तीन वेक्टरों और उसके गुणों का मिश्रित उत्पाद

मिश्रित कार्यतीन सदिशों के बराबर संख्या कहलाती है। मनोनीत . यहां पहले दो सदिशों को सदिशीय रूप से गुणा किया जाता है और फिर परिणामी सदिश को तीसरे सदिश द्वारा अदिशीय रूप से गुणा किया जाता है। जाहिर है, ऐसा उत्पाद एक निश्चित संख्या है।

आइए मिश्रित उत्पाद के गुणों पर विचार करें।

1. ज्यामितीय अर्थमिश्रित कार्य. एक चिह्न तक 3 सदिशों का मिश्रित गुणनफल, इन सदिशों पर, किनारों पर, यानी बने समानांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर होता है। .

   इस प्रकार, और .

   

   सबूत. आइए सदिशों को सामान्य मूल से अलग रखें और उन पर एक समानांतर चतुर्भुज बनाएं। आइए हम इसे निरूपित करें और नोट करें। अदिश उत्पाद की परिभाषा के अनुसार

   ऐसा मानकर और निरूपित करके एचसमांतर चतुर्भुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

   इस प्रकार, जब

   यदि, तो ऐसा है. इस तरह, ।

   इन दोनों स्थितियों को मिलाने पर हमें या प्राप्त होता है।

   इस संपत्ति के प्रमाण से, विशेष रूप से, यह पता चलता है कि यदि वैक्टर का त्रिक दाएं हाथ वाला है, तो मिश्रित उत्पाद है, और यदि यह बाएं हाथ वाला है, तो।

2. किसी भी सदिश के लिए, समानता सत्य है

   इस संपत्ति का प्रमाण संपत्ति 1 से मिलता है। वास्तव में, यह दिखाना आसान है कि और। इसके अलावा, "+" और "-" चिन्ह एक साथ लिए जाते हैं, क्योंकि सदिशों और तथा तथा के बीच के कोण न्यून एवं अधिक कोण दोनों हैं।

3. जब किन्हीं दो कारकों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो मिश्रित उत्पाद का चिह्न बदल जाता है।

   वास्तव में, यदि हम एक मिश्रित उत्पाद पर विचार करते हैं, तो, उदाहरण के लिए, या

4. एक मिश्रित उत्पाद यदि और केवल तभी जब कारकों में से एक शून्य के बराबर हो या वेक्टर समतलीय हों।

   सबूत.

   इस प्रकार, 3 सदिशों की समतलीयता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनका मिश्रित उत्पाद शून्य के बराबर हो। इसके अलावा, यह इस प्रकार है कि तीन वैक्टर अंतरिक्ष में एक आधार बनाते हैं यदि।

   यदि सदिशों को निर्देशांक रूप में दिया गया है, तो यह दिखाया जा सकता है कि उनका मिश्रित उत्पाद सूत्र द्वारा पाया जाता है:

   .

   इस प्रकार, मिश्रित उत्पाद तीसरे क्रम के निर्धारक के बराबर होता है, जिसमें पहली पंक्ति में पहले वेक्टर के निर्देशांक, दूसरी पंक्ति में दूसरे वेक्टर के निर्देशांक और तीसरी पंक्ति में तीसरे वेक्टर के निर्देशांक होते हैं।

   उदाहरण।

अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति

समीकरण एफ(एक्स, वाई, जेड)= 0 अंतरिक्ष में परिभाषित करता है ऑक्सीज़कुछ सतह, यानी उन बिंदुओं का स्थान जिनके निर्देशांक हैं एक्स, वाई, जेडइस समीकरण को संतुष्ट करें. इस समीकरण को सतह समीकरण कहा जाता है, और एक्स, वाई, जेड-वर्तमान निर्देशांक.

हालाँकि, अक्सर सतह को किसी समीकरण द्वारा निर्दिष्ट नहीं किया जाता है, बल्कि अंतरिक्ष में बिंदुओं के एक समूह के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है जिसमें कोई न कोई गुण होता है। इस मामले में, इसके ज्यामितीय गुणों के आधार पर सतह का समीकरण खोजना आवश्यक है।

विमान।

सामान्य विमान वेक्टर.

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण

आइए हम अंतरिक्ष में एक मनमाना विमान σ पर विचार करें। इसकी स्थिति इस तल पर लंबवत एक वेक्टर और कुछ निश्चित बिंदु निर्दिष्ट करके निर्धारित की जाती है एम 0(एक्स 0, य 0, z 0), σ समतल में पड़ा हुआ।

समतल σ के लंबवत सदिश को कहा जाता है सामान्यइस विमान का वेक्टर. मान लीजिए कि वेक्टर में निर्देशांक हैं।

आइए हम इस बिंदु से गुजरने वाले समतल σ का समीकरण प्राप्त करें एम 0और एक सामान्य वेक्टर होना। ऐसा करने के लिए, समतल σ पर एक मनमाना बिंदु लें एम(एक्स, वाई, जेड)और वेक्टर पर विचार करें.

किसी भी बिंदु के लिए एमО σ एक सदिश है। इसलिए, उनका अदिश गुणनफल शून्य के बराबर है। यह समानता ही शर्त है कि बिंदु एमओ σ. यह इस विमान के सभी बिंदुओं के लिए मान्य है और बिंदु के तुरंत बाद इसका उल्लंघन होता है एमσ तल के बाहर होगा।

यदि हम बिंदुओं को त्रिज्या सदिश द्वारा निरूपित करते हैं एम, - बिंदु का त्रिज्या वेक्टर एम 0, तो समीकरण को फॉर्म में लिखा जा सकता है

इस समीकरण को कहा जाता है वेक्टरसमतल समीकरण. आइये इसे समन्वित रूप में लिखें। के बाद से

तो, हमने इस बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण प्राप्त कर लिया है। इस प्रकार, किसी समतल का समीकरण बनाने के लिए, आपको सामान्य वेक्टर के निर्देशांक और समतल पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक जानने की आवश्यकता होती है।

ध्यान दें कि समतल का समीकरण वर्तमान निर्देशांक के संबंध में पहली डिग्री का समीकरण है एक्स, वाईऔर जेड.

