समस्या 1

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को दो तरीकों से हल करें: क्रैमर के सूत्रों और गॉस की विधि का उपयोग करके

1) क्रैमर विधि का उपयोग करके रैखिक बीजीय समीकरणों Ax = B की अमानवीय प्रणाली को हल करें

सिस्टम D का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है। आइए सहायक निर्धारक डी 1, डी 2, डी 3 खोजें, यदि वे शून्य के बराबर नहीं हैं, तो कोई समाधान नहीं हैं, यदि वे बराबर हैं, तो अनंत संख्या में समाधान हैं

3 अज्ञात के साथ 3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली, जिसका निर्धारक गैर-शून्य है, हमेशा सुसंगत होता है और इसका एक अद्वितीय समाधान होता है, जिसकी गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:

उत्तर: हमें समाधान मिल गया:

2) गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक बीजगणितीय समीकरणों Ax = B की अमानवीय प्रणाली को हल करें

आइए सिस्टम का एक विस्तारित मैट्रिक्स बनाएं

आइए पहली पंक्ति को एक मार्गदर्शक के रूप में लें, और तत्व a 11 = 1 को एक मार्गदर्शक के रूप में लें। गाइड लाइन का उपयोग करके हमें पहले कॉलम में शून्य मिलते हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली के समाधानों के सेट से मेल खाता है

उत्तर: हमें समाधान मिल गया:

समस्या 2

त्रिभुज ABC के शीर्षों के निर्देशांक दिए गए हैं

खोजो:

1) भुजा AB की लंबाई;

4) माध्यिका AE का समीकरण;

निर्देशांक प्रणाली में दिए गए त्रिभुज और सभी रेखाओं की रचना करें।

ए(1; -1), बी(4; 3). सी(5; 1).

1)बिंदु A( के बीच की दूरी एक्स 1; 1 पर) और बी( एक्स 2; दो पर) सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

जिसका उपयोग करके हम भुजा AB की लंबाई ज्ञात करते हैं;

2) भुजाओं AB और BC के समीकरण और उनके कोणीय गुणांक;

समतल A के दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण एक्स 1; 1 पर) और बी( एक्स 2; दो पर) का स्वरूप है

बिंदु A और B के निर्देशांकों को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें भुजा AB का समीकरण प्राप्त होता है:

हम परिणामी समीकरण को कोण गुणांक वाली सीधी रेखा के समीकरण के रूप में परिवर्तित करके सीधी रेखा AB का कोण गुणांक k AB ज्ञात करते हैं। य =केएक्स - बी.

, अर्थात्, कहाँ से

इसी प्रकार, हम सीधी रेखा BC का समीकरण प्राप्त करते हैं और इसका कोणीय गुणांक ज्ञात करते हैं।

बिंदु B और C के निर्देशांकों को (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें भुजा BC के लिए समीकरण प्राप्त होता है:

हम परिणामी समीकरण को कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा के समीकरण के रूप में परिवर्तित करके सीधी BC के BC का कोण गुणांक k ज्ञात करते हैं। य =केएक्स - बी.

, वह है

3) 0.01 की सटीकता के साथ रेडियन में शीर्ष बी पर आंतरिक कोण

हमारे त्रिभुज का आंतरिक कोण ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

ध्यान दें कि इस अंश के अंश में कोणीय गुणांक के बीच अंतर की गणना करने की प्रक्रिया सीधी रेखाओं एबी और बीसी की सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करती है।

k BC और k AB के पहले परिकलित मानों को (3) में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं:

अब, एक इंजीनियरिंग माइक्रोकैलकुलेटर के साथ तालिकाओं का उपयोग करते हुए, हमें बी »1.11 रेड मिलता है।

4) माध्यिका AE का समीकरण;

माध्यिका AE का समीकरण संकलित करने के लिए, हम पहले बिंदु E के निर्देशांक ज्ञात करते हैं, जो खंड BC के मध्य में स्थित है।

बिंदु A और E के निर्देशांकों को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें माध्यिका समीकरण प्राप्त होता है:

5) ऊंचाई सीडी का समीकरण और लंबाई;

ऊंचाई सीडी के लिए समीकरण संकलित करने के लिए, हम किसी दिए गए बिंदु एम से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करते हैं एक्स 0 ; य 0)एक दिए गए ढलान के साथ क, जिसका स्वरूप है

और सीधी रेखाओं एबी और सीडी की लंबवतता की स्थिति, जो संबंध के एबी के सीडी = -1 द्वारा व्यक्त की जाती है, जहां से के सीडी = -1/के एबी = - 3/4

(4) में k के स्थान पर मान k C D = -3/4 रखने पर, और इसके स्थान पर एक्स 0 , य 0 बिंदु C के संगत निर्देशांकों से, हमें ऊँचाई CD के लिए समीकरण प्राप्त होता है

ऊँचाई CD की लंबाई की गणना करने के लिए, हम किसी दिए गए बिंदु M( से दूरी d ज्ञात करने के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं एक्स 0 ; य 0) समीकरण Ax+ By + C = 0 के साथ दी गई सीधी रेखा पर, जिसका रूप है:

इसके स्थान पर (5) प्रतिस्थापित करना एक्स 0 ; य 0बिंदु C के निर्देशांक, और A, B, C के बजाय सीधी रेखा AB के समीकरण के गुणांक, हमें मिलता है

6) भुजा AB के समानांतर बिंदु E से गुजरने वाली एक सीधी रेखा और ऊंचाई CD के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु M का समीकरण;

चूँकि वांछित सीधी रेखा EF सीधी रेखा AB के समानांतर है, तो k EF = k AB = 4/3. इसके स्थान पर समीकरण (4) में प्रतिस्थापित करना एक्स 0 ; य 0बिंदु E के निर्देशांक, और k के मान k EF के बजाय हम सीधी रेखा EF का समीकरण प्राप्त करते हैं"।

बिंदु M के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम रेखाओं EF और CD के समीकरणों को संयुक्त रूप से हल करते हैं।

इस प्रकार, एम(5.48, 0.64)।

7) शीर्ष B से गुजरने वाले बिंदु E पर केंद्र वाले एक वृत्त का समीकरण

चूंकि वृत्त का केंद्र बिंदु E(4.5; 2) पर है और यह शीर्ष B(4; 3) से होकर गुजरता है, तो इसकी त्रिज्या

