अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं प्राचीन काल से मौजूद हैं। वे प्रकट हुए और समाधान की मांग की, क्योंकि उन्हें व्यावहारिक आवश्यकता थी।

तो, प्राचीन मिस्र के पपीरी में, जिसमें गणितीय सामग्री है - रिंद पपीरस (XIX सदी ईसा पूर्व) - में निम्नलिखित कार्य शामिल हैं: दस लोगों में रोटी के दस उपायों को विभाजित करें, बशर्ते कि उनमें से प्रत्येक के बीच का अंतर एक है एक उपाय का आठवां।

और प्राचीन यूनानियों के गणितीय कार्यों में अंकगणितीय प्रगति से संबंधित सुरुचिपूर्ण प्रमेय हैं। इसलिए, अलेक्जेंड्रिया के हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी, जिन्होंने कई दिलचस्प समस्याओं को संकलित किया और यूक्लिड के "एलिमेंट्स" में चौदहवीं पुस्तक को जोड़ा, ने इस विचार को तैयार किया: "एक समान संख्या में सदस्यों के साथ अंकगणितीय प्रगति में, दूसरी छमाही के सदस्यों का योग वर्ग 1/2 सदस्यों द्वारा 1 के सदस्यों के योग से अधिक है।

अनुक्रम a को निरूपित किया जाता है। अनुक्रम की संख्याओं को इसके सदस्य कहा जाता है और आमतौर पर सूचकांक वाले अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है जो इस सदस्य की क्रम संख्या को इंगित करता है (ए 1, ए 2, ए 3 ... पढ़ें: "ए 1", "ए 2", "ए 3" और इसी तरह)।

अनुक्रम अनंत या परिमित हो सकता है।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है? इसे उसी संख्या d के साथ पिछले पद (n) को जोड़ने पर प्राप्त के रूप में समझा जाता है, जो कि प्रगति का अंतर है।

अगर डी<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 है, तो ऐसी प्रगति बढ़ती हुई मानी जाती है।

एक अंकगणितीय प्रगति को परिमित कहा जाता है यदि इसके पहले शब्दों में से केवल कुछ को ही ध्यान में रखा जाए। बहुत बड़ी संख्या में सदस्यों के साथ, यह पहले से ही एक अनंत प्रगति है।

कोई भी अंकगणितीय प्रगति निम्न सूत्र द्वारा दी गई है:

a =kn+b, जबकि b और k कुछ संख्याएं हैं।

कथन, जो इसके विपरीत है, बिल्कुल सत्य है: यदि अनुक्रम एक समान सूत्र द्वारा दिया गया है, तो यह वास्तव में एक अंकगणितीय प्रगति है, जिसमें गुण हैं:

1. प्रगति का प्रत्येक सदस्य पिछले सदस्य और अगले सदस्य का अंकगणितीय माध्य है।
2. विपरीत: यदि, दूसरे से शुरू होकर, प्रत्येक पद पिछले पद और अगले का अंकगणितीय माध्य है, अर्थात। यदि शर्त पूरी होती है, तो दिया गया क्रम एक अंकगणितीय प्रगति है। यह समानता एक ही समय में प्रगति का संकेत है, इसलिए इसे आमतौर पर प्रगति का एक विशिष्ट गुण कहा जाता है।
   इसी तरह, प्रमेय जो इस संपत्ति को दर्शाता है वह सत्य है: एक अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है, यदि यह समानता अनुक्रम के किसी भी सदस्य के लिए सत्य है, 2 से शुरू हो रही है।

समांतर श्रेणी की किन्हीं चार संख्याओं के लिए अभिलक्षणिक गुण सूत्र a + am = ak + al द्वारा व्यक्त किया जा सकता है यदि n + m = k + l (m, n, k प्रगति की संख्याएँ हैं)।

एक समान्तर श्रेणी में, कोई भी आवश्यक (Nth) पद निम्नलिखित सूत्र को लागू करके पाया जा सकता है:

उदाहरण के लिए: एक अंकगणितीय प्रगति में पहला पद (a1) दिया गया है और तीन के बराबर है, और अंतर (d) चार के बराबर है। आपको इस प्रगति का पैंतालीसवाँ पद ज्ञात करना है। a45 = 1+4(45-1)=177

सूत्र a = ak + d(n - k) आपको किसी भी k-वें सदस्य के माध्यम से अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य को निर्धारित करने की अनुमति देता है, बशर्ते कि यह ज्ञात हो।

एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों का योग (अंतिम प्रगति के पहले n सदस्यों को मानते हुए) की गणना निम्नानुसार की जाती है:

एसएन = (ए 1 + एन) एन/2।

यदि पहला पद भी ज्ञात है, तो गणना के लिए एक अन्य सूत्र सुविधाजनक है:

एसएन = ((2a1+d(n-1))/2)*n।

एक अंकगणितीय प्रगति का योग जिसमें n पद हैं, की गणना निम्नानुसार की जाती है:

गणना के लिए सूत्रों का चुनाव कार्यों की शर्तों और प्रारंभिक डेटा पर निर्भर करता है।

किसी भी संख्या की प्राकृतिक श्रृंखला जैसे 1,2,3,...,n,... अंकगणितीय प्रगति का सबसे सरल उदाहरण है।

अंकगणितीय प्रगति के अलावा, एक ज्यामितीय भी है, जिसके अपने गुण और विशेषताएं हैं।

एक अंकगणितीय प्रगति का योग।

एक अंकगणितीय प्रगति का योग एक साधारण बात है। अर्थ और सूत्र दोनों में। लेकिन इस विषय पर सभी प्रकार के कार्य हैं। प्राथमिक से लेकर काफी ठोस तक।

सबसे पहले, आइए योग के अर्थ और सूत्र से निपटें। और फिर हम फैसला करेंगे। अपनी खुशी के लिए।) योग का अर्थ कम करना जितना आसान है। एक अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए, आपको बस इसके सभी सदस्यों को सावधानीपूर्वक जोड़ने की आवश्यकता है। यदि ये शब्द कम हैं, तो आप बिना किसी सूत्र के जोड़ सकते हैं। लेकिन अगर बहुत कुछ है, या बहुत कुछ है ... जोड़ कष्टप्रद है।) इस मामले में, सूत्र बचाता है।

योग सूत्र सरल है:

आइए जानें कि सूत्र में किस प्रकार के अक्षर शामिल हैं। इससे बहुत कुछ साफ हो जाएगा।

एस नहीं एक अंकगणितीय प्रगति का योग है। जोड़ परिणाम सबसदस्यों, साथ प्रथमपर अंतिम।क्या यह महत्वपूर्ण है। बिल्कुल जोड़ें सबएक पंक्ति में सदस्य, बिना अंतराल और छलांग के। और, बिल्कुल, से शुरू हो रहा है प्रथम।तीसरे और आठवें पदों का योग ज्ञात करने जैसी समस्याओं में, या पाँच से बीसवें पदों का योग ज्ञात करने पर, सूत्र का सीधा प्रयोग निराशाजनक होगा।)

एक 1 - प्रथमप्रगति के सदस्य। यहाँ सब कुछ स्पष्ट है, यह सरल है प्रथमपंक्ति नंबर।

एक- अंतिमप्रगति के सदस्य। पंक्ति की अंतिम संख्या। बहुत परिचित नाम नहीं है, लेकिन, जब राशि पर लागू किया जाता है, तो यह बहुत उपयुक्त होता है। तब आप खुद देख लेंगे।

एन अंतिम सदस्य की संख्या है। यह समझना महत्वपूर्ण है कि सूत्र में यह संख्या जोड़े गए सदस्यों की संख्या के साथ मेल खाता है।

आइए अवधारणा को परिभाषित करें अंतिमसदस्य एक. प्रश्न भरना: किस प्रकार का सदस्य होगा अंतिम,अगर दिया गया अनंतअंकगणितीय प्रगति?

एक आश्वस्त उत्तर के लिए, आपको अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को समझने की आवश्यकता है और ... असाइनमेंट को ध्यान से पढ़ें!)

एक अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के कार्य में, अंतिम पद हमेशा प्रकट होता है (प्रत्यक्ष या परोक्ष रूप से), जो सीमित होना चाहिए।अन्यथा, एक सीमित, विशिष्ट राशि बस मौजूद नहीं है।समाधान के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि किस प्रकार की प्रगति दी गई है: परिमित या अनंत। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कैसे दिया जाता है: संख्याओं की एक श्रृंखला द्वारा, या nवें सदस्य के सूत्र द्वारा।

सबसे महत्वपूर्ण बात यह समझना है कि सूत्र प्रगति के पहले पद से संख्या के साथ पद तक काम करता है एन।दरअसल, सूत्र का पूरा नाम इस तरह दिखता है: अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग।इन सबसे पहले सदस्यों की संख्या, अर्थात्। एन, केवल कार्य द्वारा निर्धारित किया जाता है। कार्य में, यह सभी मूल्यवान जानकारी अक्सर एन्क्रिप्ट की जाती है, हाँ ... लेकिन कुछ भी नहीं, नीचे दिए गए उदाहरणों में हम इन रहस्यों को प्रकट करेंगे।)

अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए कार्यों के उदाहरण।

सबसे पहले, उपयोगी जानकारी:

अंकगणितीय प्रगति के योग के कार्यों में मुख्य कठिनाई सूत्र के तत्वों का सही निर्धारण है।

असाइनमेंट के लेखक इन तत्वों को असीमित कल्पना के साथ एन्क्रिप्ट करते हैं।) यहां मुख्य बात डरना नहीं है। तत्त्वों के सार को समझ लेना ही उन्हें समझने के लिए पर्याप्त है। आइए कुछ उदाहरणों को विस्तार से देखें। आइए एक वास्तविक GIA पर आधारित कार्य से शुरू करें।

1. अंकगणितीय प्रगति इस शर्त द्वारा दी गई है: a n = 2n-3.5। पहले 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अच्छी नौकरी। आसान।) सूत्र के अनुसार राशि निर्धारित करने के लिए, हमें क्या जानने की आवश्यकता है? प्रथम सदस्य एक 1, अंतिम अवधि एक, हाँ अंतिम पद की संख्या एन।

अंतिम सदस्य संख्या कहाँ से प्राप्त करें एन? हाँ, वहाँ, हालत में! यह कहता है कि योग खोजें पहले 10 सदस्य।अच्छा, यह कौन सा नंबर होगा अंतिम,दसवां सदस्य?) आपको विश्वास नहीं होगा, उसका नंबर दसवां है!) इसलिए, के बजाय एकहम सूत्र में स्थानापन्न करेंगे एक 10, लेकिन बदले एन- दस। फिर से, अंतिम सदस्य की संख्या सदस्यों की संख्या के समान होती है।

यह तय होना बाकी है एक 1और एक 10. यह nवें पद के सूत्र द्वारा आसानी से परिकलित किया जाता है, जो समस्या कथन में दिया गया है। पता नहीं कैसे करना है? पिछले पाठ पर जाएँ, इसके बिना - कुछ भी नहीं।

एक 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

एक 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

एस नहीं = एस 10.