उदाहरण।

विमान का सामान्य समीकरण

यह दिखाया जा सकता है कि कार्टेशियन निर्देशांक के संबंध में कोई भी प्रथम डिग्री समीकरण एक्स, वाई, जेडएक निश्चित तल के समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है। यह समीकरण इस प्रकार लिखा गया है:

Ax+By+Cz+D=0

और कहा जाता है सामान्य समीकरणसमतल, और निर्देशांक ए, बी, सीयहां विमान के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं।

आइए सामान्य समीकरण के विशेष मामलों पर विचार करें। आइए जानें कि यदि समीकरण के एक या अधिक गुणांक शून्य हो जाते हैं तो समन्वय प्रणाली के सापेक्ष विमान कैसे स्थित होता है।

A अक्ष पर समतल द्वारा काटे गए खंड की लंबाई है बैल. इसी प्रकार यह भी दर्शाया जा सकता है बीऔर सी- अक्षों पर विचाराधीन विमान द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई ओएऔर आउंस.

समतलों के निर्माण के लिए खंडों में समतल के समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

यह ऑनलाइन कैलकुलेटर वैक्टर के मिश्रित उत्पाद की गणना करता है। विस्तृत समाधान दिया गया है. वैक्टर के मिश्रित उत्पाद की गणना करने के लिए, वैक्टर का प्रतिनिधित्व करने की विधि का चयन करें (निर्देशांक या दो बिंदुओं द्वारा), कोशिकाओं में डेटा दर्ज करें और "गणना करें" बटन पर क्लिक करें।

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डेटा प्रविष्टि निर्देश.संख्याएँ पूर्णांक (उदाहरण: 487, 5, -7623, आदि), दशमलव (उदा. 67., 102.54, आदि) या भिन्न के रूप में दर्ज की जाती हैं। भिन्न को a/b के रूप में दर्ज किया जाना चाहिए, जहाँ a और b (b>0) पूर्णांक या दशमलव हैं। उदाहरण 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, आदि।

सदिशों का मिश्रित उत्पाद (सिद्धांत)

मिश्रित टुकड़ातीन वेक्टर वह संख्या है जो पहले दो वैक्टर और तीसरे वेक्टर के वेक्टर उत्पाद के परिणाम के अदिश उत्पाद द्वारा प्राप्त की जाती है। दूसरे शब्दों में, यदि तीन वेक्टर दिए गए हैं ए, बीऔर सी, फिर इन सदिशों का मिश्रित उत्पाद प्राप्त करने के लिए, पहले पहले दो सदिश और परिणामी सदिश [ अब] को सदिश द्वारा अदिश रूप से गुणा किया जाता है सी.

तीन सदिशों का मिश्रित गुणनफल ए, बीऔर सीइस प्रकार दर्शाया गया है: एबीसीया ऐसा ( ए, बी, सी). तब हम लिख सकते हैं:

एबीसी=([अब],सी)

मिश्रित उत्पाद के ज्यामितीय अर्थ का प्रतिनिधित्व करने वाला एक प्रमेय तैयार करने से पहले, अपने आप को दाएं ट्रिपल, बाएं ट्रिपल, दाएं समन्वय प्रणाली, बाएं समन्वय प्रणाली (वेक्टर ऑनलाइन पेज वेक्टर उत्पाद पर परिभाषाएं 2, 2" और 3) की अवधारणाओं से परिचित करें।

निश्चितता के लिए, निम्नलिखित में हम केवल दाएँ हाथ की समन्वय प्रणालियों पर विचार करेंगे।

प्रमेय 1. सदिशों का मिश्रित उत्पाद ([अब],सी) एक सामान्य मूल से कम किए गए सदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर है ए, बी, सी, यदि तीन हो तो धन चिह्न के साथ लिया जाता है ए, बी, सीदाएं, और यदि तीन हो तो ऋण चिह्न के साथ ए, बी, सीबाएं यदि सदिश ए, बी, सीसमतलीय हैं, तो ([ अब],सी) शून्य के बराबर है.

परिणाम 1. निम्नलिखित समानता रखती है:

इसलिए, हमारे लिए यह साबित करना ही काफी है

([अब],सी)=([ईसा पूर्व],ए)

(3)

अभिव्यक्ति (3) से यह स्पष्ट है कि बाएँ और दाएँ भाग समांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर हैं। लेकिन सदिशों के त्रिगुण के बाद से दाएं और बाएं पक्षों के चिह्न मेल खाते हैं एबीसीऔर बीसीएसमान अभिविन्यास हो.

सिद्ध समानता (1) हमें तीन वैक्टरों का मिश्रित उत्पाद लिखने की अनुमति देती है ए, बी, सीबस फॉर्म में एबीसी, यह निर्दिष्ट किए बिना कि किन दो सदिशों को सदिश रूप से पहले दो या अंतिम दो से गुणा किया जाता है।

उपफल 2. तीन सदिशों की समतलीयता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि उनका मिश्रित उत्पाद शून्य के बराबर हो।

प्रमाण प्रमेय 1 से मिलता है। वास्तव में, यदि सदिश समतलीय हैं, तो इन सदिशों का मिश्रित गुणनफल शून्य के बराबर होता है। इसके विपरीत, यदि मिश्रित उत्पाद शून्य के बराबर है, तो इन वैक्टरों की समतलीयता प्रमेय 1 से अनुसरण करती है (क्योंकि एक सामान्य मूल में कम किए गए वैक्टरों पर निर्मित समानांतर चतुर्भुज का आयतन शून्य के बराबर है)।

उपफल 3. तीन सदिशों, जिनमें से दो संपाती हैं, का मिश्रित गुणनफल शून्य के बराबर होता है।

वास्तव में। यदि तीन में से दो सदिश संपाती हों, तो वे समतलीय होते हैं। अत: इन सदिशों का मिश्रित गुणनफल शून्य के बराबर है।

कार्तीय निर्देशांक में सदिशों का मिश्रित उत्पाद

प्रमेय 2. मान लीजिए तीन सदिश हैं ए, बीऔर सीउनके कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक द्वारा परिभाषित

सबूत। मिश्रित टुकड़ा एबीसीसदिशों के अदिश गुणनफल के बराबर [ अब] और सी. वैक्टर का क्रॉस उत्पाद [ अब] कार्टेशियन निर्देशांक में सूत्र द्वारा गणना की जाती है ():

अंतिम अभिव्यक्ति दूसरे क्रम के निर्धारकों का उपयोग करके लिखी जा सकती है:

सारणिक का शून्य के बराबर होना आवश्यक और पर्याप्त है, जिसकी पंक्तियाँ इन सदिशों के निर्देशांक से भरी होती हैं, अर्थात्:

.

