चार बुनियादी अंकगणितीय ऑपरेशन हैं: जोड़, घटाव, गुणा और भाग। वे गणित का आधार हैं, उनकी सहायता से अन्य सभी जटिल गणनाएँ की जाती हैं। इनमें जोड़ और घटाव सबसे सरल और परस्पर विपरीत हैं। लेकिन हम जीवन में अतिरिक्त शब्दों का प्रयोग अक्सर देखते हैं।

हम वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए एक साथ प्रयास करते समय "प्रयासों को जोड़ने" के बारे में, "प्राप्त सफलता के घटकों" आदि के बारे में बात करते हैं। घटाव से जुड़े नाम गणित की सीमाओं के भीतर रहते हैं, रोजमर्रा के भाषण में शायद ही कभी दिखाई देते हैं। इसलिए, "घटाया", "कम", "अंतर" शब्द कम आम हैं। इनमें से प्रत्येक घटक को खोजने का नियम केवल तभी लागू किया जा सकता है यदि आप इन नामों का अर्थ समझते हैं।

ग्रीक, लैटिन या अरबी मूल के कई वैज्ञानिक शब्दों के विपरीत, इस मामले में रूसी मूल वाले शब्दों का उपयोग किया जाता है। इसलिए उनका अर्थ समझना मुश्किल नहीं है, यानी यह याद रखना आसान है कि किस शब्द का क्या मतलब है।

यदि आप नाम को ही ध्यान से देखें तो यह ध्यान देने योग्य हो जाता है कि इसका संबंध "अलग", "अंतर" शब्दों से है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि इसका तात्पर्य मात्राओं के बीच स्थापित अंतर से है।

गणित में इस अवधारणा का अर्थ है:

• दो संख्याओं के बीच अंतर;
• यह इस बात का माप है कि एक मात्रा दूसरी से कितनी अधिक या कम है;
• यह घटाव करते समय प्राप्त परिणाम है - यह स्कूली पाठ्यक्रम द्वारा दी गई परिभाषा है।

टिप्पणी!यदि मात्राएँ एक दूसरे के बराबर हों तो उनमें कोई अन्तर नहीं होता। इसका मतलब है कि उनका अंतर शून्य है.

मिनुएंड और सबट्रेंड क्या हैं?

जैसा कि नाम से पता चलता है, कम किया जाना वह चीज़ है जो कम किया जाता है। और आप इसमें से एक भाग घटाकर मात्रा को छोटा कर सकते हैं। इस प्रकार, न्यूनतम वह संख्या है जिसमें से एक भाग घटाया जाता है।

तदनुसार, घटाई गई वह संख्या है जो उसमें से घटाई गई है।

वियोज्य		वियोजक		अंतर
18	—	11	=	7
14	—	5	=	9
26	—	22	=	4

उपयोगी वीडियो: मीनूएंड, सबट्रेंड, अंतर

अज्ञात तत्व खोजने के नियम

शर्तों को समझने के बाद, यह स्थापित करना आसान है कि घटाव के प्रत्येक तत्व को किस नियम से पाया जाता है।

चूँकि अंतर किसी दिए गए अंकगणितीय ऑपरेशन का परिणाम है, इसलिए इसे इस क्रिया का उपयोग करके पाया जाता है; यहां किसी अन्य नियम की आवश्यकता नहीं है। लेकिन गणितीय अभिव्यक्ति का दूसरा पद अज्ञात होने की स्थिति में वे वहां मौजूद हैं।

मीनूएंड कैसे खोजें

यह शब्द, जैसा कि पता चला, उस मात्रा को संदर्भित करता है जिसमें से एक भाग घटाया गया है। परंतु यदि एक को घटा दिया जाए और अंत में दूसरा बच जाए, तो संख्या इन दो भागों से मिलकर बनती है। इससे पता चलता है कि आप दो ज्ञात तत्वों को जोड़कर एक अज्ञात मीनूएंड पा सकते हैं।

तो, इस मामले में, अज्ञात को खोजने के लिए, आपको उपप्रकार और अंतर जोड़ना चाहिए:

सभी समान मामलों में यही सच है:

?	–	5	=	9
9	+	5	=	14

?	–	22	=	4
4	+	22	=	26

सबट्रेंड कैसे खोजें

यदि पूर्णांक में दो भाग होते हैं (इस मामले में मात्राएँ), तो उनमें से एक को घटाने पर दूसरा भाग प्राप्त होगा। इस प्रकार, अज्ञात सबट्रैंड को खोजने के लिए, इसके बजाय पूर्ण से अंतर घटाना पर्याप्त है।

अन्य समान उदाहरणों को उसी नियम का उपयोग करके हल किया जाता है।

14	–	?	=	9
14	–	9	=	5

लेख पाठक को "संख्या अंतर", "सबट्रेंड" और "मिनुएंड" की अवधारणाओं से परिचित कराएगा।

अंकगणित में केवल चार बुनियादी संक्रियाएँ होती हैं, जिन्हें हम जोड़, गुणा, घटाव और भाग कहते हैं। ऐसी क्रियाएँ सभी गणित का आधार हैं - वे हमें सभी गणनाएँ करने की अनुमति देती हैं: सरल और सबसे जटिल दोनों। सबसे सरल संक्रियाएँ जोड़ और घटाव हैं, जो एक दूसरे के विपरीत हैं। सच है, हम रोजमर्रा की जिंदगी में भी "जोड़" शब्द का उपयोग करते हैं।

उदाहरण के लिए, हमें "एक साथ प्रयास करना" वाक्यांश का सामना करना पड़ सकता है, जब हमें एक साथ कुछ काम करने की आवश्यकता होती है। लेकिन "घटाव" शब्द के साथ स्थिति थोड़ी अधिक जटिल है, और यह बातचीत में कम आम है। हम शायद ही कभी ऐसी अभिव्यक्ति सुनते हैं जैसे " वियोज्य», « वियोजक», « अंतर" लेकिन आज के लेख में हम गणितीय दृष्टिकोण से इनके बारे में विस्तार से बात करेंगे।

मीनूएंड, सबट्रेंड और संख्याओं के अंतर का क्या मतलब है?

