वास्तविक संख्या। परिमित दशमलव भिन्नों द्वारा वास्तविक संख्याओं का सन्निकटन।

एक वास्तविक या वास्तविक संख्या एक गणितीय अमूर्तता है जो हमारे आस-पास की दुनिया की ज्यामितीय और भौतिक मात्राओं को मापने की आवश्यकता के साथ-साथ रूट निकालने, लॉगरिदम की गणना करने और बीजगणितीय समीकरणों को हल करने जैसे कार्यों को करने की आवश्यकता से उत्पन्न हुई है। यदि प्राकृतिक संख्याएँ गिनती की प्रक्रिया में उत्पन्न हुईं, परिमेय संख्याएँ - एक पूरे के भागों के साथ काम करने की आवश्यकता से, तो वास्तविक संख्याएँ निरंतर मात्राओं को मापने के लिए अभिप्रेत हैं। इस प्रकार, विचाराधीन संख्याओं के भंडार के विस्तार ने वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को जन्म दिया है, जिसमें परिमेय संख्याओं के अलावा, अन्य तत्व भी शामिल हैं जिन्हें कहा जाता है तर्कहीन संख्या .

पूर्ण त्रुटि और इसकी सीमा।

मान लीजिए कुछ संख्यात्मक मान है, और इसे निर्दिष्ट संख्यात्मक मान को सटीक माना जाता है, फिर नीचे संख्यात्मक मान के अनुमानित मान की त्रुटि (गलती) किसी संख्यात्मक मान के सटीक और अनुमानित मान के बीच के अंतर को समझें: . त्रुटि सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान ले सकती है। मान कहा जाता है ज्ञात सन्निकटनकिसी संख्यात्मक मान के सटीक मान तक - कोई भी संख्या जो सटीक मान के बजाय उपयोग की जाती है। त्रुटि का सबसे सरल मात्रात्मक माप निरपेक्ष त्रुटि है। पूर्ण त्रुटिसन्निकट मान को वह मान कहते हैं, जिसके बारे में यह ज्ञात होता है कि: सापेक्ष त्रुटि और उसकी सीमा।

सन्निकटन की गुणवत्ता अनिवार्य रूप से माप की स्वीकृत इकाइयों और मात्राओं के पैमाने पर निर्भर करती है, इसलिए किसी मात्रा और उसके मूल्य की त्रुटि को सहसंबंधित करने की सलाह दी जाती है, जिसके लिए सापेक्ष त्रुटि की अवधारणा पेश की जाती है। रिश्तेदारों की गलतीएक अनुमानित मान को वह मान कहा जाता है जिसके बारे में यह ज्ञात होता है कि: . सापेक्ष त्रुटि को अक्सर प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। सापेक्ष त्रुटियों का उपयोग सुविधाजनक है, विशेष रूप से, क्योंकि वे मात्रा के पैमाने और माप की इकाइयों पर निर्भर नहीं करते हैं।

अपरिमेय समीकरण

वह समीकरण जिसमें एक चर मूल के चिह्न के नीचे समाहित होता है, अपरिमेय कहलाता है। अपरिमेय समीकरणों को हल करते समय, प्राप्त समाधानों को सत्यापन की आवश्यकता होती है, क्योंकि, उदाहरण के लिए, गलत समानता जब चुकता है तो सही समानता दे सकता है। दरअसल, एक गलत समानता जब चुकता है तो सही समानता 1 2 = (-1) 2 , 1=1 देता है। कभी-कभी समतुल्य संक्रमणों का उपयोग करके अपरिमेय समीकरणों को हल करना अधिक सुविधाजनक होता है।

आइए इस समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें; परिवर्तन के बाद, हम एक द्विघात समीकरण पर पहुंचते हैं; और चलो इसे लगाते हैं।

जटिल आंकड़े। सम्मिश्र संख्याओं पर क्रियाएँ।

सम्मिश्र संख्याएँ - वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का विस्तार, जिसे आमतौर पर दर्शाया जाता है। किसी भी सम्मिश्र संख्या को औपचारिक योग के रूप में दर्शाया जा सकता है एक्स + मैं, कहाँ पे एक्सतथा आप- वास्तविक संख्या, मैं- काल्पनिक इकाई सम्मिश्र संख्याएं बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र बनाती हैं - इसका मतलब है कि डिग्री का बहुपद एनजटिल गुणांक के साथ ठीक है एनजटिल जड़ें, अर्थात् बीजगणित का मूल प्रमेय सत्य है। यह गणितीय शोध में जटिल संख्याओं के व्यापक उपयोग के मुख्य कारणों में से एक है। इसके अलावा, जटिल संख्याओं का उपयोग गणितीय भौतिकी और प्राकृतिक विज्ञानों में उपयोग किए जाने वाले कई गणितीय मॉडल - इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, हाइड्रोडायनामिक्स, कार्टोग्राफी, क्वांटम यांत्रिकी, दोलनों के सिद्धांत और कई अन्य में आसानी से और कॉम्पैक्ट रूप से तैयार करना संभव बनाता है।

तुलना एक + द्वि = सी + डिमतलब कि एक = सीतथा बी = डी(दो सम्मिश्र संख्याएँ समान होती हैं यदि और केवल यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों)।

योग ( एक + द्वि) + (सी + डि) = (एक + सी) + (बी + डी) मैं .

घटाव ( एक + द्वि) − (सी + डि) = (एक − सी) + (बी − डी) मैं .

गुणा

संख्यात्मक कार्य। फ़ंक्शन सेट करने के तरीके

गणित में, एक संख्या फलन एक ऐसा फलन है जिसके डोमेन और मान संख्या समुच्चयों के उपसमुच्चय होते हैं—आम तौर पर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय या सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय।

मौखिक: प्राकृतिक भाषा का उपयोग करते हुए, Y, X के पूर्णांक भाग के बराबर होता है। विश्लेषणात्मक: एक विश्लेषणात्मक सूत्र का उपयोग करना एफ (एक्स) = एक्स !

ग्राफ के माध्यम से ग्राफिकल फ़ंक्शन ग्राफ का टुकड़ा।

सारणीबद्ध: मानों की तालिका का उपयोग करना

समारोह के मुख्य गुण

1) फंक्शन स्कोप और फंक्शन रेंज . फंक्शन स्कोप एक्स(चर एक्स) जिसके लिए समारोह वाई = एफ (एक्स)परिभाषित।

फंक्शन रेंज आपजिसे फंक्शन स्वीकार करता है। प्रारंभिक गणित में, कार्यों का अध्ययन केवल वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर किया जाता है।2 ) फ़ंक्शन शून्य) समारोह की एकरसता . बढ़ता हुआ कार्य घटते कार्य . यहां तक ​​कि समारोह एक्स एफ (-एक्स) = एफ (एक्स)। पुराना फंक्शन- एक फलन जिसकी परिभाषा का क्षेत्र मूल के संबंध में और किसी के लिए सममित है एक्स f(-x) = -f(x. समारोह कहा जाता है सीमित असीमित .7) समारोह की आवधिकता. फलन f(x) - नियत कालीन कार्य अवधि

फंक्शन ग्राफ। किसी फ़ंक्शन द्वारा ग्राफ़ का सबसे सरल रूपांतरण

फंक्शन ग्राफ- उन बिंदुओं का समूह जिनके एब्सिसास वैध तर्क मान हैं एक्स, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संगत मान हैं आप .

सीधी रेखा- एक रेखीय फलन का ग्राफ वाई = कुल्हाड़ी + बी. फ़ंक्शन y एक> 0 के लिए एकरस रूप से बढ़ता है और a . के लिए घटता है< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

परवलय- वर्ग त्रिपद फलन का ग्राफ वाई \u003d कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी. इसमें समरूपता का एक ऊर्ध्वाधर अक्ष है। यदि a > 0, न्यूनतम है यदि a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0

अतिशयोक्ति- फ़ंक्शन ग्राफ। जब a > O I और III क्वार्टर में स्थित हो, जब a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) या y - x (a .)< 0).

लघुगणकीय फलन y = लॉग a x(ए> 0)

त्रिकोणमितीय फलन।त्रिकोणमितीय कार्यों का निर्माण करते समय, हम उपयोग करते हैं कांतिकोणों का माप। फिर समारोह आप= पाप एक्सएक ग्राफ द्वारा दर्शाया गया है (चित्र 19)। इस वक्र को कहा जाता है sinusoid .

फंक्शन ग्राफ आप= कोस एक्सअंजीर में दिखाया गया है। बीस; यह भी एक साइन वेव है जो ग्राफ़ को हिलाने से उत्पन्न होती है आप= पाप एक्सअक्ष के अनुदिश एक्स/2 के द्वारा छोड़ा गया।

कार्यों के मूल गुण। एकरसता, समता, विषमता, कार्यों की आवधिकता।

फंक्शन स्कोप और फंक्शन रेंज . फंक्शन स्कोपतर्क के सभी मान्य मान्य मानों का समुच्चय है एक्स(चर एक्स) जिसके लिए समारोह वाई = एफ (एक्स)परिभाषित।

फंक्शन रेंजसभी वास्तविक मूल्यों का समुच्चय है आपजिसे फंक्शन स्वीकार करता है।

प्रारंभिक गणित में, कार्यों का अध्ययन केवल वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर किया जाता है।2 ) फ़ंक्शन शून्य- तर्क का मान है, जिस पर फ़ंक्शन का मान शून्य के बराबर होता है।3 ) समारोह की स्थिरता के अंतराल- तर्क मूल्यों के वे सेट जिन पर फ़ंक्शन मान केवल सकारात्मक या केवल नकारात्मक होते हैं।4 ) समारोह की एकरसता .

बढ़ता हुआ कार्य(कुछ अंतराल में) - एक फ़ंक्शन जिसमें इस अंतराल से तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है।

घटते कार्य(कुछ अंतराल में) - एक फ़ंक्शन जिसमें इस अंतराल से तर्क का एक बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है। 5 ) सम (विषम) फलन . यहां तक ​​कि समारोह- एक फलन जिसकी परिभाषा का क्षेत्र मूल के संबंध में और किसी के लिए सममित है एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से समानता एफ (-एक्स) = एफ (एक्स)।एक सम फलन का ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। पुराना फंक्शन- एक फलन जिसकी परिभाषा का क्षेत्र मूल के संबंध में और किसी के लिए सममित है एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से समानता f(-x) = -f(x) एक विषम फलन का आलेख मूल बिन्दु के सापेक्ष सममित होता है।6 ) सीमित और असीमित कार्य. समारोह कहा जाता है सीमित, यदि कोई धनात्मक संख्या M इस प्रकार है कि |f (x) | एम एक्स के सभी मूल्यों के लिए। यदि ऐसी कोई संख्या मौजूद नहीं है, तो फलन है असीमित .7) समारोह की आवधिकता. फलन f(x) - नियत कालीन, यदि ऐसी गैर-शून्य संख्या T है कि फ़ंक्शन के डोमेन से किसी भी x के लिए, निम्नलिखित धारण करता है: f (x+T) = f (x)। यह सबसे छोटी संख्या कहलाती है कार्य अवधि. सभी त्रिकोणमितीय फलन आवधिक होते हैं। (त्रिकोणमितीय सूत्र)।

आवधिक कार्य। किसी फ़ंक्शन की मुख्य अवधि खोजने के नियम।

आवधिक कार्यएक फ़ंक्शन है जो कुछ गैर-शून्य अवधि के बाद अपने मूल्यों को दोहराता है, अर्थात, जब एक निश्चित गैर-शून्य संख्या (अवधि) को तर्क में जोड़ा जाता है, तो इसका मान नहीं बदलता है। सभी त्रिकोणमितीय फलन आवधिक होते हैं। गलत हैंआवधिक कार्यों के योग के बारे में बयान: अनुरूप (यहां तक ​​कि बुनियादी) अवधि के साथ 2 कार्यों का योग टी 1 और टी 2 अवधि LCM वाला एक फलन है ( टी 1 ,टी 2))। असंगत (यहां तक ​​कि बुनियादी) अवधियों के साथ 2 निरंतर कार्यों का योग एक गैर-आवधिक कार्य है। ऐसे कोई आवधिक कार्य नहीं हैं जो एक स्थिरांक के बराबर न हों जिनकी अवधि अतुलनीय संख्याएँ हैं।

प्लॉटिंग पावर फंक्शन।

ऊर्जा समीकरण। यह कार्य है: वाई = कुल्हाड़ी एन, कहाँ पे एक- स्थायी। पर एन= 1 हमें मिलता है प्रत्यक्ष आनुपातिकता : आप =कुल्हाड़ी; पर एन = 2 - चौकोर परवलय; पर एन = 1 - व्युत्क्रम आनुपातिकताया अतिशयोक्ति. इस प्रकार, ये फ़ंक्शन किसी पावर फ़ंक्शन के विशेष मामले हैं। हम जानते हैं कि शून्य के अलावा किसी अन्य संख्या की शून्य घात 1 के बराबर होती है, इसलिए, जब एन= 0 पावर फ़ंक्शन स्थिर हो जाता है: आप =एक, अर्थात। इसका ग्राफ अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है एक्स, निर्देशांक की उत्पत्ति को छोड़कर (कृपया बताएं कि क्यों?) ये सभी मामले (के साथ एक= 1) चित्र 13 में दिखाया गया है ( एन 0) और चित्र.14 ( एन < 0). Отрицательные значения एक्सयहाँ नहीं माना जाता है, क्योंकि तब कुछ कार्य:

उलटा काम करना

उलटा काम करना- एक फ़ंक्शन जो इस फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त निर्भरता को उलट देता है। फ़ंक्शन फ़ंक्शन के विपरीत है यदि निम्नलिखित पहचान धारण करते हैं: सभी के लिए सभी के लिए

एक बिंदु पर एक समारोह की सीमा। सीमा के मूल गुण।

nवीं डिग्री की जड़ और उसके गुण।

किसी संख्या a का nवां मूल वह संख्या है जिसकी nth घात a के बराबर है।

परिभाषा: संख्या a के nवें अंश का अंकगणितीय मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसकी nवीं घात a के बराबर है।

जड़ों के मुख्य गुण:

मनमानी वास्तविक घातांक और उसके गुणों के साथ डिग्री।

मान लीजिए कि एक धनात्मक संख्या और एक मनमाना वास्तविक संख्या दी गई है। संख्या को डिग्री कहा जाता है, संख्या डिग्री का आधार है, संख्या घातांक है।

परिभाषा के अनुसार यह माना जाता है:

यदि और धनात्मक संख्याएँ हैं, और कोई वास्तविक संख्याएँ हैं, तो निम्नलिखित गुण सत्य हैं:

.

.

पावर फंक्शन, इसके गुण और ग्राफ

ऊर्जा समीकरणजटिल चर एफ (जेड) = जेड एनएक वास्तविक तर्क के समान कार्य के विश्लेषणात्मक निरंतरता का उपयोग करके एक पूर्णांक एक्सपोनेंट के साथ निर्धारित किया जाता है। इसके लिए सम्मिश्र संख्याओं को लिखने के घातांकीय रूप का प्रयोग किया जाता है। एक पूर्णांक घातांक के साथ एक शक्ति समारोह पूरे जटिल विमान में विश्लेषणात्मक है, पहचान मानचित्रण के उदाहरणों की एक सीमित संख्या के उत्पाद के रूप में एफ (जेड) = जेड. विशिष्टता प्रमेय के अनुसार, परिणामी विश्लेषणात्मक निरंतरता की विशिष्टता के लिए ये दो मानदंड पर्याप्त हैं। इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम तुरंत यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि एक जटिल चर के पावर फ़ंक्शन में इसके वास्तविक समकक्ष से महत्वपूर्ण अंतर हैं।

यह प्रपत्र का एक कार्य है, . निम्नलिखित मामलों पर विचार किया जाता है:

एक)। तो अगर । फिर , ; यदि संख्या सम है, तो फलन सम है (अर्थात सभी के लिए ); यदि संख्या विषम है, तो फलन विषम है (अर्थात, सभी के लिए)।

घातांकीय फलन, इसके गुण और रेखांकन

घातांक प्रकार्य- गणितीय कार्य।

वास्तविक मामले में, डिग्री का आधार कुछ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, और फ़ंक्शन का तर्क एक वास्तविक घातांक है।

जटिल कार्यों के सिद्धांत में, एक अधिक सामान्य मामले पर विचार किया जाता है, जब एक मनमाना जटिल संख्या एक तर्क और एक घातांक हो सकती है।

सबसे सामान्य तरीके से - आप, लाइबनिज़ द्वारा 1695 में पेश किया गया।

मामला जब संख्या ई डिग्री के आधार के रूप में कार्य करता है, विशेष रूप से हाइलाइट किया जाता है। ऐसे फलन को घातांक (वास्तविक या सम्मिश्र) कहा जाता है।

गुण ; ; .

घातीय समीकरण।

आइए हम सीधे घातीय समीकरणों पर आगे बढ़ें। एक घातांकीय समीकरण को हल करने के लिए, निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करना आवश्यक है: यदि डिग्री समान हैं और आधार समान, सकारात्मक और एक से भिन्न हैं, तो उनके घातांक भी बराबर होते हैं। आइए इस प्रमेय को सिद्ध करें: मान लीजिए a>1 और a x =a y ।

आइए हम सिद्ध करें कि इस स्थिति में x=y. जो साबित करने की आवश्यकता है, उसके विपरीत मान लें, अर्थात। मान लें कि x>y या वह x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х एक वाई। ये दोनों परिणाम प्रमेय की परिकल्पना के विपरीत हैं। इसलिए, x=y, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

प्रमेय उस स्थिति के लिए भी सिद्ध होता है जब 0 0 और ए≠1।

घातीय असमानताएँ

फॉर्म की असमानताएं (या कम) के लिए ए (एक्स)> 0और घातांकीय फलन के गुणों के आधार पर हल किए जाते हैं: for 0 < а (х) < 1 तुलना करते समय एफ (एक्स)तथा जी (एक्स)असमानता का संकेत बदल जाता है, और कब ए (एक्स)> 1- सहेजा गया है। के लिए सबसे कठिन मामला ए (एक्स)< 0 . यहां हम केवल एक सामान्य संकेत दे सकते हैं: यह निर्धारित करने के लिए कि किन मूल्यों पर एक्ससंकेतक एफ (एक्स)तथा जी (एक्स)पूर्णांक बनें, और उनमें से उन्हें चुनें जो शर्त को पूरा करते हैं। अंत में, यदि मूल असमानता के लिए धारण करता है ए (एक्स) = 0या ए (एक्स) = 1(उदाहरण के लिए, जब असमानताएँ सख्त नहीं हैं), तो इन मामलों पर भी विचार किया जाना चाहिए।

लघुगणक और उनके गुण

किसी संख्या का लघुगणक बीवजह से एक (ग्रीक λόγος - "शब्द", "संबंध" और ἀριθμός - "संख्या" से) को उस डिग्री के संकेतक के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस तक आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए एकनंबर पाने के लिए बी. पद: । यह परिभाषा से इस प्रकार है कि प्रविष्टियाँ और समतुल्य हैं। उदाहरण: क्योंकि। गुण

मूल लघुगणकीय पहचान:

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन, इसके गुण और ग्राफ़।

एक लॉगरिदमिक फ़ंक्शन फॉर्म का एक फ़ंक्शन है एफ (एक्स) = लॉग एक एक्स, पर परिभाषित

कार्यक्षेत्र:

मूल्य की सीमा:

किसी भी लघुगणकीय फलन का आलेख बिंदु (1; 0) से होकर गुजरता है

लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है:

लघुगणक समीकरण

लॉगरिदम के चिन्ह के तहत एक चर वाले समीकरण को लॉगरिदमिक समीकरण कहा जाता है। लघुगणकीय समीकरण का सबसे सरल उदाहरण समीकरण है लॉग a x \u003d b (जहाँ a > 0, and 1). उनका निर्णय एक्स = एक बी .

लघुगणक की परिभाषा के आधार पर समीकरणों को हल करना, उदाहरण के लिए, समीकरण लॉग ए एक्स \u003d बी (ए\u003e 0, लेकिन 1)एक समाधान है एक्स = एक बी .

पोटेंशिएशन विधि। पोटेंशिएशन का अर्थ है लॉगरिदम वाली समानता से एक समानता में संक्रमण जिसमें वे शामिल नहीं हैं:

यदि लॉग ए एफ (एक्स) = लॉग ए जी (एक्स),फिर एफ (एक्स) = जी (एक्स), एफ (एक्स)> 0 ,जी (एक्स)> 0 ,ए > 0 , एक 1 .

एक लघुगणकीय समीकरण को द्विघात समीकरण में कम करने की विधि।

समीकरण के दोनों भागों का लघुगणक लेने की विधि।

एक ही आधार पर लघुगणक को कम करने की विधि।

लॉगरिदमिक असमानताएं।

केवल लघुगणक के चिह्न के नीचे एक चर वाली असमानता को लघुगणक कहा जाता है: लॉग ए एफ (एक्स) > लॉग एजी (एक्स)।

लॉगरिदमिक असमानताओं को हल करते समय, किसी को असमानताओं के सामान्य गुणों, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की एकरसता की संपत्ति और इसकी परिभाषा के डोमेन को ध्यान में रखना चाहिए। असमानता लॉग ए एफ (एक्स) > लॉग एजी (एक्स)एक प्रणाली के समान है f (x) > g (x) > 0 a > 1 . के लिएऔर प्रणाली 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

कोणों और चापों का रेडियन माप। साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट।

डिग्री उपाय। यहाँ माप की इकाई है डिग्री (पदनाम ) - एक पूर्ण क्रांति के 1/360 द्वारा बीम का घूर्णन है। इस प्रकार, बीम का पूर्ण घूर्णन 360 है। एक डिग्री 60 . से बनी होती है मिनट (उनका पदनाम '); एक मिनट - क्रमशः 60 . में से सेकंड (से चिह्नित ")।

रेडियन माप। जैसा कि हम प्लानिमेट्री से जानते हैं ("बिंदुओं का स्थान। सर्कल और सर्कल" अनुभाग में "आर्क लम्बाई" पैराग्राफ देखें), चाप की लंबाई मैं, RADIUS आरऔर संबंधित केंद्रीय कोण संबंधित हैं: = एल / आर।

यह सूत्र कोणों के रेडियन माप की परिभाषा को रेखांकित करता है। तो अगर मैं = आर,तब = 1, और हम कहते हैं कि कोण  1 रेडियन के बराबर है, जिसे दर्शाया गया है: = 1 प्रसन्न. इस प्रकार, हमारे पास रेडियन माप की निम्नलिखित परिभाषा है:

रेडियन केंद्रीय कोण है, जिसकी चाप की लंबाई और त्रिज्या बराबर है(ए एमबी = एओ, अंजीर। 1)। इसलिए, एक कोण का रेडियन माप एक मनमानी त्रिज्या द्वारा खींचे गए चाप की लंबाई का अनुपात है और इस कोण के किनारों के बीच चाप के त्रिज्या के बीच संलग्न है।

न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय फलनों को एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

साइनस:

कोसाइन:

स्पर्शरेखा:

कोटैंजेंट:

एक संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्य

परिभाषा .

x की ज्या x रेडियन में कोण की ज्या के बराबर संख्या होती है। एक संख्या x की कोज्या x रेडियन में कोण के कोज्या के बराबर संख्या है .

एक संख्यात्मक तर्क के अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों को इसी तरह परिभाषित किया गया है एक्स .

भूत सूत्र।

जोड़ सूत्र। दोहरा और आधा तर्क सूत्र।

दोहरा।

( ; .

त्रिकोणमितीय फलन और उनके रेखांकन। त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल गुण।

त्रिकोणमितीय फलन- प्राथमिक कार्यों के प्रकार। उन्हें आमतौर पर संदर्भित किया जाता है साइनस (पाप x), कोज्या (क्योंकि x), स्पर्शरेखा (टीजी एक्स), कोटैंजेंट (सीटीजी एक्सत्रिकोणमितीय फलनों को आमतौर पर ज्यामितीय रूप से परिभाषित किया जाता है, लेकिन उन्हें विश्लेषणात्मक रूप से श्रृंखला के योग के रूप में या कुछ अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो हमें इन कार्यों की परिभाषा के क्षेत्र को जटिल संख्याओं तक विस्तारित करने की अनुमति देता है।

फलन y sinx इसके गुण और ग्राफ

गुण:

2. ई (वाई) \u003d [-1; एक]।

3. फलन y \u003d sinx विषम है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार, एक त्रिकोणमितीय कोण की ज्या है पाप (- एक्स)= - वाई/आर = - sinxजहाँ R वृत्त की त्रिज्या है, y बिंदु की कोटि है (चित्र)।

4. टी \u003d 2n - सबसे छोटी सकारात्मक अवधि। सचमुच,

पाप (x+p) = sinx.

ऑक्स अक्ष के साथ: sinx= 0; एक्स = पीएन, एनОजेड;

y-अक्ष के साथ: यदि x = 0, तो y = 0.6। निरंतरता अंतराल:

sinx > 0, अगर xО (2pn; p + 2pn), nОZ;

sinx< 0 , यदि xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

तिमाहियों में साइन साइन्स

y > 0 पहली और दूसरी तिमाही के कोण a के लिए।

पर< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. एकरसता के अंतराल:

वाई = sinxप्रत्येक अंतराल पर बढ़ता है [-p/2 + 2pn; पी/2 + 2पीएन],

nнz और प्रत्येक अंतराल पर घटता है, nнz।

8. फ़ंक्शन के चरम बिंदु और चरम बिंदु:

xmax= पी/2 + 2पीएन, एनएनजेड; आप मैक्स = 1;

यमैक्स= - पी/2 + 2पीएन, एनएनजेड; यमिन = - 1.

समारोह गुण वाई = cosxऔर उसका कार्यक्रम:

गुण:

2. ई (वाई) \u003d [-1; एक]।

3. समारोह वाई = cosx- सम, क्योंकि त्रिकोणमितीय कोण की कोज्या की परिभाषा के अनुसार cos (-a) = x/R = cosa त्रिकोणमितीय वृत्त (चावल) पर

4. टी \u003d 2p - सबसे छोटी सकारात्मक अवधि। सचमुच,

cos(x+2pn) = cosx.

5. निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:

ऑक्स अक्ष के साथ: cosx = 0;

एक्स = पी/2 + पीएन, एनОजेड;

y-अक्ष के साथ: यदि x = 0, तो y = 1।

6. संकेत स्थिरता के अंतराल:

क्योंकि > 0, अगर xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , यदि xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

यह एक त्रिकोणमितीय वृत्त (चित्र।) पर सिद्ध होता है। तिमाहियों में कोसाइन संकेत:

x > 0 पहले और चौथे चतुर्थांश के कोणों के लिए।

एक्स< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. एकरसता के अंतराल:

वाई = cosxप्रत्येक अंतराल पर बढ़ता है [-p + 2pn; 2 पी एन],

nнz और प्रत्येक अंतराल पर घटता है, nнz।

समारोह गुण वाई = टीजीएक्सऔर इसकी साजिश: गुण -

1. डी (वाई) = (एक्सОआर, एक्स पी/2 + पीएन, एनОजेड)।

3. फलन y = tgx - विषम

टीजीएक्स> 0

टीजीएक्स< 0 एक्सएन के लिए (-पी/2 + पीएन; पीएन), एनएनजेड।

तिमाहियों में स्पर्शरेखा के चिह्नों के लिए चित्र देखें।

6. एकरसता के अंतराल:

वाई = टीजीएक्सप्रत्येक अंतराल पर बढ़ता है

(-पी/2 + पीएन; पी/2 + पीएन),

7. चरम बिंदु और फ़ंक्शन के चरम बिंदु:

8. x = p/2 + pn, nнz - उर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी

समारोह गुण वाई = सीटीजीएक्सऔर उसका कार्यक्रम:

गुण:

1. डी (वाई) = (एक्सОआर, एक्स पीएन, एनОजेड)। 2. ई (वाई) = आर।

3. समारोह वाई = सीटीजीएक्स- अजीब।

4. टी \u003d पी - सबसे छोटी सकारात्मक अवधि।

5. संकेत स्थिरता के अंतराल:

सीटीजीएक्स > 0 xО के लिए (pn; p/2 + pn;), nОZ;

सीटीजीएक्स< 0 xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ के लिए।

तिमाहियों के लिए स्पर्शरेखा चिह्न, चित्र देखें।

6. समारोह पर= सीटीजीएक्सप्रत्येक अंतराल पर बढ़ता है (pn; p + pn), nОZ।

7. किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु और चरम बिंदु वाई =सीटीजीएक्सना।

8. फंक्शन ग्राफ वाई =सीटीजीएक्सहै स्पर्शरेखा, प्लॉट शिफ्ट द्वारा प्राप्त किया गया वाई = टीजीएक्सऑक्स अक्ष के अनुदिश बाईं ओर p/2 और (-1) से गुणा (चित्र)

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, उनके गुण और ग्राफ

उलटा त्रिकोणमितीय कार्य (परिपत्र कार्य , चापफलन) गणितीय फलन हैं जो त्रिकोणमितीय फलनों के विलोम हैं। उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों में आमतौर पर छह कार्य शामिल होते हैं: आर्कसिन , चाप कोसाइन , चाप स्पर्शरेखा ,आर्ककोटैंज।व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का नाम संबंधित त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के नाम से उपसर्ग "आर्क-" (अक्षांश से। आर्क- चाप)। यह इस तथ्य के कारण है कि ज्यामितीय रूप से व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का मान एक या किसी अन्य खंड के अनुरूप एक इकाई सर्कल (या कोण जो इस चाप को घटाता है) के चाप की लंबाई से जुड़ा हो सकता है। कभी-कभी विदेशी साहित्य में वे आर्क्सिन, आदि के लिए पाप -1 जैसे पदनामों का उपयोग करते हैं; यह पूरी तरह से सही नहीं माना जाता है, क्योंकि किसी फ़ंक्शन को -1 की शक्ति तक बढ़ाने में भ्रम संभव है। मूल अनुपात

फलन y=arcsinX, इसके गुण और ग्राफ।

आर्कसिननंबर एमइस कोण को कहा जाता है एक्सजिसके लिए समारोह आप= पाप एक्स आप= आर्क्सिन एक्ससख्ती से बढ़ रहा है। (फ़ंक्शन विषम है)।

फलन y=arccosX, इसके गुण और ग्राफ।

चाप कोसाइननंबर एमइस कोण को कहा जाता है एक्स, जिसके लिए

समारोह आप= कोस एक्सनिरंतर और इसकी पूरी संख्या रेखा के साथ घिरा हुआ है। समारोह आप= आर्ककोस एक्ससख्ती कम हो रही है। cos (arccos एक्स) = एक्सपर आर्ककोस (cos आप) = आपपर डी(आर्ककोस एक्स) = [- 1; 1], (डोमेन), इ(आर्ककोस एक्स) =। (मूल्यों की श्रृंखला)। आर्ककोस फ़ंक्शन के गुण (बिंदु के संबंध में फ़ंक्शन केंद्रीय रूप से सममित है

फलन y=arctgX, इसके गुण और ग्राफ।

आर्कटिकनंबर एमएक कोण α को ऐसा कहा जाता है कि फलन निरंतर है और अपनी संपूर्ण वास्तविक रेखा पर आबद्ध है। समारोह सख्ती से बढ़ रहा है।

पर

आर्कटिक फ़ंक्शन गुण

,

.

फलन y=arcctg, इसके गुण और ग्राफ।

चाप स्पर्शरेखानंबर एमइस कोण को कहा जाता है एक्स, जिसके लिए

फलन निरंतर है और इसकी संपूर्ण वास्तविक रेखा पर आबद्ध है।

समारोह सख्ती से कम हो रहा है। 0 . पर< आप < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки किसी के लिए एक्स .

.

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण।

परिभाषा।वाडा समीकरण पाप एक्स = ए ; कॉस एक्स = ए ; तन एक्स = ए ; सीटीजी एक्स = ए, कहाँ पे एक्स

त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामले

परिभाषा।वाडा समीकरण पाप एक्स = ए ; कॉस एक्स = ए ; तन एक्स = ए ; सीटीजी एक्स = ए, कहाँ पे एक्स- चर, एआर, कहलाते हैं सरल त्रिकोणमितीय समीकरण।

त्रिकोणमितीय समीकरण

स्टीरियोमेट्री के स्वयंसिद्ध और उनसे परिणाम

अंतरिक्ष में बुनियादी आंकड़े: बिंदु, रेखाएं और विमान। बिंदुओं, रेखाओं और विमानों के मुख्य गुण, उनकी पारस्परिक व्यवस्था से संबंधित, स्वयंसिद्धों में व्यक्त किए जाते हैं।

ए1.किन्हीं तीन बिंदुओं से होकर जो एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, एक तल गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक। ए 2.यदि किसी रेखा के दो बिंदु एक समतल में स्थित हों, तो रेखा के सभी बिंदु उस तल में स्थित होते हैं।

टिप्पणी।यदि किसी रेखा और तल में केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु हो, तो वे प्रतिच्छेद करने वाले कहलाते हैं।

ए3.यदि दो समतलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो उनके पास एक उभयनिष्ठ रेखा होती है जिस पर इन तलों के सभी उभयनिष्ठ बिंदु स्थित होते हैं।

	A और रेखा a के अनुदिश प्रतिच्छेद करें।

परिणाम 1.एक रेखा और एक बिंदु के माध्यम से जो उस पर नहीं पड़ा है, एक विमान गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक। परिणाम 2.एक विमान दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से होकर गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक।

अंतरिक्ष में दो रेखाओं की पारस्परिक व्यवस्था

समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाएं

एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करना।

एक रेखा और एक विमान का समानांतरवाद।

परिभाषा 2.3एक रेखा और एक विमान को समानांतर कहा जाता है यदि उनके पास कोई सामान्य बिंदु नहीं है। यदि रेखा a, समतल α के समानांतर है, तो a लिखें || एक। प्रमेय 2.4 एक सीधी रेखा और एक तल के समानांतरवाद का चिह्न।यदि किसी समतल के बाहर की रेखा समतल में किसी रेखा के समांतर हो, तो वह रेखा भी समतल के समांतर होती है। प्रमाण मान लीजिए b α, a || बी और एक α (ड्राइंग 2.2.1)। हम विरोधाभास से साबित करेंगे। मान लीजिए a, α के समानांतर नहीं है, तो रेखा a, समतल α को किसी बिंदु A पर काटती है। इसके अलावा, A b, क्योंकि a || बी। तिरछी रेखाओं की कसौटी के अनुसार, रेखाएँ a और b तिरछी होती हैं। हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं। प्रमेय 2.5यदि तल β समतल α के समांतर रेखा से होकर गुजरता है और इस तल को रेखा b के अनुदिश काटता है, तो b || एक। प्रमाण वास्तव में, रेखाएँ a और b तिरछी नहीं हैं, क्योंकि वे समतल β में स्थित हैं। इसके अलावा, इन रेखाओं का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, क्योंकि a || एक। परिभाषा 2.4लाइन बी को कभी-कभी विमान α पर विमान β का निशान कहा जाता है।

सीधी रेखाओं को पार करना। प्रतिच्छेद रेखाओं का चिन्ह

रेखाएँ प्रतिच्छेदी कहलाती हैं यदि निम्नलिखित शर्त पूरी होती है: यदि हम कल्पना करें कि इनमें से एक रेखा एक स्वेच्छ तल से संबंधित है, तो दूसरी रेखा इस तल को उस बिंदु पर काटेगी जो पहली पंक्ति से संबंधित नहीं है। दूसरे शब्दों में, त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनमें कोई विमान नहीं है। सीधे शब्दों में कहें, अंतरिक्ष में दो रेखाएं जिनमें सामान्य बिंदु नहीं हैं, लेकिन समानांतर नहीं हैं।

प्रमेय (1): यदि दो में से एक रेखा एक निश्चित तल में स्थित हो, और दूसरी रेखा इस तल को पहली रेखा पर न पड़े हुए बिंदु पर काटती हो, तो ये रेखाएँ तिरछी होती हैं।

प्रमेय (2): दो प्रतिच्छेदी रेखाओं में से प्रत्येक के माध्यम से एक विमान दूसरी रेखा के समानांतर गुजरता है, और इसके अलावा, केवल एक।

प्रमेय (3): यदि दो कोणों की भुजाएँ क्रमशः सह-निर्देशित हों, तो ऐसे कोण बराबर होते हैं।

रेखाओं की समानता। समानांतर विमानों के गुण।

समानांतर (कभी-कभी - समद्विबाहु) सीधी रेखाएंसीधी रेखाएँ कहलाती हैं जो एक ही तल में स्थित होती हैं और या तो संपाती होती हैं या प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। कुछ स्कूल परिभाषाओं में, मेल खाने वाली रेखाओं को समानांतर नहीं माना जाता है, यहां ऐसी परिभाषा पर विचार नहीं किया गया है। गुण समानांतरवाद एक द्विआधारी तुल्यता संबंध है, इसलिए यह रेखाओं के पूरे सेट को एक दूसरे के समानांतर रेखाओं के वर्गों में विभाजित करता है। किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से, दिए गए बिंदु के समानांतर ठीक एक रेखा हो सकती है। यह यूक्लिडियन ज्यामिति की एक विशिष्ट संपत्ति है, अन्य ज्यामिति में संख्या 1 को दूसरों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (लोबचेवस्की की ज्यामिति में कम से कम दो ऐसी रेखाएं होती हैं) अंतरिक्ष में 2 समानांतर रेखाएं एक ही विमान में होती हैं। बी 2 समानांतर रेखाओं के एक तिहाई के चौराहे पर, कहा जाता है काटनेवाला: छेदक आवश्यक रूप से दोनों रेखाओं को प्रतिच्छेद करता है। पार करते समय, 8 कोने बनते हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट जोड़े के विशेष नाम और गुण होते हैं: क्रॉस लेटकोण बराबर हैं। संबंधितकोण बराबर हैं। एक तरफाकोण 180° तक जोड़ते हैं।

एक रेखा और एक विमान की लंबवतता।

एक रेखा जो एक समतल को प्रतिच्छेद करती है, कहलाती है सीधायह तल यदि यह प्रत्येक रेखा के लंबवत है जो दिए गए विमान में स्थित है और चौराहे के बिंदु से गुजरती है।

एक रेखा और एक विमान की लंबवतता का संकेत।

यदि किसी समतल को प्रतिच्छेद करने वाली रेखा उस तल में दी गई रेखा और तल के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली दो रेखाओं के लंबवत हो, तो वह तल पर लंबवत होती है।

लंबवत रेखाओं और ग्रहों की पहली संपत्ति .

यदि एक तल दो समानांतर रेखाओं में से एक के लंबवत है, तो यह दूसरी के लिए भी लंबवत है।

लंबवत रेखाओं और ग्रहों की दूसरी संपत्ति .

एक ही तल पर लंबवत दो रेखाएँ समानांतर हैं।

तीन लंबवत प्रमेय

होने देना अब- विमान α के लंबवत, एसी- तिरछा और सी- विमान में एक सीधी रेखा α बिंदु से होकर गुजरती है सीऔर लंबवत प्रक्षेपण ईसा पूर्व. आइए एक सीधी रेखा खींचते हैं सी.के.एक सीधी रेखा के समानांतर अब. सीधा सी.के.समतल α के लंबवत (क्योंकि यह के समानांतर है) अब), और इसलिए इस तल की कोई भी रेखा, इसलिए, सी.के.रेखा के लंबवत सी अबतथा सी.के.विमान β (समानांतर रेखाएं एक विमान को परिभाषित करती हैं, और केवल एक)। सीधा सीसमतल β में पड़ी दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के लंबवत है, यह ईसा पूर्वशर्त के अनुसार और सी.के.निर्माण द्वारा, जिसका अर्थ है कि यह इस तल से संबंधित किसी भी रेखा के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि यह एक रेखा के लंबवत भी है एसी .

तीन लंबवत प्रमेय का विलोम

यदि किसी समतल में किसी झुकी हुई रेखा के आधार से होकर खींची गई सीधी रेखा झुकी हुई रेखा के लंबवत हो, तो वह उसके प्रक्षेपण के लंबवत भी होती है।

होने देना अब- विमान के लंबवत एक , एसी- तिरछा और साथ- विमान में सीधी रेखा एकढलान के आधार से गुजरना से. आइए एक सीधी रेखा खींचते हैं अनुसूचित जाति, रेखा के समानांतर अब. सीधा अनुसूचित जातिविमान के लंबवत एक(इस प्रमेय द्वारा, क्योंकि यह समानांतर है अब), और इसलिए इस तल की कोई भी रेखा, इसलिए, अनुसूचित जातिरेखा के लंबवत साथ. समानांतर रेखाओं के माध्यम से ड्रा करें अबतथा अनुसूचित जातिविमान बी(समानांतर रेखाएं एक विमान को परिभाषित करती हैं, और केवल एक)। सीधा साथसमतल में पड़ी दो सीधी रेखाओं के लंबवत बी, ये है एसीशर्त के अनुसार और अनुसूचित जातिनिर्माण से, इसका अर्थ है कि यह इस तल से संबंधित किसी भी रेखा के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि यह एक रेखा के लंबवत भी है रवि. दूसरे शब्दों में, प्रक्षेपण रविरेखा के लंबवत साथविमान में झूठ बोलना एक .

लंबवत और तिरछा।

सीधाकिसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए तल पर उतारा गया, एक खंड कहलाता है जो किसी दिए गए बिंदु को समतल में एक बिंदु से जोड़ता है और विमान के लंबवत सीधी रेखा पर स्थित होता है। समतल में पड़े इस खंड के सिरे को कहते हैं लंबवत का आधार .

परोक्ष, किसी दिए गए बिंदु से किसी दिए गए विमान पर खींचा गया, कोई भी खंड है जो दिए गए बिंदु को विमान में एक बिंदु से जोड़ता है जो विमान के लंबवत नहीं है। एक तल में स्थित खंड के अंत को कहा जाता है झुकाव का आधार. एक ही बिंदु से खींची गई झुकी हुई रेखा के लंबवत के आधारों को जोड़ने वाले खंड को कहा जाता है तिरछा प्रक्षेपण .

परिभाषा 1. किसी दी गई रेखा के लिए एक लंबवत एक रेखा खंड है जो किसी दिए गए रेखा के लंबवत होता है जिसका एक छोर उनके चौराहे बिंदु पर होता है। किसी रेखा पर स्थित खंड का अंत लंब का आधार कहलाता है।

परिभाषा 2. किसी दिए गए बिंदु से किसी दी गई रेखा पर खींची गई एक तिरछी रेखा एक खंड है जो दिए गए बिंदु को उस रेखा के किसी भी बिंदु से जोड़ता है जो उसी बिंदु से दी गई रेखा पर गिराए गए लंबवत का आधार नहीं है। एबी - विमान α के लंबवत।

एसी - तिरछा, सीबी - प्रक्षेपण।

सी - झुकाव का आधार, बी - लंबवत का आधार।

एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण।

रेखा और समतल के बीच का कोणएक सीधी रेखा और इस तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच के किसी कोण को कहते हैं।

डायहेड्रल कोण।

डायहेड्रल कोण- एक सीधी रेखा से निकलने वाले दो अर्ध-तलों द्वारा बनाई गई एक स्थानिक ज्यामितीय आकृति, साथ ही इन अर्ध-तलों से घिरे अंतरिक्ष का एक हिस्सा। आधे विमानों को कहा जाता है चेहरे केद्विफलक कोण, और उनकी उभयनिष्ठ सीधी रेखा - किनारा. डायहेड्रल कोणों को एक रेखीय कोण द्वारा मापा जाता है, अर्थात, एक डायहेड्रल कोण के चौराहे द्वारा बनाया गया कोण जिसके किनारे पर एक विमान लंबवत होता है। प्रत्येक पॉलीहेड्रॉन, नियमित या अनियमित, उत्तल या अवतल, प्रत्येक किनारे पर एक डायहेड्रल कोण होता है।

दो विमानों की लंबवतता।

समतल लम्बवतता का चिन्ह।

यदि एक तल किसी अन्य तल के लंबवत रेखा से होकर गुजरता है, तो ये तल लंबवत होते हैं।

प्रकाशन तिथि: 2016-03-23

संक्षिप्त वर्णन: ...

कुछ मूल तकनीकों का उपयोग करके समीकरणों को हल करने के उदाहरण।

1
. अपरिमेय समीकरणों का हल।

1. प्रतिस्थापन विधि।

1.1.1 समीकरण हल करें .

ध्यान दें कि मूलांक के अंतर्गत x के चिह्न भिन्न होते हैं। हम संकेतन का परिचय देते हैं

, .

फिर,

आइए समीकरण के दोनों भागों का पद-दर-अवधि योग करते हैं।

और हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

इसलिये ए + बी = 4, तो

Z पढ़ता है: 9 - x \u003d 8 x \u003d 1. उत्तर: x \u003d 1.

1.1.2 प्रश्न हल करें .

हम संकेतन का परिचय देते हैं: , ; , .

माध्यम:

समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों द्वारा पदों को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है।

और हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

ए + बी = 2, , , ,

आइए समीकरणों की प्रणाली पर लौटते हैं:

, .

(ab) के समीकरण को हल करने के बाद, हमारे पास ab = 9, ab = -1 (-1 बाह्य मूल है, क्योंकि , .).

इस प्रणाली का कोई हल नहीं है, जिसका अर्थ है कि मूल समीकरण का भी कोई हल नहीं है।

उत्तर: कोई समाधान नहीं।

1. 1. प्रश्न हल करें: .

हम अंकन का परिचय देते हैं, जहां। फिर , ।

, ,

तीन मामलों पर विचार करें:

1) . 2) . 3) .

ए + 1 - ए + 2 \u003d 1, ए - 1 - ए + 2 \u003d 1, ए - 1 + ए - 2 \u003d 1, ए \u003d 1, 1 [ 0; 1)। [ एक ; 2))। ए = 2.

समाधान: [ 1 ; 2].

यदि एक , फिर , , ।

उत्तर: .

1.2. बाएँ और दाएँ भागों के मूल्यांकन की विधि (प्रमुख विधि)।

प्रमुख विधि किसी फ़ंक्शन की सीमा को खोजने की एक विधि है।

मेजराइज़ेशन - फ़ंक्शन के प्रतिबंध के बिंदुओं का पता लगाना। एम प्रमुख है।

यदि हमारे पास f(x) = g(x) है और ODZ ज्ञात है, और यदि

, , फिर

1. 1. प्रश्न हल करें: .

ओडीजेड: .

समीकरण के दाहिने पक्ष पर विचार करें।

आइए एक फ़ंक्शन का परिचय दें। ग्राफ एक परवलय है जिसका शीर्ष A(3 ; 2) है।

फलन का सबसे छोटा मान y(3) = 2, अर्थात .

समीकरण के बाईं ओर पर विचार करें।

आइए एक फ़ंक्शन का परिचय दें। अवकलज का प्रयोग करते हुए, x (2; 4) पर अवकलनीय फलन का अधिकतम ज्ञात करना आसान है।

पर ,

एक्स = 3।

जी` + -

2 3 4

जी (3) = 2.

हमारे पास है .

परिणामस्वरूप, तब

आइए उपरोक्त शर्तों के आधार पर समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करें:

सिस्टम के पहले समीकरण को हल करने पर, हमारे पास x = 3 है। इस मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करके, हम सुनिश्चित करते हैं कि x = 3 सिस्टम का समाधान है।

उत्तर: एक्स = 3.

1.3. फ़ंक्शन एकरसता का अनुप्रयोग।

1.3.1. प्रश्न हल करें:

डीजेड के बारे में: , इसलिये मैं .

यह ज्ञात है कि बढ़ते कार्यों का योग एक बढ़ता हुआ कार्य है।

बाईं ओर एक बढ़ता हुआ कार्य है। दाईं ओर एक रैखिक कार्य है (k=0)। चित्रमय व्याख्या से पता चलता है कि जड़ अद्वितीय है। हम इसे चयन द्वारा पाते हैं, हमारे पास x = 1 है।

सबूत:

मान लीजिए कि 1 से बड़ा एक मूल x 1 है, तो

इसलिये एक्स 1>1,

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक से बड़ी कोई जड़ नहीं होती।

इसी तरह, कोई यह साबित कर सकता है कि कोई जड़ एक से कम नहीं है।

तो x=1 एकमात्र जड़ है।

उत्तर: एक्स = 1।

1.3.2. प्रश्न हल करें:

डीजेड के बारे में: [ 0.5 ; + ), क्योंकि वे। .

आइए समीकरण को रूपांतरित करें,

बाईं ओर एक बढ़ता हुआ कार्य है (बढ़ते कार्यों का उत्पाद), दाईं ओर एक रैखिक कार्य है (k = 0)। ज्यामितीय व्याख्या से पता चलता है कि मूल समीकरण में एक ही मूल होना चाहिए जिसे फिटिंग द्वारा पाया जा सकता है, x = 7.

इंतिहान:

यह साबित किया जा सकता है कि कोई अन्य जड़ें नहीं हैं (उपरोक्त उदाहरण देखें)।

उत्तर: एक्स = 7.

2. लघुगणक समीकरण।

1. बाएँ और दाएँ भागों का अनुमान लगाने की विधि।

2.1.1. समीकरण हल करें: लॉग 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

आइए हम समीकरण के बाईं ओर का अनुमान लगाएं।

2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16  16.

फिर 2 (2x - x 2 + 15) 4 लघुगणक करें।

आइए हम समीकरण के दाईं ओर का अनुमान लगाएं।

x 2 - 2x + 5 \u003d (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x - 1) 2 + 4 4.

मूल समीकरण का हल तभी हो सकता है जब दोनों पक्ष चार के बराबर हों।

माध्यम

उत्तर: एक्स = 1।

स्वतंत्र कार्य के लिए।

2.1.2. लॉग 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 उत्तर: x \u003d 3.

2.1.3. लॉग 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 उत्तर: x \u003d 6.

2.1.4. लॉग 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 उत्तर: x \u003d 1.

2.1.5. लॉग 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 उत्तर: x \u003d 3.

2.2. फ़ंक्शन की एकरसता का उपयोग करते हुए, जड़ों का चयन।

2.2.1. समीकरण हल करें: लॉग 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

आइए 2x - x 2 + 15 = t, t>0 परिवर्तन करें। फिर x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t, तब

लॉग 2 टी = 20 - टी।

फलन y = log 2 t बढ़ रहा है, और फलन y = 20 - t घट रहा है। ज्यामितीय व्याख्या हमें यह समझने में मदद करती है कि मूल समीकरण का एक ही मूल है, जिसे t = 16 का चयन करके खोजना मुश्किल नहीं है।

समीकरण 2x - x 2 + 15 = 16 को हल करने पर हम पाते हैं कि x = 1।

यह सुनिश्चित करने के लिए जाँच की जा रही है कि चयनित मान सही है।

उत्तर: एक्स = 1।

2.3. कुछ "दिलचस्प" लघुगणक समीकरण।

2.3.1. प्रश्न हल करें .

ओडीजेड: (एक्स - 15) कॉस> 0।

आइए समीकरण पर चलते हैं

, , ,

आइए समतुल्य समीकरण पर चलते हैं

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0, या cos 2 x = 1 ,

x = 15. cos x = 1 या cos x = -1,

एक्स = 2 के, के जेड। एक्स =  + 2 एल, एल जेड।

आइए पाए गए मानों को ODZ में प्रतिस्थापित करके जांचें।

1) यदि x = 15 , तो (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0 गलत है।

x = 15 - समीकरण का मूल नहीं है।

2) यदि x = 2 k, k Z, तब (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, ध्यान दें कि 15  5 । हमारे पास है

कश्मीर > 2.5, के जेड,

कश्मीर = 3, 4, 5,… .

3) अगर एक्स = + 2 एल, एल जेड, फिर ( + 2 एल - 15) (- 1)> 0,

+ 2 मैं< 15,

2मैं< 15 -  , заметим, что 15  5  .

हमारे पास है: l< 2,

एल = 1, 0, -1, -2,…।

उत्तर: एक्स = 2 के (के = 3,4,5,6,…); x \u003d +2 1 (1 \u003d 1.0, -1, - 2, ...)

3. त्रिकोणमितीय समीकरण।

3.1. समीकरण के बाएँ और दाएँ भागों का अनुमान लगाने की विधि।

4.1.1. समीकरण को हल करें cos3x cos2x = -1।

पहला तरीका..

0.5 (कोस एक्स+ क्योंकि 5 एक्स) = -1, cos एक्स+ क्योंकि 5 एक्स = -2.

क्योंकि क्योंकि एक्स- 1 , कॉस 5 एक्स- 1, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि cos एक्स+ क्योंकि 5 एक्स> -2, इसलिए

समीकरणों की प्रणाली का अनुसरण करता है

सी ओएस एक्स = -1,

क्योंकि 5 एक्स = - 1.

समीकरण को हल करना cos एक्स= -1, हमें मिलता है एक्स= + 2 k, जहाँ k Z.

ये मान एक्ससमीकरण cos 5 . के भी हल हैं एक्स= -1, क्योंकि

क्योंकि 5 एक्स= cos 5 ( + 2 k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1।

इस तरह, एक्स=  + 2 k, जहाँ k Z, निकाय के सभी हल हैं, और इसलिए मूल समीकरण है।

उत्तर: एक्स= (2k + 1), k Z.

दूसरा तरीका।

यह दिखाया जा सकता है कि सिस्टम का सेट मूल समीकरण से अनुसरण करता है

क्योंकि 2 एक्स = - 1,

क्योंकि 3 एक्स = 1.

क्योंकि 2 एक्स = 1,

क्योंकि 3 एक्स = - 1.

समीकरणों की प्रत्येक प्रणाली को हल करते हुए, हम जड़ों का मिलन पाते हैं।

उत्तर: x = (2 .) से + 1), k Z.

स्वतंत्र कार्य के लिए।

समीकरणों को हल करें:

3.1.2. 2 क्योंकि 3एक्स + 4 पाप x/2 = 7. उत्तर: कोई समाधान नहीं।

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. उत्तर: कोई समाधान नहीं।

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. उत्तर: x = 2 को, को जेड

3.1.5. पाप x पाप 3 x = -1। उत्तर: एक्स = /2 +  को, को जेड

3.1.6. क्योंकि 8 एक्स + पाप 7 एक्स = 1. उत्तर: एक्स = एम, एम जेड; एक्स = /2 + 2  एन, नहीं जेड

1.1 अपरिमेय समीकरण

गणित में प्रवेश परीक्षाओं में अक्सर तर्कहीन समीकरणों का सामना करना पड़ता है, क्योंकि उनकी सहायता से समकक्ष परिवर्तन, परिभाषा के क्षेत्र और अन्य जैसी अवधारणाओं के ज्ञान का आसानी से निदान किया जाता है। अपरिमेय समीकरणों को हल करने के तरीके, एक नियम के रूप में, एक परिमेय समीकरण के साथ (कुछ परिवर्तनों की मदद से) एक अपरिमेय समीकरण को बदलने की संभावना पर आधारित होते हैं, जो या तो मूल अपरिमेय समीकरण के बराबर होता है या इसका परिणाम होता है। अक्सर, समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। तुल्यता का उल्लंघन नहीं होता है जब दोनों भागों को एक विषम शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है। अन्यथा, पाए गए समाधानों की जांच करना या समीकरण के दोनों हिस्सों के संकेत का अनुमान लगाना आवश्यक है। लेकिन अन्य तरकीबें हैं जो अपरिमेय समीकरणों को हल करने में अधिक प्रभावी हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन विधि।

उदाहरण 1: समीकरण हल करें

तब से । इसलिए, कोई डाल सकता है . समीकरण का रूप लेगा

चलो, फिर कहाँ रखें

.

.

उत्तर: .

बीजीय समाधान

तब से . माध्यम, , ताकि आप मॉड्यूल का विस्तार कर सकें

.

उत्तर: .

एक समीकरण को बीजगणितीय तरीके से हल करने के लिए समान परिवर्तनों को करने और समकक्ष संक्रमणों के सक्षम संचालन में एक अच्छे कौशल की आवश्यकता होती है। लेकिन सामान्य तौर पर, दोनों दृष्टिकोण समान हैं।

उदाहरण 2: समीकरण हल करें

.

त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग कर समाधान

समीकरण का डोमेन असमानता द्वारा दिया जाता है, जो तब स्थिति के बराबर होता है। इसलिए हम लगा सकते हैं। समीकरण का रूप लेगा

तब से । आइए आंतरिक मॉड्यूल खोलें

चलो रखो , फिर

.

शर्त दो मूल्यों से संतुष्ट है और .

.

.

उत्तर: .

बीजीय समाधान

.

आइए हम पहले सेट सिस्टम के समीकरण को वर्गाकार करें, हम प्राप्त करते हैं

चलो, फिर। समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखा जाएगा

जाँच करके हम यह स्थापित करते हैं कि वह मूल है, फिर बहुपद को द्विपद से विभाजित करके हम समीकरण के दाईं ओर के अपघटन को कारकों में प्राप्त करते हैं

चर से चर की ओर चलते हैं, हमें मिलता है

.

स्थि‍ति दो मूल्यों को संतुष्ट करें

.

इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि यह मूल है।

मूल जनसंख्या की दूसरी प्रणाली के समीकरण को इसी तरह हल करने पर, हम पाते हैं कि यह भी एक जड़ है।

उत्तर: .

यदि पिछले उदाहरण में बीजगणितीय समाधान और त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग कर समाधान समकक्ष थे, तो इस मामले में प्रतिस्थापन समाधान अधिक लाभदायक है। बीजगणित के माध्यम से एक समीकरण को हल करते समय, दो समीकरणों के एक सेट को हल करना होता है, यानी दो बार वर्ग करना। इस गैर-समतुल्य परिवर्तन के बाद, अपरिमेय गुणांकों के साथ चौथी डिग्री के दो समीकरण प्राप्त होते हैं, जो प्रतिस्थापन से छुटकारा पाने में मदद करता है। एक और कठिनाई मूल समीकरण में प्रतिस्थापन द्वारा पाए गए समाधानों का सत्यापन है।

उदाहरण 3. समीकरण को हल करें

.

त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग कर समाधान

तब से । ध्यान दें कि अज्ञात का ऋणात्मक मान समस्या का समाधान नहीं हो सकता। दरअसल, हम मूल समीकरण को रूप में बदल देते हैं

.

समीकरण के बायीं ओर कोष्ठक में गुणनखंड धनात्मक है, समीकरण का दाहिना पक्ष भी धनात्मक है, इसलिए समीकरण के बायीं ओर का गुणनखंड ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए, इसलिए, इसलिए आप डाल सकते हैं मूल समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखा जाएगा

तब से , और . समीकरण का रूप लेगा

होने देना । आइए समीकरण से समतुल्य प्रणाली की ओर बढ़ते हैं

.

संख्याएँ और द्विघात समीकरण के मूल हैं

.

बीजीय हल आइए समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करें

हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं , तो समीकरण को रूप में लिखा जाएगा

दूसरी जड़ बेमानी है, इसलिए समीकरण पर विचार करें

.

तब से ।

इस मामले में, बीजीय समाधान तकनीकी रूप से सरल है, लेकिन त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करके उपरोक्त समाधान पर विचार करना आवश्यक है। यह, सबसे पहले, प्रतिस्थापन की गैर-मानक प्रकृति के कारण है, जो स्टीरियोटाइप को नष्ट कर देता है कि त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग तभी संभव है जब । यह पता चला है कि यदि त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन भी आवेदन पाता है। दूसरे, त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने में एक निश्चित कठिनाई होती है , जो समीकरणों के सिस्टम में बदलाव लाकर कम किया जाता है। एक निश्चित अर्थ में, इस प्रतिस्थापन को गैर-मानक भी माना जा सकता है, और इसके साथ परिचित होने से आप त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने के लिए चाल और विधियों के शस्त्रागार को समृद्ध कर सकते हैं।

उदाहरण 4. समीकरण को हल करें

.

त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग कर समाधान

चूँकि एक चर कोई भी वास्तविक मान ले सकता है, हम डालते हैं . फिर

,

इसलिये ।

मूल समीकरण, किए गए परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए, रूप लेगा

चूँकि, हम समीकरण के दोनों पक्षों को से भाग देते हैं, हमें प्राप्त होता है

होने देना , फिर . समीकरण का रूप लेगा

.

प्रतिस्थापन को देखते हुए , हम दो समीकरणों का एक सेट प्राप्त करते हैं

.

आइए प्रत्येक सेट समीकरण को अलग से हल करें।

.

एक ज्या मान नहीं हो सकता, जैसा कि तर्क के किसी भी मान के लिए है।

.

इसलिये और मूल समीकरण का दाहिना भाग धनात्मक है, तो . जिससे यह पता चलता है कि .

इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है, क्योंकि .

अतः मूल समीकरण का एक ही मूल है

.

बीजीय समाधान

इस समीकरण को मूल समीकरण के दोनों भागों का वर्ग करके आठवीं डिग्री के परिमेय समीकरण में आसानी से "बदला" जा सकता है। परिणामी तर्कसंगत समीकरण की जड़ों की खोज कठिन है, और कार्य से निपटने के लिए उच्च स्तर की सरलता की आवश्यकता होती है। इसलिए, कम पारंपरिक, हल करने का एक अलग तरीका जानना उचित है। उदाहरण के लिए, I. F. Sharygin द्वारा प्रस्तावित प्रतिस्थापन।

चलो रखो , फिर

आइए समीकरण के दाईं ओर को रूपांतरित करें :

परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए, समीकरण रूप लेगा

.

हम एक प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं, फिर

.

दूसरी जड़ बेमानी है, इसलिए, और .

यदि समीकरण को हल करने का विचार पहले से ज्ञात नहीं है , तो समीकरण के दोनों भागों का वर्ग करके मानक तरीके से हल करना समस्याग्रस्त है, क्योंकि परिणाम आठवीं डिग्री का समीकरण है, जिसकी जड़ें खोजना बेहद मुश्किल है। त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करने वाला समाधान बोझिल लगता है। यदि आप ध्यान न दें कि यह आवर्तक है, तो समीकरण के मूल ज्ञात करना कठिन हो सकता है। इस समीकरण का समाधान बीजगणित के तंत्र का उपयोग करके होता है, इसलिए हम कह सकते हैं कि प्रस्तावित समाधान संयुक्त है। इसमें बीजगणित और त्रिकोणमिति की जानकारी एक लक्ष्य के लिए एक साथ काम करती है - एक समाधान प्राप्त करने के लिए। साथ ही, इस समीकरण को हल करने के लिए दो स्थितियों पर सावधानीपूर्वक विचार करने की आवश्यकता है। त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग करने की तुलना में प्रतिस्थापन समाधान तकनीकी रूप से सरल और अधिक सुंदर है। यह वांछनीय है कि छात्र इस प्रतिस्थापन पद्धति को जानें और समस्याओं को हल करने के लिए इसे लागू करें।

हम इस बात पर जोर देते हैं कि समस्याओं को हल करने के लिए त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग सचेत और उचित होना चाहिए। उन मामलों में प्रतिस्थापन का उपयोग करने की सलाह दी जाती है जहां समाधान किसी अन्य तरीके से अधिक कठिन या असंभव भी होता है। आइए हम एक और उदाहरण दें, जो पिछले वाले के विपरीत, मानक तरीके से हल करना आसान और तेज़ है।