(7)

परिणाम को सिद्ध करने के लिए सूत्र (4) और उपफल 2 पर विचार करना पर्याप्त है।

उदाहरण सहित सदिशों का मिश्रित गुणनफल

उदाहरण 1. सदिशों का मिश्रित उत्पाद ज्ञात कीजिए abс, कहाँ

सदिशों का मिश्रित उत्पाद ए, बी, सीमैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर एल. आइए मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें एल, पंक्ति 1 के साथ सारणिक का विस्तार:

वेक्टर अंत बिंदु ए.

मिश्रित (या वेक्टर-स्केलर) उत्पादतीन सदिश a, b, c (संकेतित क्रम में लिया गया) को सदिश a और सदिश गुणनफल bxc का अदिश गुणनफल कहा जाता है, यानी संख्या a(bxc), या, जो समान है, (bxc)a।
पदनाम: एबीसी.

उद्देश्य। ऑनलाइन कैलकुलेटर को वैक्टर के मिश्रित उत्पाद की गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। परिणामी समाधान वर्ड फ़ाइल में सहेजा जाता है। इसके अतिरिक्त, एक्सेल में एक समाधान टेम्पलेट बनाया जाता है।

सदिशों की समतलीयता के लक्षण

तीन सदिशों (या बड़ी संख्या) को समतलीय कहा जाता है यदि वे एक सामान्य मूल में आकर एक ही तल में स्थित हों।
यदि तीन सदिशों में से कम से कम एक शून्य है, तो तीनों सदिशों को समतलीय भी माना जाता है।

समतलीयता का लक्षण. यदि सिस्टम a, b, c दाएं हाथ का है, तो abc>0 ; यदि छोड़ दिया जाए तो एबीसी मिश्रित उत्पाद का ज्यामितीय अर्थ. तीन गैर-समतलीय सदिशों a, b, c का मिश्रित उत्पाद abc, सदिश a, b, c पर निर्मित समांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर है, यदि सिस्टम a, b, c दाएँ हाथ का है तो धन चिह्न के साथ लिया गया है। , और यदि यह सिस्टम बाएं हाथ का है तो ऋण चिह्न के साथ।

मिश्रित उत्पाद के गुण

1. जब कारकों को गोलाकार रूप से पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो मिश्रित उत्पाद नहीं बदलता है; जब दो कारकों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, तो संकेत उलटा होता है: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   यह ज्यामितीय अर्थ से निकलता है।
2. (ए+बी)सीडी=एसीडी+बीसीडी (वितरणात्मक संपत्ति)। किसी भी संख्या में शर्तों तक विस्तारित।
   मिश्रित उत्पाद की परिभाषा का अनुसरण करता है।
3. (ma)bc=m(abc) (एक अदिश कारक के संबंध में संयोजन गुण)।
   मिश्रित उत्पाद की परिभाषा का अनुसरण करता है। ये गुण मिश्रित उत्पादों में परिवर्तन लागू करना संभव बनाते हैं जो सामान्य बीजगणितीय उत्पादों से केवल इस मायने में भिन्न होते हैं कि कारकों के क्रम को केवल उत्पाद के संकेत को ध्यान में रखते हुए बदला जा सकता है।
4. एक मिश्रित उत्पाद जिसमें कम से कम दो समान कारक हों वह शून्य के बराबर होता है: aab=0।

उदाहरण क्रमांक 1. एक मिश्रित उत्पाद खोजें. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

उदाहरण क्रमांक 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +बीसीसी+बीसीए. दो चरम पदों को छोड़कर सभी पद शून्य के बराबर हैं। इसके अलावा, bca=abc । इसलिए (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

उदाहरण संख्या 3. तीन वैक्टरों के मिश्रित उत्पाद की गणना करें a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
समाधान. सदिशों के मिश्रित उत्पाद की गणना करने के लिए, सदिश निर्देशांकों से बनी प्रणाली के निर्धारक को खोजना आवश्यक है। आइए सिस्टम को फॉर्म में लिखें।

परिभाषा।संख्या [, ] को सदिशों के क्रमित त्रिक का मिश्रित उत्पाद कहा जाता है।

हम निरूपित करते हैं: (,) = = [, ]।

चूँकि वेक्टर और अदिश उत्पाद मिश्रित उत्पाद की परिभाषा में शामिल होते हैं, उनके सामान्य गुण मिश्रित उत्पाद के गुण होते हैं।

उदाहरण के लिए, () = ()।

प्रमेय 1. तीन समतलीय सदिशों का मिश्रित गुणनफल शून्य है।

सबूत।यदि सदिशों का दिया गया त्रिक समतलीय है, तो सदिशों के लिए निम्नलिखित में से एक शर्त पूरी होती है।

• 1. सदिशों के दिए गए त्रिक में कम से कम एक शून्य सदिश होता है। इस मामले में, प्रमेय का प्रमाण स्पष्ट है।
• 2. सदिशों के दिए गए त्रिक में संरेख सदिशों का कम से कम एक जोड़ा होता है। यदि ||, तो [, ] = 0, चूँकि [, ]=। अगर

|| , तो [, ] और [, ] = 0. इसी प्रकार, यदि || .

