एक्स)

अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों को एक संयुग्मी युग्म ± 2 i माना जाता है, फिर f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) । इससे पता चलता है कि y ~ की खोज y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x से की जाएगी। अज्ञात गुणांक ए और बी को y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) के रूप की समानता से खोजा जाएगा।

आइए रूपांतरित करें:

y ~ "= ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x)" = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + बी पाप (2 एक्स) वाई ~ "" = ((- 2 ए पाप (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स)) एक्स + ए कॉस (2 एक्स) + बी पाप (2 एक्स)) "= = (- 4 ए कॉस (2 एक्स) - 4 बी पाप (2 एक्स)) एक्स - 2 ए पाप (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स) - - 2 ए पाप (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

तब देखा जाता है कि

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (-4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x -4 एक पाप (2 x) + 4 B cos (2 x) + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

ज्या और कोज्या के गुणांकों की बराबरी करना आवश्यक है। हमें फॉर्म की एक प्रणाली मिलती है:

4 ए = 3 4 बी = 1 ⇔ ए = - 3 4 बी = 1 4

यह इस प्रकार है कि y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x।

उत्तर:स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के मूल LIDE का सामान्य हल माना जाता है

y = y 0 + y ~ = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

जब f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , तब y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x) ) cos (β x) x γ हमारे पास यह है कि r अभिलक्षणिक समीकरण से संबंधित जड़ों के सम्मिश्र संयुग्म युग्मों की संख्या है, जो α ± i β के बराबर है, जहां P n (x) , Q k (x) , L m ( एक्स) और एन एम (एक्स)घात n, k, m के बहुपद हैं, जहाँ एम = एम एक्स (एन, के). गुणांक ढूँढना एल एम (एक्स)तथा एन एम (एक्स)समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) के आधार पर उत्पादित किया जाता है।

उदाहरण 4

सामान्य हल y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ज्ञात कीजिए।

समाधान

इस शर्त से स्पष्ट है कि

α = 3, β = 5, पी एन (एक्स) = - 38 x - 45, क्यू के (एक्स) = - 8 एक्स + 5, एन = 1, के = 1

तब m = m a x (n , k) = 1 । पहले रूप के अभिलक्षणिक समीकरण को लिखकर हम y 0 पाते हैं:

के 2 - 3 के + 2 = 0 डी = 3 2 - 4 1 2 = 1 के 1 = 3 - 1 2 = 1, के 2 = 3 + 1 2 = 2

हमने पाया कि जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं। अत: y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x। इसके बाद, फॉर्म के एक अमानवीय समीकरण y ~ के आधार पर एक सामान्य समाधान की तलाश करना आवश्यक है

वाई ~ = ई α एक्स (एल एम (एक्स) पाप (β एक्स) + एन एम (एक्स) cos (β एक्स) एक्स γ = = ई 3 एक्स ((ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी x + D) sin (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))

यह ज्ञात है कि ए, बी, सी गुणांक हैं, आर = 0, क्योंकि α ± i β = 3 ± 5 · i के साथ विशेषता समीकरण से संबंधित संयुग्म जड़ों की कोई जोड़ी नहीं है। ये गुणांक परिणामी समानता से पाए जाते हैं:

y ~ "" - 3 y ~ "+ 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी एक्स + डी) पाप (5 एक्स))) "" - - 3 (ई 3 एक्स ((ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी एक्स + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

व्युत्पन्न और समान पदों को खोजने से प्राप्त होता है

ई 3 एक्स ((15 ए + 23 सी) एक्स पाप (5 एक्स) + + (10 ए + 15 बी - 3 सी + 23 डी) पाप (5 एक्स) + + (23 ए - 15 सी) एक्स कॉस (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

गुणांकों की बराबरी करने के बाद, हम फॉर्म की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं

15 ए + 23 सी = 38 10 ए + 15 बी - 3 सी + 23 डी = 45 23 ए - 15 सी = 8 - 3 ए + 23 बी - 10 सी - 15 डी = - 5 ⇔ ए = 1 बी = 1 सी = 1 डी = 1

सब से यह इस प्रकार है

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x) +1)पाप(5x))

