असमानताओं की प्रणाली।
उदाहरण 1. व्यंजक का दायरा ज्ञात कीजिए
फेसला।वर्गमूल चिह्न के नीचे एक गैर-ऋणात्मक संख्या होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि दो असमानताएँ एक साथ होनी चाहिए: ऐसे मामलों में, समस्या को असमानताओं की प्रणाली को हल करने के लिए कम करने के लिए कहा जाता है

लेकिन हम अभी तक इस तरह के गणितीय मॉडल (असमानताओं की प्रणाली) से नहीं मिले हैं। इसका मतलब है कि हम अभी तक उदाहरण के समाधान को पूरा करने में सक्षम नहीं हैं।

एक प्रणाली बनाने वाली असमानताओं को एक घुंघराले ब्रैकेट के साथ जोड़ा जाता है (समीकरणों की प्रणालियों में भी ऐसा ही होता है)। उदाहरण के लिए, प्रविष्टि

इसका अर्थ है कि असमानताएँ 2x - 1 > 3 और 3x - 2< 11 образуют систему неравенств.

कभी-कभी असमानताओं की व्यवस्था को दोहरी असमानता के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, असमानताओं की प्रणाली

दोहरी असमानता के रूप में लिखा जा सकता है 3<2х-1<11.

9वीं कक्षा के बीजगणित पाठ्यक्रम में, हम केवल दो असमानताओं की प्रणालियों पर विचार करेंगे।

असमानताओं की प्रणाली पर विचार करें

आप इसके कई विशेष समाधान चुन सकते हैं, उदाहरण के लिए x = 3, x = 4, x = 3.5। वास्तव में, x = 3 के लिए पहली असमानता 5 > 3 का रूप लेती है, और दूसरी असमानता 7 . का रूप लेती है< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

उसी समय, मान x = 5 असमानताओं की प्रणाली का समाधान नहीं है। x = 5 के लिए, पहली असमानता 9 > 3 - सही संख्यात्मक असमानता का रूप लेती है, और दूसरी - 13 . के रूप में< 11- неверное числовое неравенство .
असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने का अर्थ है इसके सभी विशेष समाधान खोजना। यह स्पष्ट है कि इस तरह का अनुमान, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, असमानताओं की प्रणाली को हल करने का तरीका नहीं है। निम्नलिखित उदाहरण में, हम दिखाएंगे कि असमानताओं की एक प्रणाली को हल करते समय आमतौर पर कैसे तर्क दिया जाता है।

उदाहरण 3असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

फेसला।

ए)प्रणाली की पहली असमानता को हल करते हुए, हम पाते हैं 2x > 4, x > 2; प्रणाली की दूसरी असमानता को हल करते हुए, हम पाते हैं Zx< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
बी)प्रणाली की पहली असमानता को हल करते हुए, हम x > 2 पाते हैं; प्रणाली की दूसरी असमानता को हल करते हुए, हम पाते हैं हम इन अंतरालों को एक समन्वय रेखा पर चिह्नित करते हैं, पहले अंतराल के लिए शीर्ष हैचिंग का उपयोग करते हुए, और दूसरे के लिए निचला हैचिंग (चित्र 23)। असमानताओं की प्रणाली का समाधान प्रणाली की असमानताओं के समाधान का प्रतिच्छेदन होगा, अर्थात। वह अंतराल जहां दोनों हैच मेल खाते हैं। विचाराधीन उदाहरण में हमें एक किरणपुंज प्राप्त होता है

में)प्रणाली की पहली असमानता को हल करते हुए, हम पाते हैं x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

आइए विचार किए गए उदाहरण में किए गए तर्क को सामान्य करें। मान लीजिए कि हमें असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है

उदाहरण के लिए, अंतराल (ए, बी) असमानता का समाधान हो fx 2> g (x), और अंतराल (c, d) असमानता का समाधान f 2 (x)> s 2 (x) हो ) हम इन अंतरालों को एक समन्वय रेखा पर चिह्नित करते हैं, पहले अंतराल के लिए शीर्ष हैचिंग का उपयोग करते हुए, और दूसरे के लिए निचला हैचिंग (चित्र 25)। असमानताओं की प्रणाली का समाधान प्रणाली की असमानताओं के समाधान का प्रतिच्छेदन है, अर्थात। वह अंतराल जहां दोनों हैच मेल खाते हैं। अंजीर पर। 25 अंतराल (एस, बी) है।

अब हम ऊपर दी गई असमानताओं की प्रणाली को आसानी से हल कर सकते हैं, उदाहरण 1 में:

प्रणाली की पहली असमानता को हल करते हुए, हम x > 2 पाते हैं; प्रणाली की दूसरी असमानता को हल करने पर, हम पाते हैं x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

बेशक, असमानताओं की प्रणाली में रैखिक असमानताएं शामिल नहीं हैं, जैसा कि अब तक हुआ है; कोई भी तर्कसंगत (और न केवल तर्कसंगत) असमानताएं हो सकती हैं। तकनीकी रूप से, तर्कसंगत गैर-रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली के साथ काम करना निश्चित रूप से अधिक कठिन है, लेकिन मौलिक रूप से कुछ भी नया नहीं है (रैखिक असमानताओं की प्रणालियों की तुलना में)।

