अंतरिक्ष में एक विमान क्यू पर विचार करें। इसकी स्थिति पूरी तरह से इस विमान के लंबवत वेक्टर एन और विमान क्यू में स्थित कुछ निश्चित बिंदु निर्दिष्ट करके निर्धारित की जाती है। विमान क्यू के लंबवत वेक्टर एन को इस विमान का सामान्य वेक्टर कहा जाता है। यदि हम ए, बी और सी द्वारा सामान्य वेक्टर एन के अनुमानों को निरूपित करते हैं, तो

आइए हम दिए गए बिंदु से गुजरने वाले और दिए गए सामान्य वेक्टर वाले समतल Q का समीकरण प्राप्त करें। ऐसा करने के लिए, एक सदिश पर विचार करें जो एक बिंदु को समतल Q के एक मनमाना बिंदु से जोड़ता है (चित्र 81)।

विमान क्यू पर बिंदु एम की किसी भी स्थिति के लिए, एमएक्सएम वेक्टर विमान क्यू के सामान्य वेक्टर एन के लंबवत है। इसलिए, स्केलर उत्पाद अनुमानों के संदर्भ में स्केलर उत्पाद लिखते हैं। चूँकि , और सदिश , तब

और इसलिए

हमने दिखाया है कि Q तल के किसी भी बिंदु के निर्देशांक समीकरण (4) को संतुष्ट करते हैं। यह देखना आसान है कि उन बिंदुओं के निर्देशांक जो समतल Q पर नहीं हैं, इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं (बाद के मामले में, )। इसलिए, हमने समतल Q का वांछित समीकरण प्राप्त किया है। समीकरण (4) दिए गए बिंदु से गुजरने वाले तल का समीकरण कहलाता है। यह वर्तमान निर्देशांक के सापेक्ष पहली डिग्री का है

इसलिए, हमने दिखाया है कि कोई भी विमान वर्तमान निर्देशांक के संबंध में पहली डिग्री के समीकरण से मेल खाता है।

उदाहरण 1. सदिश के लंबवत बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण लिखिए।

समाधान। यहां । सूत्र (4) के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं

या, सरलीकरण के बाद,

समीकरण (4) के विभिन्न मानों के गुणांक ए, बी और सी देकर, हम बिंदु से गुजरने वाले किसी भी विमान का समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमानों के समूह को विमानों का एक गुच्छा कहा जाता है। समीकरण (4), जिसमें गुणांक A, B और C कोई भी मान ले सकते हैं, समतलों के बंडल का समीकरण कहलाता है।

उदाहरण 2. तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल के लिए एक समीकरण लिखिए (चित्र 82)।

समाधान। आइए हम एक बिंदु से गुजरने वाले विमानों के समूह के लिए समीकरण लिखें

अंतरिक्ष में एक विमान का सामान्य समीकरण है

सामान्य विमान वेक्टर

एक विमान का एक सामान्य वेक्टर विमान में पड़े प्रत्येक वेक्टर के लिए एक गैर-शून्य वेक्टर ऑर्थोगोनल होता है।

किसी दिए गए सामान्य सदिश के साथ एक बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण

किसी दिए गए सामान्य वेक्टर के साथ बिंदु M0 से गुजरने वाले समतल का समीकरण है

विमान दिशा वैक्टर

समतल के समानांतर दो असंरेखीय सदिश तल के दिक् सदिश कहलाते हैं

पैरामीट्रिक समतल समीकरण

- सदिश रूप में समतल का पैरामीट्रिक समीकरण

निर्देशांक में विमान का पैरामीट्रिक समीकरण है

किसी दिए गए बिंदु और दो दिशा वाले वैक्टर के माध्यम से एक विमान का समीकरण

-स्थिर केंद्र

बस एक बिंदु लोल

समतलीय हैं, इसलिए उनका मिश्रित गुणनफल 0 है।

दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण

- तीन बिंदुओं से होकर जाने वाला समतल समीकरण

खंडों में एक विमान का समीकरण

- खंडों में समतल समीकरण

सबूत

इसे साबित करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि हमारा विमान ए, बी, सी और सामान्य वेक्टर से होकर गुजरता है

आइए हम बिंदु और वेक्टर n के निर्देशांक को सामान्य वेक्टर के साथ समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करें

