लोगारित्मदी गई संख्या का घातांक कहलाता है जिससे दूसरी संख्या को ऊपर उठाया जाना चाहिए, कहा जाता है आधारदी गई संख्या प्राप्त करने के लिए लघुगणक। उदाहरण के लिए, संख्या 100 से आधार 10 तक का लघुगणक 2 है। दूसरे शब्दों में, संख्या 100 प्राप्त करने के लिए 10 का वर्ग होना चाहिए (10 2 = 100)। यदि एक एन- एक दी गई संख्या, बी- नींव और मैंलघुगणक है, तो बीएल = एन. संख्या एनबेस एंटीलोगैरिथम भी कहा जाता है बीनंबर मैं. उदाहरण के लिए, 2 से आधार 10 तक का प्रतिलोगरिदम 100 है। इसे लॉग के रूप में लिखा जा सकता है बी नहीं = मैंऔर एंटीलॉग बी एल = एन.

लघुगणक के मुख्य गुण:

एक के अलावा कोई भी धनात्मक संख्या लघुगणक का आधार हो सकती है, लेकिन दुर्भाग्य से यह पता चलता है कि if बीतथा एनपरिमेय संख्याएँ हैं, तो दुर्लभ मामलों में ऐसी परिमेय संख्या होती है मैं, क्या बीएल = एन. हालांकि, कोई एक अपरिमेय संख्या को परिभाषित कर सकता है मैं, उदाहरण के लिए, जैसे कि 10 मैं= 2; यह एक अपरिमेय संख्या है मैंकिसी भी आवश्यक सटीकता के साथ परिमेय संख्याओं द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। यह पता चला है कि इस उदाहरण में मैंलगभग 0.3010 है, और यह लगभग 2 का आधार 10 लघुगणक दशमलव लघुगणक की चार अंकों की तालिकाओं में पाया जा सकता है। आधार 10 लघुगणक (या दशमलव लघुगणक) का उपयोग गणनाओं में इतनी बार किया जाता है कि उन्हें कहा जाता है साधारणलघुगणक और लघुगणक के आधार के स्पष्ट संकेत को छोड़कर log2 = 0.3010 या log2 = 0.3010 के रूप में लिखा जाता है। आधार लघुगणक इ, एक अनुवांशिक संख्या जो लगभग 2.71828 के बराबर है, कहलाती है प्राकृतिकलघुगणक वे मुख्य रूप से गणितीय विश्लेषण और विभिन्न विज्ञानों में इसके अनुप्रयोगों पर काम करते हैं। प्राकृतिक लघुगणक भी आधार को स्पष्ट रूप से इंगित किए बिना लिखे जाते हैं, लेकिन विशेष संकेतन ln का उपयोग करते हुए: उदाहरण के लिए, ln2 = 0.6931, क्योंकि इ 0,6931 = 2.

साधारण लघुगणक की तालिकाओं का उपयोग करना।

किसी संख्या का साधारण लघुगणक वह घातांक होता है जिसके लिए आपको दी गई संख्या प्राप्त करने के लिए 10 बढ़ाने की आवश्यकता होती है। चूँकि 10 0 = 1, 10 1 = 10 और 10 2 = 100, हमें तुरंत वह लॉग 1 = 0, लॉग 10 = 1, लॉग 100 = 2, और इसी तरह मिलता है। 10 की पूर्णांक घातों को बढ़ाने के लिए। इसी तरह, 10 -1 = 0.1, 10 -2 = 0.01 और इसलिए log0.1 = -1, log0.01 = -2, और इसी तरह। 10 की सभी ऋणात्मक पूर्णांक घातों के लिए। शेष संख्याओं के सामान्य लघुगणक 10 की निकटतम पूर्णांक घातों के लघुगणक के बीच संलग्न हैं; log2 0 और 1 के बीच होना चाहिए, log20 1 और 2 के बीच होना चाहिए, और log0.2 -1 और 0 के बीच होना चाहिए। इस प्रकार, लघुगणक के दो भाग होते हैं, एक पूर्णांक और 0 और 1 के बीच एक दशमलव। पूर्णांक भाग कहलाता है विशेषतालघुगणक और संख्या से ही निर्धारित होता है, भिन्नात्मक भाग कहलाता है अपूर्णांशऔर तालिकाओं से पाया जा सकता है। साथ ही, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 का लघुगणक 0.3010 है, इसलिए log20 = 0.3010 + 1 = 1.3010। इसी प्रकार, log0.2 = log(2ё10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0.3010 - 1. घटाने पर हमें log0.2 = -0.6990 प्राप्त होता है। हालांकि, log0.2 को 0.3010 - 1 या 9.3010 - 10 के रूप में प्रदर्शित करना अधिक सुविधाजनक है; एक सामान्य नियम भी तैयार किया जा सकता है: किसी दी गई संख्या से 10 की शक्ति से गुणा करके प्राप्त सभी संख्याओं में एक ही मंटिसा एक दी गई संख्या के मंटिसा के बराबर होती है। अधिकांश तालिकाओं में, 1 से 10 तक की संख्याओं के मंटिसा दिए गए हैं, क्योंकि अन्य सभी संख्याओं के मंटिसा तालिका में दिए गए लोगों से प्राप्त किए जा सकते हैं।

अधिकांश टेबल चार या पांच दशमलव स्थानों के साथ लॉगरिदम देते हैं, हालांकि सात अंकों वाली टेबल और टेबल और भी अधिक दशमलव स्थानों के साथ हैं। उदाहरणों के साथ ऐसी तालिकाओं का उपयोग करना सीखना सबसे आसान है। log3.59 खोजने के लिए, सबसे पहले, ध्यान दें कि संख्या 3.59 10 0 और 10 1 के बीच है, इसलिए इसकी विशेषता 0 है। हम तालिका में संख्या 35 (बाईं ओर) पाते हैं और पंक्ति के साथ कॉलम में जाते हैं। जिसके ऊपर नंबर 9 है; इस कॉलम और पंक्ति 35 के चौराहे पर संख्या 5551 है, इसलिए लॉग 3.59 = 0.5551। चार सार्थक अंकों वाली किसी संख्या का मंटिसा ज्ञात करने के लिए, आपको प्रक्षेप का सहारा लेना होगा। कुछ तालिकाओं में, प्रत्येक तालिका पृष्ठ के दाईं ओर अंतिम नौ स्तंभों में दिए गए आनुपातिक भागों द्वारा प्रक्षेप की सुविधा होती है। अभी खोजें log736.4; संख्या 736.4 10 2 और 10 3 के बीच है, इसलिए इसके लघुगणक की विशेषता 2 है। तालिका में हमें बाईं ओर की पंक्ति 73 और स्तंभ 6 मिलती है। इस पंक्ति के चौराहे पर और यह कॉलम संख्या है 8669. रैखिक भागों में हम पाते हैं कि स्तंभ 4 पंक्ति 73 के चौराहे पर और स्तंभ 4 संख्या 2 है। 2 को 8669 में जोड़ने पर, हमें मंटिसा मिलता है - यह 8671 के बराबर है। इस प्रकार, log736.4 = 2.8671।

