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1C . से ग्रेड 10 के लिए ऑनलाइन स्टोर "इंटीग्रल" में मैनुअल और सिमुलेटर
मापदंडों के साथ बीजगणितीय समस्याएं, ग्रेड 9-11
सॉफ्टवेयर वातावरण "1C: गणितीय निर्माता 6.1"

हम क्या अध्ययन करेंगे:
1. जीवन में अंक चक्र।
2. एक संख्यात्मक वृत्त की परिभाषा।
3. संख्यात्मक वृत्त का सामान्य दृश्य और लंबाई।
4. सर्कल के मुख्य बिंदुओं का स्थान।

संख्या चक्र और जीवन

वास्तविक जीवन में, गोलाकार गति आम है। उदाहरण के लिए, साइकिलिंग प्रतियोगिताएं जो घड़ी के खिलाफ एक निश्चित लैप को पूरा करती हैं, या रेसिंग कार प्रतियोगिताएं जिन्हें आवंटित समय में सबसे अधिक लैप्स पूरा करने की आवश्यकता होती है।

एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें…

एक धावक 400 मीटर लंबे घेरे में दौड़ता है। एथलीट बिंदु A (अंजीर। 1) से शुरू होता है और वामावर्त चलता है। वह 200 मीटर, 800 मीटर, 1500 मीटर में कहां होगा? और अगर धावक को 4195 मीटर दौड़ने की जरूरत है तो फिनिश लाइन कहां खींचनी है?

समाधान:
200 मीटर के बाद, धावक बिंदु C पर होगा। चूंकि वह ठीक आधी दूरी तक दौड़ेगा।

800 मीटर दौड़ने के बाद, धावक ठीक दो चक्कर लगाएगा और बिंदु A पर समाप्त होगा।

1500 मीटर 400 मीटर (1200 मीटर) के 3 गोद और ट्रैक से एक और 300 मीटर, यानी $\frac(3)(4)$ है, इस दूरी को बिंदु D पर समाप्त करते हुए।

4195 मीटर दौड़ने के बाद हमारा धावक कहां होगा? 10 लैप में 4000 मीटर है, 195 मीटर दौड़ना बाकी है, जो आधी दूरी से 5 मीटर कम है। तो समापन रेखा बिंदु C के निकट स्थित बिंदु K पर होगी।

एक संख्या वृत्त की परिभाषा

याद है!
एक इकाई वृत्त है जिसके अंक कुछ वास्तविक संख्याओं के अनुरूप होते हैं। यूनिट सर्कलत्रिज्या 1 का वृत्त कहते हैं।

संख्या वृत्त का सामान्य दृश्य

1) RADIUSवृत्त को माप की इकाई के रूप में लिया जाता है।
2) क्षैतिजव्यास को एसी के रूप में दर्शाया गया है, जिसमें ए सबसे दाहिना बिंदु है।
खड़ाव्यास को बीडी नामित किया गया है, जिसमें बी उच्चतम बिंदु है।

व्यास AC और BD वृत्त को चार भागों में विभाजित करते हैं:
पहली तिमाहीचाप AB है।
दूसरी छमाही- चाप ई.पू.
तीसरी तिमाही- चाप सीडी।
चौथी तिमाही- चाप डीए।

3) प्रस्थान बिंदूनंबर सर्कल - बिंदु ए।
बिंदु A से वामावर्त गिनने को धनात्मक दिशा कहा जाता है। बिंदु A से दक्षिणावर्त गिनने को ऋणात्मक दिशा कहते हैं।

संख्या वृत्त लंबाई

संख्यात्मक वृत्त की लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
$L = 2 * R = 2 * 1 = 2 $।
चूँकि यह इकाई वृत्त है, तो $R = 1$।
यदि हम $π 3.14$ लेते हैं, तो परिधि L को एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
$2 2 * 3.14 = $6.28।
प्रत्येक तिमाही की लंबाई है: $\frac(1)(4)*2π=\frac(π)(2)$।

सर्कल के मुख्य बिंदुओं का स्थान

वृत्त पर मुख्य बिंदु और उनके नाम चित्र में दिखाए गए हैं:

संख्यात्मक वृत्त के चार तिमाहियों में से प्रत्येक को तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है। प्राप्त बारह बिंदुओं में से प्रत्येक के पास, एक संख्या लिखी जाती है जिससे वह मेल खाती है।

निम्नलिखित कथन एक संख्या वृत्त के लिए सत्य है:

यदि किसी संख्यात्मक वृत्त का एक बिंदु $M$ एक संख्या $t$ से मेल खाता है, तो यह $t+2π *k$ के रूप की संख्या से भी मेल खाता है, जहां $k$ एक पूर्णांक है। $M(t) = M(t+2π*k)$।

एक उदाहरण पर विचार करें।
इकाई वृत्त में, चाप AB को बिंदु M द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, और बिंदु K और P द्वारा तीन बराबर भागों में विभाजित किया जाता है। चाप की लंबाई क्या है: AM, MB, AK, KR, RB, AR, KM?