सब कुछ से विभाजित करें और प्राप्त करें

तो यह जाता है।

सामान्य समतल समीकरण

ओ से बाहर आने वाले विमान के लिए बैल और सामान्य वेक्टर के बीच का कोण है।

ओ से बाहर जाने वाले ओए और विमान के सामान्य वेक्टर के बीच का कोण है।

ओ से बाहर जाने वाले विमान के ओज और सामान्य वेक्टर के बीच का कोण है।

निर्देशांक की उत्पत्ति से विमान तक की दूरी है।

सबूत या कुछ ऐसी बकवास

चिन्ह D के विपरीत है।

इसी तरह अन्य कोसाइन के लिए। समाप्त।

बिंदु से विमान की दूरी

प्वाइंट एस, विमान

बिंदु S से समतल की ओरिएंटेड दूरी है

यदि , तो S और O समतल के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं

यदि , तो S और O एक ही तरफ झूठ बोलते हैं

n . से गुणा करें

अंतरिक्ष में दो रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

विमानों के बीच का कोण

प्रतिच्छेदन पर ऊर्ध्वाधर द्विफलकीय कोणों के दो जोड़े बनते हैं, सबसे छोटा तलों के बीच का कोण कहलाता है

अंतरिक्ष में सीधी रेखा

अंतरिक्ष में एक रेखा इस प्रकार दी जा सकती है

दो विमानों का प्रतिच्छेदन:

एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण

- सदिश रूप में एक सीधी रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण

निर्देशांक में एक सीधी रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण है

विहित समीकरण

एक सीधी रेखा का विहित समीकरण है।

दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण

- सदिश रूप में एक सीधी रेखा का विहित समीकरण;

अंतरिक्ष में दो रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा और एक समतल की पारस्परिक व्यवस्था

रेखा और समतल के बीच का कोण

अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक रेखा की दूरी

a हमारी सीधी रेखा का दिशा सदिश है।

दी गई रेखा से संबंधित एक मनमाना बिंदु है

- जिस बिंदु पर हम दूरी की तलाश कर रहे हैं।

दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी

M1 - पहली पंक्ति से संबंधित बिंदु

M2 दूसरी पंक्ति से संबंधित एक बिंदु है

दूसरे क्रम के वक्र और सतह

एक दीर्घवृत्त एक समतल में बिंदुओं का एक समूह होता है, जिसमें से दो दिए गए बिंदुओं (foci) की दूरी का योग एक स्थिर मान होता है।

एक दीर्घवृत्त का विहित समीकरण

आइए इसे इसके साथ बदलें

से भाग

अंडाकार गुण

निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन

समरूपता के बारे में

1. मूल

एक दीर्घवृत्त एक समतल के सीमित भाग में स्थित वक्र है

एक वृत्त को खींचकर या निचोड़कर एक दीर्घवृत्त प्राप्त किया जा सकता है

एक दीर्घवृत्त का पैरामीट्रिक समीकरण:

- निर्देशक

अतिशयोक्ति

एक हाइपरबोला एक विमान में बिंदुओं का एक समूह है जिसके लिए 2 दिए गए बिंदुओं (foci) की दूरी के अंतर का मापांक एक स्थिर मान (2a) है

हम सब कुछ वैसा ही करते हैं जैसा कि दीर्घवृत्त के साथ होता है, हमें मिलता है

के साथ बदलें

से भाग

अतिपरवलय के गुण

;

- निर्देशक

अनंतस्पर्शी

एक स्पर्शोन्मुख एक सीधी रेखा है जिसमें वक्र अनिश्चित काल तक पहुंचता है, अनंत तक घट जाता है।

परवलय

पैराबोट गुण

दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय के बीच संबंध।

इन वक्रों के बीच संबंध की बीजगणितीय व्याख्या है: वे सभी दूसरी डिग्री के समीकरणों द्वारा दिए गए हैं। किसी भी समन्वय प्रणाली में, इन वक्रों के समीकरणों का रूप होता है: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, जहां a, b, c, d, e, f संख्याएं हैं

आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को बदलना

समन्वय प्रणाली का समानांतर अनुवाद

-O' पुराने समन्वय प्रणाली में

- पुराने समन्वय प्रणाली में बिंदु के निर्देशांक

- नई समन्वय प्रणाली में बिंदु के निर्देशांक

नई समन्वय प्रणाली में बिंदु निर्देशांक।

कार्टेशियन कोऑर्डिनेट सिस्टम में घुमाएं

- नई समन्वय प्रणाली

पुराने आधार से नए में संक्रमण मैट्रिक्स

- (पहले कॉलम के तहत मैं’ , दूसरे के तहत जे’ ) आधार से संक्रमण मैट्रिक्स मैं,जेआधार करने के लिए मैं’ ,जे’

