निर्माण कार्यों में, हम एक ज्यामितीय आकृति के निर्माण पर विचार करेंगे, जिसे एक शासक और एक कम्पास का उपयोग करके किया जा सकता है।

एक शासक के साथ, आप कर सकते हैं:

मनमाना रेखा;

किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक मनमाना रेखा;

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा।

कम्पास का उपयोग करके, आप किसी दिए गए केंद्र से दिए गए त्रिज्या के एक वृत्त का वर्णन कर सकते हैं।

किसी दिए गए बिंदु से दी गई रेखा पर एक खंड खींचने के लिए एक कंपास का उपयोग किया जा सकता है।

निर्माण के लिए मुख्य कार्यों पर विचार करें।

कार्य 1।दिए गए पक्षों a, b, c के साथ एक त्रिभुज की रचना कीजिए (आकृति 1)।

फेसला। एक रूलर की सहायता से, एक मनमाना सीधी रेखा खींचिए और उस पर एक मनमाना बिंदु B लीजिए। a के बराबर कंपास खोलने पर, हम केंद्र B और त्रिज्या a वाले एक वृत्त का वर्णन करते हैं। मान लीजिए C रेखा के साथ इसके प्रतिच्छेदन का बिंदु है। सी के बराबर एक कंपास खोलने के साथ, हम केंद्र बी से एक सर्कल का वर्णन करते हैं, और बी के बराबर एक कंपास खोलने के साथ - केंद्र सी से एक सर्कल। ए को इन सर्किलों का चौराहे बिंदु होने दें। त्रिभुज ABC की भुजाएँ a, b, c के बराबर हैं।

टिप्पणी। त्रिभुज की भुजाओं के रूप में कार्य करने के लिए तीन रेखाखंडों के लिए, यह आवश्यक है कि उनमें से बड़ा अन्य दो के योग से कम हो (और< b + с).

कार्य 2.

फेसला। शीर्ष A और बीम OM वाला यह कोण चित्र 2 में दिखाया गया है।

दिए गए कोण के शीर्ष A पर केन्द्रित एक मनमाना वृत्त खींचिए। मान लीजिए कि कोण की भुजाओं के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु B और C हैं (चित्र 3, a)। आइए त्रिज्या AB के साथ एक वृत्त बनाएं जिसका केंद्र बिंदु O पर हो - इस किरण का प्रारंभिक बिंदु (चित्र 3, b)। दी गई किरण के साथ इस वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु को 1 के रूप में दर्शाया जाएगा। आइए हम केंद्र C 1 और त्रिज्या BC वाले एक वृत्त का वर्णन करें। दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन का बिंदु B 1 वांछित कोण के किनारे स्थित है। यह समानता ABC \u003d OB 1 C 1 (त्रिकोण की समानता के लिए तीसरा मानदंड) से आता है।

कार्य 3.दिए गए कोण के समद्विभाजक की रचना कीजिए (आकृति 4)।

फेसला। किसी दिए गए कोण के शीर्ष A से, जैसा कि केंद्र से होता है, हम मनमानी त्रिज्या का एक वृत्त खींचते हैं। मान लीजिए कि कोण की भुजाओं के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदु B और C हैं। समान त्रिज्या वाले बिंदु B और C से हम वृत्तों का वर्णन करते हैं। मान लें कि D उनका प्रतिच्छेदन बिंदु है, जो A से भिन्न है। रे AD कोण A को आधे में विभाजित करता है। यह समानता ΔABD = ACD (त्रिभुजों की समानता के लिए तीसरा मानदंड) से अनुसरण करता है।

कार्य 4.इस खण्ड पर एक माध्यक लम्ब खींचिए (चित्र 5)।

फेसला। एक मनमाना लेकिन समान कम्पास उद्घाटन (बड़े 1/2 AB) के साथ, हम दो चापों का वर्णन करते हैं जिनके केंद्र बिंदु A और B पर हैं, जो एक दूसरे को कुछ बिंदुओं C और D पर काटेंगे। सीधी रेखा CD आवश्यक लंबवत होगी। वास्तव में, जैसा कि निर्माण से देखा जा सकता है, प्रत्येक बिंदु C और D, A और B से समान रूप से दूर है; इसलिए, ये बिंदु खंड AB के लंबवत समद्विभाजक पर स्थित होने चाहिए।

कार्य 5.इस खंड को आधा में विभाजित करें। इसे उसी तरह हल किया जाता है जैसे समस्या 4 (चित्र 5 देखें)।

कार्य 6.किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से, दी गई रेखा पर लंबवत रेखा खींचें।

फेसला। दो मामले संभव हैं:

1) दिया गया बिंदु O दी गई सीधी रेखा a पर स्थित है (चित्र 6)।

बिंदु 0 से हम एक मनमाना त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचते हैं जो सीधी रेखा a को बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करता है। बिंदु A और B से हम समान त्रिज्या वाले वृत्त खींचते हैं। माना 1 उनका प्रतिच्छेदन बिंदु से भिन्न है। हमें 1 AB प्राप्त होता है। वास्तव में, बिंदु O और O 1 खंड AB के सिरों से समान दूरी पर हैं और इसलिए, इस खंड के लंबवत द्विभाजक पर स्थित हैं।