मीनूएंड, सबट्रेंड और संख्याओं के अंतर का क्या मतलब है? जैसा कि आप जानते हैं, कई वैज्ञानिक शब्द और अभिव्यक्तियाँ अन्य भाषाओं से ली गई हैं, अधिकतर ग्रीक और लैटिन से। लेकिन जिन शब्दों पर नीचे चर्चा की जाएगी वे रूसी मूल के हैं, इसलिए हमारे लिए उनका विश्लेषण करना आसान होगा।

उदाहरण के लिए, संख्याओं के बीच अंतर के बारे में क्या? यदि हम "अंतर" शब्द के मूल पर ध्यान दें, तो उदाहरण के लिए, हमें इसके सजातीय शब्द "अंतर" के साथ प्रस्तुत किया जाएगा। और अगर हम गणित के बारे में बात कर रहे हैं, तो सोचने की कोई बात नहीं है - "अंतर" शब्द का अर्थ है कुछ संख्याओं, या बल्कि, दो संख्याओं के बीच का अंतर। अंतर हमें दिखाता है कि एक मान दूसरे से कितना अधिक है या, इसके विपरीत, दूसरा पहले से कितना कम है। गणित की दृष्टि से, यह घटाव का परिणाम जैसा दिखता है।

आइए तुरंत एक उदाहरण दें। मान लीजिए कि बारमेड एक ट्रे में आठ पाई लेकर जाती है। उसने उनमें से पाँच आगंतुकों को दे दिये। बारमेड ने अपनी ट्रे में कितने पाई छोड़े होंगे? यदि आप 8 में से 5 घटाते हैं, तो आपको 3 मिलता है। आइए अब इसे गणितीय रूप से लिखें:

• 8 – 5 = 3

यानी आठ और पांच के बीच तीन का अंतर है. अब हम समझते हैं कि "अंतर" शब्द क्या है।

ध्यान: यदि दो संख्याएं एक दूसरे के बराबर हैं तो उनमें कोई अंतर नहीं है, यह शून्य (8 – 8 = 0) के बराबर है।

अब हमें यह पता लगाना चाहिए कि सबट्रेंड और मीनूएंड क्या हैं। आइए फिर से शब्दों के अर्थ के अनुसार उनके अर्थ की कल्पना करें। कम की जा रही संख्या क्या हो सकती है? न्यूनतम वह संख्या है जो घटाने पर घटती है। इस संख्या में से एक और संख्या घटा दी जाती है। सबट्रेंड क्या है? सबट्रेंड बिल्कुल वह संख्या है जिसे हम मीनूएंड से घटाते हैं।

आइए बारमेड उदाहरण पर वापस जाएं। हमें याद है कि कैसे हमने आठ में से पांच घटाया और हमें तीन मिले। हमें पता चला कि इन दोनों संख्याओं के बीच तीन का अंतर है। अब हमारे लिए यह समझना मुश्किल नहीं है कि 8 एक लघु संख्या है, और 5 एक उपप्रकार संख्या है।

मिन्यूएंड और सबट्रेंड नंबर कैसे पता करें?

हम पहले ही पता लगा चुके हैं कि गणित में संख्याओं के बीच अंतर कैसे पता करें। यह बहुत आसान है. लेकिन यदि एक संख्या अज्ञात है तो क्या हम मीनूएंड और सबट्रेंड ढूंढ सकते हैं? निःसंदेह हम कर सकते हैं, क्योंकि हम अन्य दो संख्याएँ जान लेंगे। उदाहरण के लिए, हम मीनूएंड कैसे पा सकते हैं? यदि हम अंतर और घटाव का मान जानते हैं, तो इन दोनों संख्याओं का योग न्यूनतम के बराबर होता है:

• Y - 10 = 18, जहां Y कम होने वाली संख्या है
• तो Y = 18 + 10
• 18 + 10 = 28
• वाई=28

सबट्रेंड ढूँढना उतना ही आसान है। यदि हम अंतर और लघुअंत जानते हैं, तो हम लघुअंत से अंतर घटाकर उपप्रकार प्राप्त करेंगे:

• 28 - बी = 10, जहां बी घटाई जाने वाली संख्या है
• तो बी = 28 - 10
• 28 – 10 = 18
• बी=18

वीडियो: लघुगणक, घटाना, अंतर

संख्याओं का योग ज्ञात करना

योग (अव्य.) सुम्मा- संख्याओं का कुल, कुल संख्या) इन संख्याओं के योग का परिणाम है:। विशेष रूप से, यदि दो संख्याएँ जोड़ी जाती हैं और, तो

व्यायाम।संख्याओं का योग ज्ञात करें:

उत्तर।

संख्याओं के योग के गुण

साहचर्य:

इन गुणों के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पदों की स्थिति को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है।

गुणन के संबंध में वितरणशीलता

व्यायाम।सुविधाजनक तरीके से संख्याओं का योग ज्ञात करें:

समाधान।हमारे पास योग के गुण हैं

उत्तर। 1)