3. मान लीजिए कि सदिशों का यह त्रिक समतलीय है, लेकिन स्थिति 1 और 2 मान्य नहीं हैं। तब सदिश [, ] उस तल के लंबवत होगा जिसके तीनों सदिश समानांतर हैं।

इसलिए, [, ] और (,) = 0.

प्रमेय 2.मान लें कि वेक्टर (), (), () को आधार () में निर्दिष्ट किया गया है। तब

सबूत।मिश्रित उत्पाद की परिभाषा के अनुसार

(,) = [, ] = सी 1 - सी 2 + सी 3 =।

निर्धारक के गुणों के कारण, हमारे पास है:

प्रमेय सिद्ध है.

प्रमेय 3. (,) = [, ].

सबूत. क्योंकि

और निर्धारक के गुणों के कारण हमारे पास:

(,) = = = [, ] = [, ].

प्रमेय सिद्ध है.

प्रमेय 4. सदिशों के एक गैर-समतल त्रिक के मिश्रित उत्पाद का मापांक संख्यात्मक रूप से एक समान मूल वाले इन सदिशों के प्रतिनिधियों पर निर्मित एक समानांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर होता है।

सबूत. आइए एक मनमाना बिंदु O चुनें और उसमें से इन सदिशों के प्रतिनिधियों को अलग रखें, : , . समतल OAB में हम एक समांतर चतुर्भुज OADB का निर्माण करेंगे और किनारे OS को जोड़कर, हम एक समांतर चतुर्भुज OADBCADB का निर्माण करेंगे। इस समांतर चतुर्भुज का आयतन V आधार OADB के क्षेत्रफल और समांतर चतुर्भुज OO की ऊंचाई की लंबाई के गुणनफल के बराबर है।

समांतर चतुर्भुज OADB का क्षेत्रफल |[, ]| है। दूसरी ओर

|ओओ| = || |cos |, सदिशों और [, ] के बीच का कोण कहां है।

मिश्रित उत्पाद मॉड्यूल पर विचार करें:

|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = वी.

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

नोट 1।यदि सदिशों के त्रिक का मिश्रित गुणनफल शून्य के बराबर है, तो सदिशों का यह त्रिगुण रैखिक रूप से निर्भर होता है।

नोट 2।यदि सदिशों के दिए गए त्रिक का मिश्रित गुणनफल धनात्मक है, तो सदिशों का त्रिगुण दाएँ है, और यदि यह ऋणात्मक है, तो सदिशों का त्रिगुण बाएँ है। वास्तव में, मिश्रित उत्पाद का चिह्न कॉस के चिह्न के साथ मेल खाता है, और कोण का परिमाण त्रिक के अभिविन्यास को निर्धारित करता है। यदि कोण न्यून है, तो तीन दाएँ है, और यदि अधिक कोण है, तो तीन बाएँ है।

उदाहरण 1।समांतर चतुर्भुज ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 और लम्बवत आधार पर निम्नलिखित सदिशों के निर्देशांक दिए गए हैं: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5)।

खोजें: 1) समांतर चतुर्भुज का आयतन;

• 2) चेहरों का क्षेत्रफल एबीसीडी और सीडीडी 1 सी;
• 3) समतल ABC और CDD 1 के बीच द्विफलकीय कोण की कोज्या।

समाधान।

यह समान्तर चतुर्भुज सदिशों पर बनाया गया है

इस प्रकार, इसका आयतन इन वैक्टरों के मिश्रित उत्पाद के मापांक के बराबर है, अर्थात।

तो, V भाप = 12 घन इकाई।

याद रखें कि एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उन सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई के बराबर होता है जिन पर इसका निर्माण किया गया है।

आइए हम संकेतन का परिचय दें: , फिर

इसलिए, (6; - 8; - 2), कहाँ से

वह। वर्ग इकाइयाँ

वैसे ही,

फिर रहने दो

कहाँ से (15; - 20; 1) और

इसका मतलब वर्ग इकाई है.

आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: pl. (एबीसी)=, कृपया। (डीसीसी 1)=.

एक वेक्टर उत्पाद की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

इसका मतलब है कि निम्नलिखित समानता सत्य है:

समाधान के दूसरे बिंदु से हमारे पास है:

सिद्ध करें कि यदि और परस्पर लंबवत इकाई सदिश हैं, तो किसी भी सदिश के लिए निम्नलिखित समानता होती है:

समाधान।

मान लीजिए कि सदिशों के निर्देशांक लंबात्मक आधार पर दिए गए हैं: ; . चूंकि, मिश्रित उत्पाद की संपत्ति से हमारे पास है:

इस प्रकार, समानता (1) को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है: और यह वैक्टर के वेक्टर उत्पाद के सिद्ध गुणों में से एक है। इस प्रकार, समानता (1) की वैधता सिद्ध होती है।

परीक्षण कार्य के शून्य संस्करण को हल करना

कार्य क्रमांक 1

वेक्टर क्रमशः कोण और आधार वैक्टर के साथ बनाता है। वह कोण निर्धारित करें जो वेक्टर वेक्टर के साथ बनाता है।

समाधान.

आइए सदिशों और विकर्णों पर एक समांतर चतुर्भुज का निर्माण करें, जिससे सदिश और समान हों।

फिर समकोण वाले समकोण त्रिभुज में कोण का परिमाण जहाँ के बराबर होता है।

इसी प्रकार, समकोण वाले समकोण त्रिभुज में परिमाण, जहाँ से, के बराबर होता है।

एक समकोण त्रिभुज में, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम पाते हैं:

एक समकोण त्रिभुज में, पैर और कर्ण समकोण होते हैं। अतः कोण बराबर है। लेकिन कोण सदिशों और के बीच के कोण के बराबर होता है। इस प्रकार समस्या हल हो गई है.

कार्य क्रमांक 2.

आधार में तीन वेक्टर दिए गए हैं. सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज समतल है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये.

