आपकी निजता हमारे लिए महत्वपूर्ण है। इस कारण से, हमने एक गोपनीयता नीति विकसित की है जो बताती है कि हम आपकी जानकारी का उपयोग और भंडारण कैसे करते हैं। कृपया हमारी गोपनीयता नीति पढ़ें और यदि आपके कोई प्रश्न हैं तो हमें बताएं।
व्यक्तिगत जानकारी का संग्रह और उपयोग
व्यक्तिगत जानकारी उस डेटा को संदर्भित करती है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।
जब आप हमसे संपर्क करते हैं तो आपसे किसी भी समय अपनी व्यक्तिगत जानकारी प्रदान करने के लिए कहा जा सकता है।
निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं कि हम किस प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी एकत्र कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।
हम कौन सी व्यक्तिगत जानकारी एकत्र करते हैं:
- जब आप साइट पर आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।
हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:
- हमारे द्वारा एकत्र की जाने वाली व्यक्तिगत जानकारी हमें आपसे संपर्क करने और आपको अद्वितीय ऑफ़र, प्रचार और अन्य घटनाओं और आने वाली घटनाओं के बारे में सूचित करने की अनुमति देती है।
- समय-समय पर, हम आपको महत्वपूर्ण नोटिस और संचार भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
- हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि ऑडिट करना, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना ताकि हम प्रदान की जाने वाली सेवाओं में सुधार कर सकें और आपको हमारी सेवाओं के बारे में सिफारिशें प्रदान कर सकें।
- यदि आप एक पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रोत्साहन में प्रवेश करते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।
तीसरे पक्ष के लिए प्रकटीकरण
हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को नहीं बताते हैं।
अपवाद:
- इस घटना में कि यह आवश्यक है - कानून के अनुसार, न्यायिक आदेश, कानूनी कार्यवाही में, और / या रूसी संघ के क्षेत्र में राज्य निकायों के सार्वजनिक अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर - आपकी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक हित उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उपयुक्त है।
- पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम अपने द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी को लागू उत्तराधिकारी तृतीय पक्ष को स्थानांतरित कर सकते हैं।
व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा
हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।
कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता बनाए रखना
यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा प्रथाओं के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।
कक्षा: 8
पाठ मकसद:
1) छात्रों को एक समलंब की मध्य रेखा की अवधारणा से परिचित कराएं, इसके गुणों पर विचार करें और उन्हें सिद्ध करें;
2) ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा बनाना सिखाएं;
3) समलम्बाकार की मध्य रेखा की परिभाषा और समस्याओं को हल करते समय समलंब की मध्य रेखा के गुणों का उपयोग करने के लिए छात्रों की क्षमता विकसित करना;
