ज्यामितीय प्रगति को कैसे हल करें: आवश्यक सूत्र, समाधान के साथ उदाहरण। रूसी ऊर्जा कंपनियों के खिलाफ अमेरिकी प्रतिबंधों से क्या होगा?

संयुक्त राज्य अमेरिका द्वारा रूसी ऊर्जा क्षेत्र के खिलाफ प्रतिबंधों के गंभीर परिणाम हो सकते हैं - यूरोपीय ऊर्जा प्रणाली के पतन तक। तो कहते हैं ब्रिटिश तेल और गैस कंपनी बीपी के प्रमुख रॉबर्ट।

"मुझे नहीं लगता कि ऐसा होगा। यदि आप रोसनेफ्ट पर प्रतिबंध लगाते हैं, या रुसल पर लागू प्रतिबंधों की तरह प्रतिबंध लगाते हैं, तो आप वास्तव में यूरोप की ऊर्जा प्रणालियों को बंद कर देंगे, और यह पहले से ही बहुत अधिक है।

- डडले ने लंदन में ऑयल एंड मनी 2018 सम्मेलन में बोलते हुए कहा (से उद्धृत)।

रूस से उद्यमों के लिए ऋण और इक्विटी पूंजी का प्रावधान सीमित था, साथ ही 150 मीटर से अधिक की गहराई पर और शेल चट्टानों के विकास के लिए शेल्फ पर तेल की खोज और उत्पादन के लिए उपकरणों की आपूर्ति।

अगस्त 2017 में, संयुक्त राज्य अमेरिका ने वित्तीय प्रतिबंधों को कड़ा किया, उत्पादन के लिए वस्तुओं और प्रौद्योगिकियों की आपूर्ति पर अतिरिक्त प्रतिबंध लगाए, और निर्यात पाइपलाइनों पर प्रतिबंध लगाने की संभावना को भी लागू किया। प्रतिबंधों के कारण, अपतटीय और शेल तेल के विकास के लिए विदेशियों के साथ लगभग सभी संयुक्त परियोजनाओं को भी निलंबित कर दिया गया था।

विशेषज्ञों ने बार-बार उल्लेख किया है कि भविष्य में इन प्रतिबंधों से रूसी संघ में उत्पादन के स्तर में कमी आ सकती है यदि देश भूवैज्ञानिक अन्वेषण और अपनी प्रौद्योगिकियों के विकास पर अधिक ध्यान नहीं देता है।

जाहिर है, यदि नवंबर में प्रतिबंधों का सबसे कठिन पैकेज अपनाया जाता है, तो बातचीत जटिल हो सकती है, लेकिन यह संभावना नहीं है कि यह पूर्ण विराम की श्रेणी में जाएगी,

ज़ार्स्की सोचता है।

अगर उम्मीदें अलग थीं, तो वही परेशान करने वाली खबर दूसरी इच्छुक पार्टी से आने लगेगी, लेकिन तेलवाले ऐसे पूर्वानुमानों के बारे में नहीं रुकते हैं, विशेषज्ञ ध्यान आकर्षित करते हैं।

कड़े प्रतिबंध लगाना न केवल रूस के लिए एक समस्या है, बल्कि हमारे विदेशी समकक्षों के लिए भी सिरदर्द है, जिसमें निकटतम अमेरिकी सहयोगी शामिल हैं, बीसीएस प्रीमियर निवेश रणनीतिकार सहमत हैं।

विश्लेषक के अनुसार, प्रतिबंधों को मजबूत करने की स्थिति में, प्रतिबंधात्मक उपाय प्रकृति में चयनात्मक हो सकते हैं और पूरे उद्योग के लिए निर्देशित होने की संभावना नहीं है।

रूस विश्व तेल बाजार के 10% से अधिक पर कब्जा करता है, इस तरह के एक प्रमुख खिलाड़ी के अचानक प्रस्थान का मतलब तेल में तेजी से वृद्धि होगी उल्लेख: संभावित रूप से यह न केवल यूरोपीय, बल्कि अन्य सभी तेल उपभोक्ताओं के लिए भी एक झटका है।

