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कक्षा 10-11 के साथ-साथ शिक्षकों के लिए परीक्षा के लिए तैयारी पाठ्यक्रम। गणित में परीक्षा के भाग 1 (पहली 12 समस्याएं) और समस्या 13 (त्रिकोणमिति) को हल करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए। और यह एकीकृत राज्य परीक्षा पर 70 से अधिक अंक है, और न तो सौ अंकों का छात्र और न ही कोई मानवतावादी उनके बिना कर सकता है।

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पाठ्यक्रम में 5 बड़े विषय हैं, प्रत्येक में 2.5 घंटे। प्रत्येक विषय खरोंच से, सरल और स्पष्ट रूप से दिया गया है।

सैकड़ों परीक्षा कार्य। पाठ समस्याएं और संभाव्यता सिद्धांत। सरल और याद रखने में आसान समस्या समाधान एल्गोरिदम। ज्यामिति। सिद्धांत, संदर्भ सामग्री, सभी प्रकार के USE कार्यों का विश्लेषण। स्टीरियोमेट्री। हल करने के लिए चालाक तरकीबें, उपयोगी चीट शीट, स्थानिक कल्पना का विकास। खरोंच से त्रिकोणमिति - कार्य करने के लिए 13. रटना के बजाय समझना। जटिल अवधारणाओं की दृश्य व्याख्या। बीजगणित। जड़ें, शक्तियां और लघुगणक, कार्य और व्युत्पन्न। परीक्षा के दूसरे भाग की जटिल समस्याओं को हल करने का आधार।

प-राल-ले-लो-ग्राम-मा के लक्षण

1. समांतर चतुर्भुज की परिभाषा और मूल गुण

आइए इस तथ्य से शुरू करें कि हमें प-राल-ले-लो-ग्राम-मा की परिभाषा याद है।

परिभाषा। चतुर्भुज- फोर-यू-रेख-कोल-निक, समवन-रो-गो में पैरा-राल-लेल-नी के दो प्रो-टी-इन-ऑन-फॉल्स पक्ष हैं (चित्र देखें। एक)।

चावल। 1. पा-राल-ले-लो-ग्राम

याद करना pa-ral-le-lo-gram-ma . के मूल नए गुण:

इन सभी गुणों का उपयोग करने में सक्षम होने के लिए, आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि फाई-गु-रा, ओह कोई - प्रश्न में रॉय, - पा-राल-ले-लो-ग्राम। इसके लिए प-राल-ले-लो-ग्राम-मा के लक्षण जैसे तथ्यों को जानना आवश्यक है। उनमें से पहले दो आज हम देख रहे हैं।

2. समांतर चतुर्भुज का पहला चिन्ह

प्रमेय। प-राल-ले-लो-ग्राम-मा का पहला चिन्ह।यदि फोर-यू-रेख-कोल-नी-के में दो प्रो-टी-इन-फॉल्स समान और पार-राल-लेल-ना हैं, तो यह फोर-यू-रेख-कोयला- उपनाम - समानांतर चतुर्भुज. .

चावल। 2. प-राल-ले-लो-ग्राम-मा की पहली निशानी

सबूत। फोर-रेख-कोयला-नी-के दीया-गो-नाल में हम-हम-वे-डेम (चित्र 2 देखें), उसने इसे दो त्रिभुजों-नो-का में विभाजित किया। लिखिए कि हम इन त्रिभुजों के बारे में क्या जानते हैं:

त्रिभुजों की समानता के पहले संकेत के अनुसार।

संकेतित त्रिभुजों की समानता से, यह इस प्रकार है कि, सीधी रेखाओं के पार-राल-लेल-नो-स्टी के संकेत के अनुसार जब फिर से-से-चे-नी उनके से-कु-स्ची। हमारे पास वह है:

पहले-के लिए-लेकिन।

3. समांतर चतुर्भुज का दूसरा चिन्ह

प्रमेय। दूसरा झुंड प-राल-ले-लो-ग्राम-मा का प्रतीक है।यदि फोर-यू-रेख-कोयला-नी-के में, हर दो प्रो-टी-इन-फॉल्स समान हैं, तो यह फोर-यू-रेख-कोयला-निक – समानांतर चतुर्भुज. .