चाप की लंबाई $AB =\frac(π)(2)$। इसे बिंदु M द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित करने पर, हमें दो चाप प्राप्त होते हैं, प्रत्येक की लंबाई $\frac(π)(4)$ होती है। अत: $AM =MV=\frac(π)(4)$।

चाप AB को बिंदु K और P द्वारा तीन बराबर भागों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक परिणामी भाग की लंबाई $\frac(1)(3)* \frac(π)(2)$, यानी $\frac(π) के बराबर है। )(6) $. इसलिए, $AK = CR = RV =\frac(π)(6)$।

चाप АР में दो चाप AK और КР लंबाई के होते हैं - $\frac(π)(6)$। इसलिए $AP = 2 *\frac(π)(6) =\frac(π)(3)$।

यह KM चाप की लंबाई की गणना करने के लिए बनी हुई है। यह चाप चाप AK को हटाकर चाप AM से प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, $KM = AM - AK =\frac(π)(4) - \frac(π)(6) = \frac(π)(12)$।

एक कार्य:

संख्या वृत्त पर एक बिंदु ज्ञात कीजिए जो किसी दी गई संख्या के संगत है:
$2π$, $\frac(7π)(2)$, $\frac(π)(4)$, $-\frac(3π)(2)$।

समाधान:

बिंदु A, $2π$ संख्या से मेल खाता है, क्योंकि सर्कल के साथ $ 2π$ लंबाई का पथ गुजरना, यानी। ठीक एक वृत्त, हम फिर से बिंदु A पर पहुँचते हैं।

संख्या $\frac(7π)(2)$ बिंदु D से मेल खाती है, क्योंकि $\frac(7π)(2)=2π+\frac(3π)(2)$, यानी। सकारात्मक दिशा में आगे बढ़ते हुए, आपको एक पूरे सर्कल से गुजरना होगा और इसके अतिरिक्त लंबाई का एक पथ $\frac(3π)(2)$, जो बिंदु D पर समाप्त होगा।

बिंदु M संख्या $\frac(π)(4)$ से मेल खाती है, क्योंकि सकारात्मक दिशा में आगे बढ़ते हुए, आपको $\frac(π)(2)$ लंबाई के आधे चाप AB के पथ से गुजरना होगा, जो बिंदु M पर समाप्त होगा।

संख्या $-\frac(3π)(2)$ बिंदु B से मेल खाती है, क्योंकि बिंदु A से ऋणात्मक दिशा में चलते हुए, आपको $\frac(3π)(2)$ लंबाई के पथ से गुजरना होगा, जो बिंदु B पर समाप्त होगा।

उदाहरण।

संख्या वृत्त पर अंक ज्ञात कीजिए:
ए) $21\frac(π)(4)$;
बी) $-37\frac(π)(6)$।

समाधान:
आइए सूत्र का उपयोग करें: $M(t) = M(t+2π*k)$ (8 स्लाइड) हमें मिलता है:

a) $\frac(21π)(4) = (4+\frac(5)(4))*π = 4π +\frac(5π)(4) = 2*2π +\frac(5π)(4) $, तो संख्या $\frac(21π)(4)$ उसी संख्या से मेल खाती है जो संख्या $\frac(5)(4π)$ - तीसरी तिमाही के मध्य में है।

ख) $-\frac(37π)(6)=-(6+\frac(1)(6))*π =-(6π +\frac(π)(6)) = -3*2π - \frac (π )(6)$। इसलिए, संख्या $-\frac(37π)(6)$ उसी संख्या से मेल खाती है जो संख्या $-\frac(1)(6π)$ है। $\frac(11π)(6)$ के समान।

उदाहरण।

सभी संख्याएँ t खोजें जो किसी दिए गए चाप से संबंधित संख्या वृत्त के बिंदुओं के संगत हों:
ए) वीए;
बी) एमके।

समाधान:

a) चाप BA एक चाप है जिसकी शुरुआत बिंदु B से होती है और एक अंत बिंदु A पर होता है, जबकि एक वृत्त वामावर्त दिशा में चलता है। बिंदु बी क्रमशः $\frac(π)(2)$ के बराबर है, और बिंदु ए $ 2π$ के बराबर है। इसलिए, अंक t के लिए हमारे पास है: $\frac(π)(2) t ≤ 2π$। लेकिन स्लाइड 8 के सूत्र के अनुसार, संख्या $\frac(π)(2)$ और $2π$ $\frac(π)(2)+2π*k$ और $2π+2π के रूप की संख्याओं के अनुरूप हैं। * के $, क्रमशः।

$\frac(π)(2) +2π*k t ≤ 2π +2π*k$, जहां $k$ एक पूर्णांक है।

बी) चाप एमके बिंदु एम पर शुरुआत के साथ एक चाप है और बिंदु के पर अंत है। बिंदु एम, क्रमशः $-\frac(3π)(4)$ के बराबर है, और बिंदु के बराबर है से $\frac(π)(4)$।
तो अंक t के लिए हमारे पास है:
$\frac(-3π)(4) टी ≤\frac(π)(4)$।
स्लाइड 8 के सूत्र के अनुसार, संख्याएँ $-\frac(3π)(4)$ और $\frac(π)(4)$ फॉर्म की संख्याओं के अनुरूप हैं: $-\frac(3π)(4)+ 2π*k$ और $\ frac(π)(4)+2π*k$ क्रमशः।
तब हमारा नंबर t मान लेता है:
$-\frac(3π)(4)+2π*k t ≤ \frac(π)(4) +2π*k$, जहां $k$ एक पूर्णांक है।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य

1) इकाई वृत्त पर चाप BC को बिंदु T द्वारा दो बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, और बिंदु K और P द्वारा तीन बराबर भागों में विभाजित किया जाता है। चाप की लंबाई क्या है: बीटी, टीएस, वीसी, सीआर, आरएस, बीपी, सीटी?

