आकार का मैट्रिक्स m बटा n.

आव्यूह आकार एम बटा एन एमएन वास्तविक संख्याओं या किसी अन्य संरचना के तत्वों (बहुपद, फ़ंक्शन इत्यादि) का एक संग्रह है, जो एक आयताकार तालिका के रूप में लिखा जाता है, जिसमें एम पंक्तियां और एन कॉलम होते हैं और गोल या आयताकार या डबल में लिया जाता है सीधे कोष्ठक. इस मामले में, संख्याओं को स्वयं मैट्रिक्स तत्व कहा जाता है और प्रत्येक तत्व दो संख्याओं से जुड़ा होता है - पंक्ति संख्या और स्तंभ संख्या। n बटा n आकार के मैट्रिक्स को कहा जाता है वर्ग nवें क्रम का मैट्रिक्स, यानी पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर है। त्रिकोणीय - एक वर्ग मैट्रिक्स जिसमें मुख्य विकर्ण के नीचे या ऊपर के सभी तत्व शून्य के बराबर होते हैं। एक वर्ग मैट्रिक्स कहलाता है विकर्ण , यदि इसके सभी ऑफ-विकर्ण तत्व शून्य के बराबर हैं। अदिश मैट्रिक्स - एक विकर्ण मैट्रिक्स जिसके मुख्य विकर्ण तत्व बराबर होते हैं। अदिश मैट्रिक्स का एक विशेष मामला पहचान मैट्रिक्स है। विकर्णएक मैट्रिक्स जिसमें सभी विकर्ण तत्व 1 के बराबर होते हैं, कहलाते हैं अकेलामैट्रिक्स और इसे प्रतीक I या E द्वारा दर्शाया जाता है। एक मैट्रिक्स जिसके सभी तत्व शून्य हैं, कहलाते हैं व्यर्थ मैट्रिक्स और प्रतीक O द्वारा निरूपित किया जाता है।

मैट्रिक्स A को किसी संख्या से गुणा करना λ (प्रतीक: λ ए) एक मैट्रिक्स का निर्माण शामिल है बी, जिसके तत्व मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को गुणा करके प्राप्त किए जाते हैं एइस संख्या से, यानी मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व बीके बराबर होती है

आव्यूहों को किसी संख्या से गुणा करने के गुण

1. 1*ए = ए; 2. (Λβ)A = Λ(βA) 3. (Λ+β)A = ΛA + βA

4. Λ(ए+बी) = Λए + Λबी

मैट्रिक्स जोड़ ए + बी मैट्रिक्स खोजने का ऑपरेशन है सी, जिसके सभी तत्व सभी संगत मैट्रिक्स तत्वों के जोड़ीवार योग के बराबर हैं एऔर बी, अर्थात्, मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व सीके बराबर होती है

मैट्रिक्स जोड़ के गुण

5.क्रमपरिवर्तनशीलता) a+b=b+a

6.सहयोगिता.

7.शून्य मैट्रिक्स के साथ जोड़;

8. एक विपरीत मैट्रिक्स का अस्तित्व (एक ही बात है लेकिन प्रत्येक संख्या से पहले हर जगह माइनस होते हैं)

मैट्रिक्स गुणन - एक मैट्रिक्स गणना ऑपरेशन है सी, जिसके तत्व पहले कारक की संगत पंक्ति और दूसरे के कॉलम में तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर हैं।

मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या एमैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या से मेल खाना चाहिए बी. यदि मैट्रिक्स एआयाम है, बी- , फिर उनके उत्पाद का आयाम अब = सीवहाँ है ।

मैट्रिक्स गुणन के गुण

1.सहयोगिता; (ऊपर देखें)

2. उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है;

3. पहचान मैट्रिक्स के साथ गुणन के मामले में उत्पाद क्रमविनिमेय है;

4.वितरणात्मक कानून की निष्पक्षता; ए*(बी+सी)=ए*बी+ए*सी.

5.(ΛA)B = Λ(AB) = A(ΛB);

2. पहले और nवें क्रम के वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक

एक मैट्रिक्स का निर्धारक एक वर्ग मैट्रिक्स के तत्वों का एक बहुपद है (अर्थात्, जिसमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या बराबर होती है)

पहली पंक्ति में विस्तार के माध्यम से निर्धारण

प्रथम क्रम मैट्रिक्स के लिए सिद्धइस मैट्रिक्स का ही एकमात्र तत्व है:

निर्धारकों के मैट्रिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

मैट्रिक्स के लिए, निर्धारक को पुनरावर्ती रूप से निर्दिष्ट किया जाता है:

, तत्व के लिए एक अतिरिक्त नाबालिग कहां है ए 1जे. इस सूत्र को कहा जाता है लाइन विस्तार.

विशेष रूप से, मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करने का सूत्र है:

= ए 11 ए 22 ए 33 − ए 11 ए 23 ए 32 − ए 12 ए 21 ए 33 + ए 12 ए 23 ए 31 + ए 13 ए 21 ए 32 − ए 13 ए 22 ए 31

निर्धारकों के गुण

किसी पंक्ति (स्तंभ) में अन्य पंक्तियों (स्तंभों) का रैखिक संयोजन जोड़ने पर निर्धारक नहीं बदलता है।

§ यदि किसी मैट्रिक्स की दो पंक्तियाँ (स्तंभ) संपाती हों, तो इसका सारणिक शून्य के बराबर होता है।

§ यदि किसी मैट्रिक्स की दो (या कई) पंक्तियाँ (स्तंभ) रैखिक रूप से निर्भर हैं, तो इसका निर्धारक शून्य के बराबर है।

§ यदि आप किसी मैट्रिक्स की दो पंक्तियों (स्तंभों) को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो इसका निर्धारक (-1) से गुणा हो जाता है।

§ किसी सारणिक की किसी श्रृंखला के तत्वों का उभयनिष्ठ गुणनखंड सारणिक के चिन्ह से निकाला जा सकता है।

