गणितीय विश्लेषण गणित की एक शाखा है जो एक असीम रूप से छोटे कार्य के विचार के आधार पर कार्यों के अध्ययन से संबंधित है।

गणितीय विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाएँ हैं: मात्रा, समुच्चय, फलन, अतिसूक्ष्म फलन, सीमा, अवकलज, समाकलन।

मूल्यवह सब कुछ जिसे किसी संख्या द्वारा मापा और व्यक्त किया जा सकता है, कहलाता है।

अनेककुछ सामान्य विशेषताओं द्वारा एकजुट कुछ तत्वों का संग्रह है। समुच्चय के अवयव संख्याएँ, आकृतियाँ, वस्तुएँ, अवधारणाएँ आदि हो सकते हैं।

सेट को बड़े अक्षरों से और सेट के तत्वों को लोअरकेस अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। सेट तत्व घुंघराले ब्रेसिज़ में संलग्न हैं।

यदि तत्व एक्ससेट के अंतर्गत आता है एक्स, फिर लिखना एक्स∈एक्स (∈ - के अंतर्गत आता है)।
यदि समुच्चय A समुच्चय B का भाग है, तो लिखिए ए बी (⊂ - निहित है)।

एक सेट को दो तरीकों में से एक में परिभाषित किया जा सकता है: गणना द्वारा और परिभाषित संपत्ति द्वारा।

उदाहरण के लिए, गणना निम्नलिखित सेटों को परिभाषित करती है:

• ए=(1,2,3,5,7) - संख्याओं का सेट
• Х=(x 1,x 2 ,...,x n ) कुछ तत्वों x 1, x 2 ,...,x n का एक समुच्चय है।
• N=(1,2,...,n) प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है
• Z=(0,±1,±2,...,±n) पूर्णांकों का समुच्चय है

समुच्चय (-∞;+∞) कहलाता है संख्या रेखा, और कोई भी संख्या इस रेखा का एक बिंदु है। माना वास्तविक रेखा पर एक मनमाना बिंदु है और एक धनात्मक संख्या है। अंतराल (a-δ; a+δ) को कहा जाता है -बिंदु का पड़ोस a.

समुच्चय X ऊपर से (नीचे से) परिबद्ध है यदि ऐसी कोई संख्या c है कि किसी x X के लिए असमानता x≤с (x≥c) संतुष्ट है। इस मामले में संख्या c को कहा जाता है ऊपर (नीचे) किनारासमुच्चय X। ऊपर और नीचे दोनों ओर से परिबद्ध समुच्चय कहलाता है सीमित. समुच्चय के ऊपरी (निचले) फलकों का सबसे छोटा (सबसे बड़ा) कहलाता है सटीक शीर्ष (नीचे) चेहरायह सेट।

मूल संख्यात्मक सेट

एन	(1,2,3,...,n) सभी का समुच्चय
जेड	(0, ±1, ±2, ±3,...) सेट पूर्ण संख्याएं।पूर्णांकों के समुच्चय में प्राकृत संख्याओं का समुच्चय शामिल होता है।
क्यू	गुच्छा परिमेय संख्या. पूर्ण संख्याओं के अतिरिक्त भिन्न भी होते हैं। भिन्न रूप का व्यंजक है, जहाँ पीएक पूर्णांक है, क्यू- प्राकृतिक। दशमलव को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए: 0.25 = 25/100 = 1/4। पूर्णांकों को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, "एक" के हर वाले भिन्न के रूप में: 2 = 2/1। इस प्रकार, किसी भी परिमेय संख्या को दशमलव भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है - परिमित या अपरिमित आवर्त।
आर	बहुत से वास्तविक संख्या. अपरिमेय संख्याएं अनंत गैर-आवधिक भिन्न हैं। इसमे शामिल है: दो समुच्चय (परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ) मिलकर वास्तविक (या वास्तविक) संख्याओं का समुच्चय बनाते हैं।

यदि किसी समुच्चय में कोई अवयव नहीं है, तो उसे कहते हैं खाली सेटऔर रिकॉर्ड किया गया Ø .

तार्किक प्रतीकवाद के तत्व

संकेतन ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

परिमाणक

गणितीय व्यंजक लिखते समय, अक्सर क्वांटिफायर का उपयोग किया जाता है।

परिमाणकएक तार्किक प्रतीक कहा जाता है जो इसका अनुसरण करने वाले तत्वों को मात्रात्मक शब्दों में दर्शाता है।

• ∀- सामान्य परिमाणक, "सभी के लिए", "किसी के लिए" शब्दों के बजाय प्रयोग किया जाता है।
• ∃- अस्तित्वगत परिमाणक, "अस्तित्व", "है" शब्दों के स्थान पर प्रयोग किया जाता है। प्रतीक संयोजन ∃! का भी उपयोग किया जाता है, जिसे पढ़ा जाता है क्योंकि केवल एक ही होता है।

सेट पर संचालन

दो सेट ए और बी बराबर हैं(ए = बी) यदि वे समान तत्वों से मिलकर बने हैं।
उदाहरण के लिए, यदि A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) तो A=B.

संघ (योग)समुच्चय A और B समुच्चय A B कहलाते हैं, जिनके अवयव इनमें से कम से कम एक समुच्चय से संबंधित हैं।
उदाहरण के लिए, यदि A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), तो A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

चौराहा (उत्पाद)समुच्चय A और B समुच्चय A B कहलाता है, जिसके अवयव समुच्चय A और समुच्चय B दोनों से संबंधित हैं।
उदाहरण के लिए, यदि A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), तो A ∩ B = (2,4)

अंतरसमुच्चय A और B समुच्चय AB कहलाते हैं, जिसके अवयव समुच्चय A से संबंधित हैं, लेकिन समुच्चय B से संबंधित नहीं हैं।
उदाहरण के लिए, यदि A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), तो AB = (1,2)

सममित अंतरसमुच्चय A और B को समुच्चय A B कहा जाता है, जो समुच्चय AB और BA के अंतरों का मिलन है, अर्थात A B = (AB) (BA)।
उदाहरण के लिए, यदि A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), तो A B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 .6)

सेट संचालन के गुण

क्रमपरिवर्तन गुण

ए ∪ बी = बी ∪ ए
ए ∩ बी = बी ∩ ए

संबंधी संपत्ति

(ए ∪ बी) सी = ए ∪ (बी ∪ सी)
(ए ∩ बी) सी = ए ∩ (बी ∩ सी)

गणनीय और बेशुमार सेट

किन्हीं दो समुच्चयों ए और बी की तुलना करने के लिए, उनके तत्वों के बीच एक पत्राचार स्थापित किया जाता है।

यदि यह पत्राचार एक-से-एक है, तो सेट को समकक्ष या समकक्ष, ए बी या बी ए कहा जाता है।

उदाहरण 1

त्रिभुज ABC के पाद BC और कर्ण AC के बिंदुओं का समुच्चय समान शक्ति का है।

गणितीय सेट

गुच्छा- गणित की प्रमुख वस्तुओं में से एक, विशेष रूप से, सेट सिद्धांत। "सेट के तहत हमारा मतलब हमारे अंतर्ज्ञान या हमारे विचार की कुछ निश्चित, पूरी तरह से अलग-अलग वस्तुओं में एकीकरण है" (जी। कंटोर)। यह पूरी तरह से एक सेट की अवधारणा की तार्किक परिभाषा नहीं है, बल्कि केवल एक स्पष्टीकरण है (क्योंकि एक अवधारणा को परिभाषित करने का मतलब ऐसी सामान्य अवधारणा को खोजना है जिसमें इस अवधारणा को एक प्रजाति के रूप में शामिल किया गया है, लेकिन एक सेट शायद है गणित और तर्क की व्यापक अवधारणा)।

सिद्धांतों

समुच्चय की अवधारणा के दो मुख्य उपागम हैं - अनाड़ीऔर सिद्धसमुच्चय सिद्धान्त।

स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत

आज, एक सेट को एक मॉडल के रूप में परिभाषित किया जाता है जो ZFC स्वयंसिद्धों (पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्ध) को संतुष्ट करता है। इस दृष्टिकोण के साथ, कुछ गणितीय सिद्धांतों में, वस्तुओं का संग्रह उत्पन्न होता है जो सेट नहीं होते हैं। ऐसे संग्रहों को वर्ग (विभिन्न क्रमों के) कहा जाता है।

तत्व सेट करें

वे वस्तुएँ जो समुच्चय बनाती हैं, कहलाती हैं तत्वों को सेट करेंया अंक निर्धारित करें। सेट को अक्सर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, इसके तत्व - छोटे से। यदि a समुच्चय A का एक अवयव है, तो a A लिखिए (a, A से संबंधित है)। यदि a समुच्चय A का अवयव नहीं है, तो a A लिखिए (a, A से संबंधित नहीं है)।

कुछ प्रकार के सेट

• एक आदेशित सेट एक सेट है जिस पर ऑर्डर संबंध दिया जाता है।
• एक सेट (विशेष रूप से, एक आदेशित जोड़ी)। केवल एक सेट के विपरीत, यह कोष्ठक के अंदर लिखा जाता है: ( एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 ,…), और तत्वों को दोहराया जा सकता है।

पदानुक्रम द्वारा:

सेट का सेट सबसेट सुपरसेट

सीमा से:

सेट पर संचालन

साहित्य

• स्टॉल आर.आर.सेट तर्क। स्वयंसिद्ध सिद्धांत। - एम।: शिक्षा, 1968। - 232 पी।

यह सभी देखें

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "गणितीय सेट" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

विटाली सेट वास्तविक संख्याओं के एक सेट का पहला उदाहरण है जिसमें लेबेसेग माप नहीं है। यह उदाहरण, जो एक क्लासिक बन गया है, 1905 में इतालवी गणितज्ञ जे विटाली द्वारा अपने लेख "सुल समस्या डेला मिसुर देई ग्रुपी दी पुंटी ... ... विकिपीडिया में प्रकाशित किया गया था।

- यादृच्छिक चर का (औसत मान) यादृच्छिक चर का संख्यात्मक अभिलक्षण है। यदि प्रायिकता स्थान पर दिया गया एक यादृच्छिक चर (संभाव्यता सिद्धांत देखें), तो इसका M. o. MX (या EX) को Lebesgue इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया गया है: जहां... भौतिक विश्वकोश

एक यादृच्छिक चर इसकी संख्यात्मक विशेषता है। यदि एक यादृच्छिक चर X का वितरण फलन F(x) है, तो इसका M. o. मर्जी: । यदि X का वितरण असतत है, तो .о.: , जहाँ x1, x2, ... असतत यादृच्छिक चर X के संभावित मान हैं; पी1 ... भूवैज्ञानिक विश्वकोश

एसीएस का गणितीय समर्थन- , सॉफ्टवेयर, सॉफ्टवेयर के समान, गणितीय कार्यक्रमों और एल्गोरिदम का एक सेट, सहायक उप-प्रणालियों में से एक। आमतौर पर कंप्यूटर पर विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए कई कार्यक्रम शामिल होते हैं, जो मुख्य कार्यक्रम द्वारा संयुक्त होते हैं ... ... आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

एसीएस सॉफ्टवेयर- सॉफ्टवेयर, सॉफ्टवेयर के समान, गणितीय कार्यक्रमों और एल्गोरिदम का एक सेट, सहायक उप-प्रणालियों में से एक। आमतौर पर डिस्पैचर द्वारा मुख्य कार्यक्रम द्वारा संयुक्त रूप से कंप्यूटर पर विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए कई कार्यक्रम शामिल होते हैं। ... ... तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

- (गणितीय) सेट थ्योरी देखें...