समाधान।

1. यदि सदिश तथा समतलीय हैं, तो यह एक समतल चतुर्भुज है। आइए इन सदिशों के निर्देशांकों से बने निर्धारक की गणना करें।

चूँकि सारणिक शून्य के बराबर है, सदिश और समतलीय हैं, जिसका अर्थ है कि चतुर्भुज समतल है।

2. ध्यान दें कि, इसलिए और इस प्रकार, चतुर्भुज AB और CD आधारों वाला एक समलंब है।

वेक्टर उत्पाद गुण के अनुसार हमारे पास:

वेक्टर उत्पाद ढूँढना

कार्य क्रमांक 3.वेक्टर (2; 1; -2) के संरेख में एक वेक्टर खोजें, जिसकी लंबाई 5 है।

समाधान।

आइए वेक्टर (x, y, z) के निर्देशांक को निरूपित करें। जैसा कि आप जानते हैं, संरेख सदिशों के निर्देशांक आनुपातिक होते हैं, और इसलिए हमारे पास है:

x = 2t, y = t, z = ? 2t.

समस्या की परिस्थितियों के अनुसार || = 5, और समन्वय रूप में:

पैरामीटर t के माध्यम से चर को व्यक्त करने पर, हमें मिलता है:

4टी 2 +टी 2 +4टी 2 =25,

इस प्रकार,

एक्स = , वाई = , जेड = .

हमें दो समाधान प्राप्त हुए.

इस पाठ में हम वैक्टर के साथ दो और ऑपरेशन देखेंगे: सदिशों का सदिश गुणनफलऔर वैक्टर का मिश्रित उत्पाद (जिन्हें इसकी आवश्यकता है उनके लिए तत्काल लिंक). यह ठीक है, कभी-कभी ऐसा होता है कि पूर्ण सुख के लिए भी सदिशों का अदिश गुणनफल, और अधिक की आवश्यकता है। यह वेक्टर एडिक्शन है. ऐसा लग सकता है कि हम विश्लेषणात्मक ज्यामिति के जंगल में जा रहे हैं। यह गलत है। उच्च गणित के इस खंड में आमतौर पर पिनोच्चियो के लिए पर्याप्त लकड़ी को छोड़कर, बहुत कम लकड़ी होती है। वास्तव में, सामग्री बहुत सामान्य और सरल है - शायद ही उससे अधिक जटिल हो अदिश उत्पाद, सामान्य कार्य भी कम होंगे। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में मुख्य बात, जैसा कि कई लोग आश्वस्त होंगे या पहले ही आश्वस्त हो चुके हैं, गणना में गलतियाँ नहीं करना है। एक मंत्र की तरह दोहराएँ और आप खुश हो जायेंगे=)

यदि सदिश कहीं दूर चमकते हैं, जैसे क्षितिज पर बिजली चमकती है, तो कोई बात नहीं, पाठ से शुरुआत करें डमी के लिए वेक्टरवैक्टर के बारे में बुनियादी ज्ञान को पुनर्स्थापित या पुनः प्राप्त करना। अधिक तैयार पाठक चुनिंदा जानकारी से परिचित हो सकते हैं; मैंने उदाहरणों का सबसे संपूर्ण संग्रह एकत्र करने का प्रयास किया जो अक्सर व्यावहारिक कार्यों में पाए जाते हैं

कौन सी चीज़ आपको तुरंत खुश कर देगी? जब मैं छोटा था तो मैं दो या तीन गेंदें भी खेल सकता था। इसने अच्छा काम किया. अब आपको बिल्कुल भी जुगाड़ नहीं करना पड़ेगा, क्योंकि हम विचार करेंगे केवल स्थानिक सदिश, और दो निर्देशांक वाले फ्लैट वेक्टर छोड़ दिए जाएंगे। क्यों? इस प्रकार इन क्रियाओं का जन्म हुआ - वेक्टर और वेक्टर के मिश्रित उत्पाद परिभाषित होते हैं और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में काम करते हैं। यह पहले से ही आसान है!

अदिश उत्पाद की तरह ही इस ऑपरेशन में भी शामिल है दो वैक्टर. यह अविनाशी अक्षर हों।

क्रिया ही द्वारा चिह्नितइस अनुसार: । अन्य विकल्प भी हैं, लेकिन मैं वेक्टर के वेक्टर उत्पाद को क्रॉस के साथ वर्गाकार कोष्ठक में इस तरह से दर्शाने का आदी हूं।

और तुरंत सवाल: मैं फ़िन सदिशों का अदिश गुणनफलदो सदिश शामिल हैं, और यहाँ भी दो सदिशों को गुणा किया गया है क्या अंतर है? स्पष्ट अंतर, सबसे पहले, परिणाम में है:

सदिशों के अदिश गुणनफल का परिणाम NUMBER है:

वैक्टर के क्रॉस उत्पाद का परिणाम वेक्टर है: , अर्थात, हम सदिशों को गुणा करते हैं और फिर से एक सदिश प्राप्त करते हैं। बंद क्लब. दरअसल, यहीं से ऑपरेशन का नाम आता है। विभिन्न शैक्षिक साहित्य में, पदनाम भी भिन्न हो सकते हैं; मैं पत्र का उपयोग करूंगा।

क्रॉस उत्पाद की परिभाषा

पहले चित्र के साथ परिभाषा होगी, फिर टिप्पणियाँ।

परिभाषा: वेक्टर उत्पाद गैर समरेखवेक्टर, इसी क्रम में लिया गया, जिसे वेक्टर कहा जाता है, लंबाईजो संख्यात्मक रूप से है समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर, इन वैक्टरों पर निर्मित; वेक्टर सदिशों के लिए ओर्थोगोनल, और निर्देशित किया जाता है ताकि आधार का सही अभिविन्यास हो:

आइए परिभाषा को टुकड़े-टुकड़े करके देखें, यहां बहुत सारी दिलचस्प चीजें हैं!