सामान्य मामला

1 विकल्प

1. समन्वय प्रणाली रोटेशन

विकल्प 2

1. समन्वय प्रणाली रोटेशन

   मूल का समानांतर अनुवाद

द्वितीय कोटि की रेखाओं का सामान्य समीकरण और विहित रूप में इसकी कमी

दूसरे क्रम के वक्र समीकरणों का सामान्य रूप है

दूसरे क्रम के वक्रों का वर्गीकरण

दीर्घवृत्ताभ

एक दीर्घवृत्त के क्रॉस सेक्शन

- दीर्घवृत्त

- दीर्घवृत्त

क्रांति के दीर्घवृत्त

क्रांति के दीर्घवृत्त या तो चपटे होते हैं या गोलाकार गोलाकार होते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि हम चारों ओर क्या घूम रहे हैं।

वन-बैंड हाइपरबोलॉइड

एक-पट्टी अतिपरवलयज के अनुभाग

- वास्तविक अक्ष के साथ अतिपरवलय oy

एक वास्तविक x-अक्ष वाला अतिपरवलय है

यह किसी भी h के लिए एक दीर्घवृत्त बन जाता है। तो यह जाता है।

क्रांति के सिंगल-स्ट्रिप हाइपरबोलॉइड

एक अतिपरवलय को उसकी काल्पनिक धुरी के चारों ओर घुमाकर क्रांति का एक-शीट वाला अतिपरवलयज प्राप्त किया जा सकता है।

दो शीट वाले हाइपरबोलॉइड

दो-शीट वाले हाइपरबोलॉइड के अनुभाग

- कार्रवाई के साथ अतिशयोक्ति। एक्सिसोज़

वास्तविक अक्ष oz . के साथ एक अतिपरवलय है

शंकु

- प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं की एक जोड़ी

- प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं की एक जोड़ी

अण्डाकार परवलयिक

- परवलय

- परवलय

रोटेशन

यदि , तो अण्डाकार परवलयिक परिक्रमण की एक सतह है जो समरूपता की अपनी धुरी के बारे में परवलय के घूमने से बनती है।

हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड

परवलय

- परवलय

h>0 अतिपरवलय x के समानांतर वास्तविक अक्ष के साथ

एच<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

बेलन के नीचे हमारा तात्पर्य उस सतह से है जो अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के चलने पर प्राप्त होगी, जो अपनी दिशा नहीं बदलती, यदि सीधी रेखा oz के सापेक्ष चलती है, तो बेलन का समीकरण समतल द्वारा एक खंड का समीकरण होता है ज़ोय

अण्डाकार सिलेंडर

अतिशयोक्तिपूर्ण सिलेंडर

परवलयिक सिलेंडर

दूसरे क्रम की सतहों के रेक्टिलिनियर जनरेटर

पूरी तरह से सतह पर पड़ी रेखाएं सतह के रेक्टिलिनियर जनरेटर कहलाती हैं।

क्रांति की सतह

भाड़ में जाओ

दिखाना

प्रदर्शित करकेआइए उस नियम को कहते हैं जिसके अनुसार सेट ए का प्रत्येक तत्व सेट बी के एक या अधिक तत्वों से जुड़ा होता है। यदि प्रत्येक को समुच्चय B का एक ही अवयव सौंपा जाता है, तो मानचित्रण कहलाता है स्पष्ट, अन्यथा अस्पष्ट.

परिवर्तनसेट को स्वयं पर सेट की एक-से-एक मैपिंग कहा जाता है

इंजेक्शन

बी सेट करने के लिए सेट ए का इंजेक्शन या वन-टू-वन मैपिंग

(एक के विभिन्न तत्व बी के विभिन्न तत्वों के अनुरूप हैं) उदाहरण के लिए y=x^2

प्रक्षेपण

समुच्चय A का समुच्चय B पर प्रक्षेपण या मानचित्रण

प्रत्येक B के लिए, कम से कम एक A होता है (उदाहरण के लिए, एक ज्या)

समुच्चय B का प्रत्येक अवयव समुच्चय A के केवल एक अवयव से मेल खाता है (उदाहरण के लिए, y=x)