चावल। 3. दूसरा झुंड चिन्ह पा-राल-ले-लो-ग्राम-मा

सबूत। फोर-यू-रेख-कोयला-नी-के दीया-गो-नल में हम-हम-वे-डेम (चित्र 3 देखें), वह इसे दो त्रिभुजों-नो-का में विभाजित करती है। हम लिखते हैं कि हम इन त्रिकोणों के बारे में क्या जानते हैं, for-mu-li-ditch-ki theo-re-we से आगे बढ़ते हुए:

त्रिभुजों की समानता के तीसरे चिन्ह के अनुसार।

त्रिभुजों की समानता से, यह इस प्रकार है कि, सीधी रेखाओं के पार-राल-ले-नो-स्टी के संकेत के अनुसार जब उन्हें फिर से-से-चे-इंग से-कु-स्ची। बाय-लू-चा-ईट:

पा-राल-ले-लो-ग्राम परिभाषा के अनुसार-दे-ले-नी। क्यू.ई.डी.

पहले-के लिए-लेकिन।

4. समांतर चतुर्भुज की पहली विशेषता का उपयोग करने का एक उदाहरण

रास-पा-राल-ले-लो-ग्राम-मा के संकेतों के अनुप्रयोग के एक उदाहरण को देखें।

उदाहरण 1. you-far-scrap-che-you-rex-coal-no-ke में खोजें: a) फोर-यू-रेक्स-कोल-नो-का के कोने; बी) सौ-आरओ-वेल।

समाधान। छवि-रा-शीतकालीन अंजीर। चार।

प-राल-ले-लो-ग्राम पहले संकेत के अनुसार-कू प-राल-ले-लो-ग्राम-मा।

लेकिन। पैरा-ले-लो-ग्राम-मा की संपत्ति के अनुसार प्रो-टी-इन-फॉल्स-कोण के बारे में, पैरा-ले-लो-ग्राम-मा की संपत्ति के अनुसार कोणों के योग के बारे में, एक से झूठ बोलना पक्ष।

बी। प्रो-टाई-ऑन-फॉल्स पक्षों की समानता की संपत्ति द्वारा।

पुन: पर हस्ताक्षर pa-ral-le-lo-gram-ma

5. दोहराव: समांतर चतुर्भुज की परिभाषा और गुण

ऑन-रिमाइंडर कि समानांतर चतुर्भुज- यह फोर-यू-रेख-कोयला-निक है, किसी के पास जोड़ी-पर-पा-राल-लेल-ना में प्रो-टी-इन-ऑन-फॉल्स पक्ष हैं। अर्थात्, यदि - प-राल-ले-लो-ग्राम, तो (अंजीर देखें। 1)।

पा-राल-ले-लो-ग्राम में गुणों की एक पूरी श्रृंखला है: प्रो-टी-इन-ऑन-फॉल्स कोण बराबर हैं (), प्रो-टी-इन-ऑन-फॉल्स सौ-रो-हम बराबर हैं ( ) इसके अलावा, दीया-गो-ऑन-चाहे पार-राल-ले-लो-ग्राम-मा री-से-चे-निया डे-ल्यत-बाय-लाम के बिंदु पर, कोणों का योग, एट-ले- प-राल-ले-लो-ग्राम-मा, किसी भी भुजा के बराबर, बराबर, आदि।

