परिचय

अपनी गतिविधि में, हर जगह एक व्यक्ति को स्थानिक आंकड़ों के आकार, आकार और सापेक्ष स्थिति का अध्ययन करने की आवश्यकता का सामना करना पड़ता है। इसी तरह की समस्याओं को खगोलविदों द्वारा हल किया जाता है जो सबसे बड़े पैमाने से निपटते हैं, और भौतिकविदों द्वारा परमाणुओं और अणुओं की संरचना का अध्ययन करते हैं। ज्यामिति का वह खंड जिसमें ऐसी समस्याओं का अध्ययन किया जाता है, स्टीरियोमेट्री (ग्रीक "स्टीरियो" से - वॉल्यूमेट्रिक, स्थानिक) कहलाती है।

1.1. स्टीरियोमेट्री के मूल सिद्धांत

स्टीरियोमेट्री में, प्लैनिमेट्री की अवधारणाओं में एक और चीज जोड़ी जाती है - एक विमान, और इसके साथ - स्वयंसिद्ध जो ज्यामिति की अन्य वस्तुओं के साथ विमानों के "संबंधों" को नियंत्रित करते हैं। ऐसे तीन स्वयंसिद्ध हैं।

1) अभिगृहीत 1 – अंतरिक्ष में किन्हीं तीन बिंदुओं के माध्यम से जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, केवल एक ही तल होता है. (चित्र .1)

चित्र 1।

2) अभिगृहीत 2 - अंतरिक्ष में किन्हीं दो बिंदुओं से होकर जाने वाली केवल एक रेखा होती है. (रेखा चित्र नम्बर 2)

चित्र 2।

3) अभिगृहीत 3 - यदि दो तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो उनके पास एक उभयनिष्ठ रेखा होती है जिस पर इन तलों के सभी उभयनिष्ठ बिंदु होते हैं. (अंजीर। 3)

चित्रा 3. 1

तीसरा स्वयंसिद्ध स्टीरियोमेट्री में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है: यह अंतरिक्ष को बिल्कुल त्रि-आयामी बनाता है, क्योंकि चार आयामों और उससे ऊपर के रिक्त स्थान में, विमान एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं। इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि अब हम एक के साथ नहीं, बल्कि कई विमानों के साथ काम कर रहे हैं, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए, तीन संकेतित, पुनर्विचार में प्लैनिमेट्रिक स्वयंसिद्ध भी जोड़े गए हैं। उदाहरण के लिए, एक सीधी रेखा का स्वयंसिद्ध - एक और केवल एक सीधी रेखा दो अलग-अलग बिंदुओं के माध्यम से खींची जा सकती है - शब्दशः स्टीरियोमेट्री में स्थानांतरित की जाती है, लेकिन केवल यह पहले से ही अंतरिक्ष में दो बिंदुओं तक फैली हुई है।

एक उपफल के रूप में, हम अभिगृहीतों से सीधे एक उपयोगी उपफल प्राप्त करते हैं:एक रेखा जिसमें एक समतल के साथ कम से कम दो बिंदु उभयनिष्ठ हों, पूरी तरह से उस तल में स्थित हों.

स्टीरियोमेट्री में आकृतियों के निर्माण में इन स्वयंसिद्धों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

1.2. स्टीरियोमेट्री में विमान का समन्वय करें।

प्लैनिमेट्री के विपरीत, जिसमें विमान केवल 2 अक्षों द्वारा निर्धारित किया जाता है - अक्ष एक्स (भुजा) और आप (ऑर्डिनेट), 3 एक्सिस को स्टीरियोमेट्री में जोड़ा जाता है - एक्सिस जेड (पिपली) . यह धुरी आगे बढ़ती है, जैसा कि चित्र 4 में दिखाया गया है। लेकिन निर्माण की सुविधा के लिए, निर्देशांक अक्षों को चित्र 5 में दिखाया गया है।

चित्रा 4. चित्रा 5.