उदाहरण 4असमानताओं की प्रणाली को हल करें

फेसला।

1) हमारे पास मौजूद असमानता को हल करें
संख्या रेखा पर बिंदु -3 और 3 को नोट करें (आकृति 27)। वे रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं, और प्रत्येक अंतराल पर व्यंजक p (x) = (x - 3) (x + 3) एक स्थिर चिह्न रखता है - ये संकेत चित्र में दर्शाए गए हैं। 27. हम उन अंतरालों में रुचि रखते हैं जहां असमानता p(x)> 0 संतुष्ट है (वे चित्र 27 में छायांकित हैं), और वे बिंदु जहां समानता p(x) = 0 संतुष्ट है, अर्थात। अंक x \u003d -3, x \u003d 3 (वे अंजीर में चिह्नित हैं। 2 7 काले घेरे के साथ)। इस प्रकार, अंजीर में। 27 पहली असमानता को हल करने के लिए एक ज्यामितीय मॉडल दिखाता है।

2) हमारे पास मौजूद असमानता को हल करें
संख्या रेखा पर बिन्दु 0 और 5 नोट कीजिए (चित्र 28)। वे रेखा को तीन अंतरालों में विभाजित करते हैं, और प्रत्येक अंतराल पर व्यंजक<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (चित्र 28 में छायांकित), और जिन बिंदुओं पर समानता g (x) - O संतुष्ट है, अर्थात्। अंक x = 0, x = 5 (वे चित्र 28 में काले घेरे द्वारा चिह्नित हैं)। इस प्रकार, अंजीर में। 28 प्रणाली की दूसरी असमानता को हल करने के लिए एक ज्यामितीय मॉडल दिखाता है।

3) हम पहली असमानता के समाधान के लिए ऊपरी हैचिंग का उपयोग करते हुए, और दूसरी (छवि 29) के समाधान के लिए निचली हैचिंग का उपयोग करके एक ही समन्वय रेखा पर सिस्टम की पहली और दूसरी असमानताओं के लिए पाए गए समाधानों को चिह्नित करते हैं। असमानताओं की प्रणाली का समाधान प्रणाली की असमानताओं के समाधान का प्रतिच्छेदन होगा, अर्थात। वह अंतराल जहां दोनों हैच मेल खाते हैं। ऐसा अंतराल एक खंड है।

उदाहरण 5असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

फेसला:

ए)पहली असमानता से हम x >2 पाते हैं। दूसरी असमानता पर विचार करें। वर्ग त्रिपद x 2 + x + 2 का कोई वास्तविक मूल नहीं है, और इसका अग्रणी गुणांक (x 2 पर गुणांक) धनात्मक है। इसका मतलब है कि सभी x के लिए असमानता x 2 + x + 2>0 संतुष्ट है, और इसलिए सिस्टम की दूसरी असमानता का कोई समाधान नहीं है। असमानताओं की व्यवस्था के लिए इसका क्या अर्थ है? इसका मतलब है कि सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है।

बी)पहली असमानता से हम x > 2 पाते हैं, और दूसरी असमानता x के किसी भी मान के लिए होती है। असमानताओं की व्यवस्था के लिए इसका क्या अर्थ है? इसका अर्थ है कि इसके विलयन का रूप x>2 है, अर्थात्। पहली असमानता के समाधान के साथ मेल खाता है।

जवाब:

ए) कोई निर्णय नहीं हैं; बी)एक्स> 2।

यह उदाहरण निम्नलिखित उपयोगी के लिए एक उदाहरण है

1. यदि एक चर के साथ कई असमानताओं की प्रणाली में एक असमानता का कोई समाधान नहीं है, तो सिस्टम का कोई समाधान नहीं है।

2. यदि एक चर के साथ दो असमानताओं की प्रणाली में चर के किसी भी मूल्य के लिए एक असमानता संतुष्ट है, तो सिस्टम का समाधान सिस्टम की दूसरी असमानता का समाधान है।

इस खंड को समाप्त करते हुए, आइए हम इसकी शुरुआत में दी गई कल्पित संख्या की समस्या पर लौटते हैं और इसे सभी नियमों के अनुसार हल करते हैं, जैसा कि वे कहते हैं।

उदाहरण 2(पृष्ठ 29 देखें)। एक प्राकृतिक संख्या के बारे में सोचो। यह ज्ञात है कि यदि कल्पित संख्या के वर्ग में 13 जोड़ दिया जाता है, तो योग कल्पित संख्या और संख्या 14 के गुणनफल से अधिक होगा। यदि कल्पित संख्या के वर्ग में 45 जोड़ा जाता है, तो योग होगा कल्पित संख्या और संख्या 18 के गुणनफल से कम हो। किस संख्या की कल्पना की जाती है?

फेसला।

प्रथम चरण। एक गणितीय मॉडल तैयार करना।
अपेक्षित संख्या x, जैसा कि हमने ऊपर देखा, असमानताओं की प्रणाली को संतुष्ट करना चाहिए

दूसरा चरण। संकलित गणितीय मॉडल के साथ काम करना। आइए सिस्टम की पहली असमानता को फॉर्म में बदलें
x2- 14x+ 13 > 0.

आइए त्रिपद x 2 - 14x + 13: x 2 \u003d 1, x 2 \u003d 13 की जड़ों को खोजें। परवलय y \u003d x 2 - 14x + 13 (चित्र। 30) का उपयोग करके, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि असमानता हमारे लिए ब्याज x . के लिए संतुष्ट है< 1 или x > 13.