इस लेख में, हम समतल के सामान्य समीकरण पर विचार करेंगे। आइए हम अक्षों से समतल के अभिलंब सदिश के झुकाव कोण के अनुसार समतल के अभिलंब समीकरण की रचना के उदाहरण दें। ऑक्स, ओए, ओज़ूऔर दूरी से आरमूल से विमान तक। आइए हम एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को सामान्य रूप में कम करने के लिए एक विधि प्रस्तुत करते हैं। संख्यात्मक उदाहरणों पर विचार करें।

बता दें कि अंतरिक्ष में एक कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली दी गई है। फिर समतल का सामान्य समीकरण Ω निम्नलिखित सूत्र द्वारा दर्शाया गया है:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0,

(1)

कहाँ पे आर- मूल स्थान से विमान की दूरी Ω , एक α,β,γ इकाई वेक्टर के बीच के कोण हैं एन, विमान के लिए ओर्थोगोनल Ω और समन्वय अक्ष ऑक्स, ओए, ओज़ू, क्रमशः (चित्र। 1)। (यदि एक आर> 0, फिर वेक्टर एनविमान की ओर निर्देशित Ω , यदि विमान मूल बिन्दु से होकर गुजरता है, तो सदिश की दिशा एनमनमाने ढंग से चुना गया)।

हम सूत्र (1) प्राप्त करते हैं। मान लीजिए कि एक कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली और एक विमान अंतरिक्ष में दिया गया है Ω (चित्र एक)। मूल के माध्यम से एक रेखा खींचना क्यू, विमान के लंबवत Ω , और प्रतिच्छेदन बिंदु द्वारा दर्शाया जाएगा आर. इस लाइन पर, हम यूनिट वेक्टर का चयन करते हैं एन, वेक्टर के साथ मेल खाने वाली दिशा के साथ। (यदि डॉट्स हेतथा आरमैच, फिर दिशा एनमनमाने ढंग से लिया जा सकता है)।

हम विमान के समीकरण को व्यक्त करते हैं Ω निम्नलिखित मापदंडों के माध्यम से: खंड की लंबाई और झुकाव के कोण α, β, γ वेक्टर के बीच एनऔर कुल्हाड़ियों ऑक्स, ओए, ओज़ू, क्रमश।

वेक्टर के बाद से एनएक इकाई वेक्टर है, तो इसके अनुमानों पर ऑक्स, ओए, ओज़ूनिम्नलिखित निर्देशांक होंगे:

वैक्टर का डॉट उत्पाद एनऔर निम्नलिखित रूप है:

मान लें कि एन ={cosα, cosβ, cosγ}, , हम प्राप्त कर लेंगे:

xcosα+ycosβ+zcosγ−r=0.

(7)

हमने समतल का सामान्य समीकरण प्राप्त किया है Ω . समीकरण (7) (या (1)) को भी कहा जाता है सामान्यीकृत समतल समीकरण. वेक्टर एनबुलाया विमान सामान्य वेक्टर.

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, संख्या आरसमीकरण (1) में मूल से समतल की दूरी को दर्शाता है। इसलिए, समतल का सामान्य समीकरण होने से, मूल से तल की दूरी निर्धारित करना आसान होता है। यह जाँचने के लिए कि क्या समतल का दिया गया समीकरण सामान्य रूप में एक समीकरण है, आपको इस तल के सामान्य सदिश की लंबाई और संख्या के चिह्न की जाँच करनी होगी आर, अर्थात। अगर | एन|=1 और आर>0, तो यह समीकरण समतल का एक सामान्य (सामान्यीकृत) समीकरण है।

उदाहरण 1. निम्नलिखित समतल समीकरण दिया गया है:

आइए वेक्टर की लंबाई निर्धारित करें एन:

चूंकि समीकरणों (1) और (8) को एक ही सीधी रेखा निर्धारित करनी चाहिए ("विमान का सामान्य समीकरण" लेख का प्रस्ताव 2), तो ऐसी संख्या है टी, क्या

व्यंजक को सरल कीजिए और ज्ञात कीजिए टी:

टी 2 ए 2 +टी 2 बी 2 +टी 2 सी 2 =टी 2 (ए 2 +बी 2 +सी 2)=1,

.

