एमबीओयू "सिदोर्सकाया"
समावेशी स्कूल"
एक खुले पाठ के लिए एक रूपरेखा योजना का विकास
इस विषय पर कक्षा 11 में बीजगणित में:
तैयार और संचालित
गणित शिक्षक
इशाकोवा ई.एफ.
कक्षा 11 में बीजगणित में एक खुले पाठ की रूपरेखा।
विषय : "एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री"।
पाठ प्रकार : नई सामग्री सीखना
पाठ मकसद:
पहले से अध्ययन की गई सामग्री (एक पूर्णांक संकेतक के साथ एक डिग्री) के आधार पर एक तर्कसंगत संकेतक और उसके मुख्य गुणों के साथ एक डिग्री की अवधारणा के साथ छात्रों को परिचित करने के लिए।
कम्प्यूटेशनल कौशल और तर्कसंगत घातांक के साथ संख्याओं को बदलने और तुलना करने की क्षमता विकसित करना।
छात्रों में गणितीय साक्षरता और गणितीय रुचि पैदा करना।
उपकरण : टास्क कार्ड, एक पूर्णांक संकेतक के साथ एक डिग्री पर एक छात्र की प्रस्तुति, एक तर्कसंगत संकेतक के साथ एक डिग्री पर एक शिक्षक की प्रस्तुति, एक लैपटॉप, एक मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर, एक स्क्रीन।
कक्षाओं के दौरान:
आयोजन का समय।
अलग-अलग टास्क कार्ड द्वारा कवर किए गए विषय को आत्मसात करने की जाँच करना।
टास्क नंबर 1.
=2;
बी) = एक्स + 5;
अपरिमेय समीकरणों की प्रणाली को हल करें: - 3 = -10,
4 - 5 =6.
टास्क नंबर 2.
अपरिमेय समीकरण को हल करें: = - 3;
बी) = एक्स - 2;
अपरिमेय समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें: 2 + = 8,
3 - 2 = - 2.
पाठ के विषय और उद्देश्यों की प्रस्तुति।
हमारे आज के पाठ का विषय तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री».
पहले अध्ययन किए गए उदाहरण पर नई सामग्री की व्याख्या।
आप पूर्णांक घातांक के साथ घात की अवधारणा से पहले ही परिचित हैं। उन्हें याद रखने में मेरी मदद कौन कर सकता है?
प्रस्तुति के साथ दोहराव पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री».
किसी भी संख्या के लिए a , b और कोई भी पूर्णांक m और n समानताएँ सत्य हैं:
ए एम * ए एन = ए एम + एन;
ए एम: ए एन = ए एम-एन (ए 0);
(एम) एन = एक एमएन;
(ए बी) एन = ए एन * बी एन;
(ए / बी) एन = ए एन / बी एन (बी ≠ 0);
ए 1 = ए; ए 0 = 1 (ए 0)
आज हम किसी संख्या की घात की अवधारणा का सामान्यीकरण करेंगे और एक भिन्नात्मक घातांक वाले व्यंजकों को अर्थ देंगे। आइए परिचय परिभाषाएक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री (प्रस्तुति "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री"):
ए की डिग्री > 0 एक परिमेय घातांक के साथ आर = , कहाँ पे एम एक पूर्णांक है, और एन - प्राकृतिक ( एन > 1), नंबर कहा जाता है एम .
तो, परिभाषा के अनुसार, हम पाते हैं कि = एम .
आइए कार्य करते समय इस परिभाषा को लागू करने का प्रयास करें।
उदाहरण 1
मैं एक संख्या के मूल के रूप में व्यंजक व्यक्त करता हूं:
लेकिन) बी) पर) .
आइए अब इस परिभाषा को उल्टा लागू करने का प्रयास करते हैं
II अभिव्यक्ति को एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक शक्ति के रूप में व्यक्त करें:
लेकिन) 2 बी) पर) 5 .