इस प्रकार, सितंबर में, रूस में तेल उत्पादन प्रति दिन 11.35 मिलियन बैरल (बी / डी) था। ऊर्जा मंत्रालय के ईंधन और ऊर्जा परिसर के सीडीयू के अनुसार, जनवरी-सितंबर 2018 में रूस ने गैर-सीआईएस देशों को 190.212 मिलियन टन तेल की आपूर्ति की।

जहां तक गैस बाजार का सवाल है, यूरोपीय संघ की स्थिति और भी गंभीर है: रूस यूरोप को सभी गैस आपूर्ति का लगभग 34% हिस्सा है। वहीं, पिछले साल गज़प्रोम ने गैर-सीआईएस देशों (ईयू प्लस तुर्की) को लगभग 195 बिलियन क्यूबिक मीटर गैस पहुंचाई थी। इस साल, विशेषज्ञों और खुद एकाधिकारवादी के पूर्वानुमान के अनुसार, यह आंकड़ा 200 बिलियन क्यूबिक मीटर से अधिक हो जाएगा।

ऐसे संस्करणों को जल्दी से बदलना बहुत मुश्किल है। इस तथ्य का जिक्र नहीं है कि रूसी संघ से आर्थिक रूप से गैस समान तरलीकृत प्राकृतिक गैस (एलएनजी) की तुलना में यूरोपीय देशों के लिए अधिक लाभदायक है।

पहले मैंने बताया था कि ईरान या उत्तर कोरिया के कठिन परिदृश्य के अनुसार रूस के खिलाफ प्रतिबंध नहीं लगाए जा सकते हैं, देश विश्व अर्थव्यवस्था में बहुत गहराई से एकीकृत है। नवंबर में, ईरान से तेल की आपूर्ति पर प्रतिबंध लगाया जाएगा, और बाजार को लगभग 1-2 मिलियन बैरल का नुकसान होगा। केवल इसी की उम्मीद ने भावों को ब्रेंट के $80-85 प्रति बैरल के स्तर पर ला दिया।

हालांकि, प्रशासन यूरोपीय संघ और चीन के साथ व्यापार युद्ध छेड़ने वाले जोखिमों पर विचार नहीं करता है। अमेरिकी आंतरिक सचिव रयान ज़िन्के ने हाल ही में कहा था कि अमेरिका रूस की नौसैनिक नाकाबंदी लगा सकता है। इसलिए एक भी, यहां तक कि सबसे असंभव परिदृश्य से भी इंकार नहीं किया जा सकता है।

संख्याओं के सभी अनुक्रमों में, ज्यामितीय प्रगति, जिसे 9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में माना जाता है, सबसे प्रसिद्ध में से एक है। यह क्या है और ज्यामितीय प्रगति को कैसे हल किया जाए - इन सवालों के जवाब इस लेख में दिए गए हैं।

संख्याओं का एक क्रम जो गणितीय नियम का पालन करता है

इस अनुच्छेद का शीर्षक एक ज्यामितीय प्रगति की एक सामान्य परिभाषा है। जिस नियम के द्वारा इसका वर्णन किया गया है वह काफी सरल है: प्रत्येक अगली संख्या पिछले एक से एक कारक से भिन्न होती है, जिसे "भाजक" कहा जाता है। आप इसे आर अक्षर से नामित कर सकते हैं। तब हम निम्नलिखित समानता लिख सकते हैं:

यहाँ संख्या n के साथ प्रगति का सदस्य है।

यदि r 1 से बड़ा है, तो प्रगति निरपेक्ष मान में बढ़ जाएगी (यदि इसके पहले पद में ऋणात्मक चिह्न है तो यह घट सकता है)। यदि r एक से कम है, तो पूरी प्रगति शून्य या नीचे की ओर जाएगी (a1<0), либо сверху (a1>0)। ऋणात्मक हर के मामले में (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

विचाराधीन प्रगति के प्रकार का एक उदाहरण नीचे दिया गया है:

2, 3, 4, 5, 6, 75, …

यहाँ पहला पद 2 है और हर 1.5 है।

महत्वपूर्ण सूत्र

कक्षा 9 में ज्यामितीय प्रगति को कैसे हल करें? ऐसा करने के लिए, आपको न केवल इसकी परिभाषा को जानना चाहिए और समझना चाहिए कि यह किस बारे में है, बल्कि दो महत्वपूर्ण सूत्र भी याद रखें। इनमें से पहला नीचे दिखाया गया है:

अभिव्यक्ति आपको अनुक्रम का एक मनमाना तत्व आसानी से खोजने की अनुमति देती है, लेकिन इसके लिए आपको दो संख्याओं को जानना होगा: हर और पहला तत्व। इस सूत्र को सिद्ध करना आसान है, आपको बस एक ज्यामितीय प्रगति की परिभाषा को याद रखने की आवश्यकता है: दूसरा तत्व पहले को हर से पहली डिग्री से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, तीसरा तत्व पहले को हर से दूसरे से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। डिग्री, और इतने पर। इस अभिव्यक्ति की उपयोगिता स्पष्ट है: यह पता लगाने के लिए कि इसका nth तत्व क्या मान लेगा, पूरी संख्या श्रृंखला को क्रमिक रूप से पुनर्स्थापित करने की आवश्यकता नहीं है।

ज्यामितीय प्रगति को कैसे हल किया जाए, इस प्रश्न का उत्तर देने में निम्न सूत्र भी उपयोगी है। हम इसके तत्वों के योग के बारे में बात कर रहे हैं, जो पहले से शुरू होकर nth पर समाप्त होता है। संबंधित अभिव्यक्ति नीचे दी गई है:

एसएन = ए 1 * (आरएन -1) / (आर -1)।

इसकी ख़ासियत पर ध्यान देने योग्य है: जैसा कि n वें तत्व को खोजने के सूत्र में है, यहाँ समान दो संख्याओं (a1 और r) को जानना भी पर्याप्त है। यह परिणाम आश्चर्यजनक नहीं है, क्योंकि प्रगति का प्रत्येक पद चिह्नित संख्याओं से जुड़ा है।

प्रगति बहाल करना

पहला उदाहरण, कैसे एक ज्यामितीय प्रगति को हल करने के लिए, निम्नलिखित शर्त है: यह ज्ञात है कि दो संख्याएं 10 और 20 विचाराधीन प्रगति की तरह हैं। इस मामले में, संख्याएं श्रृंखला के आठवें और पंद्रहवें तत्व हैं। पूरी श्रृंखला को पुनर्स्थापित करना आवश्यक है, यह जानते हुए कि यह घट रहा होगा।

समस्या की इस कुछ भ्रमित करने वाली स्थिति का सावधानीपूर्वक विश्लेषण किया जाना चाहिए: चूंकि हम घटती श्रृंखला के बारे में बात कर रहे हैं, संख्या 10 को 15 की स्थिति में होना चाहिए, और 8 में 20 होना चाहिए। हल करना शुरू करते हुए, प्रत्येक संख्या के लिए संबंधित समानताएं लिखें:

a8 = a1*r7 और a15 = a1*r14.

आपके पास दो अज्ञात के साथ दो समानताएं हैं। उन्हें पहले a1 से व्यक्त करके और इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करके हल करें। पाना:

a1 = a8*r-7 और a15 = a8*r-7 *r14=a8*r7 => r=7√(a15/a8)।

अब यह शर्त से उपयुक्त मानों को प्रतिस्थापित करने और सातवें मूल की गणना करने के लिए बनी हुई है। पाना:

r=7√(a15/a8) = 7√(10/20) 0.9057।

ज्ञात nवें तत्व के लिए परिणामी हर को किसी भी व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, a1 प्राप्त होता है:

a1 = a8*r-7 = 20*(0.9057)-7 40.0073।

इस तरह आपको पहला पद और हर मिलेगा, जिसका अर्थ है कि आप पूरी प्रगति को बहाल कर देंगे। पहले कुछ सदस्य:

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, …

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गणना करते समय, 4 दशमलव स्थानों तक गोलाई का उपयोग किया गया था।

एक श्रृंखला के एक अज्ञात सदस्य ढूँढना

अब यह एक और उदाहरण पर विचार करने योग्य है: यह ज्ञात है कि श्रृंखला का सातवां तत्व 27 है, जो कि तेरहवाँ पद है यदि हर r \u003d -2 है। इस डेटा का उपयोग करके ज्यामितीय प्रगति को कैसे हल करें? बहुत आसान है, आपको सातवें तत्व के लिए सूत्र लिखना होगा:

चूँकि इस समानता में केवल संख्या a1 अज्ञात है, इसे व्यक्त करें:

अंतिम समीकरण का उपयोग उस 13वें पद के सूत्र में प्रतिस्थापित करके करें जिसे आप खोजना चाहते हैं। पाना:

a13 = a1*r12 = a7*r-6*r12 = a7*r6.