(11)

(11) में हर शून्य से भिन्न है, क्योंकि गुणांक में से कम से कम एक ए, बी, सीशून्य के बराबर नहीं है (अन्यथा (8) एक सीधी रेखा के समीकरण का प्रतिनिधित्व नहीं करेगा)।

पता करें क्या संकेत टी. आइए (9) में चौथी समानता पर ध्यान दें। इसलिये आरमूल से तल की दूरी है, तो आर 0. फिर उत्पाद टीडीएक नकारात्मक संकेत होना चाहिए। वे। संकेत टीमें (11) चिन्ह के विपरीत होना चाहिए डी.

के स्थान पर (1) में प्रतिस्थापित करना cosα, cosβ, cosγ और −r(9) से मान, हम प्राप्त करते हैं tAx+tBy+tCz+tD= 0। वे। समतल के सामान्य समीकरण को सामान्य रूप में लाने के लिए, आपको दिए गए समीकरण को गुणनखंड (11) से गुणा करना होगा। कारक (11) कहा जाता है सामान्यीकरण कारक.

उदाहरण 2. समतल का सामान्य समीकरण दिया गया है

इसलिये डी>0, फिर हस्ताक्षर करें टीनकारात्मक:

ध्यान दें कि संख्या मूल बिंदु से सीधी रेखा (12) तक की दूरी है।

अंतरिक्ष में विमान की स्थिति पूरी तरह से निर्धारित की जाएगी यदि हम मूल ओ से इसकी दूरी निर्धारित करते हैं, यानी, लंबवत ओटी की लंबाई, बिंदु ओ से विमान तक गिरा दी जाती है, और इकाई वेक्टर एन डिग्री, विमान के लंबवत और मूल O से समतल की ओर निर्देशित है (चित्र 110)।

जब बिंदु M समतल के अनुदिश गति करता है, तो इसकी त्रिज्या सदिश इस प्रकार बदल जाती है कि यह हमेशा किसी न किसी शर्त से बंधा रहता है। आइए जानते हैं क्या है यह स्थिति। जाहिर है, विमान पर पड़े किसी भी बिंदु के लिए, हमारे पास है:

यह स्थिति केवल समतल में बिंदुओं के लिए है; यदि बिंदु M विमान के बाहर स्थित है तो इसका उल्लंघन होता है। इस प्रकार, समानता (1) एक ऐसी संपत्ति को व्यक्त करती है जो समतल के सभी बिंदुओं और केवल उनके लिए समान है। 7 Ch के अनुसार। 11 हमारे पास है:

और, इसलिए, समीकरण (1) को फिर से लिखा जा सकता है:

समीकरण (डी) उस स्थिति को व्यक्त करता है जिसके तहत बिंदु किसी दिए गए विमान पर स्थित होता है, और इसे इस विमान का सामान्य समीकरण कहा जाता है। विमान के एक मनमाना बिंदु M के त्रिज्या वेक्टर को वर्तमान त्रिज्या वेक्टर कहा जाता है।

समतल का समीकरण (1) सदिश रूप में लिखा जाता है। निर्देशांक की ओर मुड़ते हुए और निर्देशांक की उत्पत्ति को वैक्टर के मूल में रखते हुए - बिंदु O, हम ध्यान दें कि निर्देशांक अक्षों पर इकाई वेक्टर के अनुमान इस वेक्टर के साथ अक्षों द्वारा बनाए गए कोणों के कोसाइन हैं, और बिंदु M . की त्रिज्या सदिश का अनुमान

बिंदु के निर्देशांक हैं, यानी हमारे पास है:

समीकरण (डी) एक समन्वय में जाता है:

समतल के सदिश समीकरण (Г) को निर्देशांक समीकरण (2) में अनुवाद करते समय, हमने सूत्र (15) 9 Ch का उपयोग किया। 11 वेक्टर अनुमानों के संदर्भ में अदिश उत्पाद को व्यक्त करता है। समीकरण (2) उस स्थिति को व्यक्त करता है जिसके तहत बिंदु M(x, y, z) किसी दिए गए तल पर स्थित होता है, और समन्वय रूप में इस विमान का सामान्य समीकरण कहलाता है। परिणामी समीकरण (2) के संबंध में पहली डिग्री का है, अर्थात, किसी भी विमान को वर्तमान निर्देशांक के संबंध में पहली डिग्री के समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है।

ध्यान दें कि व्युत्पन्न समीकरण (1") और (2) तब भी वैध रहते हैं, जब दिया गया विमान मूल बिंदु से होकर गुजरता है। इस मामले में, दो इकाई वैक्टर में से कोई भी विमान के लंबवत और एक से दूसरी दिशा से भिन्न होता है।