§ यदि मैट्रिक्स की कम से कम एक पंक्ति (स्तंभ) शून्य है, तो सारणिक शून्य के बराबर है।

§ किसी भी पंक्ति के सभी तत्वों के गुणनफल का योग उनके बीजगणितीय पूरकों द्वारा सारणिक के बराबर होता है।

§ किसी समानांतर श्रृंखला के संगत तत्वों के बीजगणितीय पूरकों द्वारा किसी श्रृंखला के सभी तत्वों के उत्पादों का योग शून्य के बराबर होता है।

§ समान क्रम के वर्ग आव्यूहों के उत्पाद का निर्धारक उनके निर्धारकों के उत्पाद के बराबर होता है (बिनेट-कॉची सूत्र भी देखें)।

§ सूचकांक संकेतन का उपयोग करते हुए, 3x3 मैट्रिक्स के निर्धारक को संबंध से लेवी-सिविटा प्रतीक का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है:

उलटा मैट्रिक्स.

उलटा मैट्रिक्स - ऐसा मैट्रिक्स ए−1, जब मूल मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है एपहचान मैट्रिक्स में परिणाम इ:

सशर्त अस्तित्व:

एक वर्ग मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि यह गैर-एकवचन है, अर्थात इसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है। गैर-वर्ग आव्यूह और एकवचन आव्यूह के लिए, कोई व्युत्क्रम आव्यूह नहीं हैं।

खोजने का सूत्र

यदि मैट्रिक्स उलटा है, तो उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए आप निम्न विधियों में से एक का उपयोग कर सकते हैं:

ए) बीजगणितीय जोड़ के मैट्रिक्स का उपयोग करना

सी टी- बीजगणितीय परिवर्धन का ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स;

परिणामी मैट्रिक्स ए−1 और व्युत्क्रम होगा. एल्गोरिथ्म की जटिलता निर्धारक O det की गणना के लिए एल्गोरिदम की जटिलता पर निर्भर करती है और O(n²)·O det के बराबर है।

दूसरे शब्दों में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स मूल मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है और बीजगणितीय परिवर्धन के ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स द्वारा गुणा किया जाता है (नाबालिग को उसके द्वारा घेरने वाले स्थान की शक्ति से (-1) से गुणा किया जाता है) मूल मैट्रिक्स के तत्व.

4. रैखिक समीकरणों की प्रणाली. सिस्टम समाधान. सिस्टम की अनुकूलता और असंगति. n चर वाले n रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि। क्रेमर का प्रमेय.

प्रणाली एमके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात(या, रैखिक प्रणाली) रैखिक बीजगणित में फॉर्म के समीकरणों की एक प्रणाली है

(1)

यहाँ एक्स 1 , एक्स 2 , …, एक्स एन- अज्ञात जिन्हें निर्धारित करने की आवश्यकता है। ए 11 , ए 12 , …, एक एम.एन- सिस्टम गुणांक - और बी 1 , बी 2 , … बी एम- मुक्त सदस्य - ज्ञात माने जाते हैं। गुणांक सूचकांक ( एक आई.जे) सिस्टम समीकरण संख्याओं को दर्शाते हैं ( मैं) और अज्ञात ( जे), जिस पर यह गुणांक क्रमशः खड़ा होता है।

सिस्टम (1) कहा जाता है सजातीय, यदि इसके सभी मुक्त पद शून्य के बराबर हैं ( बी 1 = बी 2 = … = बी एम= 0), अन्यथा - विजातीय.

सिस्टम (1) कहा जाता है वर्ग, यदि संख्या एमसंख्या के बराबर समीकरण एनअज्ञात।

समाधानसिस्टम (1) - सेट एननंबर सी 1 , सी 2 , …, सी एन, जैसे कि प्रत्येक का प्रतिस्थापन सी मैंके बजाय एक्स मैंसिस्टम में (1) इसके सभी समीकरणों को सर्वसमिकाओं में बदल देता है।

सिस्टम (1) कहा जाता है संयुक्त, यदि इसका कम से कम एक समाधान है, और गैर संयुक्त, यदि उसके पास एक भी समाधान नहीं है।

प्रकार (1) की एक संयुक्त प्रणाली में एक या अधिक समाधान हो सकते हैं।

समाधान सी 1 (1) , सी 2 (1) , …, सी एन(1) और सी 1 (2) , सी 2 (2) , …, सी एन(2) रूप की संयुक्त प्रणालियाँ (1) कहलाती हैं विभिन्न, यदि कम से कम एक समानता का उल्लंघन होता है:

सी 1 (1) = सी 1 (2) , सी 2 (1) = सी 2 (2) , …, सी एन (1) = सी एन (2) .

मैट्रिक्स फॉर्म

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को मैट्रिक्स रूप में इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

एएक्स = बी.

यदि मैट्रिक्स ए में दाईं ओर मुक्त पदों का एक कॉलम जोड़ा जाता है, तो परिणामी मैट्रिक्स को विस्तारित कहा जाता है।

प्रत्यक्ष तरीके

क्रैमर विधि (क्रैमर नियम)- मुख्य मैट्रिक्स के गैर-शून्य निर्धारक के साथ रैखिक बीजीय समीकरणों की द्विघात प्रणालियों को हल करने की एक विधि (और ऐसे समीकरणों के लिए एक अद्वितीय समाधान है)। इसका नाम गेब्रियल क्रैमर (1704-1752) के नाम पर रखा गया, जिन्होंने इस पद्धति का आविष्कार किया था।

विधि का वर्णन

सिस्टम के लिए एनके साथ रैखिक समीकरण एनअज्ञात (एक मनमाना क्षेत्र पर)

सिस्टम मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ Δ शून्य से भिन्न, समाधान फॉर्म में लिखा गया है

(सिस्टम मैट्रिक्स के i-वें कॉलम को फ्री टर्म्स के कॉलम से बदल दिया गया है)।
दूसरे रूप में, क्रैमर का नियम इस प्रकार तैयार किया गया है: किसी भी गुणांक c 1, c 2, ..., c n के लिए निम्नलिखित समानता है:

इस रूप में, क्रैमर का सूत्र इस धारणा के बिना मान्य है कि Δ शून्य से भिन्न है; यह भी आवश्यक नहीं है कि सिस्टम के गुणांक एक अभिन्न रिंग के तत्व हों (सिस्टम का निर्धारक शून्य का विभाजक भी हो सकता है) गुणांक वलय). हम यह भी मान सकते हैं कि या तो सेट बी 1 ,बी 2 ,...,बी एनऔर एक्स 1 ,एक्स 2 ,...,एक्स एन, या एक सेट सी 1 ,सी 2 ,...,सी एनसिस्टम के गुणांक रिंग के तत्वों से नहीं, बल्कि इस रिंग के ऊपर कुछ मॉड्यूल से मिलकर बनता है।

5.केवें क्रम का लघु। मैट्रिक्स रैंक. मैट्रिक्स के प्राथमिक परिवर्तन। रैखिक समीकरणों की प्रणाली के लिए अनुकूलता स्थितियों पर क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय। रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए परिवर्तनीय उन्मूलन (गाऊसी) विधि।

नाबालिग मैट्रिक्स एक्रम के वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक है क(जिसे इस माइनर का क्रम भी कहा जाता है), जिसके तत्व मैट्रिक्स में दिखाई देते हैं एसंख्याओं के साथ पंक्तियों और संख्याओं के साथ स्तंभों के प्रतिच्छेदन पर।

पद मैट्रिक्स पंक्ति (स्तंभ) प्रणाली एसाथ एमलाइनें और एनकॉलम गैर-शून्य पंक्तियों (कॉलम) की अधिकतम संख्या है।

कई पंक्तियों (स्तंभों) को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि उनमें से किसी को भी अन्य के संदर्भ में रैखिक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। पंक्ति प्रणाली की रैंक हमेशा स्तंभ प्रणाली की रैंक के बराबर होती है, और इस संख्या को मैट्रिक्स की रैंक कहा जाता है।

क्रोनकर - कैपेली प्रमेय (रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली के लिए संगति मानदंड) -

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि इसके मुख्य मैट्रिक्स की रैंक इसके विस्तारित मैट्रिक्स (मुक्त शर्तों के साथ) की रैंक के बराबर है, और यदि रैंक संख्या के बराबर है तो सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है अज्ञात की संख्या, और यदि रैंक अज्ञात की संख्या से कम है तो अनंत संख्या में समाधान।

गॉस विधि - रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की एक प्रणाली को हल करने के लिए एक शास्त्रीय विधि। यह चरों के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि है, जब, प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, समीकरणों की एक प्रणाली को एक चरण (या त्रिकोणीय) रूप की समतुल्य प्रणाली में घटा दिया जाता है, जिसमें से अन्य सभी चर क्रमिक रूप से पाए जाते हैं, अंतिम से शुरू करते हुए (द्वारा) संख्या) चर।

6. निर्देशित खंड और वेक्टर. वेक्टर बीजगणित की बुनियादी अवधारणाएँ। सदिशों का योग और एक सदिश और एक संख्या का गुणनफल। सदिशों के समन्वय के लिए शर्त. सदिशों पर रैखिक संक्रियाओं के गुण।

वैक्टर पर संचालन

जोड़ना

स्थिति और विचार किए जा रहे वैक्टर के प्रकार के आधार पर, ज्यामितीय वैक्टर जोड़ने की प्रक्रिया को अलग-अलग तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है:

दो वैक्टर यू, वीऔर उनके योग का सदिश

त्रिभुज नियम. दो सदिशों को जोड़ने के लिए और त्रिभुज नियम के अनुसार, इन दोनों सदिशों को अपने समानांतर स्थानांतरित किया जाता है ताकि उनमें से एक की शुरुआत दूसरे के अंत के साथ मेल खाए। फिर योग वेक्टर परिणामी त्रिभुज की तीसरी भुजा द्वारा दिया जाता है, और इसकी शुरुआत पहले वेक्टर की शुरुआत के साथ मेल खाती है, और इसका अंत दूसरे वेक्टर के अंत के साथ मेल खाता है।

समांतर चतुर्भुज नियम. दो सदिशों को जोड़ने के लिए और समांतर चतुर्भुज नियम के अनुसार, इन दोनों सदिशों को अपने समानांतर स्थानांतरित किया जाता है ताकि उनकी उत्पत्ति मेल खाए। फिर योग वेक्टर उनके सामान्य मूल से शुरू करके, उन पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्वारा दिया जाता है।

और योग वेक्टर का मापांक (लंबाई)। कोसाइन प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है कि सदिशों के बीच का कोण कहां है जब एक की शुरुआत दूसरे के अंत के साथ मेल खाती है। सूत्र का प्रयोग अब भी किया जाता है - एक बिंदु से निकलने वाले सदिशों के बीच का कोण।

वेक्टर कलाकृति

वेक्टर कलाकृतिवेक्टर दर वेक्टर एक वेक्टर है जो निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा करता है:

वेक्टर सी के गुण

§ एक सदिश की लंबाई सदिशों की लंबाई और उनके बीच के कोण φ की ज्या के गुणनफल के बराबर होती है

§ वेक्टर प्रत्येक वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल है और

§ वेक्टर C की दिशा बुरावचिक नियम द्वारा निर्धारित की जाती है

एक वेक्टर उत्पाद के गुण:

1. कारकों को पुनर्व्यवस्थित करते समय, वेक्टर उत्पाद संकेत (एंटीकम्यूटेटिविटी) बदलता है, यानी।

2. वेक्टर उत्पाद में अदिश कारक के संबंध में संयोजन गुण होता है, अर्थात

3. वेक्टर उत्पाद में वितरण गुण होता है:

समतल और अंतरिक्ष में आधार और समन्वय प्रणाली। आधार द्वारा एक वेक्टर का अपघटन। समतल और अंतरिक्ष में ऑर्थोनॉर्मल आधार और आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली। एक समतल और अंतरिक्ष में एक वेक्टर और एक बिंदु के निर्देशांक। निर्देशांक अक्षों पर एक सदिश का प्रक्षेपण।

आधार (प्राचीन ग्रीक βασις, आधार) - एक सदिश समष्टि में सदिशों का एक समूह, ताकि इस समष्टि में किसी भी सदिश को इस समुच्चय से सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सके - आधार वैक्टर.