एक गणितीय मॉडल वास्तविकता का गणितीय प्रतिनिधित्व है। गणितीय मॉडलिंग गणितीय मॉडल के निर्माण और अध्ययन की प्रक्रिया है। सभी प्राकृतिक और सामाजिक विज्ञान गणितीय तंत्र का उपयोग करते हैं, वास्तव में ... ... विकिपीडिया

रैखिक और गैर-रैखिक बाधाओं (समानताओं और असमानताओं) द्वारा परिभाषित एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के सेट पर कार्यों के चरम को खोजने के सिद्धांत और समस्याओं को हल करने के तरीकों के लिए समर्पित एक गणितीय अनुशासन। एमपी। ... ... गणितीय विश्वकोश

रैखिक और गैर-रैखिक बाधाओं (समानताओं और असमानताओं) द्वारा परिभाषित सेटों पर कार्यों के चरम को खोजने की समस्याओं को हल करने के लिए सिद्धांत और विधियों के लिए समर्पित एक गणितीय अनुशासन। विज्ञान के एमपी खंड ... ... महान सोवियत विश्वकोश

इस शब्द के अन्य अर्थ हैं, प्रमाण देखें। गणित में, एक प्रमाण तार्किक अनुमानों की एक श्रृंखला है जो दर्शाता है कि कुछ स्वयंसिद्ध और अनुमान नियमों के लिए, एक निश्चित कथन सत्य है। पर निर्भर करता है ... विकिपीडिया

पुस्तकें

• अर्थव्यवस्था का गणितीय मॉडलिंग, मालीखिन वी.आई. पुस्तक अर्थव्यवस्था के मुख्य गणितीय मॉडल पर चर्चा करती है: व्यक्तिगत उपभोक्ता का मॉडल (उपयोगिता फ़ंक्शन के आधार पर), निर्माण कंपनी का मॉडल (उत्पादन फ़ंक्शन के आधार पर),…

संक्षिप्त सारांश

मैं शिक्षा से सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी हूं, लेकिन मेरी गणितीय पृष्ठभूमि अच्छी है। मजिस्ट्रेटी में विषयों में से एक दर्शनशास्त्र था, एक विषय चुनना और उस पर एक पेपर जमा करना आवश्यक था। चूंकि अधिकांश विकल्प एक से अधिक बार आपत्तिजनक थे, इसलिए मैंने कुछ अधिक विदेशी चुनने का फैसला किया। मैं नवीनता का ढोंग नहीं करता, मैं इस विषय पर सभी / लगभग सभी उपलब्ध साहित्य को संचित करने में कामयाब रहा। दार्शनिक और गणितज्ञ मुझ पर पत्थर फेंक सकते हैं, मैं केवल रचनात्मक आलोचना के लिए आभारी रहूंगा।

पी.एस. बहुत "शुष्क भाषा", लेकिन विश्वविद्यालय के कार्यक्रम के बाद काफी पठनीय। अधिकांश भाग के लिए, विरोधाभासों की परिभाषा विकिपीडिया (सरलीकृत शब्दों और तैयार किए गए टीएक्स मार्कअप) से ली गई थी।

परिचय

सेट थ्योरी और उसमें निहित विरोधाभास दोनों ही बहुत पहले नहीं, सौ साल पहले ही प्रकट हुए थे। हालांकि, इस अवधि के दौरान एक लंबा सफर तय किया गया है, सेट का सिद्धांत, एक तरफ या कोई अन्य, वास्तव में गणित के अधिकांश वर्गों का आधार बन गया। कैंटर की अनंतता से जुड़े इसके विरोधाभासों को आधी सदी में शाब्दिक रूप से समझाया गया था।

आपको एक परिभाषा के साथ शुरुआत करनी चाहिए।

एक भीड़ क्या है? प्रश्न काफी सरल है, इसका उत्तर काफी सहज है। एक सेट एक वस्तु द्वारा दर्शाए गए तत्वों का एक समूह है। अपने काम में कांटोर Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehreएक परिभाषा देता है: "सेट" से हमारा मतलब हमारे चिंतन या हमारी सोच (जिसे सेट के "तत्व" कहा जाएगा) की एक निश्चित पूरी तरह से अलग-अलग वस्तुओं में संयोजन से है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सार नहीं बदला है, अंतर केवल उस हिस्से में है जो निर्धारक के विश्वदृष्टि पर निर्भर करता है। तर्क और गणित दोनों में सेट सिद्धांत का इतिहास अत्यधिक विवादास्पद है। दरअसल, 19वीं सदी में कांतोर ने इसकी नींव रखी, फिर रसेल और अन्य लोगों ने काम जारी रखा।

विरोधाभास (तर्क और सेट सिद्धांत) - (अन्य ग्रीक παράδοξος से - अप्रत्याशित, अन्य ग्रीक से अजीब παρα-δοκέω - मुझे लगता है) - औपचारिक तार्किक विरोधाभास जो तर्क की तार्किक शुद्धता को बनाए रखते हुए सार्थक सेट सिद्धांत और औपचारिक तर्क में उत्पन्न होते हैं। विरोधाभास तब उत्पन्न होते हैं जब दो परस्पर अनन्य (विरोधाभासी) प्रस्ताव समान रूप से सिद्ध होते हैं। विरोधाभास वैज्ञानिक सिद्धांत के भीतर और सामान्य तर्क दोनों में प्रकट हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, रसेल के सभी सामान्य सेटों के सेट के बारे में विरोधाभास रसेल द्वारा दिया गया है: "गाँव का नाई उन सभी को और अपने गाँव के केवल उन निवासियों को शेव करता है जो खुद को शेव नहीं करते हैं। चाहिए। वह खुद को शेव करता है?")। चूंकि औपचारिक-तार्किक विरोधाभास तर्क को सत्य की खोज और सिद्ध करने के साधन के रूप में नष्ट कर देता है (एक सिद्धांत जिसमें एक विरोधाभास प्रकट होता है, कोई भी वाक्य, दोनों सही और गलत, सिद्ध होता है), ऐसे विरोधाभासों के स्रोतों की पहचान करने में समस्या उत्पन्न होती है और उन्हें खत्म करने के तरीके खोजे जा रहे हैं। विरोधाभासों के विशिष्ट समाधानों की दार्शनिक समझ की समस्या औपचारिक तर्क और गणित की तार्किक नींव की महत्वपूर्ण पद्धति संबंधी समस्याओं में से एक है।

इस काम का उद्देश्य प्राचीन एंटिनोमीज़ के वारिस के रूप में सेट थ्योरी के विरोधाभासों का अध्ययन करना है और एक नए स्तर के अमूर्त - अनंत में संक्रमण के काफी तार्किक परिणाम हैं। कार्य मुख्य विरोधाभासों, उनकी दार्शनिक व्याख्या पर विचार करना है।

सेट थ्योरी के मूल विरोधाभास

नाई सिर्फ उन लोगों को शेव करता है जो खुद को शेव नहीं करते हैं। क्या वह खुद को शेव करता है?

आइए इतिहास में एक संक्षिप्त भ्रमण के साथ जारी रखें।

कुछ तार्किक विरोधाभास प्राचीन काल से ज्ञात हैं, लेकिन इस तथ्य के कारण कि गणितीय सिद्धांत केवल अंकगणित और ज्यामिति तक सीमित था, उन्हें सेट सिद्धांत के साथ सहसंबंधित करना असंभव था। 19वीं शताब्दी में, स्थिति मौलिक रूप से बदल गई: कांतोर अपने कार्यों में अमूर्तता के एक नए स्तर पर पहुंच गए। उन्होंने अनंत की अवधारणा की शुरुआत की, जिससे गणित की एक नई शाखा का निर्माण हुआ और इस तरह "एक सेट की शक्ति" की अवधारणा का उपयोग करके विभिन्न अनंत की तुलना की जा सके। हालांकि, ऐसा करते हुए उन्होंने कई विरोधाभास पैदा किए। पहला तथाकथित है बुराली-फोर्टी विरोधाभास. गणितीय साहित्य में, विभिन्न शब्दावली और प्रसिद्ध प्रमेयों के एक कल्पित सेट के आधार पर विभिन्न सूत्रीकरण होते हैं। यहाँ औपचारिक परिभाषाओं में से एक है।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि क्रमिक संख्याओं का एक मनमाना समुच्चय है, तो योग-समुच्चय के प्रत्येक तत्व से अधिक या उसके बराबर एक क्रमसूचक संख्या है। मान लीजिए कि अब यह सभी क्रमिक संख्याओं का समुच्चय है। फिर में किसी भी संख्या से अधिक या उसके बराबर एक क्रमिक संख्या है। लेकिन तब और एक क्रमिक संख्या है, इसके अलावा, यह पहले से ही सख्ती से अधिक है, और इसलिए किसी भी संख्या के बराबर नहीं है। लेकिन यह उस शर्त का खंडन करता है जो सभी क्रमिक संख्याओं का समुच्चय है।

विरोधाभास का सार यह है कि जब सभी क्रमसूचक संख्याओं का समुच्चय बनता है, तो एक नया क्रमसूचक प्रकार बनता है, जो अभी तक "सभी" पारभासी क्रमसूचक संख्याओं में से नहीं था जो सभी क्रमिक संख्याओं के समुच्चय के गठन से पहले मौजूद थे। इस विरोधाभास की खोज खुद कैंटर ने की थी, जिसे स्वतंत्र रूप से इतालवी गणितज्ञ बुराली-फोर्टी द्वारा खोजा और प्रकाशित किया गया था, बाद की त्रुटियों को रसेल ने ठीक किया, जिसके बाद फॉर्मूलेशन ने अपना अंतिम रूप हासिल कर लिया।