टिप्पणी। सदिश विधि का उपयोग किए बिना समतल (2) का सामान्य समीकरण प्राप्त किया जा सकता है।

एक मनमाना विमान लें और इसके लंबवत निर्देशांक की उत्पत्ति के माध्यम से एक सीधी रेखा I खींचें। इस रेखा पर मूल से विमान तक एक सकारात्मक दिशा निर्धारित करें (यदि चुना गया विमान मूल के माध्यम से गुजरता है, तो रेखा पर कोई भी दिशा हो सकती है लिया)।

अंतरिक्ष में इस विमान की स्थिति पूरी तरह से मूल से इसकी दूरी से निर्धारित होती है, यानी, अक्ष खंड एल की लंबाई मूल से विमान के साथ चौराहे के बिंदु तक (चित्र 111 - खंड में) और कोणों के बीच के कोण अक्ष और निर्देशांक अक्ष। जब कोई बिंदु अपने निर्देशांकों के साथ समतल के अनुदिश गति करता है, तो उसके निर्देशांक इस प्रकार बदल जाते हैं कि वे हमेशा किसी न किसी शर्त से बंधे रहते हैं। आइए जानते हैं क्या है यह स्थिति।

आइए अंजीर में निर्माण करें। 111 विमान के एक मनमाना बिंदु M के पॉलीलाइन OPSM का समन्वय करें। आइए इस टूटी हुई रेखा का प्रक्षेपण l-अक्ष पर करें। यह देखते हुए कि टूटी हुई रेखा का प्रक्षेपण इसके समापन खंड (अध्याय I, § 3) के प्रक्षेपण के बराबर है, हमारे पास है।

समतल समीकरण। एक विमान के लिए समीकरण कैसे लिखें?
विमानों की पारस्परिक व्यवस्था। कार्य

स्थानिक ज्यामिति "सपाट" ज्यामिति की तुलना में अधिक जटिल नहीं है, और अंतरिक्ष में हमारी उड़ानें इस लेख से शुरू होती हैं। विषय को समझने के लिए की अच्छी समझ होनी चाहिए वैक्टर, इसके अलावा, विमान की ज्यामिति से परिचित होना वांछनीय है - इसमें कई समानताएं, कई उपमाएं होंगी, इसलिए जानकारी को बेहतर तरीके से पचाया जाएगा। मेरे पाठों की एक श्रृंखला में, 2D दुनिया एक लेख के साथ खुलती है समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण. लेकिन अब बैटमैन ने फ्लैट स्क्रीन टीवी को छोड़ दिया है और बैकोनूर कॉस्मोड्रोम से लॉन्च कर रहा है।

आइए चित्र और प्रतीकों से शुरू करें। योजनाबद्ध रूप से, विमान को एक समांतर चतुर्भुज के रूप में खींचा जा सकता है, जो अंतरिक्ष का आभास देता है:

विमान अनंत है, लेकिन हमारे पास इसके केवल एक टुकड़े को चित्रित करने का अवसर है। व्यवहार में, समांतर चतुर्भुज के अलावा, एक अंडाकार या एक बादल भी खींचा जाता है। तकनीकी कारणों से, मेरे लिए विमान को इस तरह और इस स्थिति में चित्रित करना अधिक सुविधाजनक है। वास्तविक विमानों, जिन पर हम व्यावहारिक उदाहरणों में विचार करेंगे, को किसी भी तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है - मानसिक रूप से ड्राइंग को अपने हाथों में लें और इसे अंतरिक्ष में मोड़ें, विमान को कोई भी ढलान, कोई भी कोण दें।

नोटेशन: यह छोटे ग्रीक अक्षरों में विमानों को नामित करने के लिए प्रथागत है, जाहिरा तौर पर ताकि उन्हें भ्रमित न किया जा सके सीधे विमान परया साथ सीधे अंतरिक्ष में. मुझे पत्र का उपयोग करने की आदत है। ड्राइंग में, यह "सिग्मा" अक्षर है, और छेद बिल्कुल नहीं। हालांकि, एक छेददार विमान, यह निश्चित रूप से बहुत मज़ेदार है।

कुछ मामलों में, विमानों को नामित करने के लिए सबस्क्रिप्ट के साथ समान ग्रीक अक्षरों का उपयोग करना सुविधाजनक होता है, उदाहरण के लिए, .