हमने एक अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र के सभी तत्वों का अर्थ निकाला। यह उन्हें स्थानापन्न करने और गिनने के लिए बनी हुई है:

यही सब है इसके लिए। उत्तर : 75.

GIA पर आधारित एक अन्य कार्य। थोड़ा और जटिल:

2. एक समांतर श्रेणी (a n) दिया गया है, जिसका अंतर 3.7 है; ए 1 \u003d 2.3। पहले 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हम तुरंत योग सूत्र लिखते हैं:

यह सूत्र हमें किसी भी सदस्य का मूल्य उसकी संख्या से ज्ञात करने की अनुमति देता है। हम एक साधारण प्रतिस्थापन की तलाश में हैं:

ए 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

यह एक अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र में सभी तत्वों को प्रतिस्थापित करने और उत्तर की गणना करने के लिए बनी हुई है:

उत्तर: 423.

वैसे, अगर योग सूत्र के बजाय एककेवल nवें पद के सूत्र को प्रतिस्थापित करें, हम प्राप्त करते हैं:

हम समान देते हैं, हमें अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग के लिए एक नया सूत्र मिलता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां nवें पद की आवश्यकता नहीं है। एक. कुछ कार्यों में यह सूत्र बहुत मदद करता है, हाँ... आप इस सूत्र को याद रख सकते हैं। और आप इसे यहाँ की तरह सही समय पर आसानी से वापस ले सकते हैं। आखिरकार, योग का सूत्र और nवें पद का सूत्र हर तरह से याद रखना चाहिए।)

अब एक संक्षिप्त एन्क्रिप्शन के रूप में कार्य):

3. दो अंकों की सभी धनात्मक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो तीन के गुणज हैं।

कैसे! कोई पहला सदस्य नहीं, कोई अंतिम नहीं, कोई प्रगति नहीं ... कैसे जीना है!?

आपको अपने दिमाग से सोचना होगा और स्थिति से अंकगणितीय प्रगति के योग के सभी तत्वों को निकालना होगा। दो अंकों की संख्याएँ क्या हैं - हम जानते हैं। इनमें दो अंक होते हैं।) दो अंकों की संख्या क्या होगी प्रथम? 10, संभवतः।) आखिरी चीजदो अंकों की संख्या? 99, बिल्कुल! तीन अंकों वाले उसका अनुसरण करेंगे ...

तीन के गुणज... हम्म... ये वो संख्याएँ हैं जो तीन से समान रूप से विभाज्य हैं, यहाँ! दस तीन से विभाज्य नहीं है, 11 विभाज्य नहीं है... 12... विभाज्य है! तो कुछ सामने आ रहा है। आप समस्या की स्थिति के अनुसार पहले से ही एक श्रृंखला लिख ​​सकते हैं:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

क्या यह श्रृंखला एक अंकगणितीय प्रगति होगी? निश्चित रूप से! प्रत्येक शब्द पिछले एक से सख्ती से तीन से भिन्न होता है। यदि पद में 2, या 4 जोड़ दिया जाए, मान लीजिए, परिणाम, अर्थात्। एक नई संख्या को अब 3 से विभाजित नहीं किया जाएगा। आप ढेर में अंकगणितीय प्रगति के अंतर को तुरंत निर्धारित कर सकते हैं: डी = 3.उपयोगी!)

इसलिए, हम कुछ प्रगति मापदंडों को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

संख्या क्या होगी एनअंतिम सदस्य? जो कोई भी यह सोचता है कि 99 को घातक रूप से गलत माना जाता है ... संख्याएं - वे हमेशा एक पंक्ति में जाती हैं, और हमारे सदस्य शीर्ष तीन पर कूद जाते हैं। वे मेल नहीं खाते।

यहां दो समाधान हैं। सुपर मेहनती के लिए एक तरीका है। आप प्रगति, संख्याओं की पूरी श्रृंखला को चित्रित कर सकते हैं, और अपनी उंगली से शब्दों की संख्या गिन सकते हैं।) दूसरा तरीका विचारशील के लिए है। आपको nवें पद का सूत्र याद रखना होगा। यदि सूत्र को हमारी समस्या पर लागू किया जाता है, तो हम पाते हैं कि 99 प्रगति का तीसवां सदस्य है। वे। एन = 30।

हम एक अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को देखते हैं:

हम देखते हैं और आनन्दित होते हैं।) हमने समस्या की स्थिति से राशि की गणना के लिए आवश्यक सब कुछ निकाला:

एक 1= 12.

एक 30= 99.

एस नहीं = एस 30.

जो बचता है वह प्राथमिक अंकगणित है। सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित करें और गणना करें:

उत्तर: 1665

एक अन्य प्रकार की लोकप्रिय पहेलियाँ:

4. एक समांतर श्रेढ़ी दी गई है:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

बीसवें से चौंतीसवें तक पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हम योग सूत्र को देखते हैं और ... हम परेशान हैं।) सूत्र, मैं आपको याद दिला दूं, योग की गणना करता है पहले सेसदस्य। और समस्या में आपको योग की गणना करने की आवश्यकता है बीसवीं के बाद से...फॉर्मूला काम नहीं करेगा।

आप निश्चित रूप से, पूरी प्रगति को एक पंक्ति में चित्रित कर सकते हैं, और शर्तों को 20 से 34 तक रख सकते हैं। लेकिन ... किसी तरह यह मूर्खतापूर्ण और लंबे समय के लिए निकलता है, है ना?)

एक और अधिक सुरुचिपूर्ण समाधान है। आइए अपनी श्रृंखला को दो भागों में विभाजित करें। पहला भाग होगा पहले कार्यकाल से उन्नीसवीं तक।दूसरा हिस्सा - बीस से चौंतीस।यह स्पष्ट है कि यदि हम पहले भाग के पदों के योग की गणना करें एस 1-19, चलिए इसे दूसरे भाग के सदस्यों के योग में जोड़ते हैं एस 20-34, हमें पहले पद से चौंतीस तक की प्रगति का योग मिलता है एस 1-34. ऐशे ही:

एस 1-19 + एस 20-34 = एस 1-34

इससे पता चलता है कि योग खोजने के लिए एस 20-34सरल घटाव द्वारा किया जा सकता है

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19

दाहिनी ओर दोनों राशियों को माना जाता है पहले सेसदस्य, यानी मानक योग सूत्र उन पर काफी लागू होता है। क्या हम शुरुआत कर रहे हैं?

हम कार्य स्थिति से प्रगति पैरामीटर निकालते हैं:

डी = 1.5।

एक 1= -21,5.

पहले 19 और पहले 34 पदों के योग की गणना करने के लिए, हमें 19वें और 34वें पदों की आवश्यकता होगी। हम उन्हें nवें पद के सूत्र के अनुसार गिनते हैं, जैसा कि समस्या 2 में है:

एक 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

एक 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

वहाँ कुछ नहीं बचा है। 34 पदों के योग में से 19 पदों का योग घटाएं:

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

उत्तर: 262.5

एक महत्वपूर्ण नोट! इस समस्या को हल करने में एक बहुत ही उपयोगी विशेषता है। प्रत्यक्ष गणना के बजाय आपको क्या चाहिए (एस 20-34),हमने गिना क्या, ऐसा प्रतीत होता है, इसकी आवश्यकता नहीं है - एस 1-19।और फिर उन्होंने तय किया एस 20-34, पूर्ण परिणाम से अनावश्यक को हटाना। इस तरह के "कान के साथ झगड़ा" अक्सर बुरी पहेलियों में बचाता है।)

इस पाठ में, हमने उन समस्याओं पर विचार किया जिनके समाधान के लिए एक अंकगणितीय प्रगति के योग का अर्थ समझना पर्याप्त है। ठीक है, आपको कुछ सूत्रों को जानने की जरूरत है।)

प्रायोगिक उपकरण:

अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए किसी भी समस्या को हल करते समय, मैं इस विषय से दो मुख्य सूत्रों को तुरंत लिखने की सलाह देता हूं।

nवें पद का सूत्र:

ये सूत्र आपको तुरंत बताएंगे कि समस्या को हल करने के लिए क्या देखना है, किस दिशा में सोचना है। मदद करता है।

और अब स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

5. उन सभी दो अंकों वाली संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो तीन से विभाज्य नहीं हैं।

कूल?) समस्या 4 के नोट में संकेत छिपा है। खैर, समस्या 3 मदद करेगी।

6. अंकगणितीय प्रगति इस शर्त द्वारा दी गई है: a 1 =-5.5; एक एन+1 = एक एन +0.5। पहले 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

असामान्य?) यह एक आवर्तक सूत्र है। आप इसके बारे में पिछले पाठ में पढ़ सकते हैं। लिंक को नज़रअंदाज़ न करें, ऐसी पहेलियां अक्सर जीआईए में पाई जाती हैं।

7. वास्या ने छुट्टी के लिए पैसे बचाए। 4550 रूबल जितना! और मैंने सबसे प्यारे व्यक्ति (खुद को) को कुछ दिन की खुशी देने का फैसला किया)। अपने आप को कुछ भी नकारे बिना खूबसूरती से जिएं। पहले दिन 500 रूबल खर्च करें, और पिछले एक की तुलना में प्रत्येक बाद के दिन 50 रूबल अधिक खर्च करें! जब तक पैसा खत्म नहीं हो जाता। वास्या के पास कितने दिन की खुशी थी?