बड़ी संख्याएँ या दशमलव भिन्न जोड़ते समय, स्तंभ जोड़ का उपयोग करें।

समाधान।हम इन संख्याओं को एक कॉलम में जोड़ते हैं, ऐसा करने के लिए हम उन्हें एक के नीचे एक, अंक के नीचे अंक लिखते हैं। दशमलव भिन्नों के मामले में, हम यह सुनिश्चित करने पर ध्यान केंद्रित करते हैं कि पहली संख्या का दशमलव बिंदु दूसरे के दशमलव बिंदु से नीचे है। इसके बाद, हम दाएं से बाएं ओर बढ़ते हुए संख्याओं को एक दूसरे के नीचे जोड़ते हैं और परिणाम को भिन्न रेखा के नीचे लिखते हैं। यदि एक कॉलम में संख्याओं का योग दस से अधिक है, तो दहाई की संख्या इस कॉलम के बाईं ओर अगले कॉलम की संख्याओं में जोड़ दी जाती है:

उत्तर। 1)

परिमेय भिन्नों का योग नियम के अनुसार किया जाता है

समाधान।आइए परिमेय संख्याओं को जोड़ने के नियम का उपयोग करके पहले योग की गणना करें

परिणामी भिन्न के अंश और हर को 2 से कम किया जा सकता है, तो उत्तर होगा

दूसरे योग की गणना करने के लिए, हम पहले दूसरे पद को एक अनुचित भिन्न में बदलते हैं, ऐसा करने के लिए हम पूरे भाग को हर से गुणा करते हैं और परिणामी संख्या को अंश में जोड़ते हैं। इसके बाद, हम परिमेय भिन्नों को जोड़ने का नियम लागू करते हैं

आइए परिणामी भिन्न के पूरे भाग का चयन करें; ऐसा करने के लिए, अंश को हर से शेषफल से विभाजित करें। हम परिणामी भागफल को पूर्णांक भाग में लिखते हैं, और भाग के शेष भाग को अंश में लिखते हैं।

उत्तर। 1) ; 2)

गणित में संख्याओं के बीच अंतर कैसे पता करें

संख्याओं के साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ

भागफल विभाजन का परिणाम है.

राशि - जोड़ें;

उत्पाद - गुणा;

संख्याओं के बीच अंतर का मतलब है कि उनमें से एक दूसरे से कितना अधिक है।

यह वह आंकड़ा है जो दो मात्राओं को घटाने पर शेषफल बनाता है।

यह चार अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक का परिणाम है, जो घटाव है।

यदि आप मीनूएंड से सबट्रेंड घटाते हैं तो यही होता है।

मात्राओं के बीच अंतर कैसे पता करें

अंतर एक संख्या को दूसरी संख्या से घटाने का परिणाम है। इनमें से पहली संख्या, जिसमें से घटाव किया जाता है, मीनुएंड कहलाती है, और दूसरी, जिसमें से पहली में से घटाया जाता है, सबट्रेंड कहलाती है।

एक बार फिर स्कूली पाठ्यक्रम का सहारा लेते हुए, हमें अंतर जानने का एक नियम मिलता है:

अब यह स्पष्ट है कि अंतर में दो संख्याएँ शामिल हैं जिन्हें इसकी गणना करने के लिए जानना आवश्यक है। और उन्हें कैसे ढूंढें, हम परिभाषाओं का भी उपयोग करेंगे:

• उदाहरण 3. उपट्रेंड मान ज्ञात कीजिए।

समाधान: 17 - 7 = 10

पूर्णांक मान दिए गए हैं: 56, 12, 4.

12 और 4 घटाए गए मान हैं।

विधि 1 (घटाए गए मानों का क्रमिक घटाव):

विधि 2 (घटाए जा रहे योग में से दो उपप्रकार घटाएं, जिन्हें इस मामले में जोड़ कहा जाता है):

उत्तर: 40 तीन मानों का अंतर है।

• उदाहरण 5. परिमेय भिन्नों के बीच अंतर ज्ञात कीजिए।

समान हर वाली भिन्नें दी गई हैं, जहां

4/5 घटाया जाने वाला अंश है,

समाधान को पूरा करने के लिए, आपको भिन्नों के साथ क्रियाओं को दोहराना होगा। अर्थात्, आपको यह जानना होगा कि समान हर वाली भिन्नों को कैसे घटाया जाए। भिन्न-भिन्न हर वाले भिन्नों को कैसे संभालें। उन्हें उन्हें एक आम विभाजक तक लाने में सक्षम होना चाहिए।

समाधान: 4/5 - 3/5 = (4 - 3)/5 = 1/5

जब आपको अंतर को दोगुना या तिगुना करने की आवश्यकता हो तो ऐसा उदाहरण कैसे निष्पादित करें?

• किसी संख्या को दोगुना करना दो से गुणा किया गया मान है।
• किसी संख्या का तिगुना तीन से गुणा किया गया मान है।
• दोहरा अंतर परिमाण के अंतर को दो से गुणा करने पर प्राप्त होता है।
• तिगुना अंतर परिमाण में तीन से गुणा किया गया अंतर है।

2) 2 * 3 = 6। उत्तर: संख्या 7 और 5 के बीच का अंतर 6 है।

7 - कम मूल्य;

• यदि उपट्रेंड मीनेंड से बड़ा है, तो अंतर नकारात्मक होगा।

और भले ही आपकी यात्रा की शुरुआत में गणनाएँ आदिम उदाहरणों तक कम हो गई हों, सब कुछ आपके आगे है। और आपको बहुत कुछ मास्टर करना पड़ेगा. हम देखते हैं कि गणित में विभिन्न मात्राओं के साथ कई संक्रियाएँ होती हैं। इसलिए, अंतर के अलावा, यह अध्ययन करना आवश्यक है कि अंकगणितीय संक्रियाओं के शेष परिणामों की गणना कैसे करें:

• उत्पाद - कारकों को गुणा करके;
• भागफल - भाजक द्वारा लाभांश को विभाजित करके।

गणित में बुनियादी अंकगणितीय संक्रियाएँ हैं:

इन क्रियाओं के प्रत्येक परिणाम का अपना नाम भी होता है:

• योग - संख्याओं को जोड़कर प्राप्त परिणाम;
• गुणनफल संख्याओं को गुणा करने का परिणाम है;

यह दिलचस्प है: किसी संख्या का मापांक क्या है?