आइए प्रणाली की दूसरी असमानता को x2 - 18 2 + 45 . के रूप में रूपांतरित करें< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

असमानताओं और असमानताओं की व्यवस्था उन विषयों में से एक है जो हाई स्कूल में बीजगणित में पढ़ाए जाते हैं। कठिनाई के संदर्भ में, यह सबसे कठिन नहीं है, क्योंकि इसके सरल नियम हैं (उनके बारे में थोड़ी देर बाद)। एक नियम के रूप में, स्कूली बच्चे असमानताओं की प्रणालियों का समाधान काफी आसानी से सीखते हैं। यह इस तथ्य के कारण भी है कि शिक्षक इस विषय पर अपने छात्रों को केवल "प्रशिक्षित" करते हैं। और वे ऐसा नहीं कर सकते, क्योंकि भविष्य में इसका अध्ययन अन्य गणितीय मात्राओं के उपयोग से किया जाता है, और OGE और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के लिए भी जाँच की जाती है। स्कूली पाठ्यपुस्तकों में असमानताओं और असमानताओं की प्रणाली के विषय को बहुत विस्तार से शामिल किया गया है, इसलिए यदि आप इसका अध्ययन करने जा रहे हैं, तो उनका सहारा लेना सबसे अच्छा है। यह लेख केवल बड़ी सामग्री को फिर से बताता है, और इसमें कुछ चूक हो सकती है।

असमानताओं की प्रणाली की अवधारणा

यदि हम वैज्ञानिक भाषा की ओर मुड़ें, तो हम "असमानताओं की प्रणाली" की अवधारणा को परिभाषित कर सकते हैं। यह एक ऐसा गणितीय मॉडल है, जो कई असमानताओं का प्रतिनिधित्व करता है। इस मॉडल को, निश्चित रूप से, एक समाधान की आवश्यकता है, और यह कार्य में प्रस्तावित प्रणाली की सभी असमानताओं के लिए सामान्य उत्तर होगा (आमतौर पर इसमें लिखा जाता है, उदाहरण के लिए: "असमानताओं की प्रणाली को हल करें 4 x + 1> 2 और 30 - x > 6...")। हालांकि, समाधान के प्रकारों और विधियों पर आगे बढ़ने से पहले, आपको कुछ और समझने की जरूरत है।

असमानताओं की प्रणाली और समीकरणों की प्रणाली

एक नया विषय सीखने की प्रक्रिया में, अक्सर गलतफहमियां पैदा होती हैं। एक ओर, सब कुछ स्पष्ट है और मैं कार्यों को हल करना शुरू कर दूंगा, लेकिन दूसरी ओर, कुछ क्षण "छाया" में रहते हैं, उन्हें अच्छी तरह से समझा नहीं जाता है। साथ ही, पहले से अर्जित ज्ञान के कुछ तत्वों को नए के साथ जोड़ा जा सकता है। इसके परिणामस्वरूप "ओवरले" त्रुटियां अक्सर होती हैं।

इसलिए, हमारे विषय के विश्लेषण के लिए आगे बढ़ने से पहले, हमें समीकरणों और असमानताओं, उनकी प्रणालियों के बीच के अंतरों को याद करना चाहिए। ऐसा करने के लिए, आपको एक बार फिर यह समझाने की जरूरत है कि ये गणितीय अवधारणाएं क्या हैं। एक समीकरण हमेशा एक समानता होती है, और यह हमेशा किसी चीज़ के बराबर होती है (गणित में, इस शब्द को "=" चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है)। असमानता एक ऐसा मॉडल है जिसमें एक मान दूसरे से अधिक या कम होता है, या यह दावा करता है कि वे समान नहीं हैं। इस प्रकार, पहले मामले में, समानता के बारे में बात करना उचित है, और दूसरे में, प्रारंभिक डेटा की असमानता के बारे में, यह नाम से ही कितना स्पष्ट लग सकता है। समीकरणों और असमानताओं की प्रणाली व्यावहारिक रूप से एक दूसरे से भिन्न नहीं होती है और उनके समाधान के तरीके समान होते हैं। अंतर केवल इतना है कि पूर्व समानता का उपयोग करता है, जबकि बाद वाला असमानताओं का उपयोग करता है।

असमानताओं के प्रकार

दो प्रकार की असमानताएँ हैं: संख्यात्मक और अज्ञात चर के साथ। पहला प्रकार प्रदान किया गया है मान (संख्या) जो एक दूसरे के लिए असमान हैं, उदाहरण के लिए, 8> 10. दूसरा एक अज्ञात चर वाली असमानताएं हैं (लैटिन वर्णमाला के कुछ अक्षर द्वारा इंगित, सबसे अधिक बार एक्स)। इस चर को खोजने की जरूरत है। कितने हैं, इस पर निर्भर करते हुए, गणितीय मॉडल एक के साथ असमानताओं के बीच अंतर करता है (वे एक चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली बनाते हैं) या कई चर (वे कई चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली बनाते हैं)।

अंतिम दो प्रकार, उनके निर्माण की डिग्री और समाधान की जटिलता के स्तर के अनुसार, सरल और जटिल में विभाजित हैं। सरल को रैखिक असमानताएँ भी कहा जाता है। बदले में, वे सख्त और गैर-सख्त में विभाजित हैं। कड़ाई से विशेष रूप से "कहना" कि एक मान या तो कम या अधिक होना चाहिए, इसलिए यह शुद्ध असमानता है। कई उदाहरण हैं: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5, आदि। गैर-सख्त लोगों में समानता भी शामिल है। अर्थात्, एक मान दूसरे मान से अधिक या उसके बराबर हो सकता है (चिह्न "≥") या किसी अन्य मान से कम या बराबर (चिह्न "≤")। रैखिक असमानताओं में भी, चर मूल, वर्ग पर नहीं खड़ा होता है, किसी भी चीज़ से विभाज्य नहीं होता है, इसलिए उन्हें "सरल" कहा जाता है। जटिल लोगों में अज्ञात चर शामिल होते हैं, जिनकी खोज के लिए अधिक गणितीय संचालन की आवश्यकता होती है। वे अक्सर एक वर्ग, घन या जड़ के नीचे होते हैं, वे मॉड्यूलर, लॉगरिदमिक, भिन्नात्मक आदि हो सकते हैं। लेकिन चूंकि हमारा काम असमानताओं की प्रणालियों के समाधान को समझना है, हम रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली के बारे में बात करेंगे। हालाँकि, उससे पहले, उनके गुणों के बारे में कुछ शब्द कहे जाने चाहिए।