बिंदु M 0 पर केंद्र के साथ त्रिज्या R के एक वृत्त का विहित समीकरण ( एक्स 0 ; य 0) का स्वरूप है

चित्र 1 में त्रिभुज ABC, ऊँचाई CD, माध्यिका AE, सीधी रेखा EF, बिंदु M और x0y निर्देशांक प्रणाली में निर्मित एक वृत्त।

समस्या 3

एक रेखा का समीकरण बनाएं, जिसके प्रत्येक बिंदु के लिए बिंदु A (2; 5) से उसकी दूरी सीधी रेखा y = 1 की दूरी के बराबर हो। समन्वय प्रणाली में परिणामी वक्र को आलेखित करें

समाधान

मुझे ( एक्स, य) - वांछित वक्र का वर्तमान बिंदु। आइए हम बिंदु M से सीधी रेखा y = 1 पर लंबवत MB को गिराएं (चित्र 2)। फिर बी(एक्स; 1). चूँकि एमए = एमबी, तो

हम सिस्टम के लिए मुख्य निर्धारक की रचना करते हैं

और इसकी गणना करें.

फिर हम अतिरिक्त निर्धारकों की रचना करते हैं

और उनकी गणना करें.

क्रैमर के नियम के अनुसार, सिस्टम का समाधान सूत्रों का उपयोग करके पाया जाता है

;
;
,अगर

1)

आइए गणना करें:

क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके हम पाते हैं:

उत्तर: (1; 2; 3)

2)

आइए गणना करें:

चूंकि मुख्य निर्धारक
, और कम से कम एक अतिरिक्त शून्य के बराबर नहीं है (हमारे मामले में)।
), तो सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

3)

आइए गणना करें:

चूँकि सभी निर्धारक शून्य के बराबर हैं, सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान हैं, जिन्हें निम्नानुसार पाया जा सकता है:

सिस्टम को स्वयं हल करें:

ए)
बी)

उत्तर: ए) (1; 2; 5) बी) ;;

विषय पर व्यावहारिक पाठ संख्या 3:

दो वैक्टरों का डॉट उत्पाद और उसका अनुप्रयोग

1. यदि दिया गया हो
और
, तो हम सूत्र का उपयोग करके अदिश उत्पाद पाते हैं:

∙

2.यदि, तो इन दोनों सदिशों का अदिश गुणनफल सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है

1. दो सदिश दिए गए हैं
और

हम उनका अदिश गुणनफल इस प्रकार पाते हैं:

.

2. दो सदिश दिए गए हैं:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

अदिश गुणनफल इस प्रकार पाया जाता है:

3.
,

3.1 पथ के सीधे खंड पर एक स्थिर बल का कार्य ज्ञात करना

1) 15 एन के बल के प्रभाव में, शरीर 2 मीटर सीधी रेखा में चला गया। बल और गति की दिशा के बीच का कोण =60 0. किसी पिंड को हिलाने के लिए किसी बल द्वारा किए गए कार्य की गणना करें।

दिया गया:

समाधान:

2) दिया गया:

समाधान:

3) एक पिंड 60 N के बल के प्रभाव में बिंदु M(1; 2; 3) से बिंदु N(5; 4; 6) तक चला गया। बल की दिशा और विस्थापन वेक्टर के बीच का कोण =45 0. इस बल द्वारा किये गये कार्य की गणना कीजिये।

समाधान: विस्थापन वेक्टर खोजें

विस्थापन वेक्टर का मॉड्यूल ढूँढना:

सूत्र के अनुसार
एक नौकरी की तलाश:

3.2 दो वैक्टरों की ऑर्थोगोनलिटी का निर्धारण

यदि दो सदिश ओर्थोगोनल हैं
, वह है

क्योंकि

1)

- ऑर्थोगोनल नहीं

2)

-ऑर्थोगोनल

3) निर्धारित करें कि सदिश किस  पर हैं
और
परस्पर ओर्थोगोनल।

क्योंकि
, वह
, मतलब

अपने लिए तय करें:

ए)

. उनका अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए।

ख) गणना करें कि बल कितना कार्य उत्पन्न करता है
, यदि इसके अनुप्रयोग का बिंदु, सीधी रेखा में चलते हुए, बिंदु M (5; -6; 1) से बिंदु N (1; -2; 3) तक चला गया है

ग) निर्धारित करें कि क्या वेक्टर ऑर्थोगोनल हैं
और

उत्तर: ए) 1 बी) 16 सी) हाँ

3.3. सदिशों के बीच का कोण ज्ञात करना

1)

. खोजो .

हम देखतें है

सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

.

1). त्रिभुज A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष A पर कोण ज्ञात कीजिए।

आइए इसे सूत्र में डालें:

अपने लिए तय करें:

त्रिभुज A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0) के शीर्ष दिए गए हैं। शीर्ष A पर आंतरिक कोण निर्धारित करें।

उत्तर: 90 ओ

विषय पर व्यावहारिक पाठ संख्या 4:

दो वेक्टरों का वेक्टर उत्पाद और उसका अनुप्रयोग।

दो सदिशों का क्रॉस उत्पाद ज्ञात करने का सूत्र:

	की तरह लगता है

1) वेक्टर उत्पाद का मापांक ज्ञात करें:

आइए एक सारणिक बनाएं और उसकी गणना करें (सारस के नियम या पहली पंक्ति के तत्वों में सारणिक के विस्तार पर प्रमेय का उपयोग करके)।

पहली विधि: सारस के नियम के अनुसार

विधि 2: सारणिक को पहली पंक्ति के तत्वों में विस्तारित करें।

2) वेक्टर उत्पाद का मापांक ज्ञात करें:

4.1. दो सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना।

1) सदिशों पर बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें

2). सदिश उत्पाद और उसका मापांक ज्ञात कीजिए

4.2. एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना

उदाहरण: त्रिभुज A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1) के शीर्ष दिए गए हैं। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करें.