लेकिन इन सभी गुणों का उपयोग करने के लिए, अब-सो-ल्यूट-लेकिन निश्चित-हम होना आवश्यक है कि दौड़ री-वा-ए-माई चे-यू-रेख-कोल-निक-पा-राल-ले- लो-ग्राम। इसके लिए पर-राल-ले-लो-ग्राम-मा के संकेत हैं: अर्थात्, वे तथ्य जिनसे कोई एक-मूल्यवान निष्कर्ष निकाल सकता है, वह चे-यू-रेख-कोयला-निक यव-ला-एट -सया पा-राल-ले-लो-ग्राम-माँ। पिछले पाठ में, हम पहले ही दो विशेषताओं पर विचार कर चुके हैं। इस घंटे, हम तीसरे को देख रहे हैं।

6. समांतर चतुर्भुज की तीसरी विशेषता और उसका प्रमाण

अगर फोर-यू-रेख-कोयला-नी-के दीया-गो-ना-ली में फिर से चे-निया दे-ल्यत-बाय-लाम के बिंदु पर, तो यह चार-आप- रेह-कोयला-निक यव-ला-एट-स्या पा-राल-ले-लो-ग्राम-माँ।

दिया गया:

चे-यू-रे-कोयला-निक; ; .

सिद्ध करना:

समांतर चतुर्भुज।

सबूत:

इस तथ्य को सिद्ध करने के लिए प-राल-ले-लो-ग्राम-मा की भुजाओं के परा-राल-ले-नेस को सिद्ध करना आवश्यक है। और इन सीधी रेखाओं पर आंतरिक-से-से-क्रॉस झूठ कोणों की समानता के माध्यम से सीधी रेखाओं का पैरा-राल-ले-नेस सबसे अधिक बार-का-ज़ी-वा-एट-स्या तक होता है . इस तरह, न-प्रा-शि-वा-एत-स्या नेक्स्ट-डु-यू-शे रास्ता टू-का-फॉर-टेल-स्टवा तीसरे साइन-ऑफ-पा-राल-ले-लो-ग्राम- मा: त्रिभुजों की समानता के माध्यम से-नी-कोव .

आइए इन त्रिभुजों की समानता की प्रतीक्षा करें। दरअसल, शर्त से इस प्रकार है:। इसके अलावा, चूंकि कोण लंबवत हैं, वे बराबर हैं। वह है:

(समानता का पहला संकेतत्रिकोणीय-नि-कोव- दो सौ-रो-हम और उनके बीच का कोण)।

त्रिभुजों की समानता से: (चूंकि क्रॉस पर आंतरिक कोण इन सीधी रेखाओं और se-ku-schey पर बराबर होते हैं)। इसके अलावा, त्रिभुजों की समानता से, यह इस प्रकार है। इसका मतलब है कि हम हैं, जैसे, ची-ली, कि चार-तुम-रेख-कोयला-नी-के में दो पक्ष बराबर हैं और पर-रल-लेल-ना। पहली राशि के अनुसार प-राल-ले-लो-ग्राम-मा:- प-राल-ले-लो-ग्राम।

पहले-के लिए-लेकिन।

7. समांतर चतुर्भुज और सामान्यीकरण की तीसरी विशेषता पर एक समस्या का एक उदाहरण

रस-देखो पैरा-राल-ले-लो-ग्राम-मा के तीसरे चिन्ह के प्रयोग का एक उदाहरण।

उदाहरण 1

दिया गया:

- समांतर चतुर्भुज; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (चित्र 2 देखें)।

सिद्ध करना:- पा-राल-ले-लो-ग्राम।

सबूत:

तो, फोर-यू-रेख-कोयला-नो-के दीया-गो-ना-ली में री-से-चे-निया दे-ल्यत-स्या-बाय-लम के बिंदु पर। तीसरी राशि के अनुसार, प-रल-ले-लो-ग्राम-मा, इससे यह निकलता है कि - प-राल-ले-लो-ग्राम।

