समाधान के समांतर चतुर्भुज क्षेत्र उदाहरण। समांतर चतुर्भुज क्षेत्र

समांतर चतुर्भुज क्या है? एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर होती हैं।

1. एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

कहाँ पे:
a समांतर चतुर्भुज की भुजा है,
h a इस ओर खींची गई ऊँचाई है।

2. यदि समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाओं की लंबाई और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, तो समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. यदि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण दिए गए हों और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, तो समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

समांतर चतुर्भुज गुण

एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं: $AB = CD $ , $BC = AD $

एक समांतर चतुर्भुज में सम्मुख कोण हैं: $\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D $

चौराहे के बिंदु पर समांतर चतुर्भुज के विकर्ण द्विभाजित होते हैं $AO = OC $ , $BO = OD $

एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण इसे दो समान त्रिभुजों में विभाजित करता है।

एक भुजा से सटे एक समांतर चतुर्भुज के कोणों का योग 180 o है:

$\कोण ए + \कोण बी = 180^(ओ) $, $\कोण बी + \कोण सी = 180^(ओ)$

$\कोण सी + \कोण डी = 180^(ओ) $, $\कोण डी + \कोण ए = 180^(ओ)$

एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण और भुजाएँ निम्नलिखित संबंध से संबंधित हैं:

$d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) $

एक समांतर चतुर्भुज में, ऊंचाइयों के बीच का कोण उसके न्यून कोण के बराबर होता है: $\angle K B H =\angle A $ ।

समांतर चतुर्भुज की एक भुजा से लगे कोणों के समद्विभाजक परस्पर लंबवत होते हैं।

एक समांतर चतुर्भुज के दो सम्मुख कोणों के समद्विभाजक समानांतर होते हैं।

समांतर चतुर्भुज विशेषताएं

एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है यदि:

$एबी = सीडी $ और $एबी || सीडी $

$एबी = सीडी $ और $बीसी = एडी $

$एओ = ओसी $ और $बीओ = ओडी $

$\कोण ए = \कोण सी $ और $\कोण बी = \कोण डी $

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समांतर चतुर्भुज की परिभाषा

चतुर्भुजएक चतुर्भुज है जिसमें सम्मुख भुजाएँ समान और समांतर होती हैं।

ऑनलाइन कैलकुलेटर

समांतर चतुर्भुज में कुछ उपयोगी गुण होते हैं जो इस आकृति से संबंधित समस्याओं को हल करना आसान बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक गुण यह है कि समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।

सरल उदाहरणों को हल करने के बाद कई विधियों और सूत्रों पर विचार करें।

आधार और ऊंचाई द्वारा समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र

क्षेत्रफल ज्ञात करने की यह विधि शायद सबसे बुनियादी और सरल में से एक है, क्योंकि यह कुछ अपवादों के साथ, एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र के लगभग समान है। आइए संख्याओं का उपयोग किए बिना सामान्यीकृत मामले से शुरू करें।

आधार के साथ एक मनमाना समांतर चतुर्भुज दें एक ए ए, पक्ष बी बी बीऔर ऊंचाई एच हो एचहमारे आधार पर खींचा गया। तब इस समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:

एस = एक ⋅ एच एस=a\cdot एच एस =एकएच

ए ए ए- आधार;
एच हो एच- ऊंचाई।

आइए विशिष्ट समस्याओं को हल करने का अभ्यास करने के लिए एक आसान समस्या पर एक नज़र डालें।

उदाहरण

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार 10 (सेमी) के बराबर और ऊँचाई 5 (सेमी) के बराबर हो।

फेसला

ए = 10 ए = 10 ए =1 0
एच = 5 एच = 5 एच =5

हमारे सूत्र में स्थानापन्न करें। हम पाते हैं:
एस=10 5=50 एस=10\cdot 5=50एस =1 0 ⋅ 5 = 5 0 (वर्ग देखें)

उत्तर: 50 (वर्ग देखें)

एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र जिसमें दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया गया हो

इस मामले में, वांछित मूल्य निम्नानुसार पाया जाता है:

S = a b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)एस =एकबीपाप (α)

ए, बी ए, बी ए, बी- एक समांतर चतुर्भुज के किनारे;
α\alpha α - भुजाओं के बीच का कोण एक ए एऔर बी बी बी.