4) आवश्यक गणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए छात्रों की सही ढंग से बोलने की क्षमता बनाना जारी रखें; अपनी बात साबित करें;
5) तार्किक सोच, स्मृति, ध्यान विकसित करें।
कक्षाओं के दौरान
1. पाठ के दौरान गृहकार्य की जाँच होती है। होमवर्क मौखिक था, याद रखें:
क) एक समलम्ब की परिभाषा; ट्रेपेज़ियम के प्रकार;
बी) त्रिभुज की मध्य रेखा का निर्धारण;
ग) एक त्रिभुज की मध्य रेखा का गुण;
d) त्रिभुज की मध्य रेखा का चिन्ह।
2. नई सामग्री सीखना।
a) ट्रेपोजॉइड ABCD को बोर्ड पर दिखाया गया है।
बी) शिक्षक एक ट्रेपोजॉइड की परिभाषा को याद रखने की पेशकश करता है। प्रत्येक डेस्क में एक संकेत आरेख होता है जो "ट्रेपेज़ॉइड" विषय में मूल अवधारणाओं को याद रखने में मदद करता है (परिशिष्ट 1 देखें)। प्रत्येक डेस्क के लिए परिशिष्ट 1 जारी किया जाता है।
विद्यार्थी अपनी नोटबुक में समलंब ABCD खींचते हैं।
ग) शिक्षक यह याद करने का सुझाव देता है कि किस विषय में मध्य रेखा की अवधारणा का सामना करना पड़ा ("त्रिकोण की मध्य रेखा")। विद्यार्थी त्रिभुज की मध्य रेखा की परिभाषा और उसके गुण को याद करते हैं।
ई) ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की परिभाषा को एक नोटबुक में चित्रित करते हुए लिखें।
मध्य पंक्तिएक समलम्ब चतुर्भुज एक खंड कहलाता है जो इसकी भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ता है।
इस स्तर पर ट्रैपेज़ॉयड की औसत रेखा की संपत्ति अप्रमाणित रहती है, इसलिए पाठ के अगले चरण में ट्रैपेज़ॉयड की औसत रेखा की संपत्ति के सबूत पर काम करना शामिल है।
प्रमेय। एक समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा उसके आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है।
दिया गया:एबीसीडी - समलम्बाकार,
एमएन - मध्य रेखा एबीसीडी
सिद्ध करना, क्या:
1. ईसा पूर्व || एमएन || ई.
2. एमएन = (एडी + बीसी)।
हम प्रमेय की शर्तों से निम्नलिखित कुछ उपफल लिख सकते हैं:
एएम = एमबी, सीएन = एनडी, बीसी || ई.
केवल सूचीबद्ध संपत्तियों के आधार पर यह साबित करना असंभव है कि क्या आवश्यक है। प्रश्नों और अभ्यासों की प्रणाली को छात्रों को एक समलम्बाकार की मध्य रेखा को किसी त्रिभुज की मध्य रेखा से जोड़ने की इच्छा की ओर ले जाना चाहिए, जिसके गुण वे पहले से ही जानते हैं। यदि कोई प्रस्ताव नहीं हैं, तो हम प्रश्न पूछ सकते हैं: एक त्रिभुज का निर्माण कैसे करें जिसके लिए खंड MN मध्य रेखा होगा?
आइए एक मामले के लिए एक अतिरिक्त निर्माण लिखें।
आइए हम एक रेखा BN खींचते हैं जो भुजा AD के विस्तार को बिंदु K पर प्रतिच्छेद करती है।
अतिरिक्त तत्व दिखाई देते हैं - त्रिकोण: एबीडी, बीएनएम, डीएनके, बीसीएन। यदि हम सिद्ध करते हैं कि BN = NK, तो इसका अर्थ यह होगा कि MN, ABD की मध्य रेखा है, और तब हम त्रिभुज की मध्य रेखा के गुणधर्म का उपयोग करके आवश्यक सिद्ध कर सकते हैं।
प्रमाण:
1. उनमें बीएनसी और डीएनके पर विचार करें:
ए) सीएनबी = डीएनके (ऊर्ध्वाधर कोणों की संपत्ति);
बी) बीसीएन = एनडीके (आंतरिक क्रॉस झूठ कोणों की संपत्ति);
c) CN = ND (प्रमेय की परिकल्पना के परिणाम से)।
तो बीएनसी = डीएनके (किनारे पर और उससे सटे दो कोने)।
क्यू.ई.डी.