तो, निम्नलिखित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर प्रकाश डाला जा सकता है:

1) मूल वेक्टर, परिभाषा के अनुसार, लाल तीरों द्वारा दर्शाया गया है संरेख नहीं. संरेख सदिशों के मामले पर थोड़ी देर बाद विचार करना उचित होगा।

2) सदिश लिये गये हैं कड़ाई से परिभाषित क्रम में: – "a" को "be" से गुणा किया जाता है, "ए" के साथ "बी" नहीं। सदिश गुणन का परिणामवेक्टर है, जो नीले रंग में दर्शाया गया है। यदि सदिशों को उल्टे क्रम में गुणा किया जाए, तो हमें लंबाई में बराबर और दिशा में विपरीत (रास्पबेरी रंग) एक सदिश प्राप्त होता है। अर्थात् समानता सत्य है .

3) अब आइए वेक्टर उत्पाद के ज्यामितीय अर्थ से परिचित हों। यह एक बहुत महत्वपूर्ण मुद्दा है! नीले वेक्टर (और, इसलिए, क्रिमसन वेक्टर) की लंबाई संख्यात्मक रूप से वैक्टर पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर है। चित्र में, यह समांतर चतुर्भुज काले रंग से छायांकित है।

टिप्पणी : चित्र योजनाबद्ध है, और, स्वाभाविक रूप से, वेक्टर उत्पाद की नाममात्र लंबाई समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर नहीं है।

आइए हम ज्यामितीय सूत्रों में से एक को याद करें: समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आसन्न भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है. इसलिए, उपरोक्त के आधार पर, वेक्टर उत्पाद की लंबाई की गणना करने का सूत्र मान्य है:

मैं इस बात पर जोर देता हूं कि सूत्र वेक्टर की लंबाई के बारे में है, न कि वेक्टर के बारे में। व्यावहारिक अर्थ क्या है? और तात्पर्य यह है कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समस्याओं में, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल अक्सर एक वेक्टर उत्पाद की अवधारणा के माध्यम से पाया जाता है:

आइए दूसरा महत्वपूर्ण सूत्र प्राप्त करें। एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण (लाल बिंदीदार रेखा) इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है। इसलिए, सदिशों (लाल छायांकन) पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

4) एक समान रूप से महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि वेक्टर वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है, अर्थात . बेशक, विपरीत दिशा में निर्देशित वेक्टर (रास्पबेरी तीर) भी मूल वैक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है।

5) वेक्टर को इस प्रकार निर्देशित किया जाता है आधारयह है सहीअभिविन्यास। के बारे में पाठ में एक नए आधार पर संक्रमणमैंने इसके बारे में पर्याप्त विस्तार से बात की समतल अभिविन्यास, और अब हम समझेंगे कि अंतरिक्ष अभिविन्यास क्या है। मैं आपकी उंगलियों पर समझाऊंगा दांया हाथ. मानसिक रूप से गठबंधन करें तर्जनी अंगुलीवेक्टर के साथ और बीच की ऊँगलीवेक्टर के साथ. अनामिका और छोटी उंगलीइसे अपनी हथेली में दबाएँ. नतीजतन अँगूठा- वेक्टर उत्पाद ऊपर दिखेगा। यह एक अधिकार-उन्मुख आधार है (चित्र में यही है)। अब वेक्टर बदलें ( तर्जनी और मध्यमा उंगलियाँ) कुछ स्थानों पर, परिणामस्वरूप अंगूठा घूम जाएगा, और वेक्टर उत्पाद पहले से ही नीचे दिखेगा। यह भी अधिकारोन्मुख आधार है। आपके मन में यह प्रश्न हो सकता है: वामपंथी रुझान किस आधार पर है? उन्हीं उंगलियों को "असाइन करें"। बायां हाथवेक्टर, और अंतरिक्ष का बायां आधार और बायां अभिविन्यास प्राप्त करें (इस मामले में, अंगूठा निचले वेक्टर की दिशा में स्थित होगा). लाक्षणिक रूप से कहें तो, ये आधार स्थान को "मोड़" देते हैं या अलग-अलग दिशाओं में उन्मुख करते हैं। और इस अवधारणा को कुछ दूर की कौड़ी या अमूर्त नहीं माना जाना चाहिए - उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष का अभिविन्यास सबसे साधारण दर्पण द्वारा बदल दिया जाता है, और यदि आप "प्रतिबिंबित वस्तु को दिखने वाले कांच से बाहर खींचते हैं", तो सामान्य मामले में यह इसे "मूल" के साथ जोड़ना संभव नहीं होगा। वैसे, तीन अंगुलियों को दर्पण तक पकड़ें और प्रतिबिंब का विश्लेषण करें ;-)

...यह कितना अच्छा है जिसके बारे में अब आप जानते हैं दाएँ- और बाएँ-उन्मुखआधार, क्योंकि अभिविन्यास में बदलाव के बारे में कुछ व्याख्याताओं के बयान डरावने हैं =)

संरेख सदिशों का क्रॉस उत्पाद

परिभाषा पर विस्तार से चर्चा की गई है, यह पता लगाना बाकी है कि जब वेक्टर संरेख होते हैं तो क्या होता है। यदि सदिश संरेख हैं, तो उन्हें एक सीधी रेखा पर रखा जा सकता है और हमारा समांतर चतुर्भुज भी एक सीधी रेखा में "मुड़" जाता है। ऐसा क्षेत्र, जैसा कि गणितज्ञ कहते हैं, पतितसमांतर चतुर्भुज शून्य के बराबर है. सूत्र से भी यही पता चलता है - शून्य या 180 डिग्री की ज्या शून्य के बराबर होती है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्रफल शून्य है

इस प्रकार, यदि, तो और . कृपया ध्यान दें कि वेक्टर उत्पाद स्वयं शून्य वेक्टर के बराबर है, लेकिन व्यवहार में इसे अक्सर उपेक्षित किया जाता है और लिखा जाता है कि यह भी शून्य के बराबर है।

एक विशेष मामला एक वेक्टर का स्वयं के साथ क्रॉस उत्पाद है:

वेक्टर उत्पाद का उपयोग करके, आप त्रि-आयामी वैक्टर की संरेखता की जांच कर सकते हैं, और हम अन्य समस्याओं के अलावा इस समस्या का भी विश्लेषण करेंगे।

हल करने के लिए आपको व्यावहारिक उदाहरणों की आवश्यकता हो सकती है त्रिकोणमितीय तालिकाइससे ज्या का मान ज्ञात करना।

खैर, चलो आग जलाएं:

उदाहरण 1

ए) यदि सदिशों के सदिश गुणनफल की लंबाई ज्ञात करें

b) यदि सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

समाधान: नहीं, यह कोई टाइपो त्रुटि नहीं है, मैंने जानबूझकर खंडों में प्रारंभिक डेटा को वही बनाया है। क्योंकि समाधानों का डिज़ाइन अलग होगा!

a) शर्त के अनुसार आपको ढूंढना होगा लंबाईवेक्टर (क्रॉस उत्पाद)। संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

यदि आपसे लंबाई के बारे में पूछा गया था, तो उत्तर में हम आयाम - इकाइयों का संकेत देते हैं।

b) शर्त के अनुसार आपको ढूंढना होगा वर्गसदिशों पर निर्मित समांतर चतुर्भुज। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से वेक्टर उत्पाद की लंबाई के बराबर है:

उत्तर:

कृपया ध्यान दें कि उत्तर वेक्टर उत्पाद के बारे में बिल्कुल भी बात नहीं करता है; हमसे इसके बारे में पूछा गया था आकृति का क्षेत्रफलतदनुसार, आयाम वर्ग इकाई है।

हम हमेशा यह देखते हैं कि स्थिति के अनुसार हमें क्या खोजने की आवश्यकता है, और, इसके आधार पर, हम तैयार करते हैं स्पष्टउत्तर। यह शाब्दिकवाद की तरह लग सकता है, लेकिन शिक्षकों के बीच बहुत सारे शाब्दिकवाद हैं, और असाइनमेंट को पुनरीक्षण के लिए लौटाए जाने की अच्छी संभावना है। हालाँकि यह कोई विशेष रूप से दूर की कौड़ी नहीं है - यदि उत्तर गलत है, तो किसी को यह आभास होता है कि व्यक्ति सरल चीज़ों को नहीं समझता है और/या कार्य के सार को नहीं समझ पाया है। उच्च गणित और अन्य विषयों में भी किसी भी समस्या को हल करते समय इस बिंदु को हमेशा नियंत्रण में रखना चाहिए।

बड़ा अक्षर "एन" कहाँ गया? सिद्धांत रूप में, इसे अतिरिक्त रूप से समाधान से जोड़ा जा सकता था, लेकिन प्रविष्टि को छोटा करने के लिए, मैंने ऐसा नहीं किया। मुझे आशा है कि हर कोई इसे समझता है और यह उसी चीज़ के लिए एक पदनाम है।

DIY समाधान के लिए एक लोकप्रिय उदाहरण:

उदाहरण 2

यदि सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

वेक्टर उत्पाद के माध्यम से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र परिभाषा की टिप्पणियों में दिया गया है। समाधान और उत्तर पाठ के अंत में हैं।

व्यवहार में, यह कार्य वास्तव में बहुत सामान्य है; त्रिकोण आम तौर पर आपको पीड़ा दे सकते हैं।

अन्य समस्याओं को हल करने के लिए हमें आवश्यकता होगी:

सदिशों के सदिश गुणनफल के गुण

हम पहले ही वेक्टर उत्पाद के कुछ गुणों पर विचार कर चुके हैं, हालाँकि, मैं उन्हें इस सूची में शामिल करूँगा।

मनमाना वैक्टर और मनमाना संख्या के लिए, निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

1) जानकारी के अन्य स्रोतों में, इस आइटम को आमतौर पर गुणों में हाइलाइट नहीं किया जाता है, लेकिन व्यावहारिक दृष्टि से यह बहुत महत्वपूर्ण है। तो रहने दो।

2) -संपत्ति की चर्चा ऊपर भी की गई है, कभी-कभी इसे भी कहा जाता है प्रतिसंक्रामकता. दूसरे शब्दों में, सदिशों का क्रम मायने रखता है।

3) - साहचर्य या जोड़नेवालावेक्टर उत्पाद कानून. स्थिरांक को वेक्टर उत्पाद के बाहर आसानी से ले जाया जा सकता है। सचमुच, उन्हें वहां क्या करना चाहिए?

4)- वितरण या विभाजित करनेवालावेक्टर उत्पाद कानून. ब्रैकेट खोलने में भी कोई समस्या नहीं है।

प्रदर्शित करने के लिए, आइए एक संक्षिप्त उदाहरण देखें:

उदाहरण 3

यदि खोजें

समाधान:स्थिति में फिर से वेक्टर उत्पाद की लंबाई खोजने की आवश्यकता होती है। आइए अपना लघुचित्र बनाएं:

(1) साहचर्य कानूनों के अनुसार, हम स्थिरांक को वेक्टर उत्पाद के दायरे से बाहर लेते हैं।

(2) हम स्थिरांक को मॉड्यूल के बाहर ले जाते हैं, और मॉड्यूल ऋण चिह्न को "खा लेता है"। लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती.

(3) बाकी सब स्पष्ट है.

उत्तर:

अब आग में और लकड़ी डालने का समय आ गया है:

उदाहरण 4

यदि सदिशों पर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें

समाधान: सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें . समस्या यह है कि सदिश "tse" और "de" स्वयं सदिशों के योग के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं। यहां एल्गोरिथ्म मानक है और कुछ हद तक पाठ के उदाहरण संख्या 3 और 4 की याद दिलाता है वैक्टर का डॉट उत्पाद. स्पष्टता के लिए, हम समाधान को तीन चरणों में विभाजित करेंगे:

1) पहले चरण में, हम वेक्टर उत्पाद को वेक्टर उत्पाद के माध्यम से व्यक्त करते हैं, वास्तव में, आइए एक सदिश को सदिश के रूप में व्यक्त करें. लंबाई पर अभी तक कोई शब्द नहीं!

