\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

आइए इसे आसान समझाते हैं। उदाहरण के लिए, \(\log_(2)(8)\) घात के बराबर है \(2\) को \(8\) प्राप्त करने के लिए बढ़ाया जाना चाहिए। इससे यह स्पष्ट होता है कि \(\log_(2)(8)=3\).

उदाहरण:		\(\log_(5)(25)=2\)		क्योंकि \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		क्योंकि \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		क्योंकि \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

लघुगणक का तर्क और आधार

किसी भी लघुगणक में निम्नलिखित "शरीर रचना" होती है:

लघुगणक का तर्क आमतौर पर इसके स्तर पर लिखा जाता है, और आधार लघुगणक के संकेत के करीब सबस्क्रिप्ट में लिखा जाता है। और इस प्रविष्टि को इस प्रकार पढ़ा जाता है: "पच्चीस का लघुगणक से पाँच के आधार तक।"

लघुगणक की गणना कैसे करें?

लघुगणक की गणना करने के लिए, आपको प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: तर्क प्राप्त करने के लिए आधार को किस हद तक बढ़ाया जाना चाहिए?

उदाहरण के लिए, लघुगणक की गणना करें: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) प्राप्त करने के लिए \(4\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? जाहिर है दूसरा। इसलिए:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(5)\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? और कौन सी डिग्री किसी भी संख्या को एक इकाई बनाती है? जीरो, बिल्कुल!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) प्राप्त करने के लिए \(\sqrt(7)\) को किस घात तक बढ़ाया जाना चाहिए? प्रथम में - प्रथम अंश में कोई भी संख्या स्वयं के बराबर होती है।

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

ई) \(\sqrt(3)\) प्राप्त करने के लिए \(3\) को किस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए? हम जानते हैं कि यह एक भिन्नात्मक शक्ति है, और इसलिए वर्गमूल \(\frac(1)(2)\) की शक्ति है।

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

उदाहरण : लघुगणक की गणना करें \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

फेसला :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		हमें लघुगणक का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है, आइए इसे x के रूप में निरूपित करें। आइए अब लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		क्या लिंक \(4\sqrt(2)\) और \(8\)? दो, क्योंकि दोनों संख्याओं को दो से दर्शाया जा सकता है: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		बाईं ओर, हम डिग्री गुणों का उपयोग करते हैं: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) और \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		आधार समान हैं, हम संकेतकों की समानता के लिए आगे बढ़ते हैं
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		समीकरण के दोनों पक्षों को \(\frac(2)(5)\) से गुणा करें
		परिणामी जड़ लघुगणक का मान है

जवाब : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

लॉगरिदम का आविष्कार क्यों किया गया था?

इसे समझने के लिए, आइए समीकरण को हल करें: \(3^(x)=9\)। समानता कार्य करने के लिए बस \(x\) का मिलान करें। बेशक, \(x=2\)।

अब समीकरण को हल करें: \(3^(x)=8\)। x किसके बराबर है? यही तो बात है।

सबसे सरल कहेगा: "X दो से थोड़ा कम है।" यह संख्या वास्तव में कैसे लिखी जाए? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, वे लघुगणक के साथ आए। उसके लिए धन्यवाद, यहाँ उत्तर \(x=\log_(3)(8)\) के रूप में लिखा जा सकता है।

मैं इस बात पर जोर देना चाहता हूं कि \(\log_(3)(8)\), साथ ही कोई भी लघुगणक केवल एक संख्या है. हाँ, यह असामान्य लगता है, लेकिन यह छोटा है। क्योंकि अगर हम इसे दशमलव के रूप में लिखना चाहते हैं, तो यह इस तरह दिखेगा: \(1.892789260714.....\)

उदाहरण : समीकरण को हल करें \(4^(5x-4)=10\)

फेसला :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) और \(10\) को एक ही आधार पर कम नहीं किया जा सकता है। तो यहाँ आप लघुगणक के बिना नहीं कर सकते। आइए लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करें: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		समीकरण को पलटें ताकि x बाईं ओर हो
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		हमारे सामने। \(4\) को दाईं ओर ले जाएं। और लघुगणक से डरो मत, इसे एक सामान्य संख्या की तरह मानें।
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		समीकरण को 5 . से विभाजित करें
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		यहाँ हमारी जड़ है। हां, यह असामान्य लग रहा है, लेकिन उत्तर नहीं चुना गया है।

जवाब : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

दशमलव और प्राकृतिक लघुगणक

जैसा कि लघुगणक की परिभाषा में कहा गया है, इसका आधार एक \((a>0, a\neq1)\) को छोड़कर कोई भी धनात्मक संख्या हो सकती है। और सभी संभावित आधारों में से दो ऐसे होते हैं जो इतनी बार होते हैं कि उनके साथ लघुगणक के लिए एक विशेष लघु संकेतन का आविष्कार किया गया था:

प्राकृतिक लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार यूलर संख्या \(e\) है (लगभग \(2.7182818…\) के बराबर), और लघुगणक \(\ln(a)\) के रूप में लिखा जाता है।