0 की शक्ति को केवल सकारात्मक घातांक के लिए परिभाषित किया गया है।
0 आर= 0 किसी के लिए आर> 0.
इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, मकानोंआप #428 और #429 पूरा करेंगे।
आइए अब हम दिखाते हैं कि एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री की उपरोक्त परिभाषा डिग्री के मूल गुणों को बरकरार रखती है जो किसी भी घातांक के लिए सही हैं।
किसी भी परिमेय संख्या r और s और किसी भी सकारात्मक a और b के लिए, समानताएँ सत्य हैं:
1 0 . ए आर ए एस =ए आर+एस ;
उदाहरण: *
20. ए आर: ए एस = ए आर-एस;
उदाहरण: :
3 0 . (ए आर) एस = एक रुपये;
उदाहरण: ( -2/3
4 0 . ( अब) आर = ए आर बी आर ; 5 0 . ( = .
उदाहरण: (25 4) 1/2 ; ( ) 1/2
एक साथ कई संपत्तियों के उपयोग पर उदाहरण: * : .
फ़िज़्कुल्टमिनुत्का।
हम डेस्क पर पेन लगाते हैं, पीठ सीधी करते हैं, और अब हम आगे बढ़ रहे हैं, हम बोर्ड को छूना चाहते हैं। और अब हम उठे और दाहिनी ओर झुके, बाएँ, आगे, पीछे। उन्होंने मुझे पेन दिखाए, और अब मुझे दिखाओ कि तुम्हारी उंगलियां कैसे नाच सकती हैं।
सामग्री पर काम करें
हम परिमेय घातांक वाली घातों के दो और गुण नोट करते हैं:
60. रहने दो r एक परिमेय संख्या है और 0< a < b . Тогда
ए आर < b आरपर आर> 0,
ए आर < b आरपर आर< 0.
7 0 . किसी भी परिमेय संख्या के लिएआरऔर एसअसमानता से आर> एसउसका अनुसरण करता है
ए आर> एक आरएक > 1 के लिए
ए आर < а आर 0 . पर< а < 1.
उदाहरण: संख्याओं की तुलना करें:
और ; 2 300 और 3 200 .
पाठ सारांश:
आज पाठ में हमने एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के गुणों को याद किया, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री की परिभाषा और बुनियादी गुणों को सीखा, अभ्यास करते समय इस सैद्धांतिक सामग्री के व्यवहार पर विचार किया। मैं इस तथ्य पर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं कि परीक्षा के कार्यों में "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" विषय अनिवार्य है। होमवर्क तैयार करते समयनंबर 428 और नंबर 429
संख्या a के पूर्णांक घातांक से, एक परिमेय घातांक के लिए संक्रमण स्वयं का सुझाव देता है। नीचे हम एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री को परिभाषित करते हैं, और हम इसे इस तरह से करेंगे कि एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के सभी गुण संरक्षित हैं। यह आवश्यक है क्योंकि पूर्णांक परिमेय संख्याओं का भाग होते हैं।
यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं, और प्रत्येक भिन्नात्मक संख्या को धनात्मक या ऋणात्मक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री को परिभाषित किया है, इसलिए, एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा को पूरा करने के लिए, हमें संख्या की डिग्री का अर्थ देना होगा एएक अंश के साथ मी/एन, कहाँ पे एमएक पूर्णांक है, और एन- प्राकृतिक। हो जाए।
फॉर्म के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री पर विचार करें। डिग्री की संपत्ति को एक डिग्री में वैध रहने के लिए, समानता को धारण करना चाहिए . यदि हम परिणामी समानता को ध्यान में रखते हैं और हमने nth डिग्री की जड़ कैसे निर्धारित की है, तो यह स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि डेटा के साथ एम, एनऔर एअभिव्यक्ति समझ में आती है।
यह जांचना आसान है कि एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण इस रूप में मान्य हैं (यह एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर अनुभाग में किया जाता है)।
उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित बनाने की अनुमति देता है निष्कर्ष: यदि दिया गया हो एम, एनऔर एअभिव्यक्ति समझ में आती है, तो संख्या की शक्ति एएक अंश के साथ मी/एनजड़ कहा जाता है एनकी डिग्री एसीमा तक एम.