किसी भी ड्राइंग का निर्माण करने के लिए या इसे संसाधित करने से पहले किसी वर्कपीस का एक प्लानर मार्किंग करने के लिए, कई ग्राफिक ऑपरेशन - ज्यामितीय निर्माण करना आवश्यक है।

अंजीर पर। 2.1 एक सपाट भाग दिखाता है - एक प्लेट। इसके चित्र को खींचने के लिए या बाद के निर्माण के लिए स्टील की पट्टी पर एक समोच्च को चिह्नित करने के लिए, इसे निर्माण विमान पर करना आवश्यक है, जिनमें से मुख्य को सूचक तीरों पर लिखे गए नंबरों के साथ गिना जाता है। संख्यात्मक 1 परस्पर लंबवत रेखाओं का निर्माण, जिसे कई स्थानों पर किया जाना चाहिए, संख्या द्वारा दर्शाया गया है 2 - समानांतर रेखाएँ, संख्याएँ खींचना 3 - एक निश्चित त्रिज्या के चाप के साथ इन समानांतर रेखाओं का संयुग्मन, एक संख्या 4 - एक चाप का संयुग्मन और किसी दिए गए त्रिज्या का एक सीधा चाप, जो इस मामले में 10 मिमी है, संख्या 5 - एक निश्चित त्रिज्या के चाप के साथ दो चापों का संयुग्मन।

इन और अन्य ज्यामितीय निर्माणों के परिणामस्वरूप, भाग की रूपरेखा तैयार की जाएगी।

ज्यामितीय निर्माणकिसी समस्या को हल करने के लिए एक विधि को कॉल करें जिसमें उत्तर बिना किसी गणना के ग्राफिक रूप से प्राप्त किया जाता है। निर्माण यथासंभव सटीक रूप से ड्राइंग (या अंकन) उपकरणों के साथ किया जाता है, क्योंकि समाधान की सटीकता इस पर निर्भर करती है।

समस्या की स्थितियों के साथ-साथ निर्माणों द्वारा निर्दिष्ट रेखाएं ठोस पतली होती हैं, और निर्माण के परिणाम ठोस मुख्य होते हैं।

एक ड्राइंग या अंकन शुरू करते समय, आपको पहले यह निर्धारित करना होगा कि इस मामले में किस ज्यामितीय निर्माण को लागू करने की आवश्यकता है, अर्थात। छवि की ग्राफिक संरचना का विश्लेषण करें।

चावल। 2.1.

छवि की ग्राफिक संरचना का विश्लेषणड्राइंग के निष्पादन को अलग ग्राफिक संचालन में विभाजित करने की प्रक्रिया को कहा जाता है।

एक ड्राइंग बनाने के लिए आवश्यक संचालन की पहचान करने से यह चुनना आसान हो जाता है कि इसे कैसे निष्पादित किया जाए। यदि आपको चित्र बनाने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, अंजीर में दिखाई गई प्लेट। 2.1, फिर इसकी छवि के समोच्च का विश्लेषण हमें इस निष्कर्ष पर ले जाता है कि हमें निम्नलिखित ज्यामितीय निर्माणों को लागू करना चाहिए: पांच मामलों में, परस्पर लंबवत केंद्र रेखाएं (संख्या) बनाएं 1 एक वृत्त में), चार स्थितियों में समानांतर रेखाएँ खींचिए (संख्या 2 ), दो संकेंद्रित वृत्त बनाएं (0 50 और 70 मिमी), छह मामलों में दिए गए त्रिज्या (संख्या) के चाप के साथ दो समानांतर रेखाओं के संयुग्मन का निर्माण करें 3 ), और चार में - चाप का संयुग्मन और 10 मिमी की त्रिज्या के साथ एक सीधा चाप (आंकड़ा .) 4 ), चार मामलों में, त्रिज्या 5 मिमी (एक वृत्त में संख्या 5) के चाप के साथ दो चापों का एक संयुग्मन बनाएं।

इन निर्माणों को करने के लिए, उन्हें पाठ्यपुस्तक से खींचने के नियमों को याद रखना या दोहराना आवश्यक है।

इस मामले में, ड्राइंग करने के लिए तर्कसंगत तरीका चुनना उचित है। किसी समस्या को हल करने का तर्कसंगत तरीका चुनने से काम पर लगने वाला समय कम हो जाता है। उदाहरण के लिए, एक वृत्त में अंकित एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण करते समय, त्रिभुज के शीर्षों को पहले निर्धारित किए बिना 60 ° के कोण वाले T-वर्ग और एक वर्ग का उपयोग करना अधिक तर्कसंगत होता है (चित्र 2.2 देखें)। ए, बी) त्रिभुज के शीर्षों की प्रारंभिक परिभाषा के साथ एक कम्पास और एक टी-स्क्वायर का उपयोग करके एक ही समस्या को हल करने का तरीका कम तर्कसंगत है (चित्र 2.2 देखें)। में).

