प्राकृतिक संख्याओं की एक श्रृंखला पर विचार करें: 1, 2, 3, , एन – 1, एन,  .

यदि हम प्रत्येक प्राकृत संख्या को प्रतिस्थापित करें एनइस श्रृंखला में कुछ संख्या ए एन, कुछ कानून का पालन करते हुए, हमें संख्याओं की एक नई श्रृंखला मिलती है:

ए 1 , ए 2 , ए 3, , ए एन –1 , ए एन , ,

संक्षिप्त और बुलाया संख्यात्मक अनुक्रम. मूल्य ए एनसंख्यात्मक अनुक्रम का उभयनिष्ठ सदस्य कहलाता है। आमतौर पर संख्यात्मक अनुक्रम किसी सूत्र द्वारा दिया जाता है ए एन = एफ(एन) जो आपको अनुक्रम के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या से खोजने की अनुमति देता है एन; इस सूत्र को सामान्य पद सूत्र कहते हैं। ध्यान दें कि एक सामान्य पद सूत्र द्वारा संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करना हमेशा संभव नहीं होता है; कभी-कभी अपने सदस्यों का वर्णन करके एक अनुक्रम निर्दिष्ट किया जाता है।

परिभाषा के अनुसार, एक अनुक्रम में हमेशा तत्वों की अनंत संख्या होती है: इसके किन्हीं दो अलग-अलग तत्वों में कम से कम उनकी संख्या में भिन्नता होती है, जिनमें से कई अनंत हैं।

संख्यात्मक अनुक्रम एक फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है। एक अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर परिभाषित एक फ़ंक्शन है और वास्तविक संख्याओं के सेट में मान लेता है, यानी, फॉर्म का एक फ़ंक्शन एफ : एन  आर.

परिणाम को
बुलाया की बढ़ती(घट), यदि किसी के लिए एन  एन
ऐसे क्रम कहलाते हैं सख्ती से नीरस.

कभी-कभी सभी प्राकृतिक संख्याओं को संख्याओं के रूप में उपयोग करना सुविधाजनक नहीं होता है, लेकिन उनमें से केवल कुछ (उदाहरण के लिए, कुछ प्राकृतिक संख्याओं से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याएं) एन 0)। नंबरिंग के लिए, न केवल प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करना संभव है, बल्कि अन्य संख्याओं का भी उपयोग करना संभव है, उदाहरण के लिए, एन= 0, 1, 2, (यहाँ, प्राकृत संख्याओं के समुच्चय में शून्य को दूसरी संख्या के रूप में जोड़ा जाता है)। ऐसे मामलों में, अनुक्रम निर्दिष्ट करते हुए, इंगित करें कि संख्याएं क्या मान लेती हैं। एन.

यदि किसी क्रम में किसी के लिए एन  एन
तब अनुक्रम कहा जाता है गैर घटते(गैर बढ़ती) ऐसे क्रम कहलाते हैं नीरस.

उदाहरण 1 . संख्यात्मक अनुक्रम 1, 2, 3, 4, 5, ... प्राकृतिक संख्याओं की एक श्रृंखला है और इसका एक सामान्य पद है ए एन = एन.

उदाहरण 2 . संख्या क्रम 2, 4, 6, 8, 10, ... सम संख्याओं की एक श्रंखला है और इसका एक उभयनिष्ठ पद है ए एन = 2एन.

उदाहरण 3 . 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … बढ़ती सटीकता के साथ अनुमानित मूल्यों का एक संख्यात्मक अनुक्रम है।

अंतिम उदाहरण में, अनुक्रम के उभयनिष्ठ पद का सूत्र देना असंभव है।

उदाहरण 4 . किसी संख्यात्मक अनुक्रम के प्रथम 5 पदों को उसके उभयनिष्ठ पद द्वारा लिखिए
. हिसाब करना एसामान्य पद के सूत्र में 1 की आवश्यकता है ए एनके बजाय एनस्थानापन्न 1 गणना करने के लिए ए 2 - 2, आदि। तब हमारे पास है:

टेस्ट 6 . अनुक्रम 1, 2, 6, 24, 120, का सामान्य सदस्य है:

1)

2)

3)

4)

टेस्ट 7 .
एक:

1)

2)

3)

4)

टेस्ट 8 . अनुक्रम के सामान्य सदस्य
एक:

1)

2)

3)

4)

संख्या अनुक्रम सीमा

एक संख्यात्मक अनुक्रम पर विचार करें जिसका सामान्य शब्द एक निश्चित संख्या तक पहुंचता है लेकिनबढ़ती क्रम संख्या के साथ एन. इस मामले में, संख्या अनुक्रम की एक सीमा होती है। इस अवधारणा की अधिक कठोर परिभाषा है।

संख्या लेकिनसंख्या अनुक्रम की सीमा कहलाती है
:

(1)

यदि किसी  > 0 के लिए ऐसी कोई संख्या है एन 0 = एन 0 (), पर निर्भर करता है, जो
पर एन > एन 0 .

इस परिभाषा का अर्थ है कि लेकिनएक संख्या अनुक्रम की एक सीमा होती है यदि उसका सामान्य पद अनिश्चित काल तक आता है लेकिनबढ़ते हुए एन. ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि किसी भी > 0 के लिए कोई ऐसी संख्या पा सकता है एन 0 , जो, से शुरू हो रहा है एन > एन 0, अनुक्रम के सभी सदस्य अंतराल के अंदर स्थित हैं ( लेकिन – , लेकिन+ ). जिस क्रम की एक सीमा होती है उसे कहते हैं अभिसारी; अन्यथा - विभिन्न.

एक संख्या अनुक्रम में एक निश्चित चिह्न की केवल एक सीमा (परिमित या अनंत) हो सकती है।

उदाहरण 5 . हार्मोनिक अनुक्रम संख्या 0 एक सीमा के रूप में है। वास्तव में, किसी भी अंतराल (-; +) के लिए एक संख्या के रूप में एन 0 से बड़ा कोई भी पूर्णांक हो सकता है। फिर सभी के लिए एन > एन 0 > हमारे पास है

उदाहरण 6 . अनुक्रम 2, 5, 2, 5, अपसारी है। वास्तव में, उदाहरण के लिए, एक से कम लंबाई के किसी भी अंतराल में अनुक्रम के सभी सदस्य शामिल नहीं हो सकते हैं, जो किसी संख्या से शुरू होते हैं।

अनुक्रम कहा जाता है सीमितअगर ऐसी कोई संख्या है एम, क्या
सबके लिए एन. प्रत्येक अभिसरण अनुक्रम बाध्य है। प्रत्येक मोनोटोन और बाध्य अनुक्रम की एक सीमा होती है। प्रत्येक अभिसरण अनुक्रम की एक अनूठी सीमा होती है।

उदाहरण 7 . परिणाम को
बढ़ रहा है और सीमित है। उसकी एक सीमा है
=इ.