यह कथन हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के करीब लाता है। यह केवल किसके तहत वर्णन करने के लिए बनी हुई है एम, एनऔर एअभिव्यक्ति समझ में आती है। पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर एम, एनऔर एदो मुख्य दृष्टिकोण हैं।
1. सबसे आसान तरीका यह है कि पर प्रतिबंध लगाया जाए ए, स्वीकार करना ए≥0सकारात्मक के लिए एमऔर ए>0नकारात्मक के लिए एम(क्योंकि अत एम≤0डिग्री 0 एमअनिर्दिष्ट)। तब हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ घात की निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।
परिभाषा।
एक सकारात्मक संख्या की डिग्री एएक अंश के साथ मी/एन , कहाँ पे एमएक संपूर्ण है, और एनएक प्राकृतिक संख्या है, जिसे रूट कहा जाता है एन-वें बीच से एसीमा तक एम, अर्थात, ।
शून्य की भिन्नात्मक डिग्री को भी एकमात्र चेतावनी के साथ परिभाषित किया गया है कि घातांक सकारात्मक होना चाहिए।
परिभाषा।
भिन्नात्मक धनात्मक घातांक के साथ शून्य की घात मी/एन
, कहाँ पे एमएक धनात्मक पूर्णांक है, और एनएक प्राकृतिक संख्या है, जिसे के रूप में परिभाषित किया गया है .
जब डिग्री को परिभाषित नहीं किया जाता है, अर्थात भिन्नात्मक ऋणात्मक घातांक के साथ संख्या शून्य की डिग्री का कोई मतलब नहीं होता है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा के साथ, एक अति सूक्ष्म अंतर है: कुछ नकारात्मक के लिए एऔर कुछ एमऔर एनअभिव्यक्ति समझ में आती है, और हमने शर्त पेश करके इन मामलों को त्याग दिया ए≥0. उदाहरण के लिए, लिखना समझ में आता है या, और उपरोक्त परिभाषा हमें यह कहने के लिए मजबूर करती है कि डिग्री के रूप के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ
अर्थहीन हैं, क्योंकि आधार ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।
2. भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री निर्धारित करने का एक अन्य तरीका मी/एनजड़ के सम और विषम घातांकों के अलग-अलग विचार शामिल हैं। इस दृष्टिकोण के लिए एक अतिरिक्त शर्त की आवश्यकता होती है: एक संख्या की शक्ति ए, जिसका सूचक एक कम साधारण अंश है, को एक संख्या की शक्ति माना जाता है ए, जिसका संकेतक संगत इरेड्यूसेबल अंश है (इस स्थिति का महत्व नीचे समझाया जाएगा)। यानी अगर मी/एनएक अपरिवर्तनीय अंश है, तो किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए कडिग्री को प्रारंभिक रूप से प्रतिस्थापित किया जाता है।
एक जैसे के लिए एनऔर सकारात्मक एमअभिव्यक्ति किसी भी गैर-नकारात्मक के लिए समझ में आता है ए(ऋणात्मक संख्या के सम अंश की जड़ का कोई अर्थ नहीं है), ऋणात्मक के साथ एमसंख्या एअभी भी शून्य से भिन्न होना चाहिए (अन्यथा यह शून्य से भाग होगा)। और विषम के लिए एनऔर सकारात्मक एमसंख्या एकुछ भी हो सकता है (किसी भी वास्तविक संख्या के लिए एक विषम डिग्री की जड़ परिभाषित की जाती है), और ऋणात्मक के लिए एमसंख्या एशून्य से भिन्न होना चाहिए (ताकि शून्य से कोई विभाजन न हो)।
उपरोक्त तर्क हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा की ओर ले जाता है।