यह संख्याओं को प्रतिस्थापित करने और उत्तर लिखने के लिए बनी हुई है:

a13 = a7*r6 = 27*(-2)6 = 1728।

परिणामी संख्या दर्शाती है कि ज्यामितीय प्रगति कितनी तेजी से बढ़ती है।

राशि के लिए कार्य

अंतिम कार्य, जो ज्यामितीय प्रगति को हल करने के प्रश्न को प्रकट करता है, कई तत्वों के योग को खोजने से संबंधित है। मान लीजिए a1 = 1.5, r = 2। आपको इस श्रृंखला के पदों के योग की गणना 5वें से शुरू होकर 10वें पर समाप्त होने वाले पदों के योग की गणना करनी चाहिए।

पूछे गए प्रश्न का उत्तर पाने के लिए, आपको सूत्र लागू करना चाहिए:

S510 = S10 - S4।

यही है, पहले आपको 10 तत्वों का योग खोजने की जरूरत है, फिर पहले 4 का योग और उन्हें आपस में घटाना। निर्दिष्ट एल्गोरिथ्म के बाद, यह निकलेगा:

S10 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1.5*(210-1)/(2-1) = 1534.5;

S4 = a1*(rn-1)/(r-1) = 1.5*(24-1)/(2-1) = 22.5;

S510 = 1534.5 - 22.5 = 1512।

यह ध्यान देने योग्य है कि अंतिम सूत्र में, ठीक 4 शब्दों का योग घटाया गया था, क्योंकि पांचवें, समस्या की स्थिति के अनुसार, योग में भाग लेना चाहिए।

9 अक्टूबर 2018

ज्यामितीय प्रगति सबसे दिलचस्प संख्या श्रृंखला में से एक है जिसे स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में माना जाता है। यह लेख उल्लिखित श्रृंखला के एक विशेष मामले के लिए समर्पित है: एक घटती अनंत ज्यामितीय प्रगति और इसके सदस्यों का योग।

हम किस संख्या की श्रृंखला के बारे में बात कर रहे हैं?

एक ज्यामितीय प्रगति वास्तविक संख्याओं का एक-आयामी अनुक्रम है जो एक दूसरे से निम्नलिखित संबंधों से संबंधित हैं:

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

उपरोक्त भावों को सामान्य करते हुए, हम निम्नलिखित समानता लिख सकते हैं:

ए एन = ए 1 *आर एन-1

जैसा कि उपरोक्त प्रविष्टियों से स्पष्ट है, n संख्या n के साथ प्रगति का तत्व है। पैरामीटर r, जिससे n-वें तत्व को प्राप्त करने के लिए n-1 तत्वों को गुणा किया जाना चाहिए, को हर कहा जाता है।

वर्णित अनुक्रम के गुण क्या हैं? प्रश्न का उत्तर r के मान और चिन्ह पर निर्भर करता है। निम्नलिखित विकल्प संभव हैं:

हर r धनात्मक है और 1 से बड़ा है। इस स्थिति में, प्रगति हमेशा निरपेक्ष मान में बढ़ेगी, जबकि 1 ऋणात्मक होने पर इसके सदस्यों का निरपेक्ष मान भी घट सकता है।
हर r ऋणात्मक है और 1 से बड़ा है। इस मामले में, प्रगति की शर्तें वैकल्पिक चिह्न (+ और -) के साथ दिखाई देंगी। इस तरह की श्रृंखलाएं बहुत कम व्यावहारिक रुचि रखती हैं।
हर r का मापांक 1 से कम है। इस श्रृंखला को घटते हुए कहा जाता है, चाहे r का चिन्ह कुछ भी हो। यह प्रगति है जो बहुत व्यावहारिक रुचि की है, और इस लेख में इस पर चर्चा की जाएगी।