(1) सदिशों के भावों को प्रतिस्थापित करें।

(2) वितरण नियमों का प्रयोग करते हुए हम बहुपदों के गुणन नियम के अनुसार कोष्ठक खोलते हैं।

(3) साहचर्य कानूनों का उपयोग करते हुए, हम सभी स्थिरांकों को सदिश उत्पादों से परे ले जाते हैं। थोड़े से अनुभव के साथ, चरण 2 और 3 को एक साथ निष्पादित किया जा सकता है।

(4) प्रथम और अंतिम पद अच्छे गुण के कारण शून्य (शून्य सदिश) के बराबर हैं। दूसरे पद में हम एक वेक्टर उत्पाद की एंटीकम्यूटेटिविटी की संपत्ति का उपयोग करते हैं:

(5) हम समान शर्तें प्रस्तुत करते हैं।

परिणामस्वरूप, वेक्टर को एक वेक्टर के माध्यम से व्यक्त किया गया, जिसे प्राप्त करने की आवश्यकता थी:

2) दूसरे चरण में, हमें आवश्यक वेक्टर उत्पाद की लंबाई ज्ञात होती है। यह क्रिया उदाहरण 3 के समान है:

3) आवश्यक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

समाधान के चरण 2-3 को एक पंक्ति में लिखा जा सकता था।

उत्तर:

जिस समस्या पर विचार किया गया है वह परीक्षणों में काफी सामान्य है, इसे स्वयं हल करने के लिए यहां एक उदाहरण दिया गया है:

उदाहरण 5

यदि खोजें

पाठ के अंत में एक संक्षिप्त समाधान और उत्तर। आइए देखें कि पिछले उदाहरणों का अध्ययन करते समय आप कितने चौकस थे ;-)

निर्देशांक में सदिशों का क्रॉस उत्पाद

, ऑर्थोनॉर्मल आधार में निर्दिष्ट, सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है:

सूत्र वास्तव में सरल है: सारणिक की शीर्ष पंक्ति में हम निर्देशांक सदिश लिखते हैं, दूसरी और तीसरी पंक्तियों में हम सदिशों के निर्देशांक "डालते हैं", और हम डालते हैं सख्त क्रम में- पहले "ve" वेक्टर के निर्देशांक, फिर "डबल-वे" वेक्टर के निर्देशांक। यदि सदिशों को भिन्न क्रम में गुणा करने की आवश्यकता है, तो पंक्तियों की अदला-बदली की जानी चाहिए:

उदाहरण 10

जाँचें कि क्या निम्नलिखित अंतरिक्ष सदिश संरेख हैं:
ए)
बी)

समाधान: जाँच इस पाठ के एक कथन पर आधारित है: यदि वेक्टर संरेख हैं, तो उनका वेक्टर उत्पाद शून्य (शून्य वेक्टर) के बराबर है: .

ए) वेक्टर उत्पाद खोजें:

इस प्रकार, सदिश संरेख नहीं हैं।

बी) वेक्टर उत्पाद खोजें:

उत्तर: ए) संरेख नहीं, बी)

यहाँ, शायद, सदिशों के सदिश गुणनफल के बारे में सारी बुनियादी जानकारी है।

यह खंड बहुत बड़ा नहीं होगा, क्योंकि ऐसी कुछ समस्याएं हैं जहां वैक्टर के मिश्रित उत्पाद का उपयोग किया जाता है। वास्तव में, सब कुछ परिभाषा, ज्यामितीय अर्थ और कुछ कार्य सूत्रों पर निर्भर करेगा।

सदिशों का मिश्रित गुणनफल तीन सदिशों का गुणनफल होता है:

इसलिए वे एक ट्रेन की तरह कतार में खड़े हो गए और पहचाने जाने का इंतजार नहीं कर सकते।

सबसे पहले, फिर से, एक परिभाषा और एक चित्र:

परिभाषा: मिश्रित कार्य गैर समतलीयवेक्टर, इसी क्रम में लिया गया, बुलाया समांतर चतुर्भुज आयतन, इन वैक्टरों पर निर्मित, यदि आधार सही है तो "+" चिह्न से सुसज्जित है, और यदि आधार बाएँ है तो "-" चिह्न से सुसज्जित है।

चलो ड्राइंग बनाते हैं. हमारे लिए अदृश्य रेखाएँ बिंदीदार रेखाओं से खींची जाती हैं:

आइए परिभाषा में उतरें:

2) सदिश लिये गये हैं एक निश्चित क्रम में, अर्थात्, उत्पाद में वैक्टरों की पुनर्व्यवस्था, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, परिणामों के बिना नहीं होती है।

3) ज्यामितीय अर्थ पर टिप्पणी करने से पहले, मैं एक स्पष्ट तथ्य पर ध्यान दूंगा: सदिशों का मिश्रित गुणनफल एक संख्या है: . शैक्षिक साहित्य में, डिज़ाइन थोड़ा अलग हो सकता है; मैं एक मिश्रित उत्पाद को, और गणना के परिणाम को "पे" अक्षर से निरूपित करने का आदी हूं।

ए-प्राथमिकता मिश्रित उत्पाद समांतर चतुर्भुज का आयतन है, सदिशों पर निर्मित (आकृति लाल सदिशों और काली रेखाओं से खींची गई है)। अर्थात्, संख्या किसी दिए गए समान्तर चतुर्भुज के आयतन के बराबर है।

टिप्पणी : चित्र योजनाबद्ध है.

4) आइए आधार और स्थान के अभिविन्यास की अवधारणा के बारे में फिर से चिंता न करें। अंतिम भाग का अर्थ यह है कि वॉल्यूम में ऋण चिह्न जोड़ा जा सकता है। सरल शब्दों में, एक मिश्रित उत्पाद नकारात्मक हो सकता है:।

परिभाषा से सीधे वैक्टर पर निर्मित समांतर चतुर्भुज की मात्रा की गणना के लिए सूत्र का पालन किया जाता है।