सबसे पहले, आइए एक ही शीर्ष से निकलने वाले दो सदिशों के निर्देशांक ज्ञात करें।

आइए उनका वेक्टर उत्पाद खोजें

4.3. दो वेक्टरों की संरेखता का निर्धारण

यदि वेक्टर
और
तो, संरेख हैं

, अर्थात सदिशों के निर्देशांक आनुपातिक होने चाहिए।

ए) दिए गए वेक्टर::
,
.

वे संरेख हैं क्योंकि
और

प्रत्येक भिन्न को घटाने पर हमें अनुपात प्राप्त होता है

बी) दिए गए वैक्टर:

.

वे संरेख नहीं हैं क्योंकि
या

अपने लिए तय करें:

ए) वेक्टर के एम और एन किन मूल्यों पर
संरेख?

उत्तर:
;

बी) वेक्टर उत्पाद और उसके मापांक का पता लगाएं
,
.

उत्तर:
,
.

विषय पर व्यावहारिक पाठ संख्या 5:

समतल पर सीधी रेखा

समस्या संख्या 1. रेखा के समानांतर बिंदु A(-2; 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए

1. रेखा का ढलान ज्ञात कीजिए
.

एक कोणीय गुणांक और एक प्रारंभिक कोटि के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण है (
). इसीलिए
.

2. चूँकि रेखाएँ MN और AC समानांतर हैं, उनके कोणीय गुणांक बराबर हैं, अर्थात।
.

3. सीधी रेखा AC का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए कोणीय गुणांक वाले एक बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण का उपयोग करते हैं:

. इसके बजाय इस सूत्र में और इसके स्थान पर बिंदु A(-2; 3) के निर्देशांक प्रतिस्थापित करें आइए प्रतिस्थापन करें - 3. प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है:

उत्तर:

कार्य क्रमांक 2. रेखा के समानांतर बिंदु K(1; –2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

1. आइए रेखा का ढलान ज्ञात करें।

यह एक रेखा का सामान्य समीकरण है, जिसे सामान्य रूप में सूत्र द्वारा दिया जाता है। समीकरणों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि A = 2, B = -3। समीकरण द्वारा दी गई सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा पाया जाता है
. इस सूत्र में A = 2 और B = -3 प्रतिस्थापित करने पर, हम सीधी रेखा MN का ढलान प्राप्त करते हैं। इसलिए,
.

2. चूँकि रेखाएँ MN और KS समानांतर हैं, उनके कोणीय गुणांक बराबर हैं:
.

3. सीधी रेखा KS का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम किसी दिए गए कोणीय गुणांक वाले बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग करते हैं
. इसके बजाय इस सूत्र में और आइए इसके स्थान पर बिंदु K(-2; 3) के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें

समस्या संख्या 3. रेखा के लंबवत बिंदु K(-1; -3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

1. एक सीधी रेखा का एक सामान्य समीकरण है, जिसे सामान्य रूप में सूत्र द्वारा दिया जाता है।

और हम पाते हैं कि A = 3, B = 4.

समीकरण द्वारा दी गई सीधी रेखा का ढलान सूत्र द्वारा पाया जाता है:
. इस सूत्र में A = 3 और B = 4 को प्रतिस्थापित करने पर, हम सीधी रेखा MN का ढलान प्राप्त करते हैं:
.

2. चूँकि रेखाएँ MN और KD लंबवत हैं, उनके कोणीय गुणांक व्युत्क्रमानुपाती और चिह्न में विपरीत हैं:

.

3. सीधी रेखा केडी का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए कोणीय गुणांक वाले बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण के सूत्र का उपयोग करते हैं

. इसके बजाय इस सूत्र में और इसके बजाय बिंदु K(-1;-3) के निर्देशांक प्रतिस्थापित करें आइए स्थानापन्न करें प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप हमें प्राप्त होता है:

अपने लिए तय करें:

1. रेखा के समानांतर बिंदु K(-4; 1) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए
.

उत्तर:
.

2. रेखा के समानांतर बिंदु K(5; –2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए
.

3. रेखा के लंबवत बिंदु K(-2, -6) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए
.

4. रेखा के लंबवत बिंदु K(7; –2) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए
.

उत्तर:
.

5. बिंदु K(-6; 7) से सीधी रेखा पर डाले गए लंब का समीकरण ज्ञात कीजिए
.

2.3.1. परिभाषा.

आइए रैखिक समीकरण दिए जाएं:

ए 1 एक्स + बी 1 य + सी 1 जेड = डी 1 , (2.3.1)

ए 2 एक्स + बी 2 य + सी 2 जेड = डी 2 , (2.3.2)

ए 3 एक्स + बी 3 य + सी 3 जेड = डी 3 . (2.3.3)

यदि समीकरणों (2.3.1) ¾ (2.3.3) का सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है, तो वे कहते हैं कि वे बनाते हैं प्रणाली . समीकरण (2.3.1) ¾ (2.3.3) से युक्त प्रणाली को इस प्रकार दर्शाया गया है:

सिस्टम को बनाने वाले समीकरणों का सामान्य समाधान कहलाता है सिस्टम समाधान . सिस्टम को हल करें (2.3.4) ¾ इसका अर्थ है या तो इसके सभी समाधानों का समुच्चय खोजना, या यह साबित करना कि कोई नहीं है।

पिछले मामलों की तरह, नीचे हम ऐसी स्थितियाँ पाएंगे जिनके तहत सिस्टम (2.3.4) में एक अद्वितीय समाधान है, एक से अधिक समाधान हैं, और कोई समाधान नहीं है।

2.3.2. परिभाषा. मान लीजिए रैखिक समीकरणों की प्रणाली (2.3.4) दी गई है। मैट्रिसेस

तदनुसार बुलाया जाता है ( बुनियादी )आव्यूह और विस्तारित मैट्रिक्स सिस्टम.

2.3.3. प्रपत्र (2.3.4) की समतुल्य प्रणालियों की परिभाषाएँ, साथ ही 1 और 2 प्रकार के प्राथमिक परिवर्तन, उसी तरह पेश किए जाते हैं जैसे दो और तीन अज्ञात के साथ दो समीकरणों की प्रणालियों के लिए।

प्राथमिक परिवर्तनतीसरे प्रकार की प्रणाली (2.3.4) को इस प्रणाली के कुछ दो समीकरणों का आदान-प्रदान कहा जाता है। 2 समीकरणों की प्रणालियों के पिछले मामलों के समान सिस्टम के प्राथमिक परिवर्तनों के साथ, सिस्टम प्राप्त होता है,इसके बराबर.