योग के लिए सूत्र

सबसे पहले, आइए एक व्यंजक प्राप्त करें जो हमें दी गई प्रगति के तत्वों की मनमानी संख्या के योग की गणना करने की अनुमति देगा। आइए इस समस्या को सिर पर हल करना शुरू करें। हमारे पास है:

एस एन = ए 1 +ए 2 +ए 3 +..+ए एन

उपरोक्त समानता का उपयोग किया जा सकता है यदि परिणाम की गणना कम संख्या में (3-4 पदों) के लिए करना आवश्यक है, जिनमें से प्रत्येक nवें पद के लिए सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है (पिछले पैराग्राफ देखें)। हालाँकि, यदि बहुत सारे शब्द हैं, तो माथे पर गिनना असुविधाजनक है और आप एक गलती कर सकते हैं, इसलिए वे एक विशेष सूत्र का उपयोग करते हैं।

हम उपरोक्त समानता के दोनों भागों को r से गुणा करते हैं, हमें प्राप्त होता है:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

अब हम इन दो व्यंजकों के बाएँ और दाएँ भागों को जोड़ियों में घटाते हैं, हमारे पास है:

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

योग S n को व्यक्त करने और n+1 पद के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एस एन \u003d (ए एन + 1 - ए 1) / (आर -1) \u003d ए 1 * (आर एन - 1) / (आर -1)

इस प्रकार, हमने माना प्रकार की संख्या श्रृंखला के पहले n पदों के योग के लिए एक सामान्य सूत्र प्राप्त किया है। ध्यान दें कि सूत्र मान्य है यदि r≠1. बाद के मामले में, समान संख्याओं की एक सरल श्रृंखला होती है, जिसके योग की गणना एक संख्या और उनकी संख्या के गुणनफल के रूप में की जाती है।

अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हमें याद रखना चाहिए कि जब |r|<1. Воспользуемся полученной в предыдущем пункте формулой для S n:

एस एन \u003d ए 1 * (आर एन -1) / (आर -1)

ध्यान दें कि कोई भी संख्या जिसका मापांक 1 से कम है, बड़ी शक्ति, यानी r -> 0 तक बढ़ाए जाने पर शून्य हो जाता है। आप इस तथ्य को किसी भी उदाहरण पर देख सकते हैं:

r = -1/2, फिर (-1/2)**10 9.7*10 -4, (-1/2)**20 9.5*10 -7 इत्यादि।

इस तथ्य को स्थापित करने के बाद, आइए योग के लिए अभिव्यक्ति पर ध्यान दें: n->∞ के लिए इसे निम्नानुसार फिर से लिखा जाएगा:

एस = ए 1 *(आर ∞ - 1)/(आर -1) = ए 1 /(1-आर)

एक दिलचस्प परिणाम प्राप्त हुआ: घटते ज्यामितीय की अनंत प्रगति का योग एक सीमित संख्या में जाता है, जो शर्तों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है। यह केवल पहले पद और हर द्वारा निर्धारित किया जाता है। ध्यान दें कि योग का चिह्न विशिष्ट रूप से 1 के चिह्न से निर्धारित होता है, क्योंकि हर हमेशा एक धनात्मक संख्या (1-r>0) होता है।

एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति के वर्गों का योग

आइटम का शीर्षक हल की जाने वाली समस्या को परिभाषित करता है। ऐसा करने के लिए, हम एक ऐसी तकनीक का उपयोग करते हैं जो पूरी तरह से S n के सामान्य सूत्र को प्राप्त करने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीक के समान है। हमारे पास पहली अभिव्यक्ति है:

एम एन = ए 1 2 + ए 2 2 + ए 3 2 + ... + ए एन 2

समानता के दोनों पक्षों को r 2 से गुणा करें, दूसरा व्यंजक लिखें:

आर 2 *एम एन = आर 2 *ए 1 2 + आर 2 *ए 2 2 + आर 2 *ए 3 2 + ... + आर 2 *ए एन 2 = ए 2 2 + ए 3 2 + ए 4 2 .. .+ए एन+1 2

अब हम इन दो समानताओं के बीच अंतर पाते हैं:

आर 2 *एम एन - एम एन = ए 2 2 + ए 3 2 + ए 4 2 ... + ए एन+1 2 - (ए 1 2 + ए 2 2 + ए 3 2 + ... + ए एन 2) = ए एन+1 2 - ए 1 2

