यह विषय दशमलव भिन्नों की तुलना के लिए एक सामान्य योजना और परिमित और अनंत भिन्नों की तुलना करने के सिद्धांत के विस्तृत विश्लेषण दोनों पर विचार करेगा। आइए हम विशिष्ट समस्याओं को हल करके सैद्धांतिक भाग को ठीक करें। हम उदाहरणों के साथ दशमलव अंशों की तुलना प्राकृतिक या मिश्रित संख्याओं और साधारण भिन्नों से भी करेंगे।

आइए एक स्पष्टीकरण दें: नीचे दिए गए सिद्धांत में, केवल सकारात्मक दशमलव अंशों की तुलना की जाएगी।

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

दशमलव भिन्नों की तुलना करने का सामान्य सिद्धांत

प्रत्येक परिमित दशमलव और अनंत आवर्ती दशमलव भिन्न के लिए, उनके संगत कुछ सामान्य भिन्न होते हैं। इसलिए, परिमित और अनंत आवर्त भिन्नों की तुलना उनके संगत साधारण भिन्नों की तुलना के रूप में की जा सकती है। दरअसल, यह कथन दशमलव आवर्त भिन्नों की तुलना करने का सामान्य सिद्धांत है।

सामान्य सिद्धांत के आधार पर, दशमलव अंशों की तुलना करने के नियम तैयार किए जाते हैं, जिनका पालन करना संभव है कि तुलना किए गए दशमलव अंशों को साधारण अंशों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है।

उन मामलों के बारे में भी यही कहा जा सकता है जब एक आवधिक दशमलव अंश की तुलना प्राकृतिक संख्याओं या मिश्रित संख्याओं, साधारण अंशों से की जाती है - दी गई संख्याओं को उनके संबंधित साधारण अंशों से बदला जाना चाहिए।

यदि हम अनंत गैर-आवधिक अंशों की तुलना करने की बात कर रहे हैं, तो इसे आमतौर पर परिमित दशमलव अंशों की तुलना करने के लिए कम किया जाता है। विचार के लिए, तुलनात्मक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों के ऐसे कई संकेत लिए जाते हैं, जिससे तुलना का परिणाम प्राप्त करना संभव हो जाएगा।

समान और असमान दशमलव

परिभाषा 1

समान दशमलव- ये दो अंतिम दशमलव भिन्न हैं, जिनके संगत समान साधारण भिन्न हैं। अन्यथा, दशमलव हैं असमान.

इस परिभाषा के आधार पर, इस तरह के एक बयान का औचित्य साबित करना आसान है: यदि किसी दिए गए दशमलव अंश के अंत में हम हस्ताक्षर करते हैं या इसके विपरीत, कई अंक 0 को छोड़ देते हैं, तो हमें इसके बराबर दशमलव अंश मिलता है। उदाहरण के लिए: 0 , 5 = 0 , 50 = 0 , 500 = ... । या: 130, 000 = 130, 00 = 130, 0 = 130। वास्तव में, दायीं ओर भिन्न के अंत में शून्य जोड़ने या हटाने का अर्थ है संबंधित साधारण भिन्न के अंश और हर को 10 से गुणा या विभाजित करना। आइए हम उसमें जोड़ें जो कहा गया है भिन्नों का मुख्य गुण (एक भिन्न के अंश और हर को एक ही प्राकृत संख्या से गुणा या भाग करके, हमें मूल के बराबर भिन्न प्राप्त होता है) और हमारे पास उपरोक्त कथन का प्रमाण है .

उदाहरण के लिए, दशमलव भिन्न 0, 7 एक साधारण भिन्न 7 10 से मेल खाती है। दायीं ओर शून्य जोड़ने पर हमें दशमलव भिन्न 0, 70 प्राप्त होता है, जो साधारण भिन्न 70 100, 7 70 100: 10 से मेल खाती है। . यानी: 0 , 7 = 0 , 70 । और इसके विपरीत: दशमलव अंश 0, 70 में दाईं ओर शून्य को छोड़कर, हमें अंश 0, 7 मिलता है - इस प्रकार, दशमलव अंश 70 100 से हम अंश 7 10 पर जाते हैं, लेकिन 7 10 \u003d 70: 10 100 : 10 फिर: 0, 70 \u003d 0, 7।

अब समान और असमान अनंत आवर्त दशमलव अंशों की अवधारणा की सामग्री पर विचार करें।

परिभाषा 2

समान अनंत आवर्त भिन्नअनंत आवर्त भिन्न हैं जिनके संगत समान साधारण भिन्न होते हैं। यदि उनके संगत साधारण भिन्न समान नहीं हैं, तो तुलना के लिए दिए गए आवर्त भिन्न भी हैं असमान.

यह परिभाषा हमें निम्नलिखित निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है:

यदि दी गई आवर्त दशमलव भिन्नों के अभिलेख समान हों, तो ऐसी भिन्न समान होती हैं। उदाहरण के लिए, आवर्त दशमलव 0, 21 (5423) और 0, 21 (5423) बराबर हैं;

यदि दिए गए दशमलव आवर्त भिन्नों में आवर्त एक ही स्थिति से प्रारंभ होते हैं, तो पहले भिन्न का आवर्त 0 और दूसरे का - 9 होता है; अंक पूर्ववर्ती अवधि 0 का मान पूर्ववर्ती अवधि 9 के अंक के मान से एक अधिक है, तो ऐसे अनंत आवधिक दशमलव अंश बराबर हैं। उदाहरण के लिए, आवर्त भिन्न 91 , 3 (0) और 91 , 2 (9) बराबर हैं, साथ ही भिन्न: 135 , (0) और 134 , (9) ;

कोई दो अन्य आवर्त भिन्न समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए: 8 , 0 (3) और 6 , (32); 0 , (42) और 0 , (131) आदि।

यह बराबर और असमान अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों पर विचार करने के लिए बनी हुई है। ऐसी भिन्न अपरिमेय संख्याएँ होती हैं और इन्हें साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। इसलिए, अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों की तुलना साधारण अंशों की तुलना में कम नहीं होती है।

परिभाषा 3

समान अनंत अनावर्ती दशमलवगैर-आवधिक दशमलव भिन्न हैं, जिनकी प्रविष्टियां बिल्कुल समान हैं।

प्रश्न तार्किक होगा: यदि ऐसे अंशों के "समाप्त" रिकॉर्ड को देखना असंभव है, तो रिकॉर्ड की तुलना कैसे करें? अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंशों की तुलना करते हुए, तुलना के लिए दिए गए अंशों के केवल एक निश्चित सीमित संख्या पर विचार करना आवश्यक है ताकि यह हमें निष्कर्ष निकालने की अनुमति दे। वे। संक्षेप में, अनंत अनावर्ती दशमलवों की तुलना करना परिमित दशमलवों की तुलना करना है।

यह दृष्टिकोण केवल माना अंक तक अनंत गैर-आवधिक अंशों की समानता का दावा करना संभव बनाता है। उदाहरण के लिए, भिन्न 6, 73451 ... और 6, 73451 ... सौ हजारवें हिस्से के बराबर हैं, क्योंकि अंतिम दशमलव 6, 73451 और 6, 7345 बराबर हैं। भिन्न 20, 47 ... और 20, 47 ... सौवें हिस्से के बराबर हैं, क्योंकि भिन्न 20, 47 और 20, 47 बराबर हैं, इत्यादि।

अनंत गैर-आवधिक भिन्नों की असमानता को अभिलेखों में स्पष्ट अंतर के साथ काफी ठोस रूप से स्थापित किया गया है। उदाहरण के लिए, भिन्न 6, 4135 ... और 6, 4176 ... या 4, 9824 ... और 7, 1132 ... और इसी तरह असमान हैं।

दशमलव भिन्नों की तुलना करने के नियम। उदाहरणों का समाधान

यदि यह स्थापित हो जाता है कि दो दशमलव अंश समान नहीं हैं, तो आमतौर पर यह निर्धारित करना भी आवश्यक है कि उनमें से कौन बड़ा है और कौन सा कम है। दशमलव भिन्नों की तुलना करने के नियमों पर विचार करें, जो उपरोक्त समस्या को हल करना संभव बनाते हैं।

अक्सर, तुलना के लिए दिए गए दशमलव अंशों के पूर्णांक भागों की तुलना करना ही पर्याप्त होता है।

परिभाषा 4

वह दशमलव भिन्न, जिसका पूर्णांक भाग बड़ा होता है, बड़ा होता है। छोटा अंश वह होता है जिसका पूर्णांक भाग छोटा होता है।

यह नियम सीमित दशमलव अंशों और अनंत अंशों दोनों पर लागू होता है।

उदाहरण 1

दशमलव अंशों की तुलना करना आवश्यक है: 7, 54 और 3, 97823 ....

फेसला

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि दी गई दशमलव भिन्न समान नहीं हैं। उनके पूरे हिस्से क्रमशः बराबर हैं: 7 और 3। क्योंकि 7 > 3, फिर 7, 54 > 3, 97823… .

जवाब: 7 , 54 > 3 , 97823 … .

उस स्थिति में जब तुलना के लिए दिए गए भिन्नों के पूर्णांक भाग समान होते हैं, समस्या का समाधान भिन्नात्मक भागों की तुलना करने के लिए कम हो जाता है। भिन्नात्मक भागों की तुलना थोड़ी-थोड़ी करके की जाती है - दसवें स्थान से निचले वाले तक।

पहले उस मामले पर विचार करें जब आपको अनुगामी दशमलव भिन्नों की तुलना करने की आवश्यकता हो।

उदाहरण 2

आप अंतिम दशमलव 0.65 और 0.6411 की तुलना करना चाहते हैं।

फेसला

जाहिर है, दिए गए भिन्नों के पूर्णांक भाग (0 = 0) हैं। आइए भिन्नात्मक भागों की तुलना करें: दसवें स्थान पर, मान (6 \u003d 6) हैं, लेकिन सौवें स्थान पर अंश 0, 65 का मान सौवें स्थान के मान से अधिक है भिन्न 0, 6411 (5 > 4)। तो 0.65> 0.6411।

जवाब: 0 , 65 > 0 , 6411 .

दशमलव स्थानों की भिन्न संख्या के साथ अंतिम दशमलव अंशों की तुलना करने के लिए कुछ कार्यों में, कम दशमलव स्थानों वाले अंश के दाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या को विशेषता देना आवश्यक है। तुलना शुरू होने से पहले ही दिए गए भिन्नों में दशमलव स्थानों की संख्या को इस तरह से बराबर करना सुविधाजनक है।

उदाहरण 3

अंतिम दशमलव 67 , 0205 और 67 , 020542 की तुलना करना आवश्यक है।

फेसला

ये भिन्न स्पष्ट रूप से समान नहीं हैं, क्योंकि उनके रिकॉर्ड अलग हैं। इसके अलावा, उनके पूर्णांक भाग समान हैं: 67 \u003d 67। दिए गए भिन्नों के भिन्नात्मक भागों की बिटवाइज तुलना करने के लिए आगे बढ़ने से पहले, हम कम दशमलव स्थानों वाली भिन्नों में दाईं ओर शून्य जोड़कर दशमलव स्थानों की संख्या की बराबरी करते हैं। फिर हमें तुलना के लिए भिन्न मिलते हैं: 67, 020500 और 67, 020542। हम थोड़ा-सा तुलना करते हैं और देखते हैं कि सौ-हजारवें स्थान पर भिन्न 67, 020542 का मान भिन्न 67, 020500 (4> 0) के संगत मान से अधिक है। तो 67.020500< 67 , 020542 , а значит 67 , 0205 < 67 , 020542 .

जवाब: 67 , 0205 < 67 , 020542 .

यदि एक परिमित दशमलव अंश की अनंत के साथ तुलना करना आवश्यक है, तो अंतिम अंश को 0 की अवधि के साथ इसके बराबर एक अनंत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। फिर थोड़ा सा तुलना की जाती है।

उदाहरण 4

अंतिम दशमलव अंश 6, 24 की अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश 6, 240012 से तुलना करना आवश्यक है ...

फेसला

हम देखते हैं कि दी गई भिन्नों के पूर्णांक भाग (6 = 6) हैं। दशम और सौवें स्थान पर दोनों भिन्नों का मान भी बराबर होता है। एक निष्कर्ष निकालने में सक्षम होने के लिए, हम तुलना जारी रखते हैं, इसके बराबर अंतिम दशमलव अंश को 0 की अवधि के साथ एक अनंत के साथ बदलते हैं और प्राप्त करते हैं: 6, 240000 ...। दशमलव के पांचवें स्थान पर पहुंचने के बाद, हम अंतर पाते हैं: 0< 1 , а значит: 6 , 240000 … < 6 , 240012 … . Тогда: 6 , 24 < 6 , 240012 … .

उत्तर: 6, 24< 6 , 240012 … .

अनंत दशमलव अंशों की तुलना करते समय, एक बिटवाइज तुलना का भी उपयोग किया जाता है, जो तब समाप्त हो जाएगा जब दिए गए अंशों के कुछ अंकों में मान भिन्न हो जाएंगे।

उदाहरण 5

अनंत दशमलव भिन्न 7, 41 (15) और 7, 42172 ... की तुलना करना आवश्यक है।

फेसला

दिए गए भिन्नों में समान पूर्ण भाग होते हैं, दशमांश का मान भी समान होता है, लेकिन सौवें स्थान पर हमें अंतर दिखाई देता है: 1< 2 . Тогда: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

जवाब: 7 , 41 (15) < 7 , 42172 … .

उदाहरण 6

अनंत आवर्त भिन्नों 4 , (13) और 4 , (131) की तुलना करना आवश्यक है।

फेसला:

समानताएँ स्पष्ट और सही हैं: 4 , (13) = 4 , 131313 … और 4 , (133) = 4 , 131131…। हम पूर्णांक भागों और बिटवाइज़ भिन्नात्मक भागों की तुलना करते हैं, और विसंगति को चौथे दशमलव स्थान पर ठीक करते हैं: 3 > 1 । फिर: 4 , 131313 … > 4 , 131131… , और 4 , (13) > 4 , (131) ।

जवाब: 4 , (13) > 4 , (131) .

एक दशमलव अंश की प्राकृतिक संख्या से तुलना करने का परिणाम प्राप्त करने के लिए, आपको दिए गए अंश के पूर्णांक भाग की किसी दिए गए प्राकृतिक संख्या से तुलना करने की आवश्यकता है। इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि 0 या 9 की अवधि वाले आवधिक अंशों को पहले उनके बराबर अंतिम दशमलव अंश के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

परिभाषा 5

यदि किसी दशमलव भिन्न का पूर्णांक भाग किसी दी गई प्राकृत संख्या से छोटा है, तो पूर्ण भिन्न किसी दी गई प्राकृत संख्या की तुलना में छोटा होता है। यदि दी गई भिन्न का पूर्णांक भाग किसी दी गई प्राकृत संख्या से बड़ा या उसके बराबर है, तो भिन्न दी गई प्राकृत संख्या से बड़ी होती है।

उदाहरण 7

प्राकृत संख्या 8 और दशमलव भिन्न 9, 3142... की तुलना करना आवश्यक है।

फेसला:

दी गई प्राकृत संख्या दी गई दशमलव भिन्न के पूर्णांक भाग से कम है (8 .)< 9) , а значит это число меньше заданной десятичной дроби.

जवाब: 8 < 9 , 3142 … .

उदाहरण 8

प्राकृत संख्या 5 और दशमलव भिन्न 5, 6 की तुलना करना आवश्यक है।

फेसला

किसी दिए गए भिन्न का पूर्णांक भाग किसी दी गई प्राकृत संख्या के बराबर होता है, तो उपरोक्त नियम के अनुसार 5< 5 , 6 .

जवाब: 5 < 5 , 6 .

उदाहरण 9

प्राकृत संख्या 4 और आवर्त दशमलव भिन्न 3 , (9) की तुलना करना आवश्यक है।

फेसला

दिए गए दशमलव भिन्न की अवधि 9 है, जिसका अर्थ है कि तुलना करने से पहले, दिए गए दशमलव अंश को उसके बराबर एक परिमित या प्राकृतिक संख्या से बदलना आवश्यक है। इस स्थिति में: 3 , (9) = 4। इस प्रकार, मूल डेटा बराबर हैं।

उत्तर: 4 = 3, (9)।

साधारण भिन्न या मिश्रित संख्या के साथ दशमलव भिन्न की तुलना करने के लिए, आपको यह करना होगा:

एक सामान्य भिन्न या मिश्रित संख्या को दशमलव के रूप में लिखें और फिर दशमलव की तुलना करें या
- दशमलव अंश को एक सामान्य भिन्न के रूप में लिखें (अनंत गैर-आवधिक को छोड़कर), और फिर किसी दिए गए सामान्य अंश या मिश्रित संख्या के साथ तुलना करें।

उदाहरण 10

दशमलव भिन्न 0, 34 और सार्व भिन्न 1 3 की तुलना करना आवश्यक है।

फेसला

आइए समस्या को दो तरीकों से हल करें।

1. हम दी गई साधारण भिन्न 1 3 को उसके बराबर आवर्त दशमलव भिन्न के रूप में लिखते हैं: 0 , 33333 ... . फिर दशमलव भिन्नों 0, 34 और 0, 33333… की तुलना करना आवश्यक हो जाता है। हमें प्राप्त होता है: 0 , 34 > 0 , 33333 ... , जिसका अर्थ है 0 , 34 > 1 3 ।
2. आइए दी गई दशमलव भिन्न 0, 34 को उसके बराबर साधारण के रूप में लिखें। यानी: 0 , 34 = 34 100 = 17 50। आइए सामान्य भिन्नों की विभिन्न हरों से तुलना करें और प्राप्त करें: 17 50 > 1 3 । इस प्रकार, 0 , 34 > 1 3 ।

जवाब: 0 , 34 > 1 3 .

उदाहरण 11

आपको एक अनंत गैर-दोहराए जाने वाले दशमलव 4 , 5693 ... और एक मिश्रित संख्या की तुलना करने की आवश्यकता है 4 3 8 .

फेसला

एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश को मिश्रित संख्या के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, लेकिन मिश्रित संख्या को एक अनुचित अंश में परिवर्तित करना संभव है, और यह बदले में, इसके बराबर दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है। फिर: 4 3 8 = 35 8 और

वे।: 4 3 8 = 35 8 = 4, 375। आइए दशमलव भिन्नों की तुलना करें: 4, 5693 ... और 4, 375 (4, 5693 ...> 4, 375) और प्राप्त करें: 4, 5693 ...> 4 3 8।

जवाब: 4 , 5693 … > 4 3 8 .

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भिन्न को हम एक पूर्ण का एक या अधिक बराबर भाग कहेंगे। एक भिन्न को दो प्राकृत संख्याओं का उपयोग करके लिखा जाता है, जो एक रेखा द्वारा अलग की जाती हैं। उदाहरण के लिए, 1/2, 14/4, , 5/9, आदि।

दंड के ऊपर की संख्या भिन्न का अंश कहलाती है, और दंड के नीचे की संख्या भिन्न का हर कहलाती है।

भिन्नात्मक संख्याओं के लिए जिनका हर 10, 100, 1000 आदि है। भाजक के बिना संख्या लिखने के लिए सहमत हुए। ऐसा करने के लिए, पहले संख्या का पूर्णांक भाग लिखें, अल्पविराम लगाएं और इस संख्या का भिन्नात्मक भाग, अर्थात भिन्नात्मक भाग का अंश लिखें।

उदाहरण के लिए, वे 6 * (7/10) के बजाय 6.7 लिखते हैं।

ऐसे रिकॉर्ड को दशमलव भिन्न कहा जाता है।

दो दशमलवों की तुलना कैसे करें

आइए जानें कि दो दशमलव अंशों की तुलना कैसे करें। ऐसा करने के लिए, हम पहले एक सहायक तथ्य को सत्यापित करते हैं।

उदाहरण के लिए, एक निश्चित खंड की लंबाई 7 सेंटीमीटर या 70 मिमी है। साथ ही 7 सेमी = 7/10 डीएम या दशमलव अंकन में 0.7 डीएम।

दूसरी ओर, 1 मिमी = 1/100 डीएम, फिर 70 मिमी = 70/100 डीएम, या दशमलव संकेतन में 0.70 डीएम।

इस प्रकार, हम पाते हैं कि 0.7 = 0.70।

इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि यदि दशमलव भिन्न के अंत में शून्य जोड़ा या छोड़ा जाता है, तो दिए गए अंश के बराबर भिन्न प्राप्त होता है। दूसरे शब्दों में, भिन्न का मान नहीं बदलेगा।

समान हर वाले भिन्न

मान लें कि हमें दो दशमलव 4.345 और 4.36 की तुलना करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, आपको शून्य को दाईं ओर जोड़कर या हटाकर दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करना होगा। आपको 4.345 और 4.360 मिलते हैं।

अब आपको उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लिखने की आवश्यकता है:

• 4,345 = 4345 / 1000 ;
• 4,360 = 4360 / 1000 .

परिणामी भिन्नों में समान भाजक होते हैं। भिन्नों की तुलना करने के नियम से, हम जानते हैं कि इस मामले में, बड़ा अंश बड़ा अंश वाला होता है। अतः भिन्न 4.36, भिन्न 4.345 से बड़ा है।

इस प्रकार, दो दशमलव अंशों की तुलना करने के लिए, आपको पहले उनके दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करना होगा, उनमें से एक को दाईं ओर शून्य निर्दिष्ट करना होगा, और फिर परिणामी प्राकृतिक संख्याओं की तुलना करने के लिए अल्पविराम को छोड़ना होगा।

दशमलव को संख्या रेखा पर बिंदुओं के रूप में दर्शाया जा सकता है। और इसलिए, कभी-कभी मामले में जब एक संख्या दूसरे से बड़ी होती है, तो वे कहते हैं कि यह संख्या दूसरे के दाईं ओर स्थित है, या यदि यह कम है, तो बाईं ओर।

यदि दो दशमलव भिन्न समान हों, तो उन्हें संख्या रेखा पर एक ही बिंदु से दर्शाया जाता है।

खंड AB 6 सेमी, यानी 60 मिमी है। चूँकि 1 सेमी = डीएम, तो 6 सेमी = डीएम। अतः AB 0.6 डीएम है। चूंकि 1 मिमी = डीएम, फिर 60 मिमी = डीएम। अत: AB = 0.60 डीएम।
इस प्रकार, एबी \u003d 0.6 डीएम \u003d 0.60 डीएम। इसका अर्थ है कि दशमलव भिन्न 0.6 और 0.60 एक ही खंड की लंबाई को डेसीमीटर में व्यक्त करते हैं। ये भिन्न एक दूसरे के बराबर हैं: 0.6 = 0.60।

यदि दशमलव भिन्न के अंत में शून्य जोड़ा जाता है या शून्य को हटा दिया जाता है, तो हमें प्राप्त होता है अंश, दिए गए के बराबर।
उदाहरण के लिए,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

आइए दो दशमलव 5.345 और 5.36 की तुलना करें। आइए दाईं ओर 5.36 की संख्या में शून्य जोड़कर दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करें। हमें भिन्न 5.345 और 5.360 प्राप्त होते हैं।

हम उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लिखते हैं:

इन अंशों में समान भाजक होते हैं। इसका मतलब है कि बड़ा अंश वाला बड़ा है।
5345 . से< 5360, то जिसका अर्थ है 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
दो दशमलव अंशों की तुलना करने के लिए, आपको पहले दशमलव स्थानों की संख्या को उनमें से एक को दाईं ओर शून्य निर्दिष्ट करके बराबर करना होगा, और फिर, अल्पविराम को छोड़कर, परिणामी की तुलना करना होगा पूर्णांकों.

निर्देशांक किरण पर दशमलव भिन्नों को सामान्य भिन्नों की तरह ही निरूपित किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, निर्देशांक किरण पर दशमलव अंश 0.4 को चित्रित करने के लिए, हम पहले इसे एक साधारण अंश के रूप में प्रस्तुत करते हैं: 0.4 = फिर हम किरण की शुरुआत से एक इकाई खंड के चार दसवें हिस्से को अलग रखते हैं। हमें बिंदु A(0,4) (आकृति 141) प्राप्त होता है।

निर्देशांक किरण पर समान दशमलव भिन्नों को एक ही बिंदु से दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, भिन्न 0.6 और 0.60 को एक बिंदु B द्वारा दर्शाया जाता है (देखिए आकृति 141)।

सबसे छोटा दशमलव पर पड़ता है समन्वय बीमबड़े वाले के बाईं ओर, और बड़ा वाला छोटे के दाईं ओर।

उदाहरण के लिए, 0.4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

यदि दशमलव के अंत में शून्य जोड़ दिया जाए तो क्या दशमलव बदल जाएगा?
A6 शून्य?
एक तुलना नियम तैयार करें दशमलवभिन्न

1172. एक दशमलव भिन्न लिखें:

क) चार दशमलव स्थानों के साथ, 0.87 के बराबर;
बी) पांच दशमलव स्थानों के साथ, 0.541 के बराबर;
ग) व्यस्त होने के बाद तीन अंकों के साथ, 35 के बराबर;
d) दो दशमलव स्थानों के साथ, 8.40000 के बराबर।

1173. दाईं ओर शून्य निर्दिष्ट करने के बाद, दशमलव भिन्नों में दशमलव स्थानों की संख्या को बराबर करें: 1.8; 13.54 और 0.789।

1174. छोटे भिन्न लिखें: 2.5000; 3.02000; 20.010

85.09 और 67.99; 55.7 और 55.7000; 0.5 और 0.724; 0.908 और 0.918; 7.6431 और 7.6429; 0.0025 और 0.00247।

1176. संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

अवरोही क्रम में व्यवस्थित करें।

ए) 1.41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
बी) 0.1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
ग) 2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. मूल्यों की तुलना करें:

ए) 98.52 मीटर और 65.39 मीटर; ई) 0.605 टी और 691.3 किलो;
बी) 149.63 किग्रा और 150.08 किग्रा; च) 4.572 किमी और 4671.3 मीटर;
सी) 3.55 डिग्री सेल्सियस और 3.61 डिग्री सेल्सियस; छ) 3.835 हेक्टेयर और 383.7 ए;
घ) 6.781 घंटे और 6.718 घंटे; ज) 7.521 एल और 7538 सेमी3।

क्या 3.5 किलो और 8.12 मीटर की तुलना करना संभव है? मात्राओं के कुछ उदाहरण दीजिए जिनकी तुलना नहीं की जा सकती।

1185. मौखिक रूप से गणना करें:

1186. गणना की श्रृंखला को पुनर्स्थापित करें

1187. क्या यह कहना संभव है कि दशमलव बिंदु के बाद दशमलव अंश में कितने अंक हैं यदि उसका नाम शब्द के साथ समाप्त होता है:

ए) सौवां; बी) दस हजारवां; ग) दसवां; घ) लाखों?

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खंड 7 दशमलव भिन्न और उनके साथ क्रिया

अनुभाग में आप सीखेंगे:

दशमलव भिन्न क्या है और इसकी संरचना क्या है;

दशमलव की तुलना कैसे करें;

दशमलव भिन्नों को जोड़ने और घटाने के नियम क्या हैं;

दो दशमलव भिन्नों का गुणनफल और भागफल कैसे ज्ञात करें;

किसी संख्या को गोल करना क्या है और संख्याओं को कैसे गोल करना है;

सीखी गई सामग्री को व्यवहार में कैसे लागू करें

§ 29. एक दशमलव अंश क्या है। दशमलव अंशों की तुलना

चित्र 220 को देखें। आप देख सकते हैं कि खंड AB की लंबाई 7 मिमी है, और खंड DC की लंबाई 18 मिमी है। इन खंडों की लंबाई सेंटीमीटर में देने के लिए, आपको भिन्नों का उपयोग करने की आवश्यकता है:

आप ऐसे कई अन्य उदाहरण जानते हैं जहां हर 10,100, 1000, और इसी तरह के भिन्नों का उपयोग किया जाता है। इसलिए,

ऐसे भिन्नों को दशमलव कहते हैं। उन्हें रिकॉर्ड करने के लिए, वे एक अधिक सुविधाजनक रूप का उपयोग करते हैं, जो शासक द्वारा आपके सामान से सुझाया जाता है। आइए प्रश्न में उदाहरण देखें।

आप जानते हैं कि खंड DC की लंबाई (चित्र 220) को मिश्रित संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

यदि हम इस संख्या के पूर्णांक भाग के बाद अल्पविराम लगाते हैं, और उसके बाद भिन्नात्मक भाग का अंश, तो हमें एक अधिक कॉम्पैक्ट नोटेशन मिलता है: 1.8 सेमी। खंड AB के लिए, तो हमें मिलता है: 0.7 सेमी। वास्तव में, अंश सही है, यह एक से छोटा है, इसलिए इसका पूर्णांक भाग 0 है। संख्या 1.8 और 0.7 दशमलव के उदाहरण हैं।

दशमलव अंश 1.8 को इस तरह पढ़ा जाता है: "एक बिंदु आठ", और अंश 0.7 - "शून्य बिंदु सात"।

भिन्न कैसे लिखें दशमलव रूप में? ऐसा करने के लिए, आपको दशमलव संकेतन की संरचना को जानना होगा।

दशमलव संकेतन में, हमेशा एक पूर्णांक और एक भिन्नात्मक भाग होता है। उन्हें अल्पविराम द्वारा अलग किया जाता है। पूर्णांक भाग में, वर्ग और अंक प्राकृतिक संख्याओं के समान होते हैं। आप जानते हैं कि ये इकाइयों के वर्ग हैं, हजारों, लाखों, आदि, और इनमें से प्रत्येक में 3 अंक हैं - इकाइयाँ, दहाई और सैकड़ों। दशमलव अंश के भिन्नात्मक भाग में, वर्गों को प्रतिष्ठित नहीं किया जाता है, और जितने चाहें उतने अंक हो सकते हैं, उनके नाम भिन्नों के हर के नाम से मेल खाते हैं - दसवां, सौवां, हज़ारवां, दस हज़ारवां, सौ हज़ारवां, मिलियनवां , दस लाखवां, आदि। दशमलव के भिन्नात्मक भाग में दसवां स्थान सबसे पुराना है।

तालिका 40 में आप दशमलव स्थानों के नाम और संख्या "एक सौ तेईस पूर्णांक और चार हजार पांच सौ छह सौ हजार" देखते हैं या

एक साधारण अंश में "सौ-हजारवें" के भिन्नात्मक भाग का नाम इसके हर को निर्धारित करता है, और दशमलव में - इसके भिन्नात्मक भाग का अंतिम अंक। आप देखते हैं कि संख्या के भिन्नात्मक भाग के अंश में हर में शून्य से एक कम अंक। यदि इस पर ध्यान नहीं दिया गया तो भिन्नात्मक भाग लिखने में त्रुटि होगी - 4506 सौ-हजारवें के स्थान पर हम 4506 दस-हजारवाँ लिखेंगे, परन्तु

इसलिए इस संख्या को दशमलव भिन्न के रूप में लिखते समय आपको दशमलव बिंदु (दसवें स्थान पर) के बाद 0 लगाना होगा: 123.04506।

टिप्पणी:

एक दशमलव भिन्न में, दशमलव बिंदु के बाद उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि संबंधित साधारण भिन्न के हर में शून्य होते हैं।

अब हम भिन्न लिख सकते हैं

दशमलव के रूप में।

दशमलव की तुलना प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही की जा सकती है। यदि दशमलव भिन्नों में अनेक अंक हों तो विशेष नियमों का प्रयोग किया जाता है। उदाहरणों पर विचार करें।

काम। भिन्नों की तुलना करें: 1) 96.234 और 830.123; 2) 3.574 और 3.547।

समाधान। 1, पहले अंश का पूर्णांक भाग दो अंकों की संख्या 96 है, और दूसरे के अंश का पूर्णांक भाग तीन अंकों की संख्या 830 है, इसलिए:

96,234 < 830,123.

2. भिन्नों की प्रविष्टियों में 3.574 तथा 3.547 तथा पूर्ण भाग समान हैं। इसलिए, हम उनके भिन्नात्मक भागों की थोड़ा-थोड़ा करके तुलना करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम इन भिन्नों को एक के नीचे एक लिखते हैं:

प्रत्येक भिन्न का 5 दहाई भाग होता है। लेकिन पहले अंश में 7 सौवां हिस्सा होता है, और दूसरे में - केवल 4 सौवां। इसलिए, पहला भिन्न दूसरे से बड़ा है: 3.574 > 3.547।

दशमलव भिन्नों की तुलना करने के नियम।

1. दो दशमलव भिन्नों में से बड़ा पूर्णांक वाला अंश बड़ा होता है।

2. यदि दशमलव भिन्नों के पूर्णांक भाग बराबर हैं, तो उनके भिन्नात्मक भागों की तुलना बिट दर बिट की जाती है, जो सबसे महत्वपूर्ण अंक से शुरू होती है।

सामान्य भिन्नों की तरह, दशमलव भिन्नों को निर्देशांक रेखा पर रखा जा सकता है। चित्र 221 में, आप देखते हैं कि बिंदु A, B और C के निर्देशांक हैं: A (0.2), B (0.9), C (1.6)।

और अधिक जानकारी प्राप्त करें

दशमलव दशमलव स्थितीय संख्या प्रणाली से संबंधित हैं। हालाँकि, उनकी उपस्थिति का एक लंबा इतिहास है और यह उत्कृष्ट गणितज्ञ और खगोलशास्त्री अल-काशी (पूरा नाम - जमशेद इब्न-मसूदल-काशी) के नाम से जुड़ा है। अपने काम "द की टू अरिथमेटिक" (XV सदियों) में, उन्होंने सबसे पहले दशमलव अंशों के साथ क्रियाओं के नियम तैयार किए, उनके साथ क्रियाओं को करने के उदाहरण दिए। अल-काशी की खोज के बारे में कुछ नहीं जानने के बाद, फ्लेमिश गणितज्ञ और इंजीनियर साइमन स्टीविन ने लगभग 150 साल बाद दूसरी बार दशमलव अंशों की "खोज" की। काम "दशमलव" (1585 पी।) में, एस स्टीविन ने दशमलव अंशों के सिद्धांत को रेखांकित किया। उन्होंने व्यावहारिक गणना के लिए दशमलव अंशों की सुविधा पर जोर देते हुए हर संभव तरीके से उन्हें बढ़ावा दिया।

भिन्नात्मक दशमलव भिन्न से पूर्णांक भाग को अलग करने का प्रस्ताव विभिन्न तरीकों से किया गया था। तो, अल-काशी ने अलग-अलग स्याही में पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को लिखा या उनके बीच एक लंबवत रेखा डाली। S. स्टीवन ने पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करने के लिए एक वृत्त में एक शून्य रखा। हमारे समय में स्वीकृत अल्पविराम प्रसिद्ध जर्मन खगोलशास्त्री जोहान्स केपलर (1571 - 1630) द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

चुनौतियों का समाधान करें

1173. खंड AB की लंबाई सेंटीमीटर में लिखिए यदि:

1) एबी = 5 मिमी; 2) एबी = 8 मिमी; 3) एबी = 9 मिमी; 4)एबी = 2 मिमी।

1174. भिन्न पढ़ें:

1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;

2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.

नाम: क) भिन्न का पूरा भाग; बी) भिन्न का भिन्नात्मक भाग; c) भिन्न के अंक।

1175. एक दशमलव भिन्न का उदाहरण दीजिए जिसमें दशमलव बिंदु है:

1) एक अंक; 2) दो अंक; 3) तीन अंक।

1176. दशमलव भिन्न में कितने दशमलव स्थान होते हैं यदि संबंधित साधारण भिन्न का हर बराबर है:

1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?

1177. किस भिन्न में पूर्णांक भाग अधिक होता है:

1) 12.5 या 115.2; 4) 789.154 या 78.4569;

2) 5.25 या 35.26; 5) 1258.00265 या 125.0333;

3) 185.25 या 56.325; 6) 1269.569 या 16.12?

1178. संख्या 1256897 में, अंतिम अंक को अल्पविराम से अलग करें और प्राप्त संख्या को पढ़ें। फिर क्रमिक रूप से अल्पविराम को एक अंक बाईं ओर पुनर्व्यवस्थित करें और प्राप्त अंशों को नाम दें।

1179. भिन्नों को पढ़िए और उन्हें दशमलव भिन्न के रूप में लिखिए:

1180 भिन्नों को पढ़िए और उन्हें दशमलव के रूप में लिखिए:

1181. साधारण भिन्न में लिखिए :

1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;

2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;

3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.

1182. साधारण भिन्न में लिखें:

1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.

1183. दशमलव भिन्न में लिखिए:

1) 8 पूरे 3 दहाई; 5) 145 बिंदु 14;

2) 12 पूरे 5 दहाई; 6) 125 बिंदु 19;

3) 0 पूरे 5 दहाई; 7) 0 पूरे 12 सौवें;

4) 12 पूरे 34 सौवां; 8) 0 पूरे 3 सौवें।

1184. दशमलव भिन्न में लिखें:

1) शून्य जितना आठ हजारवां;

2) बीस दशमलव चार सौवां;

3) तेरह दशमलव पांच सौवां;

4) एक सौ पैंतालीस दशमलव दो सौवां।

1185. अंश को भिन्न के रूप में और फिर दशमलव के रूप में लिखें:

1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;

2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.

1186. मिश्रित संख्या के रूप में और फिर दशमलव के रूप में लिखें:

1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;

2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.

1187. मिश्रित संख्या के रूप में और फिर दशमलव के रूप में लिखें:

1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;

2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.

1188. रिव्निया में एक्सप्रेस:

1) 35 के .; 2) 6 के .; 3) 12 UAH 35 कोप्पेक; 4) 123k।

1189. रिव्निया में एक्सप्रेस:

1) 58 के .; 2) 2 से .; 3) 56 UAH 55 कोप्पेक; 4) 175k।

1190. रिव्निया और कोप्पेक में लिखिए:

1) 10.34 UAH; 2) UAH 12.03; 3) 0.52 UAH; 4) UAH 126.05

1191. मीटर में व्यक्त करें और उत्तर को दशमलव भिन्न के रूप में लिखें: 1) 5 मीटर 7 डीएम; 2) 15 मीटर 58 सेमी; 3) 5 मीटर 2 मिमी; 4) 12 मीटर 4 डीएम 3 सेमी 2 मिमी।

1192. किलोमीटर में व्यक्त करें और दशमलव अंश में उत्तर लिखें: 1) 3 किमी 175 मीटर; 2) 45 किमी 47 मीटर; 3) 15 किमी 2 मी।

1193. मीटर और सेंटीमीटर में लिखें:

1) 12.55 मीटर; 2) 2.06 मीटर; 3) 0.25 मीटर; 4) 0.08 मीटर।

1194. काला सागर की सबसे बड़ी गहराई 2.211 किमी है। समुद्र की गहराई को मीटर में व्यक्त करें।

1195. भिन्नों की तुलना करें:

1) 15.5 और 16.5; 5) 4.2 और 4.3; 9) 1.4 और 1.52;

2) 12.4 और 12.5; 6) 14.5 और 15.5; 10) 4.568 और 4.569;

3) 45.8 और 45.59; 7) 43.04 और 43.1; 11)78.45178.458;

4) 0.4 और 0.6; 8) 1.23 और 1.364; 12) 2.25 और 2.243।

1196. भिन्नों की तुलना करें:

1) 78.5 और 79.5; 3) 78.3 और 78.89; 5) 25.03 और 25.3;

2) 22.3 और 22.7; 4) 0.3 और 0.8; 6) 23.569 और 23.568।

1197. दशमलव भिन्नों को आरोही क्रम में लिखिए:

1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;

2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.

1198. दशमलव भिन्नों को अवरोही क्रम में लिखिए:

15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.

1199. वर्ग मीटर में व्यक्त करें और दशमलव भिन्न के रूप में लिखें:

1) 5 डीएम2; 2) 15 सेमी2; 3)5dm212cm2.

1200. कमरा एक आयत के आकार में है। इसकी लंबाई 90 डीएम और चौड़ाई 40 डीएम है। कमरे का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। अपना उत्तर वर्ग मीटर में लिखें।

1201. भिन्नों की तुलना करें:

1) 0.04 और 0.06; 5) 1.003 और 1.03; 9) 120.058 और 120.051;

2) 402.0022 और 40.003; 6) 1.05 और 1.005; 10) 78.05 और 78.58;

3) 104.05 और 105.05; 7) 4.0502 और 4.0503; 11) 2.205 और 2.253;

4) 40.04 और 40.01; 8) 60.4007660.04007; 12) 20.12 और 25.012।

1202. भिन्नों की तुलना करें:

1) 0.03 और 0.3; 4) 6.4012 और 6.404;

2) 5.03 और 5.003; 5) 450.025 और 450.2054;

1203. निर्देशांक बीम पर भिन्नों के बीच के पाँच दशमलव अंश लिखिए:

1) 6.2 और 6.3; 2) 9.2 और 9.3; 3) 5.8 और 5.9; 4) 0.4 और 0.5।

1204. निर्देशांक बीम पर भिन्नों के बीच के पाँच दशमलव अंश लिखिए: 1) 3.1 और 3.2; 2) 7.4 और 7.5।

1205. दो आसन्न प्राकृतिक संख्याओं के बीच एक दशमलव अंश रखा गया है:

1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?

1206. पाँच दशमलव भिन्न लिखिए जिनके लिए असमानता सत्य है:

1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;

2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.

1207. पाँच दशमलव भिन्न लिखिए जिनके लिए असमानता सत्य है:

1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.

1208. सबसे बड़ा दशमलव अंश लिखिए:

1) दशमलव बिंदु के बाद दो अंकों के साथ, 2 से कम;

2) दशमलव बिंदु के बाद एक अंक 3 से कम;

3) दशमलव बिंदु के बाद तीन अंकों के साथ, 4 से कम;

4) दशमलव बिंदु के बाद चार अंकों के साथ, 1 से कम।

1209. सबसे छोटा दशमलव अंश लिखिए:

1) दशमलव बिंदु के बाद दो अंकों के साथ, जो 2 से अधिक है;

2) दशमलव बिंदु के बाद तीन अंकों के साथ, जो 4 से अधिक है।

1210. सही असमानता प्राप्त करने के लिए तारांकन के बजाय सभी संख्याओं को लिखें:

1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;

2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.

1211. सही असमानता प्राप्त करने के लिए तारांकन के बजाय कौन सी संख्या लगाई जा सकती है:

1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?

1212. सभी दशमलव भिन्नों को लिखें, जिनका पूरा भाग 6 है, और भिन्नात्मक भाग में तीन दशमलव स्थान हैं, जिन्हें 7 और 8 के रूप में लिखा गया है। इन भिन्नों को अवरोही क्रम में लिखें।

1213. छह दशमलव अंश लिखिए, जिनका पूरा भाग 45 है, और भिन्नात्मक भाग में चार अलग-अलग संख्याएँ हैं: 1, 2, 3, 4। इन भिन्नों को आरोही क्रम में लिखें।

1214. कितने दशमलव अंश बनाए जा सकते हैं, जिनमें से पूरा भाग 86 के बराबर है, और भिन्नात्मक भाग में तीन अलग-अलग अंक होते हैं: 1,2,3?

1215. कितने दशमलव भिन्न बनाए जा सकते हैं, जिनका पूरा भाग 5 के बराबर है, और भिन्नात्मक भाग तीन अंकों का है, जिसे 6 और 7 के रूप में लिखा गया है? इन भिन्नों को अवरोही क्रम में लिखिए।

1216. संख्या 50.004007 में तीन शून्य को पार करें ताकि यह बने:

1) सबसे बड़ी संख्या; 2) सबसे छोटी संख्या।

व्यवहार में लागू करें

1217. अपनी नोटबुक की लंबाई और चौड़ाई मिलीमीटर में मापें और अपना उत्तर डेसीमीटर में लिखें।

1218. दशमलव भिन्न का प्रयोग करते हुए अपनी ऊंचाई मीटर में लिखिए।

1219. अपने कमरे के आयामों को मापें और इसकी परिधि और क्षेत्र की गणना करें। अपना उत्तर मीटर और वर्ग मीटर में लिखें।

दोहराव कार्य

1220. x के किन मानों के लिए भिन्न गलत है?

1221. समीकरण को हल करें:

1222. स्टोर को 714 किलो सेब बेचने पड़े। पहले दिन के लिए, सभी सेब बेचे गए, और दूसरे के लिए - पहले दिन क्या बेचा गया था। 2 दिनों में कितने सेब बेचे गए?

1223. एक घन के किनारे को 10 सेमी कम करके एक घन प्राप्त किया गया, जिसका आयतन 8 dm3 है। पहले घन का आयतन ज्ञात कीजिए।

पाठ का उद्देश्य:

• दशमलव अंशों की तुलना और इसे लागू करने की क्षमता के लिए नियम की व्युत्पत्ति के लिए स्थितियां बनाएं;
• साधारण भिन्नों को दशमलव के रूप में लिखना, दशमलव को गोल करना;
• तार्किक सोच, सामान्यीकरण करने की क्षमता, अनुसंधान कौशल, भाषण विकसित करना।

कक्षाओं के दौरान

दोस्तों, आइए याद करें कि पिछले पाठों में हमने आपके साथ क्या किया था?

जवाब:दशमलव भिन्नों का अध्ययन किया, साधारण भिन्नों को दशमलव के रूप में और इसके विपरीत, गोल दशमलव भिन्नों को लिखा।

आप आज क्या करना चाहेंगे?

(छात्र उत्तर देते हैं।)

लेकिन फिर भी, हम पाठ में क्या करेंगे, आपको कुछ ही मिनटों में पता चल जाएगा। अपनी नोटबुक खोलें, तारीख लिख लें। एक छात्र बोर्ड में जाएगा और बोर्ड के पीछे से काम करेगा। मैं आपको उन कार्यों की पेशकश करूंगा जिन्हें आप मौखिक रूप से पूरा करते हैं। उत्तर को एक नोटबुक में अर्धविराम से अलग करके एक पंक्ति में लिखें। ब्लैकबोर्ड पर छात्र एक कॉलम में लिखता है।

मैं उन कार्यों को पढ़ता हूं जो बोर्ड पर पहले से लिखे होते हैं:

चलो देखते है। अन्य उत्तर किसके पास हैं? नियम याद रखें।

मिलना: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

पैटर्न सेट करें और परिणामी श्रृंखला को अन्य 2 संख्याओं के लिए जारी रखें। चलो देखते है।

प्रतिलेख लें और प्रत्येक संख्या के नीचे (बोर्ड में उत्तर देने वाला व्यक्ति संख्या के आगे एक पत्र डालता है) संबंधित पत्र डालें। शब्द पढ़ें।

डिक्रिप्शन:

तो हम कक्षा में क्या करने जा रहे हैं?

जवाब:तुलना।

तुलना से! ठीक है, उदाहरण के लिए, अब मैं अपने हाथों, 2 पाठ्यपुस्तकों, 3 शासकों की तुलना करना शुरू करूंगा। आप क्या तुलना करना चाहते हैं?

जवाब:दशमलव भाग।

पाठ का विषय क्या है?

मैं बोर्ड पर पाठ का विषय और छात्रों को नोटबुक में लिखता हूं: "दशमलव भिन्नों की तुलना।"

व्यायाम:संख्याओं की तुलना करें (बोर्ड पर लिखा हुआ)

18.625 और 5.784		15.200 और 15.200
3.0251 और 21.02		7.65 और 7.8
23.0521 और 0.0521		0.089 और 0.0081

सबसे पहले, बाईं ओर खोलें। पूरे हिस्से अलग हैं। हम भिन्न पूर्णांक भागों के साथ दशमलव अंशों की तुलना करने के बारे में एक निष्कर्ष निकालते हैं। दाईं ओर खोलें। पूरे भाग समान संख्याएँ हैं। तुलना कैसे करें?

प्रस्ताव:दशमलव भिन्नों को उभयनिष्ठ भिन्नों के रूप में लिखिए और तुलना कीजिए।

साधारण भिन्नों की तुलना लिखिए। यदि प्रत्येक दशमलव को एक उभयनिष्ठ भिन्न में बदल दिया जाए और 2 भिन्नों की तुलना की जाए, तो इसमें लंबा समय लगेगा। क्या हम एक तुलना नियम प्राप्त कर सकते हैं? (छात्रों का सुझाव है।) मैंने दशमलव भिन्नों की तुलना करने के लिए नियम लिखा है, जो लेखक ने सुझाया है। आइए तुलना करें।

कागज के एक टुकड़े पर 2 नियम छपे होते हैं:

1. यदि दशमलव भिन्नों के पूर्णांक भाग भिन्न हों, तो वह भिन्न बड़ा होता है, जिसका पूर्णांक भाग बड़ा होता है।
2. यदि दशमलव भिन्नों के पूर्णांक भाग समान हैं, तो बड़ा अंश वह है जिसमें दशमलव बिंदु के बाद बेमेल अंकों में से पहला बड़ा होता है।

हमने एक खोज की है। और यह खोज दशमलव भिन्नों की तुलना करने का नियम है। यह पाठ्यपुस्तक के लेखक द्वारा प्रस्तावित नियम के साथ मेल खाता था।

मैंने देखा है कि नियम कहते हैं कि 2 भिन्नों में से कौन सा बड़ा है। क्या आप मुझे बता सकते हैं कि 2 दशमलवों में से कौन सा छोटा है।

पृष्ठ 172 पर नोटबुक संख्या 785 (1, 2) में पूरा करें। कार्य बोर्ड पर लिखा गया है। छात्र टिप्पणी करते हैं, और शिक्षक संकेत देते हैं।

व्यायाम:तुलना करना

3.4208 और 3.4028

तो आज हमने क्या करना सीखा है? आइए खुद की जांच करें। कार्बन पेपर के साथ कागज की चादरों पर काम करें।

विद्यार्थी > चिह्नों का उपयोग करके दशमलव की तुलना करते हैं।<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

स्वतंत्र काम।

(बोर्ड के पीछे चेक-उत्तर।)

तुलना करना

148.05 और 14.805

6.44806 और 6.44863

35.601 और 35.6010

इसे करने वाले पहले व्यक्ति को कार्य मिलता है (बोर्ड के पीछे से प्रदर्शन करता है) नंबर 786 (1, 2):

एक पैटर्न खोजें और क्रम में अगली संख्या लिखें। संख्याओं को आरोही क्रम में किस क्रम में व्यवस्थित किया गया है, किस क्रम में अवरोही क्रम में?

जवाब:

1. 0.1; 0.02; 0.003; 0.0004; 0.00005; (0.000006) - घटते
2. 0.1; 0.11; 0.111; 0.1111; 0.11111; (0.111111) - बढ़ता है।

अंतिम छात्र द्वारा कार्य प्रस्तुत करने के बाद - जाँच करें।

छात्र अपने उत्तरों की तुलना करते हैं।

जिन्होंने सब कुछ सही किया, वे खुद को "5" के रूप में चिह्नित करेंगे, जिन्होंने 1-2 गलतियाँ कीं - "4", 3 गलतियाँ - "3"। पता करें कि किस नियम के लिए किस तुलना में त्रुटियां की गईं।

अपना होमवर्क लिखें: नंबर 813, नंबर 814 (आइटम 4, पृष्ठ 171)। टिप्पणी। यदि समय हो तो क्रमांक 786(1, 3), संख्या 793(ए) निष्पादित करें।

पाठ का सारांश।

1. तुम लोगों ने कक्षा में क्या करना सीखा?
2. आपको पसंद आया या नापसंद?
3. क्या कठिनाइयाँ थीं?

पत्रक लें और उन्हें भरें, सामग्री के आपके आत्मसात करने की डिग्री का संकेत दें:

• पूरी तरह से महारत हासिल है, मैं प्रदर्शन कर सकता हूं;
• पूरी तरह से सीखा है, लेकिन इसे लागू करना मुश्किल है;
• आंशिक रूप से अर्जित;
• अर्जित नहीं किया।

सबक के लिए धन्यवाद।