2) संख्या वृत्त पर एक बिंदु ज्ञात कीजिए जो किसी दी गई संख्या के संगत है:
$π$, $\frac(11π)(2)$, $\frac(21π)(4)$, $-\frac(7π)(2)$, $\frac(17π)(6)$।

3) वे सभी संख्याएँ t ज्ञात कीजिए, जो संख्या वृत्त पर दिए गए चाप से संबंधित बिंदुओं के संगत हैं:
ए) एबी;
बी) एसी;
c) PM, जहां P चाप AB का मध्यबिंदु है और बिंदु M, DA का मध्यबिंदु है।

अध्याय 2
3) संख्या

चलो डॉट से मेल खाते हैं।

स्थापित पत्राचार वाले यूनिट सर्कल को कहा जाएगा

नंबर सर्कल.

यह वास्तविक के सेट के लिए दूसरा ज्यामितीय मॉडल है

संख्याएं। पहला मॉडल - संख्या रेखा - छात्र पहले से ही जानते हैं। वहाँ है

सादृश्य: संख्या रेखा के लिए, पत्राचार नियम (संख्या से बिंदु तक)

लगभग शब्दशः वही। लेकिन एक मूलभूत अंतर भी है - स्रोत

एक संख्या वृत्त के साथ काम करने में मुख्य कठिनाइयाँ: एक सीधी रेखा पर, प्रत्येक

डॉट से मेल खाता है केवलसंख्या, एक सर्कल पर यह नहीं है। यदि एक

सर्कल एक संख्या से मेल खाता है, फिर यह सभी से मेल खाता है

फॉर्म की संख्या

यूनिट सर्कल की लंबाई कहां है, और एक पूर्णांक है

चावल। एक

एक दिशा या किसी अन्य में वृत्त के पूर्ण चक्करों की संख्या को दर्शाने वाली संख्या

पक्ष।

छात्रों के लिए यह क्षण कठिन है। उन्हें पेश किया जाना चाहिए

वास्तविक कार्य के सार को समझना:

स्टेडियम चलने वाला ट्रैक 400 मीटर लंबा है, धावक 100 मीटर दूर है

शुरुआती बिंदु से। उसने कौन सा रास्ता अपनाया? अगर उसने अभी दौड़ना शुरू किया है, तो

100 मीटर दौड़ा; यदि आप एक गोद चलाने में कामयाब रहे, तो - (

दो वृत्त - (); अगर तुम दौड़ सकते हो

वृत्त, तो पथ होगा (

) . अब आप तुलना कर सकते हैं

अभिव्यक्ति के साथ प्राप्त परिणाम

उदाहरण 1डॉट किस संख्या से मेल खाता है

नंबर सर्कल

समाधान। चूँकि पूरे वृत्त की लंबाई

वह उसके क्वार्टर की लंबाई है

इसलिए, फॉर्म के सभी नंबरों के लिए

इसी तरह, यह स्थापित किया जाता है कि कौन सी संख्याएं बिंदुओं के अनुरूप हैं

क्रमशः प्रथम, द्वितीय, तृतीय कहा जाता है।

संख्या चक्र की चौथी तिमाही।

सभी स्कूल त्रिकोणमिति एक संख्यात्मक मॉडल पर आधारित है

मंडलियां। अनुभव से पता चलता है कि इस मॉडल की कमियां भी हैं

त्रिकोणमितीय कार्यों का जल्दबाजी में परिचय बनाने की अनुमति नहीं देता है

सामग्री के सफल आत्मसात के लिए एक ठोस आधार। इसलिए, नहीं

आपको जल्दी करने की जरूरत है, और निम्नलिखित पर विचार करने के लिए कुछ समय दें

एक संख्या चक्र के साथ पांच अलग-अलग प्रकार की समस्याएं।

पहले प्रकार के कार्य। संख्यात्मक सर्कल पर अंक ढूँढना,

दी गई संख्याओं के संगत, किसी संख्या के भिन्नों में व्यक्त किया जाता है

उदाहरण 2

नंबर

समाधान। चलो चाप को विभाजित करते हैं

आधे में एक बिंदु के साथ तीन बराबर भागों में -

डॉट्स

(रेखा चित्र नम्बर 2)। फिर

तो संख्या

संगत बिंदु

संख्या
उदाहरण

3.
पर

संख्यात्मक

हलकों

अंक,

संबंधित संख्या:

समाधान। हम निर्माण करेंगे

ए) चाप को स्थगित करना

(इसकी लंबाई

) पांच गुना

बिन्दु से

नकारात्मक दिशा में

कोई बात समझना

बी) चाप को स्थगित करना

(इसकी लंबाई

) से सात बार

सकारात्मक दिशा में, हमें अलग करने वाला एक बिंदु मिलता है

चाप का तीसरा भाग

यह संख्या के अनुरूप होगा

ग) चाप को स्थगित करना

(इसकी लंबाई

) बिंदु से पांच बार

सकारात्मक

दिशा, हमें एक बिंदु मिलता है

चाप के तीसरे भाग को अलग करना। वह और

संख्या से मेल खाएगा

(अनुभव से पता चलता है कि स्थगित करना बेहतर है)

पांच गुना अधिक

और 10 बार

इस उदाहरण के बाद, संख्यात्मक के दो मुख्य लेआउट देना उचित है

वृत्त: उनमें से पहले पर (चित्र 3) सभी तिमाहियों को आधे में विभाजित किया गया है, पर