प्राकृतिक लघुगणक।

प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाएँ और गुण सामान्य लघुगणक की तालिकाओं और गुणों के समान हैं। दोनों के बीच मुख्य अंतर यह है कि प्राकृतिक लघुगणक का पूर्णांक भाग दशमलव बिंदु की स्थिति निर्धारित करने में महत्वपूर्ण नहीं है, और इसलिए मंटिसा और विशेषता के बीच का अंतर विशेष भूमिका नहीं निभाता है। संख्या 5.432 के प्राकृतिक लघुगणक; 54.32 और 543.2 क्रमशः 1.6923 हैं; 3.9949 और 6.2975। इन लघुगणकों के बीच संबंध स्पष्ट हो जाता है यदि हम उनके बीच के अंतरों पर विचार करें: log543.2 - log54.32 = 6.2975 - 3.9949 = 2.3026; अंतिम संख्या और कुछ नहीं बल्कि संख्या 10 का प्राकृतिक लघुगणक है (इस तरह लिखा गया है: ln10); लॉग 543.2 - लॉग 5.432 = 4.6052; अंतिम संख्या 2ln10 है। लेकिन 543.2 \u003d 10ґ54.32 \u003d 10 2 5.432। इस प्रकार, किसी दी गई संख्या के प्राकृतिक लघुगणक द्वारा एकआप संख्या के गुणनफल के बराबर संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक पा सकते हैं एककिसी भी हद तक एनसंख्या 10 यदि k ln एक ln10 को गुणा करके जोड़ें एन, अर्थात। एलएन( एकґ10एन) = लॉग एक + एनएलएन10 = एलएन एक + 2,3026एन. उदाहरण के लिए, ln0.005432 = ln(5.432´10 -3) = ln5.432 - 3ln10 = 1.6923 - (3´2.3026) = - 5.2155। इसलिए, सामान्य लघुगणक की तालिकाओं की तरह, प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाओं में आमतौर पर केवल 1 से 10 तक की संख्याओं के लघुगणक होते हैं। प्राकृतिक लघुगणक की प्रणाली में, कोई एंटीलॉगरिदम की बात कर सकता है, लेकिन अधिक बार कोई घातीय फ़ंक्शन या घातांक की बात करता है। . यदि एक एक्स= एलएन आप, फिर आप = भूतपूर्व, तथा आपघातांक कहा जाता है एक्स(टाइपोग्राफिक टाइपसेटिंग की सुविधा के लिए, वे अक्सर लिखते हैं आप= .क्स्प एक्स) घातांक संख्या के प्रतिलोगोरिथम की भूमिका निभाता है एक्स.

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक की तालिकाओं की सहायता से, आप 10 और के अलावा किसी भी आधार में लघुगणक की तालिकाएँ बना सकते हैं इ. अगर लॉग बी ० ए = एक्स, फिर बी एक्स = एक, और इसलिए लॉग सी बी एक्स= लॉग सीएया एक्सलकड़ी का लट्ठा सी बी= लॉग सीए, या एक्स= लॉग सीए/लकड़ी का लट्ठा सी बी= लॉग बी ० ए. इसलिए, लघुगणक की तालिका से आधार तक इस व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करना सीआप किसी अन्य आधार में लघुगणक की तालिकाएँ बना सकते हैं बी. गुणक 1/लॉग सी बीबुलाया संक्रमण मॉड्यूलजमीन से सीआधार के लिए बी. कुछ भी नहीं रोकता है, उदाहरण के लिए, उलटा सूत्र का उपयोग करना, या लॉगरिदम की एक प्रणाली से दूसरे में संक्रमण, सामान्य लॉगरिदम की तालिका से प्राकृतिक लॉगरिदम खोजने या रिवर्स ट्रांज़िशन करने के लिए। उदाहरण के लिए, log105,432 = log इ 5.432/लॉग इ 10 \u003d 1.6923 / 2.3026 \u003d 1.6923´0.4343 \u003d 0.7350। संख्या 0.4343, जिससे सामान्य लघुगणक प्राप्त करने के लिए किसी दी गई संख्या के प्राकृतिक लघुगणक को गुणा किया जाना चाहिए, साधारण लघुगणक की प्रणाली में संक्रमण का मापांक है।

विशेष टेबल।

लॉगरिदम का आविष्कार मूल रूप से उनके गुण लॉग का उपयोग करने के लिए किया गया था अब= लॉग एक+लोग बीऔर लॉग एक/बी= लॉग एक-लकड़ी का लट्ठा बी, उत्पादों को योगों में और भागफलों को अंतरों में बदलें। दूसरे शब्दों में, यदि log एकऔर लॉग बीज्ञात होते हैं, तो जोड़ और घटाव की सहायता से हम गुणनफल और भागफल का लघुगणक आसानी से ज्ञात कर सकते हैं। खगोल विज्ञान में, हालांकि, अक्सर लॉग के दिए गए मूल्यों के लिए एकऔर लॉग बीलॉग खोजने की जरूरत है ( एक + बी) या लॉग ( एक – बी) बेशक, कोई पहले लॉगरिदम की तालिकाओं से पा सकता है एकतथा बी, फिर निर्दिष्ट जोड़ या घटाव करें और, फिर से तालिकाओं का संदर्भ देते हुए, आवश्यक लघुगणक खोजें, लेकिन ऐसी प्रक्रिया के लिए तालिकाओं के तीन चक्कर लगाने होंगे। Z. लियोनेली ने 1802 में तथाकथित की तालिकाएँ प्रकाशित कीं। गाऊसी लघुगणक- योग और अंतर के जोड़ के लघुगणक - जिससे तालिकाओं तक एक पहुंच को प्रतिबंधित करना संभव हो गया।

1624 में, I. केप्लर ने आनुपातिक लघुगणक की तालिकाएँ प्रस्तावित कीं, अर्थात्। संख्याओं के लघुगणक एक/एक्स, कहाँ पे एककुछ सकारात्मक स्थिरांक है। इन तालिकाओं का उपयोग मुख्य रूप से खगोलविदों और नाविकों द्वारा किया जाता है।

आनुपातिक लघुगणक एक= 1 कहा जाता है लघुगणकऔर गणना में उपयोग किया जाता है जब किसी को उत्पादों और भागफलों से निपटना होता है। किसी संख्या का लघुगणक एनपारस्परिक के लघुगणक के बराबर; वे। कोलोग एन= लॉग1/ एन= - लॉग एन. यदि log2 = 0.3010, तो colog2 = - 0.3010 = 0.6990 - 1. लघुगणक का उपयोग करने का लाभ यह है कि प्रपत्र के व्यंजकों के लघुगणक के मान की गणना करते समय पी क्यू/आरधनात्मक दशमलव का तिगुना योग लॉग पी+लोग क्यू+ कोलोग आरमिश्रित योग और लॉग के अंतर की तुलना में खोजना आसान है पी+लोग क्यू-लकड़ी का लट्ठा आर.