प्रत्येक आधार सदिश की लंबाई (मानदंड) को इकाई के रूप में चुनना अक्सर सुविधाजनक होता है, ऐसे आधार को कहा जाता है सामान्यीकृत.

उदाहरण के लिए, आधार वैक्टर के रैखिक संयोजन (संख्यात्मक गुणांक द्वारा आधार वैक्टर का योग) के रूप में अंतरिक्ष के एक विशिष्ट (किसी भी) वेक्टर का प्रतिनिधित्व

या, योग चिह्न का उपयोग करके Σ:

बुलाया इस आधार पर इस वेक्टर का विस्तार।

एक समतल और अंतरिक्ष में एक वेक्टर और एक बिंदु के निर्देशांक।

बिंदु A का x-अक्ष निर्देशांक खंड OAx की लंबाई के निरपेक्ष मान के बराबर एक संख्या है: यदि बिंदु A धनात्मक x-अक्ष पर स्थित है तो धनात्मक है, और यदि बिंदु A ऋणात्मक अर्ध-अक्ष पर स्थित है तो ऋणात्मक है।

यूनिट वेक्टर या यूनिट वेक्टर एक वेक्टर होता है जिसकी लंबाई एक के बराबर होती है और जो किसी भी समन्वय अक्ष के साथ निर्देशित होता है।

तब वेक्टर प्रक्षेपणएल अक्ष पर एबी इस अक्ष पर वेक्टर के अंत और शुरुआत के प्रक्षेपण के निर्देशांक के बीच का अंतर x1 - x2 है।

8.एक वेक्टर की लंबाई और दिशा कोज्या, दिशा कोज्या के बीच संबंध। ऑर्थ वेक्टर. निर्देशांक सदिशों का योग, एक सदिश और एक संख्या का गुणनफल होते हैं।

वेक्टर की लंबाई सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

वेक्टर की दिशा समन्वय अक्षों Ox, Oy, Oz के साथ इसके द्वारा निर्मित कोणों α, β, γ द्वारा निर्धारित की जाती है। इन कोणों की कोसाइन (तथाकथित) दिशा कोसाइन वेक्टर ) सूत्रों का उपयोग करके गणना की जाती है:

इकाई वेक्टरया ऑर्ट (सामान्यीकृत सदिश समष्टि का इकाई सदिश) एक वेक्टर है जिसका मानक (लंबाई) एक के बराबर है।

इकाई वेक्टर, किसी दिए गए (सामान्यीकृत वेक्टर) के साथ संरेख, सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है

यूनिट वैक्टर को अक्सर आधार वेक्टर के रूप में चुना जाता है, क्योंकि यह गणना को सरल बनाता है। ऐसे आधार कहलाते हैं सामान्यीकृत. यदि ये सदिश भी ऑर्थोगोनल हैं, तो ऐसे आधार को ऑर्थोनॉर्मल आधार कहा जाता है।

COORDINATES समरेख

COORDINATES बराबर

COORDINATES योग वेक्टरदो वैक्टर संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

COORDINATES समरेखवेक्टर संबंध को संतुष्ट करते हैं:

COORDINATES बराबरवेक्टर संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

योग सदिशदो वेक्टर:

कई सदिशों का योग:

एक सदिश और एक संख्या का गुणनफल:

वैक्टर का क्रॉस उत्पाद। क्रॉस उत्पाद के ज्यामितीय अनुप्रयोग। सदिशों की संरेखता के लिए शर्त. मिश्रित उत्पाद के बीजगणितीय गुण। वेक्टर उत्पाद को कारकों के निर्देशांक के माध्यम से व्यक्त करना।

एक वेक्टर का क्रॉस उत्पादऔर वेक्टर b को वेक्टर c कहा जाता है, जो:

1. सदिश a और b के लंबवत, अर्थात c^a और c^b;

2. इसकी लंबाई संख्यात्मक रूप से वैक्टर ए और बी पर भुजाओं के रूप में निर्मित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है (चित्र 17 देखें), यानी।

3. सदिश a, b और c दाएँ हाथ का त्रिक बनाते हैं।

ज्यामितीय अनुप्रयोग:

सदिशों की संरेखता स्थापित करना

एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना

सदिशों के सदिश गुणनफल की परिभाषा के अनुसार एऔर बी |ए एक्सबी | =|ए| * |बी |गाओ, यानी एस जोड़े = |ए एक्स बी |। और, इसलिए, डीएस =1/2|ए ​​एक्स बी |।

एक बिंदु के बारे में बल के क्षण का निर्धारण

भौतिकी से ज्ञात होता है कि बल का क्षण एफबिंदु के सापेक्ष के बारे मेंवेक्टर कहा जाता है एम,जो बिंदु से होकर गुजरती है के बारे मेंऔर:

1) बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के लंबवत ओ, ए, बी;

2) संख्यात्मक रूप से प्रति हाथ बल के गुणनफल के बराबर

3) सदिश OA और A B के साथ एक दायां त्रिक बनाता है।

इसलिए, एम = ओए x एफ।

रैखिक घूर्णन गति ज्ञात करना

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर कोणीय वेग w के साथ घूमते हुए एक कठोर शरीर के बिंदु M की गति v यूलर सूत्र v = w xr द्वारा निर्धारित की जाती है, जहां r = OM है, जहां O अक्ष का कुछ निश्चित बिंदु है (चित्र देखें)। 21).