खंडों का विभाजन और कोणों का निर्माण

समकोण का निर्माण

एक टी-वर्ग और एक वर्ग (चित्र 2.2) का उपयोग करके 90 ° का कोण बनाना तर्कसंगत है। ऐसा करने के लिए, एक सीधी रेखा खींचकर, एक वर्ग की सहायता से उस पर लंबवत सेट करना पर्याप्त है (चित्र 2.2, ए) झुकाव वाले खंड के लंबवत निर्माण करना तर्कसंगत है, इसे स्थानांतरित करना (चित्र। 2.2, बी) या मोड़ (चित्र। 2.2, में) एक वर्ग।

चावल। 2.2.

अधिक और न्यून कोणों का निर्माण

120, 30 और 150, 60 और 120, 15 और 165, 75 और 105.45 और 135° के कोणों के निर्माण की परिमेय विधियों को चित्र में दिखाया गया है। 2.3, जो इन कोणों के निर्माण के लिए वर्गों की स्थिति को दर्शाता है।

चावल। 2.3.

एक कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करना

कोने के शीर्ष से मनमाना त्रिज्या वाले एक वृत्त के चाप का वर्णन कीजिए (चित्र 2.4)।

चावल। 2.4.

अंक से ΜηΝ चाप के आधे से अधिक कम्पास समाधान के साथ कोण के किनारों के साथ चाप का प्रतिच्छेदन ΜΝ, एक बिंदु पर दो प्रतिच्छेद करना लेकिनसेरिफ़

दिए गए बिंदु के माध्यम से लेकिनऔर कोण का शीर्ष एक सीधी रेखा (कोण समद्विभाजक) खींचता है।

एक समकोण का तीन बराबर भागों में विभाजन

एक समकोण के शीर्ष से स्वेच्छ त्रिज्या वाले एक वृत्त के चाप का वर्णन कीजिए (चित्र 2.5)। कम्पास के समाधान को बदले बिना, कोने के किनारों के साथ चाप के चौराहे के बिंदुओं से सेरिफ़ बनाए जाते हैं। प्राप्त अंक के माध्यम से एमऔर Ν और कोण का शीर्ष सीधी रेखाओं द्वारा खींचा जाता है।

चावल। 2.5.

इस प्रकार, केवल समकोणों को तीन बराबर भागों में विभाजित किया जा सकता है।

दिए गए कोण के बराबर कोण बनाना। ऊपर से हेएक दिया हुआ कोण, मनमाना त्रिज्या का एक चाप खींचे आर,कोण की भुजाओं को बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करना एमऔर एन(चित्र 2.6, ए) फिर एक सीधी रेखा खंड खींचा जाता है, जो नए कोण के पक्षों में से एक के रूप में कार्य करेगा। एक बिंदु से हे 1 इस रेखा पर समान त्रिज्या के साथ आरएक बिंदु प्राप्त करने के लिए एक चाप खींचें Ν 1 (चित्र। 2.6, बी) इस बिंदु से त्रिज्या वाले चाप का वर्णन करें आर 1, जीवा के बराबर एमएनचापों का प्रतिच्छेदन एक बिंदु देता है Μ 1, जो एक सीधी रेखा द्वारा नए कोने के शीर्ष से जुड़ा है (चित्र 2.6, बी).

चावल। 2.6.

एक रेखाखंड को दो बराबर भागों में विभाजित करना। कम्पास समाधान के साथ दिए गए खंड के सिरों से, इसकी लंबाई के आधे से अधिक चापों का वर्णन किया गया है (चित्र। 2.7)। प्राप्त बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा एमऔर Ν, एक रेखाखंड को दो बराबर भागों में विभाजित करता है और उस पर लंबवत होता है।

चावल। 2.7.

एक रेखा खंड के अंत में एक लंबवत का निर्माण। एक मनमाना बिंदु से O ने खंड पर कब्जा कर लिया एबी,एक बिंदु से गुजरने वाले वृत्त का वर्णन करें लेकिन(रेखा खंड का अंत) और बिंदु पर रेखा को काटना एम(चित्र। 2.8)।

चावल। 2.8.

दिए गए बिंदु के माध्यम से एमऔर केंद्र हेवृत्त एक सीधी रेखा खींचते हैं जब तक कि वे एक बिंदु पर वृत्त के विपरीत पक्ष से न मिलें एन।बिंदु एनएक लाइन को एक बिंदु से कनेक्ट करें लेकिन।

एक रेखाखंड का किसी भी संख्या में बराबर भागों में विभाजन। खंड के किसी भी छोर से, उदाहरण के लिए एक बिंदु से लेकिन,इसके न्यून कोण पर एक सीधी रेखा खींचिए। उस पर, एक मापने वाले कम्पास के साथ, मनमाना आकार के समान खंडों की आवश्यक संख्या को अलग रखा जाता है (चित्र। 2.9)। अंतिम बिंदु दिए गए खंड के दूसरे छोर से जुड़ा है (बिंदु के साथ पर) सभी विभाजन बिंदुओं से, एक रूलर और एक वर्ग का उपयोग करते हुए, सीधी रेखा के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचें 9बी,जो खंड AB को दिए गए समान भागों में विभाजित करता है।

चावल। 2.9.

