भिन्न हर के साथ बीजीय भिन्नों को जोड़ने और घटाने पर, भिन्न पहले की ओर ले जाते हैं आम विभाजक. इसका मतलब यह है कि उन्हें ऐसा एक एकल भाजक मिलता है, जो प्रत्येक बीजीय अंश के मूल हर से विभाजित होता है जो इस अभिव्यक्ति का हिस्सा है।

जैसा कि आप जानते हैं, यदि किसी भिन्न के अंश और हर को शून्य के अलावा उसी संख्या से गुणा (या विभाजित) किया जाए, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा। यह अंश का मुख्य गुण है। इसलिए, जब भिन्न एक सामान्य भाजक की ओर ले जाते हैं, वास्तव में, प्रत्येक भिन्न के मूल हर को लापता कारक से एक सामान्य हर से गुणा किया जाता है। इस मामले में, इस कारक और अंश के अंश से गुणा करना आवश्यक है (यह प्रत्येक अंश के लिए अलग है)।

उदाहरण के लिए, बीजीय भिन्नों का निम्नलिखित योग दिया गया है:

व्यंजक को सरल बनाना आवश्यक है, अर्थात् दो बीजीय भिन्नों को जोड़ना। ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, शब्द-अंशों को एक सामान्य हर में कम करना आवश्यक है। पहला कदम एक एकपदी को खोजना है जो 3x और 2y दोनों से विभाज्य हो। इस मामले में, यह वांछनीय है कि यह सबसे छोटा हो, यानी, 3x और 2y के लिए सबसे छोटा सामान्य गुणक (LCM) खोजें।

संख्यात्मक गुणांक और चर के लिए, एलसीएम को अलग से खोजा जाता है। एलसीएम(3, 2) = 6 और एलसीएम(x, y) = xy. इसके अलावा, पाए गए मूल्यों को गुणा किया जाता है: 6xy।

अब हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि 6xy प्राप्त करने के लिए हमें किस कारक से 3x गुणा करने की आवश्यकता है:
6xy 3x = 2y

इसका मतलब यह है कि जब पहले बीजगणितीय अंश को एक सामान्य हर में घटाया जाता है, तो इसके अंश को 2y से गुणा किया जाना चाहिए (एक सामान्य भाजक को घटाकर हर को पहले ही गुणा किया जा चुका है)। दूसरे भिन्न के अंश के गुणनखंड को इसी प्रकार खोजा जाता है। यह 3x के बराबर होगा।

इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं:

इसके अलावा, समान भाजक के साथ भिन्न के रूप में कार्य करना पहले से ही संभव है: अंश जोड़े जाते हैं, और हर में एक सामान्य लिखा जाता है:

परिवर्तनों के बाद, एक सरलीकृत अभिव्यक्ति प्राप्त होती है, जो एक बीजीय अंश है, जो दो मूल अंशों का योग है:

मूल व्यंजक में बीजीय भिन्नों में ऐसे हर हो सकते हैं जो एकपदी के बजाय बहुपद हों (जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है)। इस मामले में, एक सामान्य भाजक को खोजने से पहले, भाजक (यदि संभव हो) का गुणनखंड करें। इसके अलावा, आम भाजक को विभिन्न कारकों से एकत्र किया जाता है। यदि गुणनखंड कई प्रारंभिक हरों में है, तो इसे एक बार लिया जाता है। यदि मूल हर में गुणक की अलग-अलग डिग्री होती है, तो इसे एक बड़े के साथ लिया जाता है। उदाहरण के लिए:

यहाँ बहुपद a 2 - b 2 को एक गुणनफल (a - b)(a + b) के रूप में दर्शाया जा सकता है। गुणनखंड 2a – 2b को 2(a – b) के रूप में विस्तारित किया जाता है। इस प्रकार, उभयनिष्ठ हर 2(a - b)(a + b) के बराबर होगा।