उत्तर:अब दिए गए रैखिक समीकरण का सामान्य हल प्राप्त हो गया है:

y = y 0 + y ~ = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

एलडीएनयू को हल करने के लिए एल्गोरिदम

परिभाषा 1

समाधान के लिए किसी अन्य प्रकार का फ़ंक्शन f (x) समाधान एल्गोरिदम प्रदान करता है:

• संगत रैखिक समांगी समीकरण का सामान्य हल ज्ञात करना, जहाँ y 0 = C 1 y 1 + C 2 y 2 , जहाँ वाई 1तथा y2 LODE के रैखिक रूप से स्वतंत्र विशेष समाधान हैं, 1 सेतथा 2 . सेमनमाना स्थिरांक माने जाते हैं;
• LIDE y = C 1 (x) y 1 + C 2 (x) y 2 के सामान्य समाधान के रूप में स्वीकृति;
• C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x) की प्रणाली के माध्यम से किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की परिभाषा ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , और फलन ज्ञात करना सी 1 (एक्स)और सी 2 (एक्स) एकीकरण के माध्यम से।

उदाहरण 5

y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x का सामान्य हल ज्ञात कीजिए।

समाधान

हम पहले y 0 , y "" + 36 y = 0 लिख कर अभिलक्षणिक समीकरण लिखने के लिए आगे बढ़ते हैं। आइए लिखें और हल करें:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i, k 2 = - 6 i y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) y 1 (x) = cos (6 x), वाई 2 (एक्स) = पाप (6 एक्स)

हमारे पास यह है कि दिए गए समीकरण के सामान्य समाधान का रिकॉर्ड y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) का रूप लेगा। व्युत्पन्न कार्यों की परिभाषा को पारित करना आवश्यक है सी 1 (एक्स)तथा सी 2 (एक्स)समीकरणों के साथ प्रणाली के अनुसार:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (पाप (6 x) x)) "= 0 C 1" (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (- 6 sin (6 x) + C 2" (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

के संबंध में निर्णय लेने की आवश्यकता है सी 1 "(एक्स)तथा सी2" (एक्स)किसी भी विधि का उपयोग करना। तब हम लिखते हैं:

सी 1 "(एक्स) \u003d - 4 पाप 2 (6 एक्स) + 2 पाप (6 एक्स) कॉस (6 एक्स) - 6 ई 6 एक्स पाप (6 एक्स) सी 2 "(एक्स) \u003d 4 पाप (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

प्रत्येक समीकरण को एकीकृत किया जाना चाहिए। फिर हम परिणामी समीकरण लिखते हैं:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 ई 6 एक्स पाप (6 एक्स) + सी 4

यह इस प्रकार है कि सामान्य समाधान का रूप होगा:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 एक्स) + सी 4 पाप (6 एक्स)

उत्तर: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

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हमने यह सुनिश्चित किया है कि जब एक रैखिक समांगी समीकरण का सामान्य हल ज्ञात हो, तो स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि द्वारा एक अमानवीय समीकरण का एक सामान्य हल खोजना संभव है। हालाँकि, सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान कैसे खोजा जाए, यह सवाल खुला रहा। एक विशेष मामले में, जब रैखिक अंतर समीकरण (3) में सभी गुणांक पी मैं(एक्स)= एक मैं - स्थिरांक, इसे एकीकरण के बिना भी काफी सरलता से हल किया जाता है।

अचर गुणांकों वाले एक रैखिक समांगी अवकल समीकरण पर विचार करें, अर्थात्, रूप के समीकरण

आप (एन) + ए 1 आप (एन – 1) + ... ए एन – 1 आप " + ए एन वाई = 0, (14)

कहाँ पे एक मैं- स्थिरांक (मैं= 1, 2, ...,एन).

जैसा कि ज्ञात है, पहले क्रम के रैखिक सजातीय समीकरण के लिए, समाधान फॉर्म का एक कार्य है इ केएक्स।हम समीकरण (14) का हल इस रूप में खोजेंगे जे (एक्स) = इ केएक्स.