सदिशों की संरेखता के लिए शर्त - एक गैर-शून्य वेक्टर और एक वेक्टर की संरेखता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त एक संख्या का अस्तित्व है जो समानता को संतुष्ट करती है।

मिश्रित उत्पाद के बीजगणितीय गुण

जब कारकों को गोलाकार रूप से पुनर्व्यवस्थित किया जाता है तो वैक्टर का मिश्रित उत्पाद नहीं बदलता है और जब दो कारकों को आपस में बदल दिया जाता है, तो इसके मापांक को बनाए रखते हुए, विपरीत संकेत बदल जाता है।

किसी मिश्रित उत्पाद के अंदर वेक्टर गुणन चिह्न " " को उसके किसी भी कारक के बीच रखा जा सकता है।

एक मिश्रित उत्पाद अपने किसी भी कारक के संबंध में वितरणात्मक होता है: (उदाहरण के लिए) यदि, तो

क्रॉस उत्पाद को निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त करना

सही समन्वय प्रणाली

वाम समन्वय प्रणाली

12.सदिशों का मिश्रित उत्पाद. मिश्रित उत्पाद का ज्यामितीय अर्थ, सदिशों की समतलीयता की स्थिति। मिश्रित उत्पाद के बीजगणितीय गुण। कारकों के निर्देशांक के माध्यम से मिश्रित उत्पाद को व्यक्त करना।

मिश्रितसदिशों (a,b,c) के क्रमित त्रिक का गुणनफल पहले सदिश का अदिश गुणनफल और दूसरे सदिश और तीसरे सदिश का सदिश गुणनफल है।

एक वेक्टर उत्पाद के बीजगणितीय गुण

प्रतिसंक्रामकता

एक अदिश से गुणन के संबंध में साहचर्यता

जोड़ द्वारा वितरण

जैकोबी पहचान. R3 में चलता है और R7 में टूट जाता है

आधार वैक्टर के वेक्टर उत्पाद परिभाषा के अनुसार पाए जाते हैं

निष्कर्ष

रेखा के दिशा सदिश और रेखा से संबंधित बिंदु के निर्देशांक दोनों के निर्देशांक कहां हैं।

एक समतल में एक रेखा का सामान्य सदिश. किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण। एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण. कोणीय गुणांक वाली सीधी रेखा के समीकरण। एक समतल पर दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति

सामान्यकिसी रेखा का सदिश इस रेखा पर लंबवत कोई भी गैर-शून्य सदिश होता है।

- किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण

एक्स + वू + सी = 0- एक रेखा का सामान्य समीकरण.

y=kx+b के रूप का रेखा समीकरण

बुलाया ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण, और गुणांक k को इस रेखा का ढलान कहा जाता है।

प्रमेय. ढलान वाली एक सीधी रेखा के समीकरण में y=kx+b

कोणीय गुणांक k, भुज अक्ष पर सीधी रेखा के झुकाव कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है:

आपसी व्यवस्था:

- ऑक्सी निर्देशांक तल पर दो रेखाओं के सामान्य समीकरण। तब

1) यदि , तो रेखाएँ संपाती हैं;

2) यदि , तो सीधा और समानांतर;

3) यदि , तो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं।

सबूत . यह स्थिति दी गई रेखाओं के सामान्य सदिशों की संरेखता के समतुल्य है:

इसलिए, यदि , तो सीधी रेखाएँ इंटरसेक्ट.

अगर , फिर , , और रेखा का समीकरण इस प्रकार बनता है:

या , अर्थात। सीधा मिलान. ध्यान दें कि आनुपातिकता गुणांक है, अन्यथा सामान्य समीकरण के सभी गुणांक शून्य के बराबर होंगे, जो असंभव है।

यदि रेखाएँ मेल नहीं खातीं और प्रतिच्छेद नहीं करतीं, तो मामला बना रहता है, अर्थात। सीधा समानांतर.

खंडों में एक रेखा का समीकरण

यदि सीधी रेखा के सामान्य समीकरण में Ах + Ву + С = 0 С≠0, तो -С से विभाजित करने पर, हमें मिलता है: या, जहां

गुणांकों का ज्यामितीय अर्थ वह गुणांक है एऑक्स अक्ष के साथ रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक है, और बी- ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का समन्वय।

एक रेखा का सामान्य समीकरण

यदि समीकरण के दोनों पक्षों Ax + By + C = 0 को एक संख्या से विभाजित किया जाता है सामान्यीकरण कारक, तो हमें मिलता है

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

एक रेखा का सामान्य समीकरण.

सामान्यीकरण कारक का चिह्न ± चुना जाना चाहिए ताकि μ ? साथ< 0.

p मूल बिंदु से सीधी रेखा तक डाले गए लंबवत की लंबाई है, और φ ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ इस लंबवत द्वारा बनाया गया कोण है।

सी यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक रेखा को खंडों में एक समीकरण द्वारा दर्शाया नहीं जा सकता है, उदाहरण के लिए, अक्षों के समानांतर या मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाएं।

17. दीर्घवृत्त. एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण. ज्यामितीय गुण और दीर्घवृत्त का निर्माण। विशेष नियम।

अंडाकार - बिंदुओं का स्थान एमयूक्लिडियन विमान, जिसके लिए दो दिए गए बिंदुओं की दूरियों का योग एफ 1 और एफ 2 (जिसे foci कहा जाता है) स्थिर है और foci के बीच की दूरी से अधिक है, अर्थात | एफ 1 एम | + | एफ 2 एम | = 2ए, और | एफ 1 एफ 2 | < 2ए.