हम M n को व्यक्त करते हैं और nवें तत्व के सूत्र का उपयोग करते हैं, हमें समानता मिलती है:

एम एन \u003d (ए एन+1 2 - ए 1 2) / (आर 2 -1) \u003d ए 1 2 * (आर 2एन -1) / (आर 2 -1)

पिछले पैराग्राफ में, यह दिखाया गया था कि r ∞ -> 0, फिर अंतिम सूत्र रूप लेगा:

एम ∞ = ए 1 2 */(1-आर 2)

दो प्राप्त राशियों की तुलना

आइए दो सूत्रों की तुलना करें: निम्नलिखित समस्या के उदाहरण का उपयोग करते हुए अनंत योग और अनंत योग के लिए: एक अनंत ज्यामितीय प्रगति का योग 2 है, यह ज्ञात है कि हम घटते अनुक्रम के बारे में बात कर रहे हैं जिसके लिए हर 1 है / 3। संख्याओं की इस श्रृंखला के वर्गों का अनंत योग ज्ञात करना आवश्यक है।

आइए योग के सूत्र का उपयोग करें। 1 व्यक्त करें:

एस = ए 1 /(1-आर) => ए 1 = एस ∞ *(1-आर)

हम इस व्यंजक को वर्गों के योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, हमारे पास है:

एम ∞ = ए 1 2 */(1-आर 2) = एस ∞ 2 *(1-आर) 2 /(1-आर 2) = एस ∞ 2 *(1-आर)/(1+आर)

हमने वांछित सूत्र प्राप्त कर लिया है, अब हम स्थिति से ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:

एम ∞ = एस ∞ 2 *(1-आर)/(1+आर) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

इस प्रकार, हमने अनंत वर्गों के योग के लिए वही मान प्राप्त किया है जो साधारण योग के लिए है। ध्यान दें कि यह परिणाम केवल इस समस्या के लिए मान्य है। सामान्य तौर पर, एम ≠ एस ।

एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करने का कार्य

प्रत्येक छात्र सूत्र S = a * b जानता है, जो एक आयत का क्षेत्रफल उसकी भुजाओं के संदर्भ में निर्धारित करता है। कम ही लोग जानते हैं कि अनंत ज्यामितीय प्रगति के योग का उपयोग करके इस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या को आसानी से हल किया जा सकता है। आइए दिखाते हैं कि यह कैसे किया जाता है।

आइए मानसिक रूप से आयत को आधे में विभाजित करें। एक आधे के क्षेत्र को एकता के रूप में लिया जाता है। अब हम दूसरे आधे को फिर से आधा में विभाजित करते हैं। हमें दो भाग मिलते हैं, जिनमें से एक को हम आधे में विभाजित करेंगे। हम इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखेंगे (नीचे चित्र देखें)।

परिणामस्वरूप, हमारे द्वारा चुनी गई इकाइयों में आयत का क्षेत्रफल इसके बराबर होगा:

एस = 1+1/2+1/4+1/8+...

यह देखा जा सकता है कि ये पद एक घटती श्रेणी के अवयव हैं, जिनमें a 1 = 1 और r = 1/2 है। अनंत योग के सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

एस∞ = 1 /(1-1/2) = 2

हमने जो पैमाना चुना है, उसमें आधा आयत (एक इकाई) a*b/2 क्षेत्रफल से मेल खाती है। इसका मतलब है कि पूरे आयत का क्षेत्रफल है:

एस ∞ = 2*a*b/2 = a*b

प्राप्त परिणाम स्पष्ट है, फिर भी, यह दर्शाता है कि ज्यामिति में समस्याओं को हल करने के लिए घटती प्रगति को कैसे लागू किया जा सकता है।

ज्यामितीय प्रगति सबसे दिलचस्प संख्या श्रृंखला में से एक है जिसे स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में माना जाता है। यह लेख उल्लिखित श्रृंखला के एक विशेष मामले के लिए समर्पित है: और इसकी शर्तों का योग।

हम किस संख्या की श्रृंखला के बारे में बात कर रहे हैं?