कहानी।

लॉगरिदम की किसी भी प्रणाली के अंतर्निहित सिद्धांत को बहुत लंबे समय से जाना जाता है और इसे प्राचीन बेबीलोनियाई गणित (लगभग 2000 ईसा पूर्व) में खोजा जा सकता है। उन दिनों चक्रवृद्धि ब्याज की गणना के लिए धनात्मक पूर्णांक घातों के सारणीबद्ध मानों के बीच प्रक्षेप का उपयोग किया जाता था। बहुत बाद में, आर्किमिडीज (287-212 ईसा पूर्व) ने उस समय ज्ञात ब्रह्मांड को पूरी तरह से भरने के लिए आवश्यक रेत के दानों की संख्या पर ऊपरी सीमा खोजने के लिए 10 8 की शक्तियों का उपयोग किया। आर्किमिडीज ने प्रतिपादकों की संपत्ति की ओर ध्यान आकर्षित किया जो लघुगणक की प्रभावशीलता को रेखांकित करता है: शक्तियों का उत्पाद प्रतिपादकों के योग से मेल खाता है। मध्य युग के अंत और नए युग की शुरुआत में, गणितज्ञ तेजी से ज्यामितीय और अंकगणितीय प्रगति के बीच संबंधों का उल्लेख करने लगे। एम. स्टीफेल अपने निबंध में पूर्णांक अंकगणित(1544) ने संख्या 2 की सकारात्मक और नकारात्मक शक्तियों की एक तालिका दी:

स्टिफ़ेल ने देखा कि पहली पंक्ति (घातांक की पंक्ति) में दो संख्याओं का योग दो के घातांक के बराबर होता है, जो नीचे की पंक्ति (घातांक की पंक्ति) में दो संगत संख्याओं के गुणनफल से मेल खाता है। इस तालिका के संबंध में, स्टिफ़ेल ने चार नियम तैयार किए जो घातांक पर संचालन के लिए चार आधुनिक नियमों या लघुगणक पर संचालन के लिए चार नियमों के बराबर हैं: शीर्ष पंक्ति में योग नीचे की पंक्ति में उत्पाद से मेल खाता है; शीर्ष पंक्ति में घटाव नीचे की पंक्ति में विभाजन से मेल खाता है; शीर्ष पंक्ति में गुणन नीचे की पंक्ति में घातांक से मेल खाता है; शीर्ष पंक्ति में विभाजन निचली पंक्ति में मूल निष्कर्षण से मेल खाता है।

जाहिर है, स्टीफेल के नियमों के समान नियमों ने जे। नेपर को निबंध में लॉगरिदम की पहली प्रणाली के औपचारिक परिचय के लिए प्रेरित किया। अद्भुत लघुगणक तालिका का विवरण, 1614 में प्रकाशित हुआ। लेकिन नेपियर के विचारों में उत्पादों को रकम में बदलने की समस्या थी, उनके काम के प्रकाशन से दस साल से अधिक समय पहले, नेपियर को डेनमार्क से खबर मिली कि टाइको ब्राहे की वेधशाला में उनके सहायकों के पास कार्यों को परिवर्तित करने की एक विधि थी। रकम नेपियर के संचार में वर्णित विधि प्रकार के त्रिकोणमितीय सूत्रों के उपयोग पर आधारित थी

इसलिए, नेपियर तालिकाओं में मुख्य रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के लघुगणक शामिल थे। हालांकि नेपियर द्वारा प्रस्तावित परिभाषा में आधार की अवधारणा को स्पष्ट रूप से शामिल नहीं किया गया था, लेकिन उनके सिस्टम में लॉगरिदम की प्रणाली के आधार के बराबर भूमिका संख्या (1 - 10 -7)ґ10 7, लगभग 1/ के बराबर निभाई गई थी। इ.

न्यूपर से स्वतंत्र रूप से और उनके साथ लगभग एक साथ, लॉगरिदम की एक प्रणाली, जो कि काफी करीब है, का आविष्कार और प्रकाशन प्राग में जे। बर्गी द्वारा किया गया था, जो 1620 में प्रकाशित हुआ था। अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति सारणी. ये आधार (1 + 10 –4) 10 4 में एंटीलॉगरिथम की तालिकाएं थीं, संख्या का काफी अच्छा अनुमान इ.

नेपियर की प्रणाली में, संख्या 10 7 के लघुगणक को शून्य के रूप में लिया गया था, और जैसे-जैसे संख्याएँ घटती गईं, लघुगणक बढ़ते गए। जब जी. ब्रिग्स (1561-1631) नेपियर का दौरा किया, तो दोनों ने सहमति व्यक्त की कि संख्या 10 को आधार के रूप में उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होगा और एक का लघुगणक शून्य के बराबर होगा। फिर, जैसे-जैसे संख्याएँ बढ़ती हैं, उनके लघुगणक भी बढ़ते जाते हैं। इस प्रकार, हमें दशमलव लघुगणक की आधुनिक प्रणाली प्राप्त हुई, जिसकी तालिका ब्रिग्स ने अपने निबंध में प्रकाशित की लघुगणक अंकगणित(1620)। आधार लघुगणक इ, हालांकि नेपियर द्वारा पेश किए गए काफी नहीं हैं, उन्हें अक्सर नेपियर के रूप में जाना जाता है। ब्रिग्स द्वारा "विशेषता" और "मंटिसा" शब्द प्रस्तावित किए गए थे।

पहले लघुगणक, ऐतिहासिक कारणों से, संख्याओं के सन्निकटन का उपयोग करते थे 1/ इतथा इ. कुछ समय बाद, प्राकृतिक लघुगणक के विचार को अतिपरवलय के अंतर्गत क्षेत्रों के अध्ययन से जोड़ा जाने लगा xy= 1 (चित्र 1)। 17वीं शताब्दी में यह दिखाया गया था कि इस वक्र से घिरा क्षेत्र, अक्ष एक्सऔर निर्देशांक एक्स= 1 और एक्स = एक(चित्र 1 में यह क्षेत्र मोटे और दुर्लभ बिंदुओं से ढका हुआ है) अंकगणितीय प्रगति में बढ़ जाता है जब एकघातीय रूप से बढ़ता है। यह वह निर्भरता है जो घातांक और लघुगणक पर क्रियाओं के नियमों में उत्पन्न होती है। इसने नेपियर लघुगणक को "अतिशयोक्तिपूर्ण लघुगणक" कहने का आधार दिया।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन।

एक समय था जब लॉगरिदम को केवल गणना के साधन के रूप में माना जाता था, लेकिन 18 वीं शताब्दी में, मुख्य रूप से यूलर के काम के कारण, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की अवधारणा का गठन किया गया था। इस तरह के एक समारोह का ग्राफ आप= एलएन एक्स, जिसके निर्देशांक अंकगणितीय प्रगति में वृद्धि करते हैं, जबकि भुज ज्यामितीय प्रगति में वृद्धि करते हैं, अंजीर में दिखाया गया है। 2, एक. उलटा, या घातीय (घातीय) फ़ंक्शन का ग्राफ वाई = ई एक्स, जिनके निर्देशांक तेजी से बढ़ते हैं, और एब्सिसास अंकगणित को बढ़ाते हैं, क्रमशः अंजीर में प्रस्तुत किया जाता है। 2, बी. (वक्र आप= लॉग एक्सतथा आप = 10एक्सवक्र के आकार के समान आप= एलएन एक्सतथा आप = भूतपूर्व.) लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की वैकल्पिक परिभाषाएं भी प्रस्तावित की गई हैं, उदाहरण के लिए,