अब एक और उदाहरण हल करते हैं और उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हैं।

उदाहरण

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि भुजा ज्ञात हो एक ए ए, जो आधार है और जिसकी लंबाई 20 (देखें) और एक परिधि है पीपी पी, संख्यात्मक रूप से 100 के बराबर (देखें), आसन्न भुजाओं के बीच का कोण ( एक ए एऔर बी बी बी) 30 डिग्री के बराबर है।

फेसला

ए=20 ए=20 ए =2 0
पी = 100 पी = 100 पी =1 0 0
α = 3 0 \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

इसका उत्तर खोजने के लिए, हम इस चतुर्भुज के केवल दूसरे पक्ष को नहीं जानते हैं। चलो उसे ढूंढते हैं। एक समांतर चतुर्भुज का परिमाप निम्न द्वारा दिया जाता है:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b पी =ए +ए +बी+बी
100 = 20 + 20 + ख + ख 100=20+20+बी+बी1 0 0 = 2 0 + 2 0 + बी+बी
100 = 40 + 2बी 100=40+2बी 1 0 0 = 4 0 + 2 बी
60=2बी 60=2बी 6 0 = 2 बी
ख=30 ख=30 ख =3 0

सबसे कठिन हिस्सा खत्म हो गया है, यह केवल पक्षों और उनके बीच के कोण के लिए हमारे मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है:
एस = 20 ⋅ 30 ⋅ पाप ⁡ (3 0 ) = 300 एस=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300एस =2 0 ⋅ 3 0 ⋅ पाप(3 .) 0 ∘ ) = 3 0 0 (वर्ग देखें)

उत्तर: 300 (देखें वर्ग।)

एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र दिया गया है जिसमें विकर्ण और उनके बीच का कोण दिया गया है

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)एस =2 1 ⋅ डीडीपाप (α)

डी डी डी- बड़ा विकर्ण;
डी डी डी- छोटा विकर्ण;
α\alpha α विकर्णों के बीच एक न्यून कोण है।

उदाहरण

समांतर चतुर्भुज के विकर्ण 10 (देखें) और 5 (देखें) के बराबर दिए गए हैं। उनके बीच का कोण 30 डिग्री है। इसके क्षेत्रफल की गणना कीजिए।

फेसला

डी = 10 डी = 10 डी =1 0
डी = 5 डी = 5 डी =5
α = 3 0 \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

एस = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ पाप ⁡ (3 0 ) = 12.5 एस=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12.5एस =2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ पाप(3 .) 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (वर्ग देखें)

समांतर चतुर्भुज क्षेत्र

प्रमेय 1

एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल को उसकी भुजा की लंबाई के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो उस पर खींची गई ऊंचाई से गुणा होता है।

जहाँ $a$ समांतर चतुर्भुज की भुजा है, $h$ इस तरफ खींची गई ऊँचाई है।

प्रमाण।

आइए हमें $AD=BC=a$ के साथ एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ दिया जाए। आइए ऊंचाई $DF$ और $AE$ (चित्र 1) बनाएं।

चित्र 1।

यह स्पष्ट है कि आकृति $FDAE$ एक आयत है।

\[\angle BAE=(90)^0-\angle A,\ \] \[\angle CDF=\angle D-(90)^0=(180)^0-\angle A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

इसलिए, चूंकि $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\triangle BAE=\triangle CDF$, $I$ से त्रिभुज समानता परीक्षण। फिर

तो आयत क्षेत्र प्रमेय के अनुसार:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 2

एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र को उसके आसन्न पक्षों की लंबाई के गुणनफल के रूप में उन पक्षों के बीच के कोण की ज्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।

गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

जहाँ $a,\ b$ समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ हैं, $\alpha $ उनके बीच का कोण है।

प्रमाण।

आइए हमें $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $ के साथ एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ दिया जाए। ऊंचाई $DF=h$ ड्रा करें (चित्र 2)।

