इससे पहले कि हम फैसला करना शुरू करें अंकगणितीय प्रगति की समस्या, विचार करें कि एक संख्या अनुक्रम क्या है, क्योंकि एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्या अनुक्रम का एक विशेष मामला है।

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक सेट है, जिसके प्रत्येक तत्व का अपना क्रमांक होता है. इस सेट के तत्वों को अनुक्रम के सदस्य कहा जाता है। अनुक्रम तत्व की क्रमिक संख्या एक सूचकांक द्वारा इंगित की जाती है:

अनुक्रम का पहला तत्व;

अनुक्रम का पाँचवाँ तत्व;

- अनुक्रम का "nth" तत्व, अर्थात। संख्या n पर "कतार में खड़ा" तत्व।

एक अनुक्रम तत्व के मूल्य और उसकी क्रमिक संख्या के बीच एक निर्भरता है। इसलिए, हम एक अनुक्रम को एक फ़ंक्शन के रूप में मान सकते हैं जिसका तर्क अनुक्रम के एक तत्व की क्रमिक संख्या है। दूसरे शब्दों में, कोई कह सकता है कि अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है:

अनुक्रम को तीन तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है:

1 . अनुक्रम को एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।इस मामले में, हम केवल अनुक्रम के प्रत्येक सदस्य का मान निर्धारित करते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी ने व्यक्तिगत समय प्रबंधन करने का फैसला किया, और शुरुआत करने के लिए, सप्ताह के दौरान गिनें कि वह VKontakte पर कितना समय बिताता है। समय को एक तालिका में लिखने से उसे सात तत्वों का एक क्रम प्राप्त होगा:

तालिका की पहली पंक्ति में सप्ताह के दिनों की संख्या होती है, दूसरी - मिनटों में समय। हम देखते हैं कि, यानी सोमवार को किसी ने VKontakte पर 125 मिनट बिताए, यानी गुरुवार को - 248 मिनट, और, यानी शुक्रवार को, केवल 15।

2 . अनुक्रम को nवें सदस्य सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है।

इस मामले में, अनुक्रम तत्व के मूल्य की संख्या पर निर्भरता सीधे सूत्र के रूप में व्यक्त की जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि , तो

किसी दी गई संख्या के साथ अनुक्रम तत्व का मान ज्ञात करने के लिए, हम तत्व संख्या को nवें सदस्य के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

हम ऐसा ही करते हैं यदि हमें किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है यदि तर्क का मान ज्ञात है। हम फ़ंक्शन के समीकरण के बजाय तर्क के मान को प्रतिस्थापित करते हैं:

यदि, उदाहरण के लिए, , तब

एक बार फिर, मैं ध्यान देता हूं कि एक क्रम में, एक मनमाना संख्यात्मक कार्य के विपरीत, केवल एक प्राकृतिक संख्या एक तर्क हो सकती है।

3 . अनुक्रम को एक सूत्र का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जो पिछले सदस्यों के मूल्य पर संख्या n के साथ अनुक्रम के सदस्य के मूल्य की निर्भरता को व्यक्त करता है। इस मामले में, हमारे लिए इसका मूल्य ज्ञात करने के लिए केवल अनुक्रम सदस्य की संख्या जानना पर्याप्त नहीं है। हमें अनुक्रम के पहले सदस्य या पहले कुछ सदस्यों को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, अनुक्रम पर विचार करें ,

हम अनुक्रम के सदस्यों के मान पा सकते हैं क्रम में, तीसरे से शुरू:

अर्थात्, हर बार अनुक्रम के nवें सदस्य का मान ज्ञात करने के लिए, हम पिछले दो पर लौटते हैं। अनुक्रमण के इस तरीके को कहा जाता है आवर्तक, लैटिन शब्द . से पुनरावर्ती- वापस लौटें।

अब हम एक अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित कर सकते हैं। एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम का एक साधारण विशेष मामला है।

अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है।

नंबर कहा जाता है एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर. अंकगणितीय प्रगति का अंतर सकारात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकता है।

अगर शीर्षक = "(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} की बढ़ती.

उदाहरण के लिए, 2; 5; आठ; ग्यारह;...

यदि , तो समांतर श्रेणी का प्रत्येक पद पिछले वाले से कम है, और प्रगति है घट.

उदाहरण के लिए, 2; -एक; -4; -7;...

यदि , तो प्रगति के सभी सदस्य समान संख्या के बराबर हैं, और प्रगति है अचल.

उदाहरण के लिए, 2;2;2;2;...

अंकगणितीय प्रगति की मुख्य संपत्ति:

आइए तस्वीर को देखें।

हमने देखा कि

, और उस समय पर ही

इन दो समानताओं को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

.

समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

तो, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, दो पड़ोसी लोगों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

इसके अलावा, चूंकि

, और उस समय पर ही

, तब

, और इसलिए

शीर्षक से शुरू होने वाली अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य = "(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

वें सदस्य सूत्र।

हम देखते हैं कि अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के लिए, निम्नलिखित संबंध हैं:

और अंत में

हमें मिला nवें पद का सूत्र।

जरूरी!अंकगणितीय प्रगति के किसी भी सदस्य को और के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। पहले पद और अंकगणितीय प्रगति के अंतर को जानने के बाद, आप इसके किसी भी सदस्य को ढूंढ सकते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग।

एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति में, चरम पदों से समान दूरी वाले पदों का योग एक दूसरे के बराबर होता है:

n सदस्यों के साथ एक अंकगणितीय प्रगति पर विचार करें। मान लीजिए कि इस प्रगति के n सदस्यों का योग बराबर है।

प्रगति के पदों को पहले संख्याओं के आरोही क्रम में और फिर अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

आइए इसे जोड़ते हैं:

प्रत्येक कोष्ठक में योग है, युग्मों की संख्या n है।

हम पाते हैं:

इसलिए, एक अंकगणितीय प्रगति के n सदस्यों का योग सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है:

विचार करना अंकगणितीय प्रगति की समस्याओं को हल करना.

1 . अनुक्रम nवें पद के सूत्र द्वारा दिया गया है: . सिद्ध कीजिए कि यह क्रम एक समांतर श्रेढ़ी है।

आइए हम सिद्ध करें कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों के बीच का अंतर समान संख्या के बराबर है।

हमने प्राप्त किया है कि अनुक्रम के दो आसन्न सदस्यों का अंतर उनकी संख्या पर निर्भर नहीं करता है और एक अचर है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, यह अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है।

2 . एक समांतर श्रेणी को देखते हुए -31; -27;...

a) प्रगति के 31 पद ज्ञात कीजिए।

बी) निर्धारित करें कि क्या संख्या 41 इस प्रगति में शामिल है।

ए)हमने देखा कि ;

आइए अपनी प्रगति के लिए nवें पद का सूत्र लिखें।

सामान्य रूप में

हमारे मामले में , इसीलिए

यदि प्रत्येक प्राकृत संख्या एन एक वास्तविक संख्या का मिलान करें एक , तो वे कहते हैं कि दिया गया संख्या क्रम :

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक , . . . .

तो, एक संख्यात्मक अनुक्रम एक प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है।

संख्या ए 1 बुलाया अनुक्रम का पहला सदस्य , संख्या ए 2 — अनुक्रम का दूसरा सदस्य , संख्या ए 3 — तीसरा आदि। संख्या एक बुलाया अनुक्रम का वां सदस्य , और प्राकृतिक संख्या एन — उसका नंबर .