पहले-के लिए-लेकिन।

यदि हम प-राल-ले-लो-ग्राम-मा के तीसरे चिन्ह का विश्लेषण करते हैं, तो हम देख सकते हैं कि यह चिन्ह सह-ओट-उत्तर है- इसमें पार-राल-ले-लो-ग्राम-मा का गुण है। यही है, तथ्य यह है कि दीया-गो-ना-चाहे वे दे-ल्यत-बाय-लाम, इस-ला-एट-स्या केवल पा-रल-ले-लो-ग्राम-मा की संपत्ति नहीं है, और इसके से -ली-ची-टेल-निम, हा-रक-ते-री-स्टी-चे-स्काई संपत्ति, कुछ-रो-म्यू के अनुसार इसे कई चे-यू-रेह-कोयला-नो- से हटाया जा सकता है- कोव

स्रोत

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

1. समांतर चतुर्भुज की परिभाषा।

यदि हम समान्तर रेखाओं के एक युग्म को समान्तर रेखाओं के एक अन्य युग्म के साथ प्रतिच्छेद करते हैं, तो हमें एक चतुर्भुज प्राप्त होता है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़ी में समान्तर होती हैं।

चतुर्भुज ABDC और EFNM में (चित्र 224) BD || एसी और एबी || सीडी;

ईएफ || एमएन और ईएम || एफ.एन.

एक चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़ी में समान्तर होती हैं, समांतर चतुर्भुज कहलाता है।

2. एक समांतर चतुर्भुज के गुण।

प्रमेय। एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है।

मान लीजिए कि एक समांतर चतुर्भुज ABCD है (आकृति 225) जिसमें AB || सीडी और एसी || बी.डी.

यह सिद्ध करना आवश्यक है कि विकर्ण इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है।

आइए समांतर चतुर्भुज ABCD में एक विकर्ण CB बनाएं। आइए हम सिद्ध करें कि \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

NE भुजा इन त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है; ABC = BCD, समांतर AB और CD के साथ आंतरिक अनुप्रस्थ कोणों के रूप में और छेदक CB; ∠ACB = CBD, समांतर AC ​​और BD और छेदक CB के साथ आंतरिक अनुप्रस्थ कोणों के समान।

इसलिए \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.

इसी प्रकार, कोई यह सिद्ध कर सकता है कि विकर्ण AD समांतर चतुर्भुज को दो समान त्रिभुजों ACD और ABD में विभाजित करता है।

परिणाम:

1 . समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

∠A = D, यह त्रिभुज CAB और CDB की समानता से निकलता है।

इसी प्रकार, C = B.

2. समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

AB \u003d CD और AC \u003d BD, क्योंकि ये समान त्रिभुजों की भुजाएँ हैं और समान कोणों के विपरीत स्थित हैं।

प्रमेय 2। एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों को उनके प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित किया जाता है।

मान लीजिए BC और AD समांतर चतुर्भुज ABCD के विकर्ण हैं (चित्र 226)। आइए हम सिद्ध करें कि AO = OD और CO = OB।

ऐसा करने के लिए, आइए विपरीत त्रिभुजों के कुछ युग्मों की तुलना करें, उदाहरण के लिए \(\Delta\)AOB और \(\Delta\)COD।

इन त्रिभुजों में AB = CD, समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के रूप में;

∠1 = ∠2, क्योंकि आंतरिक कोण समांतर AB और CD पर अनुप्रस्थ होते हैं और AD छेदक होते हैं;

∠3 = ∠4 इसी कारण से, क्योंकि AB || सीडी और सीबी उनके सेकेंड हैं।

यह इस प्रकार है कि \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)COD। और समान त्रिभुजों में सम्मुख समान कोण बराबर भुजाएँ होती हैं। इसलिए, AO = OD और CO = OB।

प्रमेय 3. समांतर चतुर्भुज की एक भुजा के आसन्न कोणों का योग बराबर होता है 180°.