अर्थात, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) के समान है

दशमलव लघुगणक: एक लघुगणक जिसका आधार 10 है \(\lg(a)\) लिखा है।

अर्थात, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) के समान है, जहां \(a\) कुछ संख्या है।

मूल लघुगणकीय पहचान

लॉगरिदम में कई गुण होते हैं। उनमें से एक को "मूल लघुगणकीय पहचान" कहा जाता है और यह इस तरह दिखता है:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

यह संपत्ति सीधे परिभाषा से आती है। आइए देखें कि यह फॉर्मूला कैसे आया।

लघुगणक की संक्षिप्त परिभाषा को याद करें:

अगर \(a^(b)=c\), तो \(\log_(a)(c)=b\)

अर्थात्, \(b\) \(\log_(a)(c)\) के समान है। फिर हम सूत्र \(a^(b)=c\) में \(b\) के बजाय \(\log_(a)(c)\) लिख सकते हैं। यह निकला \(a^(\log_(a)(c))=c\) - मुख्य लघुगणकीय पहचान।

आप लघुगणक के शेष गुण पा सकते हैं। उनकी मदद से, आप लघुगणक के साथ भावों के मूल्यों को सरल और गणना कर सकते हैं, जिनकी सीधे गणना करना मुश्किल है।

उदाहरण : व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \(36^(\log_(6)(5))\)

फेसला :

जवाब : \(25\)

किसी संख्या को लघुगणक के रूप में कैसे लिखें?

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, कोई भी लघुगणक केवल एक संख्या है। विलोम भी सत्य है: किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि \(\log_(2)(4)\) दो के बराबर है। फिर आप दो के बजाय \(\log_(2)(4)\) लिख सकते हैं।

लेकिन \(\log_(3)(9)\) भी \(2\) के बराबर है, इसलिए आप \(2=\log_(3)(9)\) भी लिख सकते हैं। इसी तरह \(\log_(5)(25)\), और \(\log_(9)(81)\), आदि के साथ। यानी यह पता चला है

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ लॉग_(7)(49)...\)

इस प्रकार, यदि हमें आवश्यकता है, तो हम दोनों को किसी भी आधार के साथ लॉगरिदम के रूप में कहीं भी लिख सकते हैं (यहां तक ​​​​कि एक समीकरण में, यहां तक ​​​​कि एक अभिव्यक्ति में भी, यहां तक ​​​​कि असमानता में भी) - हम केवल वर्ग आधार को तर्क के रूप में लिखते हैं।

ट्रिपल के साथ भी ऐसा ही है - इसे \(\log_(2)(8)\), या \(\log_(3)(27)\), या \(\log_(4)( के रूप में) के रूप में लिखा जा सकता है 64) \) ... यहाँ हम घन में आधार को तर्क के रूप में लिखते हैं:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ लॉग_(7)(343)...\)

और चार के साथ:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ लॉग_(7)(2401)...\)

और माइनस वन के साथ:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

और एक तिहाई के साथ:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

किसी भी संख्या \(a\) को आधार \(b\) के साथ लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

उदाहरण : व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

फेसला :

जवाब : \(1\)

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लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

आपको इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: log ए एक्सऔर लॉग ए आप. फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लॉग ए एक्स+लोग ए आप= लॉग ए (एक्स · आप);
2. लॉग ए एक्स-log ए आप= लॉग ए (एक्स : आप).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। कृपया ध्यान दें: यहाँ मुख्य बिंदु है - एक ही आधार. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र आपको लघुगणकीय व्यंजक की गणना करने में मदद करेंगे, भले ही इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार न किया गया हो (पाठ "एक लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9.

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 48 - लघुगणक 2 3।

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5.

फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5 = लघुगणक 3 (135: 5) = लघुगणक 3 27 = 3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। कई परीक्षण इस तथ्य पर आधारित हैं। हां, नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः कोई बदलाव नहीं) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ODZ लघुगणक मनाया जाता है: ए > 0, ए ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत, सभी सूत्रों को लागू करना सीखें। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 7 49 6 ।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लघुगणक 7 49 6 = 6 लघुगणक 7 49 = 6 2 = 12

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 2 4; 49 = 72। हमारे पास है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में संक्रमण

लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

लघुगणक को लॉग करने दें ए एक्स. फिर किसी भी संख्या के लिए सीऐसा है कि सी> 0 और सी 1, समानता सत्य है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

विशेष रूप से, अगर हम डालते हैं सी = एक्स, हम पाते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि लघुगणक के आधार और तर्क को आपस में बदला जा सकता है, लेकिन पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, अर्थात। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 16 लघुगणक 2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लघुगणक 2 25 = लघुगणक 2 5 2 = 2 लघुगणक 2 5;

अब दूसरा लघुगणक पलटें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या एनतर्क का प्रतिपादक बन जाता है। संख्या एनबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे मूल लघुगणकीय पहचान कहते हैं।

वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या बीसत्ता में वृद्धि ताकि बीइस हद तक एक संख्या देता है ए? यह सही है: यह वही संख्या है ए. इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

काम। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस वर्ग को आधार और लॉगरिदम के तर्क से निकाल दिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

अगर किसी को पता नहीं है, तो परीक्षा से यह एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लॉग ए ए= 1 लघुगणक इकाई है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक एइस आधार से ही एक के बराबर है।
2. लॉग ए 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार एकुछ भी हो सकता है, लेकिन अगर तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! क्योंकि ए 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।

प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण, ग्राफ, परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का सेट, मूल सूत्र, व्युत्पन्न, अभिन्न, एक शक्ति श्रृंखला में विस्तार और जटिल संख्याओं के माध्यम से फ़ंक्शन ln x का प्रतिनिधित्व दिया गया है।

परिभाषा

प्राकृतिकफलन है y= एलएन एक्स, घातांक के व्युत्क्रम, x \u003d e y , और जो संख्या e के आधार का लघुगणक है: एलएन एक्स = लॉग ई एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का व्यापक रूप से गणित में उपयोग किया जाता है क्योंकि इसके व्युत्पन्न का सबसे सरल रूप है: (एलएन एक्स)′ = 1/ एक्स.

आधारित परिभाषाएं, प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या है इ:
ई 2.718281828459045...;
.

फलन का ग्राफ y = एलएन एक्स.

प्राकृतिक लघुगणक का ग्राफ (फ़ंक्शन y = एलएन एक्स) घातांक के ग्राफ से सीधी रेखा y = x के बारे में दर्पण परावर्तन द्वारा प्राप्त किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक x के सकारात्मक मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है। यह अपनी परिभाषा के क्षेत्र में एकरसता से बढ़ता है।

एक्स → . के रूप में 0 प्राकृतिक लघुगणक की सीमा ऋणात्मक अनंत (- ∞) है।

x → + के रूप में, प्राकृतिक लघुगणक की सीमा प्लस अनंत ( + ) है। बड़े x के लिए, लघुगणक धीरे-धीरे बढ़ता है। सकारात्मक घातांक के साथ कोई भी शक्ति फलन x a लघुगणक की तुलना में तेजी से बढ़ता है।

प्राकृतिक लघुगणक के गुण

परिभाषा का क्षेत्र, मूल्यों का सेट, एक्स्ट्रेमा, वृद्धि, कमी

प्राकृतिक लघुगणक एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है, इसलिए इसमें कोई एक्स्ट्रेमा नहीं है। प्राकृतिक लघुगणक के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं।

एलएन एक्स मान

लॉग 1 = 0

प्राकृतिक लघुगणक के लिए मूल सूत्र

प्रतिलोम फलन की परिभाषा से उत्पन्न होने वाले सूत्र:

लघुगणक की मुख्य संपत्ति और उसके परिणाम

आधार प्रतिस्थापन सूत्र

आधार परिवर्तन सूत्र का उपयोग करके किसी भी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

इन सूत्रों के प्रमाण "लघुगणक" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

उलटा काम करना

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्क्रम प्रतिपादक है।

तो अगर

तो अगर ।

व्युत्पन्न ln x

प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
मॉड्यूलो x के प्राकृतिक लघुगणक का व्युत्पन्न:
.
nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
सूत्रों की व्युत्पत्ति > > >

अभिन्न

अभिन्न की गणना भागों द्वारा एकीकरण द्वारा की जाती है:
.
इसलिए,

सम्मिश्र संख्याओं के पदों में व्यंजक

एक जटिल चर z के एक फलन पर विचार करें:
.
आइए जटिल चर को व्यक्त करें जेडमॉड्यूल के माध्यम से आरऔर तर्क φ :
.
लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
.
या
.
तर्क φ विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। अगर हम डालते हैं
, जहां n एक पूर्णांक है,
तो यह भिन्न n के लिए समान संख्या होगी।

इसलिए, प्राकृतिक लघुगणक, एक जटिल चर के एक समारोह के रूप में, एक एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन नहीं है।

शक्ति श्रृंखला विस्तार

के लिए, विस्तार होता है:

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेंडेव, हायर एजुकेशनल इंस्टीट्यूशंस के इंजीनियरों और छात्रों के लिए गणित की हैंडबुक, लैन, 2009।

एक लघुगणक क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

एक लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेष रूप से - लघुगणक के साथ समीकरण।

यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! विश्वास मत करो? अच्छा। अब, कुछ 10 - 20 मिनट के लिए आप:

1. समझें लघुगणक क्या है?.

2. घातांकीय समीकरणों की एक पूरी कक्षा को हल करना सीखें। भले ही आपने उनके बारे में नहीं सुना हो।

3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।

इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणन तालिका को जानना होगा, और किसी संख्या को घात में कैसे बढ़ाया जाता है ...

मुझे लगता है कि आपको संदेह है ... ठीक है, समय रखो! जाना!

सबसे पहले, निम्नलिखित समीकरण को अपने दिमाग में हल करें:

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।