इस तरह के विरोधाभासों से बचने के सभी प्रयासों में और कुछ हद तक उन्हें समझाने की कोशिश में, पहले से ही उल्लेखित रसेल का विचार सबसे अधिक ध्यान देने योग्य है। उन्होंने गणित और तर्क अभेद्य वाक्यों को बाहर करने का प्रस्ताव रखा जिसमें एक सेट के एक तत्व की परिभाषा बाद वाले पर निर्भर करती है, जो विरोधाभास का कारण बनती है। नियम इस तरह लगता है: "किसी भी सेट में केवल एक सेट के संदर्भ में परिभाषित तत्व नहीं हो सकते हैं, साथ ही ऐसे तत्व भी हो सकते हैं जो इस सेट को अपनी परिभाषा में मानते हैं"। समुच्चय की परिभाषा पर ऐसा प्रतिबंध हमें विरोधाभासों से बचने की अनुमति देता है, लेकिन साथ ही गणित में इसके अनुप्रयोग के दायरे को महत्वपूर्ण रूप से सीमित करता है। इसके अलावा, यह उनकी प्रकृति और उनकी उपस्थिति के कारणों की व्याख्या करने के लिए पर्याप्त नहीं है, जो औपचारिक तर्क की विशेषताओं में विचार और भाषा के द्विभाजन में निहित है। कुछ हद तक, इस प्रतिबंध के साथ एक समानता का पता लगाया जा सकता है जिसे बाद की अवधि में संज्ञानात्मक मनोवैज्ञानिकों और भाषाविदों ने "बुनियादी स्तर वर्गीकरण" कहना शुरू किया: परिभाषा को सबसे आसानी से समझने और अध्ययन की अवधारणा के लिए कम कर दिया गया है।

कैंटर का विरोधाभास. मान लें कि सभी सेटों का सेट मौजूद है। इस स्थिति में, यह सत्य है कि प्रत्येक समुच्चय का एक उपसमुच्चय होता है। लेकिन इससे यह पता चलता है कि किसी भी सेट की कार्डिनैलिटी की कार्डिनैलिटी से अधिक नहीं होती है। लेकिन सभी उपसमुच्चय के समुच्चय के अभिगृहीत के आधार पर, साथ ही किसी भी समुच्चय के लिए, सभी उपसमुच्चयों का एक समुच्चय होता है, और कैंटर के प्रमेय द्वारा, जो पिछले कथन का खंडन करता है। इसलिए, यह अस्तित्व में नहीं हो सकता है, जो "बेवकूफ" परिकल्पना के साथ संघर्ष करता है कि कोई भी वाक्य रचनात्मक रूप से सही तार्किक स्थिति एक सेट को परिभाषित करती है, यानी किसी भी सूत्र के लिए मुक्त नहीं है। पॉटर द्वारा स्वयंसिद्ध ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के आधार पर इस तरह के विरोधाभासों की अनुपस्थिति का एक उल्लेखनीय प्रमाण दिया गया है।

तार्किक दृष्टिकोण से, उपरोक्त दोनों विरोधाभास "झूठे" या "नाई" के समान हैं: व्यक्त निर्णय न केवल उसके संबंध में किसी उद्देश्य के लिए, बल्कि स्वयं के लिए भी निर्देशित है। हालांकि, किसी को न केवल तार्किक पक्ष पर ध्यान देना चाहिए, बल्कि अनंत की अवधारणा पर भी ध्यान देना चाहिए, जो यहां मौजूद है। साहित्य पोंकारे के काम को संदर्भित करता है, जिसमें वह लिखता है: "एक वास्तविक अनंत के अस्तित्व में विश्वास ... इन गैर-विधेय परिभाषाओं को आवश्यक बनाता है"।

सामान्य तौर पर, मुख्य बिंदु हैं:

1. इन विरोधाभासों में, विधेय और विषय के "क्षेत्रों" को स्पष्ट रूप से अलग करने के लिए नियम का उल्लंघन किया जाता है; भ्रम की डिग्री एक अवधारणा के दूसरे के लिए प्रतिस्थापन के करीब है;
2. आमतौर पर तर्क में यह माना जाता है कि तर्क की प्रक्रिया में विषय और विधेय अपनी मात्रा और सामग्री को बनाए रखते हैं, इस मामले में एक श्रेणी से दूसरी श्रेणी में संक्रमण होता है, जिसके परिणामस्वरूप विसंगति होती है;
3. शब्द "सभी" की उपस्थिति सीमित संख्या में तत्वों के लिए समझ में आता है, लेकिन उनमें से एक अनंत संख्या के मामले में, यह संभव है कि खुद को परिभाषित करने के लिए, एक सेट की परिभाषा की आवश्यकता होगी;
4. बुनियादी तार्किक कानूनों का उल्लंघन किया जाता है:
   1. पहचान के कानून का उल्लंघन किया जाता है जब विषय और विधेय की गैर-पहचान का पता चलता है;
   2. विरोधाभास का नियम - जब दो परस्पर विरोधी निर्णय एक ही अधिकार से प्राप्त होते हैं;
   3. बहिष्कृत तीसरे का कानून - जब इस तीसरे को पहचाना जाना है, और बाहर नहीं किया जाना है, क्योंकि न तो पहले और न ही दूसरे को दूसरे के बिना पहचाना जा सकता है, क्योंकि वे समान रूप से मान्य हैं।

रसेल का विरोधाभास. यहाँ उसका एक विकल्प है। आज्ञा देना उन सभी समुच्चयों का समुच्चय है जो स्वयं को उनके तत्व के रूप में शामिल नहीं करते हैं। क्या यह स्वयं को एक तत्व के रूप में समाहित करता है? यदि ऐसा है, तो परिभाषा के अनुसार, यह एक तत्व नहीं होना चाहिए - एक विरोधाभास। यदि नहीं - तो, ​​परिभाषा के अनुसार, यह एक तत्व होना चाहिए - फिर से एक विरोधाभास। यह कथन तार्किक रूप से कैंटर के विरोधाभास से लिया गया है, जो उनके संबंध को दर्शाता है। हालाँकि, दार्शनिक सार अधिक स्पष्ट रूप से प्रकट होता है, क्योंकि अवधारणाओं का "आत्म-आंदोलन" हमारी आंखों के ठीक सामने होता है।

ट्रिस्ट्राम शैंडी का विरोधाभास. स्टर्न के द लाइफ एंड ओपिनियन्स ऑफ ट्रिस्ट्राम शैंडी, जेंटलमैन में, नायक को पता चलता है कि उसे अपने जीवन के पहले दिन की घटनाओं का वर्णन करने में पूरे एक वर्ष का समय लगा, और दूसरे दिन का वर्णन करने के लिए एक और वर्ष। इस संबंध में, नायक शिकायत करता है कि उसकी जीवनी की सामग्री उसे संसाधित करने की तुलना में तेज़ी से जमा होगी, और वह इसे कभी भी पूरा नहीं कर पाएगा। "अब मैं मानता हूं," रसेल ने आपत्ति जताई, "कि अगर वह हमेशा के लिए रहता है और उसका काम उसके लिए बोझ नहीं बनता, भले ही उसका जीवन शुरुआत में ही घटनापूर्ण रहा, तो उसकी जीवनी का एक हिस्सा नहीं रहेगा अलिखित।

वास्तव में, शैंडी -वें वर्ष के लिए -वें दिन की घटनाओं का वर्णन कर सकते हैं और इस प्रकार, उनकी आत्मकथा में, हर दिन पर कब्जा कर लिया जाएगा। दूसरे शब्दों में, यदि जीवन अनिश्चित काल तक चलता है, तो उसके पास उतने ही वर्ष होंगे जितने दिन।

रसेल इस उपन्यास और ज़ेनो के बीच अपने कछुए के साथ एक सादृश्य बनाते हैं। उनकी राय में, समाधान इस तथ्य में निहित है कि संपूर्ण अनंत पर अपने हिस्से के बराबर है। वे। केवल "सामान्य ज्ञान का स्वयंसिद्ध" एक विरोधाभास की ओर ले जाता है। हालाँकि, समस्या का समाधान शुद्ध गणित के दायरे में है। जाहिर है, दो सेट हैं - साल और दिन, जिन तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है - एक आक्षेप। फिर, नायक के अनंत जीवन की स्थिति के तहत, समान शक्ति के दो अनंत सेट होते हैं, जो कि अगर हम शक्ति को एक सेट में तत्वों की संख्या की अवधारणा के सामान्यीकरण के रूप में मानते हैं, तो विरोधाभास को हल करता है।

Banach-Tarski का विरोधाभास (प्रमेय) या गेंद को दोगुना करना विरोधाभास- सेट थ्योरी में एक प्रमेय जिसमें कहा गया है कि एक त्रि-आयामी गेंद समान रूप से इसकी दो प्रतियों से बनी होती है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के दो उपसमुच्चय समान रूप से रचित कहलाते हैं यदि एक को सीमित भागों में विभाजित किया जा सकता है, उन्हें स्थानांतरित किया जा सकता है, और उनमें से दूसरा बनाया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, दो सेट और समान रूप से रचित होते हैं यदि उन्हें असंबद्ध उपसमुच्चय के परिमित संघ के रूप में दर्शाया जा सकता है और इस तरह से कि प्रत्येक उपसमुच्चय सर्वांगसम हो।

अगर हम पसंद प्रमेय का उपयोग करते हैं, तो परिभाषा इस तरह लगती है:

पसंद के स्वयंसिद्ध का तात्पर्य है कि एक इकाई क्षेत्र की सतह का एक सीमित संख्या में भागों में एक विभाजन होता है, जो त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के परिवर्तन से इन घटकों के आकार को नहीं बदलता है, दो में इकट्ठा किया जा सकता है इकाई त्रिज्या के गोले।

जाहिर है, इन भागों को मापने योग्य होने की आवश्यकता को देखते हुए, यह कथन संभव नहीं है। प्रसिद्ध भौतिक विज्ञानी रिचर्ड फेनमैन ने अपनी जीवनी में बताया कि कैसे एक समय में वह संतरे को सीमित भागों में विभाजित करने और इसे फिर से बनाने के विवाद को जीतने में कामयाब रहे।

कुछ बिंदुओं पर, इस विरोधाभास का उपयोग पसंद के स्वयंसिद्ध का खंडन करने के लिए किया जाता है, लेकिन समस्या यह है कि जिसे हम प्राथमिक ज्यामिति मानते हैं वह आवश्यक नहीं है। जिन अवधारणाओं को हम सहज समझते हैं, उन्हें पारलौकिक कार्यों के गुणों के स्तर तक बढ़ाया जाना चाहिए।

उन लोगों के विश्वास को और कमजोर करने के लिए जो मानते हैं कि पसंद का स्वयंसिद्ध गलत है, किसी को मजुर्किविज़ और सिएरपिंस्की के प्रमेय का उल्लेख करना चाहिए, जिसमें कहा गया है कि यूक्लिडियन विमान का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय है जिसमें दो अलग-अलग उपसमुच्चय हैं, जिनमें से प्रत्येक भागों की एक सीमित संख्या में विभाजित किया जा सकता है, ताकि उनका आइसोमेट्री द्वारा सेट के कवरिंग में अनुवाद किया जा सके। सबूत के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध के उपयोग की आवश्यकता नहीं होती है। निश्चितता के स्वयंसिद्ध पर आधारित आगे के निर्माण बानाच-टार्स्की विरोधाभास को एक संकल्प देते हैं, लेकिन इस तरह के हित के नहीं हैं।