मैं मूल रूप से "अंशों को जोड़ना और घटाना" पैराग्राफ में आम भाजक विधियों को शामिल करना चाहता था। लेकिन इतनी जानकारी थी, और इसका महत्व इतना महान है (आखिरकार, न केवल संख्यात्मक अंशों में सामान्य भाजक होते हैं), कि इस मुद्दे का अलग से अध्ययन करना बेहतर है।

तो मान लीजिए कि हमारे पास अलग-अलग हर के साथ दो भिन्न हैं। और हम यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि भाजक समान हो जाएं। एक अंश की मुख्य संपत्ति बचाव के लिए आती है, जो मुझे आपको याद दिलाती है, ऐसा लगता है:

एक भिन्न नहीं बदलता है यदि उसके अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाता है।

इस प्रकार, यदि आप कारकों को सही ढंग से चुनते हैं, तो भिन्नों के हर बराबर होंगे - इस प्रक्रिया को एक सामान्य हर में कमी कहा जाता है। और वांछित संख्याएँ, हरों को "समतल" करना, अतिरिक्त गुणनखंड कहलाते हैं।

आपको एक सामान्य हर में भिन्न लाने की आवश्यकता क्यों है? यहाँ केवल कुछ कारण दिए गए हैं:

1. भिन्न हर के साथ भिन्नों का जोड़ और घटाव। इस ऑपरेशन को करने का कोई दूसरा तरीका नहीं है;
2. अंश तुलना। कभी-कभी एक सामान्य भाजक में कमी इस कार्य को बहुत सरल कर देती है;
3. शेयरों और प्रतिशत पर समस्याओं का समाधान। प्रतिशत, वास्तव में, साधारण व्यंजक हैं जिनमें भिन्न होते हैं।

संख्याओं को खोजने के कई तरीके हैं जो गुणा करने पर हर को बराबर बनाते हैं। हम उनमें से केवल तीन पर विचार करेंगे - बढ़ती जटिलता के क्रम में और, एक अर्थ में, दक्षता।

गुणन "क्रिस-क्रॉस"

सबसे सरल और सबसे विश्वसनीय तरीका, जो हर को बराबर करने की गारंटी है। हम "आगे" कार्य करेंगे: हम पहले अंश को दूसरे भिन्न के हर से गुणा करते हैं, और दूसरे को पहले के हर से गुणा करते हैं। परिणामस्वरूप, दोनों भिन्नों के हर मूल हर के गुणनफल के बराबर हो जाएंगे। जरा देखो तो:

अतिरिक्त कारकों के रूप में, पड़ोसी भिन्नों के हरों पर विचार करें। हम पाते हैं:

हाँ, यह इतना आसान है। यदि आप अभी भिन्न सीखना शुरू कर रहे हैं, तो इस पद्धति के साथ काम करना बेहतर है - इस तरह आप कई गलतियों के खिलाफ खुद का बीमा करेंगे और परिणाम प्राप्त करने की गारंटी होगी।

इस पद्धति का एकमात्र दोष यह है कि आपको बहुत कुछ गिनना पड़ता है, क्योंकि भाजक को "आगे" से गुणा किया जाता है, और परिणामस्वरूप, बहुत बड़ी संख्याएँ प्राप्त की जा सकती हैं। यह विश्वसनीयता की कीमत है।

सामान्य भाजक विधि

यह तकनीक गणना को बहुत कम करने में मदद करती है, लेकिन, दुर्भाग्य से, इसका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। विधि इस प्रकार है:

1. "थ्रू" (यानी, "क्रिस-क्रॉस") जाने से पहले हर को देखें। शायद उनमें से एक (जो बड़ा है) दूसरे से विभाज्य है।
2. इस तरह के विभाजन से उत्पन्न संख्या एक छोटे भाजक वाले अंश के लिए एक अतिरिक्त कारक होगी।
3. उसी समय, बड़े हर वाले अंश को किसी भी चीज़ से गुणा करने की आवश्यकता नहीं है - यह बचत है। इसी समय, त्रुटि की संभावना तेजी से कम हो जाती है।

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

ध्यान दें कि 84:21 = 4; 72:12 = 6. चूँकि दोनों ही स्थितियों में एक भाजक दूसरे से शेषफल के बिना विभाज्य है, हम उभयनिष्ठ गुणनखंडों की विधि का उपयोग करते हैं। हमारे पास है:

ध्यान दें कि दूसरे अंश को किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया गया था। वास्तव में, हमने गणना की मात्रा को आधा कर दिया है!