समांतर चतुर्भुज ABCD में एक विकर्ण AC खींचिए और दो त्रिभुज ABC और ADC प्राप्त कीजिए।

त्रिभुज सर्वांगसम हैं क्योंकि 1 = 4, ∠2 = ∠3 (समानांतर रेखाओं पर अनुप्रस्थ कोण), और भुजा AC उभयनिष्ठ है।
समानता \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC का अर्थ है कि AB = CD, BC = AD, ∠B = D।

एक तरफ से सटे कोणों का योग, उदाहरण के लिए, कोण ए और डी, समानांतर रेखाओं के साथ एक तरफा 180 ° के बराबर है।

यह एक चतुर्भुज है जिसकी सम्मुख भुजाएँ जोड़ीवार समान्तर होती हैं।

संपत्ति 1। समांतर चतुर्भुज का कोई भी विकर्ण इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है।

सबूत । II चिन्ह के अनुसार (क्रॉस-लेट कॉर्नर और एक कॉमन साइड)।

प्रमेय सिद्ध.

संपत्ति 2। एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं और सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

सबूत ।
वैसे ही,

प्रमेय सिद्ध.

संपत्ति 3. एक विकर्ण समांतर चतुर्भुज में, प्रतिच्छेदन बिंदु आधे में विभाजित होता है।

सबूत ।

प्रमेय सिद्ध.

संपत्ति 4. समांतर चतुर्भुज का कोण समद्विभाजक, विपरीत भुजा को प्रतिच्छेद करता है, इसे एक समद्विबाहु त्रिभुज और एक समलम्ब चतुर्भुज में विभाजित करता है। (अध्याय शब्द - शीर्ष - दो समद्विबाहु? -का)।

सबूत ।

प्रमेय सिद्ध.

संपत्ति 5. एक समांतर चतुर्भुज में, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाले विपरीत पक्षों पर समाप्त होने वाले खंड को इस बिंदु से विभाजित किया जाता है।

सबूत ।

प्रमेय सिद्ध.

संपत्ति 6. समांतर चतुर्भुज के अधिक कोण के शीर्ष से गिराई गई ऊँचाइयों के बीच का कोण समांतर चतुर्भुज के न्यून कोण के बराबर होता है।

सबूत ।

प्रमेय सिद्ध.

संपत्ति 7. एक भुजा से लगे समांतर चतुर्भुज के कोणों का योग 180° होता है।

सबूत ।

प्रमेय सिद्ध.

एक कोण के द्विभाजक की रचना। त्रिभुज के कोण समद्विभाजक के गुण।

1) एक स्वेच्छ किरण DE की रचना कीजिए।

2) किसी दी गई किरण पर, शीर्ष पर एक केंद्र के साथ एक मनमाना वृत्त बनाएं और वही
निर्मित किरण की शुरुआत में केंद्रित।

3) एफ और जी - दिए गए कोण के किनारों के साथ सर्कल के चौराहे के बिंदु, एच - निर्मित किरण के साथ सर्कल के चौराहे के बिंदु

एक वृत्त की रचना कीजिए जिसका केंद्र बिंदु H पर हो और त्रिज्या FG के बराबर हो।

5) I - निर्मित बीम के हलकों का प्रतिच्छेदन बिंदु।

6) शीर्ष और I से होकर एक रेखा खींचिए।

आईडीएच - आवश्यक कोण।
)

संपत्ति 1। त्रिभुज का कोण समद्विभाजक सम्मुख भुजा को आसन्न भुजाओं के अनुपात में विभाजित करता है।

सबूत । माना x, y भुजा c के खंड हैं। हम किरण बीसी जारी रखते हैं। किरण BC पर, हम C से AC के बराबर एक खंड CK बनाते हैं।