क्या यह मुश्किल है?) कार्य 2 से एक अतिरिक्त सूत्र मदद करेगा।

उत्तर (अव्यवस्था में): 7, 3240, 6.

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प्रथम स्तर

अंकगणितीय प्रगति। उदाहरणों के साथ विस्तृत सिद्धांत (2019)

संख्यात्मक अनुक्रम

तो चलिए बैठ जाते हैं और कुछ नंबर लिखना शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं (हमारे मामले में, उन्हें)। हम चाहे कितनी भी संख्याएँ लिख लें, हम हमेशा कह सकते हैं कि उनमें से कौन पहली है, कौन सी दूसरी है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें संख्या दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्यात्मक अनुक्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या केवल एक अनुक्रम संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन सेकंड की संख्या नहीं है। दूसरी संख्या (जैसे -th संख्या) हमेशा समान होती है।
संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए,) कहते हैं, और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक वाला एक ही अक्षर: ।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर है।
उदाहरण के लिए:

आदि।
इस तरह के संख्यात्मक अनुक्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
शब्द "प्रगति" रोमन लेखक बोथियस द्वारा 6 वीं शताब्दी की शुरुआत में पेश किया गया था और इसे व्यापक अर्थों में एक अंतहीन संख्यात्मक अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम को निरंतर अनुपात के सिद्धांत से स्थानांतरित किया गया था, जिसमें प्राचीन यूनानी लगे हुए थे।

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य पिछले एक के बराबर है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम एक अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं हैं:

ए)
बी)
सी)
डी)

समझ गया? हमारे उत्तरों की तुलना करें:
एकअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
क्या नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई प्रगति () पर लौटते हैं और इसके वें सदस्य का मान ज्ञात करने का प्रयास करते हैं। अस्तित्व दोइसे खोजने का तरीका।

1. विधि

हम प्रगति संख्या के पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक हम प्रगति के वें पद तक नहीं पहुंच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास संक्षेप में बताने के लिए बहुत कुछ नहीं है - केवल तीन मान:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य के बराबर है।

2. विधि

क्या होगा यदि हमें प्रगति के वें पद का मूल्य ज्ञात करना है? योग करने में हमें एक घंटे से अधिक का समय लगता, और यह एक तथ्य नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हमने गलतियाँ नहीं की होंगी।
बेशक, गणितज्ञ एक ऐसा तरीका लेकर आए हैं जिसमें आपको अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मान से जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। खींचे गए चित्र को ध्यान से देखें ... निश्चित रूप से आपने पहले से ही एक निश्चित पैटर्न पर ध्यान दिया है, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य का मूल्य क्या है:


दूसरे शब्दों में:

इस तरह से स्वतंत्र रूप से इस अंकगणितीय प्रगति के एक सदस्य के मूल्य को खोजने का प्रयास करें।

परिकलित? उत्तर के साथ अपनी प्रविष्टियों की तुलना करें:

ध्यान दें कि आपको पिछली विधि की तरह ही वही संख्या मिली है, जब हमने अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों को पिछले मान में क्रमिक रूप से जोड़ा था।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपित" करने का प्रयास करें - हम इसे एक सामान्य रूप में लाते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंकगणितीय प्रगति समीकरण।

अंकगणितीय प्रगति या तो बढ़ रही है या घट रही है।

की बढ़ती- प्रगति जिसमें शर्तों के प्रत्येक बाद के मूल्य पिछले एक से अधिक है।
उदाहरण के लिए:

अवरोही- प्रगति जिसमें शर्तों के प्रत्येक बाद के मूल्य पिछले एक से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में देखें।
हमें निम्नलिखित संख्याओं से मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

तब से:

इस प्रकार, हम आश्वस्त थे कि यह सूत्र अंकगणितीय प्रगति को घटाने और बढ़ाने दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति के -वें और -वें सदस्यों को स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए कार्य को जटिल करें - हम एक अंकगणितीय प्रगति की संपत्ति प्राप्त करते हैं।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात कीजिए।
यह आसान है, आप कहते हैं, और उस सूत्र के अनुसार गिनना शुरू करें जिसे आप पहले से जानते हैं:

चलो, ए, फिर:

बिल्कुल सही। यह पता चला है कि हम पहले पाते हैं, फिर इसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और हम जो खोज रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मूल्यों द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन क्या होगा यदि हमें इस स्थिति में संख्याएं दी जाएं? सहमत हूं, गणना में गलती होने की संभावना है।
अब सोचो, क्या किसी सूत्र का प्रयोग करके इस समस्या को एक चरण में हल करना संभव है? बेशक, हाँ, और हम इसे अभी बाहर लाने का प्रयास करेंगे।

आइए अंकगणितीय प्रगति के वांछित शब्द को निरूपित करें, जैसा कि हम इसे खोजने के लिए सूत्र जानते हैं - यह वही सूत्र है जिसे हमने शुरुआत में प्राप्त किया था:
, तब:

• प्रगति का पिछला सदस्य है:
• प्रगति का अगला पद है:

आइए प्रगति के पिछले और अगले सदस्यों का योग करें:

यह पता चला है कि प्रगति के पिछले और बाद के सदस्यों का योग उनके बीच स्थित प्रगति के सदस्य के मूल्य से दोगुना है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और लगातार मूल्यों के साथ प्रगति सदस्य के मूल्य को खोजने के लिए, उन्हें जोड़ना और विभाजित करना आवश्यक है।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। आइए सामग्री को ठीक करें। प्रगति के लिए मूल्य की गणना स्वयं करें, क्योंकि यह बिल्कुल भी कठिन नहीं है।

बहुत अच्छा! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! यह केवल एक सूत्र का पता लगाना बाकी है, जो कि किंवदंती के अनुसार, सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों के राजा" - कार्ल गॉस, आसानी से खुद के लिए निकाले गए ...

जब कार्ल गॉस 9 वर्ष का था, शिक्षक, अन्य कक्षाओं के छात्रों के काम की जाँच में व्यस्त, ने पाठ में निम्नलिखित कार्य पूछा: "सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करें (अन्य स्रोतों के अनुसार) समावेशी। " शिक्षक को क्या आश्चर्य हुआ जब उसके एक छात्र (वह कार्ल गॉस थे) ने एक मिनट के बाद कार्य का सही उत्तर दिया, जबकि डेयरडेविल के अधिकांश सहपाठियों ने लंबी गणना के बाद गलत परिणाम प्राप्त किया ...

यंग कार्ल गॉस ने एक पैटर्न देखा जिसे आप आसानी से देख सकते हैं।
मान लीजिए कि हमारे पास एक अंकगणितीय प्रगति है जिसमें -ti सदस्य शामिल हैं: हमें अंकगणितीय प्रगति के दिए गए सदस्यों का योग ज्ञात करना है। बेशक, हम मैन्युअल रूप से सभी मानों को जोड़ सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि हमें गॉस की तलाश में कार्य में इसकी शर्तों का योग खोजने की आवश्यकता है?

आइए हमें दी गई प्रगति को दर्शाते हैं। हाइलाइट की गई संख्याओं को ध्यान से देखें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाओं को करने का प्रयास करें।


कोशिश की? आपने क्या नोटिस किया? सही ढंग से! उनकी राशि बराबर है

अब उत्तर दीजिए, हमें दी गई प्रगति में ऐसे कितने जोड़े होंगे? बेशक, सभी संख्याओं का ठीक आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि एक समांतर श्रेणी के दो पदों का योग समान है, और समान समान युग्म, हम पाते हैं कि कुल योग बराबर है:
.
इस प्रकार, किसी समांतर श्रेणी के प्रथम पदों के योग का सूत्र होगा:

कुछ समस्याओं में, हम वें पद को नहीं जानते हैं, लेकिन हम प्रगति के अंतर को जानते हैं। योग सूत्र, वें सदस्य के सूत्र में स्थानापन्न करने का प्रयास करें।
तुम्हें क्या मिला?

बहुत अच्छा! अब आइए उस समस्या पर लौटते हैं जो कार्ल गॉस को दी गई थी: अपने लिए गणना करें कि -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है, और -वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि पदों का योग समान है, और पदों का योग है। क्या आपने ऐसा फैसला किया है?

वास्तव में, अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग का सूत्र प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा तीसरी शताब्दी में सिद्ध किया गया था, और इस पूरे समय में, मजाकिया लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के गुणों का उपयोग शक्ति और मुख्य के साथ किया।
उदाहरण के लिए, प्राचीन मिस्र और उस समय के सबसे बड़े निर्माण स्थल की कल्पना करें - एक पिरामिड का निर्माण ... आकृति इसका एक पक्ष दिखाती है।

आप कहते हैं कि यहां प्रगति कहां है? ध्यान से देखें और पिरामिड की दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत के ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न खोजें।


अंकगणितीय प्रगति क्यों नहीं? गिनें कि एक दीवार के निर्माण के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता है यदि ब्लॉक ईंटों को आधार में रखा जाए। मुझे आशा है कि आप मॉनिटर पर अपनी उंगली घुमाकर गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको अंतिम सूत्र और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ कहा है वह सब कुछ याद है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:
अंकगणितीय प्रगति अंतर।
एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संख्या।
आइए अपने डेटा को अंतिम फ़ार्मुलों में बदलें (हम 2 तरीकों से ब्लॉक की संख्या गिनते हैं)।

विधि 1।

विधि 2।

और अब आप मॉनिटर पर भी गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। क्या यह सहमत था? अच्छा किया, आपने अंकगणितीय प्रगति के वें पदों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर ब्लॉक से पिरामिड नहीं बना सकते हैं, लेकिन कहां से? इस स्थिति के साथ दीवार बनाने के लिए कितनी रेत ईंटों की आवश्यकता है, इसकी गणना करने का प्रयास करें।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्तर ब्लॉक है:

कसरत करना

कार्य:

1. माशा गर्मियों के लिए आकार में हो रही है। वह हर दिन स्क्वैट्स की संख्या में वृद्धि करती है। माशा हफ्तों में कितनी बार स्क्वाट करेगी अगर उसने पहली कसरत में स्क्वाट किया था।
2. में निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है?
3. लॉग को स्टोर करते समय, लंबरजैक उन्हें इस तरह से स्टैक करते हैं कि प्रत्येक शीर्ष परत में पिछले वाले की तुलना में एक कम लॉग होता है। एक चिनाई में कितने लॉग होते हैं, यदि चिनाई का आधार लॉग है।

उत्तर:

1. आइए हम अंकगणितीय प्रगति के मापदंडों को परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन)।

   जवाब:दो सप्ताह में, माशा को दिन में एक बार बैठना चाहिए।

2. पहली विषम संख्या, अंतिम संख्या।
   अंकगणितीय प्रगति अंतर।
   - आधे में विषम संख्याओं की संख्या, हालांकि, अंकगणितीय प्रगति के -वें सदस्य को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जांच करें:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   हम उपलब्ध डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

   जवाब:इसमें निहित सभी विषम संख्याओं का योग बराबर होता है।

3. पिरामिड के बारे में समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, केवल परतों का एक गुच्छा होता है, अर्थात।
   डेटा को सूत्र में बदलें:

   जवाब:चिनाई में लॉग हैं।

उपसंहार

1. - एक संख्यात्मक अनुक्रम जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है। यह बढ़ रहा है और घट रहा है।
2. सूत्र ढूँढनाअंकगणितीय प्रगति का वां सदस्य सूत्र द्वारा लिखा जाता है - , प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।
3. एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति- - कहाँ - प्रगति में संख्याओं की संख्या।
4. एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों का योगदो तरह से पाया जा सकता है:
   
   , जहां मूल्यों की संख्या है।

अंकगणितीय प्रगति। मध्य स्तर

संख्यात्मक अनुक्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्या लिख ​​सकते हैं, और जितने चाहें उतने हो सकते हैं। लेकिन आप हमेशा बता सकते हैं कि उनमें से कौन पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह, हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह एक संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है।

संख्यात्मक अनुक्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या को एक निश्चित प्राकृतिक संख्या से जोड़ा जा सकता है, और केवल एक। और हम इस नंबर को इस सेट से किसी अन्य नंबर को असाइन नहीं करेंगे।

संख्या वाली संख्या को अनुक्रम का -वाँ सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए,) कहते हैं, और इस अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य - इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक वाला एक ही अक्षर: ।

यह बहुत सुविधाजनक है यदि अनुक्रम का -वाँ सदस्य किसी सूत्र द्वारा दिया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र

अनुक्रम सेट करता है:

और सूत्र निम्नलिखित अनुक्रम है:

उदाहरण के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहां पहला शब्द बराबर है, और अंतर)। या (, अंतर)।

nth टर्म फॉर्मूला

हम आवर्तक एक सूत्र कहते हैं, जिसमें -वें पद का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले वाले को जानना होगा:

उदाहरण के लिए, इस तरह के एक सूत्र का उपयोग करके प्रगति का वां पद खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, चलो। फिर:

खैर, अब यह स्पष्ट है कि सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में, हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। किस लिए? बहुत आसान: यह वर्तमान सदस्य माइनस की संख्या है:

अब और अधिक आरामदायक, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

एक समान्तर श्रेणी में, nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

फेसला:

पहला सदस्य बराबर है। और क्या अंतर है? और यहाँ क्या है:

(आखिरकार, इसे अंतर कहा जाता है क्योंकि यह प्रगति के क्रमिक सदस्यों के अंतर के बराबर है)।

तो सूत्र है:

तो सौवाँ पद है:

से सभी प्राकृत संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल का लड़का होने के कारण कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की। उन्होंने देखा कि पहली और अंतिम संख्या का योग समान है, दूसरी और अंतिम संख्या का योग समान है, अंत से तीसरे और तीसरे का योग समान है, और इसी तरह आगे भी। ऐसे कितने जोड़े हैं? यह सही है, सभी संख्याओं की आधी संख्या, यानी। इसलिए,

किसी भी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी दो अंकों के गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

फेसला:

ऐसा पहला नंबर है। प्रत्येक अगला पिछले एक में एक संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, हमारे लिए ब्याज की संख्या पहले पद और अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती है।

इस प्रगति के लिए वें पद का सूत्र है:

प्रगति में कितने पद हैं यदि वे सभी दो अंकों के होने चाहिए?

बहुत आसान: ।

प्रगति की अंतिम अवधि बराबर होगी। फिर योग:

जवाब: ।

अब आप स्वयं निर्णय लें:

1. हर दिन एथलीट पिछले दिन की तुलना में 1 मी अधिक दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मीटर दौड़ता है तो वह सप्ताहों में कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक पिछले दिन की तुलना में प्रत्येक दिन अधिक मील की सवारी करता है। पहले दिन उन्होंने किमी की यात्रा की। एक किलोमीटर की दूरी तय करने के लिए उसे कितने दिन ड्राइव करना होगा? यात्रा के अंतिम दिन वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. स्टोर में एक रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल उतनी ही कम हो जाती है। निर्धारित करें कि हर साल एक रेफ्रिजरेटर की कीमत कितनी कम हो जाती है, अगर इसे रूबल के लिए बिक्री के लिए रखा जाता है, तो छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेचा गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और उसके मापदंडों को निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति की पहली शर्तों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   जवाब:
2. यहाँ यह दिया गया है: इसे खोजना आवश्यक है।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मानों को प्रतिस्थापित करें:

   जड़ स्पष्ट रूप से फिट नहीं है, तो जवाब।
   आइए -वें पद के सूत्र का उपयोग करके अंतिम दिन में तय की गई दूरी की गणना करें:
   (किमी)।
   जवाब:

3. दिया गया: । ढूँढ़ने के लिए: ।
   यह आसान नहीं होता है:
   (रगड़ना)।
   जवाब:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य के बारे में

यह एक संख्यात्मक अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति बढ़ रही है () और घट रही है ()।

उदाहरण के लिए:

अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य को खोजने का सूत्र

एक सूत्र के रूप में लिखा जाता है, जहाँ क्रम में संख्याओं की संख्या होती है।

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों की संपत्ति

यह प्रगति के सदस्य को ढूंढना आसान बनाता है यदि उसके पड़ोसी सदस्य ज्ञात हों - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।

एक समान्तर श्रेणी के सदस्यों का योग

राशि ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

मूल्यों की संख्या कहां है।

मूल्यों की संख्या कहां है।

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

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समस्याओं का पता लगाएं और हल करें!

हाँ, हाँ: अंकगणितीय प्रगति आपके लिए कोई खिलौना नहीं है :)

ठीक है, दोस्तों, अगर आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आंतरिक कैप सबूत मुझे बताता है कि आप अभी भी नहीं जानते कि अंकगणितीय प्रगति क्या है, लेकिन आप वास्तव में (नहीं, इस तरह: SOOOOO!) जानना चाहते हैं। इसलिए, मैं आपको लंबे परिचय के साथ पीड़ा नहीं दूंगा और तुरंत व्यापार में उतर जाऊंगा।

शुरू करने के लिए, कुछ उदाहरण। संख्याओं के कई सेटों पर विचार करें:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

इन सभी सेटों में क्या समानता है? पहली नज़र में, कुछ भी नहीं। लेकिन वास्तव में कुछ है। अर्थात्: प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से समान संख्या से भिन्न होता है.

अपने लिए जज। पहला सेट केवल क्रमागत संख्या है, प्रत्येक पिछले एक से अधिक है। दूसरे मामले में, आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर पहले से ही पांच के बराबर है, लेकिन यह अंतर अभी भी स्थिर है। तीसरे मामले में, सामान्य रूप से जड़ें होती हैं। हालांकि, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, जबकि $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, यानी। इस मामले में प्रत्येक अगला तत्व केवल $\sqrt(2)$ से बढ़ता है (और डरो मत कि यह संख्या तर्कहीन है)।

तो: ऐसे सभी अनुक्रमों को केवल अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। आइए एक सख्त परिभाषा दें:

परिभाषा। संख्याओं का वह क्रम जिसमें प्रत्येक अगली पिछली संख्या से बिल्कुल समान मात्रा में भिन्न हो, अंकगणितीय प्रगति कहलाती है। जिस राशि से संख्याएँ भिन्न होती हैं उसे प्रगति अंतर कहा जाता है और इसे अक्सर $d$ अक्षर से दर्शाया जाता है।

नोटेशन: $\left(((a)_(n)) \right)$ ही प्रगति है, $d$ इसका अंतर है।

और बस कुछ महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ। सबसे पहले, प्रगति को ही माना जाता है व्यवस्थितसंख्याओं का क्रम: उन्हें उस क्रम में सख्ती से पढ़ने की अनुमति है जिसमें वे लिखे गए हैं - और कुछ नहीं। आप नंबरों को पुनर्व्यवस्थित या स्वैप नहीं कर सकते।

दूसरे, अनुक्रम स्वयं या तो परिमित या अनंत हो सकता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय (1; 2; 3) स्पष्ट रूप से एक परिमित अंकगणितीय प्रगति है। लेकिन अगर आप कुछ ऐसा लिखते हैं (1; 2; 3; 4; ...) - यह पहले से ही एक अनंत प्रगति है। चार के बाद का दीर्घवृत्त, जैसा कि यह था, संकेत देता है कि बहुत अधिक संख्याएँ अनुसरण करती हैं। उदाहरण के लिए, असीम रूप से कई। :)

मैं यह भी नोट करना चाहूंगा कि प्रगति बढ़ रही है और घट रही है। हम पहले ही बढ़ते हुए देख चुके हैं - वही सेट (1; 2; 3; 4; ...)। घटती प्रगति के उदाहरण यहां दिए गए हैं:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ठीक है, ठीक है: अंतिम उदाहरण अत्यधिक जटिल लग सकता है। लेकिन बाकी, मुझे लगता है, आप समझते हैं। इसलिए, हम नई परिभाषाएँ पेश करते हैं:

परिभाषा। एक अंकगणितीय प्रगति को कहा जाता है:

1. बढ़ रहा है अगर प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से बड़ा है;
2. घट रहा है, यदि, इसके विपरीत, प्रत्येक बाद वाला तत्व पिछले एक से कम है।

इसके अलावा, तथाकथित "स्थिर" अनुक्रम हैं - उनमें एक ही दोहराई जाने वाली संख्या होती है। उदाहरण के लिए, (3; 3; 3; ...)