1. रिचर्ड का विरोधाभास: "इस पुस्तक में नामित नहीं की गई सबसे छोटी संख्या" नाम देना आवश्यक है। विरोधाभास यह है कि एक ओर, यह किया जा सकता है, क्योंकि इस पुस्तक में नामित सबसे छोटी संख्या है। इसके आधार पर छोटे से छोटे नाम का भी नाम लिया जा सकता है। लेकिन यहां एक समस्या उत्पन्न होती है: सातत्य बेशुमार है, किन्हीं दो संख्याओं के बीच आप अनंत संख्या में मध्यवर्ती संख्याएँ सम्मिलित कर सकते हैं। दूसरी ओर, यदि हम इस संख्या को नाम दे सकते हैं, तो यह स्वतः ही उस वर्ग से, जिसका उल्लेख पुस्तक में नहीं है, उस वर्ग में चला जाएगा, जिसका उल्लेख किया गया है।
2. ग्रीलिंग-निल्सन विरोधाभास: शब्द या संकेत किसी संपत्ति को इंगित कर सकते हैं और साथ ही साथ हैं या नहीं। सबसे तुच्छ सूत्रीकरण इस तरह लगता है: शब्द "विषमलैंगिक" (जिसका अर्थ है "स्वयं पर लागू नहीं") विषमशास्त्रीय है? .. यह एक द्वंद्वात्मक विरोधाभास की उपस्थिति के कारण रसेल के विरोधाभास के समान है: रूप और सामग्री का द्वैत उल्लंघन किया जाता है। उन शब्दों के मामले में जिनमें उच्च स्तर की अमूर्तता होती है, यह तय करना असंभव है कि ये शब्द विषमलैंगिक हैं या नहीं।
3. स्कोलेम विरोधाभास: गोडेल की पूर्णता प्रमेय और लोवेनहाइम-स्कोलेम प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं कि स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत तब भी सत्य रहता है, जब इसकी व्याख्या के लिए केवल सेटों का एक गणनीय सेट (उपलब्ध) माना जाता है। उसी समय, स्वयंसिद्ध सिद्धांत में पहले से उल्लेखित कैंटोर का प्रमेय शामिल है, जो हमें बेशुमार अनंत सेटों की ओर ले जाता है।

विरोधाभासों का समाधान

सेट थ्योरी के निर्माण ने गणित के तीसरे संकट को जन्म दिया, जिसे अभी तक सभी के लिए संतोषजनक ढंग से हल नहीं किया गया है। ऐतिहासिक रूप से, पहला दृष्टिकोण सेट-सैद्धांतिक था। यह वास्तविक अनंत के उपयोग पर आधारित था, जब यह माना जाता था कि कोई भी अनंत क्रम अनंत में पूरा होता है। विचार यह था कि सेट थ्योरी में अक्सर सेट पर काम करना पड़ता था जो दूसरे, बड़े सेट के हिस्से हो सकते थे। इस मामले में सफल कार्रवाइयां केवल एक मामले में संभव थीं: दिए गए सेट (परिमित और अनंत) पूरे हो गए हैं। एक निश्चित सफलता स्पष्ट थी: ज़र्मेलो-फ्रेंकेल का स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत, निकोलस बॉर्बकी द्वारा गणित का एक पूरा स्कूल, जो आधी सदी से भी अधिक समय से अस्तित्व में है और अभी भी बहुत आलोचना का कारण बनता है।

तर्कवाद सभी ज्ञात गणित को अंकगणित की शर्तों तक कम करने का प्रयास था, और फिर अंकगणित की शर्तों को गणितीय तर्क की अवधारणाओं तक कम करने का प्रयास था। फ्रीज ने इसे बारीकी से लिया, लेकिन काम पर काम खत्म करने के बाद, रसेल द्वारा सिद्धांत में विरोधाभासों को इंगित करने के बाद, उन्हें अपनी असंगतता को इंगित करने के लिए मजबूर होना पड़ा। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, वही रसेल ने "टाइप थ्योरी" की मदद से अपरिवर्तनीय परिभाषाओं के उपयोग को खत्म करने की कोशिश की। हालांकि, सेट और अनंत की उनकी अवधारणा, साथ ही साथ कम करने की स्वयंसिद्धता, अतार्किक निकली। मुख्य समस्या यह थी कि औपचारिक और गणितीय तर्क के बीच गुणात्मक अंतर को ध्यान में नहीं रखा गया था, साथ ही साथ एक सहज प्रकृति सहित, अनावश्यक अवधारणाओं की उपस्थिति को भी ध्यान में नहीं रखा गया था।
नतीजतन, तर्कवाद का सिद्धांत अनंत से जुड़े विरोधाभासों के द्वंद्वात्मक विरोधाभासों को समाप्त नहीं कर सका। केवल सिद्धांत और तरीके थे जिन्होंने कम से कम गैर-भविष्यवाणी की परिभाषाओं से छुटकारा पाना संभव बना दिया। अपने स्वयं के तर्क में, रसेल कैंटर का उत्तराधिकारी था।

XIX के अंत में - XX सदी की शुरुआत। गणित पर औपचारिक दृष्टिकोण का प्रसार स्वयंसिद्ध पद्धति के विकास और गणित की पुष्टि के कार्यक्रम से जुड़ा था, जिसे डी। हिल्बर्ट ने आगे रखा था। इस तथ्य के महत्व का संकेत इस तथ्य से मिलता है कि उन्होंने गणितीय समुदाय के सामने जो तेईस समस्याएं प्रस्तुत कीं, उनमें से पहली अनंत की समस्या थी। शास्त्रीय गणित की निरंतरता को साबित करने के लिए औपचारिककरण आवश्यक था, "इसमें से सभी तत्वमीमांसा को छोड़कर।" हिल्बर्ट द्वारा उपयोग किए गए साधनों और विधियों को देखते हुए, उनका लक्ष्य मौलिक रूप से असंभव निकला, लेकिन उनके कार्यक्रम का गणित की नींव के बाद के पूरे विकास पर बहुत प्रभाव पड़ा। हिल्बर्ट ने इस समस्या पर लंबे समय तक काम किया, पहली बार ज्यामिति के स्वयंसिद्धों का निर्माण किया। चूंकि समस्या का समाधान काफी सफल रहा, इसलिए उन्होंने प्राकृतिक संख्याओं के सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्ध पद्धति को लागू करने का फैसला किया। इस संबंध में उन्होंने जो लिखा है वह यहां दिया गया है: "मैं एक महत्वपूर्ण लक्ष्य का पीछा करता हूं: यह मैं हूं जो गणित की नींव के सवालों से निपटना चाहता हूं, जैसे कि हर गणितीय कथन को सख्ती से व्युत्पन्न सूत्र में बदलना।" उसी समय, इसे एक निश्चित सीमित संख्या में संचालन को कम करके अनंत से छुटकारा पाने की योजना बनाई गई थी। ऐसा करने के लिए, उन्होंने अनंत मात्राओं की पूरी असंगति दिखाने के लिए, अपने परमाणुवाद के साथ भौतिकी की ओर रुख किया। वास्तव में, हिल्बर्ट ने सिद्धांत और वस्तुनिष्ठ वास्तविकता के बीच संबंध का प्रश्न उठाया।

परिमित विधियों का कमोबेश संपूर्ण विचार हिल्बर्ट के छात्र जे. हर्ब्रान ने दिया है। परिमित तर्क से, वह ऐसे तर्क को समझता है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है: तार्किक विरोधाभास

हमेशा वस्तुओं और कार्यों की एक सीमित और निश्चित संख्या पर विचार किया जाता है;

फ़ंक्शंस की एक सटीक परिभाषा होती है, और यह परिभाषा हमें उनके मूल्य की गणना करने की अनुमति देती है;

यह कभी भी दावा नहीं करता है कि "यह वस्तु मौजूद है" जब तक कि इसे बनाने का कोई तरीका ज्ञात न हो;

किसी भी अनंत संग्रह की सभी वस्तुओं X के समुच्चय पर कभी विचार नहीं किया जाता है;

यदि यह ज्ञात है कि इन सभी एक्स के लिए कोई तर्क या प्रमेय सत्य है, तो इसका मतलब है कि यह सामान्य तर्क प्रत्येक विशिष्ट एक्स के लिए दोहराया जा सकता है, और इस सामान्य तर्क को केवल ऐसे विशिष्ट तर्क के लिए एक मॉडल के रूप में माना जाना चाहिए।

हालांकि, इस क्षेत्र में अंतिम प्रकाशन के समय, गोडेल ने पहले ही अपने परिणाम प्राप्त कर लिए थे, संक्षेप में उन्होंने फिर से खोज की और अनुभूति की प्रक्रिया में द्वंद्वात्मकता की उपस्थिति को मंजूरी दी। संक्षेप में, गणित के आगे के विकास ने हिल्बर्ट के कार्यक्रम की विफलता को प्रदर्शित किया।

गोडेल ने वास्तव में क्या साबित किया? तीन मुख्य परिणाम हैं:

1. गोडेल ने किसी भी प्रणाली की संगति के गणितीय प्रमाण की असंभवता को दिखाया, जो कि सभी अंकगणित को शामिल करने के लिए पर्याप्त है, एक ऐसा प्रमाण जो सिस्टम में पाए गए लोगों की तुलना में अनुमान के किसी अन्य नियम का उपयोग नहीं करेगा। ऐसा प्रमाण, जो अधिक शक्तिशाली अनुमान नियम का उपयोग करता है, उपयोगी हो सकता है। लेकिन अगर अनुमान के ये नियम अंकगणितीय कलन के तार्किक साधनों से अधिक मजबूत हैं, तो प्रमाण में प्रयुक्त मान्यताओं की संगति में कोई विश्वास नहीं होगा। किसी भी मामले में, यदि उपयोग की जाने वाली विधियां वित्तीयवादी नहीं हैं, तो हिल्बर्ट का कार्यक्रम अव्यावहारिक हो जाएगा। गोडेल अंकगणित की संगति का एक अंतिम प्रमाण खोजने के लिए गणना की असंगति को दर्शाता है।

2. गोडेल ने स्वयंसिद्ध विधि की संभावनाओं की मूलभूत सीमाओं की ओर इशारा किया: प्रिंसिपिया मैथमैटिका प्रणाली, किसी भी अन्य प्रणाली की तरह, जिसके साथ अंकगणित बनाया गया है, अनिवार्य रूप से अपूर्ण है, अर्थात अंकगणितीय स्वयंसिद्धों की किसी भी सुसंगत प्रणाली के लिए सही अंकगणितीय वाक्य हैं जो हैं इस प्रणाली के स्वयंसिद्धों से व्युत्पन्न नहीं।