अंजीर पर। 2.10 दिखाता है कि एक सीधी रेखा पर समान रूप से दूरी वाले छिद्रों के केंद्रों को चिह्नित करने के लिए इस निर्माण को कैसे लागू किया जाए।

घर की डिजाइन परियोजनाओं का निर्माण या विकास करते समय, पहले से उपलब्ध कोण के बराबर कोण बनाना अक्सर आवश्यक होता है। ज्यामिति के खाके और स्कूली ज्ञान बचाव में आते हैं।

अनुदेश

• एक ही बिंदु से निकलने वाली दो सीधी रेखाओं से एक कोण बनता है। इस बिंदु को कोने का शीर्ष कहा जाएगा, और रेखाएँ कोने की भुजाएँ होंगी।
• कोनों को नामित करने के लिए तीन अक्षरों का प्रयोग करें: एक शीर्ष पर, दो किनारों पर। वे कोने को बुलाते हैं, जो एक तरफ खड़े अक्षर से शुरू होता है, फिर वे शीर्ष पर अक्षर को बुलाते हैं, और फिर दूसरी तरफ पत्र। यदि आप अन्यथा पसंद करते हैं तो कोनों को चिह्नित करने के अन्य तरीकों का उपयोग करें। कभी-कभी केवल एक अक्षर कहा जाता है, जो सबसे ऊपर होता है। और आप कोणों को ग्रीक अक्षरों से निरूपित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, α, β, ।
• ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब एक कोण खींचना आवश्यक होता है ताकि वह पहले से दिए गए कोण के बराबर हो। यदि ड्राइंग बनाते समय प्रोट्रैक्टर का उपयोग करना संभव नहीं है, तो आप केवल रूलर और कंपास के साथ ही प्राप्त कर सकते हैं। मान लीजिए, एक सीधी रेखा पर, जिसे MN अक्षर द्वारा चित्र में दर्शाया गया है, आपको बिंदु K पर एक कोण बनाने की आवश्यकता है, ताकि यह कोण B के बराबर हो। अर्थात, बिंदु K से, आपको एक सीधी रेखा खींचनी है जो रेखा MN के साथ एक कोण बनाता है, जो कोण B के बराबर होगा।
• सबसे पहले, इस कोने के प्रत्येक तरफ एक बिंदु चिह्नित करें, उदाहरण के लिए, बिंदु ए और सी, फिर बिंदु सी और ए को सीधी रेखा से कनेक्ट करें। त्रिभुज ABC प्राप्त करें।
• अब उसी त्रिभुज की रचना MN पर इस प्रकार कीजिए कि उसका शीर्ष B, बिंदु K पर रेखा पर हो। तीन भुजाओं पर त्रिभुज बनाने के लिए नियम का प्रयोग करें। खंड KL को बिंदु K से अलग रखें। यह खंड BC के बराबर होना चाहिए। बिंदु एल प्राप्त करें।
• बिंदु K से खण्ड BA के बराबर त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए। L से CA त्रिज्या वाला एक वृत्त खींचिए। दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन के परिणामी बिंदु (P) को K से जोड़िए। त्रिभुज KPL प्राप्त कीजिए, जो त्रिभुज ABC के बराबर होगा। तो आपको कोण K मिलता है। यह कोण B के बराबर होगा। इस निर्माण को अधिक सुविधाजनक और तेज़ बनाने के लिए, शीर्ष B से समान खंडों को अलग रखें, एक कम्पास समाधान का उपयोग करके, बिना पैरों को हिलाए, बिंदु से समान त्रिज्या वाले वृत्त का वर्णन करें क।

ये है - प्राचीन ज्यामितीय समस्या.

चरण-दर-चरण निर्देश

पहला रास्ता। - "गोल्डन" या "मिस्र" त्रिकोण की मदद से. इस त्रिभुज की भुजाओं का एक पक्षानुपात है 3:4:5, और कोण सख्ती से 90 डिग्री है. इस गुण का व्यापक रूप से प्राचीन मिस्रवासियों और अन्य प्रा-संस्कृतियों द्वारा उपयोग किया जाता था।

