बर्नौली परीक्षण योजना। बर्नौली सूत्र

आइए कुछ परीक्षण करें। इसके अलावा, प्रत्येक परीक्षण में घटना $A$ होने की संभावना अन्य परीक्षणों के परिणामों पर निर्भर नहीं करती है। इस तरह के परीक्षणों को घटना ए के संबंध में स्वतंत्र कहा जाता है। विभिन्न स्वतंत्र परीक्षणों में, घटना ए की या तो अलग-अलग संभावनाएं हो सकती हैं, या एक और समान हो सकती हैं। हम केवल उन स्वतंत्र परीक्षणों पर विचार करेंगे जिनमें घटना $A$ की समान संभावना है।

एक जटिल घटना से हमारा तात्पर्य साधारण घटनाओं के संयोजन से है। चलो n परीक्षणों का प्रदर्शन किया। प्रत्येक परीक्षण में, घटना $A$ हो भी सकती है और नहीं भी। हम मानते हैं कि प्रत्येक परीक्षण में घटना $A$ होने की संभावना समान है और $p$ के बराबर है। फिर प्रायिकता $\overline A $ (या A की घटना नहीं) $P(( \overline A ))=q=1-p$ के बराबर है।

मान लीजिए कि में प्रायिकता की गणना करना आवश्यक है एन-परीक्षण घटना $A$ घटित होगी क- बार और $n-k$ बार - नहीं आएगा। इस संभावना को $P_n (k)$ द्वारा दर्शाया जाएगा। इसके अलावा, घटना $A$ के घटित होने का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है। उदाहरण के लिए: $((AAA\overline A , AA\overline A A, A\overline A AA, \overline A AAA))$

$P_5 (3)-$ पांच ट्रायल इवेंट में $A$ 3 बार दिखाई दिया और 2 प्रकट नहीं हुआ। यह संभावना बर्नौली सूत्र का उपयोग करके पाई जा सकती है।

बर्नौली सूत्र की व्युत्पत्ति

स्वतंत्र घटनाओं की प्रायिकताओं के गुणन के प्रमेय के अनुसार, घटना $A$ के $k$ बार घटित होने और $n-k$ बार न आने की प्रायिकता $p^k\cdot q^ ( n-k ) $ के बराबर होती है। और $C_n^k $ जितनी जटिल घटनाएं हो सकती हैं। चूंकि जटिल घटनाएं असंगत हैं, इसलिए असंगत घटनाओं की संभावनाओं के योग पर प्रमेय के अनुसार, हमें सभी जटिल घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने की जरूरत है, और उनमें से बिल्कुल $C_n^k $ हैं। तब घटना $A$ के घटित होने की प्रायिकता बिल्कुल . है कएक बार एनपरीक्षण, वहाँ है $P_n (( A,\,k ))=P_n (k)=C_n^k \cdot p^k\cdot q^ ( n-k ) $ बर्नौली का सूत्र.

उदाहरण। एक पासे को 4 बार उछाला जाता है। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कोई व्यक्ति आधी बार प्रकट होगा।

फेसला। $A=$ (एक की उपस्थिति)

$ P(A)=p=\frac ( 1 ) ( 6 ) \, \,P(( \overline A ))=q=1-\frac ( 1 ) ( 6) =\frac ( 5 ) ( 6 ) $$ P_4 (2)=C_4^2 \cdot p^2\cdot q^ ( 4-2 ) =\frac ( 4! ) ( 2!\cdot 2! ) \cdot 6^2\cdot (( \frac ( 5 ) ( 6 ) ))^2=$0.115

यह देखना आसान है कि बड़े मूल्यों के लिए एनबड़ी संख्या के कारण संभाव्यता की गणना करना कठिन है। यह पता चला है कि इस संभावना की गणना न केवल बर्नौली सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।

यदि कई परीक्षण किए जाते हैं, और प्रत्येक परीक्षण में घटना ए की संभावना अन्य परीक्षणों के परिणामों पर निर्भर नहीं करती है, तो ऐसे परीक्षणों को कहा जाता है घटना ए के संबंध में स्वतंत्र .