परिभाषा।
रहने दो मी/एन- अपूरणीय अंश एमएक संपूर्ण है, और एन- प्राकृतिक संख्या। किसी भी कम करने योग्य साधारण अंश के लिए, डिग्री को द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। की डिग्री एअपरिवर्तनीय भिन्नात्मक घातांक के साथ मी/एन- इसके लिए है
ओ कोई वास्तविक संख्या ए, एक पूर्णांक सकारात्मक एमऔर अजीब प्राकृतिक एन, उदाहरण के लिए, ;
o कोई शून्येतर वास्तविक संख्या ए, एक पूर्णांक ऋणात्मक एमऔर अजीब एन, उदाहरण के लिए, ;
o कोई गैर-ऋणात्मक संख्या ए, एक पूर्णांक सकारात्मक एमऔर भी एन, उदाहरण के लिए, ;
ओ कोई सकारात्मक ए, एक पूर्णांक ऋणात्मक एमऔर भी एन, उदाहरण के लिए, ;
ओ अन्य मामलों में, भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री परिभाषित नहीं है, उदाहरण के लिए, डिग्री परिभाषित नहीं हैं .a प्रविष्टियाँ हम कोई अर्थ नहीं देते हैं, हम सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के लिए शून्य की डिग्री परिभाषित करते हैं मी/एनजैसा
, ऋणात्मक भिन्नात्मक घातांक के लिए, संख्या शून्य की घात परिभाषित नहीं है।
इस अनुच्छेद के अंत में, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि भिन्नात्मक घातांक को दशमलव भिन्न या मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, . इस तरह के भावों के मूल्यों की गणना करने के लिए, आपको घातांक को एक साधारण अंश के रूप में लिखना होगा, और फिर भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा का उपयोग करना होगा। इन उदाहरणों के लिए, हमारे पास है
और
इस लेख में, हम समझेंगे कि क्या है की डिग्री. यहां हम एक संख्या की डिग्री की परिभाषा देंगे, जबकि विस्तार से डिग्री के सभी संभावित घातांक पर विचार करते हुए, एक प्राकृतिक घातांक से शुरू होकर एक अपरिमेय पर समाप्त होता है। सामग्री में आपको उत्पन्न होने वाली सभी सूक्ष्मताओं को कवर करने वाली डिग्री के बहुत सारे उदाहरण मिलेंगे।
पृष्ठ नेविगेशन।
प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री, एक संख्या का वर्ग, एक संख्या का घन
चलो साथ - साथ शुरू करते हैं । आगे देखते हुए, मान लीजिए कि प्राकृतिक घातांक n के साथ a की डिग्री की परिभाषा a के लिए दी गई है, जिसे हम कहेंगे डिग्री का आधार, और n , जिसे हम कहेंगे प्रतिपादक. हम यह भी नोट करते हैं कि प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री उत्पाद के माध्यम से निर्धारित की जाती है, इसलिए नीचे दी गई सामग्री को समझने के लिए, आपको संख्याओं के गुणन के बारे में एक विचार होना चाहिए।
परिभाषा।
प्राकृतिक घातांक n के साथ संख्या a की शक्ति n रूप का एक व्यंजक है, जिसका मान n कारकों के गुणनफल के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक a के बराबर है, अर्थात्।
विशेष रूप से, घातांक 1 वाली संख्या a की घात संख्या स्वयं ही होती है, अर्थात 1 =a।
तुरंत डिग्री पढ़ने के नियमों का उल्लेख करना उचित है। प्रविष्टि n को पढ़ने का सार्वभौमिक तरीका है: "a to power of n"। कुछ मामलों में, ऐसे विकल्प भी स्वीकार्य हैं: "ए से nth पावर" और "नंबर ए की nth पावर"। उदाहरण के लिए, आइए 8 12 की शक्ति लें, यह "बारह की शक्ति से आठ", या "आठ से बारहवीं शक्ति", या "आठ की बारहवीं शक्ति" है।