सबूत को पाठ में मौखिक रूप से किया जा सकता है, और घर पर (शिक्षक के विवेक पर) एक नोटबुक में पुनर्स्थापित और लिखा जा सकता है।
इस प्रमेय को सिद्ध करने के अन्य संभावित तरीकों का उल्लेख करना आवश्यक है:
1. समलम्ब चतुर्भुज का कोई एक विकर्ण खींचिए और त्रिभुज की मध्य रेखा के चिह्न और गुण का प्रयोग कीजिए।
2. सीएफ चलाएं || BA और समांतर चतुर्भुज ABCF और DCF पर विचार करें।
3. ईएफ चलाएं || बीए और एफडीए और ईएनसी की समानता पर विचार करें।
छ) इस स्तर पर, गृहकार्य दिया जाता है: पृष्ठ 84, पाठ्यपुस्तक, संस्करण। अतानासियन एल.एस. (एक सदिश रूप में एक समलम्ब रेखा की मध्य रेखा के गुणधर्म का प्रमाण), एक नोटबुक में लिखिए।
ज) हम तैयार चित्र के अनुसार ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की परिभाषा और गुणों के उपयोग पर समस्याओं का समाधान करते हैं (परिशिष्ट 2 देखें)। प्रत्येक छात्र को परिशिष्ट 2 दिया गया है, और समस्याओं का समाधान उसी शीट पर संक्षिप्त रूप में तैयार किया गया है।
ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की अवधारणा
सबसे पहले, आइए याद करें कि किस आकृति को ट्रेपोजॉइड कहा जाता है।
परिभाषा 1
एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो पक्ष समानांतर होते हैं और अन्य दो समानांतर नहीं होते हैं।
इस मामले में, समानांतर पक्षों को ट्रेपेज़ॉइड के आधार कहा जाता है, और समानांतर नहीं - ट्रेपेज़ॉइड के किनारे।
परिभाषा 2
एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा एक रेखा खंड है जो ट्रेपेज़ॉइड के किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है।
समलंब मध्य रेखा प्रमेय
अब हम समलंब की मध्य रेखा पर प्रमेय का परिचय देते हैं और इसे सदिश विधि द्वारा सिद्ध करते हैं।
प्रमेय 1
समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है।
प्रमाण।
आइए हमें $AD\ और\ BC$ आधारों के साथ एक समलम्बाकार $ABCD$ दिया जाए। और मान लीजिए कि $MN$ इस समलंब की मध्य रेखा है (चित्र 1)।
चित्र 1. ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा
आइए हम साबित करें कि $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$।
वेक्टर $\overrightarrow(MN)$ पर विचार करें। इसके बाद, हम सदिश योग के लिए बहुभुज नियम का उपयोग करते हैं। एक ओर, हमें वह मिलता है
दूसरी ओर
अंतिम दो समानताओं को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
चूँकि $M$ और $N$ समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु हैं, इसलिए हमारे पास
हम पाते हैं:
इसलिये
समान समानता से (चूंकि $\overrightarrow(BC)$ और $\overrightarrow(AD)$ सह-दिशात्मक हैं और इसलिए, संरेख हैं), हमें वह $MN||AD$ मिलता है।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
एक समलम्ब की मध्य रेखा की अवधारणा पर कार्यों के उदाहरण
उदाहरण 1
समलम्ब चतुर्भुज के किनारे क्रमशः $15\cm$ और $17\cm$ हैं। समलम्ब चतुर्भुज की परिधि $52\cm$ है। समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
फेसला।
समलंब की मध्य रेखा को $n$ से निरूपित करें।
भुजाओं का योग है
इसलिए, चूँकि परिमाप $52\ cm$ है, आधारों का योग है
अतः, प्रमेय 1 से हम प्राप्त करते हैं
जवाब:$10\सेमी$.