केवल एक ही प्रश्न शेष है: बढ़ती हुई प्रगति को घटती हुई प्रगति से कैसे अलग किया जाए? सौभाग्य से, यहाँ सब कुछ केवल $d$ संख्या के संकेत पर निर्भर करता है, अर्थात। प्रगति अंतर:

1. यदि $d \gt 0$, तो प्रगति बढ़ रही है;
2. यदि $d \lt 0$, तो प्रगति स्पष्ट रूप से घट रही है;
3. अंत में, मामला $d=0$ है - इस मामले में पूरी प्रगति समान संख्याओं के एक स्थिर अनुक्रम में कम हो जाती है: (1; 1; 1; 1; ...), आदि।

आइए उपरोक्त तीन घटती प्रगति के लिए अंतर $d$ की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, यह किन्हीं दो आसन्न तत्वों (उदाहरण के लिए, पहला और दूसरा) को लेने के लिए पर्याप्त है और बाईं ओर की संख्या को दाईं ओर की संख्या से घटाएं। यह इस तरह दिखेगा:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$।

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीनों मामलों में अंतर वास्तव में नकारात्मक निकला। और अब जब हमने कमोबेश परिभाषाओं का पता लगा लिया है, तो यह पता लगाने का समय आ गया है कि प्रगति का वर्णन कैसे किया जाता है और उनके पास क्या गुण हैं।

प्रगति के सदस्य और आवर्तक सूत्र

चूंकि हमारे अनुक्रमों के तत्वों को आपस में बदला नहीं जा सकता है, उन्हें क्रमांकित किया जा सकता है:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\( ((ए)_(1)),\ ((ए)_(2)),((ए)_(3 )),... \सही\)\]

इस सेट के अलग-अलग तत्वों को प्रगति के सदस्य कहा जाता है। उन्हें एक संख्या की सहायता से इस प्रकार इंगित किया जाता है: पहला सदस्य, दूसरा सदस्य, इत्यादि।

इसके अलावा, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, प्रगति के पड़ोसी सदस्य सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

संक्षेप में, प्रगति के $n$वें पद को खोजने के लिए, आपको $n-1$वें पद और अंतर $d$ को जानना होगा। इस तरह के एक सूत्र को आवर्तक कहा जाता है, क्योंकि इसकी मदद से आप किसी भी संख्या को पा सकते हैं, केवल पिछले एक (और वास्तव में, सभी पिछले वाले) को जानकर। यह बहुत असुविधाजनक है, इसलिए एक जटिल सूत्र है जो किसी भी गणना को पहले पद और अंतर तक कम कर देता है:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

आप शायद पहले भी इस सूत्र के बारे में जान चुके हैं। वे उसे हर तरह की रेफरेंस बुक्स और रिशेबनिक देना पसंद करते हैं। और गणित पर किसी भी समझदार पाठ्यपुस्तक में, यह पहली में से एक है।

हालाँकि, मेरा सुझाव है कि आप थोड़ा अभ्यास करें।

टास्क नंबर 1. अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पदों को लिखें $\left(((a)_(n)) \right)$ अगर $((a)_(1))=8,d=-5$।

फेसला। तो, हम पहले पद $((a)_(1))=8$ और प्रगति अंतर $d=-5$ जानते हैं। आइए अभी दिए गए सूत्र का उपयोग करें और $n=1$, $n=2$ और $n=3$ को प्रतिस्थापित करें:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

उत्तर: (8; 3; -2)

बस इतना ही! ध्यान दें कि हमारी प्रगति घट रही है।

बेशक, $n=1$ को प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता था - हम पहले शब्द को पहले से ही जानते हैं। हालाँकि, इकाई को प्रतिस्थापित करके, हमने सुनिश्चित किया कि पहले कार्यकाल के लिए भी हमारा सूत्र काम करता है। अन्य मामलों में, सब कुछ केले के अंकगणित में आ गया।

टास्क नंबर 2. एक समांतर श्रेणी के प्रथम तीन पद लिखिए यदि इसका सातवाँ पद −40 है और इसका सत्रहवाँ पद −50 है।

फेसला। हम समस्या की स्थिति को सामान्य शब्दों में लिखते हैं:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और ((ए)_(7))=((ए)_(1))+6डी \\ और ((ए)_(17))=((ए) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\बाएं\( \शुरू (संरेखित) और ((ए)_(1))+6d=-40 \\ और ((ए)_(1))+16d=-50 \\ \end(संरेखित करें) \सही।\]

मैंने सिस्टम का संकेत दिया है क्योंकि इन आवश्यकताओं को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। और अब हम ध्यान दें कि यदि हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाते हैं (हमें ऐसा करने का अधिकार है, क्योंकि हमारे पास एक प्रणाली है), तो हमें यह मिलता है:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ और 10d=-10; \\&d=-1. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

ठीक उसी तरह, हमने प्रगति अंतर पाया! यह सिस्टम के किसी भी समीकरण में पाई गई संख्या को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है। उदाहरण के लिए, पहले में:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ए)_(1))=-40+6=-34. \\ \अंत (मैट्रिक्स)\]

अब, पहले पद और अंतर को जानने के बाद, दूसरे और तीसरे पदों को खोजना बाकी है:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

तैयार! समस्या सुलझ गयी।

उत्तर: (-34; -35; -36)

प्रगति की एक जिज्ञासु संपत्ति पर ध्यान दें जो हमने खोजा था: यदि हम $n$th और $m$th शब्द लेते हैं और उन्हें एक दूसरे से घटाते हैं, तो हमें प्रगति का अंतर $n-m$ संख्या से गुणा किया जाता है:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

एक सरल लेकिन बहुत उपयोगी गुण जो आपको निश्चित रूप से जानना चाहिए - इसकी मदद से, आप कई प्रगति समस्याओं के समाधान में काफी तेजी ला सकते हैं। यहाँ इसका एक प्रमुख उदाहरण है:

टास्क नंबर 3. समांतर श्रेणी का पाँचवाँ पद 8.4 है, और इसका दसवाँ पद 14.4 है। इस प्रगति का पंद्रहवाँ पद ज्ञात कीजिए।

फेसला। चूंकि $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, और हमें $((a)_(15))$ खोजने की जरूरत है, हम निम्नलिखित नोट करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(15))-((ए)_(10))=5डी; \\ और ((ए)_(10))-((ए)_(5))=5डी। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

लेकिन शर्त के अनुसार $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, इसलिए $5d=6$, जहां से हमारे पास है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(15))-14,4=6; \\ और ((ए)_(15))=6+14.4=20.4। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

उत्तर: 20.4

बस इतना ही! हमें समीकरणों की कोई प्रणाली बनाने और पहले पद और अंतर की गणना करने की आवश्यकता नहीं थी - सब कुछ सिर्फ एक-दो पंक्तियों में तय किया गया था।

अब आइए एक अन्य प्रकार की समस्या पर विचार करें - प्रगति के नकारात्मक और सकारात्मक सदस्यों की खोज। यह कोई रहस्य नहीं है कि यदि प्रगति बढ़ती है, जबकि इसका पहला कार्यकाल नकारात्मक है, तो देर-सबेर इसमें सकारात्मक शब्द दिखाई देंगे। और इसके विपरीत: घटती प्रगति की शर्तें जल्द या बाद में नकारात्मक हो जाएंगी।

उसी समय, इस क्षण को "माथे पर" खोजना हमेशा संभव नहीं होता है, क्रमिक रूप से तत्वों के माध्यम से छांटना। अक्सर, समस्याओं को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि सूत्रों को जाने बिना, गणना में कई शीट लग जाती हैं - हम तब तक सो जाते हैं जब तक हमें जवाब नहीं मिल जाता। इसलिए, हम इन समस्याओं को तेजी से हल करने का प्रयास करेंगे।

टास्क नंबर 4. समांतर श्रेणी में कितने ऋणात्मक पद हैं -38.5; -35.8; ...?

फेसला। तो, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, जिससे हम तुरंत अंतर पाते हैं:

ध्यान दें कि अंतर सकारात्मक है, इसलिए प्रगति बढ़ रही है। पहला पद ऋणात्मक है, इसलिए वास्तव में किसी बिंदु पर हम सकारात्मक संख्याओं पर ठोकर खाएंगे। एकमात्र सवाल यह है कि ऐसा कब होगा।

आइए पता लगाने की कोशिश करें: कब तक (यानी, किस प्राकृतिक संख्या $n$ तक) शर्तों की नकारात्मकता संरक्षित है:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\बाएं(n-1 \दाएं)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10\दाएं। \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ और 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अंतिम पंक्ति को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। तो हम जानते हैं कि $n \lt 15\frac(7)(27)$। दूसरी ओर, संख्या का केवल पूर्णांक मान हमें सूट करेगा (इसके अलावा: $n\in \mathbb(N)$), इसलिए सबसे बड़ी स्वीकार्य संख्या ठीक $n=15$ है, और किसी भी स्थिति में 16.