• अंतर - घटाना;
• निजी - बाँटना।

परिभाषाओं को देख रहे हैंगणित में संख्याओं के बीच क्या अंतर है, इस अवधारणा को कई तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है:

• यह एक संख्या को दूसरे से घटाना है।

आइए उस अंतर के संकेतन को एक आधार के रूप में लें जो स्कूली पाठ्यक्रम हमें प्रदान करता है:

• मीनूएंड एक गणितीय संख्या है जिसमें से इसे घटाया जाता है और यह घट जाती है (छोटी हो जाती है)।
• सबट्रेंड एक गणितीय संख्या है जिसे मीनूएंड से घटाया जाता है।
• मीनूएंड खोजने के लिए, आपको अंतर को सबट्रेंड में जोड़ना होगा।
• सबट्रेंड को खोजने के लिए, आपको मीनूएंड से अंतर को घटाना होगा.

संख्या अंतर के साथ गणितीय संक्रियाएँ

समाधान: 20 - 15 = 5

हल: 32 + 48 = 80

उत्तर: मान 10 घटाएं।

अधिक जटिल उदाहरण

समाधान दो प्रकार से किया जा सकता है.

1) 56 - 12 = 44 (यहां 44 पहली दो मात्राओं का परिणामी अंतर है, जो दूसरी क्रिया में कम हो जाएगा);

1) 12 + 4 = 16 (जहां 16 दो पदों का योग है, जिसे अगले ऑपरेशन में घटाया जाएगा);

सब कुछ साफ नजर आ रहा है. रुकना! क्या सबट्रेंड मीनूएंड से बड़ा है?

गोरे लोगों के लिए गणित

स्कूल में, हमें एक कॉलम में गणितीय मात्राओं के साथ और बाद में कैलकुलेटर पर ऐसे ऑपरेशनों की गणना करना सिखाया गया था। कैलकुलेटर भी एक उपयोगी सहायता है. लेकिन, सोच, बुद्धि, दृष्टिकोण और अन्य जीवन गुणों के विकास के लिए, हम आपको कागज पर या यहां तक ​​कि अपने दिमाग में अंकगणितीय संचालन करने की सलाह देते हैं। मानव शरीर की सुंदरता आधुनिक फिटनेस योजना की सबसे बड़ी उपलब्धि है। लेकिन मस्तिष्क भी एक मांसपेशी है जिसे कभी-कभी पंपिंग की आवश्यकता होती है। तो बिना देर किये सोचना शुरू करें.

"अंतर" शब्द के कई अर्थ हो सकते हैं। इसका मतलब किसी चीज़ में अंतर भी हो सकता है, उदाहरण के लिए, राय, विचार, रुचियां। कुछ वैज्ञानिक, चिकित्सा और अन्य व्यावसायिक क्षेत्रों में, यह शब्द विभिन्न संकेतकों को संदर्भित करता है, उदाहरण के लिए, रक्त शर्करा का स्तर, वायुमंडलीय दबाव और मौसम की स्थिति। गणितीय शब्द के रूप में "अंतर" की अवधारणा भी मौजूद है।

• अंतर - संख्याओं को घटाकर प्राप्त परिणाम;

गणित में योग, अंतर, उत्पाद और भागफल की अवधारणाओं को सरल भाषा में समझाने के लिए, हम उन्हें केवल वाक्यांशों के रूप में लिख सकते हैं:

गणित में अंतर

• गणित में, अंतर दो या दो से अधिक संख्याओं को एक दूसरे से घटाने पर प्राप्त होने वाला परिणाम है।
• यह वह मात्रा है जो दो मानों को घटाने का परिणाम है।
• अंतर दो संख्याओं के बीच मात्रात्मक अंतर को दर्शाता है।

और ये सभी परिभाषाएँ सत्य हैं.

• अंतर ज्ञात करने के लिए, आपको लघुअंत से उपट्रेंड घटाना होगा।

सब साफ। लेकिन साथ ही हमें कई और गणितीय शब्द भी प्राप्त हुए। उनका क्या मतलब है?

व्युत्पन्न नियमों के आधार पर, हम उदाहरणात्मक उदाहरणों पर विचार कर सकते हैं। गणित एक दिलचस्प विज्ञान है. यहां हम हल करने के लिए केवल सबसे सरल संख्याएं लेंगे। उन्हें घटाना सीखने के बाद, आप अधिक जटिल मानों, तीन-अंकीय, चार-अंकीय, पूर्णांक, भिन्नात्मक, घात, मूल आदि को हल करना सीखेंगे।

सरल उदाहरण

• उदाहरण 1. दो मात्राओं के बीच अंतर ज्ञात कीजिए।

20 - घटता मूल्य,

उत्तर: 5 - मूल्यों में अंतर।

• उदाहरण 2. मीनूएंड ज्ञात करें।

32 घटाया गया मान है.

17 का मान कम किया जा रहा है.

