अनुदेश

प्रूफ़ शुरू करने से पहले, सुनिश्चित करें कि रेखाएँ एक ही तल में हैं और उस पर खींची जा सकती हैं। प्रमाण की सबसे सरल विधि रूलर से मापने की विधि है। ऐसा करने के लिए, जहाँ तक संभव हो कई स्थानों पर सीधी रेखाओं के बीच की दूरी को मापने के लिए एक रूलर का उपयोग करें। यदि दूरी समान रहती है, तो दी गई रेखाएँ समानांतर होती हैं। लेकिन यह विधि पर्याप्त सटीक नहीं है, इसलिए अन्य विधियों का उपयोग करना बेहतर है।

एक तीसरी रेखा खींचिए ताकि वह दोनों समानांतर रेखाओं को काट दे। इससे चार बाहरी और चार भीतरी कोने बनते हैं। आंतरिक कोनों पर विचार करें। जो छेदक रेखा के माध्यम से झूठ बोलते हैं उन्हें क्रॉस-झूठ कहा जाता है। एक तरफ झूठ बोलने वालों को एकतरफा कहा जाता है। एक प्रोट्रैक्टर का उपयोग करके, दो आंतरिक विकर्ण कोनों को मापें। यदि वे समान हैं, तो रेखाएँ समानांतर होंगी। यदि संदेह है, तो एक तरफा आंतरिक कोणों को मापें और परिणामी मानों को जोड़ें। यदि एक तरफा अंत: कोणों का योग 180º के बराबर हो तो रेखाएँ समानांतर होंगी।

यदि आपके पास प्रोट्रैक्टर नहीं है, तो 90º वर्ग का उपयोग करें। इसका उपयोग किसी एक रेखा पर लंबवत बनाने के लिए करें। उसके बाद, इस लंबवत को इस तरह से जारी रखें कि यह दूसरी रेखा को काट दे। उसी वर्ग का प्रयोग करते हुए, जाँच कीजिए कि यह लम्ब किस कोण पर इसे प्रतिच्छेद करता है। यदि यह कोण भी 90º के बराबर हो, तो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

इस घटना में कि रेखाएँ कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में दी गई हैं, उनके मार्गदर्शक या सामान्य सदिश ज्ञात कीजिए। यदि ये सदिश क्रमशः एक-दूसरे के साथ संरेख हैं, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं। रेखाओं के समीकरण को सामान्य रूप में लाएं और प्रत्येक रेखा के अभिलंब सदिश के निर्देशांक ज्ञात करें। इसके निर्देशांक गुणांक ए और बी के बराबर हैं। इस घटना में कि सामान्य वैक्टर के संबंधित निर्देशांक का अनुपात समान है, वे संरेख हैं, और रेखाएं समानांतर हैं।

उदाहरण के लिए, सीधी रेखाएं समीकरण 4x-2y+1=0 और x/1=(y-4)/2 द्वारा दी जाती हैं। पहला समीकरण सामान्य रूप का है, दूसरा विहित है। दूसरे समीकरण को सामान्य रूप में लाएं। इसके लिए अनुपात रूपांतरण नियम का उपयोग करें, और आपको 2x=y-4 प्राप्त होगा। एक सामान्य रूप में कमी के बाद, 2x-y + 4 = 0 प्राप्त करें। चूँकि किसी भी रेखा के लिए सामान्य समीकरण Ax + Vy + C = 0 लिखा जाता है, तो पहली पंक्ति के लिए: A = 4, B = 2, और दूसरी पंक्ति के लिए A = 2, B = 1। सामान्य वेक्टर के पहले प्रत्यक्ष समन्वय के लिए (4;2), और दूसरे के लिए - (2;1)। सामान्य सदिश 4/2=2 और 2/1=2 के संगत निर्देशांकों का अनुपात ज्ञात कीजिए। ये संख्याएँ समान हैं, जिसका अर्थ है कि सदिश संरेख हैं। चूँकि सदिश संरेख हैं, रेखाएँ समानांतर हैं।

यह लेख समानांतर रेखाओं और समानांतर रेखाओं के बारे में है। सबसे पहले, समतल और अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं की परिभाषा दी गई है, संकेतन पेश किया गया है, समानांतर रेखाओं के उदाहरण और ग्राफिक चित्र दिए गए हैं। इसके अलावा, सीधी रेखाओं के समांतरता के संकेतों और स्थितियों का विश्लेषण किया जाता है। निष्कर्ष में, सीधी रेखाओं के समानांतरवाद को साबित करने की विशिष्ट समस्याओं के समाधान दिखाए गए हैं, जो एक समतल पर और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा के कुछ समीकरणों द्वारा दिए गए हैं।

पृष्ठ नेविगेशन।

समानांतर रेखाएँ - बुनियादी जानकारी।

परिभाषा।

समतल में दो रेखाएँ कहलाती हैं समानांतरयदि उनके पास सामान्य बिंदु नहीं हैं।

परिभाषा।

तीन आयामों में दो रेखाएँ कहलाती हैं समानांतरयदि वे एक ही तल में स्थित हों और उनके कोई उभयनिष्ठ बिंदु न हों।

ध्यान दें कि अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं की परिभाषा में "यदि वे एक ही विमान में झूठ बोलते हैं" खंड बहुत महत्वपूर्ण है। आइए इस बिंदु को स्पष्ट करें: त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएं जिनमें सामान्य बिंदु नहीं होते हैं और एक ही विमान में नहीं होते हैं, समानांतर नहीं होते हैं, लेकिन तिरछे होते हैं।

यहाँ समानांतर रेखाओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। नोटबुक शीट के विपरीत किनारे समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं। सीधी रेखाएँ जिनके साथ घर की दीवार का तल छत और फर्श के तलों को काटता है, समानांतर हैं। समतल जमीन पर रेल की पटरियों को भी समानांतर रेखा के रूप में माना जा सकता है।

समानांतर रेखाओं को दर्शाने के लिए प्रतीक "" का उपयोग किया जाता है। अर्थात्, यदि रेखाएँ a और b समानांतर हैं, तो आप संक्षेप में a b लिख सकते हैं।

ध्यान दें कि यदि रेखाएँ a और b समानांतर हैं, तो हम कह सकते हैं कि रेखा a, रेखा b के समानांतर है, और यह भी कि रेखा b, रेखा a के समानांतर है।

आइए हम एक बयान दें जो समतल में समानांतर रेखाओं के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है: एक बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, वहां केवल दी गई रेखा के समानांतर रेखा गुजरती है। इस कथन को एक तथ्य के रूप में स्वीकार किया जाता है (इसे प्लैनिमेट्री के ज्ञात स्वयंसिद्धों के आधार पर सिद्ध नहीं किया जा सकता है), और इसे समानांतर रेखाओं का अभिगृहीत कहा जाता है।

अंतरिक्ष में मामले के लिए, प्रमेय सत्य है: अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक एकल रेखा गुजरती है। समानांतर रेखाओं के उपरोक्त स्वयंसिद्ध का उपयोग करके इस प्रमेय को आसानी से सिद्ध किया जा सकता है (आप इसका प्रमाण ज्यामिति पाठ्यपुस्तक 10-11 कक्षा में पा सकते हैं, जो ग्रंथ सूची में लेख के अंत में सूचीबद्ध है)।

अंतरिक्ष में मामले के लिए, प्रमेय सत्य है: अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा पर स्थित नहीं है, वहां दी गई रेखा के समानांतर एक एकल रेखा गुजरती है। ऊपर दी गई समानांतर रेखाओं के अभिगृहीत का उपयोग करके इस प्रमेय को आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

रेखाओं का समानांतरवाद - समानता के संकेत और शर्तें।

समानांतर रेखाओं का चिन्हसमानांतर रेखाओं के लिए पर्याप्त शर्त है, यानी ऐसी स्थिति, जिसकी पूर्ति समानांतर रेखाओं की गारंटी देती है। दूसरे शब्दों में, इस शर्त की पूर्ति इस तथ्य को बताने के लिए पर्याप्त है कि रेखाएँ समानांतर हैं।

समतल में और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें भी हैं।

आइए हम "समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति" वाक्यांश का अर्थ स्पष्ट करें।

हम पहले ही समानांतर रेखाओं के लिए पर्याप्त शर्त पर विचार कर चुके हैं। और "समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक शर्त" क्या है? "आवश्यक" नाम से स्पष्ट है कि रेखाओं के समानांतर होने के लिए इस शर्त की पूर्ति आवश्यक है। दूसरे शब्दों में, यदि समांतर रेखाओं के लिए आवश्यक शर्त संतुष्ट नहीं होती है, तो रेखाएँ समानांतर नहीं होती हैं। इस तरह, रेखाओं के समानांतर होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तएक शर्त है, जिसकी पूर्ति समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त दोनों है। अर्थात् एक ओर यह समांतर रेखाओं का चिन्ह है तो दूसरी ओर यह एक ऐसा गुण है जो समांतर रेखाओं का होता है।

रेखाओं के समानांतर होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त बताने से पहले, कुछ सहायक परिभाषाओं को याद करना उपयोगी है।

छेदक रेखाएक ऐसी रेखा है जो दी गई दो गैर-संयोग रेखाओं में से प्रत्येक को प्रतिच्छेद करती है।

एक छेदक की दो पंक्तियों के प्रतिच्छेदन पर आठ गैर-तैनात रेखाएँ बनती हैं। तथाकथित क्रॉसवर्ड झूठ बोलना, संबंधिततथा एक तरफा कोने. आइए उन्हें ड्राइंग पर दिखाएं।

प्रमेय।

यदि एक समतल पर दो सीधी रेखाओं को एक छेदक द्वारा पार किया जाता है, तो उनकी समांतरता के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि अनुप्रस्थ कोण समान हों, या संबंधित कोण समान हों, या एक तरफा कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर हो .

आइए हम समतल में समानांतर रेखाओं के लिए इस आवश्यक और पर्याप्त स्थिति का एक चित्रमय चित्रण दिखाएं।

आप ग्रेड 7-9 के लिए ज्यामिति पाठ्यपुस्तकों में समानांतर रेखाओं के लिए इन शर्तों के प्रमाण पा सकते हैं।

ध्यान दें कि इन स्थितियों का उपयोग त्रि-आयामी अंतरिक्ष में भी किया जा सकता है - मुख्य बात यह है कि दो रेखाएं और छेद एक ही विमान में स्थित हैं।

यहां कुछ और प्रमेय दिए गए हैं जिनका उपयोग अक्सर रेखाओं की समानता को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

प्रमेय।

यदि एक तल में दो रेखाएँ तीसरी रेखा के समानांतर हों, तो वे समानांतर होती हैं। इस विशेषता का प्रमाण समानांतर रेखाओं के अभिगृहीत से मिलता है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के लिए भी ऐसी ही स्थिति है।

प्रमेय।

यदि अंतरिक्ष में दो रेखाएँ एक तीसरी रेखा के समानांतर हों, तो वे समानांतर होती हैं। इस विशेषता का प्रमाण कक्षा 10 में ज्यामिति के पाठों में माना जाता है।

आइए हम स्वरित प्रमेयों का वर्णन करें।

आइए हम एक और प्रमेय दें जो हमें समतल में रेखाओं की समांतरता को सिद्ध करने की अनुमति देता है।

प्रमेय।

यदि एक तल में दो रेखाएँ एक तीसरी रेखा के लंबवत हों, तो वे समानांतर होती हैं।

अंतरिक्ष में रेखाओं के लिए एक समान प्रमेय है।

प्रमेय।

यदि त्रिविमीय समष्टि में दो रेखाएँ एक ही तल पर लंबवत हों, तो वे समांतर होती हैं।

आइए हम इन प्रमेयों के अनुरूप चित्र बनाएं।

ऊपर दिए गए सभी प्रमेय, संकेत और आवश्यक और पर्याप्त शर्तें ज्यामिति के तरीकों से सीधी रेखाओं की समानता को साबित करने के लिए पूरी तरह उपयुक्त हैं। अर्थात् दो दी गई रेखाओं की समांतरता को सिद्ध करने के लिए यह दिखाना आवश्यक है कि वे तीसरी रेखा के समानांतर हैं, या अनुप्रस्थ कोणों की समानता दिखाने के लिए, आदि। हाई स्कूल में ज्यामिति पाठों में इनमें से कई समस्याओं का समाधान किया जाता है। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कई मामलों में एक विमान में या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता को साबित करने के लिए निर्देशांक की विधि का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। आइए हम एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में दी गई रेखाओं की समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें तैयार करें।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं का समानांतरवाद।

लेख के इस भाग में, हम तैयार करेंगे समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तेंएक आयताकार समन्वय प्रणाली में, इन रेखाओं को निर्धारित करने वाले समीकरणों के प्रकार के आधार पर, और हम विशिष्ट समस्याओं के विस्तृत समाधान भी देंगे।

आइए आयताकार समन्वय प्रणाली ऑक्सी में विमान पर दो रेखाओं के समांतरता की स्थिति से शुरू करें। उनका प्रमाण रेखा के निर्देशन सदिश की परिभाषा और समतल पर रेखा के सामान्य सदिश की परिभाषा पर आधारित है।

प्रमेय।

दो गैर-संयोग रेखाओं के समतल में समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन रेखाओं के दिशा सदिश संरेखी हों, या इन रेखाओं के सामान्य सदिश संरेख हों, या एक रेखा का दिशा सदिश अभिलंब के लंबवत हो दूसरी पंक्ति का वेक्टर।

जाहिर है, समतल में दो रेखाओं के समानांतर होने की स्थिति (लाइनों के दिशा सदिश या रेखाओं के सामान्य सदिश) या (एक रेखा की दिशा सदिश और दूसरी पंक्ति के सामान्य वेक्टर) तक कम हो जाती है। इस प्रकार, यदि और रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं, तथा तथा क्रमशः रेखाओं a और b के सामान्य सदिश हैं, तो समानांतर रेखाओं a और b के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति को इस प्रकार लिखा जा सकता है , या , या , जहाँ t कुछ वास्तविक संख्या है। बदले में, सीधी रेखाओं a और b के निर्देशन और (या) सामान्य सदिशों के निर्देशांक सीधी रेखाओं के ज्ञात समीकरणों से पाए जाते हैं।

विशेष रूप से, यदि आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखा a समतल पर ऑक्सी रूप की रेखा के सामान्य समीकरण को परिभाषित करती है , और सीधी रेखा b - , तो इन रेखाओं के अभिलंब सदिशों में निर्देशांक और क्रमशः होते हैं, और रेखाओं a और b के समांतरता की स्थिति को इस प्रकार लिखा जाएगा।

यदि सीधी रेखा a, फॉर्म के ढलान गुणांक के साथ सीधी रेखा के समीकरण से मेल खाती है . इसलिए, यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर सीधी रेखाएं समानांतर होती हैं और ढलान गुणांक वाली सीधी रेखाओं के समीकरणों द्वारा दी जा सकती हैं, तो रेखाओं के ढलान गुणांक बराबर होंगे। और इसके विपरीत: यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर गैर-संयोग वाली सीधी रेखाएं समान ढलान गुणांक वाली सीधी रेखा के समीकरणों द्वारा दी जा सकती हैं, तो ऐसी सीधी रेखाएं समानांतर होती हैं।

यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखा a और रेखा b रूप के तल पर रेखा के विहित समीकरणों को परिभाषित करते हैं तथा , या रूप के समतल पर एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण तथा क्रमशः, तो इन रेखाओं के दिशा सदिशों में निर्देशांक होते हैं और , और रेखाओं a और b के लिए समांतरता की स्थिति को इस प्रकार लिखा जाता है।

आइए कुछ उदाहरण देखें।

उदाहरण।

क्या रेखाएँ समानांतर हैं? तथा ?

समाधान।

हम एक सीधी रेखा के समीकरण को एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण के रूप में खंडों में फिर से लिखते हैं: . अब हम देख सकते हैं कि यह सीधी रेखा का सामान्य सदिश है , और सीधी रेखा का सामान्य सदिश है। ये सदिश संरेख नहीं हैं, क्योंकि कोई वास्तविक संख्या t नहीं है जिसके लिए समानता ( ) नतीजतन, समतल पर रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त संतुष्ट नहीं है, इसलिए, दी गई रेखाएं समानांतर नहीं हैं।

उत्तर:

नहीं, रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

उदाहरण।

क्या रेखाएँ और समानताएँ हैं?

समाधान।

हम एक सीधी रेखा के विहित समीकरण को एक ढलान वाली सीधी रेखा के समीकरण में लाते हैं: . जाहिर है, रेखाओं के समीकरण समान नहीं हैं (इस स्थिति में, दी गई रेखाएँ समान होंगी) और रेखाओं के ढलान समान हैं, इसलिए मूल रेखाएँ समानांतर हैं।

दूसरा उपाय।

सबसे पहले, आइए दिखाते हैं कि मूल रेखाएं मेल नहीं खाती हैं: रेखा के किसी भी बिंदु को लें, उदाहरण के लिए, (0, 1), इस बिंदु के निर्देशांक रेखा के समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं, इसलिए, रेखाएं मेल नहीं खाती हैं। आइए अब इन रेखाओं की समांतरता की शर्त की पूर्ति की जाँच करें। रेखा का सामान्य सदिश सदिश है, और रेखा का दिशा सदिश सदिश है। आइए गणना करें और: . नतीजतन, वैक्टर और लंबवत हैं, जिसका अर्थ है कि दी गई रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति संतुष्ट है। तो रेखाएँ समानांतर हैं।

उत्तर:

दी गई रेखाएं समानांतर हैं।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं की समानता को साबित करने के लिए, निम्नलिखित आवश्यक और पर्याप्त शर्त का उपयोग किया जाता है।

प्रमेय।

गैर-संयोग रेखाओं के त्रि-आयामी अंतरिक्ष में समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि उनके दिशा सदिश संरेखी हों।

इस प्रकार, यदि त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं के समीकरण ज्ञात हैं और आपको इस प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है कि ये रेखाएं समानांतर हैं या नहीं, तो आपको इन रेखाओं के दिशा वैक्टर के निर्देशांक खोजने और जांच करने की आवश्यकता है दिशा वैक्टर की संपार्श्विकता की स्थिति की पूर्ति। दूसरे शब्दों में, यदि तथा - सीधी रेखाओं के दिशा सदिश दी गई रेखाओं में निर्देशांक होते हैं और . इसलिये , फिर । इस प्रकार, अंतरिक्ष में दो रेखाओं के समानांतर होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त संतुष्ट होती है। इससे रेखाओं की समानता सिद्ध होती है तथा .

ग्रंथ सूची।

• अतानासियन एल.एस., बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., पॉज़्न्याक ई.जी., युदीना आई.आई. ज्यामिति। ग्रेड 7 - 9: शिक्षण संस्थानों के लिए एक पाठ्यपुस्तक।
• अतानासियन एल.एस., बुटुज़ोव वी.एफ., कदोमत्सेव एस.बी., किसेलेवा एल.एस., पॉज़्न्याक ई.जी. ज्यामिति। हाई स्कूल के 10-11 ग्रेड के लिए पाठ्यपुस्तक।
• पोगोरेलोव ए.वी., ज्यामिति। शैक्षणिक संस्थानों के ग्रेड 7-11 के लिए पाठ्यपुस्तक।
• बुग्रोव वाई.एस., निकोल्स्की एस.एम. उच्च गणित। खंड एक: रैखिक बीजगणित और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तत्व।
• इलिन वी.ए., पॉज़्न्याक ई.जी. विश्लेषणात्मक ज्यामिति।

इस लेख में, हम समानांतर रेखाओं के बारे में बात करेंगे, परिभाषाएँ देंगे, समानता के संकेतों और शर्तों को निर्दिष्ट करेंगे। सैद्धांतिक सामग्री की स्पष्टता के लिए, हम दृष्टांतों और विशिष्ट उदाहरणों के समाधान का उपयोग करेंगे।

परिभाषा 1

समतल में समानांतर रेखाएँसमतल में दो सीधी रेखाएँ हैं जिनमें उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हैं।

परिभाषा 2

3D स्पेस में समानांतर रेखाएं- त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाएं जो एक ही तल में होती हैं और जिनमें सामान्य बिंदु नहीं होते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं को निर्धारित करने के लिए, स्पष्टीकरण "एक ही विमान में झूठ बोलना" अत्यंत महत्वपूर्ण है: त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाएं जिनमें सामान्य बिंदु नहीं होते हैं और एक ही विमान में झूठ नहीं होते हैं समानांतर, लेकिन प्रतिच्छेदन।

समानांतर रेखाओं को दर्शाने के लिए, प्रतीक का उपयोग करना सामान्य है। अर्थात्, यदि दी गई रेखाएँ a और b समानांतर हैं, तो इस शर्त को संक्षेप में इस प्रकार लिखा जाना चाहिए: a b। मौखिक रूप से, रेखाओं की समांतरता इस प्रकार इंगित की जाती है: रेखाएँ a और b समानांतर हैं, या रेखा a, रेखा b के समानांतर है, या रेखा b, रेखा a के समानांतर है।

आइए हम एक बयान तैयार करें जो अध्ययन के तहत विषय में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

स्वयंसिद्ध

एक बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा से संबंधित नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर केवल एक रेखा होती है। इस कथन को ग्रहमिति के ज्ञात अभिगृहीतों के आधार पर सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

उस स्थिति में जब अंतरिक्ष की बात आती है, प्रमेय सत्य है:

प्रमेय 1

अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु के माध्यम से जो किसी दी गई रेखा से संबंधित नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर केवल एक ही रेखा होगी।

उपरोक्त स्वयंसिद्ध (ग्रेड 10-11 के लिए ज्यामिति कार्यक्रम) के आधार पर इस प्रमेय को सिद्ध करना आसान है।

समांतरता का चिन्ह एक पर्याप्त शर्त है जिसके तहत समानांतर रेखाओं की गारंटी होती है। दूसरे शब्दों में, इस शर्त की पूर्ति समानता के तथ्य की पुष्टि करने के लिए पर्याप्त है।

विशेष रूप से, समतल और अंतरिक्ष में रेखाओं की समानता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें हैं। आइए समझाएं: आवश्यक का अर्थ है वह शर्त, जिसकी पूर्ति समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक है; यदि यह संतुष्ट नहीं है, तो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

संक्षेप में, रेखाओं की समांतरता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त एक ऐसी स्थिति है, जिसका पालन करना आवश्यक और पर्याप्त है ताकि रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर हों। एक ओर, यह समानता का संकेत है, दूसरी ओर, समानांतर रेखाओं में निहित संपत्ति।

आवश्यक और पर्याप्त शर्तों का एक सटीक सूत्रीकरण देने से पहले, हम कुछ और अतिरिक्त अवधारणाओं को याद करते हैं।

परिभाषा 3

छेदक रेखाएक ऐसी रेखा है जो दी गई दो गैर-संपाती रेखाओं में से प्रत्येक को प्रतिच्छेद करती है।

दो सीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करते हुए छेदक आठ गैर-विस्तारित कोण बनाता है। आवश्यक और पर्याप्त स्थिति तैयार करने के लिए, हम इस तरह के कोणों का उपयोग करेंगे जैसे कि क्रॉस-लेटिंग, संगत और एकतरफा। आइए उन्हें दृष्टांत में प्रदर्शित करें:

प्रमेय 2

यदि एक समतल पर दो रेखाएँ एक छेदक को काटती हैं, तो दी गई रेखाओं के समानांतर होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि क्रॉसवाइज झूठ कोण समान हों, या संबंधित कोण समान हों, या एक तरफा कोणों का योग 180 के बराबर हो। डिग्री।

आइए हम समतल पर समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति को आलेखीय रूप से चित्रित करें:

इन स्थितियों का प्रमाण 7-9 ग्रेड के ज्यामिति कार्यक्रम में मौजूद है।

सामान्य तौर पर, ये शर्तें त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए भी लागू होती हैं, बशर्ते कि दो रेखाएं और छेदक एक ही विमान से संबंधित हों।

आइए हम कुछ और प्रमेयों की ओर संकेत करें जिनका उपयोग अक्सर इस तथ्य को साबित करने के लिए किया जाता है कि रेखाएँ समानांतर हैं।

प्रमेय 3

एक तल में, एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। यह विशेषता ऊपर वर्णित समांतरता के स्वयंसिद्ध के आधार पर सिद्ध होती है।

प्रमेय 4

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक तिहाई के समानांतर दो रेखाएं एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

विशेषता के प्रमाण का अध्ययन 10वीं कक्षा के ज्यामिति कार्यक्रम में किया जाता है।

हम इन प्रमेयों का एक उदाहरण देते हैं:

आइए हम प्रमेयों के एक और युग्म को इंगित करें जो रेखाओं की समांतरता को सिद्ध करते हैं।

प्रमेय 5

एक तल में, एक तिहाई के लंबवत दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

आइए हम त्रि-विमीय समष्टि के लिए एक समान सूत्र तैयार करें।

प्रमेय 6

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, एक तिहाई के लंबवत दो रेखाएं एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

आइए बताते हैं:

उपरोक्त सभी प्रमेयों, संकेतों और शर्तों से ज्यामिति की विधियों द्वारा रेखाओं की समांतरता को आसानी से सिद्ध करना संभव हो जाता है। अर्थात्, रेखाओं की समांतरता को सिद्ध करने के लिए, कोई यह दिखा सकता है कि संगत कोण बराबर हैं, या इस तथ्य को प्रदर्शित कर सकते हैं कि दो दी गई रेखाएँ तीसरे के लंबवत हैं, और इसी तरह आगे भी। लेकिन हम ध्यान दें कि समतल या त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं की समानांतरता को साबित करने के लिए समन्वय विधि का उपयोग करना अक्सर अधिक सुविधाजनक होता है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाओं का समांतरता

किसी दिए गए आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक सीधी रेखा को एक संभावित प्रकार के समतल पर एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है। इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक आयताकार समन्वय प्रणाली में दी गई एक सीधी रेखा अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के कुछ समीकरणों से मेल खाती है।

आइए, दी गई रेखाओं का वर्णन करने वाले समीकरण के प्रकार के आधार पर, एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में रेखाओं की समांतरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें लिखें।

आइए समतल में समानांतर रेखाओं की स्थिति से शुरू करें। यह रेखा के दिशा सदिश और समतल में रेखा के सामान्य सदिश की परिभाषा पर आधारित है।

प्रमेय 7

दो गैर-संयोग रेखाओं के समतल पर समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि दी गई रेखाओं के दिशा सदिश संरेखी हों, या दी गई रेखाओं के सामान्य सदिश संरेख हों, या एक रेखा का दिशा सदिश है दूसरी रेखा के सामान्य वेक्टर के लंबवत।

यह स्पष्ट हो जाता है कि समतल पर समांतर रेखाओं की स्थिति संरेखी सदिशों की स्थिति या दो सदिशों के लंबवतता की स्थिति पर आधारित होती है। अर्थात्, यदि a → = (a x , a y) और b → = (b x , b y) रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं;

और n b → = (n b x , n b y) रेखाओं a और b के प्रसामान्य सदिश हैं, तो हम उपरोक्त आवश्यक और पर्याप्त शर्त इस प्रकार लिखते हैं: a → = t b → a x = t b x a y = t b y या n a → = t n b → n a x = t n b x n a y = t n b y या a → , n b → = 0 a x n b x + a y n b y = 0 , जहां t कुछ वास्तविक संख्या है। निर्देशन या प्रत्यक्ष सदिशों के निर्देशांक रेखाओं के दिए गए समीकरणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। आइए मुख्य उदाहरणों पर विचार करें।

1. एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में रेखा a को रेखा के सामान्य समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; लाइन बी - ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 = 0। तब दी गई रेखाओं के प्रसामान्य सदिशों में क्रमशः निर्देशांक (A 1, B 1) और (A 2 , B 2) होंगे। हम समांतरता की स्थिति को इस प्रकार लिखते हैं:

ए 1 = टी ए 2 बी 1 = टी बी 2

1. सीधी रेखा a को y = k 1 x + b 1 के रूप की ढलान वाली एक सीधी रेखा के समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है। सीधी रेखा b - y \u003d k 2 x + b 2. तब दी गई रेखाओं के प्रसामान्य सदिशों में क्रमशः निर्देशांक (k 1 , - 1) और (k 2 , - 1) होंगे, और हम समांतरता की स्थिति इस प्रकार लिखते हैं:

के 1 = टी के 2 - 1 = टी (- 1) के 1 = टी के 2 टी = 1 के 1 = के 2

इस प्रकार, यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक समतल पर समानांतर रेखाएँ ढलान गुणांक वाले समीकरणों द्वारा दी जाती हैं, तो दी गई रेखाओं के ढलान गुणांक बराबर होंगे। और विलोम कथन सत्य है: यदि एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर गैर-संपाती रेखाएं समान ढलान गुणांक वाली रेखा के समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती हैं, तो ये दी गई रेखाएं समानांतर होती हैं।

1. एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रेखाएँ a और b समतल पर रेखा के विहित समीकरणों द्वारा दी जाती हैं: x - x 1 a x = y - y 1 a y और x - x 2 b x = y - y 2 b y या पैरामीट्रिक समीकरण समतल पर रेखा का: x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y और x = x 2 + b x y = y 2 + b y ।

तब दी गई रेखाओं के दिशा सदिश होंगे: a x , a y और b x , b y क्रमशः, और हम समांतरता की स्थिति को इस प्रकार लिखते हैं:

ए एक्स = टी बी एक्स ए वाई = टी बी वाई

आइए उदाहरण देखें।

उदाहरण 1

दो पंक्तियाँ दी गई हैं: 2 x - 3 y + 1 = 0 और x 1 2 + y 5 = 1। आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या वे समानांतर हैं।

समाधान

हम एक सामान्य समीकरण के रूप में एक सीधी रेखा के समीकरण को खंडों में लिखते हैं:

x 1 2 + y 5 = 1 2 x + 1 5 y - 1 = 0

हम देखते हैं कि n a → = (2 , - 3) रेखा 2 x - 3 y + 1 = 0 का प्रसामान्य सदिश है और n b → = 2 , 1 5 रेखा x 1 2 + y 5 का प्रसामान्य सदिश है। = 1।

परिणामी सदिश संरेख नहीं हैं, क्योंकि t का ऐसा कोई मान नहीं है जिसके लिए समानता सत्य होगी:

2 = टी 2 - 3 = टी 1 5 टी = 1 - 3 = टी 1 5 ⇔ टी = 1 - 3 = 1 5

इस प्रकार, समतल पर रेखाओं की समांतरता की आवश्यक और पर्याप्त स्थिति संतुष्ट नहीं होती है, जिसका अर्थ है कि दी गई रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

उत्तर:दी गई रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

उदाहरण 2

दी गई रेखाएँ y = 2 x + 1 और x 1 = y - 4 2। क्या वे समानांतर हैं?

समाधान

आइए सीधी रेखा x 1 \u003d y - 4 2 के विहित समीकरण को ढलान के साथ एक सीधी रेखा के समीकरण में बदलें:

x 1 = y - 4 2 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

हम देखते हैं कि रेखाओं y = 2 x + 1 और y = 2 x + 4 के समीकरण समान नहीं हैं (यदि यह अन्यथा होता, तो रेखाएँ समान होती) और रेखाओं के ढलान समान होते हैं, जिसका अर्थ है कि दी गई रेखाएँ समानांतर हैं।

आइए समस्या को अलग तरीके से हल करने का प्रयास करें। सबसे पहले, हम जांचते हैं कि दी गई रेखाएं मेल खाती हैं या नहीं। हम रेखा y \u003d 2 x + 1 के किसी भी बिंदु का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, (0, 1) , इस बिंदु के निर्देशांक रेखा x 1 \u003d y - 4 2 के समीकरण के अनुरूप नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि रेखाएं मेल नहीं खातीं।

अगला चरण दी गई रेखाओं के लिए समांतरता शर्त की पूर्ति का निर्धारण करना है।

रेखा y = 2 x + 1 का सामान्य सदिश सदिश n a → = (2 , - 1) है, और दूसरी दी गई रेखा का दिशा सदिश b → = (1 , 2) है। इन सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य है:

एन ए →, बी → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

इस प्रकार, सदिश लंबवत हैं: यह हमें मूल रेखाओं के समानांतर होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त की पूर्ति को प्रदर्शित करता है। वे। दी गई रेखाएँ समानांतर हैं।

उत्तर:ये रेखाएँ समानांतर हैं।

त्रिविमीय समष्टि के आयताकार निर्देशांक तंत्र में रेखाओं की समांतरता सिद्ध करने के लिए निम्नलिखित आवश्यक एवं पर्याप्त शर्त का प्रयोग किया जाता है।

प्रमेय 8

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो गैर-संयोग रेखाओं के समानांतर होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इन रेखाओं के दिशा सदिश संरेख हों।

वे। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं के दिए गए समीकरणों के लिए, प्रश्न का उत्तर: क्या वे समानांतर हैं या नहीं, दी गई रेखाओं के दिशा वैक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने के साथ-साथ उनकी संरेखता की स्थिति की जांच करके पाया जाता है। दूसरे शब्दों में, यदि a → = (a x, a y, a z) और b → = (b x, b y, b z) क्रमशः रेखाओं a और b के दिशा सदिश हैं, तो उनके समानांतर होने के क्रम में, अस्तित्व ऐसी वास्तविक संख्या t आवश्यक है, ताकि समानता बनी रहे:

a → = t b → a x = t b x a y = t b y a z = t b z

उदाहरण 3

दी गई रेखाएँ x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 और x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 । इन पंक्तियों की समानता को सिद्ध करना आवश्यक है।

समाधान

समस्या की शर्तें अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के विहित समीकरण और अंतरिक्ष में दूसरी सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण हैं। दिशा वैक्टर ए → और b → दी गई रेखाओं के निर्देशांक हैं: (1 , 0 , - 3) और (2 , 0 , - 6) ।

1 = टी 2 0 = टी 0 - 3 = टी - 6 ⇔ टी = 1 2, फिर ए → = 1 2 बी →।

इसलिए, अंतरिक्ष में समानांतर रेखाओं के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त संतुष्ट है।

उत्तर:दी गई रेखाओं की समानता सिद्ध होती है।

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समानांतर रेखाएं। समानांतर रेखाओं के गुण और चिन्ह

1. समानांतर का स्वयंसिद्ध। किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से, दिए गए बिंदु के समानांतर अधिकतम एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

2. यदि दो रेखाएँ एक ही रेखा के समानांतर हों, तो वे एक-दूसरे के समानांतर होती हैं।

3. एक ही रेखा पर लंबवत दो रेखाएँ समानांतर हैं।

4. यदि दो समान्तर रेखाओं को एक तिहाई काट दिया जाए, तो एक ही समय में बने आंतरिक अनुप्रस्थ कोण बराबर होते हैं; संगत कोण बराबर हैं; आंतरिक एक तरफा कोण 180° तक जोड़ते हैं।

5. यदि दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर तीसरी रेखा समान आंतरिक अनुप्रस्थ कोण बनाती है, तो सीधी रेखाएँ समानांतर होती हैं।

6. यदि दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर तीसरा समान कोण बनाता है, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।

7. यदि तीसरी की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर आंतरिक एक तरफा कोणों का योग 180° हो, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।

थेल्स प्रमेय. यदि कोण के एक तरफ समान खंड रखे जाते हैं और कोण के दूसरे पक्ष को प्रतिच्छेद करते हुए उनके सिरों से समानांतर सीधी रेखाएं खींची जाती हैं, तो कोण के दूसरे पक्ष पर भी समान खंड जमा किए जाएंगे।

आनुपातिक खंडों पर प्रमेय. कोण की भुजाओं को प्रतिच्छेद करने वाली समांतर सीधी रेखाएँ उन पर समानुपाती खंडों को काटती हैं।

त्रिभुज। त्रिभुजों की समानता के लक्षण.

1. यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

2. यदि एक त्रिभुज की भुजा और उसके आसन्न दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की भुजा और उसके आसन्न दो कोणों के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

3. यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

समकोण त्रिभुजों की समानता के लक्षण

1. दो पैरों पर।

2. पैर और कर्ण के साथ।

3. कर्ण और न्यून कोण से।

4. पैर और एक न्यून कोण के साथ।

त्रिभुज के कोणों के योग और उसके परिणामों पर प्रमेय

1. त्रिभुज के अंतः कोणों का योग 180° होता है।

2. एक त्रिभुज का बाह्य कोण दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है जो उससे सटे नहीं होते हैं।

3. एक उत्तल n-gon के अंतः कोणों का योग होता है

4. एक गैगोन के बाह्य कोणों का योग 360° होता है।

5. परस्पर लंबवत भुजाओं वाले कोण बराबर होते हैं यदि वे दोनों न्यूनकोण हों या दोनों अधिक कोण हों।

6. आसन्न कोणों के समद्विभाजक के बीच का कोण 90° है।

7. समांतर रेखाओं वाले आंतरिक एकतरफा कोणों के समद्विभाजक और एक छेदक लंबवत होते हैं।

समद्विबाहु त्रिभुज के मुख्य गुण और चिन्ह

1. एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार पर कोण बराबर होते हैं।

2. यदि किसी त्रिभुज के दो कोण बराबर हों, तो वह समद्विबाहु होता है।

3. एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार पर खींची गई माध्यिका, समद्विभाजक और ऊँचाई समान होती है।

4. यदि त्रिक - माध्यिका, समद्विभाजक, ऊँचाई - से खंडों का कोई युग्म किसी त्रिभुज में संपाती हो, तो वह समद्विबाहु होता है।

त्रिभुज असमानता और उसके परिणाम

1. किसी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग उसकी तीसरी भुजा से अधिक होता है।

2. टूटी हुई रेखा की कड़ियों का योग शुरुआत को जोड़ने वाले खंड से अधिक होता है

आखिरी के अंत के साथ पहला लिंक।

3. त्रिभुज के बड़े कोण के सम्मुख बड़ी भुजा होती है।

4. त्रिभुज की बड़ी भुजा के सामने बड़ा कोण होता है।

5. एक समकोण त्रिभुज का कर्ण पैर से बड़ा होता है।

6. यदि एक बिंदु से एक सीधी रेखा पर लंब और झुके हुए खींचे जाते हैं, तो

1) लंबवत झुकाव वाले से छोटा है;

2) एक बड़ा ढलान एक बड़े प्रक्षेपण से मेल खाता है और इसके विपरीत।

त्रिभुज की मध्य रेखा।

त्रिभुज की दोनों भुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाले रेखाखण्ड को त्रिभुज की मध्य रेखा कहते हैं।

त्रिभुज मध्य रेखा प्रमेय.

त्रिभुज की माध्यिका रेखा त्रिभुज की भुजा के समांतर होती है और उसके आधे के बराबर होती है।

त्रिभुज माध्यिका प्रमेय

1. एक त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और इसे ऊपर से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती हैं।

2. यदि किसी त्रिभुज की माध्यिका उस भुजा के आधे के बराबर हो जिससे वह खींचा गया है, तो त्रिभुज समकोण होता है।

3. समकोण के शीर्ष से खींचे गए समकोण त्रिभुज की माध्यिका कर्ण के आधे के बराबर होती है।

त्रिभुज की भुजाओं पर लम्ब समद्विभाजक का गुणधर्म. त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत द्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त का केंद्र है।

त्रिभुज ऊंचाई प्रमेय. त्रिभुज की ऊँचाई वाली रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

त्रिभुज द्विभाजक प्रमेय. त्रिभुज के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो त्रिभुज में उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र होता है।

त्रिभुज का समद्विभाजक गुण. एक त्रिभुज का समद्विभाजक अपनी भुजा को अन्य दो भुजाओं के समानुपाती खंडों में विभाजित करता है।

त्रिभुजों की समानता के लक्षण

1. यदि एक त्रिभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे के दो कोणों के बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

2. यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ क्रमशः दूसरे की दो भुजाओं के समानुपाती हों और इन भुजाओं के बीच लगे कोण बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

3. यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीनों भुजाओं के समानुपाती हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफल

1. समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है।

2. यदि दो त्रिभुजों के कोण समान हैं, तो उनके क्षेत्रफल इन कोणों को घेरने वाली भुजाओं के गुणनफल के रूप में संबंधित हैं।

एक समकोण त्रिभुज में

1. एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण के गुणनफल के बराबर होता है और इस पैर से सटे तीव्र कोण के विपरीत या कोज्या की ज्या होती है।

2. एक समकोण त्रिभुज का पाद दूसरे पैर के बराबर होता है, जो इस टांग से सटे न्यूनकोण की स्पर्शरेखा या विपरीत कोण की स्पर्श रेखा से गुणा होता है।

3. 30° के कोण के सम्मुख स्थित एक समकोण त्रिभुज की टांग कर्ण के आधे के बराबर होती है।

4. यदि एक समकोण त्रिभुज का पैर कर्ण के आधे के बराबर है, तो इस पैर के सामने का कोण 30° है।

5. आर =; g \u003d, जहाँ a, b पैर हैं, और c समकोण त्रिभुज का कर्ण है; r और R क्रमशः उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं।

पाइथागोरस प्रमेय और पाइथागोरस प्रमेय का विलोम

1. एक समकोण त्रिभुज के कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

2. यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग उसकी अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, तो वह त्रिभुज समकोण होता है।

एक समकोण त्रिभुज में माध्य आनुपातिक।

एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई, जो समकोण के शीर्ष से खींची गई है, कर्ण पर टाँगों के अनुमानों का औसत आनुपातिक है, और प्रत्येक पैर कर्ण का औसत आनुपातिक है और कर्ण पर इसका प्रक्षेपण है।

त्रिभुज में मीट्रिक अनुपात

1. कोज्या का प्रमेय। एक त्रिभुज की एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, उन भुजाओं के गुणनफल को उनके बीच के कोण के कोज्या से दोगुना किए बिना।

2. कोज्या प्रमेय से परिणाम। एक समांतर चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों का योग उसकी सभी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।

3. त्रिभुज की माध्यिका का सूत्र। यदि m भुजा c की ओर खींचे गए त्रिभुज की माध्यिका है, तो m = जहाँ a और b त्रिभुज की शेष भुजाएँ हैं।

4. साइन प्रमेय। त्रिभुज की भुजाएँ सम्मुख कोणों की ज्याओं के समानुपाती होती हैं।

5. सामान्यीकृत साइन प्रमेय। त्रिभुज की एक भुजा का सम्मुख कोण की ज्या से अनुपात त्रिभुज के परिगत वृत्त के व्यास के बराबर होता है।

त्रिभुज क्षेत्र सूत्र

1. त्रिभुज का क्षेत्रफल आधार और ऊँचाई के गुणनफल का आधा होता है।

2. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी दो भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।

3. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके अर्धपरिमापी के गुणनफल और खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के बराबर होता है।

4. एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी तीन भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है जो परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या के चार गुना से विभाजित होता है।

5. बगुला का सूत्र: S=, जहाँ p अर्धपरिमापी है; ए, बी, सी - त्रिभुज की भुजाएँ।

एक समबाहु त्रिभुज के तत्व. मान लीजिए h, S, r, R भुजा a के साथ एक समबाहु त्रिभुज के उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों की ऊँचाई, क्षेत्रफल, त्रिज्या है। फिर
चतुर्भुज

समांतर चतुर्भुज। एक समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी विपरीत भुजाएँ जोड़ीदार समानांतर होती हैं।

समांतर चतुर्भुज के गुण और विशेषताएं.

1. विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो बराबर त्रिभुजों में विभाजित करता है।

2. एक समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ युग्मों में बराबर होती हैं।

3. समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण युग्मों में बराबर होते हैं।

4. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु को समद्विभाजित करते हैं।

5. यदि किसी चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ युग्मों में बराबर हों, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।

6. यदि किसी चतुर्भुज की दो सम्मुख भुजाएँ समान और समांतर हों, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।

7. यदि किसी चतुर्भुज के विकर्णों को प्रतिच्छेद बिंदु से समद्विभाजित किया जाता है, तो यह चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।

चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिन्दुओं का गुणधर्म. किसी भी चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु उस समांतर चतुर्भुज के शीर्ष होते हैं जिसका क्षेत्रफल चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।

आयत।एक आयत एक समकोण के साथ एक समांतर चतुर्भुज है।

एक आयत के गुण और चिन्ह।

1. एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।

2. यदि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो यह समांतर चतुर्भुज एक आयत होता है।

वर्ग।वर्ग एक आयत है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।

समचतुर्भुज।एक समचतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।

एक रोम्बस के गुण और संकेत।

1. समचतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं।

2. एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके कोनों को समद्विभाजित करते हैं।

3. यदि एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत हैं, तो यह समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है।

4. यदि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण उसके कोणों को आधे में विभाजित करते हैं, तो यह समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है।

ट्रेपेज़।एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें केवल दो विपरीत पक्ष (आधार) समानांतर होते हैं। ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा गैर-समानांतर पक्षों (पार्श्व पक्षों) के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला एक खंड है।

1. समलम्ब चतुर्भुज की मध्य रेखा आधारों के समानांतर और उनके आधे योग के बराबर होती है।

2. समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड आधारों के आधे अंतर के बराबर होता है।

एक समलम्ब चतुर्भुज की उल्लेखनीय संपत्ति. समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु, भुजाओं के विस्तारों का प्रतिच्छेदन बिंदु और आधारों के मध्य बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

समद्विबाहु समलम्बाकार. एक समलम्ब चतुर्भुज को समद्विबाहु कहा जाता है यदि इसकी भुजाएँ समान हों।

एक समद्विबाहु समलम्ब के गुण और लक्षण।

1. एक समद्विबाहु समलंब के आधार पर कोण बराबर होते हैं।

2. एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।

3. यदि समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर कोण बराबर हैं, तो यह समद्विबाहु है।

4. यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो वह समद्विबाहु होता है।

5. आधार पर समद्विबाहु समलम्बाकार के पार्श्व पक्ष का प्रक्षेपण आधारों के आधे अंतर के बराबर है, और विकर्ण का प्रक्षेपण आधारों के योग का आधा है।

चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्र

1. एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

2. एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं के गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।

3. एक आयत का क्षेत्रफल उसकी दो आसन्न भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है।

4. एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है।

5. एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।

6. एक चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के आधे गुणनफल और उनके बीच के कोण की ज्या के बराबर होता है।

7. एक चतुर्भुज के लिए बगुला का सूत्र जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है:

S \u003d, जहाँ a, b, c, d इस चतुर्भुज की भुजाएँ हैं, p अर्ध-परिधि है, और S क्षेत्रफल है।

इसी तरह के आंकड़े

1. समान आकृतियों के संगत रैखिक तत्वों का अनुपात समरूपता गुणांक के बराबर होता है।

2. समरूप आकृतियों के क्षेत्रफलों का अनुपात समरूपता गुणांक के वर्ग के बराबर होता है।

नियमित बहुभुज.

मान लीजिए कि n एक नियमित n-gon की भुजा है, और r n और R n उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं। फिर

घेरा।

एक वृत्त एक समतल में बिंदुओं का स्थान है जो किसी दिए गए बिंदु से समान धनात्मक दूरी पर होता है, जिसे वृत्त का केंद्र कहा जाता है।

वृत्त के मूल गुण

1. जीवा के लंबवत व्यास जीवा को विभाजित करता है और चापों को आधे में घटाता है।

2. एक जीवा के बीच से गुजरने वाला व्यास, जो व्यास नहीं है, उस जीवा के लंबवत होता है।

3. जीवा पर लंबवत माध्यिका वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।

4. समान जीवाओं को वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर हटा दिया जाता है।

5. एक वृत्त की जीवाएँ जो केंद्र से समान दूरी पर होती हैं, बराबर होती हैं।

6. वृत्त अपने किसी भी व्यास के संबंध में सममित है।

7. समांतर जीवाओं के बीच घिरे वृत्त के चाप बराबर होते हैं।

8. दो जीवाओं में से जो केंद्र से कम दूर है वह बड़ी है।

9. व्यास एक वृत्त की सबसे बड़ी जीवा है।

वृत्त की स्पर्श रेखा. वह रेखा जिसमें वृत्त के साथ एक ही बिंदु उभयनिष्ठ होता है, वृत्त की स्पर्श रेखा कहलाती है।

1. स्पर्शरेखा संपर्क बिंदु पर खींची गई त्रिज्या पर लंबवत होती है।

2. यदि वृत्त पर एक बिंदु से गुजरने वाली रेखा a इस बिंदु पर खींची गई त्रिज्या के लंबवत है, तो रेखा a वृत्त की स्पर्श रेखा है।

3. यदि बिंदु M से होकर जाने वाली रेखाएँ वृत्त को बिंदु A और B पर स्पर्श करती हैं, तो MA = MB और AMO = ZBMO, जहाँ बिंदु O वृत्त का केंद्र है।

4. एक कोण में अंकित वृत्त का केंद्र इस कोण के समद्विभाजक पर स्थित होता है।

स्पर्शरेखा वृत्त. दो वृत्तों को स्पर्श करने के लिए कहा जाता है यदि उनका एक ही उभयनिष्ठ बिंदु (स्पर्शरेखा बिंदु) हो।

1. दो वृत्तों का संपर्क बिंदु उनकी केंद्र रेखा पर स्थित होता है।

2. त्रिज्या r और R के केंद्र O 1 और O 2 के साथ बाहरी रूप से स्पर्श करते हैं यदि और केवल यदि R + r \u003d O 1 O 2।

3. त्रिज्या r और R के वृत्त (r .)

4. केंद्र O 1 और O 2 वाले वृत्त बिंदु K पर बाहरी रूप से स्पर्श करते हैं। कुछ सीधी रेखा इन वृत्तों को विभिन्न बिंदुओं A और B पर स्पर्श करती है और बिंदु K से बिंदु C पर गुजरने वाली एक सामान्य स्पर्शरेखा के साथ प्रतिच्छेद करती है। फिर ﮮAK B \u003d 90 ° और O 1 CO 2 \u003d 90 °।

5. त्रिज्या r और R के दो स्पर्शरेखा वृत्तों के उभयनिष्ठ बाह्य स्पर्शरेखा का खंड उभयनिष्ठ बाह्य स्पर्शरेखाओं के बीच संलग्न उभयनिष्ठ आंतरिक स्पर्शरेखा के खंड के बराबर होता है। ये दोनों खंड बराबर हैं।

वृत्त से जुड़े कोण

1. किसी वृत्त के चाप का मान उस पर आधारित केंद्रीय कोण के मान के बराबर होता है।

2. एक खुदा हुआ कोण उस चाप के कोणीय परिमाण के आधे के बराबर होता है जिस पर वह टिका होता है।

3. एक ही चाप पर आधारित उत्कीर्ण कोण बराबर होते हैं।

4. प्रतिच्छेदी जीवाओं के बीच का कोण जीवाओं द्वारा काटे गए विपरीत चापों के योग के आधे के बराबर होता है।

5. वृत्त के बाहर प्रतिच्छेद करने वाले दो छेदकों के बीच का कोण वृत्त पर छेदकों द्वारा काटे गए चापों के आधे अंतर के बराबर होता है।

6. संपर्क बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण इस जीवा द्वारा वृत्त पर काटे गए चाप के कोणीय मान के आधे के बराबर होता है।

वृत्त जीवाओं के गुण

1. दो प्रतिच्छेद करने वाले वृत्तों के केंद्रों की रेखा उनकी उभयनिष्ठ जीवा के लंबवत होती है।

2. बिंदु E पर प्रतिच्छेद करने वाले वृत्त की जीवाओं AB और CD के खंडों की लंबाई के गुणनफल समान हैं, अर्थात् AE EB \u003d CE ED।

अंकित और परिचालित मंडलियां

1. एक नियमित त्रिभुज के उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों के केंद्र संपाती होते हैं।

2. एक समकोण त्रिभुज के परिगत एक वृत्त का केंद्र कर्ण का मध्यबिंदु होता है।

3. यदि किसी वृत्त को किसी चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो उसकी सम्मुख भुजाओं का योग बराबर होता है।

4. यदि एक वृत्त में एक चतुर्भुज को अंकित किया जा सकता है, तो उसके सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।

5. यदि किसी चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° है, तो उसके चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है।

6. यदि एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित किया जा सकता है, तो समलम्ब चतुर्भुज का पार्श्व भाग वृत्त के केंद्र से समकोण पर दिखाई देता है।

7. यदि एक वृत्त को समलम्ब चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है, तो वृत्त की त्रिज्या उन खंडों का औसत समानुपाती होती है जिनमें स्पर्शरेखा बिंदु पार्श्व पक्ष को विभाजित करता है।

8. यदि एक वृत्त को बहुभुज में अंकित किया जा सकता है, तो इसका क्षेत्रफल बहुभुज के अर्धपरिमाप और इस वृत्त की त्रिज्या के गुणनफल के बराबर होता है।

स्पर्शरेखा और सेकेंट प्रमेय और उसके उपफल

1. यदि एक बिंदु से वृत्त पर एक स्पर्श रेखा और एक छेदक रेखा खींची जाती है, तो उसके बाहरी भाग से संपूर्ण छेदक का गुणनफल स्पर्शरेखा के वर्ग के बराबर होता है.

2. किसी दिए गए बिंदु और दिए गए वृत्त के लिए उसके बाहरी भाग द्वारा संपूर्ण छेदक का गुणनफल स्थिर होता है।

त्रिज्या R वाले एक वृत्त की परिधि C= 2πR . है

अध्याय III।
समानांतर रेखाएं

§ 35. दो सीधी रेखाओं की समानता के लक्षण।

यह प्रमेय कि एक रेखा पर दो लंबवत समानांतर हैं (§ 33) एक संकेत देता है कि दो रेखाएं समानांतर हैं। दो रेखाओं की समानता के अधिक सामान्य लक्षण प्राप्त करना संभव है।

1. समानता का पहला संकेत।

यदि, दो रेखाओं के एक तिहाई के साथ प्रतिच्छेदन पर, अंतः कोण समान हों, तो ये रेखाएँ समानांतर होती हैं।

माना रेखाएँ AB और CD रेखा EF और . को प्रतिच्छेद करती हैं / 1 = / 2. बिंदु O - सेकेंट EF के खंड KL के मध्य को लें (चित्र 189)।

आइए हम लंब OM को बिंदु O से रेखा AB पर छोड़ते हैं और इसे तब तक जारी रखते हैं जब तक कि यह रेखा CD, AB_|_MN के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। आइए हम सिद्ध करें कि CD_|_MN.
ऐसा करने के लिए, दो त्रिभुजों पर विचार करें: एमओई और एनओके। ये त्रिभुज एक दूसरे के बराबर होते हैं। वास्तव में: / 1 = / 2 प्रमेय की स्थिति से; OK = OL - निर्माण द्वारा;
/ एमओएल = / ऊर्ध्वाधर कोनों के रूप में NOK। इस प्रकार, एक त्रिभुज की भुजा और उसके निकट के दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की भुजा और उसके आसन्न दो कोणों के बराबर होते हैं; फलस्वरूप, /\ एमओएल = /\ NOK, और इसलिए
/ एलएमओ = / पता है लेकिन / एलएमओ प्रत्यक्ष है, इसलिए, और / KNO भी प्रत्यक्ष है। इस प्रकार, रेखाएँ AB और CD एक ही रेखा MN पर लंबवत हैं, इसलिए वे समानांतर (§ 33) हैं, जिसे सिद्ध करना था।

टिप्पणी। MO और CD रेखाओं का प्रतिच्छेदन त्रिभुज MOL को बिंदु O के चारों ओर 180° घुमाकर स्थापित किया जा सकता है।

2. समांतरता का दूसरा संकेत।

आइए देखें कि क्या रेखाएँ AB और CD समांतर हैं, यदि उनकी तीसरी रेखा EF के प्रतिच्छेदन पर संगत कोण बराबर हों।

मान लीजिए कि कुछ संगत कोण बराबर हैं, उदाहरण के लिए / 3 = / 2 (देव। 190);
/ 3 = / 1, क्योंकि कोने लंबवत हैं; साधन, / 2 बराबर होगा / 1. लेकिन कोण 2 और 1 आंतरिक क्रॉसवाइज झूठ कोण हैं, और हम पहले से ही जानते हैं कि यदि दो रेखाओं के एक तिहाई के चौराहे पर, आंतरिक क्रॉसवाइज झूठ बोलने वाले कोण बराबर हैं, तो ये रेखाएं समानांतर हैं। इसलिए, एबी || सीडी.

यदि तीसरी की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर संगत कोण बराबर हों, तो ये दोनों रेखाएँ समानांतर होती हैं।

एक रूलर और एक आरेखण त्रिभुज की सहायता से समानांतर रेखाओं का निर्माण इसी गुण पर आधारित होता है। यह अग्रानुसार होगा।

आइए हम त्रिभुज को रूलर से जोड़ते हैं जैसा कि चित्र 191 में दिखाया गया है। हम त्रिभुज को इस तरह से घुमाएंगे कि इसकी एक भुजा रूलर के साथ स्लाइड करे, और त्रिभुज के किसी अन्य पक्ष के साथ कई सीधी रेखाएँ खींचे। ये रेखाएं समानांतर होंगी।

3. समांतरता का तीसरा संकेत।

बता दें कि तीसरी रेखा से दो रेखाओं AB और CD के प्रतिच्छेदन पर किसी भी आंतरिक एक तरफा कोणों का योग 2 के बराबर होता है। डी(या 180°)। क्या इस स्थिति में रेखाएँ AB और CD समानांतर होंगी (चित्र 192)।

होने देना / 1 और / 2 आंतरिक एक तरफा कोण और 2 . तक जोड़ें डी.
परंतु / 3 + / 2 = 2डीआसन्न कोणों के रूप में। फलस्वरूप, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

यहाँ से / 1 = / 3, और ये कोने आंतरिक रूप से तिरछे पड़े हैं। इसलिए, एबी || सीडी.

यदि दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एक तिहाई से, आंतरिक एकतरफा कोणों का योग बराबर है 2 d, तो दो रेखाएँ समानांतर हैं।

एक व्यायाम।

सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ समानांतर हैं:
ए) यदि बाहरी क्रॉस-झूठ कोण बराबर हैं (चित्र। 193);
बी) यदि बाहरी एकतरफा कोणों का योग 2 . है डी(शैतान 194)।