दो पड़ोसी सदस्यों से एक और एक +1 सदस्य क्रम एक +1 बुलाया बाद का (की ओर एक ), ए एक — पहले का (की ओर एक +1 ).

एक अनुक्रम निर्दिष्ट करने के लिए, आपको एक विधि निर्दिष्ट करनी होगी जो आपको किसी भी संख्या के साथ अनुक्रम सदस्य को खोजने की अनुमति देती है।

अक्सर अनुक्रम के साथ दिया जाता है nth टर्म फॉर्मूला , अर्थात्, एक सूत्र जो आपको अनुक्रम सदस्य को उसकी संख्या से निर्धारित करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए,

सकारात्मक विषम संख्याओं का एक क्रम सूत्र द्वारा दिया जा सकता है

एक= 2एन- 1,

और प्रत्यावर्तन का क्रम 1 और -1 - सूत्र

बीएन = (-1)एन +1 . ◄

अनुक्रम निर्धारित किया जा सकता है आवर्तक सूत्र, अर्थात्, एक सूत्र जो अनुक्रम के किसी भी सदस्य को, कुछ से शुरू करके, पिछले (एक या अधिक) सदस्यों के माध्यम से व्यक्त करता है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 1 , ए एक +1 = एक + 5

ए 1 = 1,

ए 2 = ए 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ए 3 = ए 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ए 4 = ए 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ए 5 = ए 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

यदि एक एक 1= 1, एक 2 = 1, एक +2 = एक + एक +1 , तो संख्यात्मक अनुक्रम के पहले सात सदस्यों को निम्नानुसार सेट किया जाता है:

एक 1 = 1,

एक 2 = 1,

एक 3 = एक 1 + एक 2 = 1 + 1 = 2,

एक 4 = एक 2 + एक 3 = 1 + 2 = 3,

एक 5 = एक 3 + एक 4 = 2 + 3 = 5,

ए 6 = ए 4 + ए 5 = 3 + 5 = 8,

ए 7 = ए 5 + ए 6 = 5 + 8 = 13. ◄

अनुक्रम हो सकते हैं अंतिम और अनंत .

अनुक्रम कहा जाता है अंतिम यदि उसके सदस्यों की सीमित संख्या है। अनुक्रम कहा जाता है अनंत यदि इसमें अपरिमित रूप से कई सदस्य हैं।

उदाहरण के लिए,

दो अंकों की प्राकृतिक संख्याओं का क्रम:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

अंतिम।

प्राइम नंबर अनुक्रम:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

अनंत। ◄

अनुक्रम कहा जाता है की बढ़ती , यदि इसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से बड़ा है।

अनुक्रम कहा जाता है घट , यदि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक से कम है।

उदाहरण के लिए,

2, 4, 6, 8, . . . , 2एन, . . . एक आरोही क्रम है;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /एन, . . . अवरोही क्रम है। ◄

एक अनुक्रम जिसके तत्व बढ़ती संख्या के साथ कम नहीं होते हैं, या, इसके विपरीत, बढ़ते नहीं हैं, कहलाते हैं नीरस अनुक्रम .

मोनोटोनिक अनुक्रम, विशेष रूप से, बढ़ते क्रम और घटते क्रम हैं।

अंकगणितीय प्रगति

अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, जिसमें समान संख्या जोड़ी जाती है।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . , एक, . . .

एक समांतर श्रेणी है यदि किसी प्राकृत संख्या के लिए एन शर्त पूरी होती है:

एक +1 = एक + डी,

कहाँ पे डी - कुछ संख्या।

इस प्रकार, दी गई अंकगणितीय प्रगति के अगले और पिछले सदस्यों के बीच का अंतर हमेशा स्थिर रहता है:

एक 2 - ए 1 = एक 3 - ए 2 = . . . = एक +1 - एक = डी.

संख्या डी बुलाया एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर.

एक अंकगणितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसका पहला पद और अंतर निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर ए 1 = 3, डी = 4 , तो अनुक्रम के पहले पाँच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

एक 1 =3,

एक 2 = एक 1 + डी = 3 + 4 = 7,

एक 3 = एक 2 + डी= 7 + 4 = 11,

एक 4 = एक 3 + डी= 11 + 4 = 15,

ए 5 = ए 4 + डी= 15 + 4 = 19. ◄

पहले पद के साथ एक अंकगणितीय प्रगति के लिए ए 1 और अंतर डी उसकी एन

एक = एक 1 + (एन- 1)डी।

उदाहरण के लिए,

एक अंकगणितीय प्रगति का तीसवां पद ज्ञात कीजिए

1, 4, 7, 10, . . .

एक 1 =1, डी = 3,

एक 30 = एक 1 + (30 - 1)डी = 1 + 29· 3 = 88. ◄

एक एन-1 = एक 1 + (एन- 2)डी,

एक= एक 1 + (एन- 1)डी,

एक +1 = ए 1 + रा,

तो जाहिर है

एक=	एक एन-1 + एक एन+1
	2

अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

संख्या ए, बी और सी कुछ अंकगणितीय प्रगति के लगातार सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक अन्य दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण के लिए,

एक = 2एन- 7 , एक अंकगणितीय प्रगति है।

आइए ऊपर दिए गए कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

एक = 2एन- 7,

एक एन-1 = 2(एन- 1) - 7 = 2एन- 9,

एक एन+1 = 2(एन+ 1) - 7 = 2एन- 5.

इसलिये,

ए एन+1 + ए एन-1	=	2एन- 5 + 2एन- 9	= 2एन- 7 = एक,
2		2

◄

ध्यान दें कि एन -एक अंकगणितीय प्रगति का सदस्य न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है ए 1 , लेकिन यह भी कोई पिछला एक को

एक = एक को + (एन- क)डी.

उदाहरण के लिए,

के लिए ए 5 लिखा जा सकता है

एक 5 = एक 1 + 4डी,

एक 5 = एक 2 + 3डी,

एक 5 = एक 3 + 2डी,

एक 5 = एक 4 + डी. ◄

एक = एक एन-को + केडी,

एक = एक एन+के - केडी,

तो जाहिर है

एक=	ए एन-को + ए एन+के
	2

अंकगणितीय प्रगति का कोई भी सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, इस अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों के योग के आधे के बराबर होता है, जो इससे समान दूरी पर होता है।

इसके अलावा, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

ए एम + ए एन = ए के + ए एल,

एम + एन = के + एल।

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में

1) ए 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ए 9 + ए 11 )/2;

2) 28 = एक 10 = एक 3 + 7डी= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) एक 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ए 7 + ए 13)/2;

4) ए 2 + ए 12 = ए 5 + ए 9, जैसा

ए 2 + ए 12= 4 + 34 = 38,

ए 5 + ए 9 = 13 + 25 = 38. ◄

एस नहीं= ए 1 + ए 2 + ए 3 +। . .+ एक,

प्रथम एन एक अंकगणितीय प्रगति के सदस्य, पदों की संख्या के चरम पदों के योग के आधे के गुणनफल के बराबर होते हैं:

इससे, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि यदि शर्तों को जोड़ना आवश्यक है

एक को, एक को +1 , . . . , एक,

तब पिछला सूत्र अपनी संरचना को बरकरार रखता है:

उदाहरण के लिए,

अंकगणितीय प्रगति में 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

एस 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = एस 10 - एस 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

यदि एक समांतर श्रेणी दी गई है, तो मात्राएँ ए 1 , एक, डी, एनऔरएस एन दो सूत्रों से जुड़ा हुआ है:

इसलिए, यदि इनमें से तीन राशियों के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो राशियों के संगत मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

एक अंकगणितीय प्रगति एक मोनोटोनिक अनुक्रम है। जिसमें:

• अगर डी > 0 , तो यह बढ़ रहा है;
• अगर डी < 0 , तो यह घट रहा है;
• अगर डी = 0 , तो अनुक्रम स्थिर होगा।

ज्यामितीय अनुक्रम

ज्यामितीय अनुक्रम एक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या से गुणा किया जाता है।

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . , बी नहीं, . . .