अंतरिक्ष 3 में एक बिंदु के निर्देशांक के स्टीरियोमेट्री में: एक बिंदु का भुज, एक बिंदु का समन्वय, एक बिंदु का अनुप्रयोग।

आइए इसे एक विशिष्ट उदाहरण के साथ देखें। चित्र 6 में खंड OB, OS, OD 1 के बराबर हैं। फिर बिंदु A का भुज 1 है, बिंदु A की कोटि 1 है और बिंदु A का अनुप्रस्थ 1 है। प्रतीकात्मक रूप से, यह इस प्रकार लिखा गया है:

या एक इंडेक्स का उपयोग करके एक विशिष्ट बिंदु पर एक समन्वय रिकॉर्ड बांधें:

चित्र 6

प्रत्येक अक्ष को एक संख्या रेखा के रूप में माना जाता है, अर्थात इसकी एक सकारात्मक दिशा होती है, और दूरी निर्देशांक के ऋणात्मक मान ऋणात्मक किरण पर स्थित बिंदुओं को सौंपे जाते हैं (दूरी को ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है)। यही है, यदि, उदाहरण के लिए, बिंदु बी, जैसा कि चित्र में, किरण ओएक्स पर नहीं है, लेकिन बिंदु ओ (ओएक्स अक्ष के नकारात्मक भाग पर) से विपरीत दिशा में इसकी निरंतरता पर है, तो भुज एक्सबिंदु A ऋणात्मक होगा (शून्य से दूरी OB)। इसी प्रकार अन्य दो अक्षों के लिए।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सभी आयताकार समन्वय प्रणालियों को दो वर्गों में बांटा गया है - दाएं (सकारात्मक, मानक शब्द भी उपयोग किए जाते हैं) और बाएं। आमतौर पर, डिफ़ॉल्ट रूप से, वे दाएं हाथ के समन्वय प्रणालियों का उपयोग करने का प्रयास करते हैं, और जब उन्हें ग्राफिक रूप से प्रदर्शित किया जाता है, तो उन्हें कई सामान्य (पारंपरिक) स्थितियों में से एक में, यदि संभव हो तो, रखा जाता है। (चित्र 6 सही समन्वय प्रणाली दिखाता है)। दाएं और बाएं समन्वय प्रणालियों को घुमावों द्वारा नहीं जोड़ा जा सकता है ताकि संबंधित कुल्हाड़ियों (और उनकी दिशाएं) का मेल हो। आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि दाहिने हाथ के नियम, स्क्रू नियम आदि का उपयोग करके एक विशेष समन्वय प्रणाली किस वर्ग से संबंधित है। (कुल्हाड़ियों की सकारात्मक दिशा को चुना जाता है ताकि जब OX अक्ष को 90 ° से वामावर्त घुमाया जाए, तो इसकी सकारात्मक दिशा मेल खाती है) ओए अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ, यदि यह रोटेशन ओजेड अक्ष की सकारात्मक दिशा की ओर से देखा जाता है)।

उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली में एक घन को चित्रित करने के लिए, आपको इस वर्ग के पक्षों की लंबाई जानने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, आइए भुजा 1 और शीर्ष O, C, T, B, D, R, A, S (चित्र 7) के साथ एक घन बनाते हैं। फिर इस घन के शीर्षों के निर्देशांक:

चित्र 7

निष्कर्ष

त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली के अस्तित्व के लिए धन्यवाद, आप किसी भी त्रि-आयामी आकृति का निर्माण कर सकते हैं, जैसे कि समानांतर चतुर्भुज, पिरामिड, प्रिज्म, आदि। इस समन्वय प्रणाली का उपयोग भौतिकी, खगोल विज्ञान और अन्य विज्ञानों में किया जाता है जिन्हें निर्माण सटीकता की आवश्यकता होती है।

ग्रंथ सूची:

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ई.वी. पोटोस्कुएव, एल.आई. ज्वाविच ज्यामिति ग्रेड 11,शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।