3. गोडेल के प्रमेय से पता चलता है कि एक अंकगणितीय प्रणाली का कोई भी विस्तार इसे पूर्ण नहीं बना सकता है, और अगर हम इसे स्वयंसिद्धों के अनंत सेट से भर देते हैं, तो नई प्रणाली में हमेशा सत्य होगा, लेकिन इस प्रणाली के माध्यम से घटाया नहीं जा सकता है, पदों। प्राकृतिक संख्याओं के अंकगणित के लिए स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण वास्तविक अंकगणितीय प्रस्तावों के पूरे दायरे को कवर नहीं कर सकता है, और गणितीय प्रमाण की प्रक्रिया से हमारा मतलब स्वयंसिद्ध पद्धति के उपयोग तक सीमित नहीं है। गोडेल के प्रमेय के बाद, यह उम्मीद करना व्यर्थ हो गया कि एक ठोस गणितीय प्रमाण की अवधारणा एक बार और सभी चित्रित रूपों के लिए दी जा सकती है।

सेट थ्योरी को समझाने के प्रयासों की इस श्रृंखला में नवीनतम अंतर्ज्ञानवाद था।

वह अपने विकास में कई चरणों से गुजरा - अर्ध-अंतर्ज्ञानवाद, अंतर्ज्ञानवाद उचित, अति-अंतर्ज्ञानवाद। विभिन्न चरणों में, गणितज्ञ विभिन्न समस्याओं को लेकर चिंतित थे, लेकिन गणित की मुख्य समस्याओं में से एक अनंत की समस्या है। अनंत और निरंतरता की गणितीय अवधारणाएं अपनी स्थापना के बाद से दार्शनिक विश्लेषण का विषय रही हैं (परमाणुवादियों के विचार, एलिया के ज़ेनो के अपोरिया, पुरातनता में असीम तरीके, आधुनिक समय में इनफिनिटिमल्स की गणना, आदि)। सबसे बड़ा विवाद विभिन्न प्रकार के अनंत (संभावित, वास्तविक) के गणितीय वस्तुओं के रूप में उपयोग और उनकी व्याख्या के कारण हुआ था। ये सभी समस्याएं, हमारी राय में, एक गहरी समस्या - वैज्ञानिक ज्ञान में विषय की भूमिका से उत्पन्न हुई थीं। तथ्य यह है कि गणित में संकट की स्थिति वस्तु की दुनिया (अनंत) और विषय की दुनिया की तुलना की महामारी संबंधी अनिश्चितता से उत्पन्न होती है। एक विषय के रूप में गणितज्ञ के पास अनुभूति के साधनों को चुनने की संभावना होती है - या तो संभावित या वास्तविक अनंत। एक बनने के रूप में संभावित अनंत का उपयोग उसे निर्माण करने का अवसर देता है, निर्माण के अनंत सेट का निर्माण करने के लिए जो सीमित लोगों के शीर्ष पर बनाया जा सकता है, बिना सीमित कदम के, निर्माण पूरा किए बिना, यह केवल संभव है। वास्तविक अनंत का उपयोग उसे अनंत के साथ काम करने का अवसर देता है जैसा कि पहले से ही साकार है, इसके निर्माण में पूरा हुआ, जैसा कि वास्तव में उसी समय दिया गया था।

अर्ध-अंतर्ज्ञानवाद के चरण में, अनंत की समस्या अभी तक स्वतंत्र नहीं थी, लेकिन गणितीय वस्तुओं के निर्माण की समस्या और इसे सही ठहराने के तरीकों में बुनी गई थी। ए पोंकारे के अर्ध-अंतर्ज्ञानवाद और पेरिसियन स्कूल ऑफ फंक्शन थ्योरी के प्रतिनिधियों बेयर, लेबेस्ग्यू और बोरेल को स्वतंत्र पसंद के स्वयंसिद्ध की स्वीकृति के खिलाफ निर्देशित किया गया था, जो ज़र्मेलो के प्रमेय को साबित करता है, जिसमें कहा गया है कि किसी भी सेट को पूरी तरह से ऑर्डर किया जा सकता है , लेकिन वांछित सेटों के किसी भी उपसमुच्चय के तत्वों को निर्धारित करने का सैद्धांतिक तरीका बताए बिना। गणितीय वस्तु के निर्माण का कोई तरीका नहीं है, और स्वयं कोई गणितीय वस्तु नहीं है। गणितज्ञों का मानना ​​​​था कि अध्ययन की वस्तुओं के अनुक्रम के निर्माण के लिए एक सैद्धांतिक पद्धति की उपस्थिति या अनुपस्थिति इस स्वयंसिद्ध की पुष्टि या खंडन के आधार के रूप में काम कर सकती है। रूसी संस्करण में, गणित की दार्शनिक नींव में अर्ध-अंतर्ज्ञानवादी अवधारणा को इस तरह से विकसित किया गया था जैसे कि एन.एन. द्वारा विकसित प्रभाववाद। लुज़िन। प्रभाववाद अनंत के कैंटर के सिद्धांत के मुख्य सार तत्वों का विरोध है - वास्तविकता, पसंद, ट्रांसफ़िनिट इंडक्शन, आदि।

प्रभाववाद के लिए, संभावित व्यवहार्यता का अमूर्तन वास्तविक अनंत के अमूर्त की तुलना में ज्ञानमीमांसक रूप से अधिक मूल्यवान है। इसके लिए धन्यवाद, कार्यों के विकास की प्रभावी अवधारणा के आधार पर ट्रांसफ़िनिट ऑर्डिनल्स (अनंत क्रमागत संख्या) की अवधारणा को पेश करना संभव हो जाता है। निरंतर (निरंतर) प्रदर्शित करने के लिए प्रभाववाद की महामारी विज्ञान सेटिंग असतत साधनों (अंकगणित) और एनएन लुज़िन द्वारा बनाए गए सेट (कार्यों) के वर्णनात्मक सिद्धांत पर आधारित थी। डचमैन एल.ई. या. ब्रौवर, जी. वेइल, ए. हेटिंग का अंतर्ज्ञानवाद अध्ययन के पारंपरिक उद्देश्य के रूप में विभिन्न प्रकार के स्वतंत्र रूप से उभरते अनुक्रमों को देखता है। इस स्तर पर, गणितीय समस्याओं को उचित रूप से हल करना, जिसमें सभी गणित के नए आधार पर पुनर्गठन शामिल है, अंतर्ज्ञानवादियों ने एक संज्ञानात्मक विषय के रूप में गणितज्ञ की भूमिका के दार्शनिक प्रश्न को उठाया। उसकी स्थिति क्या है, जहाँ वह अनुभूति के साधनों को चुनने में अधिक स्वतंत्र और सक्रिय है? वास्तविक अनंत की अवधारणा की आलोचना करने वाले पहले (और अर्ध-अंतर्ज्ञानवाद के चरण में), कैंटोर के सेट के सिद्धांत, इसमें एक रचनात्मक समस्या के समाधान के लिए वैज्ञानिक खोज की प्रक्रिया को प्रभावित करने के लिए विषय की क्षमता का उल्लंघन था। . संभावित अनंत का उपयोग करने के मामले में, विषय खुद को धोखा नहीं देता है, क्योंकि उसके लिए संभावित अनंत का विचार वास्तविक अनंत के विचार की तुलना में सहज रूप से बहुत स्पष्ट है। एक अंतर्ज्ञानवादी के लिए, एक वस्तु को अस्तित्व में माना जाता है यदि इसे सीधे गणितज्ञ को दिया जाता है या इसके निर्माण की विधि, निर्माण ज्ञात होता है। किसी भी मामले में, विषय अपने सेट के कई तत्वों के निर्माण को पूरा करने की प्रक्रिया शुरू कर सकता है। अंतर्ज्ञानवादियों के लिए असंरचित वस्तु मौजूद नहीं है। साथ ही, वास्तविक अनंत के साथ काम करने वाला विषय इस अवसर से वंचित हो जाएगा और अपनाई गई स्थिति की दोहरी भेद्यता महसूस करेगा:

1) इस अनंत रचना को साकार करना कभी संभव नहीं है;

2) वह वास्तविक अनंत के साथ एक सीमित वस्तु के साथ काम करने का फैसला करता है, और इस मामले में अनंत की अवधारणा की अपनी विशिष्टता खो देता है। अंतर्ज्ञानवाद जानबूझकर एक गणितज्ञ की संभावनाओं को इस तथ्य से सीमित करता है कि वह विशेष रूप से गणितीय वस्तुओं का निर्माण कर सकता है, हालांकि अमूर्त अवधारणाओं की मदद से प्राप्त किया जाता है, प्रभावी, आश्वस्त, सिद्ध, कार्यात्मक रूप से रचनात्मक रूप से व्यावहारिक रूप से रचनात्मक होते हैं और स्वयं को निर्माण के रूप में सहज रूप से स्पष्ट होते हैं, निर्माण, जिसकी विश्वसनीयता व्यवहार में है, इसमें कोई संदेह नहीं है। अंतर्ज्ञानवाद, संभावित अनंत और रचनात्मक अनुसंधान विधियों की अवधारणा पर निर्भर करता है, बनने के गणित से संबंधित है, सेट सिद्धांत अस्तित्व के गणित को संदर्भित करता है।

अंतर्ज्ञानवादी ब्रौवर के लिए, गणितीय अनुभववाद के प्रतिनिधि के रूप में, तर्क गौण है; वह इसकी और बहिष्कृत मध्य के कानून की आलोचना करता है।

अपने आंशिक रूप से रहस्यमय कार्यों में, वह अनंत के अस्तित्व से इनकार नहीं करता है, लेकिन इसके वास्तविककरण की अनुमति नहीं देता है, केवल संभावितता। उनके लिए मुख्य बात व्यावहारिक रूप से प्रयुक्त तार्किक साधनों और गणितीय तर्क की व्याख्या और औचित्य है। अंतर्ज्ञानवादियों द्वारा अपनाया गया प्रतिबंध गणित में अनंत की अवधारणा के उपयोग की अनिश्चितता को दूर करता है और गणित की नींव में संकट को दूर करने की इच्छा व्यक्त करता है।