टास्क नंबर 5. अंकगणितीय प्रगति में $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$। इस प्रगति के पहले धनात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

यह ठीक वैसी ही समस्या होगी जैसी पिछली समस्या थी, लेकिन हम $((a)_(1))$ नहीं जानते हैं। लेकिन पड़ोसी शब्द ज्ञात हैं: $((a)_(5))$ और $((a)_(6))$, इसलिए हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

इसके अलावा, आइए मानक सूत्र का उपयोग करके पांचवें पद को पहले और अंतर के रूप में व्यक्त करने का प्रयास करें:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ और ((ए)_(5))=((ए)_(1))+4डी; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ और ((ए)_(1))=-150-12=-162। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अब हम पिछली समस्या के अनुरूप आगे बढ़ते हैं। हमें पता चलता है कि हमारे अनुक्रम में किस बिंदु पर सकारात्मक संख्याएँ दिखाई देंगी:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ और -162+3n-3 \gt 0; \\ और 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\दायां तीर ((n)_(\min ))=56. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इस असमानता का न्यूनतम पूर्णांक हल संख्या 56 है।

कृपया ध्यान दें कि पिछले कार्य में सब कुछ सख्त असमानता में कम हो गया था, इसलिए विकल्प $n=55$ हमें शोभा नहीं देगा।

अब जब हमने सीख लिया है कि सरल समस्याओं को कैसे हल किया जाए, तो आइए अधिक जटिल समस्याओं पर चलते हैं। लेकिन पहले, आइए अंकगणितीय प्रगति की एक और बहुत उपयोगी संपत्ति सीखते हैं, जो हमें भविष्य में बहुत समय और असमान कोशिकाओं को बचाएगा। :)

अंकगणित माध्य और समान इंडेंट

बढ़ती अंकगणितीय प्रगति $\left(((a)_(n)) \right)$ की लगातार कई शर्तों पर विचार करें। आइए उन्हें एक संख्या रेखा पर चिह्नित करने का प्रयास करें:

संख्या रेखा पर अंकगणितीय प्रगति सदस्य

मैंने विशेष रूप से मनमाने सदस्यों को नोट किया $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, और कोई $((a)_(1)) नहीं, \ ((ए)_(2)),\ ((ए)_(3))$ आदि। क्योंकि नियम, जो अब मैं आपको बताऊंगा, किसी भी "सेगमेंट" के लिए समान कार्य करता है।

और नियम बहुत सरल है। आइए पुनरावर्ती सूत्र को याद करें और इसे सभी चिह्नित सदस्यों के लिए लिखें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन-2))=((ए)_(एन-3))+डी; \\ और ((ए)_(एन-1))=((ए)_(एन-2))+डी; \\ और ((ए)_(एन))=((ए)_(एन-1))+डी; \\ और ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ और ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन+1))+डी; \\ \अंत (संरेखित करें)\]

हालाँकि, इन समानताओं को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(एन-1))=((ए)_(एन))-डी; \\ और ((ए)_(एन-2))=((ए)_(एन))-2डी; \\ और ((ए)_(एन-3))=((ए)_(एन)) -3 डी; \\ और ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ और ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन))+2डी; \\ और ((ए)_(एन+3))=((ए)_(एन))+3डी; \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अच्छा, तो क्या? लेकिन तथ्य यह है कि शब्द $((a)_(n-1))$ और $((a)_(n+1))$ $((a)_(n)) $ से समान दूरी पर स्थित हैं . और यह दूरी $d$ के बराबर है। $((a)_(n-2))$ और $((a)_(n+2))$ शब्दों के बारे में भी यही कहा जा सकता है - उन्हें $((a)_(n) से भी हटा दिया जाता है। )$ समान दूरी से $2d$ के बराबर। आप अनिश्चित काल तक जारी रख सकते हैं, लेकिन चित्र अर्थ को अच्छी तरह से दिखाता है

प्रगति के सदस्य केंद्र से समान दूरी पर स्थित हैं

हमारे लिए इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि यदि आप पड़ोसी संख्याएं ज्ञात हैं तो आप $((a)_(n))$ पा सकते हैं:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

हमने एक शानदार बयान निकाला है: अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य पड़ोसी सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है! इसके अलावा, हम अपने $((a)_(n))$ से बाईं ओर और दाईं ओर एक कदम से नहीं, बल्कि $k$ चरणों से विचलित हो सकते हैं - और फिर भी सूत्र सही होगा:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

वे। अगर हम $((a)_(100))$ और $((a)_(200))$ जानते हैं तो हम आसानी से कुछ $((a)_(150))$ पा सकते हैं, क्योंकि $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$। पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि यह तथ्य हमें कुछ भी उपयोगी नहीं देता है। हालांकि, व्यवहार में, अंकगणित माध्य के उपयोग के लिए कई कार्यों को विशेष रूप से "तेज" किया जाता है। जरा देखो तो:

टास्क नंबर 6. $x$ के सभी मान ज्ञात कीजिए कि संख्या $-6((x)^(2))$, $x+1$ और $14+4((x)^(2))$ लगातार सदस्य हैं एक अंकगणितीय प्रगति (निर्दिष्ट क्रम में)।

फेसला। चूंकि ये संख्याएं एक प्रगति के सदस्य हैं, उनके लिए अंकगणितीय माध्य स्थिति संतुष्ट है: केंद्रीय तत्व $x+1$ को पड़ोसी तत्वों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ और x+1=7-((x)^(2)); \\ और ((x)^(2))+x-6=0. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

परिणाम एक क्लासिक द्विघात समीकरण है। इसकी जड़ें: $x=2$ और $x=-3$ उत्तर हैं।

उत्तर: -3; 2.

टास्क नंबर 7. $$ का मान इस प्रकार ज्ञात कीजिए कि संख्याएँ $-1;4-3;(()^(2))+1$ एक अंकगणितीय प्रगति (उस क्रम में) बनाती हैं।

फेसला। फिर से, हम मध्य पद को पड़ोसी पदों के अंकगणितीय माध्य के रूप में व्यक्त करते हैं:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ और 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\दाएं।; \\ और 8x-6=((x)^(2))+x; \\ और ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

एक और द्विघात समीकरण। और फिर से दो जड़ें: $x=6$ और $x=1$।

उत्तर 1; 6.

यदि किसी समस्या को हल करने की प्रक्रिया में आपको कुछ क्रूर संख्याएँ मिलती हैं, या आप पाए गए उत्तरों की शुद्धता के बारे में पूरी तरह से सुनिश्चित नहीं हैं, तो एक अद्भुत तरकीब है जो आपको जाँचने की अनुमति देती है: क्या हमने समस्या को सही ढंग से हल किया?

मान लें कि समस्या 6 में हमें उत्तर -3 और 2 मिले हैं। हम कैसे जांच सकते हैं कि ये उत्तर सही हैं? आइए बस उन्हें मूल स्थिति में प्लग करें और देखें कि क्या होता है। मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास तीन नंबर हैं ($-6(()^(2))$, $+1$ और $14+4(()^(2))$), जो एक अंकगणितीय प्रगति का निर्माण करना चाहिए। स्थानापन्न $x=-3$:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x=-3\दायां तीर \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ और 14+4((x)^(2))=50. \end(संरेखित)\]

हमें संख्या -54 मिली; -2; 50 जो 52 से भिन्न है, निस्संदेह एक अंकगणितीय प्रगति है। $x=2$ के लिए भी यही बात होती है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x=2\दायां तीर \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ और 14+4((x)^(2))=30. \end(संरेखित करें)\]

फिर से एक प्रगति, लेकिन 27 के अंतर के साथ। इस प्रकार, समस्या सही ढंग से हल हो गई है। जो चाहते हैं वे अपने आप दूसरे कार्य की जांच कर सकते हैं, लेकिन मैं तुरंत कहूंगा: वहां भी सब कुछ सही है।

सामान्य तौर पर, पिछली समस्याओं को हल करते समय, हमने एक और दिलचस्प तथ्य पर ठोकर खाई, जिसे याद रखने की भी आवश्यकता है:

यदि तीन संख्याएँ ऐसी हैं कि दूसरी पहली और अंतिम का औसत है, तो ये संख्याएँ एक समान्तर श्रेणी बनाती हैं।

भविष्य में, इस कथन को समझने से हम समस्या की स्थिति के आधार पर आवश्यक प्रगति का शाब्दिक रूप से "निर्माण" कर सकेंगे। लेकिन इससे पहले कि हम इस तरह के "निर्माण" में शामिल हों, हमें एक और तथ्य पर ध्यान देना चाहिए, जो सीधे पहले से ही माना गया है।

तत्वों का समूहन और योग

चलिए फिर से संख्या रेखा पर चलते हैं। हम वहाँ प्रगति के कई सदस्यों को नोट करते हैं, जिनके बीच, शायद। कई अन्य सदस्यों के लायक:

संख्या रेखा पर 6 तत्व अंकित हैं

आइए $((a)_(n))$ और $d$ के संदर्भ में "बाएं पूंछ" को व्यक्त करने का प्रयास करें, और "दाएं पूंछ" को $((a)_(k))$ और $ के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास करें घ $। यह बहुत सरल है:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ और ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन))+2डी; \\ और ((ए)_(के-1))=((ए)_(के))-डी; \\ और ((ए)_(के-2))=((ए)_(के))-2डी। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अब ध्यान दें कि निम्नलिखित योग बराबर हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन))+((ए)_(के))=एस; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= एस; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= एस। \end(संरेखित करें)\]

सीधे शब्दों में कहें, अगर हम प्रगति के दो तत्वों को एक शुरुआत के रूप में मानते हैं, जो कुल मिलाकर कुछ संख्या $S$ के बराबर हैं, और फिर हम इन तत्वों से विपरीत दिशाओं में कदम रखना शुरू करते हैं (एक दूसरे की ओर या इसके विपरीत दूर जाने के लिए), तब जिन तत्वों पर हम ठोकर खाएंगे उनका योग भी बराबर होगा$ एस $। इसे ग्राफिक रूप से सबसे अच्छा दर्शाया जा सकता है:

वही इंडेंट बराबर रकम देते हैं

इस तथ्य को समझना हमें उन समस्याओं की तुलना में मौलिक रूप से उच्च स्तर की जटिलता की समस्याओं को हल करने की अनुमति देगा जिन्हें हमने ऊपर माना था। उदाहरण के लिए, ये:

टास्क नंबर 8. एक समांतर श्रेणी का अंतर ज्ञात कीजिए जिसमें पहला पद 66 है, और दूसरे और बारहवें पदों का गुणनफल सबसे छोटा संभव है।

फेसला। आइए वह सब कुछ लिखें जो हम जानते हैं:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min । \end(संरेखित)\]

इसलिए, हम प्रगति $d$ के अंतर को नहीं जानते हैं। वास्तव में, पूरा समाधान अंतर के आसपास बनाया जाएगा, क्योंकि उत्पाद $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)। \end(संरेखित करें)\]

