कई गुणों में व्युत्क्रम के समान।

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उलटा मैट्रिक्स कैसे खोजें - bezbotvy

उलटा मैट्रिक्स (खोजने के 2 तरीके)

उलटा मैट्रिक्स #1

✪ 2015-01-28। उलटा मैट्रिक्स 3x3

✪ 2015-01-27। उलटा मैट्रिक्स 2x2

उपशीर्षक

उलटा मैट्रिक्स गुण

• det A - 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), कहाँ पे det (\displaystyle \\det )एक निर्धारक को दर्शाता है।
• (ए बी) − 1 = बी − 1 ए − 1 (\displaystyle \ (एबी)^(-1)=बी^(-1)ए^(-1))दो वर्ग उल्टे मैट्रिक्स के लिए ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए)और बी (\ डिस्प्लेस्टाइल बी).
• (ए टी) - 1 = (ए -1) टी (\displaystyle \ (ए^(टी))^(-1)=(ए^(-1))^(टी)), कहाँ पे (...) टी (\displaystyle (...)^(टी))ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स को दर्शाता है।
• (के ए) - 1 = के - 1 ए - 1 (\displaystyle \ (केए)^(-1)=k^(-1)A^(-1))किसी गुणांक के लिए के 0 (\displaystyle k\नहीं = 0).
• ई - 1 = ई (\displaystyle \ ई^(-1)=ई).
• यदि रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना आवश्यक है, (बी एक गैर-शून्य वेक्टर है) जहां x (\displaystyle x)वांछित वेक्टर है, और यदि ए -1 (\displaystyle ए^(-1))मौजूद है, तो x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). अन्यथा, या तो समाधान स्थान का आयाम शून्य से अधिक है, या कोई भी नहीं है।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के तरीके

यदि मैट्रिक्स उलटा है, तो मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के लिए, आप निम्न विधियों में से एक का उपयोग कर सकते हैं:

सटीक (प्रत्यक्ष) तरीके

गॉस-जॉर्डन विधि

आइए दो मैट्रिक्स लें: स्वयं एऔर एकल इ. आइए मैट्रिक्स लाते हैं एगॉस-जॉर्डन विधि द्वारा पहचान मैट्रिक्स के लिए पंक्तियों में परिवर्तन लागू करना (आप स्तंभों में परिवर्तन भी लागू कर सकते हैं, लेकिन मिश्रण में नहीं)। प्रत्येक ऑपरेशन को पहले मैट्रिक्स में लागू करने के बाद, उसी ऑपरेशन को दूसरे पर लागू करें। जब पहले मैट्रिक्स की पहचान फॉर्म में कमी पूरी हो जाती है, तो दूसरा मैट्रिक्स बराबर होगा ए -1.

गॉस विधि का उपयोग करते समय, पहले मैट्रिक्स को बाईं ओर से प्राथमिक मैट्रिक्स में से एक से गुणा किया जाएगा मैं (\displaystyle \लैम्ब्डा _(i))(एक स्थिति को छोड़कर, मुख्य विकर्ण पर वाले के साथ ट्रांसवेक्शन या विकर्ण-मैट्रिक्स):

1 n ⋅ ए = Λ ए = ई ⇒ = ए − 1 (\displaystyle \लैम्ब्डा _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Rightarrow \Lambda =A^(-1)). Λ एम = [ 1 ... 0 - ए 1 मीटर / एम एम 0 ... 0 ... 0 ... 1 - ए एम - 1 मीटर / एम एम 0 ... 0 0 ... 0 1 / एम एम 0 ... 0 0 ... 0 - ए एम + 1 मीटर / एम एम 1 … 0 … 0 … 0 - ए एन एम / ए एम एम 0 … 1 ] (\displaystyle \लैम्ब्डा _(एम)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

सभी परिचालनों को लागू करने के बाद दूसरा मैट्रिक्स बराबर होगा (\displaystyle \लैम्ब्डा ), यानी वांछित होगा। एल्गोरिथम की जटिलता - ओ (एन 3) (\ डिस्प्लेस्टाइल ओ (एन ^ (3))).

बीजीय योगों के मैट्रिक्स का उपयोग करना

मैट्रिक्स उलटा मैट्रिक्स ए (\ डिस्प्लेस्टाइल ए), रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

कहाँ पे adj (ए) (\displaystyle (\mbox(adj))(ए))- संलग्न मैट्रिक्स;

एल्गोरिथ्म की जटिलता, सारणिक O det की गणना के लिए एल्गोरिथ्म की जटिलता पर निर्भर करती है और O(n²) O det के बराबर होती है।