आइए हम समीकरण (14) फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करें जे (एक्स) और उसके आदेश डेरिवेटिव एम (1 £ एम£ एन)जे (एम) (एक्स) = के एम ई केएक्स. प्राप्त

(के एन + ए 1 कश्मीर नहीं – 1 +… और नहीं – 1 कश्मीर + एक n)ई केएक्स = 0,

लेकिन इ के एक्स ¹ 0 किसी के लिए एक्स, इसीलिए

के एन + ए 1 के एन – 1 + ... ए एन – 1 के + ए एन = 0. (15)

समीकरण (15) को कहा जाता है विशेषता समीकरण, बाईं ओर बहुपद,- विशेषता बहुपद , इसकी जड़ें- विशेषता जड़ें अंतर समीकरण (14)।

निष्कर्ष:

समारोहजे (एक्स) = इ केएक्स - रैखिक सजातीय समीकरण का हल (14) यदि और केवल यदि संख्या क - विशेषता समीकरण की जड़ (15)।

इस प्रकार, रैखिक सजातीय समीकरण (14) को हल करने की प्रक्रिया बीजगणितीय समीकरण (15) को हल करने के लिए कम हो जाती है।

विशेषता जड़ों के विभिन्न मामले हैं।

1.अभिलक्षणिक समीकरण के सभी मूल वास्तविक और विशिष्ट होते हैं।

इस मामले में एनविभिन्न विशेषता जड़ें क 1 ,क 2 ,..., कश्मीरमेल खाती है एनसमांगी समीकरण के विभिन्न हल (14)

यह दिखाया जा सकता है कि ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और इसलिए समाधान की एक मौलिक प्रणाली बनाते हैं। इस प्रकार, समीकरण का सामान्य हल फलन है

कहाँ पे से 1 , सी 2 , ..., ~ n - मनमाना स्थिरांक।

उदाहरण 7. रैखिक सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान खोजें:

एक) पर¢ ¢ (एक्स) - 6पर¢ (एक्स) + 8पर(एक्स) = 0, ख) पर¢ ¢ ¢ (एक्स) + 2पर¢ ¢ (एक्स) - 3पर¢ (एक्स) = 0.

समाधान। आइए एक विशेषता समीकरण बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम ऑर्डर व्युत्पन्न को प्रतिस्थापित करते हैं एमकार्यों आप(एक्स) इसी डिग्री के लिए

क(पर (एम) (एक्स) « के एम),

जबकि समारोह ही पर(एक्स) के रूप में ज़ीरोथ ऑर्डर व्युत्पन्न को द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है क 0 = 1.

स्थिति (ए) में, विशेषता समीकरण का रूप है क 2 - 6कश्मीर + 8 = 0. इस द्विघात समीकरण के मूल क 1 = 2,क 2 = 4. चूंकि वे वास्तविक और भिन्न हैं, इसलिए सामान्य समाधान का रूप है जे (एक्स)= सी 1 इ 2एक्स + 2 . से इ 4x।

केस (बी) के लिए, विशेषता समीकरण तीसरी डिग्री समीकरण है क 3 + 2क 2 - 3कश्मीर = 0. इस समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए:

क(क 2 + 2 क - 3)= 0 Þ क = 0i क 2 + 2 क - 3 = 0 Þ क = 0, (क - 1)(क + 3) = 0,

टी . इ . क 1 = 0, क 2 = 1, क 3 = - 3.

ये विशेषता जड़ें अंतर समीकरण के समाधान की मूलभूत प्रणाली के अनुरूप हैं:

जे 1 (एक्स)= ई 0एक्स = 1, जे 2 (एक्स) = ई एक्स, जे 3 (एक्स)= ई - 3एक्स .

सामान्य समाधान, सूत्र (9) के अनुसार, फलन है

जे (एक्स)= सी 1 + सी 2 ई एक्स + सी 3 इ - 3एक्स .

द्वितीय . अभिलक्षणिक समीकरण के सभी मूल भिन्न होते हैं, लेकिन उनमें से कुछ जटिल होते हैं।

अवकल समीकरण के सभी गुणांक (14), और फलस्वरूप, इसके अभिलक्षणिक समीकरण (15) के- वास्तविक संख्याएँ, तो यदि c अभिलक्षणिक जड़ों में एक सम्मिश्र मूल है क 1 = ए + आईबी,यानी इसकी संयुग्मी जड़ क 2 = ` क 1 = ए- आईबी.पहली जड़ क 1 अवकल समीकरण के हल से मेल खाती है (14)

जे 1 (एक्स)= ई (ए+आईबी)एक्स = ई ए एक्स ई आईबीएक्स = ई कुल्हाड़ी(cosbx + isinbx)

(हमने यूलर फॉर्मूला इस्तेमाल किया ई मैं एक्स = cosx + isinx) इसी प्रकार जड़ क 2 = ए- आईबीनिर्णय से मेल खाता है

जे 2 (एक्स)= ई (a - -ib)एक्स = ई ए एक्स ई - आईबी एक्स= ई कुल्हाड़ी(cosbx - इसिनबक्स).