किसी संख्या की दूसरी घात के साथ-साथ किसी संख्या की तीसरी घात के अपने-अपने नाम होते हैं। किसी संख्या की दूसरी घात कहलाती है एक संख्या का वर्ग, उदाहरण के लिए, 7 2 को "सात वर्ग" या "सात की संख्या का वर्ग" के रूप में पढ़ा जाता है। किसी संख्या की तीसरी घात कहलाती है घन संख्या, उदाहरण के लिए, 5 3 को "पांच घन" या "संख्या 5 का घन" के रूप में पढ़ा जा सकता है।
यह लाने का समय है भौतिक संकेतकों के साथ डिग्री के उदाहरण. आइए 5 7 की शक्ति से शुरू करें, जहां 5 घात का आधार है और 7 घातांक है। आइए एक और उदाहरण दें: 4.32 आधार है, और प्राकृतिक संख्या 9 घातांक (4.32) 9 है।
कृपया ध्यान दें कि पिछले उदाहरण में, डिग्री 4.32 का आधार कोष्ठक में लिखा गया है: विसंगतियों से बचने के लिए, हम प्राकृतिक संख्याओं से भिन्न डिग्री के सभी आधारों को कोष्ठक में लेंगे। उदाहरण के तौर पर, हम प्राकृतिक संकेतकों के साथ निम्नलिखित डिग्री देते हैं , उनके आधार प्राकृत संख्या नहीं हैं, इसलिए वे कोष्ठकों में लिखे गए हैं। खैर, इस बिंदु पर पूरी स्पष्टता के लिए, हम फॉर्म (−2) 3 और −2 3 के रिकॉर्ड में निहित अंतर दिखाएंगे। व्यंजक (−2) 3 प्राकृतिक घातांक 3 के साथ −2 की घात है, और व्यंजक −2 3 (इसे −(2 3) के रूप में लिखा जा सकता है) संख्या से मेल खाती है, घात 2 3 का मान।
ध्यान दें कि a^n फॉर्म के एक्सपोनेंट n के साथ a की डिग्री के लिए एक नोटेशन है। इसके अतिरिक्त, यदि n एक बहुमान प्राकृत संख्या है, तो घातांक को कोष्ठकों में लिया जाता है। उदाहरण के लिए, 4^9, 4 9 की घात के लिए एक और संकेतन है। और यहां "^" प्रतीक का उपयोग करके डिग्री लिखने के और उदाहरण दिए गए हैं: 14^(21) , (−2,1)^(155) । निम्नलिखित में, हम मुख्य रूप से फॉर्म की डिग्री के अंकन का उपयोग करेंगे a n ।
समस्याओं में से एक, एक प्राकृतिक घातांक के साथ घातांक का उल्टा, डिग्री के एक ज्ञात मूल्य और एक ज्ञात घातांक से डिग्री का आधार खोजने की समस्या है। इस कार्य की ओर ले जाता है।
यह ज्ञात है कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांक और भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं, और प्रत्येक भिन्नात्मक संख्या को धनात्मक या ऋणात्मक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। हमने पिछले पैराग्राफ में एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री को परिभाषित किया है, इसलिए, एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की परिभाषा को पूरा करने के लिए, हमें एक भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ संख्या की डिग्री का अर्थ देना होगा, जहाँ m एक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है। हो जाए।