विहित समीकरण

किसी भी दीर्घवृत्त के लिए, आप एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली पा सकते हैं जैसे कि दीर्घवृत्त का वर्णन समीकरण (दीर्घवृत्त के विहित समीकरण) द्वारा किया जाएगा:

यह मूल बिंदु पर केन्द्रित एक दीर्घवृत्त का वर्णन करता है, जिसकी अक्ष निर्देशांक अक्षों के साथ मेल खाती है।

निर्माण: 1)कम्पास का उपयोग करना

2) दो तरकीबें और एक फैला हुआ धागा

3) एलिप्सोग्राफ (एलिप्सोग्राफ में दो स्लाइडर होते हैं जो दो लंबवत खांचे या गाइड के साथ चल सकते हैं। स्लाइडर रॉड से टिका के माध्यम से जुड़े होते हैं, और रॉड के साथ एक दूसरे से एक निश्चित दूरी पर स्थित होते हैं। स्लाइडर आगे बढ़ते हैं और पीछे - प्रत्येक अपने स्वयं के खांचे के साथ, - और रॉड का अंत विमान पर एक दीर्घवृत्त का वर्णन करता है। दीर्घवृत्त ए और बी के अर्ध-अक्ष रॉड के अंत से स्लाइडर्स पर टिका तक की दूरी का प्रतिनिधित्व करते हैं। आमतौर पर दूरियाँ a और b भिन्न हो सकती हैं, और इस प्रकार वर्णित दीर्घवृत्त के आकार और आयाम बदल सकते हैं)

विलक्षणता दीर्घवृत्त के बढ़ाव को दर्शाती है। विलक्षणता शून्य के जितनी करीब होती है, दीर्घवृत्त उतना ही अधिक एक वृत्त जैसा दिखता है, और इसके विपरीत, विलक्षणता एकता के जितना करीब होती है, वह उतना ही अधिक लम्बा होता है।

फोकल पैरामीटर

विहित समीकरण

18.अतिपरवलय. अतिपरवलय के विहित समीकरण. ज्यामितीय गुण और हाइपरबोला का निर्माण। विशेष नियम

अतिशयोक्ति(प्राचीन यूनानी ὑπερβολή, प्राचीन यूनानी βαλειν से - "फेंक", ὑπερ - "ऊपर") - बिंदुओं का स्थान एमयूक्लिडियन तल, जिसके लिए दूरियों में अंतर का निरपेक्ष मान एमदो चयनित बिंदुओं तक एफ 1 और एफ 2 (जिसे फ़ॉसी कहा जाता है) लगातार। ज्यादा ठीक,

इसके अलावा | एफ 1 एफ 2 | > 2ए > 0.

अनुपात

ऊपर परिभाषित हाइपरबोलस की विशेषताओं के लिए, वे निम्नलिखित संबंधों का पालन करते हैं

2. हाइपरबोला की डायरेक्ट्रिक्स को दोगुनी मोटाई की रेखाओं द्वारा दर्शाया जाता है और संकेत दिया जाता है डी 1 और डी 2. सनक ε बिंदु दूरियों के अनुपात के बराबर पीहाइपरबोले पर फोकस और संबंधित डायरेक्ट्रिक्स पर (हरे रंग में दिखाया गया है)। हाइपरबोला के शीर्षों को ± के रूप में निर्दिष्ट किया गया है ए. हाइपरबोला पैरामीटर का मतलब निम्नलिखित है:

ए- केंद्र से दूरी सीप्रत्येक शीर्ष पर
बी- प्रत्येक शीर्ष से स्पर्शोन्मुख तक गिराए गए लंब की लंबाई
सी- केंद्र से दूरी सीकिसी भी फोकस के लिए, एफ 1 और एफ 2 ,
θ प्रत्येक अनंतस्पर्शी रेखा और शीर्षों के बीच खींची गई धुरी से बना कोण है।

गुण

§ हाइपरबोला पर स्थित किसी भी बिंदु के लिए, इस बिंदु से फोकस तक की दूरी और उसी बिंदु से नियता तक की दूरी का अनुपात एक स्थिर मान होता है।

§ एक हाइपरबोला में वास्तविक और काल्पनिक अक्षों के बारे में दर्पण समरूपता होती है, साथ ही हाइपरबोला के केंद्र के चारों ओर 180° के कोण से घुमाए जाने पर घूर्णी समरूपता भी होती है।

§ प्रत्येक अतिपरवलय में होता है संयुग्मित अतिपरवलय, जिसके लिए वास्तविक और काल्पनिक अक्ष स्थान बदलते हैं, लेकिन स्पर्शोन्मुख वही रहते हैं। यह प्रतिस्थापन से मेल खाता है एऔर बीहाइपरबोला का वर्णन करने वाले सूत्र में एक दूसरे के ऊपर। संयुग्मित अतिपरवलय प्रारंभिक अतिपरवलय को 90° के कोण से घुमाने का परिणाम नहीं है; दोनों अतिपरवलय आकार में भिन्न हैं।

19. परवलय. परवलय का विहित समीकरण. ज्यामितीय गुण और परवलय का निर्माण। विशेष नियम।

परवलय - किसी दी गई रेखा (जिसे परवलय की नियता कहा जाता है) और किसी दिए गए बिंदु (परवलय का फोकस कहा जाता है) से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का ज्यामितीय स्थान।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक परवलय का विहित समीकरण:

(या यदि आप कुल्हाड़ियों की अदला-बदली करते हैं)।

गुण

§ 1 परवलय दूसरे क्रम का वक्र है।

§ 2इसमें सममिति का एक अक्ष कहलाता है परवलय की धुरी. अक्ष फोकस से होकर गुजरता है और नियता के लंबवत है।

§ 3ऑप्टिकल संपत्ति.परवलय की धुरी के समानांतर किरणों का एक पुंज, परवलय में परावर्तित होकर, उसके फोकस पर एकत्रित होता है। और इसके विपरीत, फोकस में स्थित स्रोत से प्रकाश एक परवलय द्वारा अपनी धुरी के समानांतर किरणों की किरण में परावर्तित होता है।

§ 4परवलय के लिए, फोकस बिंदु (0.25; 0) पर होता है।

परवलय के लिए, फोकस बिंदु (0; f) पर होता है।

§ 5 यदि किसी परवलय का फोकस स्पर्शरेखा के सापेक्ष प्रतिबिंबित होता है, तो उसकी छवि नियता पर स्थित होगी।

§ 6 परवलय एक रेखा का प्रतिपादक है।

§ सभी परवलय समान हैं. फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के बीच की दूरी पैमाने को निर्धारित करती है।

§ 7 जब एक परवलय सममिति अक्ष के चारों ओर घूमता है, तो एक अण्डाकार परवलय प्राप्त होता है।

परवलय की नियति

फोकल त्रिज्या

20.सामान्य समतल सदिश. किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण किसी दिए गए वेक्टर के लंबवत होता है। सामान्य समतल समीकरण, सामान्य समतल समीकरण का एक विशेष मामला। एक समतल का सदिश समीकरण. दो तलों की सापेक्ष स्थिति.