अल्ट्रा-अंतर्ज्ञानवाद (ए.एन. कोलमोगोरोव, ए.ए. मार्कोव और अन्य) अंतर्ज्ञानवाद के विकास में अंतिम चरण है, जिस पर इसके मुख्य विचारों को आधुनिकीकरण, महत्वपूर्ण रूप से पूरक और रूपांतरित किया जाता है, इसके सार को बदले बिना, लेकिन कमियों पर काबू पाने और सकारात्मक पहलुओं को मजबूत करने के लिए निर्देशित किया जाता है। मानदंड गणितीय कठोरता। अंतर्ज्ञानवादी दृष्टिकोण की कमजोरी गणितीय विधियों की शुद्धता और प्रभावशीलता के औचित्य के एकमात्र स्रोत के रूप में अंतर्ज्ञान की भूमिका की एक संकीर्ण समझ थी। गणित में सत्य की कसौटी के रूप में "सहज स्पष्टता" लेते हुए, अंतर्ज्ञानवादियों ने ज्ञान के विषय के रूप में गणितज्ञ की संभावनाओं को विधिपूर्वक खराब कर दिया, उसकी गतिविधि को केवल अंतर्ज्ञान पर आधारित मानसिक संचालन तक सीमित कर दिया और गणितीय ज्ञान की प्रक्रिया में अभ्यास को शामिल नहीं किया। गणित की पुष्टि का अति-अंतर्ज्ञानवादी कार्यक्रम एक रूसी प्राथमिकता है। इसलिए, घरेलू गणितज्ञों ने अंतर्ज्ञानवाद की सीमाओं को पार करते हुए, भौतिकवादी द्वंद्वात्मकता की प्रभावी पद्धति को अपनाया, मानव अभ्यास को गणितीय अवधारणाओं और गणितीय तरीकों (अनुमान, निर्माण) दोनों के गठन के स्रोत के रूप में मान्यता दी। अल्ट्राइंटुइटिशनिस्टों ने गणितीय वस्तुओं के अस्तित्व की समस्या को हल किया, अंतर्ज्ञान की अपरिभाषित व्यक्तिपरक अवधारणा पर नहीं, बल्कि गणितीय अभ्यास और गणितीय वस्तु के निर्माण के लिए एक विशिष्ट तंत्र पर - एक गणना योग्य, पुनरावर्ती फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त एक एल्गोरिथ्म।

अल्ट्रा-अंतर्ज्ञानवाद अंतर्ज्ञानवाद के फायदों को बढ़ाता है, जिसमें किसी भी दिशा के गणितज्ञों द्वारा उपयोग की जाने वाली रचनात्मक समस्याओं को हल करने के तरीकों को व्यवस्थित करने और सामान्य बनाने की संभावना शामिल है। इसलिए, अंतिम चरण का अंतर्ज्ञानवाद (परमज्ञानवाद) गणित में रचनावाद के करीब है। ज्ञानमीमांसा के पहलू में, अतिसूक्ष्मवाद के मुख्य विचार और सिद्धांत इस प्रकार हैं: तर्क के शास्त्रीय स्वयंसिद्धों की आलोचना; सार के निर्माण और रचनात्मक रूप से समझने के तरीके के रूप में पहचान की अमूर्तता (वस्तुओं के असमान गुणों से मानसिक अमूर्तता और वस्तुओं के सामान्य गुणों के एक साथ अलगाव) की भूमिका का उपयोग और महत्वपूर्ण मजबूती (ए.ए. मार्कोव के स्पष्ट निर्देशों पर) अवधारणाएं, गणितीय निर्णय; सुसंगत सिद्धांतों की संगति का प्रमाण। औपचारिक पहलू में, पहचान की अमूर्तता का उपयोग समानता के तीन गुणों (स्वयंसिद्ध) द्वारा उचित है - रिफ्लेक्सिविटी, ट्रांज़िटिविटी और समरूपता।

अनंत की समस्या पर गणित में मुख्य विरोधाभास को हल करने के लिए, जिसने इसकी नींव के संकट को जन्म दिया, ए.एन. के कार्यों में अति-अंतर्ज्ञानवाद के स्तर पर। कोलमोगोरोव ने शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी तर्क, शास्त्रीय और अंतर्ज्ञानवादी गणित के बीच संबंधों की समस्या को हल करके संकट से बाहर निकलने के तरीके सुझाए। ब्रौवर के अंतर्ज्ञानवाद ने तर्क को पूरी तरह से नकार दिया, लेकिन चूंकि कोई भी गणितज्ञ तर्क के बिना नहीं कर सकता, तार्किक तर्क का अभ्यास अभी भी अंतर्ज्ञानवाद में संरक्षित था, शास्त्रीय तर्क के कुछ सिद्धांतों की अनुमति थी, जिसका आधार स्वयंसिद्ध था। एस.के. क्लेन, आर। वेस्ले ने यहां तक ​​​​ध्यान दिया कि अंतर्ज्ञानवादी गणित को एक प्रकार के कलन के रूप में वर्णित किया जा सकता है, और कलन गणितीय ज्ञान को तर्क, औपचारिकता और उसके रूप - एल्गोरिथम के आधार पर व्यवस्थित करने का एक तरीका है। निर्णयों की सहज स्पष्टता के लिए अंतर्ज्ञानवादी आवश्यकताओं के ढांचे के भीतर तर्क और गणित के बीच संबंधों का एक नया संस्करण, विशेष रूप से वे जिनमें निषेध शामिल थे, ए.एन. कोलमोगोरोव ने निम्नानुसार प्रस्तावित किया: उन्होंने अंतर्ज्ञानवादी तर्क प्रस्तुत किया, जो अंतर्ज्ञानवादी गणित से निकटता से संबंधित है, प्रस्तावों और विधेय के एक स्वयंसिद्ध निहितार्थ न्यूनतम कलन के रूप में। इस प्रकार, वैज्ञानिक ने गणितीय ज्ञान का एक नया मॉडल प्रस्तुत किया, केवल अंतर्ज्ञान को अनुभूति के साधन और तर्कवाद की सीमाओं के रूप में पहचानने में अंतर्ज्ञानवाद की सीमाओं को पार करते हुए, जो गणित में तर्क की संभावनाओं को पूर्ण करता है। इस स्थिति ने गणितीय रूप में सहज और तार्किक के संश्लेषण को लचीली तर्कसंगतता और इसकी रचनात्मक प्रभावशीलता के आधार के रूप में प्रदर्शित करना संभव बना दिया।

इस प्रकार, गणितीय ज्ञान का ज्ञानमीमांसा पहलू हमें 19 वीं -20 वीं शताब्दी के मोड़ पर गणित की नींव के संकट के चरण में क्रांतिकारी परिवर्तनों का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है। अनुभूति की प्रक्रिया, इसमें विषय की प्रकृति और भूमिका को समझने में नए पदों से। ज्ञान के पारंपरिक सिद्धांत का ज्ञानमीमांसा विषय, गणित में सेट-सैद्धांतिक दृष्टिकोण के वर्चस्व की अवधि के अनुरूप, एक अमूर्त, अधूरा, "आंशिक" विषय है, जो विषय-वस्तु संबंधों में दर्शाया गया है, जो अमूर्तता, तर्क द्वारा फाड़ा गया है। वास्तविकता से औपचारिकता, तर्कसंगत रूप से, सैद्धांतिक रूप से अपनी वस्तु को जानना और एक दर्पण के रूप में समझा, वास्तविकता को सटीक रूप से प्रतिबिंबित और कॉपी करना। वास्तव में, विषय को वास्तविक प्रक्रिया और वस्तु के साथ बातचीत के परिणाम के रूप में अनुभूति से बाहर रखा गया था। गणित में दार्शनिक प्रवृत्तियों के संघर्ष के क्षेत्र में अंतर्ज्ञानवाद के प्रवेश ने गणितज्ञ की ज्ञान के विषय के रूप में एक नई समझ पैदा की - एक ऐसा व्यक्ति जो जानता है, जिसका दार्शनिक अमूर्त निर्माण किया जाना चाहिए, जैसा कि वह था। गणितज्ञ एक अनुभवजन्य विषय के रूप में दिखाई दिया, जिसे पहले से ही एक अभिन्न वास्तविक व्यक्ति के रूप में समझा जाता है, जिसमें उन सभी गुणों को शामिल किया गया है जो महामारी विज्ञान के विषय में शामिल थे - अनुभवजन्य संक्षिप्तता, परिवर्तनशीलता, ऐतिहासिकता; यह वास्तविक संज्ञान में एक अभिनय और संज्ञानात्मक, एक रचनात्मक, सहज, आविष्कारशील विषय है। अंतर्ज्ञानवादी गणित का दर्शन आधार बन गया है, आधुनिक ज्ञानमीमांसा प्रतिमान की नींव है, जो लचीली तर्कसंगतता की अवधारणा पर निर्मित है, जिसमें एक व्यक्ति अनुभूति का एक अभिन्न (समग्र) विषय है, जिसमें नए संज्ञानात्मक गुण, तरीके, प्रक्रियाएं हैं; वह अपने अमूर्त-महामारी विज्ञान और तार्किक-पद्धतिगत प्रकृति और रूप को संश्लेषित करता है, और साथ ही साथ एक अस्तित्व-मानवशास्त्रीय और "ऐतिहासिक-आध्यात्मिक" समझ प्राप्त करता है।

एक महत्वपूर्ण बिंदु अनुभूति में अंतर्ज्ञान भी है और, विशेष रूप से, गणितीय अवधारणाओं के निर्माण में। फिर से, दर्शन के साथ संघर्ष है, बहिष्कृत मध्य के कानून को बाहर करने का प्रयास है, गणित में कोई अर्थ नहीं है और इसमें दर्शन से आ रहा है। हालांकि, अंतर्ज्ञान पर अत्यधिक जोर देने और स्पष्ट गणितीय औचित्य की कमी ने गणित को एक ठोस आधार पर स्थानांतरित करने की अनुमति नहीं दी।

हालाँकि, 1930 के दशक में एक एल्गोरिथ्म की एक कठोर अवधारणा के उद्भव के बाद, अंतर्ज्ञानवाद से बैटन को गणितीय रचनावाद ने ले लिया, जिसके प्रतिनिधियों ने संगणना के आधुनिक सिद्धांत में महत्वपूर्ण योगदान दिया। इसके अलावा, 1970 और 1980 के दशक में, अंतर्ज्ञानवादियों के कुछ विचारों (यहां तक ​​​​कि जो पहले बेतुका लग रहा था) और टॉपोस के गणितीय सिद्धांत के बीच महत्वपूर्ण संबंध खोजे गए थे। कुछ टोपोई में पाया गया गणित बहुत कुछ वैसा ही है जैसा कि अंतर्ज्ञानवादी बनाने की कोशिश कर रहे थे।

नतीजतन, कोई एक बयान दे सकता है: उपरोक्त अधिकांश विरोधाभास केवल स्व-स्वामित्व वाले सेट के सिद्धांत में मौजूद नहीं हैं। क्या ऐसा दृष्टिकोण निश्चित है, यह बहस का विषय है, इस क्षेत्र में आगे के काम से पता चलेगा।