वैसे, मैंने इस उदाहरण में भिन्नों को एक कारण से लिया है। यदि आप रुचि रखते हैं, तो क्रिस-क्रॉस पद्धति का उपयोग करके उन्हें गिनने का प्रयास करें। कटौती के बाद उत्तर वही होंगे, लेकिन काम और भी बहुत कुछ होगा।

यह सामान्य भाजक की विधि की ताकत है, लेकिन, फिर से, इसे केवल तभी लागू किया जा सकता है जब हर में से एक को शेष के बिना दूसरे से विभाजित किया जाता है। जो काफी कम ही होता है।

कम से कम सामान्य एकाधिक विधि

जब हम भिन्नों को एक सामान्य हर में घटाते हैं, तो हम अनिवार्य रूप से एक ऐसी संख्या खोजने की कोशिश कर रहे हैं जो प्रत्येक हर से विभाज्य हो। फिर हम दोनों भिन्नों के हरों को इस संख्या में लाते हैं।

ऐसी बहुत सी संख्याएँ हैं, और उनमें से सबसे छोटी आवश्यक रूप से मूल भिन्नों के हर के प्रत्यक्ष उत्पाद के बराबर नहीं होगी, जैसा कि "क्रॉस-वार" विधि में माना जाता है।

उदाहरण के लिए, हर 8 और 12 के लिए, संख्या 24 काफी उपयुक्त है, क्योंकि 24: 8 = 3; 24:12 = 2. यह संख्या गुणनफल 8 12 = 96 से बहुत कम है।

वह छोटी से छोटी संख्या जो हर हर से विभाज्य हो, उनका लघुत्तम समापवर्तक (LCM) कहलाती है।

संकेतन: a और b का लघुत्तम समापवर्त्य LCM(a ; b ) द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एलसीएम (16; 24) = 48; एलसीएम (8; 12) = 24।

यदि आप ऐसी संख्या खोजने का प्रबंधन करते हैं, तो गणना की कुल राशि न्यूनतम होगी। उदाहरण की तरफ देखो:

काम। अभिव्यक्ति मान खोजें:

ध्यान दें कि 234 = 117 2; 351 = 117 3. गुणनखंड 2 और 3 सहअभाज्य हैं (1 को छोड़कर कोई उभयनिष्ठ भाजक नहीं है), और गुणनखंड 117 उभयनिष्ठ है। इसलिए एलसीएम (234; 351) = 117 2 3 = 702।

इसी तरह, 15 = 5 3; 20 = 5 4। गुणनखंड 3 और 4 अपेक्षाकृत अभाज्य हैं, और गुणनखंड 5 उभयनिष्ठ है। इसलिए एलसीएम(15; 20) = 5 3 4 = 60।

अब भिन्नों को सामान्य हर में लाते हैं:

ध्यान दें कि मूल हरों का गुणनखंडन कितना उपयोगी साबित हुआ:

1. समान कारकों को खोजने के बाद, हम तुरंत कम से कम सामान्य गुणक पर पहुंच गए, जो आम तौर पर एक गैर-तुच्छ समस्या है;
2. परिणामी विस्तार से, आप यह पता लगा सकते हैं कि प्रत्येक भिन्न के लिए कौन से कारक "अनुपलब्ध" हैं। उदाहरण के लिए, 234 3 \u003d 702, इसलिए, पहले अंश के लिए, अतिरिक्त कारक 3 है।

कम से कम सामान्य एकाधिक विधि कितनी जीत देती है, इसकी सराहना करने के लिए, क्रिस-क्रॉस विधि का उपयोग करके समान उदाहरणों की गणना करने का प्रयास करें। बेशक, कैलकुलेटर के बिना। मुझे लगता है कि उसके बाद टिप्पणियां बेमानी होंगी।

ऐसा मत सोचो कि ऐसे जटिल अंश वास्तविक उदाहरणों में नहीं होंगे। वे हर समय मिलते हैं, और उपरोक्त कार्यों की सीमा नहीं है!