केपीआई; और, इसी तरह, -1 के प्राकृतिक लघुगणक फॉर्म की जटिल संख्याएं हैं (2 क + 1)अनुकरणीय, कहाँ पे कएक पूर्णांक है। समान कथन सामान्य लघुगणक या लघुगणक की अन्य प्रणालियों के लिए भी सही हैं। इसके अलावा, जटिल संख्याओं के जटिल लघुगणक को शामिल करने के लिए यूलर पहचान का उपयोग करके लघुगणक की परिभाषा को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एक वैकल्पिक परिभाषा कार्यात्मक विश्लेषण द्वारा प्रदान की जाती है। यदि एक एफ(एक्स) एक वास्तविक संख्या का एक सतत कार्य है एक्स, जिसमें निम्नलिखित तीन गुण हैं: एफ (1) = 0, एफ (बी) = 1, एफ (यूवी) = एफ (तुम) + एफ (वी), फिर एफ(एक्स) संख्या के लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है एक्सवजह से बी. इस लेख की शुरुआत में दी गई परिभाषा की तुलना में इस परिभाषा के कई फायदे हैं।

अनुप्रयोग।

लॉगरिदम मूल रूप से केवल गणनाओं को सरल बनाने के लिए उपयोग किए गए थे, और यह एप्लिकेशन अभी भी उनके सबसे महत्वपूर्ण में से एक है। उत्पादों, भागफलों, शक्तियों और जड़ों की गणना न केवल प्रकाशित लघुगणक तालिकाओं की व्यापक उपलब्धता से, बल्कि तथाकथित के उपयोग से भी सुगम होती है। स्लाइड नियम - एक कंप्यूटिंग उपकरण, जिसका सिद्धांत लघुगणक के गुणों पर आधारित है। शासक लघुगणकीय तराजू से सुसज्जित है, अर्थात्। नंबर 1 से किसी भी नंबर की दूरी एक्सलॉग के बराबर चुना गया एक्स; एक पैमाने को दूसरे के सापेक्ष स्थानांतरित करके, लॉगरिदम के योग या अंतर को प्लॉट करना संभव है, जिससे उत्पादों या संबंधित संख्याओं के आंशिक को सीधे पैमाने से पढ़ना संभव हो जाता है। लॉगरिदमिक रूप में संख्याओं की प्रस्तुति का लाभ उठाने के लिए तथाकथित की अनुमति देता है। प्लॉटिंग के लिए लॉगरिदमिक पेपर (दोनों समन्वय अक्षों के साथ उस पर मुद्रित लॉगरिदमिक स्केल वाला पेपर)। यदि फ़ंक्शन प्रपत्र के शक्ति नियम को संतुष्ट करता है वाई = केएक्स एन, तो इसका लघुगणकीय ग्राफ एक सीधी रेखा जैसा दिखता है, क्योंकि लकड़ी का लट्ठा आप= लॉग क + एनलकड़ी का लट्ठा एक्सलॉग के संबंध में एक समीकरण रैखिक है आपऔर लॉग एक्स. इसके विपरीत, यदि कुछ कार्यात्मक निर्भरता के लघुगणकीय ग्राफ में एक सीधी रेखा का रूप है, तो यह निर्भरता एक शक्ति कानून है। सेमी-लॉगरिदमिक पेपर (जहाँ y-अक्ष एक लघुगणकीय पैमाने पर है और भुज एक समान पैमाने पर है) उपयोगी है जब घातीय कार्यों की पहचान करने की आवश्यकता होती है। फॉर्म के समीकरण वाई = केबी आरएक्सतब होता है जब कोई मात्रा, जैसे जनसंख्या, रेडियोधर्मी सामग्री, या बैंक बैलेंस, वर्तमान जनसंख्या, रेडियोधर्मी सामग्री या धन के अनुपात में घटती या बढ़ती है। यदि ऐसी निर्भरता को अर्ध-लघुगणक कागज पर लागू किया जाता है, तो ग्राफ एक सीधी रेखा की तरह दिखाई देगा।

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन विभिन्न प्राकृतिक रूपों के संबंध में उत्पन्न होता है। सूरजमुखी के पुष्पक्रम में फूल लघुगणकीय सर्पिलों में पंक्तिबद्ध होते हैं, मोलस्क के गोले मुड़ जाते हैं नॉटिलस, पहाड़ की भेड़ के सींग और तोतों की चोंच। ये सभी प्राकृतिक आकृतियाँ लघुगणकीय सर्पिल के रूप में ज्ञात वक्र के उदाहरण हैं, क्योंकि ध्रुवीय निर्देशांक में इसका समीकरण है आर = एई बीक्यू, या ln आर= एलएन एक + बीक्यू. इस तरह के वक्र को एक गतिमान बिंदु द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसके ध्रुव से दूरी तेजी से बढ़ती है, और इसके त्रिज्या वेक्टर द्वारा वर्णित कोण अंकगणित बढ़ता है। इस तरह के एक वक्र की सर्वव्यापकता, और इसके परिणामस्वरूप लॉगरिदमिक फ़ंक्शन, इस तथ्य से अच्छी तरह से स्पष्ट है कि यह दूर के क्षेत्रों में होता है और एक सनकी कैम के समोच्च और प्रकाश की ओर उड़ने वाले कुछ कीड़ों के प्रक्षेपवक्र के रूप में काफी भिन्न होता है।

अक्सर एक नंबर लेते हैं इ = 2,718281828 . इस आधार में लघुगणक कहलाते हैं प्राकृतिक. प्राकृतिक लघुगणक के साथ गणना करते समय, संकेत के साथ काम करना आम है मैंएन, लेकिन नहीं लकड़ी का लट्ठा; जबकि संख्या 2,718281828 , आधार को परिभाषित करते हुए, इंगित न करें।

दूसरे शब्दों में, शब्दांकन इस तरह दिखेगा: प्राकृतिकनंबर एक्सवह घातांक है जिस पर संख्या बढ़ाई जानी है इ, प्राप्त होना एक्स.

इसलिए, एलएन(7,389...)= 2 क्योंकि इ 2 =7,389... . संख्या का प्राकृतिक लघुगणक ही इ= 1 क्योंकि इ 1 =इ, और एकता का प्राकृतिक लघुगणक शून्य के बराबर है, क्योंकि इ 0 = 1.

नंबर ही इएक मोनोटोन बंधे अनुक्रम की सीमा को परिभाषित करता है

गणना की कि इ = 2,7182818284... .

प्राय: किसी संख्या को स्मृति में स्थिर करने के लिए आवश्यक संख्या के अंकों को किसी बकाया तिथि से जोड़ दिया जाता है। किसी संख्या के पहले नौ अंक याद रखने की गति इदशमलव के बाद अंक बढ़ जाएगा यदि आप ध्यान दें कि 1828 लियो टॉल्स्टॉय के जन्म का वर्ष है!

आज तक, प्राकृतिक लघुगणक की काफी पूर्ण तालिकाएँ हैं।

प्राकृतिक लॉग ग्राफ(कार्य वाई =एलएन एक्स) सीधी रेखा के संबंध में दर्पण छवि के रूप में घातांक की साजिश का परिणाम है वाई = एक्सऔर ऐसा दिखता है:

प्रत्येक सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए प्राकृतिक लघुगणक पाया जा सकता है एकवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में आप = 1/एक्ससे 1 इससे पहले एक.