फॉर्म के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री पर विचार करें। डिग्री की संपत्ति को एक डिग्री में वैध रहने के लिए, समानता को धारण करना चाहिए . यदि हम परिणामी समानता और हमारे द्वारा परिभाषित तरीके को ध्यान में रखते हैं, तो यह स्वीकार करना तर्कसंगत है, बशर्ते कि दिए गए m, n और a के लिए, व्यंजक समझ में आता है।
यह जांचना आसान है कि एक पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री के सभी गुण इस रूप में मान्य हैं (यह एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर अनुभाग में किया जाता है)।
उपरोक्त तर्क हमें निम्नलिखित बनाने की अनुमति देता है निष्कर्ष: यदि दिए गए m, n और a के लिए व्यंजक समझ में आता है, तो भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ संख्या a की घात घात m के लिए a की nवीं डिग्री का मूल है।
यह कथन हमें भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री की परिभाषा के करीब लाता है। यह केवल वर्णन करने के लिए रहता है जिसके लिए m, n और a व्यंजक समझ में आता है। m , n और a पर लगाए गए प्रतिबंधों के आधार पर, दो मुख्य दृष्टिकोण हैं।
a को विवश करने का सबसे आसान तरीका है a≥0 को धनात्मक m के लिए और a>0 को ऋणात्मक m के लिए (क्योंकि m≤0 में 0 m की कोई शक्ति नहीं है)। तब हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ घात की निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।
परिभाषा।
भिन्नात्मक घातांक m/n . के साथ एक धनात्मक संख्या a की घात, जहाँ m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृत संख्या है, संख्या a के nवें से m के घात का मूल कहलाता है, अर्थात् ।
शून्य की भिन्नात्मक डिग्री को भी एकमात्र चेतावनी के साथ परिभाषित किया गया है कि घातांक सकारात्मक होना चाहिए।
परिभाषा।
भिन्नात्मक धनात्मक घातांक m/n . के साथ शून्य की घात, जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है और n एक प्राकृत संख्या है, को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है .
जब डिग्री को परिभाषित नहीं किया जाता है, अर्थात भिन्नात्मक ऋणात्मक घातांक के साथ संख्या शून्य की डिग्री का कोई मतलब नहीं होता है।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा के साथ, एक बारीकियां है: कुछ नकारात्मक a और कुछ m और n के लिए, अभिव्यक्ति समझ में आती है, और हमने a≥0 शर्त पेश करके इन मामलों को त्याग दिया। उदाहरण के लिए, लिखना समझ में आता है या, और उपरोक्त परिभाषा हमें यह कहने के लिए मजबूर करती है कि डिग्री के रूप के एक भिन्नात्मक घातांक के साथ
अर्थहीन हैं, क्योंकि आधार ऋणात्मक नहीं होना चाहिए।
भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ डिग्री निर्धारित करने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण मूल के सम और विषम घातांक पर अलग से विचार करना है। इस दृष्टिकोण के लिए एक अतिरिक्त शर्त की आवश्यकता होती है: संख्या ए की डिग्री, जिसका घातांक है, को संख्या ए की डिग्री माना जाता है, जिसका घातांक संबंधित इरेड्यूसेबल अंश है (इस स्थिति का महत्व नीचे समझाया जाएगा)। अर्थात्, यदि m/n एक अपरिमेय भिन्न है, तो किसी भी प्राकृत संख्या k के लिए घात को पहले .