ये समाधान जटिल हैं। उनसे वास्तविक समाधान प्राप्त करने के लिए, हम एक रैखिक समांगी समीकरण के समाधान के गुणों का उपयोग करते हैं (देखें 13.2)। कार्यों

समीकरण (14) के वास्तविक हल हैं। साथ ही, ये समाधान रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इस प्रकार, निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है।

नियम 1.संयुग्मी जटिल जड़ों की एक जोड़ी a± रेखीय सजातीय समीकरण के FSR में अभिलक्षणिक समीकरण का ib (14) दो वास्तविक विशेष समाधानों से मेल खाती हैतथा .

उदाहरण 8. समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए:

एक) पर¢ ¢ (एक्स) - 2पर ¢ (एक्स) + 5पर(एक्स) = 0 ;बी) पर¢ ¢ ¢ (एक्स) - पर¢ ¢ (एक्स) + 4पर ¢ (एक्स) - 4पर(एक्स) = 0.

समाधान। समीकरण (ए) के मामले में, विशेषता समीकरण की जड़ें क 2 - 2कश्मीर + 5 = 0 दो संयुग्मी सम्मिश्र संख्याएँ हैं

क 1, 2 = .

इसलिए, नियम 1 के अनुसार, वे दो वास्तविक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों के अनुरूप हैं: और, और समीकरण का सामान्य समाधान कार्य है

जे (एक्स)= सी 1 ई एक्स कोस 2एक्स + सी 2 ई एक्स पाप 2एक्स।

स्थिति (बी) में, विशेषता समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए क 3 - क 2 + 4क- 4 = 0, हम इसके बाईं ओर गुणनखंड करते हैं:

क 2 (क - 1) + 4(क - 1) = 0 Þ (क - 1)(क 2 + 4) = 0 Þ (क - 1) = 0, (क 2 + 4) = 0.

इसलिए, हमारे पास तीन विशिष्ट जड़ें हैं: क 1 = 1,k2 , 3 = ± 2मैं।कोर्नू क 1 निर्णय से मेल खाता है , और संयुग्मित जटिल जड़ों की एक जोड़ी क 2, 3 = ± 2मैं = 0 ± 2मैं- दो वास्तविक समाधान: और . हम समीकरण के सामान्य समाधान की रचना करते हैं:

जे (एक्स)= सी 1 ई एक्स + सी 2 क्योंकि 2एक्स + सी 3 पाप 2एक्स।

तृतीय . अभिलक्षणिक समीकरण के मूल में गुणज होते हैं।

होने देना क 1 - बहुलता की वास्तविक जड़ एमअभिलक्षणिक समीकरण (15), अर्थात् जड़ों में से हैं एमसमान जड़ें। उनमें से प्रत्येक अवकल समीकरण (14) के समान हल के संगत है, तथापि, शामिल करें एमएफएसआर में समान समाधान असंभव हैं, क्योंकि वे कार्यों की एक रैखिक रूप से निर्भर प्रणाली का गठन करते हैं।

यह दिखाया जा सकता है कि एक बहुमूल के मामले में कश्मीर 1समीकरण के हल (14), फलन के अतिरिक्त, फलन हैं

फलन संपूर्ण संख्या अक्ष पर रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं, क्योंकि , अर्थात, उन्हें FSR में शामिल किया जा सकता है।

नियम 2 वास्तविक विशेषता जड़ क 1 बहुलता एमएफएसआर में मेल खाती है एमसमाधान:

यदि एक क 1 - बहुलता की जटिल जड़ एमअभिलक्षणिक समीकरण (15), तब एक संयुग्मी मूल होता है क 1 बहुलता एम. सादृश्य से, हम निम्नलिखित नियम प्राप्त करते हैं।

नियम 3. संयुग्मी जटिल जड़ों की एक जोड़ी a± एफएसआर में आईबी 2m वास्तविक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान से मेल खाती है:

, , ..., ,

, , ..., .

