एक अनुचित अंश को गुणा करें। भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना

अंशों का गुणन और विभाजन।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

यह ऑपरेशन जोड़-घटाव की तुलना में बहुत अच्छा है! क्योंकि यह आसान है। मैं आपको याद दिलाता हूं: एक अंश को एक अंश से गुणा करने के लिए, आपको अंशों को गुणा करना होगा (यह परिणाम का अंश होगा) और हर (यह हर होगा)। अर्थात:

उदाहरण के लिए:

सब कुछ बेहद सरल है. और कृपया एक सामान्य भाजक की तलाश न करें! यहां इसकी जरूरत नहीं है...

भिन्न को भिन्न से भाग देने के लिए, आपको पलटना होगा दूसरा(यह महत्वपूर्ण है!) भिन्न और उन्हें गुणा करें, अर्थात:

उदाहरण के लिए:

यदि पूर्णांकों और भिन्नों के साथ गुणा या भाग पकड़ा जाता है, तो कोई बात नहीं। इसके अलावा, हम हर में एक इकाई के साथ एक पूर्ण संख्या से एक अंश बनाते हैं - और जाओ! उदाहरण के लिए:

हाई स्कूल में, आपको अक्सर तीन-कहानी (या चार-कहानी!) भिन्नों से निपटना पड़ता है। उदाहरण के लिए:

इस भिन्न को सभ्य रूप में कैसे लाया जाए? हाँ, बहुत आसान! दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का प्रयोग करें:

लेकिन विभाजन के आदेश के बारे में मत भूलना! गुणन के विपरीत, यह यहाँ बहुत महत्वपूर्ण है! बेशक, हम 4:2 या 2:4 को भ्रमित नहीं करेंगे। लेकिन तीन मंजिला अंश में गलती करना आसान है। कृपया ध्यान दें, उदाहरण के लिए:

पहले मामले में (बाईं ओर अभिव्यक्ति):

दूसरे में (दाईं ओर अभिव्यक्ति):

अंतर महसूस करें? 4 और 1/9!

विभाजन का क्रम क्या है? या कोष्ठक, या (यहाँ के रूप में) क्षैतिज डैश की लंबाई। एक आँख विकसित करें। और अगर कोई कोष्ठक या डैश नहीं हैं, जैसे:

फिर विभाजित-गुणा क्रम में, बाएं से दाएं!

और एक और बहुत ही सरल और महत्वपूर्ण ट्रिक। डिग्री के साथ कार्यों में, यह आपके काम आएगा! आइए इकाई को किसी भिन्न से विभाजित करें, उदाहरण के लिए, 13/15 से:

शॉट पलट गया! और यह हमेशा होता है। 1 को किसी भिन्न से भाग देने पर परिणाम वही भिन्न होता है, केवल उल्टा।

भिन्नों के साथ यही सभी क्रियाएं हैं। बात काफी सरल है, लेकिन पर्याप्त से अधिक त्रुटियाँ देता है। व्यावहारिक सलाह पर ध्यान दें, और उनमें से कम (गलतियाँ) होंगी!

व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक भावों के साथ काम करते समय सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है! ये सामान्य शब्द नहीं हैं, शुभकामनाएँ नहीं! यह एक गंभीर आवश्यकता है! परीक्षा में सभी गणनाओं को एक पूर्ण कार्य के रूप में, एकाग्रता और स्पष्टता के साथ करें। अपने दिमाग में गणना करते समय गड़बड़ करने की तुलना में मसौदे में दो अतिरिक्त पंक्तियाँ लिखना बेहतर है।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्नों वाले उदाहरणों में - साधारण भिन्नों पर जाएं।

3. हम सभी भिन्नों को स्टॉप तक कम करते हैं।

4. हम दो बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करके बहु-स्तरीय भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को साधारण लोगों तक कम करते हैं (हम विभाजन के क्रम का पालन करते हैं!)।

5. हम केवल भिन्न को पलट कर इकाई को अपने दिमाग में भिन्न में विभाजित करते हैं।

यहां वे कार्य हैं जिन्हें आपको पूरा करने की आवश्यकता है। सभी कार्यों के बाद उत्तर दिए जाते हैं। इस विषय की सामग्री और व्यावहारिक सलाह का प्रयोग करें। अनुमान लगाएं कि आप कितने उदाहरणों को सही ढंग से हल कर सकते हैं। पहली बार! कैलकुलेटर के बिना! और सही निष्कर्ष निकालें ...

सही उत्तर याद रखें दूसरे (विशेषकर तीसरे) समय से प्राप्त - गिनती नहीं है!ऐसा कठोर जीवन है।

इसलिए, परीक्षा मोड में हल करें ! वैसे यह परीक्षा की तैयारी है। हम एक उदाहरण हल करते हैं, हम जांचते हैं, हम निम्नलिखित को हल करते हैं। हमने सब कुछ तय किया - हमने पहली से आखिरी तक फिर से जाँच की। केवल बादउत्तरों को देखो।

गणना करें:

क्या आपने फैसला कर लिया?

उन उत्तरों की तलाश है जो आपसे मेल खाते हों। मैंने उन्हें विशेष रूप से एक गड़बड़ी में लिखा था, प्रलोभन से दूर, इसलिए बोलने के लिए ... ये रहे, उत्तर, अर्धविराम के साथ लिखे गए।

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

और अब हम निष्कर्ष निकालते हैं। अगर सब कुछ काम कर गया - आपके लिए खुश! भिन्नों के साथ प्राथमिक गणना आपकी समस्या नहीं है! आप अधिक गंभीर चीजें कर सकते हैं। अगर नहीं...

तो आपको दो समस्याओं में से एक है। या दोनों एक साथ।) ज्ञान की कमी और (या) असावधानी। लेकिन इस व्याख्या करने योग्य समस्या।

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) और हर द्वारा हर (हमें उत्पाद का हर मिलता है)।

भिन्न गुणन सूत्र:

उदाहरण के लिए:

अंशों और हरों के गुणन के साथ आगे बढ़ने से पहले, भिन्न में कमी की संभावना की जांच करना आवश्यक है। यदि आप अंश को कम करने का प्रबंधन करते हैं, तो आपके लिए गणना करना जारी रखना आसान होगा।

साधारण भिन्न का भिन्न से भाग।

एक प्राकृत संख्या वाले भिन्नों का विभाजन।

यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जैसा कि जोड़ के मामले में होता है, हम एक पूर्णांक को भिन्न में बदलते हैं जिसमें हर में एक इकाई होती है। उदाहरण के लिए:

मिश्रित भिन्नों का गुणन।

भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):

  • मिश्रित भिन्नों को अनुचित में बदलना;
  • भिन्नों के अंशों और हरों को गुणा करें;
  • हम अंश को कम करते हैं;
  • यदि हमें अनुचित भिन्न मिलता है, तो हम अनुचित भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदल देते हैं।

टिप्पणी!मिश्रित भिन्न को किसी अन्य मिश्रित भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लाना होगा, और फिर साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।

किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

टिप्पणी!किसी भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना आवश्यक है, और अंश को अपरिवर्तित छोड़ दें।

उपरोक्त उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि यह विकल्प उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है जब एक अंश के हर को एक प्राकृतिक संख्या से शेष के बिना विभाजित किया जाता है।

बहुस्तरीय अंश।

हाई स्कूल में, तीन-कहानी (या अधिक) अंश अक्सर पाए जाते हैं। उदाहरण:

ऐसे भिन्न को उसके सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग किया जाता है:

टिप्पणी!भिन्नों को विभाजित करते समय, विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।

टिप्पणी, उदाहरण के लिए:

एक को किसी भिन्न से भाग देने पर, परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उल्टा:

भिन्नों को गुणा और भाग करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:

1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने में सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और सावधानी है। सभी गणनाएं सावधानीपूर्वक और सटीक, एकाग्र और स्पष्ट रूप से करें। अपने दिमाग में गणनाओं में भ्रमित होने की तुलना में मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियों को लिखना बेहतर है।

2. विभिन्न प्रकार के भिन्नों वाले कार्यों में - साधारण भिन्नों के प्रकार पर जाएँ।

3. हम सभी भिन्नों को तब तक घटाते हैं जब तक कि इसे कम करना संभव न हो।

4. हम 2 बिंदुओं के माध्यम से विभाजन का उपयोग करते हुए बहु-स्तरीय भिन्नात्मक व्यंजकों को साधारण व्यंजकों में लाते हैं।

5. हम केवल भिन्न को पलट कर इकाई को अपने दिमाग में भिन्न में विभाजित करते हैं।

हम साधारण भिन्नों के साथ क्रियाओं का अध्ययन करना जारी रखते हैं। अब सुर्खियों में सामान्य भिन्नों का गुणन. इस लेख में, हम साधारण भिन्नों को गुणा करने का नियम देंगे, उदाहरणों को हल करते समय इस नियम के अनुप्रयोग पर विचार करें। हम एक साधारण भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने पर भी ध्यान देंगे। अंत में, विचार करें कि तीन या अधिक भिन्नों का गुणन कैसे किया जाता है।

पृष्ठ नेविगेशन।

उभयनिष्ठ भिन्न को उभयनिष्ठ भिन्न से गुणा करना

आइए शब्दों के साथ शुरू करें सामान्य भिन्नों को गुणा करने के नियम: किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने पर एक भिन्न प्राप्त होता है जिसका अंश गुणित भिन्नों के अंशों के गुणनफल के बराबर होता है और जिसका हर हर के गुणनफल के बराबर होता है।

अर्थात्, सूत्र साधारण अंशों a / b और c / d के गुणन से मेल खाता है।

आइए हम साधारण भिन्नों के गुणन के नियम को स्पष्ट करते हुए एक उदाहरण दें। 1 इकाई की भुजा वाले वर्ग पर विचार करें। जबकि इसका क्षेत्रफल 1 इकाई 2 है। इस वर्ग को 1/4 इकाई भुजाओं वाले बराबर आयतों में बाँट लें। और 1/8 इकाइयां। , जबकि मूल वर्ग में 4 8 = 32 आयत होंगे, इसलिए प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल मूल वर्ग के क्षेत्रफल का 1/32 है, अर्थात यह 1/32 इकाई 2 के बराबर है। अब मूल वर्ग के हिस्से पर पेंट करते हैं। हमारे सभी कार्य नीचे दिए गए चित्र में परिलक्षित होते हैं।

भरे हुए आयत की भुजाएँ 5/8 इकाई हैं। और 3/4 इकाइयां। , जिसका अर्थ है कि इसका क्षेत्रफल भिन्न 5/8 और 3/4 के गुणनफल के बराबर है, अर्थात इकाई 2। लेकिन भरे हुए आयत में 15 "छोटे" आयत होते हैं, इसलिए इसका क्षेत्रफल 15/32 इकाई 2 है। इसलिये, । चूंकि 5 3=15 और 8 4=32 , अंतिम समानता को फिर से लिखा जा सकता है , जो प्रपत्र के साधारण भिन्नों को गुणा करने के सूत्र की पुष्टि करता है।

ध्यान दें कि ध्वनि गुणन नियम की सहायता से, आप उचित और अनुचित दोनों भिन्नों, और भिन्नों को समान हरों से, और भिन्नों को भिन्न हरों से गुणा कर सकते हैं।

विचार करना सामान्य भिन्नों को गुणा करने के उदाहरण.

सार्व भिन्न 7/11 को उभयनिष्ठ भिन्न 9/8 से गुणा करें।

गुणा भिन्न 7 और 9 के अंशों का गुणनफल 63 है, और 11 और 8 के हरों का गुणनफल 88 है। इस प्रकार, सार्व भिन्नों को 7/11 और 9/8 से गुणा करने पर भिन्न 63/88 प्राप्त होता है।

यहाँ समाधान का सारांश दिया गया है: .

हमें परिणामी भिन्न की कमी के बारे में नहीं भूलना चाहिए, यदि गुणा के परिणामस्वरूप एक कम करने योग्य अंश प्राप्त होता है, और एक अनुचित अंश से पूरे भाग के चयन के बारे में।

भिन्नों को 4/15 और 55/6 से गुणा करें।

आइए साधारण भिन्नों के गुणन के नियम को लागू करें: .

जाहिर है, परिणामी अंश कम करने योग्य है (10 से विभाज्यता का संकेत हमें यह दावा करने की अनुमति देता है कि भिन्न 220/90 के अंश और हर में 10 का एक सामान्य कारक है)। आइए भिन्न को घटाएं 220/90: GCD(220, 90)=10 and . यह परिणामी अनुचित अंश से पूर्णांक भाग का चयन करने के लिए बनी हुई है: .

ध्यान दें कि अंशों के गुणनफल और गुणित भिन्नों के हरों के गुणनफलों की गणना करने से पहले अंश में कमी की जा सकती है, अर्थात, जब अंश का रूप होता है। इस संख्या के लिए, a, b, c, और d को उनके अभाज्य गुणनखंडों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिसके बाद अंश और हर के समान गुणनखंड रद्द कर दिए जाते हैं।

स्पष्ट करने के लिए, आइए पिछले उदाहरण पर वापस जाएं।

प्रपत्र के भिन्नों के गुणनफल की गणना करें।

साधारण भिन्नों को गुणा करने के सूत्र से, हमारे पास है .

चूँकि 4=2 2 , 55=5 11 , 15=3 5 और 6=2 3 , तो . अब हम सामान्य अभाज्य गुणनखंडों को रद्द करते हैं: .

यह केवल अंश और हर में उत्पादों की गणना करने के लिए रहता है, और फिर अनुचित अंश से पूर्णांक भाग का चयन करता है: .

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंशों का गुणन एक कम्यूटेटिव संपत्ति की विशेषता है, अर्थात, गुणा किए गए अंशों को आपस में बदला जा सकता है: .

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करना

आइए शब्दों के साथ शुरू करें एक सामान्य भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के नियम: किसी भिन्न को किसी प्राकृत संख्या से गुणा करने पर वह भिन्न प्राप्त होता है जिसका अंश प्राकृत संख्या से गुणित भिन्न के अंश के गुणनफल के बराबर होता है और हर गुणित भिन्न के हर के बराबर होता है।

अक्षरों की सहायता से एक भिन्न a/b को एक प्राकृत संख्या n से गुणा करने के नियम का रूप है।

फॉर्म के दो साधारण अंशों को गुणा करने के लिए सूत्र का अनुसरण करता है। वास्तव में, एक प्राकृत संख्या को 1 के हर के साथ भिन्न के रूप में निरूपित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं .

एक भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के उदाहरणों पर विचार करें।

भिन्न 2/27 को 5 से गुणा करें।

अंश 2 को 5 से गुणा करने पर 10 प्राप्त होता है, इसलिए, एक भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के नियम के आधार पर, 2/27 का 5 से गुणनफल भिन्न 10/27 के बराबर होता है।

संपूर्ण समाधान को आसानी से इस प्रकार लिखा जा सकता है: .

किसी भिन्न को किसी प्राकृत संख्या से गुणा करते समय, परिणामी भिन्न को अक्सर कम करना पड़ता है, और यदि वह भी गलत है, तो उसे मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करें।

भिन्न 5/12 को संख्या 8 से गुणा करें।

एक भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है . जाहिर है, परिणामी अंश कम करने योग्य है (2 से विभाज्यता का चिन्ह अंश और हर के सामान्य भाजक 2 को इंगित करता है)। आइए भिन्न को कम करें 40/12: चूंकि LCM(40, 12)=4, फिर . यह पूरे भाग का चयन करने के लिए बनी हुई है: .

यहाँ पूरा समाधान है: .

ध्यान दें कि कटौती अंश और हर में संख्याओं को उनके विस्तार के साथ अभाज्य गुणनखंडों में बदलकर की जा सकती है। इस मामले में, समाधान इस तरह दिखेगा:

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने पर एक कम्यूटेटिव गुण होता है, अर्थात, एक अंश का एक प्राकृतिक संख्या से गुणन इस प्राकृतिक संख्या के गुणनफल के बराबर होता है: .

तीन या अधिक भिन्नों का गुणा करें

जिस तरह से हमने साधारण भिन्नों को परिभाषित किया है और उनके साथ गुणा का संचालन हमें यह दावा करने की अनुमति देता है कि प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के सभी गुण भिन्नों के गुणन पर लागू होते हैं।

गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण विशिष्ट रूप से निर्धारित करना संभव बनाते हैं तीन या अधिक भिन्नों और प्राकृत संख्याओं का गुणा करना. इस मामले में, सब कुछ तीन या अधिक प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के अनुरूप होता है। विशेष रूप से, गणना की सुविधा के लिए उत्पाद में अंशों और प्राकृतिक संख्याओं को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, और कोष्ठक की अनुपस्थिति में उस क्रम को इंगित करता है जिसमें कार्रवाई की जाती है, हम किसी भी अनुमत तरीके से कोष्ठक को स्वयं व्यवस्थित कर सकते हैं।

कई भिन्नों और प्राकृत संख्याओं के गुणन के उदाहरणों पर विचार करें।

तीन सामान्य भिन्नों को 1/20, 12/5, 3/7 और 5/8 से गुणा करें।

आइए उस उत्पाद को लिखें जिसकी हमें गणना करने की आवश्यकता है . भिन्नों को गुणा करने के नियम के आधार पर, लिखित गुणनफल उस भिन्न के बराबर होता है जिसका अंश सभी भिन्नों के अंशों के गुणनफल के बराबर होता है, और हर हर का गुणनफल होता है: .

अंश और हर में उत्पादों की गणना करने से पहले, सभी कारकों को उनके विस्तार द्वारा प्रमुख कारकों में बदलने और कम करने की सलाह दी जाती है (बेशक, आप गुणा के बाद अंश को कम कर सकते हैं, लेकिन कई मामलों में इसके लिए बहुत अधिक कम्प्यूटेशनल प्रयास की आवश्यकता होती है): .

.

पांच संख्याओं का गुणा करें .

इस उत्पाद में, संख्या 8 के साथ अंश 7/8 और अंश 5/36 के साथ संख्या 12 को समूहित करना सुविधाजनक है, इससे गणना सरल हो जाएगी, क्योंकि इस तरह के समूह के साथ कमी स्पष्ट है। हमारे पास है
.

.

भिन्नों का गुणन

हम साधारण भिन्नों के गुणन पर कई संभावित तरीकों से विचार करेंगे।

भिन्न को भिन्न से गुणा करना

यह सबसे सरल मामला है, जिसमें आपको निम्नलिखित का उपयोग करने की आवश्यकता है भिन्न गुणन नियम.

सेवा भिन्न को भिन्न से गुणा करें, ज़रूरी:

  • पहली भिन्न के अंश को दूसरी भिन्न के अंश से गुणा करें और उनके गुणनफल को नई भिन्न के अंश में लिखें;
  • पहली भिन्न के हर को दूसरी भिन्न के हर से गुणा करें और उनके गुणनफल को नई भिन्न के हर में लिखें;

अंशों और हरों को गुणा करने से पहले, जांच लें कि क्या भिन्नों को कम किया जा सकता है। गणनाओं में भिन्नों को कम करने से आपकी गणना में बहुत सुविधा होगी।

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करना

भिन्न करने के लिए एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करेंआपको भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और भिन्न के हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

यदि गुणन का परिणाम एक अनुचित भिन्न है, तो इसे मिश्रित संख्या में बदलना न भूलें, अर्थात पूरे भाग का चयन करें।

मिश्रित संख्याओं का गुणन

मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका

कभी-कभी गणना में किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की भिन्न विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

किसी भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा, और अंश को वही छोड़ देना होगा।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, नियम के इस संस्करण का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है यदि अंश का हर एक प्राकृतिक संख्या से शेष के बिना विभाज्य है।

मिश्रित संख्याओं का गुणन: नियम, उदाहरण, समाधान।

इस लेख में, हम विश्लेषण करेंगे मिश्रित संख्याओं का गुणन. सबसे पहले, हम मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के नियम को आवाज देंगे और उदाहरणों को हल करते समय इस नियम के लागू होने पर विचार करेंगे। आगे, हम एक मिश्रित संख्या और एक प्राकृत संख्या के गुणन के बारे में बात करेंगे। अंत में, हम सीखेंगे कि मिश्रित संख्या और साधारण भिन्न को कैसे गुणा किया जाता है।

पृष्ठ नेविगेशन।

मिश्रित संख्याओं का गुणन।

मिश्रित संख्याओं का गुणनसाधारण अंशों को गुणा करने के लिए घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, मिश्रित संख्याओं को अनुचित अंशों में परिवर्तित करना पर्याप्त है।

आइए लिखते हैं मिश्रित संख्याओं के लिए गुणन नियम:

  • सबसे पहले, गुणा की जाने वाली मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए;
  • दूसरे, आपको एक भिन्न को भिन्न से गुणा करने के नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है।

मिश्रित संख्या को मिश्रित संख्या से गुणा करते समय इस नियम को लागू करने के उदाहरणों पर विचार करें।

मिश्रित संख्या गुणा करें और .

सबसे पहले, हम गुणा की गई मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में निरूपित करते हैं: और . अब हम मिश्रित संख्याओं के गुणन को साधारण भिन्नों के गुणन से बदल सकते हैं: . भिन्नों के गुणन के नियम को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं . परिणामी अंश इरेड्यूसेबल है (देखें रिड्यूसिबल और इरेड्यूसिबल फ्रैक्शंस), लेकिन यह गलत है (नियमित और अनुचित अंश देखें), इसलिए, अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए, यह पूर्णांक भाग को अनुचित अंश से निकालने के लिए रहता है:।

आइए एक पंक्ति में संपूर्ण समाधान लिखें:।

.

मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के कौशल को समेकित करने के लिए, एक अन्य उदाहरण के हल पर विचार करें।

गुणन करें।

मजेदार संख्याएं और भिन्नों के बराबर हैं क्रमशः 13/5 और 10/9। फिर . इस स्तर पर, अंश में कमी के बारे में याद रखने का समय आ गया है: हम भिन्न में सभी संख्याओं को उनके विस्तार के साथ अभाज्य गुणनखंड में बदल देंगे, और हम समान कारकों की कमी का प्रदर्शन करेंगे।

एक मिश्रित संख्या और एक प्राकृतिक संख्या का गुणन

मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न से बदलने के बाद, एक मिश्रित संख्या और एक प्राकृतिक संख्या को गुणा करनाएक साधारण भिन्न और एक प्राकृत संख्या के गुणन में घटाया जाता है।

मिश्रित संख्या और प्राकृत संख्या 45 का गुणा कीजिए।

मिश्रित संख्या एक भिन्न होती है, तो . आइए परिणामी अंश में संख्याओं को उनके विस्तार के साथ प्रमुख कारकों में बदलें, एक कमी करें, जिसके बाद हम पूर्णांक भाग का चयन करते हैं: ।

.

एक मिश्रित संख्या और एक प्राकृतिक संख्या का गुणन कभी-कभी योग के संबंध में गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके आसानी से किया जाता है। इस स्थिति में, एक मिश्रित संख्या और एक प्राकृत संख्या का गुणनफल दी गई प्राकृत संख्या के पूर्णांक भाग के गुणनफल और दी गई प्राकृत संख्या द्वारा भिन्नात्मक भाग के योग के बराबर होता है, अर्थात्, .

उत्पाद की गणना करें।

हम मिश्रित संख्या को पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों के योग से प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके बाद हम गुणन के वितरण गुण को लागू करते हैं: ।

एक मिश्रित संख्या और एक सामान्य अंश का गुणा करनासाधारण भिन्नों के गुणन को कम करना सबसे सुविधाजनक होता है, जो गुणा मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में दर्शाता है।

मिश्रित संख्या को सामान्य भिन्न 4/15 से गुणा करें।

मिश्रित संख्या को भिन्न से बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं .

भिन्नात्मक संख्याओं का गुणन

140. परिभाषाएं. 1) एक भिन्नात्मक संख्या का एक पूर्णांक से गुणा उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे पूर्णांकों का गुणन, अर्थात्: किसी संख्या (गुणक) को एक पूर्णांक (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है समान पदों का योग बनाना, जिसमें प्रत्येक पद गुणक के बराबर हो, और पदों की संख्या गुणक के बराबर हो।

तो 5 से गुणा करने का अर्थ है योग ज्ञात करना:
2) किसी संख्या (गुणक) को भिन्न (गुणक) से गुणा करने का अर्थ गुणक के इस भिन्न को ज्ञात करना है।

इस प्रकार, दी गई संख्या का वह भिन्न ज्ञात करना, जिस पर हमने पहले विचार किया था, अब हम भिन्न से गुणा कहेंगे।

3) किसी संख्या (गुणक) को मिश्रित संख्या (कारक) से गुणा करने का अर्थ है गुणक को पहले गुणनखंड के पूर्णांक से गुणा करना, फिर गुणनखंड के अंश से, और इन दोनों गुणाओं के परिणामों को एक साथ जोड़ना।

उदाहरण के लिए:

गुणन के बाद प्राप्त संख्या इन सभी स्थितियों में कहलाती है काम, यानी, उसी तरह जैसे पूर्णांकों को गुणा करते समय।

इन परिभाषाओं से यह स्पष्ट है कि भिन्नात्मक संख्याओं का गुणन एक ऐसी क्रिया है जो हमेशा संभव और हमेशा स्पष्ट होती है।

§ 141. इन परिभाषाओं की समीचीनता।गुणन की अंतिम दो परिभाषाओं को अंकगणित में शामिल करने की समीचीनता को समझने के लिए, आइए हम निम्नलिखित समस्या को लें:

काम। ट्रेन, समान रूप से चलती हुई, 40 किमी प्रति घंटे की यात्रा करती है; कैसे पता करें कि यह ट्रेन दिए गए घंटों में कितने किलोमीटर की यात्रा करेगी?

यदि हम गुणन की उसी परिभाषा के साथ बने रहे, जो पूर्णांकों के अंकगणित (समान पदों के योग) में इंगित की गई है, तो हमारी समस्या के तीन अलग-अलग समाधान होंगे, अर्थात्:

यदि दी गई घंटों की संख्या एक पूर्णांक है (उदाहरण के लिए, 5 घंटे), तो समस्या को हल करने के लिए, 40 किमी को घंटों की संख्या से गुणा करना होगा।

यदि दिए गए घंटों की संख्या को भिन्न (उदाहरण के लिए, घंटे) के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो आपको इस अंश का मान 40 किमी से निकालना होगा।

अंत में, यदि दिए गए घंटों की संख्या को मिश्रित किया जाता है (उदाहरण के लिए, घंटे), तो मिश्रित संख्या में निहित पूर्णांक से 40 किमी को गुणा करना आवश्यक होगा, और परिणाम में 40 किमी से इस तरह के अंश को जोड़ना होगा जैसा कि में है मिश्रित संख्या।

हमने जो परिभाषाएँ दी हैं, वे हमें इन सभी संभावित मामलों का एक सामान्य उत्तर देने की अनुमति देती हैं:

40 किमी को दिए गए घंटों से गुणा किया जाना चाहिए, चाहे वह कुछ भी हो।

इस प्रकार, यदि समस्या को सामान्य रूप में निम्नानुसार प्रस्तुत किया जाता है:

एक ट्रेन समान रूप से चलती हुई v किमी प्रति घंटे की यात्रा करती है। ट्रेन t घंटे में कितने किलोमीटर की दूरी तय करेगी?

फिर, जो भी संख्याएँ v और t हों, हम एक उत्तर व्यक्त कर सकते हैं: वांछित संख्या सूत्र v · t द्वारा व्यक्त की जाती है।

टिप्पणी। हमारी परिभाषा के अनुसार किसी दी गई संख्या का कुछ अंश ज्ञात करने का अर्थ वही है जो किसी दी गई संख्या को इस भिन्न से गुणा करने जैसा है; इसलिए, उदाहरण के लिए, किसी दी गई संख्या का 5% (अर्थात पाँच सौवां) ज्ञात करने का अर्थ दी गई संख्या को या उससे गुणा करने के समान है; किसी दी गई संख्या का 125% ज्ञात करना उस संख्या को या उससे गुणा करने के समान है, आदि।

§ 142. एक संख्या कब बढ़ती है और कब गुणा से घटती है, इसके बारे में एक नोट।

उचित भिन्न से गुणा करने पर संख्या घटती है, और अनुचित भिन्न से गुणा करने पर संख्या बढ़ जाती है यदि यह अनुचित भिन्न एक से अधिक हो और एक के बराबर होने पर अपरिवर्तित रहती है।
टिप्पणी। भिन्नात्मक संख्याओं के साथ-साथ पूर्णांकों को गुणा करते समय, गुणनफल शून्य के बराबर लिया जाता है, यदि कोई भी कारक शून्य के बराबर है, तो,।

143. गुणन नियमों की व्युत्पत्ति।

1) किसी भिन्न को पूर्णांक से गुणा करना। मान लीजिए भिन्न को 5 से गुणा किया जाता है। इसका अर्थ है 5 गुना वृद्धि करना। किसी भिन्न को 5 से बढ़ाने के लिए, उसके अंश को बढ़ाना या उसके हर को 5 गुना कम करना (§ 127) पर्याप्त है।

इसलिए:
नियम 1। एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करने के लिए, आपको अंश को इस पूर्णांक से गुणा करना होगा, और हर को वही छोड़ देना चाहिए; इसके बजाय, आप भिन्न के हर को दिए गए पूर्णांक (यदि संभव हो) से विभाजित कर सकते हैं, और अंश को वही छोड़ सकते हैं।

टिप्पणी। एक भिन्न और उसके हर का गुणनफल उसके अंश के बराबर होता है।

इसलिए:
नियम 2. किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पूर्णांक को भिन्न के अंश से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाना होगा, और दिए गए भिन्न के हर को हर के रूप में हस्ताक्षर करना होगा।
नियम 3. किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश और दूसरे को उत्पाद का हर बनाना होगा।

टिप्पणी। यह नियम किसी भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करने पर और एक पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने पर भी लागू किया जा सकता है, यदि केवल हम पूर्णांक को एक के हर के साथ भिन्न के रूप में मानते हैं। इसलिए:

इस प्रकार, अब बताए गए तीन नियम एक में निहित हैं, जिन्हें सामान्य शब्दों में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
4) मिश्रित संख्याओं का गुणन।

नियम 4. मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्नों को गुणा करने के नियमों के अनुसार गुणा करना होगा। उदाहरण के लिए:
144. गुणन में कमी. भिन्नों को गुणा करते समय, यदि संभव हो तो, प्रारंभिक कमी की जानी चाहिए, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों से देखा जा सकता है:

इस तरह की कमी संभव है क्योंकि अंश और हर को समान संख्या में कम करने पर भिन्न का मान नहीं बदलेगा।

145. कारकों के परिवर्तन के साथ उत्पाद का परिवर्तन।जब गुणनखंड बदलते हैं, तो भिन्नात्मक संख्याओं का गुणनफल ठीक उसी तरह बदलेगा जैसे पूर्णांकों का गुणनफल (§ 53), अर्थात्: यदि आप किसी कारक को कई बार बढ़ाते हैं (या घटाते हैं), तो गुणनफल बढ़ेगा (या घटेगा) उसी राशि से।

तो, अगर उदाहरण में:
कई भिन्नों को गुणा करने के लिए, उनके अंशों को आपस में और हर को आपस में गुणा करना आवश्यक है और पहले उत्पाद को अंश और दूसरे को उत्पाद का हर बनाना चाहिए।

टिप्पणी। यह नियम ऐसे उत्पादों पर भी लागू किया जा सकता है जिनमें संख्या के कुछ कारक पूर्णांक या मिश्रित होते हैं, यदि केवल हम पूर्ण संख्या को एक भिन्न के रूप में मानते हैं जिसका हर एक है, और हम मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदल देते हैं। उदाहरण के लिए:
147. गुणन के मूल गुण।गुणन के वे गुण जिन्हें हमने पूर्णांकों (§ 56, 57, 59) के लिए इंगित किया है, वे भी भिन्नात्मक संख्याओं के गुणन से संबंधित हैं। आइए इन गुणों को निर्दिष्ट करें।

1) कारकों के स्थान बदलने से उत्पाद नहीं बदलता है।

उदाहरण के लिए:

दरअसल, पिछले पैराग्राफ के नियम के अनुसार, पहला उत्पाद अंश के बराबर है, और दूसरा अंश के बराबर है। लेकिन ये भिन्न समान हैं, क्योंकि उनके पद केवल पूर्णांक कारकों के क्रम में भिन्न होते हैं, और जब कारकों के स्थान बदलते हैं तो पूर्णांकों का गुणनफल नहीं बदलता है।

2) यदि कारकों के किसी समूह को उनके उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है तो उत्पाद नहीं बदलेगा।

उदाहरण के लिए:

परिणाम एक ही हैं।

गुणन के इस गुण से, कोई निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकता है:

किसी संख्या को गुणनफल से गुणा करने के लिए, आप इस संख्या को पहले कारक से गुणा कर सकते हैं, परिणामी संख्या को दूसरे से गुणा कर सकते हैं, इत्यादि।

उदाहरण के लिए:
3) गुणन का वितरण नियम (जोड़ के संबंध में)। योग को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को इस संख्या से अलग-अलग गुणा कर सकते हैं और परिणाम जोड़ सकते हैं।

इस नियम की व्याख्या हमारे द्वारा (§ 59) पूर्ण संख्याओं पर लागू होने पर की गई है। यह भिन्नात्मक संख्याओं के लिए बिना किसी परिवर्तन के सत्य रहता है।

आइए हम दिखाते हैं, वास्तव में, समानता

(ए + बी + सी +।) एम = एएम + बीएम + सेमी +।

(जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण नियम) तब भी सही रहता है जब अक्षरों का अर्थ भिन्नात्मक संख्याएँ हों। आइए तीन मामलों पर विचार करें।

1) पहले मान लीजिए कि गुणनखंड m एक पूर्णांक है, उदाहरण के लिए m = 3 (a, b, c कोई भी संख्या है)। एक पूर्णांक से गुणा की परिभाषा के अनुसार, कोई लिख सकता है (सरलता के लिए तीन शब्दों तक सीमित):

(ए + बी + सी) * 3 = (ए + बी + सी) + (ए + बी + सी) + (ए + बी + सी)।

जोड़ के साहचर्य नियम के आधार पर, हम दाईं ओर के सभी कोष्ठकों को छोड़ सकते हैं; जोड़ के कम्यूटेटिव कानून को लागू करना, और फिर संयोजन कानून को लागू करना, हम स्पष्ट रूप से दाएं हाथ को निम्नानुसार फिर से लिख सकते हैं:

(ए + ए + ए) + (बी + बी + बी) + (सी + सी + सी)।

(ए + बी + सी) * 3 = ए * 3 + बी * 3 + सी * 3.

इसलिए, इस मामले में वितरण कानून की पुष्टि की जाती है।

एक प्राकृतिक संख्या द्वारा भिन्न का विभाजन

अनुभाग:गणित

टी वर्ग प्रकार: ONZ (नए ज्ञान की खोज - शिक्षण की गतिविधि पद्धति की तकनीक के अनुसार)।

  1. एक भिन्न को एक प्राकृत संख्या से विभाजित करने की विधियाँ ज्ञात कीजिए;
  2. एक प्राकृतिक संख्या द्वारा भिन्न का विभाजन करने की क्षमता बनाने के लिए;
  3. भिन्नों के विभाजन को दोहराएं और समेकित करें;
  4. भिन्नों को कम करने, विश्लेषण करने और समस्याओं को हल करने की क्षमता को प्रशिक्षित करें।

उपकरण डेमो सामग्री:

1. ज्ञान को अद्यतन करने के लिए कार्य:

2. परीक्षण (व्यक्तिगत) कार्य।

1. प्रदर्शन विभाजन:

2. गणना की पूरी श्रृंखला को निष्पादित किए बिना विभाजन करें:।

  • किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से विभाजित करते समय, आप हर को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं, और अंश को वही छोड़ सकते हैं।

  • यदि अंश एक प्राकृतिक संख्या से विभाज्य है, तो इस संख्या से एक अंश को विभाजित करते समय, आप अंश को संख्या से विभाजित कर सकते हैं, और हर को वही छोड़ सकते हैं।

I. सीखने की गतिविधियों के लिए प्रेरणा (आत्मनिर्णय)।

  1. शैक्षिक गतिविधियों ("जरूरी") की ओर से छात्र के लिए आवश्यकताओं की प्राप्ति को व्यवस्थित करें;
  2. एक विषयगत ढांचा ("मैं कर सकता हूं") स्थापित करने के लिए छात्रों की गतिविधियों को व्यवस्थित करें;
  3. शैक्षिक गतिविधियों ("मैं चाहता हूं") में शामिल करने के लिए छात्र की आंतरिक आवश्यकता के लिए स्थितियां बनाना।

चरण I में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

नमस्ते! मुझे आप सभी को गणित की कक्षा में देखकर खुशी हुई। मुझे आशा है कि यह आपसी है।

दोस्तों, पिछले पाठ में आपने क्या नया ज्ञान प्राप्त किया? (अंशों को विभाजित करें)।

सही। भिन्नों को विभाजित करने में क्या मदद करता है? (नियम, गुण)।

हमें इस ज्ञान की आवश्यकता कहाँ है? (उदाहरण में, समीकरण, कार्य)।

बहुत अच्छा! आपने पिछले पाठ में अच्छा प्रदर्शन किया था। क्या आप आज स्वयं नए ज्ञान की खोज करना चाहेंगे? (हां)।

जाओ फिर! और पाठ का आदर्श वाक्य यह कथन है "गणित यह देखकर नहीं सीखा जा सकता कि आपका पड़ोसी इसे कैसे करता है!"।

द्वितीय. एक परीक्षण कार्रवाई में ज्ञान की प्राप्ति और एक व्यक्तिगत कठिनाई का निर्धारण।

  1. नए ज्ञान के निर्माण के लिए पर्याप्त, कार्रवाई के अध्ययन किए गए तरीकों की प्राप्ति को व्यवस्थित करने के लिए। इन विधियों को मौखिक रूप से (भाषण में) और प्रतीकात्मक रूप से (मानक) ठीक करें और उनका सामान्यीकरण करें;
  2. नए ज्ञान के निर्माण के लिए पर्याप्त मानसिक संचालन और संज्ञानात्मक प्रक्रियाओं के कार्यान्वयन को व्यवस्थित करें;
  3. एक परीक्षण कार्रवाई और इसके स्वतंत्र कार्यान्वयन और औचित्य के लिए प्रेरित करना;
  4. एक परीक्षण कार्रवाई के लिए एक व्यक्तिगत कार्य प्रस्तुत करें और नई शैक्षिक सामग्री की पहचान करने के लिए इसका विश्लेषण करें;
  5. शैक्षिक लक्ष्य और पाठ के विषय के निर्धारण को व्यवस्थित करें;
  6. एक परीक्षण कार्रवाई के कार्यान्वयन को व्यवस्थित करें और कठिनाई को ठीक करें;
  7. प्राप्त प्रतिक्रियाओं का विश्लेषण व्यवस्थित करें और परीक्षण कार्रवाई करने या इसे उचित ठहराने में व्यक्तिगत कठिनाइयों को रिकॉर्ड करें।

चरण II में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

गोलियों (व्यक्तिगत बोर्ड) का उपयोग करके सामने की ओर।

1. भावों की तुलना करें:

(ये भाव बराबर हैं)

आपने किन दिलचस्प बातों पर ध्यान दिया? (लाभांश के अंश और हर, प्रत्येक व्यंजक में भाजक के अंश और हर में समान संख्या में वृद्धि होती है। इस प्रकार, भावों में भाजक और भाजक एक दूसरे के बराबर भिन्नों द्वारा दर्शाए जाते हैं)।

व्यंजक का अर्थ ज्ञात कीजिए और उसे टेबलेट पर लिखिए। (2)

इस संख्या को भिन्न के रूप में कैसे लिखें?

आपने विभाजन की कार्रवाई कैसे की? (बच्चे नियम का उच्चारण करते हैं, शिक्षक बोर्ड पर पत्र लटकाते हैं)

2. केवल परिणामों की गणना और रिकॉर्ड करें:

3. अपने परिणाम जोड़ें और अपना उत्तर लिखें। (2)

टास्क 3 में प्राप्त संख्या का नाम क्या है? (प्राकृतिक)

क्या आप सोचते हैं कि आप भिन्न को प्राकृत संख्या से भाग दे सकते हैं? (हाँ, हम कोशिश करेंगे)

इसे इस्तेमाल करे।

4. व्यक्तिगत (परीक्षण) कार्य।

विभाजन करें: (केवल उदाहरण के लिए)

विभाजित करने के लिए आपने किस नियम का प्रयोग किया? (एक भिन्न को भिन्न से भाग देने के नियम के अनुसार)

और अब गणना की पूरी श्रृंखला को निष्पादित किए बिना अंश को एक प्राकृतिक संख्या से सरल तरीके से विभाजित करें: (उदाहरण बी)। इसके लिए मैं आपको 3 सेकंड का समय देता हूं।

कौन 3 सेकंड में कार्य को पूरा करने में विफल रहा?

ये किसने बनाया? (ऐसे कोई नहीं हैं)

क्यों? (हम रास्ता नहीं जानते)

तुम्हें क्या मिला? (कठिनाई)

आपको क्या लगता है कि हम कक्षा में क्या करेंगे? (अंशों को प्राकृत संख्याओं से विभाजित करें)

यह सही है, अपनी नोटबुक खोलें और पाठ का विषय लिखें "एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करना।"

जब आप पहले से ही भिन्नों को विभाजित करना जानते हैं तो यह विषय नया क्यों लगता है? (एक नया तरीका चाहिए)

सही। आज हम एक ऐसी तकनीक स्थापित करेंगे जो एक भिन्न के विभाजन को एक प्राकृत संख्या से सरल बनाती है।

III. स्थान और कठिनाई के कारण की पहचान।

  1. प्रदर्शन किए गए कार्यों की बहाली को व्यवस्थित करें और स्थान (मौखिक और प्रतीकात्मक) को ठीक करें - चरण, ऑपरेशन जहां कठिनाई उत्पन्न हुई;
  2. उपयोग की गई विधि (एल्गोरिदम) और कठिनाई के कारण के बाहरी भाषण में निर्धारण के साथ छात्रों के कार्यों के सहसंबंध को व्यवस्थित करने के लिए - वे विशिष्ट ज्ञान, कौशल या क्षमताएं जो इस प्रकार की प्रारंभिक समस्या को हल करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं।

चरण III में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

आपको कौन सा कार्य पूरा करना था? (गणना की पूरी श्रृंखला किए बिना एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करें)

आपको क्या कठिनाई हुई? (जल्दी से कम समय में हल नहीं कर सका)

हमारे पाठ का उद्देश्य क्या है? (किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से भाग देने का त्वरित तरीका खोजें)

आपकी क्या मदद करेगा? (अंशों को विभाजित करने के लिए पहले से ही ज्ञात नियम)

चतुर्थ। कठिनाई से बाहर निकलने की परियोजना का निर्माण।

  1. परियोजना के उद्देश्य का स्पष्टीकरण;
  2. विधि का विकल्प (स्पष्टीकरण);
  3. धन की परिभाषा (एल्गोरिदम);
  4. लक्ष्य प्राप्त करने के लिए योजना बनाना।

चरण IV में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

आइए परीक्षण मामले पर वापस जाएं। क्या आपने कहा था कि आप भिन्नों को विभाजित करने के नियम से विभाजित करते हैं? (हां)

ऐसा करने के लिए, एक प्राकृत संख्या को भिन्न से बदलें? (हां)

आपको क्या लगता है कि आप कौन से कदम छोड़ सकते हैं?

(समाधान श्रृंखला बोर्ड पर खुली है:

विश्लेषण करें और निष्कर्ष निकालें। (स्टेप 1)

यदि कोई उत्तर नहीं है, तो हम प्रश्नों के माध्यम से संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं:

प्राकृतिक भाजक कहाँ गया? (हर को)

क्या अंकगणित बदल गया है? (नहीं)

तो कौन सा कदम "छोड़ा" जा सकता है? (स्टेप 1)

  • एक भिन्न के हर को एक प्राकृत संख्या से गुणा करें।
  • अंश नहीं बदलता है।
  • हमें एक नया अंश मिलता है।

V. निर्मित परियोजना का कार्यान्वयन।

  1. लापता ज्ञान प्राप्त करने के उद्देश्य से निर्मित परियोजना को लागू करने के लिए संचार बातचीत का आयोजन;
  2. भाषण और संकेतों (एक मानक की मदद से) में कार्रवाई की निर्मित विधि के निर्धारण को व्यवस्थित करें;
  3. मूल समस्या के समाधान को व्यवस्थित करें और कठिनाई पर काबू पाने को रिकॉर्ड करें;
  4. नए ज्ञान की सामान्य प्रकृति का स्पष्टीकरण व्यवस्थित करें।

चरण V पर शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

अब टेस्ट केस को नए तरीके से जल्दी से चलाएं।

क्या अब आप कार्य को शीघ्रता से पूरा करने में सक्षम हैं? (हां)

बताएं कि आपने यह कैसे किया? (बच्चे बोलते हैं)

इसका मतलब है कि हमें नया ज्ञान प्राप्त हुआ है: एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करने का नियम।

बहुत अच्छा! इसे जोड़ियों में कहें।

फिर एक छात्र कक्षा में बोलता है। हम नियम-एल्गोरिदम को मौखिक रूप से और बोर्ड पर एक मानक के रूप में ठीक करते हैं।

अब अक्षर पदनाम दर्ज करें और हमारे नियम के लिए सूत्र लिखें।

छात्र बोर्ड पर लिखता है, नियम का उच्चारण करता है: एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से विभाजित करते समय, आप हर को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं, और अंश को वही छोड़ सकते हैं।

(हर कोई नोटबुक में सूत्र लिखता है)।

और अब एक बार फिर उत्तर पर विशेष ध्यान देते हुए परीक्षण कार्य को हल करने की श्रृंखला का विश्लेषण करें। उन्होंने क्या किया? (अंश 15 के अंश को संख्या 3 से विभाजित (घटाया) किया गया था)

यह संख्या क्या है? (प्राकृतिक, भाजक)

तो आप किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से और कैसे विभाजित कर सकते हैं? (जांचें: यदि किसी भिन्न का अंश इस प्राकृत संख्या से विभाज्य है, तो आप अंश को इस संख्या से विभाजित कर सकते हैं, परिणाम को नए अंश के अंश में लिख सकते हैं, और हर को वही छोड़ सकते हैं)

इस विधि को सूत्र के रूप में लिखिए। (छात्र बोर्ड पर नियम लिखता है। हर कोई नोटबुक में सूत्र लिखता है।)

आइए पहली विधि पर वापस जाएं। क्या इसका उपयोग किया जा सकता है यदि a:n? (हाँ, यह सामान्य तरीका है)

और दूसरी विधि का उपयोग करना कब सुविधाजनक है? (जब किसी भिन्न का अंश बिना किसी शेषफल के एक प्राकृत संख्या से विभाज्य हो)

VI. बाहरी भाषण में उच्चारण के साथ प्राथमिक समेकन।

  1. बाहरी भाषण (सामने, जोड़े या समूहों में) में उनके उच्चारण के साथ विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय कार्रवाई की एक नई पद्धति के बच्चों द्वारा आत्मसात को व्यवस्थित करने के लिए।

चरण VI में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

नए तरीके से गणना करें:

  • नंबर 363 (ए; डी) - नियम का उच्चारण करते हुए ब्लैकबोर्ड पर प्रदर्शन करें।
  • नंबर 363 (डी; एफ) - जोड़े में नमूने पर एक चेक के साथ।

सातवीं। मानक के अनुसार स्व-परीक्षण के साथ स्वतंत्र कार्य।

  1. कार्रवाई के एक नए तरीके के लिए छात्रों के कार्यों की स्वतंत्र पूर्ति को व्यवस्थित करने के लिए;
  2. मानक के साथ तुलना के आधार पर स्व-परीक्षण का आयोजन करें;
  3. स्वतंत्र कार्य के परिणामों के आधार पर, कार्रवाई के एक नए तरीके को आत्मसात करने पर एक प्रतिबिंब का आयोजन करें।

चरण VII में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

नए तरीके से गणना करें:

छात्र मानक की जांच करते हैं, प्रदर्शन की शुद्धता पर ध्यान देते हैं। त्रुटियों के कारणों का विश्लेषण किया जाता है और त्रुटियों को ठीक किया जाता है।

शिक्षक उन छात्रों से पूछते हैं जिन्होंने गलतियाँ कीं, इसका कारण क्या है?

इस स्तर पर, यह महत्वपूर्ण है कि प्रत्येक छात्र स्वतंत्र रूप से अपने काम की जाँच करे।

कार्य 8 को हल करने से पहले) पाठ्यपुस्तक के एक उदाहरण पर विचार करें:

IX. कक्षा में सीखने की गतिविधियों का प्रतिबिंब।

  1. पाठ में अध्ययन की गई नई सामग्री के निर्धारण को व्यवस्थित करें;
  2. छात्रों को ज्ञात आवश्यकताओं को पूरा करने के संदर्भ में शैक्षिक गतिविधियों का एक चिंतनशील विश्लेषण व्यवस्थित करें;
  3. पाठ में छात्रों की अपनी गतिविधियों के आकलन को व्यवस्थित करें;
  4. भविष्य की सीखने की गतिविधियों के लिए एक दिशा के रूप में पाठ में अनसुलझी कठिनाइयों के निर्धारण को व्यवस्थित करें;
  5. होमवर्क की चर्चा और रिकॉर्डिंग व्यवस्थित करें।

चरण IX में शैक्षिक प्रक्रिया का संगठन।

दोस्तों आज आपने कौन सा नया ज्ञान खोजा? (हमने एक भिन्न को एक प्राकृत संख्या से सरल तरीके से विभाजित करना सीखा)

एक सामान्य तरीका तैयार करें। (वे कहते हैं)

किस तरह, और किन मामलों में आप अभी भी इसका इस्तेमाल कर सकते हैं? (वे कहते हैं)

क्या है नए तरीके का फायदा?

क्या हम पाठ के अपने लक्ष्य तक पहुँच चुके हैं? (हां)

लक्ष्य प्राप्त करने के लिए आपने किस ज्ञान का उपयोग किया? (वे कहते हैं)

क्या आप सफल हुए हैं?

क्या कठिनाइयाँ थीं?

87. भिन्नों का योग।

भिन्नों को जोड़ने पर पूर्ण संख्याओं के योग के समान कई समानताएँ होती हैं। भिन्नों का योग एक क्रिया है जिसमें इस तथ्य को शामिल किया जाता है कि कई दी गई संख्याओं (शब्दों) को एक संख्या (योग) में जोड़ा जाता है, जिसमें सभी इकाइयाँ और पदों की इकाइयों की भिन्न होती हैं।

हम तीन मामलों पर बारी-बारी से विचार करेंगे:

1. समान हर वाले भिन्नों का योग।
2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का योग।
3. मिश्रित संख्याओं का योग।

1. समान हर वाले भिन्नों का योग।

एक उदाहरण पर विचार करें: 1/5 + 2/5 ।

खंड AB (चित्र 17) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 5 बराबर भागों में विभाजित करें, फिर इस खंड का भाग AC खंड AB के 1/5 के बराबर होगा, और उसी खंड CD का भाग होगा 2/5 एबी के बराबर होगा।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि यदि हम खंड AD को लें, तो यह 3/5 AB के बराबर होगा; लेकिन खंड AD ठीक खंड AC और CD का योग है। तो, हम लिख सकते हैं:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

इन शर्तों और परिणामी राशि को ध्यान में रखते हुए, हम देखते हैं कि योग का अंश पदों के अंशों को जोड़कर प्राप्त किया गया था, और हर अपरिवर्तित रहा।

इससे हमें निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है: समान हर वाले भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको उनके अंशों को जोड़ना होगा और समान हर को छोड़ना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का योग।

आइए भिन्न जोड़ें: 3/4 + 3/8 पहले उन्हें सबसे कम आम भाजक तक कम करने की आवश्यकता है:

इंटरमीडिएट लिंक 6/8 + 3/8 लिखा नहीं जा सकता था; हमने इसे यहां अधिक स्पष्टता के लिए लिखा है।

इस प्रकार, भिन्न हर के साथ भिन्नों को जोड़ने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे कम सामान्य हर में लाना होगा, उनके अंशों को जोड़ना होगा और सामान्य हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें (हम संगत भिन्नों पर अतिरिक्त गुणनखंड लिखेंगे):

3. मिश्रित संख्याओं का योग।

आइए संख्याएं जोड़ें: 2 3/8 + 3 5/6।

आइए सबसे पहले हम अपनी संख्याओं के भिन्नात्मक भागों को एक सामान्य हर में लाते हैं और उन्हें फिर से लिखते हैं:

अब पूर्णांक और भिन्नात्मक भागों को क्रम से जोड़ें:

88. भिन्नों का घटाव।

भिन्नों के घटाव को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे पूर्ण संख्याओं का घटाव। यह एक क्रिया है जिसके द्वारा दो पदों और उनमें से एक के योग से दूसरा पद प्राप्त होता है। आइए तीन मामलों पर बारी-बारी से विचार करें:

1. समान हर वाले भिन्नों का घटाव।
2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।
3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

1. समान हर वाले भिन्नों का घटाव।

एक उदाहरण पर विचार करें:

13 / 15 - 4 / 15

आइए खंड AB (चित्र 18) लें, इसे एक इकाई के रूप में लें और इसे 15 बराबर भागों में विभाजित करें; तो इस खंड का AC भाग AB का 1/15 होगा, और उसी खंड का AD भाग 13/15 AB के अनुरूप होगा। आइए एक और खंड ईडी को 4/15 एबी के बराबर सेट करें।

हमें 13/15 में से 4/15 घटाना है। ड्राइंग में, इसका मतलब है कि खंड ईडी को खंड एडी से घटाया जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, खंड AE रहेगा, जो खंड AB का 9/15 है। तो हम लिख सकते हैं:

हमने जो उदाहरण बनाया है, उससे पता चलता है कि अंतर का अंश अंशों को घटाकर प्राप्त किया गया था, और हर एक ही रहा।

इसलिए, समान हर के साथ भिन्नों को घटाने के लिए, आपको घटाव के अंश को घटाव के अंश से घटाना होगा और उसी हर को छोड़ना होगा।

2. भिन्न हर के साथ भिन्नों का घटाव।

उदाहरण। 3/4 - 5/8

सबसे पहले, आइए इन भिन्नों को सबसे छोटे सामान्य हर में कम करें:

इंटरमीडिएट लिंक 6/8 - 5/8 स्पष्टता के लिए यहां लिखा गया है, लेकिन इसे भविष्य में छोड़ा जा सकता है।

इस प्रकार, एक भिन्न से एक भिन्न को घटाने के लिए, आपको पहले उन्हें सबसे छोटे सामान्य हर में लाना होगा, फिर सबट्रेंड के अंश को मिन्यूएण्ड के अंश से घटाना होगा और उनके अंतर के तहत सामान्य हर पर हस्ताक्षर करना होगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

3. मिश्रित संख्याओं का घटाव।

उदाहरण। 10 3 / 4 - 7 2 / 3 ।

आइए न्यूनतम सामान्य भाजक के लिए न्यूनतम और उप-अनुच्छेद के भिन्नात्मक भागों को लाएं:

हम एक पूर्ण से एक पूर्ण और भिन्न से भिन्न घटाते हैं। लेकिन ऐसे मामले होते हैं जब सबट्रेंड का भिन्नात्मक भाग मिन्यूएंड के भिन्नात्मक भाग से बड़ा होता है। ऐसे मामलों में, आपको कम के पूर्णांक भाग से एक इकाई लेने की जरूरत है, इसे उन हिस्सों में विभाजित करें जिनमें भिन्नात्मक भाग व्यक्त किया गया है, और कम के आंशिक भाग में जोड़ें। और फिर घटाव उसी तरह किया जाएगा जैसे पिछले उदाहरण में:

89. भिन्नों का गुणन।

भिन्नों के गुणन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना।
2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।
3. किसी पूर्ण संख्या का भिन्न से गुणा करना।
4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।
5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।
6. ब्याज की अवधारणा।
7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना। आइए उन पर क्रमिक रूप से विचार करें।

1. एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना।

किसी भिन्न को किसी पूर्णांक से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्णांक को किसी पूर्णांक से गुणा करने पर होता है। एक भिन्न (गुणक) को एक पूर्णांक (गुणक) से गुणा करने का अर्थ है समान पदों का योग बनाना, जिसमें प्रत्येक पद गुणक के बराबर हो, और पदों की संख्या गुणक के बराबर हो।

इसलिए, यदि आपको 1/9 को 7 से गुणा करने की आवश्यकता है, तो यह इस प्रकार किया जा सकता है:

हमें आसानी से परिणाम मिल गया, क्योंकि क्रिया को एक ही हर के साथ भिन्न जोड़ने के लिए कम कर दिया गया था। इसलिये,

इस क्रिया पर विचार करने से पता चलता है कि एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करना इस भिन्न को जितनी बार पूर्णांक में इकाइयाँ हैं, बढ़ाने के बराबर है। और चूँकि भिन्न में वृद्धि या तो उसके अंश को बढ़ाकर प्राप्त की जाती है

या इसके हर को कम करके , तो हम या तो अंश को पूर्णांक से गुणा कर सकते हैं, या इसके द्वारा भाजक को विभाजित कर सकते हैं, यदि ऐसा विभाजन संभव है।

यहां से हमें नियम मिलता है:

एक अंश को एक पूर्णांक से गुणा करने के लिए, आपको अंश को इस पूर्णांक से गुणा करना होगा और एक ही हर को छोड़ना होगा या, यदि संभव हो तो, अंश को अपरिवर्तित छोड़कर, इस संख्या से हर को विभाजित करना होगा।

गुणा करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

2. किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करना।ऐसी कई समस्याएँ हैं जिनमें आपको दी गई संख्या का एक भाग ढूँढ़ना या परिकलित करना होता है। इन कार्यों और अन्य कार्यों के बीच का अंतर यह है कि वे कुछ वस्तुओं या माप की इकाइयों की संख्या देते हैं और आपको इस संख्या का एक हिस्सा खोजने की आवश्यकता होती है, जिसे यहां एक निश्चित अंश द्वारा भी दर्शाया गया है। समझने की सुविधा के लिए, हम पहले ऐसी समस्याओं का उदाहरण देंगे, और फिर उन्हें हल करने की विधि का परिचय देंगे।

कार्य 1।मेरे पास 60 रूबल थे; इस पैसे का 1/3 भाग मैंने किताबों की खरीद पर खर्च किया। किताबों की कीमत कितनी थी?

कार्य 2.ट्रेन को शहरों ए और बी के बीच की दूरी 300 किमी के बराबर तय करनी चाहिए। वह पहले ही उस दूरी का 2/3 भाग तय कर चुका है। यह कितने किलोमीटर है?

कार्य 3.गांव में 400 घर हैं, इनमें से 3/4 ईंट के हैं, बाकी लकड़ी के हैं। कितने ईंट के घर हैं?

यहाँ कुछ ऐसी कई समस्याएँ हैं जिनका सामना हमें किसी दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने के लिए करना पड़ता है। उन्हें आमतौर पर किसी दी गई संख्या का एक अंश खोजने के लिए समस्या कहा जाता है।

समस्या का समाधान 1. 60 रूबल से। मैंने किताबों पर 1/3 खर्च किया; इसलिए, पुस्तकों की लागत ज्ञात करने के लिए, आपको संख्या 60 को 3 से विभाजित करना होगा:

समस्या 2 समाधान।समस्या का अर्थ यह है कि आपको 300 किमी में से 2/3 खोजने की आवश्यकता है। 300 में से पहले 1/3 की गणना करें; यह 300 किमी को 3 से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है:

300: 3 = 100 (यह 300 का 1/3 है)।

300 का दो-तिहाई निकालने के लिए, आपको परिणामी भागफल को दोगुना करना होगा, यानी 2 से गुणा करना होगा:

100 x 2 = 200 (यह 300 का 2/3 है)।

समस्या का समाधान 3.यहां आपको ईंट के घरों की संख्या निर्धारित करने की आवश्यकता है, जो 400 के 3/4 हैं। आइए पहले 400 का 1/4 खोजें,

400: 4 = 100 (जो कि 400 का 1/4 है)।

400 के तीन तिमाहियों की गणना करने के लिए, परिणामी भागफल को तीन गुना, यानी 3 से गुणा किया जाना चाहिए:

100 x 3 = 300 (जो 400 का 3/4 है)।

इन समस्याओं के समाधान के आधार पर, हम निम्नलिखित नियम प्राप्त कर सकते हैं:

किसी दी गई संख्या के भिन्न का मान ज्ञात करने के लिए, आपको इस संख्या को भिन्न के हर से विभाजित करना होगा और परिणामी भागफल को उसके अंश से गुणा करना होगा।

3. किसी पूर्ण संख्या का भिन्न से गुणा करना।

इससे पहले (§ 26) यह स्थापित किया गया था कि पूर्णांकों के गुणन को समान पदों के योग के रूप में समझा जाना चाहिए (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20)। इस अनुच्छेद (पैराग्राफ 1) में यह स्थापित किया गया था कि एक भिन्न को एक पूर्णांक से गुणा करने का अर्थ है इस भिन्न के बराबर समान पदों का योग ज्ञात करना।

दोनों ही मामलों में, गुणन में समान पदों का योग ज्ञात करना शामिल था।

अब हम एक पूर्ण संख्या को भिन्न से गुणा करने के लिए आगे बढ़ते हैं। यहां हम ऐसे मिलेंगे, उदाहरण के लिए, गुणा: 9 2/3। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि गुणन की पिछली परिभाषा इस मामले पर लागू नहीं होती है। यह इस तथ्य से स्पष्ट है कि हम समान संख्याओं को जोड़कर ऐसे गुणन को प्रतिस्थापित नहीं कर सकते हैं।

इस कारण हमें गुणन की एक नई परिभाषा देनी होगी, यानी दूसरे शब्दों में, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए कि भिन्न से गुणा करके क्या समझा जाए, इस क्रिया को कैसे समझा जाए।

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने का अर्थ निम्नलिखित परिभाषा से स्पष्ट है: किसी पूर्णांक (गुणक) को भिन्न (गुणक) से गुणा करने का अर्थ गुणक के इस भिन्न को ज्ञात करना है।

अर्थात्, 9 को 2/3 से गुणा करने का अर्थ है नौ इकाइयों का 2/3 ज्ञात करना। पिछले पैराग्राफ में, ऐसी समस्याओं का समाधान किया गया था; इसलिए यह पता लगाना आसान है कि हम 6 के साथ समाप्त होते हैं।

लेकिन अब एक दिलचस्प और महत्वपूर्ण प्रश्न उठता है: समान संख्याओं का योग ज्ञात करने और किसी संख्या के भिन्न को ज्ञात करने जैसी प्रतीत होने वाली भिन्न क्रियाओं को अंकगणित में एक ही शब्द "गुणा" क्यों कहा जाता है?

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि पिछली क्रिया (संख्या को कई बार शब्दों के साथ दोहराना) और नई क्रिया (किसी संख्या का अंश ज्ञात करना) सजातीय प्रश्नों का उत्तर देती है। इसका मतलब यह है कि हम यहां इस विचार से आगे बढ़ते हैं कि सजातीय प्रश्न या कार्य एक ही क्रिया द्वारा हल किए जाते हैं।

इसे समझने के लिए, निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। ऐसे कपड़े की 4 मीटर लागत कितनी होगी?

इस समस्या को रूबल (50) की संख्या को मीटर (4), यानी 50 x 4 = 200 (रूबल) से गुणा करके हल किया जाता है।

चलो एक ही समस्या लेते हैं, लेकिन इसमें कपड़े की मात्रा को एक भिन्नात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाएगा: “1 मीटर कपड़े की कीमत 50 रूबल है। इस तरह के कपड़े की कीमत 3/4 मी कितनी होगी?

मीटर (3/4) की संख्या से रूबल (50) की संख्या को गुणा करके भी इस समस्या को हल करने की आवश्यकता है।

आप समस्या का अर्थ बदले बिना इसमें कई बार संख्याएँ भी बदल सकते हैं, उदाहरण के लिए, 9/10 मीटर या 2 3/10 मीटर, आदि लें।

चूँकि इन समस्याओं की सामग्री समान होती है और केवल संख्याओं में भिन्नता होती है, इसलिए हम इन्हें हल करने में प्रयुक्त क्रियाओं को एक ही शब्द - गुणन कहते हैं।

एक पूर्ण संख्या को भिन्न से कैसे गुणा किया जाता है?

आइए पिछली समस्या में सामने आए नंबरों को लें:

परिभाषा के अनुसार, हमें 50 का 3 / 4 खोजना होगा। पहले हम 50 का 1/4 और फिर 3 / 4 पाते हैं।

50 का 1/4, 50/4 है;

50 का 3/4 है।

इसलिये।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 12 5/8 = ?

12 का 1/8, 12/8 है,

12 की संख्या का 5/8 है।

इसलिये,

यहां से हमें नियम मिलता है:

किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पूर्णांक को भिन्न के अंश से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाना होगा, और दिए गए भिन्न के हर को हर के रूप में हस्ताक्षर करना होगा।

हम इस नियम को अक्षरों का उपयोग करके लिखते हैं:

इस नियम को पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से गुणा करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जिसे 38 में निर्धारित किया गया था।

यह याद रखना चाहिए कि गुणन करने से पहले आपको करना चाहिए (यदि संभव हो तो) कटौती, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न को भिन्न से गुणा करना।किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने का वही अर्थ होता है जो किसी पूर्णांक को भिन्न से गुणा करने पर होता है, अर्थात किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने पर आपको पहले भिन्न (गुणक) से गुणक में भिन्न ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।

अर्थात्, 3/4 को 1/2 (आधा) से गुणा करने का अर्थ है 3/4 का आधा ज्ञात करना।

आप भिन्न को भिन्न से कैसे गुणा करते हैं?

आइए एक उदाहरण लेते हैं: 3/4 गुना 5/7. इसका मतलब है कि आपको 3 / 4 से 5/7 खोजने की जरूरत है। पहले 3/4 का 1/7 और फिर 5/7 . खोजें

3/4 का 1/7 इस तरह व्यक्त किया जाएगा:

5/7 संख्या 3/4 को इस प्रकार व्यक्त किया जाएगा:

इस प्रकार,

दूसरा उदाहरण: 5/8 गुना 4/9.

5/8 का 1/9 है ,

4/9 संख्याएं 5/8 हैं।

इस प्रकार,

इन उदाहरणों से, निम्नलिखित नियम का अनुमान लगाया जा सकता है:

किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश और दूसरे उत्पाद को गुणनफल का हर बनाना होगा।

इस नियम को सामान्य रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:

गुणा करते समय, (यदि संभव हो) कटौती करना आवश्यक है। उदाहरणों पर विचार करें:

5. मिश्रित संख्याओं का गुणन।चूंकि मिश्रित संख्याओं को आसानी से अनुचित अंशों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, इस परिस्थिति का उपयोग आमतौर पर मिश्रित संख्याओं को गुणा करते समय किया जाता है। इसका मतलब यह है कि उन मामलों में जहां गुणक, या गुणक, या दोनों कारकों को मिश्रित संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो उन्हें अनुचित अंशों से बदल दिया जाता है। गुणा करें, उदाहरण के लिए, मिश्रित संख्याएँ: 2 1/2 और 3 1/5। हम उनमें से प्रत्येक को एक अनुचित भिन्न में बदल देते हैं और फिर हम परिणामी भिन्नों को भिन्न से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करेंगे:

नियम।मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

टिप्पणी।यदि कारकों में से एक पूर्णांक है, तो वितरण कानून के आधार पर गुणा निम्नानुसार किया जा सकता है:

6. ब्याज की अवधारणा।समस्याओं को हल करते समय और विभिन्न व्यावहारिक गणना करते समय, हम सभी प्रकार के भिन्नों का उपयोग करते हैं। लेकिन यह ध्यान रखना चाहिए कि कई मात्राएँ अपने लिए कोई नहीं, बल्कि प्राकृतिक उपखंडों को स्वीकार करती हैं। उदाहरण के लिए, आप एक रूबल का सौवां (1/100) ले सकते हैं, यह एक पैसा होगा, दो सौवां 2 कोप्पेक है, तीन सौवां 3 कोप्पेक है। आप रूबल का 1/10 ले सकते हैं, यह "10 कोप्पेक, या एक पैसा होगा। आप रूबल का एक चौथाई हिस्सा ले सकते हैं, यानी। 25 कोप्पेक, आधा रूबल, यानी। 50 कोप्पेक (पचास कोप्पेक)। लेकिन वे व्यावहारिक रूप से डॉन उदाहरण के लिए, 2/7 रूबल न लें क्योंकि रूबल सातवें में विभाजित नहीं है।

वजन के लिए माप की इकाई, यानी, किलोग्राम, सबसे पहले, दशमलव उपखंडों की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, 1/10 किग्रा, या 100 ग्राम। और एक किलोग्राम के ऐसे अंश जैसे 1/6, 1/11, 1/ 13 असामान्य हैं।

सामान्य तौर पर हमारे (मीट्रिक) माप दशमलव होते हैं और दशमलव उपखंडों की अनुमति देते हैं।

हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विभिन्न प्रकार के मामलों में उप-विभाजित मात्राओं की समान (समान) विधि का उपयोग करना बेहद उपयोगी और सुविधाजनक है। कई वर्षों के अनुभव से पता चला है कि इस तरह का एक उचित विभाजन "सौवां" विभाजन है। आइए मानव अभ्यास के सबसे विविध क्षेत्रों से संबंधित कुछ उदाहरणों पर विचार करें।

1. किताबों की कीमत में पिछली कीमत से 12/100 की कमी आई है।

उदाहरण। पुस्तक की पिछली कीमत 10 रूबल है। वह 1 रूबल से नीचे चली गई। 20 कोप.

2. बचत बैंक वर्ष के दौरान जमाकर्ताओं को बचत में लगाई गई राशि का 2/100 भुगतान करते हैं।

उदाहरण। 500 रूबल कैश डेस्क में डाल दिए जाते हैं, इस राशि से वर्ष के लिए आय 10 रूबल है।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या छात्रों की कुल संख्या का 5/100 थी।

उदाहरण स्कूल में केवल 1,200 छात्र पढ़ते थे, उनमें से 60 ने स्कूल से स्नातक किया।

किसी संख्या के सौवें भाग को प्रतिशत कहते हैं।.

शब्द "प्रतिशत" लैटिन भाषा से लिया गया है और इसकी जड़ "प्रतिशत" का अर्थ एक सौ है। पूर्वसर्ग (प्रो सेंटम) के साथ, इस शब्द का अर्थ है "सौ के लिए।" इस अभिव्यक्ति का अर्थ इस तथ्य से मिलता है कि शुरू में प्राचीन रोम में ब्याज वह धन था जो ऋणी ने "हर सौ के लिए" ऋणदाता को दिया था। "सेंट" शब्द ऐसे परिचित शब्दों में सुना जाता है: सेंटनर (एक सौ किलोग्राम), सेंटीमीटर (वे सेंटीमीटर कहते हैं)।

उदाहरण के लिए, यह कहने के बजाय कि संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान अपने द्वारा उत्पादित सभी उत्पादों का 1/100 उत्पादन किया, हम यह कहेंगे: संयंत्र ने पिछले महीने के दौरान एक प्रतिशत अस्वीकृत का उत्पादन किया। यह कहने के बजाय: संयंत्र ने स्थापित योजना की तुलना में 4/100 अधिक उत्पादों का उत्पादन किया, हम कहेंगे: संयंत्र योजना से 4 प्रतिशत अधिक हो गया।

उपरोक्त उदाहरणों को अलग तरह से व्यक्त किया जा सकता है:

1. किताबों की कीमत में पिछली कीमत के 12 फीसदी की कमी आई है।

2. बचत बैंक जमाकर्ताओं को बचत में डाली गई राशि का 2 प्रतिशत प्रति वर्ष भुगतान करते हैं।

3. एक स्कूल के स्नातकों की संख्या स्कूल के सभी छात्रों की संख्या का 5 प्रतिशत थी।

पत्र को छोटा करने के लिए, "प्रतिशत" शब्द के बजाय% चिह्न लिखने की प्रथा है।

हालाँकि, यह याद रखना चाहिए कि % चिह्न आमतौर पर गणना में नहीं लिखा जाता है, इसे समस्या विवरण और अंतिम परिणाम में लिखा जा सकता है। गणना करते समय, आपको इस आइकन के साथ एक पूर्णांक के बजाय 100 के हर के साथ एक अंश लिखना होगा।

आपको निर्दिष्ट चिह्न के साथ एक पूर्णांक को 100 के हर वाले अंश से बदलने में सक्षम होना चाहिए:

इसके विपरीत, आपको 100 के हर वाले अंश के बजाय संकेतित चिह्न के साथ एक पूर्णांक लिखने की आदत डालनी होगी:

7. किसी दी गई संख्या का प्रतिशत ज्ञात करना।

कार्य 1।स्कूल को 200 क्यूबिक मीटर मिले। जलाऊ लकड़ी का मी, सन्टी जलाऊ लकड़ी के साथ 30% के लिए लेखांकन। कितनी सन्टी लकड़ी थी?

इस समस्या का अर्थ यह है कि सन्टी जलाऊ लकड़ी स्कूल में वितरित की जाने वाली जलाऊ लकड़ी का केवल एक हिस्सा था, और इस भाग को 30/100 के अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसलिए, हमें किसी संख्या का भिन्न ज्ञात करने का कार्य करना पड़ता है। इसे हल करने के लिए, हमें 200 को 30/100 से गुणा करना होगा (किसी संख्या के अंश को एक अंश से गुणा करके हल किया जाता है।)

तो 200 का 30% 60 के बराबर होता है।

इस समस्या में आने वाले अंश 30/100 को 10 से कम किया जा सकता है। इस कमी को शुरू से ही करना संभव होगा; समस्या का समाधान नहीं बदलेगा।

कार्य 2.कैंप में विभिन्न उम्र के 300 बच्चे थे। 11 वर्ष की आयु के बच्चे 21% थे, 12 वर्ष की आयु के बच्चे 61% थे और अंत में 13 वर्ष के बच्चे 18% थे। शिविर में प्रत्येक आयु के कितने बच्चे थे?

इस समस्या में, आपको तीन गणनाएँ करने की आवश्यकता है, अर्थात्, क्रमशः 11 वर्ष, फिर 12 वर्ष और अंत में 13 वर्ष के बच्चों की संख्या ज्ञात कीजिए।

अत: यहाँ किसी संख्या का भिन्न तीन बार ज्ञात करना आवश्यक होगा। हो जाए:

1) 11 वर्ष के कितने बच्चे थे?

2) 12 साल के कितने बच्चे थे?

3) 13 साल के कितने बच्चे थे?

समस्या को हल करने के बाद, मिली संख्याओं को जोड़ना उपयोगी होता है; उनका योग 300 होना चाहिए:

63 + 183 + 54 = 300

आपको इस बात पर भी ध्यान देना चाहिए कि समस्या की स्थिति में दिए गए प्रतिशत का योग 100 है:

21% + 61% + 18% = 100%

इससे पता चलता है कि शिविर में बच्चों की कुल संख्या को 100% के रूप में लिया गया था।

3 एक दा चा 3.कार्यकर्ता को प्रति माह 1,200 रूबल मिलते थे। इनमें से, उन्होंने भोजन पर 65%, एक अपार्टमेंट और हीटिंग पर 6%, गैस, बिजली और रेडियो पर 4%, सांस्कृतिक जरूरतों पर 10% और 15% की बचत की। कार्य में दर्शाई गई आवश्यकताओं पर कितना धन व्यय किया गया?

इस समस्या को हल करने के लिए, आपको संख्या 1,200 का एक अंश 5 बार खोजना होगा। चलिए करते हैं।

1) खाने पर कितना पैसा खर्च होता है? टास्क कहता है कि यह खर्च कुल कमाई का 65% है, यानी 1,200 की संख्या का 65/100। आइए गणना करते हैं:

2) हीटिंग वाले अपार्टमेंट के लिए कितना पैसा दिया गया था? पिछले एक की तरह बहस करते हुए, हम निम्नलिखित गणना पर पहुंचते हैं:

3) आपने गैस, बिजली और रेडियो के लिए कितना पैसा दिया?

4) सांस्कृतिक जरूरतों पर कितना पैसा खर्च किया जाता है?

5) कार्यकर्ता ने कितना पैसा बचाया?

सत्यापन के लिए, इन 5 प्रश्नों में मिली संख्याओं को जोड़ना उपयोगी है। राशि 1,200 रूबल होनी चाहिए। सभी कमाई को 100% के रूप में लिया जाता है, जिसे समस्या की स्थिति में दिए गए प्रतिशत को जोड़कर जांचना आसान है।

हमने तीन समस्याओं का समाधान किया है। इस तथ्य के बावजूद कि ये कार्य अलग-अलग चीजों के बारे में थे (स्कूल के लिए जलाऊ लकड़ी की डिलीवरी, अलग-अलग उम्र के बच्चों की संख्या, कार्यकर्ता का खर्च), उन्हें उसी तरह हल किया गया था। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि सभी कार्यों में दी गई संख्याओं का कुछ प्रतिशत ज्ञात करना आवश्यक था।

§ 90. भिन्नों का विभाजन।

भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करते समय, हम निम्नलिखित प्रश्नों पर विचार करेंगे:

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।
2. एक भिन्न का एक पूर्णांक से विभाजन
3. किसी पूर्णांक का भिन्न से भाग।
4. भिन्न का भिन्न से भाग।
5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन।
6. भिन्न दी गई संख्या ज्ञात करना।
7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

आइए उन पर क्रमिक रूप से विचार करें।

1. एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करें।

जैसा कि पूर्णांकों पर अनुभाग में इंगित किया गया था, विभाजन इस तथ्य से युक्त क्रिया है कि, दो कारकों (लाभांश) और इनमें से एक कारक (भाजक) के उत्पाद को देखते हुए, एक अन्य कारक पाया जाता है।

एक पूर्णांक से एक पूर्णांक का विभाजन जिसे हमने पूर्णांकों के विभाग में माना है। हम वहां विभाजन के दो मामले मिले: बिना शेष के विभाजन, या "पूरी तरह से" (150: 10 = 15), और शेष के साथ विभाजन (100: 9 = 11 और शेष में 1)। इसलिए हम कह सकते हैं कि पूर्णांकों के दायरे में, सटीक विभाजन हमेशा संभव नहीं होता है, क्योंकि लाभांश हमेशा भाजक और पूर्णांक का गुणनफल नहीं होता है। भिन्न से गुणन की शुरुआत के बाद, हम पूर्णांकों के विभाजन के किसी भी मामले पर विचार कर सकते हैं (केवल शून्य से विभाजन को बाहर रखा गया है)।

उदाहरण के लिए, 7 को 12 से भाग देने का अर्थ है एक ऐसी संख्या ज्ञात करना जिसका गुणनफल 12 बार 7 होगा। यह संख्या भिन्न 7/12 है क्योंकि 7/12 12 = 7 है। एक और उदाहरण: 14: 25 = 14/25 क्योंकि 14/25 25 = 14.

इस प्रकार, एक पूर्णांक को एक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको एक भिन्न बनाने की आवश्यकता होती है, जिसका अंश भाज्य के बराबर होता है, और भाजक भाजक होता है।

2. एक भिन्न का एक पूर्णांक से विभाजन।

भिन्न 6/7 को 3 से भाग दें। ऊपर दी गई विभाजन की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास यहां गुणनफल (6/7) और कारकों में से एक (3) है; ऐसा दूसरा गुणनखंड ज्ञात करना आवश्यक है, जिसे 3 से गुणा करने पर दिया गया गुणनफल 6/7 प्राप्त हो। जाहिर है, यह इस उत्पाद से तीन गुना छोटा होना चाहिए। इसका मतलब यह है कि हमारे सामने जो कार्य निर्धारित किया गया था, वह अंश को 6/7 से 3 गुना कम करना था।

हम पहले से ही जानते हैं कि किसी भिन्न का घटाव या तो उसके अंश को घटाकर या उसके हर को बढ़ाकर किया जा सकता है। इसलिए, आप लिख सकते हैं:

इस मामले में, अंश 6, 3 से विभाज्य है, इसलिए अंश को 3 गुना कम किया जाना चाहिए।

आइए एक और उदाहरण लेते हैं: 5/8 को 2 से विभाजित किया जाता है। यहां अंश 5 2 से विभाज्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि हर को इस संख्या से गुणा करना होगा:

इसके आधार पर, हम नियम बता सकते हैं: एक अंश को एक पूर्णांक से विभाजित करने के लिए, आपको अंश के अंश को उस पूर्णांक से विभाजित करना होगा(अगर संभव हो तो), एक ही हर को छोड़कर, या एक ही अंश को छोड़कर, इस संख्या से भिन्न के हर को गुणा करें।

3. किसी पूर्णांक का भिन्न से भाग।

मान लीजिए कि 5 को 1/2 से भाग देना आवश्यक है, यानी एक ऐसी संख्या ज्ञात कीजिए, जिसे 1/2 से गुणा करने पर गुणनफल 5 मिले। जाहिर है, यह संख्या 5 से बड़ी होनी चाहिए, क्योंकि 1/2 एक उचित भिन्न है, और जब किसी संख्या को उचित भिन्न से गुणा किया जाता है, तो गुणनफल गुणक से कम होना चाहिए। इसे और स्पष्ट करने के लिए, आइए अपने कार्यों को इस प्रकार लिखें: 5: 1/2 = एक्स , तो x 1 / 2 \u003d 5।

हमें ऐसी संख्या ढूंढनी होगी एक्स , जिसे 1/2 से गुणा करने पर 5 प्राप्त होता है। चूँकि एक निश्चित संख्या को 1/2 से गुणा करने का अर्थ है इस संख्या का 1/2 ज्ञात करना, इसलिए, अज्ञात संख्या का 1/2 एक्स 5 है, और पूर्ण संख्या एक्स दोगुना, यानी 5 2 \u003d 10।

तो 5: 1/2 = 5 2 = 10

चलो देखते है:

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि 6 को 2/3 से भाग देना आवश्यक है। आइए पहले ड्राइंग (चित्र 19) का उपयोग करके वांछित परिणाम खोजने का प्रयास करें।

चित्र.19

कुछ इकाइयों के 6 के बराबर एक खंड AB खींचिए और प्रत्येक इकाई को 3 बराबर भागों में विभाजित कीजिए। प्रत्येक इकाई में, पूरे खंड में तीन-तिहाई (3/3) AB 6 गुना बड़ा है, अर्थात। ई. 18/3। हम छोटे ब्रैकेट की मदद से जुड़ते हैं 18 2 के खंड प्राप्त करते हैं; केवल 9 खंड होंगे। इसका अर्थ यह है कि भिन्न 2/3, b इकाइयों में 9 बार समाहित है, या, दूसरे शब्दों में, भिन्न 2/3, 6 पूर्णांक इकाइयों से 9 गुना कम है। इसलिये,

केवल गणनाओं का उपयोग करके चित्र के बिना यह परिणाम कैसे प्राप्त करें? हम इस प्रकार तर्क देंगे: 6 को 2/3 से विभाजित करना आवश्यक है, अर्थात, प्रश्न का उत्तर देना आवश्यक है, कितनी बार 2/3 6 में समाहित है। आइए पहले पता करें: 1/3 कितनी बार है 6 में निहित है? एक पूरी इकाई में - 3 तिहाई, और 6 इकाइयों में - 6 गुना अधिक, यानी 18 तिहाई; इस संख्या को खोजने के लिए, हमें 6 को 3 से गुणा करना होगा। इसलिए, 1/3 b इकाइयों में 18 गुना है, और 2/3 b इकाइयों में 18 बार नहीं, बल्कि कई बार आधा है, यानी 18: 2 = 9 इसलिए, 6 को 2/3 से विभाजित करते समय हमने निम्नलिखित किया:

यहाँ से हमें किसी पूर्णांक को भिन्न से भाग देने का नियम प्राप्त होता है। किसी पूर्णांक को भिन्न से भाग देने के लिए, आपको इस पूर्णांक को दिए गए भिन्न के हर से गुणा करना होगा और इस गुणनफल को अंश बनाकर दिए गए भिन्न के अंश से भाग देना होगा।

हम अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखते हैं:

इस नियम को पूरी तरह से स्पष्ट करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि भिन्न को भागफल माना जा सकता है। इसलिए, किसी संख्या को भागफल से विभाजित करने के नियम के साथ पाए गए नियम की तुलना करना उपयोगी है, जिसे 38 में निर्धारित किया गया था। ध्यान दें कि वही सूत्र वहां प्राप्त किया गया था।

विभाजित करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

4. भिन्न का भिन्न से भाग।

मान लीजिए कि 3/4 को 3/8 से भाग देना है। विभाजन के परिणामस्वरूप प्राप्त होने वाली संख्या को क्या निरूपित करेगा? यह इस प्रश्न का उत्तर देगा कि भिन्न 3/8 कितनी बार भिन्न 3/4 में समाहित है। इस मुद्दे को समझने के लिए, आइए एक चित्र बनाते हैं (चित्र 20)।

खंड AB लें, इसे एक इकाई के रूप में लें, इसे 4 बराबर भागों में विभाजित करें और ऐसे 3 भागों को चिह्नित करें। खंड AC, खंड AB के 3/4 के बराबर होगा। आइए अब हम चार प्रारंभिक खंडों में से प्रत्येक को आधा में विभाजित करें, फिर खंड AB को 8 बराबर भागों में विभाजित किया जाएगा और ऐसा प्रत्येक भाग खंड AB के 1/8 के बराबर होगा। हम ऐसे 3 खंडों को चापों से जोड़ते हैं, तो प्रत्येक खंड AD और DC खंड AB के 3/8 के बराबर होंगे। चित्र से पता चलता है कि 3/8 के बराबर खंड 3/4 के बराबर 2 बार खंड में समाहित है; तो विभाजन का परिणाम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

3 / 4: 3 / 8 = 2

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें। मान लीजिए कि 15/16 को 3/32 से विभाजित करना आवश्यक है:

हम इस तरह से तर्क कर सकते हैं: हमें एक संख्या खोजने की जरूरत है, जो 3/32 से गुणा करने के बाद 15/16 के बराबर उत्पाद देगी। आइए गणना इस तरह लिखें:

15 / 16: 3 / 32 = एक्स

3 / 32 एक्स = 15 / 16

3/32 अज्ञात नंबर एक्स 15 / 16 . बनाओ

1/32 अज्ञात संख्या एक्स है ,

32/32 नंबर एक्स पूरा करना ।

इसलिये,

इस प्रकार, किसी भिन्न को भिन्न से विभाजित करने के लिए, आपको पहले भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा करना होगा, और पहले भिन्न के हर को दूसरे के अंश से गुणा करना होगा और पहले उत्पाद को अंश और दूसरा भाजक।

आइए अक्षरों का उपयोग करके नियम लिखें:

विभाजित करते समय, संक्षिप्तीकरण संभव है, उदाहरण के लिए:

5. मिश्रित संख्याओं का विभाजन।

मिश्रित संख्याओं को विभाजित करते समय, उन्हें पहले अनुचित अंशों में परिवर्तित किया जाना चाहिए, और फिर परिणामी अंशों को भिन्नात्मक संख्याओं को विभाजित करने के नियमों के अनुसार विभाजित किया जाना चाहिए। एक उदाहरण पर विचार करें:

मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें:

आइए अब विभाजित करें:

इस प्रकार, मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के लिए, आपको उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर भिन्नों को विभाजित करने के नियम के अनुसार विभाजित करना होगा।

6. भिन्न दी गई संख्या ज्ञात करना।

भिन्नों पर विभिन्न कार्यों में, कभी-कभी ऐसे कार्य होते हैं जिनमें किसी अज्ञात संख्या के कुछ अंश का मान दिया जाता है और इस संख्या को खोजने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार की समस्या दी गई संख्या का भिन्न ज्ञात करने की समस्या के विपरीत होगी; वहां एक संख्या दी गई थी और इस संख्या के कुछ अंश को खोजने की आवश्यकता थी, यहां एक संख्या का एक अंश दिया गया है और इस संख्या को स्वयं खोजने की आवश्यकता है। यदि हम इस प्रकार की समस्या के समाधान की ओर मुड़ें तो यह विचार और भी स्पष्ट हो जाएगा।

कार्य 1।पहले दिन, ग्लेज़ियर्स ने 50 खिड़कियों को चमका दिया, जो कि निर्मित घर की सभी खिड़कियों का 1/3 है। इस घर में कितनी खिड़कियाँ हैं?

फेसला।समस्या यह कहती है कि घर की सभी खिड़कियों का 1/3 भाग 50 ग्लेज़ेड खिड़कियाँ बनाती हैं, जिसका अर्थ है कि कुल 3 गुना अधिक खिड़कियाँ हैं, अर्थात।

घर में 150 खिड़कियां थीं।

कार्य 2.स्टोर ने 1,500 किलो आटा बेचा, जो स्टोर के आटे के कुल स्टॉक का 3/8 है। स्टोर में आटे की प्रारंभिक आपूर्ति क्या थी?

फेसला।समस्या की स्थिति से यह देखा जा सकता है कि बेचा गया 1,500 किलो आटा कुल स्टॉक का 3/8 है; इसका मतलब है कि इस स्टॉक का 1/8 हिस्सा 3 गुना कम होगा, यानी इसकी गणना करने के लिए, आपको 1500 को 3 गुना कम करना होगा:

1,500: 3 = 500 (यह स्टॉक का 1/8 है)।

जाहिर है, पूरा स्टॉक 8 गुना बड़ा होगा। इसलिये,

500 8 \u003d 4,000 (किलो)।

दुकान में आटे की शुरुआती आपूर्ति 4,000 किलो थी।

इस समस्या के विचार से, निम्नलिखित नियम का अनुमान लगाया जा सकता है।

किसी संख्या को उसके अंश के दिए गए मान से खोजने के लिए, इस मान को भिन्न के अंश से विभाजित करना और परिणाम को भिन्न के हर से गुणा करना पर्याप्त है।

हमने भिन्न दी हुई संख्या ज्ञात करने पर दो प्रश्न हल किए। इस तरह की समस्याएं, जैसा कि पिछले एक से विशेष रूप से अच्छी तरह से देखा जाता है, दो क्रियाओं द्वारा हल की जाती हैं: विभाजन (जब एक भाग पाया जाता है) और गुणा (जब पूरी संख्या पाई जाती है)।

हालाँकि, भिन्नों के विभाजन का अध्ययन करने के बाद, उपरोक्त समस्याओं को एक क्रिया में हल किया जा सकता है, अर्थात्: भिन्न द्वारा विभाजन।

उदाहरण के लिए, अंतिम कार्य को इस तरह की एक क्रिया में हल किया जा सकता है:

भविष्य में, हम एक क्रिया - विभाजन में किसी संख्या को उसके अंश से खोजने की समस्या को हल करेंगे।

7. किसी संख्या को उसके प्रतिशत से ज्ञात करना।

इन कार्यों में, आपको इस संख्या का कुछ प्रतिशत जानने के लिए एक संख्या खोजने की आवश्यकता होगी।

कार्य 1।इस साल की शुरुआत में, मुझे बचत बैंक से 60 रूबल मिले। उस राशि से आय जो मैंने एक साल पहले बचत में लगाई थी। मैंने बचत बैंक में कितना पैसा लगाया? (नकद कार्यालय जमाकर्ताओं को प्रति वर्ष आय का 2% देते हैं।)

समस्या का अर्थ यह है कि मेरे द्वारा एक निश्चित राशि एक बचत बैंक में रखी गई थी और एक वर्ष तक वहीं पड़ी रही। एक साल बाद, मुझे उससे 60 रूबल मिले। आय, जो मेरे द्वारा निवेशित धन का 2/100 है। मैंने कितना पैसा जमा किया?

इसलिए, इस पैसे का हिस्सा जानने के लिए, दो तरीकों से व्यक्त किया गया (रूबल और अंशों में), हमें संपूर्ण, अभी तक अज्ञात, राशि का पता लगाना चाहिए। किसी संख्या को उसकी भिन्न दी गई संख्या ज्ञात करने की यह एक सामान्य समस्या है। निम्नलिखित कार्यों को विभाजन द्वारा हल किया जाता है:

तो, बचत बैंक में 3,000 रूबल डाले गए।

कार्य 2.दो सप्ताह में, मछुआरों ने 512 टन मछली तैयार करके 64% मासिक योजना को पूरा किया। उनकी योजना क्या थी?

समस्या की स्थिति से पता चलता है कि मछुआरों ने योजना का एक हिस्सा पूरा किया। यह हिस्सा 512 टन के बराबर है, जो कि योजना का 64 फीसदी है। योजना के अनुसार कितने टन मछली काटा जाना है, यह हम नहीं जानते। समस्या का समाधान इस संख्या को खोजने में शामिल होगा।

ऐसे कार्यों को विभाजित करके हल किया जाता है:

तो, योजना के अनुसार, आपको 800 टन मछली तैयार करने की आवश्यकता है।

कार्य 3.ट्रेन रीगा से मास्को चली गई। जब उन्होंने 276वां किलोमीटर पार किया, तो यात्रियों में से एक ने गुजरने वाले कंडक्टर से पूछा कि वे कितनी यात्रा कर चुके हैं। इस पर कंडक्टर ने जवाब दिया: "हमने पूरी यात्रा का 30% पहले ही कवर कर लिया है।" रीगा से मास्को की दूरी क्या है?

समस्या की स्थिति से देखा जा सकता है कि रीगा से मास्को तक की यात्रा का 30% 276 किमी है। हमें इन शहरों के बीच की संपूर्ण दूरी ज्ञात करनी है, अर्थात इस भाग के लिए संपूर्ण दूरी ज्ञात करें:

91. पारस्परिक संख्या। भाग को गुणन से बदलना।

भिन्न 2/3 लें और अंश को हर के स्थान पर पुनर्व्यवस्थित करें, हमें 3/2 प्राप्त होता है। हमें एक भिन्न मिला है, इसका व्युत्क्रम।

किसी दिए गए अंश का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए, आपको उसके अंश को हर के स्थान पर और हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। इस तरह, हम एक भिन्न प्राप्त कर सकते हैं जो किसी भी भिन्न का पारस्परिक है। उदाहरण के लिए:

3 / 4 , रिवर्स 4 / 3 ; 5 / 6 , रिवर्स 6 / 5

दो भिन्नों में यह गुण होता है कि पहले का अंश दूसरे का हर होता है और पहले का हर दूसरे का अंश कहलाता है परस्पर उलटा।

आइए अब विचार करें कि 1/2 का व्युत्क्रम कौन-सा भिन्न होगा। जाहिर है, यह 2/1 या सिर्फ 2 होगा। इसके व्युत्क्रम की तलाश में, हमें एक पूर्णांक मिला। और यह मामला अलग नहीं है; इसके विपरीत, 1 (एक) के अंश वाले सभी अंशों के लिए, व्युत्क्रम पूर्णांक होंगे, उदाहरण के लिए:

1/3, प्रतिलोम 3; 1/5, उल्टा 5

चूँकि व्युत्क्रम खोजने पर हम पूर्णांकों से भी मिले, भविष्य में हम व्युत्क्रमों के बारे में नहीं, बल्कि पारस्परिक के बारे में बात करेंगे।

आइए जानें कि किसी पूर्ण संख्या का व्युत्क्रम कैसे लिखा जाता है। भिन्नों के लिए, इसे सरलता से हल किया जाता है: आपको हर को अंश के स्थान पर रखना होगा। उसी तरह, आप एक पूर्णांक का व्युत्क्रम प्राप्त कर सकते हैं, क्योंकि किसी भी पूर्णांक में 1 का हर हो सकता है। तो 7 का व्युत्क्रम 1 / 7 होगा, क्योंकि 7 \u003d 7/1; संख्या 10 के लिए उलटा 1 / 10 है क्योंकि 10 = 10 / 1

इस विचार को दूसरे तरीके से व्यक्त किया जा सकता है: दी गई संख्या का व्युत्क्रम दी गई संख्या से एक को विभाजित करके प्राप्त किया जाता है. यह कथन न केवल पूर्णांकों के लिए, बल्कि भिन्नों के लिए भी सत्य है। दरअसल, अगर आप कोई ऐसी संख्या लिखना चाहते हैं जो 5/9 का व्युत्क्रम हो, तो हम 1 लेकर उसे 5/9 से विभाजित कर सकते हैं, यानी।

अब एक की ओर इशारा करते हैं संपत्तिपारस्परिक रूप से पारस्परिक संख्याएँ, जो हमारे लिए उपयोगी होंगी: परस्पर पारस्परिक संख्याओं का गुणनफल एक के बराबर होता है।वास्तव में:

इस संपत्ति का उपयोग करके, हम निम्नलिखित तरीके से व्युत्क्रम ढूंढ सकते हैं। आइए 8 का व्युत्क्रम ज्ञात करें।

आइए इसे अक्षर से निरूपित करें एक्स , फिर 8 एक्स = 1, इसलिए एक्स = 1/8। आइए एक और संख्या ज्ञात करें, 7/12 का व्युत्क्रम, इसे एक अक्षर द्वारा निरूपित करें एक्स , फिर 7 / 12 एक्स = 1, इसलिए एक्स = 1:7/12 या एक्स = 12 / 7 .

भिन्नों के विभाजन के बारे में जानकारी को थोड़ा पूरक करने के लिए हमने यहां पारस्परिक संख्याओं की अवधारणा की शुरुआत की।

जब हम संख्या 6 को 3/5 से भाग देते हैं, तो हम निम्न कार्य करते हैं:

व्यंजक पर विशेष ध्यान दें और उसकी तुलना दिए गए व्यंजक से करें: .

यदि हम पिछले एक के साथ संबंध के बिना, अलग से अभिव्यक्ति लेते हैं, तो यह सवाल हल करना असंभव है कि यह कहां से आया है: 6 को 3/5 से विभाजित करने से या 6 को 5/3 से गुणा करने से। दोनों ही मामलों में परिणाम समान है। तो हम कह सकते हैं कि एक संख्या को दूसरे से भाग देने पर भाज्य को भाजक के व्युत्क्रम से गुणा करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

नीचे दिए गए उदाहरण इस निष्कर्ष की पूरी तरह पुष्टि करते हैं।

दशमलव गुणनतीन चरणों में होता है।

दशमलव को एक कॉलम में लिखा जाता है और साधारण संख्याओं के रूप में गुणा किया जाता है।

हम पहले दशमलव और दूसरे के लिए दशमलव स्थानों की संख्या गिनते हैं। हम उनकी संख्या जोड़ते हैं।

प्राप्त परिणाम में, हम दाएं से बाएं उतने अंक गिनते हैं जितने वे ऊपर के पैराग्राफ में निकले हैं और एक अल्पविराम लगाते हैं।

दशमलव को गुणा कैसे करें

हम दशमलव अंशों को एक कॉलम में लिखते हैं और अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए उन्हें प्राकृत संख्याओं के रूप में गुणा करते हैं। यानी हम 3.11 को 311 और 0.01 को 1 मानते हैं।

311 प्राप्त किया। अब हम दोनों भिन्नों के लिए दशमलव बिंदु के बाद चिह्नों (अंकों) की संख्या गिनते हैं। पहले दशमलव में दो अंक होते हैं और दूसरे में दो अंक होते हैं। अल्पविराम के बाद अंकों की कुल संख्या:

हम परिणामी संख्या के दाएं से बाएं 4 वर्णों (संख्याओं) की गणना करते हैं। परिणाम में आपको अल्पविराम से अलग करने की आवश्यकता से कम अंक हैं। उस स्थिति में, आपको चाहिए बाएंशून्य की लापता संख्या असाइन करें।

हम एक अंक खो रहे हैं, इसलिए हम बाईं ओर एक शून्य का श्रेय देते हैं।

किसी दशमलव भिन्न को गुणा करते समय 10 पर; 100; 1000 आदि दशमलव बिंदु दाईं ओर उतने ही अंकों की ओर जाता है, जितने एक के बाद शून्य होते हैं।

  • 70.1 10 = 701
  • 0.023 100 = 2.3
  • 5.6 1000 = 5600

दशमलव को 0.1 से गुणा करना; 0.01; 0.001, आदि, इस भिन्न में अल्पविराम को बाईं ओर उतने अंकों से स्थानांतरित करना आवश्यक है जितने कि इकाई के सामने शून्य हैं।

हम शून्य पूर्णांक गिनते हैं!

  • 12 0.1 = 1.2
  • 0.05 0.1 = 0.005
  • 1.256 0.01 = 0.012 56

भिन्नों का गुणन

हम साधारण भिन्नों के गुणन पर कई संभावित तरीकों से विचार करेंगे।

भिन्न को भिन्न से गुणा करना

यह सबसे सरल मामला है, जिसमें आपको निम्नलिखित का उपयोग करने की आवश्यकता है भिन्न गुणन नियम.

सेवा भिन्न को भिन्न से गुणा करें, ज़रूरी:

  • पहली भिन्न के अंश को दूसरी भिन्न के अंश से गुणा करें और उनके गुणनफल को नई भिन्न के अंश में लिखें;
  • पहली भिन्न के हर को दूसरी भिन्न के हर से गुणा करें और उनके गुणनफल को नई भिन्न के हर में लिखें;

अंशों और हरों को गुणा करने से पहले, जांच लें कि क्या भिन्नों को कम किया जा सकता है। गणनाओं में भिन्नों को कम करने से आपकी गणना में बहुत सुविधा होगी।

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करना

भिन्न करने के लिए एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करेंआपको भिन्न के अंश को इस संख्या से गुणा करना होगा, और भिन्न के हर को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।

यदि गुणन का परिणाम एक अनुचित भिन्न है, तो इसे मिश्रित संख्या में बदलना न भूलें, अर्थात पूरे भाग का चयन करें।

मिश्रित संख्याओं का गुणन

मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों में बदलना होगा और फिर साधारण भिन्नों को गुणा करने के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका

कभी-कभी गणना में किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की भिन्न विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है।

किसी भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा, और अंश को वही छोड़ देना होगा।

जैसा कि उदाहरण से देखा जा सकता है, नियम के इस संस्करण का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है यदि अंश का हर एक प्राकृतिक संख्या से शेष के बिना विभाज्य है।

किसी भिन्न को पूर्णांक नियम से कैसे गुणा करें

मैं। एक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने के लिए, आपको अल्पविराम को अनदेखा करते हुए इसे इस संख्या से गुणा करना होगा, और परिणामी उत्पाद में, दिए गए अंश में दशमलव बिंदु के बाद के रूप में दाईं ओर जितने अंक थे, उन्हें अलग करें।

उदाहरण।गुणन करें: 1) 1.25 7; 2) 0.345 8; 3) 2.391 14.

फेसला।

द्वितीय. एक दशमलव अंश को दूसरे से गुणा करने के लिए, आपको अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए गुणा करने की आवश्यकता है, और परिणामी परिणाम में, दोनों कारकों में अल्पविराम के बाद के रूप में दाईं ओर अल्पविराम के साथ कई अंकों को अलग करें।

उदाहरण।गुणन करें: 1) 18.2 0.09; 2) 3.2 0.065; 3) 0.54 12.3।

फेसला।

III.किसी दशमलव को 10, 100, 1000, आदि से गुणा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को 1, 2, 3, आदि अंकों से दाईं ओर ले जाना होगा।

उदाहरण।गुणन करें: 1) 3.25 10; 2) 0.637 100; 3) 4.307 1000; 4) 2.04 1000; 5) 0.00031 10000।

फेसला।

चतुर्थ।दशमलव को 0.1 से गुणा करना; 0.01; 0.001, आदि, आपको अल्पविराम को 1, 2, 3, आदि अंकों से बाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है।

उदाहरण।गुणन करें: 1) 28.3 0.1; 2) 324.7 0.01; 3) 6.85 0.01; 4) 6179.5 0.001; 5) 92.1 0.0001।

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दशमलव भिन्नों का गुणन, नियम, उदाहरण, समाधान।

हम दशमलव भिन्नों के साथ अगली क्रिया के अध्ययन की ओर मुड़ते हैं, अब हम व्यापक रूप से विचार करेंगे दशमलव गुणा करना. सबसे पहले, आइए दशमलव भिन्नों को गुणा करने के सामान्य सिद्धांतों पर चर्चा करें। उसके बाद, आइए एक दशमलव अंश को एक दशमलव भिन्न से गुणा करने के लिए आगे बढ़ते हैं, यह दिखाते हैं कि एक कॉलम द्वारा दशमलव अंशों का गुणन कैसे किया जाता है, उदाहरणों के समाधान पर विचार करें। इसके बाद, हम दशमलव अंशों के गुणन को प्राकृत संख्याओं से, विशेष रूप से 10, 100, आदि से विश्लेषण करेंगे। अंत में, आइए दशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों और मिश्रित संख्याओं से गुणा करने के बारे में बात करते हैं।

आइए तुरंत कहें कि इस लेख में हम केवल सकारात्मक दशमलव अंशों को गुणा करने के बारे में बात करेंगे (सकारात्मक और नकारात्मक संख्याएं देखें)। शेष मामलों का विश्लेषण परिमेय संख्याओं के गुणन के लेखों में किया गया है और वास्तविक संख्याओं का गुणन.

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दशमलव गुणा करने के सामान्य सिद्धांत

आइए उन सामान्य सिद्धांतों पर चर्चा करें जिनका दशमलव अंशों के साथ गुणा करते समय पालन किया जाना चाहिए।

चूंकि अनुगामी दशमलव और अनंत आवधिक भिन्न सामान्य भिन्नों का दशमलव रूप हैं, ऐसे दशमलवों को गुणा करना अनिवार्य रूप से सामान्य भिन्नों को गुणा करना है। दूसरे शब्दों में, अंतिम दशमलव का गुणन, अंतिम और आवधिक दशमलव अंशों का गुणन, साथ ही आवधिक दशमलव गुणा करनादशमलव भिन्नों को साधारण भिन्नों में बदलने के बाद साधारण भिन्नों को गुणा करने के लिए नीचे आता है।

दशमलव अंशों को गुणा करने के स्वरित सिद्धांत के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करें।

दशमलव 1.5 और 0.75 का गुणन करें।

आइए हम गुणा की गई दशमलव भिन्नों को संगत साधारण भिन्नों से बदलें। 1.5=15/10 और 0.75=75/100 के बाद से। आप अंश को कम कर सकते हैं, और फिर अनुचित अंश से पूरे भाग का चयन कर सकते हैं, और परिणामी साधारण अंश 1 125/1 000 को दशमलव अंश 1.125 के रूप में लिखना अधिक सुविधाजनक है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि एक कॉलम में अंतिम दशमलव अंशों को गुणा करना सुविधाजनक है, हम अगले पैराग्राफ में दशमलव अंशों को गुणा करने की इस पद्धति के बारे में बात करेंगे।

आवधिक दशमलव अंशों को गुणा करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

आवर्त दशमलव 0,(3) और 2,(36) के गुणनफल की गणना करें।

आइए आवधिक दशमलव अंशों को साधारण भिन्नों में बदलें:

फिर। आप परिणामी साधारण भिन्न को दशमलव भिन्न में बदल सकते हैं:

यदि गुणा किए गए दशमलव अंशों के बीच अनंत गैर-आवधिक अंश हैं, तो परिमित और आवधिक वाले सहित सभी गुणा किए गए अंशों को एक निश्चित अंक तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए (देखें पूर्णांकन संख्या), और फिर पूर्णांकन के बाद प्राप्त अंतिम दशमलव अंशों का गुणन करें।

दशमलव 5.382… और 0.2 को गुणा करें।

सबसे पहले, हम एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश को पूर्णांकित करते हैं, सौवें तक पूर्णांकन किया जा सकता है, हमारे पास 5.382 ... ≈5.38 है। अंतिम दशमलव अंश 0.2 को सौवें तक पूर्णांकित करने की आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार, 5.382… 0.2≈5.38 0.2। यह अंतिम दशमलव अंशों के उत्पाद की गणना करने के लिए बनी हुई है: 5.38 0.2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1,076/1,000 \u003d 1.076।

एक कॉलम द्वारा दशमलव अंशों का गुणन

परिमित दशमलव अंशों का गुणन एक स्तंभ द्वारा किया जा सकता है, प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा गुणा के समान।

आइए तैयार करें दशमलव भिन्नों के लिए गुणन नियम. दशमलव अंशों को एक कॉलम से गुणा करने के लिए, आपको चाहिए:

  • अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए, प्राकृतिक संख्याओं के एक स्तंभ द्वारा गुणन के सभी नियमों के अनुसार गुणा करें;
  • परिणामी संख्या में, एक दशमलव बिंदु के साथ दाईं ओर जितने अंक हैं, दोनों कारकों में एक साथ दशमलव स्थान हैं, और यदि उत्पाद में पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो बाईं ओर शून्य की आवश्यक संख्या जोड़ी जानी चाहिए।

दशमलव अंशों को एक कॉलम से गुणा करने के उदाहरणों पर विचार करें।

दशमलवों को 63.37 और 0.12 से गुणा करें।

आइए एक कॉलम द्वारा दशमलव भिन्नों का गुणन करें। सबसे पहले, हम अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए संख्याओं को गुणा करते हैं:

यह परिणामी उत्पाद में अल्पविराम लगाने के लिए बनी हुई है। उसे दाईं ओर 4 अंक अलग करने की आवश्यकता है, क्योंकि कारकों में चार दशमलव स्थान हैं (दो अंश 3.37 में और दो अंश 0.12 में)। वहां पर्याप्त संख्याएं हैं, इसलिए आपको बाईं ओर शून्य जोड़ने की आवश्यकता नहीं है। आइए रिकॉर्ड खत्म करें:

परिणामस्वरूप, हमारे पास 3.37 0.12 = 7.6044 है।

दशमलव 3.2601 और 0.0254 के गुणनफल की गणना करें।

अल्पविराम को ध्यान में रखे बिना एक कॉलम द्वारा गुणा करने के बाद, हमें निम्नलिखित चित्र मिलता है:

अब उत्पाद में आपको दाईं ओर 8 अंकों को अल्पविराम से अलग करने की आवश्यकता है, क्योंकि गुणा किए गए अंशों के दशमलव स्थानों की कुल संख्या आठ है। लेकिन उत्पाद में केवल 7 अंक हैं, इसलिए, आपको बाईं ओर उतने ही शून्य निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है ताकि 8 अंकों को अल्पविराम से अलग किया जा सके। हमारे मामले में, हमें दो शून्य निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है:

यह एक कॉलम द्वारा दशमलव अंशों के गुणन को पूरा करता है।

दशमलव को 0.1, 0.01, आदि से गुणा करना।

अक्सर आपको दशमलव को 0.1, 0.01, इत्यादि से गुणा करना पड़ता है। इसलिए, इन संख्याओं से दशमलव भिन्न को गुणा करने के लिए एक नियम बनाने की सलाह दी जाती है, जो ऊपर चर्चा किए गए दशमलव अंशों को गुणा करने के सिद्धांतों का पालन करता है।

इसलिए, किसी दिए गए दशमलव को 0.1, 0.01, 0.001, और इसी तरह से गुणा करनाएक भिन्न देता है, जो मूल एक से प्राप्त होता है, यदि इसकी प्रविष्टि में अल्पविराम बाईं ओर क्रमशः 1, 2, 3 और इसी तरह अंकों पर ले जाया जाता है, और यदि अल्पविराम को स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो आप बाईं ओर आवश्यक संख्या में शून्य जोड़ने की आवश्यकता है।

उदाहरण के लिए, दशमलव अंश 54.34 को 0.1 से गुणा करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु को 54.34 में 1 अंक से बाईं ओर ले जाना होगा, और आपको अंश 5.434, यानी 54.34 0.1 \u003d 5.434 प्राप्त होगा। आइए एक और उदाहरण लेते हैं। दशमलव भिन्न 9.3 को 0.0001 से गुणा करें। ऐसा करने के लिए, हमें दशमलव अंश 9.3 के गुणा में 4 अंकों को बाईं ओर ले जाने की आवश्यकता है, लेकिन अंश 9.3 के रिकॉर्ड में इतनी संख्या में वर्ण नहीं हैं। इसलिए, हमें बाईं ओर के अंश 9.3 के रिकॉर्ड में अधिक से अधिक शून्य जोड़ने की आवश्यकता है ताकि हम आसानी से अल्पविराम को 4 अंकों में स्थानांतरित कर सकें, हमारे पास 9.3 0.0001 \u003d 0.00093 है।

ध्यान दें कि दशमलव भिन्न को 0.1, 0.01, ... से गुणा करने का घोषित नियम अनंत दशमलव भिन्नों के लिए भी मान्य है। उदाहरण के लिए, 0,(18) 0.01=0.00(18) या 93.938… 0.1=9.3938…।

दशमलव को प्राकृतिक संख्या से गुणा करना

मूलतः दशमलव को प्राकृत संख्याओं से गुणा करनादशमलव को दशमलव से गुणा करने से अलग नहीं है।

एक परिमित दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से एक कॉलम से गुणा करना सबसे सुविधाजनक है, जबकि आपको पिछले पैराग्राफ में चर्चा किए गए दशमलव अंशों के एक कॉलम से गुणा करने के नियमों का पालन करना चाहिए।

गुणनफल 15 2.27 परिकलित कीजिए।

आइए एक कॉलम में किसी प्राकृत संख्या को दशमलव भिन्न से गुणा करते हैं:

एक आवर्त दशमलव भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करते समय, आवर्त भिन्न को एक साधारण भिन्न से बदल देना चाहिए।

दशमलव भिन्न 0,(42) को प्राकृत संख्या 22 से गुणा करें।

सबसे पहले, आइए आवर्त दशमलव को एक सामान्य भिन्न में बदलें:

अब गुणन करते हैं: . यह दशमलव परिणाम 9,(3) है।

और जब एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करते हैं, तो आपको पहले पूर्णांक बनाना होगा।

गुणा करें 4 2.145…।

मूल अनंत दशमलव अंश के सौवें हिस्से तक पूर्णांकित करते हुए, हम एक प्राकृत संख्या और अंतिम दशमलव भिन्न के गुणन पर आएंगे। हमारे पास 4 2.145…≈4 2.15=8.60 है।

दशमलव को 10, 100 से गुणा करने पर...

अक्सर आपको दशमलव भिन्नों को 10, 100, से गुणा करना पड़ता है ... इसलिए, इन मामलों पर विस्तार से ध्यान देने की सलाह दी जाती है।

आइए आवाज उठाएं दशमलव को 10, 100, 1,000, आदि से गुणा करने का नियम।दशमलव अंश को 10, 100, ... से गुणा करते समय, इसकी प्रविष्टि में, आपको अल्पविराम को क्रमशः 1, 2, 3, ... अंकों से दाईं ओर ले जाना होगा, और बाईं ओर अतिरिक्त शून्य को त्यागना होगा; यदि अल्पविराम को स्थानांतरित करने के लिए गुणा किए गए अंश के रिकॉर्ड में पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो आपको आवश्यक संख्या में शून्य को दाईं ओर जोड़ना होगा।

दशमलव 0.0783 को 100 से गुणा करें।

आइए अंश 0.0783 दो अंकों को रिकॉर्ड में दाईं ओर स्थानांतरित करें, और हमें 007.83 मिलेगा। दो शून्यों को बाईं ओर छोड़ने पर, हमें दशमलव भिन्न 7.38 प्राप्त होता है। इस प्रकार, 0.0783 100=7.83।

दशमलव भिन्न 0.02 को 10,000 से गुणा करें।

0.02 को 10,000 से गुणा करने के लिए हमें 4 अंकों के कॉमा को दाईं ओर ले जाना होगा। जाहिर है, भिन्न 0.02 के रिकॉर्ड में अल्पविराम को 4 अंकों में स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, इसलिए हम दाईं ओर कुछ शून्य जोड़ देंगे ताकि अल्पविराम को स्थानांतरित किया जा सके। हमारे उदाहरण में, तीन शून्य जोड़ने के लिए पर्याप्त है, हमारे पास 0.02000 है। अल्पविराम को स्थानांतरित करने के बाद, हमें 00200.0 प्रविष्टि मिलती है। शून्य को बाईं ओर छोड़ने पर, हमारे पास संख्या 200.0 है, जो प्राकृतिक संख्या 200 के बराबर है, जो दशमलव अंश 0.02 को 10,000 से गुणा करने का परिणाम है।

कहा गया नियम अनंत दशमलव अंशों को 10, 100, ... से गुणा करने के लिए भी मान्य है ... आवधिक दशमलव अंशों को गुणा करते समय, आपको अंश की अवधि से सावधान रहने की आवश्यकता है जो गुणा का परिणाम है।

आवधिक दशमलव 5.32(672) को 1000 से गुणा करें।

गुणन से पहले हम दशमलव भिन्न को 5.32672672672... के रूप में लिखते हैं, इससे हम गलतियों से बच सकेंगे। अब अल्पविराम को दायीं ओर 3 अंकों से आगे बढ़ाते हैं, हमारे पास 5 326.726726 .... इस प्रकार, गुणन के बाद, एक आवर्त दशमलव भिन्न 5 326, (726) प्राप्त होता है।

5.32(672) 1000=5326,(726)।

अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को 10, 100, ... से गुणा करते समय, आपको पहले अनंत भिन्न को एक निश्चित अंक तक पूर्णांकित करना होगा, और फिर गुणा करना होगा।

दशमलव को सामान्य भिन्न या मिश्रित संख्या से गुणा करना

एक परिमित दशमलव अंश या एक अनंत आवधिक दशमलव अंश को एक साधारण अंश या मिश्रित संख्या से गुणा करने के लिए, आपको दशमलव अंश को एक साधारण अंश के रूप में प्रस्तुत करना होगा, और फिर गुणा करना होगा।

दशमलव अंश 0.4 को मिश्रित संख्या से गुणा करें।

चूंकि 0.4=4/10=2/5 और फिर। परिणामी संख्या को आवर्त दशमलव भिन्न 1.5(3) के रूप में लिखा जा सकता है।

एक अनंत गैर-आवधिक दशमलव अंश को एक सामान्य अंश या मिश्रित संख्या से गुणा करते समय, सामान्य अंश या मिश्रित संख्या को एक दशमलव अंश द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, फिर गुणा किए गए अंशों को गोल करें और गणना समाप्त करें।

2/3 \u003d 0.6666 ... के बाद से। गुणा भिन्नों को हजारवें में पूर्णांकित करने के बाद, हम दो अंतिम दशमलव भिन्नों 3.568 और 0.667 के गुणनफल पर आते हैं। आइए एक कॉलम में गुणा करें:

प्राप्त परिणाम को हजारवें में गोल किया जाना चाहिए, क्योंकि गुणा किए गए अंशों को हजारवें की सटीकता के साथ लिया गया था, हमारे पास 2.379856≈2.380 है।

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साधारण भिन्नों का गुणन: नियम, उदाहरण, समाधान।

हम साधारण भिन्नों के साथ क्रियाओं का अध्ययन करना जारी रखते हैं। अब सुर्खियों में सामान्य भिन्नों का गुणन. इस लेख में, हम साधारण भिन्नों को गुणा करने का नियम देंगे, उदाहरणों को हल करते समय इस नियम के अनुप्रयोग पर विचार करें। हम एक साधारण भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने पर भी ध्यान देंगे। अंत में, विचार करें कि तीन या अधिक भिन्नों का गुणन कैसे किया जाता है।

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उभयनिष्ठ भिन्न को उभयनिष्ठ भिन्न से गुणा करना

आइए शब्दों के साथ शुरू करें सामान्य भिन्नों को गुणा करने के नियम: किसी भिन्न को भिन्न से गुणा करने पर एक भिन्न प्राप्त होता है जिसका अंश गुणित भिन्नों के अंशों के गुणनफल के बराबर होता है और जिसका हर हर के गुणनफल के बराबर होता है।

अर्थात्, सूत्र साधारण अंशों a / b और c / d के गुणन से मेल खाता है।

आइए हम साधारण भिन्नों के गुणन के नियम को स्पष्ट करते हुए एक उदाहरण दें। 1 इकाई की भुजा वाले वर्ग पर विचार करें। जबकि इसका क्षेत्रफल 1 इकाई 2 है। इस वर्ग को 1/4 इकाई भुजाओं वाले बराबर आयतों में बाँट लें। और 1/8 इकाइयां। , जबकि मूल वर्ग में 4 8 = 32 आयत होंगे, इसलिए प्रत्येक आयत का क्षेत्रफल मूल वर्ग के क्षेत्रफल का 1/32 है, अर्थात यह 1/32 इकाई 2 के बराबर है। अब मूल वर्ग के हिस्से पर पेंट करते हैं। हमारे सभी कार्य नीचे दिए गए चित्र में परिलक्षित होते हैं।

भरे हुए आयत की भुजाएँ 5/8 इकाई हैं। और 3/4 इकाइयां। , जिसका अर्थ है कि इसका क्षेत्रफल भिन्न 5/8 और 3/4 के गुणनफल के बराबर है, अर्थात इकाई 2। लेकिन भरे हुए आयत में 15 "छोटे" आयत होते हैं, इसलिए इसका क्षेत्रफल 15/32 इकाई 2 है। इसलिये, । चूंकि 5 3=15 और 8 4=32 , अंतिम समानता को फिर से लिखा जा सकता है , जो प्रपत्र के साधारण भिन्नों को गुणा करने के सूत्र की पुष्टि करता है।

ध्यान दें कि ध्वनि गुणन नियम की सहायता से, आप उचित और अनुचित दोनों भिन्नों, और भिन्नों को समान हरों से, और भिन्नों को भिन्न हरों से गुणा कर सकते हैं।

विचार करना सामान्य भिन्नों को गुणा करने के उदाहरण.

सार्व भिन्न 7/11 को उभयनिष्ठ भिन्न 9/8 से गुणा करें।

गुणा भिन्न 7 और 9 के अंशों का गुणनफल 63 है, और 11 और 8 के हरों का गुणनफल 88 है। इस प्रकार, सार्व भिन्नों को 7/11 और 9/8 से गुणा करने पर भिन्न 63/88 प्राप्त होता है।

यहाँ समाधान का सारांश दिया गया है: .

हमें परिणामी भिन्न की कमी के बारे में नहीं भूलना चाहिए, यदि गुणा के परिणामस्वरूप एक कम करने योग्य अंश प्राप्त होता है, और एक अनुचित अंश से पूरे भाग के चयन के बारे में।

भिन्नों को 4/15 और 55/6 से गुणा करें।

आइए साधारण भिन्नों के गुणन के नियम को लागू करें: .

जाहिर है, परिणामी अंश कम करने योग्य है (10 से विभाज्यता का संकेत हमें यह दावा करने की अनुमति देता है कि भिन्न 220/90 के अंश और हर में 10 का एक सामान्य कारक है)। आइए भिन्न को घटाएं 220/90: GCD(220, 90)=10 and . यह परिणामी अनुचित अंश से पूर्णांक भाग का चयन करने के लिए बनी हुई है: .

ध्यान दें कि अंशों के गुणनफल और गुणित भिन्नों के हरों के गुणनफलों की गणना करने से पहले अंश में कमी की जा सकती है, अर्थात, जब अंश का रूप होता है। इस संख्या के लिए, a, b, c, और d को उनके अभाज्य गुणनखंडों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिसके बाद अंश और हर के समान गुणनखंड रद्द कर दिए जाते हैं।

स्पष्ट करने के लिए, आइए पिछले उदाहरण पर वापस जाएं।

प्रपत्र के भिन्नों के गुणनफल की गणना करें।

साधारण भिन्नों को गुणा करने के सूत्र से, हमारे पास है .

चूँकि 4=2 2 , 55=5 11 , 15=3 5 और 6=2 3 , तो . अब हम सामान्य अभाज्य गुणनखंडों को रद्द करते हैं: .

यह केवल अंश और हर में उत्पादों की गणना करने के लिए रहता है, और फिर अनुचित अंश से पूर्णांक भाग का चयन करता है: .

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंशों का गुणन एक कम्यूटेटिव संपत्ति की विशेषता है, अर्थात, गुणा किए गए अंशों को आपस में बदला जा सकता है: .

किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करना

आइए शब्दों के साथ शुरू करें एक सामान्य भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के नियम: किसी भिन्न को किसी प्राकृत संख्या से गुणा करने पर वह भिन्न प्राप्त होता है जिसका अंश प्राकृत संख्या से गुणित भिन्न के अंश के गुणनफल के बराबर होता है और हर गुणित भिन्न के हर के बराबर होता है।

अक्षरों की सहायता से एक भिन्न a/b को एक प्राकृत संख्या n से गुणा करने के नियम का रूप है।

फॉर्म के दो साधारण अंशों को गुणा करने के लिए सूत्र का अनुसरण करता है। वास्तव में, एक प्राकृत संख्या को 1 के हर के साथ भिन्न के रूप में निरूपित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं .

एक भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के उदाहरणों पर विचार करें।

भिन्न 2/27 को 5 से गुणा करें।

अंश 2 को 5 से गुणा करने पर 10 प्राप्त होता है, इसलिए, एक भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के नियम के आधार पर, 2/27 का 5 से गुणनफल भिन्न 10/27 के बराबर होता है।

संपूर्ण समाधान को आसानी से इस प्रकार लिखा जा सकता है: .

किसी भिन्न को किसी प्राकृत संख्या से गुणा करते समय, परिणामी भिन्न को अक्सर कम करना पड़ता है, और यदि वह भी गलत है, तो उसे मिश्रित संख्या के रूप में निरूपित करें।

भिन्न 5/12 को संख्या 8 से गुणा करें।

एक भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है . जाहिर है, परिणामी अंश कम करने योग्य है (2 से विभाज्यता का चिन्ह अंश और हर के सामान्य भाजक 2 को इंगित करता है)। आइए भिन्न को कम करें 40/12: चूंकि LCM(40, 12)=4, फिर . यह पूरे भाग का चयन करने के लिए बनी हुई है: .

यहाँ पूरा समाधान है: .

ध्यान दें कि कटौती अंश और हर में संख्याओं को उनके विस्तार के साथ अभाज्य गुणनखंडों में बदलकर की जा सकती है। इस मामले में, समाधान इस तरह दिखेगा:

इस पैराग्राफ के निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने पर एक कम्यूटेटिव गुण होता है, अर्थात, एक अंश का एक प्राकृतिक संख्या से गुणन इस प्राकृतिक संख्या के गुणनफल के बराबर होता है: .

तीन या अधिक भिन्नों का गुणा करें

जिस तरह से हमने साधारण भिन्नों को परिभाषित किया है और उनके साथ गुणा का संचालन हमें यह दावा करने की अनुमति देता है कि प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के सभी गुण भिन्नों के गुणन पर लागू होते हैं।

गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुण विशिष्ट रूप से निर्धारित करना संभव बनाते हैं तीन या अधिक भिन्नों और प्राकृत संख्याओं का गुणा करना. इस मामले में, सब कुछ तीन या अधिक प्राकृतिक संख्याओं के गुणन के अनुरूप होता है। विशेष रूप से, गणना की सुविधा के लिए उत्पाद में अंशों और प्राकृतिक संख्याओं को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है, और कोष्ठक की अनुपस्थिति में उस क्रम को इंगित करता है जिसमें कार्रवाई की जाती है, हम किसी भी अनुमत तरीके से कोष्ठक को स्वयं व्यवस्थित कर सकते हैं।

कई भिन्नों और प्राकृत संख्याओं के गुणन के उदाहरणों पर विचार करें।

तीन सामान्य भिन्नों को 1/20, 12/5, 3/7 और 5/8 से गुणा करें।

आइए उस उत्पाद को लिखें जिसकी हमें गणना करने की आवश्यकता है . भिन्नों को गुणा करने के नियम के आधार पर, लिखित गुणनफल उस भिन्न के बराबर होता है जिसका अंश सभी भिन्नों के अंशों के गुणनफल के बराबर होता है, और हर हर का गुणनफल होता है: .

अंश और हर में उत्पादों की गणना करने से पहले, सभी कारकों को उनके विस्तार द्वारा प्रमुख कारकों में बदलने और कम करने की सलाह दी जाती है (बेशक, आप गुणा के बाद अंश को कम कर सकते हैं, लेकिन कई मामलों में इसके लिए बहुत अधिक कम्प्यूटेशनल प्रयास की आवश्यकता होती है): .

.

पांच संख्याओं का गुणा करें .

इस उत्पाद में, संख्या 8 के साथ अंश 7/8 और अंश 5/36 के साथ संख्या 12 को समूहित करना सुविधाजनक है, इससे गणना सरल हो जाएगी, क्योंकि इस तरह के समूह के साथ कमी स्पष्ट है। हमारे पास है
.

.

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