चित्र 2।

साइन की परिभाषा से, हम प्राप्त करते हैं

इसलिये

अत: प्रमेय के अनुसार $1$:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

प्रमेय 3

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी भुजा की लंबाई और उससे खींची गई ऊँचाई के आधे गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।

गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

जहां $a$ त्रिभुज की भुजा है, $h$ इस तरफ खींची गई ऊंचाई है।

प्रमाण।

चित्र तीन

तो प्रमेय द्वारा $1$:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय 4

एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को उसकी आसन्न भुजाओं की लंबाई के आधे गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो उन भुजाओं के बीच के कोण की ज्या से गुणा होता है।

गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

जहाँ $a,\ b$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं, $\alpha $ उनके बीच का कोण है।

प्रमाण।

आइए हमें $AB=a$ के साथ एक त्रिभुज $ABC$ दिया जाए। ऊंचाई $CH=h$ ड्रा करें। आइए इसे समांतर चतुर्भुज $ABCD$ (चित्र 3) तक बनाते हैं।

जाहिर है, $\triangle ACB=\triangle CDB$ $I$ से। फिर

तो प्रमेय द्वारा $1$:

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समलंब क्षेत्र

प्रमेय 5

एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल को उसके आधारों की लंबाई के योग के आधे गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।

गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है

प्रमाण।

आइए हमें एक समलम्ब $ABCK$ दिया जाए, जहां $AK=a,\ BC=b$। आइए हम इसमें $BM=h$ और $KP=h$ की ऊँचाई, साथ ही विकर्ण $BK$ (चित्र 4) को ड्रा करें।

चित्र 4

प्रमेय $3$ से, हम प्राप्त करते हैं

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

कार्य उदाहरण

उदाहरण 1

एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि इसकी भुजा की लंबाई $a.$ . है

फेसला।

चूँकि त्रिभुज समबाहु है, इसके सभी कोण $(60)^0$ के बराबर हैं।

फिर, प्रमेय $4$ से, हमारे पास है

जवाब:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$।

ध्यान दें कि इस समस्या के परिणाम का उपयोग किसी दिए गए पक्ष के साथ किसी भी समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।

जैसा कि यूक्लिडियन ज्यामिति में, बिंदु और रेखा विमानों के सिद्धांत के मुख्य तत्व हैं, इसलिए समांतर चतुर्भुज उत्तल चतुर्भुज के प्रमुख आंकड़ों में से एक है। इसमें से, एक गेंद से धागे की तरह, "आयत", "वर्ग", "रोम्बस" और अन्य ज्यामितीय मात्राओं की अवधारणाएं प्रवाहित होती हैं।

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समांतर चतुर्भुज की परिभाषा

उत्तल चतुर्भुज,खंडों से मिलकर, जिनमें से प्रत्येक जोड़ी समानांतर है, ज्यामिति में समांतर चतुर्भुज के रूप में जाना जाता है।

एक क्लासिक समांतर चतुर्भुज कैसा दिखता है एक चतुर्भुज ABCD है। भुजाओं को आधार (AB, BC, CD और AD) कहा जाता है, किसी भी शीर्ष से इस शीर्ष के विपरीत दिशा में खींचे गए लंबवत को ऊँचाई (BE और BF) कहा जाता है, रेखाएँ AC और BD विकर्ण हैं।

ध्यान!वर्ग, समचतुर्भुज और आयत समांतर चतुर्भुज के विशेष मामले हैं।

पक्ष और कोण: अनुपात विशेषताएं

प्रमुख गुण, कुल मिलाकर, पदनाम द्वारा ही पूर्वनिर्धारित, वे प्रमेय द्वारा सिद्ध होते हैं। ये विशेषताएं इस प्रकार हैं:

विपरीत पक्ष जोड़े में समान होते हैं।
एक दूसरे के सम्मुख कोण युग्मों में बराबर होते हैं।

प्रमाण: ABC और ADC पर विचार करें, जो चतुर्भुज ABCD को रेखा AC से विभाजित करने पर प्राप्त होते हैं। ∠BCA=∠CAD और ∠BAC=∠ACD, क्योंकि AC उनके लिए उभयनिष्ठ है (क्रमशः BC||AD और AB||CD के लिए लंबवत कोण)। यह इसका अनुसरण करता है: ∆ABC = ADC (त्रिभुजों की समानता के लिए दूसरा मानदंड)।