उदाहरण 9. समीकरण का सामान्य हल ज्ञात कीजिए:

एक) पर¢ ¢ ¢ (एक्स) + 3पर¢ ¢ (एक्स) + 3पर¢ (एक्स)+ y ( एक्स)= 0;बी) चतुर्थ(एक्स) + 6पर¢ ¢ (एक्स) + 9पर(एक्स) = 0.

समाधान। स्थिति (ए) में, विशेषता समीकरण का रूप है

क 3 + 3 क 2 + 3 क + 1 = 0

(कश्मीर + 1) 3 = 0,

अर्थात। कश्मीर =- 1 - गुणनमूल 3. नियम 2 के आधार पर, हम सामान्य हल लिखते हैं:

जे (एक्स)= सी 1 + सी 2 एक्स + सी 3 एक्स 2 .

स्थिति (बी) में विशेषता समीकरण समीकरण है

क 4 + 6क 2 + 9 = 0

या अन्यथा,

(क 2 + 3) 2 = 0 Þ क 2 = - 3 Þ क 1, 2 = ± मैं ।

हमारे पास संयुग्मी सम्मिश्र जड़ों का एक युग्म है, जिनमें से प्रत्येक की बहुलता 2 है। नियम 3 के अनुसार, व्यापक हल इस प्रकार लिखा जाता है:

जे (एक्स)= सी 1 + सी 2 एक्स + सी 3 + सी 4 एक्स ।

ऊपर से यह इस प्रकार है कि निरंतर गुणांक वाले किसी भी रैखिक सजातीय समीकरण के लिए, कोई समाधान की एक मौलिक प्रणाली ढूंढ सकता है और एक सामान्य समाधान बना सकता है। इसलिए, किसी भी सतत फलन के लिए संगत अमानवीय समीकरण का हल एफ(एक्स) मनमाने स्थिरांकों के परिवर्तन की विधि का उपयोग करके दाईं ओर पाया जा सकता है (खंड 5.3 देखें)।

उदाहरण r10। भिन्नता की विधि का उपयोग करके, अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान खोजें पर¢ ¢ (एक्स) - पर¢ (एक्स) - 6पर(एक्स) = एक्स ई 2एक्स .

समाधान। सबसे पहले, हम संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य हल ढूंढते हैं पर¢ ¢ (एक्स) - पर¢ (एक्स) - 6पर(एक्स) = 0. अभिलक्षणिक समीकरण के मूल क 2 - क- 6 = 0 हैं क 1 = 3,क 2 = - 2, ए सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान - समारोह ` पर ( एक्स) = सी 1 इ 3एक्स + सी 2 इ - 2एक्स .

हम इस रूप में अमानवीय समीकरण के समाधान की तलाश करेंगे

पर( एक्स) = से 1 (एक्स)इ 3एक्स + सी 2 (एक्स)इ 2एक्स . (*)

आइए व्रोन्स्की निर्धारक खोजें

वू[इ 3एक्स , इ 2एक्स ] = .

आइए अज्ञात कार्यों के व्युत्पन्न के संबंध में समीकरणों की प्रणाली (12) की रचना करें से ¢ 1 (एक्स) तथा से¢ 2 (एक्स):

Cramer's फ़ार्मुलों का उपयोग करके सिस्टम को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

एकीकृत करना, हम पाते हैं से 1 (एक्स) तथा से 2 (एक्स):

प्रतिस्थापन कार्य से 1 (एक्स) तथा से 2 (एक्स) समानता (*) में, हम समीकरण का सामान्य हल प्राप्त करते हैं पर¢ ¢ (एक्स) - पर¢ (एक्स) - 6पर(एक्स) = एक्स ई 2एक्स :

उस स्थिति में जब स्थिर गुणांक वाले रैखिक अमानवीय समीकरण के दाहिने पक्ष का एक विशेष रूप होता है, अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान मनमाने स्थिरांक की भिन्नता की विधि का सहारा लिए बिना पाया जा सकता है।

स्थिर गुणांक वाले समीकरण पर विचार करें

आप (एन) + एक 1 वर्ष (एन– 1) + ... ए एन – 1 साल " + ए एन वाई = एफ (एक्स), (16)

एफ( एक्स) = इकुल्हाड़ी(पी न(एक्स)cosbx + आरएम(एक्स)सिनबक्स), (17)