सम n और धनात्मक m के लिए, व्यंजक किसी भी गैर-ऋणात्मक a (ऋणात्मक संख्या से सम अंश की जड़ का कोई अर्थ नहीं है) के लिए समझ में आता है, ऋणात्मक m के लिए, संख्या a अभी भी शून्य से भिन्न होनी चाहिए (अन्यथा वहाँ शून्य से विभाजन होगा)। और विषम n और धनात्मक m के लिए, संख्या a कुछ भी हो सकती है (किसी भी वास्तविक संख्या के लिए विषम घात का मूल परिभाषित होता है), और ऋणात्मक m के लिए, संख्या a शून्य से भिन्न होनी चाहिए (ताकि कोई विभाजन न हो शून्य)।
उपरोक्त तर्क हमें भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री की ऐसी परिभाषा की ओर ले जाता है।
परिभाषा।
मान लें कि m/n एक अपरिमेय भिन्न है, m एक पूर्णांक है, और n एक प्राकृत संख्या है। किसी भी कम करने योग्य साधारण अंश के लिए, डिग्री को द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। एक अपरिवर्तनीय भिन्नात्मक घातांक m / n के साथ की शक्ति के लिए है
![](https://i2.wp.com/cleverstudents.ru/powers/images/powers/023.png)
आइए हम बताते हैं कि क्यों एक कम करने योग्य भिन्नात्मक घातांक के साथ एक डिग्री को पहले एक अपरिवर्तनीय घातांक के साथ एक डिग्री से बदल दिया जाता है। यदि हम केवल डिग्री को इस रूप में परिभाषित करते हैं, और अंश m / n की अप्रासंगिकता के बारे में आरक्षण नहीं करते हैं, तो हम निम्नलिखित जैसी स्थितियों का सामना करेंगे: 6/10 = 3/5 के बाद से, समानता , लेकिन
, ए ।
वीडियो पाठ "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" में इस विषय पर पाठ पढ़ाने के लिए दृश्य शैक्षिक सामग्री शामिल है। वीडियो ट्यूटोरियल में एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की अवधारणा, ऐसी डिग्री के गुणों के साथ-साथ व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए शैक्षिक सामग्री के उपयोग का वर्णन करने वाले उदाहरण शामिल हैं। इस वीडियो पाठ का कार्य शैक्षिक सामग्री को नेत्रहीन और स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना है, छात्रों द्वारा इसके विकास और याद रखने की सुविधा के लिए, सीखी गई अवधारणाओं का उपयोग करके समस्याओं को हल करने की क्षमता बनाना है।
वीडियो पाठ के मुख्य लाभ दृश्य परिवर्तन और गणना करने की क्षमता, सीखने की दक्षता में सुधार के लिए एनीमेशन प्रभावों का उपयोग करने की क्षमता है। आवाज की संगत सही गणितीय भाषण विकसित करने में मदद करती है, और शिक्षक के स्पष्टीकरण को बदलना भी संभव बनाती है, उसे व्यक्तिगत कार्य के लिए मुक्त करती है।
वीडियो ट्यूटोरियल विषय का परिचय देकर शुरू होता है। एक नए विषय के अध्ययन को पहले से अध्ययन की गई सामग्री के साथ जोड़ने पर, यह याद करने का सुझाव दिया जाता है कि n a को प्राकृतिक n और सकारात्मक a के लिए अन्यथा 1/n द्वारा दर्शाया जाता है। एन-रूट का यह प्रतिनिधित्व स्क्रीन पर प्रदर्शित होता है। इसके अलावा, यह विचार करने का प्रस्ताव है कि अभिव्यक्ति a m / n का क्या अर्थ है, जिसमें a एक सकारात्मक संख्या है, और m / n कुछ अंश है। बॉक्स में हाइलाइट की गई डिग्री की परिभाषा एक परिमेय घातांक के साथ m/n = n a m के रूप में दी गई है। यह ध्यान दिया जाता है कि n एक प्राकृतिक संख्या हो सकती है, और m - एक पूर्णांक।
एक परिमेय घातांक के साथ डिग्री का निर्धारण करने के बाद, इसका अर्थ उदाहरणों से पता चलता है: (5/100) 3/7 = 7 (5/100) 3 । एक उदाहरण भी दिखाया गया है जिसमें एक दशमलव द्वारा दर्शाई गई शक्ति को एक सामान्य अंश में परिवर्तित किया जाता है जिसे मूल के रूप में दर्शाया जाता है: (1/7) 1.7 =(1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 और ऋणात्मक घातांक वाला एक उदाहरण: 3 -1/8 = 8 √3 -1 ।