a 2 = a 1 *r, a 3 = a 2 *r, a 4 = a 3 *r, ...., a n = a n-1 *r

उपरोक्त भावों को सामान्य करते हुए, हम निम्नलिखित समानता लिख सकते हैं:

ए एन = ए 1 *आर एन-1

हर r धनात्मक है और 1 से बड़ा है। इस स्थिति में, प्रगति हमेशा निरपेक्ष मान में बढ़ेगी, जबकि 1 ऋणात्मक होने पर इसके सदस्यों का निरपेक्ष मान भी घट सकता है।
हर r ऋणात्मक है और 1 से बड़ा है। इस मामले में, प्रगति की शर्तें वैकल्पिक चिह्न (+ और -) के साथ दिखाई देंगी। इस तरह की श्रृंखलाएं बहुत कम व्यावहारिक रुचि रखती हैं।
हर r का मापांक 1 से कम है। इस श्रृंखला को घटते हुए कहा जाता है, चाहे r का चिन्ह कुछ भी हो। यह प्रगति है जो बहुत व्यावहारिक रुचि की है, और इस लेख में इस पर चर्चा की जाएगी।

योग के लिए सूत्र

एस एन = ए 1 +ए 2 +ए 3 +..+ए एन

हम उपरोक्त समानता के दोनों भागों को r से गुणा करते हैं, हमें प्राप्त होता है:

r*S n = r*a 1 +r*a 2 +r*a 3 +..+r*a n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1

r*S n - S n = a 2 +a 3 +a 4 +...+a n+1 - (a 1 +a 2 +a 3 +..+a n) = a n+1 - a 1

एस एन \u003d (ए एन + 1 - ए 1) / (आर -1) \u003d ए 1 * (आर एन - 1) / (आर -1)

अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें?

एस एन \u003d ए 1 * (आर एन -1) / (आर -1)

r = -1/2, फिर (-1/2)**10 9.7*10 -4, (-1/2)**20 9.5*10 -7 इत्यादि।

एस = ए 1 *(आर ∞ - 1)/(आर -1) = ए 1 /(1-आर)

एक अनंत घटती ज्यामितीय प्रगति के वर्गों का योग

एम एन = ए 1 2 + ए 2 2 + ए 3 2 + ... + ए एन 2

समानता के दोनों पक्षों को r 2 से गुणा करें, दूसरा व्यंजक लिखें:

आर 2 *एम एन = आर 2 *ए 1 2 + आर 2 *ए 2 2 + आर 2 *ए 3 2 + ... + आर 2 *ए एन 2 = ए 2 2 + ए 3 2 + ए 4 2 .. .+ए एन+1 2

अब हम इन दो समानताओं के बीच अंतर पाते हैं:

आर 2 *एम एन - एम एन = ए 2 2 + ए 3 2 + ए 4 2 ... + ए एन+1 2 - (ए 1 2 + ए 2 2 + ए 3 2 + ... + ए एन 2) = ए एन+1 2 - ए 1 2

एम एन \u003d (ए एन+1 2 - ए 1 2) / (आर 2 -1) \u003d ए 1 2 * (आर 2एन -1) / (आर 2 -1)

पिछले पैराग्राफ में, यह दिखाया गया था कि r ∞ -> 0, फिर अंतिम सूत्र रूप लेगा:

एम ∞ = ए 1 2 */(1-आर 2)

दो प्राप्त राशियों की तुलना

आइए योग के सूत्र का उपयोग करें। 1 व्यक्त करें:

एस = ए 1 /(1-आर) => ए 1 = एस ∞ *(1-आर)

एम ∞ = ए 1 2 */(1-आर 2) = एस ∞ 2 *(1-आर) 2 /(1-आर 2) = एस ∞ 2 *(1-आर)/(1+आर)

एम ∞ = एस ∞ 2 *(1-आर)/(1+आर) = 2 2 *(1-1/3)/(1+1/3) = 2

एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करने का कार्य

एस = 1+1/2+1/4+1/8+...