निष्कर्ष

द्वंद्वात्मक-भौतिकवादी विश्लेषण से पता चलता है कि विरोधाभास भाषा और सोच के द्विभाजन का परिणाम है, गहरी द्वंद्वात्मक अभिव्यक्ति (गोडेल के प्रमेय ने अनुभूति की प्रक्रिया में द्वंद्वात्मकता को प्रकट करना संभव बना दिया) और किसी वस्तु और विषय की अवधारणाओं से जुड़ी महामारी संबंधी कठिनाइयों का परिणाम है। औपचारिक तर्क में क्षेत्र, तर्क और सेट सिद्धांत में एक सेट (वर्ग), अमूर्त सिद्धांत के उपयोग के साथ, जो विज्ञान में अमूर्त वस्तुओं को परिभाषित करने के तरीकों के साथ नई (अमूर्त) वस्तुओं (अनंत) को पेश करने की अनुमति देता है। इसलिए, ए सभी विरोधाभासों को खत्म करने का सार्वभौमिक तरीका नहीं दिया जा सकता है।

क्या गणित का तीसरा संकट समाप्त हो गया है (क्योंकि यह विरोधाभासों के साथ एक कारण संबंध में था; अब विरोधाभास एक अभिन्न अंग हैं) - राय यहां भिन्न हैं, हालांकि औपचारिक रूप से ज्ञात विरोधाभासों को 1907 तक समाप्त कर दिया गया था। हालाँकि, अब गणित में ऐसी अन्य परिस्थितियाँ हैं जिन्हें या तो संकट माना जा सकता है या संकट का पूर्वाभास किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, पथ अभिन्न के लिए एक कठोर औचित्य का अभाव)।

विरोधाभासों के लिए, प्रसिद्ध झूठे विरोधाभास ने गणित में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाई, साथ ही तथाकथित भोले (पूर्ववर्ती स्वयंसिद्ध) सेट सिद्धांत में विरोधाभासों की एक पूरी श्रृंखला ने नींव के संकट का कारण बना (इन विरोधाभासों में से एक खेला) एच। फ्रीज के जीवन में एक घातक भूमिका)। लेकिन, शायद, आधुनिक गणित में सबसे कम आंका जाने वाली घटनाओं में से एक, जिसे विरोधाभासी और संकट दोनों कहा जा सकता है, 1963 में हिल्बर्ट की पहली समस्या का पॉल कोहेन का समाधान है। अधिक सटीक रूप से, निर्णय का तथ्य नहीं, बल्कि इस निर्णय की प्रकृति।

साहित्य

1. जॉर्ज कैंटर। Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. गणितज्ञ एनालेन, 46:481-512, 1895।
2. में। बुरोवा। सेट थ्योरी और डायलेक्टिक्स के विरोधाभास। विज्ञान, 1976।
3. एम.डी. कुम्हार। सेट थ्योरी एंड इट्स फिलॉसफी: ए क्रिटिकल इंट्रोडक्शन। ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, निगमित, 2004।
4. ज़ुकोव एन.आई. गणित की दार्शनिक नींव। मिन्स्क: यूनिवर्सिट्सकोए, 1990।
5. फेनमैन आरएफ, एस इलिन। बेशक, आप मजाक कर रहे हैं, मिस्टर फेनमैन!: एक अद्भुत व्यक्ति का रोमांच, उसके द्वारा आर। लेटन को बताया गया। हमिंगबर्ड, 2008।
6. ओ एम मिज़ेविच। जी. कांटोर के सेट थ्योरी में विरोधाभासों पर काबू पाने के दो तरीके। तार्किक और दार्शनिक अध्ययन, (3):279-299, 2005।
7. एस आई मासालोवा। अंतर्ज्ञानवादी गणित का दर्शन। डीएसटीयू का बुलेटिन, (4), 2006।
8. चेचुलिन वी.एल. स्व-स्वामित्व के साथ सेट का सिद्धांत (नींव और कुछ अनुप्रयोग)। पर्म। राज्य अन-टी. - पर्म, 2012।
9. एस एन ट्रोनिन। "गणित के दर्शनशास्त्र" विषय पर व्याख्यान का संक्षिप्त सारांश। कज़ान, 2012।
10. ग्रिशिन वी.एन., बोचवर डी.ए. सेट थ्योरी और गैर-शास्त्रीय तर्कशास्त्र में अध्ययन। विज्ञान, 1976।
11. हॉफस्टैटर डी। गोडेल, एस्चर, बाख: यह अंतहीन माला। बहराख-एम, 2001।
12. काबाकोव एफए, मेंडेलसन ई। गणितीय तर्क का परिचय। पब्लिशिंग हाउस "नौका", 1976।
13. हां। बोचवर। गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत के विरोधाभास के सवाल पर। गणितीय संग्रह, 57(3):369-384, 1944।

विषय क्षेत्र का विवरण (इसकी ऑन्कोलॉजी का निर्माण) वस्तुओं के चयन और उनके वर्गीकरण से शुरू होता है, जो परंपरागत रूप से उपवर्ग वर्गों के एक पेड़ को संकलित करने और उन्हें व्यक्तियों को सौंपने में होता है। उसी समय, शब्द "वर्ग", वास्तव में, "सेट" के अर्थ में प्रयोग किया जाता है: किसी वस्तु को किसी वर्ग में संदर्भित करने के बारे में सोचा जाता है कि इसे संबंधित सेट में एक तत्व के रूप में शामिल किया गया है। इस पाठ का उद्देश्य यह दिखाना है कि विषय क्षेत्र की संरचना का वर्णन करने के लिए ऐसा एकीकृत दृष्टिकोण एक मजबूत सरलीकरण है और वस्तुओं के शब्दार्थ संबंधों की विविधता को ठीक करने की अनुमति नहीं देता है।

आइए व्यक्तिगत बग को वर्गीकृत करने के लिए तीन विकल्पों को देखें:

1. पशु - कुत्ता - कर्कश - बग।
2. सेवा - घुड़सवारी - बग।
3. केनेल - कुत्तों की टीम - ज़ुचका।

अधीनस्थ संस्थाओं का पहला अनुक्रम स्पष्ट रूप से वर्गों और उपवर्गों को निर्दिष्ट करके वर्णित किया गया है: बग "पसंद" वर्ग का एक व्यक्ति है, "पसंद" वर्ग कुत्तों का एक उपवर्ग है, और बाद वाला "पशु" वर्ग का एक उपवर्ग है। . इस मामले में, वर्ग "जानवरों" को सभी जानवरों के एक समूह के रूप में माना जाता है, और वर्ग "पसंद" सेट "कुत्तों" के सबसेट के रूप में माना जाता है। हालांकि, इस तरह का विवरण, इस तथ्य के बावजूद कि यह काफी स्पष्ट है, अर्थपूर्ण रूप से टॉटोलॉजिकल, आत्म-संदर्भित है: हम व्यक्तिगत बग को एक कर्कश कहते हैं यदि इसे पतियों के सेट में शामिल किया जाता है, और पतियों के सेट को स्वयं के रूप में परिभाषित किया जाता है पतियों के सभी व्यक्तियों की समग्रता - अर्थात्, सार्थक डुप्लिकेट नाम के सेट में शामिल करना। इसके अलावा, वर्ग को परिभाषित करने वाली अवधारणा के तहत आने वाले व्यक्ति के विवरण से एक वर्ग-सेट का विवरण पूरी तरह से समाप्त हो जाता है। यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसे वर्ग-समूहों का संचालन उनमें तत्वों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है: बग की भूसी भूसी होगी, भले ही वह पृथ्वी पर एकमात्र, आखिरी भूसी बनी रहे। इसके अलावा, हम ऐसे वर्ग-समूहों के साथ काम कर सकते हैं, यहां तक ​​​​कि उनमें व्यक्तियों की अनुपस्थिति में भी: हम पहले से ही विलुप्त डायनासोर की एक ऑन्कोलॉजी का निर्माण कर सकते हैं, एक वर्ग के बारे में सोच सकते हैं कि केवल भविष्य में एक अद्वितीय उपकरण को डिजाइन किया जा सकता है, या एक मॉडल का निर्माण कर सकते हैं। पौराणिक जानवरों के विषय क्षेत्र, परियों की कहानियों के नायक, हालांकि एक ही समय में सभी वर्ग-सेटों की कार्डिनैलिटी शून्य के बराबर होगी।

इसलिए, यदि हम विश्लेषण किए गए वर्गीकरण (पशु - कुत्ता - भूसी - बग) के सामग्री पक्ष के बारे में बात करते हैं, तो इसे (सामग्री पक्ष) किसी भी तरह से सेट और सबसेट के संबंध के माध्यम से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। इस मामले में, हम अवधारणा के साथ काम कर रहे हैं - अवधारणाओं का चयन और जीनस-प्रजाति संबंध स्थापित करनाउन दोनों के बीच। साथ ही, वैचारिक वर्ग के तत्वों की वास्तविक संख्या, यानी अवधारणा का दायरा, इसकी परिभाषा में प्रकट नहीं होता है और इसका उल्लेख (और तब भी अर्थपूर्ण रूप से नहीं) होता है जब केवल एक अवधारणा ("पसंद") गिरती है दूसरे ("कुत्ते") के तहत, यानी जब एक प्रकार के जीनस के रूप में। हां, हम कह सकते हैं कि "कुत्ते" की अवधारणा का दायरा "पसंद" की अवधारणा के दायरे से अधिक है, लेकिन इन सेटों के वास्तविक संख्यात्मक अनुपात का कोई ऑन्कोलॉजिकल अर्थ नहीं है। जीनस-प्रजाति संबंधों में एक उपवर्ग की मात्रा के एक वर्ग की मात्रा से अधिक केवल इस तथ्य को दर्शाता है कि, एक जीनस की परिभाषा के अनुसार, इसमें कई प्रजातियां शामिल होनी चाहिए - अन्यथा यह वर्गीकरण अर्थहीन हो जाता है। अर्थात्, जीनस-प्रजाति के वैचारिक वर्गीकरण में, हम अवधारणाओं की सामग्री में रुचि रखते हैं - "कुत्ता" प्रकार "बिल्ली" से कैसे भिन्न होता है (जो उनके लिए "जानवर" की सामान्य अवधारणा के अंतर्गत आता है), और नहीं कैसे जीनस और प्रजातियों के सेट की मात्रा संबंधित हैं और इससे भी अधिक विशिष्ट अवधारणाओं की मात्रा ("कुत्ता" और "बिल्ली")। और वैचारिक वर्गों को वास्तव में गणनीय सेटों से अलग करने के लिए, की बात करना अधिक सही होगा अवधारणा के अंतर्गत आता हैऔर इसके बारे में नहीं समावेशइसे एक वर्ग/सेट में। यह स्पष्ट है कि औपचारिक संकेतन में, कथन "X की अवधारणा से संबंधित है" और "कक्षा X का एक तत्व है" समान दिख सकते हैं, लेकिन इन दो विवरणों के बीच आवश्यक अंतर को नहीं समझने से गंभीर त्रुटियां हो सकती हैं। ऑन्कोलॉजी का निर्माण।