एक ज्यामितीय प्रगति है यदि किसी प्राकृतिक संख्या के लिए एन शर्त पूरी होती है:

बी नहीं +1 = बी नहीं · क्यू,

कहाँ पे क्यू ≠ 0 - कुछ संख्या।

इस प्रकार, इस ज्यामितीय प्रगति के अगले पद का पिछले एक से अनुपात एक स्थिर संख्या है:

बी 2 / बी 1 = बी 3 / बी 2 = . . . = बी नहीं +1 / बी नहीं = क्यू.

संख्या क्यू बुलाया एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक.

एक ज्यामितीय प्रगति निर्धारित करने के लिए, इसके पहले पद और हर को निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

उदाहरण के लिए,

अगर बी 1 = 1, क्यू = -3 , तो अनुक्रम के पहले पाँच पद इस प्रकार पाए जाते हैं:

ख 1 = 1,

बी 2 = ख 1 · क्यू = 1 · (-3) = -3,

ख 3 = बी 2 · क्यू= -3 · (-3) = 9,

बी 4 = ख 3 · क्यू= 9 · (-3) = -27,

बी 5 = बी 4 · क्यू= -27 · (-3) = 81. ◄

बी 1 और हर क्यू उसकी एन -वाँ पद सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

बी नहीं = बी 1 · क्यू नहीं -1 .

उदाहरण के लिए,

एक गुणोत्तर श्रेणी का सातवाँ पद ज्ञात कीजिए 1, 2, 4, . . .

बी 1 = 1, क्यू = 2,

बी 7 = बी 1 · क्यू 6 = 1 2 6 = 64. ◄

बटालियन -1 = ख 1 · क्यू नहीं -2 ,

बी नहीं = ख 1 · क्यू नहीं -1 ,

बी नहीं +1 = बी 1 · क्यू नहीं,

तो जाहिर है

बी नहीं 2 = बी नहीं -1 · बी नहीं +1 ,

ज्यामितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के ज्यामितीय माध्य (आनुपातिक) के बराबर होता है।

चूँकि विलोम भी सत्य है, निम्नलिखित अभिकथन मानता है:

संख्याएँ a, b और c कुछ ज्यामितीय प्रगति के क्रमागत सदस्य हैं यदि और केवल यदि उनमें से एक का वर्ग अन्य दो के गुणनफल के बराबर है, अर्थात संख्याओं में से एक अन्य दो का ज्यामितीय माध्य है।

उदाहरण के लिए,

आइए हम सिद्ध करें कि सूत्र द्वारा दिया गया क्रम बी नहीं= -3 2 एन , एक ज्यामितीय प्रगति है। आइए ऊपर दिए गए कथन का उपयोग करें। हमारे पास है:

बी नहीं= -3 2 एन,

बी नहीं -1 = -3 2 एन -1 ,

बी नहीं +1 = -3 2 एन +1 .

इसलिये,

बी नहीं 2 = (-3 2 एन) 2 = (-3 2 .) एन -1 ) (-3 2 एन +1 ) = बी नहीं -1 · बी नहीं +1 ,

जो आवश्यक अभिकथन को सिद्ध करता है। ◄

ध्यान दें कि एन एक ज्यामितीय प्रगति का वां पद न केवल के माध्यम से पाया जा सकता है बी 1 , लेकिन यह भी कोई पिछला पद बी के , जिसके लिए सूत्र का उपयोग करना पर्याप्त है

बी नहीं = बी के · क्यू नहीं - क.

उदाहरण के लिए,

के लिए बी 5 लिखा जा सकता है

ख 5 = ख 1 · क्यू 4 ,

ख 5 = बी 2 · क्यू 3,

ख 5 = ख 3 · क्यू2,

ख 5 = बी 4 · क्यू. ◄

बी नहीं = बी के · क्यू नहीं - क,

बी नहीं = बी नहीं - क · क्यू के,

तो जाहिर है

बी नहीं 2 = बी नहीं - क· बी नहीं + क

एक ज्यामितीय प्रगति के किसी भी सदस्य का वर्ग, दूसरे से शुरू होकर, इस प्रगति के सदस्यों के उत्पाद के बराबर होता है।

इसके अलावा, किसी भी ज्यामितीय प्रगति के लिए, समानता सत्य है:

बी एम· बी नहीं= बी के· बी एल,

एम+ एन= क+ मैं.

उदाहरण के लिए,

तेजी से

1) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = बी 5 · बी 7 ;

2) 1024 = बी 11 = बी 6 · क्यू 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) बी 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = बी 4 · बी 8 ;

4) बी 2 · बी 7 = बी 4 · बी 5 , जैसा

बी 2 · बी 7 = 2 · 64 = 128,

बी 4 · बी 5 = 8 · 16 = 128. ◄

एस नहीं= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . + बी नहीं

प्रथम एन एक हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्य क्यू ≠ 0 सूत्र द्वारा गणना:

और जब क्यू = 1 - सूत्र के अनुसार

एस नहीं= एन.बी. 1

ध्यान दें कि यदि हमें शर्तों का योग करना है

बी के, बी के +1 , . . . , बी नहीं,

तब सूत्र का उपयोग किया जाता है:

एस नहीं- एस को -1 = बी के + बी के +1 + . . . + बी नहीं = बी के ·	1 - क्यू नहीं - क +1	.
	1 - क्यू

उदाहरण के लिए,

तेजी से 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

एस 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = एस 10 - एस 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

यदि एक ज्यामितीय प्रगति दी जाती है, तो मात्राएँ बी 1 , बी नहीं, क्यू, एनऔर एस नहीं दो सूत्रों से जुड़ा हुआ है:

इसलिए, यदि इनमें से किन्हीं तीन राशियों के मान दिए गए हैं, तो अन्य दो राशियों के संगत मान इन सूत्रों से दो अज्ञात के साथ दो समीकरणों की एक प्रणाली में संयुक्त रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

पहले पद के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के लिए बी 1 और हर क्यू निम्नलिखित होता है एकरसता गुण :

• यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति बढ़ रही है:

बी 1 > 0 और क्यू> 1;

बी 1 < 0 और 0 < क्यू< 1;

• यदि निम्न में से कोई एक शर्त पूरी होती है तो प्रगति घट रही है:

बी 1 > 0 और 0 < क्यू< 1;

बी 1 < 0 और क्यू> 1.

यदि एक क्यू< 0 , तो ज्यामितीय प्रगति साइन-अल्टरनेटिंग होती है: इसके विषम-संख्या वाले शब्दों का चिन्ह इसके पहले पद के समान होता है, और सम-संख्या वाले शब्दों का विपरीत चिन्ह होता है। यह स्पष्ट है कि एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रगति मोनोटोनिक नहीं है।

पहले का उत्पाद एन एक ज्यामितीय प्रगति की शर्तों की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:

पी न= ख 1 · बी 2 · ख 3 · . . . · बी नहीं = (ख 1 · बी नहीं) एन / 2 .