दूसरा (चित्र 4) - तीन बराबर भागों में। ये लेआउट कार्यालय में उपयोगी हैं

अंक शास्त्र।

चावल। 2

चावल। 3 चावल। चार

छात्रों के साथ इस प्रश्न पर चर्चा करना सुनिश्चित करें: क्या होगा यदि

प्रत्येक लेआउट सकारात्मक में नहीं, बल्कि नकारात्मक में चलता है

दिशा? पहले लेआउट पर, चयनित बिंदुओं को असाइन करना होगा

अन्य "नाम": क्रमशः

आदि।; दूसरे लेआउट पर:

दूसरे प्रकार के कार्य। संख्यात्मक सर्कल पर अंक ढूँढना,

दी गई संख्याओं के संगत, किसी संख्या के भिन्नों में व्यक्त नहीं

उदाहरण 4के संगत संख्या वृत्त पर बिंदु ज्ञात कीजिए

नंबर 1; 2; 3; -5.

समाधान।

यहां हमें इस तथ्य पर भरोसा करना होगा कि

इसलिए बिंदु 1

चाप पर स्थित

बिंदु के करीब

अंक 2 और 3 चाप पर हैं, पहला है

दूसरा करीब है (चित्र 5)।

आओ हम इसे नज़दीक से देखें

संख्या - 5 के संगत बिंदु ज्ञात करने पर।

एक बिंदु से हटो

नकारात्मक दिशा में, अर्थात्। दक्षिणावर्त

चावल। 5

तीर। अगर हम इस दिशा में इस बिंदु पर जाते हैं

प्राप्त

इसका अर्थ है कि संख्या - 5 के संगत बिंदु स्थित है

बिंदु के थोड़ा दायीं ओर

(अंजीर देखें। 5)।

तीसरे प्रकार के कार्य। विश्लेषणात्मक रिकॉर्ड तैयार करना (डबल

असमानताएँ) एक संख्यात्मक वृत्त के चापों के लिए।

वास्तव में, हम अभिनय कर रहे हैं

वही योजना जिसका उपयोग 5-8 . में किया गया था

संख्या रेखा का अध्ययन करने के लिए कक्षाएं:

पहले संख्या के आधार पर एक बिंदु खोजें, फिर द्वारा

डॉट - नंबर, फिर डबल का उपयोग करें

अंतराल लिखने के लिए असमानताएं

संख्या रेखा।

उदाहरण के लिए, एक ओपन . पर विचार करें

पहले का मध्य कहाँ है

एक संख्या वृत्त के चौथाई, और

- इसका मध्य

दूसरी तिमाही (चित्र 6)।

चाप की विशेषता वाली असमानताएँ, अर्थात्। का प्रतिनिधित्व

चाप के विश्लेषणात्मक मॉडल को दो चरणों में संकलित करने का प्रस्ताव है। पहले पर

मंच का गठन कोर विश्लेषणात्मक रिकॉर्ड(यह पालन करने की मुख्य बात है

छात्रों को पढ़ाना) किसी दिए गए चाप के लिए

दूसरे पर

स्टेज एक सामान्य रिकॉर्ड बनाते हैं:

अगर हम चाप के बारे में बात कर रहे हैं

फिर, कर्नेल लिखते समय, आपको इस बात का ध्यान रखना होगा कि

() चाप के अंदर स्थित है, और इसलिए आपको चाप की शुरुआत में जाना होगा

नकारात्मक दिशा में। इसलिए, चाप के विश्लेषणात्मक संकेतन का कर्नेल

रूप है

चावल। 6

शब्द "विश्लेषणात्मक कर्नेल"

आर्क रिकॉर्ड", "विश्लेषणात्मक रिकॉर्ड

आर्क" आम तौर पर स्वीकार नहीं किए जाते हैं,

विचार

चौथी

कार्य।

खोज

काटीज़ियन

COORDINATES

संख्या वृत्त बिंदु, केंद्र

जो सिस्टम की शुरुआत के साथ संयुक्त है

निर्देशांक।

आइए पहले अब तक के एक सूक्ष्म बिंदु पर विचार करें

वर्तमान स्कूल पाठ्यपुस्तकों में व्यावहारिक रूप से उल्लेख नहीं किया गया है।

मॉडल का अध्ययन शुरू करना "एक निर्देशांक पर संख्यात्मक सर्कल

विमान", शिक्षकों को स्पष्ट रूप से पता होना चाहिए कि किन कठिनाइयों का इंतजार है

यहां के छात्र। ये कठिनाइयाँ इस तथ्य से संबंधित हैं कि इसके अध्ययन में

स्कूली बच्चों के मॉडल के लिए पर्याप्त रूप से उच्च स्तर की आवश्यकता होती है

गणितीय संस्कृति, क्योंकि उन्हें एक साथ काम करना होता है

दो समन्वय प्रणाली - "वक्रता" में, जब के बारे में जानकारी

बिंदु की स्थिति वृत्त के अनुदिश ली जाती है (संख्या

से मेल खाती है

वृत्त बिंदु

(); बिंदु का "वक्रीय निर्देशांक" है), और में

कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली (बिंदु पर .)