अध्याय IV। अंतरिक्ष में सीधी रेखाएं और विमान। बहुकोणीय आकृति

45. स्टीरियोमेट्री के मूल सिद्धांत

सबसे सरल स्थानिक आंकड़े (निकाय): एक घन, एक प्रिज्म, एक पिरामिड, एक गेंद, एक शंकु, एक सिलेंडर, आदि, और उनके गुणों का अध्ययन आठ साल के स्कूल के ज्यामिति पाठ्यक्रम में किया गया था। ध्यान दें कि इस पाठ्यपुस्तक के अध्याय I में सदिशों के अध्ययन में स्थानिक आकृतियों के कुछ गुणों का उपयोग किया गया था।

इस अध्याय में पहले की तुलना में अधिक विस्तार से अंतरिक्ष में रेखाओं और विमानों की व्यवस्था से संबंधित ज्यामिति के खंड का अध्ययन किया गया है। ज्यामिति की वह शाखा जो अंतरिक्ष में व्यवस्थित आकृतियों से संबंधित है, कहलाती है स्टीरियोमेट्री.

स्टीरियोमेट्री की मूल अवधारणाएँ बिंदु, रेखा और तल हैं। अंतरिक्ष अनंत बिंदुओं से बना है। रेखाएं और तल अंतरिक्ष में अनंत संख्या में बिंदुओं से मिलकर बने होते हैं और पूरे स्थान से मेल नहीं खाते हैं।

आइए हम मुख्य तैयार करें स्टीरियोमेट्री स्वयंसिद्ध. याद रखें कि स्वयंसिद्ध बिना प्रमाण के स्वीकार किए गए प्रस्ताव हैं। ज्यामिति के अभिगृहीत हमारे आस-पास की वास्तविक दुनिया के संगत गुणों का एक अमूर्तन हैं।

हम यह मानेंगे कि अंतरिक्ष के किसी भी तल के लिए योजनामिति के सभी अभिगृहीत, परिभाषाएँ और प्रमेय संतुष्ट हैं। इसके अलावा, हम मानते हैं कि स्टीरियोमेट्री के निम्नलिखित स्वयंसिद्ध मान्य हैं:

1. किन्हीं दो भिन्न बिंदुओं से होकर जाने वाली केवल एक सीधी रेखा होती है।

2. यदि किसी रेखा के दो अलग-अलग बिंदु एक समतल के हों, तो रेखा के सभी बिंदु उस तल के होते हैं।

3. किन्हीं तीन बिंदुओं से होकर जो एक ही रेखा पर स्थित नहीं हैं, एक और केवल एक तल होता है।

4. यदि दो अलग-अलग तल प्रतिच्छेद करते हैं, तो वे एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं।

इन अभिगृहीतों का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित अभिकथनों को सिद्ध करते हैं:

1. एक अकेला तल एक रेखा और एक बिंदु से होकर गुजरता है जो उससे संबंधित नहीं है।

2. दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर जाने वाला केवल एक तल है।

1. इस सीधी रेखा पर मैंआइए कुछ दो बिंदु A और B लें (चित्र 128)। फिर, अभिगृहीत 3 के अनुसार, एक एकल तल दिए गए बिंदु M से होकर गुजरता है और बिंदु A और B आरऔर रेखा के सभी बिंदु मैंविमान के हैं आर.

इसलिए, विमान आरएक सीधी रेखा से होकर जाता है मैंऔर एक बिंदु एम जो इससे संबंधित नहीं है। ऐसा कोई अन्य विमान नहीं है, क्योंकि इसे तीन बिंदुओं ए, बी, एम से गुजरना होगा, जो एक सीधी रेखा पर नहीं हैं, और इसलिए, विमान के साथ मेल खाना चाहिए आर.

2. वास्तव में, सीधी रेखाएँ दें 1 1 और 1 2 बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती है (चित्र 129)। सीधी रेखाओं पर 1 1 और 1 2 बिंदु M से भिन्न कुछ बिंदु A और B लें। फिर तीन बिंदुओं A, B, M से होकर एकमात्र तल गुजरता है आर. अभिगृहीत 2 के आधार पर, समतल आरदी गई रेखाओं से होकर गुजरता है 1 1 और 1 2 .