उदाहरण के लिए,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति

असीमित रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति एक अनंत ज्यामितीय प्रगति कहलाती है जिसका हर मापांक . से कम है 1 , अर्थात

|क्यू| < 1 .

ध्यान दें कि एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति घटती क्रम नहीं हो सकती है। यह मामला फिट बैठता है

1 < क्यू< 0 .

ऐसे हर के साथ, अनुक्रम संकेत-वैकल्पिक है। उदाहरण के लिए,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग उस संख्या का नाम बताइए जिसमें पहले का योग हो एन संख्या में असीमित वृद्धि के साथ प्रगति की शर्तें एन . यह संख्या हमेशा परिमित होती है और सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

एस= बी 1 + बी 2 + बी 3 + . . . =	बी 1	.
	1 - क्यू

उदाहरण के लिए,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बीच संबंध

अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति निकट से संबंधित हैं। आइए केवल दो उदाहरणों पर विचार करें।

ए 1 , ए 2 , ए 3 , . . . डी , तब

बी ० ए 1 , बी ० ए 2 , बी ० ए 3 , . . . बी डी .

उदाहरण के लिए,

1, 3, 5, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति 2 और

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है 7 2 . ◄

बी 1 , बी 2 , बी 3 , . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है क्यू , तब

लॉग ए बी 1, लॉग ए बी 2, लॉग ए बी 3, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति लॉग एक्यू .

उदाहरण के लिए,

2, 12, 72, . . . हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति है 6 और

एलजी 2, एलजी 12, एलजी 72, . . . — अंतर के साथ अंकगणितीय प्रगति एलजी 6 . ◄

सूत्र का सार क्या है?

यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोई भी उनके नंबर से" एन" .

बेशक, आपको पहला टर्म जानने की जरूरत है एक 1और प्रगति अंतर डी, ठीक है, इन मापदंडों के बिना, आप एक विशिष्ट प्रगति नहीं लिख सकते।

इस सूत्र को याद रखना (या धोखा देना) पर्याप्त नहीं है। इसके सार को आत्मसात करना और विभिन्न समस्याओं में सूत्र को लागू करना आवश्यक है। हाँ, और सही समय पर मत भूलना, हाँ...) कैसे भूलना नहीं- मैं नहीं जानता। और यहाँ कैसे याद रखेंयदि आवश्यक हो तो मैं आपको एक संकेत दूंगा। उन लोगों के लिए जो अंत तक पाठ में महारत हासिल करते हैं।)

तो, आइए अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के सूत्र से निपटें।

सामान्य रूप से एक सूत्र क्या है - हम कल्पना करते हैं।) एक अंकगणितीय प्रगति क्या है, एक सदस्य संख्या, एक प्रगति अंतर - पिछले पाठ में स्पष्ट रूप से कहा गया है। अगर आपने नहीं पढ़ा है तो देख लीजिए। वहां सब कुछ सरल है। यह पता लगाना बाकी है क्या वां सदस्य।

सामान्य तौर पर प्रगति को संख्याओं की एक श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:

ए 1, ए 2, ए 3, ए 4, ए 5, .....

एक 1- अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को दर्शाता है, एक 3- तीसरा सदस्य एक 4- चौथा, और इसी तरह। यदि हम पांचवें कार्यकाल में रुचि रखते हैं, तो मान लें कि हम साथ काम कर रहे हैं एक 5, अगर एक सौ बीसवां - से एक 120.

सामान्य रूप से कैसे परिभाषित करें कोई भीअंकगणितीय प्रगति का सदस्य, s कोई भीसंख्या? बहुत आसान! ऐशे ही:

एक

यह वही है अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य।अक्षर n के तहत सदस्यों की सभी संख्याएँ एक साथ छिपी हुई हैं: 1, 2, 3, 4, और इसी तरह।

और ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? जरा सोचिए, उन्होंने एक नंबर की जगह एक लेटर लिख दिया...

यह अंकन हमें अंकगणितीय प्रगति के साथ काम करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण देता है। नोटेशन का उपयोग करना एक, हम जल्दी से ढूंढ सकते हैं कोई भीसदस्य कोई भीअंकगणितीय प्रगति। और कार्यों का एक गुच्छा प्रगति में हल करने के लिए। आप आगे देखेंगे।

अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य के सूत्र में:

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

एक 1- अंकगणितीय प्रगति का पहला सदस्य;

एन- सदस्य संख्या।

सूत्र किसी भी प्रगति के प्रमुख मापदंडों को जोड़ता है: एक ; एक 1 ; डीऔर एन. इन मापदंडों के इर्द-गिर्द, सभी पहेलियाँ प्रगति में घूमती हैं।

एक विशिष्ट प्रगति लिखने के लिए nवें पद के सूत्र का भी उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या में यह कहा जा सकता है कि प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

ए एन = 5 + (एन -1) 2.

ऐसी समस्या भ्रमित भी कर सकती है ... कोई श्रृंखला नहीं है, कोई अंतर नहीं है ... लेकिन, सूत्र के साथ स्थिति की तुलना करना, यह पता लगाना आसान है कि इस प्रगति में ए 1 \u003d 5, और डी \u003d 2.

और यह और भी गुस्सा हो सकता है!) अगर हम एक ही शर्त लेते हैं: ए एन = 5 + (एन -1) 2,हाँ, कोष्ठक खोलिए और समान संख्याएँ दीजिए? हमें एक नया सूत्र मिलता है:

एक = 3 + 2n।

ये है केवल सामान्य नहीं, बल्कि एक विशिष्ट प्रगति के लिए। यहीं पर घाटा है। कुछ लोग सोचते हैं कि पहला पद तीन है। हालांकि वास्तव में पहला सदस्य पांच है ... थोड़ा कम हम ऐसे संशोधित फॉर्मूले के साथ काम करेंगे।

प्रगति के कार्यों में एक और संकेतन है - एक एन+1. यह है, आपने अनुमान लगाया है, प्रगति का "एन प्लस पहला" शब्द। इसका अर्थ सरल और हानिरहित है।) यह प्रगति का सदस्य है, जिसकी संख्या संख्या n से एक से अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि किसी समस्या में हम लेते हैं एकपाँचवाँ कार्यकाल, फिर एक एन+1छठे सदस्य होंगे। आदि।

अक्सर पदनाम एक एन+1पुनरावर्ती सूत्रों में होता है। इस भयानक शब्द से डरो मत!) यह एक अंकगणितीय प्रगति के शब्द को व्यक्त करने का एक तरीका है पिछले एक के माध्यम से।मान लीजिए कि हमें आवर्तक सूत्र का उपयोग करके इस रूप में एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

एक एन+1 = एक एन +3

ए 2 = ए 1 + 3 = 5+3 = 8

ए 3 = ए 2 + 3 = 8+3 = 11

चौथा - तीसरे के माध्यम से, पांचवें - चौथे के माध्यम से, और इसी तरह। और तुरंत कैसे गिनें, बीसवाँ पद कहें, एक 20? लेकिन कोई रास्ता नहीं!) जबकि 19वां पद ज्ञात नहीं है, 20वीं की गणना नहीं की जा सकती है। यह पुनरावर्ती सूत्र और nवें पद के सूत्र के बीच मूलभूत अंतर है। रिकर्सिव केवल के माध्यम से काम करता है पहले कापद, और nवें पद का सूत्र - के माध्यम से प्रथमऔर अनुमति देता है तुरंतकिसी भी सदस्य को उसके नंबर से खोजें। संख्याओं की पूरी श्रृंखला को क्रम में नहीं गिनना।