2.3.4. व्यायाम. समीकरणों की प्रणालियों को हल करें:

समाधान। ए)

(1) हमने सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरण (प्रकार 3 परिवर्तन) की अदला-बदली की।

(2) पहले समीकरण को 4 से गुणा करने पर दूसरे से घटा दिया गया था, और पहले समीकरण को 6 से गुणा करने पर तीसरे से घटा दिया गया था (प्रकार 2 परिवर्तन); इस प्रकार, अज्ञात को दूसरे और तीसरे समीकरण से बाहर रखा गया एक्स .

(3) दूसरे समीकरण को 14 से गुणा करके तीसरे से घटा दिया गया; अज्ञात को तीसरे से बाहर रखा गया य .

(4) अंतिम समीकरण से हम पाते हैं जेड = 1, जिसे दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं य = 0. अंत में, प्रतिस्थापित करना य = 0 और जेड = 1 पहले समीकरण में, हम पाते हैं एक्स = -2.ñ

(1) हमने सिस्टम के पहले और दूसरे समीकरण की अदला-बदली की।

(2) पहले समीकरण को 4 से गुणा करने पर दूसरे से घटा दिया गया, और पहले समीकरण को 6 से गुणा करने पर तीसरे में से घटा दिया गया।

(3) दूसरा और तीसरा समीकरण मेल खाता है। हम उनमें से एक को सिस्टम से बाहर कर देते हैं (या, दूसरे शब्दों में, यदि हम तीसरे समीकरण से दूसरे को घटा देते हैं, तो तीसरा समीकरण पहचान 0 = 0 में बदल जाता है; इसे सिस्टम से बाहर कर दिया जाता है। हम मानते हैं जेड = ए .

(4) स्थानापन्न जेड = ए दूसरे और पहले समीकरण में.

(5) स्थानापन्न करना य = 12 - 12ए पहले समीकरण में, हम पाते हैं एक्स .

ग) यदि पहले समीकरण को 4 से विभाजित किया जाता है, और तीसरे को 6 से विभाजित किया जाता है, तो हम एक समतुल्य प्रणाली पर पहुंचते हैं

जो समीकरण के समतुल्य है एक्स - 2य - जेड = -3. इस समीकरण के समाधान ज्ञात हैं (उदाहरण 2.2.3 बी देखें))

परिणामी प्रणाली में अंतिम समानता विरोधाभासी है। इसलिए, सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है.

परिवर्तन (1) और (2) ¾ बिल्कुल सिस्टम बी के संबंधित परिवर्तनों के समान हैं))

(3) अंतिम समीकरण से दूसरा घटाएँ।

उत्तर: ए) (-2; 0; 1);

बी) (21 - 23 ए ; 12 - 12ए ; ए ), ए Î आर;

ग) ((-3 + 2 ए + बी ; ए ; बी )|ए , बी Î आर};

घ) सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

2.3.5. पिछले उदाहरणों से यह निष्कर्ष निकलता है तीन अज्ञात के साथ प्रणाली, दो अज्ञातों वाली एक प्रणाली की तरह, केवल एक ही समाधान हो सकता है, समाधानों की अनंत संख्या और एक भी समाधान नहीं. नीचे हम सभी संभावित मामलों का विश्लेषण करेंगे। लेकिन पहले हम कुछ संकेतन का परिचय देते हैं।

मान लीजिए D सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक को दर्शाता है:

मान लीजिए कि D 1 पहले कॉलम को मुक्त पदों के कॉलम से बदलकर D से प्राप्त निर्धारक को दर्शाता है:

इसी तरह, आइए डालते हैं

डी 2 = और डी 3 =।

2.3.6. प्रमेय. अगरडी¹0, फिर सिस्टम(2.3.4)एक अनोखा समाधान है

, , . (2.3.5)

सूत्र (2.3.5) कहलाते हैं सूत्र = = 0 सभी के लिए मैं ¹ जे और निर्धारकों में से कम से कम एक , , शून्य के बराबर नहीं, तब सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है.

4) अगर = = = = = = 0 सभी के लिए मैं ¹ जे , तब सिस्टम में अनंत संख्या में समाधान होते हैं, दो मापदंडों पर निर्भर करता है.

व्यावहारिक पाठ संख्या 7

3 रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान

तीन चरों के साथ

लक्ष्य:

मैट्रिक्स को बदलने की क्षमता विकसित करना;

सिस्टम समाधान कौशल विकसित करेंक्रैमर विधि का उपयोग करके तीन चरों में 3 रैखिक समीकरण;

दूसरे और तीसरे क्रम के निर्धारकों के गुणों के बारे में ज्ञान को समेकित करना;

सामग्री और तकनीकी सहायता: कार्य करने के लिए दिशानिर्देश;

समय सीमा: 2 शैक्षणिक घंटे;

पाठ की प्रगति:

संक्षिप्त सैद्धांतिक जानकारी का अध्ययन करें;

पूर्ण कार्य;

कार्य पर निष्कर्ष निकालें;

परीक्षण प्रश्नों पर अपने कार्य का बचाव तैयार करें।

संक्षिप्त सैद्धांतिक जानकारी:

मैट्रिक्स एक वर्गाकार या आयताकार तालिका है, संख्याओं से भरा हुआ. इन संख्याओं को मैट्रिक्स तत्व कहा जाता है.

मैट्रिक्स तत्व, क्षैतिज रूप से स्थित, मैट्रिक्स की पंक्तियाँ बनाएँ. मैट्रिक्स तत्व, लंबवत रूप से व्यवस्थित, मैट्रिक्स कॉलम बनाएं.

पंक्तियाँ बाएँ से दाएँ क्रमांकित हैं, संख्या से शुरू1, कॉलमों को ऊपर से नीचे तक क्रमांकित किया गया है, संख्या से शुरू1.