उदाहरण 1-3 सरल पूर्णांकों के साथ क्रियाओं की जाँच करते हैं। लेकिन गणित में, अंतर की गणना न केवल दो, बल्कि कई संख्याओं, साथ ही पूर्णांक, भिन्न, परिमेय, अपरिमेय आदि का उपयोग करके की जाती है।

• उदाहरण 4. तीन मानों के बीच अंतर ज्ञात कीजिए।

56 - मूल्य कम किया जाना है,

• उदाहरण 6. संख्याओं का अंतर तिगुना करें।

आइए नियमों का फिर से उपयोग करें:

7 - कम मूल्य,

5 - घटाया गया मूल्य।

• उदाहरण 7. मान 7 और 18 के बीच अंतर ज्ञात कीजिए।

और फिर एक नियम है जो एक विशिष्ट मामले पर लागू होता है:

उत्तर:- 11. यह ऋणात्मक मान दो मात्राओं के बीच का अंतर है, बशर्ते कि घटाई जाने वाली मात्रा कम की जाने वाली मात्रा से अधिक हो।

वर्ल्ड वाइड वेब पर आप बहुत सारी विषयगत साइटें पा सकते हैं जो किसी भी प्रश्न का उत्तर देंगी। उसी तरह, हर स्वाद के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको किसी भी गणितीय गणना में मदद करेंगे। उन पर की गई सभी गणनाएँ जल्दबाजी करने वाले, जिज्ञासु और आलसी लोगों के लिए एक उत्कृष्ट सहायता हैं। गोरे लोगों के लिए गणित एक ऐसा संसाधन है। इसके अलावा, हम सभी बालों के रंग, लिंग और उम्र की परवाह किए बिना इसका सहारा लेते हैं।

• योग - शर्तों को जोड़कर;

यह कुछ दिलचस्प अंकगणित है.

प्रथम श्रेणी गणित. "राशि और राशि का मूल्य"

लक्ष्य:

• गणितीय शब्दों "योग", "योग का अर्थ" का उपयोग करने की क्षमता का परिचय और विकास करना। अपने कंप्यूटिंग कौशल में सुधार करें.
• तुलना, विश्लेषण, सामान्यीकरण करने का कौशल विकसित करें। गणितीय भाषण और गणित में रुचि विकसित करें।
• स्वतंत्रता, अनुशासन और एक टीम में काम करने की क्षमता विकसित करें।

उपकरण: चॉक, बोर्ड, कार्ड, मल्टीमीडिया इंस्टॉलेशन, प्रस्तुति।

1. किसी पाठ के लिए कक्षा का आयोजन करना।

2. पाठ के विषय और उद्देश्यों को संप्रेषित करना:

आज कक्षा में हम गणित के रहस्यों को खोजेंगे और उजागर करेंगे। तो चलते हैं!

3. नई सामग्री से परिचित होना।

दोस्तों, क्या आपको परियों की कहानियाँ पसंद हैं? वॉल्ट डिज़्नी की परियों की कहानियों के बारे में क्या? अब मैं एक परी कथा का एक अंश पढ़ूंगा, और आप अनुमान लगाने की कोशिश करेंगे कि मैं किसके बारे में बात कर रहा हूं।

उठो, दोस्त उल्लू! - छोटा बन्नी फैटी खुशी से चिल्लाया। - एक नए राजकुमार का जन्म हुआ है!

यह खुशखबरी तुरंत पूरे जंगल में फैल गई और सभी वनवासी नवजात हिरण के बच्चे को देखने के लिए दौड़ पड़े। जब उन्होंने उसे उठने की कोशिश करते देखा तो वे द्रवित हो गए। उसके पैर अभी भी बहुत कमज़ोर थे, और वह गिरता रहा।

उसे किसने पहचाना? यह वास्तव में बांबी नाम का हिरण का बच्चा है। और फिर एक दिन उसे जंगल से परिचित कराने का समय आ गया। परियों की कहानी से, हम जानते हैं कि बांबी जिज्ञासु है, इसलिए वह अपने आस-पास जो कुछ भी देखता था उससे खुश होता था।

आइए हम हिरण के बच्चे के साथ असामान्य "गणित के जंगल" में चलें।

हिरण का बच्चा खुद को एक साफ़ स्थान में पाता है और उसे बहुत सारे फूल दिखाई देते हैं। लेकिन करीब से देखने पर उसे पता चला कि फूलों में कोई न कोई रहस्य छिपा हुआ है।

इस रहस्य को सुलझाने में उसकी मदद करें।

देखो और बताओ तुम्हें क्या दिख रहा है? हम किस प्रकार के गणितीय संकेतन बना सकते हैं?

संक्षिप्त गुणन सूत्र

बीजगणितीय बहुपदों की गणना करते समय, गणना को सरल बनाने के लिए, उपयोग करें संक्षिप्त गुणन सूत्र. ऐसे कुल सात सूत्र हैं। आपको उन सभी को दिल से जानना होगा।

यह भी याद रखना चाहिए कि सूत्रों में "ए" और "बी" के बजाय संख्याएं या कोई अन्य बीजगणितीय बहुपद हो सकते हैं।

वर्गों का अंतर

वर्गों का अंतरदो संख्याएँ इन संख्याओं के अंतर और उनके योग के गुणनफल के बराबर होती हैं।

ए 2 - बी 2 = (ए - बी)(ए + बी)

• 15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc) के साथ

योग का वर्ग

दो संख्याओं के योग का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के गुणनफल के दोगुने और दूसरी संख्या के योग के गुणनफल के दोगुने के बराबर होता है।

(ए + बी) 2 = ए 2 + 2 एबी + बी 2

कृपया ध्यान दें कि इस संक्षिप्त गुणन सूत्र के साथ यह आसान है बड़ी संख्या के वर्ग खोजेंकैलकुलेटर या लंबे गुणन का उपयोग किए बिना। आइए एक उदाहरण से समझाएं:

• आइए 112 को उन संख्याओं के योग में विघटित करें जिनके वर्ग हमें अच्छी तरह से याद हैं।
  112 = 100 + 1
• कोष्ठक में संख्याओं का योग लिखें और कोष्ठक के ऊपर एक वर्ग रखें।
  112 2 = (100 + 12) 2
• आइए योग के वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करें:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