कहाँ पे पी न(एक्स) तथा आर एम(एक्स) - डिग्री बहुपद एन तथा एमक्रमश।

निजी समाधान वाई*(एक्स) समीकरण का (16) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

पर* (एक्स) = एक्स एसइ कुल्हाड़ी(श्री(एक्स)cosbx + Nr(एक्स)सिनबक्स), (18)

कहाँ पे श्री(एक्स) तथा एन रे(एक्स) - डिग्री बहुपद आर = अधिकतम(एन, एम) अनिश्चित गुणांक के साथ , एक एसजड़ की बहुलता के बराबर क 0 = ए + आईबीसमीकरण (16) का अभिलक्षणिक बहुपद, जबकि यह माना जाता है एस = 0 अगर क 0 एक विशेषता जड़ नहीं है।

सूत्र (18) का उपयोग करके एक विशेष समाधान तैयार करने के लिए, हमें चार पैरामीटर खोजने होंगे - ए, बी, आरतथा एस।पहले तीन समीकरण के दाईं ओर से निर्धारित होते हैं आर- यह वास्तव में उच्चतम है एक्सदाईं ओर पाया गया। पैरामीटर एससंख्या की तुलना करके पाया जाता है क 0 = ए + आईबीतथा सभी का समुच्चय (गुणों को ध्यान में रखते हुए) समीकरण (16) के अभिलक्षणिक मूल जो संगत सजातीय समीकरण को हल करने में पाए जाते हैं।

आइए हम फलन के रूप (17) के विशेष मामलों पर विचार करें:

1) पर एक ¹ 0, बी= 0एफ(एक्स)= ई कुल्हाड़ी पी n(एक्स);

2) कब एक= 0, बी ¹ 0एफ(एक्स)= पी न(एक्स) साथओएसबीएक्स + आरएम(एक्स)सिनबक्स;

3) कब एक = 0, बी = 0एफ(एक्स)= पीएन(एक्स).

टिप्पणी 1. यदि पी एन (एक्स) º 0 या आर एम (एक्स)º 0 है, तो समीकरण का दाहिना भाग f(x) = e ax P n (x)с osbx या f(x) = e ax R m (x)sinbx, अर्थात इसमें केवल एक फलन है। - कोसाइन या साइन। लेकिन एक विशेष समाधान के संकेतन में, वे दोनों मौजूद होने चाहिए, क्योंकि, सूत्र (18) के अनुसार, उनमें से प्रत्येक को एक बहुपद से गुणा किया जाता है, जिसमें समान डिग्री r = अधिकतम (n, m) के अनिश्चित गुणांक होते हैं।

उदाहरण 11. स्थिर गुणांक वाले चौथे क्रम के रैखिक समांगी समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप निर्धारित करें, यदि समीकरण का दाहिना पक्ष ज्ञात है एफ(एक्स) = ई एक्स(2xcos 3एक्स +(एक्स 2 + 1)पाप 3एक्स) और विशेषता समीकरण की जड़ें:

एक ) क 1 = के 2 = 1, क 3 = 3,क 4 = - 1;

बी ) क 1, 2 = 1 ± 3मैं,क 3, 4 = ± 1;

में ) क 1, 2 = 1 ± 3मैं,क 3, 4 = 1 ± 3मैं।

समाधान। दाईं ओर, हम पाते हैं कि विशेष समाधान में पर*(एक्स), जो सूत्र (18), मापदंडों द्वारा निर्धारित किया जाता है: एक= 1, बी= 3, आर = 2. वे तीनों स्थितियों के लिए समान रहते हैं, इसलिए संख्या क 0 , जो अंतिम पैरामीटर निर्दिष्ट करता है एससूत्र (18) बराबर है क 0 = 1+ 3मैं. स्थिति (ए) में विशेषता जड़ों में कोई संख्या नहीं है क 0 = 1 + 3मैं,साधन, एस= 0, और विशेष समाधान का रूप है

वाई*(एक्स) = एक्स 0 भूतपूर्व(एम 2 (एक्स)क्योंकि 3एक्स + एन 2 (एक्स)पाप 3एक्स) =

= इएक्स( (कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी)क्योंकि 3एक्स +(ए 1 एक्स 2 +बी 1 एक्स + सी 1)पाप 3एक्स।

मामले में (बी) संख्या क 0 = 1 + 3मैंविशेषता जड़ों में से केवल एक बार होता है, जिसका अर्थ है कि एस = 1 तथा