इस सूत्रीकरण की प्रारंभिक प्रकृति, जो कई अन्य सूत्रों के साथ फिट बैठती है जिसमें प्राकृतिक लघुगणक शामिल है, "प्राकृतिक" नाम के गठन का कारण था।

अगर हम विश्लेषण करें प्राकृतिक, एक वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के रूप में, तब यह कार्य करता है उलटा काम करनाएक घातीय कार्य के लिए, जो पहचान को कम करता है:

एलएन (ए) = ए (ए> 0)

एलएन (ई ए) = ए

सभी लघुगणक के साथ सादृश्य द्वारा, प्राकृतिक लघुगणक गुणन को जोड़ में, भाग को घटाव में परिवर्तित करता है:

एलएन(xy) = एलएन(एक्स) + एलएन(आप)

एलएन(एक्स/वाई)= एलएनएक्स - lny

लघुगणक प्रत्येक सकारात्मक आधार के लिए पाया जा सकता है जो एक के बराबर नहीं है, न कि केवल के लिए इ, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक केवल एक स्थिर कारक द्वारा प्राकृतिक लघुगणक से भिन्न होते हैं, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित किए जाते हैं।

विश्लेषण किया प्राकृतिक लॉग ग्राफ,हम पाते हैं कि यह चर के सकारात्मक मूल्यों के लिए मौजूद है एक्स. यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में एकरसता से बढ़ता है।

पर एक्स → 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा ऋणात्मक अनंत है ( -∞ )।पर एक्स → +∞ प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस अनंत है ( + ∞ ) अत्याधिक एक्सलघुगणक धीरे-धीरे बढ़ता है। कोई भी शक्ति समारोह एक्स एएक सकारात्मक घातांक के साथ एकलघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है। प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है।

प्रयोग प्राकृतिक लघुगणकउच्च गणित के पारित होने में बहुत तर्कसंगत। इस प्रकार, उन समीकरणों का उत्तर खोजने के लिए लघुगणक का उपयोग सुविधाजनक है जिनमें अज्ञात एक घातांक के रूप में प्रकट होते हैं। गणना में प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग बड़ी संख्या में गणितीय सूत्रों को बहुत सुविधाजनक बनाना संभव बनाता है। आधार लघुगणक इ भौतिक समस्याओं की एक महत्वपूर्ण संख्या को हल करने में मौजूद हैं और स्वाभाविक रूप से व्यक्तिगत रासायनिक, जैविक और अन्य प्रक्रियाओं के गणितीय विवरण में शामिल हैं। इस प्रकार, ज्ञात अर्ध-आयु के लिए क्षय स्थिरांक की गणना करने के लिए या रेडियोधर्मिता की समस्याओं को हल करने में क्षय समय की गणना करने के लिए लघुगणक का उपयोग किया जाता है। वे गणित और व्यावहारिक विज्ञान के कई वर्गों में अग्रणी भूमिका निभाते हैं, चक्रवृद्धि ब्याज की गणना सहित बड़ी संख्या में समस्याओं को हल करने के लिए वित्त के क्षेत्र में उनका सहारा लिया जाता है।

प्राकृतिक

प्राकृतिक लघुगणक फलन का ग्राफ। फ़ंक्शन धीरे-धीरे सकारात्मक अनंत तक पहुंचता है एक्सऔर तेजी से नकारात्मक अनंत तक पहुंचता है जब एक्सके किसी भी पावर फंक्शन की तुलना में 0 ("धीरे" और "तेज़" की ओर जाता है) एक्स).

प्राकृतिकआधार लघुगणक है , कहाँ पे इएक अपरिमेय स्थिरांक लगभग 2.718281 828 के बराबर है। प्राकृतिक लघुगणक को आमतौर पर ln के रूप में दर्शाया जाता है ( एक्स), लकड़ी का लट्ठा इ (एक्स) या कभी-कभी बस लॉग ( एक्स) यदि आधार इनिहित।

किसी संख्या का प्राकृतिक लघुगणक एक्स(के रूप में लिखा लॉग (एक्स)) वह घातांक है जिस पर आप संख्या बढ़ाना चाहते हैं इ, प्राप्त होना एक्स. उदाहरण के लिए, एलएन(7,389...) 2 के बराबर है क्योंकि इ 2 =7,389... . संख्या का प्राकृतिक लघुगणक ही इ (एलएन (ई)) 1 के बराबर है क्योंकि इ 1 = इ, और प्राकृतिक लघुगणक 1 ( लॉग(1)) 0 है क्योंकि इ 0 = 1.

प्राकृतिक लघुगणक को किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित किया जा सकता है एकवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में आप = 1/एक्स 1 से . तक एक. इस परिभाषा की सादगी, जो प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करने वाले कई अन्य फ़ार्मुलों के अनुरूप है, ने "प्राकृतिक" नाम को जन्म दिया है। इस परिभाषा को सम्मिश्र संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी।

यदि हम प्राकृतिक लघुगणक को वास्तविक चर के वास्तविक फलन के रूप में मानते हैं, तो यह घातांकीय फलन का व्युत्क्रम फलन है, जो सर्वसमिकाओं की ओर ले जाता है:

सभी लॉगरिदम की तरह, प्राकृतिक लॉगरिदम गुणा को जोड़ने के लिए मानचित्र करता है:

इस प्रकार, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं के समूह द्वारा गुणा के संबंध में सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के समूह का एक समरूपता है, जिसे एक फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

लघुगणक को 1 के अलावा किसी भी सकारात्मक आधार के लिए परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल इ, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक केवल एक स्थिर कारक द्वारा प्राकृतिक लघुगणक से भिन्न होते हैं, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित किए जाते हैं। लॉगरिदम उन समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी होते हैं जिनमें अज्ञात एक घातांक के रूप में मौजूद होते हैं। उदाहरण के लिए, लघुगणक का उपयोग ज्ञात अर्ध-आयु के लिए क्षय स्थिरांक ज्ञात करने के लिए या रेडियोधर्मिता की समस्याओं को हल करने में क्षय समय ज्ञात करने के लिए किया जाता है। वे गणित और अनुप्रयुक्त विज्ञान के कई क्षेत्रों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, वित्त के क्षेत्र में चक्रवृद्धि ब्याज खोजने सहित कई समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

कहानी

प्राकृतिक लघुगणक का पहला उल्लेख निकोलस मर्केटर ने अपने काम में किया था लॉगरिदमोटेक्निया, 1668 में प्रकाशित हुआ, हालांकि गणित के शिक्षक जॉन स्पाईडेल ने 1619 में प्राकृतिक लघुगणक की एक तालिका तैयार की। पहले, इसे अतिपरवलयिक लघुगणक कहा जाता था क्योंकि यह अतिपरवलय के अंतर्गत क्षेत्र से मेल खाती है। इसे कभी-कभी नेपियर लघुगणक कहा जाता है, हालांकि इस शब्द का मूल अर्थ कुछ अलग था।