विभिन्न स्वतंत्र परीक्षणों में, घटना A की या तो भिन्न प्रायिकताएँ या समान प्रायिकता हो सकती है। हम आगे केवल ऐसे स्वतंत्र परीक्षणों पर विचार करेंगे जिनमें घटना ए की समान संभावना है।

नीचे हम अवधारणा का उपयोग करते हैं जटिल घटनाओं, इसके द्वारा समझ कई अलग-अलग घटनाओं का संयोजन, जिन्हें कहा जाता है सरल .

इसे उत्पादित होने दें एन स्वतंत्र परीक्षण, जिनमें से प्रत्येक घटना में ए हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। आइए हम यह मानने के लिए सहमत हों कि प्रत्येक परीक्षण में घटना ए की संभावना समान है, अर्थात् यह बराबर है आर . इसलिए, प्रत्येक परीक्षण में घटना A के न होने की प्रायिकता भी स्थिर और बराबर होती है क्यू = 1 - पी .

आइए हम प्रायिकता की गणना करने का कार्य स्वयं निर्धारित करें कि एनपरीक्षण, घटना ए बिल्कुल घटित होगी क समय और, इसलिए, महसूस नहीं किया जाएगा एन-को एक बार। इस बात पर जोर देना महत्वपूर्ण है कि यह आवश्यक नहीं है कि घटना A ठीक-ठीक दोहराए क एक निश्चित क्रम में बार।

उदाहरण के लिए, यदि हम किसी घटना के घटित होने की बात कर रहे हैं लेकिनचार परीक्षणों में तीन बार, निम्नलिखित जटिल घटनाएं संभव हैं: एएए, एएए, एएए, एएए. रिकॉर्डिंग एएएइसका मतलब है कि पहले, दूसरे और तीसरे परीक्षणों में घटना लेकिनआया, लेकिन चौथे टेस्ट में यह सामने नहीं आया, यानी। हुआ उल्टा लेकिन;अन्य प्रविष्टियों का एक समान अर्थ है।

वांछित संभावना को निरूपित करें आर पी (के) . उदाहरण के लिए, प्रतीक आर 5 (3) इसका अर्थ है कि पांच परीक्षणों में घटना ठीक 3 बार घटित होगी और इसलिए 2 बार नहीं होगी।

तथाकथित बर्नौली सूत्र का उपयोग करके समस्या को हल किया जा सकता है।

बर्नौली सूत्र की व्युत्पत्ति. एक यौगिक घटना की प्रायिकता इस तथ्य में निहित है कि में पी परीक्षण घटना लेकिनआएगा क एक बार और नहीं आएगा एन - के समय, स्वतंत्र घटनाओं की संभावनाओं के गुणन के प्रमेय के बराबर है पी के क्यू एन - के . इस तरह की कई जटिल घटनाएँ हो सकती हैं जैसे कि के संयोजन हैं पी तत्वों द्वारा क तत्व, अर्थात् सी एन के .

इन जटिल घटनाओं के बाद से असंगत, तब असंगत घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने के प्रमेय के अनुसार वांछित संभावना सभी संभावित जटिल घटनाओं की संभावनाओं के योग के बराबर है. चूँकि इन सभी जटिल घटनाओं की प्रायिकताएँ समान होती हैं, इसलिए वांछित प्रायिकता (घटना की) क घटना का समय लेकिन में पी परीक्षण) एक जटिल घटना की संभावना के बराबर है, उनकी संख्या से गुणा किया जाता है:

परिणामी सूत्र कहा जाता है बर्नौली सूत्र .

उदाहरण 1. संभावना है कि एक दिन के दौरान बिजली की खपत स्थापित मानदंड से अधिक नहीं होगी . के बराबर है पी = 0.75 . संभावना है कि अगले 6 दिनों में 4 दिनों के लिए बिजली की खपत मानक से अधिक नहीं होगी।

फेसला. 6 दिनों में से प्रत्येक के दौरान बिजली की सामान्य खपत की संभावना स्थिर और बराबर है पी = 0.75 . इसलिए, हर दिन बिजली के अधिक व्यय की संभावना भी स्थिर और बराबर है क्यू \u003d 1 - पी \u003d 1 - 0.75 \u003d 0.25।

बर्नौली सूत्र के अनुसार वांछित प्रायिकता के बराबर है:

संक्षिप्त सिद्धांत

संभाव्यता सिद्धांत उन प्रयोगों से संबंधित है जिन्हें असीमित बार दोहराया जा सकता है (कम से कम सिद्धांत में)। किसी प्रयोग को एक बार दोहराने दें, और प्रत्येक पुनरावृत्ति के परिणाम पिछले दोहराव के परिणामों पर निर्भर नहीं करते हैं। दोहराव की ऐसी श्रृंखला को स्वतंत्र परीक्षण कहा जाता है। ऐसे परीक्षणों का एक विशेष मामला है स्वतंत्र बर्नौली परीक्षण, जो दो स्थितियों की विशेषता है:

1) प्रत्येक परीक्षण का परिणाम दो संभावित परिणामों में से एक है, जिसे क्रमशः "सफलता" या "विफलता" कहा जाता है।

2) प्रत्येक बाद के परीक्षण में "सफलता" की संभावना पिछले परीक्षणों के परिणामों पर निर्भर नहीं करती है और स्थिर रहती है।

बर्नौली की प्रमेय

यदि स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों की एक श्रृंखला बनाई जाती है, जिनमें से प्रत्येक में "सफलता" संभावना के साथ होती है, तो संभावना है कि परीक्षणों में "सफलता" ठीक एक बार सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है:

विफलता की संभावना कहां है।

- द्वारा तत्वों के संयोजन की संख्या (कॉम्बिनेटरिक्स के मूल सूत्र देखें)

इस सूत्र को कहा जाता है बर्नौली सूत्र.

बर्नौली सूत्र आपको बड़ी संख्या में गणनाओं से छुटकारा पाने की अनुमति देता है - संभावनाओं का जोड़ और गुणा - पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या में परीक्षणों के साथ।

बर्नौली परीक्षण योजना को द्विपद योजना भी कहा जाता है, और संबंधित संभावनाओं को द्विपद कहा जाता है, जो द्विपद गुणांक के उपयोग से जुड़ा होता है।

बर्नौली योजना के अनुसार वितरण, विशेष रूप से, किसी घटना के घटित होने की सबसे संभावित संख्या का पता लगाने की अनुमति देता है।

यदि परीक्षणों की संख्या एनबढ़िया, फिर आनंद लें:

समस्या समाधान उदाहरण

काम

एक निश्चित पौधे के बीजों का अंकुरण 70% होता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि बोए गए 10 बीजों में से: 8, कम से कम 8; कम से कम 8?

समस्या का समाधान

आइए बर्नौली सूत्र का उपयोग करें:

हमारे मामले में

घटना होने दें - 10 में से 8 बीज अंकुरित होते हैं:

घटना को कम से कम 8 बढ़ने दें (अर्थात 8, 9 या 10)

घटना को कम से कम 8 बढ़ने दें (अर्थात 8.9 या 10)

जवाब

मध्यमनियंत्रण कार्य को हल करने की लागत 700 - 1200 रूबल (लेकिन पूरे आदेश के लिए कम से कम 300 रूबल) है। कीमत निर्णय की तात्कालिकता (दिनों से लेकर कई घंटों तक) से काफी प्रभावित होती है। परीक्षा / परीक्षा में ऑनलाइन सहायता की लागत - 1000 रूबल से। टिकट समाधान के लिए।

एप्लिकेशन को सीधे चैट में छोड़ा जा सकता है, पहले कार्यों की स्थिति को फेंक दिया और आपको इसे हल करने की समय सीमा के बारे में सूचित किया। प्रतिक्रिया समय कई मिनट है।

इस पाठ में, हम स्वतंत्र परीक्षणों में किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता पाएंगे जब परीक्षणों को दोहराया जाएगा। . परीक्षणों को स्वतंत्र कहा जाता है यदि प्रत्येक परीक्षण के एक या दूसरे परिणाम की संभावना अन्य परीक्षणों के परिणामों पर निर्भर नहीं करती है। . स्वतंत्र परीक्षण समान परिस्थितियों में और विभिन्न परिस्थितियों में किए जा सकते हैं। पहले मामले में, सभी परीक्षणों में होने वाली घटना की संभावना समान है; दूसरे मामले में, यह परीक्षण से परीक्षण में भिन्न होता है।

स्वतंत्र पुनर्परीक्षण के उदाहरण :

• डिवाइस नोड्स में से एक या दो या तीन नोड्स विफल हो जाएंगे, और प्रत्येक नोड की विफलता दूसरे नोड पर निर्भर नहीं करती है, और सभी परीक्षणों में एक नोड की विफलता की संभावना स्थिर होती है;
• कुछ स्थिर तकनीकी स्थितियों के तहत उत्पादित एक हिस्सा, या तीन, चार, पांच भागों, गैर-मानक हो जाएगा, और एक हिस्सा किसी भी अन्य भाग की परवाह किए बिना गैर-मानक हो सकता है, और संभावना है कि हिस्सा होगा सभी परीक्षणों में गैर-मानक होना स्थिर है;
• लक्ष्य पर कई शॉट्स में से, एक, तीन या चार शॉट अन्य शॉट्स के परिणाम की परवाह किए बिना लक्ष्य को हिट करते हैं और सभी परीक्षणों में लक्ष्य को मारने की संभावना स्थिर होती है;
• जब एक सिक्का डाला जाता है, तो मशीन एक, दो या दूसरी बार सही ढंग से काम करेगी, भले ही अन्य सिक्का सम्मिलन क्या हो, और मशीन के सही ढंग से काम करने की संभावना सभी परीक्षणों में स्थिर है।

इन घटनाओं को एक योजना द्वारा वर्णित किया जा सकता है। प्रत्येक परीक्षण में प्रत्येक घटना समान संभावना के साथ होती है, जो पिछले परीक्षणों के परिणाम ज्ञात होने पर नहीं बदलती है। ऐसे परीक्षणों को स्वतंत्र कहा जाता है, और योजना को कहा जाता है बर्नौली योजना . यह माना जाता है कि ऐसे परीक्षणों को जितनी बार चाहें उतनी बार दोहराया जा सकता है।

यदि प्रायिकता पीप्रतिस्पर्धा एप्रत्येक परीक्षण में स्थिर है, तो संभावना है कि in एनस्वतंत्र परीक्षण घटना एआएगा एमटाइम्स, पर स्थित बर्नौली सूत्र :

(कहाँ पे क्यू= 1 – पी- संभावना है कि घटना नहीं होगी)

आइए कार्य निर्धारित करें - इस प्रकार की एक घटना की संभावना को खोजने के लिए एनस्वतंत्र परीक्षण आएंगे एमएक बार।

बर्नौली सूत्र: समस्या समाधान के उदाहरण

उदाहरण 1प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यादृच्छिक रूप से चुने गए पाँच भागों में से दो मानक हैं, यदि प्रत्येक भाग के मानक होने की प्रायिकता 0.9 है।

फेसला। घटना की संभावना लेकिन, इस तथ्य में शामिल है कि यादृच्छिक रूप से लिया गया एक हिस्सा मानक है, है पी=0.9 , और इसके गैर-मानक होने की प्रायिकता है क्यू=1–पी=0.1। समस्या की स्थिति में संकेतित घटना (हम इसे द्वारा निरूपित करते हैं पर) तब होता है, उदाहरण के लिए, पहले दो भाग मानक हैं, और अगले तीन गैर-मानक हैं। लेकिन घटना परयह तब भी होता है जब पहला और तीसरा भाग मानक होता है और शेष गैर-मानक होते हैं, या यदि दूसरा और पांचवां भाग मानक होता है और शेष गैर-मानक होते हैं। घटना के होने की अन्य संभावनाएं हैं। पर. उनमें से कोई भी इस तथ्य की विशेषता है कि लिए गए पांच भागों में से दो, पांच में से किसी भी स्थान पर कब्जा करने वाले, मानक होंगे। इसलिए, किसी घटना के घटित होने की विभिन्न संभावनाओं की कुल संख्या परदो मानक भागों को पाँच स्थानों पर रखने की संभावनाओं की संख्या के बराबर है, अर्थात्। पांच तत्वों के दो बटा संयोजनों की संख्या के बराबर है, और .

प्रायिकता गुणन प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक संभावना की प्रायिकता, पाँच कारकों के गुणनफल के बराबर होती है, जिनमें से दो, मानक भागों की उपस्थिति के अनुरूप, 0.9 के बराबर होते हैं, और शेष तीन, गैर की उपस्थिति के अनुरूप होते हैं। -मानक भाग, 0.1 के बराबर हैं, अर्थात। यह संभावना है। चूँकि ये दस संभावनाएँ असंगत घटनाएँ हैं, अतिरिक्त प्रमेय के अनुसार, किसी घटना की प्रायिकता पर, जिसे हम निरूपित करते हैं

उदाहरण 2मशीन को एक घंटे के भीतर एक कार्यकर्ता के ध्यान की आवश्यकता होगी कि संभावना 0.6 है। यह मानते हुए कि मशीनों पर विफलताएं स्वतंत्र हैं, इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि एक घंटे के दौरान कार्यकर्ता द्वारा सेवित चार मशीनों में से किसी एक पर ध्यान देने की आवश्यकता होगी।

फेसला। का उपयोग करते हुए बर्नौली का सूत्रपर एन=4 , एम=1 , पी=0.6 और क्यू=1–पी=0.4, हमें प्राप्त होता है

उदाहरण 3कार डिपो के सामान्य संचालन के लिए, लाइन पर कम से कम आठ कारें होनी चाहिए, और उनमें से दस हैं। प्रत्येक कार के लाइन से बाहर न निकलने की प्रायिकता 0.1 के बराबर है। अगले दिन डिपो के सामान्य संचालन की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

फेसला। ऑटोबेस ठीक काम करेगा (ईवेंट एफ) यदि कोई एक या आठ पंक्ति में प्रवेश करेगा (घटना लेकिन), या नौ (घटना पर), या सभी दस कारों की घटना (ईवेंट .) सी) संभाव्यता जोड़ प्रमेय के अनुसार,

हम प्रत्येक पद पाते हैं बर्नौली सूत्र के अनुसार. यहां एन=10 , एम=8; 10 और पी\u003d 1-0.1 \u003d 0.9, चूंकि पीइसका मतलब लाइन में कार के प्रवेश करने की प्रायिकता से होना चाहिए; तब क्यू=0.1। परिणामस्वरूप, हमें प्राप्त होता है

उदाहरण 4मान लीजिए कि एक ग्राहक को 41 पुरुषों के जूते के आकार की आवश्यकता 0.25 है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि छह खरीदारों में से कम से कम दो को 41 आकार के जूते चाहिए।

मान लीजिए कि घटना A के संबंध में n परीक्षण किए जाते हैं। आइए निम्नलिखित घटनाओं का परिचय दें: k -- घटना А को k-वें परीक्षण के दौरान महसूस किया गया, $ k=1,2,\dots , n$। फिर $\bar(A)_(k) $ विपरीत घटना है (घटना A k-वें परीक्षण के दौरान नहीं हुई, $k=1,2,\dots , n$)।

सहकर्मी और स्वतंत्र परीक्षण क्या हैं

परिभाषा

घटना ए के संबंध में टेस्ट को उसी प्रकार के कहा जाता है यदि घटनाओं की संभावनाएं $A1, A2, \dots , An$ समान हैं: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (अर्थात, एक परीक्षण में घटना A के घटित होने की प्रायिकता सभी परीक्षणों में स्थिर होती है)।

जाहिर है, इस मामले में, विपरीत घटनाओं की संभावनाएं भी मेल खाती हैं: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( ए) _(एन))$।

परिभाषा

यदि घटना $A1, A2, \dots , An$ स्वतंत्र हैं तो परीक्षण को घटना A के संबंध में स्वतंत्र कहा जाता है।

इस मामले में

इस मामले में, समानता तब बनी रहती है जब किसी भी घटना एक को $\bar(A)_(k) $ से बदल दिया जाता है।

मान लीजिए कि घटना A के संबंध में n समान स्वतंत्र परीक्षणों की एक श्रृंखला आयोजित की जाती है। हम अंकन करते हैं: पी - एक परीक्षण में घटना ए की संभावना; q विपरीत घटना की प्रायिकता है। इस प्रकार P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ किसी भी k और p+q=1 के लिए।

संभावना है कि n परीक्षणों की एक श्रृंखला में घटना A ठीक k बार (0 k n) घटित होगी, की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

समानता (1) को बरनौली सूत्र कहते हैं।

संभावना है कि एक ही प्रकार की घटना ए के n स्वतंत्र परीक्षणों की एक श्रृंखला में कम से कम k1 बार होगा और अधिक से अधिक k2 बार सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(के) क्यू^(एन-के) $ (2)

n के बड़े मूल्यों के लिए बर्नौली सूत्र के अनुप्रयोग से जटिल गणनाएँ होती हैं, इसलिए इन मामलों में अन्य सूत्रों का उपयोग करना बेहतर होता है - स्पर्शोन्मुख।

बर्नौली योजना का सामान्यीकरण

बर्नौली योजना के सामान्यीकरण पर विचार करें। यदि n स्वतंत्र परीक्षणों की एक श्रृंखला में, जिनमें से प्रत्येक में m जोड़ीवार असंगत और संभावित परिणाम AK है, जिसमें संबंधित संभावनाएं k= рk(Аk) हैं। तब बहुपद वितरण सूत्र मान्य है:

उदाहरण 1

महामारी के दौरान फ्लू होने की संभावना 0.4 है। कंपनी के 6 कर्मचारियों में से बीमार पड़ने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए

1. ठीक 4 कर्मचारी;
2. 4 से अधिक कर्मचारी नहीं।

फेसला। 1) जाहिर है, इस समस्या को हल करने के लिए, बर्नौली सूत्र लागू होता है, जहां n=6; कश्मीर = 4; पी = 0.4; क्यू = 1-पी = 0.6। सूत्र (1) को लागू करने पर, हमें मिलता है: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \लगभग 0.138$।

इस समस्या को हल करने के लिए, सूत्र (2) लागू होता है, जहाँ k1=0 और k2=4. हमारे पास है:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0.4^(0) \cdot 0.6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0.4 ^(1) \cdot 0.6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0.4^(2) \cdot 0.6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0.4^(3) \ cdot 0.6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \ लगभग 0.959.) \end(array)\]

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विपरीत घटना का उपयोग करके इस कार्य को हल करना आसान है - 4 से अधिक कर्मचारी बीमार पड़ गए। फिर, विपरीत घटनाओं की संभावनाओं पर सूत्र (7) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उत्तर: $\ $0.959।

उदाहरण 2

एक कलश में 20 सफेद और 10 काली गेंदें हैं। 4 गेंदें निकाली जाती हैं, और निकाली गई प्रत्येक गेंद को कलश में वापस कर दिया जाता है, इससे पहले कि अगली गेंद निकाली जाती है और कलश में गेंदों को मिलाया जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि खींची गई चार गेंदों में से चित्र 1 में 2 सफेद गेंदें होंगी।

चित्र 1।

फेसला। मान लीजिए कि घटना A है कि - एक सफेद गेंद खींची जाती है। फिर संभावनाएं $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $।

बर्नौली सूत्र के अनुसार, अपेक्षित प्रायिकता $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac) है (1)( 3) \right)^(2) =\frac(8)(27) $.

उत्तर: $\frac(8)(27) $.

उदाहरण 3

5 बच्चों वाले परिवार में 3 से अधिक लड़कियों के न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। लड़का और लड़की होने की संभावना समान मानी जाती है।

फेसला। लड़की होने की प्रायिकता $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-लड़का होने की प्रायिकता। एक परिवार में तीन से अधिक लड़कियां नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि या तो एक, या दो, या तीन लड़कियों का जन्म हुआ, या परिवार में सभी लड़के।

प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि परिवार में कोई लड़की नहीं है, एक, दो या तीन लड़कियों का जन्म हुआ: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

इसलिए, आवश्यक संभावना है $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

उत्तर: $\frac(13)(16)$।

उदाहरण 4

एक शॉट वाला पहला शूटर 0.6 की संभावना के साथ शीर्ष दस, 0.3 की संभावना के साथ नौ और 0.1 की संभावना के साथ आठ हिट कर सकता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि, 10 शॉट्स के साथ, वह दस छ: बार, नौ तीन बार, और आठ आठ बार मारेगा?