आव्यूहए , होनाएम लाइनें औरएन कॉलम, मैट्रिक्स कहा जाता हैआकारएम परएन और नामित किया गया हैए एम∙एन . तत्वए मैं जे मैट्रिक्सए = { ए आईजे } चौराहे पर खड़ा हैमैं - ओह लाइनें औरजे- वां स्तंभ.

वर्गाकार मैट्रिक्स का मुख्य विकर्ण मैट्रिक्स के ऊपरी बाएँ कोने से निचले दाएँ कोने तक जाने वाला विकर्ण है।वर्गाकार मैट्रिक्स का पार्श्व विकर्ण मैट्रिक्स के निचले बाएँ कोने से ऊपरी दाएँ कोने तक जाने वाला विकर्ण है।

दो आव्यूहों को समान माना जाता है यदि उनका आयाम समान हो और उनके संगत अवयव समान हों।

प्रत्येक मैट्रिक्स को किसी भी संख्या से गुणा किया जा सकता है, और यदिक - संख्या, फिरक ∙ ए ={ क ∙ ए आईजे }.

एक ही आकार के मैट्रिक्सए एम∙एन औरबी एम∙एन मोड़ा जा सकता है, औरए एम∙एन + बी एम∙एन = { ए आईजे + बी मैं जे }.

मैट्रिक्स जोड़ ऑपरेशन में गुण हैंए + बी = बी + ए , ए +( बी + सी ) = ( ए + बी ) + सी .

उदाहरण 1। मैट्रिक्स पर ऑपरेशन करने के बाद, मैट्रिक्स खोजें C= 2A - B, जहां,।

समाधान।

आइए आयाम 3x3 के मैट्रिक्स 2A की गणना करें:

आइए मैट्रिक्स C = 2A की गणना करें - आयाम 3x3 में:

सी = 2 ए - बी .

तीसरे क्रम के मैट्रिक्स का निर्धारक समानता द्वारा परिभाषित संख्या है:

.

यह संख्या छह पदों से युक्त बीजगणितीय योग का प्रतिनिधित्व करती है। प्रत्येक पद में मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से बिल्कुल एक तत्व होता है। प्रत्येक पद तीन कारकों के गुणनफल से बना होता है।

चित्र.1.1. चित्र.1.2.

तीसरे क्रम के सारणिक को खोजने के सूत्र में जिन संकेतों के साथ सारणिक के पदों को शामिल किया जाता है, उन्हें दी गई योजना का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, जिसे त्रिकोण का नियम या सारस का नियम कहा जाता है। पहले तीन पद धन चिह्न के साथ लिए गए हैं और चित्र (1.1.) से निर्धारित किए गए हैं, और अगले तीन पद ऋण चिह्न के साथ लिए गए हैं और चित्र (1.2) से निर्धारित किए गए हैं।

उदाहरण 2. सारस के नियम का उपयोग करके तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना करें:

समाधान:

उदाहरण 3. पहली पंक्ति के तत्वों पर विस्तार विधि का उपयोग करके तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना करें:

समाधान:

हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

3 -2 +2 = 3(-5 + 16) – 2(1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.

आइए निर्धारकों के मुख्य गुणों पर विचार करें:

शून्य पंक्ति (स्तंभ) वाला एक सारणिक शून्य के बराबर होता है।

यदि आप मैट्रिक्स की किसी पंक्ति (किसी भी कॉलम) को किसी भी संख्या से गुणा करते हैं, तो मैट्रिक्स का निर्धारक इस संख्या से गुणा हो जाएगा।

मैट्रिक्स स्थानांतरित होने पर निर्धारक नहीं बदलता है।

जब मैट्रिक्स की किन्हीं दो पंक्तियों (स्तंभों) को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है तो निर्धारक संकेत बदल देता है।

दो समान पंक्तियों (स्तंभों) वाले मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर है।

किसी पंक्ति में कोई अन्य पंक्ति जोड़ने पर, किसी भी संख्या से गुणा करने पर निर्धारक नहीं बदलता है। एक समान कथन स्तंभों के लिए सत्य है।

तीन अज्ञात के साथ तीन रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय मैट्रिक्स और निर्धारकों के गुणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है:

,

कहां एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 चर हैं, और 11 , ए 12 ,…, ए 33 - संख्यात्मक गुणांक. यह याद रखना चाहिए कि किसी प्रणाली को हल करते समय, तीन संभावित उत्तरों में से एक संभव है:

1) सिस्टम का एक अनूठा समाधान है - (x 1 ; एक्स 2 ; एक्स 3 );

2) सिस्टम में अनंत रूप से कई समाधान हैं (अपरिभाषित);

3) सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है (असंगत)।

तीन अज्ञातों के साथ तीन रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने पर विचार करेंक्रैमर विधि, जोआपको खोजने की अनुमति देता हैतीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना करने की क्षमता के आधार पर सिस्टम का एकमात्र समाधान:

उदाहरण 3. क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करके तीन अज्ञात वाले तीन रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान खोजें:

समाधान। का उपयोग करके तीसरे क्रम के निर्धारक खोजेंपहली पंक्ति के तत्वों द्वारा सारस का नियम या विस्तार:

हम सूत्रों का उपयोग करके सिस्टम का समाधान ढूंढते हैं:

उत्तर: (- 152; 270; -254)

स्वतंत्र पूर्ति के लिए कार्य:

मैं. परिवर्तन मैट्रिक्स खोजें.

द्वितीय. निर्धारक की गणना करेंतृतीयआदेश देना।

तृतीय. क्रैमर विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें.

विकल्प 1।

1. सी = ए +3 बी , अगर, । 2..

विकल्प 2।

1. सी =2 ए - बी ,अगर, । 2..

विकल्प 3.

1. सी = 3 ए + बी , अगर, । 2. .

विकल्प 4.

1. सी = ए - 4 बी , अगर, । 2..

विकल्प 5.

1. सी = 4 ए - बी , अगर, । 2..

विकल्प 6.

1. सी = ए +2 बी , अगर, । 2..

विकल्प 7.

1. सी =2 ए + बी , अगर, । 2..

विकल्प 8.

1. सी =3 ए - बी , अगर, । 2..

विकल्प 9.

1. सी = ए - 3 बी , अगर, । 2..

विकल्प 10.

1. सी = ए - 2 बी , अगर, । 2..