संकेतन सम्मेलन

प्राकृतिक लघुगणक को आमतौर पर "ln( एक्स)", आधार 10 लघुगणक के माध्यम से "lg( एक्स)", और यह अन्य आधारों को स्पष्ट रूप से "लॉग" प्रतीक के साथ इंगित करने के लिए प्रथागत है।

असतत गणित, साइबरनेटिक्स, कंप्यूटर विज्ञान पर कई पत्रों में, लेखक "लॉग" संकेतन का उपयोग करते हैं। एक्स)" आधार 2 के लघुगणक के लिए, लेकिन इस सम्मेलन को सार्वभौमिक रूप से स्वीकार नहीं किया गया है और स्पष्टीकरण की आवश्यकता है, या तो इस्तेमाल किए गए नोटेशन की सूची में या (यदि ऐसी कोई सूची मौजूद नहीं है) एक फुटनोट या पहले उपयोग पर टिप्पणी द्वारा।

लघुगणक के तर्क के आसपास के कोष्ठक (यदि इससे सूत्र का गलत पठन नहीं होता है) आमतौर पर छोड़े जाते हैं, और जब लघुगणक को एक शक्ति में बढ़ाते हैं, तो घातांक को सीधे लघुगणक के संकेत के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है: ln 2 ln 3 4 एक्स 5 = [ एलएन ( 3 )] 2 .

एंग्लो-अमेरिकन प्रणाली

गणितज्ञ, सांख्यिकीविद और कुछ इंजीनियर आमतौर पर या तो "लॉग ( एक्स)", या "एलएन ( एक्स)" , और लघुगणक को आधार 10 - "लॉग 10 ( एक्स)».

कुछ इंजीनियर, जीवविज्ञानी और अन्य पेशेवर हमेशा "ln( एक्स)" (या कभी-कभी "लॉग ई ( एक्स)") जब उनका मतलब प्राकृतिक लघुगणक, और संकेतन "लॉग ( एक्स)" का अर्थ है लॉग 10 ( एक्स).

लकड़ी का लट्ठा इ"प्राकृतिक" लघुगणक है क्योंकि यह स्वचालित रूप से होता है और गणित में बहुत बार प्रकट होता है। उदाहरण के लिए, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की समस्या पर विचार करें:

यदि आधार बीबराबरी इ, तो व्युत्पन्न केवल 1/ एक्स, और जब एक्स= 1 यह व्युत्पन्न 1 के बराबर है। एक अन्य औचित्य जिसके लिए आधार इलघुगणक सबसे स्वाभाविक है, यह है कि इसे एक साधारण अभिन्न या टेलर श्रृंखला के संदर्भ में काफी सरलता से परिभाषित किया जा सकता है, जिसे अन्य लघुगणक के बारे में नहीं कहा जा सकता है।

स्वाभाविकता के और प्रमाण संख्या से जुड़े नहीं हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक लघुगणक के साथ कई सरल श्रृंखलाएँ हैं। पिएत्रो मेंगोली और निकोलस मर्केटर ने उन्हें बुलाया लॉगरिदमस नेचुरलिसकई दशकों तक जब तक न्यूटन और लाइबनिज ने अंतर और अभिन्न कलन विकसित नहीं किया।

परिभाषा

औपचारिक रूप से ln( एक) को ग्राफ 1/ के वक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक्स 1 से . तक एक, यानी एक अभिन्न के रूप में:

यह वास्तव में एक लघुगणक है क्योंकि यह लघुगणक की मूलभूत संपत्ति को संतुष्ट करता है:

इसे निम्नलिखित मानकर प्रदर्शित किया जा सकता है:

अंकीय मूल्य

किसी संख्या के प्राकृतिक लघुगणक के संख्यात्मक मान की गणना करने के लिए, आप टेलर श्रृंखला में इसके विस्तार का उपयोग इस रूप में कर सकते हैं:

अभिसरण की सर्वोत्तम दर प्राप्त करने के लिए, आप निम्न पहचान का उपयोग कर सकते हैं:

उसे उपलब्ध कराया आप = (एक्स−1)/(एक्स+1) और एक्स > 0.

एलएन के लिए ( एक्स), कहाँ पे एक्स> 1, मूल्य जितना करीब होगा एक्स 1 तक, अभिसरण दर जितनी तेज़ होगी। लघुगणक से जुड़ी पहचान का उपयोग लक्ष्य प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है:

कैलकुलेटर के आगमन से पहले भी इन विधियों का उपयोग किया जाता था, जिसके लिए संख्यात्मक तालिकाओं का उपयोग किया जाता था और ऊपर वर्णित लोगों के समान जोड़तोड़ किए जाते थे।

उच्च सटीकता

सटीक के कई अंकों के साथ प्राकृतिक लघुगणक की गणना के लिए, टेलर श्रृंखला कुशल नहीं है क्योंकि इसका अभिसरण धीमा है। एक विकल्प यह है कि न्यूटन की विधि का उपयोग किसी घातांकीय फलन में उल्टा करने के लिए किया जाए, जिसकी श्रृंखला तेजी से अभिसरण करती है।

बहुत अधिक गणना सटीकता के लिए एक विकल्प सूत्र है:

कहाँ पे एम 1 और 4/s के अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य को दर्शाता है, और

एमचुना ताकि पीसटीकता के निशान प्राप्त होते हैं। (ज्यादातर मामलों में, m के लिए 8 का मान पर्याप्त होता है।) वास्तव में, यदि इस पद्धति का उपयोग किया जाता है, तो न्यूटन के प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्क्रम को घातीय फ़ंक्शन की कुशलता से गणना करने के लिए लागू किया जा सकता है। (स्थिरांक ln 2 और pi किसी भी ज्ञात तेजी से अभिसरण श्रृंखला का उपयोग करके वांछित सटीकता के लिए पूर्व-गणना की जा सकती है।)

अभिकलनात्मक जटिलता

प्राकृतिक लघुगणक की कम्प्यूटेशनल जटिलता (अंकगणित-ज्यामितीय माध्य का उपयोग करके) O है ( एम(एन)एलएन एन) यहां एनसटीकता के अंकों की संख्या है जिसके लिए प्राकृतिक लघुगणक का मूल्यांकन किया जाना है, और एम(एन) दो गुणा करने की कम्प्यूटेशनल जटिलता है एन-अंकीय संख्याएँ।

निरंतर भिन्न

यद्यपि लघुगणक का प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई सरल निरंतर अंश नहीं हैं, कई सामान्यीकृत निरंतर अंशों का उपयोग किया जा सकता है, जिनमें शामिल हैं:

जटिल लघुगणक

घातीय फ़ंक्शन को एक ऐसे फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है जो फॉर्म की एक जटिल संख्या देता है इ एक्सकिसी भी मनमाना सम्मिश्र संख्या के लिए एक्स, एक जटिल के साथ एक अनंत श्रृंखला का उपयोग करते समय एक्स. इस घातीय फ़ंक्शन को एक जटिल लॉगरिदम बनाने के लिए उलटा किया जा सकता है जिसमें सामान्य लॉगरिदम के अधिकांश गुण होंगे। हालाँकि, दो कठिनाइयाँ हैं: कोई नहीं है एक्स, जिसके लिए इ एक्स= 0, और यह पता चला है कि इ 2अनुकरणीय = 1 = इ 0. चूंकि गुणक गुण एक जटिल घातांक फलन के लिए मान्य है, तो इ जेड = इ जेड+2एनपीआईसभी परिसर के लिए जेडऔर संपूर्ण एन.