हर बिंदु की तरह

निर्देशांक तल, एक भुज और एक कोटि है)। शिक्षक का कार्य मदद करना है

स्कूली बच्चों को इन प्राकृतिक कठिनाइयों को दूर करने में। दुर्भाग्य से,

आमतौर पर स्कूली पाठ्यपुस्तकों में वे इस पर ध्यान नहीं देते और शुरू से ही

पहला पाठ नोट्स का उपयोग करें

विचार नहीं कर रहा है कि पत्र में

एक स्कूली बच्चे के दिमाग में स्पष्ट रूप से कार्टेशियन में एब्सिस्सा से जुड़ा होता है

आयताकार समन्वय प्रणाली, और संख्यात्मक के साथ यात्रा की गई लंबाई के साथ नहीं

पथ मंडलियां। इसलिए, संख्या चक्र के साथ काम करते समय, किसी को नहीं करना चाहिए

प्रतीकों का प्रयोग करें

चावल। 7

आइए चौथे प्रकार के कार्यों पर लौटते हैं। यह लेखन से आगे बढ़ने के बारे में है

अभिलेख

(), अर्थात। वक्रीय से कार्तीय निर्देशांक तक।

आइए संख्या वृत्त को कार्तीय आयताकार प्रणाली के साथ संयोजित करें

निर्देशांक जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 7. फिर डॉट्स

होगा

निम्नलिखित निर्देशांक:

() () () ()। बहुत ज़रूरी

छात्रों को उन सभी बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करना सिखाएं जो

दो मुख्य लेआउट पर चिह्नित (चित्र 3,4 देखें)। बिंदु के लिए

यह सब नीचे आता है

एक कर्ण के साथ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज पर विचार करना

उसके पैर बराबर हैं

तो निर्देशांक

) अंक के लिए भी यही सच है।

लेकिन फर्क सिर्फ इतना है कि आपको ध्यान रखने की जरूरत है

एब्सिस्सा और निर्देशांक संकेत। विशेष रूप से:

छात्रों को क्या याद रखना चाहिए? केवल यही कि एब्सिस्सा के मॉड्यूल और

सभी तिमाहियों के मध्य बिंदुओं पर निर्देशांक बराबर होते हैं

और उन्हें संकेतों को जानना चाहिए

ड्राइंग से सीधे प्रत्येक बिंदु के लिए निर्धारित करें।

बिंदु के लिए

यह सब एक आयताकार पर विचार करने के लिए नीचे आता है

कर्ण 1 और कोण वाला त्रिभुज

(चित्र 9)। फिर कैथे

विपरीत कोने

बराबर होगा

सटा हुआ

√

माध्यम,

बिंदु निर्देशांक

बिंदु के लिए भी यही सच है

केवल पैर "स्थान बदलते हैं", और इसलिए

चावल। आठ

चावल। 9

हम पाते हैं

) इसका अर्थ है

(संकेतों तक) और होगा

दूसरे लेआउट के सभी बिंदुओं को "सेवा" दें (अंजीर देखें। 4), बिंदुओं को छोड़कर

एब्सिस्सा और ऑर्डिनेट के रूप में। याद रखने का सुझाया तरीका: "कहाँ छोटा है,

; जहां यह लंबा है

उदाहरण 5एक बिंदु के निर्देशांक खोजें

(चित्र 4 देखें)।

समाधान। दूरसंचार विभाग

to . की तुलना में लंबवत अक्ष के करीब

क्षैतिज, अर्थात् इसके भुज का मापांक इसकी कोटि के मापांक से कम होता है।

तो भुज का मापांक है

निर्देशांक का मॉड्यूल है

दोनों में संकेत

मामले नकारात्मक हैं (तीसरी तिमाही)। निष्कर्ष: डॉट

निर्देशांक हैं

चौथे प्रकार की समस्याओं में, कार्टेशियन सभी का निर्देशांक करता है

उल्लेखित पहले और दूसरे लेआउट पर प्रस्तुत बिंदु

वास्तव में, इस प्रकार के कार्यों के दौरान, हम छात्रों को इसके लिए तैयार करते हैं

त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना। अगर सब कुछ यहाँ है

काफी मज़बूती से काम किया, फिर एक नए स्तर के अमूर्तता के लिए संक्रमण

(ऑर्डिनेट - साइन, एब्सिस्सा - कोसाइन) से कम दर्दनाक होगा

चौथे प्रकार में इस प्रकार के कार्य शामिल हैं: एक बिंदु के लिए

कार्तीय निर्देशांकों के चिन्ह ढूँढ़ें

निर्णय से छात्रों को परेशानी न हो : संख्या

बराबर अंक

चतुर्थी का अर्थ है।

पांचवें प्रकार के कार्य।द्वारा संख्यात्मक वृत्त पर अंक ढूँढना

निर्देशांक दिए।

उदाहरण 6एक संख्या वृत्त पर निर्देशांक के साथ बिंदु खोजें

लिखिए कि वे किन संख्याओं से मेल खाते हैं।

समाधान। सीधा

अंक वृत्त को पार करता है
(चित्र 11)। दूसरे लेआउट की मदद से (चित्र 4 देखें)।

संख्या से मेल खाती है

वह इसलिए

फॉर्म के सभी नंबरों से मेल खाता है
संख्या से मेल खाती है

और उसका अर्थ यह निकलता है

फॉर्म के सभी नंबर

उत्तर:

उदाहरण 7संख्यात्मक पर खोजें

एब्सिस्सा के साथ वृत्त बिंदु

लिखिए कि वे किन संख्याओं से मेल खाते हैं।

समाधान। सीधा
√

संख्या वृत्त को बिंदुओं पर काटती है

- दूसरी और तीसरी तिमाही के मध्य में (चित्र 10)। पहले की मदद से

लेआउट उस बिंदु को सेट करें

संख्या से मेल खाती है

और इसका मतलब है कि हर कोई

फॉर्म की संख्या

संख्या से मेल खाती है

और इसका मतलब है कि हर कोई

फॉर्म की संख्या

उत्तर:

आपको दूसरा विकल्प दिखाना होगा।

उदाहरण के लिए उत्तर रिकॉर्ड करें 7. आखिरकार, बिंदु

संख्या से मेल खाती है

वे। फॉर्म के सभी नंबर

हम पाते हैं:

चावल। दस

चित्र 11

निर्विवाद महत्व पर जोर दें

पांचवें प्रकार के कार्य। असल में हम सिखाते हैं

स्कूली बच्चों

फेसला

प्रोटोजोआ

त्रिकोणमितीय समीकरण: उदाहरण में 6

यह समीकरण के बारे में है

और उदाहरण में

- समीकरण के बारे में

मामले के सार की समझ सिखाने के लिए महत्वपूर्ण है

स्कूली बच्चे समीकरणों को हल करते हैं

संख्या चक्र के साथ

फ़ार्मुलों में जल्दबाजी न करें

अनुभव से पता चलता है कि यदि पहले चरण (पर काम)

संख्यात्मक सर्कल) मज़बूती से पर्याप्त रूप से काम नहीं किया जाता है, फिर दूसरा चरण

(सूत्रों पर काम) स्कूली बच्चों द्वारा औपचारिक रूप से माना जाता है, कि,

स्वाभाविक रूप से, इसे दूर किया जाना चाहिए।

उदाहरण 6 और 7 के समान संख्या वृत्त पर पाया जाना चाहिए

सभी "प्रमुख" निर्देशांक और अनुपस्थिति के साथ अंक

विशेष विषयों के रूप में, निम्नलिखित को अलग करना उचित है:

टिप्पणी 1.प्रोपेड्यूटिक शब्दों में, प्रारंभिक

9 वीं कक्षा की ज्यामिति के पाठ्यक्रम में "एक वृत्त की लंबाई" विषय पर काम करें। महत्वपूर्ण

सलाह: अभ्यास की प्रणाली में प्रस्तावित प्रकार के कार्य शामिल होने चाहिए

नीचे। यूनिट सर्कल को चार बराबर भागों में बिंदुओं से विभाजित किया जाता है

चाप को एक बिंदु से समद्विभाजित किया जाता है और चाप को बिंदुओं द्वारा समद्विभाजित किया जाता है

तीन बराबर भागों में (चित्र 12)। चापों की लंबाई क्या है

(यह माना जाता है कि सर्कल के सर्कुलेशन को सकारात्मक में किया जाता है

दिशा)?

चावल। 12

पांचवें प्रकार के कार्यों में शर्तों के साथ काम करना शामिल है:

साधन
प्रति

फेसला

प्रोटोजोआ

त्रिकोणमितीय असमानताएं, हम भी धीरे-धीरे "फिट" होते हैं।

पाँच पाठ और केवल छठे पाठ में साइन की परिभाषाएँ होनी चाहिए और

कोज्या एक संख्यात्मक वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में। जिसमें

स्कूली बच्चों के साथ सभी प्रकार की समस्याओं को फिर से हल करने की सलाह दी जाती है, लेकिन साथ

प्रस्तुत संकेतन का उपयोग करते हुए, ऐसा प्रदर्शन करने की पेशकश

उदाहरण के लिए, कार्य: गणना

प्रश्न हल करें

असमानता

आदि। हम इस बात पर जोर देते हैं कि पहले पाठों में

त्रिकोणमिति सरल त्रिकोणमितीय समीकरण और असमानताएं

नहीं हैं लक्ष्यप्रशिक्षण, लेकिन के रूप में इस्तेमाल किया फंडके लिये

मुख्य बात में महारत हासिल करना - अंक के निर्देशांक के रूप में साइन और कोसाइन की परिभाषा

संख्या चक्र।

चलो नंबर

बराबर अंक

संख्या चक्र। फिर इसकी भुज

बुलाया एक संख्या की कोज्या

और निरूपित

और इसकी कोटि कहलाती है एक संख्या की ज्या

और अंकित है। (चित्र 13)।

इस परिभाषा से कोई तुरंत कर सकता है

के अनुसार ज्या और कोज्या के चिह्न सेट करें

क्वार्टर: साइन के लिए

कोसाइन के लिए

इसके लिए एक पूरा पाठ समर्पित करें (जैसा है)

स्वीकृत) शायद ही उचित है। यह पालन नहीं करता

स्कूली बच्चों को इन संकेतों को याद रखने के लिए मजबूर करें: कोई भी यांत्रिक

याद रखना, याद करना एक हिंसक तकनीक है जिससे छात्र,

इस लेख में, हम एक संख्यात्मक वृत्त की परिभाषा का विस्तार से विश्लेषण करेंगे, इसकी मुख्य संपत्ति का पता लगाएंगे और संख्या 1,2,3 आदि को व्यवस्थित करेंगे। वृत्त पर अन्य संख्याओं को अंकित करने के तरीके के बारे में (उदाहरण के लिए, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) समझता है।

नंबर सर्कल इकाई त्रिज्या के एक वृत्त को कॉल करें, जिसके बिंदु . के अनुरूप हों निम्नलिखित नियमों के अनुसार व्यवस्थित:

1) मूल वृत्त के सबसे दाहिने बिंदु पर है;

2) वामावर्त - सकारात्मक दिशा; दक्षिणावर्त - नकारात्मक;