असमानताओं के गुण

असमानताओं के गुणों में निम्नलिखित प्रावधान शामिल हैं:

1. यदि पक्षों के अनुक्रम को बदलने की क्रिया को लागू किया जाता है, तो असमानता का चिन्ह उलट जाता है (उदाहरण के लिए, यदि t 1 t 2, तो t 2 t 1)।
2. असमानता के दोनों भाग आपको अपने आप में एक ही संख्या जोड़ने की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, यदि t 1 t 2, तो t 1 + संख्या t 2 + संख्या)।
3. एक ही दिशा के चिन्ह वाली दो या दो से अधिक असमानताएँ आपको उनके बाएँ और दाएँ भागों को जोड़ने की अनुमति देती हैं (उदाहरण के लिए, यदि t 1 t 2, t 3 t 4, तो t 1 + t 3 t 2 + t 4 )
4. असमानता के दोनों भाग स्वयं को एक ही धनात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, यदि t 1 t 2 और संख्या ≤ 0, तो संख्या t 1 संख्या t 2)।
5. दो या दो से अधिक असमानताएँ जिनके सकारात्मक पद हैं और एक ही दिशा का चिन्ह है, वे स्वयं को एक दूसरे से गुणा करने की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, यदि t 1 t 2 , t 3 ≤ t 4 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 0 फिर टी 1 टी 3 ≤ टी 2 टी 4)।
6. असमानता के दोनों भाग स्वयं को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने की अनुमति देते हैं, लेकिन असमानता चिह्न बदल जाता है (उदाहरण के लिए, यदि t 1 t 2 और संख्या 0, तो संख्या t 1 ≥ संख्या t 2)।
7. सभी असमानताओं में ट्रांजिटिविटी का गुण होता है (उदाहरण के लिए, यदि टी 1 ≤ टी 2 और टी 2 टी 3, तो टी 1 ≤ टी 3)।

अब, असमानताओं से संबंधित सिद्धांत के मुख्य प्रावधानों का अध्ययन करने के बाद, हम सीधे उनकी प्रणालियों को हल करने के नियमों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

असमानताओं की प्रणालियों का समाधान। सामान्य जानकारी। समाधान

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, समाधान चर के मान हैं जो दिए गए सिस्टम की सभी असमानताओं को फिट करते हैं। असमानताओं की प्रणालियों का समाधान गणितीय संक्रियाओं का कार्यान्वयन है जो अंततः संपूर्ण प्रणाली के समाधान की ओर ले जाता है या यह साबित करता है कि इसका कोई समाधान नहीं है। इस मामले में, चर को खाली संख्यात्मक सेट (इस तरह लिखा गया है) को संदर्भित करने के लिए कहा जाता है: एक चर को दर्शाने वाला पत्र(चिह्न "संबंधित") ø (चिह्न "खाली सेट"), उदाहरण के लिए, x (यह पढ़ता है: "चर "x" खाली सेट से संबंधित है")। असमानताओं की प्रणालियों को हल करने के कई तरीके हैं: ग्राफिकल, बीजीय, प्रतिस्थापन विधि। यह ध्यान देने योग्य है कि वे उन गणितीय मॉडलों को संदर्भित करते हैं जिनमें कई अज्ञात चर होते हैं। उस मामले में जहां केवल एक ही है, अंतराल विधि उपयुक्त है।

ग्राफिकल तरीका

आपको कई अज्ञात (दो या अधिक से) के साथ असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की अनुमति देता है। इस पद्धति के लिए धन्यवाद, रैखिक असमानताओं की प्रणाली काफी आसानी से और जल्दी से हल हो जाती है, इसलिए यह सबसे आम तरीका है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्लॉटिंग से गणितीय संक्रियाओं को लिखने की मात्रा कम हो जाती है। यह विशेष रूप से सुखद हो जाता है कि कलम से थोड़ा ब्रेक लें, एक शासक के साथ एक पेंसिल उठाएं और उनकी मदद से आगे की कार्रवाई के लिए आगे बढ़ें जब बहुत काम किया गया हो और आप थोड़ी विविधता चाहते हैं। हालांकि, कुछ इस विधि को पसंद नहीं करते हैं क्योंकि आपको कार्य से अलग होना पड़ता है और अपनी मानसिक गतिविधि को ड्राइंग में बदलना पड़ता है। हालाँकि, यह एक बहुत ही प्रभावी तरीका है।

एक ग्राफिकल पद्धति का उपयोग करके असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए, प्रत्येक असमानता के सभी सदस्यों को उनके बाईं ओर स्थानांतरित करना आवश्यक है। चिन्हों को उलट दिया जाएगा, दाईं ओर शून्य लिखा जाना चाहिए, फिर प्रत्येक असमानता को अलग से लिखा जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, असमानताओं से कार्य प्राप्त होंगे। उसके बाद, आप एक पेंसिल और एक शासक प्राप्त कर सकते हैं: अब आपको प्राप्त प्रत्येक फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता है। संख्याओं का पूरा सेट जो उनके प्रतिच्छेदन के अंतराल में होगा, असमानताओं की प्रणाली का समाधान होगा।

बीजीय तरीका

आपको दो अज्ञात चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की अनुमति देता है। असमानताओं में भी समान असमानता चिह्न होना चाहिए (अर्थात, उनमें या तो केवल "से बड़ा" चिह्न होना चाहिए, या केवल "से कम" चिह्न, आदि।) इसकी सीमाओं के बावजूद, यह विधि अधिक जटिल भी है। इसे दो चरणों में लागू किया जाता है।