विमान- ज्यामिति की बुनियादी अवधारणाओं में से एक। ज्यामिति की व्यवस्थित प्रस्तुति में, समतल की अवधारणा को आमतौर पर प्रारंभिक अवधारणाओं में से एक के रूप में लिया जाता है, जो केवल अप्रत्यक्ष रूप से ज्यामिति के सिद्धांतों द्वारा निर्धारित होती है।

बिंदु और सामान्य वेक्टर द्वारा एक विमान का समीकरण
वेक्टर रूप में

निर्देशांक में

समतलों के बीच का कोण

सामान्य समतल समीकरण के विशेष मामले.

भौतिकी में प्रकृति के नियमों को सही ढंग से प्रदर्शित करने के लिए उपयुक्त गणितीय उपकरणों की आवश्यकता होती है।

ज्यामिति और भौतिकी में ऐसी मात्राएँ होती हैं जिनकी विशेषता संख्यात्मक मान और दिशा दोनों होती है।

उन्हें निर्देशित खंडों के रूप में चित्रित करने की सलाह दी जाती है या वैक्टर.

के साथ संपर्क में

ऐसी मात्राओं की शुरुआत (एक बिंदु द्वारा प्रदर्शित) और एक अंत, एक तीर द्वारा इंगित होती है। किसी खंड की लंबाई को (लंबाई) कहा जाता है।

• रफ़्तार;
• त्वरण;
• नाड़ी;
• बल;
• पल;
• ताकत;
• चलती;
• क्षेत्र की ताकत, आदि

समतल निर्देशांक

आइए हम बिंदु A (x1,y1) से बिंदु B (x2,y2) तक निर्देशित समतल पर एक खंड को परिभाषित करें। इसके निर्देशांक a (a1, a2) संख्याएँ a1=x2-x1, a2=y2-y1 हैं।

मॉड्यूल की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है:

शून्य वेक्टर की शुरुआत अंत के साथ मेल खाती है। निर्देशांक और लंबाई 0 हैं।

वेक्टर योग

अस्तित्व राशि की गणना के लिए कई नियम

• त्रिकोण नियम;
• बहुभुज नियम;
• समांतर चतुर्भुज नियम.

वैक्टर जोड़ने के नियम को गतिशीलता और यांत्रिकी की समस्याओं का उपयोग करके समझाया जा सकता है। आइए एक बिंदु पिंड पर कार्यरत बलों और अंतरिक्ष में पिंड की क्रमिक गति के उदाहरण का उपयोग करके त्रिभुज नियम के अनुसार वैक्टरों के योग पर विचार करें।

मान लीजिए कि कोई पिंड पहले बिंदु A से बिंदु B की ओर और फिर बिंदु B से बिंदु C की ओर बढ़ता है। अंतिम विस्थापन प्रारंभिक बिंदु A से अंतिम बिंदु C तक निर्देशित एक खंड है।

दो आंदोलनों का परिणाम या उनका योग s = s1+ s2। इस विधि को कहा जाता है त्रिकोण नियम.

तीरों को एक के बाद एक श्रृंखला में पंक्तिबद्ध किया जाता है, यदि आवश्यक हो तो समानांतर स्थानांतरण किया जाता है। कुल खंड अनुक्रम को बंद कर देता है. इसकी शुरुआत पहले की शुरुआत के साथ मेल खाती है, इसका अंत आखिरी के अंत के साथ मेल खाता है। विदेशी पाठ्यपुस्तकों में इसी पद्धति को कहा जाता है "पूंछ से सिर तक".

परिणाम c = a + b के निर्देशांक पदों c (a1+ b1, a2+ b2) के संगत निर्देशांक के योग के बराबर हैं।

समांतर (संरेख) सदिशों का योग भी त्रिभुज नियम द्वारा निर्धारित होता है।

यदि दो मूल खंड एक दूसरे के लंबवत हैं, तो उनके योग का परिणाम उन पर बने समकोण त्रिभुज का कर्ण होता है। योग की लंबाई की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है।

उदाहरण:

• क्षैतिज रूप से फेंके गए किसी पिंड की गति होती है सीधामुक्त गिरावट का त्वरण.
• एकसमान घूर्णी गति के साथ, शरीर का रैखिक वेग अभिकेन्द्रीय त्वरण के लंबवत होता है।

तीन या अधिक सदिशों का योगके अनुसार उत्पादन करें बहुभुज नियम, "पूंछ से सिर तक"

आइए मान लें कि बल F1 और F2 एक बिंदु पिंड पर लागू होते हैं।

अनुभव साबित करता है कि इन बलों का संयुक्त प्रभाव उन पर बने समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के साथ निर्देशित एक बल की कार्रवाई के बराबर है। यह परिणामी बल उनके योग F = F1 + F 2 के बराबर है। योग की उपरोक्त विधि कहलाती है समांतर चतुर्भुज नियम.