विकल्प 11.

1. सी = ए +4 बी , अगर, । 2..

विकल्प 12.

1. सी =4 ए + बी , अगर, । 2..

विकल्प 13.

1. सी = ए +3 बी , अगर, । 2..

विकल्प 14.

1. सी =2 ए - बी , अगर, । 2..

विकल्प 15.

1. सी =3 ए + बी , अगर, । 2..

आत्म-नियंत्रण के लिए प्रश्न:

मैट्रिक्स क्या है?

तीसरे क्रम के निर्धारकों की गणना के लिए नियम?

तीन चर वाले तीन रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए क्रैमर के सूत्र लिखें।

विभिन्न प्रक्रियाओं के गणितीय मॉडलिंग के लिए आर्थिक क्षेत्र में समीकरणों की प्रणालियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उत्पादन प्रबंधन और योजना, रसद मार्गों (परिवहन समस्या) या उपकरण प्लेसमेंट की समस्याओं को हल करते समय।

समीकरणों की प्रणालियों का उपयोग न केवल गणित में, बल्कि भौतिकी, रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में भी किया जाता है, जब जनसंख्या आकार खोजने की समस्याओं को हल किया जाता है।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली कई चर वाले दो या दो से अधिक समीकरण हैं जिनके लिए एक सामान्य समाधान खोजना आवश्यक है। संख्याओं का ऐसा अनुक्रम जिसके लिए सभी समीकरण सच्ची समानताएँ बन जाते हैं या यह सिद्ध कर देते हैं कि अनुक्रम का अस्तित्व ही नहीं है।

रेखीय समीकरण

ax+by=c रूप के समीकरण रैखिक कहलाते हैं। पदनाम x, y अज्ञात हैं जिनका मान पाया जाना चाहिए, b, a चर के गुणांक हैं, c समीकरण का मुक्त पद है।
किसी समीकरण को प्लॉट करके हल करना एक सीधी रेखा की तरह दिखेगा, जिसके सभी बिंदु बहुपद के समाधान हैं।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के प्रकार

सबसे सरल उदाहरण दो चर X और Y वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली माने जाते हैं।

F1(x, y) = 0 और F2(x, y) = 0, जहां F1,2 फ़ंक्शन हैं और (x, y) फ़ंक्शन वेरिएबल हैं।

समीकरणों की प्रणाली को हल करें - इसका मतलब उन मानों (x, y) को ढूंढना है जिन पर सिस्टम वास्तविक समानता में बदल जाता है या यह स्थापित करना कि x और y के उपयुक्त मान मौजूद नहीं हैं।

मानों की एक जोड़ी (x, y), जिसे एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में लिखा जाता है, रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान कहा जाता है।

यदि सिस्टम में एक सामान्य समाधान है या कोई समाधान मौजूद नहीं है, तो उन्हें समकक्ष कहा जाता है।

रैखिक समीकरणों की सजातीय प्रणालियाँ वे प्रणालियाँ हैं जिनका दाहिना पक्ष शून्य के बराबर है। यदि समान चिह्न के बाद दाएँ भाग का कोई मान हो या किसी फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया गया हो, तो ऐसी प्रणाली विषमांगी होती है।

चरों की संख्या दो से कहीं अधिक हो सकती है, तो हमें तीन या अधिक चर वाले रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण के बारे में बात करनी चाहिए।

जब सिस्टम का सामना होता है, तो स्कूली बच्चे यह मान लेते हैं कि समीकरणों की संख्या आवश्यक रूप से अज्ञात की संख्या से मेल खानी चाहिए, लेकिन ऐसा नहीं है। सिस्टम में समीकरणों की संख्या चर पर निर्भर नहीं करती है; उनमें से जितनी चाहें उतनी हो सकती हैं।

समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की सरल और जटिल विधियाँ

ऐसी प्रणालियों को हल करने के लिए कोई सामान्य विश्लेषणात्मक विधि नहीं है; सभी विधियाँ संख्यात्मक समाधानों पर आधारित हैं। स्कूली गणित पाठ्यक्रम में क्रमपरिवर्तन, बीजगणितीय जोड़, प्रतिस्थापन, साथ ही ग्राफिकल और मैट्रिक्स विधियों, गाऊसी विधि द्वारा समाधान जैसे तरीकों का विस्तार से वर्णन किया गया है।

समाधान विधियों को पढ़ाते समय मुख्य कार्य यह सिखाना है कि सिस्टम का सही ढंग से विश्लेषण कैसे किया जाए और प्रत्येक उदाहरण के लिए इष्टतम समाधान एल्गोरिदम कैसे खोजा जाए। मुख्य बात प्रत्येक विधि के लिए नियमों और कार्यों की एक प्रणाली को याद रखना नहीं है, बल्कि एक विशेष विधि का उपयोग करने के सिद्धांतों को समझना है

7वीं कक्षा के सामान्य शिक्षा पाठ्यक्रम में रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करना काफी सरल है और बहुत विस्तार से समझाया गया है। किसी भी गणित की पाठ्यपुस्तक में इस अनुभाग पर पर्याप्त ध्यान दिया जाता है। उच्च शिक्षा के पहले वर्षों में गॉस और क्रैमर पद्धति का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करने का अधिक विस्तार से अध्ययन किया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करना

प्रतिस्थापन विधि की क्रियाओं का उद्देश्य एक चर के मान को दूसरे के संदर्भ में व्यक्त करना है। अभिव्यक्ति को शेष समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, फिर इसे एक चर वाले रूप में घटा दिया जाता है। सिस्टम में अज्ञात की संख्या के आधार पर कार्रवाई दोहराई जाती है

आइए हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके कक्षा 7 के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान दें:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चर x को F(X) = 7 + Y के माध्यम से व्यक्त किया गया था। परिणामी अभिव्यक्ति, X के स्थान पर सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित, दूसरे समीकरण में एक चर Y प्राप्त करने में मदद की . इस उदाहरण को हल करना आसान है और आपको Y मान प्राप्त करने की अनुमति देता है। अंतिम चरण प्राप्त मानों की जांच करना है।