पहले में अज्ञात चरों में से एक से छुटकारा पाने के लिए क्रियाएं शामिल हैं। पहले आपको इसे चुनने की जरूरत है, फिर इस चर के सामने संख्याओं की उपस्थिति की जांच करें। यदि कोई नहीं है (तब चर एक अक्षर की तरह दिखेगा), तो हम कुछ भी नहीं बदलते हैं, यदि वहाँ है (चर का प्रकार होगा, उदाहरण के लिए, 5y या 12y), तो यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि प्रत्येक असमानता में चयनित चर के सामने की संख्या समान होती है। ऐसा करने के लिए, आपको असमानताओं के प्रत्येक सदस्य को एक सामान्य कारक से गुणा करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, यदि पहली असमानता में 3y लिखा जाता है, और दूसरे में 5y लिखा जाता है, तो आपको पहली असमानता के सभी सदस्यों को गुणा करना होगा। 5 से, और दूसरा 3 से। यह क्रमशः 15y और 15y निकलेगा।

निर्णय का दूसरा चरण। प्रत्येक विषमता के बाएँ पक्ष को उनके दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करना आवश्यक है, प्रत्येक पद के चिह्न को विपरीत में परिवर्तन के साथ, दाईं ओर शून्य लिखें। फिर मजेदार हिस्सा आता है: असमानताओं को जोड़ते हुए चुने हुए चर (अन्यथा "कमी" के रूप में जाना जाता है) से छुटकारा पाना। आपको एक चर के साथ असमानता मिलेगी जिसे हल करने की आवश्यकता है। उसके बाद, आपको वही करना चाहिए, केवल किसी अन्य अज्ञात चर के साथ। प्राप्त परिणाम प्रणाली का समाधान होगा।

प्रतिस्थापन विधि

जब आप एक नया चर पेश करना संभव हो तो आपको असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की अनुमति देता है। आमतौर पर इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब असमानता के एक पद में अज्ञात चर को चौथी शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, और दूसरे पद में इसे चुकता कर दिया जाता है। इस प्रकार, इस पद्धति का उद्देश्य प्रणाली में असमानताओं की डिग्री को कम करना है। प्रतिदर्श असमानता x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 को इस प्रकार हल किया जाता है। एक नया चर पेश किया गया है, उदाहरण के लिए t. वे लिखते हैं: "चलो t = x 2", फिर मॉडल को एक नए रूप में फिर से लिखा जाता है। हमारे मामले में, हमें t 2 - t - 1 0 मिलता है। इस असमानता को अंतराल विधि (इसके बारे में थोड़ी देर बाद) द्वारा हल करने की आवश्यकता है, फिर चर X पर वापस लौटें, फिर दूसरी असमानता के साथ भी ऐसा ही करें। प्राप्त उत्तर प्रणाली का निर्णय होगा।

रिक्ति विधि

यह असमानताओं की प्रणालियों को हल करने का सबसे आसान तरीका है, और साथ ही यह सार्वभौमिक और व्यापक है। इसका उपयोग हाई स्कूल और यहां तक ​​कि हाई स्कूल में भी किया जाता है। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि छात्र संख्या रेखा पर असमानता के अंतराल की तलाश कर रहा है, जिसे एक नोटबुक में खींचा गया है (यह एक ग्राफ नहीं है, बल्कि संख्याओं के साथ एक साधारण सीधी रेखा है)। जहाँ असमानताओं के अंतराल प्रतिच्छेद करते हैं, वहाँ व्यवस्था का समाधान पाया जाता है। रिक्ति विधि का उपयोग करने के लिए, आपको इन चरणों का पालन करना होगा:

1. प्रत्येक असमानता के सभी सदस्यों को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है, एक संकेत परिवर्तन के साथ विपरीत (शून्य दाईं ओर लिखा होता है)।
2. असमानताओं को अलग से लिखा जाता है, उनमें से प्रत्येक का समाधान निर्धारित किया जाता है।
3. वास्तविक रेखा पर असमानताओं के प्रतिच्छेदन पाए जाते हैं। इन चौराहों पर सभी नंबर हल होंगे।

उपयोग करने का कौन सा तरीका?

जाहिर है वह सबसे आसान और सुविधाजनक लगता है, लेकिन ऐसे समय होते हैं जब कार्यों को एक निश्चित विधि की आवश्यकता होती है। अक्सर, वे कहते हैं कि आपको या तो ग्राफ का उपयोग करके या अंतराल विधि का उपयोग करके हल करने की आवश्यकता है। बीजगणितीय विधि और प्रतिस्थापन का उपयोग बहुत कम या बिल्कुल नहीं किया जाता है, क्योंकि वे काफी जटिल और भ्रमित करने वाले होते हैं, और इसके अलावा, वे असमानताओं के बजाय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए अधिक उपयोग किए जाते हैं, इसलिए आपको रेखांकन और अंतराल का सहारा लेना चाहिए। वे दृश्यता लाते हैं, जो गणितीय कार्यों के कुशल और तेज संचालन में योगदान नहीं कर सकता है।

अगर कुछ काम नहीं करता है

बीजगणित में किसी विशेष विषय के अध्ययन के दौरान, निश्चित रूप से, इसकी समझ में समस्याएँ उत्पन्न हो सकती हैं। और यह सामान्य है, क्योंकि हमारे मस्तिष्क को इस तरह से डिजाइन किया गया है कि वह एक बार में जटिल सामग्री को समझने में सक्षम नहीं है। अक्सर आपको एक पैराग्राफ को फिर से पढ़ने, शिक्षक की मदद लेने या सामान्य समस्याओं को हल करने का अभ्यास करने की आवश्यकता होती है। हमारे मामले में, उदाहरण के लिए, वे इस तरह दिखते हैं: "असमानताओं की प्रणाली को हल करें 3 x + 1 0 और 2 x - 1> 3"। इस प्रकार, व्यक्तिगत प्रयास, तीसरे पक्ष के लोगों की मदद और अभ्यास किसी भी जटिल विषय को समझने में मदद करते हैं।

रेशेबनिक?

और समाधान पुस्तक भी बहुत अच्छी तरह से अनुकूल है, लेकिन होमवर्क को धोखा देने के लिए नहीं, बल्कि स्वयं सहायता के लिए। आप उनमें समाधान के साथ असमानताओं की प्रणालियाँ पा सकते हैं, उन्हें (पैटर्न के रूप में) देखें, यह समझने की कोशिश करें कि समाधान के लेखक ने कार्य के साथ कैसे मुकाबला किया, और फिर इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

जाँच - परिणाम

बीजगणित स्कूल में सबसे कठिन विषयों में से एक है। अच्छा, तुम क्या कर सकते हो? गणित हमेशा से ऐसा ही रहा है: कुछ के लिए यह आसानी से आता है, और दूसरों के लिए यह मुश्किल है। लेकिन किसी भी मामले में, यह याद रखना चाहिए कि सामान्य शिक्षा कार्यक्रम इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि कोई भी छात्र इसका सामना कर सके। इसके अलावा, आपको बड़ी संख्या में सहायकों को ध्यान में रखना होगा। उनमें से कुछ का उल्लेख ऊपर किया गया है।

असमानताओं की व्यवस्थाअज्ञात मात्रा वाले दो या दो से अधिक असमानताओं के किसी भी सेट को कॉल करने की प्रथा है।

इस फॉर्मूलेशन को स्पष्ट रूप से चित्रित किया गया है, उदाहरण के लिए, इस तरह से असमानताओं की प्रणाली:

असमानताओं की प्रणाली को हल करें - अज्ञात चर के सभी मूल्यों को खोजने का मतलब है जिसके लिए सिस्टम की प्रत्येक असमानता का एहसास होता है, या यह साबित करने के लिए कि ऐसा कोई नहीं है .

तो, प्रत्येक व्यक्ति के लिए प्रणाली असमानताअज्ञात चर की गणना करें। इसके अलावा, परिणामी मूल्यों में से, केवल उन का चयन करता है जो पहली और दूसरी असमानताओं दोनों के लिए सही हैं। इसलिए, चुने हुए मूल्य को प्रतिस्थापित करते समय, सिस्टम की दोनों असमानताएं सही हो जाती हैं।

आइए कई असमानताओं के समाधान का विश्लेषण करें:

एक को संख्या रेखाओं के दूसरे युग्म के नीचे रखें; मूल्य को शीर्ष पर रखें एक्स, जिसके तहत पहली असमानता ओ ( एक्स> 1) सच हो, और तल पर, मूल्य एक्स, जो दूसरी असमानता का समाधान हैं ( एक्स> 4).

पर डेटा की तुलना करके संख्या रेखा, ध्यान दें कि दोनों के लिए समाधान असमानताओंमर्जी एक्स> 4. उत्तर, एक्स> 4.

उदाहरण 2

पहले की गणना असमानताहमें -3 ​​. मिलता है एक्स< -6, или एक्स> 2, दूसरा - एक्स> -8, या एक्स < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения एक्स, जिसके तहत प्रथम प्रणाली असमानता, और निचली संख्या रेखा पर, वे सभी मान एक्स, जिसके तहत व्यवस्था की दूसरी असमानता का एहसास होता है।

आँकड़ों की तुलना करने पर, हम पाते हैं कि दोनों असमानताओंसभी मूल्यों के लिए लागू किया जाएगा एक्स 2 से 8 तक रखा गया है। मूल्यों के समूह एक्सनिरूपित दोहरी असमानता 2 < एक्स< 8.

उदाहरण 3हमे पता करने दें

इस लेख ने असमानताओं की प्रणालियों के बारे में प्रारंभिक जानकारी एकत्र की है। यहां हम असमानताओं की प्रणाली की परिभाषा देते हैं और असमानताओं की प्रणाली के समाधान की परिभाषा देते हैं। यह उन मुख्य प्रकार की प्रणालियों को भी सूचीबद्ध करता है जिनके साथ आपको अक्सर स्कूल में बीजगणित पाठों में काम करना पड़ता है, और उदाहरण दिए गए हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

असमानताओं की एक प्रणाली क्या है?

असमानताओं की प्रणालियों को उसी तरह परिभाषित करना सुविधाजनक है जैसे हमने समीकरणों की एक प्रणाली की परिभाषा पेश की, यानी रिकॉर्ड के प्रकार और उसमें निहित अर्थ के अनुसार।

परिभाषा।

असमानताओं की प्रणालीएक रिकॉर्ड है जो एक निश्चित संख्या में असमानताओं का प्रतिनिधित्व करता है जो एक के नीचे एक लिखा हुआ है, एक घुंघराले ब्रैकेट द्वारा बाईं ओर एकजुट है, और सभी समाधानों के सेट को दर्शाता है जो एक साथ सिस्टम की प्रत्येक असमानता के समाधान हैं।

आइए हम असमानताओं की एक प्रणाली का एक उदाहरण दें। दो मनमाना लें, उदाहरण के लिए, 2 x−3>0 और 5−x≥4 x−11, उन्हें एक दूसरे के नीचे लिखें
2x−3>0 ,
5−x≥4 x−11
और प्रणाली के संकेत के साथ एकजुट हों - एक घुंघराले ब्रैकेट, परिणामस्वरूप हमें निम्नलिखित रूप की असमानताओं की एक प्रणाली मिलती है:

इसी तरह, स्कूली पाठ्यपुस्तकों में असमानताओं की प्रणालियों के बारे में एक विचार दिया गया है। यह ध्यान देने योग्य है कि उनमें परिभाषाएँ अधिक संकीर्ण रूप से दी गई हैं: एक चर के साथ असमानताओं के लिए या दो चर के साथ।

असमानताओं की मुख्य प्रकार की प्रणालियाँ

यह स्पष्ट है कि असमानताओं की असीम रूप से कई अलग-अलग प्रणालियाँ हैं। इस विविधता में खो न जाने के लिए, उन समूहों में विचार करना उचित है जिनकी अपनी विशिष्ट विशेषताएं हैं। असमानताओं की सभी प्रणालियों को निम्नलिखित मानदंडों के अनुसार समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

• प्रणाली में असमानताओं की संख्या से;
• रिकॉर्डिंग में शामिल चर की संख्या से;
• असमानताओं की प्रकृति से।

रिकॉर्ड में शामिल असमानताओं की संख्या के अनुसार, दो, तीन, चार, आदि की प्रणालियों को प्रतिष्ठित किया जाता है। असमानताएं पिछले पैराग्राफ में, हमने एक ऐसी प्रणाली का उदाहरण दिया जो दो असमानताओं की प्रणाली है। आइए हम चार असमानताओं की प्रणाली का एक और उदाहरण दिखाते हैं .

अलग से, हम कहते हैं कि एक असमानता की व्यवस्था के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है, वास्तव में, हम असमानता के बारे में ही बात कर रहे हैं, न कि व्यवस्था के बारे में।

यदि आप चरों की संख्या को देखें, तो एक, दो, तीन आदि के साथ असमानताओं की प्रणालियाँ हैं। चर (या, जैसा कि वे कहते हैं, अज्ञात)। ऊपर दो अनुच्छेदों में लिखी गई असमानताओं की अंतिम प्रणाली को देखें। यह तीन चरों x , y और z के साथ एक प्रणाली है। ध्यान दें कि उसकी पहली दो असमानताओं में सभी तीन चर नहीं हैं, लेकिन उनमें से केवल एक है। इस प्रणाली के संदर्भ में, उन्हें क्रमशः x+0 y+0 z≥−2 और 0 x+y+0 z≤5 रूप के तीन चर के साथ असमानताओं के रूप में समझा जाना चाहिए। ध्यान दें कि स्कूल एक चर के साथ असमानताओं पर केंद्रित है।

यह चर्चा करना बाकी है कि लेखन प्रणालियों में किस प्रकार की असमानताएँ शामिल हैं। स्कूल में, वे मुख्य रूप से एक या दो चर के साथ दो असमानताओं (कम अक्सर - तीन, और भी अधिक दुर्लभ - चार या अधिक) की प्रणालियों पर विचार करते हैं, और असमानताएं स्वयं आमतौर पर होती हैं पूर्णांक असमानताएंपहली या दूसरी डिग्री (कम अक्सर - उच्च डिग्री या आंशिक रूप से तर्कसंगत)। लेकिन आश्चर्यचकित न हों यदि, OGE की तैयारी के लिए सामग्री में, आप अपरिमेय, लघुगणक, घातांक और अन्य असमानताओं वाली असमानताओं की प्रणालियों में आते हैं। एक उदाहरण के रूप में, हम असमानताओं की प्रणाली प्रस्तुत करते हैं , से लिया गया है।

असमानताओं की व्यवस्था का समाधान क्या है?

हम असमानताओं की प्रणाली से संबंधित एक और परिभाषा पेश करते हैं - असमानताओं की प्रणाली के समाधान की परिभाषा:

परिभाषा।

एक चर के साथ असमानताओं की प्रणाली को हल करनाएक चर के ऐसे मान को कहा जाता है जो सिस्टम की प्रत्येक असमानता को सत्य में बदल देता है, दूसरे शब्दों में, सिस्टम की प्रत्येक असमानता का समाधान है।

आइए एक उदाहरण के साथ समझाते हैं। आइए एक चर के साथ दो असमानताओं की एक प्रणाली लें। आइए चर x का मान 8 के बराबर लें, यह परिभाषा के अनुसार असमानताओं की हमारी प्रणाली का समाधान है, क्योंकि सिस्टम की असमानताओं में इसका प्रतिस्थापन दो सही संख्यात्मक असमानताएं 8>7 और 2−3 8≤0 देता है। इसके विपरीत, इकाई प्रणाली का समाधान नहीं है, क्योंकि जब इसे चर x के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है, तो पहली असमानता गलत संख्यात्मक असमानता 1>7 में बदल जाएगी।

इसी तरह, हम दो, तीन या अधिक चर वाली असमानताओं की प्रणाली के समाधान की परिभाषा पेश कर सकते हैं:

परिभाषा।

दो, तीन, आदि के साथ असमानताओं की एक प्रणाली को हल करना। चरएक जोड़ी, ट्रिपल, आदि कहा जाता है। इन चरों के मूल्य, जो एक साथ प्रणाली की प्रत्येक असमानता का समाधान है, अर्थात यह प्रणाली की प्रत्येक असमानता को एक वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल देता है।

उदाहरण के लिए, मानों की एक जोड़ी x=1 , y=2 , या किसी अन्य संकेतन (1, 2) में दो चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली का समाधान है, क्योंकि 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

असमानताओं की प्रणालियों का कोई समाधान नहीं हो सकता है, उनके पास सीमित संख्या में समाधान हो सकते हैं, या असीमित रूप से कई समाधान हो सकते हैं। हम अक्सर असमानताओं की व्यवस्था के समाधान के बारे में बात करते हैं। जब किसी सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं होता है, तो उसके समाधानों का एक खाली सेट होता है। जब समाधान की एक सीमित संख्या होती है, तो समाधान के सेट में तत्वों की एक सीमित संख्या होती है, और जब असीमित कई समाधान होते हैं, तो समाधान के सेट में अनंत संख्या में तत्व होते हैं।