टैंक में उन लोगों के लिए: मैंने दूसरे ब्रैकेट से सामान्य कारक 11 लिया है। इस प्रकार, वांछित उत्पाद चर $d$ के संबंध में एक द्विघात फलन है। इसलिए, फ़ंक्शन पर विचार करें $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - इसका ग्राफ शाखाओं के साथ एक परवलय होगा, क्योंकि यदि हम कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

\[\प्रारंभ (संरेखण) और f\बाएं(डी \दाएं)=11\बाएं(((डी)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ और =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, उच्चतम पद के साथ गुणांक 11 है - यह एक सकारात्मक संख्या है, इसलिए हम वास्तव में शाखाओं के साथ एक परवलय के साथ काम कर रहे हैं:

द्विघात फलन का आलेख - परवलय

कृपया ध्यान दें: यह परवलय अपने शीर्ष पर भुज $((d)_(0))$ के साथ अपना न्यूनतम मान लेता है। बेशक, हम मानक योजना के अनुसार इस एब्सिस्सा की गणना कर सकते हैं (एक सूत्र है $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), लेकिन यह बहुत अधिक उचित होगा ध्यान दें कि वांछित शीर्ष परवलय के अक्ष समरूपता पर स्थित है, इसलिए बिंदु $((d)_(0))$ समीकरण की जड़ों से समान दूरी पर है $f\left(d \right)=0$:

\[\शुरू(संरेखित करें) और f\बाएं(डी\दाएं)=0; \\ और 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इसलिए मुझे कोष्ठक खोलने की कोई जल्दी नहीं थी: मूल रूप में, जड़ें बहुत, बहुत आसान थीं। इसलिए, भुज −66 और −6 की संख्याओं के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

\[((डी)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

हमें खोजा गया नंबर क्या देता है? इसके साथ, आवश्यक उत्पाद सबसे छोटा मूल्य लेता है (वैसे, हमने $((y)_(\min ))$ की गणना नहीं की - यह हमारे लिए आवश्यक नहीं है)। इसी समय, यह संख्या प्रारंभिक प्रगति का अंतर है, अर्थात। हमें जवाब मिल गया। :)

उत्तर:-36

टास्क नंबर 9. संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $-\frac(1)(6)$ के बीच तीन संख्याएं डालें ताकि दी गई संख्याओं के साथ मिलकर वे एक अंकगणितीय प्रगति करें।

फेसला। वास्तव में, हमें पांच संख्याओं का एक क्रम बनाने की आवश्यकता है, जिसमें पहली और अंतिम संख्या पहले से ही ज्ञात हो। लापता संख्याओं को चर $x$, $y$ और $z$ द्वारा निरूपित करें:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\(-\frac(1)(2));x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

ध्यान दें कि संख्या $y$ हमारे अनुक्रम का "मध्य" है - यह संख्याओं $x$ और $z$ से समान दूरी पर है, और संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $-\frac से समान दूरी पर है। (1)(6)$। और अगर इस समय हम $x$ और $z$ संख्याओं से $y$ प्राप्त नहीं कर सकते हैं, तो प्रगति के अंत के साथ स्थिति अलग है। अंकगणित माध्य याद रखें:

अब, $y$ जानने के बाद, हम शेष संख्याएँ ज्ञात करेंगे। ध्यान दें कि $x$ $-\frac(1)(2)$ और $y=-\frac(1)(3)$ के बीच स्थित है। इसलिए

इसी तरह तर्क करने पर, हम शेष संख्या पाते हैं:

तैयार! हमें तीनों नंबर मिले। आइए उन्हें उत्तर में उस क्रम में लिखें जिसमें उन्हें मूल संख्याओं के बीच डाला जाना चाहिए।

उत्तर: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

टास्क नंबर 10. संख्या 2 और 42 के बीच, कई संख्याएँ डालें, जो दी गई संख्याओं के साथ, एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं, यदि यह ज्ञात है कि सम्मिलित संख्याओं में से पहली, दूसरी और अंतिम संख्या का योग 56 है।

फेसला। एक और भी कठिन कार्य, जो, हालांकि, पिछले वाले की तरह ही हल किया जाता है - अंकगणितीय माध्य के माध्यम से। समस्या यह है कि हम नहीं जानते कि कितनी संख्याएँ सम्मिलित करनी हैं। इसलिए, निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि डालने के बाद बिल्कुल $n$ संख्याएं होंगी, और उनमें से पहला 2 है, और अंतिम 42 है। इस मामले में, वांछित अंकगणितीय प्रगति को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\( 2;((ए)_(2));((ए)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

हालाँकि, ध्यान दें कि संख्या $((a)_(2))$ और $((a)_(n-1))$ एक दूसरे की ओर एक कदम से किनारों पर खड़ी संख्या 2 और 42 से प्राप्त की जाती हैं। , यानी। अनुक्रम के केंद्र में। और इसका मतलब है कि

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

लेकिन फिर उपरोक्त अभिव्यक्ति को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(2))+((ए)_(3))+((ए)_(एन-1))=56; \\ और \बाएं(((ए)_(2))+((ए)_(एन-1)) \दाएं)+((ए)_(3))=56; \\ और 44+((ए)_(3))=56; \\ और ((ए)_(3))=56-44=12। \\ \अंत (संरेखित करें)\]

$((a)_(3))$ और $((a)_(1))$ जानने के बाद, हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(3))-((ए)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ और 2d=10\दायां तीर d=5. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

यह केवल शेष सदस्यों को खोजने के लिए बनी हुई है:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(1))=2; \\ और ((ए)_(2))=2+5=7; \\ और ((ए)_(3))=12; \\ और ((ए)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ और ((ए)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ और ((ए)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ और ((ए)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ और ((ए)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ और ((ए)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \अंत (संरेखित करें)\]

इस प्रकार, पहले से ही 9 वें चरण में हम अनुक्रम के बाएं छोर पर आएंगे - संख्या 42। कुल मिलाकर, केवल 7 संख्याओं को सम्मिलित करना था: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

उत्तर: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

प्रगति के साथ पाठ कार्य

अंत में, मैं कुछ अपेक्षाकृत सरल समस्याओं पर विचार करना चाहूंगा। ठीक है, साधारण लोगों के रूप में: अधिकांश छात्रों के लिए जो स्कूल में गणित पढ़ते हैं और जो ऊपर लिखा है उसे नहीं पढ़ा है, ये कार्य एक इशारे की तरह लग सकते हैं। फिर भी, यह ठीक ऐसे कार्य हैं जो गणित में OGE और USE में आते हैं, इसलिए मेरा सुझाव है कि आप उनसे स्वयं को परिचित करें।

टास्क नंबर 11. टीम ने जनवरी में 62 भागों का उत्पादन किया, और प्रत्येक बाद के महीने में उन्होंने पिछले एक की तुलना में 14 अधिक भागों का उत्पादन किया। नवंबर में ब्रिगेड ने कितने पुर्जे तैयार किए?

फेसला। जाहिर है, महीने के हिसाब से चित्रित भागों की संख्या एक बढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति होगी। और:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ और ((ए)_(एन))=62+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 14. \\ \end(align)\]

नवंबर साल का 11वां महीना है, इसलिए हमें $((a)_(11))$ खोजने की जरूरत है:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

इसलिए नवंबर में 202 पार्ट्स का निर्माण किया जाएगा।

टास्क नंबर 12. बुकबाइंडिंग वर्कशॉप ने जनवरी में 216 पुस्तकों को बाध्य किया, और हर महीने इसमें पिछले महीने की तुलना में 4 अधिक पुस्तकें थीं। वर्कशॉप ने दिसंबर में कितनी किताबें बांधीं?

फेसला। सब एक जैसे:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ और ((ए)_(एन))=216+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 4. \\ \end(align)$

दिसंबर साल का आखिरी, 12वां महीना है, इसलिए हम $((a)_(12))$ की तलाश कर रहे हैं:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ये है जवाब- 260 किताबें दिसंबर में बंधी होंगी।

ठीक है, अगर आपने इसे अब तक पढ़ा है, तो मैं आपको बधाई देने के लिए जल्दबाजी करता हूं: आपने अंकगणितीय प्रगति में "युवा लड़ाकू पाठ्यक्रम" को सफलतापूर्वक पूरा कर लिया है। हम सुरक्षित रूप से अगले पाठ पर आगे बढ़ सकते हैं, जहां हम प्रगति योग सूत्र का अध्ययन करेंगे, साथ ही इसके महत्वपूर्ण और बहुत उपयोगी परिणामों का भी अध्ययन करेंगे।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम \(2\); \(5\); \(आठ\); \(ग्यारह\); \(14\)… एक अंकगणितीय प्रगति है, क्योंकि प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से तीन से भिन्न होता है (पिछले एक से तीन जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है):

इस प्रगति में, अंतर \(d\) धनात्मक (\(3\) के बराबर) है, और इसलिए प्रत्येक अगला पद पिछले एक से बड़ा है। ऐसी प्रगति कहलाती है की बढ़ती.

हालाँकि, \(d\) एक ऋणात्मक संख्या भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति में \(16\); \(दस\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… प्रगति अंतर \(d\) शून्य से छह के बराबर है।

और इस मामले में, प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से छोटा होगा। इन प्रगतियों को कहा जाता है घटते.