याद रखें कि वर्ग योग सूत्र किसी भी बीजगणितीय बहुपद के लिए भी मान्य है।

• (8ए + सी) 2 = 64ए 2 + 16एसी + सी 2

वर्गाकार अंतर

दो संख्याओं के अंतर का वर्ग पहली संख्या के वर्ग के बराबर होता है जिसमें पहली और दूसरी के गुणनफल का दोगुना और दूसरी संख्या का वर्ग जोड़ होता है।

(ए - बी) 2 = ए 2 - 2एबी + बी 2

यह एक अत्यंत उपयोगी परिवर्तन भी याद रखने योग्य है:

उपरोक्त सूत्र को केवल कोष्ठक खोलकर सिद्ध किया जा सकता है:

(ए - बी) 2 = ए 2 -2एबी + बी 2 = बी 2 - 2एबी + ए 2 = (बी - ए) 2

दो संख्याओं के योग का घन पहली संख्या के घन के बराबर होता है जिसमें पहली और दूसरी संख्या के वर्ग के गुणनफल का तिगुना होता है और दूसरी संख्या के वर्ग के गुणनफल का तिगुना होता है और दूसरे के घन का योग होता है .

(ए + बी) 3 = ए 3 + 3ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3

किसी राशि का घन कैसे याद रखें

इस "डरावने" दिखने वाले फॉर्मूले को याद रखना काफी आसान है।

• जानें कि "ए 3" शुरुआत में आता है।
• बीच के दो बहुपदों का गुणांक 3 है।
• याद रखें कि शून्य घात की कोई भी संख्या 1 होती है। (ए 0 = 1, बी 0 = 1) . यह देखना आसान है कि सूत्र में "ए" की डिग्री में कमी और "बी" की डिग्री में वृद्धि हुई है। आप इसे सत्यापित कर सकते हैं:
  (ए + बी) 3 = ए 3 बी 0 + 3ए 2 बी 1 + 3ए 1 बी 2 + बी 3 ए 0 = ए 3 + 3ए 2 बी + 3एबी 2 + बी 3

चेतावनी!

अंतर घन

अंतर घनदो संख्याएँ पहली संख्या के घन के बराबर होती हैं जिसमें पहली संख्या के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना और दूसरी संख्या का गुणनफल पहली संख्या और दूसरे के वर्ग के गुणनफल का तीन गुना घटा दूसरे के घन का योग होता है।

(ए - बी) 3 = ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3

इस सूत्र को पिछले सूत्र की तरह ही याद किया जाता है, लेकिन केवल "+" और "-" चिह्नों के विकल्प को ध्यान में रखते हुए। पहला पद "a 3" के पहले "+" आता है (गणित के नियमों के अनुसार हम इसे नहीं लिखते हैं)। इसका मतलब है कि अगला पद "-" से पहले आएगा, फिर "+" आदि से।

(ए - बी) 3 = + ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3 = ए 3 - 3ए 2 बी + 3एबी 2 - बी 3

घनों का योग

योग घन के साथ भ्रमित न हों!

घनों का योगदो संख्याओं के योग और अंतर के आंशिक वर्ग के गुणनफल के बराबर है।

ए 3 + बी 3 = (ए + बी)(ए 2 - एबी + बी 2)

घनों का योग दो कोष्ठकों का गुणनफल है।

• पहला कोष्ठक दो संख्याओं का योग है।
• दूसरा कोष्ठक संख्याओं के अंतर का अपूर्ण वर्ग है। अंतर का अपूर्ण वर्ग अभिव्यक्ति है:
  (ए 2 - एबी + बी 2)
  यह वर्ग अधूरा है, क्योंकि मध्य में दोहरे गुणनफल के स्थान पर संख्याओं का सामान्य गुणनफल होता है।

घनों का अंतर

अंतर घन से भ्रमित न हों!

घनों का अंतरदो संख्याओं के अंतर और योग के आंशिक वर्ग के गुणनफल के बराबर है।

ए 3 − बी 3 = (ए − बी)(ए 2 + एबी + बी 2)

संकेत लिखते समय सावधान रहें।

संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना

यह याद रखना चाहिए कि ऊपर दिए गए सभी फॉर्मूलों का प्रयोग दाएँ से बाएँ भी किया जाता है।

पाठ्यपुस्तकों में कई उदाहरण आपके लिए सूत्रों का उपयोग करके बहुपद को एक साथ रखने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।

• ए 2 + 2 ए + 1 = (ए + 1) 2
• (एसी - 4बी)(एसी + 4बी) = ए 2 सी 2 - 16बी 2

आप "क्रिब्स" अनुभाग में सभी संक्षिप्त गुणन सूत्रों के साथ एक तालिका डाउनलोड कर सकते हैं।

21. योग का घन और अंतर का घन। नियम

ए और बी के किसी भी मान के लिए समानता सत्य है

(ए + बी) 3 = ए 3 + 3 ए 2 बी + 3 ए बी 2 + बी 3। (1)

(ए + बी) 3 = (ए + बी) (ए 2 + 2 ए बी + बी 2) =

ए 3 + 2 ए 2 बी + ए बी 2 + ए 2 बी + 2 ए बी 2 + बी 3 =

ए 3 + 3 ए 2 बी + 3 ए बी 2 + बी 3

चूँकि समानता (1) ए और बी के किसी भी मान के लिए सत्य है,
योग घन सूत्र. अगर इस फॉर्मूले में a और b की जगह
तो फिर हमें एक पहचान मिलती है.