डिग्री का आधार शून्य होने पर अलग से, किसी विशेष मामले की एक विशेषता का संकेत दिया जाता है। यह ध्यान दिया जाता है कि यह डिग्री केवल सकारात्मक भिन्नात्मक घातांक के साथ ही समझ में आता है। इस मामले में, इसका मान शून्य के बराबर है: 0 m/n = 0।
परिमेय घातांक के साथ डिग्री की एक और विशेषता नोट की जाती है - कि भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री को भिन्नात्मक घातांक के साथ नहीं माना जा सकता है। डिग्री के गलत अंकन के उदाहरण दिए गए हैं: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5।
आगे वीडियो पाठ में, एक परिमेय घातांक के साथ डिग्री के गुणों पर विचार किया जाता है। यह नोट किया जाता है कि एक पूर्णांक घातांक के साथ एक डिग्री के गुण एक तर्कसंगत घातांक वाली डिग्री के लिए भी मान्य होंगे। उन संपत्तियों की सूची को वापस बुलाने का प्रस्ताव है जो इस मामले में भी मान्य हैं:
- समान आधारों के साथ शक्तियों को गुणा करते समय, उनके संकेतक जोड़े जाते हैं: a p a q \u003d a p + q।
- समान आधारों के साथ अंशों का विभाजन किसी दिए गए आधार और घातांक में अंतर के साथ एक डिग्री तक कम हो जाता है: a p:a q =a p-q ।
- यदि हम घात को एक निश्चित घात तक बढ़ाते हैं, तो परिणामस्वरूप हमें दिए गए आधार और घातांक के गुणनफल के साथ घात प्राप्त होती है: (a p) q =a pq ।
ये सभी गुण तर्कसंगत घातांक p, q और धनात्मक आधार a>0 वाली घातों के लिए मान्य हैं। इसके अलावा, कोष्ठक खोलते समय डिग्री परिवर्तन सही रहता है:
- (एबी) पी = ए पी बी पी - एक तर्कसंगत एक्सपोनेंट के साथ एक निश्चित शक्ति के लिए दो संख्याओं के उत्पाद को बढ़ाने से संख्याओं के उत्पाद में कमी आती है, जिनमें से प्रत्येक को किसी दिए गए शक्ति तक बढ़ाया जाता है।
- (a/b) p =a p /b p - किसी भिन्न के परिमेय घातांक के साथ घातांक को उस भिन्न में घटाया जाता है जिसके अंश और हर को दी गई घात तक बढ़ा दिया जाता है।
वीडियो ट्यूटोरियल उन उदाहरणों के समाधान पर चर्चा करता है जो एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री के माने गए गुणों का उपयोग करते हैं। पहले उदाहरण में, एक व्यंजक का मान ज्ञात करना प्रस्तावित है जिसमें चर x से लेकर भिन्नात्मक घात: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1) शामिल हैं। अभिव्यक्ति की जटिलता के बावजूद, डिग्री के गुणों का उपयोग करके इसे काफी सरलता से हल किया जाता है। कार्य का समाधान अभिव्यक्ति के सरलीकरण के साथ शुरू होता है, जो एक शक्ति के तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री बढ़ाने के नियम का उपयोग करता है, साथ ही समान आधार के साथ शक्तियों को गुणा करता है। दिए गए मान x=8 को सरलीकृत व्यंजक x 1/3 +48 में प्रतिस्थापित करने के बाद, मान - 50 प्राप्त करना आसान है।
दूसरे उदाहरण में, एक ऐसे अंश को कम करना आवश्यक है जिसके अंश और हर में परिमेय घातांक वाली घातें हों। डिग्री के गुणों का उपयोग करते हुए, हम अंतर से कारक x 1/3 का चयन करते हैं, जिसे बाद में अंश और हर में घटाया जाता है, और वर्ग सूत्र के अंतर का उपयोग करके अंश को कारकों में विघटित किया जाता है, जो कि अधिक कटौती देता है अंश और हर में समान कारक। इस तरह के परिवर्तनों का परिणाम एक छोटा अंश x 1/4 +3 है।
पाठ के नए विषय को समझाने वाले शिक्षक के बजाय वीडियो पाठ "तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री" का उपयोग किया जा सकता है। साथ ही, इस मैनुअल में छात्र द्वारा स्व-अध्ययन के लिए पर्याप्त जानकारी है। सामग्री दूरस्थ शिक्षा में उपयोगी हो सकती है।