अंकगणित प्रगति संकेतन

प्रगति को एक छोटे लैटिन अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

वे संख्याएँ जो एक प्रगति का निर्माण करती हैं, कहलाती हैं I सदस्यों(या तत्व)।

उन्हें अंकगणितीय प्रगति के समान अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है, लेकिन क्रम में तत्व संख्या के बराबर एक संख्यात्मक सूचकांक के साथ।

उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) में तत्व होते हैं \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) इत्यादि।

दूसरे शब्दों में, प्रगति के लिए \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)

अंकगणितीय प्रगति पर समस्याओं को हल करना

सिद्धांत रूप में, उपरोक्त जानकारी पहले से ही एक अंकगणितीय प्रगति पर लगभग किसी भी समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त है (ओजीई में प्रस्तावित सहित)।

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(b_1=7; d=4\) द्वारा दी गई है। \(b_5\) खोजें।
फेसला:

जवाब: \(b_5=23\)

उदाहरण (ओजीई)। एक समांतर श्रेणी के पहले तीन पद दिए गए हैं: \(62; 49; 36…\) इस प्रगति के पहले ऋणात्मक पद का मान ज्ञात कीजिए।
फेसला:

	हमें अनुक्रम के पहले तत्व दिए गए हैं और जानते हैं कि यह एक अंकगणितीय प्रगति है। अर्थात्, प्रत्येक तत्व पड़ोसी से समान संख्या में भिन्न होता है। अगले तत्व से पिछले वाले को घटाकर पता लगाएं: \(d=49-62=-13\)।
	अब हम अपनी प्रगति को वांछित (पहले नकारात्मक) तत्व में पुनर्स्थापित कर सकते हैं।
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं।

जवाब: \(-3\)

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति के कई क्रमिक तत्व दिए गए हैं: \(...5; x; 10; 12.5...\) अक्षर \(x\) द्वारा निरूपित तत्व का मान ज्ञात कीजिए।
फेसला:

	\(x\) को खोजने के लिए, हमें यह जानना होगा कि अगला तत्व पिछले एक से कितना भिन्न है, दूसरे शब्दों में, प्रगति अंतर। आइए इसे दो ज्ञात पड़ोसी तत्वों से खोजें: \(d=12.5-10=2.5\)।
	और अब हम बिना किसी समस्या के वह पाते हैं जो हम खोज रहे हैं: \(x=5+2.5=7.5\)।
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं।

जवाब: \(7,5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति निम्नलिखित शर्तों द्वारा दी गई है: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) इस प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।
फेसला:

	हमें प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात करना होगा। लेकिन हम उनका अर्थ नहीं जानते हैं, हमें केवल पहला तत्व दिया गया है। इसलिए, हम पहले हमें दिए गए मानों का उपयोग करके बदले में मूल्यों की गणना करते हैं: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) और हमें आवश्यक छह तत्वों की गणना करने के बाद, हम उनका योग पाते हैं।
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	मांगी गई राशि मिल गई है।

जवाब: \(S_6=9\)।

उदाहरण (ओजीई)। समांतर श्रेणी में \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\)। इस प्रगति का अंतर ज्ञात कीजिए।
फेसला:

जवाब: \(डी=7\)।

महत्वपूर्ण अंकगणितीय प्रगति सूत्र

जैसा कि आप देख सकते हैं, कई अंकगणितीय प्रगति की समस्याओं को केवल मुख्य बात को समझकर हल किया जा सकता है - कि एक अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है, और इस श्रृंखला में प्रत्येक अगला तत्व समान संख्या को पिछले एक में जोड़कर प्राप्त किया जाता है (अंतर प्रगति के)।

हालांकि, कभी-कभी ऐसी स्थितियां होती हैं जब "माथे पर" हल करना बहुत असुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, कल्पना कीजिए कि पहले उदाहरण में, हमें पाँचवाँ तत्व \(b_5\) नहीं, बल्कि तीन सौ छियासी \(b_(386)\) खोजने की आवश्यकता है। यह क्या है, हम \ (385 \) बार चार जोड़ने के लिए? या कल्पना कीजिए कि अंतिम उदाहरण में, आपको पहले सत्तर-तीन तत्वों का योग ज्ञात करना होगा। काउंटिंग उलझी हुई है...

इसलिए, ऐसे मामलों में, वे "माथे पर" हल नहीं करते हैं, लेकिन अंकगणितीय प्रगति के लिए प्राप्त विशेष सूत्रों का उपयोग करते हैं। और मुख्य हैं प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र और पहले पदों के योग \(n\) के लिए सूत्र।

\(n\)वें सदस्य के लिए सूत्र: \(a_n=a_1+(n-1)d\), जहां \(a_1\) प्रगति का पहला सदस्य है;
\(n\) - आवश्यक तत्व की संख्या;
\(a_n\) संख्या \(n\) के साथ प्रगति का सदस्य है।

यह सूत्र हमें केवल पहले और प्रगति अंतर को जानकर, कम से कम तीन सौवां, यहां तक ​​​​कि दसवां तत्व भी जल्दी से खोजने की अनुमति देता है।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है: \(b_1=-159\); \(डी=8,2\)। \(b_(246)\) खोजें।
फेसला:

जवाब: \(b_(246)=1850\)।

पहले n पदों के योग का सूत्र है: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), जहां

\(a_n\) अंतिम योग शब्द है;

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(a_n=3.4n-0.6\) द्वारा दी गई है। इस प्रगति के पहले \(25\) पदों का योग ज्ञात कीजिए।
फेसला:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		पहले पच्चीस तत्वों के योग की गणना करने के लिए, हमें पहले और पच्चीसवें पद का मान जानना होगा। हमारी प्रगति इसकी संख्या के आधार पर nवें पद के सूत्र द्वारा दी गई है (विवरण देखें)। आइए \(n\) को एक के साथ बदलकर पहले तत्व की गणना करें।
\(n=1;\) \(a_1=3.4 1-0.6=2.8\)		अब \(n\) के स्थान पर पच्चीस को प्रतिस्थापित करके पच्चीसवाँ पद ज्ञात करते हैं।
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4 25-0.6=84.4\)		खैर, अब हम बिना किसी समस्या के आवश्यक राशि की गणना करते हैं।
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		जवाब तैयार है।

जवाब: \(एस_(25)=1090\)।

पहली शर्तों के योग \(n\) के लिए, आप एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं: आपको बस \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ की आवश्यकता है। (\cdot 25\ ) के बजाय \(a_n\) इसके लिए सूत्र को प्रतिस्थापित करें \(a_n=a_1+(n-1)d\)। हम पाते हैं:

पहले n पदों के योग का सूत्र है: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), जहां

\(S_n\) - पहले तत्वों का आवश्यक योग \(n\);
\(a_1\) पहला पद है जिसका योग किया जाना है;
\(डी\) - प्रगति अंतर;
\(n\) - योग में तत्वों की संख्या।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति के पहले \(33\)-पूर्व पदों का योग ज्ञात कीजिए: \(17\); \(15,5\); \(चौदह\)…
फेसला:

जवाब: \(एस_(33)=-231\)।

अधिक जटिल अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं

अब आपके पास लगभग किसी भी अंकगणितीय प्रगति समस्या को हल करने के लिए आवश्यक सभी जानकारी है। आइए उन समस्याओं पर विचार करके विषय को समाप्त करें जिनमें आपको न केवल सूत्र लागू करने की आवश्यकता है, बल्कि थोड़ा सोचना भी है (गणित में, यह उपयोगी हो सकता है ☺)

उदाहरण (ओजीई)। प्रगति के सभी ऋणात्मक पदों का योग ज्ञात कीजिए: \(-19.3\); \(-उन्नीस\); \(-18.7\)…
फेसला:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		कार्य पिछले एक के समान ही है। हम उसी तरह हल करना शुरू करते हैं: पहले हम \(d\) पाते हैं।
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		अब हम योग के सूत्र में \(d\) को प्रतिस्थापित करेंगे ... और यहां एक छोटी सी बारीकियां सामने आती हैं - हम नहीं जानते \(n\)। दूसरे शब्दों में, हम नहीं जानते कि कितने शब्दों को जोड़ने की आवश्यकता होगी। कैसे पता करें? चलो सोचते है। जब हम पहले सकारात्मक तत्व पर पहुंचेंगे तो हम तत्वों को जोड़ना बंद कर देंगे। यही है, आपको इस तत्व की संख्या का पता लगाना होगा। कैसे? आइए अंकगणितीय प्रगति के किसी भी तत्व की गणना के लिए सूत्र लिखें: \(a_n=a_1+(n-1)d\) हमारे मामले के लिए।
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\)		शून्य से बड़ा होने के लिए हमें \(a_n\) की आवश्यकता है। आइए जानें कि यह किस लिए \(n\) होगा।
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\)
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\)		हम असमानता के दोनों पक्षों को \(0,3\) से विभाजित करते हैं।
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		हम माइनस वन ट्रांसफर करते हैं, संकेत बदलना नहीं भूलते
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		कम्प्यूटिंग...
\(n>65,333…\)		...और यह पता चला है कि पहले सकारात्मक तत्व की संख्या \(66\) होगी। तदनुसार, अंतिम ऋणात्मक में \(n=65\) है। बस मामले में, आइए इसे देखें।
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1) 0.3=0.2\)		इस प्रकार, हमें पहले \(65\) तत्वों को जोड़ने की जरूरत है।
\(एस_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		जवाब तैयार है।

जवाब: \(एस_(65)=-630.5\)।

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा दी गई है: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\)। \(26\)वें से \(42\) तक के योग का योग ज्ञात कीजिए।
फेसला:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	इस समस्या में, आपको तत्वों का योग भी खोजना होगा, लेकिन पहले से नहीं, बल्कि \(26\)वें से शुरू करना होगा। हमारे पास इसका कोई फॉर्मूला नहीं है। कैसे तय करें? आसान - \(26\)th से \(42\)th तक का योग प्राप्त करने के लिए, आपको पहले \(1\)th से \(42\)th तक का योग निकालना होगा, और फिर उसमें से योग को घटाना होगा पहले से \ (25 \) वें (चित्र देखें)।
	हमारी प्रगति \(a_1=-33\), और अंतर \(d=4\) के लिए (आखिरकार, हम अगले तत्व को खोजने के लिए पिछले तत्व में चार जोड़ते हैं)। यह जानने के बाद, हम पहले \(42\)-उह तत्वों का योग पाते हैं।
\(एस_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	अब पहले \(25\)-वें तत्वों का योग।
\(एस_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	और अंत में, हम उत्तर की गणना करते हैं।
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

जवाब: \(एस=1683\)।

अंकगणितीय प्रगति के लिए, कई और सूत्र हैं जिन पर हमने उनकी कम व्यावहारिक उपयोगिता के कारण इस लेख में विचार नहीं किया है। हालाँकि, आप उन्हें आसानी से पा सकते हैं।