(5 y 3 + 2 z) 3 = 125 y 9 + 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 + 8 z 3। (2)

इसलिए, योग घन सूत्र इस प्रकार पढ़ता है:

दो भावों के योग का घन पहले भाव के घन के बराबर होता है
प्लस पहले अभिव्यक्ति और दूसरे के वर्ग के गुणनफल को तीन गुना करें,
पहले व्यंजक के गुणनफल और दूसरे के वर्ग का प्लस तिगुना,
साथ ही दूसरी अभिव्यक्ति का घन।

(ए - बी) 3 = ए 3 - 3 ए 2 बी + 3 ए बी 2 - बी 3। (3)

(ए - बी) 3 = (ए - बी) (ए 2 - 2 ए बी + बी 2) =

ए 3 - 2 ए 2 बी + ए बी 2 - ए 2 बी + 2 ए बी 2 - बी 3 =

ए 3 − 3 ए 2 बी + 3 ए बी 2 − बी 3

चूँकि समानता (3) a और b के किसी भी मान के लिए सत्य है,
तो यह एक पहचान है. इसी पहचान को कहते हैं
अंतर घन सूत्र. अगर इस फॉर्मूले में a और b की जगह
कुछ भावों को प्रतिस्थापित करें, उदाहरण के लिए 5 y 3 और 2 z,
तो फिर हमें एक पहचान मिलती है.

(5 y 3 - 2 z) 3 = 125 y 9 - 150 y 6 z + 60 y 3 z 2 - 8 z 3। (4)

इसलिए, अंतर घन सूत्र इस प्रकार पढ़ता है:

दो भावों के अंतर का घन पहले भाव के घन के बराबर होता है
पहली अभिव्यक्ति और दूसरी के वर्ग के गुणनफल को घटाकर तीन गुना करें,
पहले व्यंजक के गुणनफल और दूसरे के वर्ग का प्लस तिगुना,
दूसरे व्यंजक का घन घटाएँ।

"योग का घन और अंतर का घन" विषय पर समस्याएँ

योग घन या अंतर घन सूत्र का उपयोग करके, अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें
मानक रूप के बहुपद में और सही उत्तर चुनें।

1) = ए 3 - 3 ए 2 सी + 3 ए सी 2 - सी 3

2) = ए 3 − 3 ए 2 सी + 3 ए सी 2 + सी 3

3) = ए 3 - 3 ए सी 2 + 3 ए सी 2 - सी 3 गलत। खाली फ़ील्ड पर क्लिक न करें. (एक्स + 2 वाई) 3 =

1) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 4 y 3

2) = x 3 + 6 x 2 y + 12 x y 2 + 8 y 3

3) = x 3 + 6 x 2 y + 6 x y 2 + 8 y 3 गलत। गलत। गलत। खाली फ़ील्ड पर क्लिक न करें. गलत। (3 ए - 2 बी) 3 =

1) = 27 ए 3 − 27 ए 2 बी + 12 ए बी 2 − 8 बी 3

2) = 27 ए 3 − 54 ए 2 बी + 36 ए बी 2 − 8 बी 3

3) = 27 ए 3 − 18 ए 2 बी + 18 ए बी 2 − 8 बी 3 गलत। गलत। खाली फ़ील्ड पर क्लिक न करें. गलत। (

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घटावजोड़ के विपरीत एक अंकगणितीय संक्रिया है, जिसके माध्यम से एक संख्या से उतनी ही इकाइयाँ घटाई (घटाई) जाती हैं जितनी दूसरी संख्या में समाहित होती हैं।

जिस संख्या से इसे घटाया जाता है वह संख्या कहलाती है कम करने योग्य, वह संख्या जो इंगित करती है कि पहली संख्या से कितनी इकाइयाँ घटाई जाएंगी, कहलाती है घटाया. घटाने से प्राप्त संख्या कहलाती है अंतर(या शेष).

आइए एक उदाहरण का उपयोग करके घटाव को देखें। मेज पर 9 मिठाइयाँ हैं, यदि आप 5 मिठाइयाँ खाएँगे, तो 4 बचेंगी। संख्या 9 लघुअंत है, 5 उपअंक है, और 4 शेष (अंतर) है:

घटाव लिखने के लिए - (ऋण) चिह्न का उपयोग करें। इसे मीनूएंड और सबट्रेंड के बीच रखा जाता है, जिसमें माइनस साइन के बाईं ओर मीनूएंड और दाईं ओर सबट्रेंड लिखा होता है। उदाहरण के लिए, प्रविष्टि 9 - 5 का अर्थ है कि संख्या 5 को संख्या 9 से घटाया गया है। घटाव प्रविष्टि के दाईं ओर = (बराबर) का चिह्न लगाएं, जिसके बाद घटाव का परिणाम लिखा जाता है। तो पूरा घटाव अंकन इस तरह दिखता है:

यह प्रविष्टि इस प्रकार है: नौ और पाँच के बीच का अंतर चार के बराबर है या नौ में से पाँच घटाकर चार के बराबर है।

घटाव के परिणामस्वरूप एक प्राकृतिक संख्या या 0 प्राप्त करने के लिए, न्यूनतम घटाव से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।

आइए विचार करें कि कैसे, प्राकृतिक श्रृंखला का उपयोग करके, आप घटाव कर सकते हैं और दो प्राकृतिक संख्याओं का अंतर ज्ञात कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, हमें संख्या 9 और 6 के बीच अंतर की गणना करने की आवश्यकता है, प्राकृतिक श्रृंखला में संख्या 9 को चिह्नित करें और उसमें से बाईं ओर 6 संख्याओं को गिनें। हमें नंबर 3 मिलता है:

घटाव का उपयोग दो संख्याओं की तुलना करने के लिए भी किया जा सकता है। दो संख्याओं की तुलना करने के लिए, हम स्वयं से पूछते हैं कि एक संख्या दूसरी से कितनी इकाई बड़ी या कम है। इसका पता लगाने के लिए, आपको बड़ी संख्या में से छोटी संख्या को घटाना होगा। उदाहरण के लिए, यह पता लगाने के लिए कि 10, 25 से कितना कम है (या 25, 10 से कितना अधिक है), आपको 25 में से 10 घटाना होगा। फिर हम पाते हैं कि 10, 25 से कम है (या 25, 10 से कितना अधिक है) 15 इकाइयाँ।

घटाव जांच

अभिव्यक्ति पर विचार करें

जहां 15 लघुअंत है, 7 उपअंक है, और 8 अंतर है। यह पता लगाने के लिए कि घटाव सही ढंग से किया गया था, आप यह कर सकते हैं:

1. अंतर के साथ घटाव जोड़ें, यदि आपको मीनूएंड मिलता है, तो घटाव सही ढंग से किया गया था:
2. न्यूनतम से अंतर घटाएं; यदि आपको घटाव मिलता है, तो घटाव सही ढंग से किया गया था:

प्राथमिक विद्यालय में, एक बच्चे को सबसे पहले गणित से परिचित कराया जाता है, और उसके पहले उदाहरण जोड़ या घटाव जैसे सरल ऑपरेशन होते हैं। लेकिन कभी-कभी किसी बच्चे को वयस्कों के लिए ऐसे सरल और परिचित उदाहरण भी समझाना मुश्किल होता है। आप संख्याओं का योग और अंतर ज्ञात करना कैसे सीख सकते हैं?

रकम क्या है और इसे कैसे पता करें

योग दो संख्याओं (पदों) को जोड़ने का परिणाम है जिनके बीच + चिह्न होता है। योग प्राप्त करने के लिए, आपको दूसरे पद को एक पद में जोड़ना होगा। सामान्य तौर पर, एक उदाहरण इस प्रकार दिखाया जा सकता है: a + b = s, जहां a पहला पद है, b दूसरा पद है, और s इन दो पदों को जोड़ने का परिणाम है। साथ ही, आपको यह जानना होगा कि शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है - यह गणित के सबसे पहले नियमों में से एक है, जिसे प्राथमिक विद्यालय में पढ़ाया जाता है।

अपने बच्चे को संख्याओं को जोड़ने का तरीका स्पष्ट रूप से दिखाने के लिए, कैंडी या कोई अन्य चीज़ लें। अपने बच्चे को दो कैंडी दिखाएं, और फिर इन कैंडी में दो और कैंडी मिलाएं। बच्चे को गिनने दें और कहें कि अब चार कैंडी हैं। उसे समझाएं कि उसने सिर्फ इन संख्याओं को जोड़ा है, यानी उसने एक संख्या में दूसरी संख्या जोड़ दी है और अंततः योग प्राप्त हुआ है।

बिट शब्दों को जोड़ने की व्याख्या करना थोड़ा अधिक कठिन है; यह विषय किसी बच्चे को स्पष्ट नहीं हो सकता है। तो, कई श्रेणियां हैं: इकाइयाँ, दहाई, हज़ार। उदाहरण के लिए, संख्या 2564 लें। यदि आप इसे अंकों में विघटित करते हैं, तो आपको मिलता है: 2564 = 2000 + 500 + 60 + 4। उदाहरण के लिए, इस संख्या में संख्या 305 जोड़ने के लिए, कॉलम जोड़ का उपयोग करें। इस जोड़ के साथ, आपको अंत से शुरू करके दूसरों में कुछ अंक जोड़ने होंगे: एक से इकाई, दहाई से दहाई, हज़ार से हज़ार। अर्थात्, पहले हम 4 और 5 जोड़ते हैं, फिर 6 और 0, उसके बाद 5 और 3, और अंत में 2 और 0 जोड़ते हैं। अंततः हमें संख्या 2869 प्राप्त होती है।

संख्याओं के बीच अंतर कैसे पता करें

अंतर एक संख्या को दूसरी संख्या से घटाने का परिणाम है। योग के विपरीत, यहां हम "शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने से अंतर नहीं बदलता" नियम का उपयोग नहीं कर सकते, क्योंकि घटाने में हमेशा एक मीनूएंड और एक सबट्रेंड होता है। उपप्रकार और अंतर खोजने के लिए, आपको पहले इन अवधारणाओं को समझने की आवश्यकता है। घटा हुआ वह है जिसमें से हम "घटाते" हैं, यानी हम हटाते हैं, और घटाया गया वह मात्रा है जो हम इस घटे हुए हिस्से से लौटाते हैं।

सामान्य तौर पर, घटाव को इस प्रकार लिखा जा सकता है: ए - बी = आर।
आइए उन्हीं कैंडीज़ की ओर मुड़ें जिनके साथ हमने संख्याओं के योग का विश्लेषण किया था। अपने बच्चे को संख्याओं के बीच अंतर ढूंढने में मदद करने के लिए पांच कैंडी लें। बच्चे को गिनने दें और सुनिश्चित करें कि पाँच हैं। फिर अपने लिए तीन मिठाइयाँ लें। बच्चा कहेगा कि दो बचे हैं. फिर उन्होंने कितना लिया? तीन।

जहां तक ​​बिट शर्तों का सवाल है, यहां हम योग के समान ही काम करते हैं, केवल अब हम जोड़ते नहीं हैं, बल्कि घटाते हैं। आइए संख्या 6845 लें और उसमें से 4231 घटाएं। ऐसा करने के लिए, हम एक अंक को दूसरे अंक से घटाते हैं, अंत से घटाते हुए: 5-1 = 4, 4-3 = 1, 8-2 = 6, 6-4 = 2. उत्तर में हमें 2614 मिलता है।