एक अंकगणितीय प्रगति में, एक पुनरावर्ती सूत्र को आसानी से एक नियमित सूत्र में बदला जा सकता है। लगातार पदों की एक जोड़ी की गणना करें, अंतर की गणना करें डी,खोजें, यदि आवश्यक हो, तो पहला पद एक 1, सूत्र को सामान्य रूप में लिखें, और उसके साथ कार्य करें। GIA में, ऐसे कार्य अक्सर पाए जाते हैं।

अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के सूत्र का अनुप्रयोग।

सबसे पहले, आइए सूत्र के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को देखें। पिछले पाठ के अंत में एक समस्या थी:

एक अंकगणितीय प्रगति (ए एन) को देखते हुए। यदि a 1 =3 और d=1/6 हो तो 121 ज्ञात कीजिए।

इस समस्या को बिना किसी सूत्र के हल किया जा सकता है, केवल अंकगणितीय प्रगति के अर्थ के आधार पर। जोड़ें, हाँ जोड़ें ... एक या दो घंटे।)

और सूत्र के अनुसार घोल में एक मिनट से भी कम समय लगेगा। आप इसे समय दे सकते हैं।) हम तय करते हैं।

शर्तें सूत्र का उपयोग करने के लिए सभी डेटा प्रदान करती हैं: ए 1 \u003d 3, डी \u003d 1/6।यह देखना बाकी है क्या एन।कोई बात नहीं! हमें खोजने की जरूरत है एक 121. यहाँ हम लिखते हैं:

ध्यान दीजिए! एक सूचकांक के बजाय एनएक विशिष्ट संख्या दिखाई दी: 121. जो काफी तार्किक है।) हम अंकगणितीय प्रगति के सदस्य में रुचि रखते हैं नंबर एक सौ इक्कीस।यह हमारा होगा एन।यही अर्थ है एन= 121 हम आगे सूत्र में, कोष्ठकों में प्रतिस्थापित करेंगे। सूत्र में सभी संख्याओं को रखें और गणना करें:

ए 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

यही सब है इसके लिए। जितनी जल्दी कोई पांच सौ दसवां सदस्य, और एक हजार और तीसरा, कोई भी ढूंढ सकता है। हम इसके बजाय डालते हैं एनपत्र के सूचकांक में वांछित संख्या " ए"और कोष्ठक में, और हम विचार करते हैं।

मैं आपको सार याद दिलाता हूं: यह सूत्र आपको खोजने की अनुमति देता है कोई भीएक अंकगणितीय प्रगति की अवधि उनके नंबर से" एन" .

आइए समस्या को बेहतर तरीके से हल करें। मान लें कि हमें निम्नलिखित समस्या है:

समांतर श्रेणी (a n) का पहला पद ज्ञात कीजिए यदि a 17 =-2; डी = -0.5।

यदि आपको कोई कठिनाई है, तो मैं पहला कदम सुझाऊंगा। एक समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र लिखिए!हाँ हाँ। हाथ से लिखें, ठीक अपनी नोटबुक में:

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

और अब, सूत्र के अक्षरों को देखते हुए, हम समझते हैं कि हमारे पास क्या डेटा है और क्या गायब है? उपलब्ध घ = -0.5,सत्रहवाँ सदस्य है ... सब कुछ? अगर आपको लगता है कि बस इतना ही है, तो आप समस्या का समाधान नहीं कर सकते, हाँ...

हमारा भी एक नंबर है एन! हालत में एक 17 = -2छिपा हुआ दो विकल्प।यह सत्रहवें सदस्य (-2) और इसकी संख्या (17) दोनों का मान है। वे। एन = 17।यह "छोटी बात" अक्सर सिर के पीछे से निकल जाती है, और इसके बिना, ("छोटी बात" के बिना, सिर नहीं!) समस्या हल नहीं हो सकती है। हालांकि ... और बिना सिर के भी।)

अब हम मूर्खतापूर्ण तरीके से अपने डेटा को सूत्र में बदल सकते हैं:

ए 17 \u003d ए 1 + (17-1) (-0.5)

ओह हां, एक 17हम जानते हैं कि यह -2 है। ठीक है, चलो इसे डालते हैं:

-2 \u003d ए 1 + (17-1) (-0.5)

वह, संक्षेप में, सब कुछ है। यह सूत्र से अंकगणितीय प्रगति के पहले पद को व्यक्त करने और गणना करने के लिए बनी हुई है। आपको उत्तर मिलता है: ए 1 = 6.

ऐसी तकनीक - एक सूत्र लिखना और केवल ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करना - सरल कार्यों में बहुत मदद करता है। ठीक है, आपको निश्चित रूप से एक सूत्र से एक चर व्यक्त करने में सक्षम होना चाहिए, लेकिन क्या करना है!? इस कौशल के बिना गणित की पढ़ाई बिल्कुल भी नहीं हो सकती...

एक और लोकप्रिय समस्या:

समांतर श्रेणी (a n) का अंतर ज्ञात कीजिए यदि a 1 =2; एक 15 = 12।

हम क्या कर रहे हैं? आपको आश्चर्य होगा, हम सूत्र लिखते हैं!)

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

विचार करें कि हम क्या जानते हैं: ए 1 = 2; एक 15 =12; और (विशेष हाइलाइट!) एन = 15। सूत्र में स्थानापन्न करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें:

12=2 + (15-1)डी

चलो अंकगणित करते हैं।)

12=2 + 14डी

डी=10/14 = 5/7

यह सही जवाब है।

तो, कार्य एक एन, एक 1और डीतय। यह सीखना बाकी है कि संख्या कैसे प्राप्त करें:

संख्या 99 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य है, जहां 1 =12; घ = 3. इस सदस्य की संख्या ज्ञात कीजिए।

हम ज्ञात मात्राओं को nवें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:

ए एन = 12 + (एन -1) 3

पहली नज़र में, यहाँ दो अज्ञात मात्राएँ हैं: एक एन और एन।लेकिन एकसंख्या के साथ प्रगति का कुछ सदस्य है एन... और प्रगति के इस सदस्य को हम जानते हैं! यह 99 है। हमें उसका नंबर नहीं पता। एन,इसलिए इस नंबर को भी खोजने की जरूरत है। प्रगति पद 99 को सूत्र में बदलें:

99 = 12 + (एन -1) 3

हम सूत्र से व्यक्त करते हैं एन, हमें लगता है कि। हमें उत्तर मिलता है: एन = 30।

और अब एक ही विषय पर एक समस्या, लेकिन अधिक रचनात्मक):

निर्धारित करें कि क्या संख्या 117 अंकगणितीय प्रगति (ए एन) का सदस्य होगा:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

आइए फिर से सूत्र लिखें। क्या, कोई विकल्प नहीं है? हम्म... हमें आँखों की आवश्यकता क्यों है?) क्या हम प्रगति के पहले सदस्य को देखते हैं? हम देखते हैं। यह -3.6 है। आप सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं: ए 1 \u003d -3.6।अंतर डीश्रृंखला से निर्धारित किया जा सकता है? यह आसान है यदि आप जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति का अंतर क्या है:

डी = -2.4 - (-3.6) = 1.2

हां, हमने सबसे आसान काम किया। यह एक अज्ञात नंबर से निपटने के लिए बनी हुई है एनऔर एक समझ से बाहर की संख्या 117। पिछली समस्या में, कम से कम यह ज्ञात था कि यह प्रगति का शब्द था जो दिया गया था। लेकिन यहाँ हम यह भी नहीं जानते कि ... कैसे हो!? खैर, कैसे बनें, कैसे बनें... अपनी रचनात्मक क्षमताओं को चालू करें!)