इस लेख में, हम त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा की अवधारणा से निपटेंगे, सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति के विकल्पों पर विचार करेंगे, और अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को परिभाषित करने के मुख्य तरीकों पर ध्यान देंगे। एक बेहतर प्रस्तुति के लिए, हम ग्राफिक चित्र प्रस्तुत करते हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

अंतरिक्ष में एक रेखा एक अवधारणा है।

अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं की परिभाषा देने के बाद, यह उनके महत्व के कारण एक सीधी रेखा के निर्देश देने वाले सदिशों के बारे में कहा जाना चाहिए। कोई भी शून्येतर सदिश जो इस रेखा पर या उस रेखा पर स्थित है जो दी गई रेखा के समानांतर है, रेखा का निर्देशन सदिश कहलाती है। एक सीधी रेखा के दिशा सदिश का उपयोग अक्सर अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा से संबंधित समस्याओं को हल करने में किया जाता है।

अंत में, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाएं तिरछी हो सकती हैं। कहा जाता है कि अंतरिक्ष में दो रेखाएँ एक दूसरे को काटती हैं यदि वे एक ही तल में न हों। अंतरिक्ष में दो रेखाओं की यह पारस्परिक व्यवस्था हमें तिरछी रेखाओं के बीच के कोण की अवधारणा की ओर ले जाती है।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा स्थापित करने की विधियाँ।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को विशिष्ट रूप से परिभाषित करने के कई तरीके हैं। आइए मुख्य सूची दें।

हम अभिगृहीत से जानते हैं कि एक सीधी रेखा दो बिंदुओं से होकर गुजरती है, और केवल एक। इस प्रकार, यदि हम अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को चिह्नित करते हैं, तो यह हमें उनसे गुजरने वाली सीधी रेखा को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने की अनुमति देगा।

यदि त्रिविमीय स्थान में एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली की शुरुआत की जाती है और उसके दो बिंदुओं के निर्देशांक निर्दिष्ट करके एक सीधी रेखा दी जाती है, तो हमारे पास दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करने का अवसर होता है।

अंतरिक्ष में एक रेखा निर्दिष्ट करने का दूसरा तरीका प्रमेय पर आधारित है: अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा गुजरती है, और केवल एक।

इस प्रकार, यदि हम एक रेखा (या इस रेखा का एक खंड) और उस पर स्थित एक बिंदु निर्दिष्ट करते हैं, तो हम दिए गए बिंदु के समानांतर और दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखा को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते हैं।

आप उस बिंदु को निर्दिष्ट कर सकते हैं जिसके माध्यम से रेखा गुजरती है और इसकी दिशा वेक्टर। यह आपको विशिष्ट रूप से रेखा की पहचान करने की अनुमति भी देगा।

यदि एक निश्चित आयताकार निर्देशांक प्रणाली के संबंध में इस तरह से एक सीधी रेखा को परिभाषित किया जाता है, तो हम अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के इसके विहित समीकरणों और अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों को तुरंत लिख सकते हैं।

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को निर्दिष्ट करने का अगला तरीका स्टीरियोमेट्री के स्वयंसिद्ध पर आधारित है: यदि दो विमानों में एक सामान्य बिंदु होता है, तो उनके पास एक सामान्य सीधी रेखा होती है, जिस पर इन विमानों के सभी सामान्य बिंदु होते हैं।

इस प्रकार, दो प्रतिच्छेदी तलों को स्थापित करके, हम विशिष्ट रूप से अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं।

अंतरिक्ष में एक रेखा निर्दिष्ट करने का एक और तरीका प्रमेय से अनुसरण करता है (आप इस लेख के अंत में सूचीबद्ध पुस्तकों में इसका प्रमाण पा सकते हैं): यदि एक विमान और उसमें नहीं पड़ा एक बिंदु दिया गया है, तो एक एकल रेखा गुजरती है इस बिंदु के माध्यम से और दिए गए विमान के लंबवत।