लघुगणक को पूरे जटिल तल पर परिभाषित नहीं किया जा सकता है, और फिर भी यह बहुमूल्यवान है - किसी भी जटिल लघुगणक को 2 के किसी भी पूर्णांक गुणज को जोड़कर "समतुल्य" लघुगणक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है अनुकरणीय. जटिल लघुगणक केवल जटिल तल के एक टुकड़े पर एकल-मूल्यवान हो सकता है। उदाहरण के लिए ln मैं = 1/2 अनुकरणीयया 5/2 अनुकरणीयया -3/2 अनुकरणीय, आदि, और यद्यपि मैं 4 = 1.4लोग मैं 2 . के रूप में परिभाषित किया जा सकता है अनुकरणीय, या 10 अनुकरणीयया -6 अनुकरणीय, और इसी तरह।

यह सभी देखें

• जॉन नेपियर - लघुगणक के आविष्कारक

टिप्पणियाँ

1. भौतिक रसायन विज्ञान के लिए गणित। - 3. - अकादमिक प्रेस, 2005. - पी. 9. - आईएसबीएन 0-125-08347-5, पृष्ठ 9 का उद्धरण
2. जे जे ओ "कॉनर और ई एफ रॉबर्टसनसंख्या ई। द मैकट्यूटर हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिक्स आर्काइव (सितंबर 2001)। संग्रहीत
3. काजोरी फ्लोरियनगणित का इतिहास, 5वां संस्करण। - एएमएस बुकस्टोर, 1991. - पी. 152. - आईएसबीएन 0821821024
4. फ्लैशमैन, मार्टिनबहुपदों का उपयोग करके समाकलनों का अनुमान लगाना। मूल से 12 फरवरी, 2012 को संग्रहीत किया गया।

1.1. एक पूर्णांक घातांक के लिए डिग्री का निर्धारण

एक्स 1 = एक्स
एक्स 2 = एक्स * एक्स
एक्स 3 = एक्स * एक्स * एक्स
…
एक्स एन \u003d एक्स * एक्स * ... * एक्स - एन बार

1.2. शून्य डिग्री।

परिभाषा के अनुसार, यह मानने की प्रथा है कि किसी भी संख्या की शून्य घात 1 के बराबर होती है:

1.3. नकारात्मक डिग्री।

एक्स-एन = 1/एक्सएन

1.4. भिन्नात्मक घातांक, जड़।

एक्स 1/एन = एक्स की एन-वें रूट।

उदाहरण के लिए: एक्स 1/2 = X।

1.5. शक्तियों को जोड़ने का सूत्र।

एक्स (एन + एम) = एक्स एन * एक्स एम

1.6 डिग्री घटाने का सूत्र।

एक्स (एन-एम) = एक्स एन / एक्स एम

1.7. शक्ति गुणन सूत्र।

एक्सएन * एम = (एक्सएन) एम

1.8. भिन्न को घात में बढ़ाने का सूत्र।

(एक्स/वाई)एन = एक्सएन/वाईएन

2. संख्या ई.

संख्या e का मान निम्न सीमा के बराबर है:

ई = लिम (1+1/एन), एन → के रूप में।

17 अंकों की शुद्धता के साथ, संख्या ई 2.71828182845904512 है।

3. यूलर की समानता।

यह समानता पाँच संख्याओं को जोड़ती है जो गणित में एक विशेष भूमिका निभाते हैं: 0, 1, संख्या ई, संख्या पीआई, काल्पनिक इकाई।

ई (आई * पीआई) + 1 = 0

4. घातीय फलन क्स्प (x)

क्स्प (एक्स) = ई एक्स

5. घातीय फलन का व्युत्पन्न

एक घातीय फ़ंक्शन में एक उल्लेखनीय गुण होता है: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न घातीय फ़ंक्शन के बराबर होता है:

(एक्सप (एक्स))" = एक्सप (एक्स)

6. लघुगणक।

6.1. लॉगरिदम फ़ंक्शन की परिभाषा

यदि x = b y , तो लघुगणक फलन है

वाई = लॉगब (एक्स)।

लॉगरिदम दिखाता है कि किसी संख्या को बढ़ाने के लिए किस हद तक आवश्यक है - लॉगरिदम का आधार (बी) किसी दिए गए नंबर (एक्स) को प्राप्त करने के लिए। लॉगरिदम फ़ंक्शन को शून्य से अधिक X के लिए परिभाषित किया गया है।

उदाहरण के लिए: लॉग 10 (100) = 2।

6.2. दशमलव लघुगणक

यह आधार 10 का लघुगणक है:

वाई = लॉग 10 (एक्स)।

निरूपित लॉग (x): लॉग (x) = लॉग 10 (x)।

दशमलव लघुगणक का उपयोग करने का एक उदाहरण डेसीबल है।

6.3. डेसिबल

आइटम को एक अलग पेज डेसिबल पर हाइलाइट किया गया है

6.4. द्विआधारी लघुगणक

यह आधार 2 लघुगणक है:

वाई = लॉग 2 (एक्स)।

एलजी (एक्स) द्वारा चिह्नित: एलजी (एक्स) = लॉग 2 (एक्स)

6.5. प्राकृतिक

यह आधार ई का लघुगणक है:

वाई = लॉग (एक्स)।

एलएन (एक्स) द्वारा निरूपित: एलएन (एक्स) = लॉग ई (एक्स)
प्राकृतिक लघुगणक घातांक फलन क्स्प (X) का व्युत्क्रम है।

6.6. विशेषता बिंदु

लोगा(1) = 0
लॉग ए (ए) = 1

6.7. उत्पाद के लघुगणक का सूत्र

लॉग ए (एक्स * वाई) = लॉग ए (एक्स) + लॉग ए (वाई)

6.8. भागफल के लघुगणक का सूत्र

लॉग ए (एक्स/वाई) = लॉग ए (एक्स) - लॉग ए (वाई)

6.9. शक्ति लघुगणक सूत्र

लॉग ए (एक्स वाई) = वाई * लॉग ए (एक्स)

6.10. भिन्न आधार वाले लघुगणक में बदलने का सूत्र

लॉग बी (एक्स) = (लॉग ए (एक्स)) / लॉग ए (बी)

उदाहरण:

लॉग 2 (8) = लॉग 10 (8) / लॉग 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3

7. जीवन में उपयोगी सूत्र

अक्सर आयतन को क्षेत्रफल या लंबाई में बदलने की समस्या होती है, और उलटा समस्या क्षेत्रफल को आयतन में बदलने की होती है। उदाहरण के लिए, बोर्ड क्यूब्स (घन मीटर) में बेचे जाते हैं, और हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि एक निश्चित मात्रा में निहित बोर्डों के साथ दीवार के कितने क्षेत्र को म्यान किया जा सकता है, बोर्डों की गणना देखें, एक घन में कितने बोर्ड हैं। या, दीवार के आयाम ज्ञात हैं, ईंटों की संख्या की गणना करना आवश्यक है, ईंट गणना देखें।