उदाहरण 2
वृत्त के व्यास के सिरे उसकी स्पर्श रेखा से क्रमशः $9$ सेमी और $5$ सेमी हैं। इस वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए।
फेसला।
आइए हमें केंद्र $O$ और व्यास $AB$ के साथ एक सर्कल दिया जाता है। स्पर्शरेखा $l$ ड्रा करें और दूरियां $AD=9\ cm$ और $BC=5\ cm$ बनाएं। आइए त्रिज्या $OH$ खींचते हैं (चित्र 2)।
चित्र 2।
चूँकि $AD$ और $BC$ स्पर्शरेखा की दूरियाँ हैं, तो $AD\bot l$ और $BC\bot l$ और चूँकि $OH$ त्रिज्या है, तो $OH\bot l$, इसलिए $OH | \बाएं|एडी\दाएं||बीसी$। इस सब से हम पाते हैं कि $ABCD$ एक समलम्ब है, और $OH$ इसकी मध्य रेखा है। प्रमेय 1 से हमें प्राप्त होता है
ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा की अवधारणा
सबसे पहले, आइए याद करें कि किस आकृति को ट्रेपोजॉइड कहा जाता है।
परिभाषा 1
एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो पक्ष समानांतर होते हैं और अन्य दो समानांतर नहीं होते हैं।
इस मामले में, समानांतर पक्षों को ट्रेपेज़ॉइड के आधार कहा जाता है, और समानांतर नहीं - ट्रेपेज़ॉइड के किनारे।
परिभाषा 2
एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा एक रेखा खंड है जो ट्रेपेज़ॉइड के किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ती है।
समलंब मध्य रेखा प्रमेय
अब हम समलंब की मध्य रेखा पर प्रमेय का परिचय देते हैं और इसे सदिश विधि द्वारा सिद्ध करते हैं।
प्रमेय 1
समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है।
प्रमाण।
आइए हमें $AD\ और\ BC$ आधारों के साथ एक समलम्बाकार $ABCD$ दिया जाए। और मान लीजिए कि $MN$ इस समलंब की मध्य रेखा है (चित्र 1)।
चित्र 1. ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा
आइए हम साबित करें कि $MN||AD\ and\ MN=\frac(AD+BC)(2)$।
वेक्टर $\overrightarrow(MN)$ पर विचार करें। इसके बाद, हम सदिश योग के लिए बहुभुज नियम का उपयोग करते हैं। एक ओर, हमें वह मिलता है
दूसरी ओर
अंतिम दो समानताओं को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
चूँकि $M$ और $N$ समलम्ब चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु हैं, इसलिए हमारे पास
हम पाते हैं:
इसलिये
समान समानता से (चूंकि $\overrightarrow(BC)$ और $\overrightarrow(AD)$ सह-दिशात्मक हैं और इसलिए, संरेख हैं), हमें वह $MN||AD$ मिलता है।
प्रमेय सिद्ध हो चुका है।
एक समलम्ब की मध्य रेखा की अवधारणा पर कार्यों के उदाहरण
उदाहरण 1
समलम्ब चतुर्भुज के किनारे क्रमशः $15\cm$ और $17\cm$ हैं। समलम्ब चतुर्भुज की परिधि $52\cm$ है। समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
फेसला।
समलंब की मध्य रेखा को $n$ से निरूपित करें।
भुजाओं का योग है
इसलिए, चूँकि परिमाप $52\ cm$ है, आधारों का योग है
अतः, प्रमेय 1 से हम प्राप्त करते हैं
जवाब:$10\सेमी$.