यह स्पष्ट है कि विमान विशिष्ट रूप से तीन अलग-अलग बिंदुओं से निर्धारित होता है जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं। इसलिए, विमानों के तीन-अक्षर के पदनाम काफी लोकप्रिय हैं - उनसे संबंधित बिंदुओं के अनुसार, उदाहरण के लिए, आदि। अक्सर अक्षर कोष्ठक में संलग्न होते हैं: , ताकि विमान को किसी अन्य ज्यामितीय आकृति के साथ भ्रमित न करें।

अनुभवी पाठकों के लिए, मैं दूंगा शॉर्टकट मेनू:

• एक बिंदु और दो सदिशों का उपयोग करके समतल के लिए समीकरण कैसे लिखें?
• एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर का उपयोग करके एक विमान के लिए समीकरण कैसे लिखें?

और हम लंबी प्रतीक्षा में नहीं थकेंगे:

विमान का सामान्य समीकरण

विमान के सामान्य समीकरण का रूप होता है, जहां गुणांक एक साथ गैर-शून्य होते हैं।

कई सैद्धांतिक गणना और व्यावहारिक समस्याएं सामान्य ऑर्थोनॉर्मल आधार और अंतरिक्ष के एफाइन आधार दोनों के लिए मान्य हैं (यदि तेल तेल है, तो पाठ पर लौटें वैक्टर की रैखिक (गैर) निर्भरता। वेक्टर आधार) सरलता के लिए, हम मान लेंगे कि सभी घटनाएँ एक ऑर्थोनॉर्मल आधार और एक कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में घटित होती हैं।

और अब थोड़ी स्थानिक कल्पना को प्रशिक्षित करते हैं। यह ठीक है अगर आप इसे खराब करते हैं, तो अब हम इसे थोड़ा विकसित करेंगे। यहां तक ​​कि नसों पर खेलने के लिए भी अभ्यास की आवश्यकता होती है।

सबसे सामान्य स्थिति में, जब संख्याएँ शून्य के बराबर नहीं होती हैं, तो समतल तीनों निर्देशांक अक्षों को प्रतिच्छेद करता है। उदाहरण के लिए, इस तरह:

मैं एक बार फिर दोहराता हूं कि विमान सभी दिशाओं में अनिश्चित काल तक चलता है, और हमारे पास इसके केवल एक हिस्से को चित्रित करने का अवसर है।

विमानों के सरलतम समीकरणों पर विचार करें:

इस समीकरण को कैसे समझें? इसके बारे में सोचें: "Z" हमेशा, "X" और "Y" के किसी भी मान के लिए शून्य के बराबर होता है। यह "देशी" समन्वय विमान का समीकरण है। दरअसल, औपचारिक रूप से समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है: , जहां से यह स्पष्ट रूप से दिखाई देता है कि हमें परवाह नहीं है, "x" और "y" क्या मान लेते हैं, यह महत्वपूर्ण है कि "z" शून्य के बराबर हो।

इसी तरह:
निर्देशांक तल का समीकरण है;
निर्देशांक तल का समीकरण है।

आइए समस्या को थोड़ा जटिल करें, एक विमान पर विचार करें (यहां और आगे पैराग्राफ में हम मानते हैं कि संख्यात्मक गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं)। आइए समीकरण को इस रूप में फिर से लिखें: . इसे कैसे समझें? "X" हमेशा होता है, क्योंकि "y" और "z" का कोई भी मान एक निश्चित संख्या के बराबर होता है। यह तल निर्देशांक तल के समांतर है। उदाहरण के लिए, एक तल समतल के समानांतर है और एक बिंदु से होकर गुजरता है।

इसी तरह:
- समतल का समीकरण, जो निर्देशांक तल के समानांतर है;
- एक समतल का समीकरण जो निर्देशांक तल के समानांतर है।

सदस्य जोड़ें: . समीकरण को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है: यानी "Z" कुछ भी हो सकता है। इसका क्या मतलब है? "X" और "Y" एक अनुपात से जुड़े हुए हैं जो समतल में एक निश्चित सीधी रेखा खींचता है (आप पहचानेंगे समतल में एक सीधी रेखा का समीकरण?) चूंकि Z कुछ भी हो सकता है, यह रेखा किसी भी ऊंचाई पर "प्रतिकृति" है। इस प्रकार, समीकरण निर्देशांक अक्ष के समानांतर एक समतल को परिभाषित करता है

इसी तरह:
- समतल का समीकरण, जो समन्वय अक्ष के समानांतर है;
- समतल का समीकरण, जो निर्देशांक अक्ष के समानांतर है।