दूसरे संस्करण (सेवा - ड्राइविंग - बग) में, हम किसी भी सेट के साथ "ड्राइविंग" की अवधारणा की तुलना करने में रुचि नहीं रखते हैं: "बग - ड्राइविंग" कथन की शब्दार्थ सामग्री इस बात पर निर्भर नहीं करती है कि क्या यह एकमात्र ड्राइविंग है उनमें से एक या कई हैं। ऐसा लगता है कि यहां हम जीनस-प्रजाति संबंधों के साथ काम कर रहे हैं: "ड्राइविंग" की अवधारणा को "सेवा" की सामान्य अवधारणा के सापेक्ष एक प्रजाति के रूप में माना जा सकता है। लेकिन "ड्राइविंग" की अवधारणा के साथ व्यक्तिगत "बग" का कनेक्शन "पसंद" की अवधारणा के संबंध से काफी भिन्न होता है: दूसरा, वैचारिक, अवधारणा व्यक्ति में अंतर्निहित और हमेशा निहित है, और पहला स्थानीय को दर्शाता है समय के भीतर विशेषज्ञता. बग एक सवार के रूप में पैदा नहीं हुआ था, और शायद उम्र के साथ यह होना बंद हो सकता है और गार्ड की श्रेणी में आ सकता है, और बुढ़ापे में, सामान्य रूप से, किसी भी "पेशे" को खो देता है। यही है, विशेषज्ञता की बात करते हुए, हम हमेशा एक विशेष अवधारणा के साथ अधिग्रहण और संबंध के नुकसान की घटनाओं को अलग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, बग को नस्ल के पूर्ण चैंपियन के रूप में पहचाना जा सकता है, और फिर इस शीर्षक को खो सकते हैं, जो कि वैचारिक अवधारणाओं के साथ मौलिक रूप से असंभव है: बग जन्म से मृत्यु तक, यानी अपने अस्तित्व की पूरी अवधि के लिए एक के रूप में व्यक्ति, एक कुत्ता और एक कर्कश है। तो एक व्यक्ति अपने पूरे जीवन में "मनुष्य" की अवधारणा बना रहता है, लेकिन स्थितिजन्य रूप से (घटना से घटना तक) "स्कूली बच्चे", "छात्र", "डॉक्टर", "पति", आदि की विशिष्ट अवधारणाओं के अंतर्गत आ सकता है। और जैसा कि पहले से ही है ध्यान दें, इन अवधारणाओं के साथ संबंध एक निश्चित सेट में कम से कम शामिल होने का मतलब नहीं है (हालांकि यह इस तरह दिख सकता है) - एक विशेषज्ञता अवधारणा का असाइनमेंट हमेशा एक व्यक्ति के अन्य व्यक्तियों के साथ एक विशिष्ट संबंध का परिणाम होता है: एक में प्रवेश करना स्कूल, विश्वविद्यालय, डिप्लोमा प्राप्त करना, विवाह का पंजीकरण करना आदि। इसलिए, विशिष्ट अवधारणाओं को भी कहा जा सकता है रिलेशनल. उपरोक्त उदाहरणों से, वैचारिक वर्गीकरण और विशेषज्ञता के बीच एक और महत्वपूर्ण अंतर इस प्रकार है: एक व्यक्ति के पास कई विशेषज्ञताएं हो सकती हैं (एक बग स्लेज कुत्ता और नस्ल का चैंपियन हो सकता है, एक व्यक्ति एक छात्र और एक पति है), लेकिन एक साथ नहीं हो सकता एक से अधिक वैचारिक पदानुक्रम दर्ज करें (एक बग एक कुत्ता और एक बिल्ली नहीं हो सकता)।

और केवल ज़ुचका के विवरण के तीसरे संस्करण में - एक निश्चित केनेल से संबंधित है और एक विशिष्ट टीम के सदस्य के रूप में टुंड्रा में स्लेज खींच रहा है - बस भीड़ का उल्लेख करना आवश्यक है। केवल इस मामले में, हमें यह कहने का अधिकार है कि एक व्यक्ति एक ठोस सेट का एक तत्व है जिसमें तत्वों की एक संख्या है, और अवधारणा के अंतर्गत नहीं आता है, जिसे एक अमूर्त सेट के रूप में दर्शाया जा सकता है, सशर्त रूप से दायरे को ठीक करना यह अवधारणा। और यहां यह महत्वपूर्ण है कि एक व्यक्ति दूसरे व्यक्ति का हिस्सा है, जिसे शुरू में एक सेट के रूप में परिभाषित किया गया था: एक केनेल और एक टीम अनिवार्य रूप से कुत्तों का एक गैर-खाली सेट है, और इस सेट के तत्वों की संख्या आवश्यक रूप से उनकी परिभाषाओं में शामिल है। व्यक्तियों के रूप में। यानी इस मामले में हमें रिश्ते के बारे में बात करनी चाहिए अंशकालिक पूरे: बग केनेल का हिस्सा है और टीम का हिस्सा है। इसके अलावा, किसी विशेष टीम में बग के प्रवेश या गैर-प्रवेश से इसकी (टीम) सामग्री बदल जाती है: यदि हमारे पास टीम-दो थी, तो बग को हटाने के बाद, टीम एकल टीम में बदल जाती है। ऐसे मामलों में, हम न केवल एक गणनीय सेट (एक केनेल में कुत्तों) के साथ काम कर रहे हैं, बल्कि एक ऐसे व्यक्ति के साथ जिसका सार बदल जाता है जब उसके तत्वों की संरचना बदल जाती है, इस संरचना द्वारा निर्धारित की जाती है, अर्थात, के साथ प्रणाली. यदि एक केनेल सिर्फ एक व्यक्तिगत-समूह है, जिसे इसमें शामिल तत्वों के एक सेट के माध्यम से वर्णित किया गया है, तो एक टीम एक प्रणाली है, जिसका सार इसके भागों की संख्या और बारीकियों पर निर्भर करता है।

नतीजतन, किसी विषय क्षेत्र के एक ऑन्कोलॉजी का निर्माण करते समय, कोई वास्तविक वस्तुओं-सेटों को अलग कर सकता है, जिसे निश्चित रूप से व्यक्तियों की एक निश्चित संख्या के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है। ये हैं: स्कूल में एक कक्षा, एक गोदाम में एक बॉक्स में सामान, एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण ब्लॉक के हिस्से, आदि। और ये सेट अन्य वास्तविक गणनीय सेटों के सबसेट हो सकते हैं: एक स्कूल में सभी छात्र, एक गोदाम में सभी सामान, सभी एक उपकरण के हिस्से। इन सेटों को अलग करते समय, यह आवश्यक है कि वे (ये सेट) स्वतंत्र व्यक्तियों (एक टीम, माल का एक बैच, भागों का एक सेट) के रूप में कार्य करें, जिनमें से मुख्य विशेषता उनमें शामिल तत्वों की संख्या है। इसके अलावा, इस विशेषता में बदलाव से वस्तु की स्थिति में बदलाव हो सकता है, उदाहरण के लिए, तत्वों की संख्या में वृद्धि के साथ, चौकड़ी को पंचक में या रेजिमेंट को ब्रिगेड में बदल दें। यह भी महत्वपूर्ण है कि इन सेट-ऑब्जेक्ट्स, जटिल वस्तुओं का विवरण, उनमें शामिल व्यक्तियों के विवरण तक सीमित नहीं है, हालांकि इसमें बाद के स्वीकार्य प्रकार (स्ट्रिंग चौकड़ी, घोड़े की टीम) का संकेत शामिल हो सकता है। और ऐसे संबंध - अमूर्त सेटों के बीच नहीं, बल्कि ऐसे सेटों के बीच जो व्यक्ति, जटिल वस्तुएं हैं - को अधिक सटीक रूप से आंशिक-संपूर्ण संबंधों के रूप में वर्णित किया जाता है, न कि वर्ग-उपवर्ग के रूप में।

इसलिए, व्यक्तियों के पारंपरिक वर्गीकरण को कुछ वर्ग-समूहों को सौंपकर उन्हें सजातीय नहीं माना जा सकता है। (1) एक जटिल वस्तु (संपूर्ण) में भागों के रूप में व्यक्तियों को शामिल करने के बीच अंतर करना आवश्यक है, जिसकी शब्दार्थ विशिष्टता इसके तत्वों के विवरण तक सीमित नहीं है। उसी समय (1.1.), एक वस्तु-संपूर्ण को केवल व्यक्तियों के नामित समूह (पैकेज में भाग, चित्रों का एक संग्रह) के रूप में माना जा सकता है, जिसके लिए, वास्तव में, केवल भागों की संख्या महत्वपूर्ण है। ऐसी वस्तुओं को कहा जा सकता है समूह (या संग्रह)) इसके अलावा (1.2.) एक वस्तु-संपूर्ण अर्थपूर्ण रूप से (और न केवल मात्रात्मक रूप से) उसके भागों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है और इसके परिणामस्वरूप, ऐसे गुण होते हैं जो भागों में नहीं होते हैं। ऐसी अखंडता को पारंपरिक रूप से कहा जाता है प्रणाली, और सिस्टम के हिस्से - तत्व। वस्तुओं को उपवर्गों में निर्दिष्ट करके उनका वर्णन करने का दूसरा विकल्प है (2) अवधारणा के तहत व्यक्तियों का गिरना, जिसे केवल औपचारिक रूप से वर्णित किया जा सकता है, एक सेट में व्यक्तियों को शामिल करने के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिनकी शक्ति अवधारणा की शक्ति के बराबर है। व्यक्तियों का वैचारिक विवरण, बदले में, (2.1) में वर्गीकृत किया जा सकता है वैचारिक, विश्व स्तर पर व्यक्ति के प्रकार को ठीक करना, और (2.2) विशेष (संबंधपरक), स्थानीय रूप से समय और स्थान में (घटना-वार) व्यक्ति को अन्य वस्तुओं से जोड़ता है।

उपरोक्त तर्क, सबसे पहले, सेट सिद्धांत के आधार पर वर्गीकरण का उपयोग करके विषय क्षेत्र का वर्णन करने के लिए पारंपरिक दृष्टिकोण की पर्याप्तता और पर्याप्तता पर सवाल उठाता है। और निष्कर्ष प्रस्तावित है: ऑन्कोलॉजी में वस्तु संबंधों की पूरी विविधता को ठीक करने के लिए, अधिक विभेदित वर्गीकरण उपकरण (समूह, सिस्टम, वैचारिक और विशिष्ट अवधारणाएं) की आवश्यकता होती है। सेट थ्योरी की औपचारिकता का उपयोग केवल अनुमान की जरूरतों के लिए स्थानीय सरलीकरण के रूप में किया जा सकता है, न कि विवरण की मुख्य विधि के रूप में।