वाई*(एक्स) = एक्स ई एक्स((कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी)क्योंकि 3एक्स +(ए 1 एक्स 2 +बी 1 एक्स + सी 1)पाप 3एक्स।

स्थिति (सी) के लिए हमारे पास है एस = 2 और

वाई*(एक्स) = एक्स 2 भूतपूर्व((कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी)क्योंकि 3एक्स +(ए 1 एक्स 2 +बी 1 एक्स + सी 1)पाप 3एक्स।

उदाहरण 11 में, विशेष समाधान के रिकॉर्ड में अनिश्चित गुणांक वाले दूसरी डिग्री के दो बहुपद हैं। समाधान खोजने के लिए, आपको इन गुणांकों के संख्यात्मक मान निर्धारित करने की आवश्यकता है। आइए एक सामान्य नियम तैयार करें।

बहुपदों के अज्ञात गुणांक ज्ञात करने के लिए श्री(एक्स) तथा एन रे(एक्स) समानता (17) को आवश्यक संख्या में विभेदित किया जाता है, फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित किया जाता है वाई*(एक्स) और इसके डेरिवेटिव समीकरण (16) में। इसके बाएँ और दाएँ भागों की तुलना करके, गुणांक खोजने के लिए बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त की जाती है।

उदाहरण 12. समीकरण का हल ज्ञात कीजिए पर¢ ¢ (एक्स) - पर¢ (एक्स) - 6पर(एक्स) = xe 2एक्स, दायीं ओर के रूप द्वारा अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान निर्धारित किया है।

समाधान। अमानवीय समीकरण के सामान्य समाधान का रूप है

पर( एक्स) = ` पर(एक्स)+ वाई*(एक्स),

कहाँ पे ` पर ( एक्स) - संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान, और वाई*(एक्स) - एक अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान।

पहले हम सजातीय समीकरण हल करते हैं पर¢ ¢ (एक्स) - पर¢ (एक्स) - 6पर(एक्स) = 0. इसका अभिलक्षणिक समीकरण क 2 - क- 6 = 0 दो जड़ें हैं क 1 = 3,क 2 = - 2, फलस्वरूप, ` पर ( एक्स) = सी 1 इ 3एक्स + सी 2 इ - 2एक्स .

हम विशेष समाधान के प्रकार को निर्धारित करने के लिए सूत्र (18) का उपयोग करते हैं पर*(एक्स) समारोह एफ(एक्स) = xe 2एक्स सूत्र (17) का एक विशेष मामला (ए) है, जबकि ए = 2,ख = 0 तथा आर = 1, अर्थात। क 0 = 2 + 0मैं = 2. अभिलक्षणिक जड़ों की तुलना में, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एस = 0. सभी मापदंडों के मूल्यों को सूत्र (18) में प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है वाई*(एक्स) = (आह + बी)इ 2एक्स .

मूल्यों को खोजने के लिए लेकिनतथा पर, फ़ंक्शन के पहले और दूसरे ऑर्डर के व्युत्पन्न खोजें वाई*(एक्स) = (आह + बी)इ 2एक्स :

वाई*¢ (एक्स)= एई 2एक्स + 2(आह + बी)इ 2एक्स = (2आह + ए + 2बी)इ 2x,

वाई*¢ ¢ (एक्स) = 2ऐ 2एक्स + 2(2आह + ए + 2बी)इ 2एक्स = (4आह + 4ए+ 4बी)इ 2एक्स .

फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करने के बाद वाई*(एक्स) और इसके डेरिवेटिव हमारे पास समीकरण में हैं

(4आह + 4ए+ 4बी)इ 2एक्स - (2आह + ए + 2बी)इ 2एक्स - 6(आह + बी)इ 2एक्स =xe 2एक्स Þ Þ ए =- 1/4,बी =- 3/16.

इस प्रकार, अमानवीय समीकरण के एक विशेष समाधान का रूप होता है

वाई*(एक्स) = (- 1/4एक्स- 3/16)इ 2एक्स ,

और सामान्य समाधान - पर ( एक्स) = सी 1 इ 3एक्स + सी 2 इ - 2एक्स + (- 1/4एक्स- 3/16)इ 2एक्स .