प्रतिस्थापन द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली के उदाहरण को हल करना हमेशा संभव नहीं होता है। समीकरण जटिल हो सकते हैं और चर को दूसरे अज्ञात के रूप में व्यक्त करना आगे की गणना के लिए बहुत बोझिल होगा। जब सिस्टम में 3 से अधिक अज्ञात हों, तो प्रतिस्थापन द्वारा हल करना भी अनुचित है।

रैखिक अमानवीय समीकरणों की एक प्रणाली के उदाहरण का समाधान:

बीजगणितीय जोड़ का उपयोग कर समाधान

जोड़ विधि का उपयोग करके सिस्टम के लिए समाधान खोजते समय, समीकरणों को शब्द दर शब्द जोड़ा जाता है और विभिन्न संख्याओं से गुणा किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं का अंतिम लक्ष्य एक चर में एक समीकरण है।

इस पद्धति के अनुप्रयोग के लिए अभ्यास और अवलोकन की आवश्यकता होती है। 3 या अधिक चर होने पर जोड़ विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना आसान नहीं है। जब समीकरणों में भिन्न और दशमलव हों तो बीजगणितीय जोड़ का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।

समाधान एल्गोरिथ्म:

1. समीकरण के दोनों पक्षों को एक निश्चित संख्या से गुणा करें। अंकगणितीय संक्रिया के परिणामस्वरूप, चर का एक गुणांक 1 के बराबर हो जाना चाहिए।
2. परिणामी अभिव्यक्ति को पद दर पद जोड़ें और अज्ञात में से एक खोजें।
3. शेष चर ज्ञात करने के लिए परिणामी मान को सिस्टम के दूसरे समीकरण में रखें।

एक नया चर प्रस्तुत करके समाधान की विधि

यदि सिस्टम को दो से अधिक समीकरणों के लिए समाधान खोजने की आवश्यकता नहीं है तो एक नया चर पेश किया जा सकता है; अज्ञात की संख्या भी दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

इस विधि का उपयोग एक नए चर को प्रस्तुत करके समीकरणों में से एक को सरल बनाने के लिए किया जाता है। प्रस्तुत अज्ञात के लिए नया समीकरण हल किया जाता है, और परिणामी मान का उपयोग मूल चर निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण से पता चलता है कि एक नया वेरिएबल टी पेश करके, सिस्टम के पहले समीकरण को एक मानक द्विघात ट्रिनोमियल में कम करना संभव था। आप विवेचक ज्ञात करके बहुपद को हल कर सकते हैं।

सुविख्यात सूत्र का उपयोग करके विवेचक का मान ज्ञात करना आवश्यक है: D = b2 - 4*a*c, जहां D वांछित विवेचक है, b, a, c बहुपद के गुणनखंड हैं। दिए गए उदाहरण में, a=1, b=16, c=39, इसलिए D=100। यदि विभेदक शून्य से अधिक है, तो दो समाधान हैं: t = -b±√D / 2*a, यदि विभेदक शून्य से कम है, तो एक समाधान है: x = -b / 2*a।

परिणामी प्रणालियों का समाधान जोड़ विधि द्वारा पाया जाता है।

सिस्टम को हल करने के लिए दृश्य विधि

3 समीकरण प्रणालियों के लिए उपयुक्त। इस विधि में निर्देशांक अक्ष पर सिस्टम में शामिल प्रत्येक समीकरण के ग्राफ़ बनाना शामिल है। वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक प्रणाली का सामान्य समाधान होंगे।

ग्राफ़िकल विधि में कई बारीकियाँ हैं। आइए दृश्यात्मक तरीके से रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के कई उदाहरण देखें।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक पंक्ति के लिए दो बिंदुओं का निर्माण किया गया था, चर x के मान मनमाने ढंग से चुने गए थे: 0 और 3. x के मानों के आधार पर, y के मान पाए गए: 3 और 0. निर्देशांक (0, 3) और (3, 0) वाले बिंदुओं को ग्राफ़ पर चिह्नित किया गया और एक रेखा से जोड़ा गया।

दूसरे समीकरण के लिए चरणों को दोहराया जाना चाहिए। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु सिस्टम का समाधान है।

निम्नलिखित उदाहरण में रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए एक ग्राफिकल समाधान खोजने की आवश्यकता है: 0.5x-y+2=0 और 0.5x-y-1=0।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है, क्योंकि ग्राफ़ समानांतर हैं और अपनी पूरी लंबाई के साथ प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

उदाहरण 2 और 3 की प्रणालियाँ समान हैं, लेकिन जब निर्माण किया जाता है तो यह स्पष्ट हो जाता है कि उनके समाधान भिन्न हैं। यह याद रखना चाहिए कि यह कहना हमेशा संभव नहीं होता है कि किसी सिस्टम में समाधान है या नहीं; एक ग्राफ बनाना हमेशा आवश्यक होता है।

मैट्रिक्स और इसकी किस्में

मैट्रिक्स का उपयोग रैखिक समीकरणों की प्रणाली को संक्षेप में लिखने के लिए किया जाता है। मैट्रिक्स एक विशेष प्रकार की तालिका होती है जो संख्याओं से भरी होती है। n*m में n - पंक्तियाँ और m - कॉलम हैं।

एक मैट्रिक्स वर्गाकार होता है जब स्तंभों और पंक्तियों की संख्या बराबर होती है। मैट्रिक्स-वेक्टर एक कॉलम का मैट्रिक्स है जिसमें पंक्तियों की असीमित संख्या होती है। एक विकर्ण और अन्य शून्य तत्वों वाले मैट्रिक्स को पहचान कहा जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसे गुणा करने पर मूल मैट्रिक्स एक इकाई मैट्रिक्स में बदल जाता है; ऐसा मैट्रिक्स केवल मूल वर्ग मैट्रिक्स के लिए मौजूद होता है।

समीकरणों की प्रणाली को मैट्रिक्स में बदलने के नियम

समीकरणों की प्रणालियों के संबंध में, समीकरणों के गुणांक और मुक्त पदों को मैट्रिक्स संख्याओं के रूप में लिखा जाता है; एक समीकरण मैट्रिक्स की एक पंक्ति है।