एस∞ = 1 /(1-1/2) = 2

एस ∞ = 2*a*b/2 = a*b

संख्याओं का एक क्रम जो गणितीय नियम का पालन करता है

यहाँ n संख्या n के साथ प्रगति का सदस्य है।

यदि r 1 से बड़ा है, तो प्रगति निरपेक्ष मान में बढ़ जाएगी (यदि इसके पहले पद में ऋणात्मक चिह्न है तो यह घट सकता है)। यदि r एक से कम है, तो संपूर्ण प्रगति शून्य या नीचे से (a 1 .) की ओर प्रवृत्त होगी<0), либо сверху (a 1 >0)। ऋणात्मक हर के मामले में (r<0) иметь место будет чередующаяся числовая последовательность (каждый положительный член будет окружен двумя отрицательными). Наконец, при равенстве r единице получится простой набор чисел, который, как правило, не называют прогрессией.

विचाराधीन प्रगति के प्रकार का एक उदाहरण नीचे दिया गया है:

2, 3, 4, 5, 6, 75, ...

यहाँ पहला पद 2 है और हर 1.5 है।

महत्वपूर्ण सूत्र

एस एन \u003d ए 1 * (आर एन -1) / (आर -1)।

इसकी ख़ासियत पर ध्यान देने योग्य है: जैसा कि n वें तत्व को खोजने के सूत्र में है, यहाँ समान दो संख्याओं (a 1 और r) को जानना भी पर्याप्त है। यह परिणाम आश्चर्यजनक नहीं है, क्योंकि प्रगति का प्रत्येक पद चिह्नित संख्याओं से जुड़ा है।

प्रगति बहाल करना

समस्या की इस कुछ भ्रमित करने वाली स्थिति का सावधानीपूर्वक विश्लेषण किया जाना चाहिए: चूंकि हम घटती श्रृंखला के बारे में बात कर रहे हैं, संख्या 10 को 15 और 20 में 8 की स्थिति में होना चाहिए। हल करना शुरू करते हुए, प्रत्येक संख्या के लिए संबंधित समानताएं लिखें:

a 8 = a 1 *r 7 और a 15 = a 1 *r 14 ।

आपके पास दो अज्ञात के साथ दो समानताएं हैं। उन्हें पहले a 1 से व्यक्त करके और इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करके हल करें। पाना:

a 1 = a 8 *r -7 और a 15 = a 8 *r -7 *r 14 = a 8 *r 7 => r= 7 √ (a 15 / a 8)।

आर \u003d 7 (ए 15 / ए 8) \u003d 7 (10/20) 0.9057।

ज्ञात nवें तत्व के लिए परिणामी हर को किसी भी व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 1 प्राप्त होता है:

ए 1 \u003d ए 8 * आर -7 \u003d 20 * (0.9057) -7 ≈ 40.0073।

40,0073, 36,2346, 32,8177, 29,7230, ...

एक श्रृंखला के एक अज्ञात सदस्य ढूँढना

चूँकि इस समानता में केवल संख्या 1 अज्ञात है, इसे व्यक्त करें:

a 13 = a 1 *r 12 = a 7 *r -6 *r 12 = a 7 *r 6 ।

यह संख्याओं को प्रतिस्थापित करने और उत्तर लिखने के लिए बनी हुई है:

ए 13 \u003d ए 7 * आर 6 \u003d 27 * (-2) 6 \u003d 1728।

परिणामी संख्या दर्शाती है कि ज्यामितीय प्रगति कितनी तेजी से बढ़ती है।

राशि के लिए कार्य

अंतिम कार्य, जो एक ज्यामितीय प्रगति को हल करने के प्रश्न को प्रकट करता है, कई तत्वों के योग को खोजने से संबंधित है। 1 \u003d 1.5, r \u003d 2 दें। इस श्रृंखला की शर्तों के योग की गणना 5 वें से शुरू होकर 10 वीं तक की जानी चाहिए।

पूछे गए प्रश्न का उत्तर पाने के लिए, आपको सूत्र लागू करना चाहिए:

एस 10 \u003d ए 1 * (आर एन -1) / (आर -1) \u003d 1.5 * (2 10 -1) / (2-1) \u003d 1534.5;
एस 4 \u003d ए 1 * (आर एन -1) / (आर -1) \u003d 1.5 * (2 4 -1) / (2-1) \u003d 22.5;
एस 5 10 \u003d 1534.5 - 22.5 \u003d 1512।

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महत्वपूर्ण सूत्र

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एक श्रृंखला के एक अज्ञात सदस्य ढूँढना

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