चित्र .1। स्वर्ण, या मिस्र के त्रिभुज का निर्माण

• हम बनाते हैं तीन माप (या रस्सी परकार - दो कीलों या खूंटे पर एक रस्सी) 3 की लंबाई के साथ; 4; 5 मीटर. पूर्वजों ने अक्सर माप की इकाइयों के रूप में उनके बीच समान दूरी के साथ गांठ बांधने की विधि का इस्तेमाल किया। लंबाई की इकाई है " गांठ».
• हम बिंदु O पर एक खूंटी में ड्राइव करते हैं, हम इसे "R3 - 3 समुद्री मील" मापते हैं।
• हम रस्सी को ज्ञात सीमा के साथ - प्रस्तावित बिंदु ए की ओर खींचते हैं।
• सीमा रेखा पर तनाव के क्षण में - बिंदु ए, हम एक खूंटी में ड्राइव करते हैं।
• फिर - फिर से बिंदु O से, हम माप R4 - दूसरी सीमा के साथ खींचते हैं। हम अभी तक खूंटी नहीं चलाते हैं।
• उसके बाद, हम माप R5 - A से B तक फैलाते हैं।
• माप R2 और R3 के चौराहे पर हम एक खूंटी में ड्राइव करते हैं। - यह वांछित बिंदु बी है - स्वर्ण त्रिभुज का तीसरा शीर्ष, भुजाओं 3;4;5 और . के साथ बिंदु O . पर एक समकोण के साथ.

दूसरा रास्ता। वृत्त की सहायता से.

सर्कल हो सकता है रस्सी या पैडोमीटर के रूप में. से। मी:

हमारे कंपास पेडोमीटर में 1 मीटर का चरण होता है।

रेखा चित्र नम्बर 2। कम्पास पेडोमीटर

निर्माण - Ill.1 के अनुसार भी।

• संदर्भ बिंदु से - बिंदु ओ - पड़ोसी के कोने से, हम मनमानी लंबाई का एक खंड खींचते हैं - लेकिन कम्पास की त्रिज्या से अधिक = 1 मीटर - केंद्र से प्रत्येक दिशा में (खंड एबी)।
• हम कम्पास के पैर को बिंदु O पर रखते हैं।
• हम त्रिज्या (कम्पास स्टेप) = 1m के साथ एक वृत्त खींचते हैं। यह छोटे चापों को खींचने के लिए पर्याप्त है - प्रत्येक 10-20 सेंटीमीटर, चिह्नित खंड के साथ चौराहों पर (अंक ए और बी के माध्यम से)। इस क्रिया से, हमने पाया केंद्र से समदूरस्थ बिंदु- ए और बी। यहां केंद्र से दूरी मायने नहीं रखती है। आप बस इन बिंदुओं को टेप माप से चिह्नित कर सकते हैं।
• इसके बाद, आपको बिंदु A और B पर केंद्रों के साथ चाप बनाने की आवश्यकता है, लेकिन R = 1m से थोड़े (मनमाने ढंग से) बड़े त्रिज्या के साथ। यदि हमारे पास एक समायोज्य पिच है तो हमारे कंपास को एक बड़े दायरे में पुन: कॉन्फ़िगर करना संभव है। लेकिन इतने छोटे वर्तमान कार्य के लिए, मैं इसे "खींचना" नहीं चाहूंगा। या जब कोई नियमन नहीं है। आधे मिनट में किया जा सकता है रस्सी परकार.
• हम पहली कील (या 1 मीटर से अधिक त्रिज्या वाले कम्पास के पैर) को बारी-बारी से बिंदु A और B पर रखते हैं। और हम दूसरी कील खींचते हैं - रस्सी की तनावपूर्ण स्थिति में, दो चाप - ताकि वे एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करें एक-दूसरे से। यह दो बिंदुओं पर संभव है: सी और डी, लेकिन एक पर्याप्त है - सी। और फिर, बिंदु सी पर चौराहे पर छोटे सेरिफ़ पर्याप्त हैं।
• हम बिंदु C और D से होकर एक सीधी रेखा (खंड) खींचते हैं।
• सभी! परिणामी खंड, या सीधी रेखा, है सटीक दिशाउत्तर में:)। माफ़ करना, - समकोण पर.
• यह आंकड़ा पड़ोसी की साइट पर सीमा बेमेल के दो मामलों को दिखाता है। चित्र 3क उस स्थिति को दर्शाता है जब पड़ोसी की बाड़ वांछित दिशा से स्वयं के नुकसान की ओर बढ़ जाती है। 3बी पर - वह आपकी साइट पर चढ़ गया। स्थिति 3ए में, दो "गाइड" बिंदुओं का निर्माण करना संभव है: सी और डी दोनों। स्थिति 3 बी में, केवल सी।
• कोने O पर एक खूंटी और बिंदु C पर एक अस्थायी खूंटी रखें, और एक रस्सी को C से लॉट के पीछे तक फैलाएं। - ताकि कॉर्ड मुश्किल से खूंटी ओ को छू सके। बिंदु ओ से मापकर - दिशा डी में, सामान्य योजना के अनुसार पक्ष की लंबाई, साइट का एक विश्वसनीय रियर राइट कॉर्नर प्राप्त करें।

चित्र 3. एक समकोण बनाना - एक पड़ोसी के कोने से, एक पेडोमीटर कम्पास और एक रस्सी कम्पास का उपयोग करना

यदि आपके पास कंपास पेडोमीटर है, तो आप बिना रस्सी के कर सकते हैं. पिछले उदाहरण में रस्सी, हम पैडोमीटर से बड़े त्रिज्या के चाप खींचते थे। अधिक क्योंकि ये चाप कहीं प्रतिच्छेद करते हैं। चापों को उनके प्रतिच्छेदन की गारंटी के साथ एक ही त्रिज्या - 1m के साथ एक पेडोमीटर के साथ खींचने के लिए, यह आवश्यक है कि बिंदु A और B सर्कल c R = 1m के अंदर हों।