संख्या इबुलाया यूलर संख्याऔर लगभग 2.718 28 के बराबर है।

टेस्ट 9 . अनुक्रम 1, 4, 9, 16, है:

1) अभिसरण;

2) भिन्न;

3) सीमित;

टेस्ट 10 . परिणाम को
एक:

1) अभिसरण;

2) भिन्न;

3) सीमित;

4) अंकगणितीय प्रगति;

5) ज्यामितीय प्रगति।

टेस्ट 11 . परिणाम को क्या नहीं है:

1) अभिसरण;

2) भिन्न;

3) सीमित;

4) हार्मोनिक।

परीक्षण 12 . सामान्य पद द्वारा दिए गए अनुक्रम की सीमा
बराबर।

इस विज्ञान के अस्तित्व के इतिहास में संख्यात्मक अनुक्रम और इसकी सीमा गणित की सबसे महत्वपूर्ण समस्याओं में से एक है। लगातार अद्यतन ज्ञान, तैयार किए गए नए प्रमेय और प्रमाण - यह सब हमें इस अवधारणा को नए पदों से और विभिन्न के तहत विचार करने की अनुमति देता है

एक संख्यात्मक अनुक्रम, सबसे सामान्य परिभाषाओं में से एक के अनुसार, एक गणितीय कार्य है, जिसका आधार एक पैटर्न या किसी अन्य के अनुसार व्यवस्थित प्राकृतिक संख्याओं का समूह है।

संख्या क्रम बनाने के लिए कई विकल्प हैं।

सबसे पहले, इस फ़ंक्शन को तथाकथित "स्पष्ट" तरीके से निर्दिष्ट किया जा सकता है, जब एक निश्चित सूत्र होता है जिसके द्वारा इसके प्रत्येक सदस्य को केवल क्रम संख्या को दिए गए अनुक्रम में प्रतिस्थापित करके निर्धारित किया जा सकता है।

दूसरी विधि को "पुनरावर्ती" कहा जाता है। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि संख्यात्मक अनुक्रम के पहले कुछ सदस्य दिए गए हैं, साथ ही एक विशेष पुनरावर्ती सूत्र भी है, जिसकी सहायता से, पिछले सदस्य को जानकर, आप अगले को पा सकते हैं।

अंत में, अनुक्रमों को निर्दिष्ट करने का सबसे सामान्य तरीका तथाकथित है, जब बिना किसी कठिनाई के, कोई न केवल एक निश्चित क्रम संख्या के तहत एक या दूसरे शब्द की पहचान कर सकता है, बल्कि कई लगातार शब्दों को जानकर, इसके सामान्य सूत्र में आ सकता है समारोह।

संख्यात्मक अनुक्रम घट या बढ़ सकता है। पहले मामले में, प्रत्येक बाद की अवधि पिछले एक से कम है, और दूसरे में, इसके विपरीत, यह अधिक है।

इस विषय को ध्यान में रखते हुए, अनुक्रमों की सीमा के मुद्दे को छूना असंभव नहीं है। एक अनुक्रम की सीमा एक ऐसी संख्या होती है, जब किसी के लिए, जिसमें एक असीम रूप से छोटे मूल्य के लिए, एक क्रमिक संख्या होती है, जिसके बाद अनुक्रम के क्रमिक सदस्यों का संख्यात्मक रूप में दिए गए बिंदु से विचलन उस अवधि के दौरान निर्दिष्ट मान से कम हो जाता है। इस समारोह का गठन।

कुछ अभिन्न और अंतर गणना करते समय संख्यात्मक अनुक्रम की सीमा की अवधारणा का सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है।

गणितीय अनुक्रमों में दिलचस्प गुणों का एक पूरा सेट होता है।

सबसे पहले, कोई भी संख्यात्मक अनुक्रम गणितीय फ़ंक्शन का एक उदाहरण है, इसलिए, वे गुण जो कार्यों की विशेषता हैं, उन्हें अनुक्रमों पर सुरक्षित रूप से लागू किया जा सकता है। इस तरह के गुणों का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण अंकगणितीय श्रृंखला को बढ़ाने और घटाने पर प्रावधान है, जो एक सामान्य अवधारणा - मोनोटोनिक अनुक्रमों से एकजुट होते हैं।

दूसरे, अनुक्रमों का एक काफी बड़ा समूह है जिसे या तो बढ़ते या घटते के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है - ये आवधिक अनुक्रम हैं। गणित में, उन्हें उन कार्यों के रूप में माना जाता है जिनमें एक तथाकथित अवधि की लंबाई होती है, अर्थात, एक निश्चित क्षण (एन) से, निम्नलिखित समानता संचालित होने लगती है y n \u003d y n + T, जहां टी होगा अवधि की बहुत लंबी अवधि।

पालना। डायपर। चिल्लाना।
शब्द। कदम। ठंडा। चिकित्सक।
आसपास चल रहा है। खिलौने। भइया।
यार्ड। झूला। बालवाड़ी।
विद्यालय। ड्यूस। ट्रोइका। पांच।
गेंद। कदम। जिप्सम। बिस्तर।
लड़ाई। खून। टूटी हुई नाक।
यार्ड। मित्र। दल। बल।
संस्थान। स्प्रिंग। झाड़ियाँ।
गर्मी। सत्र। पूंछ।
बीयर। वोदका। आइस्ड जिन।
कॉफ़ी। सत्र। डिप्लोमा।
स्वच्छंदतावाद। प्रेम। सितारा।
हथियार। होंठ। बिना नींद के रात।
शादी। सास। ससुर। जाल।
बहस। क्लब। मित्र। कप।
घर। काम। घर। परिवार।
सूरज। गर्मी। बर्फ। सर्दी।
बेटा। डायपर। पालना।
तनाव। मालकिन। बिस्तर।
व्यापार। पैसे। योजना। एवरल।
टीवी सेट। श्रृंखला।
बहुत बड़ा घर। चेरी। तुरई।
भूरे बाल। माइग्रेन। चश्मा।
पोता। डायपर। पालना।
तनाव। दबाव। बिस्तर।
एक दिल। गुर्दे। हड्डियाँ। चिकित्सक।
भाषण। ताबूत। बिदाई। चिल्लाना।

जीवन क्रम

SEQUENCE - (अनुक्रम), संगठित तरीके से व्यवस्थित संख्याएँ या तत्व। अनुक्रम परिमित (तत्वों की एक सीमित संख्या वाले) या अनंत हो सकते हैं, जैसे प्राकृतिक संख्या 1, 2, 3, 4 ….…… का एक पूर्ण अनुक्रम

वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

परिभाषा:संख्यात्मक अनुक्रमप्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N पर दिया गया संख्यात्मक कहलाता है। संख्यात्मक अनुक्रमों के लिए, आमतौर पर के बजाय च (एन)लिखना एक और इस तरह अनुक्रम को निरूपित करें: एक ) नंबर ए 1 , ए 2 , …, एक,… बुलाया अनुक्रम तत्व।

आमतौर पर संख्यात्मक अनुक्रम सेटिंग द्वारा निर्धारित किया जाता है एन-वें तत्व या एक पुनरावर्ती सूत्र, जिसके अनुसार प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक के माध्यम से निर्धारित किया जाता है। एक संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक वर्णनात्मक तरीका भी संभव है। उदाहरण के लिए:

• अनुक्रम के सभी सदस्य "1" हैं. इसका मतलब है कि हम एक स्थिर क्रम 1, 1, 1, ..., 1, ... के बारे में बात कर रहे हैं।

• अनुक्रम में आरोही क्रम में सभी अभाज्य संख्याएँ होती हैं।इस प्रकार, क्रम 2, 3, 5, 7, 11, ... दिया गया है। इस उदाहरण में अनुक्रम को निर्दिष्ट करने के इस तरीके से, यह उत्तर देना कठिन है कि अनुक्रम का 1000वाँ तत्व किसके बराबर है।

आवर्तक विधि के साथ, एक सूत्र इंगित किया जाता है जो आपको व्यक्त करने की अनुमति देता है एनपिछले वाले के माध्यम से अनुक्रम का वां सदस्य, और अनुक्रम के 1-2 प्रारंभिक सदस्यों को निर्दिष्ट करें।

• आप 1 = 3; वाई एन =आप एन-1 + 4 , अगर एन = 2, 3, 4,…

यहां आप 1 = 3; आप 2 = 3 + 4 = 7;आप 3 = 7 + 4 = 11; ….

• आप 1 = 1; आप 2 = 1; Y n =आप एन-2 + आप एन-1 , अगर एन = 3, 4,…

यहां: आप 1 = 1; आप 2 = 1; आप 3 = 1 + 1 = 2; आप 4 = 1 + 2 = 3; आप 5 = 2 + 3 = 5; आप 6 = 3 + 5 = 8;

पुनरावर्ती सूत्र द्वारा व्यक्त अनुक्रम वाई एन =आप एन-1 + 4 विश्लेषणात्मक रूप से भी दिया जा सकता है: Y n= वाई 1 +4 * (एन -1)

जाँच करें: y2=3+4*(2-1)=7, y3=3+4*(3-1)=11

यहां हमें n-वें तत्व की गणना करने के लिए संख्यात्मक अनुक्रम के पिछले सदस्य को जानने की आवश्यकता नहीं है, हमें केवल इसकी संख्या और पहले तत्व का मान निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।

जैसा कि हम देख सकते हैं, संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने का यह तरीका कार्यों को निर्दिष्ट करने के विश्लेषणात्मक तरीके के समान है। वास्तव में, एक संख्यात्मक अनुक्रम एक विशेष प्रकार का संख्यात्मक कार्य है, इसलिए अनुक्रमों के लिए कार्यों के कई गुणों पर भी विचार किया जा सकता है।

संख्या क्रम एक बहुत ही रोचक और सूचनात्मक विषय है। यह विषय बढ़ी हुई जटिलता के कार्यों में पाया जाता है, जो छात्रों को डिडक्टिक सामग्री के लेखकों द्वारा गणितीय ओलंपियाड के कार्यों में, उच्च शिक्षण संस्थानों में प्रवेश परीक्षा और पर पेश किया जाता है।और यदि आप विभिन्न प्रकार के संख्या अनुक्रमों के बारे में अधिक जानना चाहते हैं, तो यहां क्लिक करें। ठीक है, अगर आपके लिए सब कुछ स्पष्ट और सरल है, लेकिन उत्तर देने का प्रयास करें।

होवनिस्यान इवा

संख्यात्मक अनुक्रम। सार।

डाउनलोड:

पूर्वावलोकन:

नगर बजटीय शिक्षण संस्थान
"माध्यमिक विद्यालय नंबर 31"
बरनौली का शहर

संख्या अनुक्रम

सार

काम पूरा हो गया है:
ओगनेसियन ईवा,
8 वीं कक्षा के छात्र एमबीओयू "माध्यमिक विद्यालय संख्या 31"
सुपरवाइज़र:
पोलेवा इरीना अलेक्जेंड्रोवना,
गणित शिक्षक एमबीओयू "माध्यमिक विद्यालय संख्या 31"

बरनौल - 2014

परिचय ……………………………………………………………… 2

संख्यात्मक अनुक्रम। ………………………………………………… 3

संख्यात्मक अनुक्रम सेट करने के तरीके…………………………4

प्रगति के सिद्धांत का विकास……………………………………………..5

संख्यात्मक अनुक्रमों के गुण …………………………………… 7

अंकगणितीय प्रगति……………………………..................................... ...............9

ज्यामितीय प्रगति ……………………………………………….10

निष्कर्ष ………………………………………………………… 11

सन्दर्भ ………………………………………………… 11

परिचय

इस सार का उद्देश्य- संख्यात्मक अनुक्रमों से संबंधित बुनियादी अवधारणाओं का अध्ययन, व्यवहार में उनका अनुप्रयोग।
कार्य:

1. प्रगति के सिद्धांत के विकास के ऐतिहासिक पहलुओं का अध्ययन करना;
2. संख्यात्मक अनुक्रमों की स्थापना के तरीकों और गुणों पर विचार करें;
3. अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति के बारे में जानें।

वर्तमान में, संख्यात्मक अनुक्रमों को किसी फ़ंक्शन के विशेष मामलों के रूप में माना जाता है। संख्यात्मक अनुक्रम प्राकृतिक तर्क का एक कार्य है। संख्यात्मक अनुक्रम की अवधारणा कार्य के सिद्धांत के निर्माण से बहुत पहले उत्पन्न हुई और विकसित हुई। यहाँ प्राचीन काल में ज्ञात अनंत संख्या अनुक्रमों के उदाहरण दिए गए हैं:

1, 2, 3, 4, 5,… - प्राकृत संख्याओं का क्रम।

2, 4, 6, 8, 10,… - सम संख्याओं का एक क्रम।

1, 3, 5, 7, 9,… - विषम संख्याओं का एक क्रम।

1, 4, 9, 16, 25,… - प्राकृत संख्याओं के वर्गों का क्रम।

2, 3, 5, 7, 11… - अभाज्य संख्याओं का एक क्रम।

1, ½, 1/3, , 1/5,… - प्राकृत संख्याओं के व्युत्क्रमों का क्रम।

इनमें से प्रत्येक श्रृंखला के सदस्यों की संख्या अनंत है; पहले पांच क्रम नीरस रूप से बढ़ रहे हैं, अंतिम एक नीरस रूप से घट रहा है। 5वें को छोड़कर सभी सूचीबद्ध अनुक्रम इस तथ्य के कारण दिए गए हैं कि उनमें से प्रत्येक के लिए सामान्य शब्द ज्ञात है, अर्थात, किसी भी संख्या के साथ एक पद प्राप्त करने का नियम। अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम के लिए, एक सामान्य शब्द अज्ञात है, लेकिन तीसरी शताब्दी की शुरुआत में। ईसा पूर्व इ। अलेक्जेंड्रिया के वैज्ञानिक एराटोस्थनीज ने इसके एन-वें सदस्य को प्राप्त करने के लिए एक विधि (यद्यपि बहुत बोझिल) का संकेत दिया। इस विधि को "इराटोस्थनीज की छलनी" कहा जाता था।

प्रगति - विशेष प्रकार के संख्यात्मक अनुक्रम - द्वितीय सहस्राब्दी ईसा पूर्व के स्मारकों में पाए जाते हैं। इ।

संख्या अनुक्रम

संख्या अनुक्रम की विभिन्न परिभाषाएँ हैं।

संख्यात्मक अनुक्रम – यह एक संख्या स्थान (विकिपीडिया) के तत्वों का एक क्रम है।

संख्यात्मक अनुक्रम – यह एक क्रमांकित संख्या सेट है।

y = f (x), x . के रूप का एक फलनप्राकृतिक तर्क का फलन कहलाता है यासंख्यात्मक अनुक्रमऔर y = f(n) or . को निरूपित करें

, , , …, संकेतन ().

हम धनात्मक सम संख्याओं को आरोही क्रम में लिखेंगे। पहली ऐसी संख्या 2 है, दूसरी 4 है, तीसरी 6 है, चौथी 8 है, और इसी तरह, हमें अनुक्रम मिलता है: 2; 4; 6; आठ; दस …।

जाहिर है, इस क्रम में पांचवां स्थान 10, दसवां - 20, सौवां - 200 होगा। सामान्य तौर पर, किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, आप संबंधित सकारात्मक सम संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं; यह 2n के बराबर है।

आइए एक और क्रम देखें। हम 1 के बराबर अंश वाले उचित भिन्नों को अवरोही क्रम में लिखेंगे:

; ; ; ; ; … .

किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए, हम संगत भिन्न निर्दिष्ट कर सकते हैं; यह बराबर है. अत: छठे स्थान पर भिन्न होना चाहिए, तीसवें पर - , हजारवें पर - एक अंश .

अनुक्रम बनाने वाली संख्याएँ क्रमशः प्रथम, द्वितीय, तृतीय, चतुर्थ आदि कहलाती हैं। अनुक्रम के सदस्य। अनुक्रम के सदस्यों को आमतौर पर सदस्य की क्रमिक संख्या को इंगित करने वाले सबस्क्रिप्ट वाले अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए:, , आदि। सामान्य तौर पर, संख्या n के साथ अनुक्रम की अवधि, या, जैसा कि वे कहते हैं, अनुक्रम के nवें सदस्य को निरूपित किया जाता है. अनुक्रम स्वयं द्वारा निरूपित किया जाता है () एक अनुक्रम में सदस्यों की अनंत संख्या और एक परिमित दोनों हो सकते हैं। इस मामले में, इसे अंतिम कहा जाता है। उदाहरण के लिए: दो अंकों की संख्याओं का एक क्रम।10; ग्यारह; 12; तेरह; …; 98; 99

संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने के तरीके

अनुक्रमों को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है।

आमतौर पर अनुक्रम सेट करने के लिए अधिक उपयुक्त होता हैइसके उभयनिष्ठ nवें पद का सूत्र, जो आपको अनुक्रम के किसी भी सदस्य को उसकी संख्या जानने के लिए खोजने की अनुमति देता है। इस मामले में, अनुक्रम दिया जाना कहा जाता हैविश्लेषणात्मक रूप से। उदाहरण के लिए: सकारात्मक सम पदों का क्रम= 2एन।

काम: अनुक्रम के सामान्य पद के लिए सूत्र खोजें (:

6; 20; 56; 144; 352;…

फेसला। हम अनुक्रम के प्रत्येक पद को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

एन = 1: 6 = 2 3 = 3 =

n=2: 20=4 5=5=

n=3: 56 = 8 7 = 7 =

जैसा कि आप देख सकते हैं, अनुक्रम की शर्तें लगातार विषम संख्याओं से दो गुणा की शक्ति का उत्पाद हैं, और दो को एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है जो प्रश्न में तत्व की संख्या के बराबर है। इस प्रकार, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि

उत्तर: सामान्य शब्द सूत्र:

अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक अन्य तरीका अनुक्रम का उपयोग करके निर्दिष्ट करना हैआवर्तक संबंध. एक सूत्र जो किसी अनुक्रम के किसी सदस्य को पिछले वाले (एक या अधिक) के माध्यम से कुछ से शुरू करके व्यक्त करता है, कहलाता हैआवर्तक (लैटिन शब्द रिकुरो से - वापसी के लिए)।

इस मामले में, अनुक्रम के एक या कई पहले तत्व निर्दिष्ट हैं, और बाकी किसी नियम के अनुसार निर्धारित किए जाते हैं।

पुनरावर्ती रूप से दिए गए अनुक्रम का एक उदाहरण फाइबोनैचि संख्याओं का अनुक्रम है - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... वाले: 2 = 1 + 1; 3 = 2 + 1 इत्यादि। यह क्रम पुनरावर्ती रूप से दिया जा सकता है:

एन एन, = 1.

काम: परिणाम कोपुनरावृत्ति संबंध द्वारा दिया गया+, एन एन, = 4. इस क्रम के पहले कुछ पद लिखिए।

फेसला। आइए दिए गए अनुक्रम का तीसरा पद ज्ञात करें:

+ =

आदि।

जब अनुक्रमों को बार-बार निर्दिष्ट किया जाता है, तो गणना बहुत बोझिल होती है, क्योंकि बड़ी संख्या वाले तत्वों को खोजने के लिए, निर्दिष्ट अनुक्रम के सभी पिछले सदस्यों को खोजना आवश्यक है, उदाहरण के लिए, खोजने के लिएहमें पिछले सभी 499 सदस्यों को खोजने की जरूरत है।

वर्णनात्मक तरीकाएक संख्यात्मक अनुक्रम के असाइनमेंट में यह समझाना शामिल है कि अनुक्रम किन तत्वों से बनाया गया है।

उदाहरण 1 । "अनुक्रम के सभी सदस्य 1 हैं।" इसका मतलब है कि हम एक स्थिर क्रम 1, 1, 1, ..., 1, ... के बारे में बात कर रहे हैं।

उदाहरण 2. "अनुक्रम में सभी अभाज्य संख्याएँ आरोही क्रम में हैं।" इस प्रकार, क्रम 2, 3, 5, 7, 11, ... दिया गया है। इस उदाहरण में अनुक्रम को निर्दिष्ट करने के इस तरीके से, यह उत्तर देना कठिन है कि अनुक्रम का 1000वाँ तत्व किसके बराबर है।

साथ ही, एक सरल द्वारा एक संख्यात्मक अनुक्रम दिया जा सकता हैअपने सदस्यों को सूचीबद्ध करना।

प्रगति के सिद्धांत का विकास

प्रोग्रेस शब्द लैटिन मूल (प्रोग्रेसियो) का है, जिसका शाब्दिक अर्थ है "आगे बढ़ना" (जैसे "प्रगति" शब्द) और पहली बार रोमन लेखक बोथियस (5वीं-6वीं शताब्दी) द्वारा सामना किया गया है। इसे एक दिशा में अनिश्चित काल तक जारी रखें, उदाहरण के लिए , प्राकृत संख्याओं का एक क्रम, उनके वर्ग और घन। मध्य युग के अंत में और आधुनिक समय की शुरुआत में, इस शब्द का आमतौर पर इस्तेमाल बंद हो जाता है। 17वीं शताब्दी में, उदाहरण के लिए, जे. ग्रेगरी ने प्रगति के बजाय "श्रृंखला" शब्द का इस्तेमाल किया, और एक अन्य प्रमुख अंग्रेजी गणितज्ञ, जे. वालिस ने अनंत श्रृंखला के लिए "अनंत प्रगति" शब्द का इस्तेमाल किया।

वर्तमान में, हम प्रगति को संख्यात्मक अनुक्रमों के विशेष मामले मानते हैं।

प्रगति से संबंधित सैद्धांतिक जानकारी सबसे पहले प्राचीन ग्रीस के उन दस्तावेजों में मिलती है जो हमारे पास आए हैं।

Psammite में, आर्किमिडीज ने पहली बार अंकगणितीय और ज्यामितीय प्रगति की तुलना की:

1,2,3,4,5,………………..

10, , ………….

प्रगति को अनुपातों की निरंतरता के रूप में माना जाता था, यही वजह है कि अंकगणित और ज्यामितीय को अनुपात से प्रगति में स्थानांतरित किया गया था।

प्रगति के इस दृष्टिकोण को 17वीं और यहां तक ​​कि 18वीं शताब्दी के कई गणितज्ञों द्वारा संरक्षित रखा गया था। इस तरह से इस तथ्य की व्याख्या की जानी चाहिए कि बैरो में पाया गया प्रतीक, और फिर उस समय के अन्य अंग्रेजी वैज्ञानिकों में एक निरंतर ज्यामितीय अनुपात को निरूपित करने के लिए, 18 वीं शताब्दी की अंग्रेजी और फ्रेंच पाठ्यपुस्तकों में एक ज्यामितीय प्रगति को इंगित करना शुरू किया। सादृश्य से, उन्होंने एक अंकगणितीय प्रगति को नामित करना शुरू किया।

आर्किमिडीज के प्रमाणों में से एक, जो उनके काम "द क्वाड्रेचर ऑफ द पैराबोला" में निर्धारित है, अनिवार्य रूप से एक असीम रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए उबलता है।

ज्यामिति और यांत्रिकी से कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, आर्किमिडीज ने प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग के लिए सूत्र निकाला, हालांकि यह उनके सामने इस्तेमाल किया गया था।

1/6n(n+1)(2n+1)

प्रगति से संबंधित कुछ सूत्र चीनी और भारतीय वैज्ञानिकों को ज्ञात थे। तो, आर्यभट्ट (वी शताब्दी) सामान्य शब्द के सूत्रों को जानता था, अंकगणितीय प्रगति का योग, आदि, मगवीरा (IX शताब्दी) ने सूत्र का उपयोग किया: + + + ... + = 1/6n(n+1)(2n+1) और अन्य अधिक जटिल श्रृंखला। हालाँकि, एक मनमानी अंकगणितीय प्रगति की शर्तों का योग खोजने का नियम सबसे पहले पीसा के लियोनार्डो द्वारा बुक ऑफ द एबैकस (1202) में पाया गया है। द साइंस ऑफ नंबर्स (1484) में, एन. शुक, आर्किमिडीज की तरह, अंकगणितीय प्रगति की तुलना ज्यामितीय एक से करते हैं और किसी भी असीम रूप से छोटी घटती ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए एक सामान्य नियम देते हैं। अनंत रूप से घटती प्रगति के योग का सूत्र पी. फ़र्मेट और 17वीं शताब्दी के अन्य गणितज्ञों को ज्ञात था।

अंकगणित (और ज्यामितीय) प्रगति के लिए समस्याएं प्राचीन चीनी पथ "मैथमैटिक्स इन नाइन बुक्स" में भी पाई जाती हैं, हालांकि, किसी भी योग सूत्र के उपयोग के लिए निर्देश शामिल नहीं हैं।

पहली प्रगति की समस्याएँ जो हमारे सामने आई हैं, वे आर्थिक जीवन और सामाजिक व्यवहार की माँगों से जुड़ी हैं, जैसे कि उत्पादों का वितरण, विरासत का विभाजन, और इसी तरह।

एक क्यूनिफॉर्म टैबलेट से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि, अमावस्या से पूर्णिमा तक चंद्रमा का अवलोकन करते हुए, बेबीलोन के लोग निम्नलिखित निष्कर्ष पर पहुंचे: अमावस्या के बाद पहले पांच दिनों में, चंद्र डिस्क की रोशनी में वृद्धि के अनुसार होती है 2 के हर के साथ ज्यामितीय प्रगति का नियम। बाद के एक अन्य टैबलेट में, हम योग ज्यामितीय प्रगति के बारे में बात कर रहे हैं:

1+2+ +…+ . समाधान और उत्तर S=512+(512-1), प्लेट में डेटा सुझाव देता है कि लेखक ने सूत्र का उपयोग किया है।

एसएन = +( -1), लेकिन कोई नहीं जानता कि वह उस तक कैसे पहुंचा।

ज्यामितीय प्रगति का योग और संबंधित समस्याओं का संकलन जो हमेशा व्यावहारिक जरूरतों को पूरा नहीं करते हैं, प्राचीन और मध्य युग में गणित के कई प्रेमियों द्वारा अभ्यास किया गया था।

संख्या अनुक्रम गुण

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक कार्य का एक विशेष मामला है, और इसलिए अनुक्रमों के लिए कार्यों के कुछ गुणों (सीमा, एकरसता) पर भी विचार किया जाता है।

सीमित क्रम

परवर्ती () कहा जाता है ऊपर से बंधा हुआ, कि किसी भी संख्या n के लिए,एम।

परवर्ती () कहा जाता है नीचे से घिरा हुआ, यदि ऐसी कोई संख्या m . है, कि किसी भी संख्या n के लिए,एम।

परवर्ती () को बाउंडेड . कहा जाता है , यदि यह ऊपर से घिरा हुआ है और नीचे से घिरा हुआ है, यानी ऐसी संख्या मौजूद है M0 , जो किसी भी संख्या n के लिए,एम।

परवर्ती () को अनबाउंड . कहा जाता है , यदि ऐसी कोई संख्या M . मौजूद है0 है कि एक संख्या n मौजूद है जैसे कि,एम।

काम: अनुक्रम का अन्वेषण करें = सीमा तक।

फेसला। दिया गया क्रम परिबद्ध है, क्योंकि किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए निम्नलिखित असमानताएँ होती हैं:

0 1,

अर्थात् अनुक्रम नीचे से शून्य से घिरा है, और साथ ही यह ऊपर से एक से घिरा हुआ है, और इसलिए, यह भी घिरा हुआ है।

उत्तर: अनुक्रम सीमित है - नीचे से शून्य, और ऊपर से एक।

बढ़ते और घटते क्रम

परवर्ती () वृद्धि कहा जाता है , यदि प्रत्येक पद पिछले पद से बड़ा है:

उदाहरण के लिए, 1, 3, 5, 7.....2n -1,... एक बढ़ता हुआ क्रम है।

परवर्ती () घटते कहा जाता है , यदि प्रत्येक पद पिछले एक से कम है:

उदाहरण के लिए, 1; अवरोही क्रम है।

बढ़ते और घटते अनुक्रमों को एक सामान्य शब्द से जोड़ा जाता है -मोनोटोनिक अनुक्रम. आइए कुछ और उदाहरण लेते हैं।

1; - यह क्रम न तो बढ़ रहा है और न ही घट रहा है (नॉनमोनोटोनिक अनुक्रम)।

2एन. हम बात कर रहे हैं क्रम 2, 4, 8, 16, 32,... - एक बढ़ता हुआ क्रम।

सामान्य तौर पर, यदि a > 1, तो अनुक्रम= बढ़ता है;

अगर 0 = घट रहा है।

अंकगणितीय प्रगति

एक संख्यात्मक अनुक्रम, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य के योग और समान संख्या d के बराबर होता है, कहलाता हैअंकगणितीय प्रगति, और संख्या d अंकगणितीय प्रगति का अंतर है।

इस प्रकार, एक अंकगणितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है

एक्स, == + d, (n = 2, 3, 4,…; a और d दी गई संख्याएँ हैं)।

उदाहरण 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, ... एक बढ़ती हुई समांतर श्रेणी है, जिसमें= 1, डी = 2.

उदाहरण 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... - एक घटती हुई अंकगणितीय प्रगति, जिसमें= 20, डी = -3।

उदाहरण 3. प्राकृत संख्याओं के एक अनुक्रम पर विचार करें, जिन्हें चार से विभाजित करने पर शेषफल 1:1 प्राप्त होता है; 5; नौ; तेरह; 17; 21…

इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य में संख्या 4 जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह क्रम एक अंकगणितीय प्रगति का एक उदाहरण है।

एक स्पष्ट (सूत्र) अभिव्यक्ति खोजना आसान हैएन के माध्यम से अगले तत्व का मान पिछले वाले की तुलना में d से बढ़ जाता है, इस प्रकार, n तत्व का मान अंकगणितीय प्रगति के पहले सदस्य की तुलना में (n - 1)d बढ़ जाएगा, अर्थात।

= + डी (एन -1)। यह एक समान्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र है।

यह योग सूत्र है एक अंकगणितीय प्रगति के n सदस्य।

अंकगणितीय प्रगति का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि इसमें प्रत्येक पद, पहले को छोड़कर, उसके आसन्न दो के अंकगणितीय माध्य के बराबर है - पिछला और अगला, वास्तव में,

ज्यामितीय अनुक्रम

एक संख्यात्मक अनुक्रम, जिसके सभी सदस्य गैर-शून्य हैं और जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य से उसी संख्या q से गुणा करके प्राप्त किया जाता है, कहलाता हैज्यामितीय अनुक्रम, और संख्या q एक ज्यामितीय प्रगति का हर है। इस प्रकार, एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है (संबंधों द्वारा पुनरावर्ती रूप से दिया गया

बी, = q (n = 2, 3, 4…; b और q दी गई संख्याएँ हैं)।

उदाहरण 1. 2, 6, 18, 54, ... - बढ़ती हुई ज्यामितीय प्रगति

2, क्यू = 3.

उदाहरण 2. 2, -2, 2, -2, ... एक गुणोत्तर श्रेणी है= 2, क्यू = -1।

एक ज्यामितीय प्रगति के स्पष्ट गुणों में से एक यह है कि यदि कोई अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, तो वर्गों का अनुक्रम, अर्थात।; ;…-

एक ज्यामितीय प्रगति है जिसका पहला पद के बराबर है, और हर है.

एक ज्यामितीय प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र है:

एक ज्यामितीय प्रगति के n सदस्यों के योग का सूत्र:

विशेषता संपत्तिज्यामितीय प्रगति: एक संख्या अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक पद का वर्ग, पहले (और एक परिमित अनुक्रम के मामले में अंतिम) को छोड़कर, पिछले और बाद के शब्दों के उत्पाद के बराबर है,

निष्कर्ष

कई वैज्ञानिकों द्वारा कई सदियों से संख्यात्मक अनुक्रमों का अध्ययन किया गया है।पहली प्रगति की समस्याएँ जो हमारे सामने आई हैं, वे आर्थिक जीवन और सामाजिक व्यवहार की माँगों से जुड़ी हैं, जैसे कि उत्पादों का वितरण, विरासत का विभाजन, और इसी तरह। वे गणित की प्रमुख अवधारणाओं में से एक हैं। अपने काम में, मैंने संख्यात्मक अनुक्रमों से जुड़ी बुनियादी अवधारणाओं को प्रतिबिंबित करने की कोशिश की, उन्हें कैसे सेट किया जाए, गुण, और उनमें से कुछ पर विचार किया। अलग-अलग, प्रगति (अंकगणित और ज्यामितीय) पर विचार किया गया, और उनसे जुड़ी बुनियादी अवधारणाओं का वर्णन किया गया।

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विडा आप= एफ(एक्स), एक्सहे एन, कहाँ पे एनप्राकृतिक संख्याओं का समूह है (या प्राकृतिक तर्क का एक कार्य), निरूपित आप=एफ(एन) या आप 1 ,आप 2 ,…, Y n,…. मूल्यों आप 1 ,आप 2 ,आप 3 ,… अनुक्रम के क्रमशः प्रथम, द्वितीय, तृतीय, ... सदस्य कहलाते हैं।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के लिए आप= एन 2 लिखा जा सकता है:

आप 1 = 1 2 = 1;

आप 2 = 2 2 = 4;

आप 3 = 3 2 = 9;…वाई एन = एन 2 ;…

अनुक्रम स्थापित करने के तरीके।अनुक्रमों को विभिन्न तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिनमें से तीन विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं: विश्लेषणात्मक, वर्णनात्मक और आवर्तक।

1. एक अनुक्रम विश्लेषणात्मक रूप से दिया जाता है यदि उसका सूत्र दिया गया हो एन-वें सदस्य:

Y n=एफ(एन).

उदाहरण। Y n= 2एन- 1 – विषम संख्याओं का क्रम: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. वर्णनात्मक एक संख्यात्मक अनुक्रम निर्दिष्ट करने का तरीका यह है कि यह बताता है कि अनुक्रम किन तत्वों से बनाया गया है।

उदाहरण 1. "अनुक्रम के सभी सदस्य 1 के बराबर हैं।" इसका मतलब है कि हम एक स्थिर क्रम 1, 1, 1, ..., 1, ... के बारे में बात कर रहे हैं।

उदाहरण 2. "अनुक्रम में सभी अभाज्य संख्याएँ आरोही क्रम में हैं।" इस प्रकार, क्रम 2, 3, 5, 7, 11, ... दिया गया है। इस उदाहरण में अनुक्रम को निर्दिष्ट करने के इस तरीके से, यह उत्तर देना कठिन है कि अनुक्रम का 1000वाँ तत्व किसके बराबर है।

3. अनुक्रम निर्दिष्ट करने का आवर्तक तरीका यह है कि एक नियम इंगित किया जाता है जो किसी को गणना करने की अनुमति देता है एन- अनुक्रम का सदस्य, यदि इसके पिछले सदस्य ज्ञात हैं। नाम आवर्तक विधि लैटिन शब्द . से आया है पुनरावर्ती- वापस लौटें। सबसे अधिक बार, ऐसे मामलों में, एक सूत्र का संकेत दिया जाता है जो व्यक्त करने की अनुमति देता है एनपिछले वाले के माध्यम से अनुक्रम का वां सदस्य, और अनुक्रम के 1-2 प्रारंभिक सदस्यों को निर्दिष्ट करें।

उदाहरण 1 आप 1 = 3; वाई एन = वाई एन-1 + 4 अगर एन = 2, 3, 4,….

यहां आप 1 = 3; आप 2 = 3 + 4 = 7;आप 3 = 7 + 4 = 11; ….

यह देखा जा सकता है कि इस उदाहरण में प्राप्त अनुक्रम को विश्लेषणात्मक रूप से भी निर्दिष्ट किया जा सकता है: Y n= 4एन- 1.

उदाहरण 2 आप 1 = 1; आप 2 = 1; Y n = Y n –2 + Y n-1 अगर एन = 3, 4,….

यहां: आप 1 = 1; आप 2 = 1; आप 3 = 1 + 1 = 2; आप 4 = 1 + 2 = 3; आप 5 = 2 + 3 = 5; आप 6 = 3 + 5 = 8;

इस उदाहरण में रचित अनुक्रम का गणित में विशेष रूप से अध्ययन किया जाता है क्योंकि इसमें कई दिलचस्प गुण और अनुप्रयोग हैं। इसे 13वीं शताब्दी के इतालवी गणितज्ञ के बाद - फिबोनाची अनुक्रम कहा जाता है। फाइबोनैचि अनुक्रम को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित करना बहुत आसान है, लेकिन विश्लेषणात्मक रूप से यह बहुत कठिन है। एनवें फाइबोनैचि संख्या को निम्न सूत्र द्वारा इसकी क्रमसूचक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है।

पहली नज़र में, के लिए सूत्र एनफाइबोनैचि संख्या असंभव लगती है, क्योंकि केवल प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रम को निर्दिष्ट करने वाले सूत्र में वर्गमूल होते हैं, लेकिन आप पहले कुछ के लिए इस सूत्र की वैधता की "मैन्युअल रूप से" जांच कर सकते हैं एन.

संख्यात्मक अनुक्रमों के गुण।

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक संख्यात्मक कार्य का एक विशेष मामला है, इसलिए अनुक्रमों के लिए कार्यों के कई गुणों पर भी विचार किया जाता है।

परिभाषा . परवर्ती ( Y n} वृद्धि कहलाती है यदि इसका प्रत्येक पद (पहले को छोड़कर) पिछले एक से बड़ा है:

आप 1 y 2 y 3 y n n +1

परिभाषा। अनुक्रम ( Y n} घटती हुई कहलाती है यदि इसका प्रत्येक पद (पहले को छोड़कर) पिछले एक से कम है:

आप 1 > आप 2 > आप 3 > … > Y n> Y n +1 > … .

बढ़ते और घटते क्रम एक सामान्य शब्द - मोनोटोनिक अनुक्रम द्वारा एकजुट होते हैं।

उदाहरण 1 आप 1 = 1; Y n= एन 2 एक बढ़ता हुआ क्रम है।

इस प्रकार, निम्नलिखित प्रमेय सत्य है (एक अंकगणितीय प्रगति का एक विशिष्ट गुण)। एक संख्यात्मक अनुक्रम अंकगणितीय होता है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक सदस्य, पहले (और परिमित अनुक्रम के मामले में अंतिम) को छोड़कर, पिछले और बाद के सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है।

उदाहरण। किस मूल्य पर एक्ससंख्या 3 एक्स + 2, 5एक्स- 4 और 11 एक्स+12 एक परिमित अंकगणितीय प्रगति बनाता है?

विशेषता गुण के अनुसार, दिए गए व्यंजकों को संबंध को संतुष्ट करना चाहिए

5एक्स – 4 = ((3एक्स + 2) + (11एक्स + 12))/2.

इस समीकरण को हल करने पर प्राप्त होता है एक्स= –5,5. इस मूल्य के साथ एक्सदिए गए भाव 3 एक्स + 2, 5एक्स- 4 और 11 एक्स+ 12 क्रमशः मान -14.5 लेते हैं, –31,5, –48,5. यह एक समांतर श्रेणी है, इसका अंतर -17 है।

ज्यामितीय अनुक्रम।

एक संख्यात्मक अनुक्रम, जिसके सभी सदस्य अशून्य होते हैं और जिनमें से प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य से उसी संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। क्यू, को एक ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है, और संख्या क्यू- एक ज्यामितीय प्रगति का भाजक।

इस प्रकार, एक ज्यामितीय प्रगति एक संख्यात्मक अनुक्रम है ( बी नहीं) संबंधों द्वारा पुनरावर्ती रूप से दिया गया

बी 1 = बी, बी नहीं = बी नहीं –1 क्यू (एन = 2, 3, 4…).

(बीऔर क्यू-दिए गए नंबर, बी ≠ 0, क्यू ≠ 0).

उदाहरण 1. 2, 6, 18, 54, ... - बढ़ती हुई ज्यामितीय प्रगति बी = 2, क्यू = 3.

उदाहरण 2. 2, -2, 2, -2, ... – ज्यामितीय अनुक्रम बी= 2,क्यू= –1.

उदाहरण 3. 8, 8, 8, 8,… – ज्यामितीय अनुक्रम बी= 8, क्यू= 1.

एक ज्यामितीय प्रगति एक बढ़ता हुआ क्रम है यदि बी 1 > 0, क्यू> 1, और घट रहा है अगर बी 1 > 0, 0q

एक ज्यामितीय प्रगति के स्पष्ट गुणों में से एक यह है कि यदि कोई अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है, तो वर्गों का अनुक्रम, यानी।

बी 1 2 , बी 2 2 , बी 3 2 , …, बी नहीं 2,... एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद के बराबर है बी 1 2 , और हर है क्यू 2 .

सूत्र एन-एक ज्यामितीय प्रगति के वें पद का रूप है

बी नहीं= बी 1 क्यू एन- 1 .

आप एक परिमित ज्यामितीय प्रगति की शर्तों के योग के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

मान लीजिए कि एक परिमित ज्यामितीय प्रगति है

बी 1 ,बी 2 ,बी 3 , …, बी नहीं

रहने दो एस एन -इसके सदस्यों का योग, अर्थात्।

एस नहीं= बी 1 + बी 2 + बी 3 + … +बी नहीं.

यह स्वीकार किया जाता है कि क्यूनंबर 1. निर्धारित करने के लिए एस नहींएक कृत्रिम चाल लागू की जाती है: अभिव्यक्ति के कुछ ज्यामितीय परिवर्तन किए जाते हैं एस एन क्यू.

एस एन क्यू = (बी 1 + बी 2 + बी 3 + … + बी नहीं –1 + बी नहीं)क्यू = बी 2 + बी 3 + बी 4 + …+ बी नहीं+ बी एन क्यू = एस नहीं+ बी एन क्यू– बी 1 .

इस प्रकार, एस एन क्यू= एस नहीं +बी एन क्यू - बी 1 और इसलिए

यह सूत्र है उम्मा n एक ज्यामितीय प्रगति के सदस्यमामले के लिए जब क्यू≠ 1.

पर क्यू= 1 सूत्र अलग से नहीं निकाला जा सकता है, यह स्पष्ट है कि इस स्थिति में एस नहीं= ए 1 एन.

इसे एक ज्यामितीय प्रगति कहा जाता है क्योंकि इसमें पहले को छोड़कर प्रत्येक पद, पिछले और बाद के पदों के ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है। दरअसल, चूंकि

बी एन = बी एन- 1 क्यू;

बीएन = बीएन+ 1 /क्यू,

इस तरह, बी नहीं 2= बी एन- 1 बीएन+ 1 और निम्नलिखित प्रमेय सत्य है (एक ज्यामितीय प्रगति का एक विशिष्ट गुण):

एक संख्यात्मक अनुक्रम एक ज्यामितीय प्रगति है यदि और केवल यदि इसके प्रत्येक पद का वर्ग, पहले (और एक परिमित अनुक्रम के मामले में अंतिम) को छोड़कर, पिछले और बाद के शब्दों के उत्पाद के बराबर है।

अनुक्रम सीमा।

एक क्रम होने दो ( ग नहीं} = {1/एन}. इस अनुक्रम को हार्मोनिक कहा जाता है, क्योंकि इसके प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले और बाद के सदस्यों के बीच हार्मोनिक माध्य है। संख्याओं का ज्यामितीय माध्य एऔर बीएक संख्या है

अन्यथा, अनुक्रम को अपसारी कहा जाता है।

इस परिभाषा के आधार पर, उदाहरण के लिए, एक सीमा के अस्तित्व को सिद्ध किया जा सकता है ए = 0हार्मोनिक अनुक्रम के लिए ( ग नहीं} = {1/एन) मान लीजिए एक मनमाना लघु धनात्मक संख्या है। हम अंतर पर विचार करते हैं

क्या ऐसा है एनकि सबके लिए नहीं एनअसमानता 1 /एन? अगर के रूप में लिया एनसे बड़ी कोई प्राकृत संख्या 1/ε , तो सभी के लिए एन नहींअसमानता 1 /एन 1/एन , क्यू.ई.डी.

किसी विशेष अनुक्रम के लिए एक सीमा के अस्तित्व को सिद्ध करना कभी-कभी बहुत कठिन होता है। सबसे सामान्य अनुक्रमों का अच्छी तरह से अध्ययन किया जाता है और उन्हें संदर्भ पुस्तकों में सूचीबद्ध किया जाता है। ऐसे महत्वपूर्ण प्रमेय हैं जो यह निष्कर्ष निकालना संभव बनाते हैं कि किसी दिए गए अनुक्रम में पहले से ही अध्ययन किए गए अनुक्रमों के आधार पर एक सीमा होती है (और यहां तक ​​​​कि इसकी गणना भी होती है)।

प्रमेय 1. यदि किसी अनुक्रम की एक सीमा होती है, तो वह परिबद्ध होता है।

प्रमेय 2. यदि कोई अनुक्रम नीरस और परिबद्ध है, तो उसकी एक सीमा होती है।

प्रमेय 3. यदि अनुक्रम ( एक} एक सीमा है ए, फिर अनुक्रम ( कर सकते हैं}, {एक+ ग) और (| एक|} सीमाएं हैं सीए, ए +सी, |ए| क्रमशः (यहाँ सीएक मनमाना संख्या है)।

प्रमेय 4. यदि अनुक्रम ( एक} और ( बी नहीं) के बराबर सीमाएं हैं एऔर बी कड़ाही + क्यूबी एन) की एक सीमा है देहात+ क्यूबी.

प्रमेय 5. यदि अनुक्रम ( एक) और ( बी नहीं) के बराबर सीमाएं हैं एऔर बीक्रमशः, फिर अनुक्रम ( एक एन बी नहीं) की एक सीमा है एबी.

प्रमेय 6. यदि अनुक्रम ( एक} और ( बी नहीं) के बराबर सीमाएं हैं एऔर बीक्रमशः, और इसके अतिरिक्त बी एन 0 और ब 0, फिर अनुक्रम ( ए एन / बी एन) की एक सीमा है ए/बी.

अन्ना चुगैनोवा