पाठ विषय

• समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुण।

पाठ मकसद

• नई परिभाषाओं से परिचित हों और पहले से पढ़ी गई कुछ परिभाषाओं को याद करें।
• समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के गुणधर्म बनाइए और सिद्ध कीजिए।
• समस्याओं को हल करने में आकृतियों के गुणों को लागू करना सीखें।
• विकास करना - छात्रों का ध्यान, दृढ़ता, दृढ़ता, तार्किक सोच, गणितीय भाषण विकसित करना।
• शैक्षिक - एक पाठ के माध्यम से, एक-दूसरे के प्रति चौकस रवैया विकसित करना, साथियों को सुनने की क्षमता, आपसी सहायता, स्वतंत्रता पैदा करना।

पाठ मकसद

• छात्रों की समस्याओं को हल करने की क्षमता की जाँच करें।

शिक्षण योजना

1. उद्घाटन भाषण।
2. पहले सीखी गई सामग्री की पुनरावृत्ति।
3. समांतर चतुर्भुज, इसके गुण और संकेत।
4. कार्य उदाहरण।
5. खुद जांचना।

परिचय

"एक प्रमुख वैज्ञानिक खोज एक बड़ी समस्या का समाधान प्रदान करती है, लेकिन किसी भी समस्या के समाधान में खोज का एक दाना होता है।"

समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के गुण

एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।

सबूत।

मान लीजिए ABCD एक दिया गया समांतर चतुर्भुज है। और मान लीजिए कि इसके विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूँकि AOB = COD, त्रिभुजों की समानता के पहले चिन्ह से (∠ AOB = COD, ऊर्ध्वाधर के रूप में, AO=OC, DO=OB, समांतर चतुर्भुज विकर्णों के गुण से), तो AB=CD। इसी तरह, त्रिभुज BOC और DOA की समानता से, यह इस प्रकार है कि BC=DA। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का गुण

एक समांतर चतुर्भुज में विपरीत कोण होते हैं।

सबूत।

मान लीजिए ABCD एक दिया गया समांतर चतुर्भुज है। और मान लीजिए कि इसके विकर्ण बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं।
प्रमेय में सिद्ध किए गए समांतर चतुर्भुज के विपरीत पक्षों के गुणों से ABC = CDA तीन भुजाओं पर (AB=CD, BC=DA सिद्ध से, AC सामान्य है)। त्रिभुजों की समानता से यह पता चलता है कि ABC = CDA है।
यह भी सिद्ध होता है कि DAB = BCD, जो ABD = CDB से निकलता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों का गुण

एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु द्विभाजित होते हैं।

सबूत।

मान लीजिए ABCD एक दिया गया समांतर चतुर्भुज है। आइए विकर्ण AC खींचते हैं। हम उस पर मध्य O को चिह्नित करते हैं। खंड DO की निरंतरता पर, हम खंड OB 1 को DO के बराबर सेट करते हैं।
पिछले प्रमेय के अनुसार, AB 1 CD एक समांतर चतुर्भुज है। अत: रेखा AB 1 DC के समांतर है। लेकिन बिंदु A से होकर DC के समांतर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है। अत: रेखा AB 1 रेखा AB से संपाती है।
यह भी सिद्ध होता है कि BC 1 BC के साथ संपाती है। तो बिंदु C, C 1 के साथ संपाती है। समांतर चतुर्भुज ABCD समांतर चतुर्भुज AB 1 CD के साथ संपाती है। इसलिए, समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु द्विभाजित होते हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

साधारण स्कूलों के लिए पाठ्यपुस्तकों में (उदाहरण के लिए, पोगोरेलोव में), यह इस प्रकार साबित होता है: विकर्ण समांतर चतुर्भुज को 4 त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। एक जोड़ी पर विचार करें और पता करें - वे बराबर हैं: उनके आधार विपरीत पक्ष हैं, इसके आसन्न कोण समानांतर रेखाओं के साथ लंबवत हैं। अर्थात्, विकर्णों के खंड जोड़ीवार बराबर होते हैं। हर चीज़।