हम मान लेनाआखिरकार, 117 हमारी प्रगति का सदस्य है। एक अनजान नंबर के साथ एन. और, पिछली समस्या की तरह, आइए इस संख्या को खोजने का प्रयास करें। वे। हम सूत्र लिखते हैं (हाँ-हाँ!)) और अपनी संख्याएँ प्रतिस्थापित करते हैं:

117 = -3.6 + (एन-1) 1.2

फिर से हम सूत्र से व्यक्त करते हैंएन, हम गिनते हैं और प्राप्त करते हैं:

उफ़! नंबर निकला भिन्नात्मक!डेढ़ सौ। और प्रगति में भिन्नात्मक संख्याएं नहीं हो सकता।हम क्या निष्कर्ष निकालते हैं? हां! संख्या 117 क्या नहीं हैहमारी प्रगति के सदस्य। यह 101वें और 102वें सदस्यों के बीच कहीं है। यदि संख्या प्राकृतिक निकली, अर्थात। सकारात्मक पूर्णांक है, तो संख्या मिली संख्या के साथ प्रगति का सदस्य होगा। और हमारे मामले में, समस्या का उत्तर होगा: नहीं।

जीआईए के वास्तविक संस्करण पर आधारित कार्य:

अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:

ए एन \u003d -4 + 6.8n

प्रगति के पहले और दसवें पद ज्ञात कीजिए।

यहां प्रगति को असामान्य तरीके से सेट किया गया है। किसी प्रकार का सूत्र ... होता है।) हालाँकि, यह सूत्र (जैसा कि मैंने ऊपर लिखा था) - अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य का सूत्र भी!वह भी अनुमति देती है प्रगति के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या से ज्ञात कीजिए।

हम पहले सदस्य की तलाश कर रहे हैं। वह जो सोचता है। कि पहला पद शून्य से चार है, मोटे तौर पर गलत है!) क्योंकि समस्या में सूत्र संशोधित है। इसमें अंकगणितीय प्रगति का पहला पद छिपा हुआ।कुछ नहीं, हम इसे अभी खोज लेंगे।)

पिछले कार्यों की तरह, हम स्थानापन्न करते हैं एन = 1इस सूत्र में:

ए 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

यहां! पहला पद 2.8 है, -4 नहीं!

इसी तरह, हम दसवें पद की तलाश कर रहे हैं:

ए 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

यही सब है इसके लिए।

और अब, उन लोगों के लिए जिन्होंने इन पंक्तियों को पढ़ा है, वादा किया गया बोनस।)

मान लीजिए, जीआईए या एकीकृत राज्य परीक्षा की कठिन लड़ाई की स्थिति में, आप अंकगणितीय प्रगति के n-वें सदस्य के उपयोगी सूत्र को भूल गए। कुछ दिमाग में आता है, लेकिन किसी तरह अनिश्चित रूप से ... चाहे एनवहाँ, या एन+1, या एन-1...कैसे बनें!?

शांत! यह सूत्र निकालना आसान है। बहुत सख्त नहीं है, लेकिन निश्चित रूप से आत्मविश्वास और सही निर्णय के लिए पर्याप्त है!) निष्कर्ष के लिए, अंकगणितीय प्रगति के प्रारंभिक अर्थ को याद रखना और कुछ मिनटों का समय है। आपको बस एक तस्वीर खींचने की जरूरत है। विस्तृत जानकारी के लिए।

हम एक संख्यात्मक अक्ष खींचते हैं और उस पर पहले वाले को चिह्नित करते हैं। दूसरा, तीसरा, आदि सदस्य। और अंतर नोट करें डीसदस्यों के बीच। ऐशे ही:

हम चित्र को देखते हैं और सोचते हैं: दूसरा पद किसके बराबर है? दूसरा एक डी:

ए 2 =ए 1 + 1 डी

तीसरा कार्यकाल क्या है? तीसराटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है दो डी.

ए 3 =ए 1 + 2 डी

आपको समझ आया? मैं कुछ शब्दों को बिना कुछ लिए बोल्ड में नहीं डालता। ठीक है, एक और कदम।)

चौथा पद क्या है? चौथीटर्म पहले टर्म प्लस के बराबर है तीन डी.

ए 4 =ए 1 + 3 डी

यह महसूस करने का समय है कि अंतराल की संख्या, यानी। डी, हमेशा आप जिस सदस्य की तलाश कर रहे हैं, उसकी संख्या से एक कम एन. यानी संख्या तक n, अंतराल की संख्यामर्जी एन-1.तो, सूत्र होगा (कोई विकल्प नहीं!):

ए एन = ए 1 + (एन -1) डी

सामान्य तौर पर, दृश्य चित्र गणित में कई समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होते हैं। चित्रों की उपेक्षा न करें। लेकिन अगर चित्र बनाना मुश्किल है, तो ... केवल एक सूत्र!) इसके अलावा, nवें पद का सूत्र आपको गणित के पूरे शक्तिशाली शस्त्रागार को समाधान से जोड़ने की अनुमति देता है - समीकरण, असमानता, सिस्टम, आदि। आप समीकरण में तस्वीर नहीं लगा सकते...

स्वतंत्र निर्णय के लिए कार्य।

वार्म-अप के लिए:

1. समांतर श्रेणी में (a n) a 2 =3; ए 5 \u003d 5.1. एक 3 खोजें।

संकेत: चित्र के अनुसार, समस्या 20 सेकंड में हल हो जाती है ... सूत्र के अनुसार, यह अधिक कठिन हो जाता है। लेकिन सूत्र में महारत हासिल करने के लिए, यह अधिक उपयोगी है।) धारा 555 में, इस समस्या को चित्र और सूत्र दोनों द्वारा हल किया गया है। अंतर महसूस करें!)

और यह अब वार्म-अप नहीं है।)

2. अंकगणितीय प्रगति में (ए एन) ए 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. एक 3 खोजें।

क्या, चित्र बनाने में अनिच्छा?) फिर भी! यह सूत्र में बेहतर है, हाँ...

3. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है:ए 1 \u003d -5.5; एक एन+1 = एक एन +0.5। इस प्रगति का एक सौ पच्चीसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

इस कार्य में, प्रगति को आवर्तक तरीके से दिया जाता है। लेकिन एक सौ पच्चीसवें कार्यकाल तक की गिनती... ऐसा कारनामा हर कोई नहीं कर सकता।) लेकिन नौवें पद का सूत्र हर किसी के वश में है!

4. एक समान्तर श्रेणी (a n) को देखते हुए:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

प्रगति के सबसे छोटे धनात्मक पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

5. कार्य 4 की शर्त के अनुसार, प्रगति के सबसे छोटे धनात्मक और सबसे बड़े ऋणात्मक सदस्यों का योग ज्ञात कीजिए।

6. बढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति के पांचवें और बारहवें पदों का गुणनफल -2.5 है, और तीसरे और ग्यारहवें पदों का योग शून्य है। एक 14 खोजें।

सबसे आसान काम नहीं, हाँ ...) यहाँ "उंगलियों पर" विधि काम नहीं करेगी। आपको सूत्र लिखना है और समीकरणों को हल करना है।

उत्तर (अव्यवस्था में):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

हो गई? यह अच्छा है!)

सब कुछ नहीं चलता? हो जाता है। वैसे, अंतिम कार्य में एक सूक्ष्म बिंदु है। समस्या को पढ़ते समय सावधानी की आवश्यकता होगी। और तर्क।

इन सभी समस्याओं के समाधान पर धारा 555 में विस्तार से चर्चा की गई है। और चौथे के लिए काल्पनिक तत्व, और छठे के लिए सूक्ष्म क्षण, और nवें पद के सूत्र के लिए किसी भी समस्या को हल करने के लिए सामान्य दृष्टिकोण - सब कुछ चित्रित किया गया है। अनुशंसा करना।

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अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति

सैद्धांतिक जानकारी

सैद्धांतिक जानकारी

	अंकगणितीय प्रगति	ज्यामितीय अनुक्रम
परिभाषा	अंकगणितीय प्रगति एकएक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य के बराबर होता है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है डी (डी- प्रगति अंतर)	ज्यामितीय अनुक्रम बी नहींगैर-शून्य संख्याओं का एक क्रम कहलाता है, जिसका प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, पिछले पद को उसी संख्या से गुणा करने के बराबर होता है क्यू (क्यू- प्रगति का भाजक)
आवर्तक सूत्र	किसी भी प्राकृतिक के लिए एन ए एन + 1 = ए एन + डी	किसी भी प्राकृतिक के लिए एन बी एन + 1 = बी एन ∙ क्यू, बी एन ≠ 0
nth टर्म फॉर्मूला	ए एन = ए 1 + डी (एन - 1)	बी एन \u003d बी 1 क्यू एन - 1, बी एन ≠ 0
विशेषता संपत्ति
पहले n पदों का योग

टिप्पणियों के साथ कार्यों के उदाहरण

अभ्यास 1

अंकगणितीय प्रगति में ( एक) एक 1 = -6, एक 2

nवें पद के सूत्र के अनुसार:

एक 22 = एक 1+ डी (22 - 1) = एक 1+ 21डी

शर्त के अनुसार:

एक 1= -6, तो एक 22= -6 + 21d।

प्रगति के अंतर को खोजना आवश्यक है:

डी = ए 2 - ए 1 = -8 – (-6) = -2

एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

जवाब : एक 22 = -48.

टास्क 2

ज्यामितीय प्रगति का पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए: -3; 6;...

पहला तरीका (एन-टर्म फॉर्मूला का उपयोग करके)

ज्यामितीय प्रगति के n-वें सदस्य के सूत्र के अनुसार:

बी 5 \u003d बी 1 क्यू 5 - 1 = बी 1 क्यू 4.

जैसा ख 1 = -3,

दूसरा तरीका (पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करके)

चूँकि प्रगति का हर -2 (q = -2) है, तो:

ख 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

बी 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ख 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

जवाब : ख 5 = -48.

टास्क 3

अंकगणितीय प्रगति में ( एक एन) एक 74 = 34; एक 76= 156. इस प्रगति का पचहत्तरवाँ पद ज्ञात कीजिए।

एक अंकगणितीय प्रगति के लिए, विशेषता गुण का रूप होता है .

इसलिए:

.

डेटा को सूत्र में बदलें:

उत्तर: 95.

टास्क 4

अंकगणितीय प्रगति में ( ए एन) ए एन= 3n - 4. प्रथम सत्रह पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग ज्ञात करने के लिए, दो सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

.

इस मामले में आवेदन करने के लिए उनमें से कौन अधिक सुविधाजनक है?

शर्त के अनुसार, मूल प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र ज्ञात होता है ( एक) एक= 3n - 4. तुरंत पाया जा सकता है और एक 1, और एक 16डी खोजने के बिना। इसलिए, हम पहले सूत्र का उपयोग करते हैं।

उत्तर: 368.

टास्क 5

अंकगणितीय प्रगति में एक) एक 1 = -6; एक 2= -8। प्रगति का बाईसवां पद ज्ञात कीजिए।

nवें पद के सूत्र के अनुसार:

ए 22 = ए 1 + डी (22 – 1) = एक 1+ 21डी।

शर्त के अनुसार, यदि एक 1= -6, तब एक 22= -6 + 21d। प्रगति के अंतर को खोजना आवश्यक है:

डी = ए 2 - ए 1 = -8 – (-6) = -2

एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

जवाब : एक 22 = -48.

टास्क 6

एक ज्यामितीय प्रगति की कई लगातार शर्तें दर्ज की जाती हैं:

अक्षर x द्वारा निरूपित प्रगति का पद ज्ञात कीजिए।

हल करते समय, हम nवें पद के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं बी एन \u003d बी 1 क्यू एन - 1ज्यामितीय प्रगति के लिए। प्रगति के पहले सदस्य। प्रगति q के हर को खोजने के लिए, आपको प्रगति के इन शब्दों में से कोई भी लेना होगा और पिछले एक से विभाजित करना होगा। हमारे उदाहरण में, आप ले सकते हैं और विभाजित कर सकते हैं। हमें वह q \u003d 3. मिलता है। n के बजाय, हम सूत्र में 3 को प्रतिस्थापित करते हैं, क्योंकि किसी दिए गए ज्यामितीय प्रगति का तीसरा पद खोजना आवश्यक है।

प्राप्त मूल्यों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

.

जवाब : ।

टास्क 7

nवें पद के सूत्र द्वारा दी गई अंकगणितीय प्रगति में से वह चुनें जिसके लिए शर्त संतुष्ट है एक 27 > 9:

चूंकि निर्दिष्ट शर्त प्रगति के 27वें पद के लिए संतुष्ट होनी चाहिए, इसलिए हम चार प्रगतिओं में से प्रत्येक में n के बजाय 27 को प्रतिस्थापित करते हैं। चौथी प्रगति में हमें मिलता है:

.

उत्तर - 4।

टास्क 8

अंकगणितीय प्रगति में एक 1= 3, घ = -1.5। n का सबसे बड़ा मान निर्दिष्ट करें जिसके लिए असमानता है एक > -6.

ऑनलाइन कैलकुलेटर।
अंकगणितीय प्रगति समाधान।
दिया गया है: a n , d, n
खोजें: एक 1

यह गणित कार्यक्रम उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट संख्याओं \(a_n, d \) और \(n \) के आधार पर अंकगणितीय प्रगति का \(a_1\) ढूंढता है।
संख्याओं \(a_n\) और \(d \) को न केवल पूर्णांकों के रूप में, बल्कि भिन्नों के रूप में भी निर्दिष्ट किया जा सकता है। इसके अलावा, एक भिन्नात्मक संख्या को दशमलव भिन्न (\(2.5 \)) और एक साधारण भिन्न (\(-5\frac(2)(7) \)) के रूप में दर्ज किया जा सकता है।

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि समाधान खोजने की प्रक्रिया को भी प्रदर्शित करता है।

यह ऑनलाइन कैलकुलेटर हाई स्कूल के छात्रों के लिए परीक्षण और परीक्षा की तैयारी में उपयोगी हो सकता है, जब एकीकृत राज्य परीक्षा से पहले ज्ञान का परीक्षण किया जाता है, और माता-पिता के लिए गणित और बीजगणित में कई समस्याओं के समाधान को नियंत्रित करने के लिए। या हो सकता है कि आपके लिए ट्यूटर किराए पर लेना या नई पाठ्यपुस्तकें खरीदना बहुत महंगा हो? या क्या आप अपना गणित या बीजगणित का होमवर्क जल्द से जल्द पूरा करना चाहते हैं? इस मामले में, आप विस्तृत समाधान के साथ हमारे कार्यक्रमों का भी उपयोग कर सकते हैं।