इस प्रकार, एक सीधी रेखा निर्धारित करने के लिए, आप उस तल को निर्दिष्ट कर सकते हैं जिस पर वांछित रेखा लंबवत है, और वह बिंदु जिसके माध्यम से यह रेखा गुजरती है।

यदि शुरू की गई आयताकार समन्वय प्रणाली के संबंध में सीधी रेखा को इस तरह परिभाषित किया गया है, तो किसी दिए गए विमान के लंबवत दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के समीकरण के लेख की सामग्री का स्वामित्व होना उपयोगी होगा।

ग्रंथ सूची।

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• अतानासियन एल.एस., बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., किसेलेवा एल.एस., पॉज़्न्याक ई.जी. ज्यामिति। हाई स्कूल के 10-11 ग्रेड के लिए पाठ्यपुस्तक।
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पावरपॉइंट प्रारूप में ज्यामिति पर "स्टीरियोमेट्री के स्वयंसिद्ध" विषय पर प्रस्तुति। स्कूली बच्चों के लिए प्रस्तुति स्टीरियोमेट्री के 7 स्वयंसिद्धों को सूचीबद्ध करती है, इन स्वयंसिद्धों का उपयोग करके कार्य प्रदान करती है। प्रस्तुति लेखक: सुखोरुकोवा ई.वी.

प्रस्तुति से अंश

• अंतरिक्ष में किन्हीं दो बिंदुओं से होकर जाने वाली केवल एक सीधी रेखा होती है।
• अंतरिक्ष में किन्हीं तीन बिंदुओं से होकर जो एक ही रेखा से संबंधित नहीं हैं, केवल एक ही तल है
• यदि दो तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो वे एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं
• कम से कम चार बिंदु ऐसे हैं जो एक ही तल से संबंधित नहीं हैं
• यदि किसी रेखा के समतल के साथ दो बिंदु उभयनिष्ठ हैं, तो वह उस तल में स्थित होता है।
• एक रेखा और एक बिंदु के माध्यम से जो इससे संबंधित नहीं है, केवल एक ही विमान है
• दो प्रतिच्छेदी रेखाओं से होकर जाने वाला केवल एक तल है।

प्रश्न 1

रेखाचित्रों में त्रुटि ज्ञात कीजिए यदि:

उत्तर विकल्प यहाँ।

जवाब:ए) अंक ए, बी, सी एक ही रेखा से संबंधित होना चाहिए; बी) बिंदु के, एल, एम एक पंक्ति से संबंधित होना चाहिए।

प्रश्न 2

आकृति से निर्धारित करें कि विमान का बिंदु M किस आकृति का है।

प्रश्न 3

ड्राइंग में त्रुटि का पता लगाएं। स्पष्टीकरण दें

जवाब:बिंदु M, AC से संबंधित नहीं है

प्रश्न 4

आकृति में समतल α और β एक दूसरे के सापेक्ष किस प्रकार स्थित हैं? उत्तर स्पष्ट कीजिए। यदि आवश्यक हो तो ड्राइंग को पूरा करें।

जवाब:क्योंकि समतलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, फिर वे एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं

प्रश्न 5

एक रेखा से कितने तल खींचे जा सकते हैं?

जवाब:असीम रूप से कई

अंतरिक्ष में समानांतर रेखाएं

• अंतरिक्ष में रेखाओं को कहा जाता है समानांतरयदि वे एक ही तल में पड़े हों और प्रतिच्छेद न करें
• वे रेखाएँ जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं और एक ही तल में नहीं होती हैं, कहलाती हैं अंतर प्रजनन

• समानांतर चतुर्भुज में A…D1 समानांतर और तिरछी रेखाओं को इंगित करता है
• पिरामिड ABCD में, प्रतिच्छेदी रेखाओं के सभी युग्मों को इंगित करें