एक्सोनोमेट्रिक अनुमान प्राप्त करना। समानांतर डिजाइन में सपाट आकृतियों की छवि

31*. बिंदु C से रेखा AB पर एक लंब खींचिए (आकृति 29, a, जहाँ AB || वर्ग V)।

समाधान। यह ज्ञात है कि एक समकोण को समकोण के रूप में समतल पर प्रक्षेपित किया जाता है यदि इसकी एक भुजा प्रक्षेपण तल के समानांतर हो, और दूसरा इस तल को न्यून कोण पर काटता हो।

इस स्थिति में (चित्र 29, a), सीधी रेखा AB वर्ग के समानांतर है। V. इसलिए, बिंदु c "(चित्र 29, b) से "b" के लिए लंबवत एक सीधी रेखा खींचना संभव है और बिंदु K के अनुमानों को खोजें, जिसमें SC AB को काटता है। हम अनुमान प्राप्त करते हैं c" k "और आवश्यक लंबवत के सीके।

32. बिंदु C से रेखा AB पर लंबवत एक रेखा खींचिए: 1) AB || वर्ग एच (चित्र .30, ए), 2) एबी || वर्ग डब्ल्यू (चित्र। 30, बी)।

33*. रेखाओं AB और CD (चित्र 31, a) को उनके लंबवत तीसरी रेखा के साथ क्रॉस करें, अर्थात, प्रतिच्छेद करने वाली रेखाओं AB और CD के बीच सबसे छोटी दूरी ज्ञात करें, जिनमें से एक रेखा (CD) वर्ग के लंबवत है। अनुमान एन.

समाधान। चूँकि रेखा CD वर्ग के लंबवत है। एच, तो इसका कोई भी लंबवत वर्ग के समानांतर है। N. इसलिए, वांछित रेखा और रेखा AB के बीच का समकोण वर्ग पर दर्शाया गया है। एच एक समकोण के रूप में। क्षितिज। लाइन सीडी के साथ वांछित रेखा के चौराहे के बिंदु का प्रक्षेपण - बिंदु एम - (डी) (छवि 31, बी) के साथ मेल खाता है। बिंदु m से एक क्षितिज खींचिए। ab के लंबवत सीधी रेखा का प्रक्षेपण जब तक कि यह बिंदु k पर इसके साथ प्रतिच्छेद न करे और k "। सामने, वांछित रेखा (k" m ") का प्रक्षेपण x अक्ष के समानांतर है।

34*. एक समचतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए, यह जानते हुए कि खंड BD इसका एक विकर्ण (BD || वर्ग V) है, और शीर्ष A रेखा EF पर होना चाहिए (चित्र 32, a)।

समाधान। समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु पर समद्विभाजित होते हैं। इसलिए, हम विकर्ण बीडी के अनुमानों को आधे में विभाजित करते हैं (चित्र 32, बी)। चूंकि बीडी || वर्ग V, फिर बिंदु k से "हम सीधी रेखा b" d " पर एक लंब खींचते हैं। यह एक समतल पर एक समकोण के प्रक्षेपण के निर्माण के नियमों के अनुरूप है, जिसके संबंध में विकर्ण BD समानांतर है। प्रतिच्छेदन बिंदु प्रक्षेपण के साथ इस लंबवत का ई "एफ" एक सामने है, एक प्रक्षेपण "रोम्बस ए के वांछित शीर्ष का है। एक बिंदु सी बनाने के लिए" हम सीधी रेखा "के" खंड के निरंतरता पर अलग सेट करते हैं "c", खंड a "k" से भिन्न है। बिंदु a से "हम ef पर एक बिंदु बनाते हैं। बाकी ड्राइंग से स्पष्ट है।

35. एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसका आधार BC (BC || pl. H) है। शीर्ष A रेखा EF पर होना चाहिए (चित्र 33)।

36. एक समकोण त्रिभुज ABC की रचना कीजिए जिसका पाद A B रेखा MN (MN || pl. V) पर स्थित है और l के बराबर है। BC लेग के लिए इसका प्रोजेक्शन bc दिया गया है (चित्र 34)।

37*. रेखा MN (MN || pl. H) पर आधार BC के साथ एक समद्विबाहु त्रिभुज की रचना करें और रेखा EF पर शीर्ष A (चित्र 35, a)। BC का आधार त्रिभुज AK की ऊंचाई के बराबर होना चाहिए, और बिंदु K के लिए इसका क्षितिज, प्रक्षेपण दिया गया है।

समाधान। एक त्रिभुज का निर्माण करने के लिए, आपको इसकी ऊँचाई AK ज्ञात करनी होगी और इसके मान का आधा भाग बिंदु K के दोनों ओर रेखा M N पर अलग रखना होगा। अंजीर में। 35, बी, हम बिंदु k से बिंदु k का निर्माण करते हैं। बिंदु k से हम रेखा mn पर एक लंबवत खींचते हैं (ऊंचाई AK और MN पर स्थित आधार BC के बीच समकोण को समकोण के रूप में प्रक्षेपण H के वर्ग पर दर्शाया गया है) , चूंकि रेखा MN समानांतर वर्ग H है। हम ef के साथ चौराहे पर लंबवत ztst जारी रखते हैं। बिंदु a से हम "e" f "पर निर्माण करते हैं; हमें एक मोर्चा मिलता है। एके ऊंचाई प्रक्षेपण।

अब आप AK की ऊंचाई का प्राकृतिक मान ज्ञात कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक समकोण त्रिभुज akK बनाते हैं, जिसमें पैर kK वर्ग से बिंदु A और K की दूरी के अंतर के बराबर होता है। H. कर्ण AK, AK की ऊंचाई को व्यक्त करता है। एक सीधी रेखा mn खंडों kb n kc पर रखकर, AK की आधी ऊंचाई (यानी, आधा खंड aK) के बराबर, हम अंक b और c प्राप्त करते हैं, और उनके साथ अनुमान b "और c"। बाकी ड्राइंग से स्पष्ट है।

38. रेखा MM पर BC भुजा वाले एक वर्ग ABCD की रचना कीजिए, जो || वर्ग वी (चित्र। 36)।

39. रेखा MN (MN || वर्ग H) पर BC पैर के साथ एक समकोण त्रिभुज ABC की रचना कीजिए। पैर AB के लिए, प्रक्षेपण a "b" दिया गया है। लेग BC, लेग AB से 1.5 गुना बड़ा होना चाहिए (चित्र 37)।

अंजीर पर विचार करें। 92. यह एक घन के ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण को दर्शाता है जिसके फलकों पर वृत्त अंकित हैं।

x और z अक्षों के लंबवत तलों पर स्थित वृत्तों को दीर्घवृत्त के रूप में दर्शाया गया है। क्यूब के सामने का चेहरा, y- अक्ष के लंबवत, बिना विरूपण के प्रक्षेपित होता है, और उस पर स्थित वृत्त को बिना विरूपण के दर्शाया जाता है, अर्थात यह एक कम्पास द्वारा वर्णित है। इसलिए, ललाट डिमेट्रिक प्रोजेक्शन वक्रीय रूपरेखा वाली वस्तुओं को चित्रित करने के लिए सुविधाजनक है, जैसे कि अंजीर में दिखाया गया है। 93.

एक बेलनाकार छेद के साथ एक सपाट भाग के ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण का निर्माण. एक बेलनाकार छेद के साथ एक सपाट भाग का ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण निम्नानुसार किया जाता है।

1. एक कंपास (चित्र 94, ए) का उपयोग करके भाग के सामने वाले हिस्से की रूपरेखा तैयार करें।

2. वृत्त के केन्द्रों से होकर सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं और y-अक्ष के समांतर चाप बनाती हैं, जिस पर भाग की आधी मोटाई रखी जाती है। भाग की पिछली सतह पर स्थित वृत्त और चापों के केंद्र प्राप्त करें (चित्र 94, ख)। इन केंद्रों से, एक वृत्त और चाप खींचे जाते हैं, जिसकी त्रिज्या वृत्त की त्रिज्या और सामने के फलक के चापों के बराबर होनी चाहिए।

3. चापों पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए। अतिरिक्त रेखाएँ हटाएँ और दृश्यमान समोच्च की रूपरेखा तैयार करें (चित्र 94, c)।

मंडलियों के आइसोमेट्रिक अनुमान। सममितीय प्रक्षेपण में एक वर्ग को एक समचतुर्भुज में प्रक्षेपित किया जाता है। वर्गों में अंकित वृत्त, उदाहरण के लिए, एक घन के फलकों पर स्थित (चित्र। 95), आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण में दीर्घवृत्त के रूप में दर्शाए गए हैं। व्यवहार में, दीर्घवृत्तों को अंडाकारों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो वृत्तों के चार चापों द्वारा खींचे जाते हैं।

एक समचतुर्भुज में उत्कीर्ण एक अंडाकार का निर्माण।

1. चित्रित वृत्त के व्यास के बराबर भुजा वाला एक समचतुर्भुज बनाएँ (चित्र 96, a)। ऐसा करने के लिए, बिंदु O के माध्यम से आइसोमेट्रिक अक्ष x और y खींचे जाते हैं, और बिंदु O से उन पर चित्रित वृत्त की त्रिज्या के बराबर खंड प्लॉट किए जाते हैं। बिंदुओं से होकर a, w, c और d अक्षों के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचते हैं; एक समचतुर्भुज प्राप्त करें। अंडाकार की प्रमुख धुरी समचतुर्भुज के प्रमुख विकर्ण पर स्थित होती है।

2. एक समचतुर्भुज अंडाकार में फिट करें। ऐसा करने के लिए, अधिक कोणों (अंक ए और बी) के शीर्षों से चापों का वर्णन एक त्रिज्या आर के साथ एक अधिक कोण (अंक ए और बी) के शीर्ष से बिंदु ए, बी या सी, डी तक की दूरी के बराबर है। . बिंदु B और a, B और b से होकर सीधी रेखाएँ खींची जाती हैं (चित्र 96, b); समचतुर्भुज के बड़े विकर्ण के साथ इन रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु C और D देता है, जो छोटे चापों के केंद्र होंगे; छोटे चापों की त्रिज्या R 1 Ca (Db) है। इस त्रिज्या के चाप अंडाकार के बड़े चापों से मेल खाते हैं। इस प्रकार एक अंडाकार बनाया जाता है, जो z अक्ष के लंबवत समतल में स्थित होता है (चित्र 95 में अंडाकार 1)। कुल्हाड़ियों x (अंडाकार 3) और y (अंडाकार 2) के लंबवत विमानों में स्थित अंडाकार अंडाकार 1 के समान ही बनाए जाते हैं, केवल अंडाकार 3 का निर्माण कुल्हाड़ियों y और z (चित्र। 97) पर किया जाता है। a), और अंडाकार 2 (चित्र 95 देखें) - x और z अक्षों पर (चित्र। 97, b)।

एक बेलनाकार छेद के साथ एक भाग के एक सममितीय प्रक्षेपण का निर्माण।

व्यवहार में विचार किए गए निर्माणों को कैसे लागू करें?

भाग का एक सममितीय प्रक्षेपण दिया गया है (चित्र। 98, ए)। सामने के चेहरे पर लंबवत ड्रिल किए गए बेलनाकार छेद के माध्यम से चित्रित करना आवश्यक है।

निर्माण निम्नानुसार किया जाता है।

1. भाग के अग्र भाग पर छिद्र के केंद्र की स्थिति ज्ञात कीजिए। आइसोमेट्रिक अक्ष पाए गए केंद्र के माध्यम से खींचे जाते हैं। (उनकी दिशा निर्धारित करने के लिए, चित्र 95 में एक घन की छवि का उपयोग करना सुविधाजनक है।) चित्रित वृत्त की त्रिज्या के बराबर खंड केंद्र से कुल्हाड़ियों पर प्लॉट किए जाते हैं (चित्र। 98, ए)।

2. एक समचतुर्भुज का निर्माण करें, जिसकी भुजा दर्शाए जा रहे वृत्त के व्यास के बराबर हो; समचतुर्भुज का एक बड़ा विकर्ण खर्च करें (चित्र 98, ख)।

3. अंडाकार के बड़े चापों का वर्णन करें; छोटे चापों के लिए केंद्र खोजें (चित्र 98, सी)।

4. छोटे चाप करें (चित्र 98, d)।

5. भाग के पिछले भाग पर एक ही अंडाकार बनाएं और दोनों अंडाकारों पर स्पर्श रेखाएं बनाएं (चित्र 98, ई)।

प्रश्नों के उत्तर दें

1. x और y अक्षों के लंबवत तलों पर स्थित वृत्तों के ललाट द्विमितीय प्रक्षेपण में कौन से आंकड़े दर्शाए गए हैं?

2. क्या एक वृत्त ललाट द्विमितीय प्रक्षेपण में विकृत है यदि उसका तल y-अक्ष के लंबवत है?

3. किस विवरण का चित्रण करते समय ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण का उपयोग करना सुविधाजनक है?

4. अक्षों x, y, z के लंबवत तलों पर स्थित वृत्तों के एक सममितीय प्रक्षेपण में कौन से आंकड़े दर्शाए गए हैं?

5. व्यवहार में कौन से आंकड़े आइसोमेट्रिक प्रोजेक्शन में वृत्तों को दर्शाने वाले दीर्घवृत्त को प्रतिस्थापित करते हैं?

6. अंडाकार में कौन से तत्व होते हैं?

7. अंजीर में समचतुर्भुज में खुदे हुए अंडाकारों द्वारा दर्शाए गए वृत्तों के व्यास क्या हैं? 95 यदि इन समचतुर्भुजों की भुजाएँ 40 मिमी हैं?

13 और 14 . को असाइनमेंट

व्यायाम 42

अंजीर पर। 99, कुल्हाड़ियों को आइसोमेट्रिक प्रोजेक्शन में वर्गों को दर्शाने वाले तीन समचतुर्भुज बनाने के लिए खींचा जाता है। अंजीर पर विचार करें। 95 और लिखें कि घन के किस तरफ - ऊपर, दाहिनी ओर या बाईं ओर प्रत्येक समचतुर्भुज स्थित होगा, जो अंजीर में दिए गए कुल्हाड़ियों पर बनाया गया है। 99. कौन-सा अक्ष (x, y या z) प्रत्येक समचतुर्भुज के तल पर लंबवत होगा?

चित्र 59 पर विचार करें। इस पर विभिन्न आकृतियों की कितनी वस्तुएं दिखाई गई हैं?

आप एक वस्तु को विभिन्न तरीकों से चित्रित करते हुए देखते हैं। क्या आप छवियों ए, बी, सी के नामों का उत्तर दे सकते हैं?

छवियों 6 और सी पर ध्यान दें। उन्हें बुलाया जाता है। जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, दृश्य चित्र। उनके अनुसार, किसी वस्तु के आकार की कल्पना करना चित्र 59, ए की तुलना में आसान है। चित्र 60 दिखाता है कि इनमें से एक निदर्शी चित्र कैसे प्राप्त किया जाता है। घन के आगे और पीछे के फलक प्रोजेक्शन प्लेन P (चित्र 60, a) के समानांतर हैं।

चावल। 59. विभिन्न चित्र

क्यूब को निर्देशांक अक्षों X 0, Y 0, Z 0 के साथ समतल P पर प्रक्षेपित करते हुए समानांतर किरणों के साथ इसे 90 ° से कम कोण पर निर्देशित किया जाता है, एक तिरछा ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण प्राप्त होता है (चित्र 60, c)। इस प्रकार, हम इसे संक्षेप में ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण कहेंगे। आपने चित्र 59, ख में इस तरह के प्रक्षेपण में चित्रित एक वस्तु देखी।

चावल। 60. एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों का गठन: ए, सी - फ्रंटल डिमेट्रिक: बी, डी - आइसोमेट्रिक

यदि घन के फलकों को समतल P की ओर समान कोणों पर झुकाया जाता है (चित्र 60, b) और घन को निर्देशांक अक्षों के साथ समतल पर लंबवत किरणों के साथ प्रक्षेपित किया जाता है, तो एक और दृश्य छवि प्राप्त की जाएगी, जो एक आयताकार आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण (चित्र 60.) कहा जाता है। इस प्रकार, हम इसे संक्षेप में एक सममितीय प्रक्षेपण कहेंगे।

आपने चित्र 59, c में आइसोमेट्रिक प्रोजेक्शन में वस्तु की छवि देखी।

अब छवियों c और d (चित्र 60) की तुलना करें। छवि का नाम क्या है और छवि का नाम क्या है d?

ललाट डिमेट्रिक (चित्र। 60, सी) और आइसोमेट्रिक (चित्र। 60.डी) अनुमान एक सामान्य नाम - एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों से एकजुट होते हैं। "एक्सोनोमेट्री" शब्द ग्रीक है। अनुवाद में, इसका अर्थ है "कुल्हाड़ियों के साथ माप।"

इसलिए नाम "डिमेट्री", जिसका ग्रीक में अर्थ है "दोहरा आयाम"। इसलिए नाम "आइसोमेट्री"। जो "समान माप" के लिए ग्रीक है

एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों के तल पर एक्स, वाई और जेड अक्ष एक्सोनोमेट्रिक कहलाते हैं। जब इस तरह के अनुमानों का निर्माण किया जाता है, तो आयाम x, y और z अक्षों के साथ प्लॉट किए जाते हैं।

एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों को दृश्य छवियों के रूप में जाना जाता है।

चित्र 59 में कौन से एक्सोनोमेट्रिक अनुमान दिए गए हैं?
चित्र 59, बी और सी में दिए गए छवियों को प्राप्त करने के लिए प्रोजेक्शन विमानों के सापेक्ष प्रोजेक्टिंग किरणों को कैसे निर्देशित किया जाता है?

7. एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों का निर्माण

7.1 कुल्हाड़ियों की स्थिति. निर्माण एक्सोनोमेट्रिक अक्ष x, y और z से शुरू होता है। ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण की धुरी को चित्र 61 में दिखाया गया है, ए: एक्स-अक्ष क्षैतिज है, जेड-अक्ष लंबवत है, वाई-अक्ष क्षैतिज रेखा से 45 डिग्री के कोण पर है।

चित्र 61, c में दर्शाए अनुसार, 45, 45 और 90° के कोणों वाले एक ड्राइंग वर्ग का उपयोग करके 45° के कोण का निर्माण किया जा सकता है। Y-अक्ष बाईं या दाईं ओर झुका हुआ है।

एक्स और जेड कुल्हाड़ियों (और उनके समानांतर) के साथ ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण में, प्राकृतिक आयाम नीचे रखे गए हैं, वाई अक्ष के साथ आधा (और इसके समानांतर)।

सममितीय प्रक्षेपण अक्षों की स्थिति चित्र 61, ख में दिखाई गई है। x और y अक्षों को क्षैतिज रेखा (अक्षों के बीच 120°) से 30° के कोण पर रखा गया है। उन्हें एक वर्ग का उपयोग करके भी आसानी से किया जाता है। लेकिन इस मामले में, वर्ग को 30, 60 और 90 ° (चित्र। 61, डी) के कोणों के साथ लिया जाता है।

एक्स, वाई, जेड अक्षों के साथ एक आइसोमेट्रिक प्रक्षेपण का निर्माण करते समय और उनके समानांतर, वस्तु के प्राकृतिक आयाम निर्धारित किए जाते हैं।

चित्र 61. ई और एफ कागज पर कुल्हाड़ियों के निर्माण को दर्शाता है। एक पिंजरे में पंक्तिबद्ध। इसका उपयोग तकनीकी रेखाचित्रों के निष्पादन में किया जाता है। 15 ° का कोण प्राप्त करने के लिए, अक्ष को कोशिकाओं के विकर्णों के साथ खींचा जाता है (चित्र 61, ई)। 3 और 5 कोशिकाओं के खंडों का अनुपात लगभग 30 ° (चित्र। 61, ई) का अक्ष झुकाव देता है।

आइसोमेट्रिक और फ्रंटल डिमेट्रिक प्रोजेक्शन में एक्सोनोमेट्रिक एक्सिस के साथ ड्राइंग करते समय कौन से आयाम अलग रखे जाते हैं?

चावल। 61. एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों की कुल्हाड़ियों की छवि: ए, 6 - कुल्हाड़ियों की स्थिति; सी, डी कुल्हाड़ियों के निर्माण के लिए तकनीक; ई, एफ - तकनीकी चित्र बनाते समय कुल्हाड़ियों का निर्माण

7.2. समतल आकृतियों के एक्सोनोमेट्रिक अनुमान. क्षैतिज रूप से स्थित समतल ज्यामितीय आकृतियों के एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों के निर्माण पर विचार करें (तालिका 1)। ज्यामितीय निकायों के एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों का प्रदर्शन करते समय बाद में इस तरह के निर्माण की आवश्यकता होगी। निर्माण एक्सोनोमेट्रिक अक्ष x और y से शुरू होता है।

तालिका 1. समतल आकृतियों के एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों के निर्माण की विधि

7.3. फ्लैट-सामना करने वाली वस्तुओं के एक्सोनोमेट्रिक अनुमान.

एक भाग के उदाहरण का उपयोग करते हुए फ्लैट-फेस ऑब्जेक्ट्स (तालिका 2) के एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों के निर्माण के लिए एक सामान्य विधि पर विचार करें, जिसके दो दृश्य चित्र 62 में दिए गए हैं।

चित्रा 62. विस्तार ड्राइंग

तालिका 2. समतल-सामना करने वाली वस्तुओं के एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों के निर्माण की विधि

तालिका में विचार किए गए उदाहरण से, यह देखा जा सकता है कि आइसोमेट्रिक और फ्रंटल डिमेट्रिक अनुमानों के निर्माण के नियम आम तौर पर समान होते हैं। एकमात्र अंतर कुल्हाड़ियों के स्थान और y अक्ष के साथ प्लॉट किए गए खंडों की लंबाई में है।

चावल। 63. अभ्यास के लिए कार्य

कृपया ध्यान दें कि किसी वस्तु के एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेपण पर आयामों को लागू करते समय, एक्सोनोमेट्रिक अक्षों के समानांतर विस्तार रेखाएं खींची जाती हैं, आयाम रेखाएं मापा खंड के समानांतर खींची जाती हैं।

ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण की कुल्हाड़ियों को कैसे व्यवस्थित किया जाता है? सममितीय देखें?
ललाट डिमेट्रिक और आइसोमेट्रिक अनुमानों की कुल्हाड़ियों के साथ और उनके समानांतर क्या आयाम रखे गए हैं?
एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों के निर्माण के लिए सामान्य चरणों की सूची बनाएं।

40 मिमी की एक भुजा के साथ एक समबाहु त्रिभुज के ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण का निर्माण करें।

एक नियमित षट्भुज के एक सममितीय प्रक्षेपण का निर्माण करें जिसकी एक भुजा भी 40 मिमी है। उन्हें ललाट प्रक्षेपण विमान के समानांतर रखें।

चित्र 63 में दिखाए गए भाग के ललाट डिमेट्रिक और आइसोमेट्रिक अनुमानों का निर्माण करें।

§ 8. गोल सतहों वाली वस्तुओं का एक्सोनोमेट्रिक अनुमान

8.1. हलकों के ललाट डिमेट्रिक अनुमान. यदि एक्सोनोमेट्रिक छवि कुछ तत्व चाहते हैं। उदाहरण के लिए, वृत्त (चित्र 64), विकृत रखें, फिर ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण लागू करें। एक बेलनाकार छेद के साथ एक भाग के ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण का निर्माण, जिनमें से दो प्रकार चित्र 64, ए में दिए गए हैं, निम्नानुसार किया जाता है:

कुल्हाड़ियों x, y, z का उपयोग करके, पतली रेखाएं भाग के बाहरी आकार की रूपरेखा तैयार करती हैं (चित्र 64, बी)।
सामने के चेहरे पर छेद के केंद्र का पता लगाएं। इसके माध्यम से y अक्ष के समानांतर, छेद की धुरी खींची जाती है और उस पर भाग की आधी मोटाई रखी जाती है। पीछे के चेहरे पर स्थित छेद का केंद्र प्राप्त करें।
प्राप्त बिंदुओं से, जैसे कि केंद्रों से, वृत्त खींचे जाते हैं, जिसका व्यास छेद के व्यास के बराबर होता है (चित्र 64, सी)।
अतिरिक्त रेखाएँ निकालें और भाग के दृश्य समोच्च को रेखांकित करें (चित्र 64, डी)।

चावल। 64. एक ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण का निर्माण

कार्यपुस्तिका में चित्र 64 में दिखाए गए भाग का एक ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण बनाएं, ए। y अक्ष को दूसरी ओर इंगित करें। छवि को लगभग दो गुना बड़ा करें।

8.2. मंडलियों के आइसोमेट्रिक अनुमान. एक वृत्त का सममितीय प्रक्षेपण (चित्र 65) एक वक्र है जिसे दीर्घवृत्त कहा जाता है। अंडाकार बनाना मुश्किल है। ड्राइंग के अभ्यास में, इसके बजाय अक्सर अंडाकार बनाए जाते हैं। अंडाकार एक बंद वक्र है जो वृत्तों के चापों द्वारा रेखांकित होता है। अंडाकार को एक समचतुर्भुज में फिट करके बनाना सुविधाजनक है, जो एक वर्ग का एक सममितीय प्रक्षेपण है।

चावल। 65. घन में अंकित वृत्तों के सममितीय प्रक्षेपण में प्रतिबिम्ब

एक समचतुर्भुज में उत्कीर्ण एक अंडाकार का निर्माण निम्नलिखित क्रम में किया जाता है।

सबसे पहले, एक समचतुर्भुज को वृत्त के व्यास के बराबर भुजा के साथ चित्रित किया जा रहा है (चित्र 66, ए)। ऐसा करने के लिए, बिंदु 0 के माध्यम से आइसोमेट्रिक अक्ष x और y बनाएं। उन पर, बिंदु O से, चित्रित वृत्त की त्रिज्या के बराबर खंड रखे जाते हैं। बिन्दुओं a, b, c और d से होकर अक्षों के समांतर सीधी रेखाएँ खींचते हैं; एक समचतुर्भुज प्राप्त करें।

चावल। 66. अंडाकार बनाना

अंडाकार की प्रमुख धुरी समचतुर्भुज के प्रमुख विकर्ण पर स्थित होती है।

उसके बाद, एक अंडाकार एक समचतुर्भुज में प्रवेश किया जाता है। इसके लिए अधिक कोणों (बिंदु A और B) के शीर्षों से चापों का वर्णन किया गया है। उनकी त्रिज्या R एक अधिक कोण (बिंदु A और B) के शीर्ष से बिंदु c, d या a, b तक की दूरी के बराबर है, क्रमशः (चित्र 66, b)।

बिंदु B और a, B और b से होकर रेखाएँ खींची जाती हैं। समचतुर्भुज के बड़े विकर्ण के साथ बा और बीबी रेखाओं के चौराहे पर, बिंदु C और D पाए जाते हैं (चित्र 66, a)। ये बिंदु छोटे चापों के केंद्र होंगे। उनकी त्रिज्या R1 Ca (या Db) है। इस त्रिज्या के चाप अंडाकार के बड़े चापों को आसानी से जोड़ते हैं।

हमने z-अक्ष के लंबवत समतल में पड़े एक अंडाकार के निर्माण पर विचार किया है (चित्र 65 में अंडाकार 1)। y-अक्ष (अंडाकार 2) और x-अक्ष (अंडाकार 3) के लंबवत विमानों में स्थित अंडाकार भी निर्मित होते हैं। केवल अंडाकार 2 के लिए, निर्माण x और z अक्षों पर किया जाता है (चित्र 67, a), और अंडाकार 3 के लिए, y और z अक्षों पर (चित्र 67, b)। विचार करें कि अध्ययन किए गए निर्माण व्यवहार में कैसे लागू होते हैं।

चावल। 67. अंडाकारों का निर्माण: y-अक्ष के लंबवत समतल में लेटना; बी - एक्स-अक्ष के लंबवत विमान में झूठ बोलना

चावल। 68. एक बेलनाकार छिद्र वाले भाग के सममितीय प्रक्षेपण का निर्माण

8.3. गोल सतहों वाली वस्तुओं के एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों के निर्माण की एक विधि. चित्र 68 में, a बार का एक सममितीय प्रक्षेपण है। सामने के चेहरे पर लंबवत ड्रिल किए गए बेलनाकार छेद को चित्रित करना आवश्यक है। निर्माण इस प्रकार किया जाता है:

सामने के चेहरे पर छेद के केंद्र का पता लगाएं। समचतुर्भुज की रचना के लिए सममितीय अक्षों की दिशा ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 65)। पाए गए केंद्र से कुल्हाड़ियों को खींचा जाता है (चित्र 68, ए) और वृत्त की त्रिज्या के बराबर खंड उन पर रखे जाते हैं।
एक समचतुर्भुज बनाएँ। इसका बड़ा विकर्ण खर्च करें (चित्र 68, बी)।
बड़े चापों का वर्णन कीजिए। छोटे चापों के लिए केंद्र खोजें (चित्र 68. ग)।
पाए गए केंद्रों से छोटे चाप खींचे जाते हैं।

पीछे के चेहरे पर एक ही अंडाकार बना होता है, लेकिन केवल इसका दृश्य भाग ही परिक्रमा करता है (चित्र 68, डी)।

चित्र 69 में, तीन समचतुर्भुज बनाने के लिए a, कुल्हाड़ियां खींची गई हैं। संकेत दें कि घन के किस तरफ - ऊपर, दाईं ओर, बाईं ओर (चित्र 65 देखें) - प्रत्येक समचतुर्भुज स्थित होगा। इनमें से प्रत्येक समचतुर्भुज के तल पर कौन-सा अक्ष लंबवत होगा? और प्रत्येक अंडाकार का तल किस अक्ष के लंबवत है (चित्र 69, ख)?

चावल। 69. अभ्यास के लिए कार्य

चित्र 65 में समचतुर्भुज की भुजाएँ 30 मिमी हैं। उन वृत्तों के व्यास क्या हैं जिनके प्रक्षेपणों को इन समचतुर्भुजों में खुदे हुए अंडाकारों द्वारा दर्शाया गया है?
आइसोमेट्रिक प्रोजेक्शन में दिए गए क्यूब के चेहरों में खुदे हुए वृत्तों के अनुमानों के अनुरूप अंडाकार बनाएं (चित्र 65 में उदाहरण के बाद)। घन की भुजा 80 मिमी है।

§ 9. तकनीकी ड्राइंग

दृश्य चित्र बनाने के काम को सरल बनाने के लिए, अक्सर तकनीकी चित्र का उपयोग किया जाता है।

तकनीकी चित्रकारी- यह आंख के अनुपात के अनुपालन में एक्सोनोमेट्री के नियमों के अनुसार हाथ से बनाई गई छवि है। उसी समय, वे उसी नियमों का पालन करते हैं जैसे कि एक्सोनोमेट्रिक अनुमानों का निर्माण करते समय: कुल्हाड़ियों को एक ही कोण पर रखा जाता है, आयाम कुल्हाड़ियों के साथ या उनके समानांतर रखे जाते हैं।

चेकर पेपर पर तकनीकी चित्र बनाना सुविधाजनक है। चित्र 70, a वृत्त की कोशिकाओं के निर्माण को दर्शाता है। सबसे पहले, केंद्र से अक्षीय रेखाओं पर वृत्त की त्रिज्या के बराबर दूरी पर, चार स्ट्रोक लगाए जाते हैं। फिर उनके बीच चार और स्ट्रोक लगाए जाते हैं। निष्कर्ष में, एक वृत्त खींचा गया है (चित्र 70, बी)।

एक अंडाकार को एक समचतुर्भुज (चित्र 70, डी) में अंकित करके आकर्षित करना आसान होता है। ऐसा करने के लिए, जैसा कि पिछले मामले में है, पहले स्ट्रोक को रोम्बस के अंदर लगाया जाता है, एक अंडाकार (चित्र। 70, सी) के आकार को रेखांकित करता है।

चावल। 70. निर्माण जो तकनीकी चित्रों के निष्पादन की सुविधा प्रदान करते हैं

किसी वस्तु के आयतन के अधिक प्रदर्शन के लिए, तकनीकी रेखाचित्रों पर छायांकन लागू किया जाता है (चित्र 71)। यह माना जाता है कि प्रकाश ऊपर बाईं ओर से वस्तु पर पड़ता है। प्रबुद्ध सतहों को प्रकाश छोड़ दिया जाता है, और छायांकित सतहों को हैचिंग के साथ कवर किया जाता है, जो कि अधिक बार होता है, वस्तु की सतह जितनी गहरी होती है।

चावल। 71. हैचिंग के साथ एक भाग की तकनीकी ड्राइंग

कुल्हाड़ियों x, y, z का उपयोग करके, पतली रेखाएं भाग के बाहरी आकार की रूपरेखा तैयार करती हैं (चित्र 64, बी)।
सामने के चेहरे पर छेद के केंद्र का पता लगाएं। इसके माध्यम से y अक्ष के समानांतर, छेद की धुरी खींची जाती है और उस पर भाग की आधी मोटाई रखी जाती है। पीछे के चेहरे पर स्थित छेद का केंद्र प्राप्त करें।
प्राप्त बिंदुओं से, जैसे कि केंद्रों से, वृत्त खींचे जाते हैं, जिसका व्यास छेद के व्यास के बराबर होता है (चित्र 64, सी)।
अतिरिक्त रेखाएँ निकालें और भाग के दृश्य समोच्च को रेखांकित करें (चित्र 64, डी)।

चावल। 64. एक ललाट डिमेट्रिक प्रक्षेपण का निर्माण

चावल। 65. घन में अंकित वृत्तों के सममितीय प्रक्षेपण में प्रतिबिम्ब

चावल। 66. अंडाकार बनाना

अंडाकार की प्रमुख धुरी समचतुर्भुज के प्रमुख विकर्ण पर स्थित होती है।

चावल। 68. एक बेलनाकार छिद्र वाले भाग के सममितीय प्रक्षेपण का निर्माण

सामने के चेहरे पर छेद के केंद्र का पता लगाएं। समचतुर्भुज की रचना के लिए सममितीय अक्षों की दिशा ज्ञात कीजिए (देखिए आकृति 65)। पाए गए केंद्र से कुल्हाड़ियों को खींचा जाता है (चित्र 68, ए) और वृत्त की त्रिज्या के बराबर खंड उन पर रखे जाते हैं।
एक समचतुर्भुज बनाएँ। इसका बड़ा विकर्ण खर्च करें (चित्र 68, बी)।
बड़े चापों का वर्णन कीजिए। छोटे चापों के लिए केंद्र खोजें (चित्र 68. ग)।
पाए गए केंद्रों से छोटे चाप खींचे जाते हैं।

लेख में विधि के सार के बारे में बताया गया था समानांतर डिजाइन और इसके गुण। लेकिन जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, छात्रों के लिए सैद्धांतिक गणनाओं को विशिष्ट उदाहरणों के साथ प्रदर्शित किए बिना समझना मुश्किल है।

इस लेख में, हम दिखाएंगे कि समानांतर डिजाइन के गुणों और स्कूली बच्चों (त्रिकोण, समांतर चतुर्भुज, समलम्बाकार, वृत्त और षट्भुज) के लिए ज्ञात समतल आकृतियों के गुणों का उपयोग कैसे करें। समानांतर डिजाइन में इन आंकड़ों की छवियां .

1. एक त्रिभुज की छवि

1) किसी भी त्रिभुज (आयताकार, समद्विबाहु, नियमित) को आकृति में सुविधाजनक स्थान पर एक मनमाना त्रिभुज द्वारा दर्शाया जाता है।

2) यदि ΔA 1 B 1 C 1 आयताकार है, तो इसकी दो ऊँचाइयों (पैरों) की दिशाओं का प्रतिबिम्ब दिया गया है। कर्ण से नीचे की ऊंचाई और खुदे हुए वृत्त के केंद्र को मनमाने ढंग से दर्शाया गया है। कर्ण के किसी दिए गए बिंदु से किसी भी पैर पर गिराए गए लंबवत की छवि दूसरे पैर के समानांतर एक खंड है।

3) यदि ΔA 1 B 1 C 1 समद्विबाहु है, तो माध्यिका B 1 D 1 का प्रतिबिंब ऊंचाई और समद्विभाजक A 1 B 1 C 1 का प्रतिबिम्ब है। उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र का प्रतिबिम्ब BD का है।

4) यदि ΔA 1 B 1 C 1 सही (समबाहु) है, तो उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र संपाती होते हैं और माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित होते हैं। इसलिए, इस त्रिभुज की छवि का निर्माण मनमाना नहीं हो सकता है, उदाहरण के लिए, इनमें से किसी एक वृत्त का केंद्र दिया गया है।

2. समांतर चतुर्भुज छवि

किसी दिए गए समांतर चतुर्भुज A 1 B 1 C 1 D 1 (एक आयत, वर्ग, समचतुर्भुज सहित) को एक मनमाना समांतर चतुर्भुज ABCD द्वारा दर्शाया जा सकता है।

एक मनमाना समांतर चतुर्भुज की छवि पर, एक शीर्ष से खींची गई इसकी दो ऊंचाइयों की छवियों को मनमाने ढंग से बनाया जा सकता है। इसके अलावा, समांतर चतुर्भुज के तीव्र कोण के शीर्ष से खींची गई ऊंचाइयां - मूल, समांतर चतुर्भुज के बाहर स्थित होती हैं, और अधिक कोण के शीर्ष से खींची गई ऊंचाई इसके अंदर होती है।

1) यदि ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 एक समचतुर्भुज है, तो छवि पर परस्पर लंबवत रेखाओं का एक जोड़ा परिभाषित किया गया है - ये विकर्ण एबीसीडी हैं। इसलिए, किसी समचतुर्भुज के दिए गए शीर्ष से उसकी भुजा तक केवल एक ऊँचाई का प्रतिबिंब बनाना मनमाने ढंग से संभव है।

समचतुर्भुज की एक अलग ऊँचाई को चित्रित करते समय, यह ध्यान में रखा जाता है कि इन ऊँचाइयों के आधार समचतुर्भुज के विकर्ण के समानांतर एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

इसी तरह, लंब भी खींचे जाते हैं, जो इसके विकर्ण के किसी भी बिंदु से समचतुर्भुज की भुजाओं तक कम होते हैं।

2) यदि A 1 B 1 C 1 D 1 एक वर्ग है, तो इसका प्रतिबिम्ब एक मनमाना समांतर चतुर्भुज ABCD है। इसके अलावा, ऊंचाई, समद्विभाजक, कोण, पक्षों के लंबवत की छवियों को मनमाने ढंग से नहीं बनाया जा सकता है।

3. एक समलम्ब की छवि

किसी भी समलम्बाकार A 1 B 1 C 1 D 1 (साथ ही समद्विबाहु और आयताकार) को एक मनमाना समलम्ब चतुर्भुज ABCD द्वारा दर्शाया जा सकता है।

1) यदि ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 एक सामान्य समलम्बाकार है, तो इसकी ऊंचाई और आधार बिंदु से पक्षों पर गिराए गए लंबवत में से एक की छवि मनमाने ढंग से बनाई जा सकती है।

2) यदि ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 एक आयताकार समलम्ब है, तो सी 1 बी 1 ⊥ ए 1 बी 1, समलम्बाकार की ऊंचाई की छवि पहले से ही चित्र में दी गई है, इसलिए झुकाव पक्ष के लिए केवल एक लंबवत मनमाने ढंग से चित्रित किया जा सकता है।

3) यदि ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 एक समद्विबाहु समलम्बाकार है (समरूपता की एक धुरी है), तो ऊंचाई की छवि एक खंड है जो समलम्बाकार (या इसके समानांतर) के ऊपरी और निचले आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है। )

4. एक मंडली की छवि

एक वृत्त का समानांतर प्रक्षेपण एक दीर्घवृत्त है। छवि में वृत्त का केंद्र दीर्घवृत्त के संयुग्मी व्यासों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। एक वृत्त के दो व्यास (दीर्घवृत्त) संयुग्म कहलाते हैं यदि उनमें से प्रत्येक दूसरे व्यास के समांतर सभी जीवाओं को समद्विभाजित करता है।

4. एक नियमित षट्भुज की छवि

नियमित षट्भुज ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 ई 1 एफ 1 निम्नानुसार तैयार किया गया है: सबसे पहले, एक मनमाना समांतर चतुर्भुज बीसीईएफ खींचा जाता है और इसके विकर्ण बीई और सीएफ खींचे जाते हैं; फिर, उनके प्रतिच्छेदन O के बिंदु से, मनमानी लंबाई के समान खंड (लेकिन भुजा BC के आधे से अधिक) भुजाओं BC और EF के समानांतर रखे गए हैं। निर्मित खंडों के सिरे शीर्ष A और D हैं।

इसलिए हमने सभी विकल्पों पर गौर किया है। समांतर प्रक्षेपण विधि का उपयोग करते हुए एक समतल पर समतल आकृतियों के प्रतिबिम्ब .

अगले लेख में, हम देखेंगे एक विमान पर स्थानिक आंकड़े की छवि.

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