• तब इन समदूरस्थ बिन्दुओं को मापिए रूले- केंद्र से अलग-अलग दिशाओं में, लेकिन हमेशा एबी लाइन (पड़ोसी की बाड़ रेखा) के साथ। ए और बी केंद्र के करीब हैं, इससे दूर गाइड पॉइंट हैं: सी और डी, और माप जितना सटीक होगा। आकृति में, यह दूरी पेडोमीटर = 260mm की त्रिज्या का लगभग एक चौथाई माना जाता है।

चित्र 4. एक पेडोमीटर कंपास और एक टेप माप के साथ एक समकोण बनाना

• किसी भी आयत का निर्माण करते समय क्रियाओं की यह योजना कम प्रासंगिक नहीं है, विशेष रूप से, एक आयताकार नींव का समोच्च। आप इसे एकदम सही पाएंगे। बेशक, इसके विकर्णों की जाँच करने की आवश्यकता है, लेकिन क्या प्रयास कम नहीं होते हैं? - इसकी तुलना में जब नींव के कंटूर के विकर्ण, कोने और किनारे आगे-पीछे चलते हैं, जब तक कि कोने मिलते नहीं हैं..

दरअसल, हमने जमीनी स्तर पर ज्यामितीय समस्या का समाधान कर दिया है। साइट पर अपने कार्यों को और अधिक आत्मविश्वासी बनाने के लिए, कागज पर अभ्यास करें - एक नियमित कम्पास का उपयोग करके। जो मूल रूप से अलग नहीं है।

पाठ मकसद:

• अध्ययन की गई सामग्री का विश्लेषण करने के लिए कौशल का निर्माण और समस्याओं को हल करने के लिए इसे लागू करने के लिए कौशल;
• अध्ययन की जा रही अवधारणाओं का महत्व दिखाएं;
• ज्ञान प्राप्त करने में संज्ञानात्मक गतिविधि और स्वतंत्रता का विकास;
• विषय में रुचि बढ़ाना, सौंदर्य की भावना।

पाठ मकसद:

• स्केल रूलर, कंपास, प्रोट्रैक्टर और ड्रॉइंग ट्राएंगल का उपयोग करके दिए गए कोण के बराबर कोण बनाने में कौशल बनाने के लिए।
• छात्रों की समस्याओं को हल करने की क्षमता की जाँच करें।

शिक्षण योजना:

1. दोहराव।
2. दिए गए कोण के बराबर कोण बनाना।
3. विश्लेषण।
4. पहले उदाहरण का निर्माण।
5. दूसरे उदाहरण का निर्माण।

दोहराव।

इंजेक्शन।

समतल कोना- एक बिंदु (कोण के शीर्ष) से ​​निकलने वाली दो किरणों (एक कोण की भुजाओं) से बनी असीमित ज्यामितीय आकृति।

एक कोण को इन किरणों के बीच घिरे विमान के सभी बिंदुओं द्वारा बनाई गई आकृति भी कहा जाता है (आमतौर पर, दो ऐसी किरणें दो कोणों के अनुरूप होती हैं, क्योंकि वे विमान को दो भागों में विभाजित करती हैं। इनमें से एक कोण को सशर्त रूप से आंतरिक कहा जाता है, और अन्य बाहरी।
कभी-कभी, संक्षिप्तता के लिए, कोण को कोणीय माप कहा जाता है।

एक कोण को निर्दिष्ट करने के लिए, एक आम तौर पर स्वीकृत प्रतीक है: 1634 में फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे एरीगॉन द्वारा प्रस्तावित।

इंजेक्शन- यह एक ज्यामितीय आकृति (चित्र 1) है, जो दो किरणों OA और OB (कोने की भुजाओं) से बनती है, जो एक बिंदु O (कोने के शीर्ष) से ​​निकलती है।

एक कोण को एक प्रतीक और तीन अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है जो किरणों के सिरों और कोण के शीर्ष को दर्शाता है: AOB (इसके अलावा, शीर्ष का अक्षर मध्य है)। कोणों को किरण OA के शीर्ष O के चारों ओर घूमने की मात्रा से मापा जाता है जब तक कि किरण OA स्थिति OB में नहीं जाती है। कोणों को मापने के लिए आमतौर पर उपयोग की जाने वाली दो इकाइयाँ हैं: रेडियन और डिग्री। कोणों के रेडियन माप के लिए, नीचे "चाप लंबाई" के अंतर्गत और "त्रिकोणमिति" अध्याय में भी देखें।