टिप्पणी 2.मामले में जब एक अमानवीय समीकरण के लिए कॉची समस्या उत्पन्न होती है, तो सबसे पहले समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजना चाहिए

पर( एक्स) = ,

गुणांक के सभी संख्यात्मक मूल्यों को निर्धारित करने के बाद पर*(एक्स) फिर प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करें और उन्हें सामान्य समाधान में प्रतिस्थापित करें (और नहीं .) वाई*(एक्स)), स्थिरांक के मान ज्ञात कीजिए सी मैं.

उदाहरण 13. कॉची समस्या का समाधान खोजें:

पर¢ ¢ (एक्स) - पर¢ (एक्स) - 6पर(एक्स) = xe 2एक्स , यू(0) = 0, आप ¢ (एक्स) = 0.

समाधान। इस समीकरण का सामान्य हल

पर(एक्स) = सी 1 इ 3एक्स + सी 2 इ - 2एक्स + (- 1/4एक्स- 3/16)इ 2एक्स

उदाहरण 12 में पाया गया था। एक विशेष समाधान खोजने के लिए जो दी गई कॉची समस्या की प्रारंभिक शर्तों को संतुष्ट करता है, हम समीकरणों की प्रणाली प्राप्त करते हैं

इसे हल करना, हमारे पास है सी 1 = 1/8, सी 2 = 1/16। इसलिए, कॉची समस्या का समाधान कार्य है

पर(एक्स) = 1/8इ 3एक्स + 1/16इ - 2एक्स + (- 1/4एक्स- 3/16)इ 2एक्स .

टिप्पणी 3(अध्यारोपण सिद्धांत). यदि एक रैखिक समीकरण में एल नहीं[आप(एक्स)]= एफ(एक्स), कहाँ पे एफ(एक्स) = एफ 1 (एक्स)+f 2 (एक्स) तथा वाई* 1 (एक्स) - समीकरण का हल एल नहीं[आप(एक्स)]= एफ 1 (एक्स), एक वाई* 2 (एक्स) - समीकरण का हल एल नहीं[आप(एक्स)]= एफ 2 (एक्स), फिर समारोह वाई*(एक्स)= वाई* 1 (एक्स)+ वाई* 2 (एक्स) है समीकरण का हल एल नहीं[आप(एक्स)]= एफ(एक्स).

उदाहरण 14. रैखिक समीकरण के सामान्य समाधान के रूप को इंगित करें

पर¢ ¢ (एक्स) + 4पर(एक्स) = एक्स + सिनक्स।

समाधान। समरूप समीकरण का सामान्य हल

` पर(एक्स) = सी 1 क्योंकि 2एक्स + सी 2 पाप 2एक्स,

विशेषता समीकरण के बाद से क 2 + 4 = 0 की जड़ें हैं क 1, 2 = ± 2मैं। समीकरण का दाहिना पक्ष सूत्र (17) के अनुरूप नहीं है, लेकिन यदि हम संकेतन का परिचय देते हैं एफ 1 (एक्स) = एक्स, एफ 2 (एक्स) = sinxऔर अध्यारोपण के सिद्धांत का प्रयोग करें , तब अमानवीय समीकरण का एक विशेष हल के रूप में पाया जा सकता है वाई*(एक्स)= वाई* 1 (एक्स)+ वाई* 2 (एक्स), कहाँ पे वाई* 1 (एक्स) - समीकरण का हल पर¢ ¢ (एक्स) + 4पर(एक्स) = एक्स, एक वाई* 2 (एक्स) - समीकरण का हल पर¢ ¢ (एक्स) + 4पर(एक्स) = sinx.सूत्र द्वारा (18)

वाई* 1 (एक्स) = कुल्हाड़ी + बी,वाई* 2 (एक्स) = Ccosx + Dsinx।

फिर एक खास उपाय

वाई*(एक्स) \u003d कुल्हाड़ी + बी + Ccosx + Dsinx,

इसलिए सामान्य समाधान का रूप है

पर(एक्स) = सी 1 क्योंकि 2एक्स + सी 2 इ - 2एक्स + ए x + B + Ccosx + Dsinx।

उदाहरण 15. विद्युत परिपथ में ईएमएफ के साथ एक श्रृंखला-जुड़ा हुआ वर्तमान स्रोत होता है इ(टी) = ई पापवूटी,अधिष्ठापन लीऔर कंटेनर से, तथा