ABC में खंड AB और BC, ADC में रेखा CD और AD के जोड़े में संगत हैं, जिसका अर्थ है कि वे समान हैं: AB = CD, BC = AD। इस प्रकार, B, D के संगत है और वे बराबर हैं। चूंकि ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, जो जोड़े में भी समान हैं, फिर ∠A = C। संपत्ति साबित हुई है।

आकृति के विकर्णों के लक्षण

मुख्य विशेषताये समांतर चतुर्भुज रेखाएँ: प्रतिच्छेदन बिंदु उन्हें समद्विभाजित करता है।

उपपत्ति: मान लीजिए m. E आकृति ABCD के विकर्णों AC और BD का प्रतिच्छेदन बिंदु है। वे दो अनुरूप त्रिभुज बनाते हैं - ABE और CDE।

AB=CD क्योंकि वे विपरीत हैं। रेखाओं और छेदकों के अनुसार, ABE = CDE और BAE = DCE।

समानता के दूसरे चिन्ह के अनुसार, ABE = CDE। इसका मतलब है कि ABE और ∆CDE तत्व हैं: AE = CE, BE = DE और, इसके अलावा, वे AC और BD के अनुरूप भाग हैं। संपत्ति साबित हुई है।

आसन्न कोनों की विशेषताएं

आसन्न भुजाओं पर, कोणों का योग 180° . होता है, क्योंकि वे समानांतर रेखाओं और छेदक के एक ही तरफ स्थित हैं। चतुर्भुज ABCD के लिए:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

द्विभाजक गुण:

, एक तरफ गिराए गए, लंबवत हैं;
विपरीत शीर्षों में समांतर समद्विभाजक होते हैं;
समद्विभाजक खींचकर प्राप्त त्रिभुज समद्विबाहु होगा।

प्रमेय द्वारा समांतर चतुर्भुज की विशिष्ट विशेषताओं का निर्धारण

इस आकृति की विशेषताएं इसके मुख्य प्रमेय से अनुसरण करती हैं, जो इस प्रकार है: चतुर्भुज को समांतर चतुर्भुज माना जाता हैइस घटना में कि इसके विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं, और यह बिंदु उन्हें समान खंडों में विभाजित करता है।

प्रमाण: माना चतुर्भुज ABCD की रेखाएँ AC और BD t. E में प्रतिच्छेद करती हैं। चूंकि AED = ∠BEC, और AE+CE=AC BE+DE=BD, तो AED = ∆BEC (त्रिभुजों की समानता के पहले चिन्ह से)। अर्थात् EAD = ECB। वे रेखा AD और BC के लिए छेदक AC के आंतरिक क्रॉसिंग कोण भी हैं। अत: समांतरता की परिभाषा के अनुसार - AD || ई.पू. BC और CD रेखाओं का एक समान गुणधर्म भी प्राप्त होता है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

एक आकृति के क्षेत्र की गणना

इस आकृति का क्षेत्रफल कई तरह से पाया जाता हैसबसे सरल में से एक: ऊंचाई और आधार को गुणा करना जिस पर इसे खींचा गया है।

उपपत्ति: शीर्ष B और C से लम्ब BE और CF खींचिए। ABE और DCF बराबर हैं क्योंकि AB = CD और BE = CF है। ABCD आयत EBCF के बराबर है, क्योंकि उनमें आनुपातिक आंकड़े भी होते हैं: S ABE और S EBCD, साथ ही S DCF और S EBCD। यह इस प्रकार है कि इस ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल आयत के समान है:

एस एबीसीडी = एस ईबीसीएफ = बीई×बीसी=बीई×एडी।

समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सामान्य सूत्र निर्धारित करने के लिए, हम ऊँचाई को इस प्रकार निरूपित करते हैं मॉडिफ़ाइड अमेरिकन प्लान, और पक्ष बी. क्रमश:

क्षेत्र खोजने के अन्य तरीके

क्षेत्र की गणना समांतर चतुर्भुज और कोण के पक्षों के माध्यम से, जो वे बनाते हैं, दूसरी ज्ञात विधि है।