कोणों को मापने के लिए डिग्री प्रणाली।

यहां, माप की इकाई डिग्री है (इसका पदनाम ° है) - यह पूर्ण मोड़ के 1/360 द्वारा बीम का रोटेशन है। इस प्रकार, बीम का एक पूर्ण घूर्णन 360 o है। एक डिग्री को 60 मिनट (नोटेशन ') में बांटा गया है; एक मिनट - क्रमशः 60 सेकंड के लिए (पदनाम ")। 90 ° (चित्र 2) के कोण को समकोण कहा जाता है; 90° से कम का कोण (चित्र 3) न्यूनकोण कहलाता है; 90 ° (चित्र 4) से अधिक के कोण को अधिक कोण कहा जाता है।

समकोण बनाने वाली सीधी रेखाएँ परस्पर लंबवत कहलाती हैं। यदि रेखाएँ AB और MK लंबवत हैं, तो इसे दर्शाया जाता है: AB MK।

दिए गए कोण के बराबर कोण बनाना।

किसी भी समस्या का निर्माण या समाधान शुरू करने से पहले विषय की परवाह किए बिना उसे अंजाम देना जरूरी है विश्लेषण. समझें कि कार्य किस बारे में है, इसे सोच-समझकर और धीरे-धीरे पढ़ें। यदि पहली बार के बाद संदेह है या कुछ स्पष्ट या स्पष्ट नहीं था लेकिन पूरी तरह से नहीं था, तो इसे फिर से पढ़ने की सिफारिश की जाती है। यदि आप कक्षा में कोई असाइनमेंट कर रहे हैं, तो आप शिक्षक से पूछ सकते हैं। अन्यथा, आपका कार्य, जिसे आपने गलत समझा था, ठीक से हल नहीं हो सकता है, या आपको कुछ ऐसा मिल सकता है जो आपके लिए आवश्यक नहीं था और इसे गलत माना जाएगा और आपको इसे फिर से करना होगा। मेरे लिए - कार्य को फिर से करने की तुलना में कार्य का अध्ययन करने में थोड़ा अधिक समय व्यतीत करना बेहतर है.

विश्लेषण।

मान लीजिए a एक दी हुई किरण है जिसका शीर्ष A है, और मान लीजिए (ab) वांछित कोण है। हम क्रमशः ए और बी किरणों पर बिंदु बी और सी चुनते हैं। बिंदु B और C को जोड़ने पर हमें त्रिभुज ABC प्राप्त होता है। समान त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर होते हैं, और इसलिए निर्माण की विधि इस प्रकार है। यदि किसी दिए गए कोण के किनारों पर बिंदु C और B को किसी सुविधाजनक तरीके से चुना जाता है, तो दिए गए किरण से दिए गए आधे-तल पर ABC के बराबर एक त्रिभुज AB 1 C 1 बनाया जाता है (और यह तब किया जा सकता है जब त्रिकोण ज्ञात हैं), तो समस्या हल हो जाएगी।

किसी भी कार्य को करते समय कंस्ट्रक्शनअत्यंत सावधान रहें और सभी निर्माणों को सावधानीपूर्वक करने का प्रयास करें। चूंकि किसी भी विसंगति के परिणामस्वरूप किसी प्रकार की त्रुटियां, विचलन हो सकते हैं, जिससे गलत उत्तर हो सकता है। और अगर इस प्रकार का कोई कार्य पहली बार किया जाता है, तो त्रुटि को ढूंढना और ठीक करना बहुत मुश्किल होगा।

पहले उदाहरण का निर्माण।

दिए गए कोण के शीर्ष पर केन्द्रित एक वृत्त खींचिए। बी और सी कोण के किनारों के साथ सर्कल के चौराहे के बिंदु बनें। इस किरण के प्रारंभिक बिंदु - बिंदु A 1 पर केंद्रित त्रिज्या AB वाला एक वृत्त बनाएं। दी गई किरण के साथ इस वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु को B 1 द्वारा दर्शाया जाएगा। आइए केंद्र B 1 और त्रिज्या BC वाले एक वृत्त का वर्णन करें। निर्दिष्ट अर्ध-तल में निर्मित वृत्तों का प्रतिच्छेदन बिंदु C 1 आवश्यक कोण के किनारे पर स्थित है।

त्रिभुज एबीसी और ए 1 बी 1 सी 1 तीन तरफ बराबर हैं। कोण A और A 1 इन त्रिभुजों के संगत कोण हैं। इसलिए, ∠CAB = C 1 A 1 B 1

अधिक स्पष्टता के लिए, हम समान निर्माणों पर अधिक विस्तार से विचार कर सकते हैं।

दूसरे उदाहरण का निर्माण।

कार्य दी गई अर्ध-रेखा से दिए गए आधे-तल पर दिए गए कोण के बराबर कोण पर स्थगित करना भी रहता है।

निर्माण।

स्टेप 1।आइए एक मनमाना त्रिज्या वाला एक वृत्त बनाएं और दिए गए कोण के शीर्ष A पर केन्द्रित करें। बी और सी कोण के किनारों के साथ सर्कल के चौराहे बिंदु बनें। और खण्ड BC खींचिए।

चरण 2त्रिज्या AB वाला एक वृत्त खींचिए जो इस अर्ध-रेखा के प्रारंभिक बिंदु O पर केंद्रित है। किरण B 1 के साथ वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदु को निरूपित करें।