इस मामले में लंबाई की गणना सूत्र द्वारा की जाती है

जहाँ θ भुजाओं के बीच का कोण है।

त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज के नियम परस्पर विनिमय योग्य हैं। भौतिकी में, समांतर चतुर्भुज नियम का अधिक बार उपयोग किया जाता है, क्योंकि बलों, वेग और त्वरण के दिशात्मक परिमाण आमतौर पर एक बिंदु निकाय पर लागू होते हैं। त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली में, समानांतर चतुर्भुज नियम लागू होता है।

बीजगणित के तत्व

1. जोड़ एक द्विआधारी ऑपरेशन है: एक समय में केवल एक जोड़ा जोड़ा जा सकता है।
2. क्रमपरिवर्तनशीलता: पदों की पुनर्व्यवस्था से योग a + b = b + a नहीं बदलता है। यह समांतर चतुर्भुज नियम से स्पष्ट है: विकर्ण हमेशा समान होता है।
3. संबद्धता: सदिशों की एक मनमानी संख्या का योग उनके योग (a + b) + c = a + (b + c) के क्रम पर निर्भर नहीं करता है।
4. शून्य वेक्टर के साथ योग न तो दिशा बदलता है और न ही लंबाई: a +0= a .
5. प्रत्येक वेक्टर के लिए वहाँ है विलोम. उनका योग शून्य a +(-a)=0 के बराबर है, और लंबाई समान है।

एक अदिश से गुणा

किसी अदिश से गुणन का परिणाम एक सदिश होता है।

उत्पाद के निर्देशांक मूल के संगत निर्देशांक को एक अदिश राशि से गुणा करके प्राप्त किए जाते हैं।

अदिश एक संख्यात्मक मान है जिसमें प्लस या माइनस चिह्न, एक से अधिक या कम होता है।

भौतिकी में अदिश राशियों के उदाहरण:

• वज़न;
• समय;
• शुल्क;
• लंबाई;
• वर्ग;
• आयतन;
• घनत्व;
• तापमान;
• ऊर्जा।

उदाहरण:

कार्य बल और विस्थापन A = Fs का अदिश गुणनफल है।

भौतिकी, यांत्रिकी और तकनीकी विज्ञान की विभिन्न शाखाओं का अध्ययन करते समय, ऐसी मात्राएँ सामने आती हैं जो उनके संख्यात्मक मानों को निर्दिष्ट करके पूरी तरह से निर्धारित की जाती हैं। ऐसी मात्राएँ कहलाती हैं अदिशया, संक्षेप में, अदिश.

अदिश राशियाँ लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन, द्रव्यमान, शरीर का तापमान आदि हैं। अदिश राशियों के अलावा विभिन्न समस्याओं में ऐसी मात्राएँ भी होती हैं जिनके संख्यात्मक मान के अलावा उनकी दिशा जानना भी आवश्यक है। ऐसी मात्राएँ कहलाती हैं वेक्टर. सदिश राशियों के भौतिक उदाहरण अंतरिक्ष में घूम रहे किसी भौतिक बिंदु का विस्थापन, इस बिंदु की गति और त्वरण, साथ ही उस पर लगने वाला बल हो सकते हैं।

वेक्टर मात्राओं को वेक्टर का उपयोग करके दर्शाया जाता है।

वेक्टर परिभाषा. वेक्टर एक सीधी रेखा का एक निर्देशित खंड है जिसकी एक निश्चित लंबाई होती है।

एक वेक्टर की विशेषता दो बिंदुओं से होती है। एक बिंदु वेक्टर का आरंभिक बिंदु है, दूसरा बिंदु वेक्टर का अंतिम बिंदु है। यदि हम वेक्टर की शुरुआत को एक बिंदु से दर्शाते हैं ए , और वेक्टर का अंत एक बिंदु है में , तो वेक्टर स्वयं निरूपित होता है . एक वेक्टर को एक छोटे लैटिन अक्षर से भी दर्शाया जा सकता है जिसके ऊपर एक पट्टी होती है (उदाहरण के लिए, )।

ग्राफिक रूप से, एक वेक्टर को अंत में एक तीर के साथ एक खंड द्वारा दर्शाया जाता है।

वेक्टर की शुरुआत कहलाती है इसके अनुप्रयोग का बिंदु.अगर बात एवेक्टर की शुरुआत है , तो हम कहेंगे कि सदिश बिंदु पर लागू होता है एक।

एक वेक्टर की विशेषता दो मात्राएँ होती हैं: लंबाई और दिशा।

वेक्टर लंबाई – प्रारंभिक बिंदु A और अंतिम बिंदु B के बीच की दूरी। वेक्टर की लंबाई का दूसरा नाम वेक्टर का मापांक है और प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है . सदिश मापांक निरूपित किया गया है वेक्टर , जिसकी लम्बाई 1 हो, इकाई सदिश कहलाती है। यानी यूनिट वेक्टर के लिए शर्त

शून्य लंबाई वाले वेक्टर को शून्य वेक्टर कहा जाता है (द्वारा दर्शाया गया है)। जाहिर है, शून्य वेक्टर के आरंभ और अंत बिंदु समान होते हैं। शून्य वेक्टर की कोई विशिष्ट दिशा नहीं होती है।

संरेख सदिशों की परिभाषा. सदिश और एक ही रेखा पर या समानांतर रेखाओं पर स्थित सदिशों को संरेख कहा जाता है .

ध्यान दें कि संरेख सदिशों की अलग-अलग लंबाई और अलग-अलग दिशाएँ हो सकती हैं।

समान सदिशों का निर्धारण.दो सदिशों को समान कहा जाता है यदि वे संरेख हों, उनकी लंबाई समान हो और दिशा समान हो।

इस मामले में वे लिखते हैं:

टिप्पणी. सदिशों की समानता की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि एक सदिश को अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु (विशेषकर, एक समतल) पर अपना मूल रखकर समानांतर में स्थानांतरित किया जा सकता है।

सभी शून्य सदिशों को समान माना जाता है।

विपरीत सदिशों का निर्धारण.दो सदिश विपरीत कहलाते हैं यदि वे संरेख हों, उनकी लंबाई समान हो, लेकिन दिशा विपरीत हो।

इस मामले में वे लिखते हैं:

दूसरे शब्दों में, वेक्टर के विपरीत वेक्टर को इस प्रकार दर्शाया जाता है।