स्प्र-मा - क्षेत्र;

ए और बी इसके पक्ष हैं

α - खंड a और b के बीच का कोण।

यह विधि व्यावहारिक रूप से पहले पर आधारित है, लेकिन मामले में यह अज्ञात है। हमेशा एक समकोण त्रिभुज को काटता है जिसके पैरामीटर त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं द्वारा पाए जाते हैं, अर्थात . अनुपात को बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं। पहली विधि के समीकरण में, हम ऊंचाई को इस उत्पाद से बदलते हैं और इस सूत्र की वैधता का प्रमाण प्राप्त करते हैं।

एक समांतर चतुर्भुज और एक कोण के विकर्णों के माध्यम से,जो वे प्रतिच्छेद करते समय बनाते हैं, आप क्षेत्रफल भी ज्ञात कर सकते हैं।

प्रमाण: AC और BD प्रतिच्छेद करने से चार त्रिभुज बनते हैं: ABE, BEC, CDE और AED। इनका योग इस चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

इनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल व्यंजक से ज्ञात किया जा सकता है, जहाँ a=BE, b=AE, =∠AEB। तब से, गणना में साइन के एक मान का उपयोग किया जाता है। अर्थात । चूँकि AE+CE=AC= d 1 और BE+DE=BD= d 2 , क्षेत्रफल सूत्र निम्न हो जाता है:

वेक्टर बीजगणित में आवेदन

इस चतुर्भुज के घटक भागों की विशेषताओं ने वेक्टर बीजगणित में आवेदन पाया है, अर्थात्: दो वैक्टरों का जोड़। समांतर चतुर्भुज नियम कहता है कि यदि वेक्टर दिया गया होऔरनहींसंरेख हैं, तो उनका योग इस आकृति के विकर्ण के बराबर होगा, जिसके आधार इन सदिशों के अनुरूप होंगे।

सबूत: मनमाने ढंग से चुनी गई शुरुआत से - यानी। - हम वैक्टर बनाते हैं और . अगला, हम एक समांतर चतुर्भुज OASV बनाते हैं, जहाँ खंड OA और OB भुजाएँ हैं। इस प्रकार, ओएस वेक्टर या योग पर स्थित है।

समांतर चतुर्भुज के मापदंडों की गणना के लिए सूत्र

पहचान निम्नलिखित शर्तों के तहत दी गई है:

ए और बी, α - पक्ष और उनके बीच का कोण;
डी 1 और डी 2 , γ - विकर्ण और उनके चौराहे के बिंदु पर;
एच ए और एच बी - ऊंचाई ए और बी पक्षों तक कम हो जाती है;

पैरामीटर	सूत्र
पक्ष ढूँढना
विकर्णों के अनुदिश और उनके बीच के कोण की कोज्या
तिरछे और बग़ल में
ऊंचाई और विपरीत शीर्ष के माध्यम से
विकर्णों की लंबाई ज्ञात करना
पक्षों पर और उनके बीच शीर्ष का आकार
पक्षों के साथ और विकर्णों में से एक	निष्कर्ष समांतर चतुर्भुज, ज्यामिति के प्रमुख आंकड़ों में से एक के रूप में, जीवन में उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, निर्माण में साइट के क्षेत्र या अन्य मापों की गणना करते समय। इसलिए, इसके विभिन्न मापदंडों की गणना के लिए विशिष्ट विशेषताओं और विधियों के बारे में ज्ञान जीवन में किसी भी समय उपयोगी हो सकता है।

इस विषय पर समस्याओं को हल करते समय, इसके अलावा बुनियादी गुण समानांतर चतुर्भुजऔर संबंधित सूत्र, आप निम्नलिखित को याद रख सकते हैं और लागू कर सकते हैं:

एक समांतर चतुर्भुज के आंतरिक कोण का द्विभाजक इससे एक समद्विबाहु त्रिभुज को काटता है
समांतर चतुर्भुज की किसी एक भुजा से सटे आंतरिक कोणों के समद्विभाजक परस्पर लंबवत होते हैं
समांतर चतुर्भुज के विपरीत आंतरिक कोणों से आने वाले समद्विभाजक, एक दूसरे के समानांतर या एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं
एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है
एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके बीच के कोण की ज्या के विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।