उदाहरण 2
वृत्त के व्यास के सिरे उसकी स्पर्श रेखा से क्रमशः $9$ सेमी और $5$ सेमी हैं। इस वृत्त का व्यास ज्ञात कीजिए।
फेसला।
आइए हमें केंद्र $O$ और व्यास $AB$ के साथ एक सर्कल दिया जाता है। स्पर्शरेखा $l$ ड्रा करें और दूरियां $AD=9\ cm$ और $BC=5\ cm$ बनाएं। आइए त्रिज्या $OH$ खींचते हैं (चित्र 2)।
चित्र 2।
चूँकि $AD$ और $BC$ स्पर्शरेखा की दूरियाँ हैं, तो $AD\bot l$ और $BC\bot l$ और चूँकि $OH$ त्रिज्या है, तो $OH\bot l$, इसलिए $OH | \बाएं|एडी\दाएं||बीसी$। इस सब से हम पाते हैं कि $ABCD$ एक समलम्ब है, और $OH$ इसकी मध्य रेखा है। प्रमेय 1 से हमें प्राप्त होता है
मध्य पंक्तिप्लानिमेट्री में आंकड़े - किसी दिए गए आंकड़े के दो पक्षों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड। अवधारणा का उपयोग निम्नलिखित आकृतियों के लिए किया जाता है: त्रिभुज, चतुर्भुज, समलम्ब।
विश्वकोश YouTube
1 / 3
✪ ग्रेड 8, पाठ 25, त्रिभुज की मध्य रेखा
त्रिभुज अतानासियन ग्रेड 8 की ज्यामिति मध्य रेखा
त्रिभुज की मध्य रेखा | ज्यामिति 7-9 ग्रेड #62 | जानकारी सबक
उपशीर्षक
त्रिभुज की मध्य रेखा
गुण
- त्रिभुज की मध्य रेखा आधार के समांतर और उसके आधे के बराबर होती है।
- सभी तीन मध्य रेखाओं के चौराहे पर, 4 समान त्रिभुज बनते हैं, जो 1/2 के गुणांक के साथ मूल एक के समान (समरूप) हैं।
- मध्य रेखा एक त्रिभुज को काटती है जो दिए गए त्रिभुज के समान है, और इसका क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल के एक चौथाई के बराबर है।
- तीन मध्य-रेखाएँ-त्रिकोण इसे मूल त्रिभुज के समान 4 बराबर (समान) त्रिभुजों में विभाजित करते हैं। ऐसे सभी 4 समरूप त्रिभुजों को औसत दर्जे का त्रिभुज कहा जाता है। इन 4 समरूप त्रिभुजों में से केंद्रीय एक को पूरक त्रिभुज कहा जाता है।
लक्षण
- यदि खंड त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर है और त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिंदु को त्रिभुज की दूसरी ओर स्थित बिंदु से जोड़ता है, तो यह मध्य रेखा है।
चतुर्भुज की मध्य रेखा
चतुर्भुज की मध्य रेखाएक रेखाखंड जो किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को मिलाता है।
गुण
पहली पंक्ति 2 विपरीत पक्षों को जोड़ती है। दूसरा 2 अन्य विपरीत पक्षों को जोड़ता है। तीसरा दो विकर्णों के केंद्रों को जोड़ता है (सभी चतुर्भुजों में विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधे में विभाजित नहीं किया जाता है)।
- यदि एक उत्तल चतुर्भुज में मध्य रेखा चतुर्भुज के विकर्णों के साथ समान कोण बनाती है, तो विकर्ण बराबर होते हैं।
- एक चतुर्भुज की मध्य रेखा की लंबाई अन्य दो भुजाओं के योग के आधे से कम या उसके बराबर होती है यदि ये भुजाएँ समानांतर हों, और केवल इस स्थिति में।
- एक स्वेच्छ चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष होते हैं। इसका क्षेत्रफल चतुर्भुज के आधे क्षेत्रफल के बराबर है और इसका केंद्र माध्यिका रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित है। इस समांतर चतुर्भुज को Varignon समानांतर चतुर्भुज कहा जाता है;
- अंतिम बिंदु का अर्थ निम्नलिखित है: एक उत्तल चतुर्भुज में, चार दूसरी तरह की मध्य रेखा. दूसरी तरह की मध्य रेखाएं- चतुर्भुज के अंदर चार खंड विकर्णों के समानांतर इसकी आसन्न भुजाओं के मध्य बिंदुओं से होकर गुजरते हैं। चार दूसरी तरह की मध्य रेखाउत्तल चतुर्भुज ने इसे चार त्रिभुजों और एक केंद्रीय चतुर्भुज में काट दिया। यह केंद्रीय चतुर्भुज Varignon का समांतर चतुर्भुज है।
- चतुर्भुज की मध्य रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु उनका उभयनिष्ठ मध्यबिंदु होता है और विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड को समद्विभाजित करता है। इसके अलावा, वह है