एक मैट्रिक्स पंक्ति को गैर-शून्य कहा जाता है यदि पंक्ति का कम से कम एक तत्व शून्य नहीं है। अत: यदि किसी समीकरण में चरों की संख्या भिन्न हो तो लुप्त अज्ञात के स्थान पर शून्य डालना आवश्यक है।

मैट्रिक्स कॉलम सख्ती से चर के अनुरूप होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि चर x के गुणांक केवल एक कॉलम में लिखे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए पहले, अज्ञात y का गुणांक - केवल दूसरे में।

किसी मैट्रिक्स को गुणा करते समय, मैट्रिक्स के सभी तत्वों को क्रमिक रूप से एक संख्या से गुणा किया जाता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए विकल्प

व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने का सूत्र काफी सरल है: K -1 = 1 / |K|, जहां K -1 व्युत्क्रम मैट्रिक्स है, और |K| मैट्रिक्स का निर्धारक है. |के| शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, तो सिस्टम के पास एक समाधान है।

दो-दो-दो मैट्रिक्स के लिए निर्धारक की गणना आसानी से की जाती है; आपको बस विकर्ण तत्वों को एक-दूसरे से गुणा करना होगा। "तीन बटा तीन" विकल्प के लिए, एक सूत्र है |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ए 3 बी 2 सी 1। आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, या आप याद रख सकते हैं कि आपको प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ से एक तत्व लेने की आवश्यकता है ताकि काम में स्तंभों की संख्या और तत्वों की पंक्तियों की पुनरावृत्ति न हो।

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के उदाहरणों को हल करना

समाधान खोजने की मैट्रिक्स विधि आपको बड़ी संख्या में चर और समीकरणों वाले सिस्टम को हल करते समय बोझिल प्रविष्टियों को कम करने की अनुमति देती है।

उदाहरण में, a nm समीकरणों के गुणांक हैं, मैट्रिक्स एक वेक्टर है x n चर हैं, और b n मुक्त पद हैं।

गॉसियन पद्धति का उपयोग करके सिस्टम को हल करना

उच्च गणित में, गॉसियन विधि का अध्ययन क्रैमर विधि के साथ किया जाता है, और सिस्टम के समाधान खोजने की प्रक्रिया को गॉस-क्रैमर समाधान विधि कहा जाता है। इन विधियों का उपयोग बड़ी संख्या में रैखिक समीकरणों वाले सिस्टम के चर खोजने के लिए किया जाता है।

गॉस विधि प्रतिस्थापन और बीजगणितीय जोड़ द्वारा समाधान के समान है, लेकिन अधिक व्यवस्थित है। स्कूली पाठ्यक्रम में, गॉसियन विधि द्वारा समाधान का उपयोग 3 और 4 समीकरणों की प्रणालियों के लिए किया जाता है। विधि का उद्देश्य सिस्टम को एक उल्टे ट्रेपेज़ॉइड के रूप में कम करना है। बीजगणितीय परिवर्तनों और प्रतिस्थापनों के माध्यम से, सिस्टम के समीकरणों में से एक चर का मान पाया जाता है। दूसरा समीकरण 2 अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति है, जबकि 3 और 4 क्रमशः 3 और 4 चर के साथ हैं।

सिस्टम को वर्णित रूप में लाने के बाद, आगे का समाधान सिस्टम के समीकरणों में ज्ञात चर के अनुक्रमिक प्रतिस्थापन तक कम हो जाता है।

ग्रेड 7 के लिए स्कूली पाठ्यपुस्तकों में, गॉस विधि द्वारा समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार वर्णित है:

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, चरण (3) पर दो समीकरण प्राप्त हुए: 3x 3 -2x 4 =11 और 3x 3 +2x 4 =7। किसी भी समीकरण को हल करने से आप किसी एक चर x n का पता लगा सकेंगे।

प्रमेय 5, जिसका उल्लेख पाठ में किया गया है, बताता है कि यदि सिस्टम के समीकरणों में से एक को समकक्ष समीकरण से बदल दिया जाता है, तो परिणामी सिस्टम भी मूल के बराबर होगा।

मध्य विद्यालय के छात्रों के लिए गॉसियन पद्धति को समझना कठिन है, लेकिन यह गणित और भौतिकी कक्षाओं में उन्नत शिक्षण कार्यक्रमों में नामांकित बच्चों की सरलता विकसित करने के सबसे दिलचस्प तरीकों में से एक है।

रिकॉर्डिंग में आसानी के लिए, गणनाएँ आमतौर पर निम्नानुसार की जाती हैं:

समीकरणों और मुक्त पदों के गुणांक एक मैट्रिक्स के रूप में लिखे जाते हैं, जहां मैट्रिक्स की प्रत्येक पंक्ति सिस्टम के समीकरणों में से एक से मेल खाती है। समीकरण के बाएँ पक्ष को दाएँ पक्ष से अलग करता है। रोमन अंक प्रणाली में समीकरणों की संख्या दर्शाते हैं।

सबसे पहले, जिस मैट्रिक्स पर काम करना है उसे लिखें, फिर किसी एक पंक्ति के साथ की गई सभी कार्रवाइयां लिखें। परिणामी मैट्रिक्स को "तीर" चिह्न के बाद लिखा जाता है और परिणाम प्राप्त होने तक आवश्यक बीजगणितीय संचालन जारी रखा जाता है।

नतीजा एक मैट्रिक्स होना चाहिए जिसमें विकर्णों में से एक 1 के बराबर है, और अन्य सभी गुणांक शून्य के बराबर हैं, यानी, मैट्रिक्स एक इकाई रूप में कम हो गया है। हमें समीकरण के दोनों पक्षों की संख्याओं के साथ गणना करना नहीं भूलना चाहिए।

यह रिकॉर्डिंग विधि कम बोझिल है और आपको कई अज्ञात को सूचीबद्ध करके विचलित नहीं होने देती है।

किसी भी समाधान पद्धति के निःशुल्क उपयोग के लिए देखभाल और कुछ अनुभव की आवश्यकता होगी। सभी विधियाँ व्यावहारिक प्रकृति की नहीं होतीं। समाधान खोजने के कुछ तरीके मानव गतिविधि के किसी विशेष क्षेत्र में अधिक बेहतर हैं, जबकि अन्य शैक्षिक उद्देश्यों के लिए मौजूद हैं।