3) यदि हम वृत्त पर दूरी \(t\) को सकारात्मक दिशा में प्लॉट करते हैं, तो हम उस बिंदु पर पहुंचेंगे जिसका मान \(t\) है;

4) यदि हम वृत्त पर दूरी \(t\) को ऋणात्मक दिशा में प्लॉट करते हैं, तो हम उस बिंदु पर पहुंचेंगे जिसका मान \(-t\) है।

वृत्त को संख्या क्यों कहते हैं?
क्योंकि उस पर नंबर होते हैं। इसमें वृत्त संख्या अक्ष के समान होता है - वृत्त पर, साथ ही अक्ष पर, प्रत्येक संख्या के लिए एक निश्चित बिंदु होता है।

क्यों जानें कि एक संख्या चक्र क्या है?
एक संख्यात्मक वृत्त की सहायता से, ज्या, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटंगेंट का मान निर्धारित किया जाता है। इसलिए, त्रिकोणमिति जानने और 60+ अंकों के साथ परीक्षा पास करने के लिए, यह समझना अनिवार्य है कि एक संख्या वृत्त क्या है और उस पर बिंदु कैसे लगाएं।

परिभाषा में "... की इकाई त्रिज्या ..." का क्या अर्थ है?
इसका अर्थ है कि इस वृत्त की त्रिज्या \(1\) है। और अगर हम मूल बिंदु पर केंद्रित एक ऐसा वृत्त बनाते हैं, तो यह अक्षों के साथ \(1\) और \(-1\) बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगा।

इसे छोटा खींचना आवश्यक नहीं है, आप कुल्हाड़ियों के साथ विभाजनों के "आकार" को बदल सकते हैं, फिर चित्र बड़ा होगा (नीचे देखें)।

त्रिज्या बिल्कुल एक क्यों है? यह अधिक सुविधाजनक है, क्योंकि इस मामले में, सूत्र \(l=2πR\) का उपयोग करके परिधि की गणना करते समय, हम प्राप्त करते हैं:

संख्या वृत्त की लंबाई \(2π\) या लगभग \(6,28\) है।

और "... जिन बिंदुओं के वास्तविक संख्या से मेल खाते हैं" का क्या अर्थ है?
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए संख्या वृत्त पर, निश्चित रूप से उसका "स्थान" होगा - एक बिंदु जो इस संख्या से मेल खाता है।

संख्या वृत्त पर मूल और दिशा का निर्धारण क्यों करते हैं?
संख्या वृत्त का मुख्य उद्देश्य प्रत्येक संख्या के लिए अपने बिंदु को विशिष्ट रूप से निर्धारित करना है। लेकिन आप यह कैसे निर्धारित कर सकते हैं कि कहां समाप्त किया जाए यदि आप नहीं जानते कि कहां से गिनना है और कहां जाना है?

यहाँ यह महत्वपूर्ण है कि समन्वय रेखा और संख्या वृत्त पर मूल को भ्रमित न करें - ये दो अलग-अलग संदर्भ प्रणालियाँ हैं! साथ ही, \(1\) को \(x\) अक्ष और \(0\) पर भ्रमित न करें - ये विभिन्न वस्तुओं पर बिंदु हैं।

कौन से अंक \(1\), \(2\), आदि संख्याओं से मेल खाते हैं?

याद रखें, हमने मान लिया था कि एक संख्या वृत्त की त्रिज्या \(1\) है? यह हमारा एकल खंड होगा (संख्या अक्ष के अनुरूप), जिसे हम सर्कल पर रखेंगे।

संख्या 1 के अनुरूप संख्या वृत्त पर एक बिंदु को चिह्नित करने के लिए, आपको सकारात्मक दिशा में त्रिज्या के बराबर 0 से दूरी तय करनी होगी।

संख्या \(2\) के अनुरूप वृत्त पर एक बिंदु को चिह्नित करने के लिए, आपको मूल से दो त्रिज्या के बराबर दूरी तय करनी होगी, ताकि \(3\) तीन त्रिज्या के बराबर दूरी हो, आदि।

इस तस्वीर को देखकर आपके दो सवाल हो सकते हैं:
1. क्या होगा जब वृत्त "समाप्त हो जाता है" (यानी हम एक पूर्ण मोड़ बनाते हैं)?
उत्तर: दूसरे दौर में चलते हैं! और जब दूसरा खत्म हो जाएगा, तो हम तीसरे पर जाएंगे और इसी तरह। इसलिए, एक वृत्त पर अनंत संख्याएँ लागू की जा सकती हैं।

2. ऋणात्मक संख्याएँ कहाँ होंगी?
उत्तर: वहीं! उन्हें रेडी की आवश्यक संख्या शून्य से गिनते हुए भी व्यवस्थित किया जा सकता है, लेकिन अब एक नकारात्मक दिशा में।

दुर्भाग्य से, संख्या वृत्त पर पूर्णांकों को निर्दिष्ट करना कठिन है। यह इस तथ्य के कारण है कि संख्यात्मक सर्कल की लंबाई एक पूर्णांक नहीं होगी: \ (2π \)। और सबसे सुविधाजनक स्थानों पर (कुल्हाड़ियों के साथ चौराहे के बिंदुओं पर) पूर्णांक नहीं, बल्कि अंश भी होंगे