एकमात्र समस्या यह है कि इस एनओसी को कैसे खोजा जाए। कभी-कभी कुछ सेकंड में सब कुछ मिल जाता है, शाब्दिक रूप से "आंख से", लेकिन सामान्य तौर पर यह एक जटिल कम्प्यूटेशनल समस्या है जिसके लिए अलग से विचार करने की आवश्यकता होती है। यहां हम इस पर स्पर्श नहीं करेंगे।

भिन्नों के उदाहरणों को हल करने के लिए, आपको सबसे छोटा आम भाजक खोजने में सक्षम होना चाहिए। नीचे एक विस्तृत निर्देश है।

सबसे कम आम भाजक कैसे खोजें - अवधारणा

सरल शब्दों में सबसे छोटा आम भाजक (एलसीडी) वह न्यूनतम संख्या है जो किसी दिए गए उदाहरण के सभी अंशों के हर से विभाज्य है। दूसरे शब्दों में, इसे कम से कम सामान्य गुणक (LCM) कहा जाता है। NOZ का उपयोग केवल तभी किया जाता है जब भिन्नों के हर भिन्न हों।

सबसे कम आम भाजक कैसे खोजें - उदाहरण

आइए NOZ खोजने के उदाहरणों पर विचार करें।

गणना करें: 3/5 + 2/15।

समाधान (क्रियाओं का क्रम):

• हम भिन्नों के हरों को देखते हैं, सुनिश्चित करते हैं कि वे भिन्न हैं और व्यंजकों को यथासंभव कम किया गया है।
• हम सबसे छोटी संख्या पाते हैं जो 5 और 15 दोनों से विभाज्य है। यह संख्या 15 होगी। इस प्रकार, 3/5 + 2/15 = ?/15।
• हमने भाजक का पता लगाया। अंश में क्या होगा? एक अतिरिक्त गुणक हमें इसका पता लगाने में मदद करेगा। एक अतिरिक्त कारक एक विशेष अंश के हर द्वारा NOZ को विभाजित करके प्राप्त की गई संख्या है। 3/5 के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 3 है, क्योंकि 15/5 = 3 है। दूसरी भिन्न के लिए, अतिरिक्त गुणनखंड 1 है, क्योंकि 15/15 = 1 है।
• अतिरिक्त गुणनखंड का पता लगाने के बाद, हम इसे भिन्नों के अंशों से गुणा करते हैं और परिणामी मान जोड़ते हैं। 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15।

उत्तर: 3/5 + 2/15 = 11/15।

यदि उदाहरण में 2 नहीं, बल्कि 3 या अधिक भिन्न जोड़े या घटाए गए हैं, तो NOZ को उतने ही भिन्नों के लिए खोजा जाना चाहिए जितने दिए गए हैं।

गणना करें: 1/2 - 5/12 + 3/6

समाधान (क्रियाओं का क्रम):

• सबसे कम आम भाजक ढूँढना। 2, 12 और 6 से विभाज्य न्यूनतम संख्या 12 है।
• हमें मिलता है: 1/2 - 5/12 + 3/6 = ?/12।
• हम अतिरिक्त गुणकों की तलाश कर रहे हैं। 1/2 - 6 के लिए; 5/12 - 1 के लिए; 3/6 - 2 के लिए
• हम अंशों से गुणा करते हैं और संबंधित संकेत देते हैं: 1/2 - 5/12 + 3/6 = (1 * 6 - 5 * 1 + 2 * 3) / 12 = 7/12।

उत्तर: 1/2 - 5/12 + 3/6 = 7/12।