यही बात है न?
यह ऊपर साबित हुआ कि प्रतिच्छेदन बिंदु विकर्णों को समद्विभाजित करता है - यदि यह मौजूद है। उपरोक्त तर्क किसी भी तरह से इसके अस्तित्व को साबित नहीं करता है। अर्थात्, प्रमेय का भाग "समांतर चतुर्भुज विकर्ण प्रतिच्छेद" अप्रमाणित रहता है।

यह मज़ेदार है कि कैसे इस भाग को साबित करना बहुत कठिन है। वैसे, यह एक अधिक सामान्य परिणाम का अनुसरण करता है: किसी भी उत्तल चतुर्भुज के लिए, विकर्ण प्रतिच्छेद करेंगे, किसी भी गैर-उत्तल के लिए, वे नहीं करेंगे।

पक्ष के साथ त्रिभुजों की समानता पर और उससे सटे दो कोण (त्रिकोण की समानता का दूसरा चिन्ह) और अन्य।

थेल्स ने एक भुजा के साथ दो त्रिभुजों की समानता और उससे सटे दो कोणों की प्रमेय को एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक अनुप्रयोग पाया। मिलेटस के बंदरगाह में एक रेंजफाइंडर बनाया गया था, जो समुद्र में जहाज की दूरी निर्धारित करता है। इसमें तीन संचालित खूंटे ए, बी और सी (एबी = बीसी) और एक सीधी रेखा एसके, सीए के लंबवत शामिल थे। जब जहाज सीधी रेखा SC पर दिखाई दिया, तो एक बिंदु D ऐसा पाया गया कि बिंदु D, .B और E एक ही सीधी रेखा पर थे। जैसा कि चित्र से स्पष्ट है, जमीन पर दूरी सीडी जहाज से वांछित दूरी है।

प्रशन

1. क्या एक वर्ग के विकर्ण प्रतिच्छेदन बिंदु से द्विभाजित होते हैं?
   
2. क्या समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं?
3. क्या समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं?
4. समांतर चतुर्भुज की परिभाषा क्या है?
5. समांतर चतुर्भुज की कितनी विशेषताएं हैं?
   
6. क्या एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज हो सकता है?
   

प्रयुक्त स्रोतों की सूची

1. कुज़नेत्सोव ए.वी., गणित के शिक्षक (ग्रेड 5-9), कीव
2. "एकीकृत राज्य परीक्षा 2006। गणित। छात्रों की तैयारी के लिए शैक्षिक और प्रशिक्षण सामग्री / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006 "
3. मजूर के.आई. "एम.आई. स्कैनवी द्वारा संपादित संग्रह के गणित में मुख्य प्रतिस्पर्धी समस्याओं का समाधान"
4. एल। एस। अतानासियन, वी। एफ। बुटुज़ोव, एस। बी। कदोमत्सेव, ई। जी। पॉज़्न्याक, आई। आई। युदीना "ज्यामिति, 7 - 9: शैक्षणिक संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक"

पाठ पर काम करना

कुज़नेत्सोव ए.वी.

पोटर्नक एस.ए.

एवगेनी पेट्रोव

आप आधुनिक शिक्षा के बारे में सवाल उठा सकते हैं, एक विचार व्यक्त कर सकते हैं या एक जरूरी समस्या का समाधान कर सकते हैं शिक्षा मंचजहां ताजा विचार और कार्रवाई की एक शैक्षिक परिषद अंतरराष्ट्रीय स्तर पर मिलती है। बनाया है ब्लॉग,आप न केवल एक सक्षम शिक्षक के रूप में अपनी स्थिति में सुधार करेंगे, बल्कि भविष्य के स्कूल के विकास में भी महत्वपूर्ण योगदान देंगे। एजुकेशन लीडर्स गिल्डशीर्ष क्रम के विशेषज्ञों के लिए द्वार खोलता है और आपको दुनिया में सर्वश्रेष्ठ स्कूल बनाने की दिशा में सहयोग करने के लिए आमंत्रित करता है।

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