इस तरह आप अपने छोटे भाइयों या बहनों के प्रशिक्षण और/या प्रशिक्षण का संचालन स्वयं कर सकते हैं, जबकि हल किए जाने वाले कार्यों के क्षेत्र में शिक्षा का स्तर बढ़ जाता है।

यदि आप संख्याओं को दर्ज करने के नियमों से परिचित नहीं हैं, तो हम अनुशंसा करते हैं कि आप उनसे स्वयं को परिचित कर लें।

नंबर दर्ज करने के नियम

संख्याओं \(a_n\) और \(d \) को न केवल पूर्णांकों के रूप में, बल्कि भिन्नों के रूप में भी निर्दिष्ट किया जा सकता है।
संख्या \(n\) केवल एक धनात्मक पूर्णांक हो सकती है।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को एक बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, आप दशमलव जैसे 2.5 या 2.5 . जैसे दशमलव दर्ज कर सकते हैं

साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
केवल एक पूर्ण संख्या भिन्न के अंश, हर और पूर्णांक भाग के रूप में कार्य कर सकती है।

भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।

एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से हर से अलग किया जाता है: /
इनपुट:
परिणाम: \(-\frac(2)(3) \)

पूर्णांक भाग को एम्परसेंड द्वारा भिन्न से अलग किया जाता है: &
इनपुट:
परिणाम: \(-1\frac(2)(3) \)

नंबर दर्ज करें a n , d, n

1 . खोजें

यह पाया गया कि इस कार्य को हल करने के लिए आवश्यक कुछ स्क्रिप्ट लोड नहीं हुईं, और प्रोग्राम काम नहीं कर सकता है।
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क्योंकि बहुत सारे लोग हैं जो समस्या का समाधान करना चाहते हैं, आपका अनुरोध कतार में है।
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अगर तुम समाधान में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप क्या तय करें खेतों में प्रवेश करें.

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थोड़ा सिद्धांत।

संख्यात्मक अनुक्रम

रोजमर्रा के अभ्यास में, विभिन्न वस्तुओं की संख्या का उपयोग अक्सर उस क्रम को इंगित करने के लिए किया जाता है जिसमें वे स्थित होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक गली के घरों को क्रमांकित किया गया है। पुस्तकालय में, पाठक की सदस्यता को क्रमांकित किया जाता है और फिर विशेष फाइल कैबिनेट में निर्दिष्ट संख्याओं के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।

एक बचत बैंक में, जमाकर्ता के व्यक्तिगत खाते की संख्या से, आप आसानी से इस खाते को ढूंढ सकते हैं और देख सकते हैं कि इसमें किस प्रकार की जमा राशि है। खाता नंबर 1 पर a1 रूबल की जमा राशि होने दें, खाता नंबर 2 पर a2 रूबल की जमा राशि, आदि। यह पता चला है संख्यात्मक क्रम
ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., ए एन
जहां एन सभी खातों की संख्या है। यहाँ, 1 से N तक प्रत्येक प्राकृत संख्या n को एक संख्या n दी गई है।

गणित भी पढ़ता है अनंत संख्या क्रम:
ए 1, ए 2, ए 3, ..., ए एन, ...।
नंबर 1 को कहा जाता है अनुक्रम का पहला सदस्य, नंबर 2 - अनुक्रम का दूसरा सदस्य, नंबर ए 3 - अनुक्रम का तीसरा सदस्यआदि।
संख्या a n कहलाती है अनुक्रम के nth (nth) सदस्य, और प्राकृत संख्या n है संख्या.

उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं के वर्गों के क्रम में 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... और 1 = 1 अनुक्रम का पहला सदस्य है; और n = n 2 अनुक्रम का nवाँ सदस्य है; a n+1 = (n + 1) 2 अनुक्रम का (n + 1)वां (एन प्लस पहला) सदस्य है। अक्सर एक अनुक्रम को उसके nवें पद के सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सूत्र \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) अनुक्रम देता है \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)

अंकगणितीय प्रगति

एक वर्ष की अवधि लगभग 365 दिन होती है। अधिक सटीक मान \(365\frac(1)(4) \) दिन है, इसलिए हर चार साल में एक दिन की त्रुटि जमा होती है।

इस त्रुटि के लिए प्रत्येक चौथे वर्ष में एक दिन जोड़ा जाता है और विस्तारित वर्ष को लीप वर्ष कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, तीसरी सहस्राब्दी में, लीप वर्ष 2004, 2008, 2012, 2016, ... हैं।

इस क्रम में, प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले एक के बराबर होता है, उसी संख्या 4 के साथ जोड़ा जाता है। ऐसे अनुक्रम कहलाते हैं अंकगणितीय प्रगति.

परिभाषा।
संख्यात्मक अनुक्रम a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... कहा जाता है अंकगणितीय प्रगति, यदि सभी प्राकृतिक n समानता के लिए
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
जहां d कुछ संख्या है।

यह इस सूत्र का अनुसरण करता है कि a n+1 - a n = d। संख्या d को अंतर कहा जाता है अंकगणितीय प्रगति.

एक अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
कहाँ पे
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), जहां \(n>1 \)

इस प्रकार, अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, उसके आसन्न दो सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है। यह "अंकगणित" प्रगति नाम की व्याख्या करता है।

ध्यान दें कि यदि a और d दिए गए हैं, तो अंकगणितीय प्रगति के शेष पदों की गणना पुनरावर्ती सूत्र a n+1 = a n + d का उपयोग करके की जा सकती है। इस तरह, प्रगति की पहली कुछ शर्तों की गणना करना मुश्किल नहीं है, हालांकि, उदाहरण के लिए, 100 के लिए, पहले से ही बहुत सारी गणनाओं की आवश्यकता होगी। आमतौर पर इसके लिए nवें टर्म फॉर्मूला का इस्तेमाल किया जाता है। एक अंकगणितीय प्रगति की परिभाषा के अनुसार
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d\)
आदि।
सामान्यतया,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
चूँकि एक समान्तर श्रेणी का nवाँ सदस्य संख्या d को (n-1) गुणा करके पहले सदस्य से प्राप्त किया जाता है।
इस सूत्र को कहा जाता है अंकगणितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र.

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग

आइए 1 से 100 तक की सभी प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात करें।
हम इस राशि को दो तरह से लिखते हैं:
एस = एल + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
एस = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1।
हम इन समानताओं को पद दर पद जोड़ते हैं:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101।
इस योग में 100 पद हैं।
इसलिए, 2S = 101 * 100, जहाँ से S = 101 * 50 = 5050।

अब एक मनमाना अंकगणितीय प्रगति पर विचार करें
ए 1 , ए 2 , ए 3 , ..., ए एन , ...
मान लीजिए S n इस प्रगति के पहले n पदों का योग है:
एस एन \u003d ए 1, ए 2, ए 3, ..., ए एन
फिर अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग है
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)

चूंकि \(a_n=a_1+(n-1)d \), फिर इस सूत्र में n को प्रतिस्थापित करने पर, हमें खोजने के लिए एक और सूत्र मिलता है अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)

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