यदि मुक्त पद शून्य हैं, तो तल सीधे संबंधित अक्षों से होकर गुजरेंगे। उदाहरण के लिए, क्लासिक "प्रत्यक्ष आनुपातिकता":। समतल में एक सीधी रेखा खींचें और मानसिक रूप से इसे ऊपर और नीचे गुणा करें (चूंकि "z" कोई है)। निष्कर्ष: समीकरण द्वारा दिया गया तल निर्देशांक अक्ष से होकर गुजरता है।

हम समीक्षा समाप्त करते हैं: विमान का समीकरण मूल से होकर गुजरता है। खैर, यहाँ यह बिल्कुल स्पष्ट है कि बिंदु दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है।

और, अंत में, चित्र में दिखाया गया मामला: - विमान सभी समन्वय अक्षों के साथ मित्र है, जबकि यह हमेशा एक त्रिभुज को "काट" देता है जो आठ अष्टक में से किसी में स्थित हो सकता है।

अंतरिक्ष में रैखिक असमानताएं

जानकारी को समझने के लिए अच्छी तरह से अध्ययन करना आवश्यक है समतल में रैखिक असमानताएँक्योंकि बहुत सी चीजें समान होंगी। पैराग्राफ कुछ उदाहरणों के साथ एक संक्षिप्त अवलोकन का होगा, क्योंकि सामग्री व्यवहार में काफी दुर्लभ है।

यदि समीकरण एक समतल को परिभाषित करता है, तो असमानताएँ
पूछना आधा स्थान. यदि असमानता सख्त नहीं है (सूची में अंतिम दो), तो असमानता का समाधान, अर्ध-अंतरिक्ष के अलावा, विमान ही शामिल है।

उदाहरण 5

समतल का इकाई सामान्य सदिश ज्ञात कीजिए .

समाधान: एक इकाई सदिश एक सदिश होता है जिसकी लंबाई एक होती है। आइए इस वेक्टर को द्वारा निरूपित करें। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि वेक्टर संरेख हैं:

सबसे पहले, हम सामान्य वेक्टर को समतल के समीकरण से हटाते हैं: ।

यूनिट वेक्टर कैसे खोजें? यूनिट वेक्टर को खोजने के लिए, आपको चाहिए हर एकवेक्टर निर्देशांक वेक्टर लंबाई से विभाजित है.

आइए सामान्य वेक्टर को फॉर्म में फिर से लिखें और इसकी लंबाई पाएं:

उपरोक्त के अनुसार:

उत्तर:

चेक: , जिसे चेक करना जरूरी था।

जिन पाठकों ने पाठ के अंतिम पैराग्राफ का ध्यानपूर्वक अध्ययन किया है, उन्होंने शायद ध्यान दिया है कि यूनिट वेक्टर के निर्देशांक बिल्कुल वेक्टर की दिशा कोसाइन होते हैं:

आइए असंतुष्ट समस्या से हटें: जब आपको एक मनमाना गैर-शून्य वेक्टर दिया जाता है, और शर्त से इसकी दिशा कोसाइन खोजने की आवश्यकता होती है (पाठ के अंतिम कार्यों को देखें वैक्टर का डॉट उत्पाद), तो आप, वास्तव में, दिए गए एक के समान एक इकाई सदिश संरेख भी ज्ञात करते हैं। वास्तव में, एक बोतल में दो कार्य।

गणितीय विश्लेषण की कुछ समस्याओं में एक इकाई सामान्य सदिश खोजने की आवश्यकता उत्पन्न होती है।

हमने सामान्य वेक्टर की मछली पकड़ने का पता लगाया, अब हम विपरीत प्रश्न का उत्तर देंगे:

एक बिंदु और एक सामान्य वेक्टर का उपयोग करके एक विमान के लिए समीकरण कैसे लिखें?

एक सामान्य वेक्टर और एक बिंदु के इस कठोर निर्माण को डार्ट्स लक्ष्य द्वारा अच्छी तरह से जाना जाता है। कृपया अपना हाथ आगे बढ़ाएं और मानसिक रूप से अंतरिक्ष में एक मनमाना बिंदु चुनें, उदाहरण के लिए, एक साइडबोर्ड में एक छोटी बिल्ली। जाहिर है, इस बिंदु के माध्यम से, आप अपने हाथ पर लंबवत एक विमान खींच सकते हैं।

सदिश के लंबवत बिंदु से गुजरने वाले समतल का समीकरण सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है: