उलटा मैट्रिक्स · यदि समानता सत्य है तो मैट्रिक्स बी को मैट्रिक्स का व्युत्क्रम कहा जाता है:। पद का नाम: − केवल चौकोरएक मैट्रिक्स में व्युत्क्रम मैट्रिक्स हो सकता है। − हर वर्ग नहींमैट्रिक्स में एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स होता है। गुण: 1. ; 2. ; 3. , जहां आव्यूह वर्गाकार और समान आयाम के हैं। सामान्यतया, यदि गैर-वर्ग मैट्रिक्स के लिए एक उत्पाद संभव है, जो एक वर्ग मैट्रिक्स होगा, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स का अस्तित्व भी संभव है , यद्यपि 3-संपत्ति का उल्लंघन किया गया है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए, आप प्राथमिक पंक्ति परिवर्तनों की विधि का उपयोग कर सकते हैं: 1. मूल मैट्रिक्स के दाईं ओर उचित आयाम का एक पहचान मैट्रिक्स निर्दिष्ट करके एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं: . 2. मैट्रिक्स पंक्तियों का प्राथमिक परिवर्तन जीफॉर्म की ओर ले जाएं: . − मैट्रिक्स की आवश्यक रैंक · मैट्रिक्स के kवें क्रम का लघुगणक किसी भी k पंक्तियों और k स्तंभों के प्रतिच्छेदन पर स्थित मूल मैट्रिक्स के तत्वों से बना एक निर्धारक है ( ). टिप्पणी. मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व इसका प्रथम क्रम का लघु है। प्रमेय.यदि किसी मैट्रिक्स में kवें क्रम के सभी लघु शून्य के बराबर हैं, तो उच्च क्रम के सभी लघु शून्य के बराबर हैं। आइए हम लघु (निर्धारक) का विस्तार करें ( क+1)पहली पंक्ति के तत्वों के माध्यम से वें क्रम:। बीजगणितीय पूरक मूलतः लघु हैं क-क्रम, जो प्रमेय की शर्तों के अनुसार शून्य के बराबर है। इस तरह, । · ऑर्डर मैट्रिक्स में, ऑर्डर के माइनर को बेसिक कहा जाता है यदि यह शून्य के बराबर नहीं है, और ऑर्डर और उच्चतर के सभी माइनर शून्य के बराबर हैं या बिल्कुल मौजूद नहीं हैं, यानी। या से छोटी संख्याओं से मेल खाता है।मैट्रिक्स के वे कॉलम और पंक्तियाँ जिनसे आधार लघु खड़ा होता है, आधार कहलाते हैं। एक मैट्रिक्स में कई अलग-अलग आधार माइनर हो सकते हैं जिनका क्रम समान हो। · मैट्रिक्स के आधार माइनर के क्रम को मैट्रिक्स की रैंक कहा जाता हैऔर द्वारा चिह्नित: , . यह तो स्पष्ट है कि. उदाहरण के लिए. 1. , . 2. . आव्यूह मेंइसमें एक गैर-शून्य तत्व शामिल है जो प्रथम क्रम का लघु तत्व है। सभी उच्च क्रम निर्धारकों में 0वीं पंक्ति होगी और इसलिए वे 0 के बराबर हैं। इसलिए,। उलटा मैट्रिक्स 4. रैखिक समीकरणों की प्रणाली. बुनियादी अवधारणाओं।रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली ( रैखिक प्रणाली, संक्षिप्ताक्षरों का भी उपयोग किया जाता है टूटना, एसएलयू) - समीकरणों की एक प्रणाली, जिसमें प्रत्येक समीकरण पहली डिग्री का एक रैखिक-बीजगणितीय समीकरण है। रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली का सामान्य दृश्य: यहां समीकरणों की संख्या है, और चरों की संख्या है, अज्ञात हैं जिन्हें निर्धारित करने की आवश्यकता है, गुणांक और मुक्त पद हैं ज्ञात माना जाता है। सिस्टम कहा जाता है सजातीय, यदि इसके सभी मुक्त पद शून्य () के बराबर हैं, अन्यथा - विजातीय. रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान संख्याओं का एक सेट है जैसे कि सिस्टम में संबंधित प्रतिस्थापन इसके सभी समीकरणों को पहचान में बदल देता है। किसी प्रणाली को सुसंगत तब कहा जाता है जब उसमें कम से कम एक समाधान हो, और असंगत तब कहा जाता है जब उसमें कोई समाधान न हो। यदि चर का कम से कम एक मान मेल नहीं खाता है तो समाधान भिन्न माने जाते हैं। एक एकल समाधान वाली संयुक्त प्रणाली को निश्चित कहा जाता है; यदि एक से अधिक समाधान हैं, तो इसे अनिर्धारित कहा जाता है। मैट्रिक्स फॉर्म रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली को मैट्रिक्स फॉर्म में इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: या: । यहां सिस्टम का मैट्रिक्स है, अज्ञात का कॉलम है, और मुक्त शब्दों का कॉलम है। यदि किसी मैट्रिक्स के दाईं ओर मुक्त पदों का एक कॉलम जोड़ा जाता है, तो परिणामी मैट्रिक्स को विस्तारित कहा जाता है। क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय क्रोनेकर-कैपेली प्रमेयमैट्रिक्स अभ्यावेदन के गुणों के माध्यम से रैखिक बीजीय समीकरणों की एक प्रणाली की अनुकूलता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त स्थापित करता है: एक प्रणाली संगत है यदि और केवल तभी जब उसके मैट्रिक्स की रैंक विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के साथ मेल खाती है। रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की विधियाँ। मैट्रिक्स विधि अज्ञात (एक मनमाना क्षेत्र पर) के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली दी जाए: आइए इसे मैट्रिक्स रूप में फिर से लिखें: हम सूत्र का उपयोग करके सिस्टम का समाधान ढूंढेंगे। हम सूत्र का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूंढेंगे: मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजगणितीय पूरकों का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स कहां है। यदि, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं है, और मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना असंभव है। इस मामले में, सिस्टम को गाऊसी विधि द्वारा हल किया जाता है। क्रैमर की विधि क्रैमर की विधि (क्रैमर का नियम) मैट्रिक्स के गैर-शून्य प्रमुख निर्धारक के साथ अज्ञात की संख्या के बराबर समीकरणों की संख्या के साथ SLAE को हल करने की एक विधि है। अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए हम मैट्रिक्स के i-वें कॉलम को मुक्त पदों वाले कॉलम से प्रतिस्थापित करते हैं b उदाहरण: वास्तविक गुणांक वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली: क्वालिफायर: निर्धारकों में, संबंधित अज्ञात के लिए गुणांक के कॉलम को सिस्टम के मुक्त शब्दों के कॉलम से बदल दिया जाता है। समाधान: 5. गाऊसी विधिसमाधान एल्गोरिदम: 1. विस्तारित मैट्रिक्स लिखें 2. प्रारंभिक परिवर्तनों द्वारा इसे चरणबद्ध रूप में कम करें 3. चाल को उलट दें, जिसके दौरान हम आधार शर्तों को मुक्त के रूप में व्यक्त करते हैं। मैट्रिक्स में डमी शब्दों का एक कॉलम जोड़कर एक संवर्धित मैट्रिक्स प्राप्त किया जाता है। निम्नलिखित प्राथमिक परिवर्तन हैं: 1. मैट्रिक्स की पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। 2. यदि मैट्रिक्स में आनुपातिक (विशेष मामले के रूप में, समान) पंक्तियाँ हैं (या दिखाई दी हैं), तो एक को छोड़कर इन सभी पंक्तियों को मैट्रिक्स से हटा दिया जाना चाहिए। 3. यदि परिवर्तन के दौरान मैट्रिक्स में शून्य पंक्ति दिखाई देती है, तो उसे भी हटा दिया जाना चाहिए। 4. एक मैट्रिक्स पंक्ति को किसी भी संख्या से गुणा (विभाजित) किया जा सकता है, शून्येतर. 5. आप मैट्रिक्स पंक्ति में शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करके एक और पंक्ति जोड़ सकते हैं। प्राथमिक परिवर्तन समीकरणों की प्रणाली के समाधान को नहीं बदलते हैं। रिवर्स: आमतौर पर, वे चर जो सिस्टम के रूपांतरित मैट्रिक्स की गैर-शून्य पंक्तियों में पहले स्थान पर स्थित होते हैं, उन्हें मूल चर के रूप में लिया जाता है, अर्थात। कदम पर"। इसके बाद, आधार पदों को मुक्त पदों के रूप में व्यक्त किया जाता है। हम "नीचे से ऊपर" जाते हैं, साथ ही आधार शर्तों को व्यक्त करते हैं और परिणामों को उच्च समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। उदाहरण: मूल चर हमेशा मैट्रिक्स के चरणों पर सख्ती से "बैठते" हैं। इस उदाहरण में, मूल चर हैं और मुक्त चर शेष सभी चर हैं जिन्हें एक चरण प्राप्त नहीं हुआ है। हमारे मामले में उनमें से दो हैं:- मुक्त चर। अब तुम्हें सब कुछ चाहिए बुनियादी चरके माध्यम से ही व्यक्त करें मुक्त चर. गॉसियन एल्गोरिदम का उल्टा पारंपरिक रूप से नीचे से ऊपर तक काम करता है

मैट्रिक्स जोड़.

अतिरिक्त गुण:

· ए + बी = बी + ए.

· (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी).

किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करना.

· के(ए + बी) = केए + केबी.

· (k + m)A = kA + mA.

मैट्रिक्स गुणन.

उलटा मैट्रिक्स.

निर्धारकों के गुण

4. प्रतिस्थापन प्रमेय.

5. रद्दीकरण प्रमेय.

इन तत्वों में परिवर्धन

कहां मैं= ,

मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िंग.

ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स
एटी [ मैं, जे] = ए[जे, मैं].
उदाहरण के लिए,

और

बेलनाकार सतहें.

एक सीधी रेखा L की गति से बनी सतह, जो अंतरिक्ष में चलती है, एक स्थिर दिशा बनाए रखती है और हर बार एक निश्चित वक्र K को काटती है, एक बेलनाकार सतह या सिलेंडर कहलाती है; वक्र K सिलेंडर का मार्गदर्शक है, और L है इसका जनरेटर.

अण्डाकार सिलेंडर

अण्डाकार समीकरण:

एक विशेष मामला अण्डाकार सिलेंडरहै गोलाकार सिलेंडर, इसका समीकरण x 2 + y 2 = R 2 है। समीकरण x 2 =2pz अंतरिक्ष में परिभाषित होता है परवलयिक सिलेंडर.

समीकरण: अंतरिक्ष में परिभाषित करता है अतिशयोक्तिपूर्ण सिलेंडर.

इन सभी सतहों को कहा जाता है दूसरे क्रम के सिलेंडर, क्योंकि उनके समीकरण वर्तमान निर्देशांक x, y, z के संबंध में दूसरी डिग्री के समीकरण हैं।

62. दीर्घवृत्ताकार।

आइए समीकरण द्वारा परिभाषित सतह की जांच करें:

आइए xOy तल के समानांतर समतल वाले सतह के अनुभागों पर विचार करें। ऐसे समतलों के समीकरण: z=h, जहाँ h कोई संख्या है। अनुभाग में प्राप्त रेखा दो समीकरणों द्वारा निर्धारित होती है:

आइए सतह की जांच करें:

और अगर वह z=h समतलों के साथ सतह की प्रतिच्छेदन रेखा मौजूद नहीं है।

बी) यदि , प्रतिच्छेदन रेखा दो बिंदुओं (0,0,c), और (0,0,-c) में बदल जाती है। समतल z = c, z = - c दी गई सतह को छूता है।

बी) यदि , तो समीकरणों को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:
, जैसा कि देखा जा सकता है, प्रतिच्छेदन रेखा अर्ध-अक्ष a1 = के साथ एक दीर्घवृत्त है , बी1 = . इस मामले में, h जितना छोटा होगा, अर्ध-अक्ष उतना ही बड़ा होगा। n=0 पर वे अपने उच्चतम मान तक पहुँचते हैं: a1=a, b1=b। समीकरण इस प्रकार बनेंगे:

जिन अनुभागों पर विचार किया गया है वे सतह को एक बंद अंडाकार सतह के रूप में चित्रित करना संभव बनाते हैं। सतह को दीर्घवृत्ताकार कहा जाता है। यदि कोई अर्ध-अक्ष बराबर है, तो त्रिअक्षीय दीर्घवृत्ताभ परिक्रमण के दीर्घवृत्ताकार में बदल जाता है, और यदि a=b=c है, तो एक गोले में बदल जाता है।

हाइपरबोलॉइड्स।

1. सतह की जांच करें . समतल z=h के साथ सतह को प्रतिच्छेद करते हुए, हमें एक प्रतिच्छेदन रेखा प्राप्त होती है जिसके समीकरणों का रूप होता है

z=h. या z=hअर्ध-अक्ष: a1= बी1=

अर्ध-अक्ष h=0 पर अपने न्यूनतम मान तक पहुँचते हैं: a1=a, b1=b। जैसे-जैसे h बढ़ेगा, दीर्घवृत्त के अर्ध-अक्ष बढ़ेंगे। => एक्स=0.

इन अनुभागों के विश्लेषण से पता चलता है कि समीकरण द्वारा परिभाषित सतह में एक अनंत विस्तारित ट्यूब का आकार है। सतह को कहा जाता है सिंगल-शीट हाइपरबोलाइड।

2. - सतही समीकरण.

और - एक सतह जिसमें उत्तल असीमित कटोरे के आकार की 2 गुहाएँ होती हैं। सतह को कहा जाता है दो-शीट हाइपरबोलाइड.

64. पैराबोलॉइड्स

.
-यह अण्डाकार परवलयिक.

विहित समीकरण: (p>0, q>0).

p = q, Oz अक्ष के चारों ओर घूमने का एक परवलय है।

समतलों द्वारा एक अण्डाकार परवलय के खंड या तो एक दीर्घवृत्त, एक परवलय या एक बिंदु होते हैं।

2.
- अतिपरवलयिक परवलयज.

समतलों द्वारा एक अतिपरवलयिक परवलयज के खंड या तो एक अतिपरवलय, एक परवलय, या सीधी रेखाओं की एक जोड़ी (रेक्टिलिनियर जनरेटर) होते हैं।

65. विहित सतहें.

विहित समीकरण:

a = b - घूर्णन शंकु (सीधा गोलाकार)
समतलों द्वारा एक शंकु के खंड: सभी सरलरेखीय जनरेटरों को प्रतिच्छेद करने वाले समतल में - एक दीर्घवृत्त; एक रेक्टिलिनियर जेनरेटर के समानांतर एक विमान में - एक परवलय; दो आयताकार जनरेटर के समानांतर एक विमान में - एक हाइपरबोला; शंकु के शीर्ष से गुजरने वाले तल में - प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक युग्म या एक बिंदु (शीर्ष)।

66. कार्य. बुनियादी अवधारणाओं। इसे सेट करने के तरीके.

एक फ़ंक्शन एक कानून है जिसके अनुसार किसी दिए गए सेट

फ़ंक्शन का मान कहा जाता है।

1. विश्लेषणात्मक विधि.

2. ग्राफिक विधि.

3. मौखिक विधि.

4. सारणीबद्ध विधि.

तुलना प्रमेय.

अंतर समीकरणों के सिद्धांत में, एक प्रमेय जो इस धारणा के तहत एक अंतर समीकरण (या अंतर समीकरणों की प्रणाली) के समाधान की एक निश्चित संपत्ति की उपस्थिति बताता है कि एक सहायक समीकरण या असमानता (अंतर समीकरणों या असमानताओं की प्रणाली) में कुछ संपत्ति है।

1) स्टर्म का प्रमेय: यदि समीकरण और में यह गुण है तो समीकरण का कोई भी गैर-तुच्छ समाधान अंतराल पर m बार से अधिक गायब नहीं होता है।

2) विभेदक असमानता: यदि समस्या के समाधान में यह गुण है और असमानताएं संतुष्ट हैं तो समस्या का समाधान घटक-वार गैर-नकारात्मक है।

पहली तो अद्भुत सीमा है.

त्रिकोणमितीय फलनों वाले व्यंजकों की सीमाओं की गणना करते समय, सीमा का अक्सर उपयोग किया जाता है बुलाया पहली उल्लेखनीय सीमा.

इसमें लिखा है: जब तर्क शून्य हो जाता है तो साइन और उसके तर्क के अनुपात की सीमा एक के बराबर होती है।

सबूत:

आइए त्रिज्या 1 का एक वृत्त लें और कोण MOV के रेडियन माप को x से निरूपित करें। चलो 0 , चाप एमवी संख्यात्मक रूप से केंद्रीय कोण x के बराबर है, . जाहिर है, हमारे पास है। संगत ज्यामिति सूत्रों के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं . आइए असमानता को विभाजित करें >0, हमें 1 मिलता है<

क्योंकि , फिर सीमाओं के अस्तित्व की कसौटी (एक मध्यवर्ती फ़ंक्शन की सीमा पर) के आधार पर .

और यदि एक्स<0 => , जहां –x>0 =>

83. दूसरी उल्लेखनीय सीमा.

जैसा कि ज्ञात है, किसी संख्या अनुक्रम की सीमा
, की सीमा e के बराबर है। . 1.चलो . प्रत्येक x मान दो धनात्मक पूर्णांकों के बीच संलग्न है: , जहां n=[x] x का पूर्णांक भाग है। इसलिए यह इसका अनुसरण करता है
. अगर , वह . इसीलिए:
,

सीमाओं के अस्तित्व के आधार पर: . 2. चलो . आइए प्रतिस्थापन करें -x=t, फिर = . और दूसरी उल्लेखनीय सीमा कहलाती है। सीमाओं की गणना में इनका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। विश्लेषणात्मक अनुप्रयोगों में, आधार ई के साथ घातीय फ़ंक्शन एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। समारोह घातांक कहा जाता है, अंकन का भी उपयोग किया जाता है .

सबूत।

(इस बात को ध्यान में रखते हुए कि यदि Dx®0, तो Du®0, चूँकि u = g(x) एक सतत फलन है)

तब . प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

कॉची का प्रमेय

कॉची का प्रमेय: यदि फलन f(x) और अंतराल पर निरंतर हैं, अंतराल (ए, बी) पर भिन्न हैं, और के लिए , तो कम से कम एक बिंदु है , ऐसी कि समानता
.

मैट्रिक्स। बुनियादी अवधारणाओं। मैट्रिक्स और उनके गुणों पर रैखिक संचालन।

आकार m बटा n का एक मैट्रिक्स mn वास्तविक (जटिल) संख्याओं या किसी अन्य संरचना के तत्वों (बहुपद, कार्य, आदि) का एक संग्रह है, जो एक आयताकार तालिका के रूप में लिखा जाता है, जिसमें m पंक्तियाँ और n स्तंभ होते हैं और लिया जाता है गोल या आयताकार या दोहरे सीधे कोष्ठकों में। इस मामले में, संख्याओं को स्वयं मैट्रिक्स तत्व कहा जाता है और प्रत्येक तत्व दो संख्याओं से जुड़ा होता है - पंक्ति संख्या और स्तंभ संख्या।

एक मैट्रिक्स जिसके सभी तत्व शून्य हैं उसे शून्य मैट्रिक्स कहा जाता है

n बटा n आकार के एक मैट्रिक्स को nवें क्रम का वर्ग मैट्रिक्स कहा जाता है, अर्थात। पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर है.

एक वर्ग मैट्रिक्स को विकर्ण कहा जाता है यदि इसके सभी ऑफ-विकर्ण तत्व शून्य हैं।

एक विकर्ण मैट्रिक्स जिसमें सभी विकर्ण तत्व 1 के बराबर होते हैं, पहचान मैट्रिक्स कहलाता है
मैट्रिक्स जोड़.

अतिरिक्त गुण:

· ए + बी = बी + ए.

· (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी).

· यदि O एक शून्य मैट्रिक्स है, तो A + O = O + A = A

टिप्पणी 1. इन गुणों की वैधता मैट्रिक्स जोड़ के संचालन की परिभाषा से होती है।

टिप्पणी 2. फिर से ध्यान दें कि केवल समान आयाम के आव्यूह जोड़े जा सकते हैं।

किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करना.

किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करने के गुण

· के(ए + बी) = केए + केबी.

· (k + m)A = kA + mA.

टिप्पणी 1. संपत्तियों की वैधता परिभाषा 3.4 और 3.5 से मिलती है।

टिप्पणी 2. आइए आव्यूह A और B के अंतर को एक आव्यूह C कहें जिसके लिए C+B=A, अर्थात C=A+(-1)B।
मैट्रिक्स गुणन.

किसी मैट्रिक्स को मैट्रिक्स से गुणा करने के लिए कारकों के आयामों के लिए कुछ शर्तों को पूरा करना भी आवश्यक है, अर्थात्: पहले कारक के स्तंभों की संख्या दूसरे की पंक्तियों की संख्या के बराबर होनी चाहिए।

समान क्रम के वर्ग मैट्रिक्स के लिए, उत्पाद एबी और बीए मौजूद हैं और उनके आयाम समान हैं, लेकिन उनके संबंधित तत्व आम तौर पर समान नहीं होते हैं।

हालाँकि, कुछ मामलों में उत्पाद AB और BA मेल खाते हैं

उलटा मैट्रिक्स.

एक वर्ग मैट्रिक्स A को एकवचन कहा जाता है यदि ∆A=0, और गैर-एकवचन यदि ∆A≠0

एक वर्ग मैट्रिक्स B को उसी क्रम के वर्ग मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम कहा जाता है यदि AB = BA = E. इस स्थिति में, B को दर्शाया जाता है

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि मूल मैट्रिक्स गैर-एकवचन हो।

2. मैट्रिक्स निर्धारक. निर्धारकों के गुण.

सारणिक (या सारणिक) रैखिक बीजगणित की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। मैट्रिक्स का निर्धारक एक वर्ग मैट्रिक्स के तत्वों का एक बहुपद है (अर्थात्, जिसमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर है)। सामान्य तौर पर, एक मैट्रिक्स को किसी भी क्रमविनिमेय रिंग पर परिभाषित किया जा सकता है, इस स्थिति में निर्धारक उसी रिंग का एक तत्व होगा। (∆A)

निर्धारकों के गुण

· निर्धारक मैट्रिक्स की पंक्तियों (स्तंभों) का एक तिरछा-सममित पॉलीलाइनर फ़ंक्शन है। बहुरेखीयता का अर्थ है कि निर्धारक सभी पंक्तियों (स्तंभों) पर रैखिक है: जहां, आदि मैट्रिक्स की पंक्तियां हैं, ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक है।

· किसी भी पंक्ति (स्तंभ) में अन्य पंक्तियों (स्तंभों) का रैखिक संयोजन जोड़ने पर निर्धारक नहीं बदलेगा।

· यदि किसी मैट्रिक्स की दो पंक्तियाँ (स्तंभ) संपाती हों, तो उसका सारणिक शून्य होता है।

· यदि किसी मैट्रिक्स की दो (या कई) पंक्तियाँ (स्तंभ) रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो इसका निर्धारक शून्य के बराबर है।

· यदि आप किसी मैट्रिक्स की दो पंक्तियों (स्तंभों) को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो इसका निर्धारक (-1) से गुणा हो जाता है।

· सारणिक की किसी भी श्रृंखला के तत्वों का उभयनिष्ठ गुणनखंड सारणिक के चिह्न से निकाला जा सकता है।

· यदि मैट्रिक्स की कम से कम एक पंक्ति (स्तंभ) शून्य है, तो निर्धारक शून्य के बराबर है।

· किसी भी पंक्ति के सभी तत्वों के गुणनफल का योग उनके बीजगणितीय पूरकों द्वारा सारणिक के बराबर होता है।

· किसी समानांतर श्रृंखला के संगत तत्वों के बीजगणितीय पूरकों द्वारा किसी भी श्रृंखला के सभी तत्वों के उत्पादों का योग शून्य होता है।

· समान क्रम के वर्ग आव्यूहों के गुणनफल का निर्धारक उनके सारणिकों के गुणनफल के बराबर होता है (बिनेट-कॉची सूत्र भी देखें)।

· सूचकांक संकेतन का उपयोग करते हुए, 3x3 मैट्रिक्स के निर्धारक को संबंध से लेवी-सिविटा प्रतीक का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है:

3. लघु और बीजगणितीय पूरक.

nवें क्रम के मैट्रिक्स तत्व का अवयस्क i-वें पंक्ति और j-वें कॉलम को हटाकर मैट्रिक्स A से प्राप्त (n-1)वें क्रम के मैट्रिक्स का निर्धारक है।

(n-1)वें क्रम के निर्धारक को लिखते समय, मूल निर्धारक में रेखाओं के नीचे स्थित तत्वों को ध्यान में नहीं रखा जाता है।
nवें क्रम मैट्रिक्स के किसी तत्व aij का बीजगणितीय पूरक Aij इसका लघु है, जिसे पंक्ति संख्या और स्तंभ संख्या के आधार पर एक चिह्न के साथ लिया जाता है: अर्थात, पंक्ति का योग होने पर बीजगणितीय पूरक लघु के साथ मेल खाता है और स्तंभ संख्याएँ एक सम संख्या होती हैं, और चिह्न में लघु संख्या से भिन्न होती हैं, जब पंक्ति और स्तंभ संख्याओं का योग एक विषम संख्या होती है।

4. प्रतिस्थापन प्रमेय.

क्रम n के मैट्रिक्स के किसी भी स्तंभ या पंक्ति के तत्वों के बीजगणितीय पूरक द्वारा मनमाना संख्याओं bi, b2,...,b के उत्पादों का योग मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर होता है, जो इससे प्राप्त होता है इस कॉलम (पंक्ति) के तत्वों को संख्याओं b1,b2,...,bn से बदलना।

5. रद्दीकरण प्रमेय.

मैट्रिक्स के किसी एक कॉलम (पंक्तियों) के तत्वों के उत्पादों का योग दूसरे कॉलम (पंक्ति) के तत्वों के संबंधित बीजगणितीय पूरक द्वारा शून्य के बराबर है।

6. निर्धारकों की गणना के लिए कुछ विधियाँ।

प्रमेय (लाप्लास)। क्रम N के एक मैट्रिक्स का निर्धारक = kवें क्रम के सभी अवयस्कों के उत्पाद का योग, जो मनमाने ढंग से चुनी गई k समानांतर श्रृंखला और इन अवयस्कों के बीजगणितीय पूरकों से बना हो सकता है

प्रमेय (श्रृंखला के तत्वों में सारणिक के विस्तार पर)। क्वालीफायर वर्ग. मैट्रिक्स = एक निश्चित श्रृंखला और बीजीय के तत्वों के उत्पादों का योग

इन तत्वों में परिवर्धन

7. मैट्रिक्स गुणन. गुणन के गुण.

दो आव्यूहों को गुणा करने की क्रिया केवल उस स्थिति के लिए शुरू की जाती है जब पहले मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या दूसरे मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या के बराबर होती है।

मैट्रिक्स A m * n = (a i , g) द्वारा मैट्रिक्स B n * p = (b i , k) का गुणनफल एक मैट्रिक्स Cm*p = (i , k के साथ) इस प्रकार है कि: ,

कहां मैं= , , अर्थात। उत्पाद मैट्रिक्स सी के आई-वें और के-वें कॉलम का तत्व मैट्रिक्स बी के के-वें कॉलम के संबंधित तत्वों के साथ मैट्रिक्स ए की आई-वें पंक्ति के तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर है। .

आव्यूह A, n*m और B, m*n, कहलाते हैं। पर सहमत। (यदि A, B के अनुरूप है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि B, A के अनुरूप है)।

संगति का अर्थ यह है कि पहले मैट्रिक्स के स्तंभों की संख्या दूसरे मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या से मेल खाती है। सुमेलित आव्यूहों के लिए, गुणन संक्रिया को परिभाषित किया जा सकता है।

यदि आव्यूह A और B वर्गाकार हैं और समान आकार के हैं, तो A*B और B*A हमेशा मौजूद रहते हैं। ट्रांसपोज़िशन एक कॉलम के सभी तत्वों का एक पंक्ति के संबंधित तत्वों में परिवर्तन है। यदि ए टी =ए, तो मैट्रिक्स ए कहा जाता है। सममित (यह वर्गाकार होना चाहिए)।

मैट्रिक्स ट्रांसपोज़िंग.

ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स- पंक्तियों को स्तंभों से प्रतिस्थापित करके मूल मैट्रिक्स से प्राप्त मैट्रिक्स।
औपचारिक रूप से, आकार मैट्रिक्स के लिए ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स एक आकार मैट्रिक्स है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है एटी [ मैं, जे] = ए[जे, मैं].
उदाहरण के लिए,

और

उलटा मैट्रिक्स. व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त। व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना.

मान लीजिए कि एक मैट्रिक्स ए है - गैर-एकवचन।

A -1 , A -1 *A=A*A -1 =E, जहां E पहचान मैट्रिक्स है। A -1 के आयाम A के समान हैं।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1. मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व a ij के बजाय, हम उसका बीजगणितीय पूरक लिखते हैं।

A* एक यूनियन मैट्रिक्स है।

2. परिणामी संघ मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें। पर

3. यूनियन मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को मैट्रिक्स ए के निर्धारक द्वारा विभाजित करें।

ए -1 = ए *टी

प्रमेय: (निर्धारक को रद्द करने के बारे में):
किसी सारणिक की एक निश्चित श्रृंखला के तत्वों के बीजगणितीय पूरक द्वारा किसी अन्य समानांतर श्रृंखला के तत्वों के उत्पादों का योग हमेशा शून्य के बराबर होता है।

10. रैखिक समीकरणों और उसके समाधानों की एक प्रणाली का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व।

मैट्रिक्स रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को संक्षेप में लिखना संभव बनाता है। मान लीजिए कि तीन अज्ञातों के साथ 3 समीकरणों की एक प्रणाली दी गई है:

सिस्टम मैट्रिक्स पर विचार करें और अज्ञात और मुक्त पदों के मैट्रिक्स कॉलम

चलिए काम ढूंढते हैं

वे। उत्पाद के परिणामस्वरूप, हमें इस प्रणाली के समीकरणों के बाएँ पक्ष प्राप्त होते हैं। फिर, मैट्रिक्स समानता की परिभाषा का उपयोग करके, इस प्रणाली को इस रूप में लिखा जा सकता है

या छोटा ए∙एक्स=बी.

यहाँ मैट्रिक्स हैं एऔर बीज्ञात हैं, और मैट्रिक्स एक्सअज्ञात। इसे ढूंढना जरूरी है, क्योंकि... इसके तत्व इस प्रणाली का समाधान हैं। इस समीकरण को कहा जाता है मैट्रिक्स समीकरण.

मान लीजिए मैट्रिक्स निर्धारक शून्य से भिन्न है | ए| ≠ 0. फिर मैट्रिक्स समीकरण को निम्नानुसार हल किया जाता है। बायीं ओर समीकरण के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स से गुणा करें एक-1, मैट्रिक्स का उलटा ए: . क्योंकि ए -1 ए = ईऔर इ∙एक्स = एक्स, तो हमें फॉर्म में मैट्रिक्स समीकरण का समाधान प्राप्त होता है एक्स = ए -1 बी.

ध्यान दें कि चूंकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए पाया जा सकता है, मैट्रिक्स विधि केवल उन प्रणालियों को हल कर सकती है जिनमें समीकरणों की संख्या अज्ञातों की संख्या से मेल खाती है. हालाँकि, सिस्टम की मैट्रिक्स रिकॉर्डिंग उस स्थिति में भी संभव है जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर नहीं है, तो मैट्रिक्स एवर्गाकार नहीं होगा और इसलिए फॉर्म में सिस्टम का समाधान ढूंढना असंभव है एक्स = ए -1 बी.

11. गैर-अपक्षयी रैखिक प्रणालियों का समाधान, क्रैमर सूत्र।

एसएलएई को मैट्रिक्स रूप में लिखने की प्रथा है, जब अज्ञात को स्वयं इंगित नहीं किया जाता है, लेकिन केवल सिस्टम ए के मैट्रिक्स और मुक्त शर्तों बी के कॉलम को इंगित किया जाता है।

क्रैमर विधि का उपयोग करके गैर-अपक्षयी SLAE को हल करना:

ए -1 =

एक्स1= (ए 11 बी 1 + ए 21 बी 2 + …+ए एन 1 बी एन)

प्रमेय: (क्रैमर):
गैर-अपक्षयी समीकरणों का समाधान AX=B, इस प्रकार लिखा जा सकता है:

, k-वें कॉलम को मुक्त पद B के कॉलम से प्रतिस्थापित करके A से Ak प्राप्त किया जाता है।

12. मैट्रिक्स रैंक. मैट्रिक्स रैंक के गुण. प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके मैट्रिक्स की रैंक की गणना करना।

मैट्रिक्स ए की रैखिक रूप से निर्भर पंक्तियों की अधिकतम संख्या को कहा जाता है। मैट्रिक्स की रैंक और संकेतन r(a)। 0 के अलावा किसी दिए गए मैट्रिक्स के सबसे छोटे ऑर्डर को कहा जाता है मैट्रिक्स रैंक.

गुण:

1) रैंक=स्थिरांक स्थानांतरित करते समय।

2) यदि आप शून्य पंक्ति को काट देते हैं, तो rang=const;

3)प्रारंभिक परिवर्तनों के साथ रंग=लागत।

3) तत्व का उपयोग करके रैंक की गणना करने के लिए, मैट्रिक्स ए को मैट्रिक्स बी में बदलें, जिसकी रैंक आसानी से मिल जाती है।

4) मैट्रिक्स त्रिकोण की रैंक = मुख्य विकर्णों पर स्थित गैर-शून्य तत्वों की संख्या।

मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करने की विधियाँ:

1) अवयस्कों को सीमाबद्ध करने की विधि

2) प्राथमिक परिवर्तनों की विधि

बॉर्डरिंग माइनर्स विधि:

अवयस्कों को बॉर्डर करने की विधि आपको रैंक मैट्रिक्स खोजने की प्रक्रिया को एल्गोरिदम बनाने की अनुमति देती है और आपको अवयस्कों की गणना की संख्या को कम करने की अनुमति देती है।

1) यदि मैट्रिक्स में सभी शून्य तत्व हैं, तो रैंक = 0

2) यदि कम से कम एक गैर-शून्य तत्व है => आर(ए)>0

अब हम लघु M1 की सीमा बनाएंगे, अर्थात। हम दूसरे क्रम के सभी संभावित माइनरों का निर्माण करेंगे, केटीआर। जब तक हमें दूसरे क्रम का एक गैर-शून्य लघु नहीं मिल जाता, तब तक i-वीं पंक्ति और j-वें कॉलम को शामिल करें।

यह प्रक्रिया तब तक जारी रहेगी जब तक कि निम्नलिखित में से कोई एक घटना घटित न हो जाए:
1. माइनर का आकार संख्या k तक पहुंच जाएगा।

2. किसी स्तर पर सभी सीमांत अवयस्क = 0 हो जाएंगे।

दोनों मामलों में, रैंक मैट्रिक्स का परिमाण बड़े गैर-शून्य नाबालिग के क्रम के बराबर होगा।

प्राथमिक परिवर्तन विधि:
जैसा कि ज्ञात है, त्रिकोणीय मैट्रिक्स की अवधारणा केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए परिभाषित की गई है। आयताकार मैट्रिक्स के लिए, एक एनालॉग एक ट्रैपेज़ॉइडल मैट्रिक्स की अवधारणा है।

उदाहरण के लिए:
रैंक = 2.

किसी दिए गए का मैट्रिक्स व्युत्क्रम।

प्रत्येक मैट्रिक्स का व्युत्क्रम नहीं होता।

प्रमेय 1. व्युत्क्रम मैट्रिक्स के सबसे सरल गुण।

1°. किसी भी मैट्रिक्स में अधिकतम एक व्युत्क्रम हो सकता है।

2°. इ –1 = इ.

3°. ( ए –1) –1 = ए.

4°. ( अब) –1 = बी –1 ए –1 .

एकवचन और गैर-एकवचन वर्ग आव्यूह।

प्रमेय 2. मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीयता मानदंड.

एक मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि वह गैर-एकवचन है।

लेम्मा 1. मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति (स्तंभ) के प्राथमिक परिवर्तन को इस मैट्रिक्स को बाईं ओर (दाएं) संबंधित प्राथमिक मैट्रिक्स से गुणा करके कार्यान्वित किया जा सकता है।

लेम्मा 2. एक मैट्रिक्स के गैर-एकवचन होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसे केवल पंक्तिबद्ध प्रारंभिक परिवर्तनों का उपयोग करके पहचान मैट्रिक्स में कम किया जा सकता है।

लेम्मा 3. यदि मैट्रिक्स की पंक्तियाँ (स्तंभ)। ए (बी) रैखिक रूप से निर्भर हैं और सी = अब, तो मैट्रिक्स की पंक्तियों (स्तंभों) के लिए बिल्कुल वही रैखिक निर्भरता लागू होती है साथ.

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करने का एक व्यावहारिक तरीका:

ए|इ ... इ|ए –1 .

मैट्रिक्स समीकरण.

एक विशेष रूप के एक मैट्रिक्स समीकरण के रूप में एसएलई की रिकॉर्डिंग। मैट्रिक्स रूप में क्रैमर का टॉवर।

क्रमपरिवर्तन और प्रतिस्थापन

पुनर्व्यवस्था. क्रमपरिवर्तन रिकॉर्ड करना. क्रमपरिवर्तन की संख्या एनतत्व. व्युत्क्रम। सम और विषम क्रमपरिवर्तन. स्थानान्तरण।

प्रमेय. स्थानान्तरण के गुण.

1°. आप कई ट्रांसपोज़िशन का उपयोग करके किसी भी क्रमपरिवर्तन से किसी अन्य क्रमपरिवर्तन पर जा सकते हैं।

2°. प्रत्येक स्थानान्तरण क्रमपरिवर्तन की समता को बदल देता है।

प्रतिस्थापन। एस एन. रिकॉर्डिंग प्रतिस्थापन. प्रतिस्थापन की समता. प्रतिस्थापन की समता निर्धारित करने की शुद्धता। वाइल्डकार्ड. (-1) एस (पी) .

निर्धारक की परिभाषा

निर्धारक की परिभाषा.

दूसरे और तीसरे क्रम के आव्यूहों के निर्धारकों की गणना के उदाहरण, ऊपरी (निचले) त्रिकोणीय मैट्रिक्स के निर्धारक, एक मैट्रिक्स के निर्धारक जिसमें पार्श्व विकर्ण के नीचे (ऊपर) सभी तत्व शून्य के बराबर हैं।

निर्धारक के गुण

प्रमेय. निर्धारक के गुण.

1°. डेट टी ए= डेट ए.

2°.det = det + det।

3°. डेट = एल×डेट।

4°. डेट = –डेट .

5°. यदि मैट्रिक्स की पंक्तियों में से एक शून्य है, तो मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है।

6°. यदि किसी मैट्रिक्स की कोई दो पंक्तियाँ बराबर हों, तो मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य होता है।

7°. यदि किसी मैट्रिक्स की कोई भी दो पंक्तियाँ आनुपातिक हैं, तो मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है।

8°. यदि मैट्रिक्स की पंक्तियों में से एक को किसी संख्या से गुणा किया जाता है और दूसरी पंक्ति में जोड़ा जाता है, तो निर्धारक नहीं बदलेगा।

9°. एकवचन मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर होता है।

10°. एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स का निर्धारक गैर-शून्य होता है।

टिप्पणी. गुण 1°-4° परिभाषा द्वारा सिद्ध किए जाते हैं, शेष गुण 1°-4° गुण का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं।

परिणाम 1. मैट्रिक्स की नॉनडिजेनरेसी के लिए मानदंड।

एक वर्ग मैट्रिक्स गैर-एकवचन है यदि और केवल यदि इसका निर्धारक गैर-शून्य है।

परिणाम 2. रैखिक समीकरणों की एक सजातीय प्रणाली जिसमें शामिल है एनके साथ समीकरण एनअज्ञात, गैर-शून्य समाधान हैं यदि और केवल यदि सिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है।

लघु और बीजगणितीय पूरक. पंक्ति और स्तंभ में निर्धारक का अपघटन

नाबालिग एम आईजेवर्ग मैट्रिक्स. बीजगणितीय पूरक ए आईजेतत्व एक आई.जेवर्ग मैट्रिक्स.

प्रमेयविघटन के बारे में.

डेट ए = एक क 1 ए के 1 +एक क 2 ए के 2 + ... +ए केएन ए केएन, डेट ए = ए 1क ए 1क +ए 2क ए 2क + ... +एक एनके एक एनके

किसी के लिए क =

प्रमाण के चरण

1. एक मैट्रिक्स के लिए जिसमें एक = ई एन, परिभाषा के अनुसार।

2. एक मैट्रिक्स के लिए जिसमें ए मैं = ई जे, संकेत को ध्यान में रखते हुए, केस 1 को घटाकर ए मैंऔर अपरिवर्तनीयता एम आईजे.

3. प्रतिनिधित्व द्वारा सामान्य मामला ए मैंएक राशि के रूप में एनवैक्टर और केस 2 में कमी।

निर्धारक की एक और संपत्ति

11°. एक क 1 एक पी 1 +एक क 2 एक पी 2 + ... +ए केएन ए पीएन,ए 1 के ए 1 पी+ए 2 के ए 2 पी+ ... +एक एनके एक एन.पी, अगर क ¹ पी.

मैट्रिक्स ए -1 कहा जाता है रिवर्सएक वर्ग मैट्रिक्स ए के संबंध में, यदि इस मैट्रिक्स को दाएं और बाएं दोनों तरफ मैट्रिक्स ए से गुणा करने पर, पहचान मैट्रिक्स प्राप्त होता है: ए -1 * ए = ए * ए -1 = ई।

परिभाषा से यह पता चलता है कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स मैट्रिक्स ए के समान क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स है।

यह ध्यान दिया जा सकता है कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स की अवधारणा व्युत्क्रम संख्या की अवधारणा के समान है (यह एक संख्या है, जिसे किसी दिए गए संख्या से गुणा करने पर एक मिलता है: a*a -1 = a*(1/ ए) = 1).

शून्य को छोड़कर सभी संख्याओं में व्युत्क्रम होते हैं।

इस प्रश्न को हल करने के लिए कि क्या किसी वर्ग मैट्रिक्स का व्युत्क्रम होता है, इसका सारणिक ज्ञात करना आवश्यक है। यदि किसी मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य है, तो ऐसे मैट्रिक्स को कहा जाता है पतित, या विशेष.

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त: व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है और अद्वितीय है यदि और केवल यदि मूल मैट्रिक्स गैर-एकवचन है।

आइए आवश्यकता सिद्ध करें। मान लीजिए कि मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम मैट्रिक्स A -1 है, अर्थात। ए -1 * ए = ई. फिर |ए -1 * ए| = |ए -1 | * |ए| = |ई| = 1. इसलिए, |ए|0.

आइए पर्याप्तता साबित करें. इसे साबित करने के लिए, हमें बस व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए एक विधि का वर्णन करने की आवश्यकता है, जिसे हम हमेशा एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स पर लागू कर सकते हैं।

तो चलिए |ए| 0. हम मैट्रिक्स ए को स्थानांतरित करते हैं। प्रत्येक तत्व ए टी के लिए हम एक बीजगणितीय पूरक पाते हैं और उनसे एक मैट्रिक्स बनाते हैं, जिसे कहा जाता है पर कब्जा कर लिया(परस्पर, सहयोगी):
.

आइए सहायक मैट्रिक्स और मूल मैट्रिक्स का उत्पाद ढूंढें
. हम पाते हैं
. इस प्रकार, मैट्रिक्स B विकर्ण है। इसके मुख्य विकर्ण पर मूल मैट्रिक्स के निर्धारक हैं, और अन्य सभी तत्व शून्य हैं:

इसी प्रकार यह भी दर्शाया जा सकता है
.

यदि आप मैट्रिक्स के सभी तत्वों को |A| से विभाजित करते हैं, तो आपको पहचान मैट्रिक्स E मिलेगा।

इस प्रकार
, अर्थात।
.

आइए हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स की विशिष्टता साबित करें। मान लीजिए कि A के लिए एक और व्युत्क्रम मैट्रिक्स है, जो A -1 से भिन्न है। आइए इसे X से निरूपित करें। फिर A * X = E. आइए बाईं ओर समानता के दोनों पक्षों को A -1 से गुणा करें।

ए -1 * ए * एक्स = ए -1 * ई

विशिष्टता सिद्ध हो चुकी है।

तो, व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए एल्गोरिदम में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1. मैट्रिक्स का निर्धारक ज्ञात करें |ए| . यदि |ए| = 0, तो मैट्रिक्स ए एकवचन है, और व्युत्क्रम मैट्रिक्स नहीं पाया जा सकता है। यदि |ए| 0, फिर अगले चरण पर जाएँ।

2. ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स ए टी का निर्माण करें।

3. ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स के तत्वों के बीजगणितीय पूरक खोजें और आसन्न मैट्रिक्स का निर्माण करें .

4. सहायक मैट्रिक्स को |A| से विभाजित करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करें।

5. आप परिभाषा के अनुसार व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना की शुद्धता की जांच कर सकते हैं: ए -1 * ए = ए * ए -1 = ई।

आइए त्रिभुजों के नियम का उपयोग करके इस मैट्रिक्स का निर्धारक ज्ञात करें:

आइए चेक छोड़ें।

मैट्रिक्स व्युत्क्रम के निम्नलिखित गुण सिद्ध किए जा सकते हैं:

1) |ए -1 | = 1/|ए|

2) (ए -1) -1 = ए

3) (ए एम) -1 = (ए -1) एम

4) (एबी) -1 =बी -1 * ए -1

5) (ए -1) टी = (ए टी) -1

मैट्रिक्स रैंक

नाबालिगक-वाँ क्रमआकार m x n के आव्यूह A को kवें क्रम के वर्ग आव्यूह का निर्धारक कहा जाता है, जो किसी भी पंक्ति और स्तंभ को हटाकर आव्यूह A से प्राप्त किया जाता है।

परिभाषा से यह पता चलता है कि नाबालिग का क्रम उसके छोटे आकार से अधिक नहीं है, अर्थात। कमिन(म;न). उदाहरण के लिए, 5x3 मैट्रिक्स ए से आप पहले, दूसरे और तीसरे क्रम के वर्ग उपमैट्रिस प्राप्त कर सकते हैं (तदनुसार, इन आदेशों के नाबालिगों की गणना करें)।

पदमैट्रिक्स इस मैट्रिक्स के गैर-शून्य अवयस्कों का उच्चतम क्रम है (रैंक ए, या आर (ए) द्वारा दर्शाया गया है)।

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है

1) मैट्रिक्स की रैंक उसके छोटे आयामों से अधिक नहीं है, अर्थात। r(A)min(m;n);

2) r(A) = 0 यदि और केवल यदि मैट्रिक्स शून्य है (मैट्रिक्स के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं), यानी r(A) = 0A = 0;

3) nवें क्रम के एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए r(A) = n यदि और केवल यदि यह मैट्रिक्स A गैर-एकवचन है, अर्थात r(A) = n|A|0।

वास्तव में, ऐसा करने के लिए, केवल एक ऐसे नाबालिग की गणना करना पर्याप्त है (तीसरे कॉलम को पार करके प्राप्त किया गया (क्योंकि बाकी में शून्य तीसरा कॉलम होगा और इसलिए शून्य के बराबर है)।

त्रिकोण नियम के अनुसार = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

चूँकि सभी तीसरे क्रम के अवयस्क शून्य हैं, r(A)2. चूँकि दूसरे क्रम का एक गैर-शून्य लघु है, उदाहरण के लिए,

जाहिर है, हमने जिन तरीकों का इस्तेमाल किया (सभी प्रकार के नाबालिगों पर विचार करते हुए) वे अपनी उच्च जटिलता के कारण अधिक जटिल मामलों में रैंक निर्धारित करने के लिए उपयुक्त नहीं हैं। आमतौर पर किसी मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करने के लिए कुछ परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है, जिन्हें कहा जाता है प्राथमिक:

1). शून्य पंक्तियों (स्तंभों) को हटाना।

2). मैट्रिक्स की किसी पंक्ति या स्तंभ के सभी तत्वों को शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या से गुणा करना।

3). मैट्रिक्स की पंक्तियों (स्तंभों) का क्रम बदलना।

4). एक पंक्ति (स्तंभ) के प्रत्येक तत्व में दूसरी पंक्ति (स्तंभ) के संगत तत्वों को जोड़कर, किसी भी संख्या से गुणा किया जाता है।

5). स्थानान्तरण।

यदि मैट्रिक्स ए को प्रारंभिक परिवर्तनों द्वारा मैट्रिक्स बी से प्राप्त किया जाता है, तो इन मैट्रिक्स को कहा जाता है समकक्षऔर AB द्वारा निरूपित किया जाता है।

प्रमेय. प्राथमिक मैट्रिक्स परिवर्तन इसकी रैंक नहीं बदलते हैं।

प्रमेय का प्रमाण मैट्रिक्स के निर्धारक के गुणों से होता है। वास्तव में, इन परिवर्तनों के दौरान वर्ग आव्यूहों के निर्धारक या तो संरक्षित रहते हैं या किसी ऐसी संख्या से गुणा हो जाते हैं जो शून्य के बराबर नहीं होती है। परिणामस्वरूप, मूल मैट्रिक्स के गैर-शून्य अवयस्कों का उच्चतम क्रम वही रहता है, अर्थात। उसकी रैंक नहीं बदलती.

प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, मैट्रिक्स को तथाकथित चरणबद्ध रूप में लाया जाता है (रूपांतरित किया जाता है)। चरण मैट्रिक्स), अर्थात। वे सुनिश्चित करते हैं कि समतुल्य मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण के नीचे केवल शून्य तत्व हैं, और मुख्य विकर्ण पर गैर-शून्य तत्व हैं:

एक चरण मैट्रिक्स की रैंक r के बराबर है, क्योंकि इसमें से कॉलम हटाकर, (r + 1) वें और आगे से शुरू करके, कोई r वें क्रम का त्रिकोणीय मैट्रिक्स प्राप्त कर सकता है, जिसका निर्धारक गैर- होगा शून्य, चूँकि यह गैर-शून्य तत्वों का गुणनफल होगा (इसलिए, rth क्रम का एक अवयस्क है जो शून्य के बराबर नहीं है):

उदाहरण। मैट्रिक्स की रैंक ज्ञात करें

1). यदि 11 = 0 (जैसा कि हमारे मामले में है), तो पंक्तियों या स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करके हम यह सुनिश्चित करेंगे कि 11 0। यहां हम मैट्रिक्स की पहली और दूसरी पंक्तियों को स्वैप करते हैं:

2). अब 11 0. प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके, हम यह सुनिश्चित करेंगे कि पहले कॉलम में अन्य सभी तत्व शून्य के बराबर हैं। दूसरी पंक्ति में, 21 = 0. तीसरी पंक्ति में, 31 = -4. ताकि (-4) के बजाय 0 हो, तीसरी पंक्ति में 2 से गुणा की गई पहली पंक्ति जोड़ें (यानी (-ए 31 / ए 11) = -(-4)/2 = 2)। इसी प्रकार, चौथी पंक्ति में हम पहली पंक्ति जोड़ते हैं (एक से गुणा, यानी (-a 41 /a 11) = -(-2)/2 = 1)।

3). परिणामी मैट्रिक्स में a 22 0 (यदि a 22 = 0, तो पंक्तियों को फिर से पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है)। आइए सुनिश्चित करें कि दूसरे कॉलम में विकर्ण के नीचे भी शून्य हैं। ऐसा करने के लिए, तीसरी और चौथी पंक्तियों में दूसरी पंक्ति जोड़ें, -3 ((-a 32 /a 22) = (-a 42 /a 22) = -(-3)/(-1) = - से गुणा करें 3):

4). परिणामी मैट्रिक्स में, अंतिम दो पंक्तियाँ शून्य हैं, और उन्हें छोड़ा जा सकता है:

दो पंक्तियों वाला एक चरण मैट्रिक्स प्राप्त होता है। इसलिए, r(A) = 2.

गैर-एकवचन मैट्रिक्स nवें क्रम का एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसका सारणिक अशून्य है। अन्यथा मैट्रिक्स कहा जाता है पतित.

प्रमेय (व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अस्तित्व की विशिष्टता): यदि किसी मैट्रिक्स में व्युत्क्रम मैट्रिक्स है, तो यह अद्वितीय है।

सबूत।

मान लीजिए कि एक मैट्रिक्स जिसके लिए है और एक मैट्रिक्स जिसके लिए है।

फिर, वह है. आइए समानता के दोनों पक्षों को मैट्रिक्स से गुणा करें, हमें मिलता है, जहां और।

इसका मतलब यह है कि इसे साबित करने की जरूरत है।

12. मैट्रिक्स समीकरण, व्युत्क्रम मैट्रिक्स का उपयोग करके उनका समाधान।

मैट्रिक्स समीकरण इस तरह दिख सकते हैं:

एएक्स = बी, एचए = बी, एएक्सबी = सी,

जहां ए, बी, सी निर्दिष्ट मैट्रिक्स हैं, एक्स वांछित मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स समीकरणों को व्युत्क्रम आव्यूहों से गुणा करके हल किया जाता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण से मैट्रिक्स खोजने के लिए, आपको इस समीकरण को बाईं ओर से गुणा करना होगा।

इसलिए, समीकरण का समाधान खोजने के लिए, आपको व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूंढना होगा और इसे समीकरण के दाईं ओर के मैट्रिक्स से गुणा करना होगा।

13. रैखिक समीकरणों की द्विघात प्रणालियाँ। क्रैमर का नियम.

रैखिक बीजगणित में n अज्ञात (या, रैखिक प्रणाली) के साथ m रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली है

क्रैमर विधि (क्रैमर का नियम) मुख्य मैट्रिक्स के गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की द्विघात प्रणालियों को हल करने की एक विधि है (और ऐसे समीकरणों के लिए एक अद्वितीय समाधान है)। इसका नाम गेब्रियल क्रैमर (1704-1752) के नाम पर रखा गया, जिन्होंने इस पद्धति का आविष्कार किया था।

n अज्ञात के साथ n रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए (एक मनमाना क्षेत्र पर)

सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ Δ शून्य से भिन्न, समाधान फॉर्म में लिखा गया है

(सिस्टम मैट्रिक्स के i-वें कॉलम को फ्री टर्म्स के कॉलम से बदल दिया गया है)।

दूसरे रूप में, क्रैमर का नियम इस प्रकार तैयार किया गया है: किसी भी गुणांक c 1, c 2, ..., c n के लिए निम्नलिखित समानता है:

रैखिक समीकरणों की प्रणाली: