एक यादृच्छिक चर की अवधारणा। यादृच्छिक चर का वितरण नियम

यादृच्छिक चर (संक्षिप्त: r.v.) को बड़े लैटिन अक्षरों X, Y, द्वारा दर्शाया जाता है। जेड,...(या लोअरकेस ग्रीक अक्षर ξ (xi), η (यह), (थीटा), (साई), आदि), और उनके द्वारा लिए गए मान, क्रमशः छोटे अक्षरों में x 1 , एक्स 2 ,…, 1 , दो पर , 3 …

उदाहरणसाथ। में। सेवा कर सकते हैं: 1) एक्स- पासा फेंकते समय दिखाई देने वाले अंकों की संख्या; 2) वाई - लक्ष्य पर पहली हिट से पहले शॉट्स की संख्या; 3) जेड- डिवाइस का अपटाइम, आदि। (मानव ऊंचाई, डॉलर विनिमय दर, एक बैच में दोषपूर्ण भागों की संख्या, हवा का तापमान, खिलाड़ी का लाभ, एक बिंदु का समन्वय अगर इसे बेतरतीब ढंग से चुना जाता है, कंपनी का लाभ, ...)।

यादृच्छिक चर XΏ वू

एक्स (डब्ल्यू), यानी। एक्स= एक्स (डब्ल्यू), डब्ल्यू(या एक्स = एफ(डब्ल्यू)) (31)

उदाहरण 1। एक सिक्के को 2 बार उछालने का अनुभव होता है। PES =( w 1 , w 2 , w 3 , w 4 ) पर, जहाँ w 1 = जीजी, डब्ल्यू 2 = जीआर, डब्ल्यू 3 = आरजी, डब्ल्यू 4 = आरआर, आप के साथ विचार कर सकते हैं। में। एक्स- हथियारों के कोट के दिखावे की संख्या। एस. वी. एक्सप्रारंभिक घटना का एक कार्य है w i :एक्स(डब्ल्यू 1 ) = 2, एक्स(डब्ल्यू 2 ) = 1, एक्स(डब्ल्यू 3 ) = 1, एक्स(डब्ल्यू 4 )= 0; एक्स- डी.एस. में। मान x 1 . के साथ = 0,x2 =1 , एक्स 3 = 2.

एक्स (डब्ल्यू) एसपी (ए) = पी (एक्स .)< एक्स)।

एक्स- डी.एस. में।,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…

पी मैं,कहाँ पे मैं = 1,2,3, ..., एन, ...।

वितरण कानूनडी.एस. में। पी मैं = पी (एक्स = एक्स आई}, मैं = 1,2,3,...,एन,...,

साथ। में। एक्सएक्स मैं । :

एक्स	एक्स 1	x2	….	एक्स एन	…
पी	p1	p2	….	पी नहीं	…

घटनाओं के बाद से (एक्स =एक्स 1 ), (एक्स =एक्स 2 ),…, (एक्स =एक्स एन), यानी। .

(एक्स 1 , p1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) कहलाते हैं बहुभुज(या बहुभुज) वितरण(अंजीर देखें। 17)।

यादृच्छिक मूल्य एक्स असतत है,यदि संख्याओं का एक परिमित या गणनीय सेट है x 1 , x2 , ..., x n ऐसा है कि पी (एक्स =एक्स मैं) = पी मैं > 0 (मैं = 1,2,...) पी 1 + p2 + पी 3 +…= 1 (32)

जोड़डी.एस. में। X, जो प्रायिकताओं के साथ x i मान लेता है p i = (Х = x i ), i = 1,2,3,...,n, और d.s. में। Y, y j को प्रायिकताओं के साथ लेते हुए p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, को d.s कहा जाता है। में। Z = X + Y, सभी निर्दिष्ट मानों के लिए z ij = x i + y j को प्रायिकताओं के साथ लेते हुए p ij = Р(Х = x i,Y = y j) मैंऔर जे. यदि कुछ योग x i + y j संपाती हों, तो संगत प्रायिकताएँ जोड़ी जाती हैं।

अंतरडी.एस. में। X, जो प्रायिकताओं के साथ x i मान लेता है p i = (Х = x i ), i = 1,2,3,...,n, और d.s. में। Y, y j को प्रायिकताओं के साथ लेते हुए p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, को d.s कहा जाता है। में। Z = X - Y, सभी निर्दिष्ट मानों के लिए z ij = x i - y j को प्रायिकताओं के साथ लेते हुए p ij = (Х = x i ,Y = y j) मैंऔर जे. यदि कुछ अंतर x i - y j संपाती हों, तो संगत प्रायिकताएँ जोड़ी जाती हैं।

कामडी.एस. में। X, जो प्रायिकताओं के साथ x i मान लेता है p i = (Х = x i ), i = 1,2,3,...,n, और d.s. में। Y, y j को प्रायिकताओं के साथ लेते हुए p i = P(Y = y j ), j = 1,2,3,...,m, को d.s कहा जाता है। में। Z = X × Y, सभी निर्दिष्ट मानों के लिए z ij = x i × y j को प्रायिकताओं के साथ लेते हुए p ij = (Х = x i ,Y = y j) मैंऔर जे. यदि कुछ गुणनफल x i × y j संपाती हों, तो संगत प्रायिकताएँ जोड़ी जाती हैं।

डी.एस. में। сХ, с x i р i = Р(Х = x i )।

X और Y घटनाएँ (X = x i ) = i और (Y = y j ) = В j किसी भी i= 1,2,...,n के लिए स्वतंत्र हैं; जे = एल,2,...,एम, यानी,

पी (एक्स = एक्स आई; वाई = वाई जे) = पी (एक्स = एक्स आई) × पी (वाई = वाई जे) (33)

उदाहरण 2एक कलश में 8 गेंदें होती हैं, जिनमें से 5 सफेद और शेष काली होती हैं। इसमें से यादृच्छिक रूप से 3 गेंदें निकाली जाती हैं। नमूने में सफेद गेंदों की संख्या के लिए वितरण कानून खोजें।

यादृच्छिक मूल्य एक मात्रा है, जो प्रयोग के परिणामस्वरूप, पहले से अज्ञात मान लेती है।

व्याख्यान में भाग लेने वाले छात्रों की संख्या।

चालू माह में कमीशन किए गए घरों की संख्या।

परिवेश का तापमान।

एक विस्फोट प्रक्षेप्य के एक टुकड़े का वजन।

यादृच्छिक चर असतत और निरंतर में विभाजित हैं।

असतत (असंतत) एक यादृच्छिक चर कहा जाता है जो कुछ संभावनाओं के साथ अलग-अलग मूल्यों को अलग करता है।

असतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संख्या परिमित या गणनीय हो सकती है।

निरंतर एक यादृच्छिक चर कहलाता है जो किसी परिमित या अनंत अंतराल से कोई भी मान ले सकता है।

जाहिर है, एक सतत यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों की संख्या अनंत है।

दिए गए उदाहरणों में: 1 और 2 असतत यादृच्छिक चर हैं, 3 और 4 निरंतर यादृच्छिक चर हैं।

भविष्य में, "यादृच्छिक चर" शब्दों के बजाय हम अक्सर संक्षिप्त नाम c का उपयोग करेंगे। में।

एक नियम के रूप में, यादृच्छिक चर को बड़े अक्षरों और उनके संभावित मूल्यों को छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाया जाएगा।

संभाव्यता सिद्धांत की मूल अवधारणाओं की सेट-सैद्धांतिक व्याख्या में, एक यादृच्छिक चर एक्स एक प्राथमिक घटना का एक कार्य है: एक्स = (ω), जहां अंतरिक्ष (ω ) से संबंधित एक प्राथमिक घटना है। इस मामले में, सी के संभावित मूल्यों का सेट । में। X में वे सभी मान होते हैं जो फ़ंक्शन (ω) लेता है।

यादृच्छिक चर के वितरण का नियम किसी भी नियम (तालिका, फ़ंक्शन) को कहा जाता है जो आपको यादृच्छिक चर से जुड़े सभी प्रकार की घटनाओं की संभावनाओं को खोजने की अनुमति देता है (उदाहरण के लिए, संभावना है कि यह कुछ मूल्य लेगा या कुछ अंतराल में गिर जाएगा)।

यादृच्छिक चर के वितरण के नियमों को स्थापित करने के रूप। वितरण रेंज।

यह शीर्ष पंक्ति में एक तालिका है जिसमें यादृच्छिक चर X के सभी संभावित मान आरोही क्रम में सूचीबद्ध हैं: x 1, x 2, ..., x n, और नीचे - इन मानों की संभावनाएं : पी 1, पी 2, ..., पी एन, जहां पी मैं \u003d पी (एक्स \u003d एक्स आई)।

चूँकि घटनाएँ (X \u003d x 1), (X \u003d x 2), ... असंगत हैं और एक पूर्ण समूह बनाती हैं, वितरण श्रृंखला की निचली पंक्ति में सभी संभावनाओं का योग एक के बराबर है

वितरण श्रृंखला का उपयोग केवल असतत यादृच्छिक चर के लिए वितरण कानून निर्धारित करने के लिए किया जाता है।

वितरण बहुभुज

वितरण श्रृंखला के ग्राफिक प्रतिनिधित्व को वितरण बहुभुज कहा जाता है। इसे इस तरह बनाया गया है: प्रत्येक संभावित मूल्य के लिए c. में। x-अक्ष के लंबवत को पुनर्स्थापित किया जाता है, जिस पर दिए गए मान c की प्रायिकता प्लॉट की जाती है। में। स्पष्टता के लिए प्राप्त अंक (और केवल स्पष्टता के लिए!) रेखा खंडों से जुड़े हुए हैं।

संचयी वितरण फलन (या सिर्फ वितरण फलन)।

यह एक ऐसा फलन है, जो तर्क x के प्रत्येक मान के लिए संख्यात्मक रूप से इस प्रायिकता के बराबर है कि यादृच्छिक चर  तर्क x के मान से कम होगा।

वितरण फलन को F(x) द्वारा निरूपित किया जाता है: F(x) = P (X x)।

अब हम एक सतत यादृच्छिक चर की एक अधिक सटीक परिभाषा दे सकते हैं: एक यादृच्छिक चर को निरंतर कहा जाता है यदि इसका वितरण फलन एक सतत, टुकड़ावार अवकलनीय फलन है जिसमें एक सतत व्युत्पन्न है।

वितरण फ़ंक्शन c सेटिंग का सबसे बहुमुखी रूप है। में।, जिसका उपयोग असतत और निरंतर दोनों के वितरण के नियमों को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। में।

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आलेखीय रूप से, एक असतत मात्रा के वितरण का नियम एक तथाकथित वितरण बहुभुज के रूप में दिया जाता है।

वितरण श्रृंखला का ग्राफिक प्रतिनिधित्व (चित्र 5 देखें) वितरण बहुभुज कहलाता है।

एक असंतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को चिह्नित करने के लिए, एक श्रृंखला (तालिका) और एक वितरण बहुभुज का अक्सर उपयोग किया जाता है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में इसकी छवि के लिए, बिंदु (Y Pi) (x - i Pa) बनाए जाते हैं और रेखा खंडों से जुड़े होते हैं। वितरण बहुभुज एक यादृच्छिक चर के वितरण की प्रकृति का अनुमानित दृश्य प्रतिनिधित्व देता है।

स्पष्टता के लिए, एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को ग्राफिक रूप से भी चित्रित किया जा सकता है, जिसके लिए बिंदु (x /, p) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में बनाए जाते हैं, और फिर वे रेखा खंडों से जुड़े होते हैं। परिणामी आकृति को वितरण कहा जाता है बहुभुज।

एम (एक्सएन; पीएन) (एलएस - - एक्सटी पीआई के संभावित मूल्य - संबंधित संभावनाएं) और उन्हें लाइन सेगमेंट से कनेक्ट करें। परिणामी आकृति को वितरण बहुभुज कहा जाता है।

पासे पर अंकों के योग के प्रायिकता बंटन पर विचार करें। नीचे दिए गए आंकड़े एक, दो और तीन हड्डियों के मामले के लिए वितरण बहुभुज दिखाते हैं।

इस मामले में, एक यादृच्छिक वितरण बहुभुज के बजाय, एक वितरण घनत्व फ़ंक्शन का निर्माण किया जाता है, जिसे अंतर वितरण फ़ंक्शन कहा जाता है और यह एक अंतर वितरण कानून है। संभाव्यता सिद्धांत में, एक यादृच्छिक चर x (x Xr) के वितरण घनत्व को संभावना के अनुपात की सीमा के रूप में समझा जाता है कि x अंतराल (x, x - - Ax) से Ax में आता है, जब Al; शून्य हो जाता है। एक यादृच्छिक चर के वितरण को चिह्नित करने के लिए, विभेदक फ़ंक्शन के अलावा, अभिन्न वितरण फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है, जिसे अक्सर वितरण फ़ंक्शन या अभिन्न वितरण कानून कहा जाता है।

इस तरह के एक निर्माण के साथ, अंतराल में गिरने की सापेक्ष आवृत्ति हिस्टोग्राम के संबंधित स्तंभों के क्षेत्रों के बराबर होगी, जैसे कि संभावनाएं संबंधित वक्रीय समलम्बाकार के क्षेत्रों के बराबर होती हैं। y कभी-कभी, तुलना की स्पष्टता के लिए, एक वितरण बहुभुज बनाया गया है, जो श्रृंखला में हिस्टोग्राम सलाखों के ऊपरी आधारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ता है।

m को 0 से z तक भिन्न मान देकर, प्रायिकताएँ PQ, P RF - Pp प्राप्त की जाती हैं, जिन्हें आलेख पर आलेखित किया जाता है। दिया गया आर; i11, प्रायिकता बंटन का एक बहुभुज बनाइए।

असतत यादृच्छिक चर का वितरण कानून इसके संभावित मूल्यों और उनकी संभावनाओं के बीच कोई पत्राचार है। कानून को सारणीबद्ध रूप से (वितरण श्रृंखला), ग्राफिक रूप से (वितरण बहुभुज, आदि) और विश्लेषणात्मक रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।

वितरण वक्र का पता लगाना, दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक चर के वितरण को स्थापित करना, घटना की अधिक गहराई से जांच करना संभव बनाता है, जो इस विशेष वितरण श्रृंखला द्वारा पूरी तरह से व्यक्त होने से बहुत दूर है। एक आंशिक जनसंख्या के आधार पर निर्मित पाए गए समतल वितरण वक्र और वितरण बहुभुज दोनों को ड्राइंग पर प्रस्तुत करके, शोधकर्ता अध्ययन के तहत घटना में निहित विशिष्ट विशेषताओं को स्पष्ट रूप से देख सकता है। इसके कारण, सांख्यिकीय विश्लेषण घटना में कुछ नियमित परिवर्तन से देखे गए डेटा के विचलन पर शोधकर्ता का ध्यान रोकता है, और शोधकर्ता को इन विचलन के कारणों का पता लगाने के कार्य का सामना करना पड़ता है।

फिर, इस अंतराल में प्रवाह के साथ महीनों की संख्या के अनुरूप, अंतराल के बीच से एब्सिसास (पैमाने पर) खींचे जाते हैं। इन भुजों के सिरे जुड़े हुए हैं और इस प्रकार, एक बहुभुज, या वितरण बहुभुज प्राप्त होता है।

मान के निर्देशांक तल पर एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून का चित्रमय प्रतिनिधित्व देने वाले बिंदु - मूल्यों की संभावना, आमतौर पर रेखा खंडों से जुड़े होते हैं और परिणामी ज्यामितीय आकृति को वितरण बहुभुज कहा जाता है। अंजीर पर। तालिका 46 में 3 (साथ ही चित्र 4 और 5 में) केवल वितरण बहुभुज दिखाता है।

अलग एक यादृच्छिक चर कहा जाता है जो कुछ संभावनाओं के साथ अलग, पृथक मान ले सकता है।

उदाहरण 1।तीन सिक्कों के उछाल में हथियारों के कोट की घटनाओं की संख्या। संभावित मान: 0, 1, 2, 3, उनकी संभावनाएं क्रमशः बराबर हैं:

पी (0) =; पी (1) =; पी(2) = ; पी (3) =।

उदाहरण 2.पांच तत्वों से युक्त डिवाइस में विफल तत्वों की संख्या। संभावित मान: 0, 1, 2, 3, 4, 5; उनकी संभावनाएं प्रत्येक तत्व की विश्वसनीयता पर निर्भर करती हैं।

असतत यादृच्छिक चर एक्सवितरण श्रृंखला या वितरण फ़ंक्शन (एक अभिन्न वितरण कानून) द्वारा दिया जा सकता है।

वितरण के निकट सभी संभावित मानों का समुच्चय है एक्समैंऔर उनकी संगत संभावनाएं आरमैं = पी(एक्स = एक्समैं), इसे एक तालिका के रूप में दिया जा सकता है:

एक्स मैं				एक्स एन
पी मैं				पी नहीं

उसी समय, संभावनाएं आरमैंशर्त को पूरा करें

आरमैं= 1 क्योंकि

संभावित मूल्यों की संख्या कहां है एनपरिमित या अनंत हो सकता है।

एक वितरण श्रृंखला का चित्रमय प्रतिनिधित्व वितरण बहुभुज कहा जाता है . इसे बनाने के लिए, यादृच्छिक चर के संभावित मान ( एक्समैं) एक्स-अक्ष के साथ प्लॉट किए जाते हैं, और संभावनाएं आरमैं- वाई-अक्ष के साथ; अंक लेकिनमैंनिर्देशांक के साथ ( एक्समैं, पीमैं) टूटी हुई रेखाओं से जुड़े हुए हैं।

वितरण समारोह अनियमित चर एक्सएक समारोह कहा जाता है एफ(एक्स), जिसका मूल्य बिंदु पर है एक्सप्रायिकता के बराबर है कि यादृच्छिक चर एक्सइस मान से कम होगा एक्स, वह है

एफ(एक्स) = पी(एक्स< х).

समारोह एफ(एक्स) के लिये असतत यादृच्छिक चरसूत्र द्वारा गणना

एफ(एक्स) = आरमैं , (1.10.1)

जहां योग सभी मूल्यों पर है मैं, जिसके लिए एक्समैं< х.

उदाहरण 3. 100 वस्तुओं वाले एक बैच से, जिसमें 10 दोषपूर्ण वस्तुएँ हैं, उनकी गुणवत्ता की जाँच के लिए पाँच वस्तुओं का यादृच्छिक रूप से चयन किया जाता है। एक यादृच्छिक संख्या के वितरण की एक श्रृंखला का निर्माण करें एक्सनमूने में निहित दोषपूर्ण उत्पाद।

समाधान. चूंकि नमूने में दोषपूर्ण उत्पादों की संख्या 0 से 5 तक की सीमा में कोई भी पूर्णांक हो सकती है, संभावित मान एक्समैंअनियमित चर एक्सबराबर हैं:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5।

संभावना आर(एक्स = के) कि नमूने में बिल्कुल होगा क(क = 0, 1, 2, 3, 4, 5) दोषपूर्ण उत्पाद, के बराबर

पी (एक्स \u003d के) \u003d।

0.001 की सटीकता के साथ इस सूत्र का उपयोग करके गणना के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं:

आर 1 = पी(एक्स = 0) @ 0,583;आर 2 = पी(एक्स = 1) @ 0,340;आर 3 = पी(एक्स = 2) @ 0,070;

आर 4 = पी(एक्स = 3) @ 0,007;आर 5 = पी(एक्स= 4) @ 0;आर 6 = पी(एक्स = 5) @ 0.

जाँच करने के लिए समानता का उपयोग करना आरक= 1, हम सुनिश्चित करते हैं कि गणना और गोलाई सही ढंग से की गई है (तालिका देखें)।

एक्स मैं
पी मैं

उदाहरण 4.एक यादृच्छिक चर के वितरण की एक श्रृंखला को देखते हुए एक्स :

एक्स मैं
पी मैं

प्रायिकता बंटन फलन ज्ञात कीजिए एफ(एक्स) इस यादृच्छिक चर का और इसका निर्माण करें।

समाधान. यदि एक एक्स£10 तो एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0;

अगर 10<एक्स£20 तो एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 ;

अगर 20<एक्स£30 तो एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

अगर 30<एक्स£40 तो एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

अगर 40<एक्स£50 तो एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

यदि एक्स> 50 , फिर एफ(एक्स)= पी(एक्स<एक्स) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.