कुछ स्रोत असमानताओं की एक प्रणाली के लिए एक विशेष और सामान्य समाधान की परिभाषा पेश करते हैं, उदाहरण के लिए, मोर्दकोविच की पाठ्यपुस्तकों में। नीचे असमानताओं की प्रणाली का एक विशेष समाधानइसका एक ही उपाय समझें। इसकी बारी में असमानताओं की प्रणाली का सामान्य समाधान- ये सब उसके निजी फैसले हैं। हालाँकि, ये शब्द तभी समझ में आते हैं जब इस बात पर जोर देना आवश्यक हो कि किस समाधान पर चर्चा की जा रही है, लेकिन आमतौर पर यह संदर्भ से पहले से ही स्पष्ट है, इसलिए केवल "असमानताओं की एक प्रणाली का समाधान" कहना अधिक सामान्य है।

इस लेख में पेश की गई असमानताओं की प्रणाली और उसके समाधानों की परिभाषाओं से, यह इस प्रकार है कि असमानताओं की एक प्रणाली का समाधान इस प्रणाली की सभी असमानताओं के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन है।

ग्रंथ सूची।

1. बीजगणित:पाठयपुस्तक 8 कोशिकाओं के लिए। सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2008। - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019243-9।
2. बीजगणित:ग्रेड 9: पाठ्यपुस्तक। सामान्य शिक्षा के लिए संस्थान / [यू. एन। मकारिचेव, एन। जी। मिंड्युक, के। आई। नेशकोव, एस। बी। सुवोरोवा]; ईडी। एस ए तेल्याकोवस्की। - 16वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2009। - 271 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-021134-5।
3. मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित। श्रेणी 9 दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षणिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए। जी। मोर्दकोविच, पी। वी। सेमेनोव। - 13 वां संस्करण, सीनियर। - एम .: मेनेमोसिन, 2011. - 222 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01752-3।
4. मोर्दकोविच ए. जी.बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत। ग्रेड 11। दोपहर 2 बजे भाग 1। शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक (प्रोफाइल स्तर) / ए। जी। मोर्दकोविच, पी। वी। सेमेनोव। - दूसरा संस्करण।, मिटा दिया गया। - एम .: मेनेमोसिन, 2008. - 287 पी .: बीमार। आईएसबीएन 978-5-346-01027-2।
5. उपयोग-2013। गणित: विशिष्ट परीक्षा विकल्प: 30 विकल्प / एड। ए एल सेमेनोवा, आई वी यशचेंको। - एम।: पब्लिशिंग हाउस "नेशनल एजुकेशन", 2012। - 192 पी। - (USE-2013। FIPI - स्कूल)।

एक ही अज्ञात मात्रा वाली दो या दो से अधिक रैखिक असमानताओं के किसी भी संग्रह को कहा जाता है

ऐसी प्रणालियों के उदाहरण यहां दिए गए हैं:

दो किरणों का प्रतिच्छेदन अंतराल हमारा समाधान है। इसलिए, इस असमानता का समाधान सभी एक्सदो और आठ के बीच स्थित है।

जवाब: एक्स

असमानताओं की एक प्रणाली के समाधान के इस प्रकार के मानचित्रण के अनुप्रयोग को कभी-कभी कहा जाता है छत विधि.

परिभाषा:दो सेटों का प्रतिच्छेदन लेकिनऔर परऐसा तीसरा समुच्चय कहलाता है, जिसमें सभी अवयव शामिल होते हैं और इसमें शामिल होते हैं लेकिनऔर में पर. यह मनमानी प्रकृति के सेटों के प्रतिच्छेदन का अर्थ है। अब हम संख्यात्मक सेटों पर विस्तार से विचार कर रहे हैं, इसलिए, रैखिक असमानताओं को खोजने पर, ऐसे सेट किरणें हैं - सह-निर्देशित, प्रति-निर्देशित, और इसी तरह।

आइए असली पर पता करें उदाहरणअसमानताओं की रैखिक प्रणाली का पता लगाना, सिस्टम में शामिल व्यक्तिगत असमानताओं के समाधान के सेट के प्रतिच्छेदन का निर्धारण कैसे करना है।

गणना करना असमानताओं की प्रणाली:

आइए हम बल की दो रेखाएं एक के नीचे एक रखें। सबसे ऊपर हम उन मानों को रखते हैं एक्स,जो पहली असमानता को पूरा करते हैं एक्स>7 , और तल पर - जो दूसरी असमानता के समाधान के रूप में कार्य करता है एक्स>10 हम संख्या रेखाओं के परिणामों को सहसंबंधित करते हैं, यह पता लगाते हैं कि दोनों असमानताएँ संतुष्ट होंगी एक्स>10.

उत्तर: (10;+∞)।

हम पहले नमूने के अनुरूप करते हैं। किसी दिए गए संख्यात्मक अक्ष पर, उन सभी मानों को आलेखित करें एक्सजिसके लिए पहला मौजूद है प्रणाली असमानता, और दूसरे संख्यात्मक अक्ष पर, पहले के नीचे रखा गया, वे सभी मान एक्स, जिसके लिए प्रणाली की दूसरी असमानता संतुष्ट है। आइए हम इन दो परिणामों की तुलना करें और यह निर्धारित करें कि दोनों असमानताएं एक साथ सभी मूल्यों के लिए संतुष्ट होंगी एक्स 7 और 10 के बीच स्थित, संकेतों को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं 7<x≤10

उत्तर: (7; 10]।

निम्नलिखित को उसी तरह हल किया जाता है। असमानताओं की प्रणाली।