चरण 3अब केंद्र B 1 और त्रिज्या BC वाले एक वृत्त का वर्णन करते हैं। मान लें कि बिंदु C 1 निर्दिष्ट अर्ध-तल में निर्मित वृत्तों का प्रतिच्छेदन है।

चरण 4आइए बिंदु O से बिंदु C 1 तक एक किरण खींचते हैं। कोण सी 1 ओबी 1 वांछित होगा।

प्रमाण।

त्रिभुज ABC और OB 1 C 1 संगत भुजाओं वाले त्रिभुजों के रूप में सर्वांगसम हैं। और इसलिए कोण सीएबी और सी 1 ओबी 1 बराबर हैं।

रोचक तथ्य:

संख्या में।

अपने आस-पास की दुनिया की वस्तुओं में, सबसे पहले, आप उनके व्यक्तिगत गुणों को देखते हैं जो एक वस्तु को दूसरी वस्तु से अलग करते हैं।

विशेष रूप से, व्यक्तिगत गुणों की प्रचुरता सभी वस्तुओं में निहित सामान्य गुणों की देखरेख करती है, और इसलिए ऐसे गुणों की खोज करना हमेशा अधिक कठिन होता है।

वस्तुओं के सबसे महत्वपूर्ण सामान्य गुणों में से एक यह है कि सभी वस्तुओं को गिना और मापा जा सकता है। हम संख्या की अवधारणा में वस्तुओं की इस सामान्य संपत्ति को दर्शाते हैं।

लोगों ने गिनती की प्रक्रिया में महारत हासिल कर ली, यानी संख्या की अवधारणा, बहुत धीरे-धीरे, सदियों से, अपने अस्तित्व के लिए एक जिद्दी संघर्ष में।

गिनने के लिए, न केवल वस्तुओं को गिनना आवश्यक है, बल्कि पहले से ही इन वस्तुओं को उनके अन्य सभी गुणों से ध्यान में रखते हुए विचलित होने की क्षमता है, संख्या को छोड़कर, और यह क्षमता एक लंबे ऐतिहासिक का परिणाम है अनुभव के आधार पर विकास।

प्रत्येक व्यक्ति अब बचपन में अगोचर रूप से संख्याओं की मदद से गिनना सीखता है, लगभग एक साथ वह कैसे बोलना शुरू करता है, लेकिन यह गिनती जिसके हम आदी हैं, विकास का एक लंबा रास्ता तय कर चुका है और विभिन्न रूप ले चुका है।

एक समय था जब वस्तुओं को गिनने के लिए केवल दो संख्याओं का उपयोग किया जाता था: एक और दो। संख्या प्रणाली के और विस्तार की प्रक्रिया में, मानव शरीर के अंग शामिल थे, और सबसे पहले, उंगलियां, और यदि ऐसी "संख्याएं" पर्याप्त नहीं थीं, तो लाठी, कंकड़ और अन्य चीजें।

एन. एन. मिक्लुखो-मैकलेउसकी किताब में "यात्राएं"न्यू गिनी के मूल निवासियों द्वारा इस्तेमाल की जाने वाली गिनती के एक अजीब तरीके के बारे में बात करता है:

प्रशन:

1. कोण की परिभाषा क्या है?
2. कोने कितने प्रकार के होते हैं?
3. व्यास और त्रिज्या में क्या अंतर है?

प्रयुक्त स्रोतों की सूची:

1. मजूर के.आई. "एम.आई. स्कैनवी द्वारा संपादित संग्रह के गणित में मुख्य प्रतिस्पर्धी समस्याओं का समाधान"
2. गणितीय चतुराई। बी० ए०। कोर्डेम्स्की। मास्को।
3. एल। एस। अतानासियन, वी। एफ। बुटुज़ोव, एस। बी। कदोमत्सेव, ई। जी। पॉज़्न्याक, आई। आई। युदीना "ज्यामिति, 7 - 9: शैक्षणिक संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक"

सबक पर काम किया:

लेवचेंको वी.एस.

पोटर्नक एस.ए.

आप आधुनिक शिक्षा के बारे में सवाल उठा सकते हैं, एक विचार व्यक्त कर सकते हैं या एक जरूरी समस्या का समाधान कर सकते हैं शिक्षा मंचजहां ताजा विचार और कार्रवाई की एक शैक्षिक परिषद अंतरराष्ट्रीय स्तर पर मिलती है। बनाया है ब्लॉग,आप न केवल एक सक्षम शिक्षक के रूप में अपनी स्थिति में सुधार करेंगे, बल्कि भविष्य के स्कूल के विकास में भी महत्वपूर्ण योगदान देंगे। एजुकेशन लीडर्स गिल्डशीर्ष क्रम के विशेषज्ञों के लिए दरवाजे खोलता है और आपको दुनिया में सर्वश्रेष्ठ स्कूल बनाने की दिशा में सहयोग करने के लिए आमंत्रित करता है।

विषय > गणित > गणित ग्रेड 7