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हम आपके ध्यान में "न्यूमेरिक सर्कल" विषय पर एक वीडियो पाठ प्रस्तुत करते हैं। एक परिभाषा दी गई है कि साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट और फ़ंक्शन क्या हैं आप= पाप एक्स, आप= क्योंकि एक्स, आप= टीजी एक्स, आप= सीटीजी एक्सकिसी भी संख्यात्मक तर्क के लिए। हम प्रत्येक संख्या के लिए एक बिंदु खोजने के लिए एक इकाई संख्या सर्कल में संख्याओं और बिंदुओं के बीच पत्राचार के लिए मानक कार्यों पर विचार करते हैं, और इसके विपरीत, प्रत्येक बिंदु के लिए इसके अनुरूप संख्याओं का एक सेट खोजने के लिए।

विषय: त्रिकोणमितीय कार्यों के सिद्धांत के तत्व

पाठ: संख्या वृत्त

हमारा तात्कालिक लक्ष्य त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करना है: साइनस, कोज्या, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट-

एक संख्यात्मक तर्क को एक समन्वय रेखा या एक वृत्त पर प्लॉट किया जा सकता है।

ऐसे वृत्त को संख्यात्मक या इकाई वृत्त कहा जाता है, क्योंकि। सुविधा के लिए, के साथ एक वृत्त लें

उदाहरण के लिए, एक बिंदु दिया गया है, इसे निर्देशांक रेखा पर चिह्नित करें

और पर नंबर सर्कल.

एक संख्या चक्र के साथ काम करते समय, यह सहमति हुई कि वामावर्त गति एक सकारात्मक दिशा है, दक्षिणावर्त गति नकारात्मक है।

विशिष्ट कार्य - आपको किसी दिए गए बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने की आवश्यकता है, या, इसके विपरीत, इसके निर्देशांक द्वारा एक बिंदु खोजें।

निर्देशांक रेखा अंक और संख्याओं के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करती है। उदाहरण के लिए, एक संख्या निर्देशांक के साथ बिंदु A से मेल खाती है

निर्देशांक के साथ प्रत्येक बिंदु बी को केवल एक संख्या की विशेषता है - 0 से दूरी को प्लस या माइनस चिह्न के साथ लिया जाता है।

नंबर सर्कल पर, एक-से-एक पत्राचार केवल एक दिशा में काम करता है।

उदाहरण के लिए, निर्देशांक वृत्त पर एक बिंदु B है (चित्र 2), चाप की लंबाई 1 है, अर्थात। यह बिंदु 1 से मेल खाता है।

एक वृत्त दिया गया है, एक वृत्त की परिधि। यदि तब इकाई वृत्त की लंबाई है।

यदि हम जोड़ते हैं, तो हमें वही बिंदु B मिलता है, और अधिक - हम बिंदु B पर भी जाते हैं, घटाते हैं - बिंदु B भी।

बिंदु B पर विचार करें: चाप की लंबाई \u003d 1, फिर संख्याएँ वृत्त पर बिंदु B को दर्शाती हैं।

इस प्रकार, संख्या 1 संख्यात्मक सर्कल के एकमात्र बिंदु से मेल खाती है - बिंदु बी, और बिंदु बी फॉर्म के बिंदुओं के एक बेशुमार सेट से मेल खाती है .

एक संख्या वृत्त के लिए निम्नलिखित सत्य है:

अगर टी. एमसंख्या वृत्त एक संख्या से मेल खाती है तो यह भी रूप के एक नंबर से मेल खाती है

आप जितने चाहें सकारात्मक या नकारात्मक दिशा में संख्या चक्र के चारों ओर कई पूर्ण मोड़ बना सकते हैं - बिंदु वही है। इसलिए, त्रिकोणमितीय समीकरणों के अनंत हल होते हैं।

उदाहरण के लिए, दिया गया बिंदु D. यह किन संख्याओं से मेल खाता है?

हम चाप को मापते हैं।

बिंदु D के अनुरूप सभी संख्याओं का समुच्चय।

संख्या वृत्त पर मुख्य बिंदुओं पर विचार करें।

पूरे सर्कल की लंबाई।

वे। निर्देशांक के सेट का रिकॉर्ड अलग हो सकता है .

संख्या चक्र पर विशिष्ट कार्यों पर विचार करें।

1. दिया गया:। खोजें: एक संख्या वृत्त पर एक बिंदु।

हम पूरे भाग का चयन करते हैं:

संख्या वृत्त पर m ज्ञात करना आवश्यक है। , फिर .

इस सेट में बिंदु भी शामिल है।

2. दिया हुआ : . खोजें: एक संख्या वृत्त पर एक बिंदु।

खोजने की जरूरत है टी.

मी. भी इसी सेट से संबंधित है।

एक संख्या सर्कल पर संख्याओं और बिंदुओं के बीच पत्राचार पर मानक कार्यों को हल करते हुए, हमने पाया कि प्रत्येक संख्या के लिए एक बिंदु खोजना संभव है, और प्रत्येक बिंदु के लिए संख्याओं का एक सेट ढूंढना संभव है जो किसी दिए गए द्वारा विशेषता है बिंदु।

आइए चाप को तीन बराबर भागों में विभाजित करें और बिंदुओं M और N को चिह्नित करें।

आइए इन बिंदुओं के सभी निर्देशांक खोजें।

तो, हमारा लक्ष्य त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करना है। ऐसा करने के लिए, हमें सीखना होगा कि फ़ंक्शन तर्क कैसे सेट करें। हमने यूनिट सर्कल के बिंदुओं पर विचार किया और दो विशिष्ट समस्याओं को हल किया - संख्या सर्कल पर एक बिंदु खोजने के लिए और यूनिट सर्कल के बिंदु के सभी निर्देशांक लिखने के लिए।

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