साइट सामग्री का उपयोग करने की अनुमति है बशर्ते कि स्रोत के लिए एक सक्रिय लिंक सेट हो।

तो, हमारे पास दो की शक्तियां हैं। यदि आप नीचे की रेखा से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिसके लिए आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो से चौथी शक्ति बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

तर्क x के आधार a का लघुगणक वह शक्ति है जिस पर संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या को उठाया जाना चाहिए।

संकेतन: लॉग a x \u003d b, जहां a आधार है, x तर्क है, b वास्तव में लॉगरिदम के बराबर है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 लॉग 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। 2 64 = 6 को भी लॉग कर सकते हैं क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार से किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया को लघुगणक कहते हैं। तो चलिए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ते हैं:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
लॉग 2 2 = 1	लॉग 2 4 = 2	लॉग 2 8 = 3	लॉग 2 16 = 4	लॉग 2 32 = 5	लॉग 2 64 = 6

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक को इतनी आसानी से नहीं माना जाता है। उदाहरण के लिए, log 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क यह बताता है कि लघुगणक खंड पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ अनिश्चित काल तक लिखी जा सकती हैं, और वे कभी भी दोहराई नहीं जाती हैं। यदि लॉगरिदम अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस तरह छोड़ना बेहतर है: लॉग 2 5, लॉग 3 8, लॉग 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक व्यंजक है। सबसे पहले, बहुत से लोग भ्रमित करते हैं कि आधार कहाँ है और तर्क कहाँ है। कष्टप्रद गलतफहमी से बचने के लिए, बस तस्वीर पर एक नज़र डालें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से ज्यादा कुछ नहीं है। याद है: लघुगणक शक्ति है, जिसके लिए आपको तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बढ़ाने की आवश्यकता है। यह आधार है जिसे एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है - चित्र में इसे लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। यह पता चला है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं यह अद्भुत नियम अपने छात्रों को पहले ही पाठ में बताता हूं - और कोई भ्रम नहीं है।

हमने परिभाषा का पता लगाया - यह सीखना बाकी है कि लॉगरिदम कैसे गिनें, यानी। "लॉग" चिह्न से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य अनुसरण करते हैं:

1. तर्क और आधार हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत घातांक द्वारा डिग्री की परिभाषा का अनुसरण करता है, जिससे लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
2. आधार एकता से अलग होना चाहिए, क्योंकि एक इकाई से किसी भी शक्ति तक अभी भी एक इकाई है। इस वजह से, "दो प्राप्त करने के लिए किसी को किस शक्ति को उठाया जाना चाहिए" का प्रश्न व्यर्थ है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंधों को कहा जाता है मान्य रेंज(ओडीजेड)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: लॉग a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 ।

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। उदाहरण के लिए, लघुगणक अच्छी तरह से नकारात्मक हो सकता है: लॉग 2 0.5 \u003d -1, क्योंकि 0.5 = 2 -1।

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक व्यंजकों पर विचार कर रहे हैं, जहाँ लघुगणक के ODZ को जानना आवश्यक नहीं है। समस्याओं के संकलनकर्ताओं द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब लॉगरिदमिक समीकरण और असमानताएं चलन में आती हैं, तो डीएचएस आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। दरअसल, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण हो सकते हैं जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

अब लघुगणक की गणना के लिए सामान्य योजना पर विचार करें। इसमें तीन चरण होते हैं:

1. आधार a और तर्क x को एक घात के रूप में व्यक्त करें जिसका आधार एक से अधिक हो। साथ ही, दशमलव अंशों से छुटकारा पाना बेहतर है;
2. चर b: x = a b के लिए समीकरण हल करें;
3. परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

बस इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय निकलता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। आधार के एक से अधिक होने की आवश्यकता बहुत प्रासंगिक है: यह त्रुटि की संभावना को कम करता है और गणना को बहुत सरल करता है। इसी तरह दशमलव अंशों के साथ: यदि आप उन्हें तुरंत सामान्य अंशों में बदल देते हैं, तो कई गुना कम त्रुटियाँ होंगी।

आइए देखें कि यह योजना विशिष्ट उदाहरणों पर कैसे काम करती है:

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 5 25

1. आइए आधार और तर्क को पांच की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 5 25 = बी ⇒ (5 1) बी = 5 2 ⇒ 5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

2. उत्तर प्राप्त हुआ: 2.

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें:

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 4 64

1. आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में निरूपित करें: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 b = 3;
3. उत्तर मिला: 3.

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 16 1

1. आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में निरूपित करें: 16 = 2 4; 1 = 20;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 2 4b = 2 0 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. प्रतिक्रिया मिली: 0.

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 7 14

1. आइए आधार और तर्क को सात की घात के रूप में निरूपित करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की शक्ति के रूप में नहीं दर्शाया गया है, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
2. यह पिछले पैराग्राफ से इस प्रकार है कि लघुगणक पर विचार नहीं किया जाता है;
3. उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14.

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। कैसे सुनिश्चित करें कि एक संख्या दूसरी संख्या की सटीक शक्ति नहीं है? बहुत आसान - बस इसे प्रमुख कारकों में विघटित करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या एक सटीक शक्ति नहीं है।

एक कार्य। पता लगाएँ कि क्या संख्या की सटीक शक्तियाँ हैं: 8; 48; 81; 35; चौदह ।

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 एक सटीक शक्ति नहीं है क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 5 - फिर से एक सटीक डिग्री नहीं;
14 \u003d 7 2 - फिर से सटीक डिग्री नहीं;

यह भी ध्यान दें कि अभाज्य संख्याएँ स्वयं हमेशा स्वयं की सटीक शक्तियाँ होती हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य होते हैं कि उनका एक विशेष नाम और पदनाम होता है।

x तर्क का दशमलव लघुगणक आधार 10 लघुगणक है, अर्थात। वह शक्ति जिससे आपको संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या 10 बढ़ाने की आवश्यकता है। पदनाम: एलजी एक्स।

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; लॉग 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें कि यह टाइपो नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है। हालाँकि, यदि आप इस तरह के पदनाम के अभ्यस्त नहीं हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

साधारण लघुगणक के लिए जो कुछ भी सत्य है वह दशमलव के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना अंकन है। एक मायने में यह दशमलव से भी ज्यादा महत्वपूर्ण है। यह प्राकृतिक लघुगणक है।

x का प्राकृतिक लघुगणक आधार e लघुगणक है, अर्थात। संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या ई को जिस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएन एक्स।

कई लोग पूछेंगे: ई नंबर और क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है, इसका सटीक मान ज्ञात और लिखा नहीं जा सकता है। यहाँ केवल पहली संख्याएँ हैं:
ई = 2.718281828459...

हम यह नहीं समझेंगे कि यह संख्या क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार एलएन ई = 1; लॉग ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी भी परिमेय संख्या का प्राकृतिक लघुगणक अपरिमेय होता है। बेशक, एकता को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, सामान्य लघुगणक के लिए सत्य सभी नियम मान्य हैं।