आइए उन कार्यों पर विचार करें जिनके समाधान में इन गुणों का उपयोग किया जाता है।

कार्य 1।

समांतर चतुर्भुज ABCD के कोण C का समद्विभाजक भुजा AD को बिंदु M पर और भुजा AB के विस्तार को बिंदु A से आगे E पर काटता है। समांतर चतुर्भुज की परिधि ज्ञात कीजिए यदि AE \u003d 4, DM \u003d 3।

फेसला।

1. त्रिभुज सीएमडी समद्विबाहु। (संपत्ति 1)। अत: सीडी = एमडी = 3 सेमी.

2. त्रिभुज EAM समद्विबाहु है।
अत: AE = AM = 4 सेमी.

3. एडी = एएम + एमडी = 7 सेमी।

4. परिमाप ABCD = 20 सेमी.

जवाब। 20 सेमी

कार्य 2.

एक उत्तल चतुर्भुज ABCD में विकर्ण खींचे जाते हैं। यह ज्ञात है कि त्रिभुज ABD, ACD, BCD के क्षेत्रफल बराबर हैं। सिद्ध कीजिए कि दिया गया चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।

फेसला।

1. मान लीजिए BE त्रिभुज ABD की ऊँचाई है, CF त्रिभुज ACD की ऊँचाई है। चूँकि, समस्या की स्थिति के अनुसार, त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान होते हैं और इनका एक उभयनिष्ठ आधार AD होता है, तो इन त्रिभुजों की ऊँचाई समान होती है। बीई = सीएफ।

2. बीई, सीएफ एडी के लंबवत हैं। बिंदु B और C रेखा AD के एक ही ओर स्थित हैं। बीई = सीएफ। इसलिए, रेखा BC || ई. (*)

3. मान लीजिए AL त्रिभुज ACD की ऊँचाई है, BK त्रिभुज BCD की ऊँचाई है। चूँकि, समस्या की स्थिति के अनुसार, त्रिभुजों के क्षेत्रफल बराबर होते हैं और इनका आधार CD होता है, तो इन त्रिभुजों की ऊँचाई बराबर होती है। एएल = बीके।

4. AL और BK, CD पर लम्ब हैं। बिंदु बी और ए सीधी रेखा सीडी के एक ही तरफ स्थित हैं। एएल = बीके। अत: रेखा AB || सीडी (**)

5. शर्तें (*), (**) दर्शाती हैं कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

जवाब। सिद्ध किया हुआ। ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।

कार्य 3.

समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजाओं BC और CD पर, क्रमशः M और H बिंदु अंकित किए गए हैं, ताकि खंड BM और HD बिंदु O पर प्रतिच्छेद करें;<ВМD = 95 о,

फेसला।

1. त्रिभुज DOM . में<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.

2. एक समकोण त्रिभुज में DHC
(
फिर<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1
(चूंकि एक समकोण त्रिभुज में, 30 o के कोण के विपरीत स्थित पैर कर्ण के आधे के बराबर होता है)।

लेकिन सीडी = एबी। तब एबी: एचडी = 2: 1।

3. <С = 30 о,
4. <А = <С = 30 о, <В =
उत्तर: एबी: एचडी = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В =

कार्य 4.

4√6 लंबाई के समांतर चतुर्भुज के विकर्णों में से एक आधार के साथ 60° का कोण बनाता है, और दूसरा विकर्ण उसी आधार के साथ 45° का कोण बनाता है। दूसरा विकर्ण ज्ञात कीजिए।

फेसला।

1. एओ = 2√6।

2. ज्या प्रमेय को त्रिभुज AOD पर लागू करें।

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/पाप 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

उत्तर: 12.

कार्य 5.

5√2 और 7√2 भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के लिए, विकर्णों के बीच का छोटा कोण समांतर चतुर्भुज के छोटे कोण के बराबर होता है। विकर्णों की लंबाई का योग ज्ञात कीजिए।

फेसला।

मान लीजिए d 1, d 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्ण हैं, और समांतर चतुर्भुज के विकर्णों और छोटे कोणों के बीच का कोण है।

1. आइए दो अलग-अलग गिनें
इसके क्षेत्र के तरीके।

एस एबीसीडी \u003d एबी एडी पाप ए \u003d 5√2 7√2 पाप च,

एस एबीसीडी \u003d 1/2 एसी बीडी पाप एओबी \u003d 1/2 डी 1 डी 2 पाप एफ।

हम समानता प्राप्त करते हैं 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f or

2 5√2 7√2 = घ 1 घ 2 ;

2. समांतर चतुर्भुज की भुजाओं और विकर्णों के बीच के अनुपात का उपयोग करते हुए, हम समानता लिखते हैं

(एबी 2 + एडी 2) 2 = एसी 2 + बीडी 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = डी 1 2 + डी 2 2।

घ 1 2 + घ 2 2 = 296।

3. आइए एक प्रणाली बनाएं:

(डी 1 2 + डी 2 2 = 296,
(डी 1 + डी 2 = 140।

सिस्टम के दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें और इसे पहले में जोड़ें।

हमें (d 1 + d 2) 2 = 576 मिलता है। इसलिए Id 1 + d 2 I = 24।

चूँकि d 1, d 2 समांतर चतुर्भुज के विकर्णों की लंबाइयाँ हैं, तो d 1 + d 2 = 24.

उत्तर: 24.

कार्य 6.

समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ 4 और 6 हैं। विकर्णों के बीच न्यून कोण 45 o है। समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला।

1. त्रिभुज AOB से, कोज्या प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम समांतर चतुर्भुज की भुजा और विकर्णों के बीच संबंध लिखते हैं।

एबी 2 \u003d एओ 2 + वीओ 2 2 एओ वीओ कॉस एओबी।

4 2 \u003d (डी 1 / 2) 2 + (डी 2 / 2) 2 - 2 (डी 1 / 2) (डी 2 / 2) कॉस 45 ओ;

डी 1 2/4 + डी 2 2/4 - 2 (डी 1/2) (डी 2/2)√2/2 = 16.

डी 1 2 + डी 2 2 - डी 1 डी 2 √2 = 64।

2. इसी प्रकार, हम त्रिभुज AOD के लिए संबंध लिखते हैं।

हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

हमें समीकरण d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144 मिलता है।

3. हमारे पास एक प्रणाली है
(डी 1 2 + डी 2 2 - डी 1 डी 2 √2 = 64,
(डी 1 2 + डी 2 2 + डी 1 डी 2 √2 = 144.

दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर, हमें 2d 1 d 2 2 = 80 or . मिलता है

घ 1 घ 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. एस एबीसीडी \u003d 1/2 एसी बीडी पाप एओबी \u003d 1/2 डी 1 डी 2 पाप α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10।

टिप्पणी:इसमें और पिछली समस्या में, सिस्टम को पूरी तरह से हल करने की आवश्यकता नहीं है, यह देखते हुए कि इस समस्या में हमें क्षेत्र की गणना करने के लिए विकर्णों के उत्पाद की आवश्यकता है।

उत्तर: 10.

टास्क 7.

समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल 96 है और इसकी भुजाएँ 8 और 15 हैं। छोटे विकर्ण का वर्ग ज्ञात कीजिए।

फेसला।

1. एस एबीसीडी \u003d एबी एडी पाप वीएडी। आइए सूत्र में प्रतिस्थापन करें।

हमें 96 = 8 15 sin VAD मिलता है। इसलिए पाप वीएडी = 4/5।

2. क्योंकि खराब खोजें। पाप 2 वीएडी + कॉस 2 वीएडी = 1।

(4/5) 2 + cos 2 BAD = 1. cos 2 BAD = 9/25।

समस्या की स्थिति के अनुसार, हम छोटे विकर्ण की लंबाई पाते हैं। यदि कोण BAD न्यून है तो विकर्ण BD छोटा होगा। तब cos BAD = 3/5.

3. त्रिभुज ABD से, कोज्या प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम विकर्ण BD का वर्ग ज्ञात करते हैं।

बीडी 2 \u003d एबी 2 + एडी 2 - 2 एबी बीडी कॉस बीएडी।

डी 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3/5 \u003d 145।

उत्तर : 145.

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