LU/LUP अपघटन का उपयोग करना

मैट्रिक्स समीकरण A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))उलटा मैट्रिक्स के लिए एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)संग्रह के रूप में देखा जा सकता है n (\displaystyle n)फॉर्म की प्रणाली A x = b (\displaystyle Ax=b). निरूपित मैं (\displaystyle मैं)- मैट्रिक्स का वां कॉलम एक्स (\डिस्प्लेस्टाइल एक्स)के माध्यम से X i (\displaystyle X_(i)); तब A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), मैं = 1 ,… , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),जहां तक ​​कि मैं (\displaystyle मैं)- मैट्रिक्स का वां कॉलम मैं n (\displaystyle I_(n))इकाई वेक्टर है ई मैं (\displaystyle e_(i)). दूसरे शब्दों में, व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए एक ही मैट्रिक्स और विभिन्न दाहिने हाथ वाले n समीकरणों को हल करने के लिए कम किया जाता है। LUP विस्तार (समय O(n³)) चलाने के बाद प्रत्येक n समीकरणों को हल करने में O(n²) समय लगता है, इसलिए कार्य के इस भाग में O(n³) समय भी लगता है।

यदि मैट्रिक्स A एकवचन नहीं है, तो हम इसके लिए LUP अपघटन की गणना कर सकते हैं पी ए = एल यू (\displaystyle PA=LU). रहने दो पी ए = बी (\ डिस्प्लेस्टाइल पीए = बी), बी -1 = डी (\displaystyle बी^(-1)=डी). फिर, व्युत्क्रम मैट्रिक्स के गुणों से, हम लिख सकते हैं: डी = यू − 1 एल − 1 (\displaystyle डी=यू^(-1)एल^(-1)). यदि हम इस समानता को U और L से गुणा करें, तो हमें फॉर्म की दो समानताएँ मिल सकती हैं यू डी = एल - 1 (\displaystyle UD=L^(-1))और डी एल = यू - 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). इनमें से पहली समानता के लिए n² रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))जिनमें से दाहिने हाथ की भुजाएँ ज्ञात हैं (त्रिकोणीय आव्यूह के गुणों से)। दूसरा भी . के लिए n² रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))जिनमें से दाहिने हाथ की भुजाएँ ज्ञात हैं (त्रिकोणीय आव्यूह के गुणों से भी)। साथ में वे n² समानता की एक प्रणाली बनाते हैं। इन समानताओं का उपयोग करके, हम मैट्रिक्स D के सभी n² तत्वों को पुनरावर्ती रूप से निर्धारित कर सकते हैं। फिर समानता (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D से हम समानता प्राप्त करते हैं A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

एलयू अपघटन का उपयोग करने के मामले में, मैट्रिक्स डी के कॉलम के क्रमपरिवर्तन की आवश्यकता नहीं है, लेकिन मैट्रिक्स ए नॉनसिंगुलर होने पर भी समाधान अलग हो सकता है।

एल्गोरिथ्म की जटिलता ओ (एन³) है।

पुनरावृत्त तरीके

शुल्त्स तरीके

( k = E - A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases))\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\sum _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

त्रुटि अनुमान

प्रारंभिक सन्निकटन का विकल्प

यहां पर विचार किए गए पुनरावृत्त मैट्रिक्स व्युत्क्रम की प्रक्रियाओं में प्रारंभिक सन्निकटन को चुनने की समस्या हमें उन्हें स्वतंत्र सार्वभौमिक तरीकों के रूप में व्यवहार करने की अनुमति नहीं देती है जो प्रत्यक्ष उलटा विधियों के साथ प्रतिस्पर्धा करते हैं, उदाहरण के लिए, मैट्रिस के एलयू अपघटन पर। चुनने के लिए कुछ सिफारिशें हैं यू 0 (\displaystyle U_(0)), शर्त की पूर्ति सुनिश्चित करना ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (मैट्रिक्स की वर्णक्रमीय त्रिज्या एकता से कम है), जो प्रक्रिया के अभिसरण के लिए आवश्यक और पर्याप्त है। हालांकि, इस मामले में, पहले, इनवर्टिबल मैट्रिक्स ए या मैट्रिक्स के स्पेक्ट्रम के अनुमान के ऊपर से जानना आवश्यक है ए ए टी (\displaystyle एए^(टी))(अर्थात्, यदि A एक सममित धनात्मक निश्चित आव्यूह है और (ए) β (\displaystyle \rho (ए)\leq \beta ), तो आप ले सकते हैं यू 0 = α ई (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), कहाँ पे ; अगर ए एक मनमाना गैर-एकवचन मैट्रिक्स है और ρ (ए ए टी) β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), तो मान लीजिए यू 0 = α ए टी (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), कहाँ भी α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); बेशक, स्थिति को सरल बनाया जा सकता है और इस तथ्य का उपयोग करके कि ρ (A A T) k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), लगाना यू 0 = ए टी ‖ ए ए टी ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))) दूसरे, प्रारंभिक मैट्रिक्स के ऐसे विनिर्देश के साथ, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि 0 ‖ (\displaystyle \|\साई _(0)\|)छोटा होगा (शायद यहां तक ​​कि 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\साई _(0)\|>1)), और अभिसरण दर का एक उच्च क्रम तुरंत स्पष्ट नहीं होगा।

उदाहरण

मैट्रिक्स 2x2

A - 1 = [ a b c d ] - 1 = 1 det (A) [ d - b - c a ] = 1 a d - b c [ d - b - c a ] । (\displaystyle \mathbf (ए) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf) (ए))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- बीसी))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix)).)

2x2 मैट्रिक्स का व्युत्क्रम केवल इस शर्त के तहत संभव है कि a d - b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

पहले भाग में बीजगणितीय योगों का उपयोग करके प्रतिलोम आव्यूह ज्ञात करने की एक विधि पर विचार किया गया। यहां हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए एक और विधि का वर्णन करते हैं: गॉस और गॉस-जॉर्डन परिवर्तनों का उपयोग करना। अक्सर व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की इस पद्धति को प्राथमिक परिवर्तनों की विधि कहा जाता है।

प्राथमिक परिवर्तनों की विधि

इस पद्धति को लागू करने के लिए, दिए गए मैट्रिक्स $A$ और पहचान मैट्रिक्स $E$ को एक मैट्रिक्स में लिखा जाता है, अर्थात। $(A|E)$ फॉर्म का एक मैट्रिक्स बनाएं (इस मैट्रिक्स को विस्तारित मैट्रिक्स भी कहा जाता है)। उसके बाद, विस्तारित मैट्रिक्स की पंक्तियों के साथ किए गए प्राथमिक परिवर्तनों की मदद से, रेखा के बाईं ओर का मैट्रिक्स एकता बन जाता है, और विस्तारित मैट्रिक्स $\left(E| A^(-1) \right का रूप लेता है )$. इस स्थिति में प्राथमिक परिवर्तनों में निम्नलिखित क्रियाएं शामिल हैं:

1. दो पंक्तियों की जगह।
2. एक स्ट्रिंग के सभी तत्वों को कुछ गैर-शून्य संख्या से गुणा करना।
3. एक पंक्ति के तत्वों को किसी भी कारक से गुणा करके दूसरी पंक्ति के संगत तत्वों को जोड़ना।

इन प्राथमिक परिवर्तनों को विभिन्न तरीकों से लागू किया जा सकता है। आमतौर पर गॉस विधि या गॉस-जॉर्डन पद्धति को चुना जाता है। सामान्य तौर पर, गॉस और गॉस-जॉर्डन विधियां रैखिक बीजीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए अभिप्रेत हैं, न कि व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने के लिए। वाक्यांश "एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के लिए गॉस विधि को लागू करना" को यहां "एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के लिए गॉस विधि में निहित संचालन को लागू करने" के रूप में समझा जाना चाहिए।

उदाहरणों की संख्या पहले भाग से जारी रही। उदाहरणों में व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए गॉस विधि के उपयोग पर विचार किया जाता है, और उदाहरणों में और गॉस-जॉर्डन पद्धति के उपयोग का विश्लेषण किया जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि समाधान के दौरान रेखा से पहले स्थित मैट्रिक्स की किसी पंक्ति या स्तंभ के सभी तत्व शून्य पर सेट हो जाते हैं, तो व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद नहीं होता है।

उदाहरण #5

मैट्रिक्स खोजें $A^(-1)$ अगर $A=\left(\begin(array) (ccc) 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end( array )\दाएं)$.

इस उदाहरण में, गाऊसी पद्धति का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स पाया जाएगा। संवर्धित मैट्रिक्स, जो आम तौर पर $(A|E)$ है, इस उदाहरण में निम्नलिखित रूप लेता है: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 और 5 और -4 और 0 और 1 और 0 \\ 1 और -1 और 3 और 0 और 0 और 1 \end(array) \right)$।

उद्देश्य: प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करके, संवर्धित मैट्रिक्स को $\left(E|A^(-1) \right)$ के रूप में लाएं। हम वही संक्रियाएँ लागू करते हैं जो गॉस विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने में उपयोग की जाती हैं। गाऊसी पद्धति को लागू करने के लिए, यह सुविधाजनक है जब विस्तारित मैट्रिक्स की पहली पंक्ति का पहला तत्व एक है। इसे प्राप्त करने के लिए, हम विस्तारित मैट्रिक्स की पहली और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करते हैं, जो बन जाती है: $ \ बाएँ (\ start (सरणी) (ccc | ccc) 1 और -1 और 3 और 0 और 0 और 1 \\ 2 और 5 & - 4 और 0 और 1 और 0 \\ 7 और 4 और 6 और 1 और 0 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) $।

आइए अब समाधान पर आते हैं। गॉस विधि को दो चरणों में विभाजित किया गया है: आगे और पीछे (समीकरण प्रणालियों को हल करने के लिए इस पद्धति का विस्तृत विवरण संबंधित विषय के उदाहरणों में दिया गया है)। उलटा मैट्रिक्स खोजने की प्रक्रिया में वही दो चरण लागू होंगे।

फॉरवर्ड स्ट्रोक

पहला कदम

पहली पंक्ति की मदद से, हम पहली पंक्ति के नीचे स्थित पहले कॉलम के तत्वों को रीसेट करते हैं:

मैंने जो किया उसके बारे में मुझे कुछ टिप्पणी करने दो। संकेतन $II-2\cdot I$ का अर्थ है कि पहली पंक्ति के संबंधित तत्व, पहले दो से गुणा किए गए, दूसरी पंक्ति के तत्वों से घटाए गए हैं। इस क्रिया को अलग से इस प्रकार लिखा जा सकता है:

क्रिया $III-7\cdot I$ ठीक उसी तरह से की जाती है। यदि इन कार्यों को करने में कठिनाइयाँ आती हैं, तो उन्हें अलग से किया जा सकता है (इसी तरह ऊपर दिखाए गए $II-2\cdot I$ क्रिया के समान), और फिर परिणाम विस्तारित मैट्रिक्स में दर्ज किया जाता है।

दूसरा कदम

दूसरी पंक्ति की मदद से, हम दूसरी पंक्ति के नीचे स्थित दूसरे कॉलम के तत्व को रीसेट करते हैं:

तीसरी पंक्ति को 5 से विभाजित करें:

सीधा रन खत्म हो गया है। लाइन तक मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित सभी तत्वों को शून्य पर रीसेट कर दिया गया था।

उल्टा

पहला कदम

तीसरी पंक्ति की मदद से, हम तीसरी पंक्ति के ऊपर स्थित तीसरे कॉलम के तत्वों को रीसेट करते हैं:

अगले चरण पर जाने से पहले, दूसरी पंक्ति को $7$ से विभाजित करें:

दूसरा कदम

दूसरी पंक्ति की सहायता से, हम दूसरी पंक्ति के ऊपर स्थित दूसरे स्तंभ के तत्वों को रीसेट करते हैं:

रूपांतरण पूरा हो गया है, व्युत्क्रम मैट्रिक्स गॉसियन विधि द्वारा पाया जाता है: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 और -3 और -8 \ \ 7/5 और -11/5 और -27/5 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $। जाँच, यदि आवश्यक हो, पिछले उदाहरणों की तरह ही की जा सकती है। यदि आप सभी स्पष्टीकरणों को छोड़ देते हैं, तो समाधान रूप लेगा:

जवाब: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/ 5 और -27/5 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

उदाहरण #6

मैट्रिक्स खोजें $A^(-1)$ अगर $A=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & - 4 और -3 \\ 1 और 4 और 0 और 6 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) $।

इस उदाहरण में व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए, हम उन्हीं संक्रियाओं का उपयोग करेंगे जो गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों के सिस्टम को हल करने में उपयोग की जाती हैं। विस्तृत स्पष्टीकरण इसमें दिए गए हैं, लेकिन यहां हम संक्षिप्त टिप्पणियों तक ही सीमित हैं। आइए ऑगमेंटेड मैट्रिक्स लिखें: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 और 7 और -4 और -3 और 0 और 0 और 1 और 0\\ 1 और 4 और 0 और 6 और 0 और 0 और 0 और 1 \end(सरणी) \दाएं)$। इस मैट्रिक्स की पहली और चौथी पंक्तियों को स्वैप करें: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \\ 0 और 7 और -4 और -3 और 0 और 0 और 1 और 0\\ -5 और 4 और 1 और 0 और 1 और 0 और 0 और 0 \end(सरणी) \दाएं)$।

फॉरवर्ड स्ट्रोक

फॉरवर्ड रन ट्रांसफॉर्मेशन पूरा हो गया है। रेखा के बाईं ओर मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के नीचे स्थित सभी तत्व शून्य पर सेट हैं।

उल्टा

गाऊसी उलटा पाया गया, $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & - 117/ 16 और 49/16 और 11/4 \\ -23/4 और -141/8 और 57/8 और 13/2 \\ 17/8 और 103/6 और -43/16 और -9/4 \ अंत ( सरणी)\दाएं)$. जाँच, यदि आवश्यक हो, उसी तरह से की जाती है जैसे उदाहरण संख्या 2 और संख्या 3 में।

जवाब: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49 /16 और 11/4 \\ -23/4 और -141/8 और 57/8 और 13/2 \\ 17/8 और 103/6 और -43/16 और -9/4 \end(सरणी) \ दाएं) $।

उदाहरण #7

मैट्रिक्स खोजें $A^(-1)$ अगर $A=\left(\begin(array) (ccc) 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end( array )\दाएं)$.

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए, हम गॉस-जॉर्डन पद्धति के संचालन विशेषता को लागू करते हैं। पिछले उदाहरणों में माना गया गाऊसी पद्धति से अंतर यह है कि समाधान एक चरण में किया जाता है। आपको याद दिला दूं कि गॉस विधि को 2 चरणों में विभाजित किया गया है: आगे की चाल ("हम बनाते हैं" मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के नीचे बार तक) और रिवर्स मूव (हम मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण के ऊपर के तत्वों को रीसेट करते हैं) बार के लिए)। गॉस-जॉर्डन विधि द्वारा व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करने के लिए, समाधान के दो चरणों की आवश्यकता नहीं होती है। सबसे पहले, एक संवर्धित मैट्रिक्स बनाते हैं: $(A|E)$:

$$ (ए | ई) = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी | सीसीसी) 2 और 3 और 4 और 1 और 0 और 0 \\ 7 और 1 और 9 और 0 और 1 और 0 \\ -4 और 5 और -2 और 0 और 0 और 1 \end(सरणी) \दाएं) $$

पहला कदम

पहले कॉलम के सभी तत्वों को एक को छोड़कर शून्य पर सेट करें। पहले कॉलम में, सभी तत्व गैर-शून्य हैं, इसलिए हम कोई भी तत्व चुन सकते हैं। उदाहरण के लिए, $(-4)$ लें:

चयनित तत्व $(-4)$ तीसरी पंक्ति में है, इसलिए हम पहले कॉलम के चयनित तत्वों को शून्य करने के लिए तीसरी पंक्ति का उपयोग करते हैं:

आइए तीसरी पंक्ति के पहले तत्व को एक के बराबर बनाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम विस्तारित मैट्रिक्स की तीसरी पंक्ति के तत्वों को $(-4)$ से विभाजित करते हैं:

अब आइए पहले कॉलम के संबंधित तत्वों को शून्य करना शुरू करें:

आगे के चरणों में, तीसरी पंक्ति का उपयोग करना अब संभव नहीं होगा, क्योंकि हम इसे पहले चरण में पहले ही लागू कर चुके हैं।

दूसरा कदम

आइए दूसरे कॉलम के कुछ गैर-शून्य तत्व चुनें और दूसरे कॉलम के अन्य सभी तत्वों को शून्य पर सेट करें। हम दो तत्वों में से किसी एक को चुन सकते हैं: $\frac(11)(2)$ या $\frac(39)(4)$। तत्व $\left(-\frac(5)(4) \right)$ का चयन नहीं किया जा सकता क्योंकि यह तीसरी पंक्ति में स्थित है, जिसका उपयोग हमने पिछले चरण में किया था। आइए $\frac(11)(2)$ तत्व का चयन करें, जो पहली पंक्ति में है। आइए पहली पंक्ति में $\frac(11)(2)$ को एक में बदलें:

अब दूसरे कॉलम के संबंधित तत्वों को शून्य पर सेट करते हैं:

आगे के तर्क में, पहली पंक्ति का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

तीसरा चरण

एक को छोड़कर तीसरे कॉलम के सभी तत्वों को रीसेट करना आवश्यक है। हमें तीसरे कॉलम के कुछ गैर-शून्य तत्व चुनने की जरूरत है। हालाँकि, हम $\frac(6)(11)$ या $\frac(13)(11)$ नहीं ले सकते क्योंकि वे तत्व पहली और तीसरी पंक्तियों में हैं जिनका हमने पहले उपयोग किया था। चुनाव छोटा है: केवल तत्व $\frac(2)(11)$ रहता है, जो दूसरी पंक्ति में है। दूसरी पंक्ति के सभी तत्वों को $\frac(2)(11)$ से विभाजित करें:

अब तीसरे कॉलम के संबंधित तत्वों को शून्य पर सेट करते हैं:

गॉस-जॉर्डन विधि द्वारा रूपांतरण पूरा हो गया है। यह केवल आव्यूह को रेखा तक इकाई बनाने तक ही रहता है। ऐसा करने के लिए, आपको लाइनों के क्रम को बदलना होगा। सबसे पहले, पहली और तीसरी पंक्तियों को स्वैप करें:

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी | सीसीसी) 1 और 0 और 0 और 47/4 और -13/2 और -23/4 \\ 0 और 0 और 1 और -39/4 और 11/2 और 19/4 \\ 0 और 1 और 0 और 11/2 और -3 और -5/2 \end(सरणी) \दाएं) $$

अब दूसरी और तीसरी पंक्तियों की अदला-बदली करते हैं:

$$ \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी | सीसीसी) 1 और 0 और 0 और 47/4 और -13/2 और -23/4 \\ 0 और 1 और 0 और 11/2 और -3 और - 5/2 \\ 0 और 0 और 1 और -39/4 और 11/2 और 19/4 \end(सरणी) \दाएं) $$

तो $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ - 39 /4 और 11/2 और 19/4 \ अंत (सरणी) \ दाएँ) $। स्वाभाविक रूप से, मुख्य विकर्ण पर तत्वों को चुनकर, समाधान को अलग तरीके से किया जा सकता है। आमतौर पर वे यही करते हैं, क्योंकि इस मामले में, समाधान के अंत में, लाइनों की अदला-बदली नहीं करनी होगी। मैंने पिछला समाधान केवल एक उद्देश्य के लिए दिया था: यह दिखाने के लिए कि प्रत्येक चरण में एक पंक्ति का चुनाव मौलिक नहीं है। यदि हम प्रत्येक चरण में विकर्ण तत्वों को चुनते हैं, तो समाधान इस प्रकार होगा।

मैट्रिक्स बीजगणित - उलटा मैट्रिक्स

उलटा मैट्रिक्स

उलटा मैट्रिक्सएक मैट्रिक्स को कहा जाता है, जो किसी दिए गए मैट्रिक्स द्वारा दाईं और बाईं ओर दोनों को गुणा करने पर पहचान मैट्रिक्स देता है।
मैट्रिक्स को मैट्रिक्स के विपरीत निरूपित करें लेकिनके माध्यम से, फिर परिभाषा के अनुसार हमें मिलता है:

कहाँ पे इपहचान मैट्रिक्स है।
वर्ग मैट्रिक्सबुलाया गैर विशेष (गैर पतित) यदि इसका सारणिक शून्य के बराबर नहीं है। अन्यथा, इसे कहा जाता है विशेष (पतित) या विलक्षण.

एक प्रमेय है: प्रत्येक गैर-एकवचन मैट्रिक्स में एक व्यस्त मैट्रिक्स होता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने की क्रिया कहलाती है निवेदनमैट्रिक्स मैट्रिक्स उलटा एल्गोरिथ्म पर विचार करें। मान लीजिए एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स दिया गया है एन-वें क्रम:

जहां = det ए ≠ 0.

बीजीय तत्व पूरकमैट्रिक्स एन-वें क्रम लेकिनमैट्रिक्स के निर्धारक ( एन-1) - वां क्रम हटाकर प्राप्त किया गया मैं-वीं पंक्ति और जे- मैट्रिक्स का वां कॉलम लेकिन:

आइए एक तथाकथित बनाएं संलग्नआव्यूह:

मैट्रिक्स के संबंधित तत्वों के बीजीय पूरक कहां हैं लेकिन.
ध्यान दें कि मैट्रिक्स के पंक्ति तत्वों के बीजगणितीय पूरक लेकिनमैट्रिक्स के संबंधित कॉलम में रखा गया है Ã , अर्थात्, मैट्रिक्स को एक साथ स्थानांतरित किया जाता है।
सभी मैट्रिक्स तत्वों को विभाजित करना Ã पर - मैट्रिक्स के निर्धारक का मान लेकिन, हमें परिणाम के रूप में व्युत्क्रम मैट्रिक्स मिलता है:

हम व्युत्क्रम मैट्रिक्स के कई विशेष गुणों पर ध्यान देते हैं:
1) किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए लेकिनइसका उलटा मैट्रिक्स एकमात्र है;
2) यदि एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स है, तो सही उल्टाऔर लेफ्ट रिवर्समैट्रिसेस इसके साथ मेल खाते हैं;
3) एक विशेष (पतित) वर्ग मैट्रिक्स में उलटा मैट्रिक्स नहीं होता है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स के मुख्य गुण:
1) व्युत्क्रम मैट्रिक्स के निर्धारक और मूल मैट्रिक्स के निर्धारक पारस्परिक हैं;
2) वर्ग आव्यूहों के गुणनफल का व्युत्क्रम मैट्रिक्स, विपरीत क्रम में लिए गए कारकों के व्युत्क्रम आव्यूह के गुणनफल के बराबर होता है:

3) ट्रांसपोज़्ड व्युत्क्रम मैट्रिक्स दिए गए ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स से व्युत्क्रम मैट्रिक्स के बराबर है:

उदाहरण दिए गए मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करें।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के तरीके, . एक वर्ग मैट्रिक्स पर विचार करें

निरूपित करें = डिट ए।

वर्ग मैट्रिक्स A को कहा जाता है गैर-पतित,या गैर विशेषयदि इसका सारणिक शून्येतर है, और पतित,या विशेष, अगरΔ = 0.

एक वर्ग मैट्रिक्स बी एक ही क्रम के एक वर्ग मैट्रिक्स ए के लिए मौजूद है यदि उनका उत्पाद ए बी = बी ए = ई, जहां ई मैट्रिक्स ए और बी के समान क्रम का पहचान मैट्रिक्स है।

प्रमेय . मैट्रिक्स ए के लिए एक व्यस्त मैट्रिक्स होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसका निर्धारक गैर-शून्य हो।

आव्यूह A का उलटा आव्यूह, जिसे A . द्वारा निरूपित किया जाता है- 1 तो बी = ए - 1 और सूत्र द्वारा गणना की जाती है

, (1)

जहाँ i j - मैट्रिक्स A के तत्वों a i j के बीजगणितीय पूरक।

उच्च-क्रम वाले मैट्रिक्स के लिए सूत्र (1) द्वारा ए -1 की गणना करना बहुत श्रमसाध्य है, इसलिए व्यवहार में प्राथमिक परिवर्तनों (ईपी) की विधि का उपयोग करके ए -1 को खोजना सुविधाजनक है। किसी भी गैर-एकवचन मैट्रिक्स ए को केवल कॉलम (या केवल पंक्तियों) के ईपी द्वारा पहचान मैट्रिक्स ई तक कम किया जा सकता है। यदि मैट्रिक्स ए पर पूर्ण ईपी को उसी क्रम में पहचान मैट्रिक्स ई पर लागू किया जाता है, तो परिणाम है एक उलटा मैट्रिक्स। मेट्रिसेस ए और ई पर एक साथ ईपी करना सुविधाजनक है, दोनों मैट्रिस को लाइन के माध्यम से एक साथ लिखना। हम एक बार फिर ध्यान दें कि मैट्रिक्स के विहित रूप की खोज करते समय, इसे खोजने के लिए, कोई पंक्तियों और स्तंभों के परिवर्तनों का उपयोग कर सकता है। यदि आपको व्युत्क्रम मैट्रिक्स खोजने की आवश्यकता है, तो आपको परिवर्तन प्रक्रिया में केवल पंक्तियों या केवल स्तंभों का उपयोग करना चाहिए।

उदाहरण 2.10. मैट्रिक्स के लिए ए -1 खोजें।

फेसला।हम पहले मैट्रिक्स A . का सारणिक ज्ञात करते हैं
इसलिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स मौजूद है और हम इसे सूत्र द्वारा पा सकते हैं: , जहाँ A i j (i,j=1,2,3) - मूल मैट्रिक्स के a i j तत्वों के बीजीय पूरक।

कहाँ .

उदाहरण 2.11. प्राथमिक रूपांतरण की विधि का उपयोग करके, मैट्रिक्स के लिए ए -1 खोजें: ए =।

फेसला।हम दाईं ओर मूल मैट्रिक्स को उसी क्रम का एक पहचान मैट्रिक्स असाइन करते हैं: . प्राथमिक स्तंभ परिवर्तनों की मदद से, हम बाएं "आधे" को पहचान एक में कम करते हैं, साथ ही साथ सही मैट्रिक्स पर इस तरह के परिवर्तनों का प्रदर्शन करते हैं।
ऐसा करने के लिए, पहले और दूसरे कॉलम को स्वैप करें: ~ . हम पहले को तीसरे कॉलम में जोड़ते हैं, और पहले को -2 से दूसरे से गुणा करते हैं: . पहले कॉलम से हम दुगुने दूसरे को घटाते हैं, और तीसरे से - दूसरे को 6 से गुणा करते हैं; . आइए तीसरे कॉलम को पहले और दूसरे में जोड़ें: . अंतिम कॉलम को -1 से गुणा करें: . वर्टिकल बार के दाईं ओर प्राप्त वर्ग मैट्रिक्स दिए गए मैट्रिक्स ए का व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। तो,
.

मैट्रिक्स $A^(-1)$ को वर्ग मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम कहा जाता है यदि $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, जहां $E $ पहचान मैट्रिक्स है, जिसका क्रम मैट्रिक्स $A$ के क्रम के बराबर है।

एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जिसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है। तदनुसार, एक पतित मैट्रिक्स वह है जिसका निर्धारक शून्य के बराबर है।

व्युत्क्रम मैट्रिक्स $A^(-1)$ मौजूद है यदि और केवल अगर मैट्रिक्स $A$ गैर-एकवचन है। यदि व्युत्क्रम मैट्रिक्स $A^(-1)$ मौजूद है, तो यह अद्वितीय है।

मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने के कई तरीके हैं, और हम उनमें से दो को देखेंगे। इस पृष्ठ पर, हम एडजॉइंट मैट्रिक्स पद्धति पर विचार करेंगे, जिसे अधिकांश उच्च गणित पाठ्यक्रमों में मानक माना जाता है। व्युत्क्रम मैट्रिक्स (प्राथमिक परिवर्तनों की विधि) को खोजने का दूसरा तरीका, जिसमें गॉस विधि या गॉस-जॉर्डन पद्धति का उपयोग शामिल है, दूसरे भाग में माना जाता है।

संयुक्त (संघ) मैट्रिक्स विधि

मैट्रिक्स $A_(n\times n)$ दिया जाए। उलटा मैट्रिक्स $A^(-1)$ खोजने के लिए, तीन चरणों की आवश्यकता है:

1. मैट्रिक्स $A$ के सारणिक का पता लगाएं और सुनिश्चित करें कि $\Delta A\neq 0$, यानी। कि मैट्रिक्स ए नॉनडिजेनरेट है।
2. मैट्रिक्स $A$ के प्रत्येक तत्व के बीजगणितीय पूरक $A_(ij)$ लिखें और मैट्रिक्स $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ लिखें। बीजीय पूरक।
3. सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ को ध्यान में रखते हुए उलटा मैट्रिक्स लिखें।

मैट्रिक्स $(A^(*))^T$ को अक्सर $A$ के आसन्न (आपसी, संबद्ध) मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है।

यदि निर्णय मैन्युअल रूप से किया जाता है, तो पहली विधि केवल अपेक्षाकृत छोटे आदेशों के मैट्रिसेस के लिए अच्छी होती है: दूसरा (), तीसरा (), चौथा ()। एक उच्च क्रम मैट्रिक्स के लिए व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजने के लिए, अन्य विधियों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, गॉस विधि, जिसकी चर्चा दूसरे भाग में की गई है।

उदाहरण 1

मैट्रिक्स के विपरीत मैट्रिक्स खोजें $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 और 0 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

चूंकि चौथे कॉलम के सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो $\Delta A=0$ (यानी मैट्रिक्स $A$ पतित है)। चूंकि $\Delta A=0$, $A$ के विपरीत कोई मैट्रिक्स नहीं है।

उदाहरण #2

मैट्रिक्स $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$ मैट्रिक्स के विपरीत मैट्रिक्स खोजें।

हम आसन्न मैट्रिक्स विधि का उपयोग करते हैं। सबसे पहले, आइए दिए गए मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक को खोजें:

$$ \डेल्टा ए=\बाएं| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

चूंकि $\Delta A \neq 0$, तो उलटा मैट्रिक्स मौजूद है, इसलिए हम समाधान जारी रखते हैं। बीजीय पूरक ढूँढना

\begin(गठबंधन) और A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(संरेखित)

बीजगणितीय पूरक का एक मैट्रिक्स लिखें: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$।

परिणामी मैट्रिक्स को स्थानांतरित करें: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (परिणामस्वरूप मैट्रिक्स को अक्सर मैट्रिक्स $A$ के लिए आसन्न या संघ मैट्रिक्स कहा जाता है)। सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसी) -8/103 और 7/103\\ 9/103 और 5/103 \end(सरणी)\दाएं) $$

तो उलटा मैट्रिक्स पाया जाता है: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 और 5/103 \end(array) \दाएं) $. परिणाम की सच्चाई की जांच करने के लिए, समानता में से एक की सच्चाई की जांच करने के लिए पर्याप्त है: $A^(-1)\cdot A=E$ या $A\cdot A^(-1)=E$। आइए समानता $A^(-1)\cdot A=E$ की जांच करें। भिन्नों के साथ कम काम करने के लिए, हम मैट्रिक्स $A^(-1)$ को $\left(\begin(array) (cc) -8/103 और 7/103\\ 9/103 के रूप में प्रतिस्थापित करेंगे। & 5/103 \ अंत (सरणी)\दाएं)$ लेकिन $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ के रूप में अंत (सरणी)\दाएं)$:

जवाब: $A^(-1)=\left(\ start(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 और 5/103 \end(array)\right)$।

उदाहरण #3

मैट्रिक्स के व्युत्क्रम का पता लगाएं $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$।

आइए मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक की गणना करके शुरू करें। तो, मैट्रिक्स $A$ का निर्धारक है:

$$ \डेल्टा ए=\बाएं| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26। $$

चूंकि $\Delta A\neq 0$, तो उलटा मैट्रिक्स मौजूद है, इसलिए हम समाधान जारी रखते हैं। हम दिए गए मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व के बीजीय पूरक पाते हैं:

हम बीजीय योगों का एक मैट्रिक्स बनाते हैं और इसे स्थानांतरित करते हैं:

$$ ए ^ * = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और 8 और -12 \\ -5 और 2 और -3 \\ 1 और -16 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं); \; (ए ^ *) ^ टी = \ बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और -5 और 1 \\ 8 और 2 और -16 \\ -12 और -3 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $$

सूत्र $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 और 37\अंत (सरणी) \दाएं)= \बाएं(\शुरू(सरणी) (सीसीसी) 3/13 और -5/26 और 1/26 \\ 4/13 और 1/13 और -8/13 \ \ -6/13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं) $$

तो $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं)$। परिणाम की सच्चाई की जांच करने के लिए, समानता में से एक की सच्चाई की जांच करने के लिए पर्याप्त है: $A^(-1)\cdot A=E$ या $A\cdot A^(-1)=E$। आइए समानता $A\cdot A^(-1)=E$ की जाँच करें। भिन्नों के साथ कम काम करने के लिए, हम मैट्रिक्स $A^(-1)$ को $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ के रूप में प्रतिस्थापित नहीं करेंगे। \ 4/13 और 1/13 और -8/13 \\ -6/13 और -3/26 और 37/26 \end(array) \right)$, लेकिन $\frac(1)(26)\ के रूप में सीडीओटी \बाएं (\ शुरू (सरणी) (सीसीसी) 6 और -5 और 1 \\ 8 और 2 और -16 \\ -12 और -3 और 37 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $:

चेक सफलतापूर्वक पारित किया गया था, उलटा मैट्रिक्स $A^(-1)$ सही ढंग से पाया गया था।

जवाब: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 और -3/26 और 37/26 \end(सरणी) \दाएं)$।

उदाहरण #4

$A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 का मैट्रिक्स उलटा खोजें & -8 और -3 \ अंत (सरणी) \ दाएं) $।

चौथे क्रम के मैट्रिक्स के लिए, बीजीय योगों का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजना कुछ मुश्किल है। हालाँकि, ऐसे उदाहरण नियंत्रण कार्यों में पाए जाते हैं।

उलटा मैट्रिक्स खोजने के लिए, पहले आपको मैट्रिक्स $A$ के निर्धारक की गणना करने की आवश्यकता है। इस स्थिति में ऐसा करने का सबसे अच्छा तरीका है कि सारणिक को एक पंक्ति (स्तंभ) में विस्तारित किया जाए। हम किसी भी पंक्ति या स्तंभ का चयन करते हैं और चयनित पंक्ति या स्तंभ के प्रत्येक तत्व का बीजगणितीय पूरक पाते हैं।