पावर फ़ंक्शन पर विचार करने की सुविधा के लिए, हम 4 अलग-अलग मामलों पर विचार करेंगे: एक प्राकृतिक एक्सपोनेंट के साथ एक पावर फ़ंक्शन, एक पूर्णांक एक्सपोनेंट वाला एक पावर फ़ंक्शन, एक तर्कसंगत एक्सपोनेंट वाला पावर फ़ंक्शन, और एक अपरिमेय एक्सपोनेंट वाला पावर फ़ंक्शन।

प्राकृतिक एक्सपोनेंट के साथ पावर फ़ंक्शन

आरंभ करने के लिए, हम एक प्राकृतिक प्रतिपादक के साथ डिग्री की अवधारणा का परिचय देते हैं।

परिभाषा 1

प्राकृतिक घातांक $n$ के साथ एक वास्तविक संख्या $a$ की शक्ति $n$ कारकों के गुणनफल के बराबर एक संख्या है, जिनमें से प्रत्येक संख्या $a$ के बराबर है।

चित्र 1।

$a$ डिग्री का आधार है।

$n$ - प्रतिपादक।

अब एक प्राकृतिक घातांक, उसके गुणों और ग्राफ के साथ एक घात फलन पर विचार करें।

परिभाषा 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ को प्राकृतिक घातांक वाला पावर फंक्शन कहा जाता है।

अधिक सुविधा के लिए, अलग-अलग घातांक $f\left(x\right)=x^(2n)$ और विषम घातांक $f\left(x\right)=x^(2n- के साथ पावर फ़ंक्शन के साथ पावर फ़ंक्शन पर विचार करें। 1)$ ($n\n में)$।

प्राकृतिक सम घातांक के साथ एक शक्ति फलन के गुण

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ एक सम फलन है।

दायरा - $ \

फ़ंक्शन $x\in (-\infty ,0)$ के रूप में घटता है और $x\in (0,+\infty)$ के रूप में बढ़ता है।

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$

फ़ंक्शन परिभाषा के संपूर्ण डोमेन पर उत्तल है।

दायरे के अंत में व्यवहार:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

ग्राफ (चित्र 2)।

चित्र 2. फ़ंक्शन का ग्राफ $f\left(x\right)=x^(2n)$

प्राकृतिक विषम घातांक के साथ एक शक्ति फलन के गुण

परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ एक विषम फलन है।

$f(x)$ परिभाषा के पूरे डोमेन पर निरंतर है।

रेंज सभी वास्तविक संख्याएं हैं।

$f"\बाएं(x\दाएं)=\बाएं(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

परिभाषा के पूरे क्षेत्र में फ़ंक्शन बढ़ता है।

$f\बाएं(x\दाएं)0$, $x\in (0,+\infty)$ के लिए।

$f(""\बाएं(x\दाएं))=(\बाएं(\बाएं(2n-1\दाएं)\cdot x^(2\बाएं(n-1\दाएं))\दाएं))"=2 \बाएं(2n-1\दाएं)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

फ़ंक्शन $x\in (-\infty ,0)$ के लिए अवतल है और $x\in (0,+\infty)$ के लिए उत्तल है।

ग्राफ (चित्र 3)।

चित्र 3. फ़ंक्शन का ग्राफ $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

पूर्णांक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन

आरंभ करने के लिए, हम एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री की अवधारणा का परिचय देते हैं।

परिभाषा 3

एक वास्तविक संख्या $a$ की डिग्री एक पूर्णांक घातांक $n$ के साथ सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है:

चित्र 4

अब एक पूर्णांक घातांक के साथ एक घात फलन पर विचार करें, इसके गुण और ग्राफ।

परिभाषा 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ को इंटीजर एक्सपोनेंट वाला पावर फंक्शन कहा जाता है।

यदि डिग्री शून्य से अधिक है, तो हम एक प्राकृतिक घातांक वाले घात फलन के मामले में आते हैं। इसकी चर्चा हम ऊपर कर चुके हैं। $n=0$ के लिए हमें एक रैखिक फलन $y=1$ मिलता है। हम इसका विचार पाठक पर छोड़ते हैं। यह एक नकारात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करने के लिए बनी हुई है

एक नकारात्मक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति समारोह के गुण

दायरा $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ है।

यदि घातांक सम है, तो फलन सम है, यदि विषम है, तो फलन विषम है।

$f(x)$ परिभाषा के पूरे डोमेन पर निरंतर है।

मूल्य की सीमा:

यदि घातांक सम है, तो $(0,+\infty)$, यदि विषम है, तो $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$।

यदि घातांक विषम है, तो फ़ंक्शन $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ के रूप में घटता है। एक सम घातांक के लिए, फ़ंक्शन $x\in (0,+\infty)$ के रूप में घटता है। और $x\in \left(-\infty ,0\right)$ के रूप में बढ़ता है।

पूरे डोमेन पर $f(x)\ge 0$

1. पावर फंक्शन, इसके गुण और ग्राफ;

2. परिवर्तन:

समानांतर स्थानांतरण;

समन्वय अक्षों के बारे में समरूपता;

उत्पत्ति के बारे में समरूपता;

रेखा y = x के बारे में सममिति;

समन्वय अक्षों के साथ खिंचाव और सिकुड़ना।

3. एक घातीय कार्य, इसके गुण और ग्राफ, समान परिवर्तन;

4. लघुगणक फलन, इसके गुण और ग्राफ;

5. त्रिकोणमितीय फलन, इसके गुण और ग्राफ, समान परिवर्तन (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

फलन: y = x\n - इसके गुण और ग्राफ।

पावर फंक्शन, इसके गुण और ग्राफ

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / xआदि। ये सभी फ़ंक्शन पावर फ़ंक्शन के विशेष मामले हैं, यानी, फ़ंक्शन वाई = एक्सपीजहाँ p एक वास्तविक संख्या है।
एक शक्ति फ़ंक्शन के गुण और ग्राफ अनिवार्य रूप से एक वास्तविक घातांक के साथ एक शक्ति के गुणों पर और विशेष रूप से उन मूल्यों पर निर्भर करते हैं जिनके लिए एक्सऔर पीसमझ में आता है एक्सपी. आइए हम विभिन्न मामलों पर एक समान विचार के लिए आगे बढ़ें, जो निम्न पर निर्भर करता है:
प्रतिपादक पी।

1. सूचक पी = 2एनएक सम प्राकृत संख्या है।

y=x2n, कहाँ पे एनएक प्राकृतिक संख्या है और इसमें निम्नलिखित गुण हैं:

• परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, अर्थात् समुच्चय R;
• मानों का सेट - गैर-ऋणात्मक संख्याएं, यानी y 0 से अधिक या उसके बराबर है;
• समारोह y=x2nयहां तक ​​कि, क्योंकि एक्स 2एन = (-एक्स) 2एन
• समारोह अंतराल पर घट रहा है एक्स< 0 और अंतराल पर बढ़ रहा है एक्स > 0.

फंक्शन ग्राफ y=x2nएक ही रूप है, उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ वाई = x4.

2. संकेतक पी = 2एन - 1- विषम प्राकृतिक संख्या

इस मामले में, शक्ति समारोह वाई = x2n-1, जहां एक प्राकृतिक संख्या है, निम्नलिखित गुण हैं:

• परिभाषा का क्षेत्र - सेट आर;
• मूल्यों का सेट - आर सेट करें;
• समारोह वाई = x2n-1अजीब है क्योंकि (- एक्स) 2एन-1= एक्स 2एन-1;
• संपूर्ण वास्तविक अक्ष पर फलन बढ़ रहा है।

फंक्शन ग्राफ वाई = x2n-1 वाई = x3.

3. संकेतक पी=-2एन, कहाँ पे एन-प्राकृतिक संख्या।

इस मामले में, शक्ति समारोह y=x-2n=1/x2nनिम्नलिखित गुण हैं:

• मूल्यों का सेट - सकारात्मक संख्या y>0;
• समारोह y = 1/x2nयहां तक ​​कि, क्योंकि 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• अंतराल x0 पर फलन बढ़ रहा है।

फंक्शन का ग्राफ y = 1/x2nएक ही रूप है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y . का ग्राफ = 1/x2.

4. संकेतक पी = -(2एन-1), कहाँ पे एन- प्राकृतिक संख्या।
इस मामले में, शक्ति समारोह y=x-(2n-1)निम्नलिखित गुण हैं:

• x = 0 को छोड़कर, परिभाषा का क्षेत्र समुच्चय R है;
• मानों का सेट - y = 0 को छोड़कर, R सेट करें;
• समारोह y=x-(2n-1)अजीब है क्योंकि (- एक्स)-(2एन-1) = -एक्स-(2एन-1);
• समारोह अंतराल पर घट रहा है एक्स< 0 और एक्स > 0.

फंक्शन ग्राफ y=x-(2n-1)